ladybe.ru
Kombinoni dy burime informacioni duke p?rdorur formul?n Bayes. Formula e probabilitetit total dhe formulat e Bayes
N?se ngjarja POR mund t? ndodh? vet?m kur nj? nga ngjarjet q? formojn? grup i plot? i ngjarjeve t? papajtueshme , at?her? probabiliteti i ngjarjes POR llogaritur me formul?
Kjo formul? quhet formula e probabilitetit total .
Konsideroni p?rs?ri grupin e plot? t? ngjarjeve t? papajtueshme, probabilitetet e shfaqjes s? t? cilave jan? 
. Ngjarja POR mund t? ndodh? vet?m s? bashku me ndonj? nga ngjarjet q? do t'i quajm? hipoteza
. Pastaj sipas formul?s s? probabilitetit total
N?se ngjarja POR ka ndodhur, mund t? ndryshoj? probabilitetet e hipotezave 
.
Sipas teorem?s s? shum?zimit t? probabilitetit
.
N? m?nyr? t? ngjashme, p?r hipoteza t? tjera
Formula q? rezulton quhet Formula e Bayes (Formula e Bayes ). Probabilitetet e hipotezave quhen probabilitetet e pasme , ndersa - probabilitetet e m?parshme .
Shembull. Dyqani mori produkte t? reja nga tre nd?rmarrje. P?rb?rja n? p?rqindje e k?tyre produkteve ?sht? si m? posht?: 20% - produkte t? nd?rmarrjes s? par?, 30% - produkte t? nd?rmarrjes s? dyt?, 50% - produkte t? nd?rmarrjes s? tret?; m? tej, 10% e produkteve t? nd?rmarrjes s? par? t? klas?s m? t? lart?, n? nd?rmarrjen e dyt? - 5% dhe n? t? tret?n - 20% t? produkteve t? klas?s m? t? lart?. Gjeni probabilitetin q? nj? produkt i ri i bler? rast?sisht t? jet? i cil?sis? m? t? lart?.
Zgjidhje. Sh?noni me AT ngjarja q? konsiston n? faktin se produkti premium do t? blihet, le t? tregojm? ngjarjet q? konsistojn? n? blerjen e produkteve q? u p?rkasin p?rkat?sisht nd?rmarrjeve t? para, t? dyta dhe t? treta.
Ne mund t? aplikojm? formul?n e probabilitetit total dhe n? sh?nimin ton?:
Duke z?vend?suar k?to vlera n? formul?n e probabilitetit total, marrim probabilitetin e d?shiruar:
Shembull. Nj?ri nga tre gjuajt?sit thirret n? vij?n e zjarrit dhe gjuan dy t? sht?na. Probabiliteti p?r t? goditur objektivin me nj? goditje p?r gjuajt?sin e par? ?sht? 0.3, p?r t? dytin - 0.5; p?r t? tret?n - 0.8. Objektivi nuk goditet. Gjeni probabilitetin q? t? sht?nat t? jen? shkrepur nga gjuajt?si i par?.
Zgjidhje. Tre hipoteza jan? t? mundshme:
Qit?si i par? thirret n? vij?n e zjarrit,
Qit?si i dyt? thirret n? vij?n e zjarrit,
Nj? gjuajt?s i tret? u thirr n? vij?n e zjarrit.
Meqen?se thirrja e ?do gjuajt?si n? vij?n e zjarrit ?sht? po aq e mundur, at?her? 
Si rezultat i eksperimentit, u vu re ngjarja B - pas t? sht?nave, objektivi nuk u godit. Probabilitetet e kusht?zuara t? k?saj ngjarje sipas hipotezave t? b?ra jan?:
duke p?rdorur formul?n Bayes, gjejm? probabilitetin e hipotez?s pas eksperimentit:
Shembull. N? tre makina automatike p?rpunohen pjes? t? t? nj?jtit lloj, t? cilat mb?rrijn? pas p?rpunimit n? nj? transportues t? p?rbashk?t. Makina e par? jep 2% refuzon, e dyta - 7%, e treta - 10%. Produktiviteti i makin?s s? par? ?sht? 3 her? m? i madh se produktiviteti i t? dyt?s, dhe i tret? ?sht? 2 her? m? i vog?l se i dyti.
a) Sa ?sht? shkalla e defektit n? linj?n e montimit?
b) Cilat jan? p?rmasat e pjes?ve t? secil?s makin? midis pjes?ve me defekt n? transportues?
Zgjidhje. Le t? marrim nj? pjes? n? m?nyr? t? rast?sishme nga linja e montimit dhe t? marrim parasysh ngjarjen A - pjesa ?sht? me defekt. Ajo shoq?rohet me hipoteza se ku ?sht? p?rpunuar kjo pjes?: - nj? pjes? e zgjedhur rast?sisht ?sht? p?rpunuar n? makin?n e th,.
Probabilitetet e kusht?zuara (n? gjendjen e problemit ato jepen n? form?n e p?rqindjeve):
Var?sit? midis performanc?s s? makin?s n?nkuptojn? sa vijon:
Dhe meqen?se hipotezat formojn? nj? grup t? plot?, at?her? .
Pasi kemi zgjidhur sistemin e ekuacioneve q? rezulton, gjejm?: .
a) Probabiliteti total q? nj? pjes? e marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga linja e montimit t? jet? me defekt:
Me fjal? t? tjera, n? mas?n e pjes?ve q? dalin nga linja e montimit, defekti ?sht? 4%.
b) Le t? dihet se nj? pjes? e marr? rast?sisht ?sht? me defekt. Duke p?rdorur formul?n Bayes, gjejm? probabilitetet e kusht?zuara t? hipotezave:
K?shtu, n? mas?n totale t? pjes?ve me defekt n? transportues, pjesa e makin?s s? par? ?sht? 33%, e dyta - 39%, e treta - 28%.
Detyra praktike
Ushtrimi 1
Zgjidhja e problemeve n? seksionet kryesore t? teoris? s? probabilitetit
Q?llimi ?sht? t? fitohen aft?si praktike n? zgjidhjen e problemeve n?
seksionet e teoris? s? probabilitetit
P?rgatitja p?r detyr?n praktike
P?r t'u njohur me materialin teorik p?r k?t? tem?, p?r t? studiuar p?rmbajtjen e teoris?, si dhe seksionet p?rkat?se n? literatur?.
Urdhri i ekzekutimit t? detyr?s
Zgjidh 5 problema sipas numrit t? opsionit t? detyr?s t? dh?n? n? tabel?n 1.
Opsionet fillestare t? t? dh?nave
Tabela 1
|
numri i detyr?s |
||||||
P?rb?rja e raportit p?r detyr?n 1
5 problema t? zgjidhura sipas numrit t? variantit.
Detyrat p?r zgjidhje t? pavarur
1.. Jan? raste k?to grupe ngjarjesh: a) p?rvoja - hedhja e nj? monedhe; zhvillimet: A1- pamja e stem?s; A2- shfaqja e nj? numri; b) p?rvoja - hedhja e dy monedhave; zhvillimet: N? 1- pamja e dy stemave; N? 2 - shfaqja e dy shifrave; N? 3- pamja e nj? steme dhe nj? numri; c) p?rvoja - hedhja e zarit; zhvillimet: C1 - shfaqja e jo m? shum? se dy pikave; C2 - shfaqja e tre ose kat?r pikave; C3 - shfaqja e t? pakt?n pes? pikave; d) p?rvoj? - nj? e sht?n? n? nj? objektiv; zhvillimet: D1- goditur; D2- miss; e) p?rvoj? - dy t? sht?na n? objektiv; zhvillimet: E0- asnj? goditje e vetme; E1- nj? goditje; E2- dy goditje; f) p?rvoja - t?rheqja e dy letrave nga kuverta; zhvillimet: F1- shfaqja e dy karton?ve t? kuq; F2- shfaqja e dy letrave t? zeza?
2. Urna A p?rmban t? bardh? dhe B topa t? zinj. Nj? top nxirret rast?sisht nga urna. Gjeni probabilitetin q? ky top t? jet? i bardh?.
3. N? urn?n A t? bardh?t dhe B topa t? zinj. Nj? top nxirret nga urna dhe lihet m?njan?. Ky top ?sht? i bardh?. Pas k?saj, nj? top tjet?r merret nga urna. Gjeni probabilitetin q? edhe ky top t? jet? i bardh?.
4. N? urn?n A t? bardh?t dhe B topa t? zinj. Nj? top u nxor nga urna dhe u la m?njan? pa par?. Pas k?saj, nj? top tjet?r ?sht? marr? nga urna. Ai doli t? ishte i bardh?. Gjeni probabilitetin q? topi i par? i l?n? m?njan? t? jet? gjithashtu i bardh?.
5. Nga nj? urn? q? p?rmban A t? bardh?t dhe B topa t? zinj, nxirrni nj? nga nj? t? gjitha topat p?rve? nj?rit. Gjeni probabilitetin q? topi i fundit i mbetur n? urn? t? jet? i bardh?.
6. Nga urna n? t? cil?n A topa t? bardh? dhe B t? zi, nxirrni me radh? t? gjith? topat n? t?. Gjeni probabilitetin q? topi i dyt? i t?rhequr t? jet? i bardh?.
7. N? nj? urn? A me topa t? bardh? dhe B me topa t? zinj (A > 2). Nga urna nxirren dy topa menj?her?. Gjeni probabilitetin q? t? dy topat t? jen? t? bardh?.
8. E bardha dhe B n? urn?n A topa t? zinj (A > 2, B > 3). Pes? topa nxirren nga urna menj?her?. Gjeni probabilitetin R dy prej tyre do t? jen? t? bardha dhe tre do t? jen? t? zeza.
9. N? nj? parti t? p?rb?r? nga X produkte, ka I me t? meta. Nga grupi zgjidhet p?r kontroll I produkteve. Gjeni probabilitetin R cili prej tyre sakt?sisht J produktet do t? jen? me defekt.
10. Nj? ngordh?s hidhet nj? her?. Gjeni probabilitetin e ngjarjeve t? m?poshtme: POR - shfaqja e nj? numri ?ift pikash; AT- shfaqja e t? pakt?n 5 pik?ve; NGA- pamja jo m? shum? se 5 pik?.
11. Nj? biet? hidhet dy her?. Gjeni probabilitetin R q? t? dy her? do t? shfaqet i nj?jti num?r pik?sh.
12. Dy zare hidhen n? t? nj?jt?n koh?. Gjeni probabilitetin e ngjarjeve t? m?poshtme: POR- shuma e pik?ve t? r?n? ?sht? e barabart? me 8; AT- prodhimi i pik?ve t? r?n? ?sht? i barabart? me 8; NGA- shuma e pik?ve t? r?n? ?sht? m? e madhe se produkti i tyre.
13. Hidhen dy monedha. Cila nga ngjarjet e m?poshtme ?sht? m? e mundshme: POR - monedhat do t? shtrihen n? t? nj?jtat an?; AT - A jan? monedhat n? an? t? ndryshme?
14. N? urn?n A t? bardh?t dhe B topa t? zinj (A > 2; B > 2). Nga urna nxirren dy topa n? t? nj?jt?n koh?. Cila ngjarje ?sht? m? e mundshme: POR- topa me t? nj?jt?n ngjyr?; AT - topa me ngjyra t? ndryshme?
15. Tre lojtar? jan? duke luajtur letra. Secilit prej tyre i shp?rndahen 10 letra dhe dy letra mbeten n? short. Nj?ri nga lojtar?t sheh se ka 6 letra t? nj? kostumi diamanti dhe 4 letra t? nj? kostumi jo diamanti. Ai hedh dy nga ato kat?r letra dhe merr barazimin. Gjeni probabilitetin q? ai t? blej? dy diamante.
16. Nga nj? urn? q? p?rmban P topa me num?r, nxirrni n? m?nyr? t? rast?sishme nj? nga nj? t? gjith? topat n? t?. Gjeni probabilitetin q? numrat e topave t? t?rhequr t? jen? t? renditur: 1, 2,..., P.
17. E nj?jta urn? si n? problemin e m?parsh?m, por pas nxjerrjes ?do top futet p?rs?ri dhe p?rzihet me t? tjerat dhe sh?nohet numri i saj. Gjeni probabilitetin q? vargu natyror i numrave t? shkruhet: 1, 2,..., n.
18. Nj? kuvert? e plot? me letra (52 flet?) ndahet rast?sisht n? dy pako t? barabarta me 26 flet?. Gjeni probabilitetin e ngjarjeve t? m?poshtme: POR - n? secil?n prej paketave do t? ket? dy ace; AT- n? nj?r?n nga paketat nuk do t? ket? asa, dhe n? tjetr?n - t? kat?r; S-in nj?ra nga paketat do t? ket? nj? ACE, dhe paketa tjet?r do t? ket? tre.
19. N? kampionatin e basketbollit marrin pjes? 18 skuadra, nga t? cilat n? m?nyr? t? rast?sishme formohen dy grupe me nga 9 ekipe. N? mesin e pjes?marr?sve t? konkursit jan? 5 ekipe
klas? shtes?. Gjeni probabilitetin e ngjarjeve t? m?poshtme: POR - t? gjitha skuadrat jasht?-klas?s do t? bien n? t? nj?jtin grup; AT- dy ekipe t? klas?s ekstra do t? futen n? nj?rin nga grupet dhe tre - n? tjetrin.
20. Numrat shkruhen n? n?nt? letra: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dy prej tyre nxirren n? m?nyr? t? rast?sishme dhe vendosen n? tabel? sipas renditjes s? paraqitjes, pastaj lexohet numri q? rezulton. , p?r shembull 07 (shtat?), 14 (kat?rmb?dhjet?), etj. Gjeni probabilitetin q? numri t? jet? ?ift.
21. Numrat shkruhen n? pes? letra: 1, 2, 3, 4, 5. Dy prej tyre, nj?ri pas tjetrit, hiqen. Gjeni probabilitetin q? numri n? kart?n e dyt? t? jet? m? i madh se numri n? t? par?n.
22. E nj?jta pyetje si n? problemin 21, por letra e par? pas t?rheqjes vendoset dhe p?rzihet me pjes?n tjet?r dhe sh?nohet numri n? t?.
23. N? urn?n A e bardh?, B topa t? zi dhe C t? kuq. Nj? nga nj? nxirren nga urna t? gjith? topat n? t? dhe sh?nohen ngjyrat e tyre. Gjeni probabilitetin q? e bardha t? shfaqet para s? zez?s n? k?t? list?.
24. Ka dy urna: n? t? par?n A t? bardh?t dhe B topa t? zinj; n? t? dyt?n C t? bardh? dhe D e zez?. Nga ?do urn? nxirret nj? top. Gjeni probabilitetin q? t? dy topat t? jen? t? bardh?.
25. N? kushtet e problemit 24, gjeni probabilitetin q? topat e vizatuar t? jen? me ngjyra t? ndryshme.
26. Jan? shtat? fole n? daullen e nj? revolveri, pes? prej tyre jan? t? mbushura me fishek? dhe dy jan? l?n? bosh. Tamburi ?sht? vendosur n? rrotullim, si rezultat i s? cil?s nj? nga prizat vendoset rast?sisht kund?r fu?is?. Pas k?saj, k?mb?za shtypet; n?se qeliza ishte bosh, goditja nuk ndodh. Gjeni probabilitetin R fakti q?, pasi kemi p?rs?ritur nj? eksperiment t? till? dy her? radhazi, nuk do t? gjuajm? t? dyja her?t.
27. N? t? nj?jtat kushte (shih problemin 26), gjeni probabilitetin q? t? dy her?t t? ndodh? gjuajtja.
28. Ka nj? A n? urn?; topa t? etiketuara 1, 2, ..., te Nga urna I pasi t?rhiqet nj? top (I<к), numri i topit shkruhet dhe topi vendoset p?rs?ri n? urn?. Gjeni probabilitetin R se t? gjith? numrat e regjistruar do t? jen? t? ndrysh?m.
29. Fjala "lib?r" p?rb?het nga pes? shkronja t? alfabetit t? ndar?. Nj? f?mij? q? nuk dinte t? lexonte i shp?rndau k?to shkronja dhe m? pas i bashkoi n? m?nyr? t? rast?sishme. Gjeni probabilitetin R fakti q? ai p?rs?ri mori fjal?n "lib?r".
30. Fjala "ananas" p?rb?het nga shkronjat e alfabetit t? ndar?. Nj? f?mij? q? nuk dinte t? lexonte i shp?rndau k?to shkronja dhe m? pas i bashkoi n? m?nyr? t? rast?sishme. Gjeni probabilitetin R fakti q? ai p?rs?ri ka fjal?n "ananas
31. Nga nj? kuvert? e plot? letrash (52 flet?, 4 kostume), disa letra nxirren menj?her?. Sa letra duhet t? hiqen p?r t? th?n? me nj? probabilitet m? t? madh se 0,50 se mes tyre do t? ket? letra t? t? nj?jtit kostum?
32. N njer?zit ulen rast?sisht n? nj? tryez? t? rrumbullak?t (N > 2). Gjeni probabilitetin R q? dy fytyra t? fiksuara POR dhe AT do t? jet? af?r.
33. I nj?jti problem (shih 32), por tabela ?sht? drejtk?nd?she dhe N personi ?sht? ulur rast?sisht p?rgjat? nj?r?s an? t? tij.
34. Numrat nga 1 deri n? N. Nga k?to N dy fu?i jan? zgjedhur rast?sisht. Gjeni probabilitetin q? n? t? dy tytat t? shkruhen numra m? t? vegj?l se k
(2
35.
Numrat nga 1 n? N. Nga k?to N dy fu?i jan? zgjedhur rast?sisht. Gjeni probabilitetin q? nj?ra nga tytat t? ket? num?r m? t? madh se k ,
dhe nga ana tjet?r - m? pak se k .
(2
36. Bateria jasht? M me arm? zjarri ndaj nj? grupi t? p?rb?r? nga N q?llimet (M< N). Arm?t zgjedhin objektivat e tyre n? m?nyr? sekuenciale, rast?sisht, me kusht q? asnj? arm? nuk mund t? q?lloj? n? t? nj?jtin objektiv. Gjeni probabilitetin R fakti q? do t? q?llohet mbi objektivat me numrat 1, 2, ... M.
37.. Bateria e p?rb?r? nga te arm?, gjuajtje ndaj nj? grupi t? p?rb?r? nga I avion (p?r t?< 2). ?do arm? zgjedh objektivin e saj rast?sisht dhe n? m?nyr? t? pavarur nga t? tjerat. Gjeni probabilitetin q? t? gjith? te arm?t do t? q?llojn? n? t? nj?jtin objektiv.
38. N? kushtet e problemit t? m?parsh?m, gjeni probabilitetin q? t? gjitha arm?t t? q?llojn? n? objektiva t? ndrysh?m.
39. Kat?r topa shp?rndahen rast?sisht n? kat?r vrima; ?do top godet nj? ose nj? vrim? tjet?r me t? nj?jt?n probabilitet dhe n? m?nyr? t? pavarur nga t? tjerat (nuk ka pengesa p?r t? futur disa topa n? t? nj?jt?n vrim?). Gjeni probabilitetin q? do t? ket? tre topa n? nj?r?n nga vrimat, nj?ra - n? tjetr?n dhe asnj? topa n? dy vrimat e tjera.
40. Masha u grind me Petya dhe nuk d?shiron t? hip? me t? n? t? nj?jtin autobus. Ka 5 autobus? nga hoteli n? institut nga 7 n? 8. Ata q? nuk kan? koh? p?r k?ta autobus? vonohen n? leksion. N? sa m?nyra Masha dhe Petya mund t? arrijn? n? institut me autobus? t? ndrysh?m dhe t? mos vonohen p?r leksionin?
41. N? departamentin e teknologjis? s? informacionit t? bank?s jan? 3 analist?, 10 programues dhe 20 inxhinier?. P?r pun? jasht? orarit n? nj? fest?, drejtuesi i departamentit duhet t? ndaj? nj? punonj?s. N? sa m?nyra mund t? b?het kjo?
42. Drejtuesi i sh?rbimit t? siguris? s? bank?s duhet t? vendos? ?do dit? 10 roje n? 10 poste. N? sa m?nyra mund t? b?het kjo?
43. Kryetari i ri i bank?s duhet t? em?roj? 2 n?nkryetar? t? rinj nga 10 drejtor?t. N? sa m?nyra mund t? b?het kjo?
44. Nj?ra nga pal?t nd?rluftuese kapi 12, dhe tjetra - 15 t? burgosur. N? sa m?nyra mund t? shk?mbehen 7 rob?r lufte?
45. Petya dhe Masha mbledhin disqe video. Petya ka 30 komedi, 80 filma aksion dhe 7 melodrama, Masha ka 20 komedi, 5 filma aksion dhe 90 melodrama. N? sa m?nyra mund t? shk?mbejn? Petya dhe Masha 3 komedi, 2 filma aksion dhe 1 melodram??
46. N? kushtet e problemit 45, n? sa m?nyra mund t? shk?mbejn? Petya dhe Masha 3 melodrama dhe 5 komedi?
47. N? kushtet e problemit 45, n? sa m?nyra mund t? shk?mbejn? Petya dhe Masha 2 filma aksion dhe 7 komedi.
48. Nj?ra nga pal?t nd?rluftuese kapi 15, dhe tjetra - 16 t? burgosur. N? sa m?nyra mund t? shk?mbehen 5 rob?r lufte?
49. Sa makina mund t? regjistrohen n? 1 qytet n?se numri ka 3 shifra dhe 3 shkronja )?
50. Nj?ra nga pal?t nd?rluftuese kapi 14, dhe tjetra - 17 t? burgosur. N? sa m?nyra mund t? shk?mbehen 6 rob?r lufte?
51. Sa fjal? t? ndryshme mund t? formohen duke rirenditur shkronjat e fjal?s “n?n?”?
52. N? nj? shport? ka 3 moll? t? kuqe dhe 7 jeshile. Nj? moll? nxirret prej saj. Gjeni probabilitetin q? ajo t? jet? e kuqe.
53. N? nj? shport? ka 3 moll? t? kuqe dhe 7 jeshile. Nj? moll? jeshile u hoq prej saj dhe u la m?njan?. M? pas nxirret nga koshi edhe 1 moll?. Sa ?sht? probabiliteti q? kjo moll? t? jet? jeshile?
54. N? nj? grup prej 1000 artikujsh, 4 jan? me defekt. P?r kontroll, zgjidhet nj? grup prej 100 produkteve. Sa ?sht? probabiliteti i LLP q? loti i kontrollit t? mos jet? me defekt?
56. N? vitet '80, loja sportloto 5 nga 36 ishte e njohur n? BRSS. Lojtari sh?noi n? kartel? 5 numra nga 1 deri n? 36 dhe merrte ?mime t? em?rtimeve t? ndryshme n?se merrte me mend nj? num?r t? ndrysh?m numrash t? shpallur nga komisioni i shortit. Gjeni probabilitetin q? lojtari nuk ka marr? me mend ndonj? num?r.
57. N? vitet '80, loja "sportloto 5 nga 36" ishte e njohur n? BRSS. Lojtari sh?noi n? kartel? 5 numra nga 1 deri n? 36 dhe merrte ?mime t? em?rtimeve t? ndryshme n?se merrte me mend nj? num?r t? ndrysh?m numrash t? shpallur nga komisioni i shortit. Gjeni probabilitetin q? lojtari t? gjente nj? num?r.
58. N? vitet '80, loja sportloto 5 nga 36 ishte e njohur n? BRSS. Lojtari sh?noi n? kartel? 5 numra nga 1 deri n? 36 dhe merrte ?mime t? em?rtimeve t? ndryshme n?se merrte me mend nj? num?r t? ndrysh?m numrash t? shpallur nga komisioni i shortit. Gjeni probabilitetin q? lojtari t? gjej? 3 numra.
59. N? vitet '80, loja sportloto 5 nga 36 ishte e njohur n? BRSS. Lojtari sh?noi n? kartel? 5 numra nga 1 deri n? 36 dhe merrte ?mime t? em?rtimeve t? ndryshme n?se merrte me mend nj? num?r t? ndrysh?m numrash t? shpallur nga komisioni i shortit. Gjeni probabilitetin q? lojtari nuk i ka marr? me mend t? 5 numrat.
60. N? vitet '80, loja sportloto 6 nga 49 ishte e njohur n? BRSS. Lojtari sh?noi n? kartel? 6 numra nga 1 deri n? 49 dhe merrte ?mime t? em?rtimeve t? ndryshme n?se merrte me mend nj? num?r t? ndrysh?m numrash t? shpallur nga komisioni i shortit. Gjeni probabilitetin q? lojtari t? gjej? 2 numra.
61. N? vitet '80, loja "sportloto 6 nga 49" ishte e njohur n? BRSS. Lojtari sh?noi n? kartel? 6 numra nga 1 deri n? 49 dhe merrte ?mime t? em?rtimeve t? ndryshme n?se merrte me mend nj? num?r t? ndrysh?m numrash t? shpallur nga komisioni i shortit. Gjeni probabilitetin q? lojtari nuk ka marr? me mend ndonj? num?r.
62. N? vitet '80, loja "sportloto 6 nga 49" ishte e njohur n? BRSS. Lojtari sh?noi n? kartel? 6 numra nga 1 deri n? 49 dhe merrte ?mime t? em?rtimeve t? ndryshme n?se merrte me mend nj? num?r t? ndrysh?m numrash t? shpallur nga komisioni i shortit. Gjeni probabilitetin q? lojtari t? hamend?soi t? 6 numrat.
63. N? nj? grup prej 1000 artikujsh, 4 jan? me defekt. P?r kontroll, zgjidhet nj? grup prej 100 produkteve. Sa ?sht? probabiliteti i LLP q? vet?m 1 defekt t? jet? n? lotin e kontrollit?
64. Sa fjal? t? ndryshme mund t? formohen duke rirenditur shkronjat e fjal?s “lib?r”?
65. Sa fjal? t? ndryshme mund t? formohen duke rirenditur shkronjat e fjal?s "ananas"?
66. N? ashensor hyn? 6 persona, dhe bujtina ka 7 kate. Sa ?sht? probabiliteti q? t? 6 personat t? dalin n? t? nj?jtin kat?
67. N? ashensor hyn? 6 persona, pallati ?sht? 7 kate. Sa ?sht? probabiliteti q? t? 6 personat t? dalin n? kate t? ndryshme?
68. Gjat? nj? stuhie, ka ndodhur nj? nd?rprerje e telit n? seksionin midis 40 dhe 79 km t? linj?s elektrike. Duke supozuar se thyerja ?sht? po aq e mundshme n? ?do moment, gjeni probabilitetin q? prishja t? ket? ndodhur nd?rmjet kilometrave t? 40-t? dhe 45-t?.
69. N? seksionin prej 200 kilometrash t? gazsjell?sit, ka nj? rrjedhje gazi midis stacioneve t? kompresorit A dhe B, e cila ?sht? po aq e mundshme n? ?do pik? t? gazsjell?sit. Sa ?sht? probabiliteti q? rrjedhja t? ndodh? brenda 20 km nga A
70. N? seksionin 200 kilometra t? gazsjell?sit, ndodh nj? rrjedhje gazi midis stacioneve t? kompresorit A dhe B, e cila ?sht? po aq e mundur n? ?do pik? t? tubacionit. Sa ?sht? probabiliteti q? rrjedhja t? jet? m? af?r A-s? sesa B?
71. Radari i inspektorit t? policis? rrugore ka sakt?si 10 km/h dhe rrotullohet n? an?n m? t? af?rt. ?far? ndodh m? shpesh - rrumbullakimi n? favor t? shoferit apo inspektorit?
72. Masha shpenzon 40 deri n? 50 minuta rrug?s p?r n? institut, dhe ?do koh? n? k?t? interval ?sht? po aq e mundshme. Sa ?sht? probabiliteti q? ajo t? kaloj? n? rrug? nga 45 deri n? 50 minuta.
73. Petya dhe Masha ran? dakord t? takoheshin n? monumentin e Pushkinit nga ora 12 deri n? 13, por askush nuk mund t? tregonte koh?n e sakt? t? mb?rritjes. Ata ran? dakord t? prisnin nj?ri-tjetrin p?r 15 minuta. Sa ?sht? probabiliteti i takimit t? tyre?
74. Peshkatar?t kap?n 120 peshq n? pellg, 10 prej tyre ishin t? rrethuar. Sa ?sht? probabiliteti p?r t? kapur nj? peshk t? rrethuar?
75. Nga nj? shport? q? p?rmban 3 moll? t? kuqe dhe 7 jeshile, nxirrni t? gjitha moll?t me radh?. Sa ?sht? probabiliteti q? molla e dyt? t? jet? e kuqe?
76. Nga nj? shport? q? p?rmban 3 moll? t? kuqe dhe 7 jeshile, nxirrni t? gjitha moll?t me radh?. Sa ?sht? probabiliteti q? molla e fundit t? jet? jeshile?
77. Nx?n?sit konsiderojn? se nga 50 bileta 10 jan? “t? mira”. Petya dhe Masha me radh? t?rheqin nga nj? bilet? secili. Sa ?sht? probabiliteti q? Masha t? marr? nj? bilet? "t? mir?"?
78. Nx?n?sit konsiderojn? se nga 50 bileta 10 jan? “t? mira”. Petya dhe Masha me radh? t?rheqin nga nj? bilet? secili. Sa ?sht? probabiliteti q? t? dy t? ken? nj? bilet? "t? mir?"?
79. Masha erdhi n? provim duke ditur p?rgjigjet e 20 pyetjeve t? programit nga 25. Profesori b?n 3 pyetje. Sa ?sht? probabiliteti q? Masha t'i p?rgjigjet 3 pyetjeve?
80. Masha erdhi n? provim duke ditur p?rgjigjet e 20 pyetjeve t? programit nga 25. Profesori b?n 3 pyetje. Sa ?sht? probabiliteti q? Masha t? mos i p?rgjigjet asnj?r?s prej pyetjeve?
81. Masha erdhi n? provim duke ditur p?rgjigjet e 20 pyetjeve t? programit nga 25. Profesori b?n 3 pyetje. Sa ?sht? probabiliteti q? Masha t'i p?rgjigjet 1 pyetjes?
82. Statistikat e k?rkesave p?r kredi bankare jan? si m? posht?: 10% - shtet?rore. autoritetet, 20% - banka t? tjera, pjesa tjet?r - individ?. Probabiliteti i d?shtimit t? kredis? ?sht? p?rkat?sisht 0.01, 0.05 dhe 0.2. ?far? p?rqindje e kredive jan? t? pakthyeshme?
83. probabiliteti q? xhiroja javore e nj? tregtari akulloreje t? kaloj? 2000 rubla. ?sht? 80% n? mot t? kthjell?t, 50% n? mot pjes?risht t? vran?t dhe 10% n? mot me shi. Sa ?sht? probabiliteti q? qarkullimi t? kaloj? 2000 rubla. n?se probabiliteti i motit t? kthjell?t ?sht? 20%, dhe pjes?risht me re dhe me shi - 40% secila.
84. E bardha (b) dhe C jan? n? urn?n A topa t? zinj (h). Nga urna nxirren dy topa (nj?koh?sisht ose radhazi). Gjeni probabilitetin q? t? dy topat t? jen? t? bardh?.
85. N? urn?n A t? bardh?t dhe B
86. N? urn?n A t? bardh?t dhe B
87. N? urn?n A t? bardh?t dhe B topa t? zinj. Nj? top nxirret nga urna, sh?nohet ngjyra dhe topi kthehet n? urn?. Pas k?saj, nj? top tjet?r merret nga urna. Gjeni probabilitetin q? k?to topa t? jen? me ngjyra t? ndryshme.
88. Ka nj? kuti me n?nt? topa t? rinj tenisi. Merren tre topa p?r loj?; pas ndeshjes ata kthehen. Kur zgjedhin topa, ata nuk b?jn? dallimin midis topave t? luajtur dhe atyre t? paluajtur. Sa ?sht? probabiliteti q? pas tre ndeshjeve t? mos ket? asnj? top t? paluajtur n? kuti?
89. Largimi nga banesa, N secili i ftuar do t? vesh? galoshet e veta;
90. Largimi nga banesa, N mysafir?t me t? nj?jt?n madh?si k?puc?sh vendosin galosha n? err?sir?. Secili prej tyre mund t? dalloj? galoshin e djatht? nga e majta, por nuk mund t? dalloj? t? tij?n nga e dikujt tjet?r. Gjeni probabilitetin q? secili i ftuar do t? vesh? galosha q? i p?rkasin nj? ?ifti (ndoshta jo t? tyret).
91. N? kushtet e problemit 90, gjeni probabilitetin q? t? gjith? t? largohen n? galoshet e tyre n?se t? ftuarit nuk mund t? dallojn? galoshet e djathta nga e majta dhe thjesht marrin dy galoshet e para q? hasin.
92. T? sht?nat jan? duke u zhvilluar n? drejtim t? avionit, pjes?t e cenueshme t? t? cilit jan? dy motor? dhe kabina. P?r t? goditur (?aktivizuar) avionin, mjafton t? goditni t? dy motor?t s? bashku ose kabin?n. N? kushte t? dh?na zjarri, probabiliteti p?r t? goditur motorin e par? ?sht? p1 motori i dyt? p2, kabin? p3. Pjes? t? avionit preken n? m?nyr? t? pavarur nga nj?ra-tjetra. Gjeni probabilitetin q? avioni t? goditet.
93. Dy gjuajt?s, t? pavarur nga nj?ri-tjetri, gjuajn? dy t? sht?na (secili n? objektivin e vet). Mund?sia e goditjes s? objektivit me nj? gjuajtje p?r gjuajt?sin e par? p1 p?r t? dyt?n p2. Fituesi i konkursit ?sht? qit?si, n? objektivin e t? cilit do t? ket? m? shum? vrima. Gjeni probabilitetin Rx at? q? fiton gjuajt?si i par?.
94. pas nj? objekti hap?sinor, objekti zbulohet me nj? probabilitet R. Zbulimi i objekteve n? ?do cik?l ndodh n? m?nyr? t? pavarur nga t? tjer?t. Gjeni probabilitetin q? kur P ciklet q? do t? zbulohet objekti.
95. 32 shkronja t? alfabetit rus shkruhen n? letra t? prera t? alfabetit. Pes? letra t?rhiqen n? m?nyr? t? rast?sishme, nj?ra pas tjetr?s dhe vendosen n? tavolin? sipas renditjes n? t? cil?n shfaqen. Gjeni probabilitetin q? t? merret fjala "fund".
96. Dy topa shp?rndahen n? m?nyr? t? rast?sishme dhe t? pavarur nga nj?ri-tjetri mbi kat?r qeliza t? vendosura nj?ra pas tjetr?s n? vij? t? drejt?. ?do top me t? nj?jt?n probabilitet 1/4 godet secil?n qeliz?. Gjeni probabilitetin q? topat t? bien n? qelizat fqinje.
97. N? drejtim t? avionit hidhen predha ndez?se. Karburanti n? avion ?sht? i p?rqendruar n? kat?r rezervuar? t? vendosur n? trup nj?ra pas tjetr?s. Madh?sit? e rezervuar?ve jan? t? nj?jta. P?r t? ndezur avionin, mjafton t? godas?sh dy predha ose n? t? nj?jtin tank ose n? tanke ngjitur. B?het e ditur se dy predha kan? goditur zon?n e tankut. Gjeni probabilitetin q? avioni t? marr? flak?.
98. Nga nj? kuvert? e plot? letrash (52 flet?), nxirren kat?r letra menj?her?. Gjeni probabilitetin q? t? kat?r k?to letra t? jen? t? t? nj?jtit kostum.
99. Nga nj? kuvert? e plot? letrash (52 flet?), kat?r letra nxirren menj?her?, por secila letra kthehet n? kuvert? pasi t? hiqet. Gjeni probabilitetin q? t? kat?r letrat t? jen? t? t? nj?jtit kostum.
100. Kur ndezja ndizet, motori fillon me nj? probabilitet R.
101. Pajisja mund t? funksionoj? n? dy m?nyra: 1) normale dhe 2) jonormale. M?nyra normale v?rehet n? 80% t? t? gjitha rasteve t? funksionimit t? pajisjes; jonormale - n? 20%. Mund?sia e d?shtimit t? pajisjes n? koh? t n? gjendje normale ?sht? 0.1; n? jonormale - 0.7. Gjeni probabilitetin total R d?shtimi i pajisjes.
102. Dyqani merr mallra nga 3 furnitor?: 55% nga i pari, 20 nga i dyti dhe 25% nga i treti. P?rqindja e martes?s ?sht? p?rkat?sisht 5, 6 dhe 8 p?r qind. Sa ?sht? probabiliteti q? produkti i bler? me defekt t? ket? ardhur nga furnizuesi i dyt?.
103. Fluksi i makinave nga pikat e karburantit p?rb?het nga 60% kamion? dhe 40% makina. Sa ?sht? probabiliteti p?r t? gjetur nj? kamion n? nj? pik? karburanti n?se probabiliteti i karburantit ?sht? 0.1, dhe nj? makin? ?sht? 0.3
104. Fluksi i makinave nga pikat e karburantit p?rb?het nga 60% kamion? dhe 40% makina. Sa ?sht? probabiliteti p?r t? gjetur nj? kamion n? nj? pik? karburanti n?se probabiliteti i karburantit ?sht? 0.1, dhe nj? makin? ?sht? 0.3
105. Dyqani merr mallra nga 3 furnitor?: 55% nga i pari, 20 nga i dyti dhe 25% nga i treti. P?rqindja e martes?s ?sht? p?rkat?sisht 5, 6 dhe 8 p?r qind. Sa ?sht? probabiliteti q? produkti i bler? me defekt t? ket? ardhur nga furnizuesi i par?.
106. 32 shkronja t? alfabetit rus shkruhen n? letra t? prera t? alfabetit. Pes? letra t?rhiqen n? m?nyr? t? rast?sishme, nj?ra pas tjetr?s dhe vendosen n? tavolin? sipas renditjes n? t? cil?n shfaqen. Gjeni probabilitetin p?r t? marr? fjal?n "lib?r".
107. Dyqani merr mallra nga 3 furnitor?: 55% nga i pari, 20 nga i dyti dhe 25% nga i treti. P?rqindja e martes?s ?sht? p?rkat?sisht 5, 6 dhe 8 p?r qind. Sa ?sht? probabiliteti q? produkti i bler? me defekt t? ket? ardhur nga furnizuesi i par?.
108. Dy topa shp?rndahen n? m?nyr? t? rast?sishme dhe t? pavarur nga nj?ri-tjetri mbi kat?r qeliza t? vendosura nj?ra pas tjetr?s n? vij? t? drejt?. ?do top me t? nj?jt?n probabilitet 1/4 godet secil?n qeliz?. Gjeni probabilitetin q? 2 topa t? bien n? t? nj?jt?n qeliz?
109. Kur ndezja ndizet, motori fillon t? punoj? me nj? probabilitet R. Gjeni probabilitetin q? motori t? filloj? t? funksionoj? her?n e dyt? q? ndezja ndizet;
110. N? drejtim t? avionit hidhen predha ndez?se. Karburanti n? avion ?sht? i p?rqendruar n? kat?r rezervuar? t? vendosur n? trup nj?ra pas tjetr?s. Madh?sit? e rezervuar?ve jan? t? nj?jta. P?r t? ndezur avionin, mjafton t? godas?sh dy predha n? t? nj?jtin tank. B?het e ditur se dy predha kan? goditur zon?n e tankut. Gjeni probabilitetin q? avioni t? marr? flak?
111. N? drejtim t? avionit hidhen predha ndez?se. Karburanti n? avion ?sht? i p?rqendruar n? kat?r rezervuar? t? vendosur n? trup nj?ra pas tjetr?s. Madh?sit? e rezervuar?ve jan? t? nj?jta. P?r t? ndezur avionin, mjafton t? godas?sh dy predha n? tanket fqinje. B?het e ditur se dy predha kan? goditur zon?n e tankut. Gjeni probabilitetin q? avioni t? marr? flak?
112. N? urn?n A t? bardh?t dhe B topa t? zinj. Nj? top nxirret nga urna, sh?nohet ngjyra dhe topi kthehet n? urn?. Pas k?saj, nj? top tjet?r merret nga urna. Gjeni probabilitetin q? t? dy topat e t?rhequr t? jen? t? bardh?.
113. N? urn?n A t? bardh?t dhe B topa t? zinj. Nga urna nxirren dy topa menj?her?. Gjeni probabilitetin q? k?to topa t? jen? me ngjyra t? ndryshme.
114. Dy topa shp?rndahen n? m?nyr? t? rast?sishme dhe t? pavarur nga nj?ri-tjetri mbi kat?r qeliza t? vendosura nj?ra pas tjetr?s n? vij? t? drejt?. ?do top me t? nj?jt?n probabilitet 1/4 godet secil?n qeliz?. Gjeni probabilitetin q? topat t? bien n? qelizat fqinje.
115. Masha erdhi n? provim duke ditur p?rgjigjet e 20 pyetjeve t? programit nga 25. Profesori b?n 3 pyetje. Sa ?sht? probabiliteti q? Masha t'i p?rgjigjet 2 pyetjeve?
116. Nx?n?sit konsiderojn? se nga 50 bileta 10 jan? “t? mira”. Petya dhe Masha me radh? t?rheqin nga nj? bilet? secili. Sa ?sht? probabiliteti q? t? dy t? ken? nj? bilet? "t? mir?"?
117. Statistikat e k?rkesave p?r kredi bankare jan? si m? posht?: 10% - shtet?rore. autoritetet, 20% - banka t? tjera, pjesa tjet?r - individ?. Probabiliteti i d?shtimit t? kredis? ?sht? p?rkat?sisht 0.01, 0.05 dhe 0.2. ?far? p?rqindje e kredive jan? t? pakthyeshme?
118. 32 shkronja t? alfabetit rus shkruhen n? letra t? prera t? alfabetit. Pes? letra t?rhiqen n? m?nyr? t? rast?sishme, nj?ra pas tjetr?s dhe vendosen n? tavolin? sipas renditjes n? t? cil?n shfaqen. Gjeni probabilitetin q? t? merret fjala "fund".
119 Statistikat e k?rkesave p?r kredi bankare jan? si m? posht?: 10% - gjendje. autoritetet, 20% - banka t? tjera, pjesa tjet?r - individ?. Probabiliteti i d?shtimit t? kredis? ?sht? p?rkat?sisht 0.01, 0.05 dhe 0.2. ?far? p?rqindje e kredive jan? t? pakthyeshme?
120. probabiliteti q? xhiroja javore e nj? tregtari akulloreje t? kaloj? 2000 rubla. ?sht? 80% n? mot t? kthjell?t, 50% n? mot pjes?risht t? vran?t dhe 10% n? mot me shi. Sa ?sht? probabiliteti q? qarkullimi t? kaloj? 2000 rubla. n?se probabiliteti i motit t? kthjell?t ?sht? 20%, dhe pjes?risht me re dhe me shi - 40% secila.
Forma e ngjarjeve grupi i plot?, n?se t? pakt?n nj?ri prej tyre do t? ndodh? domosdoshm?risht si rezultat i eksperimentit dhe jan? t? papajtuesh?m n? ?ift.
Le t? supozojm? se ngjarja A mund t? ndodh? vet?m s? bashku me nj? nga disa ngjarje t? papajtueshme n? ?ift q? formojn? nj? grup t? plot?. Le t'i quajm? ngjarjet i= 1, 2,…, n) hipoteza p?rvoj? shtes? (a priori). Probabiliteti i ndodhjes s? ngjarjes A p?rcaktohet nga formula probabilitet t? plot? :
Shembulli 16 Ka tre urna. Urna e par? p?rmban 5 topa t? bardh? dhe 3 t? zinj, urna e dyt? p?rmban 4 topa t? bardh? dhe 4 topa t? zinj dhe urna e tret? p?rmban 8 topa t? bardh?. Nj? nga urnat zgjidhet n? m?nyr? t? rast?sishme (kjo mund t? n?nkuptoj?, p?r shembull, se nj? p?rzgjedhje ?sht? b?r? nga nj? urn? ndihm?se q? p?rmban tre topa me num?r 1, 2 dhe 3). Nj? top nxirret rast?sisht nga kjo urn?. Sa ?sht? probabiliteti q? t? jet? i zi?
Zgjidhje. Ngjarja A– vizatohet topi i zi. N?se do t? dihej se nga cila urn? ?sht? t?rhequr topi, at?her? probabiliteti i k?rkuar mund t? llogaritet sipas p?rkufizimit klasik t? probabilitetit. Le t? paraqesim supozime (hipoteza) n? lidhje me cil?n urn? ?sht? zgjedhur p?r t? nxjerr? topin.
Topi mund t? nxirret ose nga urna e par? (hipotez?), ose nga e dyta (hipotez?), ose nga e treta (hipotez?). Meqen?se ka shanse t? barabarta p?r t? zgjedhur ndonj? nga urnat, at?her? 
.
Prandaj rrjedh se
Shembulli 17. Llambat elektrike prodhohen n? tre fabrika. Fabrika e par? prodhon 30% t? numrit t? p?rgjithsh?m t? llambave elektrike, e dyta - 25%.
dhe e treta p?r pjes?n tjet?r. Produktet e fabrik?s s? par? p?rmbajn? 1% llamba elektrike me defekt, e dyta - 1,5%, e treta - 2%. Dyqani merr produkte nga t? tre fabrikat. Sa ?sht? probabiliteti q? nj? llamb? e bler? n? dyqan t? jet? me defekt?
Zgjidhje. Duhet t? futen supozimet se n? cil?n fabrik? ?sht? prodhuar llamba. Duke e ditur k?t?, ne mund t? gjejm? probabilitetin q? ai t? jet? i d?mtuar. Le t? prezantojm? sh?nimin p?r ngjarjet: A– llamba elektrike e bler? ka rezultuar me defekt, – llamba ?sht? prodhuar nga fabrika e par?, – llamba ?sht? prodhuar nga fabrika e dyt?,
– llamba ?sht? e prodhuar nga fabrika e tret?.
Probabiliteti i d?shiruar gjendet me formul?n e probabilitetit total:
Formula e Bayes. Le t? jet? nj? grup i plot? i ngjarjeve t? papajtueshme n? ?ift (hipoteza). POR?sht? nj? ngjarje e rast?sishme. Pastaj,
Formula e fundit q? ju lejon t? mbivler?soni probabilitetet e hipotezave pasi rezultati i testit t? b?het i njohur, si rezultat i s? cil?s u shfaq ngjarja A, quhet Formula e Bayes .
Shembulli 18. Mesatarisht, 50% e pacient?ve me k?t? s?mundje shtrohen n? nj? spital t? specializuar te, 30% me s?mundje L, 20 % –
me s?mundje M. Probabiliteti i nj? sh?rimi t? plot? t? s?mundjes K?sht? e barabart? me 0.7 p?r s?mundjet L dhe M k?to probabilitete jan? p?rkat?sisht 0.8 dhe 0.9. Pacienti i shtruar n? spital ka dal? i sh?ndetsh?m. Gjeni probabilitetin q? ky pacient t? kishte s?mundjen K.
Zgjidhje. Prezantojm? hipotezat: - pacienti vuante nga nj? s?mundje te L, pacienti vuante nga s?mundja M.
Pastaj, sipas gjendjes s? problemit, ne kemi . Le t? prezantojm? nj? ngjarje POR Pacienti i shtruar n? spital ka dal? i sh?ndetsh?m. Sipas kushteve
Sipas formul?s s? probabilitetit total, marrim:
Formula e Bayes.
Shembulli 19. Le t? ket? pes? topa n? urn? dhe t? gjitha supozimet p?r numrin e topave t? bardha jan? po aq t? mundshme. Nj? top merret rast?sisht nga urna dhe rezulton t? jet? i bardh?. Cili ?sht? supozimi m? i mundsh?m p?r p?rb?rjen fillestare t? urn?s?
Zgjidhje. Le t? jet? hipoteza se n? urn?n e topave t? bardh? 
, pra ?sht? e mundur t? b?hen gjasht? supozime. Pastaj, sipas gjendjes s? problemit, ne kemi .
Le t? prezantojm? nj? ngjarje POR Nj? top i bardh? i t?rhequr rast?sisht. Le t? llogarisim. Meqen?se , at?her? sipas formul?s Bayes kemi: 
K?shtu, hipoteza ?sht? m? e mundshme, pasi .
Shembulli 20. Dy nga tre element? q? funksionojn? n? m?nyr? t? pavarur t? pajisjes kompjuterike d?shtuan. Gjeni probabilitetin q? elementi i par? dhe i dyt? t? d?shtojn? n?se probabilitetet e d?shtimit t? elementit t? par?, t? dyt? dhe t? tret? jan? p?rkat?sisht t? barabarta me 0,2; 0.4 dhe 0.3.
Zgjidhje. Sh?noni me POR ngjarje - dy elemente d?shtuan. Mund t? b?hen hipotezat e m?poshtme:
- elementi i par? dhe i dyt? d?shtuan, dhe elementi i tret? ?sht? i p?rdorsh?m. Meqen?se element?t punojn? n? m?nyr? t? pavarur, zbatohet teorema e shum?zimit:
Formula e Bayes
Teorema e Bayes- nj? nga teoremat kryesore t? teoris? elementare t? probabilitetit, e cila p?rcakton probabilitetin q? nj? ngjarje t? ndodh? n? kushtet kur vet?m disa informacione t? pjesshme rreth ngjarjeve dihen bazuar n? v?zhgimet. Sipas formul?s Bayes, ?sht? e mundur t? rillogaritet m? sakt? probabiliteti, duke marr? parasysh informacionin e njohur m? par? dhe t? dh?nat nga v?zhgimet e reja.
"Kuptimi fizik" dhe terminologjia
Formula e Bayes ju lejon t? "rirregulloni shkakun dhe pasoj?n": duke pasur parasysh faktin e njohur t? nj? ngjarjeje, llogaritni probabilitetin q? ajo t? jet? shkaktuar nga nj? shkak i caktuar.
Zakonisht quhen ngjarje q? pasqyrojn? veprimin e "shkaqeve" n? k?t? rast hipoteza, sepse ata jan? i supozuar ngjarjet q? ?uan n? t?. Probabiliteti i pakusht?zuar i vlefshm?ris? s? nj? hipoteze quhet A priori(Sa e mundshme ?sht? shkaku? p?rgjith?sisht), dhe e kusht?zuar - duke marr? parasysh faktin e ngjarjes - a posteriori(Sa e mundshme ?sht? shkaku? rezultoi se merrte parasysh t? dh?nat e ngjarjes).
Pasoja
Nj? pasoj? e r?nd?sishme e formul?s Bayes ?sht? formula p?r probabilitetin total t? nj? ngjarjeje n? var?si t? disa hipoteza t? paq?ndrueshme ( dhe vet?m prej tyre!).
- probabiliteti i ndodhjes s? ngjarjes B, n? var?si t? nj? numri hipotezash A i n?se dihen shkall?t e besueshm?ris? s? k?tyre hipotezave (p?r shembull, t? matura n? m?nyr? eksperimentale); Derivimi i formul?s
N?se nj? ngjarje varet vet?m nga shkaqet A i, at?her? n?se ka ndodhur, do t? thot? se medoemos kan? ndodhur disa nga arsyet, d.m.th.
Me formul?n Bayes
transferimi P(B) n? t? djatht?, marrim shprehjen e d?shiruar.
Metoda e filtrimit t? spamit
Nj? metod? e bazuar n? teorem?n e Bayes ?sht? aplikuar me sukses n? filtrimin e spamit.
P?rshkrim
Kur st?rvitni filtrin, p?r secil?n fjal? t? hasur me shkronja, llogaritet dhe ruhet "pesha" e saj - probabiliteti q? nj? shkronj? me k?t? fjal? t? jet? e pad?shiruar (n? rastin m? t? thjesht?, sipas p?rkufizimit klasik t? probabilitetit: "shfaqjet n? spam / paraqitjet e gjith?kaje”).
Kur kontrolloni nj? let?r t? sapoardhur, probabiliteti q? ajo t? jet? e pad?shiruar llogaritet sipas formul?s s? m?sip?rme p?r nj? grup hipotezash. N? k?t? rast, "hipoteza" jan? fjal?, dhe p?r secil?n fjal? "besueshm?ria e hipotez?s" -% e k?saj fjale n? shkronj?, dhe "var?sia e ngjarjes nga hipoteza" P(B | A i) - llogaritur m? par? "pesha" e fjal?s. Dometh?n?, "pesha" e shkronj?s n? k?t? rast nuk ?sht? gj? tjet?r ve?se "pesha" mesatare e t? gjitha fjal?ve t? saj.
Nj? let?r klasifikohet si "spam" ose "jo-spam" n?se "pesha" e saj tejkalon nj? shirit t? caktuar t? vendosur nga p?rdoruesi (zakonisht ato marrin 60-80%). Pasi t? merret nj? vendim p?r nj? let?r, "peshat" p?r fjal?t e p?rfshira n? t? p?rdit?sohen n? baz?n e t? dh?nave.
Karakteristike
Kjo metod? ?sht? e thjesht? (algoritmet jan? elementare), e p?rshtatshme (ju lejon t? b?ni pa "lista t? zeza" dhe truke t? ngjashme artificiale), efektive (pas trajnimit n? nj? most?r mjaft t? madhe, ajo nd?rpret deri n? 95-97% t? spamit, dhe n? rast t? ndonj? gabimi mund t? rikualifikohet). N? p?rgjith?si, ekzistojn? t? gjitha indikacionet p?r p?rdorimin e tij t? gjer?, gj? q? ndodh n? praktik? - pothuajse t? gjith? filtrat modern? t? spamit jan? nd?rtuar mbi baz?n e tij.
Megjithat?, metoda ka gjithashtu nj? penges? thelb?sore: ajo bazuar n? supozimin, ?far? disa fjal? jan? m? t? zakonshme n? mesazhe t? pad?shiruara, nd?rsa t? tjerat jan? m? t? zakonshme n? emailet e rregullta, dhe ?sht? joefikas n?se ky supozim ?sht? i rrem?. Sidoqoft?, si? tregon praktika, edhe nj? person nuk ?sht? n? gjendje t? p?rcaktoj? nj? spam t? till? "me sy" - vet?m pasi t? ket? lexuar letr?n dhe t? kuptoj? kuptimin e saj.
Nj? tjet?r disavantazh, jo thelb?sor, i lidhur me zbatimin - metoda funksionon vet?m me tekst. Duke ditur p?r k?t? kufizim, spammers filluan t? vendosnin informacione reklamuese n? foto, nd?rsa teksti n? let?r ose mungon ose nuk ka kuptim. P?rkund?r k?saj, duhet t? p?rdoren ose mjete p?r njohjen e tekstit (nj? procedur? "e shtrenjt?", e p?rdorur vet?m kur ?sht? absolutisht e nevojshme), ose metoda t? vjetra filtrimi - "lista t? zeza" dhe shprehje t? rregullta (pasi letra t? tilla shpesh kan? nj? form? stereotipike).
Shiko gjithashtu
Sh?nime
Lidhjet
Let?rsia
- Byrd Kivi. Teorema e Rev. Bayes. // Revista Computerra, 24 gusht 2001
- Paul Graham. Nj? plan p?r spam. // Uebfaqja personale e Paul Graham.
Fondacioni Wikimedia. 2010 .
Shihni se ?far? ?sht? "formula Bayes" n? fjalor? t? tjer?:
Nj? formul? q? duket si: ku a1, A2, ..., An jan? ngjarje t? papajtueshme, Skema e p?rgjithshme p?r zbatimin e F. n?. g.: n?se ngjarja B mund t? ndodh? n? zb?rthim. kushtet n? t? cilat b?hen n hipoteza A1, A2, ..., An me probabilitete P (A1), ... t? njohura para eksperimentit, ... ... Enciklopedia Gjeologjike
Ju lejon t? llogaritni probabilitetin e nj? ngjarje me interes p?rmes probabiliteteve t? kusht?zuara t? k?saj ngjarjeje, duke supozuar hipoteza t? caktuara, si dhe probabilitetet e k?tyre hipotezave. Formulimi Le t? jepet nj? hap?sir? probabiliteti dhe nj? grup i plot? n? ?ifte ... ... Wikipedia
Ju lejon t? llogaritni probabilitetin e nj? ngjarje me interes p?rmes probabiliteteve t? kusht?zuara t? k?saj ngjarjeje, duke supozuar hipoteza t? caktuara, si dhe probabilitetet e k?tyre hipotezave. Formulimi Le t? jepet nj? hap?sir? probabiliteti dhe nj? grup i plot? ngjarjesh, t? tilla ... ... Wikipedia
- (ose formula e Bayes) nj? nga teoremat kryesore t? teoris? s? probabilitetit, e cila ju lejon t? p?rcaktoni probabilitetin q? nj? ngjarje (hipotez?) t? ket? ndodhur n? prani t? vet?m provave (t? dh?nave) indirekte q? mund t? jen? t? pasakta ... Wikipedia
Teorema e Bayes ?sht? nj? nga teoremat kryesore t? teoris? elementare t? probabilitetit, e cila p?rcakton probabilitetin q? nj? ngjarje t? ndodh? n? kushtet kur vet?m disa informacione t? pjesshme rreth ngjarjeve dihen bazuar n? v?zhgimet. Sipas formul?s Bayes, ju mund t? ... ... Wikipedia
Bayes, Thomas Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Data e lindjes: 1702 (1702) Vendi i lindjes ... Wikipedia
Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Data e lindjes: 1702 (1702) Vendi i lindjes: Lond?r ... Wikipedia
Konkluzioni Bayesian ?sht? nj? nga metodat e konkluzionit statistikor, n? t? cilin formula Bayes p?rdoret p?r t? rafinuar vler?simet probabilistike t? s? v?rtet?s s? hipotezave kur mb?rrijn? provat. P?rdorimi i p?rdit?simit Bayesian ?sht? ve?an?risht i r?nd?sish?m n? ... ... Wikipedia
D?shironi ta p?rmir?soni k?t? artikull?: Gjeni dhe jepni fusnota p?r referenca n? burime autoritare q? konfirmojn? at? q? ?sht? shkruar. Duke v?n? sh?nimet n? fund t? faqes, b?ni tregues m? t? sakt? t? burimeve. Pere ... Wikipedia
A do t? tradhtojn? t? burgosurit nj?ri-tjetrin, duke ndjekur interesat e tyre egoiste, apo do t? heshtin, duke minimizuar k?shtu afatin total? Dilema e t? burgosurve (Eng. Prisoner's dilemma, emri "dilema" p?rdoret m? rrall? ... Wikipedia
librat
- Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore n? problema: M? shum? se 360 probleme dhe ushtrime, Borzykh D. Manuali i propozuar p?rmban probleme t? niveleve t? ndryshme t? kompleksitetit. Megjithat?, theksi kryesor vihet n? detyrat me kompleksitet mesatar. Kjo ?sht? b?r? q?llimisht p?r t? inkurajuar student?t t?…
Teori e shkurt?r
N?se nj? ngjarje ndodh vet?m n?se ndodh nj? nga ngjarjet q? formojn? nj? grup t? plot? ngjarjesh t? papajtueshme, at?her? ajo ?sht? e barabart? me shum?n e produkteve t? probabiliteteve t? secil?s prej ngjarjeve dhe portofolin p?rkat?s t? probabilitetit t? kusht?zuar.
N? k?t? rast, ngjarjet quhen hipoteza, dhe probabilitetet quhen apriori. Kjo formul? quhet formula e probabilitetit total.
Formula e Bayes p?rdoret n? zgjidhjen e problemeve praktike, kur ka ndodhur nj? ngjarje q? shfaqet s? bashku me ndonj? nga ngjarjet q? formojn? nj? grup t? plot? ngjarjesh dhe k?rkohet t? kryhet nj? rivler?sim sasior i probabiliteteve t? hipotezave. Probabilitetet a priori (para p?rvoj?s) jan? t? njohura. K?rkohet llogaritja e probabiliteteve a posteriori (pas p?rvoj?s), d.m.th. N? thelb, ju duhet t? gjeni probabilitetet e kusht?zuara. Formula e Bayes duket si kjo:
Faqja tjet?r trajton problemin n? .
Shembull i zgjidhjes s? problemit
Kushti i detyr?s 1
N? fabrik?, makinat 1, 2 dhe 3 prodhojn? p?rkat?sisht 20%, 35% dhe 45% t? t? gjitha pjes?ve. N? produktet e tyre, defekti ?sht? p?rkat?sisht 6%, 4%, 2%. Sa ?sht? probabiliteti q? nj? artikull i zgjedhur rast?sisht t? jet? me defekt? Sa ?sht? probabiliteti q? ?sht? prodhuar: a) nga makina 1; b) makina 2; c) makina 3?
Zgjidhja e problemit 1
Sh?noni me rastin kur produkti standard doli t? ishte me defekt.
Nj? ngjarje mund t? ndodh? vet?m n?se ndodh nj? nga tre ngjarjet:
Produkti prodhohet n? makin?n 1;
Produkti prodhohet n? makin?n 2;
Produkti prodhohet n? makin?n 3;
Le t? shkruajm? probabilitetet e kusht?zuara:
Formula e probabilitetit total
N?se nj? ngjarje mund t? ndodh? vet?m kur ndodh nj? nga ngjarjet q? formojn? nj? grup t? plot? ngjarjesh t? papajtueshme, at?her? probabiliteti i ngjarjes llogaritet me formul?n
Duke p?rdorur formul?n e probabilitetit total, gjejm? probabilitetin e nj? ngjarjeje:
Formula e Bayes
Formula e Bayes ju lejon t? "rirregulloni shkakun dhe pasoj?n": duke pasur parasysh faktin e njohur t? nj? ngjarjeje, llogaritni probabilitetin q? ajo t? jet? shkaktuar nga nj? shkak i caktuar.
Probabiliteti q? nj? artikull me defekt ?sht? prodhuar n? makin?n 1:
Probabiliteti q? nj? artikull me defekt ?sht? prodhuar n? makin?n 2:
Probabiliteti q? nj? artikull me defekt ?sht? prodhuar n? makin?n 3:
Kushti i detyr?s 2
Grupi p?rb?het nga 1 student ekselent?, 5 student? t? mir? dhe 14 student? mediok?r. Nj? nx?n?s i shk?lqyer i p?rgjigjet 5 dhe 4 me probabilitet t? barabart?, nj? student i mir? i p?rgjigjet 5, 4 dhe 3 me probabilitet t? barabart? dhe nj? student mediok?r p?rgjigjet 4,3 dhe 2 me probabilitet t? barabart?. Nj? nx?n?s i p?rzgjedhur rast?sisht u p?rgjigj 4. Sa ?sht? probabiliteti q? t? quhet nj? student mediok?r?
Zgjidhja e problemit 2
Hipotezat dhe probabilitetet e kusht?zuara
Hipotezat e m?poshtme jan? t? mundshme:
Studenti i shk?lqyer u p?rgjigj;
U p?rgjigj mir?;
– u p?rgjigj studenti mediok?r;
L?reni q? ngjarja-nx?n?si t? marr? 4.
Probabilitetet e kusht?zuara:
P?rgjigje:
E mesme kostoja e zgjidhjes s? pun?s s? kontrollit ?sht? 700 - 1200 rubla (por jo m? pak se 300 rubla p?r t? gjith? porosin?). ?mimi ndikohet fuqish?m nga urgjenca e vendimit (nga dit? n? disa or?). Kostoja e ndihm?s n? internet n? provim / test - nga 1000 rubla. p?r zgjidhjen e biletave.
Aplikacioni mund t? lihet direkt n? chat, duke hequr m? par? gjendjen e detyrave dhe duke ju informuar p?r afatet p?r zgjidhjen e tij. Koha e p?rgjigjes ?sht? disa minuta.
Le t? dihen probabilitetet e tyre dhe probabilitetet e kusht?zuara p?rkat?se. At?her? probabiliteti q? ngjarja t? ndodh? ?sht?:
Kjo formul? quhet formulat e probabilitetit total. N? tekstet shkollore formulohet nga nj? teorem?, v?rtetimi i s? cil?s ?sht? elementare: sipas algjeb?r e ngjarjeve, (ngjarja ka ndodhur dhe ose ka ndodhur nj? ngjarje dhe pasi erdhi ngjarja ose ka ndodhur nj? ngjarje dhe pasi erdhi ngjarja ose …. ose ka ndodhur nj? ngjarje dhe ngjarja pasoi). Q? nga hipotezat 
jan? t? papajtueshme, dhe ngjarja ?sht? e varur, at?her? sipas Teorema e mbledhjes p?r probabilitetet e ngjarjeve t? papajtueshme (Hapi i par?) dhe teorema e shum?zimit t? probabiliteteve t? ngjarjeve t? varura (hapi i dyt?):
Ndoshta, shum? parashikojn? p?rmbajtjen e shembullit t? par? =)
Kudo q? t? p?shtyni - kudo urna:
Detyra 1
Ka tre urna identike. Urna e par? p?rmban 4 topa t? bardh? dhe 7 t? zinj, urna e dyt? p?rmban vet?m topa t? bardh? dhe urna e tret? p?rmban vet?m topa t? zinj. Nj? urn? zgjidhet rast?sisht dhe nga ajo nxirret nj? top rast?sisht. Sa ?sht? probabiliteti q? ky top t? jet? i zi?
Zgjidhje: merrni parasysh ngjarjen - nj? top i zi do t? nxirret nga nj? urn? e zgjedhur rast?sisht. Kjo ngjarje mund t? ndodh? si rezultat i zbatimit t? nj?r?s prej hipotezave t? m?poshtme:
– do t? zgjidhet urna e par?;
– do t? zgjidhet urna e dyt?;
– do t? zgjidhet urna e tret?.
Meqen?se urna zgjidhet n? m?nyr? t? rast?sishme, zgjedhja e cil?sdo prej tre urnave po aq e mundur, Rrjedhimisht: 
Vini re se hipotezat e m?sip?rme formohen grupi i plot? i ngjarjeve, dometh?n?, sipas kushtit, nj? top i zi mund t? shfaqet vet?m nga k?to urna dhe, p?r shembull, t? mos fluturoj? nga tavolina e bilardos. Le t? b?jm? nj? kontroll t? thjesht? t? nd?rmjet?m: 
OK, le t? vazhdojm?:
Urna e par? p?rmban 4 topa t? bardh? + 7 t? zeza = 11 topa, secila p?rkufizimi klasik:
?sht? probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? zi ne kushte se do t? zgjidhet urna e par?.
Urna e dyt? p?rmban vet?m topa t? bardh?, pra n?se zgjidhet b?het pamja e nj? topi t? zi e pamundur: .
Dhe, s? fundi, n? urn?n e tret? ka vet?m topa t? zinj, q? do t? thot? se p?rkat?se probabiliteti i kusht?zuar nxjerrja e topit t? zi do t? jet? (ngjarja ?sht? e sigurt).
?sht? probabiliteti q? nj? top i zi t? nxirret nga nj? urn? e zgjedhur rast?sisht.
P?rgjigju:
Shembulli i analizuar p?rs?ri sugjeron se sa e r?nd?sishme ?sht? t? KUPTOHET GJENDJA. Le t? marrim t? nj?jtat probleme me urnat dhe topat - me ngjashm?rin? e tyre t? jashtme, metodat e zgjidhjes mund t? jen? krejt?sisht t? ndryshme: diku k?rkohet t? aplikohet vet?m p?rkufizimi klasik i probabilitetit, diku ngjarje t? pavarur, diku i varur, dhe diku po flasim p?r hipoteza. N? t? nj?jt?n koh?, nuk ka nj? kriter t? qart? formal p?r zgjedhjen e nj? rruge zgjidhjeje - pothuajse gjithmon? duhet t? mendoni p?r t?. Si t? p?rmir?soni aft?sit? tuaja? Ne zgjidhim, zgjidhim dhe zgjidhim p?rs?ri!
Detyra 2
N? poligonin e qitjes gjenden 5 pushk? t? ndryshme. Probabilitetet e goditjes s? objektivit p?r nj? gjuajt?s t? caktuar jan? p?rkat?sisht t? barabarta me 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 dhe 0,4. Sa ?sht? probabiliteti p?r t? goditur objektivin n?se gjuajt?si q?llon nj? t? sht?n? nga nj? pushk? e zgjedhur rast?sisht?
Zgjidhje e shkurt?r dhe p?rgjigje n? fund t? or?s s? m?simit.
N? shumic?n e problemeve tematike, hipotezat, natyrisht, nuk jan? nj?soj t? mundshme:
Detyra 3
N? piramid? gjenden 5 pushk?, tre prej t? cilave jan? t? pajisura me nj? pamje optike. Probabiliteti q? gjuajt?si t? godas? objektivin kur t? q?llohet nga nj? pushk? me pamje teleskopike ?sht? 0,95; p?r nj? pushk? pa pamje teleskopike, kjo probabilitet ?sht? 0.7. Gjeni probabilitetin q? objektivi t? goditet n?se gjuajt?si q?llon nj? t? sht?n? nga nj? pushk? e marr? rast?sisht.
Zgjidhje: n? k?t? problem, numri i pushk?ve ?sht? sakt?sisht i nj?jt? me at? t? m?parsh?m, por ka vet?m dy hipoteza:
- qit?si do t? zgjedh? nj? pushk? me pamje optike;
- qit?si do t? zgjedh? nj? pushk? pa pamje teleskopike.
Nga p?rkufizimi klasik i probabilitetit: 
.
Kontrolli:
Merrni parasysh ngjarjen: - gjuajt?si godet objektivin me nj? pushk? t? zgjedhur rast?sisht.
Sipas kushtit:.
Sipas formul?s s? probabilitetit total:
P?rgjigju: 0,85
N? praktik?, nj? m?nyr? e shkurtuar e hartimit t? nj? detyre, me t? cil?n jeni njohur gjithashtu, ?sht? mjaft e pranueshme:
Zgjidhje: sipas p?rkufizimit klasik: 
jan? probabilitetet e zgjedhjes s? nj? pushke me dhe pa pamje optike, p?rkat?sisht.
Sipas kushtit, 
– gjasat e goditjes s? objektivit me llojet p?rkat?se t? pushk?ve.
Sipas formul?s s? probabilitetit total:
?sht? probabiliteti q? gjuajt?si t? godas? objektivin me nj? pushk? t? zgjedhur rast?sisht.
P?rgjigju: 0,85
Detyra e m?poshtme p?r nj? zgjidhje t? pavarur:
Detyra 4
Motori funksionon n? tre m?nyra: normale, t? detyruar dhe boshe. N? modalitetin boshe, probabiliteti i d?shtimit t? tij ?sht? 0.05, n? modalitetin normal - 0.1, dhe n? modalitetin e detyruar - 0.7. 70% t? koh?s motori punon n? modalitetin normal dhe 20% n? modalitetin e detyruar. Sa ?sht? probabiliteti i d?shtimit t? motorit gjat? funksionimit?
P?r ?do rast, m? lejoni t'ju kujtoj - p?r t? marr? probabilitetet, p?rqindjet duhet t? ndahen me 100. Kini shum? kujdes! Sipas v?zhgimeve t? mia, kushtet e problemave p?r formul?n e probabilitetit total shpesh tentohen t? ngat?rrohen; dhe un? zgjodha konkretisht nj? shembull t? till?. Un? do t'ju them nj? sekret - pothuajse u hutova vet? =)
Zgjidhja n? fund t? or?s s? m?simit (formuluar n? nj? m?nyr? t? shkurt?r)
Probleme p?r formulat e Bayes
Materiali ?sht? i lidhur ngusht? me p?rmbajtjen e paragrafit t? m?parsh?m. L?reni q? ngjarja t? ndodh? si rezultat i zbatimit t? nj?r?s prej hipotezave 
. Si t? p?rcaktohet probabiliteti q? t? ket? ndodhur nj? hipotez? e ve?ant??
Ne kushte at? ngjarje tashm? ka ndodhur, probabilitetet e hipotezave mbivler?suar sipas formulave q? mor?n emrin e priftit anglez Thomas Bayes:
- probabiliteti q? hipoteza t? ket? ndodhur; 
- probabiliteti q? hipoteza t? ket? ndodhur;
…
?sht? probabiliteti q? hipoteza t? ishte e v?rtet?.
N? pamje t? par?, duket si nj? absurditet i plot? - pse t? rillogaritni probabilitetet e hipotezave, n?se ato tashm? dihen? Por n? fakt ka nj? ndryshim:
- kjo ?sht? A priori(vler?suar p?rpara teste) probabilitete.
- kjo ?sht? a posteriori(vler?suar pas teste) probabilitetet e t? nj?jtave hipoteza, t? rillogaritura n? lidhje me "rrethanat e zbuluara rishtazi" - duke marr? parasysh faktin se ngjarja ndodhi.
Le ta shohim k?t? ndryshim me nj? shembull specifik:
Detyra 5
Magazina mori 2 tufa produktesh: e para - 4000 cop?, e dyta - 6000 cop?. P?rqindja mesatare e produkteve jo standarde n? grupin e par? ?sht? 20%, dhe n? t? dyt?n - 10%. I marr? rast?sisht nga magazina, produkti doli t? ishte standard. Gjeni probabilitetin q? ?sht?: a) nga grupi i par?, b) nga grupi i dyt?.
Pjesa e par? Zgjidhjet konsiston n? p?rdorimin e formul?s s? probabilitetit total. Me fjal? t? tjera, llogaritjet kryhen n?n supozimin se testi ende i pa prodhuar dhe ngjarje "produkti doli t? jet? standard" derisa t? vij?.
Le t? shqyrtojm? dy hipoteza:
- nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme do t? jet? nga grupi i par?;
- nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme do t? jet? nga grupi i dyt?.
Gjithsej: 4000 + 6000 = 10000 artikuj n? magazin?. Sipas p?rkufizimit klasik:
.
Kontrolli:
Merrni parasysh ngjarjen e varur: – nj? artikull i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga magazina do t? jet? standarde.
N? grupin e par? 100% - 20% = 80% produkte standarde, prandaj: 
ne kushte se i p?rket pal?s s? par?.
N? m?nyr? t? ngjashme, n? grupin e dyt? 100% - 10% = 90% produkte standarde dhe 
?sht? probabiliteti q? nj? artikull i zgjedhur rast?sisht n? magazin? t? jet? nj? artikull standard ne kushte se i p?rket pal?s s? dyt?.
Sipas formul?s s? probabilitetit total:
?sht? probabiliteti q? nj? produkt i zgjedhur rast?sisht nga magazina t? jet? nj? produkt standard.
Pjesa e dyte. Supozoni se nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga magazina doli t? ishte standard. Kjo fraz? shkruhet drejtp?rdrejt n? kusht dhe tregon faktin se ngjarja ndodhi.
Sipas formulave t? Bayes:
a) - probabiliteti q? produkti standard i zgjedhur i p?rket grupit t? par?;
b) - probabiliteti q? produkti standard i zgjedhur i p?rket grupit t? dyt?.
Pas rivler?simi hipotezat, natyrisht, ende formohen grupi i plot?:
(provim;-))
P?rgjigju: 
Ivan Vasilyevich, i cili ndryshoi p?rs?ri profesionin e tij dhe u b? drejtor i uzin?s, do t? na ndihmoj? t? kuptojm? kuptimin e rivler?simit t? hipotezave. Ai e di q? sot dyqani i par? d?rgoi 4000 artikuj n? magazin?, dhe dyqani i dyt? - 6000 produkte, dhe ai vjen p?r t'u siguruar p?r k?t?. Supozoni se t? gjitha produktet jan? t? t? nj?jtit lloj dhe jan? n? t? nj?jt?n en?. Natyrisht, Ivan Vasilyevich llogariti m? par? se produkti q? ai do t? hiqte tani p?r verifikim ka shum? t? ngjar? t? prodhohej nga pun?toria e par? dhe me nj? probabilitet nga e dyta. Por pasi artikulli i p?rzgjedhur rezulton t? jet? standard, ai th?rret: “?far? rrufe n? qiell! - m? tep?r u l?shua nga pun?toria e dyt?. K?shtu, probabiliteti i hipotez?s s? dyt? mbivler?sohet p?r mir?, dhe probabiliteti i hipotez?s s? par? n?nvler?sohet: . Dhe ky mbivler?sim nuk ?sht? i paarsyesh?m - n? fund t? fundit, pun?toria e 2-t? jo vet?m q? prodhoi m? shum? produkte, por funksionon edhe 2 her? m? mir?!
Ju thoni, subjektiviz?m i past?r? Pjes?risht - po, p?r m? tep?r, interpretoi vet? Bayes a posteriori probabilitetet si niveli i besimit. Sidoqoft?, jo gjith?ka ?sht? kaq e thjesht? - ka nj? kok?rr objektive n? qasjen Bayesian. N? fund t? fundit, probabiliteti q? produkti do t? jet? standard (0.8 dhe 0.9 p?r dyqanet 1 dhe 2, respektivisht) kjo ?sht? paraprake(apriori) dhe e mesme vler?simet. Por, duke folur filozofikisht, gjith?ka rrjedh, gjith?ka ndryshon, p?rfshir? edhe probabilitetet. ?sht? mjaft e mundur q? n? momentin e studimit Dyqani i dyt? m? i suksessh?m rriti p?rqindjen e produkteve standarde (dhe/ose dyqani i par? i reduktuar), dhe n?se kontrolloni m? shum? ose t? gjitha 10 mij? artikujt n? magazin?, at?her? vlerat e mbivler?suara do t? jen? shum? m? af?r s? v?rtet?s.
Nga rruga, n?se Ivan Vasilyevich nxjerr nj? pjes? jo standarde, at?her? anasjelltas - ai do t? "dyshoj?" gjithnj? e m? pak dyqanin e par? - t? dytin. Un? ju sugjeroj ta kontrolloni vet?:
Detyra 6
Magazina mori 2 tufa produktesh: e para - 4000 cop?, e dyta - 6000 cop?. P?rqindja mesatare e produkteve jo standarde n? grupin e par? ?sht? 20%, n? t? dyt?n - 10%. Nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga magazina rezultoi t? ishte jo standarde. Gjeni probabilitetin q? ?sht?: a) nga grupi i par?, b) nga grupi i dyt?.
Kushti do t? dallohet nga dy shkronja, t? cilat i kam theksuar me shkronja t? zeza. Problemi mund t? zgjidhet nga e para, ose mund t? p?rdorni rezultatet e llogaritjeve t? m?parshme. N? kampion kam kryer nj? zgjidhje t? plot?, por p?r t? shmangur nj? mbivendosje formale me detyr?n nr. 5, ngjarja "Nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga magazina do t? jet? jo standard" sh?nuar me .
Skema Bayesian e rivler?simit t? probabiliteteve gjendet kudo, dhe gjithashtu shfryt?zohet n? m?nyr? aktive nga lloje t? ndryshme mashtruesish. Konsideroni nj? shoq?ri aksionare me tre shkronja q? ?sht? b?r? em?r i njohur, q? t?rheq depozita nga popullsia, gjoja i investon diku, paguan rregullisht divident? etj. Cfare po ndodh? Dit? pas dite, muaj pas muaji kalon dhe gjithnj? e m? shum? fakte t? reja, t? p?rcjella p?rmes reklamave dhe goj?dh?nave, vet?m sa rrisin nivelin e besimit n? piramid?n financiare. (rivler?simi i m?vonsh?m Bayesian p?r shkak t? ngjarjeve t? kaluara!). Dometh?n?, n? syt? e depozituesve, ka nj? rritje t? vazhdueshme t? gjasave q? "Kjo ?sht? nj? zyr? serioze"; nd?rsa probabiliteti i hipotez?s s? kund?rt ("k?ta jan? mashtrues t? rregullt"), natyrisht, zvog?lohet dhe zvog?lohet. Pjesa tjet?r, mendoj, ?sht? e qart?. Vlen t? p?rmendet se reputacioni i fituar u jep organizator?ve koh? p?r t'u fshehur me sukses nga Ivan Vasilyevich, i cili mbeti jo vet?m pa nj? grumbull bulonash, por edhe pa pantallona.
Ne do t'i kthehemi shembujve jo m? pak interesant? pak m? von?, por tani p?r tani, ndoshta rasti m? i zakonsh?m me tre hipoteza ?sht? n? radh?:
Detyra 7
Llambat elektrike prodhohen n? tre fabrika. Fabrika e par? prodhon 30% t? numrit t? p?rgjithsh?m t? llambave, e dyta - 55%, dhe e treta - pjesa tjet?r. Produktet e uzin?s s? par? p?rmbajn? 1% llamba me defekt, e dyta - 1,5%, e treta - 2%. Dyqani merr produkte nga t? tre fabrikat. Llamba q? bleva ishte me defekt. Sa ?sht? probabiliteti q? ?sht? prodhuar nga impianti 2?
Vini re se n? problemet n? formulat e Bayes n? gjendje detyrimisht disa cfare ndodhi nj? ngjarje, n? k?t? rast, blerja e nj? llamb?.
Ngjarjet jan? shtuar dhe zgjidhje?sht? m? i p?rshtatsh?m p?r t? rregulluar n? nj? stil "t? shpejt?".
Algoritmi ?sht? sakt?sisht i nj?jt?: n? hapin e par? gjejm? probabilitetin q? llamba e bler? t? do t? jet? me t? meta.
Duke p?rdorur t? dh?nat fillestare, ne i p?rkthejm? p?rqindjet n? probabilitet:
jan? probabilitetet q? llamba t? prodhohet nga fabrikat e 1, 2 dhe 3, respektivisht.
Kontrolli:
N? m?nyr? t? ngjashme: - probabilitetet e prodhimit t? nj? llamb? me defekt p?r fabrikat p?rkat?se.
Sipas formul?s s? probabilitetit total:
- probabiliteti q? llamba e bler? t? jet? me defekt.
Hapi dy. L?reni llamb?n e bler? t? jet? me defekt (ngjarja ka ndodhur)
Sipas formul?s Bayes: 
- probabiliteti q? llamba e bler? me defekt ?sht? prodhuar nga fabrika e dyt?
P?rgjigju:
Pse u rrit probabiliteti fillestar i hipotez?s s? dyt? pas rivler?simit? N? fund t? fundit, fabrika e dyt? prodhon llamba me cil?si mesatare (e para ?sht? m? e mir?, e treta ?sht? m? e keqe). Pra, pse u rrit a posteriori probabiliteti q? llamba me defekt ?sht? nga fabrika e 2-t?? Kjo nuk ?sht? m? p?r shkak t? "reputacionit", por p?r shkak t? madh?sis?. Meqen?se fabrika nr. 2 prodhoi numrin m? t? madh t? llambave, ata e faj?sojn? at? (t? pakt?n subjektivisht): "Me shum? mund?si, kjo llamb? me defekt ?sht? nga atje".
?sht? interesante t? theksohet se probabilitetet e hipotezave 1 dhe 3 u mbivler?suan n? drejtimet e pritura dhe u b?n? t? barabarta:
Kontrolli: 
, e cila duhej t? verifikohej.
Nga rruga, p?r t? n?nvler?suar dhe mbivler?suar:
Detyra 8
N? grupin e student?ve, 3 persona kan? nivel t? lart? formimi, 19 persona kan? nivel mesatar dhe 3 persona kan? nivel t? ul?t. Probabilitetet e kalimit t? suksessh?m t? provimit p?r k?ta student? jan? p?rkat?sisht: 0,95; 0.7 dhe 0.4. Dihet se nj? student e ka kaluar provimin. Sa ?sht? probabiliteti q?:
a) ishte i p?rgatitur shum? mir?;
b) ishte p?rgatitur mesatarisht;
c) ishte i p?rgatitur keq.
Kryen llogaritjet dhe analizon rezultatet e rivler?simit t? hipotezave.
Detyra ?sht? af?r realitetit dhe ?sht? ve?an?risht e besueshme p?r nj? grup student?sh me koh? t? pjesshme, ku m?suesi praktikisht nuk i njeh aft?sit? e k?tij apo atij studenti. N? k?t? rast, rezultati mund t? shkaktoj? pasoja mjaft t? papritura. (ve?an?risht p?r provimet n? semestrin e par?). N?se nj? student i p?rgatitur keq ka fatin t? marr? nj? bilet?, at?her? m?suesi ka t? ngjar? ta konsideroj? at? nj? student t? mir? apo edhe nj? student t? fort?, gj? q? do t? sjell? divident? t? mir? n? t? ardhmen. (natyrisht, ju duhet t? "ngritni shiritin" dhe t? ruani imazhin tuaj). N?se nj? student studionte, grumbullohej, p?rs?ritej p?r 7 dit? dhe 7 net?, por ai ishte thjesht i pafat, at?her? ngjarjet e m?tejshme mund t? zhvillohen n? m?nyr?n m? t? keqe t? mundshme - me rimarrje t? shumta dhe balancim n? prag t? nisjes.
Esht? e panevojshme t? thuhet se reputacioni ?sht? kapitali m? i r?nd?sish?m, nuk ?sht? rast?si q? shum? korporata mbajn? emrat dhe mbiemrat e baballar?ve t? tyre themelues, t? cil?t drejtuan biznesin 100-200 vjet m? par? dhe u b?n? t? famsh?m p?r reputacionin e tyre t? pat?met?.
Po, qasja Bayesian ?sht? subjektive deri n? nj? mas?, por ... k?shtu funksionon jeta!
Le t? konsolidojm? materialin me nj? shembull p?rfundimtar industrial, n? t? cilin do t? flas p?r holl?sit? teknike t? zgjidhjes q? nuk jan? hasur ende:
Detyra 9
Tre punishte t? uzin?s prodhojn? pjes? t? t? nj?jtit lloj, t? cilat montohen n? nj? en? t? p?rbashk?t p?r montim. Dihet se dyqani i par? prodhon 2 her? m? shum? pjes? se dyqani i dyt? dhe 4 her? m? shum? se dyqani i tret?. N? pun?torin? e par?, defekti ?sht? 12%, n? t? dyt?n - 8%, n? t? tret?n - 4%. P?r kontroll, nj? pjes? merret nga ena. Sa ?sht? probabiliteti q? ai t? jet? me defekt? Sa ?sht? probabiliteti q? pjesa e nxjerr? me defekt t? jet? prodhuar nga punishtja e tret??
Taki Ivan Vasilyevich ?sht? p?rs?ri me kal? =) Filmi duhet t? ket? nj? fund t? lumtur =)
Zgjidhje: n? ndryshim nga detyrat nr. 5-8, k?tu shtrohet n? m?nyr? eksplicite nj? pyetje, e cila zgjidhet duke p?rdorur formul?n e probabilitetit total. Por nga ana tjet?r, kushti ?sht? pak i "kriptuar" dhe aft?sia e shkoll?s p?r t? hartuar ekuacionet m? t? thjeshta do t? na ndihmoj? t? zgjidhim k?t? rebus. P?r "x" ?sht? e p?rshtatshme t? merret vlera m? e vog?l:
Le t? jet? pjesa e pjes?ve t? prodhuara nga punishtja e tret?.
Sipas kushtit, punishtja e par? prodhon 4 her? m? shum? se punishtja e tret?, pra pjesa e punishtes s? par? ?sht? .
P?rve? k?saj, punishtja e par? prodhon 2 her? m? shum? produkte se punishtja e dyt?, q? do t? thot? se pjesa e k?saj t? fundit: .
Le t? b?jm? dhe zgjidhim ekuacionin:
K?shtu: - probabilitetet q? pjesa e hequr nga kontejneri ?sht? l?shuar nga pun?toria e 1-r?, e dyt? dhe e tret?, p?rkat?sisht.
Kontrolli: . P?r m? tep?r, nuk do t? jet? e tep?rt t? shikojm? p?rs?ri fraz?n “Dihet q? punishtja e par? prodhon produkte 2 her? m? shum? se punishtja e dyt? dhe 4 her? m? shum? se punishtja e tret?” dhe sigurohuni q? probabilitetet e fituara t? p?rputhen v?rtet me k?t? kusht.
P?r "X" fillimisht ishte e mundur t? merrej pjesa e 1-s? ose pjesa e dyqanit t? 2-t? - probabilitetet do t? dalin t? nj?jta. Por, n? nj? m?nyr? ose n? nj? tjet?r, pjesa m? e v?shtir? ?sht? kaluar dhe zgjidhja ?sht? n? rrug?n e duhur:
Nga gjendja gjejm?:
- probabiliteti i prodhimit t? nj? pjese me defekt p?r punishtet p?rkat?se.
Sipas formul?s s? probabilitetit total: 
?sht? probabiliteti q? nj? pjes? e nxjerr? rast?sisht nga kontejneri t? jet? jo standarde.
Pyetja e dyt?: sa ?sht? probabiliteti q? pjesa e nxjerr? me defekt t? jet? prodhuar nga punishtja e tret?? Kjo pyetje supozon se pjesa tashm? ?sht? hequr dhe ?sht? konstatuar se ?sht? me defekt. Ne rivler?sojm? hipotez?n duke p?rdorur formul?n Bayes: 
?sht? probabiliteti i d?shiruar. Shum? e pritshme - n? fund t? fundit, pun?toria e tret? prodhon jo vet?m pjes?n m? t? vog?l t? pjes?ve, por edhe udh?heq n? cil?si!
N? k?t? rast, m? duhej thjeshtojn? thyes?n kat?rkat?she, e cila n? problemet n? formulat e Bayes duhet t? b?het mjaft shpesh. Por p?r k?t? m?sim, un? rast?sisht mora shembuj n? t? cil?t shum? llogaritje mund t? b?hen pa fraksione t? zakonshme.
Meqen?se nuk ka pika "a" dhe "be" n? kusht, ?sht? m? mir? t? jepni p?rgjigjen me komente teksti:
P?rgjigju: 
- probabiliteti q? pjesa e hequr nga kontejneri t? jet? me defekt; - probabiliteti q? pjesa e defektuar e nxjerr? ?sht? l?shuar nga punishtja e tret?.
Si? mund ta shihni, problemet n? formul?n e probabilitetit total dhe formulat Bayes jan? mjaft t? thjeshta, dhe, me siguri, p?r k?t? arsye ata shpesh p?rpiqen t? komplikojn? gjendjen, t? cil?n e p?rmenda tashm? n? fillim t? artikullit.
Shembuj shtes? jan? n? dosjen me zgjidhje t? gatshme p?r F.P.V. dhe formulat e Bayes, p?rve? k?saj, ndoshta ka nga ata q? d?shirojn? t? njihen m? thell? me k?t? tem? n? burime t? tjera. Dhe tema ?sht? v?rtet shum? interesante - ?far? ia vlen vet?m paradoksi i bayes, e cila justifikon k?shill?n e p?rditshme se n?se nj? person diagnostikohet me nj? s?mundje t? rrall?, at?her? ka kuptim q? ai t? kryej? nj? ekzaminim t? dyt? dhe madje dy t? p?rs?ritur t? pavarur. Duket se ata e b?jn? k?t? vet?m nga d?shp?rimi ... - por jo! Por le t? mos flasim p?r gj?ra t? trishtueshme.
?sht? probabiliteti q? nj? student i p?rzgjedhur rast?sisht t? kaloj? provimin.
L?reni studentin t? kaloj? provimin. Sipas formulave t? Bayes:
a)
- probabiliteti q? studenti q? kaloi provimin t? ishte p?rgatitur shum? mir?. Probabiliteti fillestar objektiv ?sht? i mbivler?suar, sepse pothuajse gjithmon? disa "mesatar?" jan? me fat me pyetjet dhe ata p?rgjigjen shum? fuqish?m, gj? q? t? jep p?rshtypjen e gabuar t? p?rgatitjes s? pat?met?.b)
?sht? probabiliteti q? studenti q? ka dh?n? provimin t? jet? i p?rgatitur mesatarisht. Probabiliteti fillestar rezulton t? jet? pak i mbivler?suar, sepse nx?n?sit me nj? nivel mesatar t? p?rgatitjes jan? zakonisht shumica, p?rve? k?saj, m?suesi do t? p?rfshij? k?tu "nx?n?s t? shk?lqyer" t? p?rgjigjur pa sukses, dhe her? pas here nj? student me performanc? t? dob?t i cili ishte shum? me fat me nj? bilet?.n?)
- probabiliteti q? studenti q? e kaloi provimin t? ishte i p?rgatitur dob?t. Probabiliteti fillestar u mbivler?sua p?r keq. Nuk ?sht? e habitshme.Ekzaminimi:
P?rgjigju :
