?ki say?n?n en k???k ortak kat?, bu say?lar?n en b?y?k ortak b?leniyle do?rudan ili?kilidir. Bu GCD ve NOC aras?ndaki ba?lant? a?a??daki teorem ile tan?mlan?r.

Teorem.

?ki pozitif a ve b tamsay?s?n?n en k???k ortak kat?, a ve b say?lar?n?n ?arp?m?na, a ve b say?lar?n?n en b?y?k ortak b?lenine e?ittir, yani, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Kan?t.

?zin vermek M, a ve b say?lar?n?n bir kat?d?r. Yani, M, a ile b?l?nebilir ve b?l?nebilirli?in tan?m?na g?re, M=a·k e?itli?i do?ru olacak ?ekilde bir k tamsay?s? vard?r. Ama M, b'ye de b?l?nebilir, o zaman a k, b'ye b?l?nebilir.

gcd(a, b)'yi d olarak belirtin. Sonra a=a 1 ·d ve b=b 1 ·d e?itliklerini yazabiliriz ve a 1 =a:d ve b 1 =b:d asal say?lar olacakt?r. Bu nedenle, ?nceki paragrafta elde edilen a k'nin b'ye b?l?nebilmesi ko?ulu a?a??daki gibi yeniden form?le edilebilir: a 1 d k, b 1 d ile b?l?nebilir ve bu, b?l?nebilirlik ?zelliklerinden dolay?, a 1 k'nin ko?uluna e?de?erdir. b bir ile b?l?nebilir.

Ayr?ca, dikkate al?nan teoremden iki ?nemli sonucu yazmam?z gerekiyor.

?ki say?n?n ortak katlar?, en k???k ortak katlar?n?n katlar? ile ayn?d?r.

Bu do?rudur, ??nk? a ve b M say?lar?n?n herhangi bir ortak kat?, bir t tamsay? de?eri i?in M=LCM(a, b) t e?itli?i ile tan?mlan?r.

Asal pozitif say?lar?n en k???k ortak kat? a ve b ?arp?mlar?na e?ittir.

Bu ger?e?in gerek?esi olduk?a a??kt?r. a ve b aralar?nda asal oldu?undan, gcd(a, b)=1 , bu nedenle, LCM(a, b)=a b: OBEB(a, b)=a b:1=a b.

?? veya daha fazla say?n?n en k???k ortak kat?

?? veya daha fazla say?n?n en k???k ortak kat?n? bulmak, iki say?n?n LCM'sini art arda bulmaya indirgenebilir. Bunun nas?l yap?ld??? a?a??daki teoremde g?sterilmi?tir: a 1 , a 2 , …, a k m k-1 ve a k say?lar?n?n ortak katlar?yla ?ak???r, dolay?s?yla m k'nin katlar?yla ?ak???r. Ve m k say?s?n?n en k???k pozitif kat? m k say?s?n?n kendisi oldu?undan, a 1 , a 2 , …, a k say?lar?n?n en k???k ortak kat? m k 'dir.

Bibliyografya.

• Vilenkin N.Ya. vb. Matematik. 6. s?n?f: e?itim kurumlar? i?in ders kitab?.
• Vinogradov I.M. Say? teorisinin temelleri.
• Mikhelovich Sh.Kh. Say? teorisi.
• Kulikov L.Ya. ve di?erleri Cebir ve say?lar teorisindeki problemlerin toplanmas?: fiz.-mat ??rencileri i?in ders kitab?. pedagojik enstit?lerin ?zellikleri.

LCM nas?l bulunur (en az ortak kat)

?ki tamsay?n?n en k???k ortak kat?, verilen her iki say?ya e?it ve kalans?z b?l?nebilen t?m tam say?lar?n en k?????d?r.

Y?ntem 1. LCM'yi, verilen say?lar?n her biri i?in, 1, 2, 3, 4 vb. ile ?arp?larak elde edilen t?m say?lar? artan d?zende yazarak bulabilirsiniz.

?rnek 6 ve 9 numaralar i?in
6 say?s?n? s?rayla 1, 2, 3, 4, 5 ile ?arp?yoruz.
Al?r?z: 6, 12, 18 , 24, 30
9 say?s?n? s?rayla 1, 2, 3, 4, 5 ile ?arp?yoruz.
Ald???m?z: 9, 18 , 27, 36, 45
G?rd???n?z gibi, 6 ve 9 say?lar? i?in LCM 18 olacakt?r.

Bu y?ntem, her iki say? da k???k oldu?unda uygundur ve bunlar? bir tamsay? dizisiyle ?arpmak kolayd?r. Bununla birlikte, iki basamakl? veya ?? basamakl? say?lar i?in LCM'yi bulman?z gereken ve ayr?ca ?? veya daha fazla ilk say? oldu?u durumlar vard?r.

Y?ntem 2. Orijinal say?lar? asal ?arpanlara ay?rarak LCM'yi bulabilirsiniz.
Ayr??t?rmadan sonra, elde edilen asal fakt?r serilerinden ayn? say?lar?n ?zerini ?izmek gerekir. ?lk say?n?n kalan say?lar? ikincinin ?arpan? olacak ve ikinci say?n?n kalan say?lar? birincinin ?arpan? olacakt?r.

?rnek 75 ve 60 numara i?in.
75 ve 60 say?lar?n?n en k???k ortak kat?, bu say?lar?n katlar? arka arkaya yaz?lmadan bulunabilir. Bunu yapmak i?in 75 ve 60'? asal ?arpanlara ay?r?yoruz:
75 = 3 * 5 * 5 ve
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
G?rd???n?z gibi, 3 ve 5 fakt?rleri her iki sat?rda da ortaya ??k?yor. Zihinsel olarak onlar? "a??yoruz".
Bu say?lar?n her birinin a??l?m?nda yer alan kalan ?arpanlar? yazal?m. 75 say?s?n? ayr??t?r?rken 5 say?s?n?, 60 say?s?n? ayr??t?r?rken 2*2 say?s?n? b?rakt?k.
Bu nedenle, 75 ve 60 say?lar? i?in LCM'yi belirlemek i?in, 75'in (bu 5) a??l?m?ndan kalan say?lar? 60 ile ve 60 say?s?n?n a??l?m?ndan kalan say?lar? (bu 2 * 2'dir) ?arpmam?z gerekir. ) 75 ile ?arp?n. Yani anlama kolayl??? i?in "?apraz" ?arp?yoruz diyoruz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
60 ve 75 say?lar? i?in LCM'yi bu ?ekilde bulduk. Bu, 300 say?s?d?r.

?rnek. 12, 16, 24 say?lar? i?in LCM'yi belirleyin
Bu durumda, eylemlerimiz biraz daha karma??k olacakt?r. Ama ?nce, her zaman oldu?u gibi, t?m say?lar? asal ?arpanlar?na ay?r?yoruz.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM'yi do?ru bir ?ekilde belirlemek i?in, t?m say?lar?n en k?????n? se?eriz (bu 12 say?s?d?r) ve art arda fakt?rlerini g?zden ge?irerek, di?er say? sat?rlar?ndan en az birinin hen?z ge?ilmemi? olan ayn? ?arpana sahip olmas? durumunda bunlar? keseriz. d??ar?.

A?ama 1 . T?m say? dizilerinde 2*2 oldu?unu g?r?yoruz. Onlar? ge?iyoruz.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ad?m 2. 12 say?s?n?n asal ?arpanlar?nda sadece 3 say?s? kal?r fakat 24 say?s?n?n asal ?arpanlar?nda bulunur 16 say?s? i?in herhangi bir i?lem beklenmezken 3 say?s?n? her iki sat?rdan da atl?yoruz .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

G?rd???n?z gibi, 12 say?s?n? ayr??t?r?rken t?m say?lar? "?izdik". B?ylece NOC'nin bulunmas? tamamland?. Sadece de?erini hesaplamak i?in kal?r.
12 say?s? i?in, kalan ?arpanlar? 16 say?s?ndan al?yoruz (artan s?rada en yak?n)
12 * 2 * 2 = 48
Bu, NOC'dir

G?rd???n?z gibi, bu durumda LCM'yi bulmak biraz daha zordu, ancak ?? veya daha fazla say? i?in bulman?z gerekti?inde, bu y?ntem daha h?zl? yapman?z? sa?lar. Ancak, LCM'yi bulman?n her iki yolu da do?rudur.

En b?y?k ortak b?len ve en k???k ortak kat, s?radan kesirlerle kolayca i?lem yapman?z? sa?layan temel aritmetik kavramlard?r. LCM ve ?o?unlukla birka? kesrin ortak paydas?n? bulmak i?in kullan?l?r.

Temel konseptler

Bir X tamsay?n?n b?leni, X'in kalans?z b?l?nebildi?i ba?ka bir Y tamsay?d?r. ?rne?in, 4'?n b?leni 2'dir ve 36, 4, 6, 9'dur. X tamsay?s?n?n bir kat?, X'e kalans?z b?l?nebilen bir Y say?s?d?r. ?rne?in, 3, 15'in kat?d?r ve 6, 12'nin kat?d?r.

Herhangi bir say? ?iftinin ortak b?lenlerini ve katlar?n? bulabiliriz. ?rne?in, 6 ve 9 i?in ortak kat 18'dir ve ortak b?len 3't?r. A??k?as?, ?iftlerin birka? b?leni ve kat? olabilir, bu nedenle hesaplamalarda OBEB'nin en b?y?k b?leni ve LCM'nin en k???k kat? kullan?l?r. .

Herhangi bir say? i?in her zaman bir oldu?u i?in en k???k b?len anlaml? de?ildir. En b?y?k kat da anlams?zd?r, ??nk? katlar?n dizisi sonsuzlu?a meyleder.

GCD'yi bulma

En b?y?k ortak b?leni bulmak i?in bir?ok y?ntem vard?r, bunlardan en ?nl?leri ?unlard?r:

• b?lenlerin s?ral? say?m?, bir ?ift i?in ortak olanlar?n se?imi ve en b?y???n?n aranmas?;
• say?lar?n b?l?nemez ?arpanlara ayr?lmas?;
• Euclid'in algoritmas?;
• ikili algoritma.

Bug?n, e?itim kurumlar?nda, asal fakt?rlere ayr??t?rman?n en pop?ler y?ntemleri ve ?klid algoritmas?. ?kincisi, s?rayla, Diophantine denklemlerinin ??z?m?nde kullan?l?r: denklemi tamsay?larda ??zme olas?l???n? kontrol etmek i?in GCD'nin aranmas? gerekir.

NOC'yi bulma

En k???k ortak kat, yinelemeli numaraland?rma veya b?l?nmez fakt?rlere ?arpanlara ay?rma ile tam olarak belirlenir. Ayr?ca, en b?y?k b?len zaten belirlenmi?se, LCM'yi bulmak kolayd?r. X ve Y say?lar? i?in, LCM ve GCD a?a??daki ili?kiyle ili?kilidir:

LCM(X,Y) = X x Y / GCM(X,Y).

?rne?in, gcd(15,18) = 3 ise, LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90. LCM'nin en belirgin kullan?m?, ortak payday? bulmakt?r. verilen kesirler.

asal say?lar

Bir say? ?iftinin ortak b?leni yoksa, b?yle bir say? ?iftine asal denir. Bu t?r ?iftler i?in GCM her zaman bire e?ittir ve b?lenlerin ve katlar?n ba?lant?s?na dayal? olarak, ortak asal i?in GCM, bunlar?n ?arp?m?na e?ittir. ?rne?in, 25 ve 28 say?lar? ortak b?lenleri olmad??? i?in aralar?nda asald?r ve LCM(25, 28) = 700, bunlar?n ?arp?m?na kar??l?k gelir. B?l?nemeyen herhangi iki say? her zaman aralar?nda asal olacakt?r.

Ortak B?len ve ?oklu Hesap Makinesi

Hesaplay?c?m?zla, aralar?ndan se?im yapabilece?iniz herhangi bir say? i?in GCD ve LCM'yi hesaplayabilirsiniz. Ortak b?lenleri ve katlar? hesaplama g?revleri 5. ve 6. s?n?flar?n aritmeti?inde bulunur, ancak GCD ve LCM matemati?in temel kavramlar?d?r ve say? teorisi, planimetri ve ileti?imsel cebirde kullan?l?r.

Ger?ek hayattan ?rnekler

Kesirlerin ortak paydas?

En k???k ortak kat, birka? kesrin ortak paydas?n? bulurken kullan?l?r. Bir aritmetik probleminde 5 kesrin toplanmas? gerekti?ini varsayal?m:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Kesirler eklemek i?in ifadenin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir, bu da LCM'yi bulma sorununu azalt?r. Bunu yapmak i?in hesap makinesinde 5 say? se?in ve uygun h?crelere payda de?erlerini girin. Program LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360'? hesaplayacakt?r. ?imdi her kesir i?in LCM'nin paydaya oran? olarak tan?mlanan ek fakt?rleri hesaplaman?z gerekiyor. B?ylece ekstra ?arpanlar ??yle g?r?n?r:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Bundan sonra, t?m kesirleri kar??l?k gelen ek fakt?rle ?arpar?z ve ?unu elde ederiz:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Bu t?r kesirleri kolayca ekleyebilir ve sonucu 159/360 ?eklinde alabiliriz. Kesri 3 azalt?yoruz ve son cevab? g?r?yoruz - 53/120.

Lineer Diophant denklemlerinin ??z?m?

Do?rusal Diofant denklemleri, ax + by = d formunun ifadeleridir. d / gcd(a, b) oran? bir tam say? ise, denklem tam say?larda ??z?lebilir. Bir tamsay? ??z?m olas?l??? i?in birka? denklemi kontrol edelim. ?nce 150x + 8y = 37 denklemini kontrol edin. Bir hesap makinesi kullanarak gcd (150.8) = 2'yi buluruz. 37/2 = 18.5'i b?l?n. Say? bir tamsay? de?ildir, bu nedenle denklemin tamsay? k?kleri yoktur.

1320x + 1760y = 10120 denklemini kontrol edelim. gcd(1320, 1760) = 440'? bulmak i?in bir hesap makinesi kullan?n. 10120/440 = 23'? b?l?n. Sonu? olarak, bir tamsay? elde ederiz, bu nedenle Diophant denklemi tamsay? katsay?lar?nda ??z?lebilir .

??z?m

GCD ve LCM, say? teorisinde ?nemli bir rol oynar ve kavramlar?n kendileri matemati?in ?e?itli alanlar?nda yayg?n olarak kullan?lmaktad?r. Herhangi bir say?n?n en b?y?k b?lenlerini ve en k???k katlar?n? hesaplamak i?in hesap makinemizi kullan?n.

En k???k ortak kat? bulman?n ?? yolunu d???n?n.

Faktoring Yoluyla Bulmak

?lk yol, verilen say?lar? asal ?arpanlara ay?rarak en k???k ortak kat? bulmakt?r.

Diyelim ki say?lar?n LCM'sini bulmam?z gerekiyor: 99, 30 ve 28. Bunu yapmak i?in, bu say?lar?n her birini asal ?arpanlar?na ay?r?yoruz:

?stenilen say?n?n 99, 30 ve 28 ile tam b?l?nebilmesi i?in bu b?lenlerin t?m asal ?arpanlar?n? i?ermesi gerekli ve yeterlidir. Bunu yapmak i?in, bu say?lar?n t?m asal ?arpanlar?n? olu?an en y?ksek g?ce almam?z ve bunlar? birlikte ?arpmam?z gerekir:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Yani LCM (99, 30, 28) = 13.860. 13.860'tan k???k hi?bir say? 99, 30 veya 28'e tam olarak b?l?nemez.

Verilen say?lar?n en k???k ortak kat?n? bulmak i?in, bunlar? asal ?arpanlara ay?rman?z, ard?ndan her asal ?arpan?, olu?tu?u en b?y?k ?sle birlikte alman?z ve bu ?arpanlar? birlikte ?arpman?z gerekir.

Koasal say?lar?n ortak asal ?arpanlar? olmad??? i?in en k???k ortak katlar? bu say?lar?n ?arp?m?na e?ittir. ?rne?in, ?? say?: 20, 49 ve 33 asald?r. Bu y?zden

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Ayn?s?, ?e?itli asal say?lar?n en k???k ortak kat?n? ararken yap?lmal?d?r. ?rne?in, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Se?ime g?re bulma

?kinci yol, s??d?rarak en k???k ortak kat? bulmakt?r.

?rnek 1. Verilen say?lar?n en b?y??? verilen di?er say?lara e?it olarak b?l?nebildi?inde, bu say?lar?n LCM'si b?y?k olana e?ittir. ?rne?in, d?rt say? verildi: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60'a b?l?nebilir, bu nedenle:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Di?er durumlarda, en k???k ortak kat? bulmak i?in a?a??daki prosed?r kullan?l?r:

1. Verilen say?lardan en b?y?k olan?n? bulunuz.
2. Daha sonra, en b?y?k say?n?n katlar? olan say?lar?, artan s?rada do?al say?larla ?arparak ve verilen say?lar?n elde edilen ?r?n taraf?ndan b?l?n?p b?l?nemeyece?ini kontrol ederek buluruz.

?rnek 2. Verilen ?? say? 24, 3 ve 18. Bunlar?n en b?y???n? belirleyin - bu 24 say?s?d?r. Ard?ndan, 24'?n kat? olan say?lar? bulun ve her birinin 18'e ve 3'e b?l?n?p b?l?nemeyece?ini kontrol edin.

24 1 = 24, 3'e b?l?nebilir ancak 18'e b?l?nemez.

24 2 = 48 - 3'e b?l?nebilir ancak 18'e b?l?nemez.

24 3 \u003d 72 - 3 ve 18'e b?l?nebilir.

O halde LCM(24, 3, 18) = 72.

S?ral? Bulma LCM ile Bulma

???nc? yol, LCM'yi art arda bularak en k???k ortak kat? bulmakt?r.

Verilen iki say?n?n LCM'si, bu say?lar?n en b?y?k ortak b?lenlerine b?l?nmesine e?ittir.

?rnek 1. Verilen iki say?n?n LCM'sini bulun: 12 ve 8. En b?y?k ortak b?lenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Bu say?lar? ?arp?n:

?r?n? GCD'lerine ay?r?yoruz:

O halde LCM(12, 8) = 24.

?? veya daha fazla say?n?n LCM'sini bulmak i?in a?a??daki prosed?r kullan?l?r:

1. ?lk olarak, verilen say?lardan herhangi ikisinin LCM'si bulunur.
2. Ard?ndan, bulunan en k???k ortak kat?n LCM'si ve verilen ???nc? say?.
3. Ard?ndan, elde edilen en k???k ortak kat ve d?rd?nc? say?n?n LCM'si vb.
4. B?ylece LCM aramas?, say?lar oldu?u s?rece devam eder.

?rnek 2. Verilen ?? say?n?n LCM'sini bulal?m: 12, 8 ve 9. ?nceki ?rnekte 12 ve 8 say?lar?n?n LCM'sini bulduk (bu 24 say?s?). Geriye 24'?n en k???k ortak kat?n? ve verilen ???nc? say?y? bulmak kal?r - 9. En b?y?k ortak b?lenlerini belirleyin: gcd (24, 9) = 3. LCM'yi 9 ile ?arp?n:

?r?n? GCD'lerine ay?r?yoruz:

O halde LCM(12, 8, 9) = 72.

LCM - En K???k Ortak Kat, Tan?m, ?rnekler b?l?m?nde ba?lad???m?z en k???k ortak kat ile ilgili tart??maya devam edelim. Bu konumuzda, ?? veya daha fazla say? i?in LCM'yi bulman?n yollar?na bakaca??z, negatif bir say?n?n LCM'sini nas?l bulaca??m?z sorusunu analiz edece?iz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

gcd arac?l???yla en k???k ortak kat?n (LCM) hesaplanmas?

En k???k ortak kat ile en b?y?k ortak b?len aras?ndaki ili?kiyi zaten kurduk. ?imdi LCM'yi GCD ?zerinden nas?l tan?mlayaca??m?z? ??renelim. ?lk olarak, pozitif say?lar i?in bunu nas?l yapaca??m?z? bulal?m.

tan?m 1

LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) form?l?n? kullanarak en b?y?k ortak b?len arac?l???yla en k???k ortak kat? bulabilirsiniz.

?rnek 1

126 ve 70 say?lar?n?n LCM'sini bulmak gerekir.

??z?m

a = 126 , b = 70 alal?m. En b?y?k ortak b?len LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) arac?l???yla en k???k ortak kat? hesaplamak i?in form?ldeki de?erleri de?i?tirin.

70 ve 126 say?lar?n?n GCD'sini bulur. Bunun i?in ?klid algoritmas?na ihtiyac?m?z var: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , dolay?s?yla gcd (126 , 70) = 14 .

LCM'yi hesaplayal?m: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Cevap: LCM (126, 70) = 630.

?rnek 2

68 ve 34 say?lar?n?n nokunu bulun.

??z?m

Bu durumda GCD'yi bulmak kolayd?r, ??nk? 68, 34'e b?l?nebilir. LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68 form?l?n? kullanarak en k???k ortak kat? hesaplay?n.

Cevap: LCM(68, 34) = 68.

Bu ?rnekte, a ve b pozitif tam say?lar?n?n en k???k ortak kat?n? bulmak i?in kural? kulland?k: e?er ilk say? ikinciye b?l?nebiliyorsa, bu say?lar?n LCM'si ilk say?ya e?it olacakt?r.

Say?lar? Asal Fakt?rlere Ay?rarak LCM'yi Bulma

?imdi say?lar?n asal fakt?rlere ayr??t?r?lmas?na dayanan LCM'yi bulman?n bir yoluna bakal?m.

tan?m 2

En k???k ortak kat? bulmak i?in birka? basit ad?m ger?ekle?tirmemiz gerekir:

• LCM'yi bulmam?z gereken t?m asal ?arpanlar?n ?arp?m?n? olu?turuyoruz;
• t?m asal fakt?rleri elde edilen ?r?nlerden hari? tutuyoruz;
• ortak asal ?arpanlar? elendikten sonra elde edilen ?r?n, verilen say?lar?n LCM'sine e?it olacakt?r.

En k???k ortak kat? bulman?n bu yolu, LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) e?itli?ine dayan?r. Form?le bakarsan?z, netle?ecektir: a ve b say?lar?n?n ?arp?m?, bu iki say?n?n geni?lemesinde yer alan t?m fakt?rlerin ?arp?m?na e?ittir. Bu durumda, iki say?n?n EBOB'u, bu iki say?n?n ?arpanlar?na ay?rmalar?nda ayn? anda bulunan t?m asal ?arpanlar?n ?arp?m?na e?ittir.

?rnek 3

75 ve 210 olmak ?zere iki numaram?z var. Bunlar? ?u ?ekilde ay?rabiliriz: 75 = 3 5 5 ve 210 = 2 3 5 7. ?ki orijinal say?n?n t?m ?arpanlar?n?n ?arp?m?n? yaparsan?z, ?unu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.

Hem 3 hem de 5 say?lar? i?in ortak fakt?rleri hari? tutarsak, a?a??daki bi?imde bir ?r?n elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ?r?n, 75 ve 210 numaralar i?in LCM'miz olacakt?r.

?rnek 4

Say?lar?n LCM'sini bulun 441 ve 700 , her iki say?y? da asal fakt?rlere ayr??t?rmak.

??z?m

Bu durumda verilen say?lar?n t?m asal ?arpanlar?n? bulal?m:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

?ki say? zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7 .

Bu say?lar?n geni?lemesine kat?lan t?m fakt?rlerin ?r?n? ??yle g?r?necektir: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak ?arpanlar? bulal?m. Bu say? 7'dir. Genel ?r?nden hari? tutuyoruz: 2 2 3 3 5 5 7 7. G?r?n??e g?re NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Cevap: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Say?lar? asal ?arpanlara ay?rarak LCM'yi bulma y?nteminin bir form?l?n? daha verelim.

tan?m 3

Daha ?nce, her iki say? i?in ortak olan toplam fakt?r say?s?ndan ??karm??t?k. ?imdi bunu farkl? yapaca??z:

• Her iki say?y? da asal ?arpanlar?na ay?ral?m:
• birinci say?n?n asal ?arpanlar?n?n ?arp?m?na ikinci say?n?n eksik ?arpanlar?n? ekleyin;
• iki say?n?n istenen LCM'si olacak ?r?n? elde ederiz.

?rnek 5

?nceki ?rneklerden birinde LCM'yi arad???m?z 75 ve 210 say?lar?na geri d?nelim. Bunlar? basit fakt?rlere ay?ral?m: 75 = 3 5 5 ve 210 = 2 3 5 7. 3 , 5 ve fakt?rlerin ?arp?m?na 5 75 numara eksik fakt?rleri ekleyin 2 ve 7 210 numara. Al?r?z: 2 3 5 5 7 . Bu, 75 ve 210 say?lar?n?n LCM'sidir.

?rnek 6

84 ve 648 say?lar?n?n LCM'sini hesaplamak gerekir.

??z?m

Ko?uldaki say?lar? asal ?arpanlara ay?ral?m: 84 = 2 2 3 7 ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 2 , 2 , 3 ve ?arpanlar?n?n ?arp?m?na ekleyin 7 say?lar 84 eksik ?arpanlar 2 , 3 , 3 ve
3 say?lar 648 . ?r?n? al?yoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Bu, 84 ve 648'in en k???k ortak kat?d?r.

Cevap: LCM (84, 648) = 4536.

?? veya daha fazla say?n?n LCM'sini bulma

Ka? say? ile u?ra?t???m?za bak?lmaks?z?n, eylemlerimizin algoritmas? her zaman ayn? olacakt?r: s?rekli olarak iki say?n?n LCM'sini bulaca??z. Bu durum i?in bir teorem var.

Teorem 1

Diyelim ki tamsay?lar?m?z var bir 1 , bir 2 , … , bir k. NOC mk bu say?lar?n bir tanesi s?ral? hesaplamada bulunur m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) .

?imdi teoremin belirli problemlere nas?l uygulanabilece?ine bakal?m.

?rnek 7

140 , 9 , 54 ve d?rt say?n?n en k???k ortak kat?n? hesaplaman?z gerekir. 250 .

??z?m

G?sterimi tan?tal?m: 1 \u003d 140, 2 \u003d 9, 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) de?erini hesaplayarak ba?layal?m. 140 ve 9 say?lar?n?n GCD'sini hesaplamak i?in ?klid algoritmas?n? kullanal?m: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . ?unu elde ederiz: OBEB(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: OBEB(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Bu nedenle, m 2 = 1 260 .

?imdi ayn? algoritmaya g?re hesaplayal?m m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Hesaplamalar s?ras?nda m 3 = 3 780 elde ederiz.

Bize m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) hesaplamak kal?yor. Ayn? algoritmaya g?re hareket ediyoruz. m 4 \u003d 94 500 al?yoruz.

?rnek ko?uldaki d?rt say?n?n LCM'si 94500'd?r.

Cevap: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

G?rd???n?z gibi, hesaplamalar basit ama olduk?a zahmetli. Zaman kazanmak i?in di?er tarafa gidebilirsiniz.

Tan?m 4

Size a?a??daki eylem algoritmas?n? sunuyoruz:

• t?m say?lar? asal ?arpanlara ay?r?n;
• birinci say?n?n ?arpanlar?n?n ?arp?m?na, ikinci say?n?n ?arp?m?ndan eksik ?arpanlar? ekleyin;
• ?nceki a?amada elde edilen ?r?ne ???nc? say?n?n eksik ?arpanlar?n? ekleyin, vb.;
• elde edilen ?r?n, ko?uldaki t?m say?lar?n en k???k ortak kat? olacakt?r.

?rnek 8

84 , 6 , 48 , 7 , 143 be? say?n?n LCM'sini bulmak gerekir .

??z?m

Be? say?n?n t?m?n? asal ?arpanlar?na ay?ral?m: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . 7 say?s? olan asal say?lar asal ?arpanlara ayr?lamaz. Bu t?r say?lar, asal fakt?rlere ayr??malar?yla ?rt???r.

?imdi 84 say?s?n?n 2, 2, 3 ve 7 asal ?arpanlar?n?n ?arp?m?n? alal?m ve onlara ikinci say?n?n eksik ?arpanlar?n? ekleyelim. 6 say?s?n? 2 ve 3'e ay?rd?k. Bu fakt?rler zaten ilk say?n?n ?r?n?ndedir. Bu nedenle, onlar? atl?yoruz.

Eksik ?arpanlar? eklemeye devam ediyoruz. 2 ve 2'yi ald???m?z asal ?arpanlar?n ?arp?m?ndan 48 say?s?na d?n?yoruz. Sonra d?rd?nc? say?dan basit bir 7 ?arpan? ve be?inci say?n?n 11 ve 13'?n?n ?arpanlar?n? ekliyoruz. ?unu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, be? orijinal say?n?n en k???k ortak kat?d?r.

Cevap: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Negatif Say?lar?n En K???k Ortak Kat?n? Bulma

Negatif say?lar?n en k???k ortak kat?n? bulmak i?in ?nce bu say?lar?n z?t i?aretli say?larla yer de?i?tirmesi, ard?ndan hesaplamalar?n yukar?daki algoritmalara g?re yap?lmas? gerekir.

?rnek 9

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) ve LCM(-622,-46, -54,-888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Kabul edildi?i takdirde, bu t?r eylemlere izin verilir. a ve - bir- z?t say?lar
sonra katlar k?mesi a bir say?n?n katlar? k?mesiyle ?ak???r - bir.

?rnek 10

Negatif say?lar?n LCM'sini hesaplamak gerekir - 145 ve - 45 .

??z?m

say?lar? de?i?tirelim - 145 ve - 45 onlar?n z?t say?lar?na 145 ve 45 . ?imdi, algoritmay? kullanarak, daha ?nce ?klid algoritmas?n? kullanarak GCD'yi belirlemi? olan LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305'i hesapl?yoruz.

- 145 say?lar?n?n LCM'sini ve - 45 e?ittir 1 305 .

Cevap: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .

Metinde bir hata fark ederseniz, l?tfen vurgulay?n ve Ctrl+Enter tu?lar?na bas?n.