Shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i dy numrave lidhet drejtp?rdrejt me pjes?tuesin m? t? madh t? p?rbashk?t t? atyre numrave. Kjo lidhje midis GCD dhe NOC p?rcaktohet nga teorema e m?poshtme.

Teorema.

Shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i dy numrave t? plot? pozitiv a dhe b ?sht? i barabart? me produktin e a dhe b t? pjes?tuar me pjes?tuesin m? t? madh t? p?rbashk?t t? a dhe b, d.m.th. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

D?shmi.

Le M ?sht? disa shum?fish i numrave a dhe b. Dometh?n?, M ?sht? i pjes?tuesh?m me a, dhe nga p?rkufizimi i pjes?tueshm?ris?, ka nj? num?r t? plot? k t? till? q? barazia M=a·k ?sht? e v?rtet?. Por M ?sht? gjithashtu i pjes?tuesh?m me b, at?her? nj? k pjes?tohet me b.

Sh?noni gcd(a, b) si d. At?her? mund t? shkruajm? barazit? a=a 1 ·d dhe b=b 1 ·d, dhe a 1 =a:d dhe b 1 =b:d do t? jen? numra t? dyfisht?. Prandaj, kushti i marr? n? paragrafin e m?parsh?m q? nj? k ?sht? i pjes?tuesh?m me b mund t? riformulohet si m? posht?: a 1 d k ?sht? i pjes?tuesh?m me b 1 d, dhe kjo, p?r shkak t? vetive t? pjes?tueshm?ris?, ?sht? ekuivalente me kushtin q? a 1 k pjes?tohet me b nj?.

Ne gjithashtu duhet t? shkruajm? dy p?rfundime t? r?nd?sishme nga teorema e shqyrtuar.

Shum?fishat e p?rbashk?t t? dy numrave jan? t? nj?jt? me shum?fishat e shum?fishit t? tyre m? t? vog?l t? p?rbashk?t.

Kjo ?sht? e v?rtet?, pasi ?do shum?fish i p?rbashk?t i M numrave a dhe b p?rcaktohet nga barazia M=LCM(a, b) t p?r nj? vler? t? plot? t .

Shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i numrave pozitiv? t? nj?kohsh?m a dhe b ?sht? i barabart? me produktin e tyre.

Arsyeja p?r k?t? fakt ?sht? mjaft e qart?. Meqen?se a dhe b jan? t? dyfishta, at?her? gcd(a, b)=1, pra, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i tre ose m? shum? numrave

Gjetja e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t t? tre ose m? shum? numrave mund t? reduktohet n? gjetjen e nj?pasnj?shme t? LCM t? dy numrave. M?nyra se si b?het kjo tregohet n? teorem?n e m?poshtme: a 1, a 2, …, a k p?rputhen me shum?fishat e p?rbashk?t t? numrave m k-1 dhe a k, pra, p?rputhen me shum?fishat e m k. Dhe meqen?se shum?fishi m? i vog?l pozitiv i numrit m k ?sht? vet? numri m k, at?her? shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i numrave a 1 , a 2 , …, a k ?sht? m k .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. etj Matematik?. Klasa 6: Lib?r shkollor p?r institucionet arsimore.
• Vinogradov I.M. Bazat e teoris? s? numrave.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teoria e numrave.
• Kulikov L.Ya. e t? tjera.P?rmbledhje problemash n? algjeb?r dhe teoria e numrave: Lib?r m?suesi p?r nx?n?sit e fiz.-mat. specialitete t? instituteve pedagogjike.

Si t? gjeni LCM (shumfishi m? i vog?l i zakonsh?m)

Shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i dy numrave t? plot? ?sht? m? i vogli nga t? gjith? numrat e plot? q? ?sht? i pjes?tuesh?m n? m?nyr? t? barabart? dhe pa mbetje me t? dy numrat e dh?n?.

Metoda 1. Ju mund t? gjeni LCM, nga ana tjet?r, p?r secilin nga numrat e dh?n?, duke shkruar n? rend rrit?s t? gjith? numrat q? fitohen duke i shum?zuar me 1, 2, 3, 4, e k?shtu me radh?.

Shembull p?r numrat 6 dhe 9.
Ne e shum?zojm? numrin 6, n? m?nyr? sekuenciale, me 1, 2, 3, 4, 5.
Ne marrim: 6, 12, 18 , 24, 30
Ne e shum?zojm? numrin 9, n? m?nyr? sekuenciale, me 1, 2, 3, 4, 5.
Ne marrim: 9, 18 , 27, 36, 45
Si? mund ta shihni, LCM p?r numrat 6 dhe 9 do t? jet? 18.

Kjo metod? ?sht? e p?rshtatshme kur t? dy numrat jan? t? vegj?l dhe ?sht? e leht? t'i shum?zosh me nj? sekuenc? numrash t? plot?. Sidoqoft?, ka raste kur duhet t? gjeni LCM p?r numrat dyshifror? ose treshifror?, si dhe kur ka tre ose edhe m? shum? numra fillestar?.

Metoda 2. Mund ta gjeni LCM duke i zb?rthyer numrat origjinal? n? faktor?t kryesor?.
Pas zb?rthimit, ?sht? e nevojshme t? kryq?zohen t? nj?jtat numra nga seria e faktor?ve kryesor? q? rezultojn?. Numrat e mbetur t? numrit t? par? do t? jen? faktori p?r t? dytin, dhe numrat e mbetur t? numrit t? dyt? do t? jen? faktori p?r t? parin.

Shembull p?r numrin 75 dhe 60.
Shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i numrave 75 dhe 60 mund t? gjendet pa shkruar shum?fisha t? k?tyre numrave me radh?. P?r ta b?r? k?t?, ne zb?rthejm? 75 dhe 60 n? faktor?t kryesor?:
75 = 3 * 5 * 5, dhe
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Si? mund ta shihni, faktor?t 3 dhe 5 ndodhin n? t? dy rreshtat. Mend?risht ne i "kalojm?" ato.
Le t? shkruajm? faktor?t e mbetur t? p?rfshir? n? zgjerimin e secilit prej k?tyre numrave. Kur zb?rthejm? numrin 75, kemi l?n? numrin 5, dhe kur zb?rthejm? numrin 60, kemi l?n? 2 * 2
Pra, p?r t? p?rcaktuar LCM p?r numrat 75 dhe 60, duhet t? shum?zojm? numrat e mbetur nga zgjerimi i 75 (ky ?sht? 5) me 60, dhe numrat q? mbeten nga zgjerimi i numrit 60 (kjo ?sht? 2 * 2 ) shum?zo me 75. Kjo do t? thot?, p?r leht?sin? e t? kuptuarit, themi se shum?zojm? "n? m?nyr? t? kryq?zuar".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
K?shtu kemi gjetur LCM p?r numrat 60 dhe 75. Ky ?sht? numri 300.

Shembull. P?rcaktoni LCM p?r numrat 12, 16, 24
N? k?t? rast, veprimet tona do t? jen? disi m? t? komplikuara. Por, s? pari, si gjithmon?, ne i zb?rthejm? t? gjith? numrat n? faktor? t? thjesht?
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
P?r t? p?rcaktuar sakt? LCM, ne zgjedhim m? t? voglin nga t? gjith? numrat (ky ?sht? numri 12) dhe kalojm? me radh? faktor?t e tij, duke i kryq?zuar n?se t? pakt?n nj? nga rreshtat e tjer? t? numrave ka t? nj?jtin faktor q? ende nuk ?sht? kryq?zuar. jasht?.

Hapi 1 . Ne shohim q? 2 * 2 ndodh n? t? gjitha serit? e numrave. Ne i kryq?zojm? ato.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Hapi 2. N? faktor?t kryesor? t? numrit 12 mbetet vet?m numri 3. Por ai ?sht? i pranish?m n? faktor?t kryesor? t? numrit 24. Numrin 3 e kalojm? nga t? dy rreshtat, nd?rsa p?r numrin 16 nuk pritet asnj? veprim. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Si? mund ta shihni, kur zb?rthejm? numrin 12, ne "kap?rcejm?" t? gjith? numrat. Pra, gjetja e KOKSH-s? ka p?rfunduar. Mbetet vet?m p?r t? llogaritur vler?n e saj.
P?r numrin 12, marrim faktor?t e mbetur nga numri 16 (m? i af?rti n? rend rrit?s)
12 * 2 * 2 = 48
Kjo ?sht? NOC

Si? mund ta shihni, n? k?t? rast, gjetja e LCM ishte disi m? e v?shtir?, por kur ju duhet ta gjeni at? p?r tre ose m? shum? numra, kjo metod? ju lejon ta b?ni at? m? shpejt. Sidoqoft?, t? dyja m?nyrat p?r t? gjetur LCM jan? t? sakta.

Pjes?tuesi m? i madh i p?rbashk?t dhe shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t jan? koncepte ky?e aritmetike q? ju lejojn? t? operoni leht?sisht me thyesat e zakonshme. LCM dhe m? s? shpeshti p?rdoren p?r t? gjetur em?ruesin e p?rbashk?t t? disa thyesave.

Konceptet baz?

Pjes?tuesi i nj? numri t? plot? X ?sht? nj? tjet?r num?r i plot? Y me t? cilin X ?sht? i pjes?tuesh?m pa mbetje. P?r shembull, pjes?tuesi i 4 ?sht? 2, dhe 36 ?sht? 4, 6, 9. Nj? shum?fish i numrit t? plot? X ?sht? nj? num?r Y q? pjes?tohet me X pa mbetje. P?r shembull, 3 ?sht? shum?fish i 15, dhe 6 ?sht? shum?fish i 12.

P?r ?do ?ift numrash, ne mund t? gjejm? pjes?tuesit dhe shum?fishat e tyre t? p?rbashk?t. P?r shembull, p?r 6 dhe 9, shum?fishi i p?rbashk?t ?sht? 18, dhe pjes?tuesi i p?rbashk?t ?sht? 3. Natyrisht, ?iftet mund t? ken? disa pjes?tues dhe shum?fish, k?shtu q? pjes?tuesi m? i madh i GCD dhe shum?fishi m? i vog?l i LCM p?rdoren n? llogaritje. .

Pjes?tuesi m? i vog?l nuk ka kuptim, pasi p?r ?do num?r ?sht? gjithmon? nj?. Shum?fishi m? i madh ?sht? gjithashtu i pakuptimt?, pasi sekuenca e shum?fishave priret n? pafund?si.

Gjetja e GCD

Ka shum? metoda p?r t? gjetur pjes?tuesin m? t? madh t? p?rbashk?t, m? t? famshmet prej t? cilave jan?:

• num?rimi sekuencial i pjes?tuesve, p?rzgjedhja e t? p?rbashk?tve p?r nj? ?ift dhe k?rkimi p?r m? t? madhin prej tyre;
• zb?rthimi i numrave n? faktor? t? pandash?m;
• algoritmi i Euklidit;
• algoritmi binar.

Sot, n? institucionet arsimore, metodat m? t? njohura t? zb?rthimit n? faktor?t kryesor? dhe algoritmi Euklidian. Kjo e fundit, nga ana tjet?r, p?rdoret n? zgjidhjen e ekuacioneve Diophantine: k?rkimi p?r GCD k?rkohet p?r t? kontrolluar ekuacionin p?r mund?sin? e zgjidhjes s? tij n? numra t? plot?.

Gjetja e NOC

Shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t p?rcaktohet gjithashtu sakt?sisht nga num?rimi p?rs?rit?s ose faktorizimi n? faktor? t? pandash?m. P?rve? k?saj, ?sht? e leht? t? gjesh LCM n?se pjes?tuesi m? i madh ?sht? p?rcaktuar tashm?. P?r numrat X dhe Y, LCM dhe GCD lidhen me lidhjen e m?poshtme:

LCM(X,Y) = X x Y / GCM(X,Y).

P?r shembull, n?se gcd(15,18) = 3, at?her? LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90. P?rdorimi m? i duksh?m i LCM ?sht? gjetja e em?ruesit t? p?rbashk?t, i cili ?sht? shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i thyesat e dh?na.

Numrat e dyfisht?

N?se nj? ?ift numrash nuk ka pjes?tues t? p?rbashk?t, at?her? nj? ?ift i till? quhet koprim. GCM p?r ?ifte t? tilla ?sht? gjithmon? e barabart? me nj?, dhe n? baz? t? lidhjes s? pjes?tuesve dhe shum?fish?ve, GCM p?r koprimin ?sht? e barabart? me produktin e tyre. P?r shembull, numrat 25 dhe 28 jan? t? dyfisht?, sepse nuk kan? pjes?tues t? p?rbashk?t, dhe LCM(25, 28) = 700, q? korrespondon me produktin e tyre. ?do dy numra t? pandash?m do t? jen? gjithmon? t? dyfisht?.

Pjes?tues i p?rbashk?t dhe kalkulator i shum?fisht?

Me kalkulatorin ton? mund t? llogarisni GCD dhe LCM p?r ?do num?r numrash nga t? cil?t mund t? zgjidhni. Detyrat p?r llogaritjen e pjes?tuesve t? p?rbashk?t dhe t? shum?fishave gjenden n? aritmetik?n e klasave 5 dhe 6, megjithat?, GCD dhe LCM jan? konceptet kryesore t? matematik?s dhe p?rdoren n? teorin? e numrave, planimetrin? dhe algjebr?n komunikuese.

Shembuj t? jet?s reale

Em?ruesi i p?rbashk?t i thyesave

Shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t p?rdoret kur gjendet em?ruesi i p?rbashk?t i disa thyesave. Supozoni se n? nj? problem aritmetik k?rkohet t? mblidhen 5 thyesa:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

P?r t? shtuar thyesa, shprehja duhet t? reduktohet n? nj? em?rues t? p?rbashk?t, i cili reduktohet n? problemin e gjetjes s? LCM. P?r ta b?r? k?t?, zgjidhni 5 numra n? kalkulator dhe vendosni vlerat e em?ruesit n? qelizat p?rkat?se. Programi do t? llogaris? LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Tani ju duhet t? llogaritni faktor? shtes? p?r ?do fraksion, t? cil?t p?rcaktohen si raport i LCM me em?ruesin. Pra, shum?zuesit shtes? do t? duken si:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Pas k?saj, ne shum?zojm? t? gjitha fraksionet me faktorin shtes? p?rkat?s dhe marrim:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Mund t? shtojm? leht?sisht fraksione t? tilla dhe t? marrim rezultatin n? form?n e 159/360. Ne e zvog?lojm? thyes?n me 3 dhe shohim p?rgjigjen p?rfundimtare - 53/120.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare Diofantine

Ekuacionet lineare diofantine jan? shprehje t? form?s ax + nga = d. N?se raporti d / gcd(a, b) ?sht? nj? num?r i plot?, at?her? ekuacioni ?sht? i zgjidhsh?m n? numra t? plot?. Le t? kontrollojm? disa ekuacione p?r mund?sin? e nj? zgjidhjeje t? plot?. S? pari, kontrolloni ekuacionin 150x + 8y = 37. Duke p?rdorur nj? kalkulator, gjejm? gcd (150.8) = 2. Ndani 37/2 = 18.5. Numri nuk ?sht? nj? num?r i plot?, prandaj, ekuacioni nuk ka rr?nj? t? plota.

Le t? kontrollojm? ekuacionin 1320x + 1760y = 10120. P?rdorni kalkulatorin p?r t? gjetur gcd(1320, 1760) = 440. Pjestoni 10120/440 = 23. Si rezultat, marrim nj? num?r t? plot?, pra, ekuacionin izsolte t? diofantin?s .

konkluzioni

GCD dhe LCM luajn? nj? rol t? r?nd?sish?m n? teorin? e numrave dhe vet? konceptet p?rdoren gjer?sisht n? fusha t? ndryshme t? matematik?s. P?rdorni kalkulatorin ton? p?r t? llogaritur pjes?tuesit m? t? m?dhenj dhe shum?fishat m? t? vegj?l t? ?do numri numrash.

Konsideroni tre m?nyra p?r t? gjetur shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t.

Gjetja nga faktoringu

M?nyra e par? ?sht? gjetja e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t duke faktorizuar numrat e dh?n? n? faktor? t? thjesht?.

Supozoni se duhet t? gjejm? LCM-n? e numrave: 99, 30 dhe 28. P?r ta b?r? k?t?, ne zb?rthejm? secilin prej k?tyre numrave n? faktor?t kryesor?:

Q? numri i d?shiruar t? jet? i pjes?tuesh?m me 99, 30 dhe 28, ?sht? e nevojshme dhe e mjaftueshme q? ai t? p?rfshij? t? gjith? faktor?t kryesor? t? k?tyre pjes?tuesve. P?r ta b?r? k?t?, ne duhet t'i marrim t? gjith? faktor?t kryesor? t? k?tyre numrave n? fuqin? m? t? lart? q? ndodhin dhe t'i shum?zojm? s? bashku:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Pra, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Asnj? num?r tjet?r m? i vog?l se 13,860 nuk ?sht? i plotpjes?tuesh?m me 99, 30 ose 28.

P?r t? gjetur shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t t? numrave t? dh?n?, duhet t'i faktorizoni ata n? faktor? t? thjesht?, m? pas t? merrni secilin faktor kryesor me eksponentin m? t? madh me t? cilin shfaqet dhe t'i shum?zoni k?ta faktor? s? bashku.

Meqen?se numrat e p?rbashk?t nuk kan? faktor? t? thjesht? t? p?rbashk?t, shum?fishi i tyre m? i vog?l i p?rbashk?t ?sht? i barabart? me produktin e k?tyre numrave. P?r shembull, tre numra: 20, 49 dhe 33 jan? t? dyfisht?. Kjo ?sht? arsyeja pse

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

E nj?jta gj? duhet b?r? kur k?rkoni shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t t? numrave t? ndrysh?m t? thjesht?. P?r shembull, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Gjetja me p?rzgjedhje

M?nyra e dyt? ?sht? gjetja e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t duke p?rshtatur.

Shembulli 1. Kur m? i madhi nga numrat e dh?n? ?sht? i pjes?tuesh?m n? m?nyr? t? barabart? me numrat e tjer? t? dh?n?, at?her? LCM e k?tyre numrave ?sht? e barabart? me m? t? madhin prej tyre. P?r shembull, jepen kat?r numra: 60, 30, 10 dhe 6. Secili prej tyre pjes?tohet me 60, pra:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

N? raste t? tjera, p?r t? gjetur shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t, p?rdoret procedura e m?poshtme:

1. P?rcaktoni numrin m? t? madh nga numrat e dh?n?.
2. M? pas, gjejm? numra q? jan? shum?fisha t? numrit m? t? madh, duke e shum?zuar at? me numra natyror? n? rend rrit?s dhe duke kontrolluar n?se numrat e mbetur t? dh?n? jan? t? pjes?tuesh?m me produktin q? rezulton.

Shembulli 2. Jepen tre numra 24, 3 dhe 18. P?rcaktoni m? t? madhin prej tyre - ky ?sht? numri 24. M? pas, gjeni shum?fishat e 24, duke kontrolluar n?se secili prej tyre ?sht? i pjes?tuesh?m me 18 dhe me 3:

24 1 = 24 pjes?tohet me 3 por nuk pjes?tohet me 18.

24 2 = 48 - i pjes?tuesh?m me 3, por jo i pjes?tuesh?m me 18.

24 3 \u003d 72 - i ndash?m me 3 dhe 18.

Pra, LCM(24, 3, 18) = 72.

Gjetja nga Gjetja Sekuenciale LCM

M?nyra e tret? ?sht? gjetja e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t duke gjetur n? m?nyr? t? nj?pasnj?shme LCM.

LCM e dy numrave t? dh?n? ?sht? e barabart? me produktin e k?tyre numrave t? pjes?tuar me pjes?tuesin e tyre m? t? madh t? p?rbashk?t.

Shembulli 1. Gjeni LCM-n? e dy numrave t? dh?n?: 12 dhe 8. P?rcaktoni pjes?tuesin e tyre m? t? madh t? p?rbashk?t: GCD (12, 8) = 4. Shum?zoni k?ta numra:

Ne e ndajm? produktin n? GCD-n? e tyre:

Pra LCM(12, 8) = 24.

P?r t? gjetur LCM-n? e tre ose m? shum? numrave, p?rdoret procedura e m?poshtme:

1. S? pari, gjendet LCM e ?do dy prej numrave t? dh?n?.
2. Pastaj, LCM e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t t? gjetur dhe numrit t? tret? t? dh?n?.
3. Pastaj, LCM e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t q? rezulton dhe numri i kat?rt, e k?shtu me radh?.
4. K?shtu k?rkimi LCM vazhdon p?r aq koh? sa ka numra.

Shembulli 2. Le t? gjejm? LCM-n? e tre numrave t? dh?n?: 12, 8 dhe 9. Ne kemi gjetur tashm? LCM-n? e numrave 12 dhe 8 n? shembullin e m?parsh?m (ky ?sht? numri 24). Mbetet p?r t? gjetur shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t t? 24 dhe numrin e tret? t? dh?n? - 9. P?rcaktoni pjes?tuesin e tyre m? t? madh t? p?rbashk?t: gcd (24, 9) = 3. Shum?zoni LCM me numrin 9:

Ne e ndajm? produktin n? GCD-n? e tyre:

Pra, LCM(12, 8, 9) = 72.

Le t? vazhdojm? diskutimin rreth shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t q? filluam n? seksionin LCM - Shum?fishi m? i Par? i P?rbashk?t, P?rkufizimi, Shembuj. N? k?t? tem?, ne do t? shqyrtojm? m?nyrat p?r t? gjetur LCM p?r tre numra ose m? shum?, do t? analizojm? pyetjen se si t? gjejm? LCM t? nj? numri negativ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Llogaritja e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t (LCM) p?rmes gcd

Ne kemi vendosur tashm? marr?dh?nien midis shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t dhe pjes?tuesit m? t? madh t? p?rbashk?t. Tani le t? m?sojm? se si t? p?rcaktojm? LCM p?rmes GCD. S? pari, le t? kuptojm? se si ta b?jm? k?t? p?r numrat pozitiv?.

P?rkufizimi 1

Mund t? gjeni shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t p?rmes pjes?tuesit m? t? madh t? p?rbashk?t duke p?rdorur formul?n LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Shembulli 1

?sht? e nevojshme t? gjendet LCM e numrave 126 dhe 70.

Zgjidhje

Le t? marrim a = 126 , b = 70 . Z?vend?soni vlerat n? formul?n p?r llogaritjen e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t p?rmes pjes?tuesit m? t? madh t? p?rbashk?t LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Gjen GCD-n? e numrave 70 dhe 126. P?r k?t? na duhet algoritmi Euklidi: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , pra gcd (126 , 70) = 14 .

Le t? llogarisim LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

P?rgjigje: LCM (126, 70) = 630.

Shembulli 2

Gjeni nok t? numrave 68 dhe 34.

Zgjidhje

GCD n? k?t? rast ?sht? e leht? p?r t'u gjetur, pasi 68 ?sht? i pjes?tuesh?m me 34. Llogaritni shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t duke p?rdorur formul?n: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

P?rgjigje: LCM(68, 34) = 68.

N? k?t? shembull, kemi p?rdorur rregullin p?r gjetjen e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t t? numrave t? plot? pozitiv a dhe b: n?se numri i par? ?sht? i pjes?tuesh?m me t? dytin, at?her? LCM e k?tyre numrave do t? jet? e barabart? me numrin e par?.

Gjetja e LCM me faktorizimin e numrave n? faktor?t kryesor?

Tani le t? shohim nj? m?nyr? p?r t? gjetur LCM, e cila bazohet n? zb?rthimin e numrave n? faktor?t kryesor?.

P?rkufizimi 2

P?r t? gjetur shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t, duhet t? kryejm? nj? num?r hapash t? thjesht?:

• ne krijojm? prodhimin e t? gjith? faktor?ve t? thjesht? t? numrave p?r t? cil?t duhet t? gjejm? LCM;
• ne p?rjashtojm? t? gjith? faktor?t kryesor? nga produktet e tyre t? marra;
• produkti i p?rftuar pas eliminimit t? faktor?ve t? thjesht? t? zakonsh?m do t? jet? i barabart? me LCM t? numrave t? dh?n?.

Kjo m?nyr? e gjetjes s? shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t bazohet n? barazin? LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . N?se shikoni formul?n, do t? b?het e qart?: prodhimi i numrave a dhe b ?sht? i barabart? me produktin e t? gjith? faktor?ve q? p?rfshihen n? zgjerimin e k?tyre dy numrave. N? k?t? rast, GCD e dy numrave ?sht? e barabart? me produktin e t? gjith? faktor?ve t? thjesht? q? jan? nj?koh?sisht t? pranish?m n? faktorizimet e k?tyre dy numrave.

Shembulli 3

Kemi dy numra 75 dhe 210. Ne mund t'i konsiderojm? ato si kjo: 75 = 3 5 5 dhe 210 = 2 3 5 7. N?se b?ni produktin e t? gjith? faktor?ve t? dy numrave origjinal?, merrni: 2 3 3 5 5 5 7.

N?se p?rjashtojm? faktor?t e p?rbashk?t p?r t? dy numrat 3 dhe 5, marrim nj? produkt t? form?s s? m?poshtme: 2 3 5 5 7 = 1050. Ky produkt do t? jet? LCM-ja jon? p?r numrat 75 dhe 210.

Shembulli 4

Gjeni LCM-n? e numrave 441 dhe 700 , duke i zb?rthyer t? dy numrat n? faktor? t? thjesht?.

Zgjidhje

Le t? gjejm? t? gjith? faktor?t kryesor? t? numrave t? dh?n? n? kusht:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Marrim dy zinxhir? numrash: 441 = 3 3 7 7 dhe 700 = 2 2 5 5 7 .

Produkti i t? gjith? faktor?ve q? mor?n pjes? n? zgjerimin e k?tyre numrave do t? duket k?shtu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Le t? gjejm? faktor?t e p?rbashk?t. Ky num?r ?sht? 7. Ne e p?rjashtojm? at? nga produkti i p?rgjithsh?m: 2 2 3 3 5 5 7 7. Rezulton se NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

P?rgjigje: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Le t? japim nj? formulim m? shum? t? metod?s p?r gjetjen e LCM duke zb?rthyer numrat n? faktor? t? thjesht?.

P?rkufizimi 3

M? par?, ne p?rjashtuam nga numri i p?rgjithsh?m i faktor?ve t? p?rbashk?t p?r t? dy numrat. Tani do ta b?jm? ndryshe:

• Le t'i zb?rthejm? t? dy numrat n? faktor? t? thjesht?:
• shtoj n? prodhimin e faktor?ve t? thjesht? t? numrit t? par? faktor?t q? mungojn? t? numrit t? dyt?;
• marrim produktin, i cili do t? jet? LCM e d?shiruar e dy numrave.

Shembulli 5

Le t? kthehemi te numrat 75 dhe 210, p?r t? cil?t kemi k?rkuar tashm? p?r LCM n? nj? nga shembujt e m?parsh?m. Le t'i ndajm? ato n? faktor? t? thjesht?: 75 = 3 5 5 dhe 210 = 2 3 5 7. N? produktin e faktor?ve 3, 5 dhe 5 numri 75 shtoni faktor?t q? mungojn? 2 dhe 7 numrat 210 . Ne marrim: 2 3 5 5 7 . Kjo ?sht? LCM e numrave 75 dhe 210.

Shembulli 6

?sht? e nevojshme t? llogaritet LCM e numrave 84 dhe 648.

Zgjidhje

Le t'i zb?rthejm? numrat nga kushti n? faktor? t? thjesht?: 84 = 2 2 3 7 dhe 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Shtoni n? prodhimin e faktor?ve 2 , 2 , 3 dhe 7 numrat 84 faktor?t q? mungojn? 2 , 3 , 3 dhe
3 numrat 648 . Ne marrim produktin 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ky ?sht? shum?fishi m? i vog?l i zakonsh?m i 84 dhe 648.

P?rgjigje: LCM (84, 648) = 4536.

Gjetja e LCM-s? s? tre ose m? shum? numrave

Pavar?sisht se me sa numra kemi t? b?jm?, algoritmi i veprimeve tona do t? jet? gjithmon? i nj?jt?: ne do t? gjejm? vazhdimisht LCM-n? e dy numrave. Ekziston nj? teorem? p?r k?t? rast.

Teorema 1

Supozoni se kemi numra t? plot? a 1, a 2, …, a k. NOC m k i k?tyre numrave gjendet n? llogaritjen sekuenciale m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) .

Tani le t? shohim se si mund t? zbatohet teorema p?r probleme specifike.

Shembulli 7

Ju duhet t? llogaritni shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t t? kat?r numrave 140, 9, 54 dhe 250 .

Zgjidhje

Le t? prezantojm? sh?nimin: nj? 1 \u003d 140, nj? 2 \u003d 9, nj? 3 \u003d 54, nj? 4 \u003d 250.

Le t? fillojm? duke llogaritur m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Le t? p?rdorim algoritmin Euklidian p?r t? llogaritur GCD-n? e numrave 140 dhe 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Marrim: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Prandaj, m 2 = 1 260 .

Tani le t? llogarisim sipas t? nj?jtit algorit?m m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Gjat? llogaritjeve, marrim m 3 = 3 780.

Na mbetet t? llogarisim m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ne veprojm? sipas t? nj?jtit algorit?m. Ne marrim m 4 \u003d 94 500.

LCM e kat?r numrave nga kushti i shembullit ?sht? 94500.

P?rgjigje: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Si? mund ta shihni, llogaritjet jan? t? thjeshta, por mjaft t? mundimshme. P?r t? kursyer koh?, mund t? shkoni n? an?n tjet?r.

P?rkufizimi 4

Ne ju ofrojm? algoritmin e m?posht?m t? veprimeve:

• zb?rthej? t? gjith? numrat n? faktor? t? thjesht?;
• prodhimit t? faktor?ve t? numrit t? par?, shtoni faktor?t q? mungojn? nga prodhimi i numrit t? dyt?;
• shtoni faktor?t q? mungojn? t? numrit t? tret? n? produktin e marr? n? faz?n e m?parshme, etj.;
• produkti q? rezulton do t? jet? shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i t? gjith? numrave nga kushti.

Shembulli 8

?sht? e nevojshme t? gjendet LCM e pes? numrave 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Zgjidhje

Le t'i zb?rthejm? t? pes? numrat n? faktor? t? thjesht?: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Numrat e thjesht?, q? ?sht? numri 7, nuk mund t? faktorizohen n? faktor? t? thjesht?. Numra t? till? p?rkojn? me zb?rthimin e tyre n? faktor? t? thjesht?.

Tani le t? marrim prodhimin e faktor?ve t? thjesht? 2, 2, 3 dhe 7 t? numrit 84 dhe t'u shtojm? atyre faktor?t q? mungojn? t? numrit t? dyt?. Ne kemi zb?rthyer numrin 6 n? 2 dhe 3. K?ta faktor? jan? tashm? n? produktin e numrit t? par?. Prandaj, ne i anashkalojm? ato.

Vazhdojm? t? shtojm? shum?zuesit q? mungojn?. Ne i drejtohemi numrit 48, nga prodhimi i faktor?ve kryesor? nga t? cil?t marrim 2 dhe 2. Pastaj shtojm? nj? faktor t? thjesht? 7 nga numri i kat?rt dhe faktor?t 11 dhe 13 t? t? pest?s. Ne marrim: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ky ?sht? shum?fishi m? i vog?l i p?rbashk?t i pes? numrave origjinal?.

P?rgjigje: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Gjetja e shum?fishit m? t? vog?l t? p?rbashk?t t? numrave negativ?

P?r t? gjetur shum?fishin m? t? vog?l t? p?rbashk?t t? numrave negativ?, k?ta numra duhet s? pari t? z?vend?sohen me numra me shenj?n e kund?rt dhe m? pas t? b?hen llogaritjet sipas algoritmeve t? m?sip?rme.

Shembulli 9

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) dhe LCM(-622,-46, -54,-888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Veprimet e tilla lejohen p?r faktin se n?se pranohet se a dhe - a- numra t? kund?rt
at?her? bashk?sia e shum?fishave a p?rkon me bashk?sin? e shum?fishave t? nj? numri - a.

Shembulli 10

?sht? e nevojshme t? llogaritet LCM e numrave negativ? - 145 dhe - 45 .

Zgjidhje

Le t? ndryshojm? numrat - 145 dhe - 45 me numrat e tyre t? kund?rt 145 dhe 45 . Tani, duke p?rdorur algoritmin, ne llogarisim LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, pasi kemi p?rcaktuar m? par? GCD duke p?rdorur algoritmin Euklidi.

Marrim se LCM e numrave - 145 dhe - 45 barazohet 1 305 .

P?rgjigje: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .

N?se v?reni nj? gabim n? tekst, ju lutemi theksoni at? dhe shtypni Ctrl+Enter