sistem dinamik- nj? grup element?sh p?r t? cil?t specifikohet nj? marr?dh?nie funksionale midis koh?s dhe pozicionit n? hap?sir?n fazore t? secilit element t? sistemit. [ ] Ky abstraksion matematikor lejon studimin dhe p?rshkrimin e evolucionit t? sistemeve n? koh?.

Gjendja e nj? sistemi dinamik n? ?do moment t? koh?s p?rshkruhet nga nj? grup numrash (ose vektor?sh) real? q? korrespondojn? me nj? pik? t? caktuar n? hap?sir?n e gjendjes. Evolucioni i nj? sistemi dinamik p?rcaktohet nga nj? funksion determinist, dometh?n?, pas nj? intervali t? caktuar kohor, sistemi do t? marr? nj? gjendje specifike, n? var?si t? asaj aktuale.

Prezantimi

Nj? sistem dinamik ?sht? nj? model matematikor i nj? objekti, procesi ose fenomeni n? t? cilin "luhatjet dhe t? gjitha fenomenet e tjera statistikore" neglizhohen.

Nj? sistem dinamik mund t? p?rfaq?sohet gjithashtu si nj? sistem me shteti. Me k?t? qasje, sistemi dinamik p?rshkruan (n? t?r?si) dinamik?n e disa proceseve, p?rkat?sisht: procesin e kalimit t? sistemit nga nj? gjendje n? tjetr?n. Hap?sira fazore e nj? sistemi ?sht? t?r?sia e t? gjitha gjendjeve t? pranueshme t? nj? sistemi dinamik. K?shtu, nj? sistem dinamik karakterizohet nga gjendja e tij fillestare dhe ligji me t? cilin sistemi kalon nga gjendja fillestare n? nj? tjet?r.

Dalloni midis sistemeve me diskrete koha dhe sistemet t? vazhdueshme koha.

N? sistemet me koh? diskrete, t? cilat tradicionalisht quhen kaskada, sjellja e sistemit (ose, ?far? ?sht? e nj?jt?, trajektorja e sistemit n? hap?sir?n fazore) p?rshkruhet nga sekuenc? shteteve. N? sistemet me koh? t? vazhdueshme, t? cilat tradicionalisht quhen p?rrenj, gjendja e sistemit ?sht? p?rcaktuar p?r t? gjith? momenti i koh?s n? boshtin real ose kompleks. Kaskadat dhe rrjedhat jan? tema kryesore e shqyrtimit n? dinamik?n simbolike dhe topologjike.

Nj? sistem dinamik (me koh? diskrete dhe t? vazhdueshme) shpesh p?rshkruhet nga nj? sistem autonom ekuacionesh diferenciale, t? dh?na n? disa fusha dhe q? plot?sojn? kushtet e teorem?s s? ekzistenc?s dhe unike t? zgjidhjes s? ekuacionit diferencial. Pozicionet e ekuilibrit t? sistemit dinamik korrespondojn? me pikat singulare t? ekuacionit diferencial, dhe kurbat e faz?s s? mbyllur korrespondojn? me zgjidhjet periodike t? tij.

P?rmbajtja kryesore e teoris? s? sistemeve dinamike ?sht? studimi i kthesave t? p?rcaktuara me ekuacione diferenciale. Kjo p?rfshin ndarjen e hap?sir?s s? faz?s n? trajektore dhe studimin e sjelljes kufizuese t? k?tyre trajektoreve: k?rkimin dhe klasifikimin e pozicioneve t? ekuilibrit, zgjedhjen e t?rheqjes ( t?rheq?s) dhe neverit?se ( zmbraps?sit) grupe (variete). Konceptet m? t? r?nd?sishme t? teoris? s? sistemeve dinamike jan? q?ndrueshm?ria e gjendjeve t? ekuilibrit (d.m.th., aft?sia e nj? sistemi, me ndryshime t? vogla n? kushtet fillestare, p?r t? q?ndruar p?r nj? koh? t? gjat? n? m?nyr? arbitrare pran? pozicionit t? ekuilibrit ose n? nj? manifold t? caktuar) dhe vrazhd?si (d.m.th., ruajtja e vetive me ndryshime t? vogla n? vet? modelin matematik; " sistem i p?raf?rt- kjo ?sht? e till?, natyra cil?sore e l?vizjeve t? s? cil?s nuk ndryshon me nj? ndryshim mjaft t? vog?l n? parametra").

P?rfshirja e paraqitjeve probabilistiko-statistikore n? teorin? ergodike t? sistemeve dinamike ?on n? konceptin e nj? sistemi dinamik me mas? e pandryshueshme.

Teoria moderne e sistemeve dinamike ?sht? nj? em?r kolektiv p?r studimet ku p?rdoren gjer?sisht dhe kombinohen n? m?nyr? efektive metoda nga deg? t? ndryshme t? matematik?s: topologjia dhe algjebra, gjeometria algjebrike dhe teoria e matjeve, teoria e formave diferenciale, teoria e singulariteteve dhe katastrofave.

Metodat e teoris? s? sistemeve dinamike jan? t? k?rkuara n? deg? t? tjera t? shkenc?s natyrore, t? tilla si termodinamika jo ekuilib?r, teoria e kaosit dinamik, sinergjetika.

P?rkufizimi

Le X (\displaystyle X)?sht? nj? shum?fish arbitrar i l?muar.

sistem dinamik, e p?rcaktuar n? nj? kolektor t? l?muar X (\displaystyle X), quhet hartografi g: R x X -> X (\stil ekrani g\pika e dyfisht? R\her? X\n? X), shkruar n? form? parametrike g t (x) (\style ekrani g^(t)(x)), ku t ? R , x ? X (\style ekrani t\n? R,x\n? X), e cila ?sht? nj? hart? e diferencueshme, dhe g 0 (\displaystyle g^(0))- hart?zimi i identitetit t? hap?sir?s X (\displaystyle X). N? rastin e sistemeve stacionare t? kthyeshme, familja me nj? parametra ( g t: t ? R ) (\displaystyle \(g^(t):t\n? R\)) formon nj? grup shnd?rrimesh t? hap?sir?s topologjike X (\displaystyle X), dhe k?shtu, n? ve?anti, p?r ?do t 1 , t 2 ? R (\stil ekrani t_(1),t_(2)\n? R) identitetin g t 1 ? g t 2 = g t 1 + t 2 (\displaystyle g^(t_(1))\circ g^(t_(2))=g^(t_(1)+t_(2))).

Nga diferencueshm?ria e hart?s g (\displaystyle g) rrjedh se funksioni g t (x 0) (\style ekrani g^(t)(x_(0)))?sht? nj? funksion i diferencuesh?m i koh?s, grafiku i tij ndodhet n? hap?sir?n fazore t? zgjeruar R x X (\displaystyle R\her? X) dhe thirri trajektorja integrale(kurb?) sistem dinamik. Projeksioni i tij n? hap?sir? X (\displaystyle X), e cila quhet hap?sira fazore, quhet trajektorja e faz?s(kurb?) sistem dinamik.

Specifikimi i nj? sistemi dinamik t? pal?vizsh?m ?sht? ekuivalent me ndarjen e hap?sir?s s? faz?s n? trajektore fazore. Specifikimi i nj? sistemi dinamik ?sht? p?rgjith?sisht i barabart? me ndarjen e hap?sir?s s? zgjeruar t? faz?s n? trajektore integrale.

Metodat p?r p?rcaktimin e sistemeve dinamike

P?r t? p?rcaktuar nj? sistem dinamik, ?sht? e nevojshme t? p?rshkruhet hap?sira e tij fazore X (\displaystyle X), grup or?sh T (\displaystyle T) dhe disa rregull, i cili p?rshkruan l?vizjen e pikave hap?sinore fazore me koh?n. Shum? pika n? koh? T (\displaystyle T) mund t? jet? edhe nj? interval i vij?s reale (at?her? themi se koha vazhdimisht), dhe bashk?sin? e numrave t? plot? ose t? numrave natyror? ( diskrete koha). N? rastin e dyt?, "l?vizja" e nj? pike hap?sinore fazore ?sht? m? shum? si "k?rcime" t? menj?hershme nga nj? pik? n? tjetr?n: trajektorja e nj? sistemi t? till? nuk ?sht? nj? kurb? e qet?, por thjesht nj? grup pikash dhe zakonisht quhet nj? orbit?. Megjithat?, pavar?sisht ndryshimit t? jasht?m, ekziston nj? marr?dh?nie e ngusht? midis sistemeve me koh? t? vazhdueshme dhe diskrete: shum? veti jan? t? zakonshme p?r k?to klasa sistemesh ose transferohen leht?sisht nga nj?ra n? tjetr?n.

Rrjedhat e faz?s

L?reni hap?sir?n e faz?s X (\displaystyle X) p?rfaq?son nj? hap?sir? shum?dimensionale ose nj? rajon n? t?, dhe koha ?sht? e vazhdueshme. Supozoni se e dim? se sa shpejt l?viz ?do pik? x (\displaystyle x) hap?sir? fazore. Me fjal? t? tjera, funksioni i vektorit t? shpejt?sis? ?sht? i njohur v (x) (\displaystyle v(x)). At?her? trajektorja e pik?s do t? jet? zgjidhja e ekuacionit diferencial autonom d x d t = v (x) (\style display (\frac (dx)(dt))=v(x)) me gjendje fillestare x (0) = x 0 (\displaystyle x(0)=x_(0)). Sistemi dinamik i p?rcaktuar n? k?t? m?nyr? quhet rrjedha fazore p?r nj? ekuacion diferencial autonom.

Kaskada

Le X (\displaystyle X)?sht? nj? grup arbitrar, dhe f: X -> X (\stil ekrani f\pika nga X\n? X)- disa harta t? grupit X (\displaystyle X) per veten time. Konsideroni p?rs?ritjet e k?tij hartografimi, dometh?n? rezultatet e aplikimit t? tij t? p?rs?ritur n? pikat n? hap?sir?n e faz?s. Ato p?rcaktojn? nj? sistem dinamik me hap?sir? fazore X (\displaystyle X) dhe shum? her? T = N (\displaystyle T=\mathbb (N)). N? t? v?rtet?, ne do t? supozojm? se nj? pik? arbitrare x 0 ? X (\displaystyle x_(0)\n? X) gjat? 1 (\displaystyle 1) shkon n? pik?n x 1 = f (x 0) ? X (\displaystyle x_(1)=f(x_(0))\n? X). Pastaj n? koh? 2 (\displaystyle 2) kjo pik? do t? shkoj? n? pik?n x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) (\style ekrani x_(2)=f(x_(1))=f(f(x_(0)))) etj.

N?se shfaqja f (\displaystyle f) e kthyeshme, mund t? p?rcaktohet p?rs?ritje t? kund?rta: x - 1 = f - 1 (x 0) (\style ekrani x_(-1)=f^(-1)(x_(0))), x - 2 = f - 1 (f - 1 (x 0)) (\style ekrani x_(-2)=f^(-1)(f^(-1)(x_(0)))) etj. K?shtu, marrim nj? sistem me nj? grup pikash kohore T = Z (\displaystyle T=\mathbb (Z)).

Shembuj

• Sistemi i ekuacioneve diferenciale

p?rcakton nj? sistem dinamik me koh? t? vazhdueshme, i quajtur "oscilator harmonik". Hap?sira e saj fazore ?sht? rrafshi (x , v) (\shfaqja e stilit (x,v)), ku v (\displaystyle v)- shpejt?sia e pik?s x (\displaystyle x). Oscilatori harmonik modelon nj? s?r? procesesh oshiluese - p?r shembull, sjelljen e nj? ngarkese n? nj? sust?. Lakoret e saj fazore jan? elipse t? p?rqendruara n? zero.

Pyetje t? teoris? s? sistemeve dinamike

Duke pasur nj? detyr? t? nj? sistemi dinamik, nuk ?sht? gjithmon? e mundur t? gjenden dhe t? p?rshkruhen trajektoret e tij n? nj? form? t? qart?. Prandaj, zakonisht merren parasysh pyetje m? t? thjeshta (por jo m? pak kuptimplota) n? lidhje me sjelljen e p?rgjithshme t? sistemit. P?r shembull:

1. A ka sistemi kurba t? faz?s s? mbyllur, dometh?n? a mund t? kthehet n? gjendjen e tij fillestare gjat? evolucionit?
2. Si jan? rregulluar manifoldet invariante t? sistemit (nj? rast i ve?ant? i t? cilit jan? trajektoret e mbyllura)?
3. Si ?sht? rregulluar t?rheq?si i sistemit, pra grupi n? hap?sir?n fazore, drejt s? cil?s priret “shumica” e trajektoreve?
4. Si sillen trajektoret e shkrepura nga pika t? af?rta - q?ndrojn? af?r apo largohen me kalimin e koh?s n? nj? distanc? t? konsiderueshme?
Lidhjet

Mbi kolektor?t dhe n?ngrupet e tyre. E lidhur ngusht? me teorin? e ekuacioneve diferenciale, pasi nj? ekuacion i zakonsh?m diferencial p?rcakton nj? grup difeomorfizmi me nj? parametr t? hap?sir?s s? tij fazore.

Kjo fush? studimi shpesh quhet thjesht si "Sistemet Dinamike", "Teoria e Sistemeve", ose m? gjat? si "Teoria e Sistemeve Dinamike Matematikore".

Modeli: Sistemi

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

• Teoria e grupit t? g?njeshtr?s
• Teoria e ekuacioneve diferenciale

Shihni se ?far? ?sht? "Teoria e Sistemeve Dinamike" n? fjalor? t? tjer?:

TEORIA METRIKE E SISTEMEVE DINAMIKE- nj?lloj si teoria ergodike... Enciklopedia Matematikore

TEORIA E ENTROPIS? E SISTEMEVE DINAMIKE- nj? pjes? e teoris? ergodike e lidhur ngusht? me teorin? e probabilitetit dhe teorin? e informacionit. Natyra e k?saj lidhjeje n? terma t? p?rgjithsh?m ?sht? si m? posht?. Le t? jet? (Tt) nj? dinamik? sistem (zakonisht prurje ose kaskad? e matshme) me hap?sir? fazore W dhe mas? t? pandryshueshme Le… Enciklopedia Matematikore

Departamenti i Sistemeve Dinamike Jolineare dhe Proceseve t? Kontrollit, VMK MSU- Departamenti i Sistemeve dhe Proceseve Jolineare Dinamike t? Departamentit t? Matematik?s Kompjuterike dhe Kibernetik?s t? Universitetit Shtet?ror t? Mosk?s me emrin M. V. Lomonosov (NDSiPU VMK MSU). Shef i departamentit (q? nga viti 1989) - laureat i Leninit, Shtetit (BRSS dhe Federata Ruse), ... ... Wikipedia

Teoria e katastrofave (matematika)- Teoria e katastrofave ?sht? nj? deg? e matematik?s q? p?rfshin teorin? e bifurkacioneve t? ekuacioneve diferenciale (sistemet dinamike) dhe teorin? e singulariteteve t? pasqyrimeve t? l?muara. Termat "katastrof?" dhe "teoria e katastrof?s" u prezantuan nga Ren? Thom dhe ... ... Wikipedia

Teoria e bifurkacionit- sistemet dinamike ?sht? nj? teori q? studion ndryshimet n? pamjen cil?sore t? ndarjes s? hap?sir?s fazore n? var?si t? ndryshimit t? nj? parametri (ose disa parametrave). P?rmbajtja 1 V?shtrim i p?rgjithsh?m 2 Bifurkacioni i ekuilibrave ... Wikipedia

Teoria e sistemeve stacionare lineare- nj? seksion i teoris? s? sistemeve dinamike q? studion sjelljen dhe vetit? dinamike t? sistemeve lineare stacionare (LSS). P?rdoret gjer?sisht n? procesin e kontrollit t? sistemeve teknike, p?rpunimit dixhital t? sinjalit dhe fushave t? tjera t? inxhinieris?. ... ... Wikipedia

Teoria e matricave t? rast?sishme- Teoria e matricave t? rast?sishme ?sht? nj? deg? e statistikave matematikore q? studion vetit? e ansambleve t? matricave, element?t e t? cilave shp?rndahen rast?sisht. Si rregull vendoset ligji i shp?rndarjes s? elementeve. N? t? nj?jt?n koh?, statistikat e tyre studiohen ... ... Wikipedia

Teoria e nyjeve- Teoria e nyjeve ?sht? studimi i futjeve t? manifoldeve nj?dimensionale n? nj? hap?sir? Euklidiane tredimensionale ose n? nj? sfer?. N? nj? kuptim m? t? gjer?, tema e teoris? s? nyjeve ?sht? futja e sferave n? shum?fishe dhe, n? p?rgjith?si, ngulitja e manifoldeve. P?rmbajtja 1 ... ... Wikipedia

Teoria e Kolmogorov- Teoria Kolmogorov e Arnold Moserit, ose teoria KAM e quajtur sipas krijuesve t? saj, A. N. Kolmogorov, V. I. Arnold dhe Yu. Moser, nj? deg? e teoris? s? sistemeve dinamike q? studion perturbacionet e vogla pothuajse ... ... Wikipedia

Teoria e katastrof?s (disambiguim)- Teoria e katastrof?s: Teoria e katastrof?s ?sht? nj? deg? e matematik?s q? p?rfshin teorin? e bifurkacioneve t? ekuacioneve diferenciale (sistemet dinamike) dhe teorin? e singulariteteve t? pasqyrimeve t? l?muara. Katastrofizmi (teoria e katastrof?s) sistemi ... ... Wikipedia

librat

• Sinkronizimi i sistemeve dinamike, . N? k?t? lib?r tentohet q? n? m?nyr? sistematike t? prezantohen faktet dhe rezultatet q? kan? t? b?jn? me fush?n e shkenc?s dhe teknologjis? n? zhvillim t? shpejt? - sinkronizimin e sistemeve dinamike. Lib?r ... Blini p?r 735 rubla
• Teoria e sistemeve dinamike, G. A. Stepanyants. Ky lib?r i kushtohet prezantimit t? themeleve t? teoris? s? p?rgjithshme t? sistemeve dinamike, t? krijuara nga veprat e nj? numri matematikan?sh t? shquar vendas dhe t? huaj. Njohja me k?t? teori lejon...

Pika fillestare n? krijimin e teoris? s? motivimit t? Levinit ishte ideja se vet?dija p?rcaktohet n? dy m?nyra: procesi i shoq?rimit dhe vullneti. Ai i shihte ato si tendenca t? ve?anta. Levin tregoi se tendenca p?rcaktuese, t? cil?n ai e quajti kuazi nevoj?, nuk ?sht? nj? rast i ve?ant?, por, p?rkundrazi, ?sht? nj? parakusht dinamik p?r ?do sjellje. Komponenti energjetik i sjelljes ka qen? gjithmon? p?r Levin lidhja qendrore n? shpjegimin e q?llimeve dhe veprimeve t? nj? personi.

Lloji i energjis? q? kryen pun? mendore, Levin e quajti energji mendore. Ai ?lirohet kur sistemi psikik p?rpiqet t? rifitoj? ekuilibrin e shkaktuar nga ?ekuilibri. Kjo e fundit shoq?rohet me nj? rritje t? tensionit n? nj? pjes? t? sistemit n? krahasim me t? tjer?t.

Puna e par? teorike e p?rgjithshme relativisht e madhe e Levinit, n? t? cil?n ai propozoi nj? model mjaftuesh?m t? detajuar t? p?rgjithsh?m shpjegues psikologjik t? dinamik?s s? sjelljes, ishte libri i tij "Synimi, vullneti dhe nevoja", bazuar n? rezultatet e eksperimenteve t? para t? Ovsyankina, Zeigarnik, Birenbaum, Karsten. . N? k?t? lib?r, Lewin, pothuajse pa diskutuar hapur me Z. Frojdin, i jep nj? p?rgjigje shum? bind?se psikologjis? akademike sfid?s s? Frojdit, i cili ishte i pari q? i kushtoi v?mendje fush?s s? studimit t? forcave motivuese t? veprimeve njer?zore q? kishin qen?. injoruar para tij.

Konceptet kryesore t? Levinit jan? vendosur n? titullin e librit. Sipas Lewin-it, baza e veprimtaris? njer?zore n? cil?ndo nga format e saj, qoft? shoqat?, veprim, t? menduar, kujtes?, ?sht? q?llimi - nevoja. Ai i konsideron nevojat si sisteme t? tensionuara q? gjenerojn? tension, shkarkimi i t? cilave ndodh n? veprim kur ndodh nj? mund?si e p?rshtatshme. P?r t? dalluar kuptimin e tij t? nevoj?s nga ai i krijuar tashm? n? psikologji dhe i lidhur kryesisht me nevoja biologjike, t? lindura q? lidhen me disa gjendje t? brendshme, Lewin i quan ato "kuazi-nevoja". N? konceptin e proceseve vullnetare, ai p?rfshin nj? s?r? procesesh t? q?llimshme t? shkall?ve t? ndryshme t? arbitraritetit, duke t?rhequr v?mendjen n? nj? ve?ori t? till? si nd?rtimi arbitrar i nj? fushe t? ardhshme n? t? cil?n fillimi i vet? veprimit duhet t? ndodh? automatikisht. Nj? vend t? ve?ant? n? modelin e Levinit z? koncepti "Aufforderungscharakter", ky term p?rkthehet si nj? nxitje (ku ka nj? kualifikues t? ?far?) ose nj? nxitje (ku nuk ka nj? specifikim t? till?). Kuazi-nevojat formohen n? situata aktuale n? lidhje me q?llimet e pranuara dhe manifestohet n? at? q? disa gj?ra ose ngjarje fitojn? motivim, kontakti me t? cilin ka nj? tendenc? p?r veprime t? caktuara. p?r ne, Levini v?ren se p?rve? k?saj, duket se k?rkojn? nga ne kryerjen e nj? aktiviteti t? caktuar n? raport me veten: “Moti i mir? dhe nj? peizazh i caktuar na th?rrasin p?r sh?titje, shkall?t e shkall?ve inkurajojn? nj? dyvje?are. -f?mija i vjet?r t? shkoj? lart e posht?; dyert - hapni dhe mbyllni ato. "Nxitja mund t? ndryshoj? n? intensitet dhe n? shenj? (t?rheq?se ose t? neveritshme), por kjo, sipas Levin, nuk ?sht? gj?ja kryesore. Shum? m? e r?nd?sishme ?sht? q? objektet t? nxisin veprime t? caktuara, pak a shum? t? p?rcaktuara ngusht?. t? cilat mund t? jen? jasht?zakonisht t? ndryshme, edhe n?se kufizohemi vet?m n? stimuj pozitiv?. Faktet e cituara nga Levin d?shmojn? p?r nj? lidhje t? drejtp?rdrejt? midis ndryshimeve n? motivimin e objekteve dhe dinamik?s s? nevojave dhe kuazi nevojave t? subjektit, si dhe synimet e tij t? jet?s.

Lewin jep nj? p?rshkrim t? pasur t? fenomenologjis? s? motivimit, i cili ndryshon n? var?si t? situat?s, si dhe si rezultat i zbatimit t? veprimeve t? k?rkuara: ngopja ?on n? humbjen e motivimit nga objekti dhe veprimi, dhe ngopja shprehet n? nj? ndryshim nga motivimi pozitiv n? negativ; n? t? nj?jt?n koh?, gj?rat dhe profesionet e jashtme, ve?an?risht ato q? jan? disi t? kund?rta me origjinalin, fitojn? nj? nxitje pozitive. Veprimet dhe elementet e tyre gjithashtu mund t? humbasin motivimin e tyre natyror si rezultat i automatizimit. Dhe anasjelltas: me nj? rritje t? intensitetit t? nevojave, rritet jo vet?m motivimi i objekteve q? u p?rgjigjen atyre, por edhe gama e objekteve t? tilla zgjerohet (nj? person i uritur b?het m? pak pickues).

Levin besonte se nj? person ?sht? nj? sistem kompleks energjetik, dhe lloji i energjis? q? kryen pun? psikologjike quhet energji psikike. Energjia psikike lirohet kur nj? person p?rpiqet t? rifitoj? ekuilibrin pasi ?sht? n? nj? gjendje ?ekuilibri. ?ekuilibri prodhohet nga nj? rritje e tensionit n? nj? pjes? t? sistemit n? krahasim me pjes?t e tjera si rezultat i stimulimit t? jasht?m ose ndryshimeve t? brendshme. Personaliteti jeton dhe zhvillohet n? fush?n psikologjike t? objekteve q? e rrethojn?, secila prej t? cilave ka nj? ngarkes? t? caktuar (valenc?). Valenca ?sht? nj? pron? konceptuale e rajonit t? mjedisit psikologjik, ?sht? vlera e rajonit p?r nj? person. Eksperimentet e tij v?rtetuan se p?r ?do person kjo valenc? ka shenj?n e vet, edhe pse n? t? nj?jt?n koh? ka objekte q? kan? t? nj?jt?n forc? t?rheq?se ose refuzuese p?r t? gjith?. Duke ndikuar tek nj? person, objektet shkaktojn? tek ai nevoja, t? cilat Levin i konsideroi si nj? lloj ngarkese energjie q? shkakton tension tek nj? person. N? k?t? gjendje, nj? person tenton t? shkarkoj?, d.m.th. p?r t? k?naqur nevojat tuaja. Lewin dalloi dy lloje nevojash - biologjike dhe sociale (kuazi-nevoja). Nj? nga ekuacionet m? t? famshme t? Levinit, me t? cilin ai p?rshkroi sjelljen njer?zore n? fush?n psikologjike n?n ndikimin e nevojave t? ndryshme, tregon se sjellja ?sht? nj?koh?sisht funksion i personalitetit dhe fush?s psikologjike.

P?r t? shpjeguar dinamik?n, Levin p?rdor disa koncepte. Tensioni ?sht? gjendja e nj? rajoni intrapersonal n? lidhje me rajonet e tjera intrapersonale. Trupi p?rpiqet t? barazoj? tensionin e k?tij rajoni n? krahasim me t? tjer?t. Mjeti psikologjik i barazimit t? tensionit ?sht? nj? proces - t? menduarit, memorizimi, etj. Nevoja - nj? rritje e tensionit ose ?lirimi i energjis? n? nj? rajon intrapersonal. Nevojat n? struktur?n e personalitetit nuk jan? t? izoluara, por jan? t? lidhura me nj?ra-tjetr?n, n? nj? hierarki t? caktuar. Nevojat ndahen n? gjendje fiziologjike (nevoja t? v?rteta) dhe q?llime, ose kuazi-nevoja. Koncepti i nevoj?s pasqyron gjendjen e brendshme t? individit, gjendjen e nevoj?s dhe koncepti i kuazi nevoj?s ?sht? i barabart? me nj? q?llim specifik p?r t? k?naqur nevoj?n. "Kjo do t? thot? q? njeriu duhet t'i drejtohet q?llimit kur nuk ka nevoj? natyrore p?r t? kryer veprimin p?rkat?s, apo edhe kur ekziston nj? nevoj? natyrore e natyr?s s? kund?rt."

Diferencimi ?sht? nj? nga konceptet kryesore t? teoris? s? "fush?s". dhe vlen p?r t? gjitha aspektet e hap?sir?s s? jetes?s. P?r shembull, nj? f?mij?, sipas Levinit, karakterizohet nga nj? ndjeshm?ri m? e madhe ndaj ndikimit t? mjedisit dhe, n? p?rputhje me rrethanat, nj? dob?si m? e madhe e kufijve n? sfer?n e brendshme, n? dimensionin "realitet-jorealitet" dhe n? sfer?n kohore. Organizimi dhe integrimi n? rritje i teoris? s? sjelljes s? personalitetit "fush?". definon si nd?rvar?si organizative. Me ardhjen e pjekuris?, lind nj? diferencim i madh si n? vet? personalitetin ashtu edhe n? mjedisin psikologjik, forca e kufijve rritet, sistemi i marr?dh?nieve hierarkike dhe selektive midis sistemeve t? tensionuara b?het m? i nd?rlikuar.

Q?llimi p?rfundimtar i t? gjitha proceseve mendore ?sht? d?shira p?r t? rivendosur ekuilibrin tek nj? person. Ky proces mund t? kryhet duke k?rkuar p?r objekte t? caktuara valore t? mjedisit psikologjik q? mund t? leht?sojn? tensionin.

Qasja e Levin u dallua nga dy pika. S? pari, ai kaloi nga ideja se energjia e motivit ?sht? e mbyllur brenda trupit, n? iden? e sistemit "organiz?m-mjedis". Individi dhe mjedisi i tij shfaqeshin si nj? t?r?si dinamike e pandashme. S? dyti, ndryshe nga interpretimi i motivimit si nj? konstante e paracaktuar biologjikisht, Lewin besonte se tensioni motivues mund t? krijohet si nga vet? individi ashtu edhe nga njer?zit e tjer? (p?r shembull, nj? eksperimentues q? i ofron nj? individi t? kryej? nj? detyr?). K?shtu, vet? motivimi u njoh si nj? status psikologjik. Nuk u reduktua m? n? nevoja biologjike, duke plot?suar t? cilat trupi shter potencialin e tij motivues.

Levin e ka nxjerr? iden? e tij t? motivimit nga lidhja e pazgjidhshme midis subjektit dhe objektit. N? t? nj?jt?n koh?, u hoq kund?rv?nia midis s? brendshmes dhe s? jashtmes, sepse ato u deklaruan si pole t? ndryshme t? nj? hap?sire t? vetme - fush?s sipas Levinit. P?r psikolog?t Gestalt, nj? fush? ?sht? ajo q? perceptohet si e dh?n? drejtp?rdrejt n? nd?rgjegje. P?r Lewin, fusha ?sht? struktura n? t? cil?n zhvillohet sjellja. Ai mbulon aspiratat motivuese t? individit dhe n? t? nj?jt?n koh? objektet e k?tyre aspiratave. Levin e nxori sjelljen nga fakti i nd?rveprimit midis individit dhe mjedisit. Atij nuk i interesonin objektet si sende, por vet?m se ?far? raporti kan? ato me nevojat e individit. Ndryshimet motivuese rrjedhin jo nga strukturat e brendshme t? personalitetit, por nga karakteristikat e vet? fush?s, nga dinamika e t?r?sis?.

K?to rezultate e afrojn? pozicionin e Levinit me idet? e Adlerit dhe psikologjis? humaniste: r?nd?sia e ruajtjes s? integritetit t? personalitetit, Vetes s? tij, nevoja q? nj? person t? kuptoj? struktur?n e personalitetit t? tij. Ngjashm?ria e k?tyre koncepteve, tek t? cilat erdh?n shkenc?tar? t? shkollave dhe drejtimeve t? ndryshme, flet p?r r?nd?sin? e k?tij problemi, se, duke kuptuar ndikimin e t? pand?rgjegjshmes n? sjellje, njer?zimi vjen n? iden? e nevoj?s p?r t? t?rhequr nj? vij?. mes nj? personi dhe qenieve t? tjera t? gjalla, p?r t? kuptuar jo vet?m arsyet e agresivitetit, mizoris?, epshit t? tij, t? cilat psikanaliza i shpjegoi n? m?nyr? t? p?rsosur, por edhe themelet e moralit, mir?sis?, kultur?s s? tij. Me r?nd?si t? madhe ishte d?shira n? bot?n e re, pas luft?s, e cila tregoi par?nd?sin? dhe brisht?sin? e njeriut, p?r t? kap?rcyer ndjenj?n e shfaqur t? tipitetit dhe k?mbyeshm?ris? s? njer?zve, p?r t? provuar se njer?zit jan? sisteme integrale, unike, secila prej t? cilave mbart bota e tij e brendshme, jo e ngjashme me bot?n e njer?zve t? tjer?.

Konceptet e sistemit, karakteristikat kryesore t? sistemit.

Sistemi -?sht? nj? grup element?sh q? jan? n? bashk?veprim dhe q? lidhen me nj? struktur? t? caktuar.

Blloku themelor i ?do sistemi jan? element?t p?rb?r?s t? tij, ?do element karakterizohet nga nj? grup gjendjesh n? t? cilat mund t? jet?.

Skema e funksionimit t? elementit t? sistemit:

Shum? sisteme karakterizohen nga parimi i reagimit - sinjali i daljes mund t? p?rdoret p?r t? korrigjuar kontrollin.

S(t) ?sht? gjendja e elementit n? koh?n t.

U(t) – kontrolli i elementit n? momentin t.

a(t) ?sht? mjedisi i elementit n? momentin t.

E(t) - efektet e rast?sishme t? elementit n? momentin t.

Y(t) ?sht? sinjali dal?s i elementit n? koh?n t.

N? rastin e p?rgjithsh?m, p?rshkrimi i funksionimit t? nj? elementi t? sistemit kryhet duke p?rdorur nj? sistem ekuacionesh diferenciale ose diferenciale t? form?s s? m?poshtme:

Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E (t), E (t-1),…)

(Y(t) = g (S(t), a(t), E(t)) (1)

Shembuj t? struktur?s s? sistemit:

linear (serial):

hierarkike (si pema):

radiale (n? form? ylli):

qelizore ose matricore:

shum?zohen t? lidhura - me nj? struktur? arbitrare.

N? analiz?n e sistemeve dinamike, ne konsiderojm? zgjidhjen e problemeve t? m?poshtme:

Detyra e v?zhgimit ?sht? t? p?rcaktoj? gjendjen e sistemit n? koh?n S(t) sipas vlerave t? daljes (p?r sjelljen e tyre) n? t? ardhmen.

Gjeni S(t) duke ditur
p?r nj? sistem me koh? diskrete.

p?r sistemet me koh? t? vazhdueshme.

Detyra e identifikimit ?sht? t? p?rcaktoj? gjendjen aktuale S(t) sipas t? dh?nave p?r sjelljen e vlerave t? daljes n? t? kaluar?n.

3. Detyrat e parashikimit - p?rcaktimi i gjendjeve t? ardhshme sipas aktuale dhe

vlerat e kaluara.

Gjeni S(t+1), S(t+2),… duke ditur

Problemi i k?rkimit t? kontrollit ?sht? gjetja e sekuenc?s s? kontrollit U(t), U(t+1),…, U(S), S > t, e cila e sjell sistemin nga gjendja S(t) = X n? gjendjen S. (S) = Y.

Problemi i sintez?s s? kontrollit maksimal konsiston n? nj? sekuenc? t? caktuar optimale t? veprimeve t? kontrollit U*(t) duke zgjidhur problemin 4 dhe funksionin maksimal objektiv ose funksional:

F(S(t)), t = 0,1,2,…

Llojet e sistemit:

Nga prania e faktor?ve t? rast?sish?m:

p?rcaktuese

Stokastik - ndikimi i faktor?ve t? rast?sish?m nuk mund t? neglizhohet.

2. Duke marr? parasysh faktorin koh?:

Sisteme me koh? t? vazhdueshme

Sistemet kohore diskrete

3. Ndikuar nga periudhat e kaluara:

Sistemet Markov - p?r t? zgjidhur detyrat 1 dhe 2, informacioni ?sht? i nevojsh?m vet?m p?r periudh?n e m?parshme ose pasuese. P?r sistemet Markov, ekuacioni (1) merr form?n: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E(t), E(t-1)) = 0

Jo-Markovian.

Disa veti t? p?rgjithshme t? sistemeve:

kauzaliteti ?sht? aft?sia p?r t? parashikuar pasojat e disa pasojave n? t? ardhmen. Pjes?. rasti: paracaktimi i sistemit do t? thot? q?, n? thelb, gjendje t? tilla p?r t? cilat i gjith? evolucioni i ardhsh?m i sistemit mund t? llogaritet n? baz? t? v?zhgimeve t? kaluara.

kontrollueshm?ria - konsiston n? faktin se me nj? zgjedhje t? p?rshtatshme t? veprimit t? hyrjes U, mund t? arrihet ?do sinjal hyr?s Y.

stabilitet - nj? sistem ?sht? i q?ndruesh?m n?se, me ndryshime mjaft t? vogla n? kushtet e funksionimit t? tij, sjellja e sistemit nuk ndryshon ndjesh?m.

inercia - shfaqja e vonesave n? sistem n? p?rgjigje (vones?) ndaj nj? ndryshimi n? kontroll dhe (ose) mjedisin e jasht?m.

p?rshtatshm?ri - aft?sia e nj? sistemi p?r t? ndryshuar sjelljen dhe (ose) struktur?n e tij n? p?rgjigje t? nj? ndryshimi n? mjedisin e jasht?m.

Sisteme dinamike p?rcaktuese me koh? diskrete.

Shum? aplikime n? ekonomi k?rkojn? modelimin e sistemeve me kalimin e koh?s.

Gjendja e sistemit n? koh?n t p?rshkruhet nga nj? vektor dimensional X(t).

X(t) = ….. , X(t) R n (R ?sht? bashk?sia e t? gjith? numrave real?)

t

Evolucioni i sistemit me kalimin e koh?s p?rshkruhet nga funksioni

G (X 0, t, ), ku

X 0 – gjendja fillestare e sistemit;

t ?sht? koha;

- vektori i parametrave.

Funksioni g(*) quhet edhe funksion i tranzicionit

Funksioni g(*) ?sht? nj? rregull q? p?rshkruan gjendjen aktuale si funksion i koh?s, kushteve fillestare dhe parametrave.

P?r shembull: X t = X 0 (1+ ) t = g (X 0 , t, )

Funksioni g(*) n? p?rgjith?si nuk dihet. Zakonisht specifikohet n? m?nyr? implicite si nj? zgjidhje p?r nj? sistem ekuacionesh diferenciale.

Nj? ekuacion diferencial ose sistem ekuacionesh ?sht? nj? ekuacion n? form?n e m?poshtme: F (t, X t, X t +1, ..., X t + m, ) = 0 (1), ku

X t ?sht? gjendja e sistemit n? koh?n t.

Zgjidhja e ekuacionit (1) ?sht? nj? sekuenc? vektor?sh

X t = X 0, X 1,…,

Zakonisht supozohet se ekuacioni (1) mund t? zgjidhet analitikisht n? lidhje me X t + m dhe t? rishkruhet n? form?n e t? ashtuquajturave ekuacione - thot?:

X t+m = f (t, X t, X t+1, …,X t+m-1, )(2)

P?r shembull:

Xt +2 = Xt + Xt +1 /2 + t

?do sistem mund t? p?rfaq?sohet n? form?n (2) gjithmon??

Ekuacioni i diferenc?s (2) quhet linear n?se F(*) ?sht? nj? funksion linear i variablave t? gjendjes (jo domosdoshm?risht linear n? lidhje me )

N? ekuacionet (1) dhe (2), quhet vlera m rendi i sistemit nuk ?sht? nj? kufizim serioz, pasi sistemi ?sht? i rendit m? t? lart? duke futur variabla dhe ekuacione shtes?.

Shembull: X t \u003d f (X t -1, Y t -1) - Sistemi i rendit t? dyt?

Ne prezantojm? Y t \u003d X t -1

X t \u003d f (X t -1, Y t -1)

K?shtu, ne do t? shqyrtojm? vet?m sistemet e rendit t? par? t? form?s s? m?poshtme:

X t -1 = f(t, X t, ) (3)

Ekuacioni (3) quhet autonom n?se t nuk p?rfshihet n? t? si argument i ve?ant?.

Shembull:

Merrni parasysh dinamik?n e aktiveve fikse n? nd?rmarrje

K t ?sht? kostoja e aktiveve fikse t? nd?rmarrjes n? periudh?n t.

- norma e amortizimit, pra % e aktiveve fikse q? jan? t?rhequr nga nd?rmarrja gjat? vitit.

I t = investim n? asete fikse.

K t +1 = (1 - )K t + I t ?sht? nj? ekuacion i rendit t? par?, linear, n?se I t = I, at?her?

K t +1 = (1 - )K t + I ?sht? nj? ekuacion autonom

N?se I t = I(t) ?sht? joautonom (varet nga t)

Zgjidhja e ekuacionit (3) ?sht? nj? sekuenc? e vektor?ve t? gjendjes (X t ) q? k?naq ekuacionin (3) p?r t? gjitha gjendjet e mundshme. Kjo sekuenc? quhet trajektorja e sistemit. Ekuacioni (3) tregon se si gjendja e sistemit ndryshon nga periudha n? periudh?, dhe trajektorja e sistemit jep evolucionin e tij n? funksion t? kushteve fillestare dhe gjendjes s? mjedisit .

N?se dihet gjendja fillestare X 0, ?sht? e leht? t? merret nj? sekuenc? zgjidhjesh duke aplikuar n? m?nyr? t? p?rs?ritur relacionin (3), marrim nj? funksion tranzicioni si m? posht?:

X t +1 = f (t, X t, )

X 1 \u003d f (0, X 0, ) = g (0, X 0 , )

X 2 \u003d f (1, X, ) = f (1; f (0, X 0 , );) = g (1, X 0 , )

X t+1 = f (t, X t, ) = f (t, g, (t – 1, X 0 , ),) = g (t, X 0 , )

N?se f (*) ?sht? nj? funksion me vler? t? vetme, i p?rcaktuar kudo, at?her? ekziston nj? zgjidhje unike e ekuacionit (3) p?r ?do X 0 .

N?se funksioni ka form?n f (t, X t, ) = / X t nuk ?sht? p?rcaktuar kudo.

N?se f(*) ?sht? nj? funksion diferencial i vazhduesh?m, at?her? zgjidhja do t? jet? gjithashtu e qet? n? lidhje me dhe X0

Zgjidhja q? rezulton varet nga gjendja fillestare X 0 .

Problemi me kushtin kufitar p?rb?het nga ekuacioni (3) dhe kushti kufitar i specifikuar n? formul?n:

X s = X s (4)

N?se n? ekuacionin (4) - S = 0 , at?her? quhet gjendja fillestare.

Ekuacioni (3) ka shum? zgjidhje, dhe ekuacioni (3) + (4) - sistemi ?sht? zgjidhja e vetme, prandaj, ekzistojn? zgjidhje t? p?rgjithshme dhe t? ve?anta p?r ekuacionin e diferenc?s (3):

X t g = X(t, c, ) = (X t (X t +1 = f (t, X t, ))) , ku parametri e indekson nj? zgjidhje t? caktuar.

X t - shuma e kontributit n? momentin t

Z - % i norm?s

X t +1 = X t (1+ z); X 0 = ...

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 \u003d X 1 (1 + z) \u003d X 0 (1 + z) 2 \u003d g (X 0, t, z) ku t \u003d 2

N?se mund t? gjeni nj? zgjidhje t? p?rgjithshme p?r sistemin (3) . do t? kemi informacion t? plot? p?r sjelljen e sistemit me kalimin e koh?s, do t? jet? e leht? t? p?rcaktohet se si reagon sistemi ndaj ndryshimit t? parametrave.

Fatkeq?sisht, zgjidhja e p?rgjithshme ekziston vet?m p?r klasa t? caktuara t? rendit t? 1-t? (n? ve?anti, p?r sistemet lineare)

Sisteme autonome

Sjellja e sistemeve autonome jepet nga ekuacioni i diferenc?s

X t +1 \u003d f (X t, ) (1)

Sistemet autonome modelojn? situata ku struktura e sistemit mbetet e nj?jt? me kalimin e koh?s. Kjo b?n t? mundur p?rdorimin e nj? metode grafike p?r analiz?.

X t \u003d 1 \u003d f (t, X t, )

X t \u003d X t +1 - X t \u003d f (t, X t, ) - X t = d (t, X t, ) (2)

Funksioni d (*) tregon se sa do t? ndryshoj? gjendja e sistemit nga periudha n? periudh?. N? ?do pik? X t, mund t? lidhet nj? vektor X t n? ekuacionin p?rkat?s (2) Funksioni d (*) n? k?t? kontekst quhet fush? vektoriale

X 0 /t = 0

P?r sistemet autonome
dhe

N? sistemet autonome, t? gjitha sistemet q? kan? goditur ndonj?her? pik?n X 0 ndjekin m? pas t? nj?jt?n trajektore. N? sistemet jo-autonome, sjellja varet gjithashtu nga koha kur sistemi hyri n? pik?n X 0.

N? kushtin fillestar X 0 p?r sistemet autonome, ne zbatojm? ekuacionin (1):

aplikohet dy her? radhazi.

N? sistemin e m?sip?rm, f t n?nkupton rezultatin e aplikimit t? funksionit f() n? m?nyr? iterative n? argumentin e tij t her?. Funksioni f t tregon se ku do t? shkoj? sistemi n? t perioda nga gjendja fillestare.

X t - ku sistemi do t? l?viz? nga pika X 0 p?r periudha t kohore.

Funksioni f t quhet nganj?her? rrjedha e sistemit.

shtete t? q?ndrueshme. Ekuilibri periodik. Stabiliteti.

Me kalimin e koh?s, sistemi kalon n? nj? gjendje t? q?ndrueshme. Prandaj, ne do t? jemi t? interesuar p?r sjelljen asimptotike t? sistemit si t -> ?.

Konsideroni sistemin

Prandaj, n?se
ekziston at?her?
.

Pika X q? plot?son ekuacionin
quhet pika fikse e pasqyrimit
.

Pika quhet n? kontekstin e sistemeve dinamike gjendje stabile ose gjendje stacionare.

Pikat fikse p?rdoren gjer?sisht p?r t? studiuar sjelljen afatgjat? t? sistemeve dinamike.

n?se
, pastaj 1 ndryshe 0

Teoria e stabilitetit t? Lyapunov

Pika quhet Lyapunov stabil n?se p?r ndonj? num?r
ka nj? num?r t? till? ,
at? t? gjendjes
per te gjithe
.

?sht? gjat?sia e vektorit n? rrafsh.

- gjendje ekuilibri.

?sht? norma e vektorit X.

Pika do t? jet? Lyapunov i q?ndruesh?m n? rastin kur sistemi nj? her? hyri n? lagjen e pik?s dhe do t? mbetet n? af?rsi .

Pika quhet asimptotikisht e q?ndrueshme n? kuptimin e Lyapunov n?se:

P?r sistemet asimptotikisht t? q?ndrueshme, me kalimin e koh?s, sistemi i afrohet gjithnj? e m? shum? gjendjes s? tij t? ekuilibrit.

Sistemi sillet k?shtu:

– rrjedha e sistemit

– ku do t? shkoj? sistemi pas k hapave

Zgjidhja periodike e nj? sistemi dinamik
quhet zgjidhje n? form?
, ku p ?sht? periudha e sistemit ose periudha e trajektores.

K?shtu, zgjidhja periodike ?sht? nj? pik? fikse e hart?s
.

pik? fikse

Kontrolloni n?se ka nj? pik? fikse
:

?do pik? ?sht? e fiksuar.

Sistemet Lineare Skalare

Sistemet lineare skalar kan? form?n:
(1)

?sht? ekuacioni i dh?n? n? koh?n t.

N?se n? ekuacionin (1)
, pastaj
, at?her? quhet homogjen.

Sisteme lineare homogjene

P?r sistemet skalare, ?sht? e p?rshtatshme t? analizohet sjellja e sistemit duke p?rdorur nj? diagram fazor. Diagrami fazor ?sht? nj? grafik var?sie

Rasti 1.0

?sht? i q?ndruesh?m analitikisht

-lineare, n?se a=1, n?n 45 0 - k?ndi i prirjes.

P?r 0

Rasti 2. -1

dridhjet e amortizuara

Rasti 3. a>1

Rasti 4. a<-1

Rasti 5. a = 1

Rasti 6. a = 0

Rasti 7. a = -1 x t+1 = -x t

Nese nje
, pastaj

, pastaj

Zgjidhja e p?rgjithshme e sistemeve lineare homogjene ka form?n:

N?
,
,

Sisteme lineare johomogjene t? rendit t? par?

(1)

-kontroll

N? analiz?n e sistemeve johomogjene, parimi i "superpozicionit" luan nj? rol t? r?nd?sish?m.

Ai q?ndron n? faktin se zgjidhja e p?rgjithshme e ekuacionit (1) mund t? shkruhet n? form?n e nj? ekuacioni:

(2)

ku ?sht? zgjidhja e p?rgjithshme e ekuacionit homogjen (1):
dhe quhet funksion plot?sues.

?sht? ?do zgjidhje e ve?ant? e ekuacionit johomogjen (1).

Ekuacioni autonom (1)

1.

2.

D?shmi:

Nese nje ?sht? zgjidhja e ekuacionit (1), at?her?
.

Nese nje ?sht? nj? zgjidhje tjet?r e ekuacionit (1), at?her?

Merrni parasysh funksionin
dhe kontrolloni n?se zgjidhja e ekuacionit (1).

2. [Domosdoshm?ria] Ne kemi treguar se n?se fillojm? me ndonj? zgjidhje dhe shtoni n? t?
, at?her? marrim zgjidhjen e ekuacionit (1). Shtrohet pyetja n?se do t'i marrim t? gjitha zgjidhjet e barazimit (1) n? k?t? m?nyr?. Le t? v?rtetojm? se kjo ?sht? v?rtet k?shtu:

Le t? kemi dy zgjidhje (1), dhe :

Sh?noni

- homogjene,
z t =ca t

-=ca t
=+ca t

Sistemet autonome t? linj?s

X t +1 =ax t + U (3)

=+ (2)

= mace

= a + U
=

=+ mace

Nese nje

Nese nje

N? rastin kur
me kalimin e koh?s, sistemi arrin gjendjen ->dhe me zgjedhjen e duhur t? ekuacionit U, mund t? arrijm? ?do gjendje. Sistemi (3) quhet m? pas i kontrolluar.

Nese nje
, at?her? me kalimin e koh?s sistemi do t? marr? vlera t? pakufizuara pavar?sisht nga ekuacioni dhe, p?r rrjedhoj?, do t? jet? i pakontrolluesh?m.

Zgjidhja e p?rgjithshme (3) ka form?n:

(4)

Konsideroni kushtin kufitar x s =x s:

(5)

Sistemet Lineare Jo-Autonome

X t +1 =ax t + U t

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+U t =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (ax t-2 +U t-2)+ aU t-1 + U t = a 3 x t-2 +a U t-2 + aU t-1 + U t)=

Nese nje
, pastaj

Nese nje
, pastaj

Supozoni se sekuenca U t ?sht? e kufizuar, d.m.th. U t <= p?r ?do t.

Pastaj - vlera e kufirit.

ZBATIMET EKONOMIKE T? TEORIS? T? SISTEMEVE LINEARE

Modeli i rrjet?s s? kobureve t? ekuilibrit t? tregut.

Supozimet kryesore t? modelit:

natyra lineare e kurb?s s? k?rkes?s

kurba lineare e ofert?s

barazia e kurb?s s? ofert?s dhe k?rkes?s

ku d 0 , d 1 >0

Fjali:

, ku S 1 >0, S 0 <=0 (pasi me ?mimin 0 askush nuk l?shon asgj?).

Ekuilibri:

d 0 -d 1 P t \u003d S 0 + S 1 P t-1

d 1 P t \u003d d 0 -S 0 -S 1 P t-1 |: d 1

P t =
(*)

N? m?nyr? q? ?mimet t? konvergojn? n? ?mimin ekuilib?r me kalimin e koh?s, ?sht? e nevojshme q? raporti ose S 1 d1
do t? ket? l?kundje divergjente n? sistem.

kurb? n? tabel?

oferta ?sht? m? e pjerr?t se kurba e k?rkes?s.

d 1 p * \u003d d 0 -S 0 -S 1 p *

P?r nj? sjellje m? racionale, prodhuesit n? vendimet e tyre duhet t? ken? parasysh jo vet?m kushtet aktuale, por edhe kushtet e ardhshme t? tregut. K?shtu, p?r funksionimin normal t? tregut, ?sht? e r?nd?sishme aft?sia e agjent?ve ekonomik? p?r t? formuar nj? pritshm?ri p?r t? ardhmen (t? b?jn? parashikime).

Dinamika e ?mimeve n? tregjet financiare.

S - oferta e pasurive t? paluajtshme

D - k?rkesa p?r pasuri t? paluajtshme

P t ?sht? vlera e aksioneve n? momentin t.

d t jan? disident? n? koh?n t.

r ?sht? norma e interesit n? llogarit? e depozitave.

- vlera e pritur e aksioneve n? koh?n t+1.

Arbitrazhi ?sht? nj? situat? q? lejon nj? investitor t? marr? fitim t? menj?hersh?m pa rrezik duke bler? nj? aktiv me nj? ?mim t? ul?t dhe duke e rishitur at? menj?her? me nj? ?mim m? t? lart?.

Nj? treg thuhet se ?sht? efikas n?se i mungojn? mund?sit? e arbitrazhit.

Le t? p?rdorim parimin e munges?s s? arbitrazhit p?r t? marr? nj? raport bilanci p?r vler?n e aksioneve.

(1)

N? shembullin e pasurive t? paluajtshme n? Kharkov:

P t \u003d 30 mij? dollar?.

D t =2 mij? dollar? n? vit - tarif? qiraje

-?mimi i pritsh?m p?r apartamentin n? periudh?n e ardhshme.

\u003d 33-2 \u003d 31 mij? dollar?.

MEKANIZMAT E PRITJES

1. Modeli i pritjeve adaptive

=
, ku 0<=<=1

0
=

1
=

- Metoda e zbutjes eksponenciale (2)

(1)

(2)

Supozoni se d t =d=konst p?r ?do t

0

Vendimi i p?rbashk?t:
, ku Р 0 ?sht? vlera fillestare e aksioneve.

a<1,
a t P 0
0

vlera themelore e aksioneve.

a t P 0 – komponent spekulativ

2. Modeli i pritjeve racionale

Disavantazhi ?sht? shkalla e ul?t e t? m?suarit t? pjes?marr?sve n? treg. Kjo hap mund?sin? p?r arbitrazh interteporal, d.m.th. spekulime mbi ndryshimet e parashikuara n? ?mimet e aksioneve n? periudhat pasuese.

P?r t? eliminuar k?t? kontradikt? logjike, modeli i pritjeve racionale (R. Lucas) u propozua n? vitet 1970.

Thelbi i modelit ?sht? se, mesatarisht, tregu nuk mund t? b?j? gabime sistematike n? vler?simin e ?mimit t? aktiveve. Si? zbatohet n? modelin ton?, kjo do t? thot? si vijon: investitor?t nuk duhet t? gabojn? sistematikisht n? vler?simin e vler?s s? aksioneve.

- vler?sim i paansh?m, d.m.th.
- ?sht? nj? vler?sim i paansh?m i P t +1; ose
=P t +1 +E t

E t – gabimi i vler?simit

Le t? shqyrtojm? nj? version ekstrem t? modelit t? pritjeve racionale (modeli me largpam?si t? plot?), n? t? cilin gabimi i vler?simit ?sht? 0.

Nga modeli i parashikimit t? plot?, supozojm? se E t =0, d.m.th.
=P t +1

Konsideroni dinamik?n e ?mimeve t? aksioneve n? nj? model me largpam?si t? plot?.

Kushti i arbitrazhit:

(1+r) P t =dt

(1+r) P t =dtP t+1

=Pt+1

P t+1 =(1+r) Pt-d (3)

P t ?sht? i paq?ndruesh?m, P t ->?, pasi (1+r) >, p?rve? n?se fillojm? nga nj? pik? fikse:

N?se P t = , at?her? P t + k =

d=0, P t +1 =(1+r) Pt

N? modelin total t? parashikimit, pritjet e investitor?ve luajn? rolin e nj? profecie vet?shpreh?se; ?mimet e aseteve mund t? rriten pafund?sisht, sepse. investitor?t besojn? se do t? rriten. K?shtu, n? nj? model t? till?, komponenti spekulativ i ?mimit t? aksionit dominon mbi vler?n e tij themelore.

SISTEMI DINAMIK, model matematik i evolucionit t? nj? sistemi real (fizik, biologjik, ekonomik etj.), gjendja e t? cilit n? ?do moment t? koh?s p?rcaktohet n? m?nyr? unike nga gjendja fillestare.

Referenca e historis?. Themeluesit e teoris? s? sistemeve dinamike jan? A. Poincare dhe A. M. Lyapunov. N? fund t? shekullit t? 19-t? - fillimi i shekullit t? 20-t?, ata zbuluan dhe studiuan nj? klas? problemesh (n? mekanik?n qiellore, n? teorin? e figurave t? ekuilibrit t? nj? l?ngu rrotullues, etj.), n? t? cilat ishte e nevojshme t? njihej sjellja. t? m? shum? se nj? zgjidhjeje individuale x(t) t? nj? sistemi ekuacionesh diferenciale t? zakonshme (ODE), por t? t? gjitha (ose shum?) zgjidhjeve q? korrespondojn? me gjendje t? ndryshme fillestare t? nj? sistemi real (p?r shembull, fizik). N? k?t? rast, x(t) mund t? p?rfaq?sohet si nj? kurb? n? hap?sir?n e t? gjitha gjendjeve t? mundshme (d.m.th., vlerat e vektor?ve x) dhe mund t? p?rdoren vetit? gjeometrike t? k?saj lakore p?r t? kuptuar dhe p?rshkruar vetit? e zgjidhja x(t). Nj? kurb? e till? quhet trajektore fazore.

N? t? tret?n e par? t? shekullit t? 20-t?, teoria e nj? sistemi dinamik u zhvillua n? veprat e nj? numri matematikan?sh. Punimet e A. A. Andronov, i cili kuptoi dhe tregoi me shembuj t? r?nd?sish?m se teoria e nj? sistemi dinamik ?sht? efektive p?r studimin e proceseve jolineare n? natyr? dhe n? laborator, ishin t? nj? r?nd?sie t? madhe. N? k?t? koh?, nevoja p?r t? studiuar problemet jolineare u b? e qart?, pasi aparati matematikor linear shpesh nuk ?sht? n? gjendje t? p?rshkruaj? procese reale. Andronov p?rshkroi vet?-l?kundjet me ndihm?n e cikleve kufitare t? Poincare-s? dhe p?rshkroi konturet e nj? shkence t? re - dinamik?n jolineare. S? bashku me L. S. Pontryagin, ai prezantoi konceptin e nj? sistemi t? p?raf?rt t? pandjesh?m ndaj ndryshimeve t? vogla n? parametra. Nj? sistem i till? nuk i ndryshon n? m?nyr? drastike vetit? e tij me ndryshime t? vogla n? parametra, d.m.th., gjendjet e tij para dhe pas ndryshimit t? parametrave jan? topologjikisht identike (ekuivalente). Sistemet e p?raf?rta mbushin zona t? hapura n? hap?sir?n funksionale t? t? gjitha sistemeve dinamike. Jasht? k?tyre rajoneve dhe, n? ve?anti, n? kufijt? e tyre shtrihen sisteme jo t? p?raf?rta. Kalimi p?rmes kufirit shoq?rohet nga nj? bifurkacion - nj? ndryshim n? struktur?n e sistemit dinamik. N? nj? familje sistemesh dinamike q? varen nga nj? paramet?r, duke ditur struktur?n e sistemit dinamik n? vler?n fillestare t? parametrit dhe t? gjitha bifurkacionet, mund t? parashikohet pa m?dyshje struktura e tij n? vler?n e fundme t? parametrit.

N? gjysm?n e dyt? t? shekullit t? 20-t?, D. V. Anosov, V. I. Arnold, R. Bowen, R. Manet, Ya. G. Sinai, S. Smale, S. Hayashi, L. P. Shilnikov dhe t? tjer? zhvilluan idet? e Andronov dhe krijuan nj? ide t? thell? dhe koherente. teoria e nj? sistemi dinamik, i cili jep ide t? sakta p?r natyr?n e proceseve p?rcaktuese dhe ju lejon t? eksploroni modele t? sistemeve reale.

Karakteristikat e nj? sistemi dinamik. P?rkufizimi i nj? sistemi dinamik p?rfshin hap?sir?n e gjendjeve (x) dhe operatorin (ligjin) e evolucionit f t n? var?si t? koh?s t, sipas t? cilit sistemi nga gjendja fillestare x 0 vjen n? gjendjen x t n? koh?n t. Gjendja e nj? sistemi dinamik p?rshkruhet nga nj? grup variablash x, t? zgjedhur p?r arsye t? natyrshm?ris? s? interpretimit t? tyre, thjesht?sis? s? p?rshkrimit, simetris?, etj. Grupi i gjendjeve (fazave) t? nj? sistemi dinamik formon nj? hap?sir? fazore n? t? cil?n secili gjendja korrespondon me nj? pik?, dhe evolucioni p?rfaq?sohet nga l?vizja e nj? pike p?rgjat? nj? trajektore fazore - nj? kurb? e ngulitur n? hap?sir?n e faz?s. P?r shembull, l?vizja e n grimcave n?n veprimin e forcave t?rheq?se p?rshkruhet n? hap?sir?n e faz?s nga grupi i t? gjitha grupeve t? koordinatave dhe shpejt?sive t? k?tyre grimcave, dhe operatori i evolucionit p?rcaktohet nga zgjidhja e sistemit p?rkat?s t? ODE-ve.

Karakteristikat e evolucionit t? sistemit manifestohen n? llojin e trajektoreve t? faz?s. N? ve?anti, gjendja e ekuilibrit t? nj? sistemi dinamik korrespondon me nj? trajektore t? degjeneruar - nj? pik? n? hap?sir?n fazore, me l?vizjen periodike - nj? kurb? t? mbyllur, me l?vizjen thuajse periodike, e cila ka m frekuenca baz? n? spekt?r, - nj? kurb? n? nj? torus me dimensione m i ngulitur n? hap?sir?n fazore. Regjimi i pal?vizsh?m (l?vizja e q?ndrueshme) e nj? sistemi shp?rndarjeje korrespondon me nj? t?rheq?s - nj? grup trajektoresh q? t?rheqin t? gjitha trajektoret e af?rta drejt vetes. L?kundjet periodike t? q?ndrueshme korrespondojn? me ciklin kufi - nj? trajektore e mbyllur e izoluar (n? hap?sir?n fazore); vet?-l?kundjet kaotike zakonisht korrespondojn? me nj? t?rheq?s t? ?uditsh?m - nj? grup t?rheq?s i p?rb?r? nga trajektore t? paq?ndrueshme.

Sipas natyr?s s? ekuacioneve dhe metodave t? k?rkimit, sistemet dinamike ndahen n? dimensione t? fundme (me hap?sir? fazore me dimensione t? fundme) dhe infinite-dimensionale (t? shp?rndara). Sistemet dinamike me dimensione t? fundme mund t? ndahen n? konservatore dhe disipative, q? korrespondojn? me natyr?n e ndryshme fizike t? sistemeve reale. Sistemet dinamike konservatore jan? sisteme me v?llim t? konservuar fazor. Ato formohen nga sistemet Hamiltoniane me nj? funksion Hamiltonian t? pavarur nga koha. P?r sistemet disipative, v?llimi i faz?s nuk ruhet, n? hap?sir?n e tyre fazore ka nj? zon? t? kufizuar (topi i shp?rndarjes), n? t? cil?n nj? pik? bie p?rgjithmon? n? ?do trajektore.

Sistemet dinamike gjithashtu mund t? ndahen n? sisteme me koh? t? vazhdueshme dhe diskrete. Sistemet dinamike me koh? t? vazhdueshme zakonisht jepen nga sistemi ODE x = f(x) (x ?sht? nj? sasi skalare ose vektoriale, pika tregon diferencimin n? lidhje me koh?n), n? t? cilin ekziston nj? zgjidhje unike p?r secil?n pik? fillestare x. Gjendja e ekuilibrit x 0 e nj? sistemi t? till? dinamik p?rcaktohet nga ekuacioni f(x 0) = 0. Sjellja n? af?rsi t? gjendjes s? ekuilibrit O varet nga vetit? e sistemit t? linearizuar pran? O-s?, p?rkat?sisht, nga rr?nj?t l. 1 , l 2 ,.., l n e ekuacionit karakteristik

ku d ij ?sht? simboli Kronecker. Le t? jet? Re l j negative p?r p dhe pozitive p?r rr?nj?t q, dhe p + q = n. N?se p \u003d n (q \u003d n), pika O quhet nj? nyje e q?ndrueshme (e paq?ndrueshme). Trajektoret af?r k?saj pike n? hap?sir?n fazore t?rhiqen nga ajo n? rastin e nj? nyje t? q?ndrueshme, kur koha ?sht? t -> +?, dhe n? rastin e nj? nyje t? paq?ndrueshme, kur t-> -?. N?se p?0, q?0, pika O quhet shal?. N? t? kalojn? dy sip?rfaqe: P-dimensionale W s O dhe q-dimensionale W u O , t? quajtura manifolde t? q?ndrueshme dhe t? paq?ndrueshme t? shal?s O, si dhe ndarje t? q?ndrueshme dhe t? paq?ndrueshme. K?to sip?rfaqe formohen nga trajektore q? priren drejt O si t ->+? dhe t -> -?, p?rkat?sisht. Trajektoret e mbetura e l?n? shal?n si t -> ± ? (Fig. 1).

Nj? trajektore q? shtrihet n? t? nj?jt?n koh? n? W s O W u O (dhe nuk p?rkon me O) quhet nj? lak homoklinik ose separatrix i shal?s. N? modelet nj?dimensionale t? nj? mjedisi t? vazhduesh?m, nj? trajektore homoklinike korrespondon me nj? val? t? pal?vizshme udh?tuese n? form?n e nj? solitoni.

Zgjidhja periodike x = p(t) e sistemit x = f(x) ka k?t? veti: p(t) = p(t+T) p?r ?do t, ku T ?sht? perioda. Kjo zgjidhje korrespondon me nj? trajektore t? mbyllur L n? hap?sir?n fazore. Sjellja e trajektoreve n? af?rsi t? nj? trajektoreje periodike L karakterizohet nga shum?zuesit g 1 , ..., g n , t? cil?t gjenden duke p?rdorur zgjidhjet e nj? sistemi t? linearizuar n? L. Nj?ri prej tyre, p?r shembull g n , ?sht? gjithmon? i barabart? me 1. N?se |g i |< 1 (|g i | >1) p?r t? gjitha i = 1, 2, ..., n - 1, at?her? trajektorja L ?sht? e q?ndrueshme (e paq?ndrueshme). N?se p shum?zuesit shtrihen brenda dhe q shtrihen jasht? rrethit t? nj?sis? n? planin kompleks, p + q = n - 1, at?her? L ?sht? nj? trajektore e tipit shal?. Shtrihet n? kryq?zimin e dy sip?rfaqeve: (p + 1)-dimensionale W s L dhe (q + 1)-dimensionale W u L (ndarje t? q?ndrueshme dhe t? paq?ndrueshme). Sip?rfaqja W s L (W u L) p?rb?het nga trajektore q? priren drejt L si t -> +? (t ->- ?). P?r n = 3 dhe p = q=1, sip?rfaqja W s L (W u L) ?sht? topologjikisht ekuivalente me nj? cilind?r n?se shum?zuesi g ?sht? pozitiv dhe m? i madh se 1 (Figura 2).

Sjellja e trajektoreve n? nj? lagje t? L-s? studiohet duke marr? parasysh gjurm?t e tyre n? nj? sip?rfaqe D (n - 1)-dimensionale q? kryq?zon (pa prekur) L dhe trajektoret af?r saj. N?se pika m 0 n? D ?sht? mjaft af?r L, at?her? trajektorja q? kalon p?rmes m 0 kryq?zon D n? nj? pik? tjet?r m, t? quajtur harta e sekuenc?s (harta Poincar?) (Fig. 3).

Linearizimi i hart?s Poincar? n? pik?n e kryq?zimit t? L me D p?rshkruhet nga matrica Jacobi. Eigenvlerat e tij g 1 , ..., g n-1 jan? shum?zues t? trajektores s? mbyllur L.

Manifoldet e q?ndrueshme dhe t? paq?ndrueshme t? trajektoreve periodike mund t? kryq?zohen. Nj? trajektore q? i p?rket kryq?zimit t? W s L dhe W u L dhe e ndryshme nga L ?sht? homoklinike. N?se ky kryq?zim ndodh pa prekur, at?her? n? af?rsi t? trajektores homoklinike ka nj? grup trajektoresh t? ndryshme t? paq?ndrueshme, nd?r t? cilat ka nj? grup t? pafund trajektoresh t? mbyllura t? tipit t? shal?s. Nj? grup i till? trajektoresh ?sht? tipik p?r nj? sistem dinamik me dinamik? kaotike. Pra, prania e nj? trajektoreje homoklinike mund t? sh?rbej? si kriter p?r ekzistenc?n e regjimeve kaotike n? nj? sistem dinamik (shih Kaos dinamik).

Sistemet dinamike me koh? diskrete zakonisht p?rcaktohen duke hartuar G t? hap?sir?s s? faz?s n? vetvete: x n+1 = G(x n). At?her? operatori i evolucionit f t , t = m, ?sht? thjesht harta G e aplikuar m her?: f n x=G(G(...G(x)...)). P?r shembull, modeli m? i thjesht? i dinamik?s s? popullsis? p?rshkruan densitetin e numrit t? an?tar?ve t? gjenerat?s s? (n + 1), x n + 1, si funksion i numrit x n t? gjenerat?s s? m?parshme: x n + 1 \u003d ax n - bx 2 n, a, b > 0 - cil?simet e detyrave. N? var?si t? vlerave t? a dhe b, ky sistem dinamik mund t? tregoj? ose dinamik? t? rregullt (t? gjith? t?rheq?sit jan? trajektore periodike) ose dinamik? kaotike.

Harta Poincare n? fakt p?rcakton nj? sistem me koh? diskrete. P?r shembull, sistemet dinamike q? p?rshkruajn? veprimin e nj? shqet?simi periodik n? nj? sistem ODE, i cili mund t? shkruhet si x = f(x, th), th = o, ku f ?sht? nj? funksion vektorial periodik n? th, gjithmon? gjenerojn? Poincar?. hart?zimi. P?r sisteme t? tilla, ekziston nj? sip?rfaqe globale sekante Poincare th = 0, t? cil?n ?do trajektore e kryq?zon nj? num?r t? pafund?m her?. Sjellja e trajektoreve n? nj? sistem me koh? t? vazhdueshme p?rcaktohet plot?sisht nga nj? sistem dinamik me koh? diskrete.

Nj? pjes? e r?nd?sishme e teoris? s? nj? sistemi dinamik ?sht? teoria ergodike, e cila p?rshkruan vetit? statistikore t? trajektoreve. N?se ato jan? t? paq?ndrueshme, pikat n? trajektore t? ndryshme ndryshojn? n? procesin e evolucionit me nj? distanc? t? konsiderueshme nga nj?ra-tjetra, pavar?sisht nga af?rsia e gjendjeve fillestare, sistemi demonstron nj? "var?si t? ndjeshme" nga kushtet fillestare. (Vini re se pamund?sia e parashikimit afatgjat? t? motit shoq?rohet me paq?ndrueshm?rin? e trajektoreve.) Meqen?se ?sht? e pamundur t? p?rcaktohet gjendja fillestare me sakt?si t? pafund (ka gjithmon? gabimet m? t? vogla n? matje ose memorizim), ?sht? e nevojshme t? studiohet sjellja jo e trajektoreve individuale, por e tufave t? trajektoreve q? kalojn? n?p?r "pik?n" e kushteve fillestare. K?to trajektore mund t? ken? veti t? ndryshme, dhe shum?llojshm?ria e k?tyre vetive mund t? p?rshkruhet n? termat e shp?rndarjeve t? probabilitetit.

A. Poincar? ishte i pari q? shprehu n? form? cil?sore iden? se kur trajektoret e nj? sistemi dinamik jan? t? paq?ndrueshme, mund t? flasim p?r vetit? e tyre statistikore t? s? nj?jt?s natyr?, t? cilat n? at? koh? ishin p?rmendur tashm? n? veprat e L. Boltzmann dhe J. W. Gibbs mbi mekanik?n statistikore. Ide t? ngjashme jan? zbatuar n? teorin? ergodike dhe p?rmbushin me sukses rolin e nj? "ure" midis "bot?ve" deterministe dhe t? rast?sishme.

Me ndihm?n e teoris? s? nj? sistemi dinamik jan? studiuar dhe shpjeguar shum? dukuri jolineare n? natyr? dhe teknologji, si kaosi dinamik, sinkronizimi i l?kundjeve periodike dhe kaotike, formimi i strukturave disipative, kaosi hap?sinor-kohor n? modelet e shp?rndara. sistemet, m?nyra e konkurrenc?s n? rrjetet nervore t? trurit, etj.

Lit.: Teoria cil?sore e sistemeve dinamike t? rendit t? dyt?. M., 1967; Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V. Teoria Ergodike. M., 1980; Rezultatet e shkenc?s dhe teknologjis?. Ser. Problemet moderne t? matematik?s. drejtimet themelore. M., 1985-1991. [T. 1-9]: Sistemet dinamike; Katok A., Hasselblatt B. Hyrje n? teorin? moderne t? sistemeve dinamike. M., 1999.

V. S. Afraimovich, M. I. Rabinovich.