Ekuacioni (10.2) vendos nj? marr?dh?nie midis potencialit t? fush?s elektrostatike dhe fuqis? s? k?saj fushe. Nga ky ekuacion, mund t? nxirret marr?dh?nia midis potencialit dhe densitetit t? ngarkes?s. P?r ta b?r? k?t?, duhet t? formoni divergjenc?n e t? dy pjes?ve t? k?tij ekuacioni dhe m? pas t? p?rdorni formul?n (6.5):

Sipas rregullave t? analiz?s vektoriale [shih. ekuacioni (40)

k?shtu ekuacioni (11.1) mund t? shkruhet si:

Ky ekuacion diferencial quhet ekuacioni Poisson. N? ato pjes? t? fush?s ku nuk ka ngarkesa elektrike

Ky ekuacion kthehet n? sa vijon:

Kjo form? e ve?ant? e ekuacionit Poisson quhet ekuacioni Laplace.

Ekuacioni Poisson b?n t? mundur p?rcaktimin e potencialit t? fush?s s? ngarkesave hap?sinore n?se dihet vendndodhja e k?tyre ngarkesave. Zgjidhja (integrale) e k?tij ekuacioni diferencial (n? kushte t? caktuara kufitare) duhet padyshim t? p?rkoj? me formul?n (8.8) q? kemi nxjerr? m? her?t:

N? vijim do ta v?rtetojm? k?t? me llogaritje t? drejtp?rdrejt?. P?r momentin, v?rejm? se p?r zgjidhjen e disa problemeve ?sht? m? e p?rshtatshme t? vazhdohet jo nga integrali (8.8), por drejtp?rdrejt nga ekuacioni diferencial (11.3).

Shembull. P?rcaktoni densitetin e rrym?s termionike midis dy elektrodave t? sheshta t? pafundme n? vakum. Ky shembull i aplikimit t? ekuacionit Poisson ?sht? marr? jo nga elektrostatika, por nga teoria e rrym?s dhe ka nj? r?nd?si t? madhe p?r teorin? e llambave katod? (p?rforcuese).

Dihet se metalet e nxehta l?shojn? nj? rrym? elektronesh t? lira nga sip?rfaqja e tyre n? hap?sir?n p?rreth. N?se nj? ndryshim i caktuar potencial aplikohet n? dy elektroda metalike dhe elektroda negative (katoda) nxehet, at?her? elektronet e emetuara vazhdimisht nga katoda e ndezur do t? t?rhiqen n? sip?rfaqen e elektrod?s pozitive (anod?s). Rrjedha e elektroneve q? l?vizin nga katoda n? anod? ?sht? e barabart? me nj? rrym? elektrike. Kjo rrym? quhet termionike.

Ne zgjedhim boshtet e koordinatave karteziane n? m?nyr? q? origjina e tyre t? jet? n? katod?, dhe boshti x t? jet? pingul me rrafshin e elektrodave dhe i drejtuar drejt anod?s. Ne marrim potencialin e katod?s t? barabart? me zero, dhe potencialin e anod?s t? barabart? Nga konsideratat e simetris?, ?sht? e qart? se sip?rfaqet ekuipotenciale jan? paralele me elektrodat, prandaj, ekuacioni Poisson n? hap?sir?n midis elektrodave merr form?n

N?se sh?nojm? me numrin e elektroneve p?r nj?si v?llimi n? hap?sir?n nd?rmjet elektrodave n? nj? distanc? x nga katoda dhe me vler?n absolute t? ngarkes?s s? elektronit, at?her? dend?sia e ngarkes?s p?r

kjo distanc? do t? jet?:

Le t? supozojm? p?r thjesht?si se elektronet e emetuara nga katoda nuk kan? ndonj? shpejt?si fillestare kur largohen nga sip?rfaqja e saj. Gjat? rrug?s nga katoda n? anod?, forcat e fush?s elektrike do t? punojn? n? elektronet e ngarkes?s - t? cilat padyshim do t? kthehen n? energjin? kinetike t? l?vizjes s? elektroneve. Duke treguar p?rmes shpejt?sis? s? nj? elektroni n? nj? distanc? x nga katoda, dhe p?rmes potencialit n? t? nj?jt?n distanc?, marrim

ku 771 ?sht? masa e elektroneve. S? fundi, dend?sia e rrym?s elektrike, d.m.th., ngarkesa q? rrjedh p?r nj?si t? koh?s n?p?r zon?n pingul me rrym?n (d.m.th., zona pingul me boshtin n? ?sht? padyshim e barabart? me:

sepse ekziston numri i elektroneve q? kalojn? p?r nj?si t? koh?s n? k?t? zon?. N? ndryshim nga dend?sia e rrym?s, ?sht? nj? vler? konstante q? nuk varet nga x, sepse me arritjen e gjendjes s? pal?vizshme, padyshim, i nj?jti num?r elektronesh kalon n?p?r ?do rrafsh paralel me elektrodat.

Le t? p?rjashtojm? nga ekuacioni (11.5) t? gjith? funksionet e panjohura x, p?rve? Para s? gjithash

Por nga (11.6) rrjedh se

kjo eshte,

Duke prezantuar sh?nimin A - marrim

?sht? e leht? t? verifikohet me z?vend?sim, nga zgjidhjet e k?tij ekuacioni diferencial, i cili, sipas gjendjes s? problemit, zhduket n? katod? dhe, p?rve? k?saj, plot?son kushtin.

N?se sh?nojm? distanc?n nga anoda n? katod? p?rmes I, at?her? n? potencial duhet t? shnd?rrohet n? Prandaj,

K?shtu, dend?sia e rrym?s termionike nuk i bindet ligjit t? Ohm-it, por rritet n? proporcion me fuqin? 3/2 t? tensionit t? aplikuar n? elektroda dhe anasjelltas si katrori i distanc?s nd?rmjet tyre. Ky ndryshim midis ligjeve t? rrym?s termionike dhe ligjeve t? rrym?s n? metale ?sht? p?r shkak t? dy llojeve t? arsyeve. S? pari, elektronet n? metale p?rplasen me jone pozitive, t? cilat formojn? skeletin e ngurt? t? metalit, dhe p?r shkak t? k?saj ata p?rjetojn? rezistenc? ndaj l?vizjes s? tyre, e cila mungon kur l?vizin n? vakum 1). S? dyti, me nj? rrym? termionike n? hap?sir?n midis elektrodave ka vet?m elektrone t? lira, ngarkesa e t? cilave nuk kompensohet nga ngarkesa e joneve pozitive, si? ?sht? rasti n? metale, si rezultat i s? cil?s fusha e k?saj e quajtur "ngarkesa hap?sinore" shtremb?ron fush?n e elektrodave.

Vini re se formula (11.9) pushon s? vlefshmi n? densitet t? lart? t? rrym?s 2). Me nj? rritje t? potencialit t? anod?s, vjen nj? moment kur t? gjitha elektronet e l?shuara nga katoda t?rhiqen menj?her? n? anod?. Nj? rritje e m?tejshme e potencialit t? anod?s nuk mund t? ?oj? padyshim n? nj? rritje t? densitetit t? rrym?s, e cila k?shtu arrin nj? vler? konstante (rryma e ngopjes).

Problemi 10. Le t? jet? distanca e nj? pike t? caktuar n? hap?sir? nga nj? pik? fillestare e zgjedhur n? m?nyr? arbitrare Tregoni se skalari

plot?son ekuacionin e Laplace

Pika nuk merret parasysh.

Problemi 11. Nj? pllak? e shesht? e pafundme me trash?si 2a ?sht? e ngarkuar n? m?nyr? t? nj?trajtshme me energji elektrike me dend?si t? madhe. Boshti x ?sht? pingul me pllak?n, origjina e koordinatave ndodhet n? rrafshin median, n? distanc? t? barabart? nga t? dyja sip?rfaqet e pllak?s. Tregoni se potenciali i fush?s brenda dhe jasht? pllak?s ?sht? i barabart?, p?rkat?sisht:

dhe vektori drejtohet p?rgjat? boshtit x nga rrafshi median dhe numerikisht ?sht? i barabart? me:

Krahasoni k?t? rast me rastin kufizues t? nj? rrafshi t? pafund t? ngarkuar (§ 4).

Problemi 12. Gjeni potencialin e fush?s s? nj? topi t? ngarkuar n? m?nyr? uniforme mbi v?llimin e tij [formula (8.12)], bazuar n? ekuacionin Poisson n? koordinatat sferike.

Ka nj? num?r t? madh t? rasteve kur metoda m? e p?rshtatshme p?r gjetjen e forc?s s? fush?s konsiderohet t? jet? zgjidhja e ekuacionit diferencial p?r potencialin. Pas marrjes s? tij, ne aplikojm? si baz? teorem?n Ostrogradsky-Gauss n? form? diferenciale:

ku r ?sht? dend?sia e shp?rndarjes s? ngarkes?s, e 0 ?sht? konstanta elektrike, d i v E -> = ? -> E -> = ? E x ? x + ? E y ? y + ? E z ? z ?sht? divergjenca e vektorit t? forc?s dhe shprehje q? lidh fuqin? dhe potencialin e fush?s.

Le t? b?jm? nj? z?vend?sim (2) n? (1):

Duke marr? parasysh q? d i v g r a d f = ? 2 f = ? 2 f ? x 2 + ? 2 f ? y 2 + ? 2 f ? z 2 , ku ? = ? 2 ?sht? operatori Laplace, barazia (3) merr form?n:

Shprehja (4) quhet ekuacioni Poisson p?r vakum. Pa ngarkesa, do t? shkruhet si ekuacioni i Laplace:

Pas gjetjes s? potencialit, kalojm? n? llogaritjen e intensitetit duke p?rdorur (2) . Zgjidhjet p?r ekuacionin Poisson duhet t? plot?sojn? k?rkesat:

• vlera potenciale si funksion i vazhduesh?m;
• potenciali duhet t? jet? nj? funksion i kufizuar;
• derivatet e potencialit n? funksion t? koordinatave duhet t? jen? t? fundme.

N? prani t? ngarkesave t? p?rqendruara n? v?llimin V, zgjidhja e ekuacionit (4) do t? shprehet p?r potencialin e form?s:

P?rkufizimi 1

Problemi i p?rgjithsh?m i elektrostatik?s reduktohet n? gjetjen e nj? zgjidhjeje p?r nj? ekuacion diferencial, dometh?n? ekuacionin Poisson q? plot?son k?rkesat e m?sip?rme. Llogaritjet teorike njihen p?r nj? num?r t? vog?l rastesh t? ve?anta. N?se ?sht? e mundur t? zgjedh?sh nj? funksion f q? plot?son kushtet, at?her? ai ?sht? zgjidhja e vetme.

N? probleme t? tilla nuk ?sht? gjithmon? e nevojshme t? specifikohen ngarkesat ose potencialet n? t? gjith? hap?sir?n. P?r t? gjetur fush?n elektrike n? nj? zgav?r t? rrethuar nga nj? mb?shtjell?s p?r?ues, mjafton t? llogaritet fusha e trupave brenda saj.

?do zgjidhje e ekuacionit Poisson t? nj? zone t? kufizuar mund t? p?rcaktohet nga kushtet kufitare q? i imponohen sjelljes s? zgjidhjes. Kufijt? e kalimit nga nj? mjedis n? tjetrin kan? kushte q? duhet t? plot?sohen:

E 2 n - E 1 n = 4 p s , ose ? f 1 ? n - ? f 2 ? n = 0 .

E 1 t = E 2 t .

ku s ?sht? zgavra sip?rfaq?sore e ngarkesave t? lira, n ?sht? vektori nj?si i normales me nd?rfaqen e t?rhequr nga mediumi 1 n? 2, t ?sht? vektori nj?si tangjent me nd?rfaqen.

K?to ekuacione shprehin k?rcimin n? komponent?t normal? t? vektorit t? forc?s dhe vazhdim?sin? e tangjentes s? vektorit t? forc?s s? fush?s elektrike kur kalon n?p?r ?do sip?rfaqe t? ngarkuar, pavar?sisht nga forma e saj dhe prania ose mungesa e ngarkesave jasht? saj.

Ekuacioni Poisson n? koordinatat sferike, polare dhe cilindrike

Ekuacioni mund t? shkruhet duke p?rdorur koordinatat karteziane, si dhe sferike, cilindrike, polare.

N? prani t? r sferike, th, y, ekuacioni Poisson do t? shkruhet si:

1 r 2 ? ? r r 2 ? f ? r + 1 r 2 sin th ? th sin th ? f ? th + ? 2 f r 2 sin 2 th ? f 2 = - 1 e 0 r .

N? r polare, th:

1 r ? ? r r ? f ? r + ? 2 f r 2 ? th 2 = - 1 e 0 r .

N? r, y, z cilindrike:

1 r ? ? r r ? f ? r + ? 2 f ? z 2 + ? 2 f r 2 ? y 2 = - 1 e 0 r .

Shembulli 1

Gjeni fush?n nd?rmjet cilindrave koaksial? me rreze r 1 dhe r 2 dhe me diferenc?n e mundshme t? mundshme ? U = f 1 - f 2 .

Foto 1

Zgjidhje

?sht? e nevojshme t? rregullohet ekuacioni Laplace me koordinata cilindrike, duke marr? parasysh simetrin? boshtore:

1 r ? ? r r ? f ? r = 0 .

Zgjidhja ka form?n f = - A ln (r) + B . P?r ta b?r? k?t?, zgjidhni potencialin zero n? cilindrin e d?shiruar, m? pas:

f (r 2) \u003d 0 \u003d - A ln r 2 + B, prandaj

f (r 1) = ? U = - A ln r 1 + B , marrim:

A = ? U ln r 2 r 1 .

Pas konvertimit:

f (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2 .

P?rgjigje: fusha me dy cilindra koaksial? mund t? jepet me funksionin f (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Shembulli 2

Gjeni potencialin e fush?s q? krijon nj? cilind?r pafund?sisht t? rrumbullak?t me rreze R dhe densitet v?llimor t? ngarkes?s r. P?rdorni ekuacionin Poisson.

Zgjidhje

?sht? e nevojshme t? drejtoni boshtin Z p?rgjat? boshtit t? cilindrit. Mund t? shihet se shp?rndarja cilindrike e ngarkes?s ?sht? boshtore simetrike, potenciali ka t? nj?jt?n simetri, me fjal? t? tjera, konsiderohet funksion i f (r) ku r ?sht? distanca nga boshti i cilindrit. Zgjidhja p?rdor nj? sistem koordinativ cilindrik. Ekuacioni Poisson n? t? do t? shkruhet si:

f 2 = C 2 ln r + C " 2 .

C 1 , C " 1 , C 2 , C " 2 jan? konstante t? integrimit. Kemi q? potenciali n? t? gjitha pikat duhet t? jet? i fund?m, dhe l i m r -> 0 ln r = ? . Nga kjo rrjedh se C 1 = 0 . M? pas, ?sht? e nevojshme t? normalizohet potenciali duke p?rdorur kushtin f 1 (0) = 0 . Ne marrim C" 1 = 0.

Nuk ka ngarkesa sip?rfaq?sore, k?shtu q? forca e fush?s elektrike n? sip?rfaqen e topit ?sht? e vazhdueshme. Prandaj, derivati i potencialit ?sht? gjithashtu i vazhduesh?m p?r r = R, ashtu si vet? potenciali. Bazuar n? kushtet, mund t? gjeni C 2, C "2:

C 2 ln R + C " 2 = - 1 4 r e 0 R 2 .

C 2 R = - 1 2 r e 0 R .

Pra, shprehjet q? rezultojn? shkruhen si:

P?rgjigje: Potenciali i fush?s ?sht?:

N?se v?reni nj? gabim n? tekst, ju lutemi theksoni at? dhe shtypni Ctrl+Enter

Teorema e Gausit ?sht? e zbatueshme vet?m p?r trupat e nj? konfigurimi t? thjesht?. Ekuacioni Poisson - Laplace ju lejon t? zgjidhni probleme shum? m? komplekse, k?to ekuacione p?rdoren n? t? gjitha fushat stacionare, elektrike dhe magnetike.

Le t? heqim shenj?n "-" p?r shenj?n e divergjenc?s:

.

Le t? z?vend?sojm? div dhe grad n? :

.

?sht? ekuacioni Poisson;

– Ekuacioni Laplace;

- Laplace.

N? sistemin e koordinatave karteziane:

– Ekuacioni Laplace;

?sht? ekuacioni Poisson.

Nese nje varet vet?m nga koordinata e par?, at?her? problemi zgjidhet me integrim 2-fish mbi k?t? koordinat?, me 2 ose m? shum? koordinata, ekzistojn? metoda t? ve?anta p?r zgjidhjen e ekuacionit: metoda e rrjetit, metoda numerike e llogaritjes.

Teorema e unicitetit t? zgjidhjes

Ekuacioni Poisson-Laplace q? p?rshkruan fush?n elektrike ?sht? nj? ekuacion diferencial i pjessh?m. Prandaj, ka shum? zgjidhje t? pavarura nga nj?ra-tjetra.

Ekziston nj? teorem? unike p?r zgjidhjen:

Nga i gjith? grupi i funksioneve q? plot?sojn? ekuacionin Poisson-Laplace, ka vet?m nj? q? plot?son kushtet kufitare.

Ka dy pasoja p?r t?:

Fusha n? nj? pjes? t? hap?sir?s nuk do t? ndryshoj? n?se ngarkesat rishp?rndahen n? an?n tjet?r t? nd?rfaqes midis dy mediave n? m?nyr? q? kushtet kufitare t? mos ndryshojn?

Nj? sip?rfaqe ekuipotenciale mund t? z?vend?sohet me nj? sip?rfaqe metalike, duke i dh?n? nj?far? potenciali k?saj t? fundit.

Metoda e imazhit t? pasqyr?s

N?se ngarkesat elektrike ndodhen pran? kufirit t? dy mediave t? ndryshme, at?her? vektori i fush?s mund t? p?rcaktohet duke aplikuar nj? metod? llogarit?se artificiale, e cila quhet metoda e imazhit t? pasqyr?s.

Ideja e metod?s ?sht? q? n? vend t? nj? mediumi johomogjen t? merret parasysh nj? medium homogjen, nd?rsa ndikimi i johomogjenitetit merret parasysh duke futur ngarkesa fiktive, t? sh?nohen kushtet kufitare t? problemit kryesor dhe, duke i p?rdorur ato, gjenden vektor?t e k?rkuar t? fush?s. Kjo metod? ?sht? m? e p?rshtatshme p?r llogaritjen e nd?rfaqes midis dy mediave me form? t? rregullt.

Llogaritja n? nd?rfaqen midis dy mediave

Fusha e nj? boshti t? ngarkuar q? ndodhet pran? nj? rrafshi p?r?ues

(Dielektrik - P?r?ues)

Boshti i ngarkuar ndodhet n? dielektrik paralel me sip?rfaqen e mediumit p?rcjell?s. K?rkohet t? p?rcaktohet natyra e fush?s n? gjysm?-rrafshin e sip?rm (dielektrik).

Si rezultat i induksionit elektrostatik, ngarkesat shfaqen n? sip?rfaqen e nj? trupi p?rcjell?s. Dend?sia e tyre ndryshon me ndryshimin e koordinat?s x. K?to akuza prekin terrenin dhe ndikimi i tyre duhet t? merret parasysh. ?sht? shum? e v?shtir? t? merret parasysh ndikimi i ngarkesave q? jan? shfaqur n? sip?rfaqen e nj? trupi p?rcjell?s p?r shkak t? induksionit elektrostatik, pasi ?sht? e nevojshme t? dihet ligji i shp?rndarjes s? tyre mbi sip?rfaqen e nj? trupi p?rcjell?s. Ky problem mund t? zgjidhet leht?sisht duke p?rdorur metod?n e imazhit t? pasqyr?s. Sipas metod?s, ndikimi i ngarkesave t? vendosura n? sip?rfaqen e nj? trupi p?rcjell?s merret parasysh duke futur nj? ngarkes? fiktive t? p?rqendruar t? vendosur n? nj? imazh pasqyre n? lidhje me kufirin, nd?rsa supozohet se e gjith? hap?sira ?sht? e mbushur me nj? dielektrik. . Ngarkesa fiktive ?sht? e barabart? n? vler? absolute me at? reale dhe ka shenj?n e kund?rt.

Le ta v?rtetojm?. Forca e fush?s nga dy ngarkesa
dhe
n? ?do pik? t? fush?s ka vet?m nj? komponent normal me kufirin (kushti kufitar
). Potenciali nga secili prej boshteve plot?son ekuacionin Laplace
(ardhja e llogaris?. Bessonov TOE f. 42 (formula p?r potencialin e boshtit t? ngarkuar z?vend?sohet n? ekuacionin e Laplace n? nj? sistem koordinativ cilindrik)). Bazuar n? teorem?n e unike p?r zgjidhjen, zgjidhja q? rezulton ?sht? e v?rtet?.

Boshti i ngarkuar ndodhet n? dielektrik paralel me sip?rfaqen e mediumit p?rcjell?s. K?rkohet t? p?rcaktohet forca e fush?s elektrostatike dhe potenciali n? pik?n A.

Ne aplikojm? metod?n e imazheve t? pasqyr?s. Dhe ne do t? gjejm? forc?n dhe potencialin e fush?s n? pik?n A duke p?rdorur metod?n e mbivendosjes

;

;

;
.

p?r pik?
:
.

P?rcaktoni forc?n e t?rheqjes s? telit n? sip?rfaqen p?r?uese:

.

Fusha e nj? boshti t? ngarkuar q? ndodhet pran? nj? nd?rfaqeje t? shesht? midis dy dielektrik?ve me lejime t? ndryshme

(Dielektrike - Dielektrike)

N? k?t? rast, ngarkesat e lidhura t? pakompensuara t? shkaktuara n? nd?rfaqe ndikojn? n? fush?n n? t? dy sferat; dy ngarkesa fiktive jan? futur p?r t'i llogaritur ato. N? k?t? problem, duhet t? plot?sohen dy kushte kufitare.

a) N?se teli real dhe pika n? studim jan? n? t? nj?jtin medium, at?her? fusha llogaritet nga dy ngarkesa: reale. , e gjith? hap?sira ?sht? e mbushur me nj? dielektrik, n? t? cilin ndodhet pika n? studim.

b) N?se teli real dhe pika n? studim jan? n? media t? ndryshme, at?her? fusha n? ?do pik? t? gjysm?hap?sir?s s? poshtme p?rkufizohet si fusha nga nj? tarif? shtes?. . E gjith? hap?sira ?sht? e mbushur me dielektrikun e mediumit ku ndodhet pika n? studim.

Nga kushti i barazis? s? p?rb?r?sve tangjencial? t? forc?s s? fush?s:

.

Nga kushti i barazis? s? p?rb?r?sve normal? t? vektorit t? zhvendosjes elektrike:

.

.

Duke zgjidhur s? bashku, marrim:

;

;
.

Shenj? do t? p?rputhet me n?se
.

Shenj? do t? jet? gjithmon? si .

Boshti i ngarkuar ndodhet n? dielektrik paralel me sip?rfaqen e nj? dielektriku tjet?r. K?rkohet t? p?rcaktohet forca e fush?s elektrostatike dhe potenciali n? pik?n A dhe B. Le
.

Konsideroni pik?n A. Ajo shtrihet n? t? nj?jtin mjedis me nj? bosht t? ngarkuar. Ne p?rdorim metod?n e reflektimeve t? pasqyr?s. Ne mbushim gjith?ka me nj? medium me nj? konstante dielektrike . Fusha llogaritet nga dy ngarkesa: reale dhe pasqyruar akuz? fiktive . Ne aplikojm? metod?n e imazheve t? pasqyr?s. Ne gjejm? forc?n dhe potencialin e fush?s n? pik?n A duke p?rdorur metod?n e mbivendosjes:

;

;

;
.

Le t? marrim nj? pik? me potencial zero n? nd?rfaqen n?n nj? nga telat

.

Konsideroni pik?n B. Ajo shtrihet n? media t? ndryshme me nj? bosht t? ngarkuar. Ne p?rdorim metod?n e reflektimeve t? pasqyr?s. Ne mbushim gjith?ka me nj? medium me nj? konstante dielektrike . Fusha llogaritet nga nj? tarif? fiktive , i vendosur n? t? nj?jt?n pik? ku ishte ngarkesa reale .

;

.

Sh?nim: n?se pika n? studim shtrihet n? sip?rfaqen e telit, at?her? distanca nga teli n? pik?n n? studim ?sht? e barabart? me rrezen e telit.

Ngarkoni pik? pran? kufirit

Dielektrik - P?r?ues dhe Dielektrik - Dielektrik

N?se fusha nuk krijohet nga nj? bosht i ngarkuar, por nga nj? ngarkes? pik?, at?her? e gjith? procedura e llogaritjes ruhet.

Nj? ngarkes? pik?sh ndodhet pran? nd?rfaqes dielektrike-p?r?ues. Gjeni forc?n dhe potencialin e fush?s n? pik?n A.

P?r q?llime edukative, do t? doja t? flisja p?r ekuacionet q? u p?rdor?n n? nxjerrjen e ekuacionit Debye-H?ckel. Ky ?sht? ekuacioni Poisson dhe shp?rndarja e Boltzmann-it.

Ekuacioni Poisson

Ne zbuluam se plazma ?sht? pothuajse neutrale n? gjendjen e ekuilibrit dhe se n?n veprimin e nj? fushe elektrike nga ngarkesat l?viz?se, grimcat e ngarkuara zhvendosen nga gjat?sia Debye dhe fusha zb?rthehet brenda k?saj gjat?si. N? elektrostatik?, bashk?veprimi i grimcave t? ngarkuara p?rshkruhet nga ekuacioni i Kulombit:

Ku jan? vlerat e ngarkesave pika nd?rvepruese, ?sht? katrori i distanc?s nd?rmjet ngarkesave. Koeficienti k ?sht? nj? konstante. N?se e p?rdorim sistemin n? nj?sit? elektrostatike CGS, t? sh?nuara CGSEq, at?her? k = 1. N?se p?rdoret sistemi SI, at?her?, ku ?sht? konstanta dielektrike e mediumit n? t? cilin ndodhen ngarkesat, ?sht? nj? konstante elektrike e barabart? me 8,86 ? .

N? fizik?, forca nuk p?rdoret drejtp?rdrejt, por futet koncepti i nj? fushe elektrostatike t? ngarkesave t? shp?rndara dhe fusha matet me madh?sin? forca e fush?s elektrike. P?r ta b?r? k?t?, nj? ngarkes? e vetme prov? vendoset mend?risht n? secil?n pik? t? fush?s dhe matet forca me t? cil?n fusha e ngarkesave vepron n? ngarkes?n e prov?s:

Prandaj, n?se z?vend?sojm? forc?n e Kulombit n? k?t? ekuacion, marrim:
Por fizikan?t nuk kufizohen as me k?t?, p?r t? p?rshkruar plot?sisht fush?n elektrike. Konsideroni nj? ngarkes? nj?si t? vendosur n? nj? fush? elektrostatike. Fusha b?n pun?n e l?vizjes s? k?saj ngarkese n? nj? distanc? elementare ds nga pika P1 n? pik?n P2:
Vlera quhet diferenc? ose tension potencial. Tensioni matet n? Volt. Shenja minus na tregon se vet? fusha po punon p?r t? mbajtur nj? nj?si t? ngarkes?s pozitive. Forcat q? l?vizin ngarkesat jan? konservatore, pasi puna e b?r? n? nj? shteg t? mbyllur ?sht? gjithmon? zero, pavar?sisht se n? cil?n rrug? l?viz ngarkesa.

Nga kjo rrjedh kuptimi i thell? i ndryshimit potencial. N?se rregullojm? pik?n P1 dhe e zhvendosim ngarkes?n n? pik?n e ndryshueshme P2, at?her? puna varet vet?m nga pozicioni i pik?s s? dyt? P2. K?shtu mund t? prezantojm? konceptin e potencialit. Potenciali ?sht? nj? funksion force q? tregon se sa pun? duhet t? b?j? fusha p?r t? l?vizur ngarkes?n nga pafund?sia n? nj? pik? t? caktuar P2, ku potenciali n? pafund?si merret me kusht si zero.

P?r t? kuptuar ekuacionin Poisson, duhet t? kuptoni matematik?n e vektorit "speciale". Un? do t? flas shkurtimisht p?r koncepte t? tilla si gradienti i fush?s dhe divergjenca (supozohet se lexuesi ?sht? i njohur me analiz?n matematikore)
Le t? jet? f(x,y,z) nj? funksion i vazhduesh?m i diferencuesh?m i koordinatave. Duke ditur derivatet e tij t? pjesshme n? ?do pik? t? hap?sir?s, mund t? nd?rtoni nj? vektor, p?rb?r?sit e t? cilit x, y, z jan? t? barabart? me derivatet e pjessh?m p?rkat?s:

ku jan? vektor?t nj?si t? boshteve p?rkat?se x, y, z. Ikona lexohet "nabla" dhe ?sht? nj? operator diferencial
Ky operator u fut n? matematik? nga Hamilton. Me nabla, ju mund t? kryeni operacione t? zakonshme matematikore, si p.sh. produkti i p?rbashk?t, produkti me pika, prodhimi kryq etj.

Tani le t? kthehemi n? fush?n elektrostatike E. Nga nj?ra an?, ndryshimi i potencialit gjat? l?vizjes nga nj? pik? n? tjetr?n ka form?n e m?poshtme:

Nga ana tjet?r, sipas formul?s (*)
Duke aplikuar konceptin e gradientit t? sapo prezantuar, kjo formul? shnd?rrohet n?:
Tani le t? merremi me nj? koncept t? till? si divergjenca n? terren. Konsideroni nj? v?llim t? kufizuar t? mbyllur V t? nj? forme arbitrare (shih figur?n m? posht?). Le t? sh?nojm? sip?rfaqen e k?saj sip?rfaqeje S. Rrjedha totale e vektorit F q? del nga ky v?llim ?sht?, sipas p?rkufizimit, e barabart? me
, ku da ?sht? nj? vektor pafund?sisht i vog?l, madh?sia e t? cilit ?sht? e barabart? me sip?rfaqen e nj? elementi t? vog?l t? sip?rfaqes S dhe drejtimi p?rkon me normalen e jashtme t? k?tij elementi.
Le t? marrim k?t? rrjedh? t? vektorit F dhe ta ndajm? me v?llimin dhe t? gjejm? kufirin pasi ai priret n? zero, d.m.th. do ta kontraktojm? v?llimin n? nj? pik? infiniteminale.

Kemi ardhur te koncepti i divergjenc?s. Divergjenca sh?nohet me simbolin div dhe ?sht? raporti i rrjedh?s s? vektorit F me v?llimin V, ku V priret n? zero.

Para se t? tregohet se si fitohet ekuacioni i Poisson-it, ?sht? e r?nd?sishme t? njihni ligjin e Gausit dhe teorem?n e Gausit. Imagjinoni nj? sfer? me nj? ngarkes? q brenda. Ngarkesa krijon rreth vetes nj? fush? elektrike me intensitet E. Merrni rrjedh?n e vektorit E

ku S ?sht? sip?rfaqja e sfer?s son? e barabart? me . Rrjedhimisht
Ky ?sht? ligji i Gausit, i cili thot? se rrjedha e fush?s elektrike E n?p?r ?do sip?rfaqe t? mbyllur ?sht? e barabart? me produktin e ngarkes?s totale t? mbuluar nga sip?rfaqja:
ku ?sht? dend?sia e ngarkes?s hap?sinore, d.m.th. vlera e ngarkes?s elektrike p?r nj?si v?llimi, dhe ?sht? v?llimi elementar i ndar? brenda v?llimit ton? t? mbyllur.

Teorema e Gausit (emri i plot? ?sht? teorema Gauss-Ostrogradsky) ?sht? nj? teorem? thjesht matematikore e divergjenc?s. Le t? rishkruajm? rrjedh?n totale t? vektorit F si m? posht?:

N? kufi, kur N -> ?, ->0, vlera n? kllapa b?het nj? divergjenc? dhe shuma shkon n? nj? integral v?llimor:
Kjo ?sht? teorema e Gausit dhe ?sht? me t? v?rtet? formula m? e r?nd?sishme e teoris? s? fush?s. Le ta zbatojm? k?t? teorem? n? nj? fush? elektrostatike. Nga nj?ra an?, sipas ligjit t? Gausit
Dhe nga ana tjet?r, sipas teorem?s s? Gausit (thjesht mos e ngat?rroni teorem?n me ligjin e Gausit):
Duke kombinuar dy ekuacionet e fundit, marrim:
Kujtoni formul?n (**) dhe z?vend?soni k?tu n? vend t? E potencialin e fush?s
Divergjenca e gradientit ?sht? nj? operator i ri, i cili n? matematik? quhet operator Laplace, ose shkurt Laplasian. Laplasiani sh?nohet me ikon?n nabla si m? posht? dhe ?sht? i barabart? me
Le t? rishkruajm? formul?n e m?parshme n? form?n e laplasit:
S? fundi, ne kemi ekuacionin Poisson. N? artikullin e par?, ky ekuacion ishte n? nj? form? paksa t? ndryshme, duke marr? parasysh konstant?n dielektrike t? mediumit. Mos harroni forc?n e Kulombit n? sistemin SI, ekziston nj? konstante. Prandaj, n? ligjin e Gausit nuk do t? ket?, por nj? koeficient. K?shtu, marrim ekuacionin Poisson n? form?n e paraqitur n? artikullin e m?parsh?m
K?shtu, n? thelb, ekuacioni Poisson ?sht? ligji i Kulombit (ose m? mir? ligji i Gausit) i rishkruar n? nj? form? tjet?r, n? sh?nimin e analiz?s diferenciale vektoriale.

N? do t? analizojm? nj? shp?rndarje t? r?nd?sishme nga statistikat matematikore - shp?rndarjen Boltzmann.

Etiketa:

• fizik?s
• elektrostatike

Shto etiketa

Ekuacionet Poisson dhe Laplace jan? ekuacionet baz? t? elektrostatik?s. Ato rrjedhin nga teorema e Gausit n? form? diferenciale. N? t? v?rtet?, dihet se E = - grad j. N? t? nj?jt?n koh?, sipas teorem?s s? Gausit

Z?vend?sues n? (11.22) E nga (11.7). Marr

.

Le t? heqim minusin nga shenja e divergjenc?s

.

N? vend t? shkrimit gradj, shkruajm? ekuivalentin e tij ?j. Le t? shkruajm? ? n? vend t? div. Pastaj

Ekuacioni (11.27) quhet ekuacioni Poisson. Nj? form? e ve?ant? e ekuacionit Poisson, kur r svb =0, quhet ekuacioni Laplace. Ekuacioni i Laplace shkruhet si m? posht?:

Operatori quhet operatori Laplace ose Laplacian dhe ndonj?her? sh?nohet edhe me simbolin D. Prandaj, ndonj?her? mund t? gjeni k?t? form? t? shkrimit t? ekuacionit Poisson:

Le ta hapim n? sistemin koordinativ kartezian. P?r k?t? q?llim, ne shkruajm? prodhimin e dy faktor?ve ? dhe n? form? t? zgjeruar

Kryejm? shum?zim term pas termi dhe marrim

.

K?shtu, ekuacioni Poisson n? sistemin koordinativ Kartezian do t? shkruhet si m? posht?:

. (11.29)

Ekuacioni i Laplasit n? koordinatat karteziane

. (11.30)

Jepim pa rrjedhim shprehjen ? 2 j n? nj? sistem koordinativ cilindrik

, (11.31)

n? koordinatat sferike (11.32)

Ekuacioni Poisson jep nj? marr?dh?nie midis derivateve t? pjesshme t? rendit t? dyt? t? j n? ?do pik? t? fush?s dhe dend?sia v?llimore e ngarkesave t? lira n? k?t? pik? t? fush?s. N? t? nj?jt?n koh?, potenciali j n? ?do pik? t? fush?s varet, natyrisht, nga t? gjitha ngarkesat q? krijojn? fush?n, dhe jo vet?m nga madh?sia e ngarkes?s s? lir? q? ndodhet n? pik?n e caktuar.

Ekuacioni i Laplace (1780) fillimisht u aplikua p?r t? p?rshkruar fushat potenciale n? mekanik?n qiellore dhe m? pas u p?rdor p?r t? p?rshkruar fushat elektrike. Ekuacioni Poisson ?sht? aplikuar p?r studimin e fushave potenciale (elektrike dhe magnetike) q? nga viti 1820.

Shqyrtoni pyetjen se si zgjidhja e ekuacionit Poisson mund t? shkruhet n? form? t? p?rgjithshme. L?reni n? v?llim V ka ngarkesa v?llimore (r), sip?rfaq?sore (s) dhe lineare (t). Ne i p?rfaq?sojm? k?to tarifa si koleksione tarifash pik?sh rdv, sds, tdl; dV- elementi i v?llimit, ds- elementi i sip?rfaqes s? ngarkuar, dl- elementi i gjat?sis? s? boshtit t? ngarkuar. Komponenti i mundsh?m dj n? nj? pik? t? hap?sir?s larg rdV n? nj? distanc? R, n? p?rputhje me formul?n (11.20) ?sht? e barabart? me

P?rb?r?sit e potencialit nga ngarkesat sip?rfaq?sore dhe lineare, duke i konsideruar ato si pika, i p?rcaktojm? n? m?nyr? t? ngjashme:

Vlera e plot? j p?rkufizohet si shuma (integrale) e p?rb?r?sve t? potencialit nga t? gjitha ngarkesat n? terren:

. (11.33)

N? formul?n (11.33) r, s dhe t ka funksione rreze R. N? praktik?, formula (11.33) p?rdoret rrall?, q? nga shp?rndarja s ne siperfaqe t n? gjat?si dhe r n? v?llim varet n? m?nyr? komplekse nga konfigurimi i elektrodave dhe, si rregull, ?sht? i panjohur para llogaritjes. Me fjal? t? tjera, nuk dihet se si r, s dhe t varen nga rrezja R.

Kushtet kufitare

Kushtet kufitare jan? kushtet q? i bindet fusha n? nd?rfaqet nd?rmjet mediave me veti t? ndryshme elektrike. N? studimin e seksionit "proceset kalimtare" ??shtja e kushteve fillestare dhe ligjeve t? nd?rrimit kishte nj? r?nd?si jasht?zakonisht t? madhe. Kushtet fillestare dhe ligjet e komutimit b?n? t? mundur p?rcaktimin e konstanteve t? integrimit n? zgjidhjen e problemeve me metod?n klasike. N? metod?n klasike ato p?rdoreshin n? m?nyr? eksplicite, n? metod?n e operatorit ato p?rdoreshin n? form? t? fsheht?. Pa p?rdorimin e tyre, ?sht? e pamundur t? zgjidhet ndonj? detyr? p?r proceset kalimtare.

Dikush mund t? t?rheq? nj? paralele midis rolit t? kushteve kufitare n? nj? fush? elektrike (dhe n? ?do fush? tjet?r) dhe rolit t? kushteve fillestare dhe ligjeve t? nd?rrimit n? proceset kalimtare. Kur integroni ekuacionin Laplace (ose Poisson), konstantat e integrimit do t? hyjn? n? zgjidhje. Ato p?rcaktohen n? baz? t? kushteve kufitare. P?rpara se t? vazhdojm? me nj? diskutim t? holl?sish?m t? kushteve kufitare, le t? shqyrtojm? ??shtjen e fush?s brenda nj? trupi p?rcjell?s n? kushte elektrostatike.