?ki say?n?n en k???k ortak kat?, bu say?lar?n en b?y?k ortak b?leniyle do?rudan ili?kilidir. Bu GCD ve NOC aras?ndaki ba?lant? a?a??daki teorem ile belirlenir.

Teorem.

?ki pozitif a ve b tam say?s?n?n en k???k ortak kat?, a ve b'nin ?arp?m?n?n a ve b'nin en b?y?k ortak b?lenine b?l?nmesine e?ittir; yani, LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b).

Kan?t.

?zin vermek M, a ve b say?lar?n?n baz? katlar?d?r. Yani M, a'ya b?l?nebilir ve b?l?nebilirli?in tan?m? gere?i, M=a·k e?itli?inin do?ru olmas?n? sa?layan bir k tamsay?s? vard?r. Ancak M ayn? zamanda b'ye de b?l?nebilirse a·k b'ye de b?l?nebilir.

gcd(a, b)'yi d olarak g?sterelim. O zaman a=a 1 ·d ve b=b 1 ·d e?itliklerini yazabiliriz ve a 1 =a:d ve b 1 =b:d g?receli asal say?lar olacakt?r. Sonu? olarak, ?nceki paragrafta elde edilen a · k'nin b'ye b?l?nebilmesi ko?ulu ?u ?ekilde yeniden form?le edilebilir: a 1 · d · k, b 1 · d'ye b?l?n?r ve bu, b?l?nebilirlik ?zellikleri nedeniyle ?u ko?ula e?de?erdir: a 1 · k'n?n b 1'e b?l?nebilmesi.

Ayr?ca ele al?nan teoremin iki ?nemli sonucunu da yazman?z gerekir.

?ki say?n?n ortak katlar?, en k???k ortak katlar?n?n katlar?na e?ittir.

Bu ger?ekten de b?yledir, ??nk? a ve b say?lar?n?n herhangi bir ortak kat?, bir t tamsay? de?eri i?in M=LMK(a, b)·t e?itli?i ile belirlenir.

Kar??l?kl? asal pozitif say?lar a ve b'nin en k???k ortak kat?, ?arp?mlar?na e?ittir.

Bu ger?e?in mant??? olduk?a a??kt?r. a ve b aralar?nda asal oldu?undan, ebcd(a, b)=1 olur, dolay?s?yla, OBEB(a, b)=a b: OBEB(a, b)=a b:1=a b.

?? veya daha fazla say?n?n en k???k ortak kat?

?? veya daha fazla say?n?n en k???k ortak kat?n? bulmak, iki say?n?n LCM'sini s?rayla bulmaya indirgenebilir. Bunun nas?l yap?laca?? a?a??daki teoremde g?sterilmektedir: a 1 , a 2 , …, a k, m k-1 ve a k say?lar?n?n ortak katlar?yla ?ak???r, dolay?s?yla m k say?s?n?n ortak katlar?yla ?ak???r. Ve m k say?s?n?n en k???k pozitif kat? m k say?s?n?n kendisi oldu?undan, a 1, a 2, ..., a k say?lar?n?n en k???k ortak kat? m k'dir.

Referanslar.

• Vilenkin N.Ya. ve di?erleri. 6. s?n?f: genel e?itim kurumlar? i?in ders kitab?.
• Vinogradov I.M. Say? teorisinin temelleri.
• Mikhelovich Sh.H. Say? teorisi.
• Kulikov L.Ya. ve di?erleri. Cebir ve say?lar teorisindeki problemlerin toplanmas?: Fizik ve matematik ??rencileri i?in ders kitab?. pedagoji enstit?lerinin uzmanl?k alanlar?.

LCM (en az ortak kat) nas?l bulunur?

?ki tam say?n?n en k???k ortak kat?, verilen say?lar?n her ikisine de kalan b?rakmadan b?l?nebilen tam say?lar?n en k?????d?r.

Y?ntem 1. LCM'yi, verilen say?lar?n her biri i?in, elde edilen t?m say?lar? 1, 2, 3, 4 vb. ile ?arparak artan s?rada yazarak bulabilirsiniz.

?rnek 6 ve 9 numaralar i?in.
6 say?s?n? s?ras?yla 1, 2, 3, 4, 5 ile ?arp?yoruz.
?unu elde ederiz: 6, 12, 18 , 24, 30
9 say?s?n? s?ras?yla 1, 2, 3, 4, 5 ile ?arp?yoruz.
?unu elde ederiz: 9, 18 , 27, 36, 45
G?rd???n?z gibi 6 ve 9 numaralar?n?n LCM'si 18'e e?it olacakt?r.

Bu y?ntem, her iki say? da k???k oldu?unda ve bunlar? bir tam say? dizisiyle ?arpman?n kolay oldu?u durumlarda kullan??l?d?r. Bununla birlikte, iki basamakl? veya ?? basamakl? say?lar i?in LCM'yi bulman?z gereken ve ayr?ca ?? veya daha fazla ba?lang?? say?s?n?n oldu?u durumlar da vard?r.

Y?ntem 2. Orijinal say?lar? asal ?arpanlara ay?rarak LCM'yi bulabilirsiniz.
Ayr??t?rmadan sonra, ortaya ??kan asal fakt?r dizisinden ayn? say?lar?n ?zerini ?izmek gerekir. ?lk say?n?n kalan say?lar? ikinciye ?arpan, ikinci say?n?n kalan say?lar? ise birinciye ?arpan olacakt?r.

?rnek 75 ve 60 say?lar? i?in.
75 ve 60 say?lar?n?n en k???k ortak kat?, bu say?lar?n katlar? art arda yaz?lmadan bulunabilir. Bunu yapmak i?in 75 ve 60'? basit ?arpanlar?na ay?ral?m:
75 = 3 * 5 * 5, bir
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
G?rd???n?z gibi her iki sat?rda da 3 ve 5 numaral? fakt?rler g?r?n?yor. Onlar? zihinsel olarak "?st?n? ?izeriz".
Bu say?lar?n her birinin a??l?m?nda yer alan kalan fakt?rleri yazal?m. 75 say?s?n? ayr??t?r?rken 5 rakam?, 60 say?s?n? ayr??t?r?rken 2*2 kal?yor.
Yani 75 ve 60 say?lar?n?n LCM'sini belirlemek i?in 75'in a??l?m?ndan kalan say?lar? (bu 5) 60 ile ?arpmam?z ve 60'?n a??l?m?ndan kalan say?lar? (bu 2) ?arpmam?z gerekiyor. * 2) 75'e. Yani, anla??lmas?n? kolayla?t?rmak i?in "?apraz" ?arpt???m?z? s?yl?yoruz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
60 ve 75 say?lar?n?n LCM'sini bu ?ekilde bulduk. Bu 300 say?s?d?r.

?rnek. 12, 16, 24 say?lar? i?in LCM'yi belirleyin
Bu durumda eylemlerimiz biraz daha karma??k olacakt?r. Ama ?nce her zaman oldu?u gibi t?m say?lar? ?arpanlar?na ay?ral?m
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM'yi do?ru bir ?ekilde belirlemek i?in, t?m say?lar?n en k?????n? se?iyoruz (bu 12 say?s?d?r) ve di?er say? sat?rlar?ndan en az birinde hen?z ayn? fakt?rle kar??la??rsak, bunlar?n ?st?n? ?izerek s?rayla fakt?rlerini g?zden ge?iriyoruz. ?zeri ?izildi.

Ad?m 1. T?m say? dizilerinde 2*2'nin olu?tu?unu g?r?yoruz. Hadi bunlar?n ?zerini ?izelim.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ad?m 2. 12 say?s?n?n asal ?arpanlar?nda sadece 3 say?s? kal?yor ama 24 say?s?n?n asal ?arpanlar?nda mevcut. Her iki sat?rdan da 3 say?s?n? ?iziyoruz, 16 say?s? i?in ise herhangi bir i?lem yapmam?za gerek yok. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

G?rd???n?z gibi 12 say?s?n? ayr??t?r?rken t?m say?lar?n ?zerini ?izdik. Bu, LOC bulman?n tamamland??? anlam?na gelir. Geriye kalan tek ?ey de?erini hesaplamak.
12 say?s? i?in 16 say?s?n?n kalan ?arpanlar?n? al?n (bir sonraki artan s?rada)
12 * 2 * 2 = 48
Buras? NOC

G?rd???n?z gibi bu durumda LCM'yi bulmak biraz daha zordu ancak ?? veya daha fazla say? i?in bulman?z gerekti?inde bu y?ntem bunu daha h?zl? yapman?z? sa?lar. Ancak LCM'yi bulman?n her iki y?ntemi de do?rudur.

En b?y?k ortak b?len ve en k???k ortak kat, kesirlerle ?al??may? zahmetsiz hale getiren temel aritmetik kavramlard?r. LCM ve ?o?unlukla birka? kesirin ortak paydas?n? bulmak i?in kullan?l?r.

Temel Kavramlar

Bir X tam say?s?n?n b?leni, X'in kalan b?rakmadan b?l?nd??? ba?ka bir Y tamsay?d?r. ?rne?in 4'?n b?leni 2, 36 ise 4, 6, 9'dur. Bir X tam say?s?n?n kat?, X'e kalans?z b?l?nebilen bir Y say?s?d?r. ?rne?in 3, 15'in kat?d?r ve 6, 12'nin kat?d?r.

Herhangi bir say? ?iftinin ortak b?lenlerini ve katlar?n? bulabiliriz. ?rne?in, 6 ve 9 i?in ortak kat 18'dir ve ortak b?len 3't?r. A??k?as?, ?iftlerin birden fazla b?leni ve kat? olabilir, dolay?s?yla hesaplamalar en b?y?k b?len GCD'yi ve en k???k kat LCM'yi kullan?r.

En k???k b?len anlams?zd?r ??nk? herhangi bir say? i?in o her zaman birdir. Katlar?n s?ras? sonsuza gitti?i i?in en b?y?k kat da anlams?zd?r.

Gcd'yi bulma

En b?y?k ortak b?leni bulman?n bir?ok y?ntemi vard?r; bunlardan en ?nl?s?:

• b?lenlerin s?ral? numaraland?r?lmas?, bir ?ift i?in ortak olanlar?n se?ilmesi ve bunlardan en b?y???n?n aranmas?;
• say?lar?n b?l?nemez fakt?rlere ayr??t?r?lmas?;
• ?klid algoritmas?;
• ikili algoritma.

G?n?m?zde e?itim kurumlar?nda en pop?ler y?ntemler asal fakt?rlere ayr??t?rma ve ?klid algoritmas?d?r. ?kincisi, Diophantine denklemlerini ??zerken kullan?l?r: denklemin tamsay?larda ??z?mlenme olas?l??? a??s?ndan kontrol edilmesi i?in GCD'nin aranmas? gerekir.

NOC'yi bulmak

En k???k ortak kat, s?ral? numaraland?rma veya b?l?nemez fakt?rlere ay?rma yoluyla da belirlenir. Ayr?ca en b?y?k b?lenin ?nceden belirlenmi? olmas? durumunda LCM'yi bulmak kolayd?r. X ve Y say?lar? i?in LCM ve GCD a?a??daki ili?kiyle ili?kilidir:

LCD(X,Y) = X x Y / OBE(X,Y).

?rne?in, GCM(15,18) = 3 ise LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90 olur. LCM kullanman?n en belirgin ?rne?i, en k???k ortak kat olan ortak payday? bulmakt?r. verilen kesirler.

E? asal say?lar

Bir say? ?iftinin ortak b?leni yoksa, b?yle bir ?ifte e? asal denir. Bu t?r ?iftlerin gcd'si her zaman bire e?ittir ve b?lenler ve katlar aras?ndaki ba?lant?ya ba?l? olarak e? asal ?iftlerin gcd'si bunlar?n ?arp?m?na e?ittir. ?rne?in, 25 ve 28 say?lar? aralar?nda asald?r ??nk? ortak b?lenleri yoktur ve LCM(25, 28) = 700, bu da ?arp?mlar?na kar??l?k gelir. B?l?nemeyen herhangi iki say? her zaman aralar?nda asal olacakt?r.

Ortak b?len ve ?oklu hesap makinesi

Hesap makinemizi kullanarak, aralar?ndan se?im yapabilece?iniz rastgele say?da say? i?in GCD ve LCM'yi hesaplayabilirsiniz. Ortak b?lenlerin ve katlar?n hesaplanmas?na ili?kin g?revler 5. ve 6. s?n?f aritmeti?inde bulunur, ancak GCD ve LCM matematikteki anahtar kavramlard?r ve say?lar teorisi, planimetri ve ileti?imsel cebirde kullan?l?r.

Ger?ek hayattan ?rnekler

Kesirlerin ortak paydas?

Birka? kesirin ortak paydas?n? bulurken en k???k ortak kat kullan?l?r. Diyelim ki bir aritmetik probleminde 5 kesri toplaman?z gerekiyor:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Kesirleri eklemek i?in ifadenin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir, bu da LCM'yi bulma problemini azalt?r. Bunu yapmak i?in hesap makinesinde 5 say? se?in ve paydalar?n de?erlerini uygun h?crelere girin. Program LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360'? hesaplayacakt?r. ?imdi her kesir i?in LCM'nin paydaya oran? olarak tan?mlanan ek fakt?rleri hesaplaman?z gerekir. Yani ek ?arpanlar ??yle g?r?necektir:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Bundan sonra, t?m kesirleri kar??l?k gelen ek fakt?rle ?arpar?z ve ?unu elde ederiz:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Bu kesirleri kolayl?kla toplay?p 159/360 sonucunu elde edebiliriz. Kesri 3 azalt?yoruz ve son cevab? g?r?yoruz - 53/120.

Do?rusal Diofant denklemlerini ??zme

Do?rusal Diophantine denklemleri ax + by = d bi?imindeki ifadelerdir. E?er d / gcd(a, b) oran? bir tamsay? ise, denklem tamsay?larla ??z?lebilir. Tamsay? ??z?mleri olup olmad???n? g?rmek i?in birka? denklemi kontrol edelim. ?ncelikle 150x + 8y = 37 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesi kullanarak OBE (150,8) = 2'yi buluruz. 37/2'yi b?l = 18,5. Say? tam say? olmad???ndan denklemin tam say? k?kleri yoktur.

1320x + 1760y = 10120 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesi kullanarak GCD(1320, 1760) = 440'? bulun. 10120/440 = 23'e b?l?n. Sonu? olarak bir tamsay? elde ederiz, dolay?s?yla Diophantine denklemi tamsay? katsay?lar?yla ??z?lebilir. .

??z?m

GCD ve LCM say? teorisinde b?y?k bir rol oynamaktad?r ve kavramlar?n kendileri matemati?in ?ok ?e?itli alanlar?nda yayg?n olarak kullan?lmaktad?r. Herhangi bir say?n?n en b?y?k b?lenlerini ve en k???k katlar?n? hesaplamak i?in hesap makinemizi kullan?n.

En k???k ortak kat? bulman?n ?? yoluna bakal?m.

?arpanlara ay?rma yoluyla bulma

?lk y?ntem, verilen say?lar? asal ?arpanlara ay?rarak en k???k ortak kat? bulmakt?r.

Diyelim ki 99, 30 ve 28 say?lar?n?n LCM'sini bulmam?z gerekiyor. Bunu yapmak i?in bu say?lar?n her birini asal ?arpanlara ay?ral?m:

?stenilen say?n?n 99, 30 ve 28'e b?l?nebilmesi i?in bu b?lenlerin t?m asal ?arpanlar?n? i?ermesi gerekli ve yeterlidir. Bunu yapmak i?in bu say?lar?n t?m asal ?arpanlar?n? m?mk?n olan en b?y?k dereceye al?p bunlar? birbiriyle ?arpmam?z gerekir:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Dolay?s?yla LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860'tan k???k hi?bir say? 99, 30 veya 28'e b?l?nemez.

Verilen say?lar?n en k???k ortak kat?n? bulmak i?in, bunlar? asal ?arpanlar?na ay?r?rs?n?z, ard?ndan her asal fakt?r? g?r?nd??? en b?y?k ?ss?yle al?rs?n?z ve bu ?arpanlar? birbiriyle ?arpars?n?z.

Nispeten asal say?lar?n ortak asal ?arpanlar? bulunmad???ndan en k???k ortak katlar? bu say?lar?n ?arp?m?na e?ittir. ?rne?in ?? say?: 20, 49 ve 33 aralar?nda asald?r. Bu y?zden

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

?e?itli asal say?lar?n en k???k ortak kat?n? bulurken de ayn? ?ey yap?lmal?d?r. ?rne?in, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Se?ime g?re bulma

?kinci y?ntem ise se?im yaparak en k???k ortak kat? bulmakt?r.

?rnek 1. Verilen say?lar?n en b?y??? verilen ba?ka bir say?ya b?l?nd???nde, bu say?lar?n LCM'si en b?y???ne e?ittir. ?rne?in d?rt say? verilmi?tir: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60'a b?l?nebilir, dolay?s?yla:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Di?er durumlarda en k???k ortak kat? bulmak i?in a?a??daki prosed?r kullan?l?r:

1. Verilen say?lardan en b?y???n? belirleyiniz.
2. Daha sonra, en b?y?k say?n?n katlar? olan say?lar? buluyoruz, bunu artan s?rada do?al say?larla ?arp?yoruz ve elde edilen ?arp?m?n kalan verilen say?lara b?l?nebilir olup olmad???n? kontrol ediyoruz.

?rnek 2. 24, 3 ve 18 olmak ?zere ?? say? verilmi?tir. Bunlar?n en b?y???n? belirleriz - bu 24 say?s?d?r. Daha sonra, her birinin 18 ve 3'e b?l?nebilir olup olmad???n? kontrol ederek 24'?n katlar? olan say?lar? buluruz:

24 · 1 = 24 - 3'e b?l?nebilir ancak 18'e b?l?nemez.

24 · 2 = 48 - 3'e b?l?nebilir ancak 18'e b?l?nemez.

24 · 3 = 72 - 3 ve 18'e b?l?nebilir.

B?ylece LCM (24, 3, 18) = 72 olur.

LCM'yi s?rayla bularak bulma

???nc? y?ntem, LCM'yi s?rayla bularak en k???k ortak kat? bulmakt?r.

Verilen iki say?n?n LCM'si, bu say?lar?n ?arp?m?n?n en b?y?k ortak b?lenlerine b?l?nmesine e?ittir.

?rnek 1. Verilen iki say?n?n LCM'sini bulun: 12 ve 8. En b?y?k ortak b?lenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Bu say?lar? ?arp?n:

?r?n? gcd'lerine b?l?yoruz:

B?ylece LCM (12, 8) = 24 olur.

?? veya daha fazla say?n?n LCM'sini bulmak i?in a?a??daki prosed?r? kullan?n:

1. ?ncelikle bu say?lardan herhangi ikisinin LCM'sini bulun.
2. Daha sonra bulunan en k???k ortak kat?n ve verilen ???nc? say?n?n LCM'si.
3. Daha sonra, elde edilen en k???k ortak kat?n ve d?rd?nc? say?n?n LCM'si vb.
4. B?ylece LCM aray??? say?lar oldu?u s?rece devam eder.

?rnek 2. Verilen ?? say?n?n LCM'sini bulal?m: 12, 8 ve 9. ?nceki ?rnekte 12 ve 8 say?lar?n?n LCM'sini zaten bulduk (bu 24 say?s?d?r). Geriye 24 say?s?n?n ve verilen ???nc? say?n?n - 9'un en k???k ortak kat?n? bulmak kal?r. En b?y?k ortak b?lenlerini belirleyin: OBE (24, 9) = 3. LCM'yi 9 say?s?yla ?arp?n:

?r?n? gcd'lerine b?l?yoruz:

B?ylece LCM (12, 8, 9) = 72 olur.

“LCM - en k???k ortak kat, tan?m, ?rnekler” b?l?m?nde ba?latt???m?z en k???k ortak kat hakk?ndaki sohbete devam edelim. Bu konu ba?l???m?zda ?? veya daha fazla say?n?n LCM'sini bulman?n yollar?na bakaca??z ve negatif bir say?n?n LCM'si nas?l bulunur sorusuna bakaca??z.

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD Arac?l???yla En K???k Ortak Kat?n (LCM) Hesaplanmas?

En k???k ortak kat ile en b?y?k ortak b?len aras?ndaki ili?kiyi zaten kurmu?tuk. ?imdi GCD arac?l???yla LCM'nin nas?l belirlenece?ini ??renelim. ?ncelikle pozitif say?lar i?in bunu nas?l yapaca??m?z? bulal?m.

Tan?m 1

LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) form?l?n? kullanarak en k???k ortak kat? en b?y?k ortak b?lenden bulabilirsiniz.

?rnek 1

126 ve 70 say?lar?n?n LCM'sini bulman?z gerekiyor.

??z?m

a = 126, b = 70'i alal?m. En b?y?k ortak b?len LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) arac?l???yla en k???k ortak kat? hesaplamak i?in de?erleri form?le koyal?m.

70 ve 126 say?lar?n?n gcd'sini bulur. Bunun i?in ?klid algoritmas?na ihtiyac?m?z var: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dolay?s?yla GCD (126 , 70) = 14 .

LCM'yi hesaplayal?m: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Cevap: LCM(126, 70) = 630.

?rnek 2

68 ve 34 say?s?n? bulun.

??z?m

Bu durumda GCD'yi bulmak zor de?il ??nk? 68 34'e b?l?nebilir. En k???k ortak kat? ?u form?l? kullanarak hesaplayal?m: LCM (68, 34) = 68 34: OBEB (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Cevap: LCM(68, 34) = 68.

Bu ?rnekte, a ve b pozitif tam say?lar?n?n en k???k ortak kat?n? bulma kural?n? kulland?k: e?er ilk say? ikinciye b?l?nebiliyorsa, bu say?lar?n LCM'si ilk say?ya e?it olacakt?r.

Say?lar? asal fakt?rlere ay?rarak LCM'yi bulma

?imdi say?lar? asal ?arpanlara ay?rmaya dayanan LCM'yi bulma y?ntemine bakal?m.

Tan?m 2

En k???k ortak kat? bulmak i?in birka? basit ad?m uygulamam?z gerekir:

• LCM'yi bulmam?z gereken say?lar?n t?m asal fakt?rlerinin ?arp?m?n? olu?tururuz;
• ortaya ??kan ?r?nlerden t?m asal fakt?rleri hari? tutuyoruz;
• ortak asal fakt?rleri ??kard?ktan sonra elde edilen ?r?n, verilen say?lar?n LCM'sine e?it olacakt?r.

En k???k ortak kat? bulman?n bu y?ntemi, LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) e?itli?ine dayan?r. Form?le bakarsan?z, netle?ecektir: a ve b say?lar?n?n ?arp?m?, bu iki say?n?n ayr??mas?na kat?lan t?m fakt?rlerin ?arp?m?na e?ittir. Bu durumda, iki say?n?n gcd'si, verilen iki say?n?n ?arpanlara ayr?lmas?nda ayn? anda mevcut olan t?m asal ?arpanlar?n ?arp?m?na e?ittir.

?rnek 3

75 ve 210 olmak ?zere iki say?m?z var. Bunlar? ?u ?ekilde ?arpanlara ay?rabiliriz: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. ?ki orijinal say?n?n t?m fakt?rlerinin ?arp?m?n? olu?turursan?z ?unu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.

Hem 3 hem de 5 say?lar?n?n ortak ?arpanlar?n? hari? tutarsak, a?a??daki bi?imde bir ?arp?m elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ?r?n?m?z 75 ve 210 numaralar i?in LCM olacakt?r.

?rnek 4

Say?lar?n LCM'sini bulun 441 Ve 700 , her iki say?y? da asal ?arpanlara ay?r?yoruz.

??z?m

Ko?ulda verilen say?lar?n t?m asal ?arpanlar?n? bulal?m:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

?ki say? zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7.

Bu say?lar?n ayr??t?r?lmas?na kat?lan t?m fakt?rlerin ?arp?m? ?u ?ekilde olacakt?r: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak fakt?rleri bulal?m. Bu 7 numara. Bunu toplam ?r?nden hari? tutal?m: 2 2 3 3 5 5 7 7. G?r?n??e g?re NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Cevap: LOC(441, 700) = 44,100.

Say?lar? asal ?arpanlara ay?rarak LCM'yi bulma y?nteminin ba?ka bir form?lasyonunu verelim.

Tan?m 3

Daha ?nce, her iki say? i?in ortak olan toplam fakt?r say?s?n? hari? tutuyorduk. ?imdi bunu farkl? ?ekilde yapaca??z:

• Her iki say?y? da asal ?arpanlar?na ay?ral?m:
• birinci say?n?n asal ?arpanlar?n?n ?arp?m?na ikinci say?n?n eksik ?arpanlar?n? ekleyin;
• iki say?n?n istenen LCM'si olacak ?r?n? elde ederiz.

?rnek 5

?nceki ?rneklerden birinde LCM'yi arad???m?z 75 ve 210 say?lar?na d?nelim. Bunlar? basit fakt?rlere ay?ral?m: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ve fakt?rlerin ?arp?m?na 5 75 say?s? eksik fakt?rleri topluyor 2 Ve 7 Say?lar 210. ?unu elde ederiz: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Bu, 75 ve 210 say?lar?n?n LCM'sidir.

?rnek 6

84 ve 648 say?lar?n?n LCM'sini hesaplamak gerekir.

??z?m

Ko?uldaki say?lar? basit ?arpanlara ay?ral?m: 84 = 2 2 3 7 Ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. ?arp?ma 2, 2, 3 ve 3 ?arpanlar?n? ekleyelim. 7 say? 84'te 2, 3, 3 ve 3'?n ?arpanlar? eksik
3 648 numara. ?r?n? al?yoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 ve 648'in en k???k ortak kat?d?r.

Cevap: LCM(84, 648) = 4,536.

?? veya daha fazla say?n?n LCM'sini bulma

Ka? say?yla u?ra?t???m?za bak?lmaks?z?n, eylemlerimizin algoritmas? her zaman ayn? olacakt?r: iki say?n?n LCM'sini s?rayla bulaca??z. Bu durum i?in bir teorem var.

Teorem 1

Tamsay?lar?m?z oldu?unu varsayal?m a 1 , a 2 , … , a k. NOC mk bu say?lar s?ras?yla m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k) hesaplanarak bulunur.

?imdi teoremin belirli problemleri ??zmek i?in nas?l uygulanabilece?ine bakal?m.

?rnek 7

140, 9, 54 ve 4 say?n?n en k???k ortak kat?n? hesaplaman?z gerekir. 250 .

??z?m

?u g?sterimi tan?tal?m: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9)'u hesaplayarak ba?layal?m. 140 ve 9 say?lar?n?n OBEB'sini hesaplamak i?in ?klid algoritmas?n? uygulayal?m: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. ?unu elde ederiz: OBEB (140, 9) = 1, OBEB (140, 9) = 140 · 9: OBEB (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1,260. Dolay?s?yla m2 = 1.260.

?imdi ayn? algoritmay? kullanarak hesaplayal?m m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Hesaplamalar s?ras?nda m 3 = 3 780 elde ederiz.

Tek yapmam?z gereken m4 = LCM (m3, a 4) = LCM (3 780, 250) hesaplamakt?r. Ayn? algoritmay? takip ediyoruz. m4 = 94 500 elde ederiz.

?rnek ko?uldaki d?rt say?n?n LCM'si 94500'd?r.

Cevap: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

G?rd???n?z gibi hesaplamalar basit ama olduk?a emek yo?un. Zamandan tasarruf etmek i?in ba?ka bir yola gidebilirsiniz.

Tan?m 4

Size a?a??daki eylem algoritmas?n? sunuyoruz:

• t?m say?lar? asal ?arpanlara ay?r?yoruz;
• birinci say?n?n ?arpanlar?n?n ?arp?m?na ikinci say?n?n ?arp?m?ndan eksik ?arpanlar? ekliyoruz;
• ?nceki a?amada elde edilen ?r?ne ???nc? say?n?n vb. eksik fakt?rlerini ekliyoruz;
• ortaya ??kan ?arp?m, ko?uldaki t?m say?lar?n en k???k ortak kat? olacakt?r.

?rnek 8

84, 6, 48, 7, 143 numaral? be? say?n?n LCM'sini bulman?z gerekiyor.

??z?m

Be? say?n?n t?m?n? asal ?arpanlara ay?ral?m: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Asal say?lar yani 7 say?s? asal fakt?rlere dahil edilemez. Bu say?lar asal fakt?rlere ayr??t?r?lmalar?yla ?rt??mektedir.

?imdi 84 say?s?n?n 2, 2, 3 ve 7 asal ?arpanlar?n?n ?arp?m?n? al?p bunlara ikinci say?n?n eksik ?arpanlar?n? ekleyelim. 6 say?s?n? 2 ve 3'e ay?rd?k. Bu fakt?rler zaten ilk say?n?n ?arp?m?ndad?r. Bu nedenle bunlar? atl?yoruz.

Eksik ?arpanlar? eklemeye devam ediyoruz. Asal ?arpanlar? 2 ile 2'nin ?arp?m?ndan ald???m?z 48 say?s?na ge?elim. Daha sonra d?rd?nc? say?dan 7'nin asal ?arpan?n? ve be?incinin 11 ve 13'?n?n ?arpanlar?n? toplar?z. ?unu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, orijinal be? say?n?n en k???k ortak kat?d?r.

Cevap: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Negatif say?lar?n en k???k ortak kat?n? bulma

Negatif say?lar?n en k???k ortak kat?n? bulmak i?in ?ncelikle bu say?lar?n ters i?aretli say?lar ile de?i?tirilmesi, ard?ndan yukar?daki algoritmalar kullan?larak hesaplamalar?n yap?lmas? gerekir.

?rnek 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) ve LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Bu t?r eylemlere izin verilir ??nk? e?er bunu kabul edersek A Ve - bir– z?t say?lar,
daha sonra bir say?n?n katlar? k?mesi A bir say?n?n katlar? k?mesiyle e?le?ir - bir.

?rnek 10

Negatif say?lar?n LCM'sini hesaplamak gerekir - 145 Ve - 45 .

??z?m

Say?lar? de?i?tirelim - 145 Ve - 45 z?t say?lar?na 145 Ve 45 . ?imdi, algoritmay? kullanarak, daha ?nce ?klid algoritmas?n? kullanarak GCD'yi belirleyerek LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305'i hesapl?yoruz.

Say?lar?n LCM'sinin -145 oldu?unu anl?yoruz ve - 45 e?ittir 1 305 .

Cevap: LCM (- 145, - 45) = 1,305.

Metinde bir hata fark ederseniz, l?tfen onu vurgulay?n ve Ctrl+Enter tu?lar?na bas?n.