Koncepti i piramid?s

P?rkufizimi 1

Nj? figur? gjeometrike e formuar nga nj? shum?k?nd?sh dhe nj? pik? q? nuk shtrihet n? rrafshin q? p?rmban k?t? shum?k?nd?sh, e lidhur me t? gjitha kulmet e shum?k?nd?shit, quhet piramid? (Fig. 1).

Shum?k?nd?shi nga i cili p?rb?het piramida quhet baza e piramid?s, trek?nd?shat q? p?rftohen duke u lidhur me pik?n jan? faqet an?sore t? piramid?s, an?t e trek?nd?shave jan? an?t e piramid?s dhe pika e p?rbashk?t p?r t? gjith?. trek?nd?shat ?sht? maja e piramid?s.

Llojet e piramidave

N? var?si t? numrit t? qosheve n? baz?n e piramid?s, ajo mund t? quhet trek?ndore, kat?rk?ndore, e k?shtu me radh? (Fig. 2).

Figura 2.

Nj? lloj tjet?r piramide ?sht? nj? piramid? e rregullt.

Le t? prezantojm? dhe provojm? vetin? e nj? piramide t? rregullt.

Teorema 1

T? gjitha faqet an?sore t? nj? piramide t? rregullt jan? trek?nd?sha t? barabart? me nj?ri-tjetrin.

D?shmi.

Konsideroni nj? piramid? t? rregullt $n-$gonale me kulm $S$ t? lart?sis? $h=SO$. Le t? p?rshkruajm? nj? rreth rreth baz?s (Fig. 4).

Figura 4

Merrni parasysh trek?nd?shin $SOA$. Nga teorema e Pitagor?s, ne marrim

Natyrisht, ?do skaj an?sor do t? p?rcaktohet n? k?t? m?nyr?. Prandaj, t? gjitha skajet an?sore jan? t? barabarta me nj?ra-tjetr?n, dometh?n?, t? gjitha faqet an?sore jan? trek?nd?sha dyk?nd?sh. Le t? v?rtetojm? se jan? t? barabart? me nj?ri-tjetrin. Meqen?se baza ?sht? nj? shum?k?nd?sh i rregullt, bazat e t? gjitha faqeve an?sore jan? t? barabarta me nj?ra-tjetr?n. Rrjedhimisht, t? gjitha faqet an?sore jan? t? barabarta sipas shenj?s III t? barazis? s? trek?nd?shave.

Teorema ?sht? v?rtetuar.

Tani prezantojm? p?rkufizimin e m?posht?m n? lidhje me konceptin e nj? piramide t? rregullt.

P?rkufizimi 3

Apotema e nj? piramide t? rregullt ?sht? lart?sia e faqes an?sore t? saj.

Natyrisht, nga teorema 1, t? gjitha apotemat jan? t? barabarta.

Teorema 2

Sip?rfaqja an?sore e nj? piramide t? rregullt p?rcaktohet si produkt i gjysm?perimetrit t? baz?s dhe apotem?s.

D?shmi.

Le t? sh?nojm? an?n e baz?s s? piramid?s $n-$qymyri si $a$ dhe apotem?n si $d$. Prandaj, zona e fytyr?s an?sore ?sht? e barabart? me

Meqen?se, nga teorema 1, t? gjitha an?t jan? t? barabarta, at?her?

Teorema ?sht? v?rtetuar.

Nj? tjet?r lloj piramide ?sht? piramida e cunguar.

P?rkufizimi 4

N?se nj? rrafsh paralel me baz?n e tij t?rhiqet p?rmes nj? piramide t? zakonshme, at?her? figura e formuar midis k?tij rrafshi dhe rrafshit t? baz?s quhet piramid? e cunguar (Fig. 5).

Figura 5. Piramida e cunguar

Faqet an?sore t? piramid?s s? cunguar jan? trapezoide.

Teorema 3

Sip?rfaqja e sip?rfaqes an?sore t? nj? piramide t? rregullt t? cunguar p?rcaktohet si produkt i shum?s s? gjysm?perimetrave t? bazave dhe apotem?s.

D?shmi.

Le t'i sh?nojm? an?t e bazave t? piramid?s $n-$qymyrit p?rkat?sisht me $a\ dhe\ b$ dhe apotem?n me $d$. Prandaj, zona e fytyr?s an?sore ?sht? e barabart? me

Meqen?se t? gjitha an?t jan? t? barabarta, at?her?

Teorema ?sht? v?rtetuar.

Shembull i detyr?s

Shembulli 1

Gjeni sip?rfaqen e sip?rfaqes an?sore t? nj? piramide trek?ndore t? cunguar n?se ajo ?sht? marr? nga nj? piramid? e rregullt me an?n e baz?s 4 dhe apotem?n 5 duke u prer? nga nj? rrafsh q? kalon p?rmes vij?s s? mesme t? faqeve an?sore.

Zgjidhje.

Sipas teorem?s s? linj?s mesatare, marrim se baza e sip?rme e piramid?s s? cunguar ?sht? e barabart? me $4\cdot \frac(1)(2)=2$, dhe apotema ?sht? e barabart? me $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

M? pas, nga teorema 3, marrim

Ky video tutorial do t'i ndihmoj? p?rdoruesit t? marrin nj? ide rreth tem?s s? Piramid?s. Piramida e sakt?. N? k?t? m?sim, do t? njihemi me konceptin e nj? piramide, do t'i japim nj? p?rkufizim. Konsideroni se ?far? ?sht? nj? piramid? e rregullt dhe ?far? karakteristikash ka. Pastaj v?rtetojm? teorem?n n? sip?rfaqen an?sore t? nj? piramide t? rregullt.

N? k?t? m?sim, do t? njihemi me konceptin e nj? piramide, do t'i japim nj? p?rkufizim.

Konsideroni nj? shum?k?nd?sh A 1 A 2...Nj? n, i cili shtrihet n? rrafshin a, dhe nj? pik? P, e cila nuk shtrihet n? rrafshin a (Fig. 1). Le t? lidhim pik?n P me majat A 1, A 2, A 3, … Nj? n. Marr n trek?nd?shat: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R e k?shtu me radh?.

P?rkufizimi. Polyedron RA 1 A 2 ... A n, e p?rb?r? nga n-gon A 1 A 2...Nj? n dhe n trek?nd?shat RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, thirri n- piramida e qymyrit. Oriz. nj?.

Oriz. nj?

Konsideroni nj? piramid? kat?rk?ndore PABCD(Fig. 2).

R- maja e piramid?s.

ABCD- baza e piramid?s.

RA- brinj? an?sore.

AB- buza e baz?s.

Nga nj? pik? R bie pingulen RN n? rrafshin e tok?s ABCD. Vizatuar pingul ?sht? lart?sia e piramid?s.

Oriz. 2

Sip?rfaqja e p?rgjithshme e piramid?s p?rb?het nga sip?rfaqja an?sore, dometh?n? sip?rfaqja e t? gjitha fytyrave an?sore dhe zona e baz?s:

S e plot? \u003d ana S + S kryesore

Nj? piramid? quhet e sakt? n?se:

• baza e tij ?sht? nj? shum?k?nd?sh i rregullt;
• segmenti q? lidh maj?n e piramid?s me qendr?n e baz?s ?sht? lart?sia e saj.

Shpjegim mbi shembullin e nj? piramide t? rregullt kat?rk?ndore

Konsideroni nj? piramid? t? rregullt kat?rk?ndore PABCD(Fig. 3).

R- maja e piramid?s. baza e piramid?s ABCD- nj? kat?rk?nd?sh i rregullt, dometh?n? nj? katror. Pika O, pika e kryq?zimit t? diagonaleve, ?sht? qendra e katrorit. Do t? thot?, RO?sht? lart?sia e piramid?s.

Oriz. 3

Shpjegim: n? t? djatht? n-gon, qendra e rrethit t? brendashkruar dhe qendra e rrethit t? rrethuar p?rputhen. Kjo qend?r quhet qendra e shum?k?nd?shit. Ndonj?her? ata thon? se maja ?sht? projektuar n? qend?r.

Lart?sia e faqes an?sore t? nj? piramide t? rregullt, e t?rhequr nga maja e saj, quhet apotem? dhe sh?nohet h a.

1. t? gjitha skajet an?sore t? nj? piramide t? rregullt jan? t? barabarta;

2. faqet an?sore jan? trek?nd?sha t? barabart? dyk?nd?sh.

Le t'i v?rtetojm? k?to veti duke p?rdorur shembullin e nj? piramide t? rregullt kat?rk?ndore.

E dh?n?: RABCD- piramida e rregullt kat?rk?ndore,

ABCD- katror,

RO?sht? lart?sia e piramid?s.

Provoj:

1. RA = PB = PC = PD

2.?ATP = ?BCP = ?CDP = ?DAP Shih Fig. kat?r.

Oriz. kat?r

D?shmi.

RO?sht? lart?sia e piramid?s. Dometh?n? drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe si rrjedhim i drejtp?rdrejt? AO, VO, SO dhe B?J i shtrir? n? t?. Pra trek?nd?shat ROA, ROV, ROS, ROD- drejtk?nd?she.

Konsideroni nj? katror ABCD. Nga vetit? e nj? katrori rrjedh se AO = BO = CO = B?J.

Pastaj trek?nd?shat k?nddrejt? ROA, ROV, ROS, ROD k?mb?n RO- t? p?rgjithshme dhe k?mb?t AO, VO, SO dhe B?J t? barabart?, pra k?ta trek?nd?sha jan? t? barabart? n? dy k?mb?. Nga barazia e trek?nd?shave rrjedh barazia e segmenteve, RA = PB = PC = PD. Pika 1 ?sht? v?rtetuar.

Segmentet AB dhe dielli jan? t? barabarta sepse jan? brinj? t? t? nj?jtit katror, RA = RV = PC. Pra trek?nd?shat AVR dhe VCR - isosceles dhe t? barabart? n? tre an?t.

N? m?nyr? t? ngjashme, marrim se trek?nd?shat ABP, PKK, CDP, DAP jan? dyk?nd?sh dhe t? barabart?, gj? q? k?rkohej t? v?rtetohej n? pik?n 2.

Sip?rfaqja e sip?rfaqes an?sore t? nj? piramide t? rregullt ?sht? e barabart? me gjysm?n e produktit t? perimetrit t? baz?s dhe apotem?s:

P?r v?rtetim, ne zgjedhim nj? piramid? t? rregullt trek?ndore.

E dh?n?: RAVS?sht? nj? piramid? e rregullt trek?ndore.

AB = BC = AC.

RO- lart?sia.

Provoj: . Shih Fig. 5.

Oriz. 5

D?shmi.

RAVS?sht? nj? piramid? e rregullt trek?ndore. Kjo eshte AB= AC = BC. Le O- qendra e trek?nd?shit ABC, pastaj RO?sht? lart?sia e piramid?s. Baza e piramid?s ?sht? nj? trek?nd?sh barabrinj?s. ABC. vini re, se .

trek?nd?shat RAV, RVS, RSA- trek?nd?sha t? barabart? dyk?nd?sh (sipas vetis?). Nj? piramid? trek?ndore ka tre faqe an?sore: RAV, RVS, RSA. Pra, zona e sip?rfaqes an?sore t? piramid?s ?sht?:

Ana S = 3S RAB

Teorema ?sht? v?rtetuar.

Rrezja e nj? rrethi t? gdhendur n? baz?n e nj? piramide t? rregullt kat?rk?ndore ?sht? 3 m, lart?sia e piramid?s ?sht? 4 m. Gjeni sip?rfaqen e sip?rfaqes an?sore t? piramid?s.

E dh?n?: piramid? e rregullt kat?rk?ndore ABCD,

ABCD- katror,

r= 3 m,

RO- lart?sia e piramid?s,

RO= 4 m.

Gjej: Ana S. Shih Fig. 6.

Oriz. 6

Zgjidhje.

Sipas teorem?s s? provuar,.

Gjeni fillimisht an?n e baz?s AB. Ne e dim? se rrezja e nj? rrethi t? gdhendur n? baz?n e nj? piramide t? rregullt kat?rk?ndore ?sht? 3 m.

M? pas, m.

Gjeni perimetrin e katrorit ABCD me nj? an? prej 6 m:

Konsideroni nj? trek?nd?sh BCD. Le M- ana e mesme DC. Sepse O- mes BD, pastaj (m).

Trek?nd?shi DPC- izosceles. M- mes DC. Kjo eshte, RM- mesatarja, dhe si rrjedhim lart?sia n? trek?nd?sh DPC. Pastaj RM- apotema e piramid?s.

RO?sht? lart?sia e piramid?s. Pastaj, drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe si rrjedhim i drejtp?rdrejt? OM i shtrir? n? t?. Le t? gjejm? nj? apotem? RM nga nj? trek?nd?sh k?nddrejt? ROM.

Tani mund t? gjejm? sip?rfaqen an?sore t? piramid?s:

P?rgjigju: 60 m2.

Rrezja e nj? rrethi t? rrethuar pran? baz?s s? nj? piramide t? rregullt trek?ndore ?sht? m. Sip?rfaqja an?sore ?sht? 18 m 2. Gjeni gjat?sin? e apotem?s.

E dh?n?: ABCP- piramida e rregullt trek?ndore,

AB = BC = SA,

R= m,

Ana S = 18 m 2.

Gjej: . Shih Fig. 7.

Oriz. 7

Zgjidhje.

N? nj? trek?nd?sh k?nddrejt? ABC duke pasur parasysh rrezen e rrethit t? rrethuar. Le t? gjejm? nj? an? AB ky trek?nd?sh duke p?rdorur teorem?n e sinusit.

Duke ditur brinj?n e nj? trek?nd?shi t? rregullt (m), gjejm? perimetrin e tij.

Sipas teorem?s mbi sip?rfaqen e sip?rfaqes an?sore t? nj? piramide t? rregullt, ku h a- apotema e piramid?s. Pastaj:

P?rgjigju: 4 m.

Pra, ne shqyrtuam se ?far? ?sht? nj? piramid?, ?far? ?sht? nj? piramid? e rregullt, ne v?rtetuam teorem?n n? sip?rfaqen an?sore t? nj? piramide t? rregullt. N? m?simin e ardhsh?m do t? njihemi me piramid?n e cunguar.

Bibliografi

1. Gjeometria. Klasa 10-11: nj? lib?r shkollor p?r student?t e institucioneve arsimore (nivelet baz? dhe t? profilit) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Botimi i 5-t?, Rev. dhe shtes? - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill.
2. Gjeometria. Klasa 10-11: Nj? lib?r shkollor p?r institucionet arsimore t? p?rgjithshme / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 f.: ill.
3. Gjeometria. Klasa 10: Lib?r m?suesi p?r institucionet arsimore t? p?rgjithshme me studim t? thelluar dhe profil t? matematik?s / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Botimi i 6-t?, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 f.: ill.

1. Portali n? internet "Yaklass" ()
2. Portali n? internet "Festivali i Ideve Pedagogjike "I Shtatori i Par?" ()
3. Portali n? internet "Slideshare.net" ()

Detyre shtepie

1. A mund t? jet? nj? shum?k?nd?sh i rregullt baza e nj? piramide t? parregullt?
2. V?rtetoni se skajet jo t? kryq?zuara t? nj? piramide t? rregullt jan? pingul.
3. Gjeni vler?n e k?ndit dihedral n? an?n e baz?s s? nj? piramide t? rregullt kat?rk?ndore, n?se apotema e piramid?s ?sht? e barabart? me faqen e baz?s s? saj.
4. RAVS?sht? nj? piramid? e rregullt trek?ndore. Nd?rtoni k?ndin linear t? k?ndit dihedral n? baz?n e piramid?s.

Udh?zim

N? rast se baza piramidat shtrihet nj? katror, dihet gjat?sia e diagonales s? tij, si dhe gjat?sia e skajit t? k?saj piramidat, pastaj lart?sia kjo piramidat mund t? shprehet nga teorema e Pitagor?s, sepse trek?nd?shi q? formohet nga buza piramidat, dhe gjysma e diagonales n? baz? ?sht? nj? trek?nd?sh k?nddrejt?.
Teorema e Pitagor?s thot? se katrori i hipotenuz?s n? nj? drejtk?nd?sh ?sht? i barabart? n? madh?si me shum?n e katror?ve t? k?mb?ve t? saj (a? = b? + c?). buz? piramidat- hipotenuza, nj?ra nga k?mb?t ?sht? gjysma e diagonales s? katrorit. Pastaj gjat?sia e k?mb?s s? panjohur (lart?sia) gjendet me formulat:
b? = a? - c?;
c? = a? - b?.

P?r t'i b?r? t? dyja situatat sa m? t? qarta dhe t? kuptueshme, mund t? merrni parasysh nj? ?ift.
Shembulli 1: Zona baz? piramidat 46 cm?, v?llimi i tij ?sht? 120 cm?. Bazuar n? k?to t? dh?na, lart?sia piramidat e vendosur k?shtu:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
P?rgjigje: lart?sia e nj? t? dh?n? piramidat do t? jet? af?rsisht 7.83 cm
Shembulli 2: piramidat, n? baz?n e t? cilit shtrihet nj? shum?k?nd?sh - nj? katror, diagonalja e tij ?sht? 14 cm, gjat?sia e skajit ?sht? 15 cm. Sipas k?tyre t? dh?nave, p?r t? gjetur lart?sia piramidat, ju duhet t? p?rdorni formul?n e m?poshtme (e cila, si pasoj? e teorem?s s? Pitagor?s):
h? = 15? - 14?
h? = 225 - 196 = 29
h = ?29 cm
P?rgjigje: lart?sia e nj? t? dh?n? piramidat?sht? ?29 cm ose af?rsisht 5.4 cm

sh?nim

N?se n? baz?n e piramid?s ka nj? katror ose nj? shum?k?nd?sh tjet?r t? rregullt, at?her? kjo piramid? mund t? quhet e rregullt. Nj? piramid? e till? ka nj? num?r karakteristikash:
brinj?t e saj an?sore jan? t? barabarta;
faqet e tij jan? trek?nd?sha dyk?nd?sh, t? cil?t jan? t? barabart? me nj?ri-tjetrin;
pran? nj? piramide t? till?, mund t? p?rshkruhet nj? sfer?, si dhe t? gdhendet at?.

Burimet:

• Piramida e sakt?

Piramida ?sht? nj? figur?, n? baz?n e s? cil?s shtrihet nj? shum?k?nd?sh, nd?rsa faqet e saj jan? trek?nd?sha me nj? kulm t? p?rbashk?t p?r t? gjith?. N? problemet tipike, shpesh k?rkohet t? nd?rtohet dhe t? p?rcaktohet gjat?sia e nj? pingule t? t?rhequr nga nj? kulm. piramidat n? rrafshin e baz?s s? saj. Gjat?sia e k?tij segmenti quhet lart?si piramidat.

Do t'ju duhet

• - sundimtar
• - laps
• - busulla

Udh?zim

P?r t? kryer, nd?rtoni nj? piramid? n? p?rputhje me gjendjen e problemit. P?r shembull, p?r t? nd?rtuar nj? kat?rk?nd?sh t? rregullt, duhet t? vizatoni nj? figur? n? m?nyr? q? t? 6 skajet t? jen? t? barabarta me nj?ra-tjetr?n. N?se keni nevoj? p?r t? nd?rtuar lart?sia kat?rk?nd?she, at?her? vet?m 4 skajet e baz?s duhet t? jen? t? barabarta. At?her? skajet e faqeve an?sore mund t? nd?rtohen t? pabarabarta me skajet e shum?k?nd?shit. Em?rtoni piramid?n, duke p?rcaktuar t? gjitha kulmet me shkronja latine. P?r shembull, p?r piramidat me nj? trek?nd?sh n? baz?, mund t? zgjidhni A, B, C (p?r baz?n), S (p?r pjes?n e sip?rme). N?se p?rmasat specifike t? skajeve jan? t? specifikuara n? kusht, at?her? kur nd?rtoni nj? figur?, vazhdoni nga k?to vlera.

P?r t? filluar, zgjidhni me kusht me ndihm?n e nj? busull, duke prekur nga brenda t? gjitha skajet e poligonit. N?se piramida, at?her? pika (quajeni, p?r shembull, H) n? baz? piramidat, n? t? cil?n bie lart?sia, duhet t? korrespondoj? me qendr?n e rrethit t? gdhendur n? baz?n e duhur piramidat. Qendra do t? korrespondoj? me nj? pik? t? barabart? nga ?do pik? tjet?r n? rreth. N?se lidhim kulmin piramidat S me qend?r t? rrethit H, at?her? segmenti SH do t? jet? lart?sia piramidat. N? t? nj?jt?n koh?, mbani mend se nj? rreth mund t? futet n? nj? kat?rk?nd?sh, shumat e an?ve t? kund?rta t? t? cilit jan? t? nj?jta. Kjo vlen p?r katrorin dhe rombin. N? k?t? rast, pika H do t? shtrihet n? kat?rk?nd?sh. P?r ?do trek?nd?sh, ?sht? e mundur t? futet dhe t? p?rshkruhet nj? rreth.

P?r t? nd?rtuar lart?sia piramidat, p?rdorni nj? busull p?r t? vizatuar nj? rreth dhe m? pas p?rdorni nj? vizore p?r t? lidhur qendr?n e tij H me kulmin S. SH ?sht? lart?sia e d?shiruar. N?se n? baz? piramidat SABC ?sht? nj? figur? e pavlefshme, at?her? lart?sia do t? lidh? kulmin piramidat me qend?r t? rrethit n? t? cilin ?sht? brendashkruar shum?k?nd?shi i baz?s. T? gjitha kulmet e poligonit shtrihen n? nj? rreth t? till?. N? k?t? rast, ky segment do t? jet? pingul me rrafshin e baz?s piramidat. Ju mund t? p?rshkruani nj? rreth rreth nj? kat?rk?nd?shi n?se shuma e k?ndeve t? kund?rta ?sht? 180o. At?her? qendra e nj? rrethi t? till? do t? shtrihet n? kryq?zimin e diagonaleve t? p?rkat?ses

P?rkufizimi. Fytyra an?sore- ky ?sht? nj? trek?nd?sh n? t? cilin nj? k?nd shtrihet n? maj? t? piramid?s, dhe ana e kund?rt e saj p?rkon me an?n e baz?s (poligonin).

P?rkufizimi. Brinj? an?sore jan? an?t e p?rbashk?ta t? faqeve an?sore. Nj? piramid? ka aq skaj sa ka qoshe n? nj? shum?k?nd?sh.

P?rkufizimi. lart?sia e piramid?s?sht? nj? pingul i r?n? nga maja n? baz?n e piramid?s.

P?rkufizimi. Apotem?- kjo ?sht? pingulja e faqes an?sore t? piramid?s, e ulur nga maja e piramid?s n? an?n e baz?s.

P?rkufizimi. Seksioni diagonal- kjo ?sht? nj? seksion i piramid?s nga nj? aeroplan q? kalon n?p?r maj?n e piramid?s dhe diagonalen e baz?s.

P?rkufizimi. Piramida e sakt?- Kjo ?sht? nj? piramid? n? t? cil?n baza ?sht? nj? shum?k?nd?sh i rregullt, dhe lart?sia zbret n? qend?r t? baz?s.

V?llimi dhe sip?rfaqja e piramid?s

Formula. v?llimi i piramid?s p?rmes sip?rfaqes dhe lart?sis? s? baz?s:

vetit? e piramid?s

N?se t? gjitha skajet an?sore jan? t? barabarta, at?her? nj? rreth mund t? rrethohet rreth baz?s s? piramid?s, dhe qendra e baz?s p?rkon me qendr?n e rrethit. Gjithashtu, pingulja e r?n? nga lart kalon p?rmes qendr?s s? baz?s (rrethit).

N?se t? gjitha brinj?t an?sore jan? t? barabarta, at?her? ato jan? t? prirura n? rrafshin baz? n? t? nj?jtat k?nde.

Brinj?t an?sore jan? t? barabarta kur ato formojn? k?nde t? barabarta me rrafshin baz?, ose n?se mund t? p?rshkruhet nj? rreth rreth baz?s s? piramid?s.

N?se faqet an?sore jan? t? prirura n? rrafshin e baz?s n? nj? k?nd, at?her? nj? rreth mund t? gdhendet n? baz?n e piramid?s, dhe maja e piramid?s projektohet n? qend?r t? saj.

N?se faqet an?sore jan? t? prirura nga rrafshi baz? n? nj? k?nd, at?her? apotemat e faqeve an?sore jan? t? barabarta.

Vetit? e nj? piramide t? rregullt

1. Maja e piramid?s ?sht? e barabart? nga t? gjitha cepat e baz?s.

2. T? gjitha skajet an?sore jan? t? barabarta.

3. T? gjitha brinj?t an?sore jan? t? prirura n? t? nj?jtat k?nde me baz?n.

4. Apotemat e t? gjitha faqeve an?sore jan? t? barabarta.

5. Sip?rfaqet e t? gjitha faqeve an?sore jan? t? barabarta.

6. T? gjitha fytyrat kan? k?nde t? nj?jta dihedrale (t? sheshta).

7. Nj? sfer? mund t? p?rshkruhet rreth piramid?s. Qendra e sfer?s s? p?rshkruar do t? jet? pika e kryq?zimit t? pinguleve q? kalojn? n? mes t? skajeve.

8. Nj? sfer? mund t? gdhendet n? nj? piramid?. Qendra e sfer?s s? brendashkruar do t? jet? pika e kryq?zimit t? p?rgjysmuesve q? dalin nga k?ndi midis skajit dhe baz?s.

9. N?se qendra e sfer?s s? brendashkruar p?rkon me qendr?n e sfer?s s? rrethuar, at?her? shuma e k?ndeve t? sheshta n? kulm ?sht? e barabart? me p ose anasjelltas, nj? k?nd ?sht? i barabart? me p / n, ku n ?sht? numri t? k?ndeve n? baz?n e piramid?s.

Lidhja e piramid?s me sfer?n

Nj? sfer? mund t? p?rshkruhet rreth piramid?s kur n? baz?n e piramid?s shtrihet nj? shum?faq?sh rreth t? cilit mund t? p?rshkruhet nj? rreth (nj? kusht i nevojsh?m dhe i mjaftuesh?m). Qendra e sfer?s do t? jet? pika e kryq?zimit t? planeve q? kalojn? pingul p?rmes mesit t? skajeve an?sore t? piramid?s.

Nj? sfer? mund t? p?rshkruhet gjithmon? rreth ?do piramide trek?ndore ose t? rregullt.

Nj? sfer? mund t? futet n? nj? piramid? n?se rrafshet p?rgjysmuese t? k?ndeve t? brendshme diedrale t? piramid?s kryq?zohen n? nj? pik? (kusht i domosdosh?m dhe i mjaftuesh?m). Kjo pik? do t? jet? qendra e sfer?s.

Lidhja e piramid?s me konin

Nj? kon quhet i brendashkruar n? nj? piramid? n?se kulmet e tyre p?rkojn? dhe baza e konit ?sht? e gdhendur n? baz?n e piramid?s.

Nj? kon mund t? futet n? nj? piramid? n?se apotemat e piramid?s jan? t? barabarta.

Nj? kon thuhet se ?sht? i rrethuar rreth nj? piramide n?se kulmet e tyre p?rkojn? dhe baza e konit ?sht? e rrethuar rreth baz?s s? piramid?s.

Nj? kon mund t? p?rshkruhet rreth nj? piramide n?se t? gjitha skajet an?sore t? piramid?s jan? t? barabarta me nj?ra-tjetr?n.

Lidhja e nj? piramide me nj? cilind?r

Nj? piramid? thuhet se ?sht? e gdhendur n? nj? cilind?r n?se maja e piramid?s shtrihet n? nj?r?n baz? t? cilindrit, dhe baza e piramid?s ?sht? e gdhendur n? nj? baz? tjet?r t? cilindrit.

Nj? cilind?r mund t? rrethohet rreth nj? piramide n?se nj? rreth mund t? rrethohet rreth baz?s s? piramid?s.

P?rkufizimi. Piramida e cunguar (prizmi piramidal)- Ky ?sht? nj? poliedron q? ndodhet midis baz?s s? piramid?s dhe nj? rrafshi t? seksionit paralel me baz?n. K?shtu, piramida ka nj? baz? t? madhe dhe nj? baz? m? t? vog?l e cila ?sht? e ngjashme me at? m? t? madhe. Faqet an?sore jan? trapezoide.

P?rkufizimi. Piramida trek?ndore (tetrahedron)- kjo ?sht? nj? piramid? n? t? cil?n tre fytyrat dhe baza jan? trek?nd?sha arbitrare.

Nj? kat?rk?ndor ka kat?r fytyra dhe kat?r kulme dhe gjasht? skaje, ku ?do dy skaj nuk ka kulme t? p?rbashk?ta, por nuk preken.

?do kulm p?rb?het nga tre faqe dhe skaje q? formohen k?ndi trek?ndor.

Quhet segmenti q? lidh kulmin e tetraedrit me qendr?n e faqes s? kund?rt mediana e tetraedrit(GM).

Bimedian quhet segment q? lidh mesin e skajeve t? kund?rta q? nuk preken (KL).

T? gjith? bimedian?t dhe median?t e nj? tetraedri kryq?zohen n? nj? pik? (S). N? k?t? rast, bimediat ndahen p?rgjysm?, dhe mesataret n? nj? raport 3: 1 duke filluar nga lart.

P?rkufizimi. piramid? e prirur?sht? nj? piramid? n? t? cil?n nj?ra nga skajet formon nj? k?nd t? mpir? (v) me baz?n.

P?rkufizimi. Piramid? drejtk?nd?she?sht? nj? piramid? n? t? cil?n nj?ra nga faqet an?sore ?sht? pingul me baz?n.

P?rkufizimi. Piramida akute me k?nd?sht? nj? piramid? n? t? cil?n apotema ?sht? m? shum? se gjysma e gjat?sis? s? an?s s? baz?s.

P?rkufizimi. piramid? e mpir??sht? nj? piramid? n? t? cil?n apotema ?sht? m? e vog?l se gjysma e gjat?sis? s? an?s s? baz?s.

P?rkufizimi. tetraedron i rregullt Nj? kat?rk?nd?sh kat?r faqet e t? cilit jan? trek?nd?sha barabrinj?s. ?sht? nj? nga pes? shum?k?nd?shat e rregullt. N? nj? kat?rk?ndor t? rregullt, t? gjith? k?ndet dihedral (midis faqeve) dhe k?ndet trek?nd?sh (n? nj? kulm) jan? t? barabart?.

P?rkufizimi. Kat?rk?nd?sh drejtk?ndor quhet nj? kat?rk?ndor i cili ka nj? k?nd t? drejt? midis tre skajeve n? kulm (skajet jan? pingul). Formohen tre fytyra k?nd trek?ndor drejtk?ndor dhe faqet jan? trek?nd?sha k?nddrejt?, dhe baza ?sht? nj? trek?nd?sh arbitrar. Apotema e ?do fytyre ?sht? e barabart? me gjysm?n e an?s s? baz?s mbi t? cil?n bie apotema.

P?rkufizimi. Tetraedri izohedral Quhet nj? kat?rk?nd?sh n? t? cilin faqet an?sore jan? t? barabarta me nj?ra-tjetr?n, dhe baza ?sht? nj? trek?nd?sh i rregullt. Fytyrat e nj? kat?rk?nd?shi t? till? jan? trek?nd?sha dyk?nd?sh.

P?rkufizimi. Tetraedri ortocentrik quhet nj? kat?rk?ndor n? t? cilin t? gjitha lart?sit? (perpendikular?t) q? jan? ulur nga maja n? faqen e kund?rt kryq?zohen n? nj? pik?.

P?rkufizimi. piramida e yjeve Nj? shum?faq?sh, baza e t? cilit ?sht? nj? yll quhet.

P?rkufizimi. Bipiramida- nj? poliedron i p?rb?r? nga dy piramida t? ndryshme (piramidat gjithashtu mund t? priten), q? kan? nj? baz? t? p?rbashk?t dhe kulmet shtrihen n? an?t e kund?rta t? planit baz?.

Ne vazhdojm? t? shqyrtojm? detyrat e p?rfshira n? provim n? matematik?. Tashm? kemi studiuar problema ku jepet kushti dhe k?rkohet gjetja e distanc?s nd?rmjet dy pikave t? dh?na ose k?ndit.

Nj? piramid? ?sht? nj? shum?k?nd?sh baza e t? cilit ?sht? nj? shum?k?nd?sh, faqet e tjera jan? trek?nd?sha dhe ato kan? nj? kulm t? p?rbashk?t.

Nj? piramid? e rregullt ?sht? nj? piramid? n? baz?n e s? cil?s shtrihet nj? shum?k?nd?sh i rregullt, dhe maja e saj ?sht? projektuar n? qend?r t? baz?s.

Nj? piramid? e rregullt kat?rk?ndore - baza ?sht? nj? katror.Maja e piramid?s ?sht? projektuar n? pik?n e kryq?zimit t? diagonaleve t? baz?s (katrorit).

ML - apotem?
?MLO - k?nd dihedral n? baz?n e piramid?s
?MCO - k?ndi midis skajit an?sor dhe rrafshit t? baz?s s? piramid?s

N? k?t? artikull, ne do t? shqyrtojm? detyrat p?r zgjidhjen e piramid?s s? sakt?. K?rkohet t? gjendet ndonj? element, sip?rfaqja an?sore, v?llimi, lart?sia. Sigurisht, duhet t? dini teorem?n e Pitagor?s, formul?n p?r sip?rfaqen e sip?rfaqes an?sore t? piramid?s, formul?n p?r gjetjen e v?llimit t? piramid?s.

N? artikull « » jan? paraqitur formula q? jan? t? nevojshme p?r zgjidhjen e problemeve n? stereometri. Pra, detyrat jan?:

SABCD pika O- qend?r baz?S kulm, K?SHTU Q? = 51, AC= 136. Gjeni skajin an?sorSC.

N? k?t? rast, baza ?sht? nj? katror. Kjo do t? thot? se diagonalet AC dhe BD jan? t? barabarta, ato kryq?zohen dhe p?rgjysmohen n? pik?n e kryq?zimit. Vini re se n? nj? piramid? t? rregullt, lart?sia e ulur nga maja e saj kalon p?rmes qendr?s s? baz?s s? piramid?s. Pra SO ?sht? lart?sia dhe trek?nd?shiKOSdrejtk?nd?she. Pastaj nga teorema e Pitagor?s:

Si t? merrni rr?nj?n e nj? numri t? madh.

P?rgjigje: 85

Vendosni vet?:

N? nj? piramid? t? rregullt kat?rk?nd?she SABCD pika O- qend?r baz? S kulm, K?SHTU Q? = 4, AC= 6. Gjeni nj? skaj an?sor SC.

N? nj? piramid? t? rregullt kat?rk?nd?she SABCD pika O- qend?r baz? S kulm, SC = 5, AC= 6. Gjeni gjat?sin? e segmentit K?SHTU Q?.

N? nj? piramid? t? rregullt kat?rk?nd?she SABCD pika O- qend?r baz? S kulm, K?SHTU Q? = 4, SC= 5. Gjeni gjat?sin? e segmentit AC.

SABC R- mesi i brinj?s para Krishtit, S- lart?. Dihet se AB= 7, dhe SR= 16. Gjeni sip?rfaqen an?sore.

Sip?rfaqja e sip?rfaqes an?sore t? nj? piramide t? rregullt trek?ndore ?sht? e barabart? me gjysm?n e produktit t? perimetrit t? baz?s dhe apotem?s (apotema ?sht? lart?sia e faqes an?sore t? nj? piramide t? rregullt, e t?rhequr nga maja e saj):

Ose mund t? thuash k?t?: sip?rfaqja e sip?rfaqes an?sore t? piramid?s ?sht? e barabart? me shum?n e sip?rfaqeve t? tre fytyrave an?sore. Faqet an?sore n? nj? piramid? t? rregullt trek?ndore jan? trek?nd?sha me sip?rfaqe t? barabart?. N? k?t? rast:

P?rgjigje: 168

Vendosni vet?:

N? nj? piramid? t? rregullt trek?ndore SABC R- mesi i brinj?s para Krishtit, S- lart?. Dihet se AB= 1, dhe SR= 2. Gjeni sip?rfaqen e sip?rfaqes an?sore.

N? nj? piramid? t? rregullt trek?ndore SABC R- mesi i brinj?s para Krishtit, S- lart?. Dihet se AB= 1, dhe sip?rfaqja an?sore ?sht? 3. Gjeni gjat?sin? e segmentit SR.

N? nj? piramid? t? rregullt trek?ndore SABC L- mesi i brinj?s para Krishtit, S- lart?. Dihet se SL= 2, dhe sip?rfaqja an?sore ?sht? 3. Gjeni gjat?sin? e segmentit AB.

N? nj? piramid? t? rregullt trek?ndore SABC M. Sip?rfaqja e nj? trek?nd?shi ABC?sht? 25, v?llimi i piramid?s ?sht? 100. Gjeni gjat?sin? e segmentit ZNJ.

Baza e piramid?s ?sht? nj? trek?nd?sh barabrinj?s. Kjo ?sht? arsyeja pse M?sht? qendra e baz?s, dheZNJ- lart?sia e nj? piramide t? rregulltSABC. V?llimi i Piramid?s SABC barazohet: inspekto zgjidhjen

N? nj? piramid? t? rregullt trek?ndore SABC medianat e baz?s kryq?zohen n? nj? pik? M. Sip?rfaqja e nj? trek?nd?shi ABC eshte 3, ZNJ= 1. Gjeni v?llimin e piramid?s.

N? nj? piramid? t? rregullt trek?ndore SABC medianat e baz?s kryq?zohen n? nj? pik? M. V?llimi i piramid?s ?sht? 1, ZNJ= 1. Gjeni sip?rfaqen e trek?nd?shit ABC.

Le t? p?rfundojm? me k?t?. Si? mund ta shihni, detyrat zgjidhen n? nj? ose dy hapa. N? t? ardhmen do t? shqyrtojm? me ju edhe probleme t? tjera nga kjo pjes?, ku jepen organet e revolucionit, mos e humbisni!

Ju uroj suksese!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

P.S: Do t? isha mir?njoh?s n?se tregoni p?r faqen n? rrjetet sociale.