N? problemin ton?, funksioni U(x) ka nj? form? t? ve?ant?, t? nd?rprer?: ?sht? e barabart? me zero midis mureve, dhe n? skajet e pusit (n? mure) b?het i pafund:

Ne shkruajm? ekuacionin e Schr?dinger-it p?r gjendjet e pal?vizshme t? grimcave n? pikat e vendosura midis mureve:

ose, n?se marrim parasysh formul?n (1.1)

Ekuacioni (1.3) duhet t? plot?sohet me kushtet kufitare n? muret e pusit. Le t? marrim parasysh se funksioni valor lidhet me probabilitetin e gjetjes s? grimcave. P?rve? k?saj, sipas kushteve t? problemit, nj? grimc? nuk mund t? zbulohet jasht? mureve. At?her? funksioni i val?s n? mure dhe m? gjer? duhet t? zhduket, dhe kushtet kufitare t? problemit marrin nj? form? t? thjesht?:

Tani le t? fillojm? t? zgjidhim ekuacionin (1.3) . N? ve?anti, mund t? merret parasysh se zgjidhja e saj jan? val?t e de Broglie. Por nj? val? de Broglie si zgjidhje nuk vlen p?r problemin ton?, pasi sigurisht q? p?rshkruan nj? grimc? t? lir? q? "vrapon" n? nj? drejtim. N? rastin ton?, grimca shkon "para dhe mbrapa" midis mureve. N? k?t? rast, bazuar n? parimin e mbivendosjes, zgjidhja e d?shiruar mund t? p?rfaq?sohet si dy val? de Broglie q? vrapojn? drejt nj?ra-tjetr?s me momente p dhe -p, dometh?n? n? form?n:

Konstantet dhe mund t? gjenden nga nj? prej kushteve kufitare dhe kushtit t? normalizimit. Kjo e fundit sugjeron q? n?se mblidhni t? gjitha probabilitetet, dometh?n? gjeni probabilitetin e gjetjes s? nj? elektroni midis mureve n? p?rgjith?si n? (?do vend), at?her? merrni nj? (probabiliteti i nj? ngjarjeje t? besueshme ?sht? 1), d.m.th.:

Sipas kushtit t? par? kufitar, kemi:

K?shtu, ne marrim zgjidhjen e problemit ton?:

Si? dihet,. Prandaj, zgjidhja e gjetur mund t? rishkruhet si:

Konstanta A p?rcaktohet nga gjendja e normalizimit. Por k?tu nuk ?sht? me interes t? ve?ant?. Kushti i dyt? kufitar mbetet i pap?rdorur. ?far? rezultati jep? Si? zbatohet p?r zgjidhjen e gjetur (1.5), ajo ?on n? ekuacionin:

Nga ai shohim se n? problemin ton? impulsi p mund t? marr? jo ndonj? vler?, por vet?m vlera

Nga rruga, n nuk mund t? jet? e barabart? me zero, pasi funksioni i val?s do t? ishte i barabart? me zero kudo n? intervalin (0…l)! Kjo do t? thot? q? grimca midis mureve nuk mund t? jet? n? qet?si! Ajo duhet t? l?viz?. Elektronet e p?rcjelljes gjenden n? kushte t? ngjashme n? nj? metal. P?rfundimi i marr? vlen edhe p?r to: elektronet n? nj? metal nuk mund t? jen? t? pal?vizsh?m.

Momenti m? i vog?l i mundsh?m i nj? elektroni n? l?vizje ?sht?

Ne kemi treguar se momenti i elektronit ndryshon shenj?n kur reflektohet nga muret. Prandaj, pyetjes se cili ?sht? momenti i nj? elektroni kur ai ?sht? i ky?ur midis mureve nuk mund t? p?rgjigjet definitivisht: ose +p, ose -p. Momenti ?sht? i pap?rcaktuar. Shkalla e tij e pasiguris? ?sht? e p?rcaktuar qart? si m? posht?: =p-(-p)=2p. Pasiguria e koordinat?s ?sht? e barabart? me l; n?se p?rpiqeni t? "kapni" nj? elektron, at?her? ai do t? gjendet brenda kufijve midis mureve, por ku sakt?sisht nuk dihet. Meqen?se vlera m? e vog?l e p ?sht? , ne marrim:

Ne e kemi konfirmuar relacionin Heisenberg n? kushtet e problemit ton?, pra me kushtin q? t? ekzistoj? vlera m? e vog?l e p. N?se mbajm? parasysh nj? vler? arbitrare t? mundshme t? momentit, at?her? lidhja e pasiguris? merr form?n e m?poshtme:

Kjo do t? thot? se postulati origjinal i Heisenberg-Bohr p?r pasigurin? vendos vet?m kufirin e posht?m t? pasigurive t? mundshme n? matje. N?se n? fillim t? l?vizjes sistemi ishte i pajisur me pasiguri minimale, at?her? me kalimin e koh?s ato mund t? rriten.

Sidoqoft?, formula (1.6) tregon nj? p?rfundim tjet?r jasht?zakonisht interesant: rezulton se momenti i nj? sistemi n? mekanik?n kuantike nuk ?sht? gjithmon? n? gjendje t? ndryshoj? vazhdimisht (si? ndodh gjithmon? n? mekanik?n klasike). Spektri i momentit t? grimcave n? shembullin ton? ?sht? diskret; momenti i grimcave midis mureve mund t? ndryshoj? vet?m n? k?rcime (kuanta). Vlera e k?rcimit n? problemin e konsideruar ?sht? konstante dhe e barabart? me .

N? fig. 2. Tregohet qart? spektri i vlerave t? mundshme t? momentit t? grimcave. K?shtu, diskretiteti i ndryshimit t? madh?sive mekanike, i cili ?sht? plot?sisht i huaj p?r mekanik?n klasike, n? mekanik?n kuantike rrjedh nga aparati i saj matematikor. Kur pyeten pse ndryshon momenti n? k?rcime, ?sht? e pamundur t? gjesh nj? t? qart?. T? tilla jan? ligjet e mekanik?s kuantike; p?rfundimi yn? rrjedh prej tyre logjikisht - ky ?sht? i gjith? shpjegimi.

Tani le t? kthehemi te energjia e grimcave. Energjia lidhet me momentin sipas formul?s (1). N?se spektri i momentit ?sht? diskret, at?her? automatikisht rezulton se spektri i vlerave t? energjis? s? grimcave midis mureve ?sht? gjithashtu diskret. Dhe ai ?sht? elementar. N?se vlerat e mundshme sipas formul?s (1.6) z?vend?sohen n? formul?n (1.1), marrim:

ku n = 1, 2,…, dhe quhet num?r kuantik.

K?shtu, ne kemi marr? nivele t? energjis?.

Oriz. 3 p?rshkruan rregullimin e niveleve t? energjis? q? korrespondojn? me kushtet e problemit ton?. ?sht? e qart? se p?r nj? problem tjet?r rregullimi i niveleve t? energjis? do t? jet? i ndrysh?m. N?se grimca ?sht? e ngarkuar (p?r shembull, ?sht? nj? elektron), at?her?, duke mos qen? n? nivelin m? t? ul?t t? energjis?, do t? jet? n? gjendje t? l?shoj? spontanisht drit? (n? form?n e nj? fotoni). N? t? nj?jt?n koh?, ai do t? shkoj? n? nj? nivel m? t? ul?t t? energjis? n? p?rputhje me kushtin:

Funksionet e val?s p?r ?do gjendje t? pal?vizshme n? problemin ton? jan? sinusoid?, vlerat zero t? t? cilave domosdoshm?risht bien n? mure. Dy funksione t? tilla valore p?r n = 1.2 jan? paraqitur n? Fig. nj?.

Ekuacioni i Shrodingerit ka marr? emrin e fizikanit austriak Erwin Schr?dinger. ?sht? mjeti kryesor teorik i mekanik?s kuantike. N? mekanik?n kuantike, ekuacioni i Shrodingerit luan t? nj?jtin rol si ekuacioni i l?vizjes (ligji i dyt? i Njutonit) n? mekanik?n klasike. Ekuacioni i Shrodingerit ?sht? shkruar p?r t? ashtuquajturat y- funksionet (psi - funksionet). N? rastin e p?rgjithsh?m, funksioni psi - ?sht? nj? funksion i koordinatave dhe koh?s: y = y (x, y, z, t). N?se mikrogrimca ?sht? n? gjendje t? pal?vizshme, at?her? funksioni psi - nuk varet nga koha: y= y (x, y, z).

N? rastin m? t? thjesht? t? l?vizjes nj?dimensionale t? nj? mikrogrimce (p?r shembull, vet?m p?rgjat? boshtit x ) ekuacioni i Shrodingerit ka form?n:

ku y(x)– psi - funksionon n? var?si t? vet?m nj? koordinate x ; m – masa e grimcave; - Konstanta e Plankut (= h/2p); E ?sht? energjia totale e grimc?s, U - energji potenciale. N? fizik?n klasike, sasia (E–U ) do t? ishte e barabart? me energjin? kinetike t? grimc?s. N? mekanik?n kuantike, p?r shkak t? marr?dh?niet e pasiguris? koncepti i energjis? kinetike ?sht? i pakuptimt?. Vini re se energjia potenciale U?sht? nj? ve?ori fush? e forc?s s? jashtme n? t? cil?n grimca l?viz. Kjo vler? ?sht? mjaft e p?rcaktuar. ?sht? gjithashtu nj? funksion i koordinatave, n? k?t? rast U = U (x,y,z).

N? rastin tredimensional, kur y = y (x,y,z) n? vend t? termit t? par? n? ekuacionin e Shrodingerit, duhet t? shkruhet shuma e tre derivateve t? pjesshme t? funksionit psi n? lidhje me tre koordinata.

P?r ?far? p?rdoret ekuacioni i Shrodingerit? Si? u p?rmend tashm?, ky ?sht? ekuacioni baz? i mekanik?s kuantike. N?se e shkruajm? dhe e zgjidhim (q? nuk ?sht? aspak nj? detyr? e leht?) p?r nj? mikrogrimc? specifike, at?her? do t? marrim vler?n e funksionit psi n? ?do pik? t? hap?sir?s n? t? cil?n l?viz grimca. ?far? jep? Sheshi i modulit t? funksionit psi karakterizon probabiliteti zbulimi i nj? grimce n? nj? zon? t? caktuar t? hap?sir?s. Merrni nj? pik? n? hap?sir? me koordinata x , y , z (Fig. 6). Sa ?sht? probabiliteti p?r t? gjetur nj? grimc? n? k?t? pik?? P?rgjigje: ky probabilitet ?sht? zero! (nj? pik? nuk ka dimensione, nj? grimc? thjesht nuk mund t? godas? fizikisht nj? pik?). Pra pyetja ?sht? shtruar gabimisht. Le ta themi ndryshe: sa ?sht? probabiliteti p?r t? gjetur nj? grimc? n? nj? zon? t? vog?l t? hap?sir?s me nj? v?llim dV = dx dy dz t? p?rqendruar n? nj? pik? t? caktuar? P?rgjigje:

ku dP ?sht? probabiliteti elementar i zbulimit t? nj? grimce n? nj? v?llim elementar dV . Ekuacioni (22) ?sht? i vlefsh?m p?r nj? funksion psi real (ai mund t? jet? gjithashtu kompleks, n? t? cilin rast katrori i modulit t? funksionit psi duhet t? z?vend?sohet n? ekuacionin (22). N?se nj? zon? e hap?sir?s ka nj? v?llim t? kufizuar V , at?her? probabiliteti P p?r t? zbuluar nj? grimc? n? k?t? v?llim gjendet duke integruar shprehjen (22) mbi v?llimin V :

Kujtoni at? p?rshkrim probabilistik i l?vizjes s? mikrogrimcave?sht? ideja baz? e mekanik?s kuantike. K?shtu, me ndihm?n e ekuacionit t? Shrodingerit, zgjidhet problemi kryesor i mekanik?s kuantike: p?rshkrimi i l?vizjes s? objektit n? studim, n? k?t? rast, nj? grimc? mekanike kuantike.

V?m? re nj? s?r? faktesh t? tjera t? r?nd?sishme. Si? mund t? shihet nga formula (21), ekuacioni i Shrodingerit ?sht? nj? ekuacion diferencial i rendit t? dyt?. Rrjedhimisht, n? procesin e zgjidhjes s? tij, do t? shfaqen dy konstante arbitrare. Si t'i gjeni ato? P?r ta b?r? k?t?, p?rdorni t? ashtuquajturat kushtet kufitare: nga p?rmbajtja specifike e problemit fizik duhet t? dihet vlera e funksionit psi n? kufijt? e rajonit t? l?vizjes s? mikrogrimc?s. P?rve? k?saj, t? ashtuquajturat gjendja e normalizimit, t? cilin funksioni psi duhet t? plot?soj?:

Kuptimi i k?saj gjendjeje ?sht? i thjesht?: probabiliteti p?r t? zbuluar nj? grimc? t? pakt?n diku brenda rajonit t? l?vizjes s? saj ?sht? nj? ngjarje e caktuar, probabiliteti i s? cil?s ?sht? i barabart? me nj?.

Jan? kushtet kufitare q? plot?sojn? zgjidhjen e ekuacionit t? Shrodingerit me kuptim fizik. Pa k?to kushte, zgjidhja e nj? ekuacioni ?sht? nj? problem thjesht matematikor, pa kuptim fizik. N? pjes?n tjet?r, duke p?rdorur nj? shembull specifik, shqyrtojm? zbatimin e kushteve kufitare dhe kushtit t? normalizimit n? zgjidhjen e ekuacionit t? Schr?dinger-it.

funksioni psi

funksioni i val?s (funksioni shtet?ror, funksioni psi, amplituda e probabilitetit) - funksion me vler? komplekse p?rdorur n? Mekanika kuantike p?r p?rshkrim probabilistik shteteve sistemi mekanik kuantik. N? nj? kuptim t? gjer?, nj?soj si vektori i gjendjes.

Nj? variant i emrit "amplitud? probabiliteti" shoq?rohet me interpretimi statistikor funksioni valor: dend?sia e probabilitetit p?r t? gjetur nj? grimc? n? nj? pik? t? caktuar t? hap?sir?s n? nj? koh? t? caktuar ?sht? e barabart? me katrorin e vler?s absolute t? funksionit valor t? k?saj gjendje.

Kuptimi fizik i katrorit t? modulit t? funksionit valor

Funksioni i val?s varet nga koordinatat (ose koordinatat e p?rgjith?suara) t? sistemit dhe, n? p?rgjith?si, nga koha, dhe formohet n? at? m?nyr? q? katrore saj modul ishte dend?sia probabilitetet(p?r spektrat diskrete - vet?m probabiliteti) p?r t? zbuluar sistemin n? pozicionin e p?rshkruar nga koordinatat n? momentin e koh?s:

Pastaj, n? nj? gjendje t? caktuar kuantike t? sistemit, t? p?rshkruar nga funksioni valor, mund t? llogaritet probabiliteti q? nj? grimc? t? zbulohet n? ?do rajon t? hap?sir?s s? v?llimit t? fund?m: .

Bashk?sia e koordinatave q? veprojn? si argumentet e funksionit, p?rfaq?son grup i plot? i sasive fizike q? mund t? maten n? sistem. N? mekanik?n kuantike, ?sht? e mundur t? zgjidhen disa grupe t? plota sasish, k?shtu q? funksioni valor i s? nj?jt?s gjendje mund t? shkruhet nga argumente t? ndrysh?m. P?rcakton grupi i plot? i sasive t? zgjedhura p?r regjistrimin e funksionit t? val?s p?rfaq?simi i funksionit valor. Po, e mundur koordinoj performanca, impulsive prezantim, n? teoria kuantike e fush?s t? p?rdorura kuantizimi i dyt? dhe p?rfaq?simi i numrit plot?sues ose P?rfaq?simi Fock dhe etj.

N?se funksioni i val?s, p?r shembull, i nj? elektroni n? nj? atom, jepet n? paraqitjen e koordinatave, at?her? katrori i modulit t? funksionit t? val?s ?sht? densiteti i probabilitetit p?r t? gjetur nj? elektron n? nj? pik? t? caktuar n? hap?sir?. N?se i nj?jti funksion valor jepet n? paraqitjen e momentit, at?her? katrori i modulit t? tij ?sht? densiteti i probabilitetit p?r t? gjetur nj? ose nj? tjet?r vrulliMe.

Prezantimi

Dihet se kursi i mekanik?s kuantike ?sht? nj? nga m? t? v?shtirat p?r t'u kuptuar. Kjo lidhet jo aq me aparatin e ri dhe "t? pazakont?" matematikor, por n? radh? t? par? me v?shtir?sin? e t? kuptuarit revolucionar, nga k?ndv?shtrimi i fizik?s klasike, idet? q? q?ndrojn? n? themel t? mekanik?s kuantike dhe kompleksitetin e interpretimit t? rezultateve.

N? shumic?n e teksteve shkollore p?r mekanik?n kuantike, paraqitja e materialit bazohet, si rregull, n? analiz?n e zgjidhjeve t? ekuacionit t? pal?vizsh?m t? Shrodingerit. Sidoqoft?, qasja stacionare nuk lejon krahasimin e drejtp?rdrejt? t? rezultateve t? zgjidhjes s? nj? problemi mekanik kuantik me rezultate analoge klasike. P?r m? tep?r, shum? procese t? studiuara n? kursin e mekanik?s kuantike (t? tilla si kalimi i nj? grimce p?rmes nj? pengese potenciale, prishja e nj? gjendjeje pothuajse t? pal?vizshme, etj.) jan? n? parim jo-stacionare n? natyr? dhe, p?r rrjedhoj?, mund t? t? kuptohen plot?sisht vet?m n? baz? t? zgjidhjeve t? ekuacionit jostacionar Schr?dinger. Meqen?se numri i problemeve t? zgjidhshme analitikisht ?sht? i vog?l, p?rdorimi i nj? kompjuteri n? procesin e studimit t? mekanik?s kuantike ?sht? ve?an?risht i r?nd?sish?m.

Ekuacioni i Shrodingerit dhe kuptimi fizik i zgjidhjeve t? tij

Ekuacioni valor i Shrodingerit

Nj? nga ekuacionet baz? t? mekanik?s kuantike ?sht? ekuacioni i Shrodingerit, i cili p?rcakton ndryshimin n? gjendjet e sistemeve kuantike me kalimin e koh?s. ?sht? shkruar n? form?

ku H ?sht? Hamiltoniani i sistemit, q? p?rkon me operatorin e energjis? n?se nuk varet nga koha. Lloji i operatorit p?rcaktohet nga vetit? e sistemit. P?r l?vizjen jorelativiste t? nj? grimce me mas? n? nj? fush? potenciale U(r), operatori ?sht? real dhe p?rfaq?sohet nga shuma e operator?ve t? energjis? kinetike dhe potenciale t? grimc?s.

N?se grimca l?viz n? nj? fush? elektromagnetike, at?her? operatori Hamilton do t? jet? kompleks.

Edhe pse ekuacioni (1.1) ?sht? nj? ekuacion i rendit t? par? n? koh?, p?r shkak t? unitetit imagjinar ai ka edhe zgjidhje periodike. Prandaj, ekuacioni i Shrodingerit (1.1) shpesh quhet ekuacioni i val?s s? Shrodingerit dhe zgjidhja e tij quhet funksioni valor i varur nga koha. Ekuacioni (1.1) me nj? form? t? njohur t? operatorit H ju lejon t? p?rcaktoni vler?n e funksionit t? val?s n? ?do moment t? m?passh?m t? koh?s, n?se kjo vler? njihet n? momentin fillestar t? koh?s. K?shtu, ekuacioni i val?s s? Shrodingerit shpreh parimin e shkak?sis? n? mekanik?n kuantike.

Ekuacioni i val?s s? Schr?dinger-it mund t? merret bazuar n? konsideratat e m?poshtme formale. N? mekanik?n klasike dihet se n?se energjia jepet n? funksion t? koordinatave dhe momenteve

pastaj kalimi n? ekuacionin klasik Hamilton--Jacobi p?r funksionin e veprimit S

mund t? merret nga (1.3) nga transformimi formal

N? t? nj?jt?n m?nyr?, ekuacioni (1.1) merret nga (1.3) kur kalon nga (1.3) n? ekuacionin e operatorit me nj? transformim formal.

n?se (1.3) nuk p?rmban produkte t? koordinatave dhe momenteve, ose p?rmban produkte t? tilla t? tyre q?, pasi kalojn? te operator?t (1.4), udh?tojn? me nj?ri-tjetrin. Duke barazuar pas k?tij transformimi rezultatet e veprimit n? funksionin e operator?ve t? pjes?ve t? djathta dhe t? majta t? barazis? s? operatorit q? rezulton, arrijm? n? ekuacionin e val?s (1.1). Megjithat?, nuk duhet t? merren k?to transformime formale si nj? derivim i ekuacionit t? Shrodingerit. Ekuacioni i Shrodingerit ?sht? nj? p?rgjith?sim i t? dh?nave eksperimentale. Ai nuk rrjedh n? mekanik?n kuantike, ashtu si ekuacionet e Maksuellit nuk rrjedhin n? elektrodinamik?, parimi i veprimit m? t? vog?l (ose ekuacionet e Njutonit) n? mekanik?n klasike.

?sht? e leht? t? verifikohet se ekuacioni (1.1) ?sht? i k?naqur p?r funksionin e val?s

duke p?rshkruar l?vizjen e lir? t? nj? grimce me nj? vler? t? caktuar t? momentit. N? rastin e p?rgjithsh?m, vlefshm?ria e ekuacionit (1.1) v?rtetohet nga pajtimi me p?rvoj?n e t? gjitha p?rfundimeve t? marra me ndihm?n e k?tij ekuacioni.

Le t? tregojm? se ekuacioni (1.1) n?nkupton barazin? e r?nd?sishme

q? tregon ruajtjen e normalizimit t? funksionit valor n? koh?. Le t? shum?zojm? (1.1) n? t? majt? me funksionin *, dhe t? shum?zojm? ekuacionin kompleks t? konjuguar me (1.1) me funksionin dhe t? zbresim ekuacionin e dyt? nga ekuacioni i par? i marr?; at?her? ne gjejm?

Duke integruar k?t? lidhje mbi t? gjitha vlerat e variablave dhe duke marr? parasysh vet?-p?rputhjen e operatorit, marrim (1.5).

N?se n? relacionin (1.6) z?vend?sojm? shprehjen eksplicite t? operatorit Hamilton (1.2) p?r l?vizjen e nj? grimce n? nj? fush? potenciale, at?her? arrijm? n? nj? ekuacion diferencial (ekuacion i vazhdim?sis?)

ku ?sht? dend?sia e probabilitetit dhe vektori

mund t? quhet vektor i densitetit t? rrym?s s? probabilitetit.

Funksioni i val?s komplekse mund t? paraqitet gjithmon? si

ku dhe jan? funksione reale t? koh?s dhe koordinatave. Pra, dend?sia e probabilitetit

dhe probabiliteti i densitetit t? rrym?s

Nga (1.9) rezulton se j = 0 p?r t? gjith? funksionet, funksioni F i t? cil?ve nuk varet nga koordinatat. N? ve?anti, j= 0 p?r t? gjitha funksionet reale.

Zgjidhjet e ekuacionit t? Shrodingerit (1.1) p?rfaq?sohen p?rgjith?sisht me funksione komplekse. P?rdorimi i funksioneve komplekse ?sht? shum? i p?rshtatsh?m, megjith?se jo i nevojsh?m. N? vend t? nj? funksioni kompleks, gjendja e sistemit mund t? p?rshkruhet nga dy funksione reale dhe duke p?rmbushur dy ekuacione t? ?ift?zuara. P?r shembull, n?se operatori H ?sht? real, at?her?, duke z?vend?suar funksionin n? (1.1) dhe duke ndar? pjes?t reale dhe imagjinare, marrim nj? sistem me dy ekuacione.

n? k?t? rast, densiteti i probabilitetit dhe densiteti i rrym?s s? probabilitetit marrin form?n

Funksionet valore n? paraqitjen e momentit.

Transformimi Furier i funksionit valor karakterizon shp?rndarjen e momentit n? nj? gjendje kuantike. K?rkohet t? nxirret nj? ekuacion integral p?r me transformimin Furier t? potencialit si b?rtham?.

Zgjidhje. Ekzistojn? dy marr?dh?nie reciproke t? anasjellta midis funksioneve dhe.

N?se relacioni (2.1) p?rdoret si p?rkufizim dhe n? t? zbatohet nj? operacion, at?her?, duke marr? parasysh p?rkufizimin e nj? funksioni 3-dimensional,

si rezultat, si? shihet leht?, marrim relacionin e anasjellt? (2.2). Konsiderata t? ngjashme p?rdoren m? posht? n? nxjerrjen e relacionit (2.8).

pastaj p?r imazhin Furier t? potencialit q? kemi

Duke supozuar se funksioni i val?s plot?son ekuacionin e Schr?dinger-it

Duke z?vend?suar k?tu n? vend t? dhe, p?rkat?sisht, shprehjet (2.1) dhe (2.3), marrim

N? integralin e dyfisht?, ne kalojm? nga integrimi mbi nj? ndryshore n? integrimin mbi nj? ndryshore, dhe m? pas e sh?nojm? p?rs?ri k?t? ndryshore t? re me. Integrali mbi zhduket n? ?do vler? vet?m n?se vet? integrani ?sht? i barabart? me zero, por at?her?

Ky ?sht? ekuacioni integral i d?shiruar me transformimin Furier t? potencialit si b?rtham?. Natyrisht, ekuacioni integral (2.6) mund t? merret vet?m me kushtin q? t? ekzistoj? transformimi Furier i potencialit (2.4); p?r k?t?, p?r shembull, potenciali duhet t? ulet n? distanca t? m?dha, t? pakt?n si, ku.

Duhet theksuar se nga gjendja e normalizimit

vijon barazia

Kjo mund t? tregohet duke z?vend?suar shprehjen (2.1) p?r funksionin n? (2.7):

N?se k?tu kryejm? fillimisht integrimin, at?her? do t? marrim leht?sisht relacionin (2.8).

Ekuacioni i p?rgjithsh?m i Shrodingerit. Ekuacioni i Shrodingerit p?r gjendjet stacionare

Interpretimi statistikor i val?ve de Broglie (shih § 216) dhe relacioni i pasiguris? s? Heisenberg (shih 5 215) ?oi n? p?rfundimin se ekuacioni i l?vizjes n? mekanik?n kuantike, q? p?rshkruan l?vizjen e mikrogrimcave n? fusha t? ndryshme t? forc?s, duhet t? jet? nj? ekuacion nga t? cilat v?zhguesit n? t? p?rjetojn? vetit? valore t? grimcave. Ekuacioni baz? duhet t? jet? nj? ekuacion p?r funksionin valor PS (x, y, z, t), pasi ?sht? pik?risht kjo, ose, m? sakt?, sasia |PS| 2, p?rcakton probabilitetin q? grimca t? q?ndroj? n? koh?n t n? v?llimin dV, d.m.th., n? rajonin me koordinatat x dhe x+dx, y dhe y+dy, z dhe z+dz. Meqen?se ekuacioni i d?shiruar duhet t? marr? parasysh vetit? valore t? grimcave, ai duhet t? jet? nj? ekuacion valor, i ngjash?m me ekuacionin q? p?rshkruan val?t elektromagnetike.

Ekuacioni baz? i mekanik?s kuantike jorelativiste u formulua n? vitin 1926 nga E. Schr?dinger. Ekuacioni i Shrodingerit, si t? gjitha ekuacionet baz? t? fizik?s (p?r shembull, ekuacionet e Njutonit n? mekanik?n klasike dhe ekuacionet e Maksuellit p?r fush?n elektromagnetike), nuk ?sht? nxjerr?, por i postuluar. Korrekt?sia e k?tij ekuacioni konfirmohet nga pajtimi me p?rvoj?n e rezultateve t? marra me ndihm?n e tij, e cila, nga ana tjet?r, i jep atij karakterin e nj? ligji t? natyr?s. Ekuacioni i Shrodingerit ka form?n

ku h=h/(2p), m ?sht? masa e grimc?s, ? ?sht? operatori Laplace ( ),

i - nj?si imagjinare, U (x, y, z, t) - Funksioni potencial i nj? grimce n? fush?n e forc?s n? t? cil?n ajo l?viz, PS (x, y, z, t ) - funksioni valor i d?shiruar i grimc?s.

Ekuacioni (217.1) ?sht? i vlefsh?m p?r ?do grimc? (me rrotullim t? barabart? me 0; shih § 225) q? l?viz me nj? shpejt?si t? vog?l (n? krahasim me shpejt?sin? e drit?s), d.m.th. me nj? shpejt?si y<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

duhet t? jet? i vazhduesh?m; 3) funksioni |PS| 2 duhet t? jet? i integruesh?m; ky kusht n? rastet m? t? thjeshta reduktohet n? kushtin e normalizimit t? probabiliteteve (216.3).

P?r t? arritur n? ekuacionin e Shrodingerit, le t? shqyrtojm? nj? grimc? q? l?viz lirsh?m, e cila, sipas ides? s? de Broglie, shoq?rohet me nj? val? t? rrafsh?t. P?r thjesht?si, ne e konsiderojm? rastin nj?dimensional. Ekuacioni p?r nj? val? t? rrafsh?t q? p?rhapet p?rgjat? boshtit x ?sht? (shih § 154)

Ose n? sh?nime komplekse . Prandaj, vala e rrafsh?t e de Broglie ka form?n

(217.2)

(duke marr? parasysh se o = E/h, k=p/h). N? mekanik?n kuantike, eksponenti merret me shenj?n minus, por pasi vet?m |PS| 2, at?her? kjo (shih (217.2)) ?sht? thelb?sore. Pastaj

,

; (217.3)

Duke p?rdorur marr?dh?nien nd?rmjet energjis? E dhe momentit p (E = p 2 /(2m)) dhe duke z?vend?suar shprehjet (217.3), marrim ekuacionin diferencial

q? p?rkon me ekuacionin (217.1) p?r rastin U = 0 (ne konsideruam nj? grimc? t? lir?).

N?se nj? grimc? l?viz n? nj? fush? force t? karakterizuar nga nj? energji potenciale U, at?her? energjia totale E ?sht? shuma e energjive kinetike dhe potenciale. Duke kryer nj? arsyetim t? ngjash?m duke p?rdorur marr?dh?nien midis E dhe p (p?r k?t? rast, p 2 / (2m) = E - U), ne rrotullohemi n? nj? ekuacion diferencial q? p?rkon me (217.1).

Arsyetimi i m?sip?rm nuk duhet t? merret si rrjedhim i ekuacionit t? Shrodingerit. Ata shpjegojn? vet?m se si mund t? arrihet tek ky ekuacion. D?shmia e korrekt?sis? s? ekuacionit t? Shrodingerit ?sht? pajtueshm?ria me p?rvoj?n e p?rfundimeve n? t? cilat ai ?on.

Ekuacioni (217.1) ?sht? ekuacioni i p?rgjithsh?m i Shrodingerit. Quhet gjithashtu ekuacioni i Schr?dinger-it i varur nga koha. P?r shum? dukuri fizike q? ndodhin n? mikrokozmos, ekuacioni (217.1) mund t? thjeshtohet duke eliminuar var?sin? e PS nga koha, me fjal? t? tjera, p?r t? gjetur ekuacionin e Shrodingerit p?r gjendjet stacionare - nj? gjendje me vlera fikse t? energjis?. Kjo ?sht? e mundur n?se fusha e forc?s n? t? cil?n l?viz grimca ?sht? e pal?vizshme, d.m.th., funksioni U = U(x, y, z ) nuk varet shprehimisht nga koha dhe ka kuptimin e energjis? potenciale. N? k?t? rast, zgjidhja e ekuacionit t? Shrodingerit mund t? paraqitet si produkt i dy funksioneve, nj?ri prej t? cil?ve ?sht? funksion i vet?m koordinatave, tjetri ?sht? vet?m funksion i koh?s, dhe var?sia nga koha shprehet me faktorin

,

ku E - energjia totale e grimc?s, e cila ?sht? konstante n? rastin e nj? fushe t? pal?vizshme. Duke z?vend?suar (217.4) n? (217.1), marrim

prej nga, pas pjes?timit me faktorin e p?rbashk?t e – i (E/ h) t dhe transformimet p?rkat?se, arrijm? n? ekuacionin q? p?rcakton funksionin ps:

(217.5)

Ekuacioni (217.5) quhet ekuacioni i Shrodingerit p?r gjendjet stacionare.

Ky ekuacion p?rfshin energjin? totale E t? grimc?s si paramet?r. N? teorin? e ekuacioneve diferenciale v?rtetohet se ekuacione t? tilla kan? nj? num?r t? pafund zgjidhjesh, nga t? cilat zgjidhen zgjidhjet q? kan? kuptim fizik duke vendosur kushte kufitare. P?r ekuacionin e Shrodingerit, kushte t? tilla jan? kushtet e rregullsis? s? funksioneve valore: funksionet valore duhet t? jen? t? fundme, me nj? vler? dhe t? vazhdueshme s? bashku me derivatet e tyre t? par?. K?shtu, vet?m zgjidhjet q? shprehen me funksione t? rregullta ps . Por zgjidhjet e rregullta nuk ndodhin p?r asnj? vler? t? parametrit E, por vet?m p?r nj? grup t? caktuar t? tyre, i cili ?sht? karakteristik p?r problemin e dh?n?. K?to vlera t? energjis? quhen t? brendshme. Zgjidhjet q? korrespondojn? me eigenvlerat e energjis? quhen eigenfunctions. Eigenvlerat E mund t? formojn? ose nj? seri t? vazhdueshme ose diskrete. N? rastin e par?, flitet p?r nj? spekt?r t? vazhduesh?m, ose t? vazhduesh?m, n? t? dyt?n, p?r nj? spekt?r diskret.

N? zhvillimin e ides? s? de Broglie p?r vetit? valore t? grimcave, Schr?dinger n? 1926 mori ekuacionin

104. (20)

ku m ?sht? masa e grimc?s, ?sht? nj?sia imagjinare, U ?sht? energjia potenciale e grimc?s, D ?sht? operatori Laplace [shih (1.10)].

Zgjidhja e ekuacionit t? Schr?dinger-it mund?son gjetjen e funksionit valor Y(x, y, z, t) t? grimc?s, i cili p?rshkruan mikrogjendjen e grimc?s dhe vetit? e saj valore.

N?se fusha e forcave t? jashtme ?sht? konstante n? koh? (d.m.th., e pal?vizshme), at?her? U nuk varet n? m?nyr? eksplicite nga t. N? k?t? rast, zgjidhja e barazimit (20) ndahet n? dy faktor?

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)

N? rastin e pal?vizsh?m, ekuacioni i Shrodingerit ka form?n

(22)

ku E, U - energjia totale dhe potenciale, m - masa e grimcave.

Duhet t? theksohet se historikisht emri "funksion valor" lindi p?r faktin se ekuacioni (20) ose (22), i cili p?rcakton k?t? funksion, i referohet form?s s? ekuacioneve valore.

104. Atomi i hidrogjenit dhe "atomet" e ngjashme me hidrogjenin (He + , Li 2+ dhe t? tjer?) si sistemet m? t? thjeshta mekanike kuantike: gjendjet kuantike, komponent?t radiale dhe k?ndore t? funksionit valor, simetria orbitale.

Bazuar n? k?rkimin e tij, Rutherford n? 1911 propozoi nj? b?rthamore (planetar) modeli i atomit. Sipas k?tij modeli elektronet l?vizin n? orbita t? mbyllura rreth nj? b?rthame pozitive, duke formuar shtres?n elektronike t? nj? atomi, n? nj? rajon me dimensione lineare t? rendit 10 -10 m. Ngarkesa e b?rtham?s ?sht? Ze(Z-- numri serial i elementit n? sistemin Mendeleev, e -.ngarkesa elementare), madh?sia 10 -15 - 10 -14 m, masa, pothuajse e barabart? me mas?n e nj? atomi. Meqen?se atomet jan? neutrale, ngarkesa e b?rtham?s ?sht? e barabart? me ngarkes?n totale t? elektroneve, d.m.th., ajo duhet t? rrotullohet rreth b?rtham?s Z elektronet.

nj? atom hidrogjeni dhe sisteme t? ngjashme me hidrogjenin- k?to jan? sisteme t? p?rb?ra nga nj? b?rtham? me nj? ngarkes? Ze dhe nj? elektron (p?r shembull, jonet He +, Li 2+).

Zgjidhja e problemit t? niveleve t? energjis? s? nj? elektroni p?r nj? atom hidrogjeni (si dhe sistemet e ngjashme me hidrogjenin: jon helium He + , litium dyfish i jonizuar Li + +, etj.) reduktohet n? problemin e l?vizjes s? elektroneve n? Fusha e Kulonit t? b?rtham?s.

Energjia potenciale e bashk?veprimit t? nj? elektroni me nj? b?rtham? me nj? ngarkes? Ze(p?r nj? atom hidrogjeni Z=1),

ku r?sht? distanca nd?rmjet elektronit dhe b?rtham?s. Funksionon grafikisht U(r) ?sht? p?rshkruar nga kurba e theksuar n? Fig. 6, pafund?sisht n? r?nie (n? rritje. modul) kur zvog?lohet r, d.m.th., kur nj? elektron i afrohet b?rtham?s.

Gjendja e nj? elektroni n? nj? atom hidrogjeni p?rshkruhet nga funksioni valor PS, i cili plot?son ekuacionin e pal?vizsh?m t? Shrodingerit, duke marr? parasysh vler?n (1):"

, (2)

ku m?sht? masa e elektronit, E?sht? energjia totale e nj? elektroni n? nj? atom.

Ky ?sht? i ashtuquajturi ekuacion stacionar i Shrodingerit p?r elektronin e nj? atomi t? ngjash?m me hidrogjenin e VDPA.

1. Energjia. N? teorin? e ekuacioneve diferenciale, v?rtetohet se ekuacionet e tipit (2) kan? zgjidhje q? plot?sojn? k?rkesat e unike, fundshm?ris? dhe vazhdim?sis? s? funksionit valor PS vet?m p?r vlerat vetjake t? energjis?.

(n= 1, 2, 3,…), (3)

d.m.th., p?r nj? grup diskrete t? vlerave negative t? energjis?.

K?shtu, si n? rastin e nj? "pusi potencial" me "mure" pafund?sisht t? larta, zgjidhja e ekuacionit t? Shrodingerit p?r atomin e hidrogjenit ?on n? shfaqjen e niveleve diskrete t? energjis?. Vlerat e mundshme E 1 , E 2 , E 3, ... jan? paraqitur n? fig. 6 si vija horizontale. Niveli m? i ul?t E 1 q? korrespondon me energjin? minimale t? mundshme, - baz?, te tjera ( E n >E 1, n = 2, 3,…) – i emocionuar. N? E < 0 движение электрона является t? lidhura?sht? brenda nj? “pusi potencial” hiperbolik. Nga figura rezulton se me rritjen e numrit kuantik kryesor P nivelet e energjis? jan? t? ndara m? af?r n=? E ? = 0. Kur E> 0 l?vizja e nj? elektroni ?sht? falas; rajoni i vazhdim?sis? E >0(e hijezuar n? Fig. 6) korrespondon me atom i jonizuar. Energjia e jonizimit t? nj? atomi hidrogjeni ?sht?

E i = - E 1 = mua 4 / (8h 2 e 0 2) = 13,55 eV.

2. Numrat kuantik?. N? mekanik?n kuantike, v?rtetohet se ekuacioni i Shrodingerit (2) plot?sohet nga eigenfunksionet , i p?rcaktuar nga tre numra kuantik?: kryesori P, orbitale l dhe magnetike m l.

Numri kuantik kryesor n, sipas (3), p?rcakton nivelet e energjis? s? nj? elektroni n? nj? atom dhe mund t? marr? ?do vler? t? plot?, duke filluar nga nj?: