Begreppet en dihedral vinkel

F?r att introducera begreppet en dihedrisk vinkel, minns vi f?rst ett av stereometrins axiom.

Vilket plan som helst kan delas upp i tv? halvplan av linjen $a$ som ligger i detta plan. I det h?r fallet ?r punkterna som ligger i samma halvplan p? samma sida av den r?ta linjen $a$, och punkterna som ligger i olika halvplan ?r p? motsatta sidor av den r?ta linjen $a$ (Fig. 1 ).

Bild 1.

Principen f?r att konstruera en dihedrisk vinkel ?r baserad p? detta axiom.

Definition 1

Figuren kallas dihedrisk vinkel om den best?r av en linje och tv? halvplan av denna linje som inte h?r till samma plan.

I detta fall kallas halvplanen f?r den dihedrala vinkeln ansikten, och den r?ta linjen som skiljer halvplanen - dihedral kant(Figur 1).

Figur 2. Dihedral vinkel

Gradm?tt f?r en dihedral vinkel

Definition 2

Vi v?ljer en godtycklig punkt $A$ p? kanten. Vinkeln mellan tv? linjer som ligger i olika halvplan, vinkelr?ta mot kanten och sk?r i punkten $A$ kallas linj?r vinkel dihedral vinkel(Fig. 3).

Figur 3

Uppenbarligen har varje dihedrisk vinkel ett o?ndligt antal linj?ra vinklar.

Sats 1

Alla linj?ra vinklar i en dihedrisk vinkel ?r lika med varandra.

Bevis.

Betrakta tv? linj?ra vinklar $AOB$ och $A_1(OB)_1$ (Fig. 4).

Figur 4

Eftersom str?larna $OA$ och $(OA)_1$ ligger i samma halvplan $\alpha $ och ?r vinkelr?ta mot en r?t linje, ?r de samriktade. Eftersom str?larna $OB$ och $(OB)_1$ ligger i samma halvplan $\beta $ och ?r vinkelr?ta mot en r?t linje, ?r de samriktade. F?ljaktligen

\[\vinkel AOB=\vinkel A_1(OB)_1\]

P? grund av det godtyckliga valet av linj?ra vinklar. Alla linj?ra vinklar i en dihedrisk vinkel ?r lika med varandra.

Teoremet har bevisats.

Definition 3

Gradm?ttet f?r en dihedrisk vinkel ?r gradm?ttet f?r en linj?r vinkel f?r en dihedrisk vinkel.

Uppgiftsexempel

Exempel 1

L?t oss ges tv? icke-vinkelr?ta plan $\alpha $ och $\beta $ som sk?r l?ngs linjen $m$. Punkten $A$ tillh?r planet $\beta $. $AB$ ?r vinkelr?t mot linjen $m$. $AC$ ?r vinkelr?t mot planet $\alpha $ (punkten $C$ tillh?r $\alpha $). Bevisa att vinkeln $ABC$ ?r en linj?r vinkel f?r den dihedriska vinkeln.

Bevis.

L?t oss rita en bild enligt problemets tillst?nd (fig. 5).

Bild 5

F?r att bevisa detta minns vi f?ljande sats

Sats 2: En r?t linje som g?r genom basen av en lutande linje, vinkelr?t mot den, ?r vinkelr?t mot dess projektion.

Eftersom $AC$ ?r en vinkelr?t mot $\alpha $-planet, s? ?r punkten $C$ projektionen av punkten $A$ p? $\alpha $-planet. D?rf?r ?r $BC$ projektionen av den sneda $AB$. Enligt sats 2 ?r $BC$ vinkelr?t mot kanten av en dihedrisk vinkel.

D? uppfyller vinkeln $ABC$ alla krav f?r att definiera den linj?ra vinkeln f?r en dihedrisk vinkel.

Exempel 2

Den dihedriska vinkeln ?r $30^\circ$. P? en av sidorna ligger punkten $A$, som ?r p? ett avst?nd av $4$ cm fr?n den andra ytan.. Hitta avst?ndet fr?n punkten $A$ till kanten av dihedrisk vinkel.

L?sning.

L?t oss titta p? figur 5.

Som antagande har vi $AC=4\ cm$.

Per definition av gradm?ttet f?r en dihedrisk vinkel har vi att vinkeln $ABC$ ?r lika med $30^\cirkel$.

Triangel $ABC$ ?r en r?tvinklig triangel. Per definition av sinus f?r en spetsig vinkel

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Begreppet en dihedral vinkel

F?r att introducera begreppet en dihedrisk vinkel, minns vi f?rst ett av stereometrins axiom.

Vilket plan som helst kan delas upp i tv? halvplan av linjen $a$ som ligger i detta plan. I det h?r fallet ?r punkterna som ligger i samma halvplan p? samma sida av den r?ta linjen $a$, och punkterna som ligger i olika halvplan ?r p? motsatta sidor av den r?ta linjen $a$ (Fig. 1 ).

Bild 1.

Principen f?r att konstruera en dihedrisk vinkel ?r baserad p? detta axiom.

Definition 1

Figuren kallas dihedrisk vinkel om den best?r av en linje och tv? halvplan av denna linje som inte h?r till samma plan.

I detta fall kallas halvplanen f?r den dihedrala vinkeln ansikten, och den r?ta linjen som skiljer halvplanen - dihedral kant(Figur 1).

Figur 2. Dihedral vinkel

Gradm?tt f?r en dihedral vinkel

Definition 2

Vi v?ljer en godtycklig punkt $A$ p? kanten. Vinkeln mellan tv? linjer som ligger i olika halvplan, vinkelr?ta mot kanten och sk?r i punkten $A$ kallas linj?r vinkel dihedral vinkel(Fig. 3).

Figur 3

Uppenbarligen har varje dihedrisk vinkel ett o?ndligt antal linj?ra vinklar.

Sats 1

Alla linj?ra vinklar i en dihedrisk vinkel ?r lika med varandra.

Bevis.

Betrakta tv? linj?ra vinklar $AOB$ och $A_1(OB)_1$ (Fig. 4).

Figur 4

Eftersom str?larna $OA$ och $(OA)_1$ ligger i samma halvplan $\alpha $ och ?r vinkelr?ta mot en r?t linje, ?r de samriktade. Eftersom str?larna $OB$ och $(OB)_1$ ligger i samma halvplan $\beta $ och ?r vinkelr?ta mot en r?t linje, ?r de samriktade. F?ljaktligen

\[\vinkel AOB=\vinkel A_1(OB)_1\]

P? grund av det godtyckliga valet av linj?ra vinklar. Alla linj?ra vinklar i en dihedrisk vinkel ?r lika med varandra.

Teoremet har bevisats.

Definition 3

Gradm?ttet f?r en dihedrisk vinkel ?r gradm?ttet f?r en linj?r vinkel f?r en dihedrisk vinkel.

Uppgiftsexempel

Exempel 1

L?t oss ges tv? icke-vinkelr?ta plan $\alpha $ och $\beta $ som sk?r l?ngs linjen $m$. Punkten $A$ tillh?r planet $\beta $. $AB$ ?r vinkelr?t mot linjen $m$. $AC$ ?r vinkelr?t mot planet $\alpha $ (punkten $C$ tillh?r $\alpha $). Bevisa att vinkeln $ABC$ ?r en linj?r vinkel f?r den dihedriska vinkeln.

Bevis.

L?t oss rita en bild enligt problemets tillst?nd (fig. 5).

Bild 5

F?r att bevisa detta minns vi f?ljande sats

Sats 2: En r?t linje som g?r genom basen av en lutande linje, vinkelr?t mot den, ?r vinkelr?t mot dess projektion.

Eftersom $AC$ ?r en vinkelr?t mot $\alpha $-planet, s? ?r punkten $C$ projektionen av punkten $A$ p? $\alpha $-planet. D?rf?r ?r $BC$ projektionen av den sneda $AB$. Enligt sats 2 ?r $BC$ vinkelr?t mot kanten av en dihedrisk vinkel.

D? uppfyller vinkeln $ABC$ alla krav f?r att definiera den linj?ra vinkeln f?r en dihedrisk vinkel.

Exempel 2

Den dihedriska vinkeln ?r $30^\circ$. P? en av sidorna ligger punkten $A$, som ?r p? ett avst?nd av $4$ cm fr?n den andra ytan.. Hitta avst?ndet fr?n punkten $A$ till kanten av dihedrisk vinkel.

L?sning.

L?t oss titta p? figur 5.

Som antagande har vi $AC=4\ cm$.

Per definition av gradm?ttet f?r en dihedrisk vinkel har vi att vinkeln $ABC$ ?r lika med $30^\cirkel$.

Triangel $ABC$ ?r en r?tvinklig triangel. Per definition av sinus f?r en spetsig vinkel

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

TEXT F?RKLARING AV LEKTIONEN:

Inom planimetri ?r huvudobjekten linjer, segment, str?lar och punkter. Str?lar som utg?r fr?n en punkt bildar en av deras geometriska former - en vinkel.

Vi vet att en linj?r vinkel m?ts i grader och radianer.

I stereometri l?ggs ett plan till objekt. Figuren som bildas av en r?t linje a och tv? halvplan med en gemensam gr?ns a som inte h?r till samma plan i geometrin kallas en dihedrisk vinkel. Halvplan ?r ytorna i en dihedrisk vinkel. Den r?ta linjen a ?r kanten p? den dihedrala vinkeln.

En dihedrisk vinkel, som en linj?r vinkel, kan namnges, m?tas, byggas. Detta ?r vad vi ska ta reda p? i den h?r lektionen.

Hitta dihedrisk vinkel p? ABCD-tetraedermodellen.

En dihedrisk vinkel med en kant AB kallas CABD, d?r C- och D-punkter tillh?r olika ytor av vinkeln och kanten AB kallas i mitten

Runt omkring oss finns det en m?ngd f?rem?l med element i form av en dihedrisk vinkel.

I m?nga st?der har s?rskilda b?nkar f?r f?rsoning installerats i parker. B?nken ?r gjord i form av tv? lutande plan som konvergerar mot mitten.

Vid byggande av hus anv?nds ofta det s? kallade sadeltaket. Taket p? detta hus ?r gjort i form av en dihedral vinkel p? 90 grader.

Den dihedriska vinkeln m?ts ocks? i grader eller radianer, men hur man m?ter den.

Det ?r intressant att notera att hustaken ligger p? takbj?lken. Och takbj?lken bildar tv? taklutningar i en given vinkel.

L?t oss ?verf?ra bilden till ritningen. I ritningen, f?r att hitta en dihedrisk vinkel, markeras punkt B p? dess kant. Fr?n denna punkt ritas tv? balkar BA och BC vinkelr?tt mot kanten av vinkeln. Vinkeln ABC som bildas av dessa str?lar kallas den linj?ra vinkeln f?r den dihedriska vinkeln.

Gradm?ttet f?r en dihedrisk vinkel ?r lika med gradm?ttet f?r dess linj?ra vinkel.

L?t oss m?ta vinkeln AOB.

Gradm?ttet f?r en given dihedrisk vinkel ?r sextio grader.

Du kan rita ett o?ndligt antal linj?ra vinklar f?r en dihedrisk vinkel, det ?r viktigt att veta att de alla ?r lika.

Betrakta tv? linj?ra vinklar AOB och A1O1B1. Str?larna OA och O1A1 ligger i samma yta och ?r vinkelr?ta mot den r?ta linjen OO1, s? de ?r samriktade. Str?lar OB och O1B1 ?r ocks? samstyrda. D?rf?r ?r vinkeln AOB lika med vinkeln A1O1B1 som vinklar med samriktningssidor.

S? en dihedrisk vinkel k?nnetecknas av en linj?r vinkel, och linj?ra vinklar ?r spetsiga, trubbiga och r?ta. T?nk p? modeller av dihedriska vinklar.

En trubbig vinkel ?r en vars linj?ra vinkel ?r mellan 90 och 180 grader.

En r?t vinkel om dess linj?ra vinkel ?r 90 grader.

En spetsig vinkel, om dess linj?ra vinkel ?r mellan 0 och 90 grader.

L?t oss bevisa en av de viktiga egenskaperna hos en linj?r vinkel.

Planet f?r en linj?r vinkel ?r vinkelr?t mot kanten av den dihedriska vinkeln.

L?t vinkeln AOB vara den linj?ra vinkeln f?r den givna dihedriska vinkeln. Genom konstruktion ?r str?larna AO och OB vinkelr?ta mot den r?ta linjen a.

Planet AOB g?r genom tv? sk?rande linjer AO och OB enligt satsen: Ett plan passerar tv? sk?rande linjer och dessutom bara en.

Linjen a ?r vinkelr?t mot tv? sk?rande linjer som ligger i detta plan, vilket betyder att linjen a ?r vinkelr?t mot planet AOB med tecknet p? linjens och planets vinkelr?thet.

F?r att l?sa problem ?r det viktigt att kunna bygga en linj?r vinkel av en given dihedrisk vinkel. Konstruera den linj?ra vinkeln f?r den dihedriska vinkeln med kanten AB f?r tetraedern ABCD.

Vi talar om en dihedrisk vinkel, som f?r det f?rsta bildas av kanten AB, en fasett ABD, den andra facetten ABC.

H?r ?r ett s?tt att bygga.

L?t oss rita en vinkelr?t fr?n punkt D till planet ABC, markera punkten M som bas f?r vinkelr?t. Kom ih?g att i en tetraeder sammanfaller basen av vinkelr?t med mitten av den inskrivna cirkeln i basen av tetraedern.

Rita en lutning fr?n punkt D vinkelr?t mot kanten AB, markera punkt N som basen f?r lutningen.

I triangeln DMN kommer segmentet NM att vara projektionerna av den sneda DN p? planet ABC. Enligt tre perpendikul?rsatsen kommer kanten AB att vara vinkelr?t mot projektionen NM.

Detta inneb?r att sidorna av vinkeln DNM ?r vinkelr?ta mot kanten AB, vilket inneb?r att den konstruerade vinkeln DNM ?r den linj?ra vinkeln som kr?vs.

Betrakta ett exempel p? att l?sa problemet med att ber?kna dihedrisk vinkel.

Likbent triangel ABC och vanlig triangel ADB ligger inte i samma plan. Segmentet CD ?r vinkelr?t mot planet ADB. Hitta dihedrisk vinkel DABC om AC=CB=2cm, AB=4cm.

Den dihedriska vinkeln DABC ?r lika med dess linj?ra vinkel. L?t oss bygga det h?r h?rnet.

L?t oss rita en sned CM vinkelr?tt mot kanten AB, eftersom triangeln ACB ?r likbent, d? kommer punkten M att sammanfalla med mittpunkten av kanten AB.

Linjen CD ?r vinkelr?t mot planet ADB, vilket betyder att den ?r vinkelr?t mot linjen DM som ligger i detta plan. Och segmentet MD ?r projektionen av den sneda SM p? planet ADB.

Linjen AB ?r vinkelr?t mot den sneda CM genom konstruktion, vilket inneb?r att den enligt tre vinkelr?ta satsen ?r vinkelr?t mot projektionen MD.

S? tv? perpendikul?ra CM och DM hittas till kanten AB. S? de bildar en linj?r vinkel СMD av en dihedrisk vinkel DABC. Och det ?terst?r f?r oss att hitta det fr?n den r?tta triangeln СDM.

Eftersom segmentet SM ?r medianen och h?jden av den likbenta triangeln ASV, s? ?r enligt Pythagoras sats SM:s ben 4 cm.

Fr?n en r?tvinklig DMB, enligt Pythagoras sats, ?r benet DM lika med tv? r?tter av tre.

Cosinus f?r en vinkel fr?n en r?tvinklig triangel ?r lika med f?rh?llandet mellan det intilliggande benet MD och hypotenusan CM och ?r lika med tre r?tter av tre g?nger tv?. S? vinkeln CMD ?r 30 grader.

Denna lektion ?r avsedd f?r sj?lvstudier av ?mnet "Dihedral vinkel". Under den h?r lektionen kommer eleverna att introduceras till en av de viktigaste geometriska formerna, den dihedriska vinkeln. Ocks? i lektionen m?ste vi l?ra oss hur man best?mmer den linj?ra vinkeln f?r den geometriska figuren i fr?ga och vad ?r den dihedriska vinkeln vid figurens bas.

L?t oss upprepa vad en vinkel p? ett plan ?r och hur den m?ts.

Ris. 1. Plan

Betrakta planet a (Fig. 1). Fr?n en punkt O tv? str?lar kommer ut OV och OA.

Definition. Figuren som bildas av tv? str?lar som emanerar fr?n samma punkt kallas en vinkel.

Vinkel m?ts i grader och radianer.

L?t oss komma ih?g vad en radian ?r.

Ris. 2. Radian

Om vi har en mittvinkel vars b?gl?ngd ?r lika med radien, s? kallas en s?dan mittvinkel en 1 radianvinkel. , ? AOB= 1 rad (fig. 2).

F?rh?llandet mellan radianer och grader.

glad.

Vi f?rst?r, glada. (). Sedan,

Definition. dihedrisk vinkel kallas en figur som bildas av en r?t linje a och tv? halvplan med en gemensam gr?ns a inte tillh?r samma plan.

Ris. 3. Halva plan

Betrakta tv? halvplan a och v (Fig. 3). Deras gemensamma gr?ns ?r a. Denna figur kallas en dihedral vinkel.

Terminologi

Halvplanen a och v ?r ytorna p? den dihedriska vinkeln.

Hetero a?r kanten p? en dihedrisk vinkel.

P? en gemensam kant a dihedral vinkel v?lj en godtycklig punkt O(Fig. 4). I halvplanet a fr?n punkten O?terst?ll vinkelr?t OA till en rak linje a. Fr?n samma punkt O i det andra halvplanet v konstruerar vi vinkelr?t OV till revbenet a. Fick en h?rna AOB, som kallas den linj?ra vinkeln f?r den dihedriska vinkeln.

Ris. 4. Dihedral vinkelm?tning

L?t oss bevisa likheten mellan alla linj?ra vinklar f?r en given dihedrisk vinkel.

L?t oss ha en dihedrisk vinkel (fig. 5). V?lj en punkt O och peka Ungef?r 1 p? en rak linje a. L?t oss konstruera en linj?r vinkel som motsvarar punkten O, d.v.s. vi ritar tv? vinkelr?ta OA och OV i planen a respektive v till kanten a. Vi f?rst?r vinkeln AOB?r den linj?ra vinkeln f?r den dihedriska vinkeln.

Ris. 5. Illustration av beviset

Fr?n en punkt Ungef?r 1 rita tv? vinkelr?ta OA 1 och OB 1 till revbenet a i planen a respektive v, och vi f?r den andra linj?ra vinkeln A 1 O 1 B 1.

Str?lar O 1 A 1 och OA co-directional, eftersom de ligger i samma halvplan och ?r parallella med varandra som tv? vinkelr?ta mot samma linje a.

Likas? str?lar Ungef?r 1 av 1 och OV inriktad, vilket betyder ? AOB =? A 1 O 1 B 1 som vinklar med samriktningssidor, vilket skulle bevisas.

Den linj?ra vinkelns plan ?r vinkelr?t mot kanten av den dihedriska vinkeln.

Bevisa: a ? AOW.

Ris. 6. Illustration av beviset

Bevis:

OA ? a genom konstruktion, OV ? a genom konstruktion (fig. 6).

Det f?rst?r vi a vinkelr?tt mot tv? sk?rande linjer OA och OV ut ur planet AOB, vilket betyder rak a vinkelr?tt mot planet OAB, vilket skulle bevisas.

En dihedrisk vinkel m?ts av dess linj?ra vinkel. Detta betyder att lika m?nga grader av radianer finns i en linj?r vinkel, lika m?nga grader av radianer finns i dess dihedriska vinkel. I enlighet med detta s?rskiljs f?ljande typer av dihedriska vinklar.

Sharp (bild 6)

En dihedrisk vinkel ?r spetsig om dess linj?ra vinkel ?r spetsig, dvs. .

Rak (bild 7)

Dihedrisk vinkel ?r r?tt n?r dess linj?ra vinkel ?r 90 ° - trubbig (fig. 8)

En dihedrisk vinkel ?r trubbig n?r dess linj?ra vinkel ?r trubbig, dvs. .

Ris. 7. R?tt vinkel

Ris. 8. Trubbig vinkel

Exempel p? att konstruera linj?ra vinklar i verkliga figurer

ABCD- tetraeder.

1. Konstruera en linj?r vinkel av en dihedrisk vinkel med en kant AB.

Ris. 9. Illustration f?r problemet

Byggnad:

Vi talar om en dihedral vinkel, som bildas av en kant AB och ansikten ABD och ABC(Fig. 9).

L?t oss rita en rak linje DH vinkelr?tt mot planet ABC, H?r basen av vinkelr?t. L?t oss rita en sned DM vinkelr?tt mot linjen AB,M- lutande bas. Genom de tre perpendikul?ra satsen drar vi slutsatsen att projektionen av snedst?llningen NM ocks? vinkelr?tt mot linjen AB.

Det vill s?ga fr?n punkten M?terst?llde tv? vinkelr?ta mot kanten AB p? tv? sidor ABD och ABC. Vi fick en linj?r vinkel DMN.

L?gg m?rke till att AB, kanten p? den dihedriska vinkeln, vinkelr?t mot den linj?ra vinkelns plan, d.v.s. planet DMN. Problemet l?st.

Kommentar. En dihedrisk vinkel kan betecknas enligt f?ljande: DABC, var

AB- kant och punkter D och FR?N ligga p? olika sidor av h?rnet.

2. Konstruera en linj?r vinkel av en dihedrisk vinkel med en kant AC.

L?t oss rita en vinkelr?t DH till planet ABC och snett DN vinkelr?tt mot linjen SOM. Genom tre vinkelr?ta satsen f?r vi det HN- sned projektion DN till planet ABC, ocks? vinkelr?tt mot linjen SOM.DNH- linj?r vinkel f?r en dihedrisk vinkel med en ribba AC.

i en tetraeder DABC alla kanter ?r lika. Punkt M- mitten av revbenet AC. Bevisa att vinkeln DMV- linj?r vinkel f?r dihedrisk vinkel DUD d.v.s. en dihedrisk vinkel med en kant AC. En av dess kanter ?r ACD, andra - DIA(Fig. 10).

Ris. 10. Illustration f?r problemet

L?sning:

Triangel ADC- liksidig, DM?r medianen och d?rav h?jden. Betyder att, DM ? SOM. Likas? triangeln AP?C- liksidig, P?M?r medianen och d?rav h?jden. Betyder att, VM ? SOM.

Allts? fr?n punkten M revben AC dihedral vinkel ?terst?lld tv? perpendicularer DM och VM till denna kant i den dihedriska vinkelns ytor.

S? ? DMP??r den linj?ra vinkeln f?r den dihedriska vinkeln, som skulle bevisas.

S? vi har definierat den dihedriska vinkeln, den linj?ra vinkeln f?r den dihedriska vinkeln.

I n?sta lektion kommer vi att ?verv?ga vinkelr?ta linjer och plan, sedan kommer vi att l?ra oss vad en dihedrisk vinkel ?r vid basen av figurerna.

Referenser om ?mnet "Dihedral vinkel", "Dihedral vinkel vid basen av geometriska figurer"

1. Geometri. ?rskurs 10-11: en l?robok f?r allm?nna l?roanstalter / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s .: ill.
2. Geometri. ?rskurs 10: en l?robok f?r allm?nna l?roanstalter med f?rdjupning och profilstudier i matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6:e upplagan, stereotyp. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: ill.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

L?xor om ?mnet "Dihedral vinkel", best?mning av den dihedriska vinkeln vid basen av figurerna

Geometri. ?rskurs 10-11: en l?robok f?r studenter vid utbildningsinstitutioner (grund- och profilniv?er) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5:e upplagan, korrigerad och kompletterad - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill.

Uppgifter 2, 3 s. 67.

Vad ?r den linj?ra vinkeln f?r en dihedrisk vinkel? Hur bygger man det?

ABCD- tetraeder. Konstruera en linj?r vinkel av en dihedrisk vinkel med en kant:

a) P?D b) DFR?N.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kub Rita linj?r vinkel f?r dihedral vinkel En 1 ABC med ett revben AB. Best?m dess gradm?tt.

Syftet med lektionen: introduktion av begreppet en dihedrisk vinkel och dess linj?ra vinkel.

Uppgifter:

Pedagogisk: att ?verv?ga uppgifter f?r till?mpningen av dessa begrepp, att bilda en konstruktiv f?rdighet att hitta vinkeln mellan plan;

Utvecklande: utveckling av kreativt t?nkande hos elever, personlig sj?lvutveckling av elever, utveckling av elevers tal;

Pedagogisk: utbildning av mentalt arbetes kultur, kommunikativ kultur, reflekterande kultur.

Lektionstyp: en lektion i att l?ra sig ny kunskap

L?r ut metoder: f?rklarande och illustrativt

Utrustning: dator, interaktiv whiteboard.

Litteratur:

Geometri. ?rskurs 10-11: l?robok. f?r 10-11 celler. Allm?n utbildning institutioner: grundl?ggande och profil. niv?er / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev och andra] - 18:e uppl. - M. : Utbildning, 2009. - 255 sid.

Lektionsplanering:

Organisatoriskt ?gonblick (2 min)

Uppdatera kunskap (5 min)

Att l?ra sig nytt material (12 min)

Konsolidering av det studerade materialet (21 min)

L?xor (2 min)

Sammanfattning (3 min)

Under lektionerna:

1. Organisatoriskt ?gonblick.

Inkluderar en h?lsning av klassens l?rare, f?rberedelse av rummet f?r lektionen, kontroll av fr?nvarande.

2. F?rverkligande av grundl?ggande kunskaper.

L?rare: P? f?rra lektionen skrev du ett sj?lvst?ndigt arbete. I allm?nhet var arbetet v?lskrivet. L?t oss nu upprepa lite. Vad kallas en vinkel p? ett plan?

Studerande: En vinkel i ett plan ?r en figur som bildas av tv? str?lar som utg?r fr?n en punkt.

L?rare: Vad kallas vinkeln mellan linjer i rymden?

Studerande: Vinkeln mellan tv? sk?rande linjer i rymden ?r den minsta av vinklarna som bildas av dessa linjers str?lar med spetsen vid sk?rningspunkten.

Studerande: Vinkeln mellan sk?rande linjer ?r vinkeln mellan sk?rande linjer, parallellt med datan.

L?rare: Vad kallas vinkeln mellan en linje och ett plan?

Studerande: Vinkel mellan linje och planVilken vinkel som helst mellan en r?t linje och dess projektion p? detta plan kallas.

3. Studie av nytt material.

L?rare: I stereometri, tillsammans med s?dana vinklar, anses en annan typ av vinklar - dihedriska vinklar. Du har f?rmodligen redan gissat vad ?mnet f?r dagens lektion ?r, s? ?ppna dina anteckningsb?cker, skriv ner dagens datum och ?mnet f?r lektionen.

Skriva p? tavlan och i anteckningsb?cker:

10.12.14.

Dihedral vinkel.

L?rare : F?r att introducera konceptet med en dihedrisk vinkel, b?r man komma ih?g att varje r?t linje som ritas i ett givet plan delar detta plan i tv? halvplan(Fig. 1a)

L?rare : L?t oss f?rest?lla oss att vi har b?jt planet l?ngs en r?t linje s? att tv? halvplan med gr?nsen visade sig inte l?ngre ligga i samma plan (fig. 1, b). Den resulterande figuren ?r den dihedriska vinkeln. En dihedral vinkel ?r en figur som bildas av en r?t linje och tv? halvplan med en gemensam gr?ns som inte h?r till samma plan. Halvplanen som bildar en dihedrisk vinkel kallas dess ytor. En dihedral vinkel har tv? ytor, d?rav namnet - dihedral vinkel. Den r?ta linjen - den gemensamma gr?nsen f?r halvplanen - kallas kanten p? den dihedrala vinkeln. Skriv definitionen i din anteckningsbok.

En dihedral vinkel ?r en figur som bildas av en r?t linje och tv? halvplan med en gemensam gr?ns som inte h?r till samma plan.

L?rare : I vardagen m?ter vi ofta f?rem?l som har formen av en dihedrisk vinkel. Ge exempel.

Studerande : Halv?ppen mapp.

Studerande : Rummets v?gg tillsammans med golvet.

Studerande : Sadeltak p? byggnader.

L?rare : R?tt. Och det finns m?nga s?dana exempel.

L?rare : Som du vet m?ts vinklar p? ett plan i grader. Du har s?kert en fr?ga, men hur m?ts dihedriska vinklar? Detta g?rs p? f?ljande s?tt.Vi markerar en punkt p? kanten av den dihedriska vinkeln, och i varje ansikte fr?n denna punkt ritar vi en str?le vinkelr?t mot kanten. Vinkeln som bildas av dessa str?lar kallas den linj?ra vinkeln f?r den dihedrala vinkeln. G?r en ritning i dina anteckningsb?cker.

Skriva p? tavlan och i anteckningsb?cker.

O ? a, AO ? a, VO ? a, SABD- dihedral vinkel,? AOB?r den linj?ra vinkeln f?r den dihedriska vinkeln.

L?rare : Alla linj?ra vinklar i en dihedrisk vinkel ?r lika. G?r dig sj?lv n?got s?nt h?r.

L?rare : L?t oss bevisa det. Betrakta tv? linj?ra vinklar AOB ochPQR. Rays OA ochQPligga p? samma ansikte och ?r vinkelr?taO Q, vilket betyder att de ?r justerade. Likas? str?larna OB ochQRsamregisserad. Betyder att,? AOB= ? PQR(som vinklar med samriktade sidor).

L?rare : Tja, nu ?r svaret p? v?r fr?ga hur den dihedriska vinkeln m?ts.Gradm?ttet f?r en dihedrisk vinkel ?r gradm?ttet p? dess linj?ra vinkel. Rita om ritningarna av en spetsig, h?ger och trubbig dihedral vinkel fr?n l?roboken p? sidan 48.

4. Konsolidering av det studerade materialet.

L?rare : G?r ritningar f?r uppgifter.

№ 1 . Givet: DABC, AC = BC, AB ligger i planeta, CD ? a, C? a. Konstruera linj?r vinkel f?r dihedrisk vinkelCABD.

Studerande : L?sning:CENTIMETER ? AB, DC ? AB.? cmd - ?nskad.

№ 2. Givet: DABC, ? C= 90°, BC ligger plana, AO? a, A? a.

Konstruera linj?r vinkel f?r dihedrisk vinkelAVSO.

Studerande : L?sning:AB ? f?re Kristus, JSC? Sol betyder OS? Sol.? ACO - ?nskad.

№ 3 . Givet: DABC, ? C \u003d 90 °, AB ligger i planeta, CD? a, C? a. Byggalinj?r dihedral vinkelDABC.

Studerande : L?sning: CK ? AB, DC ? AB,DK ? AB betyder? DKC - ?nskad.

№ 4 . Given:DABC- tetraeder,DO? ABC.Konstruera den linj?ra vinkeln f?r den dihedriska vinkelnABCD.

Studerande : L?sning:DM ? Sol,DO ? BC betyder OM? Sol;? OMD - ?nskad.

5. Sammanfattning.

L?rare: Vad l?rde du dig f?r nytt p? lektionen idag?

Studenter : Det som kallas dihedral vinkel, linj?r vinkel, hur dihedral vinkel m?ts.

L?rare : Vad upprepade du?

Studenter : Vad som kallas en vinkel p? ett plan; vinkel mellan linjer.

6. L?xor.

Skriver p? tavlan och i dagb?ckerna: punkt 22, nr 167, nr 170.