?stel alma operat?r?n?n elimizde olmad???n? hayal edin, bu y?zden geriye sadece ?arpma i?lemi kald?. Negatif olmayan bir tamsay? ?ss? x n ile bir derece tan?mlamak, n - 1 ?arpmalar?n? kullanarak bir hesaplama yapman?z? sa?lar. Ancak ?arpma olduk?a pahal? bir i?lemdir (bir s?tunda ?arpma i?lemini hat?rlay?n). Bu nedenle, ger?ekle?tirilen ?arpma say?s?n? en aza indirmeye ?al??aca??z.

?rne?in, ?ss?n kendisi iki, n \u003d 2 m ise, o zaman sadece m ?arpma, daha do?rusu kare alma gerekli olacakt?r: x 2 m \u003d x 2 2 2 ... 2. Bu yararl? g?zlem, bariz e?itlikler kullan?larak genel duruma geni?letilebilir: n ?ifti i?in x n = x 2 n 2, tek n i?in x x 2 n - 1 2. Bu form?lleri, dereceyi hesaplaman?n ?zyinelemeli bir yolu olarak d???nebilirsiniz. Tabii ki, bu ili?kiler x 0 = 1, x 1 = x s?n?r ko?ullar? ile desteklenmelidir.

A??klanan ?zyinelemeli prosed?re g?re bir g?ce y?kseltmek i?in yap?lmas? gereken ?arpma say?s?n?n form?l numaralar? n ile hesapland??? ortaya ??kt?. Bu de?er, tabloda g?sterildi?i gibi, n'nin b?y?mesiyle son derece yava? b?y?r:

Bir ?eyi 10000000000'in g?c?ne y?kseltmemiz pek olas? de?ildir, ancak yapmam?z gerekseydi, yaln?zca k?rk ?? ?arpmaya ihtiyac?m?z olurdu!

Form?l, n = 2 m ve z = m , e = 1 oldu?unda daha ?nce ele al?nan ?zel durumla tam uyum i?indedir. Genel durumda, bir say?n?n ikili a??l?m?ndaki rakamlar?n, bu say?n?n iki ile tekrarlanan b?l?m?nden kalanlara e?it oldu?una dikkat edelim. S?f?r basama??n?n g?r?n?m?, fazladan bir ?arpma ekleyen ilk (?ift) yol boyunca ?zyinelemeli algoritmay? ba?lat?r. Bir numara, iki ek ?arpma gerektiren algoritman?n tek dal?n? se?er.

Program?n, ?nemsizli?i nedeniyle ayr? bir tart??may? hak etmeyen naif versiyonuna ek olarak, iki tane daha analiz edece?iz: ?zyinelemeli ve yinelemeli. Her iki se?enek de h?zl? ?s alma y?ntemine dayanmaktad?r.

Daha ?nce ?zyinelemeli olmayan algoritmalar?n ?zyinelemeli algoritmalara g?re avantajlar?n? tart??t?k. Tek bir d?ng? ile ?zyineleme olmadan h?zl? ?s alma uygulamak cazip gelebilir. Bu g?rev istedi?imiz kadar kolay de?il. Kendimizi, ilahi vahiy sonucu de?il (bizi ?ok nadiren ziyaret eder), ama kas?tl? olarak d?ng?ler in?a etmemize izin verecek bir y?ntemle silahland?rmal?y?z. De?i?mez kullanarak bir d?ng? olu?turma y?ntemi ?u anda tam olarak ihtiyac?m?z olan ?ey.

Programdaki her komutun amac?, bizi sorunu ??zmeye, yani gerekli de?i?kenlerin nihayet gerekli, do?ru hesaplanm?? de?erleri alaca?? bir duruma yakla?t?rmakt?r. B?yle bir hedefe ula?man?n tek yolu, de?i?kenlerin de?erlerini yenileriyle de?i?tirmektir, bu atama ile yap?l?r. D?ng? g?vdesini olu?turan komutlara bu a??dan bakal?m.

Program?n bir dizi de?i?ken X = x y … z i?ermesine izin verin. diyelim program durumu. Bir d?ng?, i?leyi?inin bir sonucu olarak de?i?kenler aras?nda gerekli ili?ki yerine getirilirse do?ru kabul edilir. Bir ili?ki, de?i?kenler hakk?nda baz? ifadeler olarak anla??l?r. onaylama ne demek? Duruma ba?l? olan ve bir boole de?eri alan bir G X fonksiyonunu d???n?n. E?itlik G X = evet, ifadenin do?ru oldu?u anlam?na gelir, aksi halde de?ildir. G fonksiyonu ?a?r?l?r d?ng? ama? fonksiyonu.

D?ng? g?vdesi, X F X: X <- F X de?i?kenlerine yeni de?erler atayan komutlardan olu?ur. B?ylece, tekrarlayan bir program durumlar? dizisi olu?turulur. D?ng?n?n hedefine, ama? fonksiyonu true olarak de?erlendirdi?inde ula??l?r, bu nedenle ¬ G X ifadesi d?ng? ko?ulu olarak al?nabilir: ¬ G X X <- F X d?ng? sonu de?erlerine kadar d?ng? X 0 .

G X d?ng?s?n?n sonland?rma ko?ulunu hesaplamak genellikle elveri?sizdir. Ard?ndan, e?er ?ansl?ysan?z, hesaplamas? daha kolay olan daha g??l? bir Q X ko?ulu (yani Q X => G X t?m X i?in ge?erli olacak ?ekilde) bulmaya ?al??abilirsiniz.

T?m bu formalizm, d?ng? er ya da ge? sona erecek ?ekilde bir F d?n???m?n?n nas?l bulunaca?? ve bir d?ng? sonland?rma ko?ulu Q X nas?l olu?turulaca?? ile ilgili sorular? yan?tlamaz. de?i?mezler y?ntemihem d?n???m? hem de durumu bulmaya yard?mc? olur.

Y?ntemdeki anahtar rol oynan?r d?ng? de?i?meziboole de?erleri alan ba?ka bir durum i?levidir. A?a??daki ko?ullar kar??lan?rsa, I X i?levine d?ng? de?i?mezi denir:

I X 0 - de?i?mez, ba?lang?? durumunda ger?ek bir de?er al?r;

I X => I F X - d?ng?n?n ge?i?i s?ras?nda de?i?mezin ger?e?i korunur;

I X ? Q X => G X - de?i?mezin e?zamanl? do?rulu?u ve d?ng?n?n sonland?rma ko?ullar?, hedef ko?ulun do?rulu?unu gerektirir.

D?ng?ye girmeden ?nce, I X ko?ulunun yerine getirilmesiyle ilgilenir ve de?i?mezin do?rulu?unu koruyan bir F X d?n???m? se?ersek ve d?ng? bir g?n biterse, d?ng? sonunda hedefe ula??lacakt?r. .

Soyut fikirlerden somut ?rneklere ge?me zaman?. p = x n derecesinin saf hesaplamas? i?in bir algoritma olu?tural?m.

Programda bir dizi X = p x n de?i?keni sa?layal?m. ?lk de?erleri (d?ng?ye girmeden ?nce) X 0 = p 0 x 0 n 0 . x 0 ve n 0 de?erleri algoritman?n giri? parametreleridir.

Bir d?ng? icat edelim, ard?ndan p de?i?keni x 0 n 0 de?erini alacak, bu y?zden ama? fonksiyonu olarak G p x n = p = x 0 n 0 al?yoruz.

En basit (ama hi?bir ?ekilde en h?zl?s? olmayan) algoritma, n'nin kuvvetine y?kseltme problemini n - 1'in kuvvetine y?kseltme problemine indirger, b?ylece d?ng?de n de?i?keni s?f?r olana kadar bir azal?r. . Bu nedenle, Q p x n = n = 0'? bir sonland?rma ko?ulu yapar?z.

?imdi bir de?i?mez se?memiz gerekiyor. p x n de?i?kenlerine d?ng? g?vdesinde yeni de?erler p ? x ? n ? ve daha ?nce karar verdi?imiz gibi n ? = n - 1 atanmas?na izin verin. I p x n = x 0 n 0 = p x n fonksiyonunun bir de?i?mez rol? i?in uygun olup olmad???n? kontrol etmek kolayd?r.

Ger?ekten de, p 0 = 1 olarak ayarlarsak, I p 0 x 0 n 0 = x 0 n 0 = p 0 x 0 n 0 do?rudur. De?i?mezin sa?lamas? gereken ikinci ko?ul da sa?lan?r. I p x n => I p ? x ? n ? , yani x 0 n 0 = p x n => x 0 n 0 = p ? x ? n - 1 oldu?undan, p ? = p x ve x'i ayarlamak yeterlidir ? = x de?i?mezli?i sa?lamak i?in. Son olarak, ???nc? ko?ulu kontrol ediyoruz, I p x n ? Q p x n => Q p x n , yani x 0 n 0 = p x n ? n = 0 => p = x 0 n 0 . Belli ki yap?l?yor. Ko?ullar? kontrol ederek, d?ng? g?vdesinde meydana gelen d?n???mleri de bulduk.

p <- 1 d?ng? algoritmas?na ula?t?k iken n ? 0 p n <- p x n - 1 d?ng? sonu

Okuyucu, bu kadar bariz bir algoritma elde etmek i?in neden bu kadar karma??k bir haz?rl??a ihtiya? duyuldu?unu merak ediyor olabilir. Belki de yinelemeli algoritman?n h?zl? bir versiyonu, de?i?mez y?ntemin g?c?n? daha inand?r?c? bir ?ekilde g?sterecektir.

H?zl? algoritma ile saf algoritma aras?ndaki fark, d?ng?de n de?i?keninin bir azalmak yerine yakla??k yar? yar?ya azalmas?d?r. Daha do?rusu n ?ift ise ikiye b?l?n?r, tek ise bire indirgenir ve sonra ikiye b?l?n?r. Zaman i?inde n'nin s?f?ra d?nece?i a??kt?r ve bu, naif algoritmada oldu?u gibi, d?ng?y? sonland?rmak i?in bir ko?ul haline gelecektir.

Saf algoritmadan I p x n = x 0 n 0 = p x n de?i?mezini de?i?iklik yapmadan alal?m ve I p x n => I p ? x ? n ? , burada bu sefer n ? = ?ift n i?in n 2, tek n i?in n - 1 2. O zaman tek n i?in x 0 n 0 = p x n => x 0 n 0 = p ? x ? n 2 ko?ulunun n ?ifti i?in, x 0 n 0 = p ? x ? n - 1 2 oldu?undan emin olmam?z gerekir. , yani p x n = p ? x ? n 2 ?ift n i?in, p ? x ? n - 1 2 tek n i?in. Bu e?itli?in sa?lanmas? i?in n ?ifti i?in p ? = p, tek n , x ? = x 2 i?in p x koymak yeterlidir.

Ara?t?rmam?z?n sonucu algoritma p <- 1 d?ng? iken n ? 0 ise n mod 2 = 1 p <- p x n <- n - 1 end if x <- x 2 n <- n 2 d?ng? sonu

Kabul edilmelidir ki, bu algoritmay? ba?lang??ta de?i?mezler y?ntemine ba?vurmadan derledik. Program iyi ?al??t?, ancak k?sal???na ra?men anla??lmas? zor oldu. Okuyucuya anlatmak ve do?rulu?unu ispatlamak i?in do?ru kelimeleri bulamad?k. Ve sadece de?i?mezler y?ntemi hem a??klama hem de kan?t verdi.

De?i?mezler y?nteminin herhangi bir d?ng?n?n olu?turulmas?n? rutin bir g?rev haline getirdi?ini varsaymamal?s?n?z. Yarat?c?l?k i?in hala ?ok yer var. ?rne?in, bir de?i?mezin in?as? ?o?u durumda en bariz olan ?ey de?ildir. Bu nedenle, hangi d???ncelerin bizi I p x n = x 0 n 0 = p x n de?i?mezine g?t?rd???n? s?yleyece?iz. D?ng? g?vdesi tekrarland???nda do?ru kalan program de?i?kenleri aras?nda de?i?mez bir ili?ki aray???nda, bu de?i?kenler k?mesi i?in bir de?erler tablosu derledik. ?rne?in, ikinin on ???nc? kuvvete y?kseltilmesini se?tik: p x n 1 2 13 2 4 6 2 16 3 32 256 1 8192 65536 0

Tablonun her sat?r?nda ger?ekle?tirilen d?zenlilik h?zla bulundu: p x n ifadesinin de?eri ayn? ve tam olarak 2 13'e e?it ??kt?.

Bir say?y? h?zla n'nin kuvvetine y?kseltme sorununun bu sorunla yak?ndan ili?kili oldu?u ortaya ??kt?. Negatif olmayan bir tamsay? depolayabilen yaln?zca bir kayd? (bellek h?cresi) olan bir bilgisayar d???n?n. Bu hayali makinenin komut seti sadece iki komut i?erir: D, bir kayd?n i?eri?ini iki kat?na ??kar?r (kelimeden ?ift- ?ift) ve kayd? birer birer art?r?r?m ( art??- artt?rmak). Ba?lang??ta, kay?t s?f?r i?erir. Makine i?in en k?sa program?n bulunmas? gerekir, bundan sonra n say?s? kay?t defterinde olacakt?r. Bir program, D ve I komutlar?n?n sonlu bir dizisidir.

Herhangi bir n i?in sonsuz say?da program vard?r. ?rne?in, I I I … I program? her zaman uygundur (toplam n komut I). Ayr?ca, ge?erli bir program?n ba??na herhangi bir say?da D komutu eklemek, a??k?a onun do?rulu?unu de?i?tirmez.

Bir t?r say? sistemi ortaya ??k?yor: negatif olmayan her tam say?, onu elde etmek i?in bir programla ili?kilendirilebilir - iki harfli bir alfabe (veya daha iyisi, say?lar), D ve I'den olu?an bir kelime. Bu say? sisteminin dezavantaj? belirsizli?idir: Her say? i?in sonsuz say?da temsil vard?r. M?mk?n olan t?m temsiller aras?ndan en k?sa olan? se?erek bu eksikli?i gidermeye ?al??abiliriz. Ancak en k?sa giri? bile tek giri? de?ildir. A??k?as?, en k?sa temsil I ile ba?layanlar aras?nda aranmal?d?r, ??nk? D ile ba?l?yorsa, bu D b?rak?larak k?salt?labilir. ?imdi, e?er ben … en k?sa temsil ise, o zaman I D … ayn? zamanda en k?sa g?sterimdir (birer birer art?rmak, onu ikiye katlamaya e?de?erdir). Di?er t?m kay?t de?erleri i?in, ikiye katlama, bir tane eklemekten daha b?y?k bir sonu? verir. Geriye kalan bu belirsizlik, ek olarak g?sterimin arka arkaya iki "basamak" I i?ermemesini gerektirerek ortadan kald?r?l?r. Ortaya ??kan temsil ?a?r?lacak kanonik.

Kanonik g?sterimin n say?s?n?n ikili g?steriminden kolayca elde edilebilece?i ortaya ??kt?: her s?f?r? bir "rakam" D ile ve her birini "rakam" ile de?i?tirmeniz gerekiyor D I . Bu yap?ld?ktan sonra, orada g?r?n?yorsa, ortaya ??kan program?n ba?lang?c?ndan "D rakam?n?" atmal?s?n?z. ?rne?in, n = 13 = 1101 2 i?in I D I D D I program? elde edilir. Ve ger?ekten de 13 = 0 + 1 ? 2 + 1 ? 2 ? 2 + 1 .

Ama t?m bunlar?n h?zl? ?stelle?meyle ne ilgisi var? n ?ss?n?n bir temsili olsun. Bu, n'nin art arda bir veya iki kat?na ??kar?lmas? sonucunda s?f?rdan elde edildi?i anlam?na gelir. Ancak ?ste bir eklemek, t?m ?ss? x ile ?arpmakla e?de?erdir ve ?ss? ikiye katlamak, ?ss?n karesini almakt?r. Elimizdeki ?ss?n haz?r bir temsili varsa, n temsilinden her basamak d i?in p <- 1 d?ng? algoritmas?n? al?r?z e?er d = I p <- p x aksi halde p <- p 2 d?ng?n?n sonuysa » temsillerin ?nce ba?ka bir d?ng? d?zenlemesi gerekecektir. Her iki d?ng?y? birle?tirmek sorunlu olacakt?r, ??nk? “say?lara” yaz?ld??? s?rayla, yani soldan sa?a ihtiya? duyulur. Ayn? zamanda, sa?dan sola gitmek ?ok daha kolayd?r (t?pk? bir say?n?n ikili g?steriminin rakamlar? gibi). U?runa de?i?mezler y?ntemini benimsedi?imiz ??z?m?m?z bu zorlu?un ?stesinden gelir. Bu d?ng?, ?sl? temsilin “rakamlar?n?” sa?dan sola ?rt?k olarak al?r ve sonraki basama?a ba?l? olarak gerekli i?lemleri ger?ekle?tirir: d?ng? while n ? 0 ise n mod 2 = 1 I n <- n - 1 aksi halde D n <- n 2 end if d?ng? sonu Burada I durumunda p <- p x komutu, D durumunda ise x <- x 2 komutu y?r?t?lmelidir. Tabii d?ng?den ?nce p <- 1 ataman?z gerekiyor. Ortaya ??kan algoritma, g?r?lmesi kolay oldu?u gibi, daha ?nce olu?turulana e?de?erdir.

G?revimizin ana zorlu?u bir algoritma olu?turmakt?. Art?k algoritmalar haz?r oldu?una g?re onlar? Perl'e aktarmak zor olmayacak. Bu ba?lamda, "Geli?tirme" b?l?m?n? atl?yoruz ve do?rudan bitmi? programlara gidiyoruz.

Vergi ?deme makbuzuna ili?kin eski bir kay?t (“yasaka”). 1232 ruble miktar? anlam?na gelir. 24 kop. Kitaptan ?rnek: Yakov Perelman "E?lenceli aritmetik"

Daha fazla Richard Feynman "Tabii ki ?aka yap?yorsunuz Bay Feynman!" ?e?itli s?zl? sayma y?ntemleri ??retti. Bunlar ?ok basit numaralar olmas?na ra?men, her zaman okul m?fredat?na dahil edilmezler.

?rne?in, X say?s?n? 50 (50 2 = 2500) civar?nda h?zl? bir ?ekilde karelemek i?in, 50 ile X aras?ndaki her fark birimi i?in y?z ??karman?z / eklemeniz ve ard?ndan karesi fark? eklemeniz gerekir. A??klama, ger?ek hesaplamadan ?ok daha karma??k geliyor.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Gen? Feynman'a bu numara, o s?rada Los Alamos'ta Manhattan Projesi'nde ?al??an fizik?i arkada?? Hans Bethe taraf?ndan ??retildi.

Hans, h?zl? hesaplamalar i?in kulland??? birka? numara daha g?sterdi. ?rne?in, k?p k?klerini ve ?sleri hesaplamak i?in logaritma tablosunu hat?rlamak uygundur. Bu bilgi, karma??k aritmetik i?lemleri b?y?k ?l??de basitle?tirir. ?rne?in, 2.5'in k?p k?k?n?n yakla??k de?erini akl?n?zdan hesaplay?n. Asl?nda, bu t?r hesaplamalarla, kafan?zda, say?lar?n toplanmas? ve b?l?nmesinin, logaritmalar?n?n eklenmesi ve ??kar?lmas? ile de?i?tirildi?i bir t?r slayt kural? ?al???r. En uygun ?ey.

S?rg?l? hesap cetveli

Bilgisayarlar?n ve hesap makinelerinin ortaya ??kmas?ndan ?nce, slayt kural? her yerde kullan?l?yordu. Bu, say?lar? ?arpma ve b?lme, kare alma ve k?p alma, kare ve k?p k?k hesaplama, logaritma hesaplama, potansiyalizasyon, trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar? hesaplama ve di?er baz? i?lemler dahil olmak ?zere ?e?itli matematiksel i?lemleri ger?ekle?tirmenize izin veren bir t?r analog "bilgisayar"d?r. Hesaplamay? ?? ad?ma b?lerseniz, slayt kural?n? kullanarak say?lar? herhangi bir ger?ek g?ce y?kseltebilir ve herhangi bir ger?ek g?c?n k?k?n? ??karabilirsiniz. Hesaplamalar?n do?rulu?u yakla??k 3 ?nemli rakamd?r.

Bir slayt kural? olmadan bile zihninizde karma??k hesaplamalar? h?zl? bir ?ekilde ger?ekle?tirmek i?in, hesaplamalarda s?kl?kla kullan?ld??? i?in, en az 25'e kadar t?m say?lar?n karelerini ezberlemek iyi bir fikirdir. Ve derece tablosu - en yayg?n olan?. Hat?rlamak, 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1.048.576 ve ?3 ? 1.732 oldu?unu her seferinde yeniden hesaplamaktan daha kolayd?r.

Richard Feynman becerilerini geli?tirdi ve yava? yava? say?lar aras?ndaki yeni ilgin? kal?plar? ve ili?kileri fark etti. ?u ?rne?i veriyor: "Birisi 1'i 1,73'e b?lmeye ba?larsa, hemen
0,577 olaca??n? yan?tlay?n, ??nk? 1,73 ???n karek?k?ne yak?n bir say?d?r. Yani 1/1.73, 3'?n karek?k?n?n yakla??k ??te biri."

B?yle geli?mi? bir zihinsel aritmetik, bilgisayarlar?n ve hesap makinelerinin olmad??? g?nlerde meslekta?lar? ?a??rtm?? olabilir. O g?nlerde, kesinlikle t?m bilim adamlar? ak?llar?nda iyi sayabiliyorlard?, bu nedenle ustal??a ula?mak i?in say?lar?n d?nyas?na yeterince derine dalmak gerekiyordu.

G?n?m?zde insanlar 76'y? 3'e b?lmek i?in bir hesap makinesi ??kar?yorlar. Ba?kalar?n? ?a??rtmak ?ok daha kolay hale geldi. Feynman'?n zaman?nda, bir hesap makinesi yerine, k?p k?kleri almak da dahil olmak ?zere karma??k i?lemleri ger?ekle?tirmenin de m?mk?n oldu?u ah?ap abak?s vard?. B?y?k fizik?i, daha sonra, bu t?r ara?lar? kullanarak, insanlar?n pek ?ok aritmetik kombinasyonu ezberlemelerine gerek olmad???n?, sadece toplar? do?ru ?ekilde yuvarlamay? ??rendiklerini fark etti. Yani, beynin "geni?leticileri" olan insanlar say?lar? bilmiyorlar. "?evrimd???" modda g?revlerde daha k?t? performans g?sterirler.

??te Yakov Perelman'?n 1941 H?zl? Say?m k?lavuzunda ?nerdi?i ?ok basit be? zihinsel sayma ipucu.

1. ?arp?lan say?lardan biri ?arpanlara ayr?l?rsa, bunlar? s?rayla ?arpmak uygundur.

225 x 6 = 225 x 2 x 3 = 450 x 3
147 x 8 \u003d 147 x 2 x 2 x 2, yani sonucu ?? kez ikiye katlamak

2. 4 ile ?arparken sonucu iki kat?na ??karmak yeterlidir. Benzer ?ekilde, 4 ve 8'e b?l?nd???nde, say? iki veya ?? kez yar?ya iner.

3. 5 veya 25 ile ?arp?l?rken say? 2 veya 4'e b?l?nebilir ve sonuca bir veya iki s?f?r eklenebilir.

74 x 5 = 37 x 10
72 x 25 = 18 x 100

Burada ne kadar kolay oldu?unu hemen de?erlendirmek daha iyidir. ?rne?in 31 x 25'i standart ?ekilde 25 x 31 olarak yani 750 + 25 olarak ?arpmak ve 31 x 25 yani 7.75 x 100 ile ?arpmak daha uygundur.

Yuvarlak bir say?ya (98, 103) yak?n bir say? ile ?arparken, hemen bir yuvarlak say? (100) ile ?arpmak ve ard?ndan fark?n ?r?n?n? ??karmak / toplamak uygundur.

37 x 98 = 3700 - 74
37 x 104 = 3700 + 148

4. Sonu 5 ile biten bir say?n?n karesini almak i?in (?rne?in, 85), onlarca (8) say?s?n? bu say? ile bir (9) ile ?arp?n ve 25 ?zelli?ini kullan?n.

8 x 9 = 72, 25 atay?n, yani 85 2 = 7225

Bu kural?n neden ge?erli oldu?u a?a??daki form?lden g?r?lebilir:

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

Teknik ayn? zamanda 5 ile biten ondal?k say?lar i?in de ge?erlidir:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. Kare al?rken, uygun form?l? unutmay?n?z.

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Tabii ki, t?m y?ntemler birbiriyle birle?tirilebilir ve belirli durumlar i?in daha uygun ve etkili teknikler olu?turulabilir.

Bir ev in?a etmenin uzun ve pahal? bir s?re? oldu?unu d???n?rd?k. Bazen y?llarca uzar, uzun vadeli bir yap?ya d?n???r, t?m fonlar? aile b?t?esinden d??ar? pompalar. Malzemede bunun hakk?nda konu?tuk. Ancak hayatta, h?zl? ve minimum miktarda bir ev in?a etmeniz gereken durumlar vard?r.

G?r?n??e g?re bu ya imkans?z ya da in?a edilen yap?n?n kalitesinden ciddi ?ekilde ?d?n verilmesi gerekecek. Ancak portal?m?zda acemi geli?tiricilerin bu ifadeyi reddetti?i bir?ok ?rnek var. Ana ?ey, konuya ayr?nt?l? olarak yakla?mak, bir ev in?a etmek i?in her ?eyi haz?rlamak ve kendiniz i?in do?ru ve uygulanabilir in?aat teknolojisini se?mek.

Bu makaleden ??reneceksiniz:

• Bir k?r evinin h?zl? in?as? i?in ev i?in hangi yeni malzemeler ve yeni teknolojiler s?kl?kla kullan?l?r.
• Farkl? malzemelerden evler k?sa s?rede in?a edilmi?tir.
• K?sa s?rede bir ev in?a etmek i?in malzeme.
• Evin duvarlar? ne d??enir. Bir ta? ev nas?l h?zl? bir ?ekilde in?a edilir.
• Bireysel bir ev i?in hangi duvar se?ilir. ?er?eve teknolojisini kullanan evlerin in?as? neden bu kadar pop?ler?
• Modern malzemelerle bir ev in?a etmek. SIP panellerinin yap?m? neden bir yazl?k in?aat?n? basitle?tiriyor?
• Kaz?k-vida temel ve sabit kal?p teknolojisinin avantajlar? nelerdir?
• Bir yap?n?n in?as?n? hangi ilkeler h?zland?r?r?

Bir ev in?a etmek i?in malzeme - ne se?ilir

T?m bina kodlar?n? kar??layan dayan?kl? bir k?r evi in?aat?, dikkatlice tasarlanm?? bir planla ba?lamal?d?r. Tahmini ?nceden hesaplamak, bir ev in?a etmek i?in in?aat teknolojisini ve en iyi yap? malzemesini se?mek gerekir. Ayr?ca in?aat?n yap?laca?? yerin iklim ko?ullar?n? ve topra??n ?zelliklerini de dikkate almal?s?n?z. Ancak gerekli t?m verileri toplad?ktan sonra en rasyonel, h?zl? ve uygun maliyetli in?aat y?ntemlerini se?ebilirsiniz.

Evin duvarlar? i?in malzeme. Ne se?ilir - ah?ap, paneller veya ta? d??eme.

Ayr?ca, bir binan?n h?zl? bir ?ekilde in?a edilmesi gerekiyorsa, bu ilke iki kat ?nemlidir, ??nk?. herhangi bir hata veya aksama in?aatta gecikmeye yol a?acakt?r. Bir binan?n h?zland?r?lm?? in?aat? i?in bir teknoloji se?menin genel ilkelerini d???n?rsek, ba?lang?? noktas? garantili malzeme kalitesi, kesinlikle tan?mlanm?? geometri, kurulumlar? s?ras?nda basitlik ve ?retilebilirlik ve ayr?ca kullan?labilirliktir.

Bu nedenle, h?zl? duvarc?l?k i?in evin duvarlar? i?in fabrika yap?m? malzeme se?iyoruz. Spesifikasyonlar?n belirtilen gereksinimleri kar??lamas? garanti edilmelidir. Paradan tasarruf etme ve s?zde ?e?itli el i?i malzemeleri kullanma giri?imi. garaj ?retimi - kaliteli bir sonu? elde etme garantisi olmayan bir piyango.

Bir ev in?a etmek - malzeme se?imikendi kendine in?a edenler ve in?aat ?irketleri i?in

En dayan?kl? malzemeyi se?meyi ve h?zl? bir ?ekilde asalet dolu bir ta? ev in?a etmeyi planl?yorsan?z, ?antiyede kolayca i?lenebilen (testere, kovalama, delme) net bir geometriye sahip geni? formatl? bloklar kullanmal?s?n?z. Bu t?r malzemelerin d??enmesi daha kolay ve daha h?zl?d?r.

?zel bir konak veya k?r evi i?in duvar malzemesi olarak ah?ap, ?er?eve teknolojisi hayranlar? taraf?ndan se?ilir. Bu durumda i?in basitli?i ?nce gelir, yani y?ksek in?aat h?z?, in?aat ekipman? kullan?m?n?n en aza indirilmesi (??nk? tek ba??na bir ah?ap ?er?eve bile koyabilirsiniz), geni? kullan?labilirlik ve ah?ab?n olduk?a ucuz bir malzeme oldu?u ger?e?i.

?er?eve konstr?ksiyonu, evde bir kutuyu m?mk?n olan en k?sa s?rede bireysel olarak kurmay? planlayan kendi kendini in?a edenlerin se?imi ise, in?aat yard?m?yla bir bina in?a eden geli?tiriciler taraf?ndan dayan?kl? geni? formatl? prefabrik paneller (SIP, vb.) ?irketler.

Bu y?ntemlerin her birinin kendi farkl? ?zellikleri vard?r, ancak daha sonra ?zerinde durulacakt?r.

Bir ta? evin h?zl? in?aat?n?n ?zellikleri

FORUMHOUSE kullan?c?lar?n?n deneyimi, herkesin bir "h?zl? eve" giden kendi yolu oldu?unu g?steriyor, ancak t?m bireysel geli?tiriciler i?in ortak olan birka? ?nemli nokta var. Her ?eyden ?nce, bu, kendi konutunun olmamas?, yeni binalarda metrekarelerin y?ksek maliyeti ve bir daire kiralayarak paray? ??pe atma isteksizli?idir.

Vladimir Egorov (rumuz Bobahina)FORUMHOUSE kullan?c?s?

Ailem gen? - ben, kar?m ve iki k???k ?ocu?um. Kendi konutum yok, bu y?zden kiral?k dairelerde ya?amak zorunda kald?m. Bir ?ekilde 5 y?ll?k “g??ebe” ya?am i?in kiraya 1 milyon ruble harcad???m?z? hesaplad?m (asl?nda “amcaya” verdik). Bu nedenle, bir sonraki hamleden sonra kesin bir karar verdim - dola?may? b?rak?n, kendi k??enizi alman?z gerekiyor.

Borcu krediye indiren Vladimir, 1-1,5 milyon ruble kredi alarak, bir ipote?e yat?r?m yapmak yerine bir ev in?a etmenin daha karl? olaca??n? hesaplad?. B?y?k karar verildikten sonra, ailenin ta??nmas? i?in haz?r olan "0" dan h?zl? bir ?ekilde bir yazl?k in?a etmenize izin verecek bir in?aat teknolojisi se?meye devam ediyor. “Bir ev in?a etmenin maliyetini” analiz ettikten sonra Vladimir, ?antiyeyi birka? a?amaya ay?rmaya ve kendi kendine in?aat i?in en uygun olan ta??y?c? duvarlar i?in malzemeyi se?meye karar verdi.

?leriye bakt???m?zda, diyelim ki kullan?c?m?z hayalini ger?ekle?tirmeyi ba?ard?: i?inde en k?sa zamanda bir ev in?a etmek 10x7.5 m boyutlar?ndad?r ve birinci kat? daimi ikamet i?in haz?rlar. Ayr?ca yap? malzemesi olarak gazbeton se?ilmi?tir. Bu in?aat?n ba?ar?s? i?in belirleyici fakt?rlerden biri haline gelen arsan?n Vladimir'e babas? taraf?ndan sa?land???n? belirtmekte fayda var.

Ayr?ca ta? evin asl?nda bir ki?i taraf?ndan 6 ayda yap?ld???n? da unutmay?n. Kiral?k i??i kullan?lmas? durumunda - birka? ki?iden olu?an bir ekip, bu s?reler 2-3 kat azalt?labilir, ancak in?a edilen yap?n?n maliyetinde bir art??la. Bu nedenle, h?zl? in?aat hakk?nda d???n?rken, her zaman bir taviz vermeniz gerekir: h?z / tahmin ve ayr?ca tamamen kendi ba??n?za in?a etmeyi (zaman al?r) veya t?m bu zaman boyunca ?al??may? ve in?aat? kontrol etmeyi se?in.

Bir ev in?a etmenin y?ksek h?z?, sahada her t?rl? gerekli ileti?imin mevcudiyeti ile kolayla?t?r?l?r - ???k ve su, ayr?ca her in?aat a?amas?n?n yetkin planlamas? ve modern teknoloji se?imi.

Bir ta? ev in?a ederken, "?slak" s?re?leri en aza indirmeye ve t?m teknolojik a?amalar? optimize etmeye ?al??mal?y?z.

?er?eve yap?m teknolojisi

Modern in?aat deneyimi, kullan?m s?resini ?oktan ge?mi? kan?tlanm?? teknolojiyi kullanarak in?aat s?recini ?nemli ?l??de h?zland?rman?n m?mk?n oldu?unu g?stermektedir. Bu ??z?m?n belirli bir ikamet b?lgesi i?in etkili olmas? ?art?yla. ?unlar. duvarlar i?in se?ilen malzeme, ya?ad???n?z b?lgede yayg?nd?r ve k?t de?ildir ve in?aat ekipleri onunla nas?l ?al???laca??n? bilir ve zaten “ellerini ?arpm??t?r”. Bu durumda, uygun kontrol ile y?ksek kaliteli bir sonucu garanti etmek m?mk?nd?r.

H?zl? bir ?ekilde bir ev in?a etmeniz ve iflas etmemeniz gerekiyorsa, bir?ok geli?tirici, kendi kendini in?a etmek i?in en rasyonel olan ?er?eve in?aat teknolojisini kullanarak evler in?a etmeyi se?er.

Ufonru FORUMHOUSE kullan?c?s?

Petersburg yak?nlar?ndaki SNT'de 6 d?n?ml?k bir arsam var. ?zerine bir ev yapmaya karar verdim. Geriye, bo? zamanlar?n?zda h?zl? ve verimli bir ?ekilde bir tane olu?turabilmeniz i?in bir teknoloji se?mek kal?yor. Ve 400 bin ruble i?inde tutun.

Bilgilerin k?reklenmesi sonucu Ufonru"?er?eveler" i?in se?ti. Kullan?c?m?z 80 g?n i?inde tek ba??na 350 bin ruble de?erinde, ?at? kat? ve 6x10 m boyutunda ince bir y?zey ile s?cak bir ev in?a etmeyi ba?ard?.

"?er?eve" nin avantajlar? yaz?labilir: neredeyse y?l boyunca in?aat yapma yetene?i, malzeme minimum "?slak" s?re?ler sa?lar (zaman ve iyi hava ko?ullar? gerektirir), teknolojinin geli?imi ve y?ksek in?aat h?z? .

Hemen s?ylemek gerekir ki Ufonru detaya indi. ?sraf? en aza indirmek i?in, evin boyutlar? OSB levhalar?, levhalar?, al??pan, yal?t?m vb. boyutlar?na g?re hesaplanm??t?r. Bu, t?m kullan?labilir alanlar?n? kal?nt? b?rakmadan kullanmay? m?mk?n k?ld? ve malzemeyi keserken zamandan tasarruf edin.

Temel olarak s?? bir ?erit temel se?ildi ve kal?p i?in 100x50 mm boyutlar?nda levhalar se?ildi, daha sonra hepsi ?er?eve raflar?na gitti ve daha sonra kesmeden ?emberlendi. Ve bu, malzemelerde ek h?z ve tasarruftur.

Optimizasyon ilkesini kullanarak, sadece bu evin temelinin fiyat? 65 bin rubleye d???r?ld?.

SIP panellerinden bir ev in?a etmenin n?anslar? ve kaz?k vidal? temel in?aat?n?n zamanlamas?

Bir yazl?k in?a etme h?z?n?n pe?inde ko?an bir?ok acemi geli?tirici, saf bir ?ekilde bir evin, yerle?tirilmi? pencereleri ve kap?lar? olan bir duvar kutusu oldu?una inan?r. Asl?nda ?yle de?il. S?zde - minimum ileti?im ile bir evde ya?ayabilirsiniz. m?hendisler. Bunlar elektrik, kanalizasyon ve sudur.

Alt? ay i?inde ba??ms?z olarak nas?l kal?c? ikamet i?in gaz beton bir ev in?a edece?inizi g?r?n. Videomuzdan da ??reneceksiniz

Bildi?iniz gibi bir dikd?rtgenin alan?, iki farkl? kenar?n?n uzunluklar? ?arp?larak hesaplan?r. Karenin t?m kenarlar? e?ittir, bu y?zden kenar?n? kendisiyle ?arpman?z gerekir. "Kare" deyimi buradan gelmektedir. Belki de herhangi bir say?n?n karesini alman?n en kolay yolu, normal bir hesap makinesi al?p istenen say?y? kendisiyle ?arpmakt?r. Elinizde hesap makinesi yoksa, cep telefonunuzdaki yerle?ik hesap makinesini kullanabilirsiniz. Daha ileri d?zey kullan?c?lar i?in ?zellikle bu t?r hesaplamalar?n olduk?a s?k yap?lmas? gerekiyorsa Office Microsoft Excel uygulamas?n? kullanmalar? ?nerilebilir. Bunu yapmak i?in rastgele bir h?cre se?in, ?rne?in G7 ve i?ine =F7*F7 form?l?n? girin. Ard?ndan, F7 h?cresine herhangi bir say? girin ve sonucu G7 h?cresine al?n.

Son basama?? 5 olan bir say?n?n karesi nas?l al?n?r. Bu say?n?n karesini almak i?in say?n?n son basama??n? ??karman?z gerekir. Ortaya ??kan say?, daha b?y?k bir say? ile 1 ile ?arp?lmal?d?r. Ard?ndan, sonu?tan sonra sa?a 25 say?s?n? eklemeniz gerekir. ?rnek. 35 say?s?n?n karesini almak istensin. Son rakam 5 at?ld?ktan sonra 3 say?s? kal?r 1 eklenir - 4.3x4 = 12 say?s? elde edilir. 25 eklenir ve sonu? 1225 olur. 35x35=3*4 25=1225 ekleyin.

Son basama?? 6 olan bir say?n?n karesi nas?l al?n?r Bu algoritma 5 ile biten bir say?n?n karesini nas?l al?r sorusunu ??zenler i?in uygundur. Matematikten de bildi?iniz gibi bir binomun karesi form?l (A + B) x (A + B) \u003d AxA + 2xAxB + BxB. Son basama?? 6 olan A say?s?n?n karesi durumunda, bu say? A \u003d B + 1 olarak g?sterilebilir, burada B, A say?s?ndan 1 eksik olan say?d?r, bu nedenle son basama?? 5'tir. Bu durumda, form?l daha basit bir bi?imde temsil edilebilir (B + 1) x (B + 1) \u003d BxB + 2xBx1 + 1x1 \u003d BxB + 2xB + 1. ?rne?in, bu say? 16 olsun. ??z?m 16 x16 \u003d 15 x15 + 2x15 x1 + 1x1 \u003d 225 + 30 + 1 \u003d 256 S?zl? kural: 6 ile biten bir say?n?n karesini bulmak i?in: ?nceki say?n?n karesini al?n, ?nceki say?n?n iki kat?n? ekleyin ve 1 ekleyin.

11'den 29'a kadar say?lar?n karesi nas?l al?n?r. 11'den 19'a kadar olan say?lar?n karesi i?in, orijinal say?ya birim say?s?n? eklemeniz, sonucu 10 ile ?arpman?z ve karesi al?nan birim say?s?n? sa?a eklemeniz gerekir. ?rnek. Kare 13. Bu say?daki birim say?s? 3't?r. Ard?ndan, 13+3=16 ara say?s?n? hesaplaman?z gerekir. Sonra 10 ile ?arp. 160 ??k?yor. Birlerin say?s?n?n karesi 3x3=9. Nihai sonu? 169'dur. ???nc? on say? i?in benzer bir algoritma kullan?l?r, yaln?zca 20 ile ?arpman?z ve birimlerin karesini eklemeniz gerekir, nitelik de?il. ?rnek. 24 say?s?n?n karesini hesaplay?n. Birim say?s? bulunur - 4. Ara say? hesaplan?r - 24 + 4 \u003d 28. 20 ile ?arpmak 560 verir. Birlerin say?s?n?n karesi 4x4 = 16 olur. Nihai sonu? 560+16=576'd?r.

40'tan 60'a kadar say?lar?n karesi nas?l al?n?r. Algoritma olduk?a basittir. ?lk ?nce verilen say?n?n 50 say?s? aral???n?n ortas?ndan ne kadar fazla veya az oldu?unu bulman?z gerekir. Sonuca 25 ekleyin (say? 50'den b?y?kse) veya ??kar?n (say? 50'den k???kse) Elde edilen toplam? (veya fark?) 100 ile ?arp?n. Karesini bulmak istedi?iniz say? ile 50 say?s? aras?ndaki fark? sonuca ekleyin. ?rnek: 46 say?s?n?n karesini bulman?z gerekiyor. Fark 50-46=4.5-4=1.1x100=0.4x4=6.0+16=2116'd?r. Sonu?: 46x46=2116.

40'tan 60'a kadar olan say?lar?n karesini alman?n ba?ka bir p?f noktas? da 40'tan 49'a kadar olan bir say?n?n karesini hesaplamak i?in birim say?s?n? 15 ile artt?rman?z, sonucu 100 ile ?arpman?z, sa??na eklemeniz gerekir. verilen say?n?n son basama?? ile 10 aras?ndaki fark?n karesi. ?rnek. 42 say?s?n?n karesini hesaplay?n. Bu say?n?n birim say?s? 2'dir. 15 eklenir: 2+15=17. Ayn? say?da birim ile 10 aras?ndaki fark bulunur.8'e e?ittir. Karedir: 8x8 \u003d 64. 64 say?s? ?nceki sonucun 17 sa??na atan?r. Son say? 1764't?r. Say? 51 ile 59 aras?ndaysa, karesini almak i?in ayn? algoritma kullan?l?r, say?ya sadece 25 eklenmelidir. birimlerin.

Zihninizde herhangi bir iki basamakl? say?n?n karesini nas?l al?rs?n?z? Bir ki?i tek basamakl? say?lar?n karesini almay? biliyorsa, yani ?arp?m tablosunu biliyorsa, iki basamakl? say?lar?n karelerini hesaplamada sorun ya?amayacakt?r. ?rnek. ?ki basamakl? 36 say?s?n?n karesini alman?z gerekir. Bu say?, onlarca say?s? ile ?arp?l?r. 36x3=8. Ard?ndan, say?n?n basamaklar?n?n ?r?n?n? bulman?z gerekir: 3x6 \u003d 18. Ard?ndan her iki sonucu da ekleyin. 108+18=126. Sonraki ad?m: Orijinal say?n?n birimlerini karelemeniz gerekir: 6x6=36. Ortaya ??kan ?r?nde onlarca say?s? belirlenir - 3 ve ?nceki sonuca eklenir: 126 + 3 = 129. Ve son ad?m. Elde edilen sonucun sa??nda, orijinal say?n?n birim say?s? atfedilmi?tir, bu ?rnekte - 6. Nihai sonu? 1296 say?s?d?r.

Farkl? say?lar?n karesini alman?n bir?ok yolu vard?r. Yukar?daki algoritmalardan baz?lar? olduk?a basit, baz?lar? olduk?a hantal ve ilk bak??ta anla??lmaz. Bir?o?u y?zy?llard?r insanlar taraf?ndan kullan?lm??t?r. Her insan kendi daha anla??l?r ve ilgin? algoritmalar?n? geli?tirebilir. Ancak s?zl? hesapla ilgili sorunlar varsa veya ba?ka zorluklar ortaya ??karsa, teknik yollar? dahil etmeniz gerekecektir.

Say?lar?n karelerini zihinsel olarak sayma yetene?i, ?e?itli ya?am durumlar?nda, ?rne?in yat?r?m i?lemlerinin h?zl? bir ?ekilde de?erlendirilmesinde, alanlar?n ve hacimlerin hesaplanmas?nda ve di?er bir?ok durumda yararl? olabilir. Ek olarak, kafan?zdaki kareleri sayma yetene?i, entelekt?el yeteneklerinizin bir g?stergesi olarak hizmet edebilir. Bu makale, bu beceriyi ??renmenize izin veren y?ntemleri ve algoritmalar? analiz eder.

Toplam?n karesi ve fark?n karesi

?ki basamakl? say?lar?n karesini alman?n en basit yollar?ndan biri, toplam?n karesi ve fark?n karesi i?in form?llerin kullan?lmas?na dayanan bir tekniktir:

Bu y?ntemi kullanmak i?in iki basamakl? bir say?y? 10'un kat? ve 10'dan k???k bir say?n?n toplam?na ay?rman?z gerekir. ?rne?in:

• 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
• 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Hemen hemen t?m kare alma teknikleri (a?a??da a??klanm??t?r) kare toplam ve kare fark form?llerine dayanmaktad?r. Bu form?ller, baz? ?zel durumlarda kare almay? basitle?tiren bir dizi algoritmay? tan?mlamay? m?mk?n k?ld?.

Tan?nm?? bir meydana yak?n bir meydan

Karesini ald???m?z say?, karesini bildi?imiz say?ya yak?nsa, basit zihinsel sayma i?in d?rt teknikten birini kullanabiliriz:

1 tane daha:

Metodoloji: bir eksik say?n?n karesine, say?n?n kendisini ve bir eksi?i ekleyin.

• 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
• 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

1 daha az:

Metodoloji: bir say?n?n karesinden say?n?n kendisini ve bir say?y? daha ??kar?n.

• 19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
• 24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

2 tane daha

Metodoloji: 2 eksi?inin karesine, say?n?n kendisinin ve 2 eksi?inin toplam?n?n iki kat? eklenir.

• 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 daha az

Metodoloji: 2 say?s?n?n karesinden, say?n?n kendisinin ve 2 say?s?n?n toplam?n? iki kez ??kar?n.

• 48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
• 98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

T?m bu teknikler, kare toplam ve kare fark form?llerinden (yukar?da tart???lan) algoritmalar t?retilerek kolayca kan?tlanabilir.

5 ile biten say?lar?n karesi

5 ile biten say?lar?n karesini almak i?in Algoritma basittir. Son be?e kadar olan say?, ayn? say? art? bir ile ?arp?l?r. Kalan say?ya 25 ekliyoruz.

• 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
• 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
• 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Bu, daha karma??k ?rnekler i?in de ge?erlidir:

• 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

50'ye yak?n kare say?lar

??inde bulunan say?lar?n karesini say?n 40 ila 60 aras??ok basit bir ?ekilde yap?labilir. Algoritma ?u ?ekildedir: 25'e say? 50'den b?y?k (veya k???k) kadar ekleriz (veya ??kar?r?z). Bu toplam? (veya fark?) 100 ile ?arpar?z. Bu ?r?ne aradaki fark?n karesini ekleriz. say?n?n karesi ve elli. Algoritman?n ?rneklerle nas?l ?al??t???n? g?r?n:

• 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
• 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

?? basamakl? say? karesi

?? basamakl? say?lar?n karesini almak, k?salt?lm?? ?arpma form?llerinden biri kullan?larak yap?labilir:

Bu y?ntemin s?zl? say?m i?in uygun oldu?u s?ylenemez, ancak ?zellikle zor durumlarda benimsenebilir:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Antrenman yapmak

Bu dersin konusuyla ilgili becerilerinizi geli?tirmek istiyorsan?z a?a??daki oyunu kullanabilirsiniz. Ald???n?z puanlar, cevaplar?n?z?n do?rulu?undan ve ge?mek i?in harcanan zamandan etkilenir. L?tfen say?lar?n her seferinde farkl? oldu?unu unutmay?n.