Bizning masalamizda U(x) funksiya maxsus, uzluksiz shaklga ega: u devorlar orasida nolga teng, quduq chetlarida (devorlarda) u cheksiz bo'ladi:

Devorlar orasida joylashgan nuqtalarda zarrachalarning statsionar holatlari uchun Shredinger tenglamasini yozamiz:

yoki (1.1) formulani hisobga olsak

Tenglama (1.3) quduq devorlarida chegara shartlari bilan to'ldirilishi kerak. To'lqin funksiyasi zarrachalarni topish ehtimoli bilan bog'liqligini hisobga olamiz. Bundan tashqari, muammoning shartlariga ko'ra, zarrachani devorlardan tashqarida aniqlash mumkin emas. Keyin devorlarda va undan tashqarida to'lqin funktsiyasi yo'qolishi kerak va muammoning chegara shartlari oddiy shaklni oladi:

Endi (1.3) tenglamani yechishni boshlaymiz. Xususan, uning yechimi de Broyl to'lqinlari ekanligini hisobga olish mumkin. Ammo bitta de Broyl to'lqini yechim sifatida bizning muammomizga aniq taalluqli emas, chunki u, albatta, bir yo'nalishda "yugurib borayotgan" erkin zarrachani tasvirlaydi. Bizning holatda, zarracha devorlar orasidan "oldinga va orqaga" ishlaydi. Bunday holda, superpozitsiya printsipiga asoslanib, kerakli yechim p va -p momentlari bilan bir-biriga qarab harakatlanadigan ikkita de Broyl to'lqini shaklida, ya'ni quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:

va konstantalarini chegaraviy shartlardan biridan va normallashtirish shartidan topish mumkin. Ikkinchisi shuni ko'rsatadiki, agar siz barcha ehtimolliklarni qo'shsangiz, ya'ni devorlar orasidagi umumiy elektronni topish ehtimolini (har qanday joyda) topsangiz, bittasini olasiz (ishonchli hodisa ehtimoli 1 ga teng), ya'ni:

Birinchi chegara shartiga ko'ra, bizda:

Shunday qilib, biz muammoni hal qilamiz:

Ma'lumki, . Shunday qilib, topilgan yechimni quyidagicha qayta yozish mumkin:

A konstantasi normalizatsiya holatidan aniqlanadi. Ammo bu erda alohida qiziqish yo'q. Ikkinchi chegara sharti qo'llanilmaydi. U qanday natija beradi? Topilgan yechimga (1.5) qo'llanilganda, u tenglamaga olib keladi:

Undan ko'ramizki, bizning masalamizda p impulsi hech qanday qiymatlarni emas, balki faqat qiymatlarni qabul qilishi mumkin

Aytgancha, n nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki to'lqin funksiyasi (0…l) oralig'ida hamma joyda nolga teng bo'ladi! Demak, devorlar orasidagi zarracha tinch holatda bo'lolmaydi! U harakatlanayotgan bo‘lsa kerak. O'tkazuvchanlik elektronlari metallda xuddi shunday sharoitda topiladi. Olingan xulosa ularga ham tegishli: metalldagi elektronlar statsionar bo'lolmaydi.

Harakatlanuvchi elektronning mumkin bo'lgan eng kichik impulsi

Elektron impulsi devorlardan aks etganda belgini o'zgartirishini ko'rsatdik. Shuning uchun, elektron devorlar orasida qulflanganda uning impulsi qanday bo'lishi haqidagi savolga aniq javob berish mumkin emas: yoki +p, yoki -p. Impuls noaniq. Uning noaniqlik darajasi aniq quyidagicha aniqlanadi: =p-(-p)=2p. Koordinataning noaniqligi l ga teng; agar siz elektronni "ushlashga" harakat qilsangiz, u devorlar orasidagi chegaralar ichida topiladi, ammo aniq qaerda noma'lum. p ning eng kichik qiymati bo'lgani uchun biz quyidagilarni olamiz:

Biz Geyzenberg munosabatini muammomiz shartlarida, ya'ni p ning eng kichik qiymati mavjud bo'lgan holda tasdiqladik. Agar impulsning o'zboshimchalik bilan mumkin bo'lgan qiymatini yodda tutsak, noaniqlik munosabati quyidagi shaklni oladi:

Bu shuni anglatadiki, Heisenberg-Bohrning noaniqlik haqidagi dastlabki postulati o'lchovlarda mumkin bo'lgan noaniqliklarning faqat pastki chegarasini belgilaydi. Agar harakatning boshida tizim minimal noaniqliklar bilan ta'minlangan bo'lsa, vaqt o'tishi bilan ular o'sishi mumkin.

Biroq, (1.6) formula yana bir nihoyatda qiziq xulosaga ishora qiladi: ma'lum bo'lishicha, kvant mexanikasidagi tizim impulsi har doim ham uzluksiz o'zgara olmaydi (klassik mexanikada har doimgidek). Bizning misolimizdagi zarracha momentum spektri diskretdir; devorlar orasidagi zarracha impulsi faqat sakrashda (kvanta) o'zgarishi mumkin. Ko'rib chiqilayotgan masaladagi sakrash qiymati doimiy va ga teng.

Shaklda. 2. Zarracha momentumining mumkin bo'lgan qiymatlari spektri aniq ko'rsatilgan. Shunday qilib, kvant mexanikasida klassik mexanikaga mutlaqo yot bo‘lgan mexanik miqdorlar o‘zgarishining diskretligi uning matematik apparatidan kelib chiqadi. Nima uchun sakrashda impuls o'zgaradi deb so'ralganda, aniq birini topish mumkin emas. Kvant mexanikasi qonunlari shunday; Bizning xulosamiz ulardan mantiqan kelib chiqadi - bu butun tushuntirish.

Keling, zarrachaning energiyasiga murojaat qilaylik. Energiya (1) formula bo'yicha impuls bilan bog'liq. Agar impuls spektri diskret bo'lsa, u avtomatik ravishda devorlar orasidagi zarracha energiya qiymatlari spektri ham diskret ekanligi ayon bo'ladi. Va u boshlang'ich. Agar formula (1.6) bo'yicha mumkin bo'lgan qiymatlar (1.1) formulaga almashtirilsa, biz quyidagilarni olamiz:

Bu yerda n = 1, 2,… va kvant soni deyiladi.

Shunday qilib, biz energiya darajasini oldik.

Guruch. 3 bizning muammomiz shartlariga mos keladigan energiya darajalarining joylashishini tasvirlaydi. Yana bir muammo uchun energiya darajalarining joylashishi boshqacha bo'lishi aniq. Agar zarracha zaryadlangan bo'lsa (masalan, u elektron bo'lsa), u eng past energiya darajasida bo'lmasa, u o'z-o'zidan yorug'lik (foton shaklida) chiqarishi mumkin bo'ladi. Shu bilan birga, u shartga muvofiq pastroq energiya darajasiga o'tadi:

Bizning muammomizdagi har bir statsionar holat uchun to'lqin funktsiyalari sinusoidlar bo'lib, ularning nol qiymatlari albatta devorlarga to'g'ri keladi. n = 1.2 uchun ikkita shunday to'lqin funksiyasi rasmda ko'rsatilgan. bitta.

Shredinger tenglamasi avstriyalik fizik Ervin Shredinger sharafiga nomlangan. U kvant mexanikasining asosiy nazariy qurolidir. Kvant mexanikasida Shredinger tenglamasi klassik mexanikada harakat tenglamasi (Nyutonning ikkinchi qonuni) bilan bir xil rol o'ynaydi. Shredinger tenglamasi deb ataladigan narsa uchun yozilgan y- funktsiyalar (psi - funktsiyalar). Umumiy holda, psi - funktsiyasi koordinatalar va vaqtning funktsiyasidir: y = y (x,y,z,t). Agar mikrozarracha statsionar holatda bo'lsa, u holda psi - funksiya vaqtga bog'liq emas: y= y (x,y,z).

Mikrozarrachaning bir o'lchovli harakatining eng oddiy holatida (masalan, faqat o'q bo'ylab x ) Shredinger tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

qayerda y(x)– psi - faqat bitta koordinataga bog'liq funktsiya x ; m – zarracha massasi; - Plank doimiysi (= h/2p); E zarrachaning umumiy energiyasi, U - potentsial energiya. Klassik fizikada miqdor (EI ) zarrachaning kinetik energiyasiga teng bo'ladi. Kvant mexanikasida, tufayli noaniqlik munosabatlari kinetik energiya tushunchasi ma'nosizdir. E'tibor bering, potentsial energiya U xususiyati hisoblanadi tashqi kuch maydoni unda zarracha harakatlanadi. Bu qiymat juda aniq. Bu, shuningdek, bu holda koordinatalarning funktsiyasidir U = U (x,y,z).

Uch o'lchovli holatda, qachon y = y (x,y,z) Shredinger tenglamasining birinchi hadi o‘rniga uchta koordinataga nisbatan psi-funksiyaning uchta qisman hosilalari yig‘indisini yozish kerak.

Shredinger tenglamasi nima uchun ishlatiladi? Yuqorida aytib o'tilganidek, bu kvant mexanikasining asosiy tenglamasidir. Agar biz uni yozib, aniq bir mikrozarra uchun hal qilsak (bu umuman oson ish emas), u holda zarracha harakatlanadigan fazoning istalgan nuqtasida psi-funksiyaning qiymatini olamiz. Bu nima beradi? Psi-funktsiya modulining kvadrati xarakterlanadi ehtimollik fazoning ma'lum bir hududida zarrachani aniqlash. Koordinatalar bilan kosmosda biron bir nuqtani oling x , y , z (6-rasm). Bu nuqtada zarrachani topish ehtimoli qanday? Javob: bu ehtimollik nolga teng! (nuqtaning o'lchamlari yo'q, zarracha oddiygina nuqtaga jismoniy ura olmaydi). Demak, savol noto'g'ri qo'yilgan. Keling, boshqacha qilib aytaylik: hajmli fazoning kichik hududida zarrachani topish ehtimoli qanday? dV = dx dy dz ma'lum bir nuqtada markazlashtirilganmi? Javob:

qayerda dP elementar hajmdagi zarrachani aniqlashning elementar ehtimoli dV . Tenglama (22) haqiqiy psi-funksiya uchun amal qiladi (u murakkab bo'lishi ham mumkin, bu holda psi-funktsiya modulining kvadrati (22) tenglamaga almashtirilishi kerak). Agar fazoning hududi cheklangan hajmga ega bo'lsa V , keyin ehtimollik P bu hajmdagi zarrachani aniqlash uchun (22) ifodani hajmga integrallash orqali topiladi V :

Shuni eslang mikrozarrachalar harakatining ehtimollik tavsifi kvant mexanikasining asosiy g'oyasidir. Shunday qilib, Shredinger tenglamasi yordamida kvant mexanikasining asosiy muammosi hal qilinadi: o'rganilayotgan ob'ektning, bu holda kvant mexanik zarrasining harakatini tavsiflash.

Biz yana bir qator muhim faktlarni qayd etamiz. (21) formuladan ko'rinib turibdiki, Shredinger tenglamasi ikkinchi tartibli differensial tenglamadir. Binobarin, uni yechish jarayonida ikkita ixtiyoriy konstanta paydo bo'ladi. Ularni qanday topish mumkin? Buning uchun, deb atalmish foydalaning chegara shartlari: fizik masalaning o'ziga xos mazmunidan mikrozarrachaning harakat mintaqasi chegaralaridagi psi-funktsiyaning qiymati ma'lum bo'lishi kerak. Bundan tashqari, deb atalmish normalizatsiya holati, psi-funktsiya qanoatlantirishi kerak:

Ushbu shartning ma'nosi oddiy: zarrachani hech bo'lmaganda uning harakat mintaqasi ichida biron bir joyda aniqlash ehtimoli ma'lum bir hodisa bo'lib, uning ehtimoli birga teng.

Aynan chegara shartlari Shredinger tenglamasining yechimini fizik ma’no bilan to‘ldiradi. Bu shartlarsiz tenglamani yechish fizik ma’nodan xoli sof matematik masala hisoblanadi. Keyingi bo'limda aniq misoldan foydalanib, Shredinger tenglamasini echishda chegaraviy shartlar va normalizatsiya shartini qo'llashni ko'rib chiqamiz.

psi funktsiyasi

to'lqin funktsiyasi (davlat funktsiyasi, psi funktsiyasi, ehtimollik amplitudasi) - murakkab qiymatli funktsiya da ishlatilgan kvant mexanikasi uchun ehtimollik tavsifi davlatlar kvant mexanik tizimi. Keng ma'noda, xuddi shunday davlat vektori.

"Ehtimollik amplitudasi" nomining bir varianti bilan bog'liq statistik talqin to'lqin funktsiyasi: ma'lum bir vaqtda fazoning ma'lum nuqtasida zarrachani topish ehtimoli zichligi ushbu holatning to'lqin funktsiyasining mutlaq qiymatining kvadratiga teng.

To'lqin funksiyasi moduli kvadratining fizik ma'nosi

To'lqin funktsiyasi tizimning koordinatalariga (yoki umumlashtirilgan koordinatalariga) va umuman, vaqtga bog'liq va shunday shakllanadiki kvadrat uni modul zichligi edi ehtimolliklar(diskret spektrlar uchun - faqat ehtimollik) tizimni vaqt momentida koordinatalar bilan tavsiflangan holatda aniqlash:

Keyin, to'lqin funktsiyasi bilan tavsiflangan tizimning ma'lum kvant holatida zarrachaning cheklangan hajmli fazoning istalgan hududida aniqlanish ehtimolini hisoblash mumkin: .

vazifasini bajaradigan koordinatalar to'plami funktsiya argumentlari, o'zida aks ettiradi fizik miqdorlarning to'liq to'plami tizimda o'lchash mumkin. Kvant mexanikasida bir nechta to'liq miqdorlar to'plamini tanlash mumkin, shuning uchun bir xil holatning to'lqin funksiyasini turli argumentlardan yozish mumkin. To'lqin funktsiyasini yozish uchun tanlangan miqdorlarning to'liq to'plami aniqlanadi to'lqin funksiyasi tasviri. Ha, mumkin muvofiqlashtirish ishlash, beixtiyor taqdimot, in kvant maydon nazariyasi ishlatilgan ikkinchi kvantlash va to'ldirish raqamini ko'rsatish yoki Fok vakilligi va boshq.

Agar to'lqin funktsiyasi, masalan, atomdagi elektron, koordinatali tasvirda berilgan bo'lsa, to'lqin funksiyasi modulining kvadrati fazoning ma'lum bir nuqtasida elektronni topish ehtimoli zichligi hisoblanadi. Agar impuls ko'rinishida bir xil to'lqin funktsiyasi berilgan bo'lsa, u holda uning modulining kvadrati u yoki bu narsani topish ehtimoli zichligi hisoblanadi. impulsBilan.

Kirish

Ma'lumki, kvant mexanikasi kursi tushunish qiyin bo'lgan kurslardan biridir. Bu yangi va "g'ayrioddiy" matematik apparat bilan emas, balki birinchi navbatda klassik fizika nuqtai nazaridan inqilobiy tushunish qiyinligi, kvant mexanikasi asosidagi g'oyalar va natijalarni talqin qilishning murakkabligi bilan bog'liq.

Kvant mexanikasi bo'yicha ko'pgina darsliklarda material taqdimoti, qoida tariqasida, statsionar Shredinger tenglamasining echimlarini tahlil qilishga asoslanadi. Biroq, statsionar yondashuv kvant mexanik muammosini hal qilish natijalarini o'xshash klassik natijalar bilan to'g'ridan-to'g'ri solishtirishga imkon bermaydi. Bundan tashqari, kvant mexanikasi kursida o‘rganiladigan ko‘plab jarayonlar (zarrachaning potensial to‘siqdan o‘tishi, kvazstatsionar holatning yemirilishi va boshqalar) asosan statsionar emas va shuning uchun statsionar bo'lmagan Shredinger tenglamasining yechimlari asosidagina to'liq tushunilishi mumkin. Analitik echiladigan muammolar soni kam bo'lganligi sababli, kvant mexanikasini o'rganish jarayonida kompyuterdan foydalanish ayniqsa dolzarbdir.

Shredinger tenglamasi va uning yechimlarining fizik ma'nosi

Shredinger to'lqin tenglamasi

Kvant mexanikasining asosiy tenglamalaridan biri Shredinger tenglamasi bo?lib, vaqt o?tishi bilan kvant sistemalarining holatlari o?zgarishini aniqlaydi. Shaklda yozilgan

Bu erda H - tizimning Gamiltoniani, agar vaqtga bog'liq bo'lmasa, energiya operatoriga to'g'ri keladi. Operator turi tizimning xususiyatlari bilan belgilanadi. U(r) potentsial maydonidagi massa zarrasining relyativistik bo'lmagan harakati uchun operator haqiqiy bo'lib, zarrachaning kinetik va potentsial energiyasi operatorlarining yig'indisi bilan ifodalanadi.

Agar zarracha elektromagnit maydonda harakat qilsa, Gamilton operatori murakkab bo'ladi.

(1.1) tenglama vaqt bo'yicha birinchi tartibli tenglama bo'lsa-da, xayoliy birlik tufayli davriy yechimlarga ham ega. Shuning uchun Shredinger tenglamasi (1.1) ko'pincha Shredinger to'lqin tenglamasi deb ataladi va uning yechimi vaqtga bog'liq to'lqin funksiyasi deb ataladi. H operatorining ma'lum shakliga ega (1.1) tenglama, agar bu qiymat vaqtning dastlabki momentida ma'lum bo'lsa, to'lqin funksiyasining qiymatini vaqtning istalgan keyingi momentida aniqlash imkonini beradi. Shunday qilib, Shredinger to'lqin tenglamasi kvant mexanikasidagi sabablar printsipini ifodalaydi.

Shredinger to'lqin tenglamasini quyidagi rasmiy mulohazalar asosida olish mumkin. Klassik mexanikada ma'lumki, agar energiya koordinatalar va momentlarga bog'liq bo'lsa

keyin S harakat funktsiyasi uchun klassik Gamilton--Jakobi tenglamasiga o'tish

formal o'zgartirish orqali (1.3) dan olinishi mumkin

Xuddi shunday (1.1) tenglama (1.3) dan (1.3) operator tenglamaga formal o'zgartirish orqali o'tganda olinadi.

agar (1.3) koordinatalar va momentlarning ko'paytmalarini o'z ichiga olmasa yoki operatorlarga (1.4) o'tgandan so'ng, bir-biri bilan harakatlanadigan ko'paytmalarni o'z ichiga oladi. Ushbu transformatsiyadan so'ng hosil bo'lgan operator tengligining o'ng va chap qismlari operatorlari funktsiyasi bo'yicha harakat natijalarini tenglashtirib, (1.1) to'lqin tenglamasiga kelamiz. Biroq, bu rasmiy o'zgarishlarni Shredinger tenglamasining hosilasi sifatida qabul qilmaslik kerak. Shredinger tenglamasi eksperimental ma'lumotlarni umumlashtirishdir. Maksvell tenglamalari elektrodinamikada olinmagani kabi, u kvant mexanikasida ham kelib chiqmaydi, klassik mexanikada eng kichik harakat tamoyili (yoki Nyuton tenglamalari).

To'lqin funksiyasi uchun (1.1) tenglama qanoatlanganligini tekshirish oson

impulsning ma'lum bir qiymatiga ega bo'lgan zarrachaning erkin harakatini tavsiflash. Umumiy holatda (1.1) tenglamaning to'g'riligi ushbu tenglama yordamida olingan barcha xulosalar tajribasi bilan kelishilgan holda isbotlanadi.

(1.1) tenglama muhim tenglikni nazarda tutishini ko'rsataylik

vaqt o'tishi bilan to'lqin funktsiyasining normallashuvining saqlanishini ko'rsatadi. Chapdagi (1.1) ni * funksiyaga ko'paytiramiz va (1.1) ga tenglama kompleks konjugatini funktsiyaga ko'paytiramiz va olingan birinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayiramiz; keyin topamiz

Ushbu munosabatni o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari bo'yicha integratsiyalash va operatorning o'ziga xosligini hisobga olgan holda biz (1.5) ni olamiz.

Agar (1.6) munosabatda zarrachaning potentsial maydondagi harakati uchun Gamilton operatorining (1.2) aniq ifodasini almashtirsak, differensial tenglamaga (uzluksizlik tenglamasi) kelamiz.

Bu erda ehtimollik zichligi va vektor

ehtimollik oqimi zichligi vektori deb atash mumkin.

Murakkab to'lqin funksiyasi har doim quyidagicha ifodalanishi mumkin

bu yerda va vaqt va koordinatalarning real funksiyalari. Shunday qilib, ehtimollik zichligi

va ehtimollik oqimi zichligi

(1.9) dan PH funksiyasi koordinatalarga bog'liq bo'lmagan barcha funksiyalar uchun j = 0 ekanligi kelib chiqadi. Xususan, barcha real funksiyalar uchun j= 0.

Shredinger tenglamasining (1.1) yechimlari odatda kompleks funksiyalar bilan ifodalanadi. Murakkab funktsiyalardan foydalanish juda qulay, garchi kerak bo'lmasa. Bitta murakkab funktsiya o'rniga tizimning holatini ikkita haqiqiy funktsiya va ikkita bog'langan tenglamani qanoatlantirgan holda tasvirlash mumkin. Misol uchun, agar H operatori haqiqiy bo'lsa, u holda funktsiyani (1.1) ga almashtirib, haqiqiy va xayoliy qismlarni ajratib, ikkita tenglamalar tizimini olamiz.

bu holda, ehtimollik zichligi va ehtimollik oqimi zichligi shaklni oladi

Impulsni ifodalashda to‘lqin funksiyalari.

To'lqin funksiyasining Furye konvertatsiyasi momentning kvant holatida taqsimlanishini tavsiflaydi. Yadro sifatida potentsialning Furye konvertatsiyasi bilan integral tenglamani olish kerak.

Yechim. va funktsiyalari o'rtasida ikkita o'zaro teskari munosabat mavjud.

Agar (2.1) munosabat ta'rif sifatida ishlatilsa va unga amal qo'llanilsa, u holda 3 o'lchovli -funktsiyaning ta'rifini hisobga olgan holda,

natijada, ko'rish oson bo'lganidek, biz teskari munosabatni olamiz (2.2). Shunga o'xshash mulohazalar quyida (2.8) munosabatni hosil qilishda qo'llaniladi.

keyin bizda mavjud bo'lgan potentsialning Furye tasviri uchun

To‘lqin funksiyasi Shredinger tenglamasini qanoatlantiradi deb faraz qilsak

Bu erda mos ravishda (2.1) va (2.3) iboralarini va o'rniga qo'yib, biz hosil bo'lamiz.

Ikkilamchi integralda biz o'zgaruvchi ustidan integrasiyadan o'zgaruvchi ustidan integrasiyaga o'tamiz va keyin yana bu yangi o'zgaruvchini bilan belgilaymiz. Agar integralning o'zi nolga teng bo'lsa, integral har qanday qiymatda yo'qoladi, lekin keyin

Bu yadro sifatida potentsialning Furye konvertatsiyasi bilan kerakli integral tenglama. Albatta, (2.6) integral tenglamani (2.4) potentsialning Furye konvertatsiyasi mavjud bo'lgandagina olish mumkin; buning uchun, masalan, salohiyat katta masofalarda kamayishi kerak, hech bo'lmaganda, qaerda.

Shuni ta'kidlash kerakki, normalizatsiya holatidan

tenglik kelib chiqadi

Buni funktsiyani (2.1) ifodasini (2.7) ga almashtirish orqali ko'rsatish mumkin:

Agar bu erda biz avval integratsiyani bajarsak, u holda (2.8) munosabatni osongina olamiz.

Umumiy Shredinger tenglamasi. Statsionar holatlar uchun Shredinger tenglamasi

De-Broyl to'lqinlarining statistik talqini (216 § ga qarang) va Geyzenberg noaniqlik munosabati (5 215 ga qarang) kvant mexanikasidagi mikrozarrachalarning turli kuch sohalarida harakatini tavsiflovchi harakat tenglamasi quyidagi tenglama bo'lishi kerak degan xulosaga keldi. Bunda kuzatuvchilar zarrachalarning to'lqin xususiyatlarini boshdan kechiradilar. Asosiy tenglama r (x, y, z, t) to‘lqin funksiyasi uchun tenglama bo‘lishi kerak, chunki aynan shu, aniqrog‘i, |r| 2 , zarrachaning dV hajmda, ya'ni x va x+dx, y va y+dy, z va z+dz koordinatalari bo'lgan mintaqada t vaqtida qolish ehtimolini aniqlaydi. Kerakli tenglama zarrachalarning to'lqin xususiyatlarini hisobga olishi kerakligi sababli, u elektromagnit to'lqinlarni tavsiflovchi tenglamaga o'xshash to'lqin tenglamasi bo'lishi kerak.

Norelativistik kvant mexanikasining asosiy tenglamasi 1926 yilda E. Shredinger tomonidan tuzilgan. Shredinger tenglamasi fizikaning barcha asosiy tenglamalari kabi (masalan, klassik mexanikada Nyuton tenglamalari va elektromagnit maydon uchun Maksvell tenglamalari) kelib chiqmaydi, balki postulatsiyalangan. Bu tenglamaning to'g'riligi uning yordami bilan olingan natijalar tajribasi bilan kelishilganligi bilan tasdiqlanadi, bu esa, o'z navbatida, unga tabiat qonuni xarakterini beradi. Shredinger tenglamasi shaklga ega

bu yerda h=h/(2p), m zarraning massasi, ? Laplas operatori ( ),

i - xayoliy birlik, U (x, y, z, t) - zarraning u harakatlanadigan kuch maydonidagi potentsial funksiyasi, r (x, y, z, t ) - zarrachaning kerakli to'lqin funksiyasi.

(217.1) tenglama kichik (yorug'lik tezligiga nisbatan) tezlikda, ya'ni y tezlikda harakatlanuvchi har qanday zarracha (spin 0 ga teng; § 225 ga qarang) uchun amal qiladi.<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

doimiy bo'lishi kerak; 3) |r| funksiyasi 2 integral bo'lishi kerak; bu holat eng oddiy hollarda ehtimollarni normallashtirish shartiga tushadi (216.3).

Shredinger tenglamasiga kelish uchun, de Broyl g'oyasiga ko'ra, tekis to'lqin bilan bog'langan erkin harakatlanuvchi zarrachani ko'rib chiqamiz. Oddiylik uchun biz bir o'lchovli ishni ko'rib chiqamiz. X o'qi bo'ylab tarqaladigan tekis to'lqin tenglamasi (154-§ ga qarang)

Yoki murakkab yozuvda . Shuning uchun de Broyl tekislik to'lqini shaklga ega

(217.2)

(? = E/h, k=p/h ekanligini hisobga olgan holda). Kvant mexanikasida ko'rsatkich minus belgisi bilan olinadi, lekin faqat |r| 2, keyin bu (qarang (217.2)) ahamiyatsiz. Keyin

,

; (217.3)

Energiya E va impuls p (E = p 2 / (2m)) va o'rnini bosuvchi ifodalar (217.3) o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalanib, biz differentsial tenglamani olamiz.

U = 0 holati uchun (217.1) tenglamaga to'g'ri keladi (biz erkin zarrachani ko'rib chiqdik).

Agar zarracha potentsial energiya U bilan tavsiflangan kuch maydonida harakat qilsa, u holda umumiy energiya E kinetik va potentsial energiyalarning yig'indisidir. E va p o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalangan holda shunga o'xshash mulohazalarni amalga oshiramiz (bu holda, p 2 / (2m) = E - U), biz (217.1) ga to'g'ri keladigan differentsial tenglamaga aylanamiz.

Yuqoridagi mulohazalarni Shredinger tenglamasining hosilasi sifatida qabul qilmaslik kerak. Ular faqat bu tenglamaga qanday erishish mumkinligini tushuntiradilar. Shredinger tenglamasining to'g'riligining isboti - u olib keladigan xulosalar tajribasi bilan muvofiqligi.

(217.1) tenglama umumiy Shredinger tenglamasidir. U vaqtga bog'liq Shredinger tenglamasi deb ham ataladi. Mikrokosmosda sodir bo'ladigan ko'plab jismoniy hodisalar uchun (217.1) tenglamani r ning vaqtga bog'liqligini yo'q qilish orqali soddalashtirish mumkin, boshqacha qilib aytganda, statsionar holatlar uchun Shredinger tenglamasini topish - o'zgarmas energiya qiymatlari. Agar zarracha harakatlanadigan kuch maydoni statsionar bo'lsa, bu mumkin, ya'ni U = U(x, y, z) funktsiyasi. ) aniq vaqtga bog'liq emas va potentsial energiya ma'nosiga ega. Bunda Shredinger tenglamasining yechimini ikkita funktsiyaning mahsuloti sifatida tasvirlash mumkin, ulardan biri faqat koordinatalar, ikkinchisi faqat vaqt funktsiyasi, vaqtga bog'liqlik esa omil bilan ifodalanadi.

,

qaerda E - statsionar maydon holatida doimiy bo'lgan zarrachaning umumiy energiyasi. (217.4) ni (217.1) ga almashtirsak, olamiz

demak, umumiy koeffitsient e – i (E/ h) t ga bo‘lingandan va tegishli o‘zgarishlardan so‘ng ps funksiyani aniqlovchi tenglamaga kelamiz:

(217.5)

(217.5) tenglama statsionar holatlar uchun Shredinger tenglamasi deb ataladi.

Bu tenglamaga parametr sifatida zarrachaning umumiy energiyasi E kiradi. Differensial tenglamalar nazariyasida bunday tenglamalar cheksiz ko'p yechimlarga ega bo'lib, ulardan chegaraviy shartlar qo'yish orqali fizik ma'noga ega bo'lgan yechimlar tanlanishi isbotlangan. Shredinger tenglamasi uchun bunday shartlar to‘lqin funksiyalarining qonuniyat shartlari hisoblanadi: to‘lqin funksiyalari birinchi hosilalari bilan birga chekli, bir qiymatli va uzluksiz bo‘lishi kerak. Shunday qilib, faqat ps muntazam funktsiyalari bilan ifodalangan echimlar . Ammo muntazam echimlar E parametrining hech qanday qiymatlari uchun emas, balki faqat ularning ma'lum bir to'plami uchun amalga oshiriladi, bu berilgan muammoga xosdir. Ushbu energiya qiymatlari ichki deb ataladi. Energiyaning o'ziga xos qiymatlariga mos keladigan echimlar o'z funktsiyalari deb ataladi. E xos qiymatlari uzluksiz yoki diskret qatorni tashkil qilishi mumkin. Birinchi holda, uzluksiz yoki uzluksiz spektr, ikkinchisida diskret spektr haqida gapiriladi.

De Broylning zarrachalarning to'lqin xususiyatlari haqidagi g'oyasini ishlab chiqishda Shredinger 1926 yilda tenglamani oldi.

104. (20)

Bu erda m - zarrachaning massasi, tasavvur birligi, U - zarraning potensial energiyasi, D - Laplas operatori [qarang (1.10)].

Shredinger tenglamasining yechimi zarrachaning mikroholatini va uning to‘lqin xossalarini tavsiflovchi Y(x, y, z, t) to‘lqin funksiyasini topish imkonini beradi.

Agar tashqi kuchlar maydoni vaqt bo'yicha doimiy bo'lsa (ya'ni, statsionar), u holda U t ga aniq bog'liq emas. Bunda (20) tenglamaning yechimi ikki omilga bo‘linadi

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)

Statsionar holatda Shredinger tenglamasi shaklga ega

(22)

bu erda E, U - umumiy va potentsial energiya, m - zarracha massasi.

Shuni ta'kidlash kerakki, tarixan "to'lqin funktsiyasi" nomi ushbu funktsiyani aniqlaydigan (20) yoki (22) tenglama to'lqin tenglamalari shakliga tegishli ekanligi sababli paydo bo'lgan.

104. Vodorod atomi va vodorodga o'xshash "atomlar" (He +, Li 2+ va boshqalar) eng oddiy kvant mexanik tizimlar sifatida: kvant holatlari, to'lqin funksiyasining radial va burchakli komponentlari, orbital simmetriya.

Rezerford o'z tadqiqotlariga asoslanib, 1911 yilda yadro qurolini taklif qildi (sayyoraviy) atom modeli. Bu modelga ko'ra elektronlar musbat yadro atrofida yopiq orbitalarda harakatlanib, atomning elektron qobig'ini hosil qilib, chiziqli o'lchamlari 10 -10 m ga teng bo'lgan mintaqada yadro zaryadi Ze(Z-- Mendeleyev tizimidagi elementning seriya raqami, e -.elementar zaryad), hajmi 10 -15 - 10 -14 m, massasi deyarli atom massasiga teng. Atomlar neytral bo'lgani uchun yadro zaryadi elektronlarning umumiy zaryadiga teng, ya'ni yadro atrofida aylanishi kerak. Z elektronlar.

vodorod atomi va vodorodga o'xshash tizimlar- bular Ze zaryadli yadro va bitta elektrondan tashkil topgan tizimlardir (masalan, He +, Li 2+ ionlari).

Vodorod atomi uchun elektronning energiya darajalari (shuningdek, vodorodga o'xshash tizimlar: geliy ioni He + , ikki marta ionlangan litiy Li + + va boshqalar) muammosini hal qilish elektronlar harakati muammosiga tushiriladi. Yadroning kulon maydoni.

Elektronning zaryadli yadro bilan o'zaro ta'sirining potentsial energiyasi Ze(vodorod atomi uchun Z=1),

qayerda r elektron va yadro orasidagi masofa. Grafik funktsiya U(r) shakldagi qalin egri chiziq bilan tasvirlangan. 6, cheksiz kamayib borayotgan (ortib borayotgan. modul). r, ya'ni elektron yadroga yaqinlashganda.

Vodorod atomidagi elektronning holati (1) qiymatni hisobga olgan holda statsionar Shredinger tenglamasini qanoatlantiradigan to'lqin funktsiyasi r bilan tavsiflanadi:"

, (2)

qayerda m elektronning massasi, E atomdagi elektronning umumiy energiyasidir.

Bu VDPA ning vodorodga o'xshash atomining elektroni uchun statsionar Shredinger tenglamasi deb ataladi.

1. Energiya. Differensial tenglamalar nazariyasida (2) turdagi tenglamalar faqat energiyaning xos qiymatlari uchun r to'lqin funktsiyasining yagonaligi, chekliligi va uzluksizligi talablariga javob beradigan echimlarga ega ekanligi isbotlangan.

(n= 1, 2, 3,…), (3)

ya'ni, salbiy energiya qiymatlarining diskret to'plami uchun.

Shunday qilib, cheksiz baland "devorlarga" ega bo'lgan "potentsial quduq" misolida bo'lgani kabi, vodorod atomi uchun Shredinger tenglamasining yechimi diskret energiya darajalarining paydo bo'lishiga olib keladi. Mumkin qiymatlar E 1 , E 2 , E 3, ... rasmda ko'rsatilgan. 6 gorizontal chiziqlar sifatida. Eng past daraja E 1 minimal mumkin bo'lgan energiyaga mos keladi, - Asosiy, boshqa ( E n >E 1, n = 2, 3,…) – hayajonlangan. Da E < 0 движение электрона является bog'liq u giperbolik "potentsial quduq" ichida. Rasmdan kelib chiqadiki, bosh kvant soni ortib boradi P energiya darajalari yaqinroq bo'ladi n=? E ? = 0. Qachon E> 0 elektronning harakati ozod; kontinuum hududi E >0(6-rasmda soyali) mos keladi ionlangan atom. Vodorod atomining ionlanish energiyasi

E i = - E 1 = men 4 / (8h 2 e 0 2) = 13,55 eV.

2. Kvant sonlari. Kvant mexanikasida Shredinger tenglamasi (2) xos funksiyalar bilan qanoatlantirilishi isbotlangan. , uchta kvant soni bilan aniqlanadi: asosiy P, orbital l va magnit m l.

Asosiy kvant soni n, (3) ga ko'ra, atomdagi elektronning energiya darajalarini aniqlaydi va bittadan boshlab har qanday butun qiymatlarni qabul qilishi mumkin: