Cili ?sht? thelbi i formul?s?

Kjo formul? ju lejon t? gjeni ndonj? ME NUMRIN E TIJ" n" .

Sigurisht, ju duhet t? dini termin e par? a 1 dhe ndryshimi i progresionit d, mir?, pa k?to parametra, nuk mund t? shkruani nj? progresion specifik.

Nuk mjafton t? m?sosh p?rmend?sh (ose t? mashtrosh) k?t? formul?. ?sht? e nevojshme t? asimilohet thelbi i saj dhe t? zbatohet formula n? detyra t? ndryshme. Po, dhe mos harroni n? koh?n e duhur, po ...) Si mos harro- Nuk e di. Por si t? kujtohet N?se ?sht? e nevojshme, un? do t'ju jap nj? sugjerim. P?r ata q? e zot?rojn? m?simin deri n? fund.)

Pra, le t? merremi me formul?n e an?tarit n t? nj? progresion aritmetik.

?far? ?sht? nj? formul? n? p?rgjith?si - ne imagjinojm?.) ?far? ?sht? nj? progresion aritmetik, nj? num?r an?tar?sh, nj? ndryshim progresion - ?sht? th?n? qart? n? m?simin e m?parsh?m. Hidhini nj? sy n?se nuk e keni lexuar. Gjith?ka ?sht? e thjesht? atje. Mbetet p?r t? kuptuar se ?far? an?tari i n?nt?.

Progresioni n? p?rgjith?si mund t? shkruhet si nj? seri numrash:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- tregon termin e par? t? nj? progresion aritmetik, a 3- an?tari i tret? a 4- e kat?rta, e k?shtu me radh?. N?se na intereson mandati i pest?, le t? themi se po punojm? a 5, n?se nj?qind e nj?zet - nga nj? 120.

Si t? p?rcaktohet n? p?rgjith?si ndonj? an?tar i nj? progresion aritmetik, s ndonj? numri? Shume e thjeshte! Si kjo:

a n

Kjo ?sht? ajo q? ?sht? An?tari n i nj? progresion aritmetik. N?n shkronj?n n fshihen t? gjith? numrat e an?tar?ve: 1, 2, 3, 4, e k?shtu me radh?.

Dhe ?far? na jep nj? rekord i till?? Thjesht mendoni, n? vend t? nj? numri, ata shkruan nj? let?r ...

Ky sh?nim na jep nj? mjet t? fuqish?m p?r t? punuar me progresionet aritmetike. Duke p?rdorur sh?nimin a n, ne mund ta gjejm? shpejt ndonj? an?tar ndonj? progresion aritmetik. Dhe nj? mori detyrash p?r t'u zgjidhur n? progresion. Do t? shihni m? tej.

N? formul?n e an?tarit t? n-t? t? nj? progresion aritmetik:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- an?tari i par? i progresionit aritmetik;

n- numri i an?tarit.

Formula lidh parametrat kryesor? t? ?do progresioni: a n ; a 1; d dhe n. Rreth k?tyre parametrave, t? gjitha enigmat rrotullohen n? progresion.

Formula e termit t? n-t? mund t? p?rdoret gjithashtu p?r t? shkruar nj? progresion specifik. P?r shembull, n? problem mund t? thuhet se p?rparimi jepet nga kushti:

a n = 5 + (n-1) 2.

Nj? problem i till? madje mund t? ngat?rroj? ... Nuk ka asnj? seri, asnj? ndryshim ... Por, duke krahasuar gjendjen me formul?n, ?sht? e leht? t? kuptosh se n? k?t? progresion a 1 \u003d 5 dhe d \u003d 2.

Dhe mund t? jet? edhe m? i zem?ruar!) N?se marrim t? nj?jtin kusht: a n = 5 + (n-1) 2, po, hapni kllapat dhe jepni t? ngjashme? Ne marrim nj? formul? t? re:

an = 3 + 2n.

at? Vet?m jo e p?rgjithshme, por p?r nj? progresion specifik. K?tu q?ndron gracka. Disa njer?z mendojn? se mandati i par? ?sht? tre. Edhe pse n? realitet an?tari i par? ?sht? nj? pes? ... Pak m? posht? do t? punojm? me nj? formul? t? till? t? modifikuar.

N? detyrat p?r p?rparim, ekziston nj? sh?nim tjet?r - nj? n+1. Ky ?sht?, ju me mend, termi "n plus i pari" i progresionit. Kuptimi i tij ?sht? i thjesht? dhe i pad?msh?m.) Ky ?sht? nj? an?tar i progresionit, numri i t? cilit ?sht? m? i madh se numri n nga nj?. P?r shembull, n?se n? ndonj? problem marrim p?r a n mandati i pest?, at?her? nj? n+1 do t? jet? an?tari i gjasht?. etj.

M? shpesh em?rtimi nj? n+1 ndodh n? formula rekursive. Mos kini frik? nga kjo fjal? e tmerrshme!) Kjo ?sht? vet?m nj? m?nyr? p?r t? shprehur nj? term t? nj? progresion aritmetik p?rmes t? m?parshmit. Supozoni se na ?sht? dh?n? nj? progresion aritmetik n? k?t? form?, duke p?rdorur formul?n e p?rs?ritur:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

E kat?rta - deri n? t? tret?n, e pesta - deri n? t? kat?rtin, e k?shtu me radh?. Dhe si t? num?roni menj?her?, thuani termin e nj?zet?, nj? 20? Por n? asnj? m?nyr?!) Nd?rsa mandati i 19-t? nuk dihet, i 20-ti nuk mund t? llogaritet. Ky ?sht? ndryshimi themelor midis formul?s rekursive dhe formul?s s? termit t? n-t?. Rekursive funksionon vet?m p?rmes e m?parshme termi, dhe formula e mandatit t? n-t? - p?rmes e para dhe lejon menj?her? gjeni ndonj? an?tar me numrin e tij. Duke mos llogaritur t? gjith? serin? e numrave n? rend.

N? nj? progresion aritmetik, nj? formul? rekursive mund t? shnd?rrohet leht?sisht n? nj? t? rregullt. Num?roni nj? ?ift termash t? nj?pasnj?sh?m, llogarisni ndryshimin d, gjeni, n?se ?sht? e nevojshme, termin e par? a 1, shkruani formul?n n? form?n e zakonshme dhe punoni me t?. N? GIA, detyra t? tilla shpesh gjenden.

Zbatimi i formul?s s? an?tarit t? n-t? t? nj? progresion aritmetik.

S? pari, le t? shohim zbatimin e drejtp?rdrejt? t? formul?s. N? fund t? m?simit t? m?parsh?m kishte nj? problem:

Jepet nj? progresion aritmetik (a n). Gjeni nj? 121 n?se a 1 =3 dhe d=1/6.

Ky problem mund t? zgjidhet pa asnj? formul?, thjesht bazuar n? kuptimin e progresionit aritmetik. Shtoni, po shtoni ... Nj? or? ose dy.)

Dhe sipas formul?s, zgjidhja do t? zgjas? m? pak se nj? minut?. Mund ta caktoni.) Ne vendosim.

Kushtet ofrojn? t? gjitha t? dh?nat p?r p?rdorimin e formul?s: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Mbetet p?r t'u par? se ?far? n. Nuk ka problem! Duhet t? gjejm? a 121. K?tu shkruajm?:

Ju lutemi kushtojini v?mendje! N? vend t? nj? indeksi n u shfaq nj? num?r specifik: 121. q? ?sht? mjaft logjike.) Na intereson an?tari i progresionit aritmetik. numri nj?qind e nj?zet e nj?. Kjo do t? jet? e jona n.?sht? ky kuptimi n= 121 ne do t? z?vend?sojm? m? tej n? formul?, n? kllapa. Z?vend?soni t? gjith? numrat n? formul? dhe llogarisni:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Kjo ?sht? gjith?ka q? ka p?r t?. Po aq shpejt mund t? gjehej an?tari i pes?qind e dhjet?, dhe nj?mij? e tret?, ?do. Ne vendos?m n? vend n numri i d?shiruar n? indeksin e shkronj?s " a" dhe n? kllapa, dhe ne e konsiderojm?.

M? lejoni t'ju kujtoj thelbin: kjo formul? ju lejon t? gjeni ndonj? termi i nj? progresioni aritmetik ME NUMRIN E TIJ" n" .

Le ta zgjidhim problemin m? zgjuar. Le t? themi se kemi problemin e m?posht?m:

Gjeni termin e par? t? progresionit aritmetik (a n) n?se a 17 =-2; d=-0,5.

N?se keni ndonj? v?shtir?si, un? do t'ju sugjeroj hapin e par?. Shkruani formul?n p?r mandatin e n-t? t? nj? progresion aritmetik! Po Po. Shkruani me dor?, pik?risht n? fletoren tuaj:

a n = a 1 + (n-1)d

Dhe tani, duke par? shkronjat e formul?s, kuptojm? se ?far? t? dh?nash kemi dhe ?far? mungon? N? dispozicion d=-0.5, ka nj? an?tar t? shtat?mb?dhjet? ... Gjith?ka? N?se mendoni se kjo ?sht? e gjitha, at?her? nuk mund ta zgjidhni problemin, po ...

Kemi edhe nj? num?r n! N? gjendje a 17 =-2 i fshehur dy opsione. Kjo ?sht? edhe vlera e an?tarit t? shtat?mb?dhjet? (-2) dhe numri i tij (17). Ato. n=17. Kjo "gj? e vog?l" shpesh rr?shqet nga koka, dhe pa t?, (pa "gj?n? e vog?l", jo kok?n!) Problemi nuk mund t? zgjidhet. Edhe pse ... dhe pa kok? gjithashtu.)

Tani ne thjesht mund t'i z?vend?sojm? marr?zi t? dh?nat tona n? formul?n:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh po, nj? 17 ne e dim? se ?sht? -2. Mir?, le ta vendosim:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Kjo, n? thelb, ?sht? e gjitha. Mbetet t? shprehim termin e par? t? progresionit aritmetik nga formula dhe t? llogarisim. Ju merrni p?rgjigjen: a 1 = 6.

Nj? teknik? e till? - shkrimi i nj? formule dhe thjesht z?vend?simi i t? dh?nave t? njohura - ndihmon shum? n? detyra t? thjeshta. Epo, sigurisht, duhet t? jeni n? gjendje t? shprehni nj? variab?l nga nj? formul?, por ?far? t? b?ni!? Pa k?t? aft?si, matematika nuk mund t? studiohet fare ...

Nj? problem tjet?r popullor:

Gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik (a n) n?se a 1 =2; a 15 = 12.

Cfare po bejme? Do t? habiteni, ne shkruajm? formul?n!)

a n = a 1 + (n-1)d

Konsideroni at? q? dim?: a 1 = 2; a 15 = 12; dhe (theksim i ve?ant?!) n=15. Mos ngurroni t? z?vend?soni n? formul?n:

12=2 + (15-1)d

Le t? b?jm? aritmetik?n.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Kjo ?sht? p?rgjigja e sakt?.

Pra, detyra a n, a 1 dhe d vendosi. Mbetet p?r t? m?suar se si t? gjeni numrin:

Numri 99 ?sht? an?tar i nj? progresion aritmetik (a n), ku a 1 =12; d=3. Gjeni numrin e k?tij an?tari.

Ne i z?vend?sojm? sasit? e njohura n? formul?n e termit t? n-t?:

a n = 12 + (n-1) 3

N? shikim t? par?, ka dy sasi t? panjohura k?tu: nj? n dhe n. Por a n?sht? ndonj? an?tar i progresionit me numrin n... Dhe ky an?tar i progresionit ne e njohim! ?sht? 99. Nuk e dim? numrin e tij. n, k?shtu q? duhet gjetur edhe ky num?r. Z?vend?soni termin e progresionit 99 n? formul?n:

99 = 12 + (n-1) 3

Ne shprehemi nga formula n, ne mendojm?. Ne marrim p?rgjigjen: n=30.

Dhe tani nj? problem p?r t? nj?jt?n tem?, por m? kreativ):

P?rcaktoni n?se numri 117 do t? jet? an?tar i nj? progresion aritmetik (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Le t? shkruajm? formul?n p?rs?ri. ?far?, nuk ka parametra? Hm... Pse na duhen syt??) A e shohim an?tarin e par? t? progresionit? Ne shohim. Kjo ?sht? -3.6. Ju mund t? shkruani me siguri: a 1 \u003d -3.6. Diferenca d mund t? p?rcaktohet nga seria? ?sht? e leht? n?se e dini se cili ?sht? ndryshimi i nj? progresion aritmetik:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Po, b?m? gj?n? m? t? thjesht?. Mbetet t? merremi me nj? num?r t? panjohur n dhe nj? num?r i pakuptuesh?m 117. N? problemin e m?parsh?m, t? pakt?n dihej se ishte termi i progresionit q? jepej. Por k?tu as q? e dim? se ... Si t? jesh!? Epo, si t? jesh, si t? jesh ... Ndizni aft?sit? tuaja krijuese!)

ne supozojm? se 117 ?sht?, n? fund t? fundit, nj? an?tar i p?rparimit ton?. Me nj? num?r t? panjohur n. Dhe, ashtu si n? problemin e m?parsh?m, le t? p?rpiqemi t? gjejm? k?t? num?r. Ato. shkruajm? formul?n (po-po!)) dhe z?vend?sojm? numrat tan?:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

P?rs?ri shprehemi nga formulan, num?rojm? dhe marrim:

Oops! Numri doli thyesore! Nj?qind e nj? e gjysm?. Dhe numrat thyesor? n? progresione nuk mund t? jet?.?far? p?rfundimi nxjerrim? Po! Numri 117 nuk eshte an?tar i p?rparimit ton?. ?sht? diku midis an?tar?ve t? 101-t? dhe 102-t?. N?se numri doli i natyrsh?m, d.m.th. num?r i plot? pozitiv, at?her? numri do t? ishte an?tar i progresionit me numrin e gjetur. Dhe n? rastin ton?, p?rgjigja e problemit do t? jet?: nr.

Detyra e bazuar n? nj? version real t? GIA:

Progresioni aritmetik jepet nga kushti:

a n \u003d -4 + 6,8n

Gjeni termat e par? dhe t? dhjet? t? progresionit.

K?tu progresi ?sht? vendosur n? nj? m?nyr? t? pazakont?. Nj? lloj formule ... Ndodh.) Sidoqoft?, kjo formul? (si? kam shkruar m? lart) - edhe formula e an?tarit n t? nj? progresion aritmetik! Ajo gjithashtu lejon gjeni ndonj? an?tar t? progresionit sipas numrit t? tij.

Ne jemi n? k?rkim t? an?tarit t? par?. Ai q? mendon. se termi i par? ?sht? minus kat?r, ?sht? gabim fatal!) Sepse formula n? problem ?sht? modifikuar. Termi i par? i nj? progresion aritmetik n? t? i fshehur. Asgj?, do ta gjejm? tani.)

Ashtu si n? detyrat e m?parshme, ne z?vend?sojm? n=1 n? k?t? formul?:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

K?tu! Termi i par? ?sht? 2.8, jo -4!

N? m?nyr? t? ngjashme, ne jemi duke k?rkuar p?r termin e dhjet?:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

Kjo ?sht? gjith?ka q? ka p?r t?.

Dhe tani, p?r ata q? kan? lexuar deri n? k?to rreshta, bonusi i premtuar.)

Supozoni, n? nj? situat? t? v?shtir? luftarake t? GIA ose Provimit t? Unifikuar t? Shtetit, keni harruar formul?n e dobishme t? an?tarit t? n-t? t? nj? progresion aritmetik. Di?ka t? vjen n? mendje, por disi e pasigurt... N?se n atje, ose n+1, ose n-1... Si t? jesh!?

Qet?! Kjo formul? ?sht? e leht? p?r t'u nxjerr?. Jo shum? strikte, por p?r t? qen? t? sigurt dhe vendim t? drejt? mjafton!) P?r p?rfundimin, mjafton t? kujtojm? kuptimin elementar t? progresionit aritmetik dhe t? kemi nja dy minuta koh?. Thjesht duhet t? vizatoni nj? foto. P?r qart?si.

Vizatojm? nj? bosht numerik dhe sh?nojm? t? parin mbi t?. e dyta, e treta etj. an?tar?t. Dhe vini re ndryshimin d nd?rmjet an?tar?ve. Si kjo:

Ne shikojm? figur?n dhe mendojm?: me ?far? ?sht? termi i dyt?? S? dyti nj? d:

a 2 =a 1 + 1 d

Cili ?sht? termi i tret?? S? treti termi ?sht? i barabart? me termin e par? plus dy d.

a 3 =a 1 + 2 d

E kuptoni? Nuk i vendos disa fjal? me shkronja t? zeza kot. Mir?, nj? hap m? shum?.)

Cili ?sht? termi i kat?rt? S? kat?rti termi ?sht? i barabart? me termin e par? plus tre d.

a 4 =a 1 + 3 d

?sht? koha p?r t? kuptuar se numri i boshll?qeve, d.m.th. d, gjithmon? nj? m? pak se numri i an?tarit q? k?rkoni n. Dometh?n? deri n? numrin n, numri i boshll?qeve do t? jet? n-1. Pra, formula do t? jet? (pa opsione!):

a n = a 1 + (n-1)d

N? p?rgjith?si, fotografit? vizuale jan? shum? t? dobishme n? zgjidhjen e shum? problemeve n? matematik?. Mos i lini pas dore fotot. Por n?se ?sht? e v?shtir? t? vizatoni nj? figur?, at?her? ... vet?m nj? formul?!) P?r m? tep?r, formula e termit t? n?nt? ju lejon t? lidhni t? gjith? arsenalin e fuqish?m t? matematik?s me zgjidhjen - ekuacione, pabarazi, sisteme, etj. Ju nuk mund t? vendosni nj? foto n? nj? ekuacion ...

Detyrat p?r vendim t? pavarur.

P?r ngrohje:

1. N? progresionin aritmetik (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Gjeni nj? 3.

K?shill?: sipas figur?s, problemi zgjidhet n? 20 sekonda ... Sipas formul?s, rezulton m? e v?shtir?. Por p?r zot?rimin e formul?s ?sht? m? e dobishme.) N? seksionin 555, ky problem zgjidhet si nga figura, ashtu edhe nga formula. Ndjeje ndryshimin!)

Dhe kjo nuk ?sht? m? nj? ngrohje.)

2. N? progresionin aritmetik (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Gjeni nj? 3.

?far?, ngurrimi p?r t? nxjerr? nj? foto?) Akoma! ?sht? m? mir? n? formul?, po...

3. Progresioni aritmetik jepet nga kushti:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Gjeni termin e nj?qind e nj?zet e pest? t? k?tij progresioni.

N? k?t? detyr?, progresioni jepet n? m?nyr? t? p?rs?ritur. Por duke num?ruar deri n? mandatin e nj?qind e nj?zet e pest?... Jo t? gjith? mund ta b?jn? nj? sukses t? till?.) Por formula e mandatit t? n-t? ?sht? n? fuqin? e secilit!

4. Jepet nj? progresion aritmetik (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Gjeni numrin e termit m? t? vog?l pozitiv t? progresionit.

5. Sipas kushtit t? detyr?s 4, gjeni shum?n e an?tar?ve m? t? vegj?l pozitiv? dhe m? t? m?dhenj negativ? t? progresionit.

6. Prodhimi i termave t? pest? dhe t? dymb?dhjet? t? nj? progresioni aritmetik n? rritje ?sht? -2,5, dhe shuma e an?tar?ve t? tret? dhe t? nj?mb?dhjet? ?sht? zero. Gjeni nj? 14.

Jo detyra m? e leht?, po ...) K?tu metoda "n? gishta" nuk do t? funksionoj?. Ju duhet t? shkruani formula dhe t? zgjidhni ekuacione.

P?rgjigjet (n? rr?muj?):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Ka ndodhur? Eshte mire!)

Nuk funksionon gjith?ka? Ndodh. Nga rruga, n? detyr?n e fundit ka nj? pik? delikate. Do t? k?rkohet v?mendje gjat? leximit t? problemit. Dhe logjika.

Zgjidhja e t? gjitha k?tyre problemeve diskutohet n? detaje n? seksionin 555. Dhe elementi i fantazis? p?r t? kat?rtin, dhe momenti delikat p?r t? gjasht?n, dhe qasjet e p?rgjithshme p?r zgjidhjen e ?do problemi p?r formul?n e termit t? n?nt? - gjith?ka ?sht? pikturuar. Un? rekomandoj.

N?se ju p?lqen kjo faqe...

Nga rruga, un? kam disa faqe m? interesante p?r ju.)

Ju mund t? praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe t? zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim t? menj?hersh?m. M?simi - me interes!)

mund t? njiheni me funksionet dhe derivatet.

IV Yakovlev | Materiale n? matematik? | MathUs.ru

Progresioni aritmetik

Nj? progresion aritmetik ?sht? nj? lloj i ve?ant? sekuence. Prandaj, p?rpara se t? p?rcaktojm? nj? progresion aritmetik (dhe m? pas gjeometrik), duhet t? diskutojm? shkurtimisht konceptin e r?nd?sish?m t? nj? sekuence numrash.

Pasoja

Imagjinoni nj? pajisje n? ekranin e s? cil?s shfaqen disa numra nj?ri pas tjetrit. Le t? themi 2; 7; 13; nj?; 6; 0; 3; : : : Nj? grup i till? numrash ?sht? vet?m nj? shembull i nj? sekuence.

P?rkufizimi. Nj? sekuenc? numerike ?sht? nj? grup numrash n? t? cil?t ?do numri mund t'i caktohet nj? num?r unik (d.m.th., t? vihet n? korrespondenc? me nj? num?r t? vet?m natyror)1. Numri me num?r n quhet an?tari i n-t? i sekuenc?s.

Pra, n? shembullin e m?sip?rm, numri i par? ka numrin 2, i cili ?sht? an?tari i par? i sekuenc?s, i cili mund t? sh?nohet me a1; numri pes? ka numrin 6 q? ?sht? an?tari i pest? i sekuenc?s, i cili mund t? sh?nohet a5. N? p?rgjith?si, an?tari i n-t? i nj? sekuence sh?nohet me nj? (ose bn , cn, etj.).

Nj? situat? shum? e p?rshtatshme ?sht? kur an?tari i n-t? i sekuenc?s mund t? specifikohet me ndonj? formul?. P?r shembull, formula an = 2n 3 specifikon sekuenc?n: 1; nj?; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n p?rcakton sekuenc?n: 1; nj?; nj?; nj?; : ::

Jo ?do grup numrash ?sht? nj? sekuenc?. Pra, nj? segment nuk ?sht? nj? sekuenc?; ai p?rmban 3/4 shum?? numra p?r t'u rinum?ruar. Bashk?sia R e t? gjith? numrave real? nuk ?sht? gjithashtu nj? sekuenc?. K?to fakte v?rtetohen gjat? analiz?s matematikore.

Progresioni aritmetik: p?rkufizimet baz?

Tani jemi gati t? p?rcaktojm? nj? progresion aritmetik.

P?rkufizimi. Nj? progresion aritmetik ?sht? nj? sekuenc? n? t? cil?n ?do term (duke filluar nga i dyti) ?sht? i barabart? me shum?n e termit t? m?parsh?m dhe nj? num?r fiks (i quajtur diferenca e progresionit aritmetik).

P?r shembull, sekuenca 2; 5; tet?; nj?mb?dhjet?; : : : ?sht? nj? progresion aritmetik me termin e par? 2 dhe diferenc?n 3. Sekuenca 7; 2; 3; tet?; : : : ?sht? nj? progresion aritmetik me termin e par? 7 dhe diferenc?n 5. Sekuenca 3; 3; 3; : : : ?sht? nj? progresion aritmetik me zero ndryshim.

P?rkufizimi ekuivalent: Nj? sekuenc? an quhet progresion aritmetik n?se diferenca an+1 an ?sht? nj? vler? konstante (jo e varur nga n).

Nj? progresion aritmetik thuhet se rritet n?se diferenca e tij ?sht? pozitive dhe zvog?lohet n?se diferenca e tij ?sht? negative.

1 Dhe k?tu ?sht? nj? p?rkufizim m? konciz: nj? sekuenc? ?sht? nj? funksion i p?rcaktuar n? grupin e numrave natyror?. P?r shembull, sekuenca e numrave real? ?sht? funksioni f: N! R.

Si parazgjedhje, sekuencat konsiderohen t? pafundme, dometh?n? p?rmbajn? nj? num?r t? pafund numrash. Por askush nuk shqet?sohet t? marr? n? konsiderat? edhe sekuencat e fundme; n? fakt, ?do grup i kufizuar numrash mund t? quhet sekuenc? e fundme. P?r shembull, sekuenca p?rfundimtare 1; 2; 3; kat?r; 5 p?rb?het nga pes? numra.

Formula e an?tarit t? n-t? t? nj? progresion aritmetik

?sht? e leht? t? kuptohet se nj? progresion aritmetik p?rcaktohet plot?sisht nga dy numra: termi i par? dhe ndryshimi. Prandaj, lind pyetja: si, duke ditur termin e par? dhe ndryshimin, t? gjejm? nj? term arbitrar t? nj? progresion aritmetik?

Nuk ?sht? e v?shtir? p?r t? marr? formul?n e d?shiruar p?r termin e n-t? t? nj? progresion aritmetik. Le t? nj?

progresion aritmetik me diferenc? d. Ne kemi:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
N? ve?anti, ne shkruajm?:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
dhe tani b?het e qart? se formula p?r nj? ?sht?:
an = a1 + (n 1)d:

Detyra 1. N? progresionin aritmetik 2; 5; tet?; nj?mb?dhjet?; : : : gjeni formul?n e an?tarit t? n-t? dhe njehsoni an?tarin e qindt?.

Zgjidhje. Sipas formul?s (1) kemi:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Vetia dhe shenja e progresionit aritmetik

veti e nj? progresion aritmetik. N? progresionin aritmetik nj? p?r ?do

Me fjal? t? tjera, ?do an?tar i progresionit aritmetik (duke filluar nga i dyti) ?sht? mesatarja aritmetike e an?tar?ve fqinj?.

	D?shmi. Ne kemi:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

q? ?sht? ajo q? k?rkohej.

N? p?rgjith?si, progresioni aritmetik a plot?son barazin?

a n = a n k+ a n+k

p?r ?do n > 2 dhe ?do k natyral< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Rezulton se formula (2) ?sht? jo vet?m nj? kusht i domosdosh?m, por edhe i mjaftuesh?m q? nj? sekuenc? t? jet? nj? progresion aritmetik.

Shenja e nj? progresion aritmetik. N?se barazia (2) vlen p?r t? gjitha n > 2, at?her? sekuenca an ?sht? nj? progresion aritmetik.

D?shmi. Le t? rishkruajm? formul?n (2) si m? posht?:

a na n 1= a n+1a n:

Kjo tregon se ndryshimi an+1 an nuk varet nga n, dhe kjo thjesht do t? thot? se sekuenca an ?sht? nj? progresion aritmetik.

Vetia dhe shenja e nj? progresion aritmetik mund t? formulohen si nj? pohim; p?r leht?si, ne do ta b?jm? k?t? p?r tre numra (kjo ?sht? situata q? ndodh shpesh n? probleme).

Karakterizimi i nj? progresion aritmetik. Tre numra a, b, c formojn? nj? progresion aritmetik n?se dhe vet?m n?se 2b = a + c.

Problemi 2. (Universiteti Shtet?ror i Mosk?s, Fakulteti Ekonomik, 2007) Tre numra 8x, 3 x2 dhe 4 n? rendin e specifikuar formojn? nj? progresion aritmetik n? r?nie. Gjeni x dhe shkruani ndryshimin e k?tij progresioni.

Zgjidhje. Nga vetia e nj? progresion aritmetik, kemi:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

N?se x = 1, at?her? fitohet nj? progresion n? r?nie prej 8, 2, 4 me nj? ndryshim prej 6. N?se x = 5, at?her? fitohet nj? progresion n? rritje prej 40, 22, 4; ky rast nuk funksionon.

P?rgjigje: x = 1, ndryshimi ?sht? 6.

Shuma e n termave t? par? t? nj? progresion aritmetik

Legjenda thot? se nj? her? m?suesi u tha f?mij?ve t? gjenin shum?n e numrave nga 1 deri n? 100 dhe u ul t? lexonte gazet?n n? heshtje. Megjithat?, brenda pak minutash, nj? djal? tha se e kishte zgjidhur problemin. Ishte 9-vje?ari Carl Friedrich Gauss, m? von? nj? nga matematikan?t m? t? m?dhenj n? histori.

Ideja e Gausit t? vog?l ishte kjo. Le

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Le ta shkruajm? k?t? shum? n? rend t? kund?rt:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dhe shtoni k?to dy formula:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

?do term n? kllapa ?sht? i barabart? me 101 dhe jan? gjithsej 100 terma t? till?. Prandaj

2S = 101 100 = 10100;

Ne e p?rdorim k?t? ide p?r t? nxjerr? formul?n e shum?s

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Nj? modifikim i dobish?m i formul?s (3) merret duke z?vend?suar formul?n p?r termin e n-t? an = a1 + (n 1)d n? t?:

		2a1 + (n 1)d

Detyra 3. Gjeni shum?n e t? gjith? numrave treshifror? pozitiv? t? pjes?tuesh?m me 13.

Zgjidhje. Numrat treshifror? q? jan? shum?fish t? 13 formojn? nj? progresion aritmetik me termin e par? 104 dhe ndryshimin 13; Termi n i k?tij progresi ?sht?:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Le t? zbulojm? se sa an?tar? p?rmban p?rparimi yn?. P?r ta b?r? k?t?, ne zgjidhim pabarazin?:

nj? 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Pra, jan? 69 an?tar? n? ecurin? ton?. Sipas formul?s (4) gjejm? sasin? e k?rkuar:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Progresioni aritmetik em?rtoni nj? sekuenc? numrash (an?tar? t? nj? progresioni)

N? t? cilin ?do term i m?passh?m ndryshon nga ai i m?parshmi me nj? term prej ?eliku, i cili gjithashtu quhet ndryshimi i hapit ose progresionit.

K?shtu, duke vendosur hapin e progresionit dhe termin e tij t? par?, mund t? gjeni cilindo nga element?t e tij duke p?rdorur formul?n

Vetit? e nj? progresion aritmetik

1) ?do an?tar i progresionit aritmetik, duke filluar nga numri i dyt?, ?sht? mesatarja aritmetike e an?tarit t? m?parsh?m dhe t? ardhsh?m t? progresionit.

E kund?rta ?sht? gjithashtu e v?rtet?. N?se mesatarja aritmetike e an?tar?ve fqinj? tek (?ift) t? progresionit ?sht? e barabart? me an?tarin q? q?ndron nd?rmjet tyre, at?her? kjo sekuenc? numrash ?sht? nj? progresion aritmetik. Me k?t? pohim ?sht? shum? e leht? t? kontrollosh ?do sekuenc?.

Gjithashtu nga vetia e progresionit aritmetik, formula e m?sip?rme mund t? p?rgjith?sohet n? vijim

Kjo ?sht? e leht? p?r t'u verifikuar n?se shkruajm? termat n? t? djatht? t? shenj?s s? barabart?

Shpesh p?rdoret n? praktik? p?r t? thjeshtuar llogaritjet n? probleme.

2) Shuma e n termave t? par? t? nj? progresion aritmetik llogaritet me formul?n

Mbani mend mir? formul?n p?r shum?n e nj? progresion aritmetik, ajo ?sht? e domosdoshme n? llogaritje dhe ?sht? mjaft e zakonshme n? situata t? thjeshta jet?sore.

3) N?se ju duhet t? gjeni jo t? gjith? shum?n, por nj? pjes? t? sekuenc?s duke filluar nga an?tari i saj k-t?, at?her? formula e shum?s s? m?poshtme do t'ju vij? n? ndihm?.

4) ?sht? me interes praktik gjetja e shum?s s? n an?tar?ve t? nj? progresion aritmetik duke u nisur nga numri k-t?. P?r ta b?r? k?t?, p?rdorni formul?n

K?tu p?rfundon materiali teorik dhe kalojm? n? zgjidhjen e problemeve q? jan? t? zakonshme n? praktik?.

Shembulli 1. Gjeni termin e dyzet? t? progresionit aritmetik 4;7;...

Zgjidhja:

Sipas kushtit kemi

P?rcaktoni hapin e p?rparimit

Sipas formul?s s? njohur gjejm? termin e dyzet? t? progresionit

Shembulli 2. Progresioni aritmetik jepet nga an?tar?t e tret? dhe t? shtat?. Gjeni termin e par? t? progresionit dhe shum?n e dhjet?.

Zgjidhja:

Elementet e dh?na t? progresionit i shkruajm? sipas formulave

Ne zbresim ekuacionin e par? nga ekuacioni i dyt?, si rezultat gjejm? hapin e progresionit

Vlera e gjetur z?vend?sohet n? cilindo nga ekuacionet p?r t? gjetur termin e par? t? progresionit aritmetik

Llogaritni shum?n e dhjet? an?tar?ve t? par? t? progresionit

Pa aplikuar llogaritjet komplekse, gjet?m t? gjitha vlerat e k?rkuara.

Shembulli 3. Nj? progresion aritmetik jepet nga em?ruesi dhe nj? nga an?tar?t e tij. Gjeni termin e par? t? progresionit, shum?n e 50 an?tar?ve t? tij duke filluar nga 50 dhe shum?n e 100 t? par?ve.

Zgjidhja:

Le t? shkruajm? formul?n p?r elementin e qindt? t? progresionit

dhe gjeni t? par?n

Bazuar n? t? par?n, gjejm? termin e 50-t? t? progresionit

Gjetja e shum?s s? pjes?s s? progresionit

dhe shuma e 100 t? parave

Shuma e progresionit ?sht? 250.

Shembulli 4

Gjeni numrin e an?tar?ve t? nj? progresion aritmetik n?se:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Zgjidhja:

Ekuacionet i shkruajm? n? terma t? termit t? par? dhe hapit t? progresionit dhe i p?rcaktojm?

Ne i z?vend?sojm? vlerat e marra n? formul?n e shum?s p?r t? p?rcaktuar numrin e an?tar?ve n? shum?

B?rja e thjeshtimeve

dhe zgjidhni ekuacionin kuadratik

Nga dy vlerat e gjetura, vet?m numri 8 ?sht? i p?rshtatsh?m p?r gjendjen e problemit. K?shtu, shuma e tet? termave t? par? t? progresionit ?sht? 111.

Shembulli 5

zgjidhin ekuacionin

1+3+5+...+x=307.

Zgjidhje: Ky ekuacion ?sht? shuma e nj? progresion aritmetik. Shkruajm? termin e tij t? par? dhe gjejm? ndryshimin e progresionit

Shuma e nj? progresion aritmetik.

Shuma e nj? progresion aritmetik ?sht? nj? gj? e thjesht?. Si n? kuptim ashtu edhe n? formul?. Por ka t? gjitha llojet e detyrave p?r k?t? tem?. Nga elementare n? mjaft solide.

S? pari, le t? merremi me kuptimin dhe formul?n e shum?s. Dhe pastaj do t? vendosim. P?r k?naq?sin? tuaj.) Kuptimi i shum?s ?sht? aq i thjesht? sa ulja. P?r t? gjetur shum?n e nj? progresion aritmetik, ju vet?m duhet t? shtoni me kujdes t? gjith? an?tar?t e tij. N?se k?to terma jan? t? pakta, mund t? shtoni pa formula. Por n?se ka shum?, ose shum? ... shtimi ?sht? i bezdissh?m.) N? k?t? rast, formula kursen.

Formula e shum?s ?sht? e thjesht?:

Le t? kuptojm? se ?far? lloj shkronjash p?rfshihen n? formul?. Kjo do t? sqaroj? shum?.

S n ?sht? shuma e nj? progresion aritmetik. Rezultati i shtimit t? gjitha an?tar?t, me s? pari n? e fundit.?sht? e r?nd?sishme. Shtoni sakt?sisht t? gjitha an?tar? n? nj? rresht, pa boshll?qe dhe k?rcime. Dhe, pik?risht, duke filluar nga s? pari. N? probleme si gjetja e shum?s s? termave t? tret? dhe t? tet?, ose shuma e termave pes? deri n? t? nj?zetat, zbatimi i drejtp?rdrejt? i formul?s do t? jet? zhg?njyes.)

a 1 - e para an?tar i progresionit. Gjith?ka ?sht? e qart? k?tu, ?sht? e thjesht? s? pari numri i rreshtit.

a n- e fundit an?tar i progresionit. Numri i fundit i rreshtit. Nj? em?r jo shum? i njohur, por, kur aplikohet p?r sasin?, ?sht? shum? i p?rshtatsh?m. At?her? do ta shihni vet?.

n ?sht? numri i an?tarit t? fundit. ?sht? e r?nd?sishme t? kuptohet se n? formul? ky num?r p?rkon me numrin e termave t? shtuar.

Le t? p?rcaktojm? konceptin e fundit an?tar a n. Pyetja plot?suese: ?far? lloj an?tari do e fundit, n?se jepet pafund progresion aritmetik?

P?r nj? p?rgjigje t? sigurt, ju duhet t? kuptoni kuptimin elementar t? nj? progresion aritmetik dhe ... lexoni detyr?n me kujdes!)

N? detyr?n e gjetjes s? shum?s s? nj? progresion aritmetik, termi i fundit shfaqet gjithmon? (drejtp?rs?drejti ose indirekt), e cila duhet t? jet? e kufizuar. P?rndryshe, nj? sasi e kufizuar, specifike thjesht nuk ekziston. P?r zgjidhjen, nuk ka r?nd?si se ?far? lloj p?rparimi ?sht? dh?n?: i fund?m apo i pafund. Nuk ka r?nd?si se si jepet: nga nj? seri numrash, apo nga formula e an?tarit t? n-t?.

Gj?ja m? e r?nd?sishme ?sht? t? kuptojm? se formula funksionon nga termi i par? i progresionit n? termin me num?r n. N? fakt, emri i plot? i formul?s duket si ky: shuma e n termave t? par? t? nj? progresion aritmetik. Numri i k?tyre an?tar?ve t? par?, d.m.th. n, p?rcaktohet vet?m nga detyra. N? detyr?, i gjith? ky informacion i vlefsh?m shpesh ?sht? i koduar, po ... Por asgj?, n? shembujt m? posht? do t'i zbulojm? k?to sekrete.)

Shembuj detyrash p?r shum?n e nj? progresion aritmetik.

Para s? gjithash, informacione t? dobishme:

V?shtir?sia kryesore n? detyrat p?r shum?n e nj? progresion aritmetik ?sht? p?rcaktimi i sakt? i elementeve t? formul?s.

Autor?t e detyrave i kodojn? k?to elemente me imagjinat? t? pakufishme.) Gj?ja kryesore k?tu ?sht? t? mos kesh frik?. Duke kuptuar thelbin e elementeve, mjafton vet?m t'i deshifroni ato. Le t? hedhim nj? v?shtrim n? disa shembuj n? detaje. Le t? fillojm? me nj? detyr? t? bazuar n? nj? GIA t? v?rtet?.

1. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a n = 2n-3.5. Gjeni shum?n e 10 termave t? par?.

Pun? e mir?. Leht?.) P?r t? p?rcaktuar sasin? sipas formul?s, ?far? duhet t? dim?? An?tari i Par? a 1, termi i fundit a n, po numri i mandatit t? fundit n.

Ku mund t? merrni numrin e fundit t? an?tarit n? Po, n? t? nj?jtin vend, n? gjendje! Thot? gjeje shum?n 10 an?tar?t e par?. Epo, ?far? numri do t? jet? e fundit, an?tari i dhjet??) Nuk do ta besoni, numri i tij ?sht? i dhjeti!) Prandaj, n? vend t? a n ne do t? z?vend?sojm? n? formul? nj? 10, por n? vend t? k?saj n- dhjet?. P?rs?ri, numri i an?tarit t? fundit ?sht? i nj?jt? me numrin e an?tar?ve.

Mbetet p?r t'u p?rcaktuar a 1 dhe nj? 10. Kjo llogaritet leht?sisht nga formula e termit t? n-t?, e cila ?sht? dh?n? n? deklarat?n e problemit. Nuk dini si ta b?ni? Vizitoni m?simin e m?parsh?m, pa k?t? - asgj?.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

nj? 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Zbuluam kuptimin e t? gjith? element?ve t? formul?s p?r shum?n e nj? progresion aritmetik. Mbetet p?r t'i z?vend?suar ato dhe p?r t? num?ruar:

Kjo ?sht? gjith?ka q? ka p?r t?. P?rgjigje: 75.

Nj? detyr? tjet?r e bazuar n? GIA. Pak m? e nd?rlikuar:

2. Jepet nj? progresion aritmetik (a n), diferenca e t? cilit ?sht? 3,7; a 1 \u003d 2.3. Gjeni shum?n e 15 termave t? par?.

Ne shkruajm? menj?her? formul?n e shum?s:

Kjo formul? na lejon t? gjejm? vler?n e ?do an?tari me numrin e tij. Ne po k?rkojm? nj? z?vend?sim t? thjesht?:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Mbetet t? z?vend?sojm? t? gjith? element?t n? formul?n p?r shum?n e nj? progresion aritmetik dhe t? llogarisim p?rgjigjen:

P?rgjigje: 423.

Nga rruga, n?se n? formul?n e shum?s n? vend t? a n thjesht z?vend?sojm? formul?n e termit t? n-t?, marrim:

Ne japim t? ngjashme, marrim nj? formul? t? re p?r shum?n e an?tar?ve t? nj? progresion aritmetik:

Si? mund ta shihni, termi i n-t? nuk k?rkohet k?tu. a n. N? disa detyra, kjo formul? ndihmon shum?, po... Ju mund ta mbani mend k?t? formul?. Dhe thjesht mund ta t?rhiqni at? n? koh?n e duhur, si k?tu. N? fund t? fundit, formula p?r shum?n dhe formula p?r termin e n-t? duhet t? mbahet mend n? ?do m?nyr?.)

Tani detyra n? form?n e nj? kriptimi t? shkurt?r):

3. Gjeni shum?n e t? gjith? numrave dyshifror? pozitiv? q? jan? shum?fish t? tre.

Si! Asnj? an?tar i par?, asnj? i fundit, pa progres fare... Si t? jetosh!?

Ju do t? duhet t? mendoni me kok?n tuaj dhe t? nxirrni nga kushti t? gjith? element?t e shum?s s? nj? progresion aritmetik. Cilat jan? numrat dyshifror? - ne e dim?. Ato p?rb?hen nga dy numra.) Cili num?r dyshifror do s? pari? 10, me sa duket.) gj?ja e fundit num?r dyshifror? 99, sigurisht! Treshifror?t do ta ndjekin...

Shum?fisha t? treshit... Hm... K?ta jan? numra q? pjes?tohen n? m?nyr? t? barabart? me tre, k?tu! Dhjet? nuk pjes?tohet me tre, 11 nuk pjes?tohet... 12... pjes?tohet! Pra, di?ka po shfaqet. Ju tashm? mund t? shkruani nj? seri sipas gjendjes s? problemit:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

A do t? jet? kjo seri nj? progresion aritmetik? Sigurisht! ?do term ndryshon nga ai i m?parshmi rrept?sisht nga tre. N?se termit i shtohet 2, ose 4, le t? themi, rezultati, d.m.th. nj? num?r i ri nuk do t? ndahet m? me 3. Ju mund t? p?rcaktoni menj?her? ndryshimin e progresionit aritmetik n? grumbull: d = 3. E dobishme!)

Pra, ne mund t? shkruajm? me siguri disa parametra t? p?rparimit:

Cili do t? jet? numri n an?tari i fundit? Kushdo q? mendon se 99 gabohet fatalisht ... Numrat - ata shkojn? gjithmon? n? nj? rresht, dhe an?tar?t tan? k?rcejn? mbi tre t? par?t. Nuk p?rputhen.

K?tu ka dy zgjidhje. Nj? m?nyr? ?sht? p?r super pun?tor?t. Mund t? pikturosh progresionin, t? gjith? serin? e numrave dhe t? num?rosh numrin e termave me gisht.) M?nyra e dyt? ?sht? p?r ata q? mendojn?. Ju duhet t? mbani mend formul?n p?r termin e n-t?. N?se formula zbatohet p?r problemin ton?, marrim se 99 ?sht? an?tari i tridhjet? i progresionit. Ato. n = 30.

Ne shikojm? formul?n p?r shum?n e nj? progresion aritmetik:

Ne shikojm? dhe g?zohemi.) Ne nxor?m gjith?ka q? ishte e nevojshme p?r llogaritjen e shum?s nga gjendja e problemit:

a 1= 12.

nj? 30= 99.

S n = S 30.

Ajo q? mbetet ?sht? aritmetika elementare. Z?vend?soni numrat n? formul? dhe llogarisni:

P?rgjigje: 1665

Nj? lloj tjet?r enigmash t? njohura:

4. ?sht? dh?n? nj? progresion aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Gjeni shum?n e termave nga e nj?zeta n? t? tridhjet? e kat?rt.

Ne shikojm? formul?n e shum?s dhe ... jemi t? m?rzitur.) Formula, m? lejoni t'ju kujtoj, llogarit shum?n nga e para an?tar. Dhe n? problem ju duhet t? llogaritni shum?n q? nga viti i nj?zet?... Formula nuk do t? funksionoj?.

Ju, sigurisht, mund t? pikturoni t? gjith? p?rparimin me radh? dhe t'i vendosni an?tar?t nga 20 n? 34. Por ... disi rezulton marr?zi dhe p?r nj? koh? t? gjat?, apo jo?)

Ekziston nj? zgjidhje m? elegante. Le ta ndajm? serin? ton? n? dy pjes?. Pjesa e par? do nga mandati i par? deri n? t? n?nt?mb?dhjet?. pjesa e dyte - nj?zet deri n? tridhjet? e kat?r.?sht? e qart? se n?se llogarisim shum?n e termave t? pjes?s s? par? S 1-19, ta shtojm? n? shum?n e an?tar?ve t? pjes?s s? dyt? S 20-34, marrim shum?n e progresionit nga termi i par? n? t? tridhjet? e kat?rt S 1-34. Si kjo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Kjo tregon se p?r t? gjetur shum?n S 20-34 mund t? b?het me zbritje t? thjesht?

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

T? dyja shumat n? an?n e djatht? merren parasysh nga e para an?tar, d.m.th. formula standarde e shum?s ?sht? mjaft e zbatueshme p?r ta. A po fillojm??

Ne nxjerrim parametrat e progresionit nga kushti i detyr?s:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

P?r t? llogaritur shumat e 19 termave t? par? dhe 34 termave t? par?, do t? na duhen termat e 19-t? dhe t? 34-t?. I num?rojm? sipas formul?s s? an?tarit t? n-t?, si n? problemin 2:

nj? 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

nj? 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nuk ka mbetur asgj?. Zbrisni shum?n e 19 termave nga shuma e 34 termave:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

P?rgjigje: 262.5

Nj? sh?nim i r?nd?sish?m! Ekziston nj? ve?ori shum? e dobishme n? zgjidhjen e k?tij problemi. N? vend t? llogaritjes s? drejtp?rdrejt? ?far? ju nevojitet (S 20-34), kemi num?ruar ajo q?, si? duket, nuk ?sht? e nevojshme - S 1-19. Dhe pastaj ata vendos?n S 20-34, duke hedhur posht? t? panevojshmen nga rezultati i plot?. Nj? "mashtrim me vesh?" t? till? shpesh kursen n? enigma t? liga.)

N? k?t? m?sim, ne shqyrtuam probleme p?r t? cilat mjafton t? kuptojm? kuptimin e shum?s s? nj? progresion aritmetik. Epo, ju duhet t? dini disa formula.)

K?shilla praktike:

Kur zgjidhni ndonj? problem p?r shum?n e nj? progresion aritmetik, un? rekomandoj t? shkruani menj?her? dy formulat kryesore nga kjo tem?.

Formula e mandatit t? n?nt?:

K?to formula do t'ju tregojn? menj?her? se ?far? t? k?rkoni, n? cilin drejtim t? mendoni p?r t? zgjidhur problemin. Ndihmon.

Dhe tani detyrat p?r zgjidhje t? pavarur.

5. Gjeni shum?n e t? gjith? numrave dyshifror? q? nuk pjes?tohen me tre.

E bukur?) K?shilla ?sht? e fshehur n? sh?nimin e problemit 4. Epo, problemi 3 do t? ndihmoj?.

6. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Gjeni shum?n e 24 termave t? par?.

E pazakont??) Kjo ?sht? nj? formul? e p?rs?ritur. Ju mund t? lexoni p?r t? n? m?simin e m?parsh?m. Mos e injoroni lidhjen, enigma t? tilla shpesh gjenden n? GIA.

7. Vasya kurseu para p?r fest?n. Deri n? 4550 rubla! Dhe vendosa t'i dhuroj personit m? t? dashur (vetes) disa dit? lumturie). Jetoni bukur pa i mohuar asgj? vetes. Shpenzoni 500 rubla n? dit?n e par? dhe shpenzoni 50 rubla m? shum? n? ?do dit? pasuese sesa n? at? t? m?parshme! Derisa t? mbarojn? parat?. Sa dit? lumturie kishte Vasya?

A ?sht? e v?shtir??) Nj? formul? shtes? nga detyra 2 do t? ndihmoj?.

P?rgjigjet (n? rr?muj?): 7, 3240, 6.

N?se ju p?lqen kjo faqe...

Nga rruga, un? kam disa faqe m? interesante p?r ju.)

Ju mund t? praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe t? zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim t? menj?hersh?m. M?simi - me interes!)

mund t? njiheni me funksionet dhe derivatet.

Problemet e progresionit aritmetik kan? ekzistuar q? nga koh?rat e lashta. Ata u shfaq?n dhe k?rkuan zgjidhje, sepse kishin nevoj? praktike.

Pra, n? nj? nga papiruset e Egjiptit t? lasht?, i cili ka nj? p?rmbajtje matematikore - papirusi Rhind (shek. XIX p.e.s.) - p?rmban detyr?n e m?poshtme: ndani dhjet? masa buk? n? dhjet? veta, me kusht q? ndryshimi midis secilit prej tyre t? jet? nj?. e teta e mas?s.

Dhe n? veprat matematikore t? grek?ve t? lasht? ka teorema elegante q? lidhen me progresionin aritmetik. Pra, Hipsikujt e Aleksandris? (shek. II, i cili p?rpiloi shum? probleme interesante dhe shtoi librin e kat?rmb?dhjet? n? "Elementet" e Euklidit, formuloi iden?: "N? nj? progresion aritmetik me nj? num?r ?ift an?tar?sh, shuma e an?tar?ve t? gjysm?s s? dyt? ?sht? m? e madhe se shuma e an?tar?ve t? 1-s? me katrorin 1/2 an?tar?.

Sekuenca an ?sht? sh?nuar. Numrat e sekuenc?s quhen an?tar?t e saj dhe zakonisht sh?nohen me shkronja me indekse q? tregojn? numrin serial t? k?tij an?tari (a1, a2, a3 ... lexo: "a 1", "a 2", "a 3" dhe k?shtu me radh?).

Sekuenca mund t? jet? e pafundme ose e fundme.

?far? ?sht? nj? progresion aritmetik? Kuptohet si fitohet duke shtuar termin e m?parsh?m (n) me t? nj?jtin num?r d, q? ?sht? diferenca e progresionit.

N?se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, at?her? nj? progresion i till? konsiderohet t? jet? n? rritje.

Nj? progresion aritmetik quhet i fund?m n?se merren parasysh vet?m disa nga termat e par? t? tij. Me nj? num?r shum? t? madh an?tar?sh, ky ?sht? tashm? nj? p?rparim i pafund.

?do progresion aritmetik jepet me formul?n e m?poshtme:

an =kn+b, nd?rsa b dhe k jan? disa numra.

Deklarata, e cila ?sht? e kund?rta, ?sht? absolutisht e v?rtet?: n?se sekuenca jepet me nj? formul? t? ngjashme, at?her? ky ?sht? pik?risht nj? progresion aritmetik, i cili ka vetit?:

1. ?do an?tar i progresionit ?sht? mesatarja aritmetike e an?tarit t? m?parsh?m dhe atij t? ardhsh?m.
2. E kund?rta: n?se, duke filluar nga i dyti, ?do term ?sht? mesatarja aritmetike e termit t? m?parsh?m dhe tjetri, d.m.th. n?se kushti plot?sohet, at?her? sekuenca e dh?n? ?sht? nj? progresion aritmetik. Kjo barazi ?sht? n? t? nj?jt?n koh? nj? shenj? e progresionit, prandaj zakonisht quhet veti karakteristike e progresionit.
   N? t? nj?jt?n m?nyr?, teorema q? pasqyron k?t? veti ?sht? e v?rtet?: nj? sekuenc? ?sht? nj? progresion aritmetik vet?m n?se kjo barazi ?sht? e v?rtet? p?r cilindo nga an?tar?t e sekuenc?s, duke filluar nga e dyta.

Vetia karakteristike p?r ?do kat?r numra t? nj? progresioni aritmetik mund t? shprehet me formul?n an + am = ak + al n?se n + m = k + l (m, n, k jan? numrat e progresionit).

N? nj? progresion aritmetik, ?do term i nevojsh?m (N-t?) mund t? gjendet duke zbatuar formul?n e m?poshtme:

P?r shembull: termi i par? (a1) n? nj? progresion aritmetik ?sht? dh?n? dhe ?sht? i barabart? me tre, dhe ndryshimi (d) ?sht? i barabart? me kat?r. Ju duhet t? gjeni termin e dyzet e pest? t? k?tij progresi. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) ju lejon t? p?rcaktoni an?tarin e n-t? t? nj? progresion aritmetik p?rmes cilitdo prej an?tar?ve t? tij k-t?, me kusht q? t? dihet.

Shuma e an?tar?ve t? nj? progresion aritmetik (duke supozuar n an?tar?t e par? t? progresionit p?rfundimtar) llogaritet si m? posht?:

Sn = (a1+an) n/2.

N?se termi i par? dihet gjithashtu, at?her? nj? formul? tjet?r ?sht? e p?rshtatshme p?r llogaritjen:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Shuma e nj? progresion aritmetik q? p?rmban n terma llogaritet si m? posht?:

Zgjedhja e formulave p?r llogaritjet varet nga kushtet e detyrave dhe t? dh?nat fillestare.

Seria natyrore e ?do numri t? till? si 1,2,3,...,n,... ?sht? shembulli m? i thjesht? i nj? progresion aritmetik.

P?rve? progresionit aritmetik, ekziston edhe nj? gjeometrik, i cili ka vetit? dhe karakteristikat e veta.