TA’RIF

yilda sodir bo'ladigan adiabatik jarayonni tavsiflaydi. Adiabatik - bu ko'rib chiqilayotgan tizim va atrof-muhit o'rtasida issiqlik almashinuvi bo'lmagan jarayon: .

Puasson tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda gaz egallagan hajm uning qiymatiga teng va qiymat adiabatik ko'rsatkich deb ataladi.

Puasson tenglamasida adiabatik ko'rsatkich

Amaliy hisob-kitoblarda ideal gaz uchun adiabatik ko'rsatkich ga, ikki atomli gaz uchun - ga, uch atomli gaz uchun esa - ga teng ekanligini yodda tutish qulay.

Molekulalar orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari muhim rol o'ynay boshlaganda, haqiqiy gazlar bilan nima qilish kerak? Bunda har bir o'rganilayotgan gaz uchun adiabatik indeksni tajriba yo'li bilan olish mumkin. Bunday usullardan biri 1819 yilda Kl?ment va Desormes tomonidan taklif qilingan. Tsilindrni sovuq gaz bilan to'ldiramiz, undagi bosim yetguncha . Keyin kranni ochamiz, gaz adiabatik ravishda kengayishni boshlaydi va silindrdagi bosim atmosfera bosimiga tushadi. Gaz izoxorik ravishda haroratgacha qizdirilgandan so'ng muhit, silindrdagi bosim ga oshadi. Keyin adiabatik ko'rsatkichni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Adiyabatik indeks har doim 1 dan katta, shuning uchun gazni - ideal va haqiqiy - adiabatik siqish paytida kichikroq hajmgacha gaz harorati har doim ortadi va kengayish paytida gaz soviydi. Pnevmatik chaqmoq tosh deb ataladigan adiabatik jarayonning bu xususiyati dizel dvigatellarida qo'llaniladi, bu erda yonuvchi aralashma silindrda siqilib, yondiriladi. yuqori harorat. Termodinamikaning birinchi qonunini eslaylik: , bu yerda -, A esa unda bajarilgan ish. Chunki gaz tomonidan bajarilgan ish faqat uni o'zgartirish uchun ketadi ichki energiya- va shuning uchun harorat. Puasson tenglamasidan adiabatik jarayonda gazning ishini hisoblash formulasini olishimiz mumkin:

Bu erda n - moldagi gaz miqdori, R - universal gaz doimiysi, T mutlaq harorat gaz

Adiabatik jarayon uchun Puasson tenglamasi nafaqat ichki yonuv dvigatellarini hisoblashda, balki sovutgich mashinalarini loyihalashda ham qo'llaniladi.

Shuni esda tutish kerakki, Puasson tenglamasi faqat uzluksiz o'zgaruvchan muvozanat holatlaridan iborat bo'lgan muvozanat adiabatik jarayonni aniq tasvirlaydi. Agar haqiqatda tsilindrdagi valfni gaz adiabatik ravishda kengayishi uchun ochsak, makroskopik ishqalanish tufayli o'chib ketadigan gaz girdoblari bilan beqaror vaqtinchalik jarayon sodir bo'ladi.

Muammoni hal qilishga misollar

MISOL 1

Mashq qilish	Monatomik ideal gaz adiabatik tarzda siqildi, shunda uning hajmi ikki baravar ko'paydi. Gaz bosimi qanday o'zgaradi?
Yechim	Monatomik gaz uchun adiabatik ko'rsatkich ga teng. Biroq, uni quyidagi formula yordamida ham hisoblash mumkin: bu yerda R universal gaz konstantasi, i esa gaz molekulasining erkinlik darajasi. Monatomik gaz uchun erkinlik darajasi 3 ga teng: bu molekulaning markazi uchta koordinata o'qi bo'ylab translatsiya harakatini amalga oshirishi mumkinligini anglatadi. Shunday qilib, adiabatik indeks: Puasson tenglamasi orqali gazning adiabatik jarayonning boshi va oxiridagi holatini ifodalaymiz:
Javob	Bosim 3,175 marta kamayadi.

2-MISA

Mashq qilish	100 mol ikki atomli ideal gaz 300 K haroratda adiabatik tarzda siqilgan. Shu bilan birga, gaz bosimi 3 marta oshdi. Gazning ishi qanday o'zgargan?
Yechim	Ikki atomli molekulaning erkinlik darajasi, chunki molekula uchta koordinata o'qi bo'ylab harakatlanishi va ikkita o'q atrofida aylanishi mumkin.

Ta'lim maqsadlarida men Debay-Gyuckel tenglamasini olish uchun ishlatilgan tenglamalar haqida gapirmoqchiman. Bular Puasson tenglamasi va Boltsman taqsimoti.

Puasson tenglamasi

Biz plazma muvozanat holatida kvazineytral ekanligini va ta'sir ostida ekanligini aniqladik elektr maydoni harakatlanuvchi zaryadlardan zaryadlangan zarralar Debay uzunligi bilan almashtiriladi va maydon shu uzunlik ichida parchalanadi. Elektrostatikada zaryadlangan zarralarning o'zaro ta'siri Kulon tenglamasi bilan tavsiflanadi:

O'zaro ta'sir qiluvchi nuqta zaryadlarining kattaliklari qayerda va zaryadlar orasidagi masofaning kvadrati. k koeffitsienti doimiydir. Agar sistemani SGSEq bilan belgilangan CGS elektrostatik birliklarida ishlatsak, u holda k = 1. SI sistemasi ishlatilsa, u holda , bu yerda zaryadlar joylashgan muhitning dielektrik o'tkazuvchanligi, elektr o'zgarmasligi ga teng bo'ladi. 8.86 ?.

Fizikada kuch bevosita ishlatilmaydi, lekin tushuncha kiritiladi elektrostatik maydon taqsimlangan zaryadlar va kattalik maydonini o'lchash elektr maydon kuchi. Buning uchun maydonning har bir nuqtasiga bitta sinov zaryadini qo'ying va zaryadlar maydoni sinov zaryadiga ta'sir qiladigan kuchni o'lchang:

Demak, agar bu tenglamaga Kulon kuchini almashtirsak, quyidagilarga erishamiz:
Ammo fiziklar to'liq ta'riflash uchun bu bilan cheklanmaydilar elektr maydoni. Elektrostatik maydonga joylashtirilgan birlik zaryadni ko'rib chiqing. Maydon bu zaryadni elementar masofaga ds bo'ylab P1 nuqtadan P2 nuqtaga o'tkazish ishini bajaradi:
Miqdor potentsial farq yoki kuchlanish deb ataladi. Voltaj voltlarda o'lchanadi. Minus belgisi bizga musbat zaryad birligini uzatish uchun maydonning o'zi ish qilishini aytadi. Zaryadlarni harakatlantiruvchi kuchlar konservativdir, chunki zaryad qaysi yo'l bo'ylab harakatlanishidan qat'i nazar, yopiq yo'l bo'ylab ish har doim nolga teng.

bu nazarda tutadi chuqur ma'no potentsial farqlar. Agar siz P1 nuqtasini tuzatsangiz va zaryadni o'zgaruvchan P2 nuqtasiga o'tkazsangiz, u holda ish faqat ikkinchi P2 nuqtasining holatiga bog'liq. Shu tarzda biz potentsial tushunchasini kiritishimiz mumkin. Potensial quvvat funksiyasi bo‘lib, zaryadni cheksizlikdan berilgan P2 nuqtasiga ko‘chirish uchun maydon qancha ish qilish kerakligini ko‘rsatadi, bu yerda cheksizlikdagi potentsial shartli ravishda nolga teng deb hisoblanadi.

Puasson tenglamasini tushunish uchun siz "maxsus" vektor matematikasini tushunishingiz kerak. Men maydon gradienti va divergensiya kabi tushunchalar haqida qisqacha gapirib beraman (o'quvchi matematik tahlil bilan yaxshi tanish deb taxmin qilinadi)
f(x,y,z) koordinatalarning uzluksiz differentsiallanuvchi funksiyasi bo‘lsin. Fazoning har bir nuqtasida uning qisman hosilalarini bilib, biz x, y, z komponentlari mos keladigan qisman hosilalarga teng vektorni qurishimiz mumkin:

mos keladigan x, y, z o'qlarining birlik vektorlari qayerda. Belgida "nabla" deb o'qiladi va differentsial operator hisoblanadi
Bu operatorni matematikaga Hamilton kiritgan. Nabladan siz oddiy ko'paytma, nuqta ko'paytma, o'zaro ko'paytma va boshqalar kabi umumiy matematik operatsiyalarni bajarishingiz mumkin.

Endi elektrostatik maydonga qaytaylik E. Bir tomondan, bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o'tishda potentsialning o'zgarishi quyidagi ko'rinishga ega:

Boshqa tomondan, (*) formula bo'yicha
Hozirgina kiritilgan gradient tushunchasidan foydalanib, ushbu formula quyidagicha bo'ladi:
Endi maydon divergensiyasi tushunchasini ko‘rib chiqamiz. Ixtiyoriy shakldagi V cheklangan yopiq hajmni ko'rib chiqing (quyidagi rasmga qarang). Ushbu sirtning maydonini S belgilaymiz. Ushbu hajmdan chiqadigan F vektorining umumiy oqimi, ta'rifiga ko'ra, tengdir.
, bu erda da cheksiz kichik vektor bo'lib, uning kattaligi S sirtining kichik elementining maydoniga teng va yo'nalishi bu elementning tashqi normaliga to'g'ri keladi.
Keling, F vektorining bu oqimini olaylik, uni hajmga bo'linib, nolga moyil bo'lgan chegarani topamiz, ya'ni. Ovozni cheksiz kichik nuqtaga qisqartiramiz.

Biz divergentsiya tushunchasiga kelamiz. Divergensiya div belgisi bilan belgilanadi va F vektor oqimining V hajmiga nisbati, V nolga intiladi.

Puasson tenglamasi qanday olinishini ko'rsatishdan oldin Gauss qonuni va Gauss teoremasini bilish kerak. q zaryadli sharni tasavvur qilaylik. Zaryad o'z atrofida E intensivlikdagi elektr maydonini hosil qiladi, E vektor oqimini olaylik

bu erda S bizning sharimizning maydoni ga teng. Shuning uchun
Bu Gauss qonuni bo'lib, u E elektr maydonining har qanday yopiq sirt orqali o'tishini bildiradi mahsulotga teng sirt bilan qoplangan to'liq zaryad uchun:
kosmik zaryad zichligi qayerda, ya'ni. kattalik elektr zaryadi birlik hajmi uchun va bizning yopiq hajmimiz ichida ajratilgan elementar hajmdir.

Gauss teoremasi (to?liq nomi Gauss-Ostrogradskiy teoremasi) divergensiya haqidagi sof matematik teoremadir. F vektorining to‘liq oqimini quyidagicha qayta yozamiz:

Limitda, N -> ?, -> 0 bo'lganda, qavs ichidagi qiymat divergentsiyaga aylanadi va yig'indi hajm integraliga o'tadi:
Bu Gauss teoremasi va haqiqatda maydon nazariyasining eng muhim formulasi. Bu teoremani elektrostatik maydonga tatbiq qilaylik. Bir tomondan, Gauss qonuniga ko'ra
Boshqa tomondan, Gauss teoremasiga ko'ra (teoremani Gauss qonuni bilan aralashtirib yubormang):
Oxirgi ikkita tenglamani birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
Keling, (**) formulani eslaylik va bu erda E o'rniga maydon potensialini almashtiramiz
Gradient divergensiyasi yangi operator bo'lib, matematikada Laplas operatori yoki qisqacha Laplas operatori deb ataladi. Laplas nabla belgisi bilan quyidagicha belgilanadi va ga teng
Oldingi formulani Laplas shaklida qayta yozamiz:
Va nihoyat, bizda Puasson tenglamasi mavjud. Birinchi maqolada bu tenglama hisobga olingan holda biroz boshqacha shaklda edi dielektrik doimiy muhit. SI tizimidagi Kulon kuchini eslang, doimiylik mavjud. Shunga ko'ra, Gauss qonunida koeffitsient emas, balki koeffitsient bo'ladi. Shunday qilib, biz avvalgi maqolada keltirilgan shaklda Puasson tenglamasini olamiz
Shunday qilib, mohiyatiga ko'ra, Puasson tenglamasi vektor differensial tahlili yozuvida boshqa shaklda qayta yozilgan Kulon qonuni (aniqrog'i Gauss qonuni).

Biz matematik statistikadan muhim taqsimotni - Boltsman taqsimotini tahlil qilamiz.

Teglar:

• fizika
• elektrostatika

Teglar qo'shing

Tenglama (10.2) elektrostatik maydonning potentsiali va ushbu maydonning kuchi o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadi. Ushbu tenglamadan biz potentsial va zaryad zichligi o'rtasidagi munosabatni olishimiz mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz ushbu tenglamaning ikkala tomonining farqini hosil qilishingiz va keyin (6.5) formuladan foydalanishingiz kerak:

Vektor tahlili qoidalariga muvofiq [qarang tenglama (40)

shuning uchun (11.1) tenglama quyidagicha yozilishi mumkin:

Bu differentsial tenglama Puasson tenglamasi deb ataladi. Maydonning elektr zaryadlari bo'lmagan joylarida

Bu tenglama quyidagilarga aylanadi:

Puasson tenglamasining bu maxsus shakli Laplas tenglamasi deb ataladi.

Puasson tenglamasi, agar bu zaryadlarning joylashuvi ma'lum bo'lsa, kosmik zaryadlarning maydon potentsialini aniqlash imkonini beradi. Ushbu differensial tenglamaning yechimi (integrali) (ma'lum chegara sharoitida) biz ilgari olingan formula (8.8) bilan aniq mos kelishi kerak:

Quyida biz buni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash orqali isbotlaymiz. Hozircha shuni ta'kidlaymizki, ba'zi masalalarni yechish uchun (8.8) integraldan emas, balki to'g'ridan-to'g'ri (11.3) differensial tenglamadan boshlash qulayroqdir.

Misol. Vakuumdagi ikkita cheksiz yassi elektrodlar orasidagi termion tok zichligini aniqlang. Puasson tenglamasini qo'llashning ushbu misoli elektrostatikadan emas, balki oqimni o'rganishdan olingan va katta ahamiyatga ega katod (kuchaytiruvchi) quvurlar nazariyasi uchun.

Ma'lumki, qizdirilgan metallar o'z yuzasidan erkin elektronlar oqimini atrofdagi bo'shliqqa chiqaradi. Agar ikkita metall elektrodga ma'lum bir potentsial farq qo'llanilsa va manfiy elektrod (katod) qizdirilsa, u holda issiq katod tomonidan doimiy ravishda chiqariladigan elektronlar musbat elektrod (anod) yuzasiga tortiladi. Katoddan anodga o'tadigan elektronlar oqimi elektr tokiga teng. Bu oqim termion deb ataladi.

Dekart koordinatalarining o'qlarini shunday tanlaylikki, ularning kelib chiqishi katodda joylashgan bo'lib, x o'qi elektrodlar tekisligiga perpendikulyar va anod tomon yo'naltirilgan bo'lsin. Katod potentsialini nolga teng, anod potentsialini esa teng deb olaylik. Simmetriya nuqtai nazaridan, ekvipotensial yuzalar elektrodlarga parallel ekanligi aniq, shuning uchun elektrodlar orasidagi bo'shliqda Puasson tenglamasi shaklni oladi.

Agar katoddan x masofada joylashgan elektrodlar orasidagi bo'shliqdagi hajm birligiga to'g'ri keladigan elektronlar soni va elektron zaryadining mutlaq qiymati bilan belgilasak, u holda zaryad zichligi

bu masofa bo'ladi:

Oddiylik uchun katodning sirtini tark etganda chiqaradigan elektronlar hech qanday boshlang'ich tezlikka ega emas deb faraz qilaylik. Katoddan anodga boradigan yo'lda elektr maydon kuchlari zaryadning elektronlarida ishlaydi - bu, shubhasiz, elektron harakatining kinetik energiyasiga aylanadi. Elektronning katoddan x masofadagi tezligi va bir xil masofadagi potentsial bilan belgilab, biz olamiz

bu erda 771 elektronning massasi. Nihoyat, zichlik elektr toki, ya'ni, oqimga perpendikulyar maydon bo'ylab vaqt birligida oqadigan zaryad (ya'ni, o'qga perpendikulyar maydon teng, aniq:

chunki vaqt birligida bu maydondan o'tadigan elektronlar soni mavjud. Bundan farqli o'laroq, oqim zichligi x ga bog'liq bo'lmagan doimiy qiymatdir, chunki erishilganda barqaror holat Shubhasiz, elektrodlarga parallel bo'lgan har qanday tekislik o'tadi bir xil raqam elektronlar.

(11.5) tenglamadan birinchidan tashqari barcha noma'lum x funksiyalarni chiqarib tashlaylik

Ammo (11.6) dan shunday xulosa chiqadi

anavi,

A belgisini kiritib, biz olamiz

Muammoning shartlariga ko'ra, katodda yo'q bo'lib ketadigan va qo'shimcha ravishda shartni qanoatlantiradigan ushbu differensial tenglamaning echimlaridan almashtirish orqali ko'rish oson.

Agar biz anoddan katodgacha bo'lgan masofani I bilan belgilasak, u holda potentsialda Shuning uchun,

Shunday qilib, termion oqim zichligi Ohm qonuniga bo'ysunmaydi, lekin elektrodlarga qo'llaniladigan kuchlanishning 3/2 kuchiga mutanosib ravishda va ular orasidagi masofaning kvadratiga teskari proportsional ravishda ortadi. Termionik oqim qonunlari va metallardagi oqim qonunlari o'rtasidagi bu farq ikki xil sabablarga bog'liq. Birinchidan, metallardagi elektronlar metallning qattiq skeletini tashkil etuvchi musbat ionlar bilan to'qnashadi va shu sababli ular vakuumda harakatlanayotganda yo'q bo'lgan harakatiga qarshilik ko'rsatadilar 1). Ikkinchidan, termion oqim bilan elektrodlar orasidagi bo'shliqda faqat zaryadi zaryad bilan qoplanmagan erkin elektronlar mavjud. ijobiy ionlar, metallarda bo'lgani kabi, buning natijasida bu "kosmik zaryad" deb ataladigan maydon elektrodlar maydonini buzadi.

E'tibor bering, (11.9) formula yuqori oqim zichligida o'z kuchini to'xtatadi 2). Anod potentsiali oshganda, katod tomonidan chiqarilgan barcha elektronlar darhol anodga tortilganda bir lahza keladi. Anod potentsialining yanada oshishi aniq oqim zichligining oshishiga olib kelishi mumkin emas, bu esa doimiy qiymatga (to'yinganlik oqimi) etadi.

Masala 10. Fazodagi berilgan nuqtaning ba'zi bir ixtiyoriy tanlanganidan masofasi belgilansin boshlang'ich nuqtasi Skayar ekanligini ko'rsating

Laplas tenglamasini qanoatlantiradi

Nuqta e'tiborga olinmaydi.

Masala 11. Qalinligi 2a bo'lgan cheksiz yassi plastinka hajm zichligi bilan bir xilda elektr toki bilan zaryadlangan, x o'qi plastinkaga perpendikulyar, koordinatalarning kelib chiqishi o'rta tekislikda, plastinkaning har ikki yuzasidan teng masofada joylashgan. Plastinka ichidagi va tashqarisidagi maydon potentsiali mos ravishda teng ekanligini ko'rsating:

va vektor o'rta tekislikdan x o'qi bo'ylab yo'naltirilgan va son jihatdan teng:

Bu holatni cheksiz zaryadlangan tekislikning cheklovchi holati bilan solishtiring (§ 4).

Masala 12. Sferik koordinatalarda Puasson tenglamasiga asoslanib, butun hajmi bir xilda zaryadlangan sharning maydon potensialini toping [formula (8.12)].

Puasson va Laplas tenglamalari elektrostatikaning asosiy tenglamalari hisoblanadi. Ular Gauss teoremasidan differentsial shaklda kelib chiqadi. Darhaqiqat, bu ma'lum E = - daraja j. Shu bilan birga, Gauss teoremasiga ko'ra

Keling, (11.22) ni almashtiramiz. E dan (11.7). olamiz

.

Divergensiya belgisi uchun minus belgisini chiqaramiz

.

Yozish o'rniga gradj, Uning ?j ekvivalentini yozamiz. Div o'rniga ? yozamiz. Keyin

(11.27) tenglama Puasson tenglamasi deyiladi. Shaxsiy ko'rinish Puasson tenglamasi, r svb =0 bo'lganda, Laplas tenglamasi deyiladi. Laplas tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Operator Laplas operatori yoki Laplas operatori deb ataladi va ba'zan D belgisi bilan ham belgilanadi. Shuning uchun ba'zan Puasson tenglamasini yozishning ushbu shaklini topishingiz mumkin:

Keling, uni Dekart koordinata tizimida kengaytiramiz. Buning uchun ikkita omilning mahsuloti S va kengaytirilgan shaklda yozamiz

Keling, muddatga ko'paytirishni bajaramiz va olamiz

.

Shunday qilib, Dekart koordinata tizimidagi Puasson tenglamasi quyidagicha yoziladi:

. (11.29)

Dekart koordinata sistemasidagi Laplas tenglamasi

. (11.30)

Silindrsimon koordinatalar sistemasidagi ? 2 j ifodalarni hosilasiz keltiramiz

, (11.31)

sferik koordinatalar tizimida (11.32)

Puasson tenglamasi ning ikkinchi tartibli qisman hosilalari orasidagi munosabatni beradi j maydonning istalgan nuqtasida va maydonning ushbu nuqtasida erkin zaryadlarning hajmli zichligi. Shu bilan birga, potentsial j maydonning istalgan nuqtasida, albatta, faqat ma'lum bir nuqtada joylashgan erkin zaryadning kattaligiga emas, balki maydonni yaratadigan barcha zaryadlarga bog'liq.

Laplas tenglamasi (1780) dastlab potentsial maydonlarni tavsiflash uchun qo'llanilgan samoviy mexanika va keyinchalik elektr maydonlarini tasvirlash uchun ishlatilgan. Puasson tenglamasi 1820 yildan boshlab potentsial maydonlarni (elektr va magnit) o'rganishda qo'llanila boshlandi.

Keling, qanday qilish kerakligi haqidagi savolni ko'rib chiqaylik umumiy ko'rinish Puasson tenglamasining yechimini yozish mumkin. Ovozni kiriting V Hajmi (r), sirt (s) va chiziqli (t) zaryadlar mavjud. Keling, bu to'lovlarni ball to'lovlari yig'indisi sifatida ifodalaylik rdV, sds, tdl; dV- hajm elementi, ds- zaryadlangan sirt elementi, dl- zaryadlangan o'q uzunligi elementi. Potentsial komponent dj uzoqda bo'lgan fazoning bir nuqtasida rdV masofaga R, formulaga muvofiq (11.20) ga teng

Potensialning tarkibiy qismlarini sirt va chiziqli zaryadlardan aniqlaymiz, ularni nuqta zaryadlari deb hisoblaymiz, shunga o'xshash tarzda:

To'liq ma'no j maydondagi barcha zaryadlardan potentsial komponentlarning yig'indisi (integrali) sifatida aniqlanadi:

Formulada (11.33) r,s Va t radius funksiyalari mavjud R. Amalda, (11.33) formula kamdan-kam qo'llaniladi, chunki taqsimot s yuzada, t uzunligi va r hajmida elektrodlarning konfiguratsiyasiga murakkab tarzda bog'liq va, qoida tariqasida, hisoblashdan oldin noma'lum. Boshqacha qilib aytganda, qanday qilib noma'lum r, s Va t radiusga bog'liq R.

Chegara shartlari

Chegaraviy shartlar deganda, har xil elektr xususiyatlariga ega bo'lgan muhitlar orasidagi interfeyslarda maydon tobe bo'lgan shartlar tushuniladi. "O'tkinchi jarayonlar" bo'limini o'rganishda boshlang'ich shartlar va kommutatsiya qonunlari masalasi alohida ahamiyatga ega edi. Dastlabki shartlar va kommutatsiya qonunlari klassik usul yordamida masalalarni yechishda integrasiya konstantalarini aniqlash imkonini berdi. IN klassik usul ular aniq, operator usulida - yashirin ishlatilgan. Ulardan foydalanmasdan, vaqtinchalik jarayonlar bilan bog'liq biron bir muammoni hal qilib bo'lmaydi.

Elektr (va har qanday boshqa) maydondagi chegaraviy shartlarning roli bilan vaqtinchalik jarayonlarda boshlang'ich shartlar va kommutatsiya qonunlarining roli o'rtasida parallellik o'tkazish mumkin. Laplas (yoki Puasson) tenglamasini integrallashda yechim integratsiya konstantalarini o'z ichiga oladi. Ular chegara shartlari asosida aniqlanadi. Chegaraviy shartlarni batafsil muhokama qilishga o'tishdan oldin, elektrostatik sharoitda o'tkazuvchi jism ichidagi maydon masalasini ko'rib chiqaylik.

Laplas va Puasson tenglamalarini o'rganish statsionar jarayon haqidagi muammolarni ko'rib chiqishga olib keladi: bular gidrodinamika, diffuziya, harorat taqsimoti, elektrostatika va boshqalar.

Bu tenglamalar elliptik tipdagi tenglamalardir.

Vaqtni o'z ichiga olgan tenglamalarga olib keladigan masalalar matematik fizikaning statsionar bo'lmagan yoki dinamik masalalari deb ataladi; vaqtni o'z ichiga olmaydigan tenglamalarga olib keladigan masalalar statsionar yoki statik deyiladi.

Ko'rsatilgandek, matematik fizikaning tenglamalari ikkita ixtiyoriy funktsiyaga bog'liq holda cheksiz ko'p echimlarga ega ( haqida gapiramiz ikki o'zgaruvchili funktsiya uchun ikkinchi tartibli tenglamalar bo'yicha). Yechimlar to'plamidan jarayonni tavsiflovchi aniq birini tanlash uchun kerakli funktsiyani yuklash kerak. qo'shimcha shartlar, ular jismoniy mulohazalar bilan belgilanadi. Qisman differentsial tenglamalar uchun bunday shartlar, ko'pincha, boshlang'ich va chegaraviy shartlardir. Chegaraviy shartlar - ko'rib chiqilayotgan muhitning chegarasida ko'rsatilgan shartlar; boshlang'ich shartlar - ma'lum bir fizik hodisani o'rganish boshlanadigan vaqtning ma'lum bir nuqtasiga tegishli shartlar. Qo'shimcha shartlar, shuningdek, differensial tenglamaning o'zi jarayonning o'zi bilan bog'liq fizik mulohazalar asosida chiqariladi. Biroq, ajratishni ta'minlaydigan qo'shimcha shartlar bo'lishi kerak yagona yechim barcha ko'plab echimlardan. Chegara va boshlang'ich shartlar soni tenglamaning turiga qarab belgilanadi va ularning turi ob'ekt chegarasidagi berilgan boshlang'ich holat va tashqi muhit. Biz ko'rib chiqayotgan tenglamalar uchun boshlang'ich shartlar soni tenglamaga kiritilgan vaqtga nisbatan eng yuqori hosila tartibiga teng, chegaraviy shartlar soni esa koordinataga nisbatan eng yuqori hosila tartibiga teng. .

Differensial tenglamalar va qo‘shimcha shartlar to‘plami fizik masalaning matematik formulasini ifodalaydi va matematik fizikaning muammosi deb ataladi.

Demak, matematik fizikaning vazifasi qisman differensial tenglamalarning ayrim qo‘shimcha shartlarni, aytaylik, chegara va boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimlarini topishdan iborat.

Matematik fizika muammosi uning barcha shartlarini qanoatlantiradigan masalaning yechimi mavjud bo'lsa, yagona va barqaror bo'lsa, to'g'ri qo'yilgan deb hisoblanadi.

String tebranishlari. Chegara va dastlabki shartlar. Chegaraviy masalalar bayoni

Ip kuchli dastlabki kuchlanish ostida bo'lsin. Agar ip muvozanat holatidan olib tashlansa va unga har qanday kuch ta'sir etsa, ip tebranishni boshlaydi. Tebranish jarayonini ipning vertikal harakatini tavsiflovchi bitta funktsiya bilan tavsiflash mumkin (muvozanat holatidan og'ish (2.2-rasm)). Har bir belgilangan qiymat uchun tekislikdagi funksiya grafigi satrning shaklini bir lahzada beradi.

Funktsiya tenglamani qanoatlantiradi

tashqi kuchlar ta'sirisiz ipning erkin tebranishlarini tasvirlaydi.

(2.69) tenglama giperbolik tipdagi eng oddiy tenglama va shu bilan birga matematik fizikaning eng muhim tenglamalaridan biridir.

Harakatning bir tenglamasi (2.69) yoki (2.70) jismoniy jarayonni matematik tavsiflash uchun etarli emas. String tebranish muammosini ko'rib chiqishda qo'shimcha shartlar ikki xil bo'lishi mumkin: boshlang'ich va chegara (chekka).

Ipning tebranish jarayoni uning dastlabki shakli va tezligining taqsimlanishiga bog'liq bo'lganligi sababli, dastlabki shartlarni belgilash kerak:

Biz chegara shartlarining uch turi haqida gapiramiz:

ma'lum funktsiyalar qayerda,

va ma'lum konstantalar.

Berilgan shartlar mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi turdagi chegara shartlari deyiladi. Shartlar I jismning uchlari (tor, novda va boshqalar) berilgan qonunga muvofiq harakat qilganda yuzaga keladi; II shartlar - uchlarga belgilangan kuchlar qo'llanilganda; III shartlar - uchlarini elastik mahkamlashda.

Agar tenglikning o'ng tomonida ko'rsatilgan funktsiyalar nolga teng bo'lsa, u holda chegara shartlari bir hil deyiladi. Shunday qilib, chegara shartlari (2.72) bir hil. Turli xil kombinatsiya sanab o'tilgan turlari chegaraviy shartlar, biz olti turdagi oddiy chegaraviy masalalarni olamiz.

Agar uchlaridagi rejim satrning ulardan etarlicha uzoq bo'lgan qismiga sezilarli ta'sir ko'rsatmasa, satr cheksiz hisoblanadi. Shu sababli, to'liq chegaraviy masala o'rniga chegaraviy masala qo'yiladi - Koshi muammosi: uchun (2.69) tenglamaning yechimini toping, boshlang'ich shartlarni qanoatlantiring.

Agar biz bir chegara yaqinidagi jarayonni o'rgansak va chegara rejimining ikkinchi chegaraga ta'siri bizni qiziqtirgan vaqt oralig'ida ahamiyatli bo'lmasa, u holda masalani yarim chegaralangan to'g'ri chiziqda shakllantirishga kelamiz. Bunda boshlang'ich shartlar va chegara shartlaridan biri I - III da ko'rsatiladi.

Muammoni hal qilishga misollar

2.42-MISA. Bir xil uzunlikdagi ip kichik ko'ndalang tebranishlarni boshdan kechiradi. Ip nuqtalarining to'g'ri chiziqli dam olish holatidan og'ishlarini aniqlash masalasini qo'ying, agar ip hozirgi vaqtda () shaklga ega bo'lsa va uning har bir nuqtasining tezligi funktsiya bilan berilgan bo'lsa. Vaziyatlarni ko'rib chiqing:

• a) ipning uchlari mahkamlangan;
• b) ipning uchlari erkin;

c) ko'ndalang kuchlar va ipning uchlariga va momentdan boshlab qo'llaniladi;

d) ipning uchlari elastik tarzda mahkamlangan, ya'ni. har bir uchi uchining burilishiga mutanosib qarshilik ko'rsatadi.

Yechim. Ma'lumki, chiziq nuqtalarining muvozanat holatidan og'ishlari ta'sir qiluvchi omil bo'lmaganda qondiriladi. tashqi kuch tenglama erkin tebranishlar (2.70)

Bu erda, kuchlanish, chiziqli zichlik, chunki ip bir hil.

Dastlabki shartlar:

Keling, chegara shartlarini chiqarishni boshlaylik.

a). Ipning uchlari sobit bo'lgani uchun, ularning nuqtalardagi og'ishlari va har qanday uchun nolga teng bo'lishi kerak, ya'ni.

Shunday qilib, uchlarida qo'zg'atilgan satrning tebranishlarining fizik masalasi quyidagi matematik masalaga qisqartirildi: da aniqlangan funktsiyani toping va bu tenglamaning echimi.

va chegara shartlarini qondirish

va dastlabki shartlar