• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe t? tjera.Algjebra dhe fillimet e analiz?s: Lib?r m?suesi p?r klasat 10-11 t? institucioneve t? arsimit t? p?rgjithsh?m.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (nj? manual p?r aplikant?t n? shkollat teknike).

Videot e fundit t? nj? serie t? gjat? m?simesh mbi zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike. K?t? her? ne do t? punojm? kryesisht me logaritmin ODZ - ?sht? pik?risht p?r shkak t? kontabilitetit t? gabuar (apo edhe injorimit) t? fush?s s? p?rkufizimit q? shumica e gabimeve ndodhin gjat? zgjidhjes s? problemeve t? tilla.

N? k?t? video-tutorial t? shkurt?r do t? analizojm? zbatimin e formulave t? mbledhjes dhe zbritjes p?r logaritmet, si dhe do t? trajtojm? ekuacionet racionale thyesore, me t? cilat shum? student? gjithashtu kan? probleme.

?far? do t? diskutohet? Formula kryesore me t? cil?n do t? doja t? merresha duket si kjo:

log a (f g ) = log a f + log a g

Ky ?sht? kalimi standard nga produkti n? shum?n e logaritmeve dhe anasjelltas. Ju ndoshta e dini k?t? formul? q? nga fillimi i studimit t? logaritmeve. Megjithat?, k?tu ka nj? penges?.

P?r sa koh? q? ndryshoret a , f dhe g jan? numra t? zakonsh?m, nuk ka probleme. Kjo formul? funksionon shum?.

Megjithat?, sapo funksionet shfaqen n? vend t? f dhe g, lind problemi i zgjerimit ose ngushtimit t? domenit t? p?rkufizimit, n? var?si t? m?nyr?s s? konvertimit. Gjykoni vet?: n? logaritmin e shkruar n? t? majt?, fusha e p?rkufizimit ?sht? si m? posht?:

fg > 0

Por n? shum?n e shkruar n? t? djatht?, fusha e p?rkufizimit ?sht? tashm? disi e ndryshme:

f > 0

g > 0

Ky grup k?rkesash ?sht? m? i rrept? se ai origjinal. N? rastin e par?, do t? k?naqemi me opsionin f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 ?sht? duke u ekzekutuar).

K?shtu, kur kalohet nga konstruksioni i majt? n? at? t? djatht?, domeni i p?rkufizimit b?het m? i ngusht?. N?se n? fillim kishim nj? shum? dhe e rishkruajm? si produkt, at?her? domeni i p?rkufizimit zgjerohet.

Me fjal? t? tjera, n? rastin e par?, ne mund t? humbnim rr?nj?t, dhe n? t? dyt?n, mund t? merrnim ato shtes?. Kjo duhet t? merret parasysh gjat? zgjidhjes s? ekuacioneve logaritmike reale.

Pra, detyra e par? ?sht?:

N? t? majt? shohim shum?n e logaritmeve n? t? nj?jt?n baz?. Prandaj, k?to logaritme mund t? shtohen:

Si? mund ta shihni, n? t? djatht? ne kemi z?vend?suar zeron me formul?n:

a = log b b a

Le t? riorganizojm? ekuacionin ton? pak m? shum?:

log 4 (x - 5) 2 = log 4 1

Para nesh ?sht? forma kanonike e ekuacionit logaritmik, ne mund t? kalojm? shenj?n log dhe t? barazojm? argumentet:

(x - 5) 2 = 1

|x-5| = 1

Kushtojini v?mendje: nga erdhi moduli? M? lejoni t'ju kujtoj se rr?nja e katrorit t? sakt? ?sht? sakt?sisht e barabart? me modulin:

Pastaj e zgjidhim ekuacionin klasik me modulin:

|f| = g (g > 0) =>f = ±g

x - 5 = ±1 => x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

K?tu jan? dy kandidat? p?r p?rgjigje. A jan? ato zgjidhje p?r ekuacionin logaritmik origjinal? N? asnj? m?nyr?!

Ne nuk kemi t? drejt? t? l?m? gjith?ka ashtu dhe t? shkruajm? p?rgjigjen. Shikoni hapin ku z?vend?sojm? shum?n e logaritmeve me nj? logarit?m t? prodhimit t? argumenteve. Problemi ?sht? se n? shprehjet origjinale kemi funksione. Prandaj, duhet t? k?rkohet:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

Kur transformuam produktin, duke marr? nj? katror t? sakt?, k?rkesat ndryshuan:

(x - 5) 2 > 0

Kur plot?sohet kjo k?rkes?? Po, pothuajse gjithmon?! Me p?rjashtim t? rastit kur x - 5 = 0. Kjo do t? thot?, pabarazia do t? reduktohet n? nj? pik? t? shpuar:

x - 5 ? 0 => x ? 5

Si? mund ta shihni, ka pasur nj? zgjerim t? fush?s s? p?rkufizimit, p?r t? cilin fol?m q? n? fillim t? m?simit. Prandaj, mund t? shfaqen edhe rr?nj? shtes?.

Si t? parandaloni shfaqjen e k?tyre rr?nj?ve shtes?? ?sht? shum? e thjesht?: ne shikojm? rr?nj?t tona t? marra dhe i krahasojm? ato me domenin e ekuacionit origjinal. Le t? num?rojm?:

x (x - 5) > 0

Ne do t? zgjidhim duke p?rdorur metod?n e intervalit:

x (x - 5) = 0 => x = 0; x = 5

Numrat e marr? i sh?nojm? n? vij? t? drejt?. T? gjitha pikat jan? shpuar sepse pabarazia ?sht? e rrept?. Marrim ?do num?r m? t? madh se 5 dhe z?vend?sojm?:

Ne jemi t? interesuar p?r intervalet (-?; 0) ? (5; ?). N?se sh?nojm? rr?nj?t tona n? segment, do t? shohim se x = 4 nuk na p?rshtatet, sepse kjo rr?nj? ndodhet jasht? domenit t? ekuacionit logaritmik origjinal.

Ne kthehemi te popullsia, kalojm? rr?nj?n x \u003d 4 dhe shkruajm? p?rgjigjen: x \u003d 6. Kjo ?sht? p?rgjigja p?rfundimtare p?r ekuacionin logaritmik origjinal. Gjith?ka, detyra ?sht? zgjidhur.

Kalojm? n? ekuacionin e dyt? logaritmik:

Ne e zgjidhim at?. Vini re se termi i par? ?sht? nj? thyes?, dhe i dyti ?sht? i nj?jti thyes?, por i p?rmbysur. Mos u frik?soni nga shprehja lgx - ?sht? vet?m nj? logarit?m baz? 10, ne mund t? shkruajm?:

lgx = log 10 x

Meqen?se kemi dy fraksione t? p?rmbysura, un? propozoj t? prezantojm? nj? ndryshore t? re:

Prandaj, ekuacioni yn? mund t? rishkruhet si m? posht?:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

Si? mund ta shihni, num?ruesi i thyes?s ?sht? nj? katror i sakt?. Nj? thyes? ?sht? zero kur num?ruesi i saj ?sht? zero dhe em?ruesi i saj ?sht? jo zero:

(t - 1) 2 = 0; t ? 0

Ne zgjidhim ekuacionin e par?:

t - 1 = 0;

t = 1.

Kjo vler? plot?son k?rkes?n e dyt?. Prandaj, mund t? argumentohet se ne e kemi zgjidhur plot?sisht ekuacionin ton?, por vet?m n? lidhje me ndryshoren t. Tani le t? kujtojm? se ?far? ?sht? t:

Ne mor?m raportin:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx - lgx = -1

logx = -1

Ne e sjellim k?t? ekuacion n? form?n kanonike:

lgx = lg 10 -1

x = 10 -1 = 0,1

Si rezultat, mor?m rr?nj?n e vetme, e cila, n? teori, ?sht? zgjidhja e ekuacionit origjinal. Megjithat?, le t? luajm? akoma t? sigurt dhe t? shkruajm? domenin e ekuacionit origjinal:

Prandaj, rr?nja jon? plot?son t? gjitha k?rkesat. Ne kemi gjetur nj? zgjidhje p?r ekuacionin logaritmik origjinal. P?rgjigje: x = 0.1. Problemi u zgjidh.

Ka vet?m nj? pik? ky?e n? m?simin e sot?m: kur p?rdorni formul?n p?r kalimin nga produkti n? shum? dhe anasjelltas, sigurohuni q? t? keni parasysh se domeni i p?rkufizimit mund t? ngushtohet ose zgjerohet n? var?si t? drejtimit q? ?sht? b?r? kalimi.

Si t? kuptoni se ?far? po ndodh: tkurrje apo zgjerim? Shume e thjeshte. N?se m? par? funksionet ishin s? bashku, dhe tani ato jan? b?r? t? ndara, at?her? fush?veprimi i p?rkufizimit ?sht? ngushtuar (sepse ka m? shum? k?rkesa). N?se n? fillim funksionet ishin t? ndara, dhe tani jan? s? bashku, at?her? domeni i p?rkufizimit zgjerohet (m? pak k?rkesa i imponohen produktit sesa faktor?ve individual?).

Duke pasur parasysh k?t? v?rejtje, d?shiroj t? v?rej se ekuacioni i dyt? logaritmik nuk k?rkon fare k?to transformime, d.m.th. ne nuk i shtojm? apo shum?zojm? argumentet askund. Sidoqoft?, k?tu do t? doja t? t?rhiqja v?mendjen tuaj n? nj? mashtrim tjet?r t? mrekulluesh?m q? ju lejon t? thjeshtoni ndjesh?m zgjidhjen. B?het fjal? p?r ndryshimin e nj? ndryshoreje.

Sidoqoft?, mbani mend se asnj? z?vend?sim nuk na ?liron nga q?llimi. Kjo ?sht? arsyeja pse pasi u gjet?n t? gjitha rr?nj?t, ne nuk ishim shum? dembel? dhe u kthyem n? ekuacionin origjinal p?r t? gjetur ODZ-n? e saj.

Shpesh kur ndryshon nj? variab?l, ndodh nj? gabim i bezdissh?m kur student?t gjejn? vler?n e t dhe mendojn? se zgjidhja ka mbaruar. N? asnj? m?nyr?!

Kur t? keni gjetur vler?n e t, duhet t? ktheheni n? ekuacionin origjinal dhe t? shihni se ?far? sakt?sisht kemi sh?nuar me k?t? shkronj?. Si rezultat, ne duhet t? zgjidhim nj? ekuacion m? shum?, i cili, megjithat?, do t? jet? shum? m? i thjesht? se ai origjinal.

Kjo ?sht? pik?risht pika e prezantimit t? nj? ndryshoreje t? re. Ne e ndajm? ekuacionin origjinal n? dy t? nd?rmjetme, secila prej t? cilave zgjidhet shum? m? leht?.

Si t? zgjidhim ekuacionet logaritmike "t? mbivendosur".

Sot vazhdojm? t? studiojm? ekuacionet logaritmike dhe t? analizojm? nd?rtimet kur nj? logarit?m ?sht? n?n shenj?n e nj? logaritmi tjet?r. Do t'i zgjidhim t? dy ekuacionet duke p?rdorur form?n kanonike.

Sot ne vazhdojm? t? studiojm? ekuacionet logaritmike dhe t? analizojm? nd?rtimet kur nj? logarit?m ?sht? n?n shenj?n e nj? tjetri. Do t'i zgjidhim t? dy ekuacionet duke p?rdorur form?n kanonike. M? lejoni t'ju kujtoj se n?se kemi ekuacionin m? t? thjesht? logaritmik t? form?s log a f (x) \u003d b, at?her? kryejm? hapat e m?posht?m p?r t? zgjidhur nj? ekuacion t? till?. Para s? gjithash, duhet t? z?vend?sojm? numrin b:

b = log a a b

Vini re se a b ?sht? nj? argument. N? m?nyr? t? ngjashme, n? ekuacionin origjinal, argumenti ?sht? funksioni f(x). Pastaj rishkruajm? ekuacionin dhe marrim k?t? nd?rtim:

log a f(x) = log a a b

Pas k?saj, ne mund t? kryejm? hapin e tret? - t? heqim qafe shenj?n e logaritmit dhe thjesht t? shkruajm?:

f(x) = a b

Si rezultat, marrim nj? ekuacion t? ri. N? k?t? rast, nuk vendosen kufizime p?r funksionin f(x). P?r shembull, n? vend t? tij mund t? jet? edhe nj? funksion logaritmik. Dhe pastaj marrim p?rs?ri nj? ekuacion logaritmik, t? cilin p?rs?ri e reduktojm? n? m? t? thjesht?n dhe e zgjidhim p?rmes form?s kanonike.

Por mjaft me tekstet. Le t? zgjidhim problemin e v?rtet?. Pra, detyra num?r 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Si? mund ta shihni, ne kemi nj? ekuacion t? thjesht? logaritmik. Roli i f (x) ?sht? nd?rtimi 1 + 3 log 2 x, dhe numri b ?sht? numri 2 (roli i a ?sht? gjithashtu dy). Le t'i rishkruajm? k?to dy si m? posht?:

?sht? e r?nd?sishme t? kuptojm? se dy deu?et e para na erdh?n nga baza e logaritmit, dometh?n? n?se do t? kishte 5 n? ekuacionin origjinal, at?her? do t? merrnim se 2 = log 5 5 2. N? p?rgjith?si, baza varet vet?m nga logaritmi, i cili fillimisht ?sht? dh?n? n? problem. Dhe n? rastin ton? ky num?r ?sht? 2.

Pra, ne e rishkruajm? ekuacionin ton? logaritmik, duke marr? parasysh faktin se t? dyja, e cila ?sht? n? t? djatht?, ?sht? n? t? v?rtet? gjithashtu nj? logarit?m. Ne marrim:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Ne kalojm? n? hapin e fundit t? skem?s son? - shp?tojm? nga forma kanonike. Mund t? themi, thjesht kap?rceni shenjat e regjistrit. Sidoqoft?, nga pik?pamja e matematik?s, ?sht? e pamundur t? "heq?sh login" - ?sht? m? e sakt? t? thuhet se thjesht barazojm? argumentet:

1 + 3 log 2 x = 4

Nga k?tu ?sht? e leht? t? gjesh 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Ne p?rs?ri mor?m ekuacionin logaritmik m? t? thjesht?, le ta kthejm? at? n? form?n kanonike. P?r ta b?r? k?t?, ne duhet t? b?jm? ndryshimet e m?poshtme:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Pse ka nj? deuce n? baz?? Sepse n? ekuacionin ton? kanonik n? t? majt? ?sht? logaritmi pik?risht n? baz?n 2. Ne e rishkruajm? problemin duke marr? parasysh k?t? fakt:

log 2 x = log 2 2

P?rs?ri, ne heqim qafe shenj?n e logaritmit, d.m.th., ne thjesht barazojm? argumentet. Ne kemi t? drejt? ta b?jm? k?t?, sepse bazat jan? t? nj?jta, dhe nuk u kryen m? veprime shtes? as n? t? djatht? as n? t? majt?:

Kjo eshte e gjitha! Problemi u zgjidh. Ne kemi gjetur nj? zgjidhje p?r ekuacionin logaritmik.

Sh?nim! Edhe pse ndryshorja x ?sht? n? argument (d.m.th. ka k?rkesa p?r domenin e p?rkufizimit), ne nuk do t? b?jm? asnj? k?rkes? shtes?.

Si? thash? m? lart, ky kontroll ?sht? i tep?rt n?se ndryshorja shfaqet n? vet?m nj? argument t? vet?m nj? logaritmi. N? rastin ton?, x me t? v?rtet? ?sht? vet?m n? argument dhe vet?m n?n nj? shenj? log. Prandaj, nuk k?rkohen kontrolle shtes?.

Megjithat?, n?se nuk i besoni k?saj metode, mund t? verifikoni leht?sisht se x = 2 ?sht? me t? v?rtet? nj? rr?nj?. Mjafton q? ky num?r t? z?vend?sohet n? ekuacionin origjinal.

Le t? kalojm? n? ekuacionin e dyt?, ?sht? pak m? interesant:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

N?se shprehjen brenda logaritmit t? madh e sh?nojm? me funksionin f (x), marrim ekuacionin logaritmik m? t? thjesht? me t? cilin filluam m?simin e sot?m me video. Prandaj, ?sht? e mundur t? zbatohet forma kanonike, p?r t? cil?n ?sht? e nevojshme t? p?rfaq?sohet nj?sia n? form?n log 2 2 1 = log 2 2.

Rishkrimi i ekuacionit ton? t? madh:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = log 2 2

Ne heqim qafe shenj?n e logaritmit, duke barazuar argumentet. Ne kemi t? drejt? ta b?jm? k?t?, sepse bazat jan? t? nj?jta n? t? majt? dhe n? t? djatht?. Gjithashtu, vini re se regjistri 2 4 = 2:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

P?rpara nesh ?sht? p?rs?ri ekuacioni logaritmik m? i thjesht? i form?s log a f (x) \u003d b. Kalojm? n? form?n kanonike, pra p?rfaq?sojm? zeron n? form?n log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Ne rishkruajm? ekuacionin ton? dhe heqim qafe shenj?n e regjistrit duke barazuar argumentet:

log 1/2 (2x - 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

P?rs?ri, mor?m nj? p?rgjigje t? menj?hershme. Nuk k?rkohen kontrolle shtes?, sepse n? ekuacionin origjinal, vet?m nj? logarit?m p?rmban funksionin n? argument.

Prandaj, nuk k?rkohen kontrolle shtes?. Mund t? themi me siguri se x = 1 ?sht? rr?nja e vetme e k?tij ekuacioni.

Por n?se n? logaritmin e dyt? n? vend t? kat?r do t? kishte ndonj? funksion t? x (ose 2x nuk do t? ishte n? argument, por n? baz?) - at?her? do t? ishte e nevojshme t? kontrollohej domeni i p?rkufizimit. P?rndryshe, ka nj? shans t? madh p?r t? kandiduar n? rr?nj? shtes?.

Nga vijn? k?to rr?nj? shtes?? Kjo pik? duhet kuptuar shum? qart?. Shikoni ekuacionet origjinale: kudo funksioni x ?sht? n?n shenj?n e logaritmit. Prandaj, meqen?se kemi shkruar log 2 x, automatikisht vendosim k?rkes?n x > 0. P?rndryshe, ky rekord thjesht nuk ka kuptim.

Megjithat?, nd?rsa zgjidhim ekuacionin logaritmik, i heqim qafe t? gjitha shenjat e logit dhe marrim nd?rtime t? thjeshta. K?tu, nuk jan? vendosur tashm? kufizime, sepse funksioni linear ?sht? p?rcaktuar p?r ?do vler? t? x.

?sht? ky problem, kur funksioni p?rfundimtar p?rcaktohet kudo dhe gjithmon?, dhe ai fillestar nuk ?sht? aspak kudo dhe jo gjithmon?, kjo ?sht? arsyeja pse rr?nj?t shtes? shfaqen shum? shpesh n? zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike.

Por e p?rs?ris edhe nj? her?: kjo ndodh vet?m n? nj? situat? ku funksioni ?sht? ose n? disa logaritme, ose n? baz?n e nj?rit prej tyre. N? problemet q? po shqyrtojm? sot, n? parim nuk ka probleme me zgjerimin e fush?s s? p?rkufizimit.

Raste t? bazave t? ndryshme

Ky m?sim i kushtohet strukturave m? komplekse. Logaritmet n? ekuacionet e sotme nuk do t? zgjidhen m? "bosh" - s? pari ju duhet t? kryeni disa transformime.

Fillojm? t? zgjidhim ekuacione logaritmike me baza krejt?sisht t? ndryshme, t? cilat nuk jan? fuqi t? sakta t? nj?ra-tjetr?s. Mos kini frik? nga detyra t? tilla - ato zgjidhen jo m? t? v?shtira se sa modelet m? t? thjeshta q? kemi analizuar m? lart.

Por, para se t? vazhdoj drejtp?rdrejt me problemet, m? lejoni t'ju kujtoj formul?n p?r zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike m? t? thjeshta duke p?rdorur form?n kanonike. Konsideroni nj? problem si ky:

log a f(x) = b

?sht? e r?nd?sishme q? funksioni f (x) t? jet? vet?m nj? funksion, dhe numrat a dhe b duhet t? jen? sakt?sisht numrat (pa asnj? ndryshore x). Sigurisht, fjal? p?r fjal? n? nj? minut? do t? shqyrtojm? edhe raste t? tilla kur n? vend t? ndryshoreve a dhe b ka funksione, por kjo nuk ka t? b?j? tani.

Si? e kujtojm?, numri b duhet t? z?vend?sohet me nj? logarit?m n? t? nj?jt?n baz? a, e cila ?sht? n? t? majt?. Kjo b?het shum? thjesht:

b = log a a b

Sigurisht, fjal?t "?do num?r b" dhe "?do num?r a" n?nkuptojn? vlera t? tilla q? plot?sojn? fush?n e p?rkufizimit. N? ve?anti, ky ekuacion merret vet?m me baz?n a > 0 dhe a ? 1.

Sidoqoft?, kjo k?rkes? plot?sohet automatikisht, sepse problemi origjinal tashm? p?rmban nj? logarit?m n? baz?n a - sigurisht q? do t? jet? m? i madh se 0 dhe jo i barabart? me 1. Prandaj, vazhdojm? zgjidhjen e ekuacionit logaritmik:

log a f(x) = log a a b

Nj? sh?nim i till? quhet forma kanonike. Leht?sia e tij ?sht? se ne mund t? heqim qafe menj?her? shenj?n e regjistrit duke barazuar argumentet:

f(x) = a b

?sht? kjo teknik? q? ne tani do t? p?rdorim p?r t? zgjidhur ekuacionet logaritmike me nj? baz? t? ndryshueshme. Pra, le t? shkojm?!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

?'pritet m? tej? Dikush do t? thot? tani se ju duhet t? llogaritni logaritmin e duhur, ose t'i reduktoni n? nj? baz?, ose di?ka tjet?r. Dhe me t? v?rtet?, tani ju duhet t'i sillni t? dy bazat n? t? nj?jt?n form? - ose 2 ose 0.5. Por le t? m?sojm? rregullin e m?posht?m nj?her? e p?rgjithmon?:

N?se ka thyesa dhjetore n? ekuacionin logaritmik, sigurohuni q? t'i konvertoni k?to thyesa nga sh?nimi dhjetor n? t? zakonsh?m. Nj? transformim i till? mund t? thjeshtoj? ndjesh?m zgjidhjen.

Nj? tranzicion i till? duhet t? kryhet menj?her?, edhe para se t? kryhen ndonj? veprim dhe transformim. Le t? shohim:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

?far? na jep nj? rekord i till?? Ne mund t? p?rfaq?sojm? 1/2 dhe 1/8 si nj? eksponent negativ:

Kemi form?n kanonike. Barazoni argumentet dhe merrni ekuacionin kuadratik klasik:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Para nesh ?sht? ekuacioni i dh?n? kuadratik, i cili zgjidhet leht?sisht duke p?rdorur formulat Vieta. Ju duhet t? shihni llogaritjet e ngjashme n? shkoll?n e mesme fjal? p?r fjal? gojarisht:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Kjo eshte e gjitha! Ekuacioni logaritmik origjinal ?sht? zgjidhur. Kemi dy rr?nj?.

M? lejoni t'ju kujtoj se n? k?t? rast nuk k?rkohet p?rcaktimi i shtrirjes, pasi funksioni me ndryshoren x ?sht? i pranish?m vet?m n? nj? argument. Prandaj, q?llimi kryhet automatikisht.

Pra, ekuacioni i par? ?sht? zgjidhur. Le t? kalojm? tek e dyta:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 -1

Dhe tani vini re se argumenti i logaritmit t? par? mund t? shkruhet gjithashtu si nj? fuqi me nj? eksponent negativ: 1/2 = 2 -1. At?her? mund t? hiqni fuqit? n? t? dy an?t e ekuacionit dhe t? ndani gjith?ka me -1:

Dhe tani kemi p?rfunduar nj? hap shum? t? r?nd?sish?m n? zgjidhjen e ekuacionit logaritmik. Ndoshta dikush nuk vuri re di?ka, k?shtu q? m? lejoni t? shpjegoj.

Hidhini nj? sy ekuacionit ton?: log ?sht? majtas dhe djathtas, por logaritmi i baz?s 2 ?sht? n? t? majt? dhe logaritmi i baz?s 3 ?sht? n? t? djatht?. shkall?.

Prandaj, k?to jan? logaritme me baza t? ndryshme, t? cilat nuk reduktohen me nj?ra-tjetr?n me fuqizim t? thjesht?. M?nyra e vetme p?r t? zgjidhur probleme t? tilla ?sht? t? hiqni qafe nj? nga k?to logaritme. N? k?t? rast, meqen?se ne ende po shqyrtojm? probleme mjaft t? thjeshta, logaritmi n? t? djatht? thjesht u llogarit dhe mor?m ekuacionin m? t? thjesht? - pik?risht at? p?r t? cilin fol?m n? fillim t? m?simit t? sot?m.

Le t? paraqesim numrin 2, i cili ?sht? n? t? djatht?, si log 2 2 2 = log 2 4. Dhe pastaj t? heqim qafe shenj?n e logaritmit, pas s? cil?s na mbetet vet?m nj? ekuacion kuadratik:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x - 2 = 0

Para nesh ?sht? ekuacioni i zakonsh?m kuadratik, por ai nuk zvog?lohet, sepse koeficienti n? x 2 ?sht? i ndrysh?m nga uniteti. Prandaj, do ta zgjidhim duke p?rdorur diskriminuesin:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (-9 - 11) / 10 \u003d -2

Kjo eshte e gjitha! Ne gjet?m t? dy rr?nj?t, q? do t? thot? se mor?m zgjidhjen e ekuacionit logaritmik origjinal. N? t? v?rtet?, n? problemin origjinal, funksioni me ndryshoren x ?sht? i pranish?m vet?m n? nj? argument. Rrjedhimisht, nuk k?rkohen kontrolle shtes? n? domenin e p?rkufizimit - t? dyja rr?nj?t q? kemi gjetur me siguri plot?sojn? t? gjitha kufizimet e mundshme.

Ky mund t? jet? fundi i m?simit video t? sot?m, por n? p?rfundim do t? doja t? them p?rs?ri: sigurohuni q? t? konvertoni t? gjitha thyesat dhjetore n? ato t? zakonshme kur zgjidhni ekuacione logaritmike. N? shumic?n e rasteve, kjo thjeshton shum? zgjidhjen e tyre.

Rrall?, shum? rrall?, ka probleme n? t? cilat heqja qafe e thyesave dhjetore vet?m sa i nd?rlikon llogaritjet. Sidoqoft?, n? ekuacione t? tilla, si rregull, fillimisht ?sht? e qart? se nuk ?sht? e nevojshme t? heq?sh qafe fraksionet dhjetore.

N? shumic?n e rasteve t? tjera (ve?an?risht n?se sapo keni filluar t? st?rviteni n? zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike), ndjehuni t? lir? t? hiqni qafe thyesat dhjetore dhe t'i p?rktheni ato n? ato t? zakonshme. Sepse praktika tregon se n? k?t? m?nyr? ju do t? thjeshtoni shum? zgjidhjen dhe llogaritjet pasuese.

Holl?sit? dhe truket e zgjidhjes

Sot po kalojm? n? probleme m? komplekse dhe do t? zgjidhim nj? ekuacion logaritmik, i cili bazohet jo n? nj? num?r, por n? nj? funksion.

Dhe edhe n?se ky funksion ?sht? linear, do t? duhet t? b?hen ndryshime t? vogla n? skem?n e zgjidhjes, kuptimi i s? cil?s zbret n? k?rkesat shtes? t? vendosura n? domenin e p?rcaktimit t? logaritmit.

Detyra t? v?shtira

Ky m?sim do t? jet? mjaft i gjat?. N? t?, ne do t? analizojm? dy ekuacione logaritmike mjaft serioze, n? zgjidhjen e t? cilave shum? student? b?jn? gabime. Gjat? praktik?s sime si m?suese n? matematik?, vazhdimisht kam hasur dy lloje gabimesh:

1. Shfaqja e rr?nj?ve shtes? p?r shkak t? zgjerimit t? fush?s s? p?rcaktimit t? logaritmeve. P?r t? shmangur gabime t? tilla fyese, thjesht mbani nj? sy t? ngusht? n? ?do transformim;
2. Humbja e rr?nj?ve p?r faktin se studenti harroi t? merrte n? konsiderat? disa raste "delikate" - pik?risht n? situata t? tilla do t? p?rqendrohemi sot.

Ky ?sht? m?simi i fundit mbi ekuacionet logaritmike. Do t? jet? e gjat?, do t? analizojm? ekuacione komplekse logaritmike. B?huni rehat, b?jini vetes nj? ?aj dhe ne do t? fillojm?.

Ekuacioni i par? duket mjaft standard:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Menj?her?, v?rejm? se t? dy logaritmet jan? kopje t? p?rmbysura t? nj?ri-tjetrit. Le t? kujtojm? formul?n e mrekullueshme:

log a b = 1/log b a

Sidoqoft?, kjo formul? ka nj? num?r kufizimesh q? lindin n?se n? vend t? numrave a dhe b ka funksione t? ndryshores x:

b > 0

1 ? a > 0

K?to k?rkesa vendosen n? baz? t? logaritmit. Nga ana tjet?r, n? nj? fraksion, na k?rkohet t? kemi 1 ? a > 0, pasi jo vet?m q? ndryshorja a ?sht? n? argumentin e logaritmit (pra, a > 0), por vet? logaritmi ?sht? n? em?ruesin e fraksioni. Por log b 1 = 0, dhe em?ruesi duhet t? jet? jo zero, pra a ? 1.

Pra, kufizimet n? variablin a jan? ruajtur. Por ?far? ndodh me ndryshoren b? Nga nj?ra an?, b > 0 rrjedh nga baza, nga ana tjet?r, ndryshorja b ? 1, sepse baza e logaritmit duhet t? jet? e ndryshme nga 1. N? total, nga ana e djatht? e formul?s rezulton se 1 ? b > 0.

Por k?tu ?sht? problemi: k?rkesa e dyt? (b ? 1) mungon nga pabarazia e par? n? logaritmin e majt?. Me fjal? t? tjera, gjat? kryerjes s? k?tij transformimi, ne duhet kontrolloni ve?mas se argumenti b ?sht? i ndrysh?m nga nj?!

K?tu, le ta kontrollojm?. Le t? zbatojm? formul?n ton?:

1 ? x - 0,5 > 0; 1 ? x + 1 > 0

Pra, ne kemi marr? se tashm? nga ekuacioni logaritmik origjinal rrjedh se si a ashtu edhe b duhet t? jen? m? t? m?dha se 0 dhe jo t? barabart? me 1. Pra, ne mund ta kthejm? leht?sisht ekuacionin logaritmik:

Un? propozoj t? prezantoj nj? variab?l t? ri:

log x + 1 (x - 0,5) = t

N? k?t? rast, nd?rtimi yn? do t? rishkruhet si m? posht?:

(t 2 - 1)/t = 0

Vini re se n? num?rues kemi dallimin e katror?ve. Ne zbulojm? ndryshimin e katror?ve duke p?rdorur formul?n e shkurtuar t? shum?zimit:

(t - 1)(t + 1)/t = 0

Nj? thyes? ?sht? zero kur num?ruesi i saj ?sht? zero dhe em?ruesi i saj ?sht? jo zero. Por num?ruesi p?rmban produktin, k?shtu q? ne e barazojm? ?do faktor me zero:

t1 = 1;

t2 = -1;

t ? 0.

Si? mund ta shihni, t? dyja vlerat e ndryshores nuk na p?rshtaten. Megjithat?, zgjidhja nuk p?rfundon me kaq, sepse duhet t? gjejm? jo t , por vler?n e x . Kthehemi n? logarit?m dhe marrim:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

Le ta sjellim secilin prej k?tyre ekuacioneve n? form?n kanonike:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Ne heqim qafe shenj?n e logaritmit n? rastin e par? dhe barazojm? argumentet:

x - 0,5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0,5;

Nj? ekuacion i till? nuk ka rr?nj?, prandaj, ekuacioni i par? logaritmik gjithashtu nuk ka rr?nj?. Por me ekuacionin e dyt?, gjith?ka ?sht? shum? m? interesante:

(x - 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Ne zgjidhim proporcionin - marrim:

(x - 0,5) (x + 1) = 1

Ju kujtoj se kur zgjidhni ekuacione logaritmike, ?sht? shum? m? e p?rshtatshme t? jepni t? gjitha thyesat dhjetore t? zakonshme, k?shtu q? le ta rishkruajm? ekuacionin ton? si m? posht?:

(x - 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Para nesh ?sht? ekuacioni i dh?n? kuadratik, ai zgjidhet leht?sisht duke p?rdorur formulat Vieta:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 \u003d -1,5;

x2 = 1.

Ne mor?m dy rr?nj? - ato jan? kandidat? p?r zgjidhjen e ekuacionit logaritmik origjinal. P?r t? kuptuar se cilat rr?nj? do t? hyjn? v?rtet n? p?rgjigjen, le t? kthehemi te problemi origjinal. Tani do t? kontrollojm? secil?n prej rr?nj?ve tona p?r t? par? n?se ato p?rputhen me q?llimin:

1,5 ? x > 0,5; 0 ? x > -1.

K?to k?rkesa jan? t? barabarta me nj? pabarazi t? dyfisht?:

1 ? x > 0,5

Nga k?tu shohim menj?her? se rr?nja x = -1,5 nuk na p?rshtatet, por x = 1 ?sht? mjaft e k?naqur. Prandaj x = 1 ?sht? zgjidhja p?rfundimtare e ekuacionit logaritmik.

Le t? kalojm? n? detyr?n e dyt?:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

N? pamje t? par?, mund t? duket se t? gjitha logaritmet kan? baza t? ndryshme dhe argumente t? ndryshme. ?far? duhet b?r? me struktura t? tilla? Para s? gjithash, vini re se numrat 25, 5 dhe 625 jan? fuqit? e 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Dhe tani do t? p?rdorim vetin? e jasht?zakonshme t? logaritmit. Fakti ?sht? se ju mund t'i hiqni gradat nga argumenti n? form?n e faktor?ve:

log a b n = n ? log a b

Kufizime vendosen edhe p?r k?t? transformim kur n? vend t? b ka nj? funksion. Por me ne b ?sht? vet?m nj? num?r dhe nuk ka kufizime shtes?. Le t? rishkruajm? ekuacionin ton?:

2 ? log x 5 + log 125 x 5 = 4 ? log 25 x 5

Ne mor?m nj? ekuacion me tre terma q? p?rmbajn? shenj?n log. P?r m? tep?r, argumentet e t? tre logaritmeve jan? t? barabarta.

?sht? koha p?r t? kthyer logaritmet p?r t'i sjell? n? t? nj?jt?n baz? - 5. Meqen?se ndryshorja b ?sht? nj? konstante, nuk ka ndryshim n? shtrirjen. Ne thjesht rishkruajm?:

Si? pritej, t? nj?jtat logaritme "zvarriteshin" n? em?rues. Un? sugjeroj ndryshimin e variablit:

log 5 x = t

N? k?t? rast, ekuacioni yn? do t? rishkruhet si m? posht?:

Le t? shkruajm? num?ruesin dhe t? hapim kllapat:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

Kthehemi n? fraksionin ton?. Num?ruesi duhet t? jet? zero:

Dhe em?ruesi ?sht? i ndrysh?m nga zero:

t ? 0; t ? -3; t ? -2

K?rkesat e fundit plot?sohen automatikisht, pasi t? gjitha jan? "t? lidhura" me numra t? plot?, dhe t? gjitha p?rgjigjet jan? irracionale.

Pra, zgjidhet ekuacioni thyesor-racional, gjenden vlerat e ndryshores t. Kthehemi te zgjidhja e ekuacionit logaritmik dhe kujtojm? se ?far? ?sht? t:

E sjellim k?t? ekuacion n? form?n kanonike, marrim nj? num?r me nj? shkall? irracionale. Mos lejoni q? kjo t'ju ngat?rroj? - edhe argumente t? tilla mund t? barazohen:

Kemi dy rr?nj?. M? sakt?sisht, dy kandidat? p?r p?rgjigje - le t'i kontrollojm? p?r pajtueshm?rin? me q?llimin. Meqen?se baza e logaritmit ?sht? ndryshorja x, ne k?rkojm? si m? posht?:

1 ? x > 0;

Me t? nj?jtin sukses, pohojm? se x ? 1/125, p?rndryshe baza e logaritmit t? dyt? do t? kthehet n? nj?. S? fundi, x ? 1/25 p?r logaritmin e tret?.

N? total, ne kemi kat?r kufizime:

1 ? x > 0; x ? 1/125; x ? 1/25

Tani shtrohet pyetja: a i plot?sojn? rr?nj?t tona k?to k?rkesa? Sigurisht i k?naqur! Sepse 5 p?r ?do fuqi do t? jet? m? e madhe se zero, dhe k?rkesa x > 0 plot?sohet automatikisht.

Nga ana tjet?r, 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 -2, 1/125 \u003d 5 -3, q? do t? thot? se k?to kufizime p?r rr?nj?t tona (q?, m? lejoni t'ju kujtoj, kan? nj? num?r irracional n? treguesi) plot?sohen gjithashtu dhe t? dyja p?rgjigjet jan? zgjidhje p?r problemin.

Pra, ne kemi p?rgjigjen p?rfundimtare. Ka dy pika ky?e n? k?t? ??shtje:

1. Kini kujdes kur ndryshoni logaritmin kur argumenti dhe baza jan? t? kund?rta. Transformime t? tilla imponojn? kufizime t? panevojshme n? fush?n e p?rkufizimit.
2. Mos kini frik? t? konvertoni logaritmet: jo vet?m q? mund t'i ktheni ato, por edhe t'i hapni ato sipas formul?s s? shum?s dhe n? p?rgjith?si t'i ndryshoni ato sipas ?do formule q? keni studiuar kur zgjidhni shprehjet logaritmike. Sidoqoft?, mbani mend gjithmon? se disa transformime zgjerojn? fush?veprimin dhe disa e ngushtojn? at?.

Logaritmi i b (b > 0) n? baz?n a (a > 0, a ? 1)?sht? eksponenti n? t? cilin duhet t? ngrini numrin a p?r t? marr? b.

Logaritmi baz? 10 i b mund t? shkruhet si regjistri (b), dhe logaritmi n? baz?n e (logaritmi natyror) - ln(b).

Shpesh p?rdoret p?r zgjidhjen e problemeve me logaritme:

Vetit? e logaritmeve

Jan? kat?r kryesore vetit? e logaritmeve.

Le t? jet? a > 0, a ? 1, x > 0 dhe y > 0.

Vetia 1. Logaritmi i produktit

Logaritmi i produktit?sht? e barabart? me shum?n e logaritmeve:

log a (x ? y) = log a x + log a y

Vetia 2. Logaritmi i her?sit

Logaritmi i her?sit?sht? e barabart? me diferenc?n e logaritmeve:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vetia 3. Logaritmi i shkall?s

Logaritmi i shkall?s?sht? e barabart? me prodhimin e shkall?s dhe logaritmit:

N?se baza e logaritmit ?sht? n? eksponent, at?her? zbatohet nj? formul? tjet?r:

Vetia 4. Logaritmi i rr?nj?s

Kjo veti mund t? merret nga vetia e logaritmit t? shkall?s, pasi rr?nja e shkall?s s? n-t? ?sht? e barabart? me fuqin? 1/n:

Formula p?r kalimin nga nj? logarit?m n? nj? baz? n? nj? logarit?m n? nj? baz? tjet?r

Kjo formul? p?rdoret gjithashtu shpesh kur zgjidhen detyra t? ndryshme p?r logaritme:

Rast i ve?ant?:

Krahasimi i logaritmeve (pabarazive)

Supozoni se kemi 2 funksione f(x) dhe g(x) n?n logaritme me t? nj?jtat baza dhe ka nj? shenj? pabarazie nd?rmjet tyre:

P?r t'i krahasuar ato, s? pari duhet t? shikoni baz?n e logaritmeve a:

• N?se a > 0, at?her? f(x) > g(x) > 0
• N?se 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Si t? zgjidhim problemet me logaritme: shembuj

Detyrat me logaritme t? p?rfshira n? USE n? matematik? p?r klas?n 11 n? detyr?n 5 dhe detyr?n 7, mund t? gjeni detyra me zgjidhje n? faqen ton? t? internetit n? seksionet p?rkat?se. Gjithashtu, detyrat me logaritme gjenden n? bank?n e detyrave n? matematik?. Ju mund t'i gjeni t? gjith? shembujt duke k?rkuar n? faqe.

?far? ?sht? nj? logarit?m

Logaritmet jan? konsideruar gjithmon? nj? tem? e v?shtir? n? l?nd?n e matematik?s shkollore. Ka shum? p?rkufizime t? ndryshme t? logaritmit, por p?r disa arsye shumica e teksteve p?rdorin m? kompleksin dhe fatkeqin prej tyre.

Logaritmin do ta p?rcaktojm? thjesht dhe qart?. Le t? krijojm? nj? tabel? p?r k?t?:

Pra, ne kemi fuqi prej dy.

Logaritmet - vetit?, formulat, si t? zgjidhen

N?se e merrni numrin nga fundi, at?her? mund t? gjeni leht?sisht fuqin? n? t? cil?n duhet t? ngrini dy p?r t? marr? k?t? num?r. P?r shembull, p?r t? marr? 16, ju duhet t? ngrini dy n? fuqin? e kat?rt. Dhe p?r t? marr? 64, ju duhet t? ngrini dy n? fuqin? e gjasht?. Kjo mund t? shihet nga tabela.

Dhe tani - n? fakt, p?rkufizimi i logaritmit:

baza a e argumentit x ?sht? fuqia n? t? cil?n duhet t? rritet numri a p?r t? marr? numrin x.

Sh?nim: log a x \u003d b, ku a ?sht? baza, x ?sht? argumenti, b ?sht? n? t? v?rtet? me ?far? logaritmi ?sht? i barabart?.

P?r shembull, 2 3 = 8 => log 2 8 = 3 (logaritmi baz? 2 i 8 ?sht? tre sepse 2 3 = 8). Mund t? regjistroni gjithashtu 2 64 = 6, pasi 2 6 = 64.

Quhet veprimi i gjetjes s? logaritmit t? nj? numri n? nj? baz? t? caktuar. Pra, le t? shtojm? nj? rresht t? ri n? tabel?n ton?:

Fatkeq?sisht, jo t? gjitha logaritmet konsiderohen kaq leht?. P?r shembull, p?rpiquni t? gjeni regjistrin 2 5. Numri 5 nuk ?sht? n? tabel?, por logjika dikton q? logaritmi do t? shtrihet diku n? segment. Sepse 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Numra t? till? quhen irracional?: numrat pas presjes dhjetore mund t? shkruhen pafund?sisht dhe nuk p?rs?riten kurr?. N?se logaritmi rezulton irracional, ?sht? m? mir? ta lini k?shtu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

?sht? e r?nd?sishme t? kuptohet se logaritmi ?sht? nj? shprehje me dy variabla (baz? dhe argument). N? fillim, shum? njer?z ngat?rrojn? se ku ?sht? baza dhe ku ?sht? argumenti. P?r t? shmangur keqkuptimet e bezdisshme, thjesht hidhini nj? sy fotos:

Para nesh nuk ?sht? gj? tjet?r ve?se p?rkufizimi i logaritmit. Mbani mend: logaritmi ?sht? fuqia, p?r t? cil?n ju duhet t? ngrini baz?n p?r t? marr? argumentin. ?sht? baza q? ?sht? ngritur n? nj? fuqi - n? foto ?sht? e theksuar me t? kuqe. Rezulton se baza ?sht? gjithmon? n? fund! Un? ua them k?t? rregull t? mrekulluesh?m nx?n?sve t? mi q? n? m?simin e par? - dhe nuk ka asnj? konfuzion.

Si t? num?rohen logaritmet

Ne e kuptuam p?rkufizimin - mbetet t? m?sojm? se si t? num?rojm? logaritmet, d.m.th. hiqni qafe shenj?n "log". P?r t? filluar, v?rejm? se nga p?rkufizimi rrjedhin dy fakte t? r?nd?sishme:

1. Argumenti dhe baza duhet t? jen? gjithmon? m? t? m?dha se zero. Kjo rrjedh nga p?rcaktimi i shkall?s nga nj? eksponent racional, n? t? cilin ?sht? reduktuar p?rkufizimi i logaritmit.
2. Baza duhet t? jet? e ndryshme nga uniteti, pasi nj? nj?si p?r ?do fuqi ?sht? ende nj? nj?si. P?r shkak t? k?saj, pyetja "n? ?far? fuqie duhet t? ngrihet p?r t? marr? dy" ?sht? e pakuptimt?. Nuk ka nj? diplom? t? till?!

Kufizime t? tilla quhen diapazoni i vlefsh?m(ODZ). Rezulton se ODZ e logaritmit duket k?shtu: log a x = b => x > 0, a > 0, a ? 1.

Vini re se nuk ka kufizime n? numrin b (vlera e logaritmit) nuk ?sht? vendosur. P?r shembull, logaritmi mund t? jet? negativ: log 2 0.5 = -1, sepse 0,5 = 2 -1 .

Megjithat?, tani po shqyrtojm? vet?m shprehjet numerike, ku nuk k?rkohet t? dihet ODZ e logaritmit. T? gjitha kufizimet tashm? jan? marr? parasysh nga hartuesit e problemeve. Por kur ekuacionet logaritmike dhe pabarazit? hyjn? n? loj?, k?rkesat e DHS do t? b?hen t? detyrueshme. N? t? v?rtet?, n? baz? dhe argument mund t? ket? nd?rtime shum? t? forta, t? cilat jo domosdoshm?risht korrespondojn? me kufizimet e m?sip?rme.

Tani merrni parasysh skem?n e p?rgjithshme p?r llogaritjen e logaritmeve. Ai p?rb?het nga tre hapa:

1. Shprehni baz?n a dhe argumentin x si fuqi me baz?n m? t? vog?l t? mundshme m? t? madhe se nj?. Gjat? rrug?s, ?sht? m? mir? t? heq?sh qafe thyesat dhjetore;
2. Zgjidheni ekuacionin p?r ndryshoren b: x = a b ;
3. Numri b q? rezulton do t? jet? p?rgjigja.

Kjo eshte e gjitha! N?se logaritmi rezulton irracional, kjo do t? shihet tashm? n? hapin e par?. K?rkesa q? baza t? jet? m? e madhe se nj? ?sht? shum? e r?nd?sishme: kjo zvog?lon gjasat e gabimit dhe thjeshton shum? llogaritjet. N? m?nyr? t? ngjashme me thyesat dhjetore: n?se i konvertoni menj?her? n? ato t? zakonshme, do t? ket? shum? her? m? pak gabime.

Le t? shohim se si funksionon kjo skem? me shembuj specifik:

Nj? detyr?. Llogaritni logaritmin: log 5 25

1. Le t? paraqesim baz?n dhe argumentin si nj? fuqi prej pes?: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Le t? b?jm? dhe zgjidhim ekuacionin:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Mori nj? p?rgjigje: 2.

Nj? detyr?. Llogaritni logaritmin:

Nj? detyr?. Llogaritni logaritmin: log 4 64

1. Le t? paraqesim baz?n dhe argumentin si fuqi dyshe: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Le t? b?jm? dhe zgjidhim ekuacionin:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Mori nj? p?rgjigje: 3.

Nj? detyr?. Llogaritni logaritmin: log 16 1

1. Le t? paraqesim baz?n dhe argumentin si fuqi dyshe: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Le t? b?jm? dhe zgjidhim ekuacionin:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Mori nj? p?rgjigje: 0.

Nj? detyr?. Llogaritni logaritmin: log 7 14

1. Le t? paraqesim baz?n dhe argumentin si nj? fuqi prej shtat?: 7 = 7 1 ; 14 nuk p?rfaq?sohet si fuqi e shtat?, sepse 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Nga paragrafi i m?parsh?m rezulton se logaritmi nuk merret parasysh;
3. P?rgjigja ?sht? pa ndryshim: log 7 14.

Nj? sh?nim i vog?l n? shembullin e fundit. Si t? sigurohemi q? nj? num?r nuk ?sht? fuqia e sakt? e nj? numri tjet?r? Shum? e thjesht? - thjesht zb?rthejeni at? n? faktor?t kryesor?. N?se ka t? pakt?n dy faktor? t? ve?ant? n? zgjerim, numri nuk ?sht? nj? fuqi e sakt?.

Nj? detyr?. Zbuloni n?se fuqit? e sakta t? numrit jan?: 8; 48; 81; 35; kat?rmb?dhjet?.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - shkalla e sakt?, sepse ka vet?m nj? shum?zues;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nuk ?sht? nj? fuqi e sakt? sepse ka dy faktor?: 3 dhe 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - shkalla e sakt?;
35 = 7 5 - p?rs?ri jo nj? shkall? e sakt?;
14 \u003d 7 2 - p?rs?ri jo nj? shkall? e sakt?;

Vini re gjithashtu se vet? numrat e thjesht? jan? gjithmon? fuqi t? sakta t? tyre.

Logaritmi dhjetor

Disa logaritme jan? aq t? zakonshme sa kan? nj? em?r dhe em?rtim t? ve?ant?.

i argumentit x ?sht? logaritmi baz? 10, d.m.th. fuqia n? t? cil?n duhet t? rritet 10 p?r t? marr? x. Em?rtimi: lgx.

P?r shembull, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etj.

Q? tani e tutje, kur nj? fraz? si "Gjeni lg 0.01" shfaqet n? tekstin shkollor, dijeni se kjo nuk ?sht? nj? gabim shtypi. Ky ?sht? logaritmi dhjetor. Sidoqoft?, n?se nuk jeni m?suar me nj? p?rcaktim t? till?, gjithmon? mund ta rishkruani at?:
log x = log 10 x

?do gj? q? ?sht? e v?rtet? p?r logaritmet e zakonshme ?sht? gjithashtu e v?rtet? p?r numrat dhjetor?.

logaritmi natyror

Ekziston nj? logarit?m tjet?r q? ka sh?nimin e vet. N? nj? far? kuptimi, ?sht? edhe m? i r?nd?sish?m se dhjetori. Ky ?sht? logaritmi natyror.

i argumentit x ?sht? logaritmi n? baz?n e, d.m.th. fuqia n? t? cil?n duhet t? ngrihet numri e p?r t? marr? numrin x. Em?rtimi: lnx.

Shum? do t? pyesin: cili ?sht? numri e? Ky ?sht? nj? num?r irracional, vlera e tij e sakt? nuk mund t? gjendet dhe t? shkruhet. K?tu jan? vet?m numrat e par?:
e = 2.718281828459…

Ne nuk do t? thellojm? se ?far? ?sht? ky num?r dhe pse ?sht? i nevojsh?m. Vet?m mos harroni se e ?sht? baza e logaritmit natyror:
ln x = log e x

K?shtu ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etj. Nga ana tjet?r, ln 2 ?sht? nj? num?r irracional. N? p?rgjith?si, logaritmi natyror i ?do numri racional ?sht? irracional. P?rve?, natyrisht, unitetit: ln 1 = 0.

P?r logaritmet natyrore, t? gjitha rregullat q? jan? t? v?rteta p?r logaritmet e zakonshme jan? t? vlefshme.

Shiko gjithashtu:

Logaritmi. Vetit? e logaritmit (fuqia e logaritmit).

Si t? paraqesim nj? num?r si logarit?m?

Ne p?rdorim p?rkufizimin e nj? logaritmi.

Logaritmi ?sht? nj? tregues i fuqis? n? t? cil?n baza duhet t? ngrihet p?r t? marr? numrin n?n shenj?n e logaritmit.

K?shtu, p?r t? paraqitur nj? num?r t? caktuar c si logarit?m n? baz?n a, duhet t? vendosni nj? shkall? me t? nj?jt?n baz? si baza e logaritmit n?n shenj?n e logaritmit dhe t? shkruani k?t? num?r c n? eksponent:

N? form?n e nj? logaritmi, ju mund t? p?rfaq?soni absolutisht ?do num?r - pozitiv, negativ, num?r i plot?, i pjessh?m, racional, irracional:

P?r t? mos ngat?rruar a dhe c n? kushte stresuese t? nj? testi ose provimi, mund t? p?rdorni rregullin e m?posht?m p?r t? mbajtur mend:

ajo q? ?sht? posht? zbret, ajo q? ?sht? lart shkon lart.

P?r shembull, ju d?shironi t? p?rfaq?soni numrin 2 si nj? logarit?m n? baz?n 3.

Kemi dy numra - 2 dhe 3. K?ta numra jan? baza dhe eksponenti, t? cil?t do t'i shkruajm? n?n shenj?n e logaritmit. Mbetet p?r t? p?rcaktuar se cili nga k?ta numra duhet t? shkruhet, n? baz?n e shkall?s dhe cili - lart, n? eksponent.

Baza 3 n? regjistrimin e logaritmit ?sht? n? fund, q? do t? thot? se kur paraqesim logaritmin si logarit?m n? baz?n e 3, do t? shkruajm? gjithashtu 3 n? baz?.

2 ?sht? m? e lart? se 3. Dhe n? sh?nimin e shkall?s, ne shkruajm? dy mbi tre, dometh?n? n? eksponent:

Logaritmet. Niveli i par?.

Logaritmet

logaritmi num?r pozitiv b nga arsyeja a, ku a > 0, a ? 1, ?sht? eksponenti n? t? cilin duhet t? rritet numri. a, P?r t? marr? b.

P?rkufizimi i logaritmit mund t? shkruhet shkurt k?shtu:

Kjo barazi vlen p?r b > 0, a > 0, a ? 1. Ai zakonisht quhet identiteti logaritmik.
Veprimi i gjetjes s? logaritmit t? nj? numri quhet logaritmi.

Vetit? e logaritmeve:

Logaritmi i produktit:

Logaritmi i her?sit nga pjes?timi:

Z?vend?simi i baz?s s? logaritmit:

Logaritmi i shkall?s:

logaritmi i rr?nj?s:

Logaritmi me baz?n e fuqis?:

Logaritmet dhjetore dhe natyrore.

Logaritmi dhjetor numrat th?rrasin logaritmin baz? 10 t? atij numri dhe shkruajn?   lg b
logaritmi natyror numrat th?rrasin logaritmin e k?tij numri n? baz? e, ku e?sht? nj? num?r irracional, af?rsisht i barabart? me 2.7. N? t? nj?jt?n koh?, ata shkruajn? ln b.

Sh?nime t? tjera mbi Algjebr?n dhe Gjeometrin?

Vetit? themelore t? logaritmeve

Vetit? themelore t? logaritmeve

Logaritmet, si ?do num?r, mund t? shtohen, zbriten dhe konvertohen n? ?do m?nyr? t? mundshme. Por meqen?se logaritmet nuk jan? numra krejt t? zakonsh?m, k?tu ka rregulla, t? cilat thirren vetit? themelore.

K?to rregulla duhet t? dihen - asnj? problem serioz logaritmik nuk mund t? zgjidhet pa to. P?r m? tep?r, ka shum? pak prej tyre - gjith?ka mund t? m?sohet brenda nj? dite. Pra, le t? fillojm?.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me t? nj?jt?n baz?: log a x dhe log a y. Pastaj ato mund t? shtohen dhe zbriten, dhe:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Pra, shuma e logaritmeve ?sht? e barabart? me logaritmin e produktit, dhe ndryshimi ?sht? logaritmi i her?sit. Ju lutemi vini re: pika kryesore k?tu ?sht? - baza t? nj?jta. N?se bazat jan? t? ndryshme, k?to rregulla nuk funksionojn?!

K?to formula do t? ndihmojn? n? llogaritjen e shprehjes logaritmike edhe kur pjes?t e saj individuale nuk merren parasysh (shihni m?simin "?far? ?sht? logaritmi"). Hidhini nj? sy shembujve dhe shikoni:

regjistri 6 4 + regjistri 6 9.

Meqen?se bazat e logaritmeve jan? t? nj?jta, ne p?rdorim formul?n e shum?s:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Nj? detyr?. Gjeni vler?n e shprehjes: log 2 48 - log 2 3.

Bazat jan? t? nj?jta, ne p?rdorim formul?n e ndryshimit:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Nj? detyr?. Gjeni vler?n e shprehjes: log 3 135 - log 3 5.

P?rs?ri, bazat jan? t? nj?jta, k?shtu q? kemi:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Si? mund ta shihni, shprehjet origjinale p?rb?hen nga logaritme "t? k?qija", t? cilat nuk konsiderohen ve?mas. Por pas transformimeve dalin numra mjaft normal?. Shum? teste bazohen n? k?t? fakt. Po, kontrolli - shprehje t? ngjashme me gjith? seriozitetin (nganj?her? - praktikisht pa ndryshime) ofrohen n? provim.

Heqja e eksponentit nga logaritmi

Tani le ta komplikojm? pak detyr?n. Po sikur t? ket? nj? shkall? n? baz?n ose argumentin e logaritmit? At?her? eksponenti i k?saj shkalle mund t? hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave t? m?poshtme:

?sht? e leht? t? shihet se rregulli i fundit ndjek dy t? parat e tyre. Por ?sht? m? mir? ta mbani mend gjithsesi - n? disa raste do t? zvog?loj? ndjesh?m sasin? e llogaritjeve.

Natyrisht, t? gjitha k?to rregulla kan? kuptim n?se respektohet logaritmi ODZ: a > 0, a ? 1, x > 0. Dhe nj? gj? tjet?r: m?soni t? zbatoni t? gjitha formulat jo vet?m nga e majta n? t? djatht?, por edhe anasjelltas, d.m.th. mund t? futni numrat para shenj?s s? logaritmit n? vet? logaritmin.

Si t? zgjidhni logaritmet

Kjo ?sht? ajo q? k?rkohet m? shpesh.

Nj? detyr?. Gjeni vler?n e shprehjes: log 7 49 6 .

Le t? heqim qafe shkall?n n? argument sipas formul?s s? par?:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Nj? detyr?. Gjeni vler?n e shprehjes:

Vini re se em?ruesi ?sht? nj? logarit?m baza dhe argumenti i t? cilit jan? fuqi t? sakta: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ne kemi:

Mendoj se shembulli i fundit ka nevoj? p?r sqarim. Ku kan? shkuar logaritmet? Deri n? momentin e fundit, ne punojm? vet?m me em?ruesin. Ata paraqit?n baz?n dhe argumentin e logaritmit q? q?ndron atje n? form?n e shkall?ve dhe nxor?n treguesit - mor?n nj? fraksion "trekat?sh".

Tani le t? shohim fraksionin kryesor. Num?ruesi dhe em?ruesi kan? t? nj?jtin num?r: log 2 7. Meqen?se log 2 7 ? 0, ne mund ta zvog?lojm? thyes?n - 2/4 do t? mbetet n? em?rues. Sipas rregullave t? aritmetik?s, kat?r mund t? transferohen n? num?rues, gj? q? u b?. Rezultati ?sht? p?rgjigja: 2.

Kalimi n? nj? themel t? ri

Duke folur p?r rregullat e mbledhjes dhe zbritjes s? logaritmeve, theksova ve?an?risht se ato punojn? vet?m me t? nj?jtat baza. Po sikur bazat t? jen? t? ndryshme? Po sikur t? mos jen? fuqi t? sakta t? t? nj?jtit num?r?

Formulat p?r kalimin n? nj? baz? t? re vijn? n? shp?tim. Ne i formulojm? ato n? form?n e nj? teoreme:

Le t? jepet logaritmi log a x. At?her? p?r ?do num?r c t? till? q? c > 0 dhe c ? 1, barazia ?sht? e v?rtet?:

N? ve?anti, n?se vendosim c = x, marrim:

Nga formula e dyt? rezulton se ?sht? e mundur t? nd?rrohet baza dhe argumenti i logaritmit, por n? k?t? rast e gjith? shprehja ?sht? "p?rmbysur", d.m.th. logaritmi ?sht? n? em?rues.

K?to formula rrall? gjenden n? shprehjet e zakonshme numerike. ?sht? e mundur t? vler?sohet se sa t? p?rshtatsh?m jan? ato vet?m kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazit?.

Megjithat?, ka detyra q? nuk mund t? zgjidhen fare, p?rve?se duke kaluar n? nj? themel t? ri. Le t? shqyrtojm? disa nga k?to:

Nj? detyr?. Gjeni vler?n e shprehjes: log 5 16 log 2 25.

Vini re se argumentet e t? dy logaritmave jan? eksponent? t? sakt?. Le t? nxjerrim treguesit: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Tani le t? kthejm? logaritmin e dyt?:

Meqen?se produkti nuk ndryshon nga nd?rrimi i faktor?ve, ne shum?zuam me qet?si kat?r dhe dy, dhe m? pas kuptuam logaritmet.

Nj? detyr?. Gjeni vler?n e shprehjes: log 9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit t? par? jan? fuqi t? sakta. Le ta shkruajm? dhe t? heqim qafe treguesit:

Tani le t? heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar n? nj? baz? t? re:

Identiteti baz? logaritmik

Shpesh n? procesin e zgjidhjes k?rkohet t? paraqitet nj? num?r si logarit?m n? nj? baz? t? caktuar.

N? k?t? rast, formulat do t? na ndihmojn?:

N? rastin e par?, numri n b?het eksponent n? argument. Numri n mund t? jet? absolutisht ?do gj?, sepse ?sht? vet?m vlera e logaritmit.

Formula e dyt? ?sht? n? fakt nj? p?rkufizim i parafrazuar. Quhet k?shtu:

N? t? v?rtet?, ?far? do t? ndodh? n?se numri b ngrihet n? nj? shkall? t? till? q? numri b n? k?t? shkall? t? jap? numrin a? ?sht? e drejt?: ky ?sht? i nj?jti num?r a. Lexoni p?rs?ri k?t? paragraf me kujdes - shum? njer?z "varen" n? t?.

Ashtu si formulat e reja t? konvertimit t? baz?s, identiteti logaritmik baz? ?sht? ndonj?her? e vetmja zgjidhje e mundshme.

Nj? detyr?. Gjeni vler?n e shprehjes:

Vini re se log 25 64 = log 5 8 - sapo nxorri katrorin nga baza dhe argumentin e logaritmit. Duke pasur parasysh rregullat p?r shum?zimin e fuqive me t? nj?jt?n baz?, marrim:

N?se dikush nuk ?sht? n? dijeni, kjo ishte nj? detyr? e v?rtet? nga Provimi i Unifikuar i Shtetit ?

Nj?sia logaritmike dhe zero logaritmike

Si p?rfundim, do t? jap dy identitete q? ?sht? e v?shtir? t? quhen veti - p?rkundrazi, k?to jan? pasoja nga p?rkufizimi i logaritmit. Gjenden vazhdimisht n? probleme dhe ?udit?risht krijojn? probleme edhe p?r nx?n?sit “t? avancuar”.

1. log a a = 1 ?sht?. Mbani mend nj? her? e p?rgjithmon?: logaritmi p?r ?do baz? a nga vet? ajo baz? ?sht? i barabart? me nj?.
2. log a 1 = 0 ?sht?. Baza a mund t? jet? ?do gj?, por n?se argumenti ?sht? nj?, logaritmi ?sht? zero! Sepse nj? 0 = 1 ?sht? nj? pasoj? e drejtp?rdrejt? e p?rkufizimit.

K?to jan? t? gjitha pronat. Sigurohuni q? t? praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni flet?n e mashtrimit n? fillim t? m?simit, printojeni dhe zgjidhni problemet.

T? gjith? jemi t? njohur me ekuacionet nga klasat fillore. Edhe aty m?suam t? zgjidhim shembujt m? t? thjesht? dhe duhet pranuar se e gjejn? aplikimin e tyre edhe n? matematik?n e lart?. Gjith?ka ?sht? e thjesht? me ekuacionet, duke p?rfshir? ato katrore. N?se keni probleme me k?t? tem?, ju rekomandojm? fuqimisht ta riprovoni.

Logaritmet ju ndoshta keni kaluar tashm? gjithashtu. Megjithat?, ne e konsiderojm? t? r?nd?sishme t? tregojm? se ?far? ?sht? p?r ata q? nuk e din? ende. Logaritmi barazohet me fuqin? n? t? cil?n baza duhet t? ngrihet p?r t? marr? numrin n? t? djatht? t? shenj?s s? logaritmit. Le t? japim nj? shembull, n? baz? t? t? cilit, gjith?ka do t? b?het e qart? p?r ju.

N?se ngreni 3 n? fuqin? e kat?rt, merrni 81. Tani z?vend?soni numrat me analogji dhe m? n? fund do t? kuptoni se si zgjidhen logaritmet. Tani mbetet vet?m p?r t? kombinuar dy konceptet e konsideruara. Fillimisht, situata duket jasht?zakonisht e v?shtir?, por me nj? ekzaminim m? t? af?rt, pesha bie n? vend. Jemi t? sigurt q? pas k?tij shkrimi t? shkurt?r nuk do t? keni asnj? problem n? k?t? pjes? t? provimit.

Sot, ka shum? m?nyra p?r t? zgjidhur struktura t? tilla. Ne do t? flasim p?r m? t? thjeshtat, m? efektivet dhe m? t? zbatueshmet n? rastin e detyrave USE. Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike duhet t? filloj? me shembullin m? t? thjesht?. Ekuacionet m? t? thjeshta logaritmike p?rb?hen nga nj? funksion dhe nj? ndryshore n? t?.

?sht? e r?nd?sishme t? theksohet se x ?sht? brenda argumentit. A dhe b duhet t? jen? numra. N? k?t? rast, ju thjesht mund ta shprehni funksionin n? terma t? nj? numri n? nj? fuqi. Duket k?shtu.

Sigurisht, zgjidhja e nj? ekuacioni logaritmik n? k?t? m?nyr? do t'ju ?oj? n? p?rgjigjen e sakt?. Por problemi i shumic?s d?rrmuese t? student?ve n? k?t? rast ?sht? se ata nuk e kuptojn? se nga vjen dhe nga vjen. Si rezultat, ju duhet t? duroni gabimet dhe t? mos merrni pik?t e d?shiruara. Gabimi m? fyes do t? jet? n?se i p?rzieni shkronjat n? vende. P?r t? zgjidhur ekuacionin n? k?t? m?nyr?, duhet t? m?soni p?rmend?sh k?t? formul? standarde t? shkoll?s, sepse ?sht? e v?shtir? p?r ta kuptuar at?.

P?r ta b?r? m? t? leht?, mund t? drejtoheni n? nj? metod? tjet?r - form?n kanonike. Ideja ?sht? jasht?zakonisht e thjesht?. Kushtojini v?mendje detyr?s p?rs?ri. Mos harroni se shkronja a ?sht? nj? num?r, jo nj? funksion ose nj? ndryshore. A nuk ?sht? e barabart? me nj? dhe ?sht? m? e madhe se zero. Nuk ka kufizime p?r b. Tani nga t? gjitha formulat, kujtojm? nj?. B mund t? shprehet si m? posht?.

Nga kjo rrjedh se t? gjitha ekuacionet origjinale me logaritme mund t? p?rfaq?sohen si:

Tani mund t? hedhim posht? logaritmet. Rezultati ?sht? nj? nd?rtim i thjesht?, t? cilin e kemi par? tashm? m? her?t.

Komoditeti i k?saj formule q?ndron n? faktin se mund t? p?rdoret n? nj? s?r? rastesh, dhe jo vet?m p?r dizajnet m? t? thjeshta.

Mos u shqet?soni p?r OOF!

Shum? matematikan? me p?rvoj? do t? v?rejn? se ne nuk i kemi kushtuar v?mendje fush?s s? p?rkufizimit. Rregulli bazohet n? faktin se F(x) ?sht? domosdoshm?risht m? i madh se 0. Jo, nuk e kemi humbur k?t? moment. Tani po flasim p?r nj? avantazh tjet?r serioz t? form?s kanonike.

K?tu nuk do t? ket? rr?nj? shtes?. N?se ndryshorja do t? shfaqet vet?m n? nj? vend, at?her? shtrirja nuk ?sht? e nevojshme. Ai funksionon automatikisht. P?r t? verifikuar k?t? gjykim, merrni parasysh zgjidhjen e disa shembujve t? thjesht?.

Si t? zgjidhim ekuacionet logaritmike me baza t? ndryshme

K?to jan? tashm? ekuacione logaritmike komplekse dhe qasja ndaj zgjidhjes s? tyre duhet t? jet? e ve?ant?. K?tu rrall? ?sht? e mundur t? kufizohemi n? form?n fam?keqe kanonike. Le t? fillojm? historin? ton? t? detajuar. Kemi konstruksionin e m?posht?m.

V?reni thyes?n. Ai p?rmban logaritmin. N?se e shihni k?t? n? detyr?, ia vlen t? mbani mend nj? truk interesant.

?far? do t? thot?? ?do logarit?m mund t? shprehet si nj? her?s i dy logaritmeve me nj? baz? t? p?rshtatshme. Dhe kjo formul? ka nj? rast t? ve?ant? q? ?sht? i zbatuesh?m p?r k?t? shembull (n?nkuptojm? n?se c=b).

Kjo ?sht? pik?risht ajo q? shohim n? shembullin ton?. N? k?t? m?nyr?.

N? fakt, ata e kthyen fraksionin dhe mor?n nj? shprehje m? t? p?rshtatshme. Mos harroni k?t? algorit?m!

Tani na duhet q? ekuacioni logaritmik t? mos p?rmbaj? baza t? ndryshme. Le t? paraqesim baz?n si nj? thyes?.

N? matematik?, ekziston nj? rregull, n? baz? t? t? cilit, ju mund t? hiqni grad?n nga baza. Rezulton nd?rtimi i m?posht?m.

Duket se tani ?far? na pengon ta kthejm? shprehjen ton? n? nj? form? kanonike dhe ta zgjidhim at? n? m?nyr? elementare? Jo aq e thjesht?. Nuk duhet t? ket? thyesa para logaritmit. Le ta rregullojm? k?t? situat?! Nj? fraksion lejohet t? nxirret si shkall?.

P?rkat?sisht.

N?se bazat jan? t? nj?jta, ne mund t? heqim logaritmet dhe t? barazojm? vet? shprehjet. K?shtu q? situata do t? b?het shum? her? m? e leht? se sa ishte. Do t? ket? nj? ekuacion elementar q? secili prej nesh dinte ta zgjidhte n? klas?n e 8-t? apo edhe t? 7-t?. Llogaritjet mund t'i b?ni vet?.

Ne mor?m rr?nj?n e vetme t? v?rtet? t? k?tij ekuacioni logaritmik. Shembujt e zgjidhjes s? nj? ekuacioni logaritmik jan? mjaft t? thjesht?, apo jo? Tani do t? jeni n? gjendje t? merreni n? m?nyr? t? pavarur edhe me detyrat m? t? v?shtira p?r p?rgatitjen dhe kalimin e provimit.

Cili ?sht? rezultati?

N? rastin e ?do ekuacioni logaritmik, ne vazhdojm? nga nj? rregull shum? i r?nd?sish?m. ?sht? e nevojshme t? veprohet n? at? m?nyr? q? t? sjell? shprehjen n? form?n m? t? thjesht?. N? k?t? rast, do t? keni m? shum? shanse jo vet?m p?r ta zgjidhur problemin n? m?nyr? korrekte, por edhe p?r ta b?r? at? n? m?nyr?n m? t? thjesht? dhe m? logjike. K?shtu punojn? gjithmon? matematikan?t.

Ne nuk ju rekomandojm? fuqimisht q? t? k?rkoni shtigje t? v?shtira, ve?an?risht n? k?t? rast. Mos harroni disa rregulla t? thjeshta q? do t'ju lejojn? t? transformoni ?do shprehje. P?r shembull, sillni dy ose tre logaritme n? t? nj?jt?n baz?, ose merrni nj? fuqi nga baza dhe fitoni mbi t?.

Vlen gjithashtu t? kujtohet se n? zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike ju duhet t? st?rviteni vazhdimisht. Gradualisht, do t? kaloni n? struktura gjithnj? e m? komplekse dhe kjo do t'ju ?oj? t? zgjidhni me besim t? gjitha opsionet p?r problemet n? provim. P?rgatituni paraprakisht p?r provimet tuaja dhe fat t? mir?!

Me k?t? video, un? filloj nj? seri t? gjat? m?simesh rreth ekuacioneve logaritmike. Tani keni tre shembuj nj?her?sh, n? baz? t? t? cil?ve do t? m?sojm? t? zgjidhim detyrat m? t? thjeshta, t? cilat quhen k?shtu - protozoar?t.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

M? lejoni t'ju kujtoj se ekuacioni logaritmik m? i thjesht? ?sht? ky:

log a f(x) = b

?sht? e r?nd?sishme q? ndryshorja x t? jet? e pranishme vet?m brenda argumentit, pra vet?m n? funksionin f(x). Dhe numrat a dhe b jan? vet?m numra, dhe n? asnj? rast nuk jan? funksione q? p?rmbajn? ndryshoren x.

Metodat baz? t? zgjidhjes

Ka shum? m?nyra p?r t? zgjidhur struktura t? tilla. P?r shembull, shumica e m?suesve n? shkoll? sugjerojn? k?t? m?nyr?: Shprehni menj?her? funksionin f ( x ) duke p?rdorur formul?n f( x) = a b. Kjo do t? thot?, kur t? takoni nd?rtimin m? t? thjesht?, mund t? vazhdoni menj?her? n? zgjidhje pa veprime dhe nd?rtime shtes?.

Po, sigurisht, vendimi do t? dal? i sakt?. Megjithat?, problemi me k?t? formul? ?sht? se shumica e student?ve nuk kuptoj, nga vjen dhe pse pik?risht shkronj?n a e ngrem? n? shkronj?n b.

Si rezultat, un? shpesh v?rej gabime shum? fyese, kur, p?r shembull, k?to shkronja shk?mbehen. Kjo formul? ose duhet kuptuar ose memorizuar, dhe metoda e dyt? ?on n? gabime n? momentet m? t? pap?rshtatshme dhe m? vendimtare: n? provime, teste, etj.

Kjo ?sht? arsyeja pse un? u sugjeroj t? gjith? nx?n?sve t? mi t? braktisin formul?n standarde t? shkoll?s dhe t? p?rdorin qasjen e dyt? p?r zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike, e cila, si? me siguri e keni marr? me mend nga emri, quhet form? kanonike.

Ideja e form?s kanonike ?sht? e thjesht?. Le t? shohim p?rs?ri detyr?n ton?: n? t? majt? kemi log a , nd?rsa shkronja a do t? thot? sakt?sisht numrin dhe n? asnj? rast funksionin q? p?rmban ndryshoren x. Prandaj, kjo let?r i n?nshtrohet t? gjitha kufizimeve q? vendosen n? baz? t? logaritmit. gjegj?sisht:

1 ? a > 0

Nga ana tjet?r, nga i nj?jti ekuacion, shohim se logaritmi duhet t? jet? i barabart? me numrin b, dhe nuk vendosen kufizime p?r k?t? shkronj?, sepse mund t? marr? ?do vler? - pozitive dhe negative. E gjitha varet nga vlerat q? merr funksioni f(x).

Dhe k?tu kujtojm? rregullin ton? t? mrekulluesh?m q? ?do num?r b mund t? p?rfaq?sohet si nj? logarit?m n? baz?n a nga a n? fuqin? e b:

b = log a a b

Si ta mbani mend k?t? formul?? Po, shum? e thjesht?. Le t? shkruajm? nd?rtimin e m?posht?m:

b = b 1 = b log a a

Sigurisht, n? k?t? rast, lindin t? gjitha kufizimet q? sh?nuam n? fillim. Dhe tani le t? p?rdorim vetin? baz? t? logaritmit dhe t? vendosim faktorin b si fuqi t? a. Ne marrim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Si rezultat, ekuacioni origjinal do t? rishkruhet n? form?n e m?poshtme:

log a f (x) = log a a b -> f (x) = a b

Kjo eshte e gjitha. Funksioni i ri nuk p?rmban m? nj? logarit?m dhe zgjidhet me teknika standarde algjebrike.

Sigurisht, dikush tani do t? kund?rshtoj?: pse ishte e nevojshme t? dilte fare me nj? lloj formule kanonike, pse t? kryheshin dy hapa shtes? t? panevojsh?m, n?se do t? ishte e mundur t? kalonte menj?her? nga nd?rtimi origjinal n? formul?n p?rfundimtare? Po, vet?m sepse shumica e student?ve nuk e kuptojn? se nga vjen kjo formul? dhe, si rezultat, rregullisht b?jn? gabime kur e zbatojn? at?.

Por nj? sekuenc? e till? veprimesh, e p?rb?r? nga tre hapa, ju lejon t? zgjidhni ekuacionin logaritmik origjinal, edhe n?se nuk e kuptoni se nga vjen formula p?rfundimtare. Nga rruga, kjo hyrje quhet formula kanonike:

log a f(x) = log a a b

Komoditeti i form?s kanonike q?ndron gjithashtu n? faktin se ajo mund t? p?rdoret p?r t? zgjidhur nj? klas? shum? t? gjer? ekuacionesh logaritmike, dhe jo vet?m ato m? t? thjeshtat q? po shqyrtojm? sot.

Shembuj zgjidhjesh

Tani le t? shohim shembuj real?. Pra, le t? vendosim:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Le ta rishkruajm? k?shtu:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3

Shum? student? jan? me nxitim dhe p?rpiqen t? ngren? menj?her? numrin 0.5 n? fuqin? q? na erdhi nga problemi origjinal. Dhe me t? v?rtet?, kur tashm? jeni t? trajnuar mir? n? zgjidhjen e problemeve t? tilla, mund ta kryeni menj?her? k?t? hap.

Sidoqoft?, n?se tani sapo keni filluar t? studioni k?t? tem?, ?sht? m? mir? t? mos nxitoni askund n? m?nyr? q? t? mos b?ni gabime fyese. Pra kemi form?n kanonike. Ne kemi:

3x - 1 = 0,5 -3

Ky nuk ?sht? m? nj? ekuacion logaritmik, por nj? ekuacion linear n? lidhje me ndryshoren x. P?r ta zgjidhur at?, fillimisht le t? merremi me numrin 0.5 n? fuqin? -3. Vini re se 0.5 ?sht? 1/2.

(1/2) -3 = (2/1) 3 = 8

Shnd?rroni t? gjitha dhjetoret n? thyesa kur zgjidhni nj? ekuacion logaritmik.

Ne rishkruajm? dhe marrim:

3x - 1 = 8
3x=9
x=3

Gjith?ka mor?m p?rgjigjen. Detyra e par? ?sht? zgjidhur.

Detyra e dyt?

Le t? kalojm? n? detyr?n e dyt?:

Si? mund ta shihni, ky ekuacion nuk ?sht? m? ai m? i thjeshti. N?se vet?m sepse ndryshimi ?sht? n? t? majt?, dhe jo nj? logarit?m i vet?m n? nj? baz?.

Prandaj, duhet t? shp?toni disi nga ky ndryshim. N? k?t? rast, gjith?ka ?sht? shum? e thjesht?. Le t'i hedhim nj? v?shtrim m? t? af?rt bazave: n? t? majt? ?sht? numri n?n rr?nj?:

Rekomandim i p?rgjithsh?m: n? t? gjitha ekuacionet logaritmike, p?rpiquni t? hiqni qafe radikal?t, d.m.th., nga hyrjet me rr?nj? dhe t? kaloni te funksionet e fuqis?, thjesht sepse eksponent?t e k?tyre fuqive hiqen leht?sisht nga shenja e logaritmit dhe, n? fund, t? tilla nj? sh?nim thjeshton dhe shpejton shum? llogaritjet. Le ta shkruajm? k?shtu:

Tani kujtojm? vetin? e jasht?zakonshme t? logaritmit: nga argumenti, si dhe nga baza, mund t? nxirrni grad?. N? rastin e bazave, ndodh si m? posht?:

log a k b = 1/k loga b

Me fjal? t? tjera, numri q? q?ndronte n? shkall?n e baz?s sillet p?rpara dhe n? t? nj?jt?n koh? kthehet, dometh?n? b?het reciproc i numrit. N? rastin ton?, kishte nj? shkall? t? baz?s me nj? tregues prej 1/2. Prandaj, ne mund ta nxjerrim at? si 2/1. Ne marrim:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Ju lutemi vini re: n? asnj? rast nuk duhet t? shp?toni nga logaritmet n? k?t? hap. Kthehuni n? klas?n 4-5 t? matematik?s dhe renditjen e veprimeve: fillimisht kryhet shum?zimi dhe vet?m m? pas kryhen mbledhja dhe zbritja. N? k?t? rast, ne zbresim nj? nga t? nj?jt?t element? nga 10 element?:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Tani ekuacioni yn? duket ashtu si? duhet. Ky ?sht? nd?rtimi m? i thjesht?, dhe ne e zgjidhim at? duke p?rdorur form?n kanonike:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Kjo eshte e gjitha. Problemi i dyt? ?sht? zgjidhur.

Shembulli i tret?

Le t? kalojm? n? detyr?n e tret?:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Kujtoni formul?n e m?poshtme:

log b = log 10 b

N?se p?r ndonj? arsye jeni t? hutuar duke shkruar lg b, at?her? kur b?ni t? gjitha llogaritjet, thjesht mund t? shkruani log 10 b. Mund t? punoni me logaritme dhjetore n? t? nj?jt?n m?nyr? si me t? tjer?t: hiqni fuqit?, shtoni dhe p?rfaq?soni ?do num?r si lg 10.

Jan? pik?risht k?to veti q? ne tani do t'i p?rdorim p?r t? zgjidhur problemin, pasi nuk ?sht? m? e thjeshta q? kemi shkruar n? fillim t? m?simit ton?.

P?r t? filluar, vini re se faktori 2 para lg 5 mund t? futet dhe b?het nj? fuqi e baz?s 5. P?rve? k?saj, termi i lir? 3 mund t? p?rfaq?sohet gjithashtu si nj? logarit?m - kjo ?sht? shum? e leht? p?r t'u v?zhguar nga sh?nimi yn?.

Gjykoni vet?: ?do num?r mund t? p?rfaq?sohet si regjist?r n? baz?n 10:

3 = regjistri 10 10 3 = regjistri 10 3

Le t? rishkruajm? problemin origjinal duke marr? parasysh ndryshimet e marra:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Para nesh ?sht? p?rs?ri forma kanonike, dhe ne e mor?m at? duke anashkaluar faz?n e shnd?rrimeve, d.m.th., ekuacioni m? i thjesht? logaritmik nuk doli askund tek ne.

P?r k?t? po flisja q? n? fillim t? m?simit. Forma kanonike lejon zgjidhjen e nj? klase m? t? gjer? problemesh sesa formula standarde e shkoll?s, e cila jepet nga shumica e m?suesve t? shkoll?s.

Kjo ?sht? e gjitha, ne heqim qafe shenj?n e logaritmit dhjetor dhe marrim nj? nd?rtim t? thjesht? linear:

x + 3 = 25,000
x = 24997

T? gjitha! Problemi u zgjidh.

Nj? sh?nim p?r shtrirjen

K?tu do t? doja t? b?ja nj? v?rejtje t? r?nd?sishme p?r fush?n e p?rkufizimit. Me siguri tani ka student? dhe m?sues q? do t? thon?: "Kur zgjidhim shprehje me logaritme, ?sht? e domosdoshme t? kujtojm? se argumenti f (x) duhet t? jet? m? i madh se zero!" N? k?t? drejtim, lind nj? pyetje logjike: pse n? asnj? nga problemet e shqyrtuara nuk kemi k?rkuar q? kjo pabarazi t? plot?sohet?

Mos u shqeteso. N? k?to raste nuk do t? shfaqen rr?nj? shtes?. Dhe ky ?sht? nj? tjet?r truk i shk?lqyesh?m q? ju lejon t? shpejtoni zgjidhjen. Vet?m dijeni se n?se n? problem ndryshorja x shfaqet vet?m n? nj? vend (m? sakt?, n? argumentin e vet?m t? logaritmit t? vet?m), dhe askund tjet?r n? rastin ton? nuk e b?n ndryshorja x, at?her? shkruani domenin. nuk ka nevoj? sepse do t? funksionoj? automatikisht.

Gjykoni vet?: n? ekuacionin e par?, kemi marr? se 3x - 1, d.m.th., argumenti duhet t? jet? i barabart? me 8. Kjo automatikisht do t? thot? se 3x - 1 do t? jet? m? i madh se zero.

Me t? nj?jtin sukses, mund t? shkruajm? se n? rastin e dyt?, x duhet t? jet? i barabart? me 5 2, d.m.th., sigurisht q? ?sht? m? i madh se zero. Dhe n? rastin e tret?, ku x + 3 = 25,000, pra, p?rs?ri, padyshim m? i madh se zero. Me fjal? t? tjera, shtrirja ?sht? automatike, por vet?m n?se x shfaqet vet?m n? argumentin e vet?m nj? logaritmi.

Kjo ?sht? gjith?ka q? duhet t? dini p?r t? zgjidhur probleme t? thjeshta. Vet?m ky rregull, s? bashku me rregullat e transformimit, do t'ju lejoj? t? zgjidhni nj? klas? shum? t? gjer? problemesh.

Por le t? jemi t? sinqert?: p?r t? kuptuar p?rfundimisht k?t? teknik?, p?r t? m?suar se si t? zbatohet forma kanonike e ekuacionit logaritmik, nuk mjafton vet?m t? shikoni nj? m?sim video. Prandaj, tani shkarkoni opsionet p?r nj? zgjidhje t? pavarur q? i jan? bashkangjitur k?tij video tutoriali dhe filloni t? zgjidhni t? pakt?n nj? nga k?to dy vepra t? pavarura.

Do t'ju duhen vet?m disa minuta. Por efekti i nj? trajnimi t? till? do t? jet? shum? m? i lart? n? krahasim me n?se sapo keni par? k?t? video tutorial.

Shpresoj se ky m?sim do t'ju ndihmoj? t? kuptoni ekuacionet logaritmike. Aplikoni form?n kanonike, thjeshtoni shprehjet duke p?rdorur rregullat p?r t? punuar me logaritme - dhe nuk do t? keni frik? nga asnj? detyr?. Dhe kjo ?sht? gjith?ka q? kam p?r sot.

Shqyrtimi i fush?veprimit

Tani le t? flasim p?r domenin e funksionit logaritmik, si dhe se si kjo ndikon n? zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike. Konsideroni nj? nd?rtim t? form?s

log a f(x) = b

Nj? shprehje e till? quhet m? e thjeshta - ajo ka vet?m nj? funksion, dhe numrat a dhe b jan? vet?m numra, dhe n? asnj? rast nuk jan? nj? funksion q? varet nga ndryshorja x. ?sht? zgjidhur shum? thjesht. Thjesht duhet t? p?rdorni formul?n:

b = log a a b

Kjo formul? ?sht? nj? nga vetit? kryesore t? logaritmit, dhe kur z?vend?sojm? n? shprehjen ton? origjinale, marrim sa vijon:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Kjo tashm? ?sht? nj? formul? e njohur nga tekstet shkollore. Shum? student? ndoshta do t? ken? nj? pyetje: meqen?se funksioni f ( x) n? shprehjen origjinale ?sht? n?n shenj?n log, kufizimet e m?poshtme vendosen mbi t?:

f(x) > 0

Ky kufizim ?sht? i vlefsh?m sepse logaritmi i numrave negativ? nuk ekziston. Pra, ndoshta p?r shkak t? k?tij kufizimi, duhet t? prezantoni nj? kontroll p?r p?rgjigje? Ndoshta ato duhet t? z?vend?sohen n? burim?

Jo, n? ekuacionet m? t? thjeshta logaritmike, nj? kontroll shtes? ?sht? i panevojsh?m. Dhe kjo ?sht? arsyeja pse. Hidhini nj? sy formul?s son? p?rfundimtare:

f(x) = a b

Fakti ?sht? se numri a n? ?do rast ?sht? m? i madh se 0 - kjo k?rkes? imponohet gjithashtu nga logaritmi. Numri a ?sht? baza. N? k?t? rast nuk vendosen kufizime p?r numrin b. Por kjo nuk ka r?nd?si, sepse pavar?sisht se n? ?far? shkalle e ngrem? nj? num?r pozitiv, do t? marrim p?rs?ri nj? num?r pozitiv n? dalje. K?shtu, k?rkesa f (x) > 0 plot?sohet automatikisht.

Ajo q? v?rtet vlen t? kontrollohet ?sht? fush?veprimi i funksionit n?n shenj?n e regjistrit. Mund t? ket? dizajne mjaft komplekse, dhe n? procesin e zgjidhjes s? tyre, patjet?r q? duhet t'i ndiqni. Le t? shohim.

Detyra e par?:

Hapi i par?: konvertoni thyes?n n? t? djatht?. Ne marrim:

Ne heqim qafe shenj?n e logaritmit dhe marrim ekuacionin e zakonsh?m irracional:

Nga rr?nj?t e marra na p?rshtatet vet?m e para, pasi rr?nja e dyt? ?sht? m? e vog?l se zero. P?rgjigja e vetme do t? jet? numri 9. Kjo ?sht? ajo, problemi ?sht? zgjidhur. Nuk k?rkohen kontrolle shtes? q? shprehja n?n shenj?n e logaritmit ?sht? m? e madhe se 0, sepse nuk ?sht? thjesht m? e madhe se 0, por sipas kushtit t? ekuacionit ?sht? e barabart? me 2. Prandaj, k?rkesa "m? e madhe se zero" ?sht? automatikisht. plot?suar.

Le t? kalojm? n? detyr?n e dyt?:

Gjith?ka ?sht? e nj?jt? k?tu. Ne rishkruajm? nd?rtimin, duke z?vend?suar trefishin:

Ne heqim qafe shenjat e logaritmit dhe marrim nj? ekuacion irracional:

Ne sheshojm? t? dy pjes?t, duke marr? parasysh kufizimet, dhe marrim:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 -4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

E zgjidhim ekuacionin q? rezulton p?rmes diskriminuesit:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Por x = -6 nuk na p?rshtatet, sepse n?se e z?vend?sojm? k?t? num?r n? pabarazin? ton?, marrim:

-6 + 4 = -2 < 0

N? rastin ton?, k?rkohet q? ajo t? jet? m? e madhe se 0 ose, n? raste ekstreme, e barabart?. Por x = -1 na p?rshtatet:

-1 + 4 = 3 > 0

P?rgjigja e vetme n? rastin ton? ?sht? x = -1. Kjo ?sht? e gjitha zgjidhja. Le t? kthehemi n? fillimin e llogaritjeve tona.

P?rfundimi kryesor nga ky m?sim ?sht? se nuk k?rkohet t? kontrollohen kufijt? p?r nj? funksion n? ekuacionet m? t? thjeshta logaritmike. Sepse n? procesin e zgjidhjes t? gjitha kufizimet ekzekutohen automatikisht.

Sidoqoft?, kjo n? asnj? m?nyr? nuk do t? thot? q? ju mund t? harroni fare verifikimin. N? procesin e pun?s p?r nj? ekuacion logaritmik, ai mund t? kthehet fare mir? n? nj? ekuacion iracional, i cili do t? ket? kufizimet dhe k?rkesat e veta p?r an?n e djatht?, t? cil?n e kemi par? sot n? dy shembuj t? ndrysh?m.

Ndjehuni t? lir? p?r t? zgjidhur probleme t? tilla dhe jini ve?an?risht t? kujdessh?m n?se ka nj? rr?nj? n? argument.

Ekuacione logaritmike me baza t? ndryshme

Ne vazhdojm? t? studiojm? ekuacionet logaritmike dhe t? analizojm? dy truke mjaft interesante me t? cilat ?sht? n? mod? t? zgjidhen struktura m? komplekse. Por s? pari, le t? kujtojm? se si zgjidhen detyrat m? t? thjeshta:

log a f(x) = b

N? k?t? sh?nim, a dhe b jan? vet?m numra, dhe n? funksionin f (x) ndryshorja x duhet t? jet? e pranishme dhe vet?m aty, dometh?n? x duhet t? jet? vet?m n? argument. Ne do t? transformojm? ekuacione t? tilla logaritmike duke p?rdorur form?n kanonike. P?r k?t?, v?rejm? se

b = log a a b

Dhe a b ?sht? vet?m nj? argument. Le ta rishkruajm? k?t? shprehje si m? posht?:

log a f(x) = log a a b

Kjo ?sht? pik?risht ajo q? ne po p?rpiqemi t? arrijm?, n? m?nyr? q? si n? t? majt? ashtu edhe n? t? djatht? t? ket? nj? logarit?m n? baz?n a. N? k?t? rast, n? m?nyr? figurative, mund t? kryq?zojm? shenjat e logit dhe nga pik?pamja e matematik?s, mund t? themi se thjesht barazojm? argumentet:

f(x) = a b

Si rezultat, marrim nj? shprehje t? re q? do t? zgjidhet shum? m? leht?. Le ta zbatojm? k?t? rregull n? detyrat tona sot.

Pra, dizajni i par?:

Para s? gjithash, v?rej se ka nj? fraksion n? t? djatht?, em?ruesi i s? cil?s ?sht? log. Kur shihni nj? shprehje si kjo, ia vlen t? kujtoni vetin? e mrekullueshme t? logaritmeve:

P?rkthyer n? Rusisht, kjo do t? thot? se ?do logarit?m mund t? p?rfaq?sohet si nj? her?s i dy logaritmeve me ?do baz? c. Sigurisht, 0< с ? 1.

Pra: kjo formul? ka nj? rast t? mrekulluesh?m t? ve?ant? kur ndryshorja c ?sht? e barabart? me variablin b. N? k?t? rast, marrim nj? nd?rtim t? form?s:

?sht? ky nd?rtim q? ne v?zhgojm? nga shenja n? t? djatht? n? ekuacionin ton?. Le ta z?vend?sojm? k?t? nd?rtim me log a b, marrim:

Me fjal? t? tjera, n? krahasim me detyr?n origjinale, ne kemi nd?rruar argumentin dhe baz?n e logaritmit. N? vend t? k?saj, ne duhej t? kthenim thyes?n.

Kujtojm? se ?do shkall? mund t? hiqet nga baza sipas rregullit t? m?posht?m:

Me fjal? t? tjera, koeficienti k, q? ?sht? shkalla e baz?s, nxirret si fraksion i p?rmbysur. Le ta nxjerrim at? si nj? thyes? e p?rmbysur:

Faktori thyesor nuk mund t? lihet p?rpara, sepse n? k?t? rast nuk do t? mund ta paraqesim k?t? hyrje si form? kanonike (n? fund t? fundit, n? form?n kanonik, nuk ka faktor shtes? p?rball? logaritmit t? dyt?). Prandaj, le t? vendosim thyes?n 1/4 n? argument si fuqi:

Tani barazojm? argumentet, bazat e t? cilave jan? t? nj?jta (dhe ne me t? v?rtet? kemi t? nj?jtat baza) dhe shkruajm?:

x + 5 = 1

x = -4

Kjo eshte e gjitha. Ne mor?m p?rgjigjen e ekuacionit t? par? logaritmik. Kushtojini v?mendje: n? problemin origjinal, ndryshorja x shfaqet vet?m n? nj? regjist?r dhe ?sht? n? argumentin e tij. Prandaj, nuk ka nevoj? t? kontrolloni domenin, dhe numri yn? x = -4 ?sht? me t? v?rtet? p?rgjigja.

Tani le t? kalojm? te shprehja e dyt?:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)

K?tu, p?rve? logaritmeve t? zakonshme, do t? duhet t? punojm? me lg f (x). Si t? zgjidhet nj? ekuacion i till?? Nj? studenti i pap?rgatitur mund t'i duket se ky ?sht? nj? lloj kallaji, por n? fakt gjith?ka zgjidhet n? m?nyr? elementare.

Shikoni me kujdes termin lg 2 log 2 7. ?far? mund t? themi p?r t?? Bazat dhe argumentet e log dhe lg jan? t? nj?jta, dhe kjo duhet t? jap? disa t? dh?na. Le t? kujtojm? edhe nj? her? se si nxirren shkall?t n?n shenj?n e logaritmit:

log a b n = nlog a b

Me fjal? t? tjera, ajo q? ishte fuqia e numrit b n? argument b?het nj? faktor p?rball? vet? logit. Le ta zbatojm? k?t? formul? p?r shprehjen lg 2 log 2 7. Mos kini frik? nga lg 2 - kjo ?sht? shprehja m? e zakonshme. Mund ta rishkruani si kjo:

P?r t?, t? gjitha rregullat q? vlejn? p?r ?do logarit?m tjet?r jan? t? vlefshme. N? ve?anti, faktori p?rpara mund t? futet n? fuqin? e argumentit. Le t? shkruajm?:

Shum? shpesh, student?t me pik? bosh nuk e shohin k?t? veprim, sepse nuk ?sht? mir? t? futet nj? regjist?r n?n shenj?n e nj? tjetri. N? fakt, nuk ka asgj? kriminale n? k?t?. P?r m? tep?r, marrim nj? formul? q? ?sht? e leht? p?r t'u llogaritur n?se mbani mend nj? rregull t? r?nd?sish?m:

Kjo formul? mund t? konsiderohet edhe si p?rkufizim edhe si nj? nga vetit? e saj. N? ?do rast, n?se konvertoni nj? ekuacion logaritmik, duhet ta njihni k?t? formul? n? t? nj?jt?n m?nyr? si paraqitja e ?do numri n? form?n e regjistrit.

Ne i kthehemi detyr?s son?. Ne e rishkruajm? at? duke marr? parasysh faktin se termi i par? n? t? djatht? t? shenj?s s? barabart? do t? jet? thjesht i barabart? me lg 7. Kemi:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

Le t? l?vizim lg 7 n? t? majt?, marrim:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Ne zbresim shprehjet n? t? majt? sepse ato kan? t? nj?jt?n baz?:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Tani le t? hedhim nj? v?shtrim m? t? af?rt n? ekuacionin q? kemi marr?. ?sht? praktikisht forma kanonike, por ka nj? faktor -3 n? t? djatht?. Le ta vendosim n? argumentin e duhur t? lg:

lg 8 = lg (x + 4) -3

Para nesh ?sht? forma kanonike e ekuacionit logaritmik, k?shtu q? kalojm? shenjat e lg dhe barazojm? argumentet:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Kjo eshte e gjitha! Ne kemi zgjidhur ekuacionin e dyt? logaritmik. N? k?t? rast, nuk k?rkohen kontrolle shtes?, sepse n? problemin origjinal x ishte i pranish?m vet?m n? nj? argument.

M? lejoni t? p?rmbledh pikat kryesore t? k?tij m?simi.

Formula kryesore q? studiohet n? t? gjitha m?simet n? k?t? faqe kushtuar zgjidhjes s? ekuacioneve logaritmike ?sht? forma kanonike. Dhe mos u pengoni nga fakti se shumica e teksteve shkollore ju m?sojn? se si t'i zgjidhni k?to lloj problemesh ndryshe. Ky mjet funksionon me shum? efikasitet dhe ju lejon t? zgjidhni nj? klas? shum? m? t? gjer? problemesh sesa ato m? t? thjeshtat q? kemi studiuar n? fillim t? m?simit ton?.

P?rve? k?saj, p?r t? zgjidhur ekuacionet logaritmike, do t? jet? e dobishme t? njihen vetit? themelore. Gjegj?sisht:

1. Formula p?r kalimin n? nj? baz? dhe nj? rast i ve?ant? kur kthejm? regjistrin (kjo ishte shum? e dobishme p?r ne n? detyr?n e par?);
2. Formula p?r futjen dhe nxjerrjen e fuqive nga n?n shenj?n e logaritmit. K?tu, shum? student? ngecin dhe nuk shohin pik?-bosh se energjia e hequr dhe e futur mund t? p?rmbaj? vet? log f (x). Nuk ka asgj? t? keqe me k?t?. Mund t? prezantojm? nj? regjist?r sipas shenj?s s? nj? tjetri dhe n? t? nj?jt?n koh? t? thjeshtojm? ndjesh?m zgjidhjen e problemit, gj? q? v?rejm? n? rastin e dyt?.

Si p?rfundim, dua t? shtoj se nuk k?rkohet t? kontrollohet shtrirja n? secilin prej k?tyre rasteve, sepse kudo ndryshorja x ?sht? e pranishme vet?m n? nj? shenj? log dhe n? t? nj?jt?n koh? ?sht? n? argumentimin e saj. Si pasoj?, t? gjitha k?rkesat e domenit plot?sohen automatikisht.

Probleme me baz?n e ndryshueshme

Sot do t? shqyrtojm? ekuacionet logaritmike, t? cilat p?r shum? student? duken jo standarde, n?se jo plot?sisht t? pazgjidhshme. Po flasim p?r shprehje q? bazohen jo n? numra, por n? variabla dhe madje funksione. Ne do t'i zgjidhim nd?rtime t? tilla duke p?rdorur teknik?n ton? standarde, p?rkat?sisht, p?rmes form?s kanonike.

P?r t? filluar, le t? kujtojm? se si zgjidhen problemet m? t? thjeshta, t? cilat bazohen n? numra t? zakonsh?m. Pra, quhet nd?rtimi m? i thjesht?

log a f(x) = b

P?r t? zgjidhur probleme t? tilla, mund t? p?rdorim formul?n e m?poshtme:

b = log a a b

Ne rishkruajm? shprehjen ton? origjinale dhe marrim:

log a f(x) = log a a b

Pastaj i barazojm? argumentet, pra shkruajm?:

f(x) = a b

K?shtu, ne heqim qafe shenj?n e regjistrit dhe zgjidhim problemin e zakonsh?m. N? k?t? rast, rr?nj?t e marra n? zgjidhje do t? jen? rr?nj?t e ekuacionit logaritmik origjinal. P?r m? tep?r, regjistrimi, kur edhe e majta edhe e djathta jan? n? t? nj?jtin logarit?m me t? nj?jt?n baz?, quhet forma kanonike. Pik?risht n? k?t? rekord do t? p?rpiqemi t? reduktojm? nd?rtimet e sotme. Pra, le t? shkojm?.

Detyra e par?:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Z?vend?soni 1 me log x - 2 (x - 2) 1 . Shkalla q? v?rejm? n? argument ?sht?, n? fakt, numri b, i cili ishte n? t? djatht? t? shenj?s s? barabart?. Pra, le t? rishkruajm? shprehjen ton?. Ne marrim:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

?far? shohim? Para nesh ?sht? forma kanonike e ekuacionit logaritmik, k?shtu q? ne mund t? barazojm? me siguri argumentet. Ne marrim:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Por zgjidhja nuk mbaron me kaq, sepse ky ekuacion nuk ?sht? i barabart? me at? origjinal. N? fund t? fundit, nd?rtimi q? rezulton p?rb?het nga funksione q? p?rcaktohen n? t? gjith? vij?n numerike, dhe logaritmet tona origjinale nuk jan? t? p?rcaktuara kudo dhe jo gjithmon?.

Prandaj, ne duhet t? shkruajm? ve?mas domenin e p?rkufizimit. Le t? mos jemi m? t? men?ur dhe s? pari t? shkruajm? t? gjitha k?rkesat:

S? pari, argumenti i secilit prej logaritmeve duhet t? jet? m? i madh se 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

S? dyti, baza jo vet?m q? duhet t? jet? m? e madhe se 0, por edhe e ndryshme nga 1:

x - 2 ? 1

Si rezultat, marrim sistemin:

Por mos u shqet?soni: kur p?rpunoni ekuacione logaritmike, nj? sistem i till? mund t? thjeshtohet shum?.

Gjykoni vet?: nga nj?ra an?, k?rkohet q? funksioni kuadratik t? jet? m? i madh se zero dhe nga ana tjet?r, ky funksion kuadratik barazohet me nj? shprehje lineare, e cila gjithashtu k?rkohet q? ai t? jet? m? i madh se zero.

N? k?t? rast, n?se k?rkojm? q? x - 2 > 0, at?her? k?rkesa 2x 2 - 13x + 18 > 0 do t? plot?sohet automatikisht. Prandaj, ne mund t? kalojm? me siguri pabarazin? q? p?rmban nj? funksion kuadratik. K?shtu, numri i shprehjeve t? p?rfshira n? sistemin ton? do t? reduktohet n? tre.

Natyrisht, ne mund t? kalojm? po aq mir? pabarazin? lineare, d.m.th., t? kalojm? x - 2 > 0 dhe t? k?rkojm? at? 2x 2 - 13x + 18 > 0. Por duhet t? pranoni se zgjidhja e pabarazis? m? t? thjesht? lineare ?sht? shum? m? e shpejt? dhe m? e leht?. se sa kuadratik, edhe n?se si rezultat i zgjidhjes s? gjith? k?tij sistemi marrim t? nj?jtat rr?nj?.

N? p?rgjith?si, p?rpiquni t? optimizoni llogaritjet sa her? q? ?sht? e mundur. Dhe n? rastin e ekuacioneve logaritmike, kaloni pabarazit? m? t? v?shtira.

Le t? rishkruajm? sistemin ton?:

K?tu ?sht? nj? sistem i till? i tre shprehjeve, dy prej t? cilave ne, n? fakt, i kemi kuptuar tashm?. Le t? shkruajm? ve?mas ekuacionin kuadratik dhe ta zgjidhim at?:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

Para nesh ?sht? nj? trinom katror i reduktuar dhe, p?r k?t? arsye, ne mund t? p?rdorim formulat Vieta. Ne marrim:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Tani, duke u kthyer n? sistemin ton?, zbulojm? se x = 2 nuk na p?rshtatet, sepse na k?rkohet t? kemi x rrept?sisht m? t? madh se 2.

Por x \u003d 5 na p?rshtatet mjaft mir?: numri 5 ?sht? m? i madh se 2, dhe n? t? nj?jt?n koh? 5 nuk ?sht? i barabart? me 3. Prandaj, zgjidhja e vetme p?r k?t? sistem do t? jet? x \u003d 5.

Gjith?ka, detyra ?sht? zgjidhur, duke p?rfshir? marrjen parasysh t? ODZ. Le t? kalojm? n? ekuacionin e dyt?. K?tu ne presim p?r llogaritjet m? interesante dhe kuptimplote:

Hapi i par?: ashtu si her?n e fundit, ne e sjellim t? gjith? k?t? biznes n? nj? form? kanonike. P?r ta b?r? k?t?, ne mund t? shkruajm? numrin 9 si m? posht?:

Baza me rr?nj? nuk mund t? preket, por ?sht? m? mir? t? transformohet argumenti. Le t? kalojm? nga rr?nja n? fuqi me nj? eksponent racional. Le t? shkruajm?:

M? lejoni t? mos e rishkruaj t? gjith? ekuacionin ton? t? madh logaritmik, por thjesht t? barazoj menj?her? argumentet:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Para nesh ?sht? trinomi katror s?rish i reduktuar, ne do t? p?rdorim formulat Vieta dhe do t? shkruajm?:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Pra, ne i mor?m rr?nj?t, por askush nuk na garantoi se ato do t? p?rshtateshin me ekuacionin logaritmik origjinal. N? fund t? fundit, shenjat e regjistrave vendosin kufizime shtes? (k?tu do t? na duhej t? shkruanim sistemin, por p?r shkak t? r?ndimit t? t? gjith? nd?rtimit, vendosa t? llogaris domenin e p?rkufizimit ve?mas).

Para s? gjithash, mbani mend se argumentet duhet t? jen? m? t? m?dha se 0, dometh?n?:

K?to jan? k?rkesat e vendosura nga fusha e p?rkufizimit.

V?m? re menj?her? se meqen?se i barazojm? dy shprehjet e para t? sistemit me nj?ra-tjetr?n, mund t? kalojm? secil?n prej tyre. Le ta kalojm? t? parin sepse duket m? k?rc?nues se i dyti.

P?rve? k?saj, vini re se zgjidhjet e pabarazive t? dyt? dhe t? tret? do t? jen? t? nj?jtat grupe (kubi i nj? numri ?sht? m? i madh se zero, n?se vet? ky num?r ?sht? m? i madh se zero; n? m?nyr? t? ngjashme me rr?nj?n e shkall?s s? tret? - k?to pabarazi jan? krejt?sisht t? ngjashme, k?shtu q? nj?r?n prej tyre mund ta kalojm?).

Por me pabarazin? e tret?, kjo nuk do t? funksionoj?. Le t? heqim qafe shenj?n e radikalit n? t? majt?, p?r t? cil?n i ngrem? t? dy pjes?t n? nj? kub. Ne marrim:

Pra, marrim k?rkesat e m?poshtme:

-2 ? x > -3

Cila prej rr?nj?ve tona: x 1 = -3 ose x 2 = -1 i plot?son k?to k?rkesa? Natyrisht, vet?m x = -1, sepse x = -3 nuk e plot?son pabarazin? e par? (sepse pabarazia jon? ?sht? e rrept?). N? total, duke iu kthyer problemit ton?, marrim nj? rr?nj?: x = -1. Kjo ?sht? ajo, problemi u zgjidh.

Edhe nj? her?, pikat kryesore t? k?saj detyre:

1. Mos ngurroni t? aplikoni dhe zgjidhni ekuacionet logaritmike duke p?rdorur form?n kanonike. Nx?n?sit q? b?jn? nj? regjistrim t? till? dhe nuk kalojn? drejtp?rdrejt nga problema origjinale n? nj? nd?rtim si log a f ( x) = b , b?jn? shum? m? pak gabime se ata q? nxitojn? diku, duke anashkaluar hapat e nd?rmjet?m t? llogaritjeve;
2. Sapo nj? baz? e ndryshueshme shfaqet n? logarit?m, problemi pushon s? qeni m? i thjeshti. Prandaj, gjat? zgjidhjes s? tij, ?sht? e nevojshme t? merret parasysh fusha e p?rkufizimit: argumentet duhet t? jen? m? t? m?dha se zero, dhe bazat duhet t? jen? jo vet?m m? t? m?dha se 0, por gjithashtu nuk duhet t? jen? t? barabarta me 1.

Ju mund t? vendosni k?rkesat e fundit n? p?rgjigjet p?rfundimtare n? m?nyra t? ndryshme. P?r shembull, ?sht? e mundur t? zgjidhet nj? sistem i t?r? q? p?rmban t? gjitha k?rkesat e domenit. Nga ana tjet?r, s? pari mund ta zgjidhni vet? problemin dhe m? pas t? mbani mend p?r fush?n e p?rkufizimit, ta p?rpunoni ve?mas n? form?n e nj? sistemi dhe ta aplikoni n? rr?nj?t e marra.

Cila m?nyr? t? zgjidhni kur zgjidhni nj? ekuacion logaritmik t? ve?ant? varet nga ju. N? ?do rast, p?rgjigja do t? jet? e nj?jt?.