Rak b?j. Plan tv?rb?jning Rita diagram av inre kraftfaktorer f?r balkar Rita Q- och M-diagram enligt ekvationer Rita Q- och M-diagram med hj?lp av karakteristiska sektioner (punkter) Ber?kningar f?r h?llfasthet vid direktb?jning av balkar Huvudsp?nningar vid bockning. Fullst?ndig verifiering av balkarnas styrka. F?rst? b?jningscentrum Best?mning av f?rskjutningar i balkar under b?jning. Begrepp f?r deformation av balkar och villkor f?r deras styvhet Differentialekvation f?r balkens b?jda axel Metod f?r direkt integration Exempel p? best?mning av f?rskjutningar i balkar med metoden f?r direkt integration Fysisk betydelse av integrationskonstanter Metod f?r initiala parametrar (universell ekvation av balkar balkens b?jda axel). Exempel p? best?mning av f?rskjutningar i en balk med metoden f?r initialparametrar Best?mning av f?rskjutningar med Mohr-metoden. A.K:s regel Vereshchagin. Ber?kning av Mohr-integralen enligt A.K. Vereshchagin Exempel p? best?mning av f?rskjutningar med hj?lp av Mohrs integral Bibliografi Direktb?jning. Platt tv?rb?j. 1.1. Rita diagram av inre kraftfaktorer f?r balkar Direktb?jning ?r en typ av deformation d?r tv? inre kraftfaktorer uppst?r i st?ngens tv?rsnitt: ett b?jmoment och en tv?rkraft. I ett s?rskilt fall kan tv?rkraften vara noll, d? kallas b?jningen ren. Med en platt tv?rg?ende b?jning ?r alla krafter bel?gna i ett av stavens huvudtr?ghetsplan och ?r vinkelr?ta mot dess l?ngdaxel, momenten ?r bel?gna i samma plan (fig. 1.1, a, b). Ris. 1.1 Tv?rkraften i ett godtyckligt tv?rsnitt av balken ?r numeriskt lika med den algebraiska summan av projektionerna p? normalen till balkens axel av alla yttre krafter som verkar p? ena sidan av det aktuella avsnittet. Tv?rkraften i balkens m-n-sektion (fig. 1.2, a) anses vara positiv om resultanten av yttre krafter till v?nster om sektionen ?r riktad upp?t och ?t h?ger - ned?t och negativ - i motsatt fall (Fig. 1.2, b). Ris. 1.2 Vid ber?kning av tv?rkraften i en given sektion tas de yttre krafterna som ligger till v?nster om sektionen med ett plustecken om de ?r riktade upp?t och med ett minustecken om de ?r ned?t. F?r h?ger sida av str?len - vice versa. 5 B?jmomentet i ett godtyckligt balktv?rsnitt ?r numeriskt lika med den algebraiska summan av momenten kring den centrala axeln z i sektionen av alla yttre krafter som verkar p? ena sidan av den aktuella sektionen. B?jmomentet i balkens m-n-sektion (fig. 1.3, a) anses positivt om det resulterande momentet av yttre krafter riktas medurs fr?n sektionen till v?nster om sektionen, och moturs till h?ger, och negativt i sektionen. motsatt fall (fig. 1.3b). Ris. 1.3 Vid ber?kning av b?jmomentet i en given sektion anses momenten f?r yttre krafter som ligger till v?nster om sektionen vara positiva om de ?r riktade medurs. F?r h?ger sida av str?len - vice versa. Det ?r bekv?mt att best?mma tecknet p? b?jmomentet av typen av deformation av balken. B?jmomentet anses positivt om den avskurna delen av balken i det aktuella avsnittet b?js med en konvexitet ned?t, dvs. de nedre fibrerna str?cks. Annars ?r b?jmomentet i sektionen negativt. Mellan b?jmomentet M, tv?rkraften Q och intensiteten av lasten q finns differentiella beroenden. 1. Den f?rsta derivatan av tv?rkraften l?ngs sektionens abskiss ?r lika med intensiteten av den f?rdelade belastningen, dvs. . (1.1) 2. F?rsta derivatan av b?jmomentet l?ngs sektionens abskiss ?r lika med tv?rkraften, dvs. (1.2) 3. Den andra derivatan med avseende p? sektionens abskiss ?r lika med intensiteten av den f?rdelade belastningen, dvs. (1.3) Vi anser att den f?rdelade lasten riktad upp?t ?r positiv. Ett antal viktiga slutsatser f?ljer av de differentiella beroenden mellan M, Q, q: 1. Om p? balksektionen: a) tv?rkraften ?r positiv, ?kar b?jmomentet; b) tv?rkraften ?r negativ, d? minskar b?jmomentet; c) tv?rkraften ?r noll, d? har b?jmomentet ett konstant v?rde (ren b?jning); 6 d) tv?rkraften g?r genom noll, ?ndrar tecken fr?n plus till minus, max M M, annars M Mmin. 2. Om det inte finns n?gon f?rdelad belastning p? balksektionen ?r tv?rkraften konstant, och b?jmomentet ?ndras linj?rt. 3. Om det finns en j?mnt f?rdelad belastning p? balksektionen, ?ndras tv?rkraften enligt en linj?r lag, och b?jmomentet - enligt lagen f?r en kvadratisk parabel, konvex inverterad mot lasten (vid plottning M fr?n sidan av sp?nda fibrer). 4. I avsnittet under den koncentrerade kraften har diagrammet Q ett hopp (med kraftens storlek), diagrammet M har ett brott i kraftens riktning. 5. I avsnittet d?r ett koncentrerat moment appliceras har diagrammet M ett hopp lika med v?rdet av detta moment. Detta ?terspeglas inte i Q-plotten. Under komplex belastning bygger balkar diagram ?ver tv?rkrafter Q och b?jmoment M. Plot Q (M) ?r en graf som visar lagen f?r f?r?ndring av tv?rkraften (b?jmomentet) l?ngs balkens l?ngd. Baserat p? analysen av diagram M och Q fastst?lls farliga sektioner av balken. De positiva ordinaterna i Q-diagrammet plottas upp?t och de negativa ordinaterna ?r plottade ned?t fr?n baslinjen parallellt med str?lens l?ngdaxel. De positiva ordinaterna f?r diagrammet M l?ggs ner, och de negativa ordinaterna ?r ritade upp?t, dvs. diagrammet M ?r byggt fr?n sidan av de str?ckta fibrerna. Konstruktionen av diagrammen Q och M f?r balkar b?r b?rja med definitionen av st?dreaktioner. F?r en balk med en fast ?nde och den andra fria ?nden kan plottning av Q och M startas fr?n den fria ?nden utan att definiera reaktioner i inb?ddningen. 1.2. Konstruktionen av diagrammen Q och M enligt Balkekvationerna ?r uppdelad i sektioner, inom vilka funktionerna f?r b?jmomentet och skjuvkraften f?rblir konstanta (har inga diskontinuiteter). Sektionernas gr?nser ?r appliceringspunkterna f?r koncentrerade krafter, kraftpar och platser f?r f?r?ndring av intensiteten hos den f?rdelade lasten. En godtycklig sektion tas vid varje sektion p? ett avst?nd x fr?n origo, och f?r detta sektion ritas ekvationer f?r Q och M. Plotterna Q och M ?r byggda med dessa ekvationer Exempel 1.1 Konstruera diagram av skjuvkrafter Q och b?jmoment M f?r en given str?le (Fig. 1.4a). L?sning: 1. Best?mning av reaktioner av b?rare. Vi sammanst?ller j?mviktsekvationerna: fr?n vilka vi f?r B?rarnas reaktioner ?r korrekt definierade. Balken har fyra sektioner Fig. 1.4 laddningar: CA, AD, DB, BE. 2. Plottning Q. Plot SA. P? sektion CA 1 ritar vi en godtycklig sektion 1-1 p? ett avst?nd x1 fr?n den v?nstra ?nden av balken. Vi definierar Q som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till v?nster om sektionen 1-1: Minustecknet tas eftersom kraften som verkar till v?nster om sektionen ?r riktad ned?t. Uttrycket f?r Q beror inte p? variabeln x1. Plot Q i detta avsnitt kommer att avbildas som en r?t linje parallell med x-axeln. Handling AD. P? platsen ritar vi en godtycklig sektion 2-2 p? ett avst?nd x2 fr?n den v?nstra ?nden av str?len. Vi definierar Q2 som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till v?nster om sektion 2-2: 8 V?rdet p? Q ?r konstant p? sektionen (beror inte p? variabeln x2). Plot Q p? plotten ?r en r?t linje parallell med x-axeln. DB webbplats. P? platsen ritar vi en godtycklig sektion 3-3 p? ett avst?nd x3 fr?n den h?gra ?nden av str?len. Vi definierar Q3 som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till h?ger om avsnitt 3-3: Det resulterande uttrycket ?r ekvationen f?r en lutande r?t linje. Handling B.E. P? platsen ritar vi en sektion 4-4 p? ett avst?nd x4 fr?n den h?gra ?nden av balken. Vi definierar Q som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till h?ger om avsnitt 4-4: 4 H?r tas plustecknet eftersom den resulterande lasten till h?ger om avsnitt 4-4 ?r riktad ned?t. Baserat p? de erh?llna v?rdena bygger vi diagram Q (Fig. 1.4, b). 3. Rita M. Tomt m1. Vi definierar b?jmomentet i avsnitt 1-1 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till v?nster om avsnitt 1-1. ?r ekvationen f?r en r?t linje. Sektion A 3 Definiera b?jmomentet i avsnitt 2-2 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till v?nster om avsnitt 2-2. ?r ekvationen f?r en r?t linje. Plot DB 4 Vi definierar b?jmomentet i avsnitt 3-3 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till h?ger om avsnitt 3-3. ?r ekvationen f?r en kvadratisk parabel. 9 Hitta tre v?rden i ?ndarna av sektionen och i punkten med koordinaten xk , d?r sektion BE 1 Definiera b?jmomentet i sektion 4-4 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till h?ger om sektion 4- 4. - ekvationen f?r en kvadratisk parabel hittar vi tre v?rden p? M4: Baserat p? de erh?llna v?rdena bygger vi en plot M (Fig. 1.4, c). I sektionerna CA och AD begr?nsas plotten Q av r?ta linjer parallella med abskissaxeln och i sektionerna DB och BE av sneda r?ta linjer. I sektionerna C, A och B p? diagrammet Q f?rekommer hopp med storleken p? motsvarande krafter, vilket fungerar som en kontroll av riktigheten av konstruktionen av diagrammet Q. I sektioner d?r Q ? 0 ?kar momenten fr?n v?nster till h?ger. I sektioner d?r Q ? 0 minskar momenten. Under de koncentrerade krafterna uppst?r veck i krafternas verkan. Under det koncentrerade ?gonblicket finns ett hopp med momentv?rdet. Detta indikerar riktigheten av att plotta M. Exempel 1.2 Konstruera diagram Q och M f?r en balk p? tv? st?d, belastade med en f?rdelad belastning, vars intensitet varierar linj?rt (Fig. 1.5, a). L?sning Best?mning av st?dreaktioner. Resultanten av den f?rdelade belastningen ?r lika med arean av triangeln som representerar belastningsdiagrammet och appliceras i denna triangels tyngdpunkt. Vi g?r summan av momenten f?r alla krafter i f?rh?llande till punkterna A och B: Plotta Q. L?t oss rita ett godtyckligt snitt p? ett avst?nd x fr?n det v?nstra st?det. Ordinatan f?r lastdiagrammet som motsvarar sektionen best?ms utifr?n likheten mellan trianglar. Resultaten av den del av lasten som ?r bel?gen till v?nster om sektionen Skjuvkraften i sektionen ?r lika med noll: Plot Q visas i fikon. 1,5, b. B?jmomentet i en godtycklig sektion ?r lika med B?jmomentet ?ndras enligt lagen f?r en kubisk parabel: B?jmomentets maximala v?rde finns i sektionen, d?r 0, d.v.s. 1,5, c. 1.3. Rita Q- och M-diagram efter karakteristiska sektioner (punkter) Med hj?lp av differentialf?rh?llandena mellan M, Q, q och slutsatserna som h?rr?r fr?n dem, ?r det tillr?dligt att bygga Q- och M-diagram med karakteristiska sektioner (utan att formulera ekvationer). Med denna metod ber?knas v?rdena f?r Q och M i karakteristiska sektioner. De karakteristiska sektionerna ?r sektionernas gr?nssektioner, samt de sektioner d?r den givna inre kraftfaktorn har ett extremv?rde. Inom gr?nserna mellan de karakteristiska sektionerna fastst?lls konturen 12 av diagrammet p? basis av differentiella beroenden mellan M, Q, q och de slutsatser som h?rr?r fr?n dem. Exempel 1.3 Konstruera diagrammen Q och M f?r balken som visas i fig. 1,6, a. Ris. 1.6. L?sning: Vi b?rjar rita Q- och M-diagram fr?n den fria ?nden av str?len, medan reaktionerna i inb?ddningen kan utel?mnas. Balken har tre lastomr?den: AB, BC, CD. Det finns ingen f?rdelad belastning i sektionerna AB och BC. Tv?rkrafterna ?r konstanta. Plot Q begr?nsas av r?ta linjer parallella med x-axeln. B?jmoment f?r?ndras linj?rt. Plot M ?r begr?nsad till raka linjer som lutar mot x-axeln. P? sektions-CD finns en j?mnt f?rdelad belastning. De tv?rg?ende krafterna ?ndras linj?rt, och b?jmomenten ?ndras enligt lagen f?r en kvadratisk parabel med en konvexitet i den f?rdelade lastens riktning. Vid gr?nsen f?r sektionerna AB och BC ?ndras tv?rkraften abrupt. Vid gr?nsen f?r avsnitt BC och CD ?ndras b?jmomentet abrupt. 1. Plotta Q. Vi ber?knar v?rdena f?r tv?rkrafterna Q i sektionernas gr?nssektioner: Baserat p? resultaten av ber?kningar bygger vi ett diagram Q f?r balken (fig. 1, b). Av diagrammet Q f?ljer att tv?rkraften i sektionen CD ?r lika med noll i sektionen p? avst?nd qa a q fr?n b?rjan av denna sektion. I detta avsnitt har b?jmomentet ett maximalt v?rde. 2. Konstruktion av diagram M. Vi ber?knar v?rdena f?r b?jmoment i sektionernas gr?nssektioner: Exempel 1.4 Enligt det givna diagrammet ?ver b?jmoment (Fig. 1.7, a) f?r balken (Fig. 1.7, b), best?m de verkande lasterna och rita Q. Cirkeln anger spetsen f?r den kvadratiska parabeln. L?sning: Best?m de belastningar som verkar p? balken. Sektion AC belastas med en j?mnt f?rdelad last, eftersom diagrammet M i detta avsnitt ?r en kvadratisk parabel. I referenssektionen B appliceras ett koncentrerat moment p? str?len, som verkar i medurs riktning, eftersom vi p? diagrammet M har ett upp?tg?ende hopp med momentets storlek. I NE-sektionen ?r balken inte belastad, eftersom diagrammet M i detta avsnitt begr?nsas av en lutande r?t linje. Reaktionen f?r st?d B best?ms utifr?n villkoret att b?jmomentet i sektion C ?r lika med noll, dvs. f?r att best?mma intensiteten av den f?rdelade lasten, sammanst?ller vi ett uttryck f?r b?jmomentet i sektion A som summan av momenten av krafter till h?ger och ?r lika med noll. Nu best?mmer vi reaktionen f?r st?d A. F?r att g?ra detta sammanst?ller vi ett uttryck f?r b?jmoment i snittet som summan av kraftmomenten till v?nster.Ber?kningsschemat f?r en balk med last visas i fig. 1,7, c. Med start fr?n den v?nstra ?nden av balken ber?knar vi v?rdena f?r tv?rkrafterna i sektionernas gr?nssektioner: Plot Q visas i fig. 1.7, d. Det ?verv?gda problemet kan l?sas genom att kompilera funktionella beroenden f?r M, Q i varje avsnitt. L?t oss v?lja ursprunget f?r koordinaterna i den v?nstra ?nden av str?len. P? AC-sektionen uttrycks plotten M av en kvadratisk parabel, vars ekvation har formen konstanter a, b, c, vi finner fr?n villkoret att parabeln passerar genom tre punkter med k?nda koordinater: Ers?tter koordinaterna f?r punkterna in i parabelekvationen f?r vi: Uttrycket f?r b?jmomentet blir Differentiering av funktionen M1 , vi f?r beroendet f?r tv?rkraften Efter differentiering av funktionen Q f?r vi ett uttryck f?r intensiteten av den f?rdelade lasten. I avsnittet NE representeras uttrycket f?r b?jmomentet som en linj?r funktion F?r att best?mma konstanterna a och b anv?nder vi villkoren att denna linje g?r genom tv? punkter vars koordinater ?r k?nda Vi f?r tv? ekvationer: ,b av som vi har en 20. Ekvationen f?r b?jmomentet i sektion NE blir Efter en dubbeldifferentiering av M2 kommer vi att hitta. Baserat p? de funna v?rdena f?r M och Q bygger vi diagram ?ver b?jmoment och skjuvkrafter f?r balken. Ut?ver den f?rdelade lasten appliceras koncentrerade krafter p? balken i tre sektioner, d?r det finns hopp p? Q-diagrammet, och koncentrerade moment i sektionen d?r det finns ett hopp p? M-diagrammet. Exempel 1.5 F?r en balk (Fig. 1.8, a), best?m det rationella l?get f?r g?ngj?rnet C, vid vilket det st?rsta b?jmomentet i spannet ?r lika med b?jmomentet i inb?ddningen (i absolut v?rde). Bygg diagram Q och M. L?sning Best?mning av reaktioner av st?d. Trots att det totala antalet st?dl?nkar ?r fyra ?r balken statiskt best?md. B?jmomentet i g?ngj?rn C ?r lika med noll, vilket g?r att vi kan g?ra en ytterligare ekvation: summan av momenten kring g?ngj?rnet f?r alla yttre krafter som verkar p? ena sidan av detta g?ngj?rn ?r lika med noll. Komponera summan av momenten av alla krafter till h?ger om g?ngj?rnet C. Diagram Q f?r balken begr?nsas av en lutande r?t linje, eftersom q = konst. Vi best?mmer v?rdena f?r tv?rkrafter i balkens gr?nssektioner: Abskissan xK f?r sektionen, d?r Q = 0, best?ms fr?n ekvationen varifr?n plot M f?r balken begr?nsas av en kvadratisk parabel. Uttryck f?r b?jmoment i sektioner, d?r Q = 0, respektive i avslutningen skrivs enligt f?ljande: Fr?n villkoret f?r momentens likhet f?r vi en andragradsekvation med avseende p? den ?nskade parametern x: Det verkliga v?rdet ?r x? 2x 1?.029 m. Vi best?mmer de numeriska v?rdena f?r tv?rkrafterna och b?jmomenten i de karakteristiska sektionerna av balken. 1.8, c - plot M. Det ?verv?gda problemet skulle kunna l?sas genom att dela upp den g?ngj?rnsf?rsedda balken i dess best?ndsdelar, som visas i fig. 1.8, d. I b?rjan best?ms reaktionerna av st?den VC och VB. Tomterna Q och M ?r konstruerade f?r upph?ngningsbalken SV fr?n verkan av den belastning som appliceras p? den. Sedan flyttar de till huvudbalken AC och laddar den med en extra kraft VC, vilket ?r tryckkraften fr?n balken CB p? balken AC. D?refter byggs diagram Q och M f?r AC-balken. 1.4. H?llfasthetsber?kningar f?r direktb?jning av balkar H?llfasthetsber?kning f?r normal- och skjuvsp?nningar. Vid en direkt b?jning av en balk uppst?r normal- och skjuvsp?nningar i dess tv?rsnitt (fig. 1.9). 18 Fig. 1.9 Normalsp?nningar ?r relaterade till b?jmomentet, skjuvsp?nningar ?r relaterade till tv?rkraften. Vid direkt ren bockning ?r skjuvsp?nningar lika med noll. Normalsp?nningar vid en godtycklig punkt av balktv?rsnittet best?ms av formeln (1.4) d?r M ?r b?jmomentet i det givna snittet; Iz ?r tr?ghetsmomentet f?r sektionen relativt den neutrala axeln z; y ?r avst?ndet fr?n den punkt d?r normalsp?nningen best?ms till den neutrala z-axeln. Normala sp?nningar l?ngs sektionens h?jd ?ndras linj?rt och n?r det st?rsta v?rdet p? de punkter som ?r l?ngst bort fr?n den neutrala axeln. Om sektionen ?r symmetrisk kring den neutrala axeln (fig. 1.11) 1.11 de st?rsta drag- och trycksp?nningarna ?r desamma och best?ms av formeln ? - axiellt sektionsmoment vid b?jning. F?r en rektangul?r sektion med en bredd b och en h?jd h: (1.7) F?r en cirkul?r sektion med en diameter d: (1.8) F?r en ringformad sektion ? ? ?r ringens inner- respektive ytterdiameter. F?r balkar gjorda av plastmaterial ?r de mest rationella symmetriska 20 sektionsformer (I-balk, l?dformad, ringformig). F?r balkar gjorda av spr?da material som inte lika motst?r sp?nning och kompression ?r sektioner som ?r asymmetriska kring den neutrala axeln z (ta-br., U-formad, asymmetrisk I-balk) rationella. F?r balkar med konstant tv?rsnitt gjorda av plastmaterial med symmetriska tv?rsnittsformer skrivs h?llfasthetsvillkoret enligt f?ljande: (1.10) d?r Mmax ?r det maximala b?jmomentet modulo; - till?ten sp?nning f?r materialet. F?r balkar med konstant sektion gjorda av plastmaterial med asymmetriska sektionsformer, skrivs h?llfasthetsvillkoret i f?ljande form: (1. 11) F?r balkar gjorda av spr?da material med sektioner som ?r asymmetriska kring den neutrala axeln, om diagrammet M ?r entydigt (Fig. 1.12), m?ste tv? h?llfasthetsvillkor skrivas - avst?ndet fr?n den neutrala axeln till de mest avl?gsna punkterna i str?ckta och komprimerade zoner av den farliga sektionen, respektive; P - till?tna sp?nningar, respektive i sp?nning och kompression. Fig.1.12. 21 Om b?jmomentdiagrammet har sektioner med olika tecken (Fig. 1.13), ?r det, f?rutom att kontrollera sektionen 1-1, d?r Mmax verkar, n?dv?ndigt att ber?kna de maximala dragsp?nningarna f?r sektionen 2-2 (med st?rsta momentet av motsatt tecken). Ris. 1.13 Tillsammans med grundber?kningen f?r normalsp?nningar ?r det i vissa fall n?dv?ndigt att kontrollera balkh?llfastheten f?r skjuvsp?nningar. Skjuvsp?nningar i balkar ber?knas med formeln f?r D. I. Zhuravsky (1.13) d?r Q ?r tv?rkraften i balkens betraktade tv?rsnitt; Szots ?r det statiska momentet kring den neutrala axeln i omr?det f?r den del av sektionen som ligger p? ena sidan av den r?ta linjen som dras genom den givna punkten och parallellt med z-axeln; b ?r sektionens bredd p? niv?n f?r den betraktade punkten; Iz ?r tr?ghetsmomentet f?r hela sektionen kring den neutrala axeln z. I m?nga fall uppst?r de maximala skjuvsp?nningarna i niv? med balkens neutrala lager (rektangel, I-balk, cirkel). I s?dana fall skrivs h?llfasthetsvillkoret f?r skjuvsp?nningar som, (1.14) d?r Qmax ?r den tv?rg?ende kraften med den h?gsta modulen; - till?ten skjuvsp?nning f?r materialet. F?r en rektangul?r balksektion har h?llfasthetsvillkoret formen (1.15) A ?r balkens tv?rsnittsarea. F?r en cirkul?r sektion representeras h?llfasthetsvillkoret som (1.16) F?r en I-sektion skrivs h?llfasthetsvillkoret enligt f?ljande: (1.17) d ?r I-balkens v?ggtjocklek. Vanligtvis best?ms dimensionerna p? balkens tv?rsnitt fr?n h?llfasthetsf?rh?llandet f?r normala sp?nningar. Att kontrollera balkarnas styrka f?r skjuvsp?nningar ?r obligatoriskt f?r korta balkar och balkar av valfri l?ngd, om det finns koncentrerade krafter av stor storlek n?ra st?den, s?v?l som f?r tr?, nitade och svetsade balkar. Exempel 1.6 Kontrollera h?llfastheten hos en l?dbalk (Fig. 1.14) f?r normal- och skjuvsp?nningar, om MPa. Bygg diagram i den farliga delen av balken. Ris. 1.14 Beslut 23 1. Plot Q och M plots fr?n karakteristiska sektioner. Med tanke p? balkens v?nstra sida f?r vi Diagrammet ?ver tv?rkrafterna visas i fig. 1,14, c. Diagrammet f?r b?jmoment visas i fig. 5.14, g. 2. Geometriska egenskaper hos tv?rsnittet 3. De h?gsta normalsp?nningarna i sektion C, d?r Mmax verkar (modulo): MPa. De maximala normalsp?nningarna i balken ?r praktiskt taget lika med de till?tna. 4. De st?rsta tangentiella sp?nningarna i sektion C (eller A), d?r max Q verkar (modulo): H?r ?r det statiska momentet f?r halvsektionsarean relativt den neutrala axeln; ?b2 cm ?r sektionens bredd i niv? med den neutrala axeln. Fig. 5. Tangentialsp?nningar vid en punkt (i v?ggen) i sektion C: Fig. 1.15 H?r ?r Szomc ?8?3?4.5 ?108 cm3 det statiska momentet f?r arean av den del av sektionen som ligger ovanf?r linjen som g?r genom punkten K1; ?b2 cm ?r v?ggtjockleken i niv? med punkt K1. Plotterna ? och ? f?r sektion C av balken visas i fig. 1.15. Exempel 1.7 F?r balken som visas i fig. 1.16, a, kr?vs: 1. Konstruera diagram ?ver tv?rkrafter och b?jmoment l?ngs karakteristiska sektioner (punkter). 2. Best?m dimensionerna p? tv?rsnittet i form av en cirkel, rektangel och I-balk fr?n h?llfasthetsf?rh?llandet f?r normala sp?nningar, j?mf?r tv?rsnittsareorna. 3. Kontrollera de valda m?tten p? balksektionerna f?r skjuvsp?nningar. Givet: L?sning: 1. Best?m balkst?dens reaktioner Kontrollera: 2. Rita Q- och M-diagram. V?rden p? tv?rkrafter i karakteristiska sektioner av balken 25 Fig. 1.16 I avsnitt CA och AD ?r belastningsintensiteten q = konst. D?rf?r, i dessa sektioner, ?r diagrammet Q begr?nsat till raka linjer som lutar mot axeln. I avsnittet DB ?r intensiteten av den distribuerade lasten q \u003d 0, d?rf?r ?r diagrammet Q i detta avsnitt begr?nsat till en r?t linje parallell med x-axeln. Diagram Q f?r balken visas i fig. 1.16b. V?rden f?r b?jmoment i balkens karakteristiska sektioner: I den andra sektionen best?mmer vi abskissan x2 f?r sektionen, d?r Q = 0: Det maximala momentet i den andra sektionen Diagram M f?r balken visas i fig. . 1,16, c. 2. Sammanst?ll h?llfasthetsvillkoret f?r normala sp?nningar, fr?n vilket vi best?mmer den erforderliga axiella sektionsmodulen fr?n uttrycket best?md erforderlig diameter d f?r en cirkul?r sektionsbalk Cirkul?r sektionsarea F?r en rektangul?r balk Erforderlig sektionsh?jd Rektangul?r sektionsarea Enligt tabellerna i GOST 8239-89 hittar vi det n?rmaste st?rre v?rdet av det axiella motst?ndsmomentet 597 cm3, vilket motsvarar I-balken nr 33 med egenskaperna: A z 9840 cm4. Toleranskontroll: (underbelastning med 1% av till?tna 5%), n?rmaste I-balk nr 30 (W 2 cm3) leder till en betydande ?verbelastning (mer ?n 5%). Vi accepterar ?ntligen I-balken nr 33. Vi j?mf?r arean av cirkul?ra och rektangul?ra sektioner med den minsta arean A av I-balken: Av de tre betraktade sektionerna ?r I-sektionen den mest ekonomiska. 3. Vi ber?knar de st?rsta normalsp?nningarna i den farliga sektionen 27 av I-balken (Fig. 1.17, a): Normalsp?nningar i v?ggen n?ra I-balksektionens fl?ns. 1.17b. 5. Vi best?mmer de st?rsta skjuvsp?nningarna f?r de valda sektionerna av balken. a) rektangul?r sektion av balken: b) cirkul?r sektion av balken: c) I-sektion av balken: Skjuvsp?nningar i v?ggen n?ra I-balkens fl?ns i den farliga delen A (till h?ger) (vid punkt 2): Diagrammet ?ver skjuvsp?nningar i I-balkens farliga sektioner visas i fig. 1,17, in. De maximala skjuvsp?nningarna i balken ?verstiger inte de till?tna sp?nningarna Exempel 1.8 Best?m den till?tna belastningen p? balken (Fig. 1.18, a), om 60MPa, ges tv?rsnittsm?tten (Fig. 1.19, a). Konstruera ett diagram ?ver normala sp?nningar i den farliga delen av balken under till?ten belastning. Fig 1.18 1. Best?mning av balkst?dens reaktioner. Med tanke p? systemets symmetri 2. Konstruktion av diagram Q och M fr?n karakteristiska sektioner. Skjuvkrafter i balkens karakteristiska sektioner: Diagram Q f?r balken visas i fig. 5.18b. B?jmoment i balkens karakteristiska sektioner F?r den andra halvan av balken ?r ordinaterna M l?ngs symmetriaxlarna. Diagram M f?r balken visas i fig. 1.18b. 3. Geometriska egenskaper f?r sektionen (Fig. 1.19). Vi delar upp figuren i tv? enkla element: en I-str?le - 1 och en rektangel - 2. Fig. 1.19 Enligt sortimentet f?r I-balk nr 20 har vi F?r en rektangel: Statiskt moment f?r sektionsarean relativt z1-axeln Avst?nd fr?n z1-axeln till sektionens tyngdpunkt Tr?ghetsmoment f?r sektionens relativa till huvudaxeln z f?r hela sektionen enligt formlerna f?r ?verg?ngen till parallella axlar farlig punkt "a" (fig. 1.19) i farlig sektion I (fig. 1.18): Efter ers?ttning av numeriska data 5. Med en till?ten belastning i den farliga sektionen kommer normalsp?nningarna vid punkterna "a" och "b" att vara lika: farlig sektion 1-1 visas i fig. 1,19b.

r?kna balk f?r bockning det finns flera alternativ:
1. Ber?kning av den maximala belastningen som den klarar
2. Val av sektion av denna balk
3. Ber?kning av h?gsta till?tna sp?nningar (f?r verifiering)
l?t oss ?verv?ga allm?n princip f?r val av balksektion p? tv? st?d belastade med en j?mnt f?rdelad last eller en koncentrerad kraft.
Till att b?rja med m?ste du hitta en punkt (sektion) d?r det kommer att finnas ett maximalt ?gonblick. Det beror p? balkens st?d eller dess avslutning. Nedan finns diagram ?ver b?jmoment f?r scheman som ?r vanligast.

Efter att ha hittat b?jmomentet m?ste vi hitta modulen Wx f?r detta avsnitt enligt formeln i tabellen:

Vidare, n?r vi dividerar det maximala b?jmomentet med motst?ndsmomentet i en given sektion, f?r vi maximal sp?nning i balken och denna p?k?nning m?ste vi j?mf?ra med den p?k?nning som v?r str?le av ett givet material i allm?nhet t?l.

F?r plastmaterial(st?l, aluminium etc.) blir den maximala sp?nningen lika med materialets str?ckgr?ns, a f?r ?mt?liga(gjutj?rn) - brottgr?ns. Vi kan hitta str?ckgr?nsen och draggr?nsen fr?n tabellerna nedan.

L?t oss titta p? ett par exempel:
1. [i] Du vill kontrollera om en I-balk nr 10 (St3sp5 st?l) 2 meter l?ng stelt inb?ddad i v?ggen t?l dig om du h?nger p? den. L?t din vikt vara 90 kg.
F?rst m?ste vi v?lja ett ber?kningsschema.

Detta diagram visar att det maximala momentet kommer att vara i avslutningen, och eftersom v?r I-balk har samma sektion l?ngs hela l?ngden, d? kommer den maximala sp?nningen att vara i avslutningen. L?t oss hitta det:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Enligt I-balkens sortimentstabell hittar vi motst?ndsmomentet f?r I-balk nr 10.

Det blir lika med 39,7 cm3. Konvertera till kubikmeter och f? 0,0000397 m3.
Vidare, enligt formeln, hittar vi de maximala sp?nningar som vi har i balken.

b = M/W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Efter att vi har hittat den maximala sp?nningen som uppst?r i balken kan vi j?mf?ra den med den maximalt till?tna sp?nningen lika med str?ckgr?nsen f?r st?l St3sp5 - 245 MPa.

45,34 MPa - h?ger, s? denna I-balk t?l en massa p? 90 kg.

2. [i] Eftersom vi fick ganska stor marginal kommer vi att l?sa det andra problemet, d?r vi ska hitta den maximalt m?jliga massan som samma I-balk nr 10, 2 meter l?ng, t?l.
Om vi vill hitta den maximala massan m?ste vi likst?lla v?rdena f?r str?ckgr?nsen och sp?nningen som kommer att uppst? i balken (b \u003d 245 MPa \u003d 245 000 kN * m2).

10.1. Allm?nna begrepp och definitioner

b?ja- detta ?r en typ av belastning d?r staven belastas med moment i plan som passerar genom stavens l?ngdaxel.

En stav som fungerar i b?jning kallas en balk (eller balk). I framtiden kommer vi att ?verv?ga raka balkar, vars tv?rsnitt har minst en symmetriaxel.

I materialresistans ?r b?jningen platt, snett och komplex.

platt b?j- b?jning, d?r alla krafter som b?jer balken ligger i ett av balkens symmetriplan (i ett av huvudplanen).

Balkens huvudsakliga tr?ghetsplan ?r de plan som passerar genom tv?rsnittens huvudaxlar och balkens geometriska axel (x-axeln).

sned b?j- b?jning, d?r lasterna verkar i ett plan som inte sammanfaller med huvudtr?ghetsplanen.

Komplex b?j- b?jning, d?r lasterna verkar i olika (godtyckliga) plan.

10.2. Best?mning av inre b?jkrafter

L?t oss ?verv?ga tv? karakteristiska fall av b?jning: i det f?rsta fallet b?js den frib?rande balken av det koncentrerade momentet Mo; i den andra, av den koncentrerade kraften F.

Genom att anv?nda metoden f?r mentala sektioner och sammanst?lla j?mviktsekvationerna f?r str?lens avskurna delar, best?mmer vi de inre krafterna i b?da fallen:

Resten av j?mviktsekvationerna ?r uppenbarligen identiskt lika med noll.

S?lunda, i det allm?nna fallet med platt b?jning i balksektionen, av sex inre krafter, uppst?r tv? - b?jningsmoment Mz och skjuvkraft Qy (eller vid b?jning kring en annan huvudaxel - b?jmomentet My och tv?rkraften Qz).

I det h?r fallet, i enlighet med de tv? ?verv?gda belastningsfallen, kan platt b?jning delas in i ren och tv?rg?ende.

Ren b?j- platt b?jning, d?r endast en av sex inre krafter uppst?r i sektionerna av st?ngen - ett b?jmoment (se det f?rsta fallet).

tv?rg?ende b?j- b?jning, i vilken f?rutom det inre b?jmomentet ?ven en tv?rkraft uppst?r i stavens sektioner (se det andra fallet).

Str?ngt taget h?r endast ren b?jning till de enkla typerna av motst?nd; tv?rg?ende b?jning h?nvisas villkorligt till enkla typer av motst?nd, eftersom i de flesta fall (f?r tillr?ckligt l?nga balkar) verkan av en tv?rkraft kan f?rsummas i h?llfasthetsber?kningar.

N?r vi best?mmer interna krafter kommer vi att f?lja f?ljande teckenregel:

1) tv?rkraften Qy anses vara positiv om den tenderar att rotera balkelementet medurs;

2) b?jmomentet Mz anses positivt om, n?r balkelementet b?js, de ?vre fibrerna i elementet komprimeras och de nedre fibrerna str?cks (paraplyregel).

S?lunda kommer l?sningen av problemet med att best?mma de inre krafterna under b?jning att byggas enligt f?ljande plan: 1) i det f?rsta skedet, med h?nsyn till strukturens j?mviktsf?rh?llanden som helhet, best?mmer vi, om n?dv?ndigt, de ok?nda reaktionerna av st?den (observera att f?r en frib?rande balk kan reaktioner i inb?ddningen finnas och inte hittas om vi betraktar balken fr?n den fria ?nden); 2) i det andra steget v?ljer vi de karakteristiska sektionerna av balken, och tar som gr?nserna f?r sektionerna punkterna f?r applicering av krafter, punkter f?r f?r?ndring av balkens form eller dimensioner, f?stpunkter f?r balken; 3) i det tredje steget best?mmer vi de inre krafterna i balksektionerna, med h?nsyn till j?mviktsf?rh?llandena f?r balkelementen i var och en av sektionerna.

10.3. Differentiella beroenden i b?jning

L?t oss fastst?lla n?gra samband mellan interna krafter och externa b?jningsbelastningar, s?v?l som de karakteristiska egenskaperna hos Q- och M-diagram, vars kunskap kommer att underl?tta konstruktionen av diagram och l?ta dig kontrollera deras korrekthet. F?r att underl?tta notationen kommer vi att beteckna: M?Mz, Q?Qy.

L?t oss allokera ett litet element dx i en sektion av en balk med en godtycklig belastning p? en plats d?r det inte finns n?gra koncentrerade krafter och moment. Eftersom hela balken ?r i j?mvikt kommer elementet dx ocks? att vara i j?mvikt under inverkan av tv?rkrafter som appliceras p? det, b?jmoment och extern belastning. Eftersom Q och M i allm?nhet varierar

balkens axel, d? kommer det i sektionerna av elementet dx att finnas tv?rkrafter Q och Q + dQ, s?v?l som b?jmoment M och M + dM. Fr?n j?mviktstillst?ndet f?r det valda elementet f?r vi

Den f?rsta av de tv? skrivna ekvationerna ger villkoret

Fr?n den andra ekvationen, om man f?rsummar termen q dx (dx/2) som en infinitesimal kvantitet av andra ordningen, finner vi

Med tanke p? uttryck (10.1) och (10.2) tillsammans kan vi f?

Relationer (10.1), (10.2) och (10.3) kallas differentiella beroenden av D. I. Zhuravsky vid b?jning.

Analysen av ovanst?ende differentiella beroenden vid b?jning g?r det m?jligt f?r oss att fastst?lla n?gra funktioner (regler) f?r att konstruera diagram ?ver b?jmoment och skjuvkrafter: a - i omr?den d?r det inte finns n?gon f?rdelad last q, ?r diagram Q begr?nsade till raka linjer parallella med bas och diagram M ?r lutande r?ta linjer; b - i sektioner d?r en f?rdelad last q appliceras p? balken, begr?nsas Q-diagrammen av lutande r?ta linjer och M-diagrammen begr?nsas av kvadratiska paraboler.

I det h?r fallet, om vi bygger diagrammet M "p? en str?ckt fiber", kommer parabelns konvexitet att riktas i verkansriktningen f?r q, och extremumet kommer att vara bel?get i sektionen d?r diagrammet Q sk?r basen linje; c - i sektioner d?r en koncentrerad kraft appliceras p? str?len, p? Q-diagrammet kommer det att finnas hopp med v?rdet och i riktningen f?r denna kraft, och p? M-diagrammet finns det kinks, spetsen riktad i riktning mot denna tvinga; d - i sektioner d?r ett koncentrerat moment appliceras p? str?len kommer det inte att ske n?gra f?r?ndringar p? Q-diagrammet, och p? M-diagrammet kommer det att finnas hopp med v?rdet av detta moment; e - i sektioner d?r Q>0, ?gonblicket M ?kar, och i sektioner d?r Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normala sp?nningar vid ren b?jning av en rak balk

L?t oss betrakta fallet med en ren plan b?jning av en balk och h?rleda en formel f?r att best?mma de normala sp?nningarna f?r detta fall.

Observera att i elasticitetsteorin ?r det m?jligt att erh?lla ett exakt beroende f?r normala sp?nningar i ren b?jning, men om detta problem l?ses med metoder f?r resistans av material, ?r det n?dv?ndigt att inf?ra n?gra antaganden.

Det finns tre s?dana hypoteser f?r b?jning:

a - hypotesen om platta sektioner (Bernoullis hypotes) - sektionerna ?r plana f?re deformation och f?rblir plana efter deformation, men roterar bara kring en viss linje, som kallas balksektionens neutralaxel. I detta fall kommer str?lens fibrer, som ligger p? ena sidan av den neutrala axeln, att str?ckas och p? den andra komprimeras; fibrer som ligger p? den neutrala axeln ?ndrar inte sin l?ngd;

b - hypotesen om konstansen hos normala sp?nningar - sp?nningar som verkar p? samma avst?nd y fr?n den neutrala axeln ?r konstanta ?ver str?lens bredd;

c – hypotes om fr?nvaro av sidotryck – angr?nsande l?ngsg?ende fibrer trycker inte p? varandra.

Den statiska sidan av problemet

F?r att best?mma sp?nningarna i balkens tv?rsnitt ?verv?ger vi f?rst och fr?mst de statiska sidorna av problemet. Genom att till?mpa metoden f?r mentala sektioner och sammanst?lla j?mviktsekvationerna f?r balkens avsk?rningsdel hittar vi de inre krafterna under b?jning. Som det visades tidigare ?r den enda inre kraften som verkar i sektionen av st?ngen med ren b?jning det inre b?jmomentet, vilket inneb?r att normala sp?nningar f?rknippade med det kommer att uppst? h?r.

Vi finner sambandet mellan inre krafter och normalsp?nningar i balksektionen genom att beakta sp?nningarna p? elementararean dA, valda i tv?rsnittet A av balken i en punkt med koordinaterna y och z (y-axeln ?r riktad ned?t f?r att underl?tta analys):

Som vi kan se ?r problemet internt statiskt obest?mt, eftersom arten av f?rdelningen av normalsp?nningar ?ver tv?rsnittet ?r ok?nd. F?r att l?sa problemet, ?verv?g det geometriska m?nstret av deformationer.

Den geometriska sidan av problemet

Betrakta deformationen av ett balkelement med l?ngden dx valt fr?n en b?jningsstav vid en godtycklig punkt med koordinaten x. Med h?nsyn till den tidigare accepterade hypotesen om plana sektioner, efter b?jning av balksektionen, rotera relativt den neutrala axeln (n.r.) med en vinkel df, medan fibern ab, som ?r p? ett avst?nd y fr?n den neutrala axeln, kommer att f?rvandlas till en cirkelb?ge a1b1, och dess l?ngd kommer att ?ndras med en viss storlek. H?r minns vi att l?ngden p? fibrerna som ligger p? den neutrala axeln inte f?r?ndras, och d?rf?r har b?gen a0b0 (vars kr?kningsradie vi betecknar med r) samma l?ngd som segmentet a0b0 f?re deformation a0b0=dx.

L?t oss hitta den relativa linj?ra deformationen ex f?r fibern ab i den kr?kta balken.

b?ja kallas deformation, i vilken stavens axel och alla dess fibrer, d.v.s. l?ngsg?ende linjer parallella med stavens axel, b?js under inverkan av yttre krafter. Det enklaste fallet med b?jning erh?lls n?r de yttre krafterna ligger i ett plan som g?r genom st?ngens centralaxel och inte skjuter ut p? denna axel. Ett s?dant fall av b?jning kallas tv?rb?jning. Skilj platt b?j och sned.

platt b?j- ett s?dant fall n?r st?ngens b?jda axel ?r bel?gen i samma plan i vilket yttre krafter verkar.

Sned (komplex) b?j- ett s?dant fall av b?jning, n?r st?ngens b?jda axel inte ligger i verkansplanet f?r yttre krafter.

En bockningsst?ng kallas vanligtvis str?le.

Med en platt tv?rb?jning av balkar i en sektion med ett koordinatsystem y0x kan tv? inre krafter uppst? - en tv?rkraft Q y och ett b?jmoment M x; i det f?ljande introducerar vi notationen F och M. Om det inte finns n?gon tv?rkraft i sektionen eller sektionen av balken (Q = 0), och b?jmomentet inte ?r lika med noll eller M ?r konst, s? kallas en s?dan b?j vanligtvis rena.

Skjuvkraft i n?gon sektion av str?len ?r numeriskt lika med den algebraiska summan av projektionerna p? axeln av alla krafter (inklusive st?dreaktioner) som ?r bel?gna p? ena sidan (vilken som helst) av sektionen.

B?jningsmoment i balksektionen ?r numeriskt lika med den algebraiska summan av momenten av alla krafter (inklusive st?dreaktioner) bel?gna p? ena sidan (vilken som helst) av sektionen ritad i f?rh?llande till denna sektions tyngdpunkt, mer exakt, relativt axeln passerar vinkelr?tt mot ritningens plan genom tyngdpunkten f?r den ritade sektionen.

Q-kraft representerar resulterande f?rdelade ?ver tv?rsnittet av inre skjuvsp?nningar, a ?gonblick M– summan av ?gonblick runt den centrala axeln av sektionen X inre normala p?frestningar.

Det finns ett differentiellt f?rh?llande mellan inre krafter

som anv?nds vid konstruktion och verifiering av diagram Q och M.

Eftersom en del av balkens fibrer ?r str?ckta, och en del ?r komprimerade, och ?verg?ngen fr?n sp?nning till kompression sker smidigt, utan hopp, finns det i mitten av balken ett lager vars fibrer bara b?js, men inte heller upplever sp?nning eller kompression. Ett s?dant lager kallas neutralt lager. Linjen l?ngs vilken det neutrala lagret sk?r str?lens tv?rsnitt kallas neutral linje th eller neutral axel avsnitt. Neutrala linjer ?r upptr?dda p? str?lens axel.

Linjer ritade p? balkens sidoyta vinkelr?t mot axeln f?rblir plana n?r de b?js. Dessa experimentella data g?r det m?jligt att basera slutsatserna av formlerna p? hypotesen om platta sektioner. Enligt denna hypotes ?r balkens sektioner plana och vinkelr?ta mot dess axel innan de b?js, f?rblir plana och blir vinkelr?ta mot balkens b?jda axel n?r den b?js. Balkens tv?rsnitt f?rvr?ngs under b?jning. P? grund av tv?rg?ende deformation ?kar dimensionerna p? tv?rsnittet i balkens komprimerade zon, och i sp?nningszonen komprimeras de.

Antaganden f?r att h?rleda formler. Normala p?frestningar

1) Hypotesen om plana sektioner ?r uppfylld.

2) Longitudinella fibrer trycker inte p? varandra och d?rf?r fungerar linj?ra sp?nningar eller kompressioner under inverkan av normala p?k?nningar.

3) Fibrernas deformationer beror inte p? deras position l?ngs sektionens bredd. F?ljaktligen f?rblir de normala sp?nningarna, som ?ndras l?ngs sektionens h?jd, desamma ?ver hela bredden.

4) Balken har minst ett symmetriplan, och alla yttre krafter ligger i detta plan.

5) Balkens material f?ljer Hookes lag, och elasticitetsmodulen i sp?nning och kompression ?r densamma.

6) F?rh?llandena mellan balkens dimensioner ?r s?dana att den fungerar i plana b?jningsf?rh?llanden utan vridning eller vridning.

Med en ren b?jning av en balk p? plattformarna i sin sektion, endast normala p?frestningar, best?ms av formeln:

d?r y ?r koordinaten f?r en godtycklig punkt i sektionen, m?tt fr?n neutrallinjen - huvudaxeln x.

Normala b?jsp?nningar l?ngs sektionens h?jd ?r f?rdelade ?ver linj?r lag. P? de extrema fibrerna n?r de normala sp?nningarna sitt maximala v?rde, och i tyngdpunkten ?r tv?rsnitten lika med noll.

Typen av normala sp?nningsdiagram f?r symmetriska sektioner med avseende p? neutrallinjen

Typen av normala sp?nningsdiagram f?r sektioner som inte har symmetri kring neutrallinjen

Farliga punkter ?r de l?ngst bort fr?n den neutrala linjen.

L?t oss v?lja ett avsnitt

F?r vilken punkt som helst i avsnittet, l?t oss kalla det en punkt Till, balkh?llfasthetsvillkoret f?r normala sp?nningar har formen:

, d?r i.d. - detta ?r neutral axel

detta ?r axiell sektionsmodul om den neutrala axeln. Dess dimension ?r cm 3, m 3. Motst?ndsmomentet k?nnetecknar inverkan av tv?rsnittets form och dimensioner p? sp?nningarnas storlek.

Styrketillst?nd f?r normala p?frestningar:

Normalsp?nningen ?r lika med f?rh?llandet mellan det maximala b?jmomentet och den axiella sektionsmodulen i f?rh?llande till den neutrala axeln.

Om materialet oj?mnt motst?r str?ckning och kompression, m?ste tv? h?llfasthetsf?rh?llanden anv?ndas: f?r en str?ckzon med en till?ten dragsp?nning; f?r kompressionszonen med till?ten trycksp?nning.

Med tv?rb?jning fungerar balkarna p? plattformarna i sin sektion som vanligt, och tangenter Sp?nning.

rak b?j- detta ?r en typ av deformation d?r tv? inre kraftfaktorer uppst?r i stavens tv?rsnitt: ett b?jmoment och en tv?rkraft.

Ren b?j- detta ?r ett specialfall av direkt b?jning, d?r endast ett b?jmoment intr?ffar i st?ngens tv?rsnitt och tv?rkraften ?r noll.

Pure Bend Exempel - Plot CD p? sp?et AB. B?jningsmoment?r v?rdet Pa ett par yttre krafter som orsakar b?jning. Fr?n j?mvikten f?r den del av staven till v?nster om tv?rsnittet mn det f?ljer att de inre krafterna f?rdelade ?ver denna sektion ?r statiskt ekvivalenta med momentet M, lika med och motsatt b?jmomentet Pa.

F?r att hitta f?rdelningen av dessa inre krafter ?ver tv?rsnittet ?r det n?dv?ndigt att ?verv?ga deformationen av st?ngen.

I det enklaste fallet har st?ngen ett longitudinellt symmetriplan och uts?tts f?r verkan av externa b?jande kraftpar bel?gna i detta plan. D? kommer b?jningen att ske i samma plan.

stavaxel nn 1?r en linje som g?r genom tyngdpunkterna f?r dess tv?rsnitt.

L?t stavens tv?rsnitt vara en rektangel. Rita tv? vertikala linjer p? dess ytor mm och pp. N?r de ?r b?jda f?rblir dessa linjer raka och roterar s? att de f?rblir vinkelr?ta mot stavens l?ngsg?ende fibrer.

En ytterligare teori om b?jning bygger p? antagandet att inte bara linjer mm och pp men hela den plana tv?rsektionen av st?ngen f?rblir platt efter b?jning och vinkelr?t mot st?ngens l?ngsg?ende fibrer. D?rf?r, vid b?jning, tv?rsnitten mm och pp rotera i f?rh?llande till varandra runt axlar vinkelr?ta mot b?jningsplanet (ritningsplanet). I detta fall upplever de l?ngsg?ende fibrerna p? den konvexa sidan sp?nning, och fibrerna p? den konkava sidan upplever kompression.

neutral yta?r en yta som inte upplever deformation under b?jning. (Nu ?r den placerad vinkelr?tt mot ritningen, st?ngens deformerade axel nn 1 tillh?r denna yta).

Neutral tv?rsnittsaxel- detta ?r sk?rningspunkten mellan en neutral yta och vilken som helst med valfritt tv?rsnitt (nu ocks? placerad vinkelr?tt mot ritningen).

L?t en godtycklig fiber vara p? avst?nd y fr?n en neutral yta. r ?r kr?kningsradien f?r den kr?kta axeln. Punkt O?r kr?kningscentrum. L?t oss dra en linje n 1 s 1 parallell mm.ss 1?r fiberns absoluta f?rl?ngning.

Relativ f?rl?ngning e x fibrer

Det f?ljer att deformation av de l?ngsg?ende fibrerna proportionell mot avst?ndet y fr?n den neutrala ytan och omv?nt proportionell mot kr?kningsradien r .

Longitudinell f?rl?ngning av fibrerna p? den konvexa sidan av st?ngen ?tf?ljs av sidof?rtr?ngning, och den l?ngsg?ende f?rkortningen av den konkava sidan - sidof?rl?ngning, som i fallet med enkel stretching och sammandragning. P? grund av detta f?r?ndras utseendet p? alla tv?rsnitt, de vertikala sidorna av rektangeln blir lutande. Sidodeformation z:

m - Poissons f?rh?llande.

Som ett resultat av denna distorsion ?r alla raka tv?rsnittslinjer parallella med axeln z, b?js s? att de f?rblir normala mot sektionens sidor. Kr?kningsradien f?r denna kurva R kommer att vara mer ?n r p? samma s?tt som e x ?r st?rre i absolut v?rde ?n e z , och vi f?r

Dessa deformationer av de l?ngsg?ende fibrerna motsvarar sp?nningar

Sp?nningen i vilken fiber som helst ?r proportionell mot dess avst?nd fr?n den neutrala axeln. n 1 n 2. Den neutrala axelns position och kr?kningsradie r ?r tv? ok?nda i ekvationen f?r s x - kan best?mmas utifr?n villkoret att krafterna f?rdelade ?ver vilket tv?rsnitt som helst bildar ett kraftpar som balanserar det yttre momentet M.

Allt ovanst?ende ?r ocks? sant om st?ngen inte har ett longitudinellt symmetriplan i vilket b?jmomentet verkar, s? l?nge som b?jmomentet verkar i axialplanet, som inneh?ller en av de tv? huvudaxlar tv?rsnitt. Dessa plan kallas huvudb?jningsplan.

N?r det finns ett symmetriplan och b?jmomentet verkar i detta plan sker avb?jningen i det. Moment av inre krafter runt axeln z balansera det yttre momentet M. Moment av anstr?ngning i f?rh?llande till axeln y?r ?msesidigt f?rst?rda.