P?rkulje e drejt?. P?rkulja t?rthore e shesht? Diagramet e skicimit t? faktor?ve t? forc?s s? brendshme p?r trar?t Vizatimi i diagrameve Q dhe M sipas ekuacioneve Diagramet Q dhe M duke p?rdorur seksionet (pikat) karakteristike Llogaritjet p?r rezistenc?n n? p?rkuljen e drejtp?rdrejt? t? trar?ve Sforcimet kryesore n? p?rkulje. Verifikimi i plot? i rezistenc?s s? trar?ve Kuptimi i qendr?s s? p?rkuljes P?rcaktimi i zhvendosjeve n? trar? gjat? p?rkuljes. Konceptet e deformimit t? trar?ve dhe kushtet e ngurt?sis? s? tyre Ekuacioni diferencial i boshtit t? p?rkulur t? traut Metoda e integrimit t? drejtp?rdrejt? Shembuj t? p?rcaktimit t? zhvendosjeve n? trar? me metod?n e integrimit t? drejtp?rdrejt? Kuptimi fizik i konstantave t? integrimit Metoda e parametrave fillestar? (ekuacioni universal i boshti i p?rkulur i traut). Shembuj t? p?rcaktimit t? zhvendosjeve n? nj? tra duke p?rdorur metod?n e parametrave fillestar? P?rcaktimi i zhvendosjeve duke p?rdorur metod?n Mohr. Rregulli i A.K Vereshchagin. Llogaritja e integralit Mohr sipas A.K. Vereshchagin Shembuj t? p?rcaktimit t? zhvendosjeve me an? t? Bibliografis? integrale t? Mohr-it P?rkulja e drejtp?rdrejt?. P?rkulje e shesht? t?rthore. 1.1. Diagramet e vizatimit t? faktor?ve t? forc?s s? brendshme p?r trar?t P?rkulja e drejtp?rdrejt? ?sht? nj? lloj deformimi n? t? cilin dy faktor? t? forc?s s? brendshme lindin n? seksionet kryq t? shufr?s: nj? moment p?rkuljeje dhe nj? forc? t?rthore. N? nj? rast t? ve?ant?, forca t?rthore mund t? jet? e barabart? me zero, at?her? kthesa quhet e past?r. Me nj? p?rkulje t?rthore t? shesht?, t? gjitha forcat jan? t? vendosura n? nj? nga rrafshet kryesore t? inercis? s? shufr?s dhe jan? pingul me boshtin e saj gjat?sor, momentet jan? t? vendosura n? t? nj?jtin plan (Fig. 1.1, a, b). Oriz. 1.1 Forca t?rthore n? nj? seksion kryq arbitrar t? rrezes ?sht? numerikisht e barabart? me shum?n algjebrike t? projeksioneve mbi normalen ndaj boshtit t? rrezes t? t? gjitha forcave t? jashtme q? veprojn? n? nj?r?n an? t? seksionit n? shqyrtim. Forca t?rthore n? seksionin m-n t? rrezes (Fig. 1.2, a) konsiderohet pozitive n?se rezultanti i forcave t? jashtme n? t? majt? t? seksionit drejtohet lart, dhe djathtas - posht?, dhe negativ - n? rastin e kund?rt. (Fig. 1.2, b). Oriz. 1.2 Gjat? llogaritjes s? forc?s t?rthore n? nj? seksion t? caktuar, forcat e jashtme q? shtrihen n? t? majt? t? seksionit merren me nj? shenj? plus n?se jan? t? drejtuara lart, dhe me nj? shenj? minus n?se jan? posht?. P?r an?n e djatht? t? rrezes - anasjelltas. 5 Momenti i p?rkuljes n? nj? seksion kryq arbitrar t? traut ?sht? numerikisht i barabart? me shum?n algjebrike t? momenteve rreth boshtit qendror z t? seksionit t? t? gjitha forcave t? jashtme q? veprojn? n? nj?r?n an? t? seksionit n? shqyrtim. Momenti i p?rkuljes n? seksionin m-n t? rrezes (Fig. 1.3, a) konsiderohet pozitiv n?se momenti rezultues i forcave t? jashtme drejtohet n? drejtim t? akrepave t? or?s nga seksioni n? t? majt? t? seksionit, dhe n? t? kund?rt n? t? djatht?, dhe negativ - n? rasti i kund?rt (Fig. 1.3b). Oriz. 1.3 Kur llogaritet momenti i p?rkuljes n? nj? seksion t? caktuar, momentet e forcave t? jashtme q? shtrihen n? t? majt? t? seksionit konsiderohen pozitive n?se drejtohen n? drejtim t? akrepave t? or?s. P?r an?n e djatht? t? rrezes - anasjelltas. ?sht? i p?rshtatsh?m p?r t? p?rcaktuar shenj?n e momentit t? lakimit nga natyra e deformimit t? rrezes. Momenti i p?rkuljes konsiderohet pozitiv n?se, n? seksionin n? shqyrtim, pjesa e prer? e rrezes p?rkulet me nj? konveksitet posht?, d.m.th., fijet e poshtme jan? shtrir?. P?rndryshe, momenti i p?rkuljes n? seksion ?sht? negativ. Midis momentit t? p?rkuljes M, forc?s t?rthore Q dhe intensitetit t? ngarkes?s q, ekzistojn? var?si diferenciale. 1. Derivati i par? i forc?s t?rthore p?rgjat? abshis?s s? seksionit ?sht? i barabart? me intensitetin e ngarkes?s s? shp?rndar?, d.m.th. . (1.1) 2. Derivati i par? i momentit t? p?rkuljes p?rgjat? abshis?s s? seksionit ?sht? i barabart? me forc?n t?rthore, d.m.th. (1.2) 3. Derivati i dyt? n? lidhje me abshis?n e seksionit ?sht? i barabart? me intensitetin e ngarkes?s s? shp?rndar?, d.m.th. (1.3) Ne e konsiderojm? ngarkes?n e shp?rndar? t? drejtuar lart si pozitive. Nj? s?r? p?rfundimesh t? r?nd?sishme rrjedhin nga var?sit? diferenciale midis M, Q, q: 1. N?se n? seksionin e traut: a) forca t?rthore ?sht? pozitive, at?her? rritet momenti i p?rkuljes; b) forca t?rthore ?sht? negative, at?her? momenti i p?rkuljes zvog?lohet; c) forca t?rthore ?sht? zero, at?her? momenti i p?rkuljes ka vler? konstante (p?rkulje e past?r); 6 d) forca t?rthore kalon n? zero, duke ndryshuar shenj?n nga plus n? minus, max M M, p?rndryshe M Mmin. 2. N?se nuk ka ngarkes? t? shp?rndar? n? seksionin e traut, at?her? forca t?rthore ?sht? konstante, dhe momenti i p?rkuljes ndryshon n? m?nyr? lineare. 3. N?se ka nj? ngarkes? t? shp?rndar? n? m?nyr? uniforme n? pjes?n e traut, at?her? forca t?rthore ndryshon sipas nj? ligji linear, dhe momenti i p?rkuljes - sipas ligjit t? nj? parabole katrore, konveks n? drejtim t? ngarkes?s (n? rasti i vizatimit t? M nga ana e fibrave t? shtrira). 4. N? seksionin n?n forc?n e p?rqendruar, diagrami Q ka nj? k?rcim (nga madh?sia e forc?s), diagrami M ka nj? thyerje n? drejtim t? forc?s. 5. N? pjes?n ku zbatohet nj? moment i p?rqendruar, diagrami M ka nj? k?rcim t? barabart? me vler?n e k?tij momenti. Kjo nuk pasqyrohet n? grafikun Q. N?n ngarkimin kompleks, trar?t nd?rtojn? diagrame t? forcave t?rthore Q dhe momenteve t? p?rkuljes M. Grafiku Q (M) ?sht? nj? grafik q? tregon ligjin e ndryshimit t? forc?s t?rthore (momenti i p?rkuljes) p?rgjat? gjat?sis? s? traut. Bazuar n? analiz?n e diagrameve M dhe Q, vendosen seksione t? rrezikshme t? rrezes. Ordinatat pozitive t? diagramit Q vizatohen lart, dhe ordinatat negative vizatohen posht? nga vija baz? e t?rhequr paralelisht me boshtin gjat?sor t? rrezes. Jan? vendosur ordinatat pozitive t? diagramit M dhe ordinatat negative vizatohen lart, d.m.th., diagrami M ?sht? nd?rtuar nga ana e fibrave t? shtrira. Nd?rtimi i diagrameve Q dhe M p?r trar?t duhet t? filloj? me p?rcaktimin e reaksioneve mb?shtet?se. P?r nj? rreze me nj? skaj t? fiksuar dhe skajin tjet?r t? lir?, vizatimi Q dhe M mund t? fillohet nga skaji i lir? pa p?rcaktuar reaksionet n? embedment. 1.2. Nd?rtimi i diagrameve Q dhe M sipas ekuacioneve Balk ndahet n? seksione, brenda t? cilave funksionet p?r momentin e p?rkuljes dhe forc?n prer?se mbeten konstante (nuk kan? nd?rprerje). Kufijt? e seksioneve jan? pikat e aplikimit t? forcave t? p?rqendruara, ?iftet e forcave dhe vendet e ndryshimit t? intensitetit t? ngarkes?s s? shp?rndar?. N? ?do seksion, merret nj? seksion arbitrar n? nj? distanc? x nga origjina, dhe p?r k?t? seksion hartohen ekuacionet p?r Q dhe M. Vizatimet Q dhe M nd?rtohen duke p?rdorur k?to ekuacione. Shembulli 1.1 Nd?rtoni grafik?t e forcave prer?se Q dhe p?rkuljes momentet M p?r nj? tra t? caktuar (Fig. 1.4a). Zgjidhje: 1. P?rcaktimi i reaksioneve t? mb?shtet?sve. P?rpilojm? ekuacionet e ekuilibrit: nga t? cilat p?rftojm? Reaksionet e mb?shtet?sve jan? p?rcaktuar sakt?. Trari ka kat?r seksione Fig. 1.4 ngarkimet: CA, AD, DB, BE. 2. Parcela Q. Parcela SA. N? seksionin CA 1, ne vizatojm? nj? seksion arbitrar 1-1 n? nj? distanc? x1 nga skaji i majt? i rrezes. Ne e p?rkufizojm? Q si shum?n algjebrike t? t? gjitha forcave t? jashtme q? veprojn? n? t? majt? t? seksionit 1-1: Shenja minus merret sepse forca q? vepron n? t? majt? t? seksionit ?sht? e drejtuar posht?. Shprehja p?r Q nuk varet nga ndryshorja x1. Grafiku Q n? k?t? seksion do t? p?rshkruhet si nj? vij? e drejt? paralele me boshtin x. Parcela AD. N? vend, ne vizatojm? nj? seksion arbitrar 2-2 n? nj? distanc? x2 nga skaji i majt? i rrezes. Ne p?rcaktojm? Q2 si shum?n algjebrike t? t? gjitha forcave t? jashtme q? veprojn? n? t? majt? t? seksionit 2-2: 8 Vlera e Q ?sht? konstante n? seksion (nuk varet nga ndryshorja x2). Grafiku Q n? grafik ?sht? nj? vij? e drejt? paralele me boshtin x. Faqja e DB. N? vend, ne vizatojm? nj? seksion arbitrar 3-3 n? nj? distanc? x3 nga skaji i djatht? i rrezes. Ne e p?rkufizojm? Q3 si shum?n algjebrike t? t? gjitha forcave t? jashtme q? veprojn? n? t? djatht? t? seksionit 3-3: Shprehja q? rezulton ?sht? ekuacioni i nj? drejt?ze t? pjerr?t. Komploti B.E. N? vend, ne vizatojm? nj? seksion 4-4 n? nj? distanc? x4 nga skaji i djatht? i rrezes. Ne e p?rkufizojm? Q si shum?n algjebrike t? t? gjitha forcave t? jashtme q? veprojn? n? t? djatht? t? seksionit 4-4: 4 K?tu, merret shenja plus sepse ngarkesa rezultante n? t? djatht? t? seksionit 4-4 ?sht? e drejtuar posht?. N? baz? t? vlerave t? marra nd?rtojm? diagramet Q (Fig. 1.4, b). 3. Komploti M. Parcela m1. Ne p?rcaktojm? momentin e p?rkuljes n? seksionin 1-1 si shum?n algjebrike t? momenteve t? forcave q? veprojn? n? t? majt? t? seksionit 1-1. ?sht? ekuacioni i nj? drejt?ze. Seksioni A 3 P?rcaktoni momentin e p?rkuljes n? seksionin 2-2 si shum?n algjebrike t? momenteve t? forcave q? veprojn? n? t? majt? t? seksionit 2-2. ?sht? ekuacioni i nj? drejt?ze. Skema DB 4 Ne p?rcaktojm? momentin e p?rkuljes n? seksionin 3-3 si shum?n algjebrike t? momenteve t? forcave q? veprojn? n? t? djatht? t? seksionit 3-3. ?sht? ekuacioni i nj? parabole katrore. 9 Gjeni tre vlera n? skajet e seksionit dhe n? pik?n me koordinat? xk, ku seksioni BE 1 P?rcaktoni momentin e p?rkuljes n? seksionin 4-4 si shum?n algjebrike t? momenteve t? forcave q? veprojn? n? t? djatht? t? seksionit 4- 4. - Ekuacioni i nj? parabole katrore gjejm? tre vlera t? M4: Bazuar n? vlerat e marra, nd?rtojm? nj? komplot M (Fig. 1.4, c). N? seksionet CA dhe AD, grafiku Q kufizohet nga vija t? drejta paralele me boshtin e abshis?s, dhe n? seksionet DB dhe BE, nga vija t? drejta t? zhdrejta. N? seksionet C, A dhe B n? diagramin Q ka k?rcime nga madh?sia e forcave p?rkat?se, q? sh?rben si nj? kontroll i sakt?sis? s? nd?rtimit t? diagramit Q. N? seksionet ku Q ? 0, momentet rriten nga majtas n? t? djatht?. N? seksionet ku Q ? 0, momentet zvog?lohen. N?n forcat e p?rqendruara ka kthesa n? drejtim t? veprimit t? forcave. N?n momentin e p?rqendruar, ka nj? k?rcim nga vlera e momentit. Kjo tregon korrekt?sin? e vizatimit M. Shembulli 1.2 Nd?rtoni parcelat Q dhe M p?r nj? tra n? dy mb?shtet?se, t? ngarkuar me nj? ngarkes? t? shp?rndar?, intensiteti i s? cil?s ndryshon n? m?nyr? lineare (Fig. 1.5, a). Zgjidhje P?rcaktimi i reaksioneve mb?shtet?se. Rezultantja e ngarkes?s s? shp?rndar? ?sht? e barabart? me sip?rfaqen e trek?nd?shit q? p?rfaq?son diagramin e ngarkes?s dhe aplikohet n? qendr?n e gravitetit t? k?tij trek?nd?shi. P?rb?jm? shumat e momenteve t? t? gjitha forcave n? lidhje me pikat A dhe B: Vizatimi i Q. Le t? vizatojm? nj? seksion arbitrar n? nj? distanc? x nga mb?shtetja e majt?. Ordinata e diagramit t? ngarkes?s q? korrespondon me seksionin p?rcaktohet nga ngjashm?ria e trek?nd?shave Rezultantja e asaj pjese t? ngarkes?s q? ndodhet n? t? majt? t? seksionit Forca prer?se n? seksion ?sht? e barabart? me zero: Grafiku Q ?sht? paraqitur n? fik. 1.5, b. Momenti i p?rkuljes n? nj? seksion arbitrar ?sht? i barabart? me Momenti i p?rkuljes ndryshon sipas ligjit t? nj? parabole kubike: Vlera maksimale e momentit t? p?rkuljes ?sht? n? seksionin, ku 0, d.m.th. 1.5, shek. 1.3. Nd?rtimi i diagrameve Q dhe M sipas seksioneve (pikave) karakteristike Duke p?rdorur marr?dh?niet diferenciale midis M, Q, q dhe p?rfundimeve q? dalin prej tyre, k?shillohet q? diagramet Q dhe M t? nd?rtohen sipas seksioneve karakteristike (pa formuluar ekuacione). Duke p?rdorur k?t? metod?, vlerat e Q dhe M llogariten n? seksione karakteristike. Seksionet karakteristike jan? seksionet kufitare t? seksioneve, si dhe seksionet ku faktori i forc?s s? brendshme t? dh?n? ka nj? vler? ekstreme. Brenda kufijve midis seksioneve karakteristike, skica 12 e diagramit vendoset n? baz? t? var?sive diferenciale midis M, Q, q dhe p?rfundimeve q? dalin prej tyre. Shembulli 1.3 Nd?rtoni diagramet Q dhe M p?r traun e paraqitur n? fig. 1.6, a. Oriz. 1.6. Zgjidhja: Fillojm? t? vizatojm? diagramet Q dhe M nga skaji i lir? i rrezes, nd?rsa reaksionet n? embedment mund t? hiqen. Trari ka tre zona ngarkimi: AB, BC, CD. Nuk ka ngarkes? t? shp?rndar? n? seksionet AB dhe BC. Forcat t?rthore jan? konstante. Grafiku Q kufizohet nga vija t? drejta paralele me boshtin x. Momentet e p?rkuljes ndryshojn? n? m?nyr? lineare. Komploti M ?sht? i kufizuar n? vija t? drejta t? prirura nga boshti x. N? seksionin CD ka nj? ngarkes? t? shp?rndar? n? m?nyr? uniforme. Forcat t?rthore ndryshojn? n? m?nyr? lineare dhe momentet e p?rkuljes ndryshojn? sipas ligjit t? nj? parabole katrore me nj? konveksitet n? drejtim t? ngarkes?s s? shp?rndar?. N? kufirin e seksioneve AB dhe BC, forca t?rthore ndryshon befas. N? kufirin e seksioneve BC dhe CD, momenti i p?rkuljes ndryshon befas. 1. Vizatimi i Q. Ne llogarisim vlerat e forcave t?rthore Q n? seksionet kufitare t? seksioneve: Bazuar n? rezultatet e llogaritjeve, nd?rtojm? nj? diagram Q p?r rreze (Fig. 1, b). Nga diagrami Q rezulton se forca t?rthore n? seksionin CD ?sht? e barabart? me zero n? seksionin e ndar? n? nj? distanc? qa a q nga fillimi i k?tij seksioni. N? k?t? seksion, momenti i p?rkuljes ka nj? vler? maksimale. 2. Nd?rtimi i diagramit M. Ne llogarisim vlerat e momenteve t? p?rkuljes n? seksionet kufitare t? seksioneve: Shembulli 1.4 Sipas diagramit t? dh?n? t? momenteve t? p?rkuljes (Fig. 1.7, a) p?r traun (Fig. 1.7, b), p?rcaktoni ngarkesat vepruese dhe vizatoni Q. Rrethi tregon kulmin e parabol?s katrore. Zgjidhja: P?rcaktoni ngarkesat q? veprojn? n? tra. Seksioni AC ?sht? i ngarkuar me nj? ngarkes? t? shp?rndar? n? m?nyr? uniforme, pasi diagrami M n? k?t? seksion ?sht? nj? parabol? katrore. N? seksionin e referenc?s B, nj? moment i p?rqendruar zbatohet n? rreze, duke vepruar n? drejtim t? akrepave t? or?s, pasi n? diagramin M kemi nj? k?rcim lart p?r nga madh?sia e momentit. N? seksionin NE, trau nuk ?sht? i ngarkuar, pasi diagrami M n? k?t? seksion ?sht? i kufizuar nga nj? vij? e drejt? e pjerr?t. Reagimi i mb?shtetjes B p?rcaktohet nga kushti q? momenti i p?rkuljes n? seksionin C t? jet? i barabart? me zero, d.m.th. P?r t? p?rcaktuar intensitetin e ngarkes?s s? shp?rndar?, ne krijojm? nj? shprehje p?r momentin e p?rkuljes n? seksionin A si shuma e momenteve t? forcat n? t? djatht? dhe barazohen me zero. Tani p?rcaktojm? reagimin e mb?shtetjes A. P?r ta b?r? k?t?, ne hartojm? nj? shprehje p?r momentet e p?rkuljes n? seksion si shuma e momenteve t? forcave n? t? majt?.Skema e llogaritjes s? nj? trau me ngarkes? ?sht? paraqitur n? fig. 1.7, shek. Duke u nisur nga skaji i majt? i traut, ne llogarisim vlerat e forcave t?rthore n? seksionet kufitare t? seksioneve: Komploti Q ?sht? paraqitur n? fig. 1.7, d. Problemi i konsideruar mund t? zgjidhet duke p?rpiluar var?si funksionale p?r M, Q n? ?do seksion. Le t? zgjedhim origjin?n e koordinatave n? skajin e majt? t? rrezes. N? seksionin AC, grafiku M shprehet me nj? parabol? katrore, ekuacioni i s? cil?s ?sht? i form?s konstantet a, b, c, gjejm? nga kushti q? parabola t? kaloj? n?p?r tri pika me koordinata t? njohura: Z?vend?simi i koordinatave t? pikat n? ekuacionin e parabol?s, marrim: Shprehja p?r momentin e p?rkuljes do t? jet? , marrim var?sin? p?r forc?n t?rthore Pas diferencimit t? funksionit Q, marrim nj? shprehje p?r intensitetin e ngarkes?s s? shp?rndar? n? seksionin NE. , shprehja p?r momentin e p?rkuljes paraqitet si funksion linear P?r t? p?rcaktuar konstantet a dhe b, p?rdorim kushtet q? kjo drejt?z t? kaloj? n?p?r dy pika, koordinatat e t? cilave dihen P?rfitojm? dy ekuacione: ,b prej t? cilave kemi nj? 20. Ekuacioni p?r momentin e p?rkuljes n? seksionin NE do t? jet? Pas nj? diferencimi t? dyfisht? t? M2, do t? gjejm?.N? baz? t? vlerave t? gjetura t? M dhe Q, nd?rtojm? diagramet e momenteve t? p?rkuljes dhe forcave prer?se p?r traun. P?rve? ngarkes?s s? shp?rndar?, forca t? p?rqendruara aplikohen n? tra n? tre seksione, ku ka k?rcime n? diagramin Q dhe momente t? p?rqendruara n? seksionin ku ka nj? k?rcim n? diagramin M. Shembulli 1.5 P?r nj? tra (Fig. 1.8, a), p?rcaktoni pozicionin racional t? mentesh?s C, n? t? cil?n momenti m? i madh i p?rkuljes n? hap?sir? ?sht? i barabart? me momentin e p?rkuljes n? vendosje (n? vler? absolute). Nd?rtoni diagramet Q dhe M. Zgjidhje P?rcaktimi i reaksioneve t? mb?shtet?sve. P?rkund?r faktit se numri i p?rgjithsh?m i lidhjeve mb?shtet?se ?sht? kat?r, rrezja ?sht? e p?rcaktuar statikisht. Momenti i p?rkuljes n? mentesh?n C ?sht? i barabart? me zero, gj? q? na lejon t? b?jm? nj? ekuacion shtes?: shuma e momenteve rreth mentesh?s s? t? gjitha forcave t? jashtme q? veprojn? n? nj?r?n an? t? k?saj var?seje ?sht? e barabart? me zero. P?rpiloni shum?n e momenteve t? t? gjitha forcave n? t? djatht? t? mentesh?s C. Diagrami Q p?r traun kufizohet nga nj? vij? e drejt? e pjerr?t, pasi q = konst. Ne p?rcaktojm? vlerat e forcave t?rthore n? seksionet kufitare t? traut: Abshisa xK e seksionit, ku Q = 0, p?rcaktohet nga ekuacioni nga ku Grafiku M p?r traun kufizohet nga nj? parabol? katrore. Shprehjet p?r momentet e p?rkuljes n? prerje, ku Q = 0, dhe n? p?rfundim shkruhen p?rkat?sisht si m? posht?: Nga kushti i barazimit t? momenteve, fitojm? nj? ekuacion kuadratik p?r parametrin e d?shiruar x: Vlera reale ?sht? x?2x 1. ?.029 m. Ne p?rcaktojm? vlerat numerike t? forcave t?rthore dhe momenteve t? lakimit n? seksionet karakteristike t? rrezes. 1.8, c - grafiku M. Problemi i konsideruar mund t? zgjidhet duke e ndar? traun e varur n? element?t p?rb?r?s t? tij, si? tregohet n? fig. 1.8, d. N? fillim p?rcaktohen reagimet e mb?shtet?sve VC dhe VB. Parcelat Q dhe M jan? nd?rtuar p?r traun pezullues SV nga veprimi i ngarkes?s q? aplikohet n? t?. M? pas kalojn? n? rreze kryesore AC, duke e ngarkuar at? me nj? forc? shtes? VC, e cila ?sht? forca e presionit t? rrezes CB n? traun AC. Pas k?saj, diagramet Q dhe M jan? nd?rtuar p?r rrezen AC. 1.4. Llogaritjet e rezistenc?s p?r p?rkuljen e drejtp?rdrejt? t? trar?ve Llogaritja e rezistenc?s p?r sforcimet normale dhe prer?se. Me nj? p?rkulje t? drejtp?rdrejt? t? nj? trau, lindin sforcime normale dhe prer?se n? seksionet e tij t?rthore (Fig. 1.9). 18 Fig. 1.9 Sforcimet normale lidhen me momentin e p?rkuljes, sforcimet prer?se lidhen me forc?n t?rthore. N? p?rkuljen e drejtp?rdrejt? t? past?r, sforcimet prer?se jan? t? barabarta me zero. Sforcimet normale n? nj? pik? arbitrare t? seksionit kryq t? traut p?rcaktohen nga formula (1.4) ku M ?sht? momenti i p?rkuljes n? seksionin e dh?n?; Iz ?sht? momenti i inercis? s? seksionit n? lidhje me boshtin neutral z; y ?sht? distanca nga pika ku p?rcaktohet sforcimi normal deri te boshti neutral z. Sforcimet normale p?rgjat? lart?sis? s? seksionit ndryshojn? n? m?nyr? lineare dhe arrijn? vler?n m? t? madhe n? pikat m? t? larg?ta nga boshti neutral.N?se seksioni ?sht? simetrik n? lidhje me boshtin neutral (Fig. 1.11), at?her? 1.11 sforcimet m? t? m?dha t?rheq?se dhe shtyp?se jan? t? nj?jta dhe p?rcaktohen me formul?n, ? - momenti boshtor i rezistenc?s s? seksionit n? p?rkulje. P?r nj? seksion drejtk?ndor me gjer?si b dhe lart?si h: (1.7) P?r nj? seksion rrethor me diamet?r d: (1.8) P?r nj? seksion unazor ? ? jan? p?rkat?sisht diametrat e brendsh?m dhe t? jasht?m t? unaz?s. P?r trar?t e b?r? nga materiale plastike, m? racionale jan? format simetrike me 20 seksione (trare I, n? form? kutie, unazore). P?r trar?t e b?r? nga materiale t? brisht? q? nuk i rezistojn? nj?soj tensionit dhe ngjeshjes, seksionet q? jan? asimetrike rreth boshtit neutral z (ta-br., n? form? U, asimetrike me rreze I) jan? racionale. P?r trar?t e seksionit konstant t? b?r? nga materiale plastike me forma t? seksionit simetrik, kushti i rezistenc?s shkruhet si m? posht?: (1.10) ku Mmax ?sht? moduli maksimal i momentit t? p?rkuljes; - stresi i lejuar p?r materialin. P?r trar?t e seksionit konstant t? b?r? nga materiale plastike me forma t? prerjes asimetrike, gjendja e forc?s shkruhet n? form?n e m?poshtme: (1. 11) P?r trar?t e b?r? nga materiale t? brisht? me seksione q? jan? asimetrike rreth boshtit neutral, n?se diagrami M ?sht? i qart? (Fig. 1.12), duhen shkruar dy kushte t? forc?s - distanca nga boshti neutral deri n? pikat m? t? larg?ta t? zonat e shtrira dhe t? ngjeshura t? seksionit t? rreziksh?m, p?rkat?sisht; P - streset e lejuara, p?rkat?sisht, n? tension dhe ngjeshje. Fig.1.12. 21 N?se diagrami i momentit t? p?rkuljes ka seksione me shenja t? ndryshme (Fig. 1.13), at?her? p?rve? kontrollit t? seksionit 1-1, ku vepron Mmax, ?sht? e nevojshme t? llogariten sforcimet maksimale n? t?rheqje p?r seksionin 2-2 (me momenti m? i madh i shenj?s s? kund?rt). Oriz. 1.13 S? bashku me llogaritjen baz? p?r sforcimet normale, n? disa raste ?sht? e nevojshme t? kontrollohet q?ndrueshm?ria e traut p?r sforcimet prer?se. Sforcimet prer?se n? trar?t llogariten me formul?n e D. I. Zhuravsky (1.13) ku Q ?sht? forca t?rthore n? seksionin kryq t? konsideruar t? traut; Szots ?sht? momenti statik rreth boshtit neutral t? zon?s s? pjes?s s? seksionit t? vendosur n? nj?r?n an? t? vij?s s? drejt? t? t?rhequr n?p?r pik?n e dh?n? dhe paralel me boshtin z; b ?sht? gjer?sia e seksionit n? nivelin e pik?s s? konsideruar; Iz ?sht? momenti i inercis? s? t? gjith? seksionit rreth boshtit neutral z. N? shum? raste, sforcimet maksimale t? prerjes ndodhin n? nivelin e shtres?s neutrale t? traut (drejtk?nd?sh, rreze I, rreth). N? raste t? tilla, kushti i rezistenc?s p?r sforcimet prer?se shkruhet si, (1.14) ku Qmax ?sht? forca t?rthore me modulin m? t? lart?; - sforcim i lejuesh?m prer?s p?r materialin. P?r nj? seksion rreze drejtk?nd?she, gjendja e forc?s ka form?n (1.15) A ?sht? zona e prerjes t?rthore t? rrezes. P?r nj? seksion rrethor, gjendja e forc?s paraqitet si (1.16) P?r nj? seksion I, gjendja e forc?s shkruhet si m? posht?: (1.17) d ?sht? trash?sia e murit t? rrezes I. Zakonisht, dimensionet e seksionit kryq t? traut p?rcaktohen nga gjendja e forc?s p?r sforcimet normale. Kontrollimi i forc?s s? trar?ve p?r sforcimet e prerjes ?sht? i detyruesh?m p?r trar?t e shkurt?r dhe trar?t e ?do gjat?si, n?se ka forca t? p?rqendruara me p?rmasa t? m?dha pran? mb?shtet?sve, si dhe p?r trar?t prej druri, me thumba dhe t? salduara. Shembulli 1.6 Kontrolloni forc?n e nj? trau me prerje kutie (Fig. 1.14) p?r sforcimet normale dhe prer?se, n?se MPa. Nd?rtoni diagrame n? seksionin e rreziksh?m t? rrezes. Oriz. 1.14 Vendimi 23 1. Ngastra Q dhe M nga seksionet karakteristike. Duke marr? parasysh an?n e majt? t? traut fitojm? Diagrami i forcave t?rthore ?sht? paraqitur n? fig. 1.14, shek. Grafiku i momenteve t? p?rkuljes ?sht? paraqitur n? fig. 5.14, g 2. Karakteristikat gjeometrike t? prerjes t?rthore 3. Sforcimet normale m? t? larta n? seksionin C, ku vepron Mmax (moduli): MPa. Sforcimet maksimale normale n? tra jan? praktikisht t? barabarta me ato t? lejuara. 4. Sforcimet m? t? m?dha tangjenciale n? seksionin C (ose A), ku vepron max Q (modulo): K?tu ?sht? momenti statik i zon?s s? gjysm?prerjes n? lidhje me boshtin neutral; ?b2 cm ?sht? gjer?sia e seksionit n? nivelin e boshtit neutral. Fig. 5. Sforcimet tangjenciale n? nj? pik? (n? mur) n? seksionin C: Fig. 1.15 K?tu Szomc ?8?3?4.5 ?108 cm3 ?sht? momenti statik i sip?rfaqes s? pjes?s s? seksionit q? ndodhet mbi vij?n q? kalon n? pik?n K1; ?b2 cm ?sht? trash?sia e murit n? nivelin e pik?s K1. Vizatimet ? dhe ? p?r seksionin C t? traut jan? paraqitur n? fig. 1.15. Shembulli 1.7 P?r traun e paraqitur n? fig. 1.16, a, k?rkohet: 1. Nd?rtoni diagrame t? forcave t?rthore dhe momenteve t? p?rkuljes p?rgjat? seksioneve (pikave) karakteristike. 2. P?rcaktoni p?rmasat e prerjes t?rthore n? form? rrethi, drejtk?nd?shi dhe rreze I nga gjendja e rezistenc?s p?r sforcimet normale, krahasoni sip?rfaqet e prerjes t?rthore. 3. Kontrolloni dimensionet e zgjedhura t? seksioneve t? trarit p?r sforcimet prer?se. Jepet: Zgjidhja: 1. P?rcaktoni reaksionet e mb?shtet?sve t? traut Kontrolloni: 2. Paraqitni diagramet Q dhe M. Vlerat e forcave t?rthore n? seksionet karakteristike t? traut 25 Fig. 1.16 N? seksionet CA dhe AD, intensiteti i ngarkes?s q = konst. Prandaj, n? k?to seksione, diagrami Q ?sht? i kufizuar n? vija t? drejta t? prirura nga boshti. N? seksionin DB, intensiteti i ngarkes?s s? shp?rndar? q \u003d 0, prandaj, n? k?t? seksion, diagrami Q ?sht? i kufizuar n? nj? vij? t? drejt? paralele me boshtin x. Diagrami Q p?r traun ?sht? paraqitur n? fig. 1.16b. Vlerat e momenteve t? p?rkuljes n? seksionet karakteristike t? traut: N? pjes?n e dyt? p?rcaktojm? abshis?n x2 t? seksionit, n? t? cil?n Q = 0: Momenti maksimal n? seksionin e dyt? Diagrami M p?r traun ?sht? paraqitur n? fig. . 1.16, shek. 2. Ne hartojm? kushtin e forc?s p?r sforcimet normale nga t? cilat p?rcaktojm? modulin e k?rkuar t? seksionit boshtor nga shprehja e p?rcaktuar diametri i k?rkuar d i nj? trau t? seksionit rrethor Zona e seksionit rrethor P?r nj? tra drejtk?ndor Lart?sia e k?rkuar e seksionit Sip?rfaqja e seksionit drejtk?ndor Sipas tabelave t? GOST 8239-89, gjejm? vler?n m? t? af?rt m? t? madhe t? momentit aksial t? rezistenc?s 597 cm3, q? korrespondon me rreze I nr. 33 me karakteristikat: A z 9840 cm4. Kontrolli i toleranc?s: (n?nngarkimi me 1% t? 5% t? lejuar), rrezja I m? e af?rt Nr. 30 (W 2 cm3) ?on n? nj? mbingarkes? t? konsiderueshme (m? shum? se 5%). M? n? fund pranojm? rrezen I nr. 33. Krahasojm? sip?rfaqet e seksioneve rrethore dhe drejtk?ndore me sip?rfaqen m? t? vog?l A t? rrezes I: Nga tre seksionet e konsideruara, seksioni I ?sht? m? ekonomiki. 3. Llogaritim sforcimet normale m? t? m?dha n? seksionin e rreziksh?m 27 t? rrezes I (Fig. 1.17, a): Sforcimet normale n? mur pran? fllanxh?s s? seksionit t? rrezes I. 1.17b. 5. P?rcaktojm? sforcimet m? t? m?dha prer?se p?r seksionet e p?rzgjedhura t? traut. a) seksioni drejtk?ndor i traut: b) seksioni rrethor i traut: c) Seksioni I i traut: Sforcimet prer?se n? mur pran? fllanxh?s s? traut I n? seksionin e rreziksh?m A (n? t? djatht?) (n? pik?n 2 ): Diagrami i sforcimeve prer?se n? seksionet e rrezikshme t? rrezes I ?sht? paraqitur n? fig. 1.17, n?. Sforcimet maksimale t? prerjes n? tra nuk i kalojn? sforcimet e lejuara Shembulli 1.8 P?rcaktoni ngarkes?n e lejuar n? tra (Fig. 1.18, a), n?se ?sht? 60MPa, jepen dimensionet e prerjes t?rthore (Fig. 1.19, a). Nd?rtoni nj? diagram t? sforcimeve normale n? pjes?n e rrezikshme t? traut n?n ngarkes?n e lejuar. Fig 1.18 1. P?rcaktimi i reaksioneve t? mb?shtet?sve t? traut. N? funksion t? simetris? s? sistemit 2. Nd?rtimi i diagrameve Q dhe M nga prerjet karakteristike. Forcat prer?se n? seksionet karakteristike t? traut: Diagrami Q p?r traun ?sht? paraqitur n? fig. 5.18b. Momentet e p?rkuljes n? seksionet karakteristike t? traut P?r gjysm?n e dyt? t? traut, ordinatat M jan? p?rgjat? boshteve t? simetris?. Diagrami M p?r traun ?sht? paraqitur n? fig. 1.18b. 3. Karakteristikat gjeometrike t? seksionit (Fig. 1.19). E ndajm? figur?n n? dy element? t? thjesht?: nj? rreze I - 1 dhe nj? drejtk?nd?sh - 2. Fig. 1.19 Sipas asortimentit p?r rreze I nr. 20, kemi P?r nj? drejtk?nd?sh: Momenti statik i zon?s s? prerjes n? lidhje me boshtin z1 Larg?sia nga boshti z1 n? qendr?n e gravitetit t? seksionit Momenti i inercis? s? seksionit relativ. te boshti qendror kryesor z i t? gjith? seksionit sipas formulave p?r kalimin n? akset paralele pika e rrezikshme "a" (Fig. 1.19) n? seksionin e rreziksh?m I (Fig. 1.18): Pas z?vend?simit t? t? dh?nave numerike 5. Me nj? t? lejuar ngarkesa n? seksionin e rreziksh?m, sforcimet normale n? pikat "a" dhe "b" do t? jen? t? barabarta: seksioni i rreziksh?m 1-1 ?sht? paraqitur n? fig. 1.19b.

num?roj tra p?r p?rkulje ka disa opsione:
1. Llogaritja e ngarkes?s maksimale q? do t? p?rballoj?
2. Zgjedhja e seksionit t? k?tij trau
3. Llogaritja e sforcimeve maksimale t? lejueshme (p?r verifikim)
le t? shqyrtojm? parimi i p?rgjithsh?m i zgjedhjes s? seksionit t? rrezes n? dy mb?shtet?se t? ngarkuara me nj? ngarkes? t? shp?rndar? n? m?nyr? uniforme ose nj? forc? t? p?rqendruar.
P?r t? filluar, do t'ju duhet t? gjeni nj? pik? (seksion) n? t? cil?n do t? ket? nj? moment maksimal. Varet nga mb?shtetja e rrezes ose p?rfundimi i tij. M? posht? jan? diagramet e momenteve t? p?rkuljes p?r skemat q? jan? m? t? zakonshmet.

Pas gjetjes s? momentit t? p?rkuljes, duhet t? gjejm? modulin Wx t? k?tij seksioni sipas formul?s s? dh?n? n? tabel?:

M? tej, kur ndajm? momentin maksimal t? p?rkuljes me momentin e rezistenc?s n? nj? seksion t? caktuar, marrim stresi maksimal n? rreze dhe k?t? sforcim duhet ta krahasojm? me stresin q? mund t? p?rballoj? p?rgjith?sisht tufa jon? e nj? materiali t? caktuar.

P?r materialet plastike(?eliku, alumini etj.) tensioni maksimal do t? jet? i barabart? me forca e rendimentit t? materialit, a p?r t? brisht?(hekur model) - q?ndrueshm?ria n? t?rheqje. Ne mund t? gjejm? forc?n e rrjedhjes dhe rezistenc?n n? t?rheqje nga tabelat e m?poshtme.

Le t? shohim disa shembuj:
1. [i] Ju d?shironi t? kontrolloni n?se nj? rreze I nr. 10 (?elik St3sp5) 2 metra e gjat? e ngulitur fort n? mur mund t'ju rezistoj? n?se vareni n? t?. Masa juaj le t? jet? 90 kg.
S? pari, ne duhet t? zgjedhim nj? skem? llogaritjeje.

Ky diagram tregon se momenti maksimal do t? jet? n? p?rfundim, dhe meq? rrezja jon? I ka i nj?jti seksion p?rgjat? gjith? gjat?sis?, at?her? tensioni maksimal do t? jet? n? p?rfundim. Le ta gjejm?:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Sipas tabel?s s? asortimentit t? rrezes I gjejm? momentin e rezistenc?s s? rrezes I nr.10.

Do t? jet? e barabart? me 39.7 cm3. Shnd?rroni n? met?r kub dhe merrni 0.0000397 m3.
M? tej, sipas formul?s, gjejm? sforcimet maksimale q? kemi n? tra.

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Pasi t? kemi gjetur stresin maksimal q? ndodh n? tra, mund ta krahasojm? at? me stresin maksimal t? lejuesh?m t? barabart? me forc?n e rrjedhjes s? ?elikut St3sp5 - 245 MPa.

45,34 MPa - e drejt?, k?shtu q? kjo rreze I mund t? p?rballoj? nj? mas? prej 90 kg.

2. [i] Meqen?se kemi nj? furnizim mjaft t? madh, do t? zgjidhim problemin e dyt?, n? t? cilin do t? gjejm? mas?n maksimale t? mundshme q? mund t? p?rballoj? i nj?jti rreze I nr. 10, 2 metra e gjat?.
N?se duam t? gjejm? mas?n maksimale, at?her? duhet t? barazojm? vlerat e forc?s s? rendimentit dhe stresit q? do t? ndodh? n? rreze (b \u003d 245 MPa \u003d 245,000 kN * m2).

10.1. Koncepte dhe p?rkufizime t? p?rgjithshme

p?rkulem- kjo ?sht? nj? lloj ngarkese n? t? cil?n shufra ngarkohet me momente n? rrafshet q? kalojn? n?p?r boshtin gjat?sor t? shufr?s.

Nj? shuf?r q? punon n? p?rkulje quhet tra (ose tra). N? t? ardhmen, ne do t? shqyrtojm? trar?t e drejt?, seksioni kryq i t? cilave ka t? pakt?n nj? bosht simetrie.

N? rezistenc?n e materialeve, p?rkulja ?sht? e shesht?, e zhdrejt? dhe komplekse.

kthes? e shesht?- p?rkulje, n? t? cil?n t? gjitha forcat q? p?rkulin traun shtrihen n? nj? nga rrafshet e simetris? s? traut (n? nj? nga rrafshet kryesore).

Planet kryesore t? inercis? s? traut jan? rrafshet q? kalojn? n?p?r boshtet kryesore t? prerjeve t?rthore dhe boshti gjeometrik i traut (boshti x).

kthes? e zhdrejt?- p?rkulje, n? t? cil?n ngarkesat veprojn? n? nj? rrafsh q? nuk p?rkon me rrafshet kryesore t? inercis?.

P?rkulje komplekse- p?rkulje, n? t? cil?n ngarkesat veprojn? n? plane t? ndryshme (arbitrare).

10.2. P?rcaktimi i forcave t? brendshme t? p?rkuljes

Le t? shqyrtojm? dy raste karakteristike t? p?rkuljes: n? rastin e par?, trau konsol p?rkulet nga momenti i p?rqendruar Mo; n? t? dyt?n, nga forca e p?rqendruar F.

Duke p?rdorur metod?n e seksioneve mendore dhe duke p?rpiluar ekuacionet e ekuilibrit p?r pjes?t e prera t? rrezes, ne p?rcaktojm? forcat e brendshme n? t? dy rastet:

Pjesa tjet?r e ekuacioneve t? ekuilibrit jan? padyshim identike t? barabarta me zero.

K?shtu, n? rastin e p?rgjithsh?m t? p?rkuljes s? shesht? n? seksionin e rrezes, nga gjasht? forca t? brendshme, lindin dy - momenti i p?rkuljes Mz dhe forc? prer?se Qy (ose kur p?rkuleni rreth nj? boshti tjet?r kryesor - momenti i p?rkuljes My dhe forca t?rthore Qz).

N? k?t? rast, n? p?rputhje me dy rastet e konsideruara t? ngarkimit, p?rkulja e shesht? mund t? ndahet n? t? past?r dhe t?rthore.

P?rkulje e past?r- p?rkulje e shesht?, n? t? cil?n vet?m nj? nga gjasht? forcat e brendshme lind n? seksionet e shufr?s - nj? moment lakimi (shih rastin e par?).

kthes? t?rthore- p?rkulje, n? t? cil?n, p?rve? momentit t? p?rkuljes s? brendshme, lind edhe nj? forc? t?rthore n? seksionet e shufr?s (shih rastin e dyt?).

N? m?nyr? t? rrept?, vet?m p?rkulja e past?r i p?rket llojeve t? thjeshta t? rezistenc?s; P?rkulja t?rthore quhet me kusht si lloje t? thjeshta t? rezistenc?s, pasi n? shumic?n e rasteve (p?r trar? mjaft t? gjat?) veprimi i nj? force t?rthore mund t? neglizhohet n? llogaritjet e forc?s.

Kur p?rcaktojm? forcat e brendshme, ne do t'i p?rmbahemi rregullit t? m?posht?m t? shenjave:

1) forca t?rthore Qy konsiderohet pozitive n?se tenton t? rrotulloj? elementin e rrezes n? shqyrtim n? drejtim t? akrepave t? or?s;

2) momenti i p?rkuljes Mz konsiderohet pozitiv n?se, kur elementi i rrezes ?sht? i p?rkulur, fijet e sip?rme t? elementit jan? t? ngjeshur, dhe fijet e poshtme jan? t? shtrir? (rregulli i ombrell?s).

K?shtu, zgjidhja e problemit t? p?rcaktimit t? forcave t? brendshme gjat? p?rkuljes do t? nd?rtohet sipas planit t? m?posht?m: 1) n? faz?n e par?, duke marr? parasysh kushtet e ekuilibrit t? struktur?s n? t?r?si, p?rcaktojm?, n?se ?sht? e nevojshme, reaksionet e panjohura. i mb?shtet?sve (vini re se p?r nj? rreze konsol, reagimet n? ngulitje mund t? gjenden dhe nuk gjenden n?se marrim parasysh traun nga skaji i lir?); 2) n? faz?n e dyt?, ne zgjedhim seksionet karakteristike t? traut, duke marr? si kufij t? seksioneve pikat e aplikimit t? forcave, pikat e ndryshimit t? form?s ose dimensioneve t? traut, pikat e fiksimit t? traut; 3) n? faz?n e tret?, ne p?rcaktojm? forcat e brendshme n? seksionet e rrezeve, duke marr? parasysh kushtet e ekuilibrit p?r element?t e rrezeve n? secilin prej seksioneve.

10.3. Var?sit? diferenciale n? p?rkulje

Le t? vendosim disa marr?dh?nie midis forcave t? brendshme dhe ngarkesave t? jashtme t? p?rkuljes, si dhe ve?orit? karakteristike t? diagrameve Q dhe M, njohja e t? cilave do t? leht?soj? nd?rtimin e diagrameve dhe do t'ju lejoj? t? kontrolloni korrekt?sin? e tyre. P?r leht?si t? sh?nimit, do t? sh?nojm?: M?Mz, Q?Qy.

Le t? ndajm? nj? element t? vog?l dx n? nj? seksion t? nj? trau me nj? ngarkes? arbitrare n? nj? vend ku nuk ka forca dhe momente t? p?rqendruara. Meqen?se i gjith? trau ?sht? n? ekuilib?r, elementi dx do t? jet? gjithashtu n? ekuilib?r n?n veprimin e forcave t?rthore t? aplikuara ndaj tij, momenteve t? p?rkuljes dhe ngarkes?s s? jashtme. Meqen?se Q dhe M n? p?rgjith?si ndryshojn? s? bashku

boshti i traut, at?her? n? seksionet e elementit dx do t? ket? forca t?rthore Q dhe Q + dQ, si dhe momentet e p?rkuljes M dhe M + dM. Nga gjendja e ekuilibrit t? elementit t? zgjedhur, marrim

E para nga dy ekuacionet e shkruara jep kushtin

Nga ekuacioni i dyt?, duke l?n? pas dore termin q dx (dx/2) si nj? sasi infinite e vog?l e rendit t? dyt?, gjejm?

Duke marr? parasysh shprehjet (10.1) dhe (10.2) s? bashku mund t? marrim

Marr?dh?niet (10.1), (10.2) dhe (10.3) quhen diferenciale var?sit? e D. I. Zhuravsky n? p?rkulje.

Analiza e var?sive diferenciale t? m?sip?rme n? p?rkulje na lejon t? vendosim disa ve?ori (rregulla) p?r nd?rtimin e diagrameve t? momenteve t? p?rkuljes dhe forcave prer?se: a - n? zonat ku nuk ka ngarkes? t? shp?rndar? q, diagramet Q jan? t? kufizuara n? vija t? drejta paralele me baza, dhe diagramet M jan? vija t? drejta t? prirura; b - n? seksionet ku nj? ngarkes? e shp?rndar? q aplikohet n? tra, diagramet Q kufizohen nga vija t? drejta t? pjerr?ta dhe diagramet M kufizohen nga parabola kuadratike.

N? k?t? rast, n?se nd?rtojm? diagramin M "n? nj? fib?r t? shtrir?", at?her? konveksiteti i parabol?s do t? drejtohet n? drejtimin e veprimit t? q, dhe ekstremi do t? vendoset n? pjes?n ku diagrami Q kryq?zon baz?n. linj?; c - n? seksionet ku ushtrohet nj? forc? e p?rqendruar n? rreze, n? diagramin Q do t? ket? k?rcime sipas vler?s dhe n? drejtim t? k?saj force, dhe n? diagramin M ka kthesa, maja e drejtuar n? drejtim t? k?saj. forc?; d - n? seksionet ku nj? moment i p?rqendruar aplikohet n? rreze, nuk do t? ket? ndryshime n? diagramin Q, dhe n? diagramin M do t? ket? k?rcime nga vlera e k?tij momenti; e - n? seksionet ku Q>0 rritet momenti M dhe n? seksionet ku Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Sforcimet normale n? p?rkuljen e past?r t? nj? trau t? drejt?

Le t? shqyrtojm? rastin e nj? p?rkuljeje t? past?r planare t? nj? trau dhe t? nxjerrim nj? formul? p?r p?rcaktimin e sforcimeve normale p?r k?t? rast.

Vini re se n? teorin? e elasticitetit ?sht? e mundur t? merret nj? var?si e sakt? p?r sforcimet normale n? p?rkuljen e past?r, por n?se zgjidhet ky problem me metodat e rezistenc?s s? materialeve, ?sht? e nevojshme t? futen disa supozime.

Ekzistojn? tre hipoteza t? tilla p?r p?rkuljen:

a - hipoteza e seksioneve t? sheshta (hipoteza e Bernulit) - seksionet jan? t? sheshta para deformimit dhe mbeten t? sheshta pas deformimit, por rrotullohen vet?m rreth nj? vije t? caktuar, e cila quhet bosht neutral i seksionit t? traut. N? k?t? rast, fijet e rrezes, t? shtrir? n? nj?r?n an? t? boshtit neutral, do t? shtrihen, dhe nga ana tjet?r, do t? ngjeshen; fijet q? shtrihen n? boshtin neutral nuk e ndryshojn? gjat?sin? e tyre;

b - hipoteza e q?ndrueshm?ris? s? sforcimeve normale - sforcimet q? veprojn? n? t? nj?jt?n distanc? y nga boshti neutral jan? konstante n? t? gjith? gjer?sin? e traut;

c – hipoteza p?r munges?n e presioneve an?sore – fibrat gjat?sore fqinje nuk shtypin nj?ra-tjetr?n.

Ana statike e problemit

P?r t? p?rcaktuar sforcimet n? seksionet kryq t? rrezes, ne konsiderojm?, para s? gjithash, an?t statike t? problemit. Duke zbatuar metod?n e seksioneve mendore dhe duke p?rpiluar ekuacionet e ekuilibrit p?r pjes?n e prer? t? traut, gjejm? forcat e brendshme gjat? p?rkuljes. Si? u tregua m? her?t, e vetmja forc? e brendshme q? vepron n? seksionin e shiritit n? p?rkuljen e past?r ?sht? momenti i p?rkuljes s? brendshme, q? do t? thot? se streset normale t? lidhura me t? do t? lindin k?tu.

Ne gjejm? marr?dh?nien midis forcave t? brendshme dhe sforcimeve normale n? seksionin e traut duke marr? n? konsiderat? sforcimet n? zon?n elementare dA, t? zgjedhura n? seksionin kryq A t? traut n? nj? pik? me koordinatat y dhe z (boshti y drejtohet posht? p?r leht?si e analiz?s):

Si? mund ta shohim, problemi ?sht? i pap?rcaktuar nga brenda statikisht, pasi natyra e shp?rndarjes s? sforcimeve normale n? seksion kryq ?sht? e panjohur. P?r t? zgjidhur problemin, merrni parasysh modelin gjeometrik t? deformimeve.

Ana gjeometrike e problemit

Merrni parasysh deformimin e nj? elementi trau me gjat?si dx t? zgjedhur nga nj? shuf?r p?rkul?se n? nj? pik? arbitrare me koordinat? x. Duke marr? parasysh hipotez?n e pranuar m? par? t? seksioneve t? sheshta, pas p?rkuljes s? seksionit t? traut, kthehemi n? lidhje me boshtin neutral (n.r.) me nj? k?nd df, nd?rsa fibra ab, e cila ?sht? n? distanc? y nga boshti neutral, do t? kthehet n? nj? hark rrethor a1b1, dhe gjat?sia e tij do t? ndryshoj? me disa madh?si. K?tu kujtojm? se gjat?sia e fibrave q? shtrihen n? boshtin neutral nuk ndryshon dhe p?r k?t? arsye harku a0b0 (rrezja e lakimit t? t? cilit e sh?nojm? me r) ka t? nj?jt?n gjat?si me segmentin a0b0 para deformimit a0b0=dx.

Le t? gjejm? deformimin linear relativ ex t? fibr?s ab t? traut t? lakuar.

p?rkulem i quajtur deformim, n? t? cilin boshti i shufr?s dhe t? gjitha fibrat e tij, d.m.th., linjat gjat?sore paralele me boshtin e shufr?s, p?rkulen n?n veprimin e forcave t? jashtme. Rasti m? i thjesht? i p?rkuljes p?rftohet kur forcat e jashtme shtrihen n? nj? plan q? kalon n?p?r boshtin qendror t? shufr?s dhe nuk dalin mbi k?t? bosht. Nj? rast i till? i p?rkuljes quhet p?rkulje t?rthore. Dalloni kthes?n e shesht? dhe t? zhdrejt?.

kthes? e shesht?- nj? rast i till? kur boshti i p?rkulur i shufr?s ndodhet n? t? nj?jtin rrafsh n? t? cilin veprojn? forcat e jashtme.

P?rkulje e zhdrejt? (komplekse).- nj? rast i till? p?rkuljeje, kur boshti i p?rkulur i shufr?s nuk shtrihet n? rrafshin e veprimit t? forcave t? jashtme.

Nj? shuf?r lakimi zakonisht quhet rreze.

Me nj? p?rkulje t?rthore t? shesht? t? trar?ve n? nj? seksion me nj? sistem koordinativ y0x, mund t? ndodhin dy forca t? brendshme - nj? forc? t?rthore Q y dhe nj? moment p?rkuljeje M x; n? at? q? vijon, ne prezantojm? sh?nimin P dhe M. N?se nuk ka forc? t?rthore n? seksionin ose seksionin e traut (Q = 0), dhe momenti i p?rkuljes nuk ?sht? i barabart? me zero ose M ?sht? konst, at?her? nj? kthes? e till? zakonisht quhet past?r.

Forca prer?se n? ?do seksion t? rrezes ?sht? numerikisht e barabart? me shum?n algjebrike t? projeksioneve n? boshtin e t? gjitha forcave (p?rfshir? reaksionet mb?shtet?se) t? vendosura n? nj?r?n an? (?do) t? seksionit.

Momenti i p?rkuljes n? seksionin e rrezes ?sht? numerikisht e barabart? me shum?n algjebrike t? momenteve t? t? gjitha forcave (p?rfshir? reaksionet mb?shtet?se) t? vendosura n? nj?r?n an? (?do) t? seksionit t? t?rhequr n? lidhje me qendr?n e gravitetit t? k?tij seksioni, m? sakt?, n? lidhje me boshtin duke kaluar pingul me rrafshin e vizatimit p?rmes qendr?s s? gravitetit t? seksionit t? vizatuar.

Q-forca p?rfaq?son rezultante t? shp?rndara n? seksion kryq t? brendsh?m sforcimet prer?se, a moment M– shuma e momenteve rreth boshtit qendror t? seksionit X t? brendsh?m streset normale.

Ekziston nj? marr?dh?nie diferenciale midis forcave t? brendshme

i cili p?rdoret n? nd?rtimin dhe verifikimin e diagrameve Q dhe M.

Meqen?se disa nga fijet e rrezes jan? shtrir?, dhe disa jan? t? ngjeshur, dhe kalimi nga tensioni n? ngjeshje ndodh pa probleme, pa k?rcime, n? pjes?n e mesme t? rrezes ka nj? shtres?, fijet e s? cil?s vet?m p?rkulen, por nuk p?rjetojn? asnj? tensioni ose ngjeshja. Nj? shtres? e till? quhet shtres? neutrale. Vija p?rgjat? s? cil?s shtresa neutrale kryq?zohet me seksionin kryq t? traut quhet vij? neutrale th ose boshti neutral seksionet. Linjat neutrale jan? t? lidhura n? boshtin e rrezes.

Vijat e t?rhequra n? sip?rfaqen an?sore t? rrezes pingul me boshtin mbeten t? sheshta kur p?rkulen. K?to t? dh?na eksperimentale b?jn? t? mundur q? t? bazohen p?rfundimet e formulave n? hipotez?n e seksioneve t? sheshta. Sipas k?saj hipoteze, seksionet e traut jan? t? sheshta dhe pingul me boshtin e tij p?rpara se t? p?rkulet, mbeten t? sheshta dhe b?hen pingul me boshtin e p?rkulur t? traut kur ai p?rkulet. Seksioni kryq i rrezes ?sht? i shtremb?ruar gjat? p?rkuljes. P?r shkak t? deformimit t?rthor, dimensionet e seksionit kryq n? zon?n e ngjeshur t? rrezes rriten, dhe n? zon?n e tensionit ato jan? t? ngjeshura.

Supozime p?r nxjerrjen e formulave. Stresi normal

1) Hipoteza e seksioneve t? sheshta ?sht? p?rmbushur.

2) Fijet gjat?sore nuk shtypin nj?ra-tjetr?n dhe, p?r rrjedhoj?, n?n veprimin e sforcimeve normale, funksionojn? tensionet lineare ose ngjeshjet.

3) Deformimet e fibrave nuk varen nga pozicioni i tyre p?rgjat? gjer?sis? s? seksionit. Rrjedhimisht, sforcimet normale, duke ndryshuar p?rgjat? lart?sis? s? seksionit, mbeten t? nj?jta n? t? gjith? gjer?sin?.

4) Rrezja ka t? pakt?n nj? rrafsh simetrie dhe t? gjitha forcat e jashtme q?ndrojn? n? k?t? plan.

5) Materiali i rrezes i bindet ligjit t? Hukut, dhe moduli i elasticitetit n? tension dhe ngjeshje ?sht? i nj?jt?.

6) Raportet nd?rmjet dimensioneve t? traut jan? t? tilla q? ai funksionon n? kushte t? sheshta t? p?rkuljes pa deformime ose p?rdredhje.

Me nj? p?rkulje t? past?r t? nj? trau n? platformat n? seksionin e tij, vet?m streset normale, e p?rcaktuar me formul?n:

ku y ?sht? koordinata e nj? pike arbitrare t? seksionit, e matur nga vija neutrale - boshti kryesor qendror x.

Sforcimet normale t? p?rkuljes p?rgjat? lart?sis? s? seksionit shp?rndahen mbi ligji linear. N? fijet ekstreme, sforcimet normale arrijn? vler?n e tyre maksimale, dhe n? qend?r t? gravitetit, seksionet kryq jan? t? barabarta me zero.

Natyra e diagrameve normale t? stresit p?r seksionet simetrike n? lidhje me vij?n neutrale

Natyra e diagrameve normale t? stresit p?r seksionet q? nuk kan? simetri n? lidhje me vij?n neutrale

Pikat e rrezikshme jan? ato m? t? larg?ta nga vija neutrale.

Le t? zgjedhim nj? pjes?

P?r ?do pik? t? seksionit, le ta quajm? pik? p?r t?, gjendja e forc?s s? traut p?r sforcimet normale ka form?n:

, ku i.d. - kjo ?sht? boshti neutral

kjo ?sht? moduli i seksionit boshtor rreth boshtit neutral. Dimensioni i tij ?sht? cm 3, m 3. Momenti i rezistenc?s karakterizon ndikimin e form?s dhe dimensioneve t? seksionit kryq n? madh?sin? e sforcimeve.

Kushti i forc?s p?r streset normale:

Stresi normal ?sht? i barabart? me raportin e momentit maksimal t? p?rkuljes me modulin e seksionit boshtor n? lidhje me boshtin neutral.

N?se materiali i reziston n? m?nyr? t? pabarabart? shtrirjes dhe ngjeshjes, at?her? duhet t? p?rdoren dy kushte t? forc?s: p?r nj? zon? shtrirjeje me nj? stres t? lejuesh?m t?rheq?s; p?r zon?n e ngjeshjes me sforcim t? lejuesh?m t? shtypjes.

Me p?rkulje t?rthore, trar?t n? platformat n? seksionin e saj veprojn? si normale, dhe tangjentet tensionit.

kthes? e drejt?- ky ?sht? nj? lloj deformimi n? t? cilin dy faktor? t? forc?s s? brendshme lindin n? seksionet kryq t? shufr?s: nj? moment lakimi dhe nj? forc? t?rthore.

P?rkulje e past?r- ky ?sht? nj? rast i ve?ant? i p?rkuljes s? drejtp?rdrejt?, n? t? cil?n ndodh vet?m nj? moment p?rkuljeje n? seksionet kryq t? shufr?s, dhe forca t?rthore ?sht? zero.

Shembull Pure Bend - Komplot CD n? shuf?r AB. Momenti i p?rkuljes?sht? vlera Pa?ifti i forcave t? jashtme q? shkaktojn? p?rkulje. Nga ekuilibri i pjes?s s? shufr?s n? t? majt? t? seksionit kryq mn rrjedh se forcat e brendshme t? shp?rndara n? k?t? seksion jan? statikisht t? barasvlershme me momentin M, i barabart? dhe i kund?rt me momentin e p?rkuljes Pa.

P?r t? gjetur shp?rndarjen e k?tyre forcave t? brendshme n? seksion kryq, ?sht? e nevojshme t? merret parasysh deformimi i shiritit.

N? rastin m? t? thjesht?, shufra ka nj? plan gjat?sor simetrie dhe i n?nshtrohet veprimit t? ?ifteve t? jashtme t? p?rkuljes s? forcave t? vendosura n? k?t? rrafsh. Pastaj kthesa do t? ndodh? n? t? nj?jtin plan.

boshti i shufr?s nn 1?sht? nj? vij? q? kalon n?p?r qendrat e gravitetit t? seksioneve t? saj kryq.

Le t? jet? seksioni kryq i shufr?s nj? drejtk?nd?sh. Vizatoni dy vija vertikale n? fytyrat e saj mm dhe fq. Kur p?rkulen, k?to vija mbeten t? drejta dhe rrotullohen n? m?nyr? q? t? mbeten pingul me fijet gjat?sore t? shufr?s.

Nj? teori e m?tejshme e p?rkuljes bazohet n? supozimin se jo vet?m linjat mm dhe fq, por i gjith? seksioni kryq i shesht? i shufr?s mbetet i shesht? pas p?rkuljes dhe normal me fijet gjat?sore t? shufr?s. Prandaj, kur p?rkulen, seksionet kryq mm dhe fq rrotullohen n? raport me nj?ri-tjetrin rreth boshteve pingul me rrafshin e p?rkuljes (rrafshi i vizatimit). N? k?t? rast, fijet gjat?sore n? an?n konvekse p?rjetojn? tension, dhe fijet n? an?n konkave p?rjetojn? ngjeshje.

sip?rfaqe neutrale?sht? nj? sip?rfaqe q? nuk p?son deformim gjat? p?rkuljes. (Tani ndodhet pingul me vizatimin, boshti i deformuar i shufr?s nn 1 i p?rket k?saj sip?rfaqeje).

Boshti seksional neutral- ky ?sht? kryq?zimi i nj? sip?rfaqe neutrale me ndonj? me ?do seksion kryq (tani i vendosur gjithashtu pingul me vizatimin).

L?reni nj? fije arbitrare t? jet? n? nj? distanc? y nga nj? sip?rfaqe neutrale. r ?sht? rrezja e lakimit t? boshtit t? lakuar. Pika O?sht? qendra e lakimit. Le t? vizatojm? nj? vij? n 1 s 1 paralele mm.ss 1?sht? zgjatja absolute e fibr?s.

Zgjerim relativ e x fibrave

Nga kjo rrjedh se deformimi i fibrave gjat?sore proporcionale me distanc?n y nga sip?rfaqja neutrale dhe n? p?rpjes?tim t? zhdrejt? me rrezen e lakimit r .

Zgjatimi gjat?sor i fibrave t? an?s konvekse t? shufr?s shoq?rohet me shtr?ngim an?sor, dhe shkurtimi gjat?sor i an?s konkave - shtrirje an?sore, si n? rastin e shtrirjes dhe tkurrjes s? thjesht?. P?r shkak t? k?saj, pamja e t? gjitha seksioneve kryq ndryshon, an?t vertikale t? drejtk?nd?shit b?hen t? pjerr?ta. Deformim an?sor z:

m - Raporti Poisson.

Si rezultat i k?tij shtremb?rimi, t? gjitha linjat e drejta t? prerjes t?rthore jan? paralele me boshtin z, jan? t? p?rkulura n? m?nyr? q? t? mbeten normale n? an?t e seksionit. Rrezja e lakimit t? k?saj kurb? R do t? jet? m? shum? se r n? t? nj?jt?n m?nyr? si e x ?sht? m? i madh n? vler? absolute se e z , dhe marrim

K?to deformime t? fibrave gjat?sore korrespondojn? me sforcimet

Tensioni n? ?do fib?r ?sht? proporcional me distanc?n e tij nga boshti neutral. n 1 n 2. Pozicioni i boshtit neutral dhe rrezja e lakimit r jan? dy t? panjohura n? ekuacionin p?r s x - mund t? p?rcaktohet nga kushti q? forcat e shp?rndara n? ?do seksion kryq formojn? nj? pal? forcash q? balancojn? momentin e jasht?m M.

T? gjitha sa m? sip?r jan? gjithashtu t? v?rteta n?se shufra nuk ka nj? plan gjat?sor simetrie n? t? cilin vepron momenti i p?rkuljes, p?rderisa momenti i p?rkuljes vepron n? rrafshin boshtor, i cili p?rmban nj? nga t? dy akset kryesore seksion kryq. K?ta avion? quhen aeroplan?t kryesor? t? p?rkuljes.

Kur ekziston nj? plan simetrie dhe momenti i p?rkuljes vepron n? k?t? rrafsh, devijimi ndodh n? t?. Momentet e forcave t? brendshme rreth boshtit z balanconi momentin e jasht?m M. Momentet e p?rpjekjes n? lidhje me boshtin y jan? shkat?rruar reciprokisht.