M?nga elever fastnar f?r ekvationer av det h?r slaget. Samtidigt ?r uppgifterna i sig inte p? n?got s?tt komplicerade - det r?cker bara att utf?ra en kompetent variabelsubstitution, f?r vilken du b?r l?ra dig att isolera stabila uttryck.

Ut?ver den h?r lektionen hittar du ett ganska omfattande sj?lvst?ndigt arbete, best?ende av tv? alternativ med 6 uppgifter vardera.

Grupperingsmetod

Idag kommer vi att analysera tv? logaritmiska ekvationer, varav en inte kan l?sas "genomg?ende" och kr?ver speciella transformationer, och den andra ... jag kommer dock inte att ber?tta allt p? en g?ng. Se videon, ladda ner sj?lvst?ndigt arbete - och l?r dig hur du l?ser komplexa problem.

S?, gruppera och ta de gemensamma faktorerna ur parentesen. Dessutom kommer jag att ber?tta vilka fallgropar definitionsdom?nen f?r logaritmer har, och hur sm? anm?rkningar om definitionsdom?nen avsev?rt kan f?r?ndra b?de r?tterna och hela l?sningen.

L?t oss b?rja med grupperingen. Vi m?ste l?sa f?ljande logaritmiska ekvation:

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 = log 2 (x 2 - 3x )

F?rst och fr?mst noterar vi att x 2 - 3x kan faktoriseras:

log 2 x (x - 3)

Sedan minns vi den underbara formeln:

log a fg = log a f + log a g

Omedelbart en liten notering: denna formel fungerar bra n?r a, f och g ?r vanliga tal. Men n?r det finns funktioner ist?llet f?r dem, upph?r dessa uttryck att vara lika i r?ttigheter. F?rest?ll dig denna hypotetiska situation:

f< 0; g < 0

I det h?r fallet kommer produkten fg att vara positiv, d?rf?r kommer log a ( fg ) att existera, men log a f och log a g kommer inte att existera separat, och vi kommer inte att kunna utf?ra en s?dan transformation.

Att ignorera detta faktum kommer att leda till en inskr?nkning av definitionsdom?nen och, som ett resultat, till f?rlust av r?tter. D?rf?r, innan du utf?r en s?dan transformation, ?r det n?dv?ndigt att i f?rv?g se till att funktionerna f och g ?r positiva.

I v?rt fall ?r allt enkelt. Eftersom det finns en funktion log 2 x i den ursprungliga ekvationen, s? ?r x > 0 (trots allt ?r variabeln x i argumentet). Det finns ocks? log 2 (x - 3), s? x - 3 > 0.

D?rf?r, i funktionsloggen 2 x (x - 3) kommer varje faktor att vara st?rre ?n noll. D?rf?r kan vi s?kert s?nderdela produkten till summan:

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x - 3)

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 - log 2 x - log 2 (x - 3) = 0

Vid en f?rsta anblick kan det tyckas att det inte har blivit l?ttare. Tv?rtom: antalet terminer bara ?kade! F?r att f?rst? hur man g?r vidare introducerar vi nya variabler:

log 2 x = a

log 2 (x - 3) = b

a b + 1 - a - b = 0

Och nu grupperar vi den tredje termen med den f?rsta:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Observera att b?de den f?rsta och andra parentesen inneh?ller b - 1 (i det andra fallet m?ste du ta bort "minus" ur parentesen). L?t oss faktorisera v?r konstruktion:

a (1 b - 1) - (b - 1) = 0

(b - 1)(a 1 - 1) = 0

Och nu minns vi v?r underbara regel: produkten ?r lika med noll n?r minst en av faktorerna ?r lika med noll:

b - 1 = 0 => b = 1;

a - 1 = 0 => a = 1.

L?t oss komma ih?g vad b och a ?r. Vi f?r tv? enkla logaritmiska ekvationer d?r allt som ?terst?r ?r att bli av med tecknen p? log och likst?lla argumenten:

log 2 x = 1 => log 2 x = log 2 2 => x 1 =2;

log 2 (x - 3) = 1 => log 2 (x - 3) = log 2 2 => x 2 = 5

Vi har tv? r?tter, men detta ?r inte en l?sning p? den ursprungliga logaritmiska ekvationen, utan bara kandidater f?r svaret. L?t oss nu kontrollera dom?nen. F?r det f?rsta argumentet:

x > 0

B?da r?tterna uppfyller det f?rsta kravet. L?t oss g? vidare till det andra argumentet:

x - 3 > 0 => x > 3

Men redan h?r uppfyller inte x = 2 oss, men x = 5 passar oss ganska bra. D?rf?r ?r det enda svaret x = 5.

Vi g?r vidare till den andra logaritmiska ekvationen. Vid f?rsta anblicken ?r det mycket enklare. Men i processen att l?sa det kommer vi att ?verv?ga subtila punkter relaterade till definitionsdom?nen, vars okunnighet avsev?rt komplicerar livet f?r nyb?rjare.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

F?re oss ?r den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen. Du beh?ver inte konvertera n?gonting - ?ven baserna ?r desamma. D?rf?r likst?ller vi helt enkelt argumenten:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

F?re oss ?r den givna andragradsekvationen, den l?ses enkelt med hj?lp av Vieta-formlerna:

(x - 5) (x + 1) = 0;

x - 5 = 0 => x = 5;

x + 1 = 0 => x = -1.

Men dessa r?tter ?r inga definitiva svar ?nnu. Det ?r n?dv?ndigt att hitta definitionsdom?nen, eftersom det finns tv? logaritmer i den ursprungliga ekvationen, dvs. det ?r absolut n?dv?ndigt att ta h?nsyn till definitionsomr?det.

S? l?t oss skriva ut definitionsdom?nen. ? ena sidan m?ste argumentet f?r den f?rsta logaritmen vara st?rre ?n noll:

x 2 - 6x + 2 > 0

? andra sidan m?ste det andra argumentet ocks? vara st?rre ?n noll:

7 - 2x > 0

Dessa krav m?ste samtidigt uppfyllas. Och h?r b?rjar det mest intressanta. Naturligtvis kan vi l?sa var och en av dessa oj?mlikheter, sedan sk?ra dem och hitta dom?nen f?r hela ekvationen. Men varf?r g?ra livet s? sv?rt f?r dig sj?lv?

L?t oss l?gga m?rke till en subtilitet. Att bli av med stockskyltar s?tter vi likhetstecken mellan argument. Detta inneb?r att kraven x 2 - 6x + 2 > 0 och 7 - 2x > 0 ?r ekvivalenta. Som en konsekvens kan endera av de tv? oj?mlikheterna strykas ?ver. L?t oss stryka ?ver det sv?raste och l?mna den vanliga linj?ra oj?mlikheten f?r oss sj?lva:

-2x > -7

x< 3,5

Eftersom vi dividerade b?da sidorna med ett negativt tal har tecknet p? oj?mlikheten ?ndrats.

S? vi har hittat ODZ utan n?gra kvadratiska oj?mlikheter, diskriminanter och sk?rningspunkter. Nu ?terst?r bara att v?lja r?tterna som ligger p? detta intervall. Uppenbarligen kommer bara x = -1 att passa oss, eftersom x = 5 > 3,5.

Du kan skriva ner svaret: x = 1 ?r den enda l?sningen p? den ursprungliga logaritmiska ekvationen.

Slutsatserna fr?n denna logaritmiska ekvation ?r f?ljande:

1. Var inte r?dd f?r att faktorisera logaritmer och sedan faktorisera summan av logaritmer. Kom dock ih?g att genom att dela upp produkten i summan av tv? logaritmer, begr?nsar du d?rmed definitionsdom?nen. Var d?rf?r noga med att kontrollera vad omfattningskraven ?r innan du utf?r en s?dan konvertering. Oftast uppst?r inga problem, men det skadar inte att spela s?kert igen.
2. N?r du g?r dig av med den kanoniska formen, f?rs?k att optimera ber?kningarna. I synnerhet, om vi kr?ver att f > 0 och g > 0, men i sj?lva ekvationen f = g , s? stryker vi dj?rvt ut en av oj?mlikheterna och l?mnar bara den enklaste f?r oss sj?lva. I det h?r fallet kommer definitions- och svarsdom?nen inte att lida p? n?got s?tt, men m?ngden ber?kningar kommer att minska avsev?rt.

Det var faktiskt allt jag ville ber?tta om grupperingen. :)

Typiska fel att l?sa

Idag ska vi analysera tv? typiska logaritmiska ekvationer som m?nga elever snubblar ?ver. P? exemplet med dessa ekvationer kommer vi att se vilka misstag som oftast g?rs i processen att l?sa och transformera de ursprungliga uttrycken.

Br?krationella ekvationer med logaritmer

Det b?r genast noteras att detta ?r en ganska l?msk typ av ekvation, d?r ett br?k med en logaritm n?gonstans i n?mnaren inte alltid ?r omedelbart n?rvarande. Men i processen med transformationer kommer en s?dan fraktion n?dv?ndigtvis att uppst?.

Samtidigt, var f?rsiktig: under transformationsprocessen kan den initiala definitionsdom?nen f?r logaritmer f?r?ndras avsev?rt!

Vi v?nder oss till ?nnu mer stela logaritmiska ekvationer som inneh?ller br?k och variabla baser. F?r att g?ra mer p? en kort lektion kommer jag inte att ber?tta en element?r teori. L?t oss g? direkt till uppgifterna:

4 log 25 (x - 1) - log 3 27 + 2 log x - 1 5 = 1

N?r man tittar p? denna ekvation kommer n?gon att fr?ga: "Vad har den rationella br?kekvationen att g?ra med det? Var ?r br?ket i denna ekvation? L?t oss inte skynda oss och titta n?rmare p? varje termin.

F?rsta termen: 4 log 25 (x - 1). Basen f?r logaritmen ?r ett tal, men argumentet ?r en funktion av x . Vi kan inte g?ra n?got ?t detta ?n. G? vidare.

N?sta term ?r log 3 27. Kom ih?g att 27 = 3 3 . D?rf?r kan vi skriva om hela logaritmen enligt f?ljande:

log 3 27 = 3 3 = 3

S? den andra terminen ?r bara en trea. Den tredje termen: 2 log x - 1 5. Inte heller h?r ?r allt enkelt: basen ?r en funktion, argumentet ?r ett vanligt tal. Jag f?resl?r att v?nda hela logaritmen enligt f?ljande formel:

log a b = 1/log b a

En s?dan transformation kan endast utf?ras om b ? 1. Annars kommer logaritmen som kommer att erh?llas i n?mnaren f?r den andra br?kdelen helt enkelt inte att existera. I v?rt fall ?r b = 5, s? allt ?r bra:

2 log x - 1 5 = 2/log 5 (x - 1)

L?t oss skriva om den ursprungliga ekvationen med h?nsyn till de erh?llna transformationerna:

4 log 25 (x - 1) - 3 + 2/ log 5 (x - 1) = 1

Vi har log 5 (x - 1) i br?kets n?mnare och log 25 (x - 1) i den f?rsta termen. Men 25 \u003d 5 2, s? vi tar ut kvadraten fr?n basen av logaritmen enligt regeln:

Med andra ord, exponenten vid basen av logaritmen blir br?kdelen l?ngst fram. Och uttrycket kommer att skrivas om s? h?r:

4 1/2 log 5 (x - 1) - 3 + 2/ log 5 (x - 1) - 1 = 0

Vi slutade med en l?ng ekvation med en massa identiska logaritmer. L?t oss introducera en ny variabel:

log 5 (x - 1) = t;

2t - 4 + 2/t = 0;

Men detta ?r redan en br?k-rationell ekvation, som l?ses med hj?lp av algebra av ?rskurs 8-9. L?t oss f?rst dela upp det i tv?:

t - 2 + 1/t = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0

Den exakta kvadraten st?r inom parentes. L?t oss rulla ihop det:

(t - 1) 2 /t = 0

Ett br?k ?r noll n?r dess t?ljare ?r noll och dess n?mnare ?r icke-noll. Gl?m aldrig detta faktum:

(t - 1) 2 = 0

t=1

t ? 0

L?t oss komma ih?g vad t ?r:

log 5 (x - 1) = 1

log 5 (x - 1) = log 5 5

Vi g?r oss av med loggtecknen, s?tter likhetstecken mellan deras argument och vi f?r:

x - 1 = 5 => x = 6

Allt. Problemet l?st. Men l?t oss g? tillbaka till den ursprungliga ekvationen och komma ih?g att det fanns tv? logaritmer med variabeln x samtidigt. D?rf?r m?ste du skriva ut definitionsdom?nen. Eftersom x - 1 finns i logaritmargumentet m?ste detta uttryck vara st?rre ?n noll:

x - 1 > 0

? andra sidan finns samma x - 1 ocks? i basen, s? den m?ste skilja sig fr?n en:

x - 1 ? 1

D?rf?r drar vi slutsatsen:

x > 1; x ? 2

Dessa krav m?ste samtidigt uppfyllas. V?rdet x = 6 uppfyller b?da kraven, s? x = 6 ?r den slutliga l?sningen p? den logaritmiska ekvationen.

L?t oss g? vidare till den andra uppgiften:

?terigen, l?t oss inte skynda oss och titta p? varje term:

log 4 (x + 1) - det finns en fyra vid basen. Det vanliga numret, och du kan inte r?ra det. Men f?rra g?ngen st?tte vi p? en exakt kvadrat vid basen, som m?ste tas ut under logaritmens tecken. L?t oss g?ra samma sak nu:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Tricket ?r att vi redan har en logaritm med variabel x , om ?n i basen - det ?r inversen av logaritmen som vi just hittade:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

N?sta term ?r log 2 8. Detta ?r en konstant, eftersom b?de argumentet och basen ?r vanliga tal. L?t oss hitta v?rdet:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Vi kan g?ra samma sak med den sista logaritmen:

L?t oss nu skriva om den ursprungliga ekvationen:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) - 3 - 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) - 4 = 0

L?t oss f?ra allt till en gemensam n?mnare:

Framf?r oss ?r ?terigen en br?k-rationell ekvation. L?t oss introducera en ny variabel:

t = log 2 (x + 1)

L?t oss skriva om ekvationen med h?nsyn till den nya variabeln:

Var f?rsiktig: i det h?r steget bytte jag villkoren. Br?kets t?ljare ?r kvadraten p? skillnaden:

Som f?rra g?ngen ?r ett br?k noll n?r dess t?ljare ?r noll och dess n?mnare ?r icke-noll:

(t - 4) 2 = 0 => t = 4;

t ? 0

Vi har en rot som uppfyller alla krav, s? vi ?terg?r till variabeln x:

log2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

Det ?r det, vi har l?st ekvationen. Men eftersom det fanns flera logaritmer i den ursprungliga ekvationen ?r det n?dv?ndigt att skriva ut definitionsdom?nen.

S? uttrycket x + 1 finns i logaritmens argument. D?rf?r x + 1 > 0. ? andra sidan finns x + 1 ocks? i basen, d.v.s. x + 1 ? 1. Totalt:

0 ? x > -1

Uppfyller den hittade roten dessa krav? Otvivelaktigt. D?rf?r ?r x = 15 l?sningen p? den ursprungliga logaritmiska ekvationen.

Slutligen skulle jag vilja s?ga f?ljande: om du tittar p? ekvationen och f?rst?r att du m?ste l?sa n?got komplext och icke-standardiserat, f?rs?k att lyfta fram stabila strukturer, som senare kommer att betecknas med en annan variabel. Om vissa termer inte inneh?ller variabeln x alls, kan de ofta enkelt ber?knas.

Det var allt jag ville prata om idag. Jag hoppas att den h?r lektionen kommer att hj?lpa dig att l?sa komplexa logaritmiska ekvationer. Se andra videohandledningar, ladda ner och l?s sj?lvst?ndigt arbete, s? ses vi i n?sta video!

Logaritmisk ekvation en ekvation kallas d?r det ok?nda (x) och uttryck med det st?r under tecknet f?r en logaritmisk funktion. Att l?sa logaritmiska ekvationer f?ruts?tter att du redan ?r bekant med och .
Hur l?ser man logaritmiska ekvationer?

Den enklaste ekvationen ?r log a x = b, d?r a och b ?r n?gra tal, ?r x ett ok?nt.
L?sa den logaritmiska ekvationen?r x = a b f?rutsatt: a > 0, a 1.

Det b?r noteras att om x ?r n?gonstans utanf?r logaritmen, till exempel log 2 x \u003d x-2, kallas en s?dan ekvation redan blandad och en speciell metod beh?vs f?r att l?sa den.

Det ideala fallet ?r n?r du st?ter p? en ekvation d?r endast siffror st?r under logaritmens tecken, till exempel x + 2 \u003d log 2 2. H?r r?cker det att k?nna till logaritmernas egenskaper f?r att l?sa det. Men den typen av tur h?nder inte ofta, s? g?r dig redo f?r sv?rare saker.

Men f?rst, trots allt, l?t oss b?rja med enkla ekvationer. F?r att l?sa dem ?r det ?nskv?rt att ha den mest allm?nna uppfattningen om logaritmen.

L?sa enkla logaritmiska ekvationer

Dessa inkluderar ekvationer som log 2 x \u003d log 2 16. Det kan ses med blotta ?gat att genom att utel?mna logaritmens tecken f?r vi x \u003d 16.

F?r att l?sa en mer komplex logaritmisk ekvation leder man vanligtvis till l?sningen av en vanlig algebraisk ekvation eller till l?sningen av den enklaste logaritmiska ekvationen log a x = b. I de enklaste ekvationerna sker detta i en r?relse, varf?r de kallas de enklaste.

Ovanst?ende metod att sl?ppa logaritmer ?r ett av de viktigaste s?tten att l?sa logaritmiska ekvationer och olikheter. Inom matematiken kallas denna operation potentiering. Det finns vissa regler eller begr?nsningar f?r den h?r typen av operationer:

• logaritmer har samma numeriska baser
• logaritmer i b?da delarna av ekvationen ?r fria, d.v.s. utan n?gra koefficienter och andra olika slags uttryck.

L?t oss s?ga i ekvationen log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), potentiering ?r inte till?mplig - koefficienten 2 till h?ger till?ter inte. I f?ljande exempel, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) ?r en av begr?nsningarna inte heller uppfylld - det finns tv? logaritmer till v?nster. Det skulle vara en - en helt annan sak!

I allm?nhet kan du bara ta bort logaritmer om ekvationen har formen:

log a(...) = log a(...)

Absolut alla uttryck kan st? inom parentes, detta p?verkar absolut inte potentieringsoperationen. Och efter elimineringen av logaritmer kommer en enklare ekvation att finnas kvar - linj?r, kvadratisk, exponentiell, etc., som du redan, hoppas jag, vet hur man l?ser.

L?t oss ta ett annat exempel:

stock 3 (2x-5) = stock 3 x

Genom att till?mpa potentiering f?r vi:

log 3 (2x-1) = 2

Utifr?n definitionen av logaritmen, n?mligen att logaritmen ?r det tal som basen m?ste h?jas till f?r att f? ett uttryck som st?r under logaritmens tecken, d.v.s. (4x-1), vi f?r:

?terigen fick vi ett bra svar. H?r gjorde vi utan att eliminera logaritmer, men potentiering ?r till?mplig h?r ocks?, eftersom logaritmen kan g?ras fr?n vilket tal som helst, och exakt det som vi beh?ver. Denna metod ?r till stor hj?lp f?r att l?sa logaritmiska ekvationer och s?rskilt oj?mlikheter.

L?t oss l?sa v?r logaritmiska ekvation log 3 (2x-1) = 2 med potentiering:

L?t oss representera talet 2 som en logaritm, till exempel s?dan log 3 9, eftersom 3 2 =9.

D? log 3 (2x-1) = log 3 9 och ?terigen f?r vi samma ekvation 2x-1 = 9. Jag hoppas att allt ?r klart.

S? vi tittade p? hur man l?ser de enklaste logaritmiska ekvationerna, som faktiskt ?r v?ldigt viktiga, eftersom l?sning av logaritmiska ekvationer, ?ven de mest fruktansv?rda och vridna, kommer i slut?ndan alltid till att l?sa de enklaste ekvationerna.

I allt vi har gjort ovan har vi f?rbisett en mycket viktig punkt, som kommer att spela en avg?rande roll i framtiden. Faktum ?r att l?sningen av alla logaritmiska ekvationer, ?ven den mest element?ra, best?r av tv? ekvivalenta delar. Den f?rsta ?r l?sningen av sj?lva ekvationen, den andra ?r arbete med omr?det f?r till?tna v?rden (ODV). Det ?r bara den f?rsta delen vi har bem?strat. I exemplen ovan p?verkar ODD inte svaret p? n?got s?tt, s? vi ?verv?gde det inte.

L?t oss ta ett annat exempel:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Ut?t skiljer sig denna ekvation inte fr?n den element?ra, som ?r mycket framg?ngsrikt l?st. Men det ?r inte s?. Nej, sj?lvklart l?ser vi det, men troligtvis blir det fel, f?r det ligger ett litet bakh?ll i det, som b?de C-elever och utm?rkta elever omedelbart hamnar i. L?t oss ta en n?rmare titt p? det.

Anta att du beh?ver hitta roten till ekvationen eller summan av r?tterna, om det finns flera:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Vi till?mpar potentiering, h?r ?r det till?tet. Som ett resultat f?r vi den vanliga andragradsekvationen.

Vi hittar r?tterna till ekvationen:

Det finns tv? r?tter.

Svar: 3 och -1

Vid f?rsta anblicken ?r allt korrekt. Men l?t oss kontrollera resultatet och ers?tta det med den ursprungliga ekvationen.

L?t oss b?rja med x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Kontrollen lyckades, nu ?r k?n x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Ja, sluta! Externt ?r allt perfekt. Ett ?gonblick - det finns inga logaritmer fr?n negativa tal! Och detta betyder att roten x \u003d -1 inte ?r l?mplig f?r att l?sa v?r ekvation. Och d?rf?r blir det korrekta svaret 3, inte 2, som vi skrev.

Det var h?r som ODZ spelade sin ?desdigra roll, som vi gl?mde bort.

L?t mig p?minna dig om att inom omr?det f?r till?tna v?rden accepteras s?dana v?rden av x som ?r till?tna eller vettiga f?r det ursprungliga exemplet.

Utan ODZ f?rvandlas vilken l?sning, ?ven en helt korrekt, av vilken ekvation som helst till ett lotteri - 50/50.

Hur kunde vi fastna n?r vi l?ser ett till synes element?rt exempel? Och h?r ?r det i potentierings?gonblicket. Logaritmerna ?r borta, och med dem alla begr?nsningar.

Vad ska man g?ra i ett s?dant fall? V?gra att eliminera logaritmer? Och helt ?verge l?sningen av denna ekvation?

Nej, vi kommer bara, som riktiga hj?ltar fr?n en k?nd l?t, ?ka runt!

Innan vi forts?tter med l?sningen av n?gon logaritmisk ekvation kommer vi att skriva ner ODZ. Men efter det kan du g?ra vad ditt hj?rta vill med v?r ekvation. Efter att ha f?tt svaret kastar vi helt enkelt ut de r?tter som inte ing?r i v?r ODZ och skriver ner den slutliga versionen.

L?t oss nu best?mma hur vi ska skriva ODZ. F?r att g?ra detta unders?ker vi noggrant den ursprungliga ekvationen och letar efter misst?nkta platser i den, som division med x, roten till en j?mn grad, etc. Tills vi har l?st ekvationen vet vi inte vad x ?r lika med, men vi vet med s?kerhet att ett s?dant x, som vid substituering ger en division med 0 eller extraktion av kvadratroten ur ett negativt tal, ?r uppenbarligen inte l?mplig f?r svaret. D?rf?r ?r s?dana x:n oacceptabla, medan resten kommer att utg?ra ODZ.

L?t oss anv?nda samma ekvation igen:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Som du kan se finns det ingen division med 0, det finns inga kvadratr?tter heller, utan det finns uttryck med x i logaritmen. Vi minns omedelbart att uttrycket i logaritmen alltid m?ste vara > 0. Detta villkor ?r skrivet i form av ODZ:

De d?r. vi har inte l?st n?got ?nnu, men vi har redan skrivit ner ett obligatoriskt villkor f?r hela det sublogaritmiska uttrycket. Den lockiga tandst?llningen g?r att dessa villkor m?ste uppfyllas samtidigt.

ODZ ?r nedskrivet, men det ?r ocks? n?dv?ndigt att l?sa det resulterande systemet av oj?mlikheter, vilket vi kommer att g?ra. Vi f?r svaret x > v3. Nu vet vi s?kert vilket x som inte passar oss. Och sedan b?rjar vi l?sa sj?lva logaritmiska ekvationen, vilket vi gjorde ovan.

Efter att ha f?tt svaren x 1 \u003d 3 och x 2 \u003d -1, ?r det l?tt att se att endast x1 \u003d 3 ?r l?mpligt f?r oss, och vi skriver ner det som det slutliga svaret.

F?r framtiden ?r det mycket viktigt att komma ih?g f?ljande: vi l?ser alla logaritmiska ekvationer i 2 steg. Den f?rsta - vi l?ser sj?lva ekvationen, den andra - vi l?ser tillst?ndet f?r ODZ. B?da stegen utf?rs oberoende av varandra och j?mf?rs f?rst vid skrivning av svaret, d.v.s. vi kasserar allt on?digt och skriver ner r?tt svar.

F?r att konsolidera materialet rekommenderar vi starkt att du tittar p? videon:

I videon, andra exempel p? att l?sa loggen. ekvationer och utarbeta intervallmetoden i praktiken.

Till detta i ?mnet, hur man l?ser logaritmiska ekvationer tills allt. Om n?got enligt beslut av loggen. ekvationer f?rblev otydliga eller obegripliga, skriv dina fr?gor i kommentarerna.

Notera: Academy of Social Education (KSUE) ?r redo att ta emot nya studenter.

Introduktion

Logaritmer uppfanns f?r att p?skynda och f?renkla ber?kningar. Id?n om logaritmen, det vill s?ga id?n om att uttrycka tal som en kraft av samma bas, tillh?r Mikhail Stiefel. Men vid tiden f?r Stiefel var matematiken inte s? utvecklad och id?n om logaritmen hittade inte sin utveckling. Logaritmer uppfanns senare samtidigt och oberoende av den skotske vetenskapsmannen John Napier (1550-1617) och schweizaren Jobst Burgi (1552-1632). Napier var den f?rsta att publicera verket 1614. med titeln "Description of the amazing table of logarithms", Napiers teori om logaritmer gavs i en ganska fullst?ndig volym, metoden f?r att ber?kna logaritmer gavs p? det enklaste s?ttet, d?rf?r ?r Napiers f?rtj?nster i uppfinningen av logaritmer st?rre ?n Burgis. B?rgi arbetade p? borden samtidigt som Napier, men under en l?ng tid h?ll dem hemliga och publicerade f?rst 1620. Napier beh?rskade id?n med logaritmen runt 1594. ?ven om tabellerna publicerades 20 ?r senare. F?rst kallade han sina logaritmer f?r "konstgjorda tal" och f?reslog f?rst d? att kalla dessa "konstgjorda tal" i ett ord f?r "logaritm", som p? grekiska ?r "korrelerade tal", h?mtat en fr?n en aritmetisk progression och den andra fr?n en geometrisk progression speciellt utvald f?r det. De f?rsta tabellerna p? ryska publicerades 1703. med deltagande av en m?rklig l?rare fr?n 1700-talet. L. F. Magnitsky. I utvecklingen av teorin om logaritmer var S:t Petersburg-akademikern Leonard Eulers arbete av stor betydelse. Han var den f?rste att betrakta logaritm som inversen av exponentiering, han introducerade termerna "basen av logaritmen" och "mantissa" Briggs sammanst?llde tabeller av logaritmer med basen 10. Decimaltabeller ?r mer bekv?ma f?r praktisk anv?ndning, deras teori ?r enklare ?n det av Napiers logaritmer. D?rf?r kallas decimallogaritmer ibland f?r briggar. Termen "karakteristisk" introducerades av Briggs.

I dessa avl?gsna tider, n?r de vise m?nnen f?rst b?rjade t?nka p? j?mlikheter som inneh?ll ok?nda kvantiteter, fanns det f?rmodligen inga mynt eller pl?nb?cker ?nnu. Men ? andra sidan fanns det h?gar, liksom krukor, korgar, som var perfekta f?r rollen som cacher-butiker inneh?llande ett ok?nt antal f?rem?l. I de ur?ldriga matematiska problemen i Mesopotamien, Indien, Kina, Grekland uttryckte ok?nda kvantiteter antalet p?f?glar i tr?dg?rden, antalet tjurar i bes?ttningen, helheten av saker som tas med i ber?kningen vid delning av egendom. Skriftskrivare, tj?nstem?n och pr?ster invigda i hemlig kunskap, v?lutbildade i vetenskapen om r?kning, klarade s?dana uppgifter ganska framg?ngsrikt.

K?llor som har kommit ner till oss tyder p? att forntida vetenskapsm?n hade n?gra generella metoder f?r att l?sa problem med ok?nda kvantiteter. Men inte en enda papyrus, inte en enda lertavla ger en beskrivning av dessa tekniker. F?rfattarna f?rs?g bara ibland sina numeriska ber?kningar med elaka kommentarer som: "Titta!", "G?r det!", "Du hittade r?tt." I denna mening ?r undantaget "Aritmetiken" av den grekiske matematikern Diophantus fr?n Alexandria (III-talet) - en samling problem f?r att sammanst?lla ekvationer med en systematisk presentation av deras l?sningar.

Men den f?rsta handboken f?r att l?sa problem, som blev allm?nt k?nd, var ett verk av en Bagdad-forskare fr?n 900-talet. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Ordet "al-jabr" fr?n den arabiska titeln p? denna avhandling - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("The Book of Restoration and Contrasting") - f?rvandlades med tiden till ordet "algebra", v?lk?nt f?r alla, och arbetet av al-Khwarizmi sj?lv fungerade som utg?ngspunkt i utvecklingen av vetenskapen om att l?sa ekvationer.

Logaritmiska ekvationer och oj?mlikheter

1. Logaritmiska ekvationer

En ekvation som inneh?ller en ok?nd under logaritmens tecken eller vid dess bas kallas en logaritmisk ekvation.

Den enklaste logaritmiska ekvationen ?r formens ekvation

logga a x = b . (1)

Uttalande 1. Om a > 0, a? 1, ekvation (1) f?r n?gon reell b har den enda l?sningen x = a b .

Exempel 1. L?s ekvationer:

a) logg 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

L?sning. Med hj?lp av uttalande 1 f?r vi a) x= 2 3 eller x= 8; b) x= 3 -1 eller x= 1/3; c)

eller x = 1.

Vi presenterar logaritmens huvudegenskaper.

P1. Grundl?ggande logaritmisk identitet:

var a > 0, a? 1 och b > 0.

P2. Logaritmen av produkten av positiva faktorer ?r lika med summan av logaritmerna f?r dessa faktorer:

logga a N ett · N 2 = logg a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ? 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommentar. Om en N ett · N 2 > 0, d? har egenskap P2 formen

logga a N ett · N 2 = logg a |N 1 | +logg a |N 2 | (a > 0, a ? 1, N ett · N 2 > 0).

P3. Logaritmen f?r kvoten av tv? positiva tal ?r lika med skillnaden mellan logaritmerna f?r utdelningen och divisorn

(a > 0, a ? 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommentar. Om en

, (vilket motsvarar N 1 N 2 > 0) d? har egenskap P3 formen (a > 0, a ? 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Logaritmen av potensen av ett positivt tal ?r lika med produkten av exponenten och logaritmen av detta tal:

logga a N k = k logga a N (a > 0, a ? 1, N > 0).

Kommentar. Om en k- j?mnt nummer ( k = 2s), sedan

logga a N 2s = 2s logga a |N | (a > 0, a ? 1, N ? 0).

P5. Formeln f?r att flytta till en annan bas ?r:

(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0),

i synnerhet om N = b, vi f?r

(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1). (2)

Med hj?lp av egenskaperna P4 och P5 ?r det enkelt att f? fram f?ljande egenskaper

(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (3) (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (4) (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (5)

och om i (5) c- j?mnt nummer ( c = 2n), intr?ffar

(b > 0, a ? 0, |a | ? 1). (6)

Vi listar huvudegenskaperna f?r den logaritmiska funktionen f (x) = log a x :

1. Dom?nen f?r den logaritmiska funktionen ?r m?ngden positiva tal.

2. V?rdeintervallet f?r den logaritmiska funktionen ?r upps?ttningen av reella tal.

3. N?r a> 1 ?kar den logaritmiska funktionen strikt (0< x 1 < x 2 loggar a x 1 < loga x 2), och vid 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 loggar a x 1 > logg a x 2).

4 loggar a 1 = 0 och logga a a = 1 (a > 0, a ? 1).

5. Om a> 1, d? ?r den logaritmiska funktionen negativ f?r x(0;1) och ?r positiv f?r x(1;+?), och om 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x? (0;1) och ?r negativ f?r x (1;+?).

6. Om a> 1, d? ?r den logaritmiska funktionen konvex upp?t, och om a(0;1) - konvex ned?t.

F?ljande p?st?enden (se till exempel ) anv?nds f?r att l?sa logaritmiska ekvationer.

Med den h?r videon b?rjar jag en l?ng serie lektioner om logaritmiska ekvationer. Nu har du tre exempel p? en g?ng, p? grundval av vilka vi kommer att l?ra oss att l?sa de enklaste uppgifterna, som kallas s? - protozoer.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

L?t mig p?minna dig om att den enklaste logaritmiska ekvationen ?r f?ljande:

log a f(x) = b

Det ?r viktigt att variabeln x endast finns i argumentet, dvs endast i funktionen f(x). Och talen a och b ?r bara siffror, och i inget fall ?r funktioner som inneh?ller variabeln x.

Grundl?ggande l?sningsmetoder

Det finns m?nga s?tt att l?sa s?dana strukturer. De flesta l?rare i skolan f?resl?r till exempel s? h?r: Uttryck omedelbart funktionen f ( x ) med formeln f( x ) = a b . Det vill s?ga n?r du m?ter den enklaste konstruktionen kan du omedelbart g? vidare till l?sningen utan ytterligare ?tg?rder och konstruktioner.

Ja, sj?lvklart kommer beslutet att visa sig vara korrekt. Men problemet med denna formel ?r att de flesta studenter f?rst?r inte, var kommer det ifr?n och varf?r just vi h?jer bokstaven a till bokstaven b.

Som ett resultat av detta observerar jag ofta mycket st?tande fel, n?r till exempel dessa bokst?ver byts ut. Denna formel m?ste antingen f?rst?s eller memoreras, och den andra metoden leder till fel vid de mest ol?mpliga och mest avg?rande ?gonblicken: i tentor, tester etc.

Det ?r d?rf?r jag f?resl?r alla mina elever att ?verge standardskolans formel och anv?nda det andra tillv?gag?ngss?ttet f?r att l?sa logaritmiska ekvationer, som, som du f?rmodligen gissat fr?n namnet, kallas kanonisk form.

Id?n med den kanoniska formen ?r enkel. L?t oss titta p? v?r uppgift igen: till v?nster har vi log a , medan bokstaven a betyder exakt siffran, och i inget fall funktionen som inneh?ller variabeln x. D?rf?r ?r denna bokstav f?rem?l f?r alla restriktioner som l?ggs p? basen av logaritmen. n?mligen:

1 ? a > 0

? andra sidan, fr?n samma ekvation, ser vi att logaritmen m?ste vara lika med talet b, och inga begr?nsningar l?ggs p? denna bokstav, eftersom den kan ta vilket v?rde som helst - b?de positivt och negativt. Allt beror p? vilka v?rden funktionen f(x) tar.

Och h?r minns vi v?r underbara regel att vilket tal b som helst kan representeras som en logaritm i basen a fr?n a till b potens:

b = log a a b

Hur kommer man ih?g denna formel? Ja, v?ldigt enkelt. L?t oss skriva f?ljande konstruktion:

b = b 1 = b log a a

Naturligtvis, i det h?r fallet, uppst?r alla restriktioner som vi skrev ner i b?rjan. Och l?t oss nu anv?nda den grundl?ggande egenskapen f?r logaritmen och skriv in faktorn b som potensen av a. Vi f?r:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Som ett resultat kommer den ursprungliga ekvationen att skrivas om i f?ljande form:

log a f (x) = log a a b -> f (x) = a b

Det ?r allt. Den nya funktionen inneh?ller inte l?ngre en logaritm och l?ses med vanliga algebraiska tekniker.

Naturligtvis kommer n?gon nu att inv?nda: varf?r var det n?dv?ndigt att komma p? n?gon form av kanonisk formel ?verhuvudtaget, varf?r utf?ra ytterligare tv? on?diga steg, om det var m?jligt att omedelbart g? fr?n den ursprungliga konstruktionen till den slutliga formeln? Ja, om s? bara f?r att de flesta elever inte f?rst?r var denna formel kommer ifr?n och som ett resultat regelbundet g?r misstag n?r de till?mpar den.

Men en s?dan sekvens av ?tg?rder, som best?r av tre steg, l?ter dig l?sa den ursprungliga logaritmiska ekvationen, ?ven om du inte f?rst?r var den slutliga formeln kommer ifr?n. F?rresten, den h?r posten kallas den kanoniska formeln:

log a f(x) = log a a b

Bekv?mligheten med den kanoniska formen ligger ocks? i det faktum att den kan anv?ndas f?r att l?sa en mycket bred klass av logaritmiska ekvationer, och inte bara de enklaste som vi ?verv?ger idag.

Exempel p? l?sningar

L?t oss nu titta p? verkliga exempel. S? l?t oss best?mma:

log 0,5 (3x - 1) = -3

L?t oss skriva om det s? h?r:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3

M?nga elever har br?ttom och f?rs?ker omedelbart h?ja siffran 0,5 till den makt som kom till oss fr?n det ursprungliga problemet. Och faktiskt, n?r du redan ?r v?l utbildad i att l?sa s?dana problem, kan du omedelbart utf?ra detta steg.

Men om du nu precis b?rjar studera detta ?mne, ?r det b?ttre att inte rusa n?gonstans f?r att inte g?ra st?tande misstag. S? vi har den kanoniska formen. Vi har:

3x - 1 = 0,5 -3

Detta ?r inte l?ngre en logaritmisk ekvation, utan en linj?r med avseende p? variabeln x. F?r att l?sa det, l?t oss f?rst ta itu med talet 0,5 i potensen -3. Observera att 0,5 ?r 1/2.

(1/2) -3 = (2/1) 3 = 8

Konvertera alla decimaler till br?ktal n?r du l?ser en logaritmisk ekvation.

Vi skriver om och f?r:

3x - 1 = 8
3x=9
x=3

Allt vi fick svaret. Den f?rsta uppgiften ?r l?st.

Andra uppgiften

L?t oss g? vidare till den andra uppgiften:

Som du kan se ?r denna ekvation inte l?ngre den enklaste. Om s? bara f?r att skillnaden ?r till v?nster, och inte en enda logaritm i en bas.

D?rf?r m?ste du p? n?got s?tt bli av med denna skillnad. I det h?r fallet ?r allt v?ldigt enkelt. L?t oss ta en n?rmare titt p? baserna: till v?nster ?r numret under roten:

Allm?n rekommendation: i alla logaritmiska ekvationer, f?rs?k att bli av med radikaler, d.v.s. fr?n poster med r?tter och g? vidare till potensfunktioner, helt enkelt f?r att exponenterna f?r dessa potenser l?tt tas ut ur logaritmens tecken och i slut?ndan s?dana en notation f?renklar och p?skyndar ber?kningar avsev?rt. L?t oss skriva det s? h?r:

Nu minns vi den anm?rkningsv?rda egenskapen hos logaritmen: fr?n argumentet, s?v?l som fr?n basen, kan du ta ut grader. N?r det g?ller baser h?nder f?ljande:

log a k b = 1/k loga b

Med andra ord flyttas talet som stod i basens grad fram och v?nds samtidigt upp, det vill s?ga det blir numrets reciproka. I v?rt fall fanns det en grad av bas med en indikator p? 1/2. D?rf?r kan vi ta ut det som 2/1. Vi f?r:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Observera: i inget fall b?r du bli av med logaritmer i detta steg. T?nk tillbaka p? matematik i ?rskurs 4-5 och operationsordningen: f?rst utf?rs multiplikation och f?rst sedan addition och subtraktion. I det h?r fallet subtraherar vi ett av samma element fr?n 10 element:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nu ser v?r ekvation ut som den borde. Detta ?r den enklaste konstruktionen, och vi l?ser den med den kanoniska formen:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Det ?r allt. Det andra problemet ?r l?st.

Tredje exemplet

L?t oss g? vidare till den tredje uppgiften:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Kom ih?g f?ljande formel:

log b = log 10 b

Om du av n?gon anledning blir f?rvirrad av att skriva lg b , d? n?r du g?r alla ber?kningar kan du helt enkelt skriva log 10 b . Du kan arbeta med decimallogaritmer p? samma s?tt som med andra: ta ut potenser, addera och representera valfritt tal som lg 10.

Det ?r just dessa egenskaper som vi nu kommer att anv?nda f?r att l?sa problemet, eftersom det inte ?r den enklaste som vi skrev ner i b?rjan av v?r lektion.

Notera till att b?rja med att faktorn 2 f?re lg 5 kan infogas och blir en potens av bas 5. Dessutom kan den fria termen 3 ocks? representeras som en logaritm - detta ?r mycket l?tt att observera fr?n v?r notation.

Bed?m sj?lv: vilket tal som helst kan representeras som log till bas 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

L?t oss skriva om det ursprungliga problemet med h?nsyn till de mottagna ?ndringarna:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Framf?r oss ?r ?terigen den kanoniska formen, och vi fick den f?rbi transformationsstadiet, d.v.s. den enklaste logaritmiska ekvationen kom inte upp n?gonstans hos oss.

Det var det jag pratade om i b?rjan av lektionen. Den kanoniska formen till?ter att l?sa en bredare klass av problem ?n den vanliga skolformeln, som ges av de flesta skoll?rare.

Det ?r allt, vi blir av med tecknet f?r decimallogaritmen, och vi f?r en enkel linj?r konstruktion:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Allt! Problemet l?st.

En notering om omfattning

H?r skulle jag vilja g?ra en viktig anm?rkning om definitionsdom?nen. Nu finns det s?kert elever och l?rare som kommer att s?ga: "N?r vi l?ser uttryck med logaritmer ?r det absolut n?dv?ndigt att komma ih?g att argumentet f (x) m?ste vara st?rre ?n noll!" I detta avseende uppst?r en logisk fr?ga: varf?r i inget av de ?verv?gda problemen kr?vde vi att denna oj?mlikhet skulle tillgodoses?

Oroa dig inte. Inga extra r?tter kommer att dyka upp i dessa fall. Och det h?r ?r ett annat bra trick som l?ter dig snabba p? l?sningen. Vet bara att om variabeln x bara f?rekommer i problemet p? ett st?lle (eller snarare, i det enda argumentet f?r den enda logaritmen), och ingen annanstans i v?rt fall f?rekommer variabeln x, skriv d? dom?nen beh?vs inte eftersom det kommer att k?ras automatiskt.

D?m sj?lv: i den f?rsta ekvationen fick vi att 3x - 1, d.v.s. argumentet ska vara lika med 8. Detta betyder automatiskt att 3x - 1 kommer att vara st?rre ?n noll.

Med samma framg?ng kan vi skriva att i det andra fallet m?ste x vara lika med 5 2, dvs det ?r s?kert st?rre ?n noll. Och i det tredje fallet, d?r x + 3 = 25 000, d.v.s. ?terigen uppenbarligen st?rre ?n noll. Omfattningen ?r med andra ord automatisk, men endast om x f?rekommer endast i argumentet f?r endast en logaritm.

Det ?r allt du beh?ver veta f?r att l?sa enkla problem. Enbart denna regel, tillsammans med transformationsreglerna, kommer att till?ta dig att l?sa en mycket bred klass av problem.

Men l?t oss vara ?rliga: f?r att ?ntligen f?rst? denna teknik, f?r att l?ra sig hur man till?mpar den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, r?cker det inte bara att titta p? en videolektion. D?rf?r, just nu, ladda ner alternativen f?r en oberoende l?sning som ?r bifogade denna videohandledning och b?rja l?sa minst ett av dessa tv? oberoende verk.

Det tar bara n?gra minuter. Men effekten av s?dan tr?ning kommer att vara mycket h?gre j?mf?rt med om du bara tittade p? den h?r videohandledningen.

Jag hoppas att den h?r lektionen hj?lper dig att f?rst? logaritmiska ekvationer. Anv?nd den kanoniska formen, f?renkla uttryck med hj?lp av reglerna f?r att arbeta med logaritmer - och du kommer inte att vara r?dd f?r n?gra uppgifter. Och det ?r allt jag har f?r idag.

Omfattningsh?nsyn

L?t oss nu prata om dom?nen f?r den logaritmiska funktionen, samt hur detta p?verkar l?sningen av logaritmiska ekvationer. ?verv?g en konstruktion av formen

log a f(x) = b

Ett s?dant uttryck kallas det enklaste - det har bara en funktion, och talen a och b ?r bara siffror, och ?r i inget fall en funktion som beror p? variabeln x. Det ?r l?st v?ldigt enkelt. Du beh?ver bara anv?nda formeln:

b = log a a b

Denna formel ?r en av logaritmens nyckelegenskaper, och n?r vi ers?tter i v?rt ursprungliga uttryck f?r vi f?ljande:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Detta ?r redan en bekant formel fr?n skolb?ckerna. M?nga elever kommer f?rmodligen att ha en fr?ga: eftersom funktionen f ( x ) i det ursprungliga uttrycket ?r under logtecknet, l?ggs f?ljande begr?nsningar p? den:

f(x) > 0

Denna begr?nsning ?r giltig eftersom logaritmen f?r negativa tal inte existerar. S?, kanske p? grund av denna begr?nsning, b?r du inf?ra en kontroll f?r svar? Kanske m?ste de ers?ttas i k?llan?

Nej, i de enklaste logaritmiska ekvationerna ?r en extra kontroll on?dig. Och det ?r varf?r. Ta en titt p? v?r slutliga formel:

f(x) = a b

Faktum ?r att talet a i alla fall ?r st?rre ?n 0 - detta krav st?lls ocks? av logaritmen. Talet a ?r basen. I detta fall finns inga begr?nsningar f?r numret b. Men detta spelar ingen roll, f?r oavsett i vilken grad vi h?jer ett positivt tal, kommer vi fortfarande att f? ett positivt tal vid utg?ngen. S?ledes uppfylls kravet f (x) > 0 automatiskt.

Det som verkligen ?r v?rt att kolla upp ?r omfattningen av funktionen under logtecknet. Det kan vara ganska komplexa m?nster, och i processen att l?sa dem m?ste du definitivt f?lja dem. L?t oss se.

F?rsta uppgiften:

F?rsta steget: konvertera br?ket till h?ger. Vi f?r:

Vi blir av med logaritmens tecken och f?r den vanliga irrationella ekvationen:

Av de erh?llna r?tterna ?r det bara den f?rsta som passar oss, eftersom den andra roten ?r mindre ?n noll. Det enda svaret kommer att vara siffran 9. Det ?r allt, problemet ?r l?st. Inga ytterligare kontroller av att uttrycket under logaritmtecknet ?r st?rre ?n 0 kr?vs, eftersom det inte bara ?r st?rre ?n 0, utan enligt ekvationens villkor ?r det lika med 2. D?rf?r blir kravet "st?rre ?n noll" automatiskt uppfyllt.

L?t oss g? vidare till den andra uppgiften:

Allting ?r likadant h?r. Vi skriver om konstruktionen och ers?tter trippeln:

Vi blir av med logaritmens tecken och f?r en irrationell ekvation:

Vi kvadrerar b?da delarna, med h?nsyn till begr?nsningarna, och vi f?r:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 -4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Vi l?ser den resulterande ekvationen genom diskriminanten:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Men x = -6 passar oss inte, f?r om vi ers?tter detta tal med v?r oj?mlikhet f?r vi:

-6 + 4 = -2 < 0

I v?rt fall kr?vs det att det ?r st?rre ?n 0 eller i extrema fall lika. Men x = -1 passar oss:

-1 + 4 = 3 > 0

Det enda svaret i v?rt fall ?r x = -1. Det ?r hela l?sningen. L?t oss g? tillbaka till b?rjan av v?ra ber?kningar.

Huvudslutsatsen fr?n denna lektion ?r att det inte ?r n?dv?ndigt att kontrollera gr?nserna f?r en funktion i de enklaste logaritmiska ekvationerna. Eftersom i processen att l?sa alla begr?nsningar exekveras automatiskt.

Detta betyder dock inte p? n?got s?tt att du kan gl?mma verifieringen helt och h?llet. I processen att arbeta med en logaritmisk ekvation kan den mycket v?l f?rvandlas till en irrationell, som kommer att ha sina egna begr?nsningar och krav p? h?gersidan, vilket vi idag har sett i tv? olika exempel.

L?s g?rna s?dana problem och var extra f?rsiktig om det finns en rot i argumentationen.

Logaritmiska ekvationer med olika baser

Vi forts?tter att studera logaritmiska ekvationer och analysera ytterligare tv? ganska intressanta knep med vilka det ?r p? modet att l?sa mer komplexa strukturer. Men f?rst, l?t oss komma ih?g hur de enklaste uppgifterna l?ses:

log a f(x) = b

I denna notation ?r a och b bara siffror, och i funktionen f (x) m?ste variabeln x finnas, och bara d?r, det vill s?ga x m?ste bara finnas i argumentet. Vi kommer att transformera s?dana logaritmiska ekvationer med den kanoniska formen. F?r detta noterar vi det

b = log a a b

Och ett b ?r bara ett argument. L?t oss skriva om detta uttryck enligt f?ljande:

log a f(x) = log a a b

Det ?r precis vad vi f?rs?ker uppn?, s? att b?de till v?nster och h?ger finns en logaritm till basen a. I det h?r fallet kan vi bildligt talat stryka ?ver tecknen p? log, och ur matematikens synvinkel kan vi s?ga att vi helt enkelt likst?ller argumenten:

f(x) = a b

Som ett resultat f?r vi ett nytt uttryck som kommer att l?sas mycket l?ttare. L?t oss till?mpa denna regel p? v?ra uppgifter idag.

S? den f?rsta designen:

F?rst och fr?mst noterar jag att det finns en br?kdel till h?ger, vars n?mnare ?r log. N?r du ser ett uttryck som detta ?r det v?rt att komma ih?g logaritmernas underbara egenskap:

?versatt till ryska betyder detta att vilken logaritm som helst kan representeras som en kvot av tv? logaritmer med valfri bas c. Naturligtvis 0< с ? 1.

S?: denna formel har ett underbart specialfall n?r variabeln c ?r lika med variabeln b. I det h?r fallet f?r vi en konstruktion av formen:

Det ?r denna konstruktion som vi observerar fr?n tecknet till h?ger i v?r ekvation. L?t oss ers?tta denna konstruktion med log a b , vi f?r:

Med andra ord, i j?mf?relse med den ursprungliga uppgiften, har vi bytt ut argumentet och basen f?r logaritmen. Ist?llet fick vi v?nda br?kdelen.

Vi minns att vilken grad som helst kan tas ur basen enligt f?ljande regel:

Med andra ord tas koefficienten k, som ?r graden av basen, ut som en inverterad br?kdel. L?t oss ta ut det som en inverterad br?kdel:

Br?kfaktorn kan inte l?mnas framf?r, eftersom vi i det h?r fallet inte kommer att kunna representera denna post som en kanonisk form (i den kanoniska formen finns det trots allt ingen ytterligare faktor framf?r den andra logaritmen). L?t oss d?rf?r s?tta br?kdelen 1/4 i argumentet som en potens:

Nu likst?ller vi argumenten vars baser ?r desamma (och vi har verkligen samma baser), och skriver:

x + 5 = 1

x = -4

Det ?r allt. Vi fick svaret p? den f?rsta logaritmiska ekvationen. Var uppm?rksam: i det ursprungliga problemet f?rekommer variabeln x endast i en logg, och den finns i dess argument. D?rf?r finns det inget behov av att kontrollera dom?nen, och v?rt nummer x = -4 ?r verkligen svaret.

L?t oss nu g? vidare till det andra uttrycket:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)

H?r kommer vi, f?rutom de vanliga logaritmerna, att beh?va arbeta med lg f (x). Hur l?ser man en s?dan ekvation? Det kan tyckas f?r en of?rberedd elev att det h?r ?r n?gon form av pl?t, men i sj?lva verket ?r allt l?st element?rt.

Titta noga p? begreppet lg 2 log 2 7. Vad kan vi s?ga om det? Grunderna och argumenten f?r log och lg ?r desamma, och detta borde ge n?gra ledtr?dar. L?t oss ?terigen komma ih?g hur graderna tas ut under logaritmens tecken:

log a b n = n log a b

Med andra ord, vad som var styrkan av talet b i argumentet blir en faktor framf?r sj?lva loggen. L?t oss till?mpa den h?r formeln p? uttrycket lg 2 log 2 7. Var inte r?dd f?r lg 2 - det h?r ?r det vanligaste uttrycket. Du kan skriva om det s? h?r:

F?r honom ?r alla regler som g?ller f?r n?gon annan logaritm giltiga. I synnerhet kan faktorn framf?r inf?ras i argumentets makt. L?t oss skriva:

Mycket ofta ser eleverna inte denna ?tg?rd, eftersom det inte ?r bra att ange en logg under tecknet f?r en annan. Det ?r faktiskt inget brottsligt i detta. Dessutom f?r vi en formel som ?r l?tt att ber?kna om du kommer ih?g en viktig regel:

Denna formel kan betraktas b?de som en definition och som en av dess egenskaper. I alla fall, om du konverterar en logaritmisk ekvation, b?r du k?nna till denna formel p? samma s?tt som representationen av ett tal i form av log.

Vi ?terg?r till v?r uppgift. Vi skriver om det med h?nsyn till det faktum att den f?rsta termen till h?ger om likhetstecknet helt enkelt kommer att vara lika med lg 7. Vi har:

lg 56 = lg 7 - 3 lg (x + 4)

L?t oss flytta lg 7 till v?nster, vi f?r:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Vi subtraherar uttrycken till v?nster eftersom de har samma bas:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

L?t oss nu titta n?rmare p? ekvationen vi har. Det ?r praktiskt taget den kanoniska formen, men det finns en faktor -3 till h?ger. L?t oss l?gga det i r?tt lg-argument:

lg 8 = lg (x + 4) -3

F?re oss ?r den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, s? vi stryker ?ver tecknen p? lg och likst?ller argumenten:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Det ?r allt! Vi har l?st den andra logaritmiska ekvationen. I det h?r fallet kr?vs inga ytterligare kontroller, eftersom i det ursprungliga problemet fanns x endast i ett argument.

L?t mig sammanfatta de viktigaste punkterna i denna lektion.

Huvudformeln som studeras i alla lektioner p? denna sida ?gnas ?t att l?sa logaritmiska ekvationer ?r den kanoniska formen. Och l?t dig inte avskr?ckas av det faktum att de flesta skolb?cker l?r dig hur du l?ser den h?r typen av problem p? olika s?tt. Det h?r verktyget fungerar mycket effektivt och l?ter dig l?sa en mycket bredare klass av problem ?n de enklaste som vi studerade i b?rjan av v?r lektion.

Dessutom, f?r att l?sa logaritmiska ekvationer, kommer det att vara anv?ndbart att k?nna till de grundl?ggande egenskaperna. N?mligen:

1. Formeln f?r att flytta till en bas och ett specialfall n?r vi v?nder logg (detta var mycket anv?ndbart f?r oss i den f?rsta uppgiften);
2. Formeln f?r att ta in och ta ut potenser under logaritmens tecken. H?r fastnar m?nga elever och ser inte direkt att str?mmen som tas ut och tas in i sig kan inneh?lla log f (x). Inget fel med det. Vi kan introducera en logg enligt en annans tecken och samtidigt avsev?rt f?renkla l?sningen av problemet, vilket ?r vad vi observerar i det andra fallet.

Avslutningsvis vill jag till?gga att det inte ?r n?dv?ndigt att kontrollera omfattningen i vart och ett av dessa fall, eftersom variabeln x ?verallt finns i endast ett tecken p? log, och samtidigt finns i dess argument. Som en konsekvens uppfylls alla dom?nkrav automatiskt.

Problem med variabel bas

Idag kommer vi att ?verv?ga logaritmiska ekvationer, som f?r m?nga elever verkar icke-standardiserade, om inte helt ol?sliga. Vi talar om uttryck som inte ?r baserade p? tal, utan p? variabler och j?mna funktioner. Vi kommer att l?sa s?dana konstruktioner med v?r standardteknik, n?mligen genom den kanoniska formen.

Till att b?rja med, l?t oss komma ih?g hur de enklaste problemen l?ses, som ?r baserade p? vanliga siffror. S? den enklaste konstruktionen kallas

log a f(x) = b

F?r att l?sa s?dana problem kan vi anv?nda f?ljande formel:

b = log a a b

Vi skriver om v?rt ursprungliga uttryck och f?r:

log a f(x) = log a a b

Sedan s?tter vi likhetstecken mellan argumenten, dvs vi skriver:

f(x) = a b

D?rmed blir vi av med loggskylten och l?ser det vanliga problemet. I detta fall kommer r?tterna som erh?lls i l?sningen att vara r?tterna till den ursprungliga logaritmiska ekvationen. Dessutom kallas posten, n?r b?de v?nster och h?ger ?r p? samma logaritm med samma bas, den kanoniska formen. Det ?r till detta rekord som vi ska f?rs?ka minska dagens konstruktioner. L?t oss g?.

F?rsta uppgiften:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Ers?tt 1 med stock x - 2 (x - 2) 1 . Graden som vi observerar i argumentet ?r i sj?lva verket talet b , som var till h?ger om likhetstecknet. S? l?t oss skriva om v?rt uttryck. Vi f?r:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Vad ser vi? F?re oss ligger den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, s? vi kan s?kert likst?lla argumenten. Vi f?r:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Men l?sningen slutar inte d?r, eftersom denna ekvation inte ?r likv?rdig med den ursprungliga. Den resulterande konstruktionen best?r trots allt av funktioner som ?r definierade p? hela tallinjen, och v?ra ursprungliga logaritmer ?r inte definierade ?verallt och inte alltid.

D?rf?r m?ste vi skriva ner definitionsdom?nen separat. L?t oss inte bli klokare och f?rst skriva ner alla krav:

F?rst m?ste argumentet f?r var och en av logaritmerna vara st?rre ?n 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

F?r det andra m?ste basen inte bara vara st?rre ?n 0, utan ocks? skilja sig fr?n 1:

x - 2 ? 1

Som ett resultat f?r vi systemet:

Men var inte orolig: vid bearbetning av logaritmiska ekvationer kan ett s?dant system f?renklas avsev?rt.

Bed?m sj?lv: dels kr?vs att andragradsfunktionen ?r st?rre ?n noll, dels ?r denna kvadratiska funktion likst?llt med ett visst linj?rt uttryck, som ocks? kr?vs att den ?r st?rre ?n noll.

I det h?r fallet, om vi kr?ver att x - 2 > 0, s? kommer kravet 2x 2 - 13x + 18 > 0 automatiskt att uppfyllas. D?rf?r kan vi s?kert stryka ut olikheten som inneh?ller en kvadratisk funktion. S?ledes kommer antalet uttryck som finns i v?rt system att reduceras till tre.

Naturligtvis skulle vi lika g?rna kunna stryka ut den linj?ra olikheten, d.v.s. stryka ut x - 2 > 0 och kr?va att 2x 2 - 13x + 18 > 0. Men du m?ste erk?nna att att l?sa den enklaste linj?ra olikheten ?r mycket snabbare och l?ttare, ?n kvadratisk, ?ven om vi som ett resultat av att l?sa hela detta system f?r samma r?tter.

F?rs?k i allm?nhet att optimera ber?kningar n?r det ?r m?jligt. Och i fallet med logaritmiska ekvationer, stryk ?ver de sv?raste oj?mlikheterna.

L?t oss skriva om v?rt system:

H?r finns ett s?dant system med tre uttryck, varav tv? vi faktiskt redan har listat ut. L?t oss skriva ut andragradsekvationen separat och l?sa den:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

F?re oss finns ett reducerat kvadrattrinomium och d?rf?r kan vi anv?nda Vieta-formlerna. Vi f?r:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Nu, tillbaka till v?rt system, finner vi att x = 2 inte passar oss, eftersom vi m?ste ha x strikt st?rre ?n 2.

Men x \u003d 5 passar oss ganska bra: talet 5 ?r st?rre ?n 2, och samtidigt ?r 5 inte lika med 3. D?rf?r kommer den enda l?sningen p? detta system att vara x \u003d 5.

Allt, uppgiften ?r l?st, inklusive att ta h?nsyn till ODZ. L?t oss g? vidare till den andra ekvationen. H?r v?ntar vi p? mer intressanta och meningsfulla ber?kningar:

Det f?rsta steget: s?v?l som f?rra g?ngen tar vi all denna verksamhet till en kanonisk form. F?r att g?ra detta kan vi skriva siffran 9 enligt f?ljande:

Basen med roten kan inte r?ras, men det ?r b?ttre att omvandla argumentet. L?t oss g? fr?n roten till potensen med en rationell exponent. L?t oss skriva:

L?t mig inte skriva om hela v?r stora logaritmiska ekvation, utan bara omedelbart likst?lla argumenten:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

F?re oss ?r det ?terigen reducerade kvadrattrinomialet, vi kommer att anv?nda Vieta-formlerna och skriva:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

S? vi fick r?tterna, men ingen garanterade oss att de skulle passa den ursprungliga logaritmiska ekvationen. N?r allt kommer omkring l?gger logskyltar ytterligare begr?nsningar (h?r skulle vi beh?va skriva ner systemet, men p? grund av kr?ngligheten i hela konstruktionen best?mde jag mig f?r att ber?kna definitionsdom?nen separat).

F?rst och fr?mst, kom ih?g att argumenten m?ste vara st?rre ?n 0, n?mligen:

Detta ?r de krav som definitionsdom?nen st?ller.

Vi noterar direkt att eftersom vi likst?ller de tv? f?rsta uttrycken av systemet med varandra, kan vi stryka ut vilket som helst av dem. L?t oss stryka ?ver den f?rsta eftersom den ser mer hotfull ut ?n den andra.

Observera dessutom att l?sningarna f?r den andra och tredje olikheten kommer att vara samma m?ngder (kuben f?r ett tal ?r st?rre ?n noll, om detta tal i sig ?r st?rre ?n noll; p? samma s?tt med roten av tredje graden - dessa olikheter ?r helt lika, s? en av dem kan vi stryka ?ver).

Men med den tredje oj?mlikheten kommer detta inte att fungera. L?t oss bli av med tecknet p? radikalen till v?nster, f?r vilket vi h?jer b?da delarna till en kub. Vi f?r:

S? vi f?r f?ljande krav:

-2 ? x > -3

Vilken av v?ra r?tter: x 1 = -3 eller x 2 = -1 uppfyller dessa krav? Uppenbarligen ?r det bara x = -1, eftersom x = -3 inte uppfyller den f?rsta oj?mlikheten (eftersom v?r oj?mlikhet ?r strikt). Totalt, f?r att ?terg? till v?rt problem, f?r vi en rot: x = -1. Det var allt, problemet l?st.

?terigen, nyckelpunkterna i denna uppgift:

1. Applicera och l?s g?rna logaritmiska ekvationer med kanonisk form. Elever som g?r en s?dan post, och inte g?r direkt fr?n det ursprungliga problemet till en konstruktion som log a f ( x ) = b , g?r mycket f?rre fel ?n de som har br?ttom n?gonstans och hoppar ?ver mellanliggande ber?kningssteg;
2. S? snart en variabel bas dyker upp i logaritmen upph?r problemet att vara det enklaste. D?rf?r, n?r du l?ser det, ?r det n?dv?ndigt att ta h?nsyn till definitionsdom?nen: argumenten m?ste vara st?rre ?n noll, och baserna m?ste inte bara vara st?rre ?n 0, utan de f?r inte heller vara lika med 1.

Du kan st?lla de sista kraven p? de slutliga svaren p? olika s?tt. Det ?r till exempel m?jligt att l?sa ett helt system som inneh?ller alla dom?nkrav. ? andra sidan kan du f?rst l?sa sj?lva problemet och sedan komma ih?g definitionsdom?nen, arbeta ut det separat i form av ett system och till?mpa det p? de erh?llna r?tterna.

Vilket s?tt du ska v?lja n?r du l?ser en viss logaritmisk ekvation ?r upp till dig. Svaret blir i alla fall detsamma.

Vi ?r alla bekanta med ekvationer fr?n grundskoleklasser. ?ven d?r l?rde vi oss att l?sa de enklaste exemplen, och det m?ste erk?nnas att de finner sin till?mpning ?ven i h?gre matematik. Allt ?r enkelt med ekvationer, inklusive kvadratiska. Om du har problem med detta tema rekommenderar vi starkt att du f?rs?ker igen.

Logaritmer du f?rmodligen redan klarat ocks?. ?nd? anser vi att det ?r viktigt att ber?tta vad det ?r f?r de som inte vet ?nnu. Logaritmen ?r lika med den potens som basen m?ste h?jas till f?r att f? talet till h?ger om logaritmens tecken. L?t oss ge ett exempel, baserat p? vilket allt kommer att bli klart f?r dig.

Om du h?jer 3 till fj?rde potens f?r du 81. Ers?tt nu siffrorna analogt, s? kommer du ?ntligen att f?rst? hur logaritmer l?ses. Nu ?terst?r bara att kombinera de tv? ?verv?gda begreppen. Till en b?rjan verkar situationen extremt sv?r, men vid n?rmare unders?kning faller vikten p? plats. Vi ?r s?kra p? att du efter denna korta artikel inte kommer att ha n?gra problem i den h?r delen av provet.

Idag finns det m?nga s?tt att l?sa s?dana strukturer. Vi kommer att prata om det enklaste, mest effektiva och mest till?mpliga n?r det g?ller USE-uppgifter. Att l?sa logaritmiska ekvationer b?r b?rja med det enklaste exemplet. De enklaste logaritmiska ekvationerna best?r av en funktion och en variabel i den.

Det ?r viktigt att notera att x ?r inuti argumentet. A och b m?ste vara tal. I det h?r fallet kan du helt enkelt uttrycka funktionen i termer av ett tal i en potens. Det ser ut s? h?r.

Att l?sa en logaritmisk ekvation p? detta s?tt leder dig naturligtvis till det r?tta svaret. Men problemet f?r de allra flesta elever i det h?r fallet ?r att de inte f?rst?r vad och var det kommer ifr?n. Som ett resultat m?ste du st? ut med misstag och inte f? ?nskade po?ng. Det mest st?tande misstaget blir om du blandar ihop bokst?verna p? sina st?llen. F?r att l?sa ekvationen p? detta s?tt m?ste du memorera den h?r standardskolans formel, eftersom det ?r sv?rt att f?rst? den.

F?r att g?ra det l?ttare kan du tillgripa en annan metod - den kanoniska formen. Tanken ?r extremt enkel. Var uppm?rksam p? uppgiften igen. Kom ih?g att bokstaven a ?r ett tal, inte en funktion eller en variabel. A ?r inte lika med ett och ?r st?rre ?n noll. Det finns inga begr?nsningar f?r b. Nu minns vi en av alla formlerna. B kan uttryckas p? f?ljande s?tt.

Av detta f?ljer att alla ursprungliga ekvationer med logaritmer kan representeras som:

Nu kan vi f?rkasta logaritmerna. Resultatet ?r en enkel konstruktion, som vi redan har sett tidigare.

Bekv?mligheten med denna formel ligger i det faktum att den kan anv?ndas i en m?ngd olika fall, och inte bara f?r de enklaste designerna.

Oroa dig inte f?r OOF!

M?nga erfarna matematiker kommer att m?rka att vi inte har uppm?rksammat definitionsdom?nen. Regeln kokar ner till det faktum att F(x) n?dv?ndigtvis ?r st?rre ?n 0. Nej, vi har inte missat detta ?gonblick. Nu talar vi om en annan allvarlig f?rdel med den kanoniska formen.

Det blir inga extra r?tter h?r. Om variabeln bara kommer att f?rekomma p? ett st?lle ?r scope inte n?dv?ndigt. Den k?rs automatiskt. F?r att verifiera denna bed?mning, ?verv?g att l?sa n?gra enkla exempel.

Hur man l?ser logaritmiska ekvationer med olika baser

Dessa ?r redan komplexa logaritmiska ekvationer, och tillv?gag?ngss?ttet f?r deras l?sning b?r vara speciellt. H?r ?r det s?llan m?jligt att begr?nsa oss till den beryktade kanonformen. L?t oss b?rja v?r detaljerade ber?ttelse. Vi har f?ljande konstruktion.

L?gg m?rke till br?ket. Den inneh?ller logaritmen. Om du ser detta i uppgiften ?r det v?rt att komma ih?g ett intressant knep.

Vad betyder det? Varje logaritm kan uttryckas som en kvot av tv? logaritmer med en l?mplig bas. Och denna formel har ett specialfall som ?r till?mpligt p? detta exempel (vi menar om c=b).

Det ?r precis vad vi ser i v?rt exempel. P? det h?r s?ttet.

Faktum ?r att de v?nde p? br?kdelen och fick ett bekv?mare uttryck. Kom ih?g denna algoritm!

Nu beh?ver vi att den logaritmiska ekvationen inte inneh?ll olika baser. L?t oss representera basen som en br?kdel.

I matematik finns det en regel, baserad p? vilken du kan ta ut graden fr?n basen. Det visar sig f?ljande konstruktion.

Det verkar som om vad nu hindrar oss fr?n att f?rvandla v?rt uttryck till en kanonisk form och element?rt l?sa det? Inte s? enkelt. Det ska inte finnas n?gra br?k f?re logaritmen. L?t oss fixa den h?r situationen! En br?kdel f?r tas ut som examen.

Respektive.

Om baserna ?r desamma kan vi ta bort logaritmerna och likst?lla sj?lva uttrycken. S? situationen kommer att bli m?nga g?nger l?ttare ?n den var. Det kommer att finnas en element?r ekvation som var och en av oss visste hur man l?ser redan i 8:e eller till och med 7:e klass. Du kan g?ra ber?kningarna sj?lv.

Vi har den enda sanna roten till denna logaritmiska ekvation. Exempel p? att l?sa en logaritmisk ekvation ?r ganska enkla, eller hur? Nu kommer du att sj?lvst?ndigt kunna hantera ?ven de sv?raste uppgifterna f?r att f?rbereda och klara provet.

Vad ?r resultatet?

I fallet med logaritmiska ekvationer utg?r vi fr?n en mycket viktig regel. Det ?r n?dv?ndigt att agera p? ett s?dant s?tt att uttrycket f?r den enklaste formen. I det h?r fallet kommer du att ha fler chanser att inte bara l?sa problemet korrekt, utan ocks? att g?ra det p? det enklaste och mest logiska s?ttet. Det ?r s? matematiker alltid fungerar.

Vi rekommenderar starkt att du inte letar efter sv?ra v?gar, speciellt i det h?r fallet. Kom ih?g n?gra enkla regler som g?r att du kan omvandla alla uttryck. Ta till exempel tv? eller tre logaritmer till samma bas, eller ta en potens fr?n basen och vinn p? den.

Det ?r ocks? v?rt att komma ih?g att n?r du l?ser logaritmiska ekvationer m?ste du st?ndigt tr?na. Gradvis kommer du att g? vidare till fler och mer komplexa strukturer, och detta kommer att leda till att du med s?kerhet l?ser alla alternativ f?r problem p? provet. F?rbered dig inf?r dina tentor i god tid, och lycka till!