>>Matematik ?rskurs 7. Kompletta lektioner >>Geometri: Avs?ttning av linjesegment och vinklar. Kompletta lektioner

L?gga linjer och h?rn

Bilden visar hur man anv?nder linjaler p? halvlinjen a med startpunkten A kan du rita ett segment, 3 cm l?ngt.

Den h?r bilden visar hur du anv?nder gradskiva avs?tt fr?n halvlinjen a till det ?vre planet en vinkel med ett gradm?tt p? 60°


L?t oss formulera huvudegenskaperna f?r avs?ttningen av segment och vinklar:

1. p? vilken halvlinje som helst fr?n dess startpunkt kan man rita ett segment av en given l?ngd och bara ett;
2. fr?n valfri halvlinje till ett givet halvplan kan du avs?tta en vinkel med ett givet gradm?tt, mindre ?n 180°.

Ett exempel p? en probleml?sning.

P? str?len AB plottas segment AC, mindre ?n segment AB. Vilken av de tre punkterna A, B, C ligger mellan de tv? andra?

L?sning.
Eftersom punkterna B och C ligger p? samma halvlinje med startpunkten A, betyder det att de inte ?r ?tskilda av punkten A, det vill s?ga punkten A ligger inte mellan punkterna B och C.

Om punkt B ligger mellan punkterna A och C, s? skulle likheten vara sann: AB+BC=AC. Detta ?r om?jligt, eftersom segment AC ?r mindre ?n segment AB av villkoret. D?rf?r ligger inte punkt C mellan punkterna A och C.

Av de tre punkterna A, B, C ligger bara en mellan de tv? andra. I v?rt fall: punkt C ligger mellan punkterna A och B.

Str?le.

Rita en linje a och markera en punkt O p? den (bild 11).

Denna punkt delar linjen i tv? delar, som var och en kallas en str?le som utg?r fr?n punkten O (i figur 11 ?r en av str?larna markerad med en fet linje). Punkt O kallas b?rjan av var och en av str?larna. Vanligtvis betecknas en str?le antingen med en liten latinsk bokstav (till exempel balk h i figur 12, a), eller med tv? stora latinska bokst?ver, av vilka den f?rsta indikerar b?rjan av str?len, och den andra - n?gon punkt p? str?len (till exempel str?len OA i figur 12, b).

H?rn.

Minns att vinkeln?r en geometrisk figur som best?r av en punkt och tv? str?lar som utg?r fr?n denna punkt. Str?larna kallas vinkelns sidor, och deras gemensamma ursprung ?r vinkelns spets. Figur 13 visar en vinkel med vertex O och sidorna h och k. Punkterna A och B ?r markerade p? sidorna. Denna vinkel betecknas enligt f?ljande: hk, eller AOB, eller O.

Vinkeln kallas vinkeln om b?da sidorna ligger p? samma linje. Vi kan s?ga att varje sida av den utvecklade vinkeln ?r en forts?ttning p? den andra sidan. Figur 14 visar ett utr?tat h?rn med vertex C och sidorna p och q.

Vilken vinkel som helst delar planet i tv? delar. Om vinkeln inte utvecklas, kallas en av delarna inre, och den andra extern omr?det f?r denna vinkel (fig. 15, a). Figur 15b visar en ovikt vinkel. Punkterna A, B, C ligger innanf?r detta h?rn (dvs i det inre omr?det av h?rnet), punkterna D och E ligger p? h?rnets sidor och punkterna P och Q ligger utanf?r h?rnet (dvs i det yttre omr?det i h?rnet). Om vinkeln utvecklas, kan vilken som helst av de tv? delarna som den delar planet i betraktas som vinkelns inre. En figur som best?r av en vinkel och dess inre kallas ?ven en vinkel.

Om en str?le kommer fr?n spetsen av en icke-roterad vinkel och passerar inuti vinkeln, delar den upp denna vinkel i tv? vinklar. I figur (16, a) delar ray OS vinkeln AOB i tv? vinklar: AOC och COB. Om vinkeln AOB utvecklas, delar varje str?l-OS som inte sammanfaller med str?larna OA och OB denna vinkel i tv? vinklar: AOC och COB (fig. 16, b).


J?mf?relse av segment och vinklar.

Figur 20, a visar tv? segment. F?r att fastst?lla om de ?r lika eller inte, l?t oss l?gga ett segment ovanp? ett annat s? att slutet av ett segment ?r i linje med slutet av det andra (fig. 20, b). Om samtidigt de andra tv? ?ndarna ocks? ?r kompatibla, ?r segmenten helt kompatibla och d?rf?r ?r de lika. Om de andra tv? ?ndarna inte st?mmer ?verens, anses segmentet som utg?r en del av den andra ?ndarna vara mindre. I figur 20 ?r segment AC en del av segment AB, d?rf?r ?r segment AC mindre ?n segment AB (skrivet s? h?r: AC<АВ).

Punkten p? segmentet som delar det p? mitten, det vill s?ga i tv? lika stora segment, kallas segmentets mittpunkt. I figur 21 ?r punkt C mitten av segment AB.

Figur 22, a visar utf?llda h?rn 1 och 2. F?r att fastst?lla om de ?r lika eller inte, l?gger vi en vinkel p? den andra s? att sidan av en vinkel ?r i linje med sidan av den andra, och de andra tv? ?r p? samma sida av de inriktade sidorna (bild 22, b). Om de andra tv? sidorna ocks? ?r kongruenta, s? ?r vinklarna helt kongruenta och d?rf?r ?r de lika. Om dessa sidor inte matchar, s? anses den mindre vinkeln vara den som ?r en del av den andra. I figur (22,b) ?r vinkel 1 en del av vinkel 2, allts? 1<2.

Utvikt vinkel?r del av den utplacerade(Fig. 23), s? den framkallade vinkeln ?r st?rre ?n den icke framkallade vinkeln. Alla tv? raka vinklar ?r uppenbarligen lika.

En str?le som utg?r fr?n spetsen av en vinkel och delar den i tv? lika stora vinklar kallas bisektris vinkel. I figur 24 str?len l- bisektris av vinkeln hk.

Fr?gor:

1. Hur m?nga grader ?r vinkeln?
2. Vad ?r en bisektrik?
3. Vad ?r en transport?r till f?r?

Lista ?ver anv?nda k?llor:

1. P. I. Altynov, Geometri ?rskurs 7-9. Moskva. F?rlaget "Drofa", 2005.
2. Program f?r utbildningsinstitutioner. Geometri ?rskurs 7-9. Sammanst?llt av: S.A. Burmistrov. Moskva. "Enlightenment", 2009.
3. Tidningen "Matematik" nr 19, 2000.
4. Atanasyan, Geometri ?rskurs 7-9.
5. Pavlov A. N. Geometry: Planimetri i teser och l?sningar.
6. Redigerad och skickad av Potunak S.A.

Arbetade med lektionen:

Poturnak S.A.

Geometri

Huvudegenskaperna hos de enklaste geometriska formerna

Definition. Axiom

Geometri?r vetenskapen om egenskaperna hos geometriska former.
Observera: en geometrisk figur ?r inte bara en triangel, en cirkel, en pyramid, etc., utan ocks? vilken upps?ttning punkter som helst.
Planimetri?r en gren av geometrin som studerar figurer p? ett plan.
Punkt och hetero?r de grundl?ggande begreppen f?r planimetri. Detta inneb?r att detta begrepp inte kan definieras exakt. De kan bara f?rest?llas, f?rlita sig p? erfarenhet och lista sina egenskaper.
Uttalanden, vars giltighet accepteras utan bevis, kallas axiom. De inneh?ller formuleringar av de enklaste figurernas grundl?ggande egenskaper.
P?st?enden som bevisar kallas satser.
Definition- detta ?r en f?rklaring av ett begrepp som f?rlitar sig antingen p? grundl?ggande begrepp eller begrepp som tidigare har definierats.
Beteckningar: punkter betecknas med latinska versaler; raka linjer - med sm? latinska bokst?ver eller tv? stora latinska bokst?ver (om tv? punkter anges p? den raka linjen).
Punkter i figuren A, B, C, N,M och direkt a och b. direkt a kan h?nvisas till som en stege MN(eller NM).

Posten betyder att pricken M ligger p? en rak linje a. Posten betyder att pricken FR?N ligger inte p? en rak linje a.
Det m?ste f?rst?s s? direkt a och b i figuren sk?r, ?ven om vi inte ser, vid en punkt.

Grundl?ggande egenskaper (axiom) f?r medlemskap av punkter och linjer p? planet

Axiom I.
1. Oavsett linje finns det punkter som h?r till denna linje och punkter som inte h?r till den.
2. En linje kan dras genom tv? valfria punkter, och endast en. (Det m?ste f?rst?s att det finns tv? uttalanden h?r: f?r det f?rsta, f?rekomsten av en s?dan linje, och f?r det andra, dess unika karakt?r.)
Axiom II. Av de tre punkterna p? en linje ligger en och bara en mellan de andra tv?.
segmentet Den del av en linje kallas som best?r av alla punkter p? denna linje som ligger mellan tv? givna punkter p? den. Dessa punkter kallas ?ndarna av segmentet. Figuren visar ett segment AB(ett segment betecknas genom att skriva dess slut).

Grundl?ggande egenskaper (axiom) m?tning av segment

Axiom III.
1. Varje segment har en viss l?ngd som ?r st?rre ?n noll.
2. L?ngden p? ett segment ?r lika med summan av l?ngderna av de delar i vilka det ?r dividerat med n?gon av dess punkter.

Den huvudsakliga egenskapen att placera punkter i f?rh?llande till en r?t linje p? ett plan

Axiom IV. Den r?ta linjen delar planet i tv? halvplan.
Denna partition har f?ljande egenskap: om ?ndarna p? n?got segment tillh?r samma plan, s? sk?r segmentet inte linjen; om ?ndpunkterna f?r ett segment tillh?r olika pіvplan, s? sk?r segmentet linjen.
Pivdirect, eller str?le, kallas en del av en linje, som best?r av alla punkter p? denna linje, som ligger p? ena sidan av en given punkt p? den. Denna punkt kallas str?lens startpunkt. Olika linjer av en r?t linje med en gemensam utg?ngspunkt kallas ytterligare.
Figuren visar str?larna AB(aka AC), DA(eller D.B., DC), f?re Kristus, CB(eller CA, CD), BA(eller BD), AD.

Str?lar AB och AD, BC och BD- ytterligare. Str?lar BD och AC?r inte kompletterande eftersom de har olika utg?ngspunkter.
H?rn?r en figur som best?r av en punkt - h?rn toppar- och tv? olika pіv-linjer som kommer ut fr?n denna punkt, - h?rnsidor.
Vinkeln som visas i figuren kan betecknas enligt f?ljande: , , .

Om sidorna av en vinkel ?r komplement?ra r?ta linjer kallas vinkeln utplacerade:

Det s?ger de en str?le passerar mellan sidorna av en vinkel, om den kommer fr?n sin spets och sk?r n?got segment med ?ndar p? sina sidor. F?r en rak vinkel antar vi att varje str?le som kommer fr?n dess spets och skiljer sig fr?n dess sidor passerar mellan vinkelns sidor.

Grundl?ggande egenskaper f?r att m?ta vinklar

Axiom V
1. Varje vinkel har ett visst m?tt som ?r st?rre ?n noll. Den expanderade vinkeln ?r .
2. Gradm?ttet f?r en vinkel ?r lika med summan av gradm?tten f?r de vinklar som den ?r uppdelad i av en str?le som passerar mellan dess sidor.

Grundl?ggande egenskaper f?r att l?gga linjer och h?rn

Axiom VI. P? vilken linje som helst fr?n dess startpunkt kan ett segment med en given l?ngd ritas, och endast ett.
Axiom VII. Fr?n vilken linje som helst i en given linje kan du avs?tta en vinkel med ett givet gradm?tt, mindre ?n , och endast en.
triangel En figur kallas en figur som best?r av tre punkter som inte ligger p? en r?t linje, och tre segment som f?rbinder dessa punkter i par. Punkterna kallas triangelh?rn, och segmenten ?r dess partier.
Triangeln i figuren kan betecknas enligt f?ljande: eller, etc.

Grundl?ggande renderingselement i ovanst?ende triangel: sidor AB, AC, f?re Kristus(eller a, b, c); vinklar (eller ), , . och - intill sidan AC. - motsatta sidan AC.
Trianglarna kallas likv?rdig om deras motsvarande sidor ?r lika och de motsvarande vinklarna ?r lika. I detta fall m?ste motsvarande vinklar ligga mot motsvarande sidor.
Posten betyder (se figur) att:
; ;
; ;
; .

Huvudegenskapen f?r existensen av lika trianglar

Axiom VIII. Oavsett triangel, det finns en triangel som ?r lika med den p? en given plats med avseende p? en given pіvstraya.
Raka linjer kallas parallell om de inte sk?r varandra.
De parallella linjerna som visas i figuren kan betecknas enligt f?ljande: eller.

Axiom f?r parallella linjer

Axiom IX. Genom en punkt som inte ligger p? en given linje kan h?gst en linje dras i planet parallellt med den givna linjen.
Observera att axiomet h?vdar unikheten hos en s?dan linje, men h?vdar inte dess existens.

Inb?rdes arrangemang av raka linjer p? ett plan

Tv? raka linjer i ett plan kan:
sammanfalla;
vara parallell (dvs inte sk?ra varandra);
har en gemensam po?ng.
(Faktiskt, om tv? linjer kunde ha ?tminstone tv? gemensamma punkter, d? skulle tv? olika linjer passera genom dessa tv? punkter, vilket mots?ger Axiom II, punkt 2).

Det undervisningssystem som jag nu anv?nder i mina lektioner ?r baserat p? principen: l?rarens position ?r inte med ett svar till klassen (f?rdiga kunskaper, f?rdigheter och f?rm?gor), utan med en fr?ga, elevens position ?r f?r kunskap om v?rlden. Att skapa f?ruts?ttningar i klassrummet f?r bildning av intellektuella f?rdigheter och kognitiva f?rdigheter som ligger till grund f?r t?nkande, utveckling av kreativa f?rm?gor och sj?lvst?ndig aktivitet hos elever, bildning av nyckelkompetenser ?r v?l kombinerat med ett problem-s?kande tillv?gag?ngss?tt i undervisningen. Det ?r utifr?n "learning through discovery" som jag f?rs?ker bygga upp alla mina lektioner. Fr?n de f?rsta lektionerna i geometri i 7:e klass l?r jag barnen att t?lmodigt och medvetet, med metoden "trial and error" att skaffa ok?nda kunskaper. Problematiska fr?gor, mots?gelsefulla fakta, ?msesidigt uteslutande synpunkter eller svar fr?n elever, praktiska uppgifter som leder till s?kandet efter ok?nda kunskaper blir ett s?tt att kontrollera t?nkandet. Jag vill erbjuda flera presentationer av geometrilektioner i ?rskurs 7, som bygger p? ovanst?ende principer.

Ladda ner:

F?rhandsvisning:

F?r att anv?nda f?rhandsgranskningen av presentationer, skapa ett Google-konto (konto) och logga in: https://accounts.google.com

Bildtexter:

Grundl?ggande egenskaper f?r att l?gga linjer och h?rn

1. Rita en r?t linje (horisontellt), markera punkterna O och B. 2. P? str?len OB fr?n dess startpunkt, avs?tt ett segment lika med 5 cm. 3. Fr?n str?len OB till det nedre halvplanet, avs?tt vinkeln BOA lika med 50 ° Fr?gor: Hur m?nga segment av en given l?ngd kan l?ggas av p? en halvlinje fr?n dess startpunkt? Hur m?nga linjesegment av en given l?ngd kan dras fr?n en given punkt p? en given linje? Hur m?nga vinklar av ett givet v?rde (gradm?tt) kan plottas fr?n en halvlinje till ett givet halvplan? Hur m?nga vinklar av ett givet gradm?tt kan dras fr?n en given halvlinje?

O H C OS = 5cm B O A 50° ? B O A = 50 ° O B C C "OS = 5 cm O B A B" 50 ° 50 ° ? B O A = 50 ° ? B ’ OA = 50 °

VI. P? vilken halvlinje som helst fr?n dess startpunkt kan du skjuta bort ett segment med en given l?ngd och bara ett. VII. Fr?n vilken halvlinje som helst till ett givet halvplan kan man avbryta en vinkel med ett givet gradm?tt mindre ?n 180 °, och bara en.

?MNE "Grundl?ggande egenskaper f?r ett segment"

Som exempel p? anv?ndningen av en elektronisk l?robok i geometrilektionerna i ?rskurs 7 kommer vi att analysera hur begreppet "Grundl?ggande egenskaper f?r ett segment" introduceras.

Detta val beror p? f?ljande ?verv?ganden:

1. Detta ?r ett av de viktigaste begreppen i b?de inledande och systematiska geometrikurser;

2. Ett segment, till skillnad fr?n till exempel en str?le eller en r?t linje, har en metrisk egenskap - l?ngd.

Det nuvarande matematikprogrammet ger f?ljande rekommendationer:

1. Studiet av materialet ?r organiserat utifr?n elevernas livserfarenhet, deras praktiska f?rdigheter;

2. De karakteristiska egenskaperna hos ett segment uppm?rksammas n?r man l?ser problem och utf?r konstruktioner;

3. Huvuduppm?rksamheten ?gnas ?t bildandet av f?rdigheter f?r att m?ta och konstruera segment med hj?lp av en linjal.

Som ett resultat av att studera geometriskt material i enlighet med det aktuella programmet, b?r studenterna veta:

1. Att det finns ett enda segment som f?rbinder tv? punkter i planet;

2. Att segmentet ?r avgr?nsat p? b?da sidor och ?r en del av en r?t linje;

3. Definition av lika segment;

4. Egenskapen f?r l?ngden av ett segment - l?ngden av summan av segmenten ?r lika med summan av l?ngderna av summan av segmenten.

Eleverna ska kunna:

1. K?nna igen segment, inklusive de som ing?r i olika geometriska former;

2. Bygg segment, utse och m?t dem;

3. J?mf?r segment.

I den traditionella presentationen utf?rs studien av detta material i enlighet med f?ljande schema:

1. Konstruktion av ett segment;

2. Beteckning p? segmentet;

3. Segmentets l?ngd, l?ngdenheter;

4. Egenskaper f?r avskedande segment;

5. Hitta l?ngden p? summan av segment.

?vningarna som finns i olika aktuella l?rob?cker och l?romedel kan delas in i f?ljande typer:

a) konstruktion av segment;

b) beteckning av segment;

c) m?tning och j?mf?relse av segment;

d) hitta l?ngden p? en streckad linje eller omkretsen av en polygon;

e) hitta l?ngden p? summan av segment.

S?ledes ?r begreppet "segment" direkt relaterat till dess l?ngd. ?verv?gande av begreppet "Segment" kommer att b?rja med tilldelningen av karakteristiska egenskaper som inte ?r relaterade till m?tningen. Det h?r ?r egenskaper som g?r att du kan fastst?lla likheten mellan ett segment och andra geometriska former, dess skillnad fr?n dem, det vill s?ga att inkludera id?n om ett segment i det befintliga systemet med geometriska representationer av elever.

Huvudegenskaperna hos ett segment - rakhet och begr?nsning i tv? riktningar - avsl?jas n?r det j?mf?rs med en rak linje eller en str?le.

Dessa egenskaper l?ter dig m?ta ett segment, det vill s?ga att j?mf?ra dess l?ngd med en l?ngdstandard.

L?ngden p? en r?t linje och en str?le kan faktiskt inte m?tas p? grund av deras ogr?nslighet. F?r en kr?kt linje ?r direkt m?tning av l?ngd sv?rt p? grund av dess godtyckliga form. Men ?ven om l?ngden p? kurvan ?r k?nd, s?ger detta nummer inget om dess form, eftersom det finns ett o?ndligt antal kr?kta linjer av en given l?ngd. L?ngden p? ett segment definierar det unikt som en geometrisk figur.

I detta dokument f?resl?s det att studera begreppet "segment" i enlighet med f?ljande schema:

1. konstruktion av ett segment;

2. segmentsbeteckning;

3. Grundl?ggande icke-metriska egenskaper f?r segmentet;

4. den huvudsakliga egenskapen att skjuta upp segmentet;

5. segmentl?ngd, l?ngdenheter;

6. lika segment, j?mf?relse av segment l?ngs l?ngden;

7. hitta l?ngden p? summan av segment.

En timme avs?tts f?r bekantskap med ?mnet "Segmentet och dess egenskaper".

LEKTION "Grundl?ggande egenskaper f?r segment."

Syftet med lektionen: bildandet av elevernas id?er om segmentet som en begr?nsad r?tlinjig geometrisk figur och punkternas relativa position p? ett plan.

I. F?rberedelse f?r studiet av nytt material.

Eleverna ?r bekanta med segmentet, dess uppbyggnad och m?tning fr?n grundskolan. D?rf?r kommer eleverna i b?rjan av lektionen ih?g de olika s?tten att konstruera ett segment med hj?lp av en linjal och dess beteckning.

Upprepning:

Metod 1: Med hj?lp av en linjal bygger vi en rak linje, markerar tv? punkter A och B p? den, som best?mmer segmentet AB.

Segment AB - del av en r?t linje,

A B begr?nsas av prickar.

Linjesegmentet AB

Metod 2: Vi markerar tv? punkter A och B p? planet. Vi kopplar dem l?ngs en linjal som inte g?r bortom punkterna A och B.

Segment AB best?r av alla punkter

r?t linje mellan punkter

MEN P? A och B, och sj?lva punkterna.

Linjesegmentet AB

Eleverna kommer ih?g allt de vet om ett segment: 1) ett segment ?r en platt figur (det ligger p? ett plan); 2) det ?r en del av en r?t linje; 3) segmentet best?r av en o?ndlig upps?ttning punkter; 4) den ?r begr?nsad p? b?da sidor; 5) varje punkt i segmentet ligger mellan tv? givna punkter, som kallas segmentets ?ndar.

Eleverna kommer ih?g allt detta baserat p? den elektroniska l?roboken genom att ?ppna sidan "segment". (Fig. 8)

Figur 8

Presentation av nytt material. Anv?nda sidan av EUP "Planimetri": "Grundl?ggande egenskaper f?r segmentet"

Efter att eleverna har kommit ih?g och upprepat vad de visste om segmentet, s?ger l?raren: att segmentets ?ndar kallas gr?nspunkter, och allt som ligger mellan dem ?r segmentets inre punkter.

D?refter ber l?raren barnen att v?nda sig till det elektroniska l?romedlet, som visar en bild och en f?rklaring som leder eleverna till de grundl?ggande egenskaperna f?r att m?ta och skjuta upp ett segment.

II. F?rankring

Eleverna uppmanas att utf?ra flera uppgifter om huruvida punkter tillh?r segment, segment till raka linjer och str?lar, samt deras konstruktion, av formen:

1. Markera punkterna K och M i din anteckningsbok Anv?nd en linjal f?r att konstruera ett KM-segment. Markera punkterna P och T p? detta segment. Namnge de segment som dessa punkter delar upp KM-segmentet i. I vilka segment delar punkten T upp segmentet KM?

2. Vilken av punkterna som anges i fig. tillh?r segment CD, och vilken av dem g?r inte det?

Fr?gor f?r konsolidering:

1. Hur betecknas punkter och linjer?

2. Vilka punkter markerade i figuren ligger p? linjen a, vilka punkter p? linjen c? Vid vilken punkt sk?r linjerna a och b?

3. Formulera huvudegenskaperna f?r segmentavs?ttning.

4. Formulera huvudegenskapen f?r att m?ta segment.