Tangjente?sht? nj? vij? e drejt? q? kalon n?p?r nj? pik? t? kurb?s dhe q? p?rkon me t? n? k?t? pik? deri n? rendin e par? (Fig. 1).

P?rkufizim tjet?r: ky ?sht? pozicioni kufitar i sekantit n? D x->0.

Shpjegim: Merrni nj? vij? q? pret kurb?n n? dy pika: POR dhe b(shih foton). Ky ?sht? nj? sekant. Do ta rrotullojm? n? drejtim t? akrepave t? or?s derisa t? ket? vet?m nj? pik? t? p?rbashk?t me kurb?n. Pra marrim nj? tangjente.

P?rkufizimi i rrept? i nj? tangjente:

Grafiku i tangjentit t? funksionit f, i diferencuesh?m n? nj? pik? xrreth, ?sht? nj? vij? q? kalon n?p?r pik?n ( xrreth; f(xrreth)) dhe ka nj? pjerr?si f?( xrreth).

Pjerr?sia ka nj? vij? t? drejt? y=kx +b. Koeficient k dhe eshte faktori i pjerr?sis? k?t? vij? t? drejt?.

Koeficienti k?ndor ?sht? i barabart? me tangjenten e k?ndit akut t? formuar nga kjo vij? e drejt? me boshtin x:

K?tu k?ndi a ?sht? k?ndi nd?rmjet drejt?z?s y=kx +b dhe drejtimin pozitiv (d.m.th. n? drejtim t? kund?rt t? akrepave t? or?s) t? boshtit x. Quhet k?ndi i prirjes drejt(Fig. 1 dhe 2).

N?se k?ndi i prirjes ?sht? i drejt? y=kx +b akut, at?her? pjerr?sia ?sht? nj? num?r pozitiv. Grafiku rritet (Fig. 1).

N?se k?ndi i prirjes ?sht? i drejt? y=kx +b i mpir?, at?her? pjerr?sia ?sht? nj? num?r negativ. Grafiku ?sht? n? r?nie (Fig. 2).

N?se drejt?za ?sht? paralele me boshtin x, at?her? pjerr?sia e drejt?z?s ?sht? zero. N? k?t? rast, pjerr?sia e vij?s ?sht? gjithashtu zero (pasi tangjentja e zeros ?sht? zero). Ekuacioni i drejt?z?s do t? duket si y = b (Fig. 3).

N?se k?ndi i prirjes s? nj? drejt?ze ?sht? 90? (p/2), dometh?n? ?sht? pingul me boshtin x, at?her? drejt?za jepet nga barazia x=c, ku c- nj? num?r real (Fig. 4).

Ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionity = f(x) n? pik?n xrreth:

Shembull : Le t? gjejm? ekuacionin e tangjentes me grafikun e funksionit f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 n? pik?n me abshis? 2.

Zgjidhje .

Ne ndjekim algoritmin.

1) Pika e prekjes xrreth barazohet me 2. Llogarit f(xrreth):

f(xrreth) = f(2) = 2 3 – 2 ? 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Gjeni f?( x). P?r ta b?r? k?t?, ne p?rdorim formulat e diferencimit t? p?rshkruara n? seksionin e m?parsh?m. Sipas k?tyre formulave, X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. Do t? thot?:

f?( x) = 3X 2 – 2 ? 2X = 3X 2 – 4X.

Tani, duke p?rdorur vler?n q? rezulton f?( x), llogarit f?( xrreth):

f?( xrreth) = f?(2) = 3 ? 2 2 – 4 ? 2 = 12 – 8 = 4.

3) Pra, ne kemi t? gjitha t? dh?nat e nevojshme: xrreth = 2, f(xrreth) = 1, f ?( xrreth) = 4. K?ta numra i z?vend?sojm? n? ekuacionin tangjent? dhe gjejm? zgjidhjen p?rfundimtare:

y= f(xrreth) + f?( xrreth) (x – x o) \u003d 1 + 4 ? (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

P?rgjigje: y \u003d 4x - 7.

Shembulli 1 Jepet nj? funksion f(x) = 3x 2 + 4x– 5. T? shkruajm? ekuacionin e tangjentes n? grafikun e funksionit f(x) n? pik?n e grafikut me abshis?n x 0 = 1.

Zgjidhje. Derivati i funksionit f(x) ekziston p?r ?do x R . Le ta gjejm?:

= (3x 2 + 4x– 5)? = 6 x + 4.

Pastaj f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Ekuacioni tangjent ka form?n:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

P?rgjigju. y = 10x – 8.

Shembulli 2 Jepet nj? funksion f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. T? shkruajm? ekuacionin e tangjentes n? grafikun e funksionit f(x), paralel me vij?n y = 2x – 11.

Zgjidhje. Derivati i funksionit f(x) ekziston p?r ?do x R . Le ta gjejm?:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)? = 3 x 2 – 6x + 2.

Meqen?se tangjentja me grafikun e funksionit f(x) n? pik?n me abshis?n x 0 ?sht? paralel me vij?n y = 2x– 11, at?her? pjerr?sia e saj ?sht? 2, d.m.th. x 0) = 2. Gjeni k?t? abshis? nga kushti q? 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Kjo barazi vlen vet?m p?r x 0 = 0 dhe x 0 = 2. Meqen?se n? t? dyja rastet f(x 0) = 5, pastaj vija e drejt? y = 2x + b prek grafikun e funksionit ose n? pik?n (0; 5) ose n? pik?n (2; 5).

N? rastin e par?, barazia numerike ?sht? e v?rtet? 5 = 2x0 + b, ku b= 5, dhe n? rastin e dyt?, barazia numerike ?sht? e v?rtet? 5 = 2 x 2 + b, ku b = 1.

Pra ka dy tangjente y = 2x+ 5 dhe y = 2x+ 1 n? grafikun e funksionit f(x) paralel me drejt?z?n y = 2x – 11.

P?rgjigju. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Shembulli 3 Jepet nj? funksion f(x) = x 2 – 6x+ 7. T? shkruajm? ekuacionin e tangjentes n? grafikun e funksionit f(x) duke kaluar n?p?r pik? A (2; –5).

Zgjidhje. Sepse f(2) -5, pastaj pika A nuk i p?rket grafikut t? funksionit f(x). Le x 0 - abshisa e pik?s s? prekjes.

Derivati i funksionit f(x) ekziston p?r ?do x R . Le ta gjejm?:

= (x 2 – 6x+ 1)? = 2 x – 6.

Pastaj f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Ekuacioni tangjent ka form?n:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Q? nga pika A i p?rket tangjentes, at?her? barazia numerike ?sht? e v?rtet?

–5 = (2x 0 – 6)x2– x+ 7,

ku x 0 = 0 ose x 0 = 4. Kjo do t? thot? se p?rmes pik?s A?sht? e mundur t? vizatohen dy tangjente n? grafikun e funksionit f(x).

Nese nje x 0 = 0, at?her? ekuacioni tangjent ka form?n y = –6x+ 7. N?se x 0 = 4, at?her? ekuacioni tangjent ka form?n y = 2x – 9.

P?rgjigju. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Shembulli 4 Funksionet e dh?na f(x) = x 2 – 2x+ 2 dhe g(x) = –x 2 - 3. T? shkruajm? ekuacionin e tangjentes s? p?rbashk?t me grafik?t e k?tyre funksioneve.

Zgjidhje. Le x 1 - abshisa e pik?s s? kontaktit t? vij?s s? d?shiruar me grafikun e funksionit f(x), a x 2 - abshisa e pik?s s? kontaktit t? s? nj?jt?s drejt?z me grafikun e funksionit g(x).

Derivati i funksionit f(x) ekziston p?r ?do x R . Le ta gjejm?:

= (x 2 – 2x+ 2)? = 2 x – 2.

Pastaj f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Ekuacioni tangjent ka form?n:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Le t? gjejm? derivatin e funksionit g(x):

= (–x 2 – 3)? = –2 x.

Merrni parasysh figur?n e m?poshtme:

Ai tregon nj? funksion y = f(x) q? ?sht? i diferencuesh?m n? pik?n a. Pika M e sh?nuar me koordinata (a; f(a)). P?rmes nj? pike arbitrare P(a + ?x; f(a + ?x)) t? grafikut, vizatohet nj? MP sekante.

N?se tani pika P zhvendoset p?rgjat? grafikut n? pik?n M, at?her? vija e drejt? MP do t? rrotullohet rreth pik?s M. N? k?t? rast, ?x do t? priret n? zero. Nga k?tu mund t? formulojm? p?rkufizimin e nj? tangjente n? grafikun e nj? funksioni.

Grafiku i tangjentit t? funksionit

Tangjentja e grafikut t? funksionit ?sht? pozicioni kufizues i sekantit kur rritja e argumentit tenton n? zero. Duhet kuptuar se ekzistenca e derivatit t? funksionit f n? pik?n x0 do t? thot? se n? k?t? pik? t? grafikut ekziston tangjente ndaj tij.

N? k?t? rast, pjerr?sia e tangjentes do t? jet? e barabart? me derivatin e k?tij funksioni n? k?t? pik? f’(x0). Ky ?sht? kuptimi gjeometrik i derivatit. Tangjentja me grafikun e funksionit f t? diferencuesh?m n? pik?n x0 ?sht? nj? vij? e drejt? q? kalon n?p?r pik?n (x0;f(x0)) dhe ka nj? pjerr?si f'(x0).

Ekuacioni tangjent

Le t? p?rpiqemi t? marrim ekuacionin e tangjentes n? grafikun e ndonj? funksioni f n? pik?n A(x0; f(x0)). Ekuacioni i nj? drejt?ze me nj? pjerr?si k ka form?n e m?poshtme:

Meqen?se pjerr?sia jon? ?sht? e barabart? me derivatin f'(x0), at?her? ekuacioni do t? marr? form?n e m?poshtme: y = f'(x0)*x + b.

Tani le t? llogarisim vler?n e b. P?r ta b?r? k?t?, ne p?rdorim faktin q? funksioni kalon n?p?r pik?n A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, prej k?tu shprehim b dhe marrim b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Ne e z?vend?sojm? vler?n q? rezulton n? ekuacionin tangjent:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Merrni shembullin e m?posht?m: gjeni ekuacionin e tangjentes me grafikun e funksionit f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 n? pik?n x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Z?vend?sojm? vlerat e marra n? formul?n tangjente, marrim: y = 1 + 4*(x - 2). Duke hapur kllapat dhe duke sjell? terma t? ngjash?m, marrim: y = 4*x - 7.

P?rgjigje: y = 4*x - 7.

Skema e p?rgjithshme p?r p?rpilimin e ekuacionit tangjent n? grafikun e funksionit y = f(x):

1. P?rcaktoni x0.

2. Njehsoni f(x0).

3. Llogaritni f'(x)

Le t? jepet nj? funksion f, i cili n? nj? pik? x 0 ka nj? derivat t? fund?m f (x 0). At?her? drejt?za q? kalon n?p?r pik?n (x 0; f (x 0)), e cila ka nj? pjerr?si f '(x 0), quhet tangjente.

Por ?far? ndodh n?se derivati n? pik?n x 0 nuk ekziston? Ka dy opsione:

1. Tangjentja e grafikut gjithashtu nuk ekziston. Shembulli klasik ?sht? funksioni y = |x | n? pik?n (0; 0).
2. Tangjentja b?het vertikale. Kjo ?sht? e v?rtet?, p?r shembull, p?r funksionin y = arcsin x n? pik?n (1; p /2).

Ekuacioni tangjent

?do vij? e drejt? jo vertikale jepet nga nj? ekuacion i form?s y = kx + b, ku k ?sht? pjerr?sia. Tangjentja nuk b?n p?rjashtim, dhe p?r t? kompozuar ekuacionin e saj n? nj? pik? x 0, mjafton t? dihet vlera e funksionit dhe e derivatit n? k?t? pik?.

Pra, le t? jepet nj? funksion y \u003d f (x), i cili ka nj? derivat y \u003d f '(x) n? segment. At?her? n? ?do pik? x 0 ? (a; b) n? grafikun e k?tij funksioni mund t? vizatohet nj? tangjente, e cila jepet nga ekuacioni:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

K?tu f '(x 0) ?sht? vlera e derivatit n? pik?n x 0, dhe f (x 0) ?sht? vlera e vet? funksionit.

Nj? detyr?. Jepet nj? funksion y = x 3 . Shkruani nj? ekuacion p?r tangjenten me grafikun e k?tij funksioni n? pik?n x 0 = 2.

Ekuacioni tangjent: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Pika x 0 = 2 na ?sht? dh?n?, por do t? duhet t? llogariten vlerat f (x 0) dhe f '(x 0).

S? pari, le t? gjejm? vler?n e funksionit. Gjith?ka ?sht? e leht? k?tu: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Tani le t? gjejm? derivatin: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Z?vend?so n? derivatin x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Pra marrim: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ky ?sht? ekuacioni tangjent.

Nj? detyr?. Hartoni ekuacionin e tangjentes me grafikun e funksionit f (x) \u003d 2sin x + 5 n? pik?n x 0 \u003d p / 2.

K?t? her? ne nuk do t? p?rshkruajm? n? detaje ?do veprim - ne do t? tregojm? vet?m hapat kryesor?. Ne kemi:

f (x 0) \u003d f (p / 2) \u003d 2sin (p / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(p / 2) \u003d 2cos (p / 2) \u003d 0;

Ekuacioni tangjent:

y = 0 (x - p /2) + 7 => y = 7

N? rastin e fundit, vija doli t? ishte horizontale, sepse pjerr?sia e saj k = 0. Nuk ka asgj? t? keqe me k?t? - thjesht u ndesh me nj? pik? ekstreme.

N? faz?n e tanishme t? zhvillimit t? arsimit, nj? nga detyrat kryesore t? tij ?sht? formimi i nj? personaliteti q? mendon n? m?nyr? krijuese. Aft?sia p?r kreativitet tek student?t mund t? zhvillohet vet?m n?se ata jan? t? p?rfshir? sistematikisht n? bazat e aktiviteteve k?rkimore. Themeli q? student?t t? p?rdorin forcat, aft?sit? dhe talentet e tyre krijuese jan? formimi i njohurive dhe aft?sive t? plota. N? k?t? drejtim, problemi i formimit t? nj? sistemi t? njohurive dhe aft?sive baz? p?r secil?n tem? t? l?nd?s s? matematik?s shkollore nuk ka r?nd?si t? vog?l. N? t? nj?jt?n koh?, aft?sit? e plota duhet t? jen? q?llimi didaktik jo i detyrave individuale, por i sistemit t? tyre t? menduar me kujdes. N? kuptimin m? t? gjer?, nj? sistem kuptohet si nj? grup element?sh nd?rveprues t? nd?rlidhur q? ka integritet dhe nj? struktur? t? q?ndrueshme.

Konsideroni nj? metodologji p?r t'i m?suar student?t se si t? hartojn? nj? ekuacion t? nj? tangjente n? nj? grafik funksioni. N? thelb, t? gjitha detyrat p?r gjetjen e ekuacionit tangjent reduktohen n? nevoj?n p?r t? zgjedhur nga grupi (shifta, familja) e rreshtave ato prej tyre q? plot?sojn? nj? k?rkes? t? caktuar - ato jan? tangjente me grafikun e nj? funksioni t? caktuar. N? k?t? rast, grupi i linjave nga i cili kryhet p?rzgjedhja mund t? specifikohet n? dy m?nyra:

a) nj? pik? e shtrir? n? rrafshin xOy (lapsi qendror i vijave);
b) koeficienti k?ndor (tufa paralele vijash).

N? k?t? drejtim, gjat? studimit t? tem?s "Tangjentja n? grafikun e nj? funksioni" p?r t? izoluar element?t e sistemit, ne identifikuam dy lloje detyrash:

1) detyra p?r nj? tangjente t? dh?na nga nj? pik? n?p?r t? cil?n kalon;
2) detyrat n? nj? tangjente t? dh?na nga pjerr?sia e saj.

M?simi p?r t? zgjidhur problemet n? nj? tangjente u krye duke p?rdorur algoritmin e propozuar nga A.G. Mordkovi?. Dallimi i tij themelor nga ato tashm? t? njohura ?sht? se abshisa e pik?s tangjente sh?nohet me shkronj?n a (n? vend t? x0), n? lidhje me t? cil?n ekuacioni tangjent merr form?n

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(krahaso me y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Kjo teknik? metodologjike, sipas mendimit ton?, u lejon student?ve t? kuptojn? shpejt dhe me leht?si se ku jan? shkruar koordinatat e pik?s aktuale n? ekuacionin e p?rgjithsh?m tangjent, dhe ku jan? pikat e kontaktit.

Algoritmi p?r p?rpilimin e ekuacionit t? tangjentes n? grafikun e funksionit y = f(x)

1. P?rcaktoni me shkronj?n a abshis?n e pik?s s? kontaktit.
2. Gjeni f(a).
3. Gjeni f "(x) dhe f "(a).
4. Z?vend?soni numrat e gjetur a, f (a), f "(a) n? ekuacionin e p?rgjithsh?m t? tangjentes y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Ky algorit?m mund t? p?rpilohet n? baz? t? p?rzgjedhjes s? pavarur t? operacioneve nga student?t dhe sekuenc?s s? ekzekutimit t? tyre.

Praktika ka treguar se zgjidhja konsistente e secil?s prej detyrave kryesore duke p?rdorur algoritmin ju lejon t? krijoni aft?sin? p?r t? shkruar ekuacionin e tangjentes n? grafikun e funksionit n? faza, dhe hapat e algoritmit sh?rbejn? si pika t? forta p?r veprimet. . Kjo qasje korrespondon me teorin? e formimit gradual t? veprimeve mendore t? zhvilluar nga P.Ya. Galperin dhe N.F. Talyzina.

N? llojin e par? t? detyrave, u identifikuan dy detyra kryesore:

• tangjenta kalon n?p?r nj? pik? q? shtrihet n? kurb? (problemi 1);
• tangjenta kalon n?p?r nj? pik? q? nuk shtrihet n? kurb? (Problemi 2).

Detyra 1. Barazoni tangjenten me grafikun e funksionit n? pik?n M(3; – 2).

Zgjidhje. Pika M(3; – 2) ?sht? pika e kontaktit, pasi

1. a = 3 - abshisa e pik?s s? prekjes.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 ?sht? ekuacioni tangjent.

Detyra 2. Shkruani ekuacionet e t? gjitha tangjentave n? grafikun e funksionit y = - x 2 - 4x + 2, duke kaluar n? pik?n M(- 3; 6).

Zgjidhje. Pika M(– 3; 6) nuk ?sht? pik? tangjente, pasi f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - ekuacioni tangjent.

Tangjentja kalon n?p?r pik?n M(– 3; 6), prandaj, koordinatat e saj plot?sojn? ekuacionin tangjente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

N?se a = – 4, at?her? ekuacioni tangjent ?sht? y = 4x + 18.

N?se a \u003d - 2, at?her? ekuacioni tangjent ka form?n y \u003d 6.

N? llojin e dyt?, detyrat kryesore do t? jen? si m? posht?:

• tangjentja ?sht? paralele me nj? vij? t? drejt? (problemi 3);
• tangjentja kalon n? nj? k?nd n? vij?n e dh?n? (Problemi 4).

Detyra 3. Shkruani ekuacionet e t? gjitha tangjentave n? grafikun e funksionit y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, paralel me drejt?z?n y \u003d 9x + 1.

1. a - abshisa e pik?s s? prekjes.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Por, nga ana tjet?r, f "(a) \u003d 9 (kushti i paralelizmit). Pra, duhet t? zgjidhim ekuacionin 3a 2 - 6a \u003d 9. Rr?nj?t e tij a \u003d - 1, a \u003d 3 (Fig. . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 ?sht? ekuacioni tangjent;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 ?sht? ekuacioni tangjent.

Detyra 4. Shkruani ekuacionin e tangjentes n? grafikun e funksionit y = 0,5x 2 - 3x + 1, duke kaluar n? nj? k?nd prej 45 ° n? drejt?z?n y = 0 (Fig. 4).

Zgjidhje. Nga kushti f "(a) \u003d tg 45 ° gjejm? a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - abshisa e pik?s s? prekjes.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - ekuacioni i tangjentes.

?sht? e leht? t? tregohet se zgjidhja e ?do problemi tjet?r reduktohet n? zgjidhjen e nj? ose disa problemeve kryesore. Merrni si shembull dy problemet e m?poshtme.

1. Shkruani ekuacionet e tangjentave t? parabol?s y = 2x 2 - 5x - 2, n?se tangjentet priten n? k?nd t? drejt? dhe nj?ra prej tyre prek parabol?n n? pik?n me abshis?n 3 (Fig. 5).

Zgjidhje. Meqen?se ?sht? dh?n? abshisa e pik?s s? kontaktit, pjesa e par? e zgjidhjes reduktohet n? problemin kryesor 1.

1. a \u003d 3 - abshisa e pik?s s? kontaktit t? nj?r?s prej an?ve t? k?ndit t? duhur.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - ekuacioni i tangjent?s s? par?.

Le t? jet? a pjerr?sia e tangjent?s s? par?. Meqen?se tangjentet jan? pingule, at?her? ?sht? k?ndi i prirjes s? tangjent?s s? dyt?. Nga ekuacioni y = 7x – 20 i tangjentes s? par? kemi tg a = 7. Gjeni

Kjo do t? thot? se pjerr?sia e tangjentes s? dyt? ?sht? .

Zgjidhja e m?tejshme reduktohet n? detyr?n kryesore 3.

Le t? jet? B(c; f(c)) pika tangjente e drejt?z?s s? dyt?, at?her?

1. - abshisa e pik?s s? dyt? t? kontaktit.
2.
3.
4.
?sht? ekuacioni i tangjentes s? dyt?.

Sh?nim. Koeficienti k?ndor i tangjentes mund t? gjendet m? leht? n?se nx?n?sit e din? raportin e koeficient?ve t? drejt?zave pingule k 1 k 2 = - 1.

2. Shkruani ekuacionet e t? gjitha tangjentave t? p?rbashk?ta n? grafik?t e funksionit

Zgjidhje. Detyra reduktohet n? gjetjen e abshisave t? pikave t? kontaktit t? tangjentave t? p?rbashk?ta, dometh?n? n? zgjidhjen e problemit kryesor 1 n? terma t? p?rgjithsh?m, n? p?rpilimin e nj? sistemi ekuacionesh dhe m? pas n? zgjidhjen e tij (Fig. 6).

1. Le t? jet? a abshisa e pik?s s? prekjes q? shtrihet n? grafikun e funksionit y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Le t? jet? c abshisa e pik?s tangjente q? shtrihet n? grafikun e funksionit
2.
3. f "(c) = c.
4.

Meqen?se tangjentet jan? t? zakonshme, at?her?

Pra, y = x + 1 dhe y = - 3x - 3 jan? tangjente t? zakonshme.

Q?llimi kryesor i detyrave t? konsideruara ?sht? p?rgatitja e student?ve p?r vet?-njohjen e llojit t? detyr?s kryesore kur zgjidhin detyra m? komplekse q? k?rkojn? aft?si t? caktuara k?rkimore (aft?sia p?r t? analizuar, krahasuar, p?rgjith?suar, parashtruar nj? hipotez?, etj.). Detyra t? tilla p?rfshijn? ?do detyr? n? t? cil?n detyra kryesore p?rfshihet si nj? komponent. Le t? shqyrtojm? si shembull problemin (e anasjellt? me problemin 1) t? gjetjes s? nj? funksioni nga familja e tangjentave t? tij.

3. P?r ?far? b dhe c jan? drejt?zat y \u003d x dhe y \u003d - 2x tangjente me grafikun e funksionit y \u003d x 2 + bx + c?

Le t? jet? t abshisa e pik?s s? kontaktit t? drejt?z?s y = x me parabol?n y = x 2 + bx + c; p ?sht? abshisa e pik?s s? kontaktit t? drejt?z?s y = - 2x me parabol?n y = x 2 + bx + c. At?her? ekuacioni tangjent y = x do t? marr? form?n y = (2t + b)x + c - t 2, dhe ekuacioni tangjent y = - 2x do t? marr? form?n y = (2p + b)x + c - p 2 .

Hartoni dhe zgjidhni nj? sistem ekuacionesh

P?rgjigje: