Tenglama (10.2) elektrostatik maydonning potentsiali va bu maydonning kuchi o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Ushbu tenglamadan potentsial va zaryad zichligi o'rtasidagi bog'liqlikni olish mumkin. Buning uchun siz ushbu tenglamaning ikkala qismining farqini shakllantirishingiz kerak va keyin (6.5) formuladan foydalaning:

Vektor tahlili qoidalariga muvofiq [qarang. tenglama (40)

shuning uchun (11.1) tenglama quyidagicha yozilishi mumkin:

Bu differentsial tenglama Puasson tenglamasi deb ataladi. Maydonning elektr zaryadlari bo'lmagan qismlarida

Bu tenglama quyidagilarga aylanadi:

Puasson tenglamasining bu maxsus shakli Laplas tenglamasi deb ataladi.

Puasson tenglamasi, agar bu zaryadlarning joylashuvi ma'lum bo'lsa, fazoviy zaryadlar maydonining potentsialini aniqlash imkonini beradi. Ushbu differensial tenglamaning yechimi (integrali) (ma'lum chegara sharoitida) biz ilgari olingan formula (8.8) bilan aniq mos kelishi kerak:

Quyida biz buni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash orqali isbotlaymiz. Hozircha shuni ta'kidlaymizki, ba'zi muammolarni hal qilish uchun (8.8) integraldan emas, balki to'g'ridan-to'g'ri (11.3) differensial tenglamadan harakat qilish qulayroqdir.

Misol. Vakuumdagi ikkita cheksiz yassi elektrodlar orasidagi termion tokning zichligini aniqlang. Puasson tenglamasini qo'llashning ushbu misoli elektrostatikadan emas, balki oqim nazariyasidan olingan va katod (kuchaytiruvchi) lampalar nazariyasi uchun katta ahamiyatga ega.

Ma'lumki, qizdirilgan metallar o'z yuzasidan erkin elektronlar oqimini atrofdagi bo'shliqqa chiqaradi. Agar ikkita metall elektrodga ma'lum potentsial farq qo'llanilsa va manfiy elektrod (katod) qizdirilsa, u holda qizdirilgan katod tomonidan doimiy ravishda chiqariladigan elektronlar musbat elektrod (anod) yuzasiga tortiladi. Katoddan anodga o'tadigan elektronlar oqimi elektr tokiga teng. Bu oqim termion deb ataladi.

Dekart koordinatalarining o'qlarini shunday tanlaymizki, ularning kelib chiqishi katodda, x o'qi esa elektrodlar tekisligiga perpendikulyar va anod tomon yo'naltiriladi. Biz katod potentsialini nolga teng, anod potentsialini esa teng olamiz Simmetriya nuqtai nazaridan, ekvipotensial sirtlar elektrodlarga parallel ekanligi aniq, shuning uchun elektrodlar orasidagi bo'shliqda Puasson tenglamasi shaklni oladi.

Agar katoddan x masofada joylashgan elektrodlar orasidagi bo'shliqda hajm birligiga to'g'ri keladigan elektronlar soni va elektron zaryadining mutlaq qiymati bilan belgilasak, u holda 1 ga teng bo'lgan zaryad zichligi.

bu masofa bo'ladi:

Oddiylik uchun, katod tomonidan chiqarilgan elektronlar uning sirtini tark etganda boshlang'ich tezligiga ega emasligini taxmin qilaylik. Katoddan anodga boradigan yo'lda elektr maydonining kuchlari zaryadning elektronlarida ishlaydi - bu elektronlar harakatining kinetik energiyasiga aylanadi. Elektron tezligini katoddan x masofada va bir xil masofadagi potentsial orqali belgilab, biz olamiz

bu erda 771 elektron massasi. Nihoyat, elektr tokining zichligi, ya'ni oqimga perpendikulyar bo'lgan maydon bo'ylab vaqt birligida oqadigan zaryad (ya'ni, o'qga perpendikulyar maydon aniq:

chunki bu maydon orqali vaqt birligida o'tadigan elektronlar soni mavjud. Oqim zichligidan farqli o'laroq, u x ga bog'liq bo'lmagan doimiy qiymatdir, chunki statsionar holatga kelganda, aniqki, bir xil miqdordagi elektronlar elektrodlarga parallel bo'lgan har qanday tekislikdan o'tadi.

(11.5) tenglamadan birinchidan tashqari barcha noma'lum x funksiyalarni chiqarib tashlaylik

Ammo (11.6) dan shunday xulosa chiqadi

anavi,

A belgisini kiritamiz - biz olamiz

Muammoning shartiga ko'ra, katodda yo'q bo'lib ketadigan va qo'shimcha ravishda shartni qondiradigan ushbu differensial tenglamaning echimlaridan almashtirish yo'li bilan tekshirish oson.

Agar biz anoddan katodgacha bo'lgan masofani I orqali belgilasak, u holda potentsialda Shuning uchun,

Shunday qilib, termion oqim zichligi Ohm qonuniga bo'ysunmaydi, lekin elektrodlarga qo'llaniladigan kuchlanishning 3/2 kuchiga mutanosib ravishda va ular orasidagi masofaning kvadratiga teskari o'sadi. Termionik oqim qonunlari va metallardagi oqim qonunlari o'rtasidagi bu farq ikki xil sabablarga bog'liq. Birinchidan, metallardagi elektronlar metallning qattiq skeletini tashkil etuvchi musbat ionlar bilan to'qnashadi va shu sababli ular vakuumda harakatlanayotganda yo'q bo'lgan harakatiga qarshilik ko'rsatadilar 1). Ikkinchidan, termion oqim bilan elektrodlar orasidagi bo'shliqda faqat erkin elektronlar mavjud bo'lib, ularning zaryadi metallarda bo'lgani kabi musbat ionlarning zaryadi bilan qoplanmaydi, buning natijasida bu maydon hosil bo'ladi. "kosmik zaryad" deb ataladigan elektrodlar maydonini buzadi.

E'tibor bering, (11.9) formula yuqori oqim zichligida o'z kuchini to'xtatadi 2). Anod potentsialining oshishi bilan, katod tomonidan chiqarilgan barcha elektronlar darhol anodga tortilganda bir lahza keladi. Anod potentsialining yanada oshishi aniq oqim zichligining oshishiga olib kelishi mumkin emas, bu esa doimiy qiymatga (to'yinganlik oqimi) etadi.

Masala 10. Fazodagi berilgan nuqtaning biron bir ixtiyoriy tanlangan boshlang’ich nuqtasidan masofasi skalar ekanligini ko’rsating.

Laplas tenglamasini qanoatlantiradi

Nuqta e'tiborga olinmaydi.

Masala 11. Qalinligi 2a bo‘lgan cheksiz yassi plita bir xilda massaviy zichlikka ega bo‘lgan elektr toki bilan zaryadlangan.X o‘qi plastinkaga perpendikulyar, koordinatalarning kelib chiqishi mediana tekislikda, plastinkaning har ikki yuzasidan teng masofada joylashgan. Plastinaning ichidagi va tashqarisidagi maydonning potentsiallari mos ravishda teng ekanligini ko'rsating:

va vektor median tekislikdan x o'qi bo'ylab yo'naltirilgan va son jihatdan teng:

Bu holatni cheksiz zaryadlangan tekislikning cheklovchi holati bilan solishtiring (§ 4).

Masala 12. Sferik koordinatalarda Puasson tenglamasiga asoslanib, hajmi bo‘yicha bir xil zaryadlangan sharning maydon potensialini toping [formula (8.12)].

Potensial uchun differensial tenglamaning yechimi maydon kuchini topishning eng qulay usuli hisoblanadigan holatlar ko'p. Uni olgandan so'ng, biz Ostrogradskiy-Gauss teoremasini differentsial shaklda qo'llaymiz:

bu yerda r - zaryad taqsimoti zichligi, e 0 - elektr konstantasi, d i v E -> = ? -> E -> = ? E x ? x + ? E y ? y + ? E z ? z - quvvat vektorining divergensiyasi va maydon kuchi va salohiyati bilan bog'liq ifoda.

Keling, (1) ga (2) almashtirishni amalga oshiramiz:

d i v g r a d ph = ? 2 ph = ? 2 ph ? x 2 + ? 2 ph ? y 2 + ? 2 ph ? z 2 ekanligini e’tiborga olsak, bu yerda ? = ? 2 ko‘rinishda e sifat (La3) bo‘ladi:

(4) ifoda vakuum uchun Puasson tenglamasi deb ataladi. Hech qanday to'lovsiz u Laplas tenglamasi sifatida yoziladi:

Potensialni topgach, (2) yordamida intensivlikni hisoblashga o'tamiz. Puasson tenglamasining yechimlari quyidagi talablarga javob berishi kerak:

• uzluksiz funksiya sifatida potentsial qiymat;
• potentsial chekli funktsiya bo'lishi kerak;
• koordinatalarning funksiyasi sifatida potentsialning hosilalari chekli bo'lishi kerak.

V hajmda konsentrlangan zaryadlar mavjud bo'lganda (4) tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishdagi potentsial uchun ifodalanadi:

Ta'rif 1

Elektrostatikaning umumiy muammosi differensial tenglama, ya’ni yuqoridagi talablarni qanoatlantiradigan Puasson tenglamasining yechimini topishga keltiriladi. Nazariy hisob-kitoblar kam sonli maxsus holatlar uchun ma'lum. Agar shartlarni qanoatlantiradigan ph funktsiyani tanlash mumkin bo'lsa, u yagona echimdir.

Bunday muammolarda har doim ham butun fazoda zaryadlar yoki potentsiallarni ko'rsatish kerak emas. Supero'tkazuvchi qobiq bilan o'ralgan bo'shliqdagi elektr maydonini topish uchun uning ichidagi jismlarning maydonini hisoblash kifoya.

Chegaralangan maydonning Puasson tenglamasining har qanday yechimi yechimning xatti-harakatiga yuklangan chegara shartlari bilan aniqlanishi mumkin. Bir muhitdan ikkinchisiga o'tish chegaralari bajarilishi kerak bo'lgan shartlarga ega:

E 2 n - E 1 n = 4 p s, yoki ? ph 1 ? n - ? ph 2 ? n = 0.

E 1 t = E 2 t.

bu yerda s - erkin zaryadlarning sirt bo'shlig'i, n - muhitning 1 dan 2 gacha chizilgan interfeysga nisbatan normalning birlik vektori, t - interfeysga teguvchi birlik vektor.

Bu tenglamalar quvvat vektorining normal komponentlaridagi sakrashni va har qanday zaryadlangan yuzadan o'tayotganda elektr maydon kuchlari vektori tangensining uzluksizligini, uning shaklidan va undan tashqarida zaryadlarning mavjudligi yoki yo'qligidan qat'iy nazar ifodalaydi.

Sferik, qutbli va silindrik koordinatalarda Puasson tenglamasi

Tenglamani dekart koordinatalari, shuningdek, sferik, silindrsimon, qutbli yordamida yozish mumkin.

Sferik r, th, y mavjud bo'lganda, Puasson tenglamasi quyidagicha yoziladi:

1 r 2 ? ? r r 2 ? ph ? r + 1 r 2 sin th ? th sin th ? ph ? th + ? 2 ph r 2 sin 2 th ? -ph12.

Polar r, thda:

1 r ? ? r r ? ph ? r + ? 2 ph r 2 ? th 2 = - 1 e 0 r.

Silindrsimon r, y, z da:

1 r ? ? r r ? ph ? r + ? 2 ph ? z 2 + ? 2 ph r 2 ? y 2 = - 1 e 0 r.

1-misol

Radiuslari r 1 va r 2 va mavjud potentsiallar farqi ? U = ph 1 - ph 2 bo'lgan koaksiyal tsilindrlar orasidagi maydonni toping.

Rasm 1

Yechim

Eksenel simmetriyani hisobga olgan holda, silindrsimon koordinatalar bilan Laplas tenglamasini tuzatish kerak:

1 r ? ? r r ? ph ? r = 0.

Eritma ph = - A ln (r) + B ko'rinishga ega. Buning uchun kerakli tsilindrda nol potentsialni tanlang, so'ngra:

ph (r 2) \u003d 0 \u003d - A ln r 2 + B, shuning uchun

ph (r 1) = ? U = - A ln r 1 + B , biz quyidagilarni olamiz:

A = ? U ln r 2 r 1.

Konvertatsiya qilinganidan keyin:

ph (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2.

Javob: ikkita koaksiyal tsilindrli maydon ph (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2 funksiyasi bilan berilishi mumkin.

2-misol

Radiusi R va hajm zaryadi zichligi r bo‘lgan cheksiz dumaloq silindr hosil qiluvchi maydonning potensialini toping. Puasson tenglamasidan foydalaning.

Yechim

Z o'qini silindrning o'qi bo'ylab yo'naltirish kerak. Ko'rinib turibdiki, silindrsimon zaryad taqsimoti eksenel simmetrik, potentsial bir xil simmetriyaga ega, boshqacha qilib aytganda, r ning silindr o'qidan masofa bo'lgan ph (r) funktsiyasi deb hisoblanadi. Yechim silindrsimon koordinatalar tizimidan foydalanadi. Undagi Puasson tenglamasi quyidagicha yoziladi:

ph 2 = C 2 ln r + C "2.

C 1 , C " 1 , C 2 , C " 2 - integratsiya konstantalari. Bizda barcha nuqtalarda potentsial chekli bo'lishi kerak va l i m r -> 0 ln r = ? . Bundan kelib chiqadiki, C 1 = 0. Keyinchalik, ph 1 (0) = 0 sharti yordamida potentsialni normallashtirish kerak. Biz C "1 = 0 ni olamiz.

Sirt zaryadlari yo'q, shuning uchun to'p yuzasida elektr maydon kuchi uzluksizdir. Demak, potentsialning hosilasi ham xuddi potensialning o'zi kabi r = R uchun uzluksizdir. Shartlar asosida siz C 2, C "2 ni topishingiz mumkin:

C 2 ln R + C "2 = - 1 4 r e 0 R 2.

C 2 R = - 1 2 r e 0 R.

Shunday qilib, olingan ifodalar quyidagicha yoziladi:

Javob: maydon potentsiali:

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Gauss teoremasi faqat oddiy konfiguratsiya jismlari uchun amal qiladi. Puasson - Laplas tenglamasi ancha murakkab masalalarni yechishga imkon beradi, bu tenglamalar barcha statsionar maydonlarda ham elektr, ham magnit maydonlarida qo'llaniladi.

Divergentsiya belgisi uchun "-" belgisini chiqaramiz:

.

Keling, almashtiramiz div va grad ustida :

.

Puasson tenglamasi;

– Laplas tenglamasi;

- Laplas.

Dekart koordinata tizimida:

– Laplas tenglamasi;

Puasson tenglamasidir.

Agar a faqat 1-koordinataga bog'liq bo'lsa, u holda masala shu koordinata ustidan 2 marta integrallash yo'li bilan yechiladi, 2 yoki undan ortiq koordinatalar bilan tenglamani yechishning maxsus usullari mavjud: to'r usuli, hisoblashning son usuli.

Yechimning yagonaligi teoremasi

Elektr maydonini tavsiflovchi Puasson-Laplas tenglamasi qisman differentsial tenglamadir. Shuning uchun, bir-biridan mustaqil ko'plab echimlar mavjud.

Yechim uchun yagonalik teoremasi mavjud:

Puasson-Laplas tenglamasini qanoatlantiradigan butun funksiyalar to‘plamidan faqat bittasi chegaraviy shartlarni qondiradi.

Buning ikkita natijasi bor:

Agar zaryadlar chegara shartlari o'zgarmasligi uchun ikki muhit o'rtasidagi interfeysning boshqa tomonida qayta taqsimlansa, fazoning ba'zi qismidagi maydon o'zgarmaydi.

Ekvipotentsial sirt ikkinchisiga ma'lum bir potentsial berish orqali metall bilan almashtirilishi mumkin.

Oyna tasviri usuli

Agar elektr zaryadlari ikki xil bo'lmagan muhit chegarasiga yaqin joylashgan bo'lsa, u holda maydon vektorini sun'iy hisoblash usulini qo'llash orqali aniqlash mumkin, bu ko'zgu tasviri usuli deb ataladi.

Usulning g'oyasi shundan iboratki, bir jinsli bo'lmagan muhit o'rniga bir jinsli muhit ko'rib chiqiladi, bir xillik ta'siri esa uydirma zaryadlarni kiritish orqali hisobga olinadi, asosiy muammoning chegara shartlari yoziladi va ulardan foydalangan holda, kerakli maydon vektorlari topiladi. Ushbu usul oddiy shakldagi ikkita vosita orasidagi interfeysni hisoblash uchun eng qulaydir.

Ikki vosita orasidagi interfeysda hisoblash

O'tkazuvchi tekislik yaqinida joylashgan zaryadlangan o'qning maydoni

(Dielektrik - Supero'tkazuvchilar)

Zaryadlangan o'q o'tkazuvchi muhit yuzasiga parallel ravishda dielektrikda joylashgan. Yuqori yarim tekislikdagi (dielektrik) maydonning tabiatini aniqlash talab qilinadi.

Elektrostatik induksiya natijasida o'tkazuvchi jism yuzasida zaryadlar paydo bo'ladi. Ularning zichligi koordinataning o'zgarishi bilan o'zgaradi x. Bu to'lovlar maydonga ta'sir qiladi va ularning ta'sirini hisobga olish kerak. Elektrostatik induktsiya tufayli o'tkazuvchi jism yuzasida paydo bo'lgan zaryadlarning ta'sirini hisobga olish juda qiyin, chunki ularning o'tkazuvchi jism yuzasida tarqalish qonunini bilish kerak. Ushbu muammoni oyna tasviri usuli yordamida osongina hal qilish mumkin. Usulga ko'ra, o'tkazuvchi jism yuzasida joylashgan zaryadlarning ta'siri chegaraga nisbatan oyna tasvirida joylashgan xayoliy konsentrlangan zaryadni kiritish orqali hisobga olinadi, shu bilan birga butun bo'shliq dielektrik bilan to'ldirilgan deb taxmin qilinadi. . Xayoliy zaryad mutlaq qiymatida haqiqiyga teng va qarama-qarshi belgiga ega.

Keling, buni isbotlaylik. Ikki zaryaddan maydon kuchi
va
maydonning istalgan nuqtasida faqat chegaraga normal komponent (chegara sharti
). Har bir o'qning potentsiali Laplas tenglamasini qanoatlantiradi
(hisobning hosilasi. Bessonov BO. 42-bet (zaryadlangan o'qning potentsial formulasi silindrsimon koordinatalar tizimida Laplas tenglamasiga almashtirilgan)). Yechim uchun yagonalik teoremasiga asoslanib, natijada olingan yechim to'g'ri bo'ladi.

Zaryadlangan o'q o'tkazuvchi muhit yuzasiga parallel ravishda dielektrikda joylashgan. Elektrostatik maydonning kuchini va A nuqtadagi potentsialni aniqlash talab qilinadi.

Biz oyna tasvirlari usulini qo'llaymiz. Va biz superpozitsiya usuli yordamida A nuqtada maydon kuchi va potentsialini topamiz

;

;

;
.

nuqta uchun
:
.

Simning o'tkazgich yuzasiga tortish kuchini aniqlang:

.

Har xil o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan ikkita dielektrik o'rtasidagi tekis interfeys yaqinida joylashgan zaryadlangan o'qning maydoni

(Dielektrik - Dielektrik)

Bunday holda, interfeysda paydo bo'ladigan kompensatsiyalanmagan bog'langan zaryadlar ikkala sohadagi maydonga ta'sir qiladi; ularni hisobga olish uchun ikkita xayoliy zaryad kiritiladi. Bu masalada ikkita chegara sharti bajarilishi kerak.

a) Agar haqiqiy sim va o'rganilayotgan nuqta bir xil muhitda bo'lsa, u holda maydon ikkita zaryaddan hisoblanadi: haqiqiy. , butun bo'shliq dielektrik bilan to'ldirilgan bo'lib, unda o'rganilayotgan nuqta joylashgan.

b) Agar haqiqiy sim va o'rganilayotgan nuqta turli muhitda bo'lsa, u holda pastki yarim fazoning istalgan nuqtasidagi maydon qandaydir qo'shimcha zaryaddan maydon sifatida aniqlanadi. . Butun bo'shliq o'rganilayotgan nuqta joylashgan muhitning dielektri bilan to'ldiriladi.

Maydon kuchining tangensial komponentlarining tengligi shartidan:

.

Elektr siljish vektorining normal komponentlarining tenglik shartidan:

.

.

Birgalikda hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

;

;
.

Imzo bilan mos keladi agar
.

Imzo har doim shunday bo'ladi .

Zaryadlangan o'q boshqa dielektrik yuzasiga parallel ravishda dielektrikda joylashgan. Elektrostatik maydonning kuchini va A va B nuqtadagi potentsialni aniqlash uchun talab qilinadi
.

A nuqtani ko'rib chiqing. U zaryadlangan o'q bilan bir xil muhitda yotadi. Biz oyna aks ettirish usulidan foydalanamiz. Biz hamma narsani dielektrik o'tkazuvchanligi bo'lgan vosita bilan to'ldiramiz . Maydon ikkita zaryaddan hisoblanadi: haqiqiy va aks ettirilgan xayoliy zaryad . Biz oyna tasvirlari usulini qo'llaymiz. Superpozitsiya usuli yordamida A nuqtada maydon kuchi va potentsialini topamiz:

;

;

;
.

Keling, simlardan birining ostidagi interfeysda potentsial nolga teng bo'lgan nuqtani olaylik

.

B nuqtasini ko'rib chiqing. U zaryadlangan o'qga ega bo'lgan turli muhitlarda yotadi. Biz oyna aks ettirish usulidan foydalanamiz. Biz hamma narsani dielektrik o'tkazuvchanligi bo'lgan vosita bilan to'ldiramiz . Maydon xayoliy zaryaddan hisoblanadi , haqiqiy zaryad bo'lgan bir xil nuqtada joylashgan .

;

.

Eslatma: agar o'rganilayotgan nuqta sim yuzasida bo'lsa, u holda simdan o'rganilayotgan nuqtagacha bo'lgan masofa simning radiusiga teng bo'ladi.

Chegaraga yaqin nuqta zaryadi

Dielektrik - Supero'tkazuvchilar va Dielektrik - Dielektrik

Agar maydon zaryadlangan o'q bilan emas, balki nuqtaviy zaryad bilan yaratilgan bo'lsa, unda butun hisoblash tartibi saqlanib qoladi.

Dielektrik o'tkazgich interfeysi yaqinida nuqta zaryadi joylashgan. A nuqtadagi maydon kuchi va potentsialni toping.

O'quv maqsadlarida men Debay-Gyukkel tenglamasini chiqarishda qo'llanilgan tenglamalar haqida gapirmoqchiman. Bu Puasson tenglamasi va Boltsmann taqsimoti.

Puasson tenglamasi

Biz plazma muvozanat holatida kvazi-neytral ekanligini va harakatlanuvchi zaryadlardan elektr maydoni ta'sirida zaryadlangan zarralar Debay uzunligi bo'yicha siljishini va maydonning bu uzunlik ichida parchalanishini aniqladik. Elektrostatikada zaryadlangan zarralarning o'zaro ta'siri Kulon tenglamasi bilan tavsiflanadi:

O'zaro ta'sir qiluvchi nuqta zaryadlarining qiymatlari qayerda, bu zaryadlar orasidagi masofaning kvadrati. k koeffitsienti doimiydir. Agar tizimni CGS elektrostatik birliklarida ishlatsak, CGSEq bilan belgilanadi, u holda k = 1. Agar SI tizimi ishlatilsa, u holda , bu erda zaryadlar joylashgan muhitning dielektrik o'tkazuvchanligi 8,86 ? ga teng elektr doimiydir. .

Fizikada kuch to'g'ridan-to'g'ri ishlatilmaydi, lekin taqsimlangan zaryadlarning elektrostatik maydoni tushunchasi kiritiladi va maydon kattaligi bilan o'lchanadi. elektr maydon kuchi. Buning uchun maydonning har bir nuqtasiga bitta sinov zaryadi aqliy ravishda joylashtiriladi va zaryadlar maydoni sinov zaryadiga ta'sir qiladigan kuch o'lchanadi:

Demak, agar bu tenglamaga Kulon kuchini almashtirsak, quyidagilarga erishamiz:
Ammo fiziklar elektr maydonini to'liq tavsiflash uchun bu bilan ham cheklanmaydilar. Elektrostatik maydonga joylashtirilgan birlik zaryadni ko'rib chiqing. Maydon ushbu zaryadni P1 nuqtadan P2 nuqtasiga ds elementar masofaga ko'chirish ishini bajaradi:
Qiymat potentsial farq yoki kuchlanish deb ataladi. Voltaj voltlarda o'lchanadi. Minus belgisi bizga dalaning o'zi musbat zaryad birligini tashish uchun ish olib borayotganini aytadi. Zaryadlarni harakatga keltiruvchi kuchlar konservativdir, chunki zaryad qaysi yo'l bo'ylab harakatlanishidan qat'i nazar, yopiq yo'lda bajarilgan ish har doim nolga teng.

Bundan potentsial farqning chuqur ma'nosi kelib chiqadi. Agar biz P1 nuqtasini tuzatsak va zaryadni o'zgaruvchan P2 nuqtasiga o'tkazsak, u holda ish faqat ikkinchi P2 nuqtasining holatiga bog'liq. Shunday qilib, biz potentsial tushunchasini kiritishimiz mumkin. Potensial quvvat funksiyasi bo‘lib, zaryadni cheksizlikdan berilgan P2 nuqtaga o‘tkazish uchun maydon qancha ish qilish kerakligini ko‘rsatadi, bu yerda cheksizlikdagi potentsial shartli ravishda nolga teng.

Puasson tenglamasini tushunish uchun siz "maxsus" vektor matematikasini tushunishingiz kerak. Men maydon gradienti va divergensiya kabi tushunchalar haqida qisqacha gapirib beraman (o'quvchi matematik tahlil bilan tanish deb taxmin qilinadi)
f(x,y,z) koordinatalarning uzluksiz differentsiallanuvchi funksiyasi bo‘lsin. Fazoning har bir nuqtasida uning qisman hosilalarini bilib, x, y, z komponentlari mos keladigan qisman hosilalarga teng bo'lgan vektorni qurishingiz mumkin:

mos keladigan x, y, z o'qlarining birlik vektorlari qayerda. Belgi "nabla" deb o'qiladi va differentsial operator hisoblanadi
Bu operatorni matematikaga Hamilton kiritgan. Nabla yordamida siz umumiy ko'paytma, nuqta mahsuloti, o'zaro mahsulot va boshqalar kabi umumiy matematik operatsiyalarni bajarishingiz mumkin.

Endi elektrostatik maydonga qaytaylik E. Bir tomondan, bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o'tishda potentsialning o'zgarishi quyidagi ko'rinishga ega:

Boshqa tomondan, (*) formula bo'yicha
Hozirgina kiritilgan gradient tushunchasini qo'llagan holda, ushbu formula quyidagilarga aylantiriladi:
Endi maydon divergensiyasi kabi tushuncha bilan shug'ullanamiz. Ixtiyoriy shakldagi V cheklangan yopiq hajmni ko'rib chiqing (quyidagi rasmga qarang). Bu sirtning S maydonini belgilaymiz. Ushbu hajmdan chiqadigan F vektorining umumiy oqimi, ta'rifi bo'yicha, tengdir.
, bu erda da cheksiz kichik vektor bo'lib, uning kattaligi S sirtining kichik elementining maydoniga teng va yo'nalishi bu elementning tashqi normaliga to'g'ri keladi.
Keling, F vektorining bu oqimini olaylik va uni hajmga bo'linib, nolga moyil bo'lgan chegarani topamiz, ya'ni. biz hajmni cheksiz kichik nuqtaga qisqartiramiz.

Biz divergentsiya tushunchasiga keldik. Divergensiya div belgisi bilan belgilanadi va F vektor oqimining V hajmiga nisbati, V nolga intiladi.

Puasson tenglamasi qanday olinishini ko'rsatishdan oldin Gauss qonuni va Gauss teoremasini bilish kerak. Ichida q zaryadli sharni tasavvur qiling. Zaryad o'z atrofida E intensivlikdagi elektr maydonini hosil qiladi. E vektor oqimini oling

bu erda S - bizning sfera maydoni ga teng. Natijada
Bu Gauss qonuni bo'lib, u E elektr maydonining har qanday yopiq sirt orqali o'tishi sirt qoplagan umumiy zaryadning mahsulotiga teng ekanligini aytadi:
kosmik zaryad zichligi qayerda, ya'ni. birlik hajmdagi elektr zaryadining qiymati va bizning yopiq hajmimiz ichida ajratilgan elementar hajmdir.

Gauss teoremasi (to?liq nomi Gauss-Ostrogradskiy teoremasi) sof matematik divergensiya teoremasi. F vektorining umumiy oqimini quyidagicha qayta yozamiz:

Limitda, N -> ?, -> 0 bo'lganda, qavs ichidagi qiymat divergensiyaga aylanadi va yig'indi hajm integraliga aylanadi:
Bu Gauss teoremasi va haqiqatda maydon nazariyasining eng muhim formulasi. Keling, bu teoremani elektrostatik maydonga tatbiq qilaylik. Bir tomondan, Gauss qonuniga ko'ra
Va boshqa tomondan, Gauss teoremasiga ko'ra (shunchaki teoremani Gauss qonuni bilan aralashtirib yubormang):
Oxirgi ikkita tenglamani birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
Formulani (**) eslang va bu erda E o'rniga maydonning potentsialini almashtiring
Gradient divergensiyasi yangi operator bo'lib, matematikada Laplas operatori yoki qisqacha Laplas operatori deb ataladi. Laplacian nabla belgisi bilan quyidagicha belgilanadi va ga teng
Oldingi formulani Laplas shaklida qayta yozamiz:
Va nihoyat, bizda Puasson tenglamasi mavjud. Birinchi maqolada bu tenglama muhitning dielektrik o'tkazuvchanligini hisobga olgan holda biroz boshqacha shaklda edi. SI tizimidagi Kulon kuchini eslang, doimiylik mavjud. Shunga ko'ra, Gauss qonunida emas, balki koeffitsient bo'ladi. Shunday qilib, biz avvalgi maqolada keltirilgan shaklda Puasson tenglamasini olamiz
Shunday qilib, mohiyatan Puasson tenglamasi vektor differensial tahlili yozuvida boshqacha ko'rinishda qayta yozilgan Kulon qonuni (aniqrog'i, Gauss qonuni).

Biz matematik statistikadan muhim taqsimotni - Boltsman taqsimotini tahlil qilamiz.

Teglar:

• fizika
• elektrostatika

Teglar qo'shing

Puasson va Laplas tenglamalari elektrostatikaning asosiy tenglamalari hisoblanadi. Ular Gauss teoremasidan differentsial shaklda kelib chiqadi. Darhaqiqat, bu ma'lum E = - grad j. Shu bilan birga, Gauss teoremasiga ko'ra

(11.22) o?rniga E dan (11.7). Oling

.

Divergensiya belgisidan minusni chiqaramiz

.

Yozish o'rniga gradj, uning ekvivalentini ?j yozamiz. Keling, div o'rniga ? yozamiz. Keyin

(11.27) tenglama Puasson tenglamasi deyiladi. Puasson tenglamasining r svb =0 bo'lgan muayyan shakli Laplas tenglamasi deyiladi. Laplas tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Operator Laplas operatori yoki Laplas operatori deb ataladi va ba'zan D belgisi bilan ham belgilanadi. Shuning uchun siz ba'zan Puasson tenglamasini yozishning ushbu shaklini topishingiz mumkin:

Keling, uni Dekart koordinata tizimida ochamiz. Buning uchun ikkita omil ko'paytmasini ? va kengaytirilgan shaklda yozamiz

Biz muddatga ko'paytirishni bajaramiz va olamiz

.

Shunday qilib, Dekart koordinata tizimidagi Puasson tenglamasi quyidagicha yoziladi:

. (11.29)

Dekart koordinatalaridagi Laplas tenglamasi

. (11.30)

Silindrsimon koordinatalar sistemasida ? 2 j ifodani hosilasiz beramiz

, (11.31)

sferik koordinatalarda (11.32)

Puasson tenglamasi ning ikkinchi tartibli qisman hosilalari orasidagi munosabatni beradi j maydonning istalgan nuqtasida va maydonning ushbu nuqtasida erkin zaryadlarning hajmli zichligi. Shu bilan birga, potentsial j maydonning istalgan nuqtasida, albatta, faqat berilgan nuqtada joylashgan erkin zaryadning kattaligiga emas, balki maydonni yaratuvchi barcha zaryadlarga bog'liq.

Laplas tenglamasi (1780) dastlab osmon mexanikasidagi potentsial maydonlarni tavsiflash uchun qo'llanilgan va keyinchalik elektr maydonlarini tasvirlash uchun ishlatilgan. Puasson tenglamasi 1820 yildan boshlab potentsial maydonlarni (elektr va magnit) o'rganish uchun qo'llaniladi.

Puasson tenglamasining yechimini umumiy shaklda qanday yozish mumkinligi haqidagi savolni ko'rib chiqing. Ovozni kiriting V hajm (r), sirt (s) va chiziqli (t) zaryadlar mavjud. Biz bu to'lovlarni ball to'lovlari yig'indisi sifatida ifodalaymiz rdv, sds, tdl; dV- hajm elementi, ds- zaryadlangan sirt elementi, dl- zaryadlangan o'qning uzunlik elementi. Potentsial komponent dj dan uzoqda bo'lgan kosmosning bir nuqtasida rdV masofada R, formulaga muvofiq (11.20) ga teng

Yuzaki potentsialning tarkibiy qismlari va chiziqli zaryadlar, ularni nuqta sifatida ko'rib, biz shunga o'xshash tarzda aniqlaymiz:

To'liq qiymat j maydondagi barcha zaryadlardan potentsial komponentlarining yig'indisi (integral) sifatida aniqlanadi:

. (11.33)

Formulada (11.33) r,s va t radius funksiyalari mavjud R. Amalda, (11.33) formula kamdan-kam qo'llaniladi, chunki taqsimot s yuzada t uzunligi va r hajmida elektrodlarning konfiguratsiyasiga murakkab tarzda bog'liq va, qoida tariqasida, hisoblashdan oldin noma'lum. Boshqacha qilib aytganda, qanday qilib noma'lum r, s va t radiusga bog'liq R.

Chegara shartlari

Chegaraviy shartlar - bu turli xil elektr xususiyatlariga ega bo'lgan muhitlar orasidagi interfeyslarda maydon bo'ysunadigan shartlar. "O'tkinchi jarayonlar" bo'limini o'rganishda dastlabki shartlar va kommutatsiya qonunlari masalasi juda katta ahamiyatga ega edi. Dastlabki shartlar va kommutatsiya qonuniyatlari klassik usulda muammolarni yechishda integrasiya konstantalarini aniqlash imkonini berdi. Klassik usulda ular aniq, operator usulida yashirin shaklda ishlatilgan. Ulardan foydalanmasdan, vaqtinchalik jarayonlar uchun biron bir vazifani hal qilish mumkin emas.

Elektr (va boshqa har qanday) maydondagi chegaraviy shartlarning roli bilan vaqtinchalik jarayonlarda boshlang'ich shartlar va o'tish qonunlarining roli o'rtasida parallellik o'tkazish mumkin. Laplas (yoki Puasson) tenglamasini integrallashda integrasiya konstantalari yechimga kiradi. Ular chegara shartlari asosida aniqlanadi. Chegaraviy shartlarni batafsil muhokama qilishdan oldin, elektrostatik sharoitda o'tkazuvchi jism ichidagi maydon haqidagi savolni ko'rib chiqaylik.