I den h?r lektionen kommer du att l?ra dig hur du omvandlar ett uttryck som inneh?ller parenteser till ett uttryck som inte inneh?ller parenteser. Du l?r dig hur du ?ppnar parenteser som f?reg?s av ett plustecken och ett minustecken. Vi kommer ih?g hur man ?ppnar parenteser med hj?lp av den distributiva lagen f?r multiplikation. De ?verv?gda exemplen g?r det m?jligt att koppla nytt och tidigare studerat material till en helhet.

?mne: Ekvationsl?sning

Lektion: Utvidgning av parenteser

Hur man ?ppnar parenteser som f?reg?s av ett "+"-tecken. Anv?ndning av den associativa lagen om addition.

Om du beh?ver l?gga till summan av tv? tal till ett tal, kan du l?gga till den f?rsta termen till detta tal och sedan den andra.

Till v?nster om likhetstecknet finns ett uttryck med parentes, och till h?ger ?r ett uttryck utan parentes. Detta inneb?r att n?r man passerade fr?n v?nster sida av j?mlikheten till h?ger sida, ?ppnades parenteserna.

T?nk p? exempel.

Exempel 1

Genom att ut?ka parenteserna ?ndrade vi ordningen p? operationerna. Det har blivit bekv?mare att r?kna.

Exempel 2

Exempel 3

Observera att i alla tre exemplen tog vi helt enkelt bort parenteserna. L?t oss formulera regeln:

Kommentar.

Om den f?rsta termen inom parentes ?r osignerad, m?ste den skrivas med ett plustecken.

Du kan f?lja exemplet steg f?r steg. L?gg f?rst till 445 till 889. Denna mentala handling kan utf?ras, men det ?r inte s?rskilt l?tt. L?t oss ?ppna parenteserna och se att den ?ndrade operationsordningen kommer att f?renkla ber?kningarna avsev?rt.

Om du f?ljer den angivna ordningen p? ?tg?rder m?ste du f?rst subtrahera 345 fr?n 512 och sedan l?gga till 1345. Genom att ut?ka parenteserna kommer vi att ?ndra ordningen p? ?tg?rderna och f?renkla ber?kningarna avsev?rt.

Belysande exempel och regel.

T?nk p? ett exempel: . Du kan hitta v?rdet p? uttrycket genom att l?gga till 2 och 5 och sedan ta det resulterande talet med motsatt tecken. Vi f?r -7.

? andra sidan kan samma resultat erh?llas genom att l?gga till de motsatta talen.

L?t oss formulera regeln:

Exempel 1

Exempel 2

Regeln ?ndras inte om det inte finns tv?, utan tre eller fler termer inom parentes.

Exempel 3

Kommentar. Tecken v?nds endast framf?r termerna.

F?r att ?ppna parenteserna, i det h?r fallet, m?ste vi ?terkalla den distribuerande egendomen.

Multiplicera f?rst den f?rsta parentesen med 2 och den andra med 3.

Den f?rsta parentesen f?reg?s av ett "+"-tecken, vilket inneb?r att tecknen m?ste l?mnas of?r?ndrade. Det andra f?reg?s av ett "-"-tecken, d?rf?r m?ste alla tecken v?ndas om

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6:e klass. - Gymnastiksal, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bakom sidorna i en l?robok i matematik. - Upplysningen, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Uppgifter f?r kursen matematik ?rskurs 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. En manual f?r elever i 6:e klass p? MEPhI-korrespondensskolan. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: L?robok-samtalare f?r 5-6 ?rskurser p? gymnasiet. Bibliotek f?r l?raren i matematik. - Upplysningen, 1989.

1. Matematikprov online ().
2. Du kan ladda ner de som anges i klausul 1.2. b?cker().

L?xa

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (se l?nk 1.2)
2. L?xor: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
3. ?vriga uppdrag: nr 1258(c), nr 1248

P? 500-talet f.Kr. formulerade den antika grekiske filosofen Zeno av Elea sina ber?mda aporier, den mest k?nda av dessa ?r aporian "Akilles och sk?ldpaddan". S? h?r l?ter det:

L?t oss s?ga att Akilles springer tio g?nger snabbare ?n sk?ldpaddan och ?r tusen steg bakom den. Under tiden som Akilles springer denna str?cka, kryper sk?ldpaddan hundra steg ?t samma h?ll. N?r Akilles har sprungit hundra steg kommer sk?ldpaddan att krypa ytterligare tio steg, och s? vidare. Processen kommer att forts?tta p? obest?md tid, Achilles kommer aldrig ikapp sk?ldpaddan.

Detta resonemang blev en logisk chock f?r alla efterf?ljande generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alla ans?g de, p? ett eller annat s?tt, Zenons aporier. Chocken var s? stark att " ... diskussionerna forts?tter f?r n?rvarande, det vetenskapliga samfundet har ?nnu inte lyckats komma till en gemensam ?sikt om essensen av paradoxer ... matematisk analys, m?ngdteori, nya fysiska och filosofiska tillv?gag?ngss?tt var involverade i studien av fr?gan ; ingen av dem blev en universellt accepterad l?sning p? problemet ..."[Wikipedia," Zenos Aporias "]. Alla f?rst?r att de blir lurade, men ingen f?rst?r vad bedr?geriet ?r.

Ur matematikens synvinkel visade Zeno i sin aporia tydligt ?verg?ngen fr?n v?rdet till. Denna ?verg?ng inneb?r att till?mpa ist?llet f?r konstanter. S?vitt jag f?rst?r har den matematiska apparaten f?r att till?mpa variabla m?ttenheter antingen inte utvecklats ?nnu, eller s? har den inte till?mpats p? Zenos aporia. Till?mpningen av v?r vanliga logik leder oss in i en f?lla. Vi, genom t?nkandets tr?ghet, till?mpar konstanta tidsenheter p? det ?msesidiga. Ur fysisk synvinkel ser det ut som att tiden saktar ner till helt stopp i det ?gonblick d? Akilles kommer ikapp sk?ldpaddan. Om tiden stannar kan Akilles inte l?ngre k?ra om sk?ldpaddan.

V?nder vi p? logiken vi ?r vana vid faller allt p? plats. Akilles springer i konstant hastighet. Varje efterf?ljande segment av dess v?g ?r tio g?nger kortare ?n den f?reg?ende. F?ljaktligen ?r tiden f?r att ?vervinna det tio g?nger mindre ?n den f?reg?ende. Om vi till?mpar begreppet "o?ndlighet" i den h?r situationen, s? skulle det vara korrekt att s?ga "Akilles kommer o?ndligt snabbt att g? om sk?ldpaddan."

Hur undviker man denna logiska f?lla? F?rbli i konstanta tidsenheter och byt inte till ?msesidiga v?rden. P? Zenos spr?k ser det ut s? h?r:

Under den tid det tar Akilles att springa tusen steg, kryper sk?ldpaddan hundra steg ?t samma h?ll. Under n?sta tidsintervall, lika med det f?rsta, kommer Akilles att springa ytterligare tusen steg, och sk?ldpaddan kommer att krypa hundra steg. Nu ?r Akilles ?ttahundra steg f?re sk?ldpaddan.

Detta tillv?gag?ngss?tt beskriver verkligheten adekvat utan n?gra logiska paradoxer. Men detta ?r inte en fullst?ndig l?sning p? problemet. Einsteins uttalande om ljusets hastighets o?verstiglighet ?r mycket lik Zenons aporia "Akilles och sk?ldpaddan". Vi har ?nnu inte studerat, ompr?vat och l?st detta problem. Och l?sningen m?ste s?kas inte i o?ndligt stora antal, utan i m?ttenheter.

En annan intressant aporia av Zeno ber?ttar om en flygande pil:

En flygande pil ?r or?rlig, eftersom den vid varje tidpunkt ?r i vila, och eftersom den ?r i vila vid varje tidpunkt, ?r den alltid i vila.

I denna aporia ?vervinns den logiska paradoxen mycket enkelt - det r?cker f?r att klarg?ra att den flygande pilen vid varje tidpunkt ?r i vila p? olika punkter i rymden, vilket i sj?lva verket ?r r?relse. Det finns en annan punkt att notera h?r. Fr?n ett fotografi av en bil p? v?gen ?r det om?jligt att avg?ra vare sig r?relsen eller avst?ndet till den. F?r att fastst?lla faktumet av bilens r?relse beh?vs tv? fotografier tagna fr?n samma punkt vid olika tidpunkter, men de kan inte anv?ndas f?r att best?mma avst?ndet. F?r att best?mma avst?ndet till bilen beh?ver du tv? fotografier tagna fr?n olika punkter i rymden samtidigt, men du kan inte best?mma r?relsen fr?n dem (naturligtvis beh?ver du fortfarande ytterligare data f?r ber?kningar, trigonometri hj?lper dig) . Det jag s?rskilt vill p?peka ?r att tv? punkter i tid och tv? punkter i rymden ?r tv? olika saker som inte ska blandas ihop d? de ger olika m?jligheter till utforskning.

Onsdagen den 4 juli 2018

Mycket bra beskrivs skillnaderna mellan set och multiset i Wikipedia. Vi kollar.

Som du kan se kan "upps?ttningen inte ha tv? identiska element", men om det finns identiska element i upps?ttningen kallas en s?dan upps?ttning "multiset". F?rnuftiga varelser kommer aldrig att f?rst? en s?dan absurditetslogik. Detta ?r niv?n av pratande papegojor och tr?nade apor, d?r sinnet ?r fr?nvarande fr?n ordet "helt". Matematiker fungerar som vanliga tr?nare och predikar sina absurda id?er f?r oss.

En g?ng i tiden befann sig ingenj?rerna som byggde bron i en b?t under bron under testerna av bron. Om bron kollapsade, dog den mediokra ingenj?ren under spillrorna av sin skapelse. Om bron kunde st? emot belastningen byggde den beg?vade ingenj?ren andra broar.

Oavsett hur matematiker g?mmer sig bakom frasen "mind me, I'm in the house", eller snarare "matematiken studerar abstrakta begrepp", s? finns det en navelstr?ng som ouppl?sligt f?rbinder dem med verkligheten. Den h?r navelstr?ngen ?r pengar. L?t oss till?mpa matematisk m?ngdl?ra p? matematikerna sj?lva.

Vi studerade matematik v?ldigt bra och nu sitter vi vid kassan och betalar l?ner. H?r kommer en matematiker till oss f?r sina pengar. Vi r?knar hela beloppet till honom och l?gger ut det p? v?rt bord i olika h?gar, i vilka vi l?gger sedlar av samma val?r. Sedan tar vi en sedel fr?n varje h?g och ger matematikern hans "matematiska l?neupps?ttning". Vi f?rklarar matematiken att han kommer att f? resten av r?kningarna f?rst n?r han bevisar att m?ngden utan identiska element inte ?r lika med m?ngden med identiska element. Det ?r h?r det roliga b?rjar.

F?rst och fr?mst kommer st?llf?retr?darnas logik att fungera: "du kan till?mpa det p? andra, men inte p? mig!" Vidare b?rjar f?rs?kringar att det finns olika sedelnummer p? sedlar med samma val?r, vilket inneb?r att de inte kan anses vara identiska element. Jo, vi r?knar l?nen i mynt – det finns inga siffror p? mynten. H?r kommer matematikern frenetiskt att minnas fysiken: olika mynt har olika m?ngd smuts, kristallstrukturen och arrangemanget av atomer f?r varje mynt ?r unik ...

Och nu har jag den mest intressanta fr?gan: var g?r gr?nsen bortom vilken element i en multiset f?rvandlas till element i en upps?ttning och vice versa? En s?dan linje finns inte - allt best?ms av shamaner, vetenskapen h?r ?r inte ens n?ra.

Titta h?r. Vi v?ljer fotbollsarenor med samma planyta. Arean av f?lten ?r densamma, vilket betyder att vi har en multiset. Men om vi t?nker p? namnen p? samma arenor f?r vi mycket, eftersom namnen ?r olika. Som du kan se ?r samma upps?ttning element b?de en upps?ttning och en multiupps?ttning p? samma g?ng. Hur r?tt? Och h?r tar matematiker-shaman-shullaren fram ett trumfess ur ?rmen och b?rjar ber?tta antingen om en set eller en multiset. Han kommer i alla fall att ?vertyga oss om att han har r?tt.

F?r att f?rst? hur moderna shamaner arbetar med m?ngdteori och knyter den till verkligheten r?cker det med att svara p? en fr?ga: hur skiljer sig elementen i en upps?ttning fr?n elementen i en annan upps?ttning? Jag ska visa dig, utan n?gon "t?nkbar som inte en enda helhet" eller "inte t?nkbar som en enda helhet."

S?ndagen den 18 mars 2018

Summan av siffrorna i ett tal ?r en dans av shamaner med en tamburin, som inte har n?got med matematik att g?ra. Ja, p? matematiklektionerna l?r vi oss att hitta summan av siffrorna i ett tal och anv?nda den, men de ?r shamaner f?r det, f?r att l?ra sina efterkommande deras f?rdigheter och visdom, annars kommer shamaner helt enkelt att d? ut.

Beh?ver du bevis? ?ppna Wikipedia och f?rs?k hitta sidan "Summan av siffror f?r ett tal". Hon finns inte. Det finns ingen formel i matematik med vilken du kan hitta summan av siffrorna i vilket tal som helst. Siffror ?r trots allt grafiska symboler som vi skriver siffror med, och p? matematikens spr?k l?ter uppgiften s? h?r: "Hitta summan av grafiska symboler som representerar vilket tal som helst." Matematiker kan inte l?sa detta problem, men shamaner kan g?ra det element?rt.

L?t oss ta reda p? vad och hur vi g?r f?r att hitta summan av siffrorna i ett givet tal. Och s?, l?t oss s?ga att vi har numret 12345. Vad beh?ver g?ras f?r att hitta summan av siffrorna i detta nummer? L?t oss ?verv?ga alla steg i ordning.

1. Skriv ner numret p? ett papper. Vad har vi gjort? Vi har konverterat numret till en grafisk nummersymbol. Detta ?r inte en matematisk operation.

2. Vi klippte en mottagen bild i flera bilder med separata nummer. Att klippa en bild ?r inte en matematisk operation.

3. Konvertera enskilda grafiska tecken till siffror. Detta ?r inte en matematisk operation.

4. L?gg ihop de resulterande siffrorna. Nu ?r det matematik.

Summan av siffrorna i numret 12345 ?r 15. Dessa ?r "klipp- och sykurserna" fr?n shamaner som anv?nds av matematiker. Men det ?r inte allt.

Ur matematikens synvinkel spelar det ingen roll i vilket talsystem vi skriver talet. S? i olika talsystem kommer summan av siffrorna i samma nummer att vara olika. I matematiken anges siffersystemet som en s?nkning till h?ger om numret. Med ett stort antal 12345 vill jag inte lura mitt huvud, t?nk p? siffran 26 fr?n artikeln om. L?t oss skriva detta tal i bin?ra, oktala, decimala och hexadecimala talsystem. Vi kommer inte att ?verv?ga varje steg under ett mikroskop, det har vi redan gjort. L?t oss titta p? resultatet.

Som du kan se, i olika talsystem ?r summan av siffrorna i samma nummer olika. Detta resultat har ingenting med matematik att g?ra. Det ?r som att hitta arean av en rektangel i meter och centimeter skulle ge dig helt andra resultat.

Noll i alla talsystem ser likadant ut och har ingen siffror. Detta ?r ytterligare ett argument f?r det faktum att . En fr?ga till matematiker: hur betecknas det i matematiken det som inte ?r ett tal? Vad, f?r matematiker, finns inget annat ?n siffror? F?r shamaner kan jag till?ta detta, men f?r vetenskapsm?n, nej. Verkligheten handlar inte bara om siffror.

Det erh?llna resultatet b?r betraktas som ett bevis p? att talsystem ?r m?ttenheter f?r tal. Vi kan trots allt inte j?mf?ra siffror med olika m?ttenheter. Om samma ?tg?rder med olika m?ttenheter av samma kvantitet leder till olika resultat efter att ha j?mf?rt dem, s? har detta inget med matematik att g?ra.

Vad ?r riktig matematik? Detta ?r n?r resultatet av en matematisk ?tg?rd inte beror p? v?rdet p? talet, vilken m?ttenhet som anv?nds och p? vem som utf?r denna ?tg?rd.

Skylt p? d?rren ?ppnar d?rren och s?ger:

aj! ?r inte det h?r damtoaletten?
- Ung kvinna! Detta ?r ett laboratorium f?r att studera sj?larnas obest?mda helighet vid uppstigning till himlen! Nimbus p? toppen och pil upp. Vilken annan toalett?

Hona... En gloria p? toppen och en pil ner ?r hane.

Om du har ett s?dant designkonstverk som blinkar framf?r dina ?gon flera g?nger om dagen,

D? ?r det inte f?rv?nande att du pl?tsligt hittar en konstig ikon i din bil:

Sj?lv anstr?nger jag mig f?r att se minus fyra grader hos en bajsande person (en bild) (sammans?ttning av flera bilder: minustecken, nummer fyra, gradersbeteckning). Och jag anser inte att den h?r tjejen ?r en d?re som inte kan fysik. Hon har bara en b?gestereotyp av uppfattning om grafiska bilder. Och matematiker l?r oss detta hela tiden. H?r ?r ett exempel.

1A ?r inte "minus fyra grader" eller "ett a". Det h?r ?r "bajsande man" eller siffran "tjugosex" i det hexadecimala talsystemet. De m?nniskor som st?ndigt arbetar i detta nummersystem uppfattar automatiskt siffran och bokstaven som en grafisk symbol.

Nu ska vi bara g? vidare till ?ppna parenteser i uttryck d?r uttrycket inom parentes multipliceras med ett tal eller uttryck. L?t oss formulera regeln f?r att ?ppna parenteser som f?reg?s av ett minustecken: parenteserna tillsammans med minustecknet utel?mnas, och tecknen f?r alla termer inom parentes ers?tts med motsatta.

En typ av uttrycksomvandling ?r parentesexpansion. Numeriska, bokstavliga och variabla uttryck ?r sammansatta med parenteser, som kan indikera i vilken ordning ?tg?rder utf?rs, inneh?lla ett negativt tal osv. L?t oss anta att i uttrycken som beskrivs ovan, ist?llet f?r siffror och variabler, kan det finnas vilka uttryck som helst.

Och l?t oss uppm?rksamma ytterligare en punkt ang?ende s?rdragen med att skriva l?sningen n?r du ?ppnar parenteserna. I f?reg?ende stycke behandlade vi det som kallas parentesexpansion. F?r att g?ra detta finns det regler f?r att ?ppna parenteser, som vi nu granskar. Denna regel dikteras av det faktum att det ?r vanligt att skriva positiva tal utan parenteser, parenteser i detta fall ?r on?diga. Uttrycket (-3.7)-(-2)+4+(-9) kan skrivas utan parentes som -3.7+2+4-9.

Slutligen beror den tredje delen av regeln helt enkelt p? s?rdragen med att skriva negativa tal till v?nster i uttrycket (som vi n?mnde i parentesavsnittet f?r att skriva negativa tal). Du kan st?ta p? uttryck som best?r av ett tal, minustecken och flera par av parenteser. Om du expanderar parenteserna och flyttar fr?n inre till yttre, s? blir l?sningen: -(-((-(5))))=-(-((-5)))=-(-(-5)) =-( 5)=-5.

Hur ?ppnar man f?sten?

H?r ?r en f?rklaring: -(-2 x) ?r +2 x, och eftersom detta uttryck kommer f?rst, kan +2 x skrivas som 2 x, -(x2)=-x2, +(-1/ x)= -1/x och -(2 x y2:z)=-2 x y2:z. Den f?rsta delen av den skrivna regeln f?r ?ppningsparentes f?ljer direkt av regeln f?r multiplicering av negativa tal. Den andra delen av den ?r en f?ljd av regeln f?r multiplicering av tal med olika tecken. L?t oss g? vidare till exempel p? expanderande parenteser i produkter och kvoter av tv? tal med olika tecken.

F?st?ppning: regler, exempel, l?sningar.

Ovanst?ende regel tar h?nsyn till hela kedjan av dessa ?tg?rder och p?skyndar avsev?rt processen att ?ppna parentes. Samma regel l?ter dig ?ppna parenteser i uttryck som ?r produkter och privata uttryck med ett minustecken som inte ?r summor och skillnader.

Betrakta exempel p? till?mpningen av denna regel. Vi ger motsvarande regel. Ovan har vi redan st?tt p? uttryck av formen -(a) och -(-a), som utan parentes skrivs som -a respektive a. Till exempel, -(3)=3, och. Det r?r sig om specialfall av den angivna regeln. Betrakta nu exempel p? ?ppningsparenteser n?r summor eller skillnader ?r inneslutna i dem. Vi kommer att visa exempel p? anv?ndningen av denna regel. Beteckna uttrycket (b1+b2) som b, varefter vi anv?nder regeln f?r att multiplicera parentes med uttrycket fr?n f?reg?ende stycke, vi har (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( alb+a2b)=a1b+a2b.

Genom induktion kan detta uttalande ut?kas till ett godtyckligt antal termer inom varje parentes. Det ?terst?r att ?ppna parenteserna i det resulterande uttrycket, med hj?lp av reglerna fr?n f?reg?ende stycken, som ett resultat f?r vi 1 3 x y-1 2 x y3-x 3 x y+x 2 x y3.

Regeln i matematik ?r ?ppningen av parenteser om det finns (+) och (-) framf?r parentes, en mycket n?dv?ndig regel

Detta uttryck ?r produkten av tre faktorer (2+4), 3 och (5+7 8). F?stena m?ste ?ppnas sekventiellt. Nu anv?nder vi regeln f?r att multiplicera en parentes med ett tal, vi har ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Grader, vars grunder ?r n?gra uttryck skrivna inom parentes, med naturliga exponenter kan betraktas som en produkt av flera parenteser.

L?t oss till exempel omvandla uttrycket (a+b+c)2. F?rst skriver vi det som en produkt av tv? parenteser (a + b + c) (a + b + c), nu multiplicerar vi parentesen med parentes, vi f?r a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Vi s?ger ocks? att f?r att h?ja summan och skillnaderna av tv? tal till en naturlig potens, ?r det l?mpligt att anv?nda Newtons binomialformel. Till exempel, (5+7-3):2=5:2+7:2-3:2. Det ?r inte mindre bekv?mt att prelimin?rt ers?tta division med multiplikation och sedan anv?nda l?mplig regel f?r att ?ppna parenteser i produkten.

Det ?terst?r att ta reda p? ordningen p? ?ppnande parenteser med hj?lp av exempel. Ta uttrycket (-5)+3 (-2):(-4)-6 (-7). Ers?tt dessa resultat i det ursprungliga uttrycket: (-5)+3 (-2):(-4)-6 (-7)=(-5)+(3 2:4)-(-6 7) . Det ?terst?r bara att slutf?ra ?ppningen av parenteserna, som ett resultat har vi -5+3 2:4+6 7. Detta inneb?r att n?r man passerade fr?n v?nster sida av j?mlikheten till h?ger sida, ?ppnades parenteserna.

Observera att i alla tre exemplen tog vi helt enkelt bort parenteserna. L?gg f?rst till 445 till 889. Denna mentala handling kan utf?ras, men det ?r inte s?rskilt l?tt. L?t oss ?ppna parenteserna och se att den ?ndrade operationsordningen kommer att f?renkla ber?kningarna avsev?rt.

Hur man ?ppnar parenteser i en annan grad

Belysande exempel och regel. T?nk p? ett exempel: . Du kan hitta v?rdet p? uttrycket genom att l?gga till 2 och 5 och sedan ta det resulterande talet med motsatt tecken. Regeln ?ndras inte om det inte finns tv?, utan tre eller fler termer inom parentes. Kommentar. Tecken v?nds endast framf?r termerna. F?r att ?ppna parenteserna, i det h?r fallet, m?ste vi ?terkalla den distribuerande egendomen.

Enstaka siffror inom parentes

Ditt misstag ligger inte i tecknen, utan i fel arbete med br?k? I 6:an bekantade vi oss med positiva och negativa tal. Hur ska vi l?sa exempel och ekvationer?

Hur mycket st?r inom parentes? Vad kan man s?ga om dessa uttryck? Naturligtvis ?r resultatet av det f?rsta och andra exemplet detsamma, s? du kan s?tta ett likhetstecken mellan dem: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. S? vad gjorde vi med parenteserna?

Demonstration av bild 6 med reglerna f?r att ?ppna parentes. S?ledes kommer reglerna f?r att ?ppna parenteser att hj?lpa oss att l?sa exempel, f?renkla uttryck. D?refter uppmanas eleverna att arbeta i par: det ?r n?dv?ndigt att koppla samman uttrycket som inneh?ller parenteser med motsvarande uttryck utan parentes med pilar.

Bild 11 En g?ng i den soliga staden br?kade Znayka och Dunno vem av dem som l?ste ekvationen korrekt. D?refter l?ser eleverna sj?lvst?ndigt ekvationen genom att till?mpa reglerna f?r att ?ppna parenteser. L?sa ekvationer ”Lektionens m?l: pedagogiskt (fixa ZUNs p? ?mnet:” ?ppna parenteser.

Lektionens ?mne: ”?ppningsparenteser. I det h?r fallet m?ste du multiplicera varje term fr?n den f?rsta parentesen med varje term fr?n den andra parentesen och sedan l?gga till resultaten. F?rst tas de tv? f?rsta faktorerna, inneslutna i ytterligare en parentes, och innanf?r dessa parenteser ?ppnas parenteserna enligt en av de redan k?nda reglerna.

rawalan.freezeet.ru

?ppning av parentes: regler och exempel (Betyg 7)

Den huvudsakliga funktionen f?r parenteser ?r att ?ndra ordningen p? ?tg?rder vid ber?kning av v?rden numeriska uttryck . Till exempel, i det numeriska uttrycket \(5 3+7\) ber?knas multiplikationen f?rst, och sedan additionen: \(5 3+7 =15+7=22\). Men i uttrycket \(5·(3+7)\), kommer addition inom parentes att ber?knas f?rst, och f?rst d?refter multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Men om vi har att g?ra med algebraiska uttryck som inneh?ller variabel- till exempel s? h?r: \ (2 (x-3) \) - d? ?r det om?jligt att ber?kna v?rdet inom parentes, variabeln st?r. D?rf?r, i det h?r fallet, "?ppnas" f?stena med hj?lp av l?mpliga regler f?r detta.

Regler f?r utbyggnad av konsol

Om det finns ett plustecken f?re parentesen, tas parentesen helt enkelt bort, uttrycket i det f?rblir of?r?ndrat. Med andra ord:

H?r ?r det n?dv?ndigt att f?rtydliga att i matematik, f?r att minska poster, ?r det vanligt att inte skriva plustecknet om det ?r det f?rsta i uttrycket. Om vi till exempel l?gger till tv? positiva tal, till exempel sju och tre, s? skriver vi inte \(+7+3\), utan helt enkelt \(7+3\), trots att sju ocks? ?r ett positivt tal . P? samma s?tt, om du till exempel ser uttrycket \((5+x)\) - vet det det finns ett plus framf?r parentesen, vilket inte ?r skrivet.

Exempel . ?ppna parentesen och ge liknande termer: \((x-11)+(2+3x)\).
L?sning : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Om det finns ett minustecken framf?r parentesen, n?r parentesen tas bort, ?ndrar varje medlem av uttrycket inuti det tecken till motsatt:

H?r ?r det n?dv?ndigt att klarg?ra att a, medan det stod inom parentes, hade ett plustecken (de skrev det bara inte), och efter att ha tagit bort parentesen ?ndrades detta plus till ett minus.

Exempel : F?renkla uttrycket \(2x-(-7+x)\).
L?sning : det finns tv? termer inom parentesen: \(-7\) och \(x\), och det finns ett minus f?re parentesen. Det betyder att tecknen kommer att ?ndras - och sjuan kommer nu att ha ett plus och x:et med ett minus. ?ppna f?stet och ta med liknande villkor .

Exempel. Expandera parentesen och ge liknande termer \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
L?sning : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Om det finns en faktor framf?r konsolen, multipliceras varje medlem i konsolen med den, det vill s?ga:

Exempel. Expandera parenteserna \(5(3-x)\).
L?sning : Vi har \(3\) och \(-x\) inom parentes, och en femma framf?r parentesen. Det betyder att varje medlem av parentesen multipliceras med \ (5 \) - jag p?minner dig om det multiplikationstecknet mellan ett tal och en parentes i matematik ?r inte skrivet f?r att minska storleken p? poster.

Exempel. Expandera parenteserna \(-2(-3x+5)\).
L?sning : Liksom i f?reg?ende exempel multipliceras \(-3x\) inom parentes och \(5\) med \(-2\).

Det ?terst?r att ?verv?ga den sista situationen.

N?r man multiplicerar parentes med parentes, multipliceras varje term i den f?rsta parentesen med varje term i den andra:

Exempel. Expandera parenteserna \((2-x)(3x-1)\).
L?sning : Vi har en produkt av parentes och den kan ?ppnas omedelbart med hj?lp av formeln ovan. Men f?r att inte bli f?rvirrad, l?t oss g?ra allt steg f?r steg.
Steg 1. Vi tar bort den f?rsta konsolen - var och en av dess medlemmar multipliceras med den andra konsolen:

Steg 2. Expandera produkterna i f?stet med faktorn som beskrivs ovan:
- den f?rsta f?rst...

Steg 3. Nu multiplicerar vi och tar med liknande termer:

Det ?r inte n?dv?ndigt att m?la alla transformationer i detalj, du kan omedelbart multiplicera. Men om du bara ska l?ra dig att ?ppna parentes - skriv i detalj, det blir mindre chans att g?ra ett misstag.

Notera till hela avsnittet. Faktum ?r att du inte beh?ver komma ih?g alla fyra reglerna, du beh?ver bara komma ih?g en, den h?r: \(c(a-b)=ca-cb\) . Varf?r? F?r om vi ers?tter ett ist?llet f?r c f?r vi regeln \((a-b)=a-b\) . Och om vi ers?tter minus ett f?r vi regeln \(-(a-b)=-a+b\) . Tja, om du ers?tter en annan parentes ist?llet f?r c, kan du f? den sista regeln.

parentes inom parentes

Ibland uppst?r i praktiken problem med konsoler kapslade inuti andra konsoler. H?r ?r ett exempel p? en s?dan uppgift: att f?renkla uttrycket \(7x+2(5-(3x+y))\).

F?r att lyckas med dessa uppgifter beh?ver du:
- noga f?rst? kapslingen av parentes - vilken ?r i vilken;
- ?ppna f?stena i tur och ordning, med b?rjan till exempel med den innersta.

Det ?r viktigt n?r du ?ppnar ett av f?stena r?r inte resten av uttrycket, bara skriva om det som det ?r.
L?t oss ta uppgiften ovan som ett exempel.

Exempel. ?ppna parenteserna och ge liknande termer \(7x+2(5-(3x+y))\).
L?sning:

L?t oss b?rja uppgiften genom att ?ppna det inre f?stet (den inuti). N?r vi ?ppnar det, har vi bara att g?ra med det faktum att det ?r direkt relaterat till det - det h?r ?r sj?lva f?stet och minuset framf?r det (markerat i gr?nt). Allt annat (ej valt) skrivs om som det var.

L?sa problem i matematik online

Kalkylator online.
Polynomf?renkling.
Multiplikation av polynom.

Med detta matematikprogram kan du f?renkla ett polynom.
Medan programmet k?rs:
- multiplicerar polynom
- summerar monomer (ger likadana)
- ?ppnar f?sten
- H?jer ett polynom till en potens

Polynomf?renklingsprogrammet ger inte bara svaret p? problemet, det ger en detaljerad l?sning med f?rklaringar, d.v.s. visar l?sningsprocessen s? att du kan kontrollera dina kunskaper i matematik och/eller algebra.

Det h?r programmet kan vara anv?ndbart f?r elever p? allm?nna skolor n?r de f?rbereder sig f?r prov och tentor, n?r de testar kunskap inf?r Unified State Examination, och f?r f?r?ldrar att kontrollera l?sningen av m?nga problem i matematik och algebra. Eller kanske det ?r f?r dyrt f?r dig att anlita en handledare eller k?pa nya l?rob?cker? Eller vill du bara f? dina matte- eller algebral?xor gjorda s? snabbt som m?jligt? I det h?r fallet kan du ocks? anv?nda v?ra program med en detaljerad l?sning.

P? s? s?tt kan du bedriva egen utbildning och/eller tr?ning av dina yngre br?der eller systrar samtidigt som utbildningsniv?n inom omr?det uppgifter som ska l?sas h?js.

D?rf?r att Det ?r m?nga som vill l?sa problemet, din f?rfr?gan st?r i k?.
Efter n?gra sekunder kommer l?sningen att visas nedan.
V?nta sek.

Lite teori.

Produkten av ett monom och ett polynom. Begreppet polynom

Bland de olika uttryck som beaktas i algebra intar summor av monomialer en viktig plats. H?r ?r exempel p? s?dana uttryck:

Summan av monomer kallas ett polynom. Termerna i ett polynom kallas medlemmar av polynomet. Mononom kallas ocks? polynom, och betraktar ett mononom som ett polynom som best?r av en medlem.

Vi representerar alla termer som monomer av standardformul?ret:

Vi ger liknande termer i det resulterande polynomet:

Resultatet ?r ett polynom, vars alla medlemmar ?r monomer av standardformen, och bland dem finns det inga liknande. S?dana polynom kallas polynom av standardform.

Per polynomgrad standardform ta den st?rsta av medlemmarnas befogenheter. S?, en binomial har en tredje grad, och en trinomial har en andra.

Vanligtvis ?r termerna f?r polynom av standardform som inneh?ller en variabel ordnade i fallande ordning av dess exponenter. Till exempel:

Summan av flera polynom kan omvandlas (f?renklas) till ett standardpolynom.

Ibland m?ste medlemmarna i ett polynom delas in i grupper, och omsluta varje grupp inom parentes. Eftersom parentes ?r motsatsen till parentes ?r det l?tt att formulera parentes ?ppna regler:

Om +-tecknet ?r placerat f?re hakparenteserna skrivs termerna inom parentes med samma tecken.

Om ett "-"-tecken placeras framf?r hakparenteserna, skrivs termerna inom parentes med motsatta tecken.

Transformation (f?renkling) av produkten av ett monom och ett polynom

Med hj?lp av multiplikationsf?rdelningsegenskapen kan man transformera (f?renkla) produkten av ett monom och ett polynom till ett polynom. Till exempel:

Produkten av ett monom och ett polynom ?r identiskt lika med summan av produkterna av detta monom och var och en av termerna f?r polynomet.

Detta resultat formuleras vanligtvis som en regel.

F?r att multiplicera ett monom med ett polynom m?ste man multiplicera detta monom med var och en av termerna i polynomet.

Vi har upprepade g?nger anv?nt denna regel f?r att multiplicera med en summa.

Produkten av polynom. Transformation (f?renkling) av produkten av tv? polynom

I allm?nhet ?r produkten av tv? polynom identiskt lika med summan av produkten av varje term av ett polynom och varje term av det andra.

Anv?nd vanligtvis f?ljande regel.

F?r att multiplicera ett polynom med ett polynom m?ste du multiplicera varje term i ett polynom med varje term i den andra och addera de resulterande produkterna.

F?rkortade multiplikationsformler. Summa, differens och differenskvadrater

Vissa uttryck i algebraiska transformationer m?ste behandlas oftare ?n andra. De kanske vanligaste uttrycken ?r och, det vill s?ga summans kvadrat, skillnaden i kvadrat och kvadratskillnaden. Du har m?rkt att namnen p? dessa uttryck verkar vara ofullst?ndiga, s? till exempel - detta ?r naturligtvis inte bara kvadraten p? summan, utan kvadraten p? summan av a och b. Kvadraten p? summan av a och b ?r dock inte s? vanlig, i st?llet f?r bokst?verna a och b inneh?ller den som regel olika, ibland ganska komplexa uttryck.

Uttryck ?r l?tta att konvertera (f?renkla) till polynom av standardformen, faktiskt har du redan m?tt en s?dan uppgift n?r du multiplicerar polynom:

De resulterande identiteterna ?r anv?ndbara att komma ih?g och till?mpa utan mellanliggande ber?kningar. Korta verbala formuleringar hj?lper detta.

- kvadraten p? summan ?r lika med summan av kvadrater och tv? g?nger produkten.

- kvadraten p? skillnaden ?r lika med summan av kvadraterna utan dubbelprodukten.

- skillnaden mellan kvadrater ?r lika med produkten av skillnaden med summan.

Dessa tre identiteter till?ter transformationer att byta ut sina v?nstra delar med h?ger och vice versa - h?ger delar med v?nstra. Det sv?raste i det h?r fallet ?r att se motsvarande uttryck och f?rst? vad variablerna a och b ers?tts i dem. L?t oss titta p? n?gra exempel p? hur man anv?nder f?rkortade multiplikationsformler.

B?cker (l?rob?cker) Sammanfattning av Unified State Examination och OGE-test online Spel, pussel Grafer ?ver funktioner Stavningsordbok f?r det ryska spr?ket Ordbok f?r ungdomsslang Katalog ?ver ryska skolor Katalog ?ver gymnasieskolor i Ryssland Katalog ?ver ryska universitet numeriska br?kdelar L?sa problem f?r procentsatser Komplexa tal: summa, skillnad, produkt och kvot System av 2 linj?ra ekvationer med tv? variabler L?sa en andragradsekvation Sortera ut kvadraten p? en binomial och faktorisera en kvadrattrinomial L?sa oj?mlikheter L?sa oj?mlikhetssystem Bygga en graf f?r en kvadratisk funktion Bygga en graf av en linj?r br?kfunktion L?sa aritmetiska och geometriska progressioner L?sa trigonometriska, exponentiella, logaritmiska ekvationer Ber?kna gr?nser, derivator, tangenter Integral, antiderivata L?sa trianglar Ber?kna ?tg?rder med vektorer Ber?kna ?tg?rder ?tg?rder med linjer och plan Area av geometriska former Omkrets av geometriska former Volym av geometriska kroppar Ytarea av geometriska kroppar
Konstrukt?r av trafiksituationer
V?der - nyheter - horoskop

www.mathsolution.ru

Konsolexpansion

Vi forts?tter att studera grunderna i algebra. I den h?r lektionen kommer vi att l?ra oss hur man ?ppnar parenteser i uttryck. Att ut?ka parenteser betyder att ta bort uttrycket av dessa parenteser.

F?r att ?ppna parentes beh?ver du bara l?ra dig tv? regler utantill. Med regelbunden ?vning kan du ?ppna f?stena med slutna ?gon, och de regler som beh?vde memoreras utantill kan s?kert gl?mmas.

Den f?rsta regeln f?r parentesexpansion

T?nk p? f?ljande uttryck:

V?rdet av detta uttryck ?r 2 . L?t oss ?ppna parenteserna i detta uttryck. Att ut?ka parenteser inneb?r att bli av med dem utan att det p?verkar meningen med uttrycket. Det vill s?ga efter att ha blivit av med parenteserna, uttryckets v?rde 8+(-9+3) b?r fortfarande vara lika med tv?.

Den f?rsta parentesexpansionsregeln ser ut s? h?r:

N?r du ?ppnar parentes, om det finns ett plus f?re parentes, s? utel?mnas detta plus tillsammans med parentes.

S? det ser vi i uttrycket 8+(-9+3) det finns ett plus framf?r f?stena. Detta plus m?ste utel?mnas tillsammans med parenteserna. Med andra ord kommer f?stena att f?rsvinna tillsammans med pluset som stod framf?r dem. Och det som stod inom parentes kommer att skrivas of?r?ndrat:

8-9+3 . Detta uttryck ?r lika med 2 , liksom det tidigare uttrycket inom parentes var lika med 2 .

8+(-9+3) och 8-9+3

8 + (-9 + 3) = 8 - 9 + 3

Exempel 2 Expandera parenteser i ett uttryck 3 + (-1 - 4)

Det finns ett plus framf?r f?stena, s? detta plus utel?mnas tillsammans med f?stena. Det som stod inom parentes f?rblir of?r?ndrat:

3 + (-1 - 4) = 3 - 1 - 4

Exempel 3 Expandera parenteser i ett uttryck 2 + (-1)

I det h?r exemplet har expansionen av parenteser blivit en slags omv?nd operation f?r att ers?tta subtraktion med addition. Vad betyder det?

I uttrycket 2-1 subtraktion f?rekommer, men den kan ers?ttas med addition. D? f?r du uttrycket 2+(-1) . Men om i uttrycket 2+(-1) ?ppna f?stena, du f?r originalet 2-1 .

D?rf?r kan den f?rsta parentesexpansionsregeln anv?ndas f?r att f?renkla uttryck efter n?gra transformationer. Det vill s?ga, ta bort det fr?n f?sten och g?r det l?ttare.

L?t oss till exempel f?renkla uttrycket 2a+a-5b+b .

F?r att f?renkla detta uttryck kan vi l?gga till liknande termer. Kom ih?g att f?r att reducera liknande termer m?ste du l?gga till koefficienterna f?r liknande termer och multiplicera resultatet med den vanliga bokstavsdelen:

Fick ett uttryck 3a+(-4b). ?ppna parenteserna i detta uttryck. Det finns ett plus f?re parenteserna, s? vi anv?nder den f?rsta regeln f?r att ?ppna parenteser, det vill s?ga vi utel?mnar parenteserna tillsammans med pluset som kommer f?re dessa parenteser:

Allts? uttrycket 2a+a-5b+b f?renklat till 3a-4b .

Efter att ha ?ppnat en parentes kan andra m?tas p? v?gen. Vi till?mpar samma regler f?r dem som f?r den f?rsta. L?t oss till exempel ut?ka parenteserna i f?ljande uttryck:

Det finns tv? st?llen d?r du beh?ver ut?ka f?stena. I det h?r fallet g?ller den f?rsta regeln f?r att expandera parenteser, n?mligen att utel?mna parenteserna tillsammans med pluset som kommer f?re dessa parenteser:

2 + (-3 + 1) + 3 + (-6) = 2 - 3 + 1 + 3 - 6

Exempel 3 Expandera parenteser i ett uttryck 6+(-3)+(-2)

P? b?da st?llena d?r det finns hakparenteser f?reg?s de av ett plustecken. ?ven h?r g?ller den f?rsta parentesexpansionsregeln:

Ibland skrivs den f?rsta termen inom parentes utan tecken. Till exempel i uttrycket 1+(2+3-4) f?rsta terminen inom parentes 2 skrivet utan tecken. Fr?gan uppst?r, vilket tecken kommer f?re tv?an efter att hakparenteserna och pluset framf?r hakparenteserna har utel?mnats? Svaret antyder sig sj?lvt - det blir ett plus framf?r tv?an.

Faktum ?r att ?ven om du ?r inom parentes finns det ett plus framf?r tv?an, men vi ser det inte p? grund av att det inte ?r nedskrivet. Vi har redan sagt att hela notationen av positiva tal ser ut +1, +2, +3. Men plusen skrivs inte traditionellt ner, varf?r vi ser de positiva siffrorna som ?r bekanta f?r oss. 1, 2, 3 .

D?rf?r att ?ppna parenteser i ett uttryck 1+(2+3-4) , m?ste du utel?mna parenteserna som vanligt tillsammans med plustecknet framf?r dessa parenteser, men skriv den f?rsta termen som stod inom parentes med ett plustecken:

1 + (2 + 3 - 4) = 1 + 2 + 3 - 4

Exempel 4 Expandera parenteser i ett uttryck -5 + (2 - 3)

Det finns ett plus framf?r parenteserna, s? vi till?mpar den f?rsta regeln f?r ?ppningsparenteser, n?mligen att vi utel?mnar parenteserna tillsammans med pluset som kommer f?re dessa parenteser. Men den f?rsta termen, som ?r skriven inom parentes med ett plustecken:

-5 + (2 - 3) = -5 + 2 - 3

Exempel 5 Expandera parenteser i ett uttryck (-5)

Det finns ett plus f?re parentesen, men det ?r inte skrivet p? grund av att det inte fanns n?gra andra siffror eller uttryck f?re det. V?r uppgift ?r att ta bort parenteserna genom att till?mpa den f?rsta regeln f?r expanderande parentes, n?mligen att utel?mna parenteserna tillsammans med detta plus (?ven om det ?r osynligt)

Exempel 6 Expandera parenteser i ett uttryck 2a + (-6a + b)

Det finns ett plus framf?r f?stena, s? detta plus utel?mnas tillsammans med f?stena. Det som stod inom parentes kommer att skrivas of?r?ndrat:

2a + (-6a + b) = 2a -6a + b

Exempel 7 Expandera parenteser i ett uttryck 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)

I det h?r uttrycket finns det tv? st?llen d?r du beh?ver ?ppna f?stena. I b?da sektionerna ?r det ett plus framf?r f?stena, vilket g?r att detta plus utel?mnas tillsammans med f?stena. Det som stod inom parentes kommer att skrivas of?r?ndrat:

5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d

Den andra regeln f?r att ?ppna parenteser

L?t oss nu titta p? den andra parentesexpansionsregeln. Den anv?nds n?r det finns ett minus f?re parentesen.

Om det finns ett minus f?re parentesen, s? utel?mnas detta minus tillsammans med parenteserna, men termerna som stod inom parentes ?ndrar sitt tecken till motsatsen.

L?t oss till exempel ut?ka parenteserna i f?ljande uttryck

Vi ser att det ?r ett minus f?re parenteserna. S? du m?ste till?mpa den andra expansionsregeln, n?mligen utel?mna parenteserna tillsammans med minus framf?r dessa parenteser. I det h?r fallet kommer termerna som stod inom parentes att ?ndra sitt tecken till det motsatta:

Vi fick ett uttryck utan parentes 5+2+3 . Detta uttryck ?r lika med 10, precis som det tidigare uttrycket med parenteser var lika med 10.

Allts? mellan uttryck 5-(-2-3) och 5+2+3 du kan s?tta ett likhetstecken, eftersom de ?r lika med samma v?rde:

5 - (-2 - 3) = 5 + 2 + 3

Exempel 2 Expandera parenteser i ett uttryck 6 - (-2 - 5)

Det finns ett minus f?re parenteserna, s? vi till?mpar den andra regeln f?r ?ppningsparenteser, n?mligen att vi utel?mnar parenteserna tillsammans med minuset som kommer f?re dessa parenteser. I det h?r fallet skrivs termerna som stod inom parentes med motsatta tecken:

6 - (-2 - 5) = 6 + 2 + 5

Exempel 3 Expandera parenteser i ett uttryck 2 - (7 + 3)

Det finns ett minus f?re parentesen, s? vi till?mpar den andra regeln f?r att ?ppna parentes:

Exempel 4 Expandera parenteser i ett uttryck -(-3 + 4)

Exempel 5 Expandera parenteser i ett uttryck -(-8 - 2) + 16 + (-9 - 2)

Det finns tv? st?llen d?r du beh?ver ut?ka f?stena. I det f?rsta fallet m?ste du till?mpa den andra regeln f?r att ?ppna parentes, och n?r turen kommer till uttrycket +(-9-2) du m?ste till?mpa den f?rsta regeln:

-(-8 - 2) + 16 + (-9 - 2) = 8 + 2 + 16 - 9 - 2

Exempel 6 Expandera parenteser i ett uttryck -(-a-1)

Exempel 7 Expandera parenteser i ett uttryck -(4a + 3)

Exempel 8 Expandera parenteser i ett uttryck a -(4b + 3) + 15

Exempel 9 Expandera parenteser i ett uttryck 2a + (3b - b) - (3c + 5)

Det finns tv? st?llen d?r du beh?ver ut?ka f?stena. I det f?rsta fallet m?ste du till?mpa den f?rsta regeln f?r att expandera parenteser, och n?r turen kommer till uttrycket -(3c+5) du m?ste till?mpa den andra regeln:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

Exempel 10 Expandera parenteser i ett uttryck -a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15)

Det finns tre st?llen d?r du beh?ver ut?ka f?stena. F?rst m?ste du till?mpa den andra regeln f?r att expandera parentes, sedan den f?rsta och sedan igen den andra:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = -a + 4a - 6b + 8c - 15

Parentes expansionsmekanism

Reglerna f?r att ?ppna parenteser, som vi nu har ?verv?gt, ?r baserade p? den f?rdelande lagen om multiplikation:

Faktiskt ?ppningsbara f?sten kalla proceduren n?r den gemensamma faktorn multipliceras med varje term inom parentes. Som ett resultat av s?dan multiplikation f?rsvinner parenteserna. L?t oss till exempel ut?ka parenteserna i uttrycket 3x(4+5)

3 x (4 + 5) = 3 x 4 + 3 x 5

D?rf?r, om du beh?ver multiplicera ett tal med ett uttryck inom parentes (eller multiplicera ett uttryck inom parentes med ett tal), m?ste du s?ga ?ppna f?stena.

Men hur ?r den distributiva lagen f?r multiplikation relaterad till reglerna f?r ?ppningsparenteser som vi ?verv?gde tidigare?

Faktum ?r att f?re alla parenteser finns det en gemensam faktor. I exemplet 3x(4+5) gemensam faktor ?r 3 . Och i exemplet a(b+c) gemensam faktor ?r en variabel a.

Om det inte finns n?gra siffror eller variabler f?re parenteserna ?r den gemensamma faktorn 1 eller -1 , beroende p? vilket tecken som st?r f?re hakparenteserna. Om det finns ett plus framf?r parentesen ?r den gemensamma faktorn 1 . Om det finns ett minus f?re parenteserna ?r den gemensamma faktorn -1 .

L?t oss till exempel ut?ka parenteserna i uttrycket -(3b-1). Det finns ett minus f?re parenteserna, s? du m?ste anv?nda den andra regeln f?r att ?ppna parenteser, det vill s?ga utel?mna parenteserna tillsammans med minuset f?re parenteserna. Och uttrycket som stod inom parentes, skriv med motsatta tecken:

Vi ut?kade parenteserna med hj?lp av parentesexpansionsregeln. Men samma parenteser kan ?ppnas med hj?lp av den distributiva lagen f?r multiplikation. F?r att g?ra detta skriver vi f?rst den gemensamma faktorn 1 framf?r parentesen, som inte skrevs ner:

Minuset som brukade st? framf?r f?stena avs?g denna enhet. Nu kan du ?ppna parenteserna genom att till?mpa den distributiva lagen f?r multiplikation. F?r detta ?r den gemensamma faktorn -1 du m?ste multiplicera med varje term inom parentes och l?gga till resultaten.

F?r enkelhetens skull ers?tter vi skillnaden inom parentes med summan:

-1 (3b -1) = -1 (3b + (-1)) = -1 x 3b + (-1) x (-1) = -3b + 1

Som f?rra g?ngen fick vi uttrycket -3b+1. Alla kommer att h?lla med om att den h?r g?ngen ?gnades mer tid ?t att l?sa ett s? enkelt exempel. D?rf?r ?r det mer rimligt att anv?nda de f?rdiga reglerna f?r att ?ppna parenteser, som vi ?verv?gde i den h?r lektionen:

Men det skadar inte att veta hur dessa regler fungerar.

I den h?r lektionen l?rde vi oss en annan identisk f?rvandling. Tillsammans med att ?ppna parenteserna, ta bort det allm?nna ur parentesen och ta med liknande termer kan man ut?ka utbudet av uppgifter som ska l?sas n?got. Till exempel:

H?r m?ste du utf?ra tv? ?tg?rder - f?rst ?ppna parenteserna och ta sedan med liknande termer. S?, i ordning:

1) Expandera parenteserna:

2) Vi ger liknande termer:

I det resulterande uttrycket -10b+(-1) du kan ?ppna parenteserna:

Exempel 2?ppna parenteser och l?gg till liknande termer i f?ljande uttryck:

1) Expandera parenteserna:

2) Vi presenterar liknande termer. Den h?r g?ngen, f?r att spara tid och utrymme, kommer vi inte att skriva ner hur koefficienterna multipliceras med den gemensamma bokstavsdelen

Exempel 3 F?renkla uttryck 8m+3m och hitta dess v?rde p? m=-4

1) L?t oss f?rst f?renkla uttrycket. F?r att f?renkla uttrycket 8m+3m, kan du ta ut den gemensamma faktorn i det m f?r parentes:

2) Hitta v?rdet p? uttrycket m(8+3) p? m=-4. F?r detta, i uttrycket m(8+3) ist?llet f?r en variabel m ers?tt numret -4

m(8 + 3) = -4 (8 + 3) = -4 x 8 + (-4) x 3 = -32 + (-12) = -44

Bland de olika uttryck som beaktas i algebra intar summor av monomialer en viktig plats. H?r ?r exempel p? s?dana uttryck:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Summan av monomer kallas ett polynom. Termerna i ett polynom kallas medlemmar av polynomet. Mononom kallas ocks? polynom, och betraktar ett mononom som ett polynom som best?r av en medlem.

Till exempel polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan f?renklas.

Vi representerar alla termer som monomer av standardformul?ret:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Vi ger liknande termer i det resulterande polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet ?r ett polynom, vars alla medlemmar ?r monomer av standardformen, och bland dem finns det inga liknande. S?dana polynom kallas polynom av standardform.

Per polynomgrad standardform ta den st?rsta av medlemmarnas befogenheter. S? binomialet \(12a^2b - 7b \) har den tredje graden, och trinomialet \(2b^2 -7b + 6 \) har den andra.

Vanligtvis ?r termerna f?r polynom av standardform som inneh?ller en variabel ordnade i fallande ordning av dess exponenter. Till exempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Summan av flera polynom kan omvandlas (f?renklas) till ett standardpolynom.

Ibland m?ste medlemmarna i ett polynom delas in i grupper, och omsluta varje grupp inom parentes. Eftersom parentes ?r motsatsen till parentes ?r det l?tt att formulera parentes ?ppna regler:

Om +-tecknet ?r placerat f?re hakparenteserna skrivs termerna inom parentes med samma tecken.

Om ett "-"-tecken placeras framf?r hakparenteserna, skrivs termerna inom parentes med motsatta tecken.

Transformation (f?renkling) av produkten av ett monom och ett polynom

Med hj?lp av multiplikationsf?rdelningsegenskapen kan man transformera (f?renkla) produkten av ett monom och ett polynom till ett polynom. Till exempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produkten av ett monom och ett polynom ?r identiskt lika med summan av produkterna av detta monom och var och en av termerna f?r polynomet.

Detta resultat formuleras vanligtvis som en regel.

F?r att multiplicera ett monom med ett polynom m?ste man multiplicera detta monom med var och en av termerna i polynomet.

Vi har upprepade g?nger anv?nt denna regel f?r att multiplicera med en summa.

Produkten av polynom. Transformation (f?renkling) av produkten av tv? polynom

I allm?nhet ?r produkten av tv? polynom identiskt lika med summan av produkten av varje term av ett polynom och varje term av det andra.

Anv?nd vanligtvis f?ljande regel.

F?r att multiplicera ett polynom med ett polynom m?ste du multiplicera varje term i ett polynom med varje term i den andra och l?gga till de resulterande produkterna.

F?rkortade multiplikationsformler. Summa, differens och differenskvadrater

Vissa uttryck i algebraiska transformationer m?ste behandlas oftare ?n andra. De kanske vanligaste uttrycken ?r \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) och \(a^2 - b^2 \), det vill s?ga kvadraten p? summan, kvadrat av skillnaden och kvadratskillnad. Du m?rkte att namnen p? de angivna uttrycken verkar vara ofullst?ndiga, s? till exempel ?r \((a + b)^2 \) naturligtvis inte bara kvadraten p? summan, utan kvadraten p? summan av a och b. Kvadraten p? summan av a och b ?r dock inte s? vanlig, i st?llet f?r bokst?verna a och b inneh?ller den som regel olika, ibland ganska komplexa uttryck.

Uttryck \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ?r l?tta att konvertera (f?renkla) till polynom av standardformen, faktiskt har du redan f?tt en s?dan uppgift n?r du multiplicerar polynom :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

De resulterande identiteterna ?r anv?ndbara att komma ih?g och till?mpa utan mellanliggande ber?kningar. Korta verbala formuleringar hj?lper detta.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadraten p? summan ?r lika med summan av kvadraterna och dubbelprodukten.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadraten p? skillnaden ?r summan av kvadraterna utan att dubbla produkten.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - skillnaden mellan kvadrater ?r lika med produkten av skillnaden och summan.

Dessa tre identiteter till?ter transformationer att ers?tta sina v?nstra delar med h?ger och vice versa - h?ger delar med v?nstra. Det sv?raste i det h?r fallet ?r att se motsvarande uttryck och f?rst? vad variablerna a och b ers?tts i dem. L?t oss titta p? n?gra exempel p? hur man anv?nder f?rkortade multiplikationsformler.