Kur zgjidhni shum? problemet e matematik?s, sidomos ato q? ndodhin para klas?s 10, ?sht? e p?rcaktuar qart? radha e veprimeve t? kryera q? do t? ?ojn? te q?llimi. Probleme t? tilla p?rfshijn?, p?r shembull, ekuacionet lineare dhe kuadratike, pabarazit? lineare dhe kuadratike, ekuacionet fraksionale dhe ekuacionet q? reduktohen n? ato kuadratike. Parimi i zgjidhjes s? suksesshme t? secil?s prej detyrave t? p?rmendura ?sht? si vijon: ?sht? e nevojshme t? p?rcaktohet se cilit lloj i p?rket problemi q? zgjidhet, mbani mend sekuenc?n e nevojshme t? veprimeve q? do t? ?ojn? n? rezultatin e d?shiruar, d.m.th. p?rgjigjuni dhe ndiqni k?to hapa.

Natyrisht, suksesi ose d?shtimi n? zgjidhjen e nj? problemi t? caktuar varet kryesisht nga sa sakt? p?rcaktohet lloji i ekuacionit q? zgjidhet, sa sakt? riprodhohet sekuenca e t? gjitha fazave t? zgjidhjes s? tij. Natyrisht, n? k?t? rast, ?sht? e nevojshme t? keni aft?si p?r t? kryer transformime dhe llogaritje identike.

Nj? situat? e ndryshme ndodh me ekuacionet trigonometrike. Nuk ?sht? e v?shtir? t? p?rcaktohet fakti q? ekuacioni ?sht? trigonometrik. V?shtir?sit? lindin gjat? p?rcaktimit t? sekuenc?s s? veprimeve q? do t? ?onin n? p?rgjigjen e sakt?.

Ndonj?her? ?sht? e v?shtir? t? p?rcaktohet lloji i tij nga pamja e nj? ekuacioni. Dhe pa e ditur llojin e ekuacionit, ?sht? pothuajse e pamundur t? zgjedh?sh at? t? duhurin nga disa dhjet?ra formula trigonometrike.

P?r t? zgjidhur ekuacionin trigonometrik, duhet t? provojm?:

1. sillni t? gjitha funksionet e p?rfshira n? ekuacion n? "t? nj?jtat k?nde";
2. sillni ekuacionin n? "funksionet e nj?jta";
3. faktorizoni an?n e majt? t? ekuacionit etj.

Konsideroni metodat baz? p?r zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

I. Reduktimi n? ekuacionet m? t? thjeshta trigonometrike

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Shprehni funksionin trigonometrik me komponent? t? njohur.

Hapi 2 Gjeni argumentin e funksionit duke p?rdorur formulat:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n harksin a + pn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n Є Z.

Hapi 3 Gjeni nj? ndryshore t? panjohur.

Shembull.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

Zgjidhje.

1) cos(3x - p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

P?rgjigje: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. Z?vend?simi i ndryshuesh?m

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Sillni ekuacionin n? nj? form? algjebrike n? lidhje me nj? nga funksionet trigonometrike.

Hapi 2 Sh?noni funksionin q? rezulton me ndryshoren t (n?se ?sht? e nevojshme, vendosni kufizime n? t).

Hapi 3 Shkruani dhe zgjidhni ekuacionin algjebrik q? rezulton.

Hapi 4 B?ni nj? z?vend?sim t? kund?rt.

Hapi 5 T? zgjidh? ekuacionin trigonometrik m? t? thjesht?.

Shembull.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Zgjidhje.

1) 2 (1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Le t? sin (x/2) = t, ku |t| <= 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ose e = -3/2 nuk e plot?son kushtin |t| <= 1.

4) m?kat (x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

P?rgjigje: x = p + 4pn, n Є Z.

III. Metoda e reduktimit t? rendit t? ekuacionit

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Z?vend?soni k?t? ekuacion me nj? linear duke p?rdorur formulat e reduktimit t? fuqis?:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin q? rezulton duke p?rdorur metodat I dhe II.

Shembull.

cos2x + cos2x = 5/4.

Zgjidhje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

P?rgjigje: x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. Ekuacionet homogjene

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Sillni k?t? ekuacion n? form?

a) nj? sin x + b cos x = 0 (ekuacion homogjen i shkall?s s? par?)

ose te pamja

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ekuacion homogjen i shkall?s s? dyt?).

Hapi 2 Ndani t? dyja an?t e ekuacionit me

a) cos x ? 0;

b) cos 2 x ? 0;

dhe merrni ekuacionin p?r tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hapi 3 Zgjidheni ekuacionin duke p?rdorur metoda t? njohura.

Shembull.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Zgjidhje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ? 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Le t? tg x = t, at?her?

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ose t = -4, pra

tg x = 1 ose tg x = -4.

Nga ekuacioni i par? x = p/4 + pn, n Є Z; nga ekuacioni i dyt? x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

P?rgjigje: x = p/4 + pn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Metoda p?r transformimin e nj? ekuacioni duke p?rdorur formulat trigonometrike

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Duke p?rdorur t? gjitha llojet e formulave trigonometrike, sillni k?t? ekuacion n? nj? ekuacion q? mund t? zgjidhet me metodat I, II, III, IV.

Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin q? rezulton duke p?rdorur metoda t? njohura.

Shembull.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Zgjidhje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ose 2cos x + 1 = 0;

Nga ekuacioni i par? 2x = p/2 + pn, n Є Z; nga ekuacioni i dyt? cos x = -1/2.

Kemi x = p/4 + pn/2, n Є Z; nga ekuacioni i dyt? x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

Si rezultat, x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

P?rgjigje: x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Aft?sia dhe aft?sit? p?r t? zgjidhur ekuacionet trigonometrike jan? shum? e r?nd?sishme, zhvillimi i tyre k?rkon p?rpjekje t? konsiderueshme, si nga nx?n?si ashtu edhe nga m?suesi.

Me zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike shoq?rohen shum? probleme t? stereometris?, fizik?s etj.. Procesi i zgjidhjes s? problemeve t? tilla, si t? thuash, p?rmban shum? nga njohurit? dhe aft?sit? q? fitohen gjat? studimit t? elementeve t? trigonometris?.

Ekuacionet trigonometrike z?n? nj? vend t? r?nd?sish?m n? procesin e m?simdh?nies s? matematik?s dhe zhvillimit t? personalitetit n? p?rgjith?si.

A keni ndonj? pyetje? Nuk dini si t? zgjidhni ekuacionet trigonometrike?
P?r t? marr? ndihm?n e nj? tutori - regjistrohuni.
M?simi i par? ?sht? falas!

faqe, me kopjim t? plot? ose t? pjessh?m t? materialit, k?rkohet nj? lidhje me burimin.

Nj? her? isha d?shmitar i nj? bisede midis dy aplikant?ve:

– Kur duhet t? shtoni 2pn, dhe kur - pn? Nuk m? kujtohet!

- Dhe un? kam t? nj?jtin problem.

Doja t'u thoja: "Nuk ?sht? e nevojshme t? m?sosh p?rmend?sh, por t? kuptosh!"

Ky artikull u drejtohet kryesisht nx?n?sve t? shkollave t? mesme dhe, shpresoj, do t'i ndihmoj? ata me "t? kuptuarit" p?r t? zgjidhur ekuacionet m? t? thjeshta trigonometrike:

Rrethi i numrave

S? bashku me konceptin e nj? vije numerike, ekziston edhe koncepti i nj? rrethi numerik. Si? e dim?, n? nj? sistem koordinativ drejtk?ndor, nj? rreth me qend?r n? pik?n (0; 0) dhe nj? rreze prej 1 quhet rreth nj?si. Imagjinoni nj? vij? numerike me nj? fije t? holl? dhe rrotullojeni rreth k?tij rrethi: pik?n e referenc?s (pika 0), lidhni at? n? pik?n "e djatht?" t? rrethit t? nj?sis?, mb?shtillni gjysm?boshtin pozitiv n? drejtim t? kund?rt t? akrepave t? or?s dhe gjysm?boshtin negativ n? drejtim ( Fig. 1). Nj? rreth i till? nj?si quhet rreth num?ror.

Vetit? e rrethit t? numrave

• ?do num?r real ?sht? n? nj? pik? t? rrethit t? numrave.
• Ka pafund?sisht shum? numra real? n? secil?n pik? t? rrethit t? numrave. Meqen?se gjat?sia e rrethit nj?si ?sht? 2p, diferenca midis ?do dy numrash n? nj? pik? t? rrethit ?sht? e barabart? me nj? nga numrat ±2p; ±4p; ±6p; …

Le t? p?rfundojm?: Duke ditur nj? nga numrat e pik?s A, mund t? gjejm? t? gjith? numrat e pik?s A.

Le t? vizatojm? diametrin AC (Fig. 2). Meqen?se x_0 ?sht? nj? nga numrat e pik?s A, at?her? numrat x_0±p ; x_0±3p; x_0±5p; … dhe vet?m ata do t? jen? numrat e pik?s C. Le t? zgjedhim nj? nga k?ta numra, le t? themi, x_0+p, dhe ta p?rdorim p?r t? shkruar t? gjith? numrat e pik?s C: x_C=x_0+p+2pk ,k? Z. Vini re se numrat n? pikat A dhe C mund t? kombinohen n? nj? formul?: x_(A ; C)=x_0+pk ,k?Z (p?r k = 0; ±2; ±4; ... marrim numrat e pika A, dhe p?r k = ±1, ±3, ±5, … jan? numrat e pik?s C).

Le t? p?rfundojm?: Duke ditur nj? nga numrat n? nj?r?n nga pikat A ose C t? diametrit AC, mund t? gjejm? t? gjith? numrat n? k?to pika.

• Dy numra t? kund?rt jan? t? vendosur n? pikat e rrethit q? jan? simetrike rreth boshtit t? abshis?.

Le t? vizatojm? nj? kord? vertikale AB (Fig. 2). Meqen?se pikat A dhe B jan? simetrike rreth boshtit Ox, numri -x_0 ndodhet n? pik?n B dhe, p?r rrjedhoj?, t? gjith? numrat e pik?s B jepen me formul?n: x_B=-x_0+2pk ,k?Z. Numrat n? pikat A dhe B i shkruajm? me nj? formul?: x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k?Z. Le t? p?rfundojm?: duke ditur nj? nga numrat n? nj?r?n nga pikat A ose B t? kord?s vertikale AB, mund t'i gjejm? t? gjith? numrat n? k?to pika. Konsideroni kord?n horizontale AD dhe gjeni numrat e pik?s D (Fig. 2). Meqen?se BD ?sht? diametri dhe numri -x_0 i p?rket pik?s B, at?her? -x_0 + p ?sht? nj? nga numrat e pik?s D dhe, p?r rrjedhoj?, t? gjith? numrat e k?saj pike jepen me formul?n x_D=-x_0+p+2pk. ,k?Z. Numrat n? pikat A dhe D mund t? shkruhen duke p?rdorur nj? formul?: x_(A ; D)=(-1)^k?x_0+pk ,k?Z . (p?r k= 0; ±2; ±4; ... marrim numrat e pik?s A, kurse p?r k = ±1; ±3; ±5; ... - numrat e pik?s D).

Le t? p?rfundojm?: duke ditur nj? nga numrat n? nj?r?n nga pikat A ose D t? kord?s horizontale AD, mund t'i gjejm? t? gjith? numrat n? k?to pika.

Gjasht?mb?dhjet? pika kryesore t? rrethit numerik

N? praktik?, zgjidhja e shumic?s s? ekuacioneve trigonometrike m? t? thjeshta shoq?rohet me gjasht?mb?dhjet? pika t? rrethit (Fig. 3). Cilat jan? k?to pika? Pikat e kuqe, blu dhe jeshile e ndajn? rrethin n? 12 pjes? t? barabarta. Meqen?se gjat?sia e gjysm?rrethit ?sht? p, gjat?sia e harkut A1A2 ?sht? p/2, gjat?sia e harkut A1B1 ?sht? p/6 dhe gjat?sia e harkut A1C1 ?sht? p/3.

Tani mund t? specifikojm? nj? num?r n? pikat:

p/3 n? С1 dhe

Kulmet e katrorit portokalli jan? pikat e mesit t? harqeve t? ?do tremujori, k?shtu q? gjat?sia e harkut A1D1 ?sht? e barabart? me p/4, dhe si rrjedhim p/4 ?sht? nj? nga numrat e pik?s D1. Duke p?rdorur vetit? e rrethit t? numrave, ne mund t? shkruajm? t? gjith? numrat n? t? gjitha pikat e sh?nuara t? rrethit ton? duke p?rdorur formula. Figura tregon gjithashtu koordinatat e k?tyre pikave (ne e l?m? p?rshkrimin e p?rvet?simit t? tyre).

Pasi m?suam sa m? sip?r, tani kemi p?rgatitje t? mjaftueshme p?r zgjidhjen e rasteve t? ve?anta (p?r n?nt? vlera t? numrit a) ekuacionet m? t? thjeshta.

Zgjidh ekuacione

1)sinx=1/(2).

– ?far? k?rkohet prej nesh?

– Gjeni t? gjith? ata numra x sinusi i t? cil?ve ?sht? 1/2.

Kujtoni p?rkufizimin e sinusit: sinx - ordinata e pik?s s? rrethit numerik, n? t? cil?n ndodhet numri x. N? rreth kemi dy pika, ordinata e t? cilave ?sht? e barabart? me 1/2. K?to jan? skajet e kord?s horizontale B1B2. Kjo do t? thot? se k?rkesa “zgjidhe ekuacionin sinx=1/2” ?sht? ekuivalente me k?rkes?n “gjeni t? gjith? numrat n? pik?n B1 dhe t? gjith? numrat n? pik?n B2”.

2)sinx=-?3/2 .

Duhet t? gjejm? t? gjith? numrat n? pikat C4 dhe C3.

3) sinx=1. N? rreth kemi vet?m nj? pik? me ordinat? 1 - pika A2 dhe, p?r rrjedhoj?, duhet t? gjejm? vet?m t? gjith? numrat e k?saj pike.

P?rgjigje: x=p/2+2pk , k?Z .

4)sinx=-1 .

Vet?m pika A_4 ka ordinat? -1. T? gjith? numrat e k?saj pike do t? jen? kuajt e ekuacionit.

P?rgjigje: x=-p/2+2pk , k?Z .

5) sinx=0 .

N? rreth kemi dy pika me ordinat? 0 - pika A1 dhe A3. Ju mund t? specifikoni numrat n? secil?n nga pikat ve? e ve?, por duke qen? se k?to pika jan? diametralisht t? kund?rta, ?sht? m? mir? t'i kombinoni ato n? nj? formul?: x=pk ,k?Z .

P?rgjigje: x=pk ,k?Z .

6)cosx=?2/2 .

Kujtoni p?rkufizimin e kosinusit: cosx - abshisa e pik?s s? rrethit numerik n? t? cil?n ndodhet numri x. N? rreth kemi dy pika me abshis?n ?2/2 - skajet e kord?s horizontale D1D4. Ne duhet t? gjejm? t? gjith? numrat n? k?to pika. I shkruajm? duke i kombinuar n? nj? formul?.

P?rgjigje: x=±p/4+2pk , k?Z .

7) cosx=-1/2 .

Ne duhet t? gjejm? numrat n? pikat C_2 dhe C_3.

P?rgjigje: x=±2p/3+2pk , k?Z .

10) cosx=0 .

Vet?m pikat A2 dhe A4 kan? abshis? 0, q? do t? thot? se t? gjith? numrat n? secil?n prej k?tyre pikave do t? jen? zgjidhje t? ekuacionit.
.

Zgjidhjet e ekuacionit t? sistemit jan? numrat n? pikat B_3 dhe B_4. Pabarazi cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
P?rgjigje: x=-5p/6+2pk , k?Z .

Vini re se p?r ?do vler? t? pranueshme t? x, faktori i dyt? ?sht? pozitiv dhe, p?r rrjedhoj?, ekuacioni ?sht? ekuivalent me sistemin

Zgjidhjet e ekuacionit t? sistemit jan? numri i pikave D_2 dhe D_3 . Numrat e pik?s D_2 nuk plot?sojn? pabarazin? sinx<=0,5, por numrat e pik?s D_3 e plot?sojn?.

blog.site, me kopjim t? plot? ose t? pjessh?m t? materialit, k?rkohet nj? lidhje me burimin.

Ekuacionet trigonometrike nuk jan? tema m? e leht?. Me dhimbje ato jan? t? ndryshme.) P?r shembull, k?to:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin (5x+p /4) = ctg (2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etj...

Por k?to (dhe t? gjitha t? tjerat) p?rbind?sha trigonometrike kan? dy tipare t? p?rbashk?ta dhe t? detyrueshme. S? pari - nuk do ta besoni - ka funksione trigonometrike n? ekuacione.) S? dyti: t? gjitha shprehjet me x jan? brenda k?tyre funksioneve t? nj?jta. Dhe vet?m atje! N?se x shfaqet diku jasht?, p?r shembull, sin2x + 3x = 3, ky do t? jet? nj? ekuacion i tipit t? p?rzier. Ekuacione t? tilla k?rkojn? nj? qasje individuale. K?tu nuk do t'i konsiderojm? ato.

Ekuacionet e liga nuk do t? zgjidhim as n? k?t? m?sim.) K?tu do t? merremi ekuacionet m? t? thjeshta trigonometrike. Pse? Po, sepse vendimi ndonj? ekuacionet trigonometrike p?rb?hen nga dy faza. N? faz?n e par?, ekuacioni i s? keqes reduktohet n? nj? t? thjesht? nga transformime t? ndryshme. N? t? dyt?n - zgjidhet ky ekuacion m? i thjesht?. Asnj? rrug? tjet?r.

Pra, n?se keni probleme n? faz?n e dyt?, faza e par? nuk ka shum? kuptim.)

Si duken ekuacionet elementare trigonometrike?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

K?tu a q?ndron p?r ?do num?r. ?do.

Nga rruga, brenda funksionit mund t? mos ket? nj? x t? past?r, por nj? lloj shprehjeje, si p.sh.

cos(3x+p /3) = 1/2

etj. Kjo e nd?rlikon jet?n, por nuk ndikon n? metod?n e zgjidhjes s? ekuacionit trigonometrik.

Si t? zgjidhim ekuacionet trigonometrike?

Ekuacionet trigonometrike mund t? zgjidhen n? dy m?nyra. M?nyra e par?: duke p?rdorur logjik?n dhe nj? rreth trigonometrik. Ne do ta eksplorojm? k?t? rrug? k?tu. M?nyra e dyt? - p?rdorimi i kujtes?s dhe formulave - do t? shqyrtohet n? m?simin e ardhsh?m.

M?nyra e par? ?sht? e qart?, e besueshme dhe e v?shtir? p?r t'u harruar.) ?sht? e mir? p?r t? zgjidhur ekuacionet trigonometrike, pabarazit? dhe t? gjitha llojet e shembujve t? nd?rlikuar jo standarde. Logjika ?sht? m? e fort? se kujtesa!

Ne i zgjidhim ekuacionet duke p?rdorur nj? rreth trigonometrik.

Ne p?rfshijm? logjik?n elementare dhe aft?sin? p?r t? p?rdorur nj? rreth trigonometrik. Nuk mundesh!? Megjithat?... Do ta keni t? v?shtir? n? trigonometri...) Por nuk ka r?nd?si. Hidhini nj? sy m?simeve "Rrethi trigonometrik ...... ?far? ?sht??" dhe "Num?rimi i k?ndeve n? nj? rreth trigonometrik". Gjith?ka ?sht? e thjesht? atje. Ndryshe nga tekstet shkollore...)

Ah, e dini!? Dhe madje zot?roi "Pun? praktike me rreth trigonometrik"!? Prano urimet. Kjo tem? do t? jet? e af?rt dhe e kuptueshme p?r ju.) Ajo q? ?sht? ve?an?risht e k?ndshme ?sht? se rrethit trigonometrik nuk i intereson se cilin ekuacion do t? zgjidhni. Sinus, kosinus, tangjent, kotangjent - gjith?ka ?sht? e nj?jt? p?r t?. Parimi i zgjidhjes ?sht? i nj?jt?.

Pra marrim ?do ekuacion elementar trigonometrik. T? pakt?n kjo:

cosx = 0,5

M? duhet t? gjej X. Duke folur n? gjuh?n njer?zore, ju duhet gjeni k?ndin (x) kosinusi i t? cilit ?sht? 0,5.

Si e p?rdornim rrethin m? par?? Ne vizatuam nj? qoshe mbi t?. N? grad? ose radiane. Dhe menj?her? par? funksionet trigonometrike t? k?tij k?ndi. Tani le t? b?jm? t? kund?rt?n. Vizatoni nj? kosinus t? barabart? me 0,5 n? rreth dhe menj?her? do t? shohim qoshe. Mbetet vet?m p?r t? shkruar p?rgjigjen.) Po, po!

Vizatojm? nj? rreth dhe sh?nojm? kosinusin e barabart? me 0.5. N? boshtin kosinus, natyrisht. Si kjo:

Tani le t? vizatojm? k?ndin q? na jep ky kosinus. Zhvendosni miun mbi foto (ose prekni figur?n n? nj? tablet) dhe Shiko po ky cep X.

Cili k?nd ka nj? kosinus 0,5?

x \u003d p / 3

cos 60°= cos( p /3) = 0,5

Disa njer?z do t? r?nkojn? skeptikisht, po... Ata thon?, a ia vlejti t? rrethosh rrethin, kur gjith?ka ?sht? e qart? gjithsesi... Sigurisht q? mund t? rr?nqesh...) Por fakti ?sht? se kjo ?sht? nj? gabim p?rgjigje. Ose m? mir?, joadekuate. Njoh?sit e rrethit kuptojn? se ka ende nj? grup t? t?r? k?ndesh q? japin gjithashtu nj? kosinus t? barabart? me 0.5.

N?se e ktheni an?n e l?vizshme OA p?r nj? kthes? t? plot?, pika A do t? kthehet n? pozicionin e saj origjinal. Me t? nj?jtin kosinus t? barabart? me 0.5. Ato. k?ndi do t? ndryshoj? 360° ose 2p radiane, dhe kosinusi nuk ?sht?. K?ndi i ri 60° + 360° = 420° do t? jet? gjithashtu nj? zgjidhje p?r ekuacionin ton?, sepse

Ka nj? num?r t? pafund rrotullimesh t? plota... Dhe t? gjitha k?to k?nde t? reja do t? jen? zgjidhje p?r ekuacionin ton? trigonometrik. Dhe t? gjith? duhet t? shkruhen disi. T? gjitha. P?rndryshe, vendimi nuk merret parasysh, po ...)

Matematika mund ta b?j? k?t? thjesht dhe elegante. N? nj? p?rgjigje t? shkurt?r, shkruani grup i pafund Zgjidhjet. Ja se si duket p?r ekuacionin ton?:

x = p /3 + 2p n, n ? Z

Un? do t? deshifroj. Ende shkruani kuptimisht m? bukur sesa t? vizatosh marr?zi disa shkronja misterioze, apo jo?)

p /3 ?sht? i nj?jti k?nd q? ne pa n? rreth dhe identifikuar sipas tabel?s s? kosinusit.

2p ?sht? nj? kthes? e plot? n? radian?.

n - ky ?sht? numri i plot?, d.m.th. e t?r? revolucionet. ?sht? e qart? se n mund t? jet? 0, ±1, ±2, ±3.... e k?shtu me radh?. Si? tregohet nga hyrja e shkurt?r:

n ? Z

n i takon ( ? ) n? bashk?sin? e numrave t? plot? ( Z ). Meq? ra fjala, n? vend t? letr?s n mund t? p?rdoren shkronjat k, m, t etj.

Ky sh?nim do t? thot? q? ju mund t? merrni ?do num?r t? plot? n . T? pakt?n -3, t? pakt?n 0, t? pakt?n +55. cfare deshironi. N?se e lidhni at? num?r n? p?rgjigjen tuaj, ju merrni nj? k?nd specifik, i cili me siguri do t? jet? zgjidhja e ekuacionit ton? t? ashp?r.)

Ose, me fjal? t? tjera, x \u003d p / 3 ?sht? rr?nja e vetme e nj? bashk?sie t? pafundme. P?r t? marr? t? gjitha rr?nj?t e tjera, mjafton t? shtoni ?do num?r kthesash t? plota n? p / 3 ( n ) n? radiane. Ato. 2pn radian.

Gjith?ka? Nr. Un? ve?an?risht zgjas k?naq?sin?. P?r ta mbajtur mend m? mir?.) Ne mor?m vet?m nj? pjes? t? p?rgjigjeve t? ekuacionit ton?. Un? do ta shkruaj k?t? pjes? t? par? t? zgjidhjes si m? posht?:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 1 - jo nj? rr?nj?, ?sht? nj? seri e t?r? rr?nj?sh, t? shkruara n? form? t? shkurt?r.

Por ka k?nde t? tjera q? japin gjithashtu nj? kosinus t? barabart? me 0,5!

Le t'i kthehemi fotos son?, sipas s? cil?s kemi shkruar p?rgjigjen. Atje ajo ?sht?:

L?vizni miun mbi imazh dhe Shiko nj? k?nd tjet?r q? jep gjithashtu nj? kosinus prej 0.5.?far? mendoni se ?sht? e barabart?? Trek?nd?shat jan? t? nj?jt?... Po! ?sht? e barabart? me k?ndin X , i paraqitur vet?m n? drejtim negativ. Ky ?sht? k?ndi -X. Por ne kemi llogaritur tashm? x. p /3 ose 60°. Prandaj, mund t? shkruajm? me siguri:

x 2 \u003d - p / 3

Dhe, natyrisht, shtojm? t? gjitha k?ndet q? p?rftohen p?rmes kthesave t? plota:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

Kjo ?sht? e gjitha tani.) N? nj? rreth trigonometrik, ne pa(kush e kupton, sigurisht)) t? gjitha k?nde q? japin nj? kosinus t? barabart? me 0,5. Dhe ata i sh?nuan k?to k?nde n? nj? form? t? shkurt?r matematikore. P?rgjigja ?sht? dy seri t? pafundme rr?nj?sh:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

Kjo ?sht? p?rgjigja e sakt?.

Shpresa, parim i p?rgjithsh?m p?r zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike me ndihm?n e nj? rrethi ?sht? e kuptueshme. Sh?nojm? n? rreth kosinusin (sinusin, tangjent?n, kotangjenten) nga ekuacioni i dh?n?, vizatojm? k?ndet p?rkat?se dhe shkruajm? p?rgjigjen. Sigurisht, ju duhet t? kuptoni se ?far? lloj qoshe jemi pa n? rreth. Ndonj?her? nuk ?sht? aq e qart?. Epo, si? thash?, logjika k?rkohet k?tu.)

P?r shembull, le t? analizojm? nj? ekuacion tjet?r trigonometrik:

Ju lutemi vini re se numri 0.5 nuk ?sht? i vetmi num?r i mundsh?m n? ekuacione!) ?sht? thjesht m? i p?rshtatsh?m p?r mua ta shkruaj at? sesa rr?nj?t dhe thyesat.

Ne punojm? sipas parimit t? p?rgjithsh?m. Ne vizatojm? nj? rreth, sh?nojm? (n? boshtin e sinusit, natyrisht!) 0.5. Ne t?rheqim menj?her? t? gjitha k?ndet q? korrespondojn? me k?t? sinus. Ne marrim k?t? foto:

Le t? merremi me k?ndin e par?. X n? tremujorin e par?. Kujtojm? tabel?n e sinuseve dhe p?rcaktojm? vler?n e k?tij k?ndi. ??shtja ?sht? e thjesht?:

x \u003d p / 6

Ne kujtojm? kthesat e plota dhe, me nj? nd?rgjegje t? past?r, shkruajm? serin? e par? t? p?rgjigjeve:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

Gjysma e pun?s ?sht? b?r?. Tani duhet t? p?rcaktojm? k?ndi i dyt?... Kjo ?sht? m? e nd?rlikuar se n? kosinus, po... Por logjika do t? na shp?toj?! Si t? p?rcaktohet k?ndi i dyt? p?rmes x? Po Leht?! Trek?nd?shat n? foto jan? t? nj?jta, dhe k?ndi i kuq X e barabart? me k?ndin X . Vet?m ai num?rohet nga k?ndi p n? drejtim negativ. Prandaj ?sht? e kuqe.) Dhe p?r p?rgjigjen na duhet nj? k?nd i matur sakt? nga gjysm?boshti pozitiv OX, d.m.th. nga nj? k?nd prej 0 grad?.

Zhvendosni kursorin mbi foto dhe shikoni gjith?ka. E hoqa k?ndin e par? p?r t? mos e komplikuar foton. K?ndi i interesit p?r ne (i vizatuar n? t? gjelb?r) do t? jet? i barabart? me:

p - x

x ne e dim? at? p /6 . Pra, k?ndi i dyt? do t? jet?:

p - p /6 = 5p /6

P?rs?ri, ne kujtojm? shtimin e revolucioneve t? plota dhe shkruajm? serin? e dyt? t? p?rgjigjeve:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Kjo eshte e gjitha. Nj? p?rgjigje e plot? p?rb?het nga dy seri rr?nj?sh:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Ekuacionet me tangjente dhe kotangjente mund t? zgjidhen leht?sisht duke p?rdorur t? nj?jtin parim t? p?rgjithsh?m p?r zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. N?se, sigurisht, nuk dini si t? vizatoni tangjenten dhe kotangjenten n? nj? rreth trigonometrik.

N? shembujt e m?sip?rm, kam p?rdorur vler?n tabelare t? sinusit dhe kosinusit: 0.5. Ato. nj? nga ato kuptimet q? di nx?n?si duhet. Tani le t? zgjerojm? aft?sit? tona n? t? gjitha vlerat e tjera. Vendosni, k?shtu q? vendosni!)

Pra, le t? themi se duhet t? zgjidhim ekuacionin trigonometrik t? m?posht?m:

Nuk ka nj? vler? t? till? t? kosinusit n? tabelat e shkurtra. Ne e injorojm? me gjakftoht?si k?t? fakt t? tmerrsh?m. Vizatojm? nj? rreth, sh?nojm? 2/3 n? boshtin e kosinusit dhe vizatojm? k?ndet p?rkat?se. Ne e marrim k?t? foto.

Ne e kuptojm?, p?r fillim, me nj? k?nd n? tremujorin e par?. P?r t? ditur se me ?far? ?sht? x, ata do ta shkruanin menj?her? p?rgjigjen! Nuk e dim?... D?shtim!? Qet?! Matematika nuk e l? t? veten n? v?shtir?si! Ajo shpiku kosinuset e harkut p?r k?t? rast. Nuk e di? M? kot. Zbulojeni. ?sht? shum? m? e leht? se sa mendoni. Sipas k?saj lidhjeje, nuk ka asnj? magji t? vetme t? nd?rlikuar p?r "funksionet trigonometrike t? anasjellta" ... ?sht? e tep?rt n? k?t? tem?.

N?se jeni n? dijeni, thjesht thoni vetes: "X ?sht? nj? k?nd kosinusi i t? cilit ?sht? 2/3". Dhe menj?her?, thjesht nga p?rkufizimi i arkkosin?s, mund t? shkruajm?:

Ne kujtojm? rreth rrotullimeve shtes? dhe shkruajm? me qet?si serin? e par? t? rr?nj?ve t? ekuacionit ton? trigonometrik:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

Seria e dyt? e rr?nj?ve shkruhet gjithashtu pothuajse automatikisht, p?r k?ndin e dyt?. Gjith?ka ?sht? e nj?jt?, vet?m x (arccos 2/3) do t? jet? me nj? minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

Dhe t? gjitha gj?rat! Kjo ?sht? p?rgjigja e sakt?. Edhe m? leht? sesa me vlerat tabelare. Ju nuk keni nevoj? t? mbani mend asgj?.) Nga rruga, m? t? v?mendsh?m do t? v?rejn? se kjo foto me zgjidhjen p?rmes kosinusit t? harkut n? thelb nuk ndryshon nga figura p?r ekuacionin cosx = 0.5.

Pik?risht! Parimi i p?rgjithsh?m mbi at? dhe i p?rgjithsh?m! N? m?nyr? specifike vizatova dy piktura pothuajse identike. Rrethi na tregon k?ndin X me kosinusin e tij. ?sht? nj? kosinus tabelor, ose jo - rrethi nuk e di. ?far? lloj k?ndi ?sht? ky, p / 3, ose ?far? lloji kosinusi t? harkut varet nga ne q? t? vendosim.

Me nj? sine e nj?jta k?ng?. P?r shembull:

P?rs?ri vizatojm? nj? rreth, sh?nojm? sinusin e barabart? me 1/3, vizatojm? qoshet. Rezulton kjo foto:

Dhe p?rs?ri fotografia ?sht? pothuajse e nj?jt? si p?r ekuacionin sinx = 0,5. S?rish nisim nga k?ndi n? ?erekun e par?. Sa ?sht? x e barabart? n?se sinusi i tij ?sht? 1/3? Nuk ka problem!

Pra, paketa e par? e rr?nj?ve ?sht? gati:

x 1 = harksin 1/3 + 2p n, n ? Z

Le t? hedhim nj? v?shtrim n? k?ndin e dyt?. N? shembullin me nj? vler? tabele prej 0.5, ishte e barabart? me:

p - x

Pra, k?tu do t? jet? sakt?sisht e nj?jta gj?! Vet?m x ?sht? i ndrysh?m, harku 1/3. Edhe ?far?!? Ju mund t? shkruani me siguri paket?n e dyt? t? rr?nj?ve:

x 2 = p - hark 1/3 + 2p n, n ? Z

Kjo ?sht? nj? p?rgjigje plot?sisht e sakt?. Edhe pse nuk duket shum? e njohur. Por ?sht? e kuptueshme, shpresoj.)

K?shtu zgjidhen ekuacionet trigonometrike duke p?rdorur nj? rreth. Kjo rrug? ?sht? e qart? dhe e kuptueshme. ?sht? ai q? kursen n? ekuacionet trigonometrike me zgjedhjen e rr?nj?ve n? nj? interval t? caktuar, n? pabarazit? trigonometrike - ato zakonisht zgjidhen pothuajse gjithmon? n? nj? rreth. Me pak fjal?, n? ?do detyr? q? ?sht? pak m? e nd?rlikuar se ato standarde.

V?nia n? praktik? e njohurive?

Zgjidh ekuacionet trigonometrike:

N? fillim ?sht? m? e thjesht?, drejtp?rdrejt n? k?t? m?sim.

Tani ?sht? m? e v?shtir?.

K?shill?: k?tu duhet t? mendoni p?r rrethin. Personalisht.)

Dhe tani nga jasht? jo modest ... Ata quhen edhe raste t? ve?anta.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

K?shill?: k?tu duhet t? kuptoni n? nj? rreth se ku ka dy seri p?rgjigjesh, dhe ku ka nj? ... Dhe si t? shkruani nj? n? vend t? dy serive p?rgjigjesh. Po, n? m?nyr? q? asnj? rr?nj? e vetme nga nj? num?r i pafund nuk humbet!)

Epo, mjaft e thjesht?):

sinx = 0,3

cosx = p

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

K?shill?: k?tu duhet t? dini se ?far? ?sht? arksina, arkozina? ?far? ?sht? tangjenta e harkut, tangjenta e harkut? P?rkufizimet m? t? thjeshta. Por nuk keni nevoj? t? mbani mend ndonj? vler? tabelare!)

P?rgjigjet jan?, natyrisht, t? parregullta):

x 1= harksin0,3 + 2pn, n ? Z
x 2= p - arcsin0.3 + 2

Nuk funksionon gjith?ka? Ndodh. Lexojeni p?rs?ri m?simin. Vet?m me mendime(ka nj? fjal? kaq t? vjet?ruar...) Dhe ndiqni lidhjet. Lidhjet kryesore kan? t? b?jn? me rrethin. Pa t? n? trigonometri - si t? kalosh rrug?n me sy t? lidhur. Ndonj?her? funksionon.)

N?se ju p?lqen kjo faqe...

Nga rruga, un? kam disa faqe m? interesante p?r ju.)

Ju mund t? praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe t? zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim t? menj?hersh?m. M?simi - me interes!)

mund t? njiheni me funksionet dhe derivatet.

Privat?sia juaj ?sht? e r?nd?sishme p?r ne. P?r k?t? arsye, ne kemi zhvilluar nj? politik? t? privat?sis? q? p?rshkruan se si ne p?rdorim dhe ruajm? informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politik?n ton? t? privat?sis? dhe na tregoni n?se keni ndonj? pyetje.

Mbledhja dhe p?rdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet t? dh?nave q? mund t? p?rdoren p?r t? identifikuar ose kontaktuar nj? person specifik.

Mund t'ju k?rkohet t? jepni informacionin tuaj personal n? ?do koh? kur na kontaktoni.

M? posht? jan? disa shembuj t? llojeve t? informacionit personal q? mund t? mbledhim dhe se si mund ta p?rdorim k?t? informacion.

?far? informacioni personal mbledhim:

• Kur dor?zoni nj? aplikim n? sajt, ne mund t? mbledhim informacione t? ndryshme, duke p?rfshir? emrin tuaj, numrin e telefonit, adres?n e emailit, etj.

Si i p?rdorim t? dh?nat tuaja personale:

• Informacioni personal q? mbledhim na lejon t'ju kontaktojm? dhe t'ju informojm? p?r ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Her? pas here, ne mund t? p?rdorim t? dh?nat tuaja personale p?r t'ju d?rguar njoftime dhe komunikime t? r?nd?sishme.
• Ne gjithashtu mund t? p?rdorim t? dh?nat personale p?r q?llime t? brendshme, t? tilla si kryerja e auditimeve, analizave t? t? dh?nave dhe k?rkimeve t? ndryshme, n? m?nyr? q? t? p?rmir?sojm? sh?rbimet q? ofrojm? dhe t'ju ofrojm? rekomandime n? lidhje me sh?rbimet tona.
• N?se hyni n? nj? t?rheqje ?mimesh, konkurs ose nxitje t? ngjashme, ne mund t? p?rdorim informacionin q? ju jepni p?r t? administruar programe t? tilla.

Zbulimi ndaj pal?ve t? treta

Ne nuk ua zbulojm? informacionin e marr? nga ju pal?ve t? treta.

P?rjashtimet:

• N? rast se ?sht? e nevojshme - n? p?rputhje me ligjin, urdhrin gjyq?sor, n? procedurat ligjore dhe / ose n? baz? t? k?rkesave publike ose k?rkesave nga organet shtet?rore n? territorin e Federat?s Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund t? zbulojm? informacione rreth jush n?se p?rcaktojm? se nj? zbulim i till? ?sht? i nevojsh?m ose i p?rshtatsh?m p?r arsye sigurie, zbatimi t? ligjit ose arsye t? tjera t? interesit publik.
• N? rast t? nj? riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t? transferojm? informacionin personal q? mbledhim te pasardh?si i pal?s s? tret? p?rkat?se.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke p?rfshir? administrative, teknike dhe fizike - p?r t? mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqp?rdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkat?rrimi i paautorizuar.

Ruajtja e privat?sis? tuaj n? nivel kompanie

P?r t? siguruar q? t? dh?nat tuaja personale t? jen? t? sigurta, ne u komunikojm? punonj?sve tan? praktikat e privat?sis? dhe siguris? dhe zbatojm? n? m?nyr? rigoroze praktikat e privat?sis?.

Ekuacionet m? t? thjeshta trigonometrike zakonisht zgjidhen me formula. M? lejoni t'ju kujtoj se ekuacionet trigonometrike t? m?poshtme quhen m? t? thjeshtat:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ?sht? k?ndi q? duhet gjetur,
a ?sht? ?do num?r.

Dhe k?tu jan? formulat me t? cilat mund t? shkruani menj?her? zgjidhjet e k?tyre ekuacioneve m? t? thjeshta.

P?r sinuset:

P?r kosinusin:

x = ± arccos a + 2p n, n ? Z

P?r tangjenten:

x = arctg a + p n, n ? Z

P?r kotangjent:

x = arcctg a + p n, n ? Z

N? fakt, kjo ?sht? pjesa teorike e zgjidhjes s? ekuacioneve m? t? thjeshta trigonometrike. Dhe, e t?ra!) Asgj?. Megjithat?, numri i gabimeve n? k?t? tem? thjesht rrokulliset. Sidomos, me nj? devijim t? leht? t? shembullit nga shablloni. Pse?

Po, sepse shum? njer?z i shkruajn? k?to letra, pa e kuptuar fare kuptimin e tyre! Me frik? ai shkruan, pavar?sisht se si ndodh di?ka ...) Kjo duhet t? zgjidhet. Trigonometria p?r njer?zit, apo njer?zit p?r trigonometrin?, n? fund t? fundit!?)

Le ta kuptojm??

Nj? k?nd do t? jet? i barabart? me arccos a, e dyta: -arccos a.

Dhe k?shtu do t? funksionoj? gjithmon?. P?r ?do a.

N?se nuk m? besoni, vendosni miun mbi foto ose prekni figur?n n? tablet.) Un? ndryshova numrin a n? disa negative. Gjithsesi, ne kemi nj? cep arccos a, e dyta: -arccos a.

Prandaj, p?rgjigja mund t? shkruhet gjithmon? si dy seri rr?nj?sh:

x 1 = arccos a + 2p n, n ? Z

x 2 = - arccos a + 2p n, n ? Z

Ne i kombinojm? k?to dy seri n? nj?:

x= ± arccos a + 2p n, n ? Z

Dhe t? gjitha gj?rat. Ne kemi marr? nj? formul? t? p?rgjithshme p?r zgjidhjen e ekuacionit m? t? thjesht? trigonometrik me kosinus.

N?se e kuptoni se kjo nuk ?sht? nj? lloj urt?sie super-shkencore, por vet?m nj? regjistrim i shkurtuar i dy serive p?rgjigjesh, ju dhe detyrat "C" do t? jen? mbi supe. Me pabarazit?, me zgjedhjen e rr?nj?ve nga nj? interval i caktuar ... Atje, p?rgjigjja me plus / minus nuk rrokulliset. Dhe n?se e trajtoni p?rgjigjen si biznes dhe e ndani n? dy p?rgjigje t? ve?anta, gjith?ka vendoset.) N? fakt, ne e kuptojm? k?t?. ?far?, si dhe ku.

N? ekuacionin m? t? thjesht? trigonometrik

sinx = a

merrni gjithashtu dy seri rr?nj?sh. Eshte gjithmone. Dhe k?to dy seri mund t? regjistrohen gjithashtu nj? rresht. Vet?m kjo linj? do t? jet? m? e zgjuar:

x = (-1) n harksin a + p n, n ? Z

Por thelbi mbetet i nj?jt?. Matematikan?t thjesht nd?rtuan nj? formul? p?r t? b?r? nj? n? vend t? dy regjistrimeve t? serive t? rr?nj?ve. Dhe kjo eshte!

Le t? kontrollojm? matematikan?t? Dhe kjo nuk mjafton...)

N? m?simin e m?parsh?m, zgjidhja (pa asnj? formul?) e ekuacionit trigonometrik me nj? sinus u analizua n? detaje:

P?rgjigja doli t? ishte dy seri rr?nj?sh:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

N?se zgjidhim t? nj?jtin ekuacion duke p?rdorur formul?n, marrim p?rgjigjen:

x = (-1) n hark 0,5 + p n, n ? Z

N? fakt, kjo ?sht? nj? p?rgjigje gjysm? e p?rfunduar.) Studenti duhet ta dij? k?t? harku 0,5 = p /6. P?rgjigja e plot? do t? ishte:

x = (-1) n p /6+ pn, n ? Z

K?tu lind nj? pyetje interesante. P?rgjigju n?p?rmjet x 1; x 2 (kjo ?sht? p?rgjigjja e sakt?!) dhe p?rmes t? vetmuarit X (dhe kjo ?sht? p?rgjigja e sakt?!) - e nj?jta gj?, apo jo? Le ta zbulojm? tani.)

Z?vend?soni n? p?rgjigje me x 1 vlerat n =0; nj?; 2; etj., ne konsiderojm?, marrim nj? seri rr?nj?sh:

x 1 \u003d p / 6; 13p/6; 25p/6 e k?shtu me radh?.

Me t? nj?jtin z?vend?sim n? p?rgjigje t? x 2 , marrim:

x 2 \u003d 5p / 6; 17p/6; 29p/6 e k?shtu me radh?.

Dhe tani ne i z?vend?sojm? vlerat n (0; 1; 2; 3; 4...) n? formul?n e p?rgjithshme p?r t? vetmuarit X . Kjo do t? thot?, ne ngrem? minus nj? n? fuqin? zero, pastaj n? t? par?n, t? dyt?n, e k?shtu me radh?. Dhe, sigurisht, ne z?vend?sojm? 0 n? termin e dyt?; nj?; 2 3; 4 etj. Dhe ne mendojm?. Ne marrim nj? seri:

x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 e k?shtu me radh?.

Kjo ?sht? gjith?ka q? mund t? shihni.) Formula e p?rgjithshme na jep sakt?sisht t? nj?jtat rezultate t? cilat jan? dy p?rgjigjet ve? e ve?. T? gjitha p?rnj?her?, n? rregull. Matematikan?t nuk mashtruan.)

Mund t? kontrollohen edhe formulat p?r zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike me tangjente dhe kotangjente. Por le t? mos e b?jm?.) Ata jan? kaq t? thjesht?.

E pikturova me q?llim gjith? k?t? z?vend?sim dhe verifikim. ?sht? e r?nd?sishme t? kuptohet nj? gj? e thjesht? k?tu: ekzistojn? formula p?r zgjidhjen e ekuacioneve elementare trigonometrike, vet?m nj? p?rmbledhje e p?rgjigjeve. P?r k?t? shkurt?si, m? duhej t? fusja plus/minus n? zgjidhjen e kosinusit dhe (-1) n n? zgjidhjen e sinusit.

K?to inserte nuk nd?rhyjn? n? asnj? m?nyr? n? detyrat ku thjesht duhet t? shkruani p?rgjigjen e nj? ekuacioni elementar. Por n?se keni nevoj? t? zgjidhni nj? pabarazi, ose at?her? duhet t? b?ni di?ka me p?rgjigjen: zgjidhni rr?nj?t n? nj? interval, kontrolloni p?r ODZ, etj., K?to futje mund t? shqet?sojn? leht?sisht nj? person.

Dhe ?far? t? b?ni? Po, ose vizatoni p?rgjigjen n? dy seri, ose zgjidhni ekuacionin / pabarazin? n? nj? rreth trigonometrik. Pastaj k?to inserte zhduken dhe jeta b?het m? e leht?.)

Mund t? p?rmblidhni.

P?r t? zgjidhur ekuacionet m? t? thjeshta trigonometrike, ekzistojn? formula t? gatshme t? p?rgjigjeve. Kat?r cop?. Ato jan? t? mira p?r t? shkruar n? ?ast zgjidhjen e nj? ekuacioni. P?r shembull, ju duhet t? zgjidhni ekuacionet:

sinx = 0.3

Leht?sisht: x = (-1) n hark 0,3 + p n, n ? Z

cosx = 0.2

Nuk ka problem: x = ± arccos 0,2 + 2p n, n ? Z

tgx = 1.2

Leht?sisht: x = arctg 1,2 + pn, n ? Z

ctgx = 3.7

Nj? e mbetur: x= arcctg3,7 + pn, n ? Z

cos x = 1.8

N?se ju, q? shk?lqeni me njohuri, shkruani menj?her? p?rgjigjen:

x= ± arccos 1,8 + 2p n, n ? Z

at?her? ju tashm? shk?lqeni, kjo ... ajo ... nga nj? pellg.) P?rgjigja e sakt? ?sht?: nuk ka zgjidhje. Nuk e kupton pse? Lexoni se ?far? ?sht? arkkosina. P?rve? k?saj, n?se n? an?n e djatht? t? ekuacionit origjinal ka vlera tabelare t? sinusit, kosinusit, tangjent?s, kotangjentit, - 1; 0; ?3; 1/2; ?3/2 etj. - p?rgjigja n?p?r harqe do t? jet? e pap?rfunduar. Harqet duhet t? shnd?rrohen n? radian?.

Dhe n?se tashm? hasni n? nj? pabarazi, si

at?her? p?rgjigja ?sht?:

x pn, n ? Z

ka nj? marr?zi t? rrall?, po ...) K?tu ?sht? e nevojshme t? vendosni p?r nj? rreth trigonometrik. ?far? do t? b?jm? n? tem?n p?rkat?se.

P?r ata q? lexojn? heroikisht deri n? k?to rreshta. Un? thjesht nuk mund t? mos vler?soj p?rpjekjet tuaja titanike. ju nj? bonus.)

Bonus:

Kur shkruajn? formula n? nj? situat? luftarake ankthioze, edhe budallenj t? ngurt?suar shpesh ngat?rrohen se ku pn, Dhe ku 2pn. Ja nj? truk i thjesht? p?r ju. N? t? gjitha formulat pn. P?rve? formul?s s? vetme me kosinus me hark. Ajo q?ndron atje 2pn. Dy pien. Fjal? ky?e - dy. N? t? nj?jt?n formul? t? vetme jan? dy n?nshkruajn? n? fillim. Plus dhe minus. Aty-k?tu - dy.

Pra, n?se keni shkruar dy shenj? p?rpara kosinusit t? harkut, ?sht? m? e leht? t? mbani mend se ?far? do t? ndodh? n? fund dy pien. Dhe ndodh anasjelltas. Kap?rceni shenj?n e burrit ± , shkoni deri n? fund, shkruani sakt? dy pien, po, dhe kapeni. P?rpara di?kaje dy shenj?! Personi do t? kthehet n? fillim, por do ta korrigjoj? gabimin! Si kjo.)

N?se ju p?lqen kjo faqe...

Nga rruga, un? kam disa faqe m? interesante p?r ju.)

Ju mund t? praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe t? zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim t? menj?hersh?m. M?simi - me interes!)

mund t? njiheni me funksionet dhe derivatet.