N? k?t? m?sim, do t? m?soni se si t? transformoni nj? shprehje q? p?rmban kllapa n? nj? shprehje q? nuk p?rmban kllapa. Do t? m?soni se si t? hapni kllapa t? paraprira nga nj? shenj? plus dhe nj? shenj? minus. Ne do t? kujtojm? se si t? hapim kllapa duke p?rdorur ligjin shp?rndar?s t? shum?zimit. Shembujt e konsideruar do t? lejojn? lidhjen e materialit t? ri dhe t? studiuar m? par? n? nj? t?r?si t? vetme.

Tema: Zgjidhja e ekuacioneve

M?simi: Zgjerimi i kllapave

Si t? hapni kllapa t? paraprira nga nj? shenj? "+". P?rdorimi i ligjit asociativ t? mbledhjes.

N?se ju duhet t? shtoni shum?n e dy numrave n? nj? num?r, at?her? mund t? shtoni termin e par? n? k?t? num?r, dhe pastaj t? dytin.

N? t? majt? t? shenj?s s? barazimit ?sht? nj? shprehje me kllapa, dhe n? t? djatht? ?sht? nj? shprehje pa kllapa. Kjo do t? thot? se kur kalohet nga ana e majt? e barazis? n? an?n e djatht?, kllapat jan? hapur.

Konsideroni shembuj.

Shembulli 1

Duke zgjeruar kllapat, ne ndryshuam rendin e operacioneve. Num?rimi ?sht? b?r? m? i p?rshtatsh?m.

Shembulli 2

Shembulli 3

Vini re se n? t? tre shembujt, ne thjesht i hoq?m kllapat. Le t? formulojm? rregullin:

Komentoni.

N?se termi i par? n? kllapa ?sht? i pan?nshkruar, at?her? ai duhet t? shkruhet me nj? shenj? plus.

Ju mund t? ndiqni shembullin hap pas hapi. S? pari, shtoni 445 n? 889. Ky veprim mendor mund t? kryhet, por nuk ?sht? shum? i leht?. Le t? hapim kllapat dhe t? shohim se rendi i ndryshuar i operacioneve do t? thjeshtoj? shum? llogaritjet.

N?se ndiqni rendin e treguar t? veprimeve, at?her? s? pari duhet t? zbrisni 345 nga 512, dhe m? pas t'i shtoni rezultatit 1345. Duke zgjeruar kllapat, ne do t? ndryshojm? rendin e veprimeve dhe do t? thjeshtojm? shum? llogaritjet.

Shembull dhe rregull ilustrues.

Konsideroni nj? shembull: . Ju mund ta gjeni vler?n e shprehjes duke shtuar 2 dhe 5, dhe m? pas duke marr? numrin q? rezulton me shenj?n e kund?rt. Ne marrim -7.

Nga ana tjet?r, i nj?jti rezultat mund t? merret duke shtuar numrat e kund?rt.

Le t? formulojm? rregullin:

Shembulli 1

Shembulli 2

Rregulli nuk ndryshon n?se nuk ka dy, por tre ose m? shum? terma n? kllapa.

Shembulli 3

Komentoni. Shenjat p?rmbysen vet?m p?rpara termave.

P?r t? hapur kllapat, n? k?t? rast, duhet t? rikujtojm? vetin? shp?rndar?se.

S? pari, shum?zojeni kllapin e par? me 2 dhe t? dyt?n me 3.

Kllapa e par? paraprihet nga nj? shenj? "+", q? do t? thot? se shenjat duhet t? lihen t? pandryshuara. E dyta paraprihet nga nj? shenj? "-", prandaj, t? gjitha shenjat duhet t? kthehen

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik? klasa e 6-t?. - Gjimnazi, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Pas faqeve t? nj? teksti matematike. - Iluminizmi, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Detyra p?r kursin e matematik?s klasa 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Nj? manual p?r nx?n?sit e klas?s s? 6-t? t? shkoll?s me korrespondenc? MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Lib?r m?suesi-bashk?bisedues p?r klasat 5-6 t? gjimnazit. Biblioteka e m?suesit t? matematik?s. - Iluminizmi, 1989.

1. Testet e matematik?s n? internet ().
2. Ju mund t? shkarkoni ato t? specifikuara n? pik?n 1.2. libra ().

Detyre shtepie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (shih lidhjen 1.2)
2. Detyr? sht?pie: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
3. Detyra t? tjera: Nr. 1258 (c), nr. 1248

N? shekullin e pest? para Krishtit, filozofi i lasht? grek Zeno nga Elea formuloi aporiat e tij t? famshme, m? e famshmja prej t? cilave ?sht? aporia "Akili dhe breshka". Ja si ting?llon:

Le t? themi se Akili vrapon dhjet? her? m? shpejt se breshka dhe ?sht? nj? mij? hapa pas saj. Gjat? koh?s gjat? s? cil?s Akili vrapon n? k?t? distanc?, breshka zvarritet nj?qind hapa n? t? nj?jtin drejtim. Kur Akili t? ket? vrapuar nj?qind hapa, breshka do t? zvarritet edhe dhjet? hapa t? tjer?, e k?shtu me radh?. Procesi do t? vazhdoj? pafund?sisht, Akili nuk do ta arrij? kurr? breshk?n.

Ky arsyetim u b? nj? tronditje logjike p?r t? gjith? brezat pasardh?s. Aristoteli, Diogjeni, Kanti, Hegeli, Gilberti... T? gjith? ata, n? nj? m?nyr? apo n? nj? tjet?r, i konsideronin aporiat e Zenonit. Goditja ishte aq e fort? sa " ... diskutimet vazhdojn? n? koh?n e tanishme, komuniteti shkencor nuk ka arritur ende t? arrij? n? nj? mendim t? p?rbashk?t p?r thelbin e paradokseve ... analiza matematikore, teoria e grupeve, qasje t? reja fizike dhe filozofike u p?rfshin? n? studimin e ??shtjes ; asnj?ri prej tyre nuk u b? nj? zgjidhje e pranuar bot?risht p?r problemin ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "] T? gjith? e kuptojn? se po mashtrohen, por askush nuk e kupton se ?far? ?sht? mashtrimi.

Nga pik?pamja e matematik?s, Zeno n? aporin? e tij demonstroi qart? kalimin nga vlera n?. Ky tranzicion n?nkupton aplikimin n? vend t? konstanteve. Me sa kuptoj un?, aparati matematikor p?r aplikimin e nj?sive mat?se t? ndryshueshme ose nuk ?sht? zhvilluar ende, ose nuk ?sht? aplikuar n? aporin? e Zenoit. Zbatimi i logjik?s son? t? zakonshme na ?on n? nj? kurth. Ne, me inercin? e t? menduarit, aplikojm? nj?si konstante kohore p?r reciprocitetin. Nga pik?pamja fizike, duket sikur koha po ngadal?sohet n? nj? ndales? t? plot? n? momentin kur Akili kap breshk?n. N?se koha ndalon, Akili nuk mund ta kap?rcej? m? breshk?n.

N?se kthejm? logjik?n me t? cil?n jemi m?suar, gjith?ka bie n? vend. Akili vrapon me nj? shpejt?si konstante. ?do segment i m?passh?m i rrug?s s? tij ?sht? dhjet? her? m? i shkurt?r se ai i m?parshmi. Prandaj, koha e shpenzuar p?r tejkalimin e saj ?sht? dhjet? her? m? pak se ajo e m?parshme. N?se zbatojm? konceptin e "pafund?sis?" n? k?t? situat?, at?her? do t? ishte e sakt? t? thoshim "Akili do ta kap?rcej? pafund?sisht shpejt breshk?n".

Si ta shmangni k?t? kurth logjik? Q?ndroni n? nj?si konstante kohore dhe mos kaloni n? vlera reciproke. N? gjuh?n e Zenonit, duket k?shtu:

N? koh?n q? i duhet Akilit p?r t? b?r? nj? mij? hapa, breshka zvarritet nj?qind hapa n? t? nj?jtin drejtim. Gjat? intervalit tjet?r kohor, t? barabart? me t? parin, Akili do t? vrapoj? nj? mij? hapa t? tjer?, dhe breshka do t? zvarritet nj?qind hapa. Tani Akili ?sht? tet?qind hapa p?rpara breshk?s.

Kjo qasje p?rshkruan n? m?nyr? adekuate realitetin pa asnj? paradoks logjik. Por kjo nuk ?sht? nj? zgjidhje e plot? p?r problemin. Deklarata e Ajnshtajnit p?r pakap?rcyeshm?rin? e shpejt?sis? s? drit?s ?sht? shum? e ngjashme me aporin? e Zenonit "Akili dhe breshka". Ne ende duhet t? studiojm?, rimendojm? dhe zgjidhim k?t? problem. Dhe zgjidhja duhet k?rkuar jo n? num?r pafund?sisht t? madh, por n? nj?si mat?se.

Nj? tjet?r aporia interesante e Zenos tregon p?r nj? shigjet? fluturuese:

Nj? shigjet? fluturuese ?sht? e pal?vizshme, pasi n? ?do moment t? koh?s ?sht? n? pushim, dhe duke qen? se ?sht? n? pushim n? ?do moment t? koh?s, ajo ?sht? gjithmon? n? pushim.

N? k?t? apori, paradoksi logjik kap?rcehet shum? thjesht - mjafton t? sqarohet se n? ?do moment t? koh?s shigjeta fluturuese q?ndron n? pika t? ndryshme t? hap?sir?s, q? n? fakt ?sht? l?vizje. K?tu duhet theksuar edhe nj? pik? tjet?r. Nga nj? fotografi e nj? makine n? rrug?, ?sht? e pamundur t? p?rcaktohet as fakti i l?vizjes s? saj, as distanca deri n? t?. P?r t? p?rcaktuar faktin e l?vizjes s? makin?s nevojiten dy fotografi t? marra nga e nj?jta pik? n? momente t? ndryshme kohore, por ato nuk mund t? p?rdoren p?r t? p?rcaktuar distanc?n. P?r t? p?rcaktuar distanc?n nga makina, ju nevojiten dy fotografi t? marra nga pika t? ndryshme n? hap?sir? n? t? nj?jt?n koh?, por nuk mund t? p?rcaktoni faktin e l?vizjes prej tyre (natyrisht, ju duhen ende t? dh?na shtes? p?r llogaritjet, trigonometria do t'ju ndihmoj?). Ajo q? dua t? theksoj n? ve?anti ?sht? se dy pika n? koh? dhe dy pika n? hap?sir? jan? dy gj?ra t? ndryshme q? nuk duhen ngat?rruar pasi ofrojn? mund?si t? ndryshme p?r eksplorim.

E m?rkur?, 4 korrik 2018

Shum? mir? ndryshimet midis grupit dhe multisetit jan? p?rshkruar n? Wikipedia. Ne shikojm?.

Si? mund ta shihni, "seti nuk mund t? ket? dy element? identik?", por n?se ka element? identik? n? grup, nj? grup i till? quhet "multiset". Qeniet e arsyeshme nuk do ta kuptojn? kurr? nj? logjik? t? till? absurditeti. Ky ?sht? niveli i papagajve q? flasin dhe majmun?ve t? st?rvitur, n? t? cilin mendja mungon nga fjala "plot?sisht". Matematikan?t veprojn? si trajner? t? zakonsh?m, duke na predikuar idet? e tyre absurde.

Nj?her? e nj? koh?, inxhinier?t q? nd?rtuan ur?n ishin n? nj? vark? n?n ur? gjat? provave t? ur?s. N?se ura u shemb, inxhinieri mediok?r vdiq n?n rr?nojat e krijimit t? tij. N?se ura mund t? p?rballonte ngarkes?n, inxhinieri i talentuar nd?rtoi ura t? tjera.

Pavar?sisht se sa matematikan?t fshihen pas shprehjes "mendoni mua, un? jam n? sht?pi", ose m? mir? "matematika studion koncepte abstrakte", ekziston nj? kordon k?rthizor q? i lidh pazgjidhshm?risht me realitetin. Ky kordon k?rthizor ?sht? para. Le t? zbatojm? teorin? e grupeve matematikore p?r vet? matematikan?t.

Ne kemi studiuar shum? mir? matematik?n dhe tani jemi ulur n? ark?, duke paguar rrogat. K?tu na vjen nj? matematikan p?r parat? e tij. I num?rojm? t? gjith? shum?n dhe e shtrojm? n? tryez?n ton? n? pirgje t? ndryshme, n? t? cilat vendosim fatura t? s? nj?jt?s em?rtim. M? pas marrim nj? fatur? nga ?do grumbull dhe i japim matematikanit "pag?n e tij matematikore". E shpjegojm? matematik?n se pjes?n tjet?r t? faturave do t'i marr? vet?m kur t? provoj? se grupi pa element? identik? nuk ?sht? i barabart? me grupin me element? identik?. K?tu fillon arg?timi.

Para s? gjithash do t? funksionoj? logjika e deputet?ve: “mund ta zbatoni p?r t? tjer?t, por jo p?r mua!”. M? tej, do t? fillojn? garancit? se n? kart?monedhat e prerjes s? nj?jt? ka numra t? ndrysh?m kart?monedhash, q? do t? thot? se ato nuk mund t? konsiderohen element? identik?. Epo, ne e llogarisim pag?n n? monedha - nuk ka numra n? monedha. K?tu matematikani do t? kujtoj? furish?m fizik?n: monedha t? ndryshme kan? sasi t? ndryshme papast?rtie, struktura kristalore dhe rregullimi i atomeve p?r secil?n monedh? ?sht? unike ...

Dhe tani kam pyetjen m? interesante: ku ?sht? kufiri p?rtej t? cilit element?t e nj? grupi t? shum?fisht? kthehen n? element? t? nj? grupi dhe anasjelltas? Nj? linj? e till? nuk ekziston - gjith?ka vendoset nga shaman?t, shkenca k?tu nuk ?sht? as af?r.

Shikoni k?tu. Ne zgjedhim stadiume futbolli me t? nj?jt?n zon?. Zona e fushave ?sht? e nj?jt?, q? do t? thot? se kemi nj? multiset. Por n?se marrim parasysh emrat e t? nj?jtave stadiume, marrim shum?, sepse emrat jan? t? ndrysh?m. Si? mund ta shihni, i nj?jti grup element?sh ?sht? nj?koh?sisht nj? grup dhe nj? grup shum?fish. Sa e drejt?? Dhe k?tu matematikani-shaman-shuller nxjerr nj? ace atu nga m?ng?t e tij dhe fillon t? na tregoj? ose p?r nj? grup ose nj? multiset. N? ?do rast, ai do t? na bind? se ka t? drejt?.

P?r t? kuptuar se si shaman?t modern? veprojn? me teorin? e grupeve, duke e lidhur at? me realitetin, mjafton t'i p?rgjigjemi nj? pyetjeje: si ndryshojn? element?t e nj? grupi nga element?t e nj? grupi tjet?r? Un? do t'ju tregoj, pa asnj? "t? konceptueshme si jo nj? t?r?si e vetme" ose "jo e konceptueshme si nj? t?r?si e vetme".

e diel, 18 mars 2018

Shuma e shifrave t? nj? numri ?sht? nj? valle e shaman?ve me nj? dajre, e cila nuk ka t? b?j? fare me matematik?n. Po, n? m?simet e matematik?s ne jemi m?suar t? gjejm? shum?n e shifrave t? nj? numri dhe ta p?rdorim at?, por ata jan? shaman? p?r k?t?, p?r t'u m?suar pasardh?sve t? tyre aft?sit? dhe men?urin? e tyre, p?rndryshe shaman?t thjesht do t? vdesin.

Keni nevoj? p?r prova? Hapni Wikipedia dhe provoni t? gjeni faqen "Shuma e shifrave t? nj? numri". Ajo nuk ekziston. Nuk ka asnj? formul? n? matematik? me t? cil?n mund t? gjesh shum?n e shifrave t? ?do numri. N? fund t? fundit, numrat jan? simbole grafike me t? cilat shkruajm? numrat, dhe n? gjuh?n e matematik?s, detyra ting?llon k?shtu: "Gjeni shum?n e simboleve grafike q? p?rfaq?sojn? ?do num?r". Matematikan?t nuk mund ta zgjidhin k?t? problem, por shaman?t mund ta b?jn? at? n? m?nyr? elementare.

Le t? kuptojm? se ?far? dhe si b?jm? p?r t? gjetur shum?n e shifrave t? nj? numri t? caktuar. Dhe k?shtu, le t? themi se kemi numrin 12345. ?far? duhet b?r? p?r t? gjetur shum?n e shifrave t? k?tij numri? Le t? shqyrtojm? t? gjitha hapat n? rend.

1. Shkruani numrin n? nj? cop? let?r. ?far? kemi b?r?? Ne e kemi konvertuar numrin n? nj? simbol grafik numerik. Ky nuk ?sht? nj? operacion matematikor.

2. Ne e prem? nj? fotografi t? marr? n? disa figura q? p?rmbajn? numra t? ve?ant?. Prerja e nj? fotografie nuk ?sht? nj? operacion matematikor.

3. Konvertoni karaktere individuale grafike n? numra. Ky nuk ?sht? nj? operacion matematikor.

4. Mblidhni numrat q? rezultojn?. Tani kjo ?sht? matematika.

Shuma e shifrave t? numrit 12345 ?sht? 15. K?to jan? "kurset e prerjes dhe qepjes" nga shaman?t q? p?rdoren nga matematikan?t. Por kjo nuk ?sht? e gjitha.

Nga pik?pamja e matematik?s, nuk ka r?nd?si se n? cilin sistem numrash e shkruajm? numrin. Pra, n? sisteme t? ndryshme numrash, shuma e shifrave t? t? nj?jtit num?r do t? jet? e ndryshme. N? matematik?, sistemi i numrave tregohet si n?nshkrim n? t? djatht? t? numrit. Me nj? num?r t? madh 12345, nuk dua t? mashtroj kok?n, merrni parasysh numrin 26 nga artikulli rreth. Le ta shkruajm? k?t? num?r n? sistemet e numrave binar, oktal, dhjetor dhe heksadecimal. Ne nuk do t? shqyrtojm? ?do hap n?n nj? mikroskop, ne e kemi b?r? tashm? k?t?. Le t? shohim rezultatin.

Si? mund ta shihni, n? sisteme t? ndryshme numrash, shuma e shifrave t? t? nj?jtit num?r ?sht? e ndryshme. Ky rezultat nuk ka t? b?j? fare me matematik?n. ?sht? sikur gjetja e sip?rfaqes s? nj? drejtk?nd?shi n? metra dhe centimetra do t'ju jepte rezultate krejt?sisht t? ndryshme.

Zero n? t? gjitha sistemet e numrave duket e nj?jt? dhe nuk ka shum? shifrash. Ky ?sht? nj? argument tjet?r n? favor t? faktit se . Nj? pyetje p?r matematikan?t: si sh?nohet n? matematik? ai q? nuk ?sht? num?r? ?far?, p?r matematikan?t, nuk ekziston asgj? p?rve? numrave? P?r shaman?t, un? mund ta lejoj k?t?, por p?r shkenc?tar?t, jo. Realiteti nuk ka t? b?j? vet?m me numrat.

Rezultati i marr? duhet t? konsiderohet si prov? se sistemet e numrave jan? nj?si mat?se t? numrave. N? fund t? fundit, ne nuk mund t? krahasojm? numrat me nj?si t? ndryshme mat?se. N?se t? nj?jtat veprime me nj?si t? ndryshme mat?se t? s? nj?jt?s sasi ?ojn? n? rezultate t? ndryshme pas krahasimit t? tyre, at?her? kjo nuk ka t? b?j? fare me matematik?n.

?far? ?sht? matematika e v?rtet?? Kjo ndodh kur rezultati i nj? veprimi matematik nuk varet nga vlera e numrit, nj?sia mat?se e p?rdorur dhe nga kush e kryen k?t? veprim.

N?nshkrimi n? der? Hap der?n dhe thot?:

Oh! A nuk ?sht? ky banja e grave?
- Grua e re! Ky ?sht? nj? laborator p?r studimin e shenjt?ris? s? pacaktuar t? shpirtrave pas ngjitjes n? qiell! Nimbus sip?r dhe shigjeta lart. ?far? tualeti tjet?r?

Fem?r... Nj? aureol? sip?r dhe nj? shigjet? posht? ?sht? mashkull.

N?se keni nj? vep?r t? till? t? artit t? dizajnit q? shk?lqen para syve tuaj disa her? n? dit?,

At?her? nuk ?sht? p?r t'u habitur q? papritmas gjeni nj? ikon? t? ?uditshme n? makin?n tuaj:

Personalisht, un? b?j nj? p?rpjekje p?r veten time p?r t? par? minus kat?r grad? n? nj? person t? kulluar (nj? fotografi) (p?rb?rja e disa fotografive: shenja minus, numri kat?r, p?rcaktimi i shkall?ve). Dhe k?t? vajz? nuk e konsideroj budallaqe q? nuk di fizik?. Ajo thjesht ka nj? stereotip hark t? perceptimit t? imazheve grafike. Dhe matematikan?t na m?sojn? k?t? gjat? gjith? koh?s. K?tu ?sht? nj? shembull.

1A nuk ?sht? "minus kat?r grad?" ose "nj? a". Ky ?sht? "njeriu i kulluar" ose numri "nj?zet e gjasht?" n? sistemin e numrave heksadecimal. Ata njer?z q? vazhdimisht punojn? n? k?t? sistem numrash e perceptojn? automatikisht numrin dhe shkronj?n si nj? simbol grafik.

Tani do t? kalojm? vet?m n? hapjen e kllapave n? shprehjet n? t? cilat shprehja n? kllapa shum?zohet me nj? num?r ose shprehje. Le t? formulojm? rregullin p?r hapjen e kllapave t? paraprir? nga nj? shenj? minus: kllapat s? bashku me shenj?n minus jan? l?n? jasht?, dhe shenjat e t? gjith? termave n? kllapa z?vend?sohen me shenja t? kund?rta.

Nj? lloj i transformimit t? shprehjes ?sht? zgjerimi i kllapave. Shprehjet numerike, letrare dhe t? ndryshueshme p?rb?hen duke p?rdorur kllapa, t? cilat mund t? tregojn? rendin n? t? cilin kryhen veprimet, p?rmbajn? nj? num?r negativ, etj. Le t? supozojm? se n? shprehjet e p?rshkruara m? sip?r, n? vend t? numrave dhe ndryshoreve, mund t? ket? ?do shprehje.

Dhe le t'i kushtojm? v?mendje nj? pike tjet?r n? lidhje me ve?orit? e shkrimit t? zgjidhjes gjat? hapjes s? kllapave. N? paragrafin e m?parsh?m, u trajtuam me at? q? quhet zgjerimi i kllapave. P?r ta b?r? k?t?, ekzistojn? rregulla p?r hapjen e kllapave, t? cilat ne i shqyrtojm? tani. Ky rregull diktohet nga fakti se ?sht? zakon t? shkruhen numra pozitiv? pa kllapa, kllapat n? k?t? rast jan? t? panevojshme. Shprehja (-3,7)-(-2)+4+(-9) mund t? shkruhet pa kllapa si -3,7+2+4-9.

S? fundi, pjesa e tret? e rregullit ?sht? thjesht p?r shkak t? ve?orive t? shkrimit t? numrave negativ? n? t? majt? n? shprehje (t? cil?n e p?rmend?m n? pjes?n e kllapave p?r shkrimin e numrave negativ?). Mund t? hasni shprehje t? p?rb?ra nga nj? num?r, shenja minus dhe ?ifte t? shumta kllapash. N?se zgjeroni kllapat, duke l?vizur nga e brendshme n? t? jashtme, at?her? zgjidhja do t? jet?: -(-((-(5)))=-(-((-5)))=-(-(-5)) =-( 5)=-5.

Si t? hapni kllapat?

K?tu ?sht? nj? shpjegim: -(-2 x) ?sht? +2 x, dhe meq? kjo shprehje vjen e para, at?her? +2 x mund t? shkruhet si 2 x, -(x2)=-x2, +(-1/ x)= -1/x dhe -(2 x y2:z)=-2 x y2:z. Pjesa e par? e rregullit t? shkruar p?r hapjen e kllapave rrjedh drejtp?rdrejt nga rregulli i shum?zimit t? numrave negativ?. Pjesa e dyt? e saj ?sht? pasoj? e rregullit t? shum?zimit t? numrave me shenja t? ndryshme. Le t? kalojm? te shembujt e kllapave zgjeruese n? prodhime dhe her?s t? dy numrave me shenja t? ndryshme.

Hapja e kllapave: rregulla, shembuj, zgjidhje.

Rregulli i m?sip?rm merr parasysh t? gjith? zinxhirin e k?tyre veprimeve dhe shpejton ndjesh?m procesin e hapjes s? kllapave. I nj?jti rregull ju lejon t? hapni kllapa n? shprehjet q? jan? produkte dhe shprehje private me nj? shenj? minus q? nuk jan? shuma dhe diferenca.

Shqyrtoni shembuj t? zbatimit t? k?tij rregulli. Ne japim rregullin p?rkat?s. M? sip?r kemi hasur tashm? shprehje t? form?s -(a) dhe -(-a), t? cilat pa kllapa shkruhen p?rkat?sisht si -a dhe a. P?r shembull, -(3)=3, dhe. K?to jan? raste t? ve?anta t? rregullit t? p?rmendur. Tani merrni parasysh shembuj t? hapjes s? kllapave kur shumat ose diferencat jan? t? mbyllura n? to. Ne do t? tregojm? shembuj t? p?rdorimit t? k?tij rregulli. Shprehjen (b1+b2) sh?nojeni si b, pas s? cil?s p?rdorim rregullin p?r shum?zimin e kllapave me shprehjen nga paragrafi paraprak, kemi (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Me induksion, kjo deklarat? mund t? zgjerohet n? nj? num?r arbitrar termash n? ?do kllap?. Mbetet t? hapim kllapat n? shprehjen q? rezulton, duke p?rdorur rregullat nga paragraf?t e m?parsh?m, si rezultat, marrim 1 3 x y-1 2 x y3-x 3 x y+x 2 x y3.

Rregulli n? matematik? ?sht? hapja e kllapave n?se ka (+) dhe (-) para kllapave, nj? rregull shum? i nevojsh?m.

Kjo shprehje ?sht? produkt i tre faktor?ve (2+4), 3 dhe (5+7 8). Kllapat duhet t? hapen n? m?nyr? sekuenciale. Tani p?rdorim rregullin p?r shum?zimin e nj? kllapa me nj? num?r, kemi ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Gradat, bazat e t? cilave jan? disa shprehje t? shkruara n? kllapa, me tregues natyror? mund t? konsiderohen si prodhim i disa kllapave.

P?r shembull, le t? transformojm? shprehjen (a+b+c)2. S? pari, e shkruajm? si prodhim t? dy kllapave (a + b + c) (a + b + c), tani e shum?zojm? kllapa me kllapa, marrim a + a b + a c + b a + b b + b c + c a+c b+c c.

Gjithashtu themi se p?r t? ngritur shumat dhe diferencat e dy numrave n? nj? fuqi natyrore, k?shillohet t? p?rdoret formula binomiale e Njutonit. P?r shembull, (5+7-3):2=5:2+7:2-3:2. Nuk ?sht? m? pak i p?rshtatsh?m q? paraprakisht t? z?vend?sohet ndarja me shum?zim, dhe m? pas t? p?rdoret rregulli i duhur p?r hapjen e kllapave n? produkt.

Mbetet p?r t? kuptuar rendin e hapjes s? kllapave duke p?rdorur shembuj. Merrni shprehjen (-5)+3 (-2):(-4)-6 (-7). Z?vend?soni k?to rezultate n? shprehjen origjinale: (-5)+3 (-2):(-4)-6 (-7)=(-5)+(3 2:4)-(-6 7) . Mbetet vet?m p?r t? p?rfunduar hapjen e kllapave, si rezultat kemi -5+3 2:4+6 7. Kjo do t? thot? se kur kalohet nga ana e majt? e barazis? n? an?n e djatht?, kllapat jan? hapur.

Vini re se n? t? tre shembujt, ne thjesht i hoq?m kllapat. S? pari, shtoni 445 n? 889. Ky veprim mendor mund t? kryhet, por nuk ?sht? shum? i leht?. Le t? hapim kllapat dhe t? shohim se rendi i ndryshuar i operacioneve do t? thjeshtoj? shum? llogaritjet.

Si t? hapni kllapat n? nj? shkall? t? ndryshme

Shembull dhe rregull ilustrues. Konsideroni nj? shembull: . Ju mund ta gjeni vler?n e shprehjes duke shtuar 2 dhe 5, dhe m? pas duke marr? numrin q? rezulton me shenj?n e kund?rt. Rregulli nuk ndryshon n?se nuk ka dy, por tre ose m? shum? terma n? kllapa. Komentoni. Shenjat p?rmbysen vet?m p?rpara termave. P?r t? hapur kllapat, n? k?t? rast, duhet t? rikujtojm? vetin? shp?rndar?se.

Numrat e vet?m n? kllapa

Gabimi juaj nuk ?sht? n? shenja, por n? pun?n e gabuar me thyesat? N? klas?n e 6-t? u njoh?m me numrat pozitiv? dhe negativ?. Si do t'i zgjidhim shembujt dhe ekuacionet?

Sa ?sht? n? kllapa? ?far? mund t? thuhet p?r k?to shprehje? Sigurisht, rezultati i shembullit t? par? dhe t? dyt? ?sht? i nj?jt?, k?shtu q? ju mund t? vendosni nj? shenj? t? barabart? midis tyre: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Pra, ?far? b?m? me kllapat?

Demonstrimi i rr?shqitjes 6 me rregullat p?r hapjen e kllapave. K?shtu, rregullat p?r hapjen e kllapave do t? na ndihmojn? t? zgjidhim shembuj, t? thjeshtojm? shprehjet. M? pas, student?t ftohen t? punojn? n? dyshe: ?sht? e nevojshme t? lidhni shprehjen q? p?rmban kllapa me shprehjen p?rkat?se pa kllapa me shigjeta.

Slide 11 Pasi n? qytetin me diell, Znayka dhe Dunno argumentuan se cili prej tyre e zgjidhi sakt? ekuacionin. M? pas, nx?n?sit zgjidhin n? m?nyr? t? pavarur ekuacionin, duke zbatuar rregullat p?r hapjen e kllapave. Zgjidhja e ekuacioneve ”Objektivat e m?simit: arsimor (fiksimi i ZUN-ve me tem?n:“ Hapja e kllapave.

Tema e m?simit: “Hapja e kllapave. N? k?t? rast, duhet t? shum?zoni ?do term nga kllapat e para me secilin term nga kllapat e dyta dhe m? pas t? shtoni rezultatet. Fillimisht merren dy faktor?t e par?, t? mbyllur n? nj? kllapa m? shum? dhe brenda k?tyre kllapave hapen kllapat sipas nj? prej rregullave tashm? t? njohura.

rawalan.freezeet.ru

Hapja e kllapave: rregulla dhe shembuj (klasa 7)

Funksioni kryesor i kllapave ?sht? ndryshimi i renditjes s? veprimeve gjat? llogaritjes s? vlerave shprehjet numerike . P?r shembull, n? shprehjen numerike \(5 3+7\) fillimisht do t? llogaritet shum?zimi, e m? pas mbledhja: \(5 3+7 =15+7=22\). Por n? shprehjen \(5·(3+7)\), s? pari do t? llogaritet mbledhja n? kllapa dhe vet?m m? pas do t? llogaritet shum?zimi: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Megjithat?, n?se kemi t? b?jm? me shprehje algjebrike q? p?rmban e ndryshueshme- p?r shembull, si kjo: \ (2 (x-3) \) - at?her? ?sht? e pamundur t? llogaritet vlera n? kllapa, ndryshorja nd?rhyn. Prandaj, n? k?t? rast, kllapat "hapen", duke p?rdorur rregullat e duhura p?r k?t?.

Rregullat e zgjerimit t? kllapave

N?se ka nj? shenj? plus p?rpara kllap?s, at?her? kllapa thjesht hiqet, shprehja n? t? mbetet e pandryshuar. Me fjale te tjera:

K?tu ?sht? e nevojshme t? sqarohet se n? matematik?, p?r t? zvog?luar hyrjet, ?sht? zakon t? mos shkruhet shenja plus n?se ?sht? e para n? shprehje. P?r shembull, n?se shtojm? dy numra pozitiv?, p?r shembull, shtat? dhe tre, at?her? nuk shkruajm? \(+7+3\), por thjesht \(7+3\), pavar?sisht se shtat? ?sht? gjithashtu nj? num?r pozitiv. . N? m?nyr? t? ngjashme, n?se shihni, p?r shembull, shprehjen \((5+x)\) - dijeni k?t? ka nj? plus p?rpara kllapave, i cili nuk shkruhet.

Shembull . Hapni kllapa dhe jepni terma t? ngjash?m: \((x-11)+(2+3x)\).
Zgjidhje : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

N?se ka nj? shenj? minus p?rpara kllap?s, at?her? kur kllapa hiqet, secili an?tar i shprehjes brenda tij ndryshon shenj?n n? t? kund?rt?n:

K?tu ?sht? e nevojshme t? sqarohet se a, nd?rsa ishte n? kllapa, kishte nj? shenj? plus (ata thjesht nuk e shkruan), dhe pas heqjes s? kllapave, ky plus ndryshoi n? nj? minus.

Shembull : Thjeshtoni shprehjen \(2x-(-7+x)\).
Zgjidhje : ka dy terma brenda kllap?s: \(-7\) dhe \(x\), dhe ka nj? minus para kllap?s. Kjo do t? thot? q? shenjat do t? ndryshojn? - dhe shtat? tani do t? jen? me nj? plus, dhe x me nj? minus. hapni kllapa dhe sjellin kushte t? ngjashme .

Shembull. Zgjeroni kllapa dhe jepni terma t? ngjash?m \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Zgjidhje : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

N?se ka nj? faktor p?rpara kllap?s, at?her? ?do an?tar i kllap?s shum?zohet me t?, dometh?n?:

Shembull. Zgjero kllapat \(5(3-x)\).
Zgjidhje : Ne kemi \(3\) dhe \(-x\) n? kllapa, dhe nj? pes? para kllapave. Kjo do t? thot? q? ?do an?tar i kllap?s shum?zohet me \ (5 \) - ju kujtoj k?t? shenja e shum?zimit midis nj? numri dhe nj? kllapa n? matematik? nuk shkruhet p?r t? zvog?luar madh?sin? e rekordeve.

Shembull. Zgjero kllapat \(-2(-3x+5)\).
Zgjidhje : Si n? shembullin e m?parsh?m, \(-3x\) dhe \(5\) me kllapa shum?zohen me \(-2\).

Mbetet t? shqyrtojm? situat?n e fundit.

Kur shum?zojm? kllapa me kllapa, ?do term i kllapave t? para shum?zohet me ?do term t? t? dyt?s:

Shembull. Zgjero kllapat \((2-x)(3x-1)\).
Zgjidhje : Kemi nj? produkt me kllapa dhe ai mund t? hapet menj?her? duke p?rdorur formul?n e m?sip?rme. Por p?r t? mos u ngat?rruar, le t? b?jm? gjith?ka hap pas hapi.
Hapi 1. Ne heqim kllapin e par? - secili prej an?tar?ve t? tij shum?zohet me kllapin e dyt?:

Hapi 2. Zgjeroni produktet e kllap?s me faktorin si? p?rshkruhet m? sip?r:
- I pari i pari...

Hapi 3. Tani shum?zojm? dhe sjellim terma t? ngjash?m:

Nuk ?sht? e nevojshme t? pikturohen t? gjitha transformimet n? detaje, menj?her? mund t? shumohen. Por n?se thjesht po m?soni t? hapni kllapa - shkruani n? detaje, do t? ket? m? pak shanse p?r t? b?r? nj? gabim.

Sh?nim p?r t? gjith? seksionin. N? fakt, nuk keni nevoj? t'i mbani mend t? kat?r rregullat, duhet t? mbani mend vet?m nj?, k?t?: \(c(a-b)=ca-cb\) . Pse? Sepse n?se z?vend?sojm? nj? n? vend t? c, marrim rregullin \((a-b)=a-b\) . Dhe n?se z?vend?sojm? minus nj?, marrim rregullin \(-(a-b)=-a+b\) . Epo, n?se z?vend?soni nj? kllap? tjet?r n? vend t? c, mund t? merrni rregullin e fundit.

kllapa brenda kllapave

Ndonj?her? n? praktik? ka probleme me kllapat e vendosura brenda kllapave t? tjera. K?tu ?sht? nj? shembull i nj? detyre t? till?: p?r t? thjeshtuar shprehjen \(7x+2(5-(3x+y))\).

P?r t? qen? t? suksessh?m n? k?to detyra, ju duhet:
- t? kuptoj? me kujdes folen? e kllapave - cila n? cil?n ?sht?;
- hapni kllapat n? m?nyr? sekuenciale, duke filluar, p?r shembull, me at? m? t? brendshmen.

?sht? e r?nd?sishme kur hapni nj? nga kllapat mos e prekni pjes?n tjet?r t? shprehjes, thjesht duke e rishkruar ashtu si? ?sht?.
Le t? marrim detyr?n e m?sip?rme si shembull.

Shembull. Hapni kllapat dhe jepni terma t? ngjash?m \(7x+2(5-(3x+y))\).
Zgjidhja:

Le ta fillojm? detyr?n duke hapur kllapin e brendsh?m (at? brenda). Duke e hapur at?, kemi t? b?jm? vet?m me faktin se ajo lidhet drejtp?rdrejt me t? - kjo ?sht? vet? kllapa dhe minusi p?rpara tij (i theksuar n? t? gjelb?r). ?do gj? tjet?r (jo e p?rzgjedhur) rishkruhet ashtu si? ishte.

Zgjidhja e problemeve n? matematik? n? internet

Llogarit?si online.
Thjeshtimi i polinomit.
Shum?zimi i polinomeve.

Me k?t? program matematikor, ju mund t? thjeshtoni nj? polinom.
Nd?rsa programi po funksionon:
- shum?zon polinomet
- shumon monom? (jap si ato)
- hap kllapat
- Ngre nj? polinom n? nj? fuqi

Programi i thjeshtimit polinom nuk i jep vet?m p?rgjigjen problemit, ai jep nj? zgjidhje t? detajuar me shpjegime, d.m.th. shfaq procesin e zgjidhjes n? m?nyr? q? t? mund t? kontrolloni njohurit? tuaja p?r matematik?n dhe / ose algjebr?n.

Ky program mund t? jet? i dobish?m p?r student?t e shkollave t? arsimit t? p?rgjithsh?m n? p?rgatitjen e testeve dhe provimeve, kur testojn? njohurit? para Provimit t? Unifikuar t? Shtetit, q? prind?rit t? kontrollojn? zgjidhjen e shum? problemeve n? matematik? dhe algjeb?r. Apo ndoshta ?sht? shum? e shtrenjt? p?r ju q? t? pun?soni nj? m?sues ose t? blini tekste t? reja shkollore? Apo thjesht d?shironi t'i kryeni detyrat e sht?pis? tuaj t? matematik?s ose algjebr?s sa m? shpejt t? jet? e mundur? N? k?t? rast, ju gjithashtu mund t? p?rdorni programet tona me nj? zgjidhje t? detajuar.

N? k?t? m?nyr? ju mund t? zhvilloni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e v?llez?rve ose motrave tuaja m? t? vogla, nd?rkoh? q? rritet niveli i arsimimit n? fush?n e detyrave q? do t? zgjidhen.

Sepse Ka shum? njer?z q? duan t? zgjidhin problemin, k?rkesa juaj ?sht? n? radh?.
Pas disa sekondash, zgjidhja do t? shfaqet m? posht?.
Ju lutemi prisni sekond?.

Pak teori.

Prodhimi i nj? monomi dhe nj? polinomi. Koncepti i nj? polinomi

Nd?r shprehjet e ndryshme q? konsiderohen n? algjeb?r, nj? vend t? r?nd?sish?m z?n? shumat e monom?ve. K?tu jan? shembuj t? shprehjeve t? tilla:

Shuma e monom?ve quhet polinom. Termat n? nj? polinom quhen an?tar? t? polinomit. Mononimet quhen gjithashtu polinome, duke e konsideruar nj? monom si nj? polinom t? p?rb?r? nga nj? an?tar.

Ne p?rfaq?sojm? t? gjith? termat si monome t? form?s standarde:

Ne japim terma t? ngjash?m n? polinomin q? rezulton:

Rezultati ?sht? nj? polinom, t? gjith? an?tar?t e t? cilit jan? monom? t? form?s standarde, dhe midis tyre nuk ka t? ngjash?m. Polinome t? tilla quhen polinomet e form?s standarde.

Per shkall? polinomiale forma standarde merr fuqin? m? t? madhe t? an?tar?ve t? saj. Pra, nj? binom ka nj? shkall? t? tret?, dhe nj? trinom ka nj? t? dyt?.

Zakonisht, termat e polinomeve t? form?s standarde q? p?rmbajn? nj? ndryshore renditen n? rend zbrit?s t? eksponent?ve t? saj. P?r shembull:

Shuma e disa polinomeve mund t? shnd?rrohet (thjeshtohet) n? nj? polinom t? form?s standarde.

Ndonj?her? an?tar?t e nj? polinomi duhet t? ndahen n? grupe, duke e mbyllur secilin grup n? kllapa. Meqen?se kllapat jan? e kund?rta e kllapave, ?sht? e leht? t? formulohet Rregullat e hapjes s? kllapave:

N?se shenja + vendoset para kllapave, at?her? termat e mbyllur n? kllapa shkruhen me t? nj?jtat shenja.

N?se nj? shenj? "-" vendoset p?rpara kllapave, at?her? termat e mbyllur n? kllapa shkruhen me shenja t? kund?rta.

Shnd?rrimi (thjeshtimi) i prodhimit t? nj? monomi dhe nj? polinomi

Duke p?rdorur vetin? shp?rndar?se t? shum?zimit, mund t? shnd?rrohet (thjeshtohet) produkti i nj? monomi dhe nj? polinomi n? nj? polinom. P?r shembull:

Prodhimi i nj? monomi dhe i nj? polinomi ?sht? identikisht i barabart? me shum?n e produkteve t? k?tij monomi dhe secilit prej termave t? polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

P?r t? shum?zuar nj? monom me nj? polinom, duhet t? shum?zohet ky monom me secilin prej termave t? polinomit.

Ne e kemi p?rdorur vazhdimisht k?t? rregull p?r shum?zimin me nj? shum?.

Prodhimi i polinomeve. Shnd?rrimi (thjeshtimi) i prodhimit t? dy polinomeve

N? p?rgjith?si, prodhimi i dy polinomeve ?sht? identikisht i barabart? me shum?n e prodhimit t? secilit term t? nj? polinomi dhe secilit an?tar t? tjetrit.

Zakonisht p?rdorni rregullin e m?posht?m.

P?r t? shum?zuar nj? polinom me nj? polinom, duhet t? shum?zoni ?do term t? nj? polinomi me secilin term t? tjetrit dhe t? shtoni produktet q? rezultojn?.

Formulat e shkurtuara t? shum?zimit. Shuma, diferenca dhe katror?t e diferenc?s

Disa shprehje n? transformimet algjebrike duhet t? trajtohen m? shpesh se t? tjerat. Ndoshta shprehjet m? t? zakonshme jan? dhe, dometh?n?, katrori i shum?s, katrori i ndryshimit dhe diferenca e katror?ve. Ju keni v?n? re se emrat e k?tyre shprehjeve duken t? paplota, k?shtu q?, p?r shembull, - ky, natyrisht, nuk ?sht? vet?m katrori i shum?s, por katrori i shum?s s? a dhe b. Sidoqoft?, katrori i shum?s s? a dhe b nuk ?sht? aq i zakonsh?m, si rregull, n? vend t? shkronjave a dhe b, ai p?rmban shprehje t? ndryshme, ndonj?her? mjaft komplekse.

Shprehjet jan? t? lehta p?r t'u konvertuar (thjeshtuar) n? polinome t? form?s standarde, n? fakt, ju tashm? jeni p?rballur me nj? detyr? t? till? kur shum?zoni polinomet:

Identitetet q? rezultojn? jan? t? dobishme p?r t'u mbajtur mend dhe zbatuar pa llogaritje t? nd?rmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojn? k?t?.

- katrori i shum?s ?sht? i barabart? me shum?n e katror?ve dhe dyfishin e produktit.

- katrori i diferenc?s ?sht? i barabart? me shum?n e katror?ve pa produktin e dyfisht?.

- diferenca e katror?ve ?sht? e barabart? me prodhimin e diferenc?s me shum?n.

K?to tre identitete lejojn? n? transformime t? z?vend?sojn? pjes?t e majta t? tyre me ato t? djathta dhe anasjelltas - pjes?t e djathta me ato t? majta. Gj?ja m? e v?shtir? n? k?t? rast ?sht? t? shoh?sh shprehjet p?rkat?se dhe t? kuptosh se ?far? z?vend?sohen n? to variablat a dhe b. Le t? shohim disa shembuj t? p?rdorimit t? formulave t? shkurtuara t? shum?zimit.

Libra (tekste shkollore) Abstrakte t? Provimit t? Unifikuar t? Shtetit dhe testeve OGE n? internet Loj?ra, enigma Grafiku i funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuh?s ruse Fjalori i zhargonit t? t? rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i shkollave t? mesme n? Rusi Katalogu i universiteteve ruse thyesa numerike Zgjidhja e problemeve p?r p?rqindje Numrat kompleks: shuma, diferenca, prodhimi dhe her?si Sistemet e 2 ekuacioneve lineare me dy ndryshore Zgjidhja e nj? ekuacioni kuadratik Renditja e katrorit t? nj? binomi dhe faktorizimi i nj? trinomi katror Zgjidhja e pabarazive Zgjidhja e sistemeve t? inekuacioneve Nd?rtimi i nj? grafiku t? nj? funksioni kuadratik Nd?rtimi i nj? grafiku i nj? funksioni linear thyesor Zgjidhja e progresioneve aritmetike dhe gjeometrike Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike, eksponenciale, logaritmike Llogaritja e kufijve, derivateve, tangjenteve Integrale, antiderivative Zgjidhja e trek?nd?shave Llogaritja e veprimeve me vektor? veprimet me vija dhe rrafshe Sip?rfaqja e formave gjeometrike Perimetri i formave gjeometrike V?llimi i trupave gjeometrik? Sip?rfaqja e trupave gjeometrik?
Konstruktor i situatave t? trafikut
Moti - lajme - horoskopi

www.mathsolution.ru

Zgjerimi i kllapave

Ne vazhdojm? t? studiojm? bazat e algjebr?s. N? k?t? m?sim do t? m?sojm? se si t? hapim kllapa n? shprehje. T? zgjerosh kllapat do t? thot? t? heq?sh shprehjen nga k?to kllapa.

P?r t? hapur kllapa, duhet t? m?soni p?rmend?sh vet?m dy rregulla. Me praktik? t? rregullt, ju mund t'i hapni kllapat me sy t? mbyllur dhe ato rregulla q? duhej t? m?soheshin p?rmend?sh mund t? harrohen me siguri.

Rregulli i par? i zgjerimit t? kllapave

Merrni parasysh shprehjen e m?poshtme:

Vlera e k?saj shprehjeje ?sht? 2 . Le t? hapim kllapat n? k?t? shprehje. T? zgjerosh kllapat do t? thot? t? heq?sh qafe ato pa ndikuar n? kuptimin e shprehjes. Kjo ?sht?, pasi t? keni hequr qafe kllapat, vlera e shprehjes 8+(-9+3) duhet t? jet? ende e barabart? me dy.

Rregulli i par? i zgjerimit t? kllapave duket k?shtu:

Kur hapni kllapat, n?se ka nj? plus p?rpara kllapave, at?her? ky plus hiqet s? bashku me kllapat.

K?shtu e shohim n? shprehje 8+(-9+3) ka nj? plus para kllapave. Ky plus duhet t? hiqet s? bashku me kllapat. Me fjal? t? tjera, kllapat do t? zhduken s? bashku me plusin q? q?ndronte para tyre. Dhe ajo q? ishte n? kllapa do t? shkruhet e pandryshuar:

8-9+3 . Kjo shprehje ?sht? e barabart? me 2 , si shprehja e m?parshme n? kllapa ishte e barabart? me 2 .

8+(-9+3) dhe 8-9+3

8 + (-9 + 3) = 8 - 9 + 3

Shembulli 2 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje 3 + (-1 - 4)

Ka nj? plus p?rpara kllapave, k?shtu q? ky plus hiqet s? bashku me kllapat. Ajo q? ishte n? kllapa do t? mbetet e pandryshuar:

3 + (-1 - 4) = 3 - 1 - 4

Shembulli 3 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje 2 + (-1)

N? k?t? shembull, zgjerimi i kllapave ?sht? b?r? nj? lloj operacioni i anasjellt? i z?vend?simit t? zbritjes me mbledhje. ?far? do t? thot??

N? shprehje 2-1 zbritja ndodh, por mund t? z?vend?sohet me mbledhje. Pastaj ju merrni shprehjen 2+(-1) . Por n?se n? shprehje 2+(-1) hapni kllapat, merrni origjinalin 2-1 .

Prandaj, rregulli i par? i zgjerimit t? kllapave mund t? p?rdoret p?r t? thjeshtuar shprehjet pas disa transformimeve. Kjo do t? thot?, hiqni at? nga kllapat dhe b?jeni m? t? leht?.

P?r shembull, le t? thjeshtojm? shprehjen 2a+a-5b+b .

P?r t? thjeshtuar k?t? shprehje, mund t? shtojm? terma t? ngjash?m. Kujtoni q? p?r t? zvog?luar termat e ngjash?m, duhet t? shtoni koeficient?t e termave t? ngjash?m dhe t? shum?zoni rezultatin me pjes?n e shkronj?s s? p?rbashk?t:

Mori nj? shprehje 3a+(-4b). N? k?t? shprehje, hapni kllapat. Ka nj? plus p?rpara kllapave, k?shtu q? ne p?rdorim rregullin e par? p?r hapjen e kllapave, dometh?n?, i heqim kllapat s? bashku me plusin q? vjen p?rpara k?tyre kllapave:

Pra shprehja 2a+a-5b+b thjeshtuar p?r t? 3a-4b .

Pasi t? keni hapur nj? kllapa, t? tjer?t mund t? takohen gjat? rrug?s. Ne zbatojm? t? nj?jtat rregulla p?r ta si p?r t? par?n. P?r shembull, le t? zgjerojm? kllapat n? shprehjen e m?poshtme:

Ka dy vende ku duhet t? zgjeroni kllapat. N? k?t? rast, zbatohet rregulli i par? p?r zgjerimin e kllapave, dometh?n?, heqja e kllapave s? bashku me plusin q? vjen p?rpara k?tyre kllapave:

2 + (-3 + 1) + 3 + (-6) = 2 - 3 + 1 + 3 - 6

Shembulli 3 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje 6+(-3)+(-2)

N? t? dy vendet ku ka kllapa, paraprihet nga nj? shenj? plus. K?tu p?rs?ri, zbatohet rregulli i par? i zgjerimit t? kllapave:

Ndonj?her? termi i par? n? kllapa shkruhet pa shenj?. P?r shembull, n? shprehje 1+(2+3-4) termi i par? n? kllapa 2 shkruar pa shenj?. Shtrohet pyetja, ?far? shenje do t? vij? p?rpara deusit pasi t? hiqen kllapat dhe plusi para kllapave? P?rgjigja sugjeron vet? - do t? ket? nj? plus p?rpara deuce.

N? fakt, edhe duke qen? n? kllapa, ka nj? plus p?rpara deusit, por nuk e shohim p?r faktin se nuk shkruhet. Ne kemi th?n? tashm? se sh?nimi i plot? i numrave pozitiv? duket si +1, +2, +3. Por pluset nuk jan? shkruar tradicionalisht, kjo ?sht? arsyeja pse ne shohim numrat pozitiv? q? jan? t? njohur p?r ne. 1, 2, 3 .

Prandaj, p?r t? hapur kllapa n? nj? shprehje 1+(2+3-4) , ju duhet t? hiqni kllapat si zakonisht s? bashku me plusin p?rpara k?tyre kllapave, por shkruani termin e par? q? ishte n? kllapa me nj? shenj? plus:

1 + (2 + 3 - 4) = 1 + 2 + 3 - 4

Shembulli 4 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje -5 + (2 - 3)

Ka nj? plus p?rpara kllapave, k?shtu q? ne zbatojm? rregullin e par? p?r hapjen e kllapave, dometh?n?, ne i l?m? kllapat s? bashku me plusin q? vjen p?rpara k?tyre kllapave. Por termi i par?, i cili shkruhet n? kllapa me nj? shenj? plus:

-5 + (2 - 3) = -5 + 2 - 3

Shembulli 5 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje (-5)

Para kllapave ka nj? plus, por nuk shkruhet p?r faktin se para tij nuk kishte numra apo shprehje t? tjera. Detyra jon? ?sht? t? heqim kllapat duke zbatuar rregullin e par? p?r zgjerimin e kllapave, dometh?n?, duke hequr kllapat s? bashku me k?t? plus (edhe n?se ?sht? i paduksh?m)

Shembulli 6 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje 2a + (-6a + b)

Ka nj? plus p?rpara kllapave, k?shtu q? ky plus hiqet s? bashku me kllapat. Ajo q? ishte n? kllapa do t? shkruhet e pandryshuar:

2a + (-6a + b) = 2a -6a + b

Shembulli 7 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)

N? k?t? shprehje, ka dy vende ku duhet t? hapni kllapat. N? t? dy seksionet, ka nj? plus p?rpara kllapave, q? do t? thot? se ky plus ?sht? l?n? jasht? s? bashku me kllapat. Ajo q? ishte n? kllapa do t? shkruhet e pandryshuar:

5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d

Rregulli i dyt? p?r hapjen e kllapave

Tani le t? shohim rregullin e zgjerimit t? kllapave t? dyt?. P?rdoret kur ka nj? minus para kllapave.

N?se ka nj? minus para kllapave, at?her? ky minus hiqet s? bashku me kllapat, por termat q? ishin n? kllapa ndryshojn? shenj?n e tyre n? t? kund?rt?n.

P?r shembull, le t? zgjerojm? kllapat n? shprehjen e m?poshtme

Shohim q? ka nj? minus para kllapave. Pra, duhet t? zbatoni rregullin e dyt? t? zgjerimit, dometh?n? t? hiqni kllapat s? bashku me minusin p?rpara k?tyre kllapave. N? k?t? rast, termat q? ishin n? kllapa do t? ndryshojn? shenj?n e tyre n? t? kund?rt?n:

Mor?m nj? shprehje pa kllapa 5+2+3 . Kjo shprehje ?sht? e barabart? me 10, ashtu si shprehja e m?parshme me kllapa ishte e barabart? me 10.

K?shtu, midis shprehjeve 5-(-2-3) dhe 5+2+3 mund t? vendosni nj? shenj? t? barabart?, pasi ato jan? t? barabarta me t? nj?jt?n vler?:

5 - (-2 - 3) = 5 + 2 + 3

Shembulli 2 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje 6 - (-2 - 5)

Para kllapave ka nj? minus, k?shtu q? zbatojm? rregullin e dyt? p?r hapjen e kllapave, p?rkat?sisht, i heqim kllapat s? bashku me minusin q? vjen p?rpara k?tyre kllapave. N? k?t? rast, termat q? ishin n? kllapa shkruhen me shenja t? kund?rta:

6 - (-2 - 5) = 6 + 2 + 5

Shembulli 3 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje 2 - (7 + 3)

Ka nj? minus para kllapave, k?shtu q? ne zbatojm? rregullin e dyt? p?r hapjen e kllapave:

Shembulli 4 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje -(-3 + 4)

Shembulli 5 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje -(-8 - 2) + 16 + (-9 - 2)

Ka dy vende ku duhet t? zgjeroni kllapat. N? rastin e par?, duhet t? zbatoni rregullin e dyt? p?r hapjen e kllapave, dhe kur radha t? vij? te shprehja +(-9-2) ju duhet t? zbatoni rregullin e par?:

-(-8 - 2) + 16 + (-9 - 2) = 8 + 2 + 16 - 9 - 2

Shembulli 6 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje -(-a-1)

Shembulli 7 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje -(4a + 3)

Shembulli 8 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje a -(4b + 3) + 15

Shembulli 9 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje 2a + (3b - b) - (3c + 5)

Ka dy vende ku duhet t? zgjeroni kllapat. N? rastin e par?, duhet t? zbatoni rregullin e par? p?r zgjerimin e kllapave, dhe kur radha t? vij? te shprehja -(3c+5) ju duhet t? zbatoni rregullin e dyt?:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

Shembulli 10 Zgjeroni kllapat n? nj? shprehje -a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15)

Ka tre vende ku duhet t? zgjeroni kllapat. S? pari ju duhet t? zbatoni rregullin e dyt? p?r zgjerimin e kllapave, pastaj t? par?n dhe pastaj p?rs?ri t? dytin:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = -a + 4a - 6b + 8c - 15

Mekanizmi i zgjerimit t? kllapave

Rregullat p?r hapjen e kllapave, t? cilat i kemi shqyrtuar tani, bazohen n? ligjin shp?rndar?s t? shum?zimit:

N? fakt kllapa hap?se quaj procedur?n kur faktori i p?rbashk?t shum?zohet me ?do term n? kllapa. Si rezultat i nj? shum?zimi t? till?, kllapat zhduken. P?r shembull, le t? zgjerojm? kllapat n? shprehje 3x(4+5)

3 x (4 + 5) = 3 x 4 + 3 x 5

Prandaj, n?se duhet t? shum?zoni nj? num?r me nj? shprehje n? kllapa (ose t? shum?zoni nj? shprehje n? kllapa me nj? num?r), duhet t? thoni hapni kllapat.

Por si lidhet ligji shp?rndar?s i shum?zimit me rregullat p?r hapjen e kllapave q? kemi shqyrtuar m? par??

Fakti ?sht? se para ?do kllapa ka nj? faktor t? p?rbashk?t. N? shembullin 3x(4+5) faktor i p?rbashk?t ?sht? 3 . Dhe n? shembull a(b+c) faktori i p?rbashk?t ?sht? nj? variab?l a.

N?se nuk ka numra ose ndryshore p?rpara kllapave, at?her? faktori i p?rbashk?t ?sht? 1 ose -1 , n? var?si t? cilit karakter vjen para kllapave. N?se ka nj? plus p?rpara kllapave, at?her? faktori i p?rbashk?t ?sht? 1 . N?se ka nj? minus para kllapave, at?her? faktori i p?rbashk?t ?sht? -1 .

P?r shembull, le t? zgjerojm? kllapat n? shprehje -(3b-1). Ka nj? minus para kllapave, k?shtu q? duhet t? p?rdorni rregullin e dyt? p?r hapjen e kllapave, dometh?n? t? hiqni kllapat s? bashku me minusin para kllapave. Dhe shprehjen q? ishte n? kllapa, shkruani me shenja t? kund?rta:

Ne i zgjeruam kllapat duke p?rdorur rregullin e zgjerimit t? kllapave. Por t? nj?jtat kllapa mund t? hapen duke p?rdorur ligjin shp?rndar?s t? shum?zimit. P?r ta b?r? k?t?, fillimisht shkruajm? faktorin e p?rbashk?t 1 p?rpara kllapave, i cili nuk ?sht? shkruar:

Minusi q? q?ndronte p?rpara kllapave i referohej k?saj nj?sie. Tani mund t? hapni kllapat duke zbatuar ligjin shp?rndar?s t? shum?zimit. P?r k?t?, faktori i p?rbashk?t -1 ju duhet t? shum?zoni me ?do term n? kllapa dhe t? shtoni rezultatet.

P?r leht?si, ne z?vend?sojm? ndryshimin n? kllapa me shum?n:

-1 (3b -1) = -1 (3b + (-1)) = -1 x 3b + (-1) x (-1) = -3b + 1

Si her?n e kaluar, e mor?m shprehjen -3b+1. T? gjith? do t? pajtohen q? k?t? her? u harxhua m? shum? koh? p?r zgjidhjen e nj? shembulli kaq t? thjesht?. Prandaj, ?sht? m? e arsyeshme t? p?rdoren rregullat e gatshme p?r hapjen e kllapave, t? cilat i kemi shqyrtuar n? k?t? m?sim:

Por nuk d?mton t? dish se si funksionojn? k?to rregulla.

N? k?t? m?sim, m?suam nj? tjet?r transformim identik. S? bashku me hapjen e kllapave, nxjerrjen e gjeneralit jasht? kllapave dhe sjelljen e termave t? ngjash?m, ?sht? e mundur t? zgjerohet paksa diapazoni i detyrave q? do t? zgjidhen. P?r shembull:

K?tu duhet t? kryeni dy veprime - s? pari hapni kllapat dhe m? pas sillni terma t? ngjash?m. Pra, me radh?:

1) Zgjeroni kllapat:

2) Ne japim kushte t? ngjashme:

N? shprehjen q? rezulton -10b+(-1) ju mund t? hapni kllapat:

Shembulli 2 Hapni kllapat dhe shtoni terma t? ngjash?m n? shprehjen e m?poshtme:

1) Zgjeroni kllapat:

2) Ne paraqesim terma t? ngjash?m. K?t? her?, p?r t? kursyer koh? dhe hap?sir?, nuk do t? shkruajm? se si shum?zohen koeficient?t me pjes?n e shkronj?s s? p?rbashk?t

Shembulli 3 Thjeshtimi i shprehjes 8m+3m dhe gjeni vler?n e saj n? m=-4

1) Le t? thjeshtojm? s? pari shprehjen. P?r t? thjeshtuar shprehjen 8m+3m, ju mund t? hiqni faktorin e p?rbashk?t n? t? m p?r kllapa:

2) Gjeni vler?n e shprehjes m(8+3) n? m=-4. P?r k?t?, n? shprehje m(8+3) n? vend t? nj? ndryshoreje m z?vend?soni numrin -4

m(8 + 3) = -4 (8 + 3) = -4 x 8 + (-4) x 3 = -32 + (-12) = -44

Nd?r shprehjet e ndryshme q? konsiderohen n? algjeb?r, nj? vend t? r?nd?sish?m z?n? shumat e monom?ve. K?tu jan? shembuj t? shprehjeve t? tilla:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Shuma e monom?ve quhet polinom. Termat n? nj? polinom quhen an?tar? t? polinomit. Mononimet quhen gjithashtu polinome, duke e konsideruar nj? monom si nj? polinom t? p?rb?r? nga nj? an?tar.

P?r shembull, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
mund t? thjeshtohet.

Ne p?rfaq?sojm? t? gjith? termat si monome t? form?s standarde:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Ne japim terma t? ngjash?m n? polinomin q? rezulton:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultati ?sht? nj? polinom, t? gjith? an?tar?t e t? cilit jan? monom? t? form?s standarde, dhe midis tyre nuk ka t? ngjash?m. Polinome t? tilla quhen polinomet e form?s standarde.

Per shkall? polinomiale forma standarde merr fuqin? m? t? madhe t? an?tar?ve t? saj. Pra, binomi \(12a^2b - 7b \) ka shkall?n e tret?, dhe trinomi \(2b^2 -7b + 6 \) ka t? dyt?n.

Zakonisht, termat e polinomeve t? form?s standarde q? p?rmbajn? nj? ndryshore renditen n? rend zbrit?s t? eksponent?ve t? saj. P?r shembull:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Shuma e disa polinomeve mund t? shnd?rrohet (thjeshtohet) n? nj? polinom t? form?s standarde.

Ndonj?her? an?tar?t e nj? polinomi duhet t? ndahen n? grupe, duke e mbyllur secilin grup n? kllapa. Meqen?se kllapat jan? e kund?rta e kllapave, ?sht? e leht? t? formulohet Rregullat e hapjes s? kllapave:

N?se shenja + vendoset para kllapave, at?her? termat e mbyllur n? kllapa shkruhen me t? nj?jtat shenja.

N?se nj? shenj? "-" vendoset p?rpara kllapave, at?her? termat e mbyllur n? kllapa shkruhen me shenja t? kund?rta.

Shnd?rrimi (thjeshtimi) i prodhimit t? nj? monomi dhe nj? polinomi

Duke p?rdorur vetin? shp?rndar?se t? shum?zimit, mund t? shnd?rrohet (thjeshtohet) produkti i nj? monomi dhe nj? polinomi n? nj? polinom. P?r shembull:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Prodhimi i nj? monomi dhe i nj? polinomi ?sht? identikisht i barabart? me shum?n e produkteve t? k?tij monomi dhe secilit prej termave t? polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

P?r t? shum?zuar nj? monom me nj? polinom, duhet t? shum?zohet ky monom me secilin prej termave t? polinomit.

Ne e kemi p?rdorur vazhdimisht k?t? rregull p?r shum?zimin me nj? shum?.

Prodhimi i polinomeve. Shnd?rrimi (thjeshtimi) i prodhimit t? dy polinomeve

N? p?rgjith?si, prodhimi i dy polinomeve ?sht? identikisht i barabart? me shum?n e prodhimit t? secilit term t? nj? polinomi dhe secilit an?tar t? tjetrit.

Zakonisht p?rdorni rregullin e m?posht?m.

P?r t? shum?zuar nj? polinom me nj? polinom, duhet t? shum?zoni ?do term t? nj? polinomi me secilin term t? tjetrit dhe t? shtoni produktet q? rezultojn?.

Formulat e shkurtuara t? shum?zimit. Shuma, diferenca dhe katror?t e diferenc?s

Disa shprehje n? transformimet algjebrike duhet t? trajtohen m? shpesh se t? tjerat. Ndoshta shprehjet m? t? zakonshme jan? \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dhe \(a^2 - b^2 \), dometh?n? katrori i shum?s, katrori i diferenc?s dhe diferenca katrore. Ju keni v?n? re se emrat e k?tyre shprehjeve duken t? paplota, k?shtu q?, p?r shembull, \((a + b)^2 \) ?sht?, natyrisht, jo vet?m katrori i shum?s, por katrori i shum?s s? a dhe b. Sidoqoft?, katrori i shum?s s? a dhe b nuk ?sht? aq i zakonsh?m, si rregull, n? vend t? shkronjave a dhe b, ai p?rmban shprehje t? ndryshme, ndonj?her? mjaft komplekse.

Shprehjet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) jan? t? lehta p?r t'u konvertuar (thjeshtuar) n? polinome t? form?s standarde, n? fakt, ju tashm? e keni takuar nj? detyr? t? till? kur shum?zoni polinomet :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitetet q? rezultojn? jan? t? dobishme p?r t'u mbajtur mend dhe zbatuar pa llogaritje t? nd?rmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojn? k?t?.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - katrori i shum?s ?sht? i barabart? me shum?n e katror?ve dhe produktit t? dyfisht?.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - katrori i diferenc?s ?sht? shuma e katror?ve pa dyfishuar prodhimin.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferenca e katror?ve ?sht? e barabart? me produktin e diferenc?s dhe shum?s.

K?to tre identitete lejojn? n? transformime t? z?vend?sojn? pjes?t e majta t? tyre me ato t? djathta dhe anasjelltas - pjes?t e djathta me ato t? majta. Gj?ja m? e v?shtir? n? k?t? rast ?sht? t? shoh?sh shprehjet p?rkat?se dhe t? kuptosh se ?far? z?vend?sohen n? to variablat a dhe b. Le t? shohim disa shembuj t? p?rdorimit t? formulave t? shkurtuara t? shum?zimit.