I denna artikel betraktas metoden som ett s?tt att l?sa system av linj?ra ekvationer (SLAE). Metoden ?r analytisk, det vill s?ga den l?ter dig skriva in en l?sningsalgoritm allm?n syn, och ers?tt sedan v?rden fr?n specifika exempel d?r. Till skillnad fr?n matrismetoden eller Cramers formler kan man n?r man l?ser ett system av linj?ra ekvationer med Gauss-metoden ocks? arbeta med de som har o?ndligt m?nga l?sningar. Eller s? har de det inte alls.

Vad betyder Gauss?

F?rst m?ste du skriva ner v?rt ekvationssystem i Det ser ut s? h?r. Systemet ?r taget:

Koefficienterna skrivs i form av en tabell, och till h?ger i en separat kolumn - fria medlemmar. Kolumnen med lediga medlemmar ?r separerad f?r bekv?mlighets skull. Matrisen som inneh?ller denna kolumn kallas ut?kad.

Vidare m?ste huvudmatrisen med koefficienter reduceras till den ?vre triangul?ra formen. Detta ?r huvudpo?ngen med att l?sa systemet med Gauss-metoden. Enkelt uttryckt, efter vissa manipulationer, b?r matrisen se ut s? h?r, s? att det bara finns nollor i den nedre v?nstra delen:

Sedan, om du skriver den nya matrisen igen som ett ekvationssystem, kommer du att m?rka att den sista raden redan inneh?ller v?rdet av en av r?tterna, som sedan ers?tts i ekvationen ovan, en annan rot hittas, och s? vidare.

Detta ?r en beskrivning av l?sningen med Gauss-metoden i de mest allm?nna termerna. Och vad h?nder om systemet pl?tsligt inte har en l?sning? Eller finns det ett o?ndligt antal av dem? F?r att svara p? dessa och m?nga fler fr?gor ?r det n?dv?ndigt att separat ?verv?ga alla element som anv?nds i l?sningen med Gauss-metoden.

Matriser, deras egenskaper

Det finns ingen dold mening i matrisen. Det ?r bara ett bekv?mt s?tt att spela in data f?r senare operationer. Inte ens skolbarn ska vara r?dda f?r dem.

Matrisen ?r alltid rektangul?r, eftersom den ?r bekv?mare. ?ven i Gauss-metoden, d?r allt g?r ut p? att bygga en triangul?r matris, dyker en rektangel upp i posten, bara med nollor p? den plats d?r det inte finns n?gra siffror. Nollor kan utel?mnas, men de ?r underf?rst?dda.

Matrisen har en storlek. Dess "bredd" ?r antalet rader (m), dess "l?ngd" ?r antalet kolumner (n). D? kommer storleken p? matrisen A (latinska versaler anv?nds vanligtvis f?r deras beteckning) att betecknas som A mxn . Om m=n ?r denna matris kvadratisk och m=n ?r dess ordning. F?ljaktligen kan vilket element som helst i matrisen A betecknas med numret p? dess rad och kolumn: a xy; x - radnummer, ?ndringar , y - kolumnnummer, ?ndringar .

B ?r inte huvudpo?ngen med l?sningen. I princip kan alla operationer utf?ras direkt med sj?lva ekvationerna, men notationen kommer att visa sig vara mycket kr?ngligare, och det blir mycket l?ttare att bli f?rvirrad i den.

Determinant

Matrisen har ocks? en determinant. Detta ?r en mycket viktig egenskap. Att ta reda p? dess inneb?rd nu ?r inte v?rt det, du kan helt enkelt visa hur det ber?knas och sedan ber?tta vilka egenskaper hos matrisen den best?mmer. Det enklaste s?ttet att hitta determinanten ?r genom diagonaler. I matrisen ritas imagin?ra diagonaler; elementen som finns p? var och en av dem multipliceras, och sedan l?ggs de resulterande produkterna till: diagonaler med en lutning till h?ger - med ett "plus"-tecken, med en lutning till v?nster - med ett "minustecken".

Det ?r extremt viktigt att notera att determinanten endast kan ber?knas f?r en kvadratisk matris. F?r en rektangul?r matris kan du g?ra f?ljande: v?lj det minsta av antalet rader och antalet kolumner (l?t det vara k), och markera sedan slumpm?ssigt k kolumner och k rader i matrisen. Elementen som ligger i sk?rningspunkten mellan de valda kolumnerna och raderna kommer att bilda en ny kvadratisk matris. Om best?mningsfaktorn f?r en s?dan matris ?r ett annat tal ?n noll, s? kallas det basmoll f?r den ursprungliga rektangul?ra matrisen.

Innan man g?r vidare med l?sningen av ekvationssystemet med Gauss-metoden skadar det inte att ber?kna determinanten. Om det visar sig vara noll, kan vi omedelbart s?ga att matrisen antingen har ett o?ndligt antal l?sningar, eller s? finns det inga alls. I ett s? tr?kigt fall m?ste du g? l?ngre och ta reda p? matrisens rangordning.

Systemklassificering

Det finns en s?dan sak som rangen av en matris. Detta ?r den maximala ordningen f?r dess icke-noll-determinant (med tanke p? grundminoren kan vi s?ga att rangordningen f?r en matris ?r ordningen f?r basminor).

Beroende p? hur det ?r med rangen kan SLAE delas in i:

• Gemensam. P? av gemensamma system sammanfaller rankningen av huvudmatrisen (som endast best?r av koefficienter) med rankningen av den ut?kade (med en kolumn av fria medlemmar). S?dana system har en l?sning, men inte n?dv?ndigtvis en, d?rf?r ?r gemensamma system dessutom uppdelade i:
• - vissa- att ha en unik l?sning. I vissa system ?r rangordningen av matrisen och antalet ok?nda (eller antalet kolumner, vilket ?r samma sak) lika;
• - obest?md - med ett o?ndligt antal l?sningar. Rangen av matriser f?r s?dana system ?r mindre ?n antalet ok?nda.
• Of?renlig. P? s?dana system sammanfaller inte raden av huvudmatrisen och den ut?kade matrisen. Inkompatibla system har ingen l?sning.

Gaussmetoden ?r bra genom att den till?ter att man antingen f?r ett entydigt bevis p? systemets inkonsekvens (utan att ber?kna determinanterna f?r stora matriser) eller en generell l?sning f?r ett system med ett o?ndligt antal l?sningar.

Element?ra transformationer

Innan du g?r vidare direkt till systemets l?sning ?r det m?jligt att g?ra det mindre besv?rligt och bekv?mare f?r ber?kningar. Detta uppn?s genom element?ra transformationer - s? att implementeringen av dem inte f?r?ndrar det slutliga svaret p? n?got s?tt. Det b?r noteras att n?gra av ovanst?ende element?ra transformationer endast ?r giltiga f?r matriser, vars k?lla var just SLAE. H?r ?r en lista ?ver dessa transformationer:

1. Str?ngpermutation. Det ?r uppenbart att om vi ?ndrar ordningen p? ekvationerna i systemposten s? kommer detta inte att p?verka l?sningen p? n?got s?tt. F?ljaktligen ?r det ocks? m?jligt att byta rader i matrisen f?r detta system, utan att naturligtvis gl?mma kolumnen med fria medlemmar.
2. Multiplicera alla element i en str?ng med n?gon faktor. Mycket anv?ndbart! Med den kan du minska stora tal i matrisen eller ta bort nollor. Upps?ttningen av l?sningar kommer som vanligt inte att f?r?ndras, och det kommer att bli bekv?mare att utf?ra ytterligare operationer. Huvudsaken ?r att koefficienten inte ?r lika med noll.
3. Ta bort rader med proportionalkoefficienter. Detta f?ljer delvis av f?reg?ende stycke. Om tv? eller flera rader i matrisen har proportionella koefficienter, d? n?r du multiplicerar / dividerar en av raderna med proportionalitetskoefficienten, erh?lls tv? (eller, ?terigen, fler) absolut identiska rader, och du kan ta bort de extra, och bara l?mna kvar ett.
4. Ta bort nolllinjen. Om under loppet av transformationer en str?ng erh?lls n?gonstans d?r alla element, inklusive den fria medlemmen, ?r noll, kan en s?dan str?ng kallas noll och kastas ut ur matrisen.
5. L?gga till elementen i en rad elementen i en annan (i motsvarande kolumner), multiplicerat med en viss koefficient. Den mest oklara och viktigaste f?rvandlingen av alla. Det ?r v?rt att uppeh?lla sig mer i detalj.

L?gga till en str?ng multiplicerad med en faktor

F?r att underl?tta f?rst?elsen ?r det v?rt att demontera denna process steg f?r steg. Tv? rader tas fr?n matrisen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Anta att du beh?ver l?gga till den f?rsta till den andra, multiplicerad med koefficienten "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 x a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 x a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 x a 1n

Sedan i matrisen ers?tts den andra raden med en ny, och den f?rsta f?rblir of?r?ndrad.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Det b?r noteras att multiplikationsfaktorn kan v?ljas p? ett s?dant s?tt att, som ett resultat av till?gget av tv? str?ngar, ett av elementen i den nya str?ngen ?r lika med noll. D?rf?r ?r det m?jligt att f? en ekvation i systemet, d?r det kommer att finnas en mindre ok?nd. Och om du f?r tv? s?dana ekvationer, d? kan operationen g?ras igen och f? en ekvation som redan kommer att inneh?lla tv? mindre ok?nda. Och om vi varje g?ng v?nder till noll en koefficient f?r alla rader som ?r l?gre ?n den ursprungliga, s? kan vi, som steg, g? ner till botten av matrisen och f? en ekvation med en ok?nd. Detta kallas att l?sa systemet med den Gaussiska metoden.

I allm?nhet

L?t det finnas ett system. Den har m ekvationer och n ok?nda r?tter. Du kan skriva ner det s? h?r:

Huvudmatrisen ?r sammanst?lld fr?n systemets koefficienter. En kolumn med fria medlemmar l?ggs till den ut?kade matrisen och separeras av en stapel f?r bekv?mlighets skull.

• den f?rsta raden i matrisen multipliceras med koefficienten k = (-a 21 / a 11);
• den f?rsta modifierade raden och den andra raden i matrisen l?ggs till;
• ist?llet f?r den andra raden infogas resultatet av till?gget fr?n f?reg?ende stycke i matrisen;
• nu ?r den f?rsta koefficienten i den nya andra raden a 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nu utf?rs samma serie av transformationer, bara den f?rsta och tredje raden ?r inblandade. F?ljaktligen, i varje steg av algoritmen, ers?tts elementet a 21 med a 31 . Sedan upprepas allt f?r en 41 , ... a m1 . Resultatet ?r en matris d?r det f?rsta elementet i raderna ?r lika med noll. Nu m?ste vi gl?mma rad nummer ett och k?ra samma algoritm fr?n den andra raden:

• koefficient k \u003d (-a 32 / a 22);
• den andra modifierade raden l?ggs till den "nuvarande" raden;
• resultatet av till?gget ers?tts p? den tredje, fj?rde och s? vidare raderna, medan den f?rsta och andra f?rblir of?r?ndrade;
• i matrisens rader ?r de tv? f?rsta elementen redan lika med noll.

Algoritmen m?ste upprepas tills koefficienten k = (-a m,m-1 /a mm) visas. Detta betyder att sista g?ngen algoritmen k?rdes endast var f?r den l?gre ekvationen. Nu ser matrisen ut som en triangel, eller har en stegform. Den nedersta raden inneh?ller likheten a mn x x n = b m . Koefficienten och den fria termen ?r k?nda, och roten uttrycks genom dem: x n = b m /a mn. Den resulterande roten s?tts in i den ?versta raden f?r att hitta x n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1 . Och s? vidare i analogi: i varje n?sta rad finns en ny rot, och efter att ha n?tt "toppen" av systemet kan du hitta m?nga l?sningar. Det kommer att vara den enda.

N?r det inte finns n?gra l?sningar

Om i en av matrisraderna alla element, f?rutom den fria termen, ?r lika med noll, s? ser ekvationen som motsvarar denna rad ut som 0 = b. Det har ingen l?sning. Och eftersom en s?dan ekvation ing?r i systemet, ?r upps?ttningen av l?sningar f?r hela systemet tom, det vill s?ga den ?r degenererad.

N?r det finns ett o?ndligt antal l?sningar

Det kan visa sig att det i den reducerade triangul?ra matrisen inte finns n?gra rader med ett element - ekvationens koefficient och en - en fri medlem. Det finns bara str?ngar som, n?r de skrivs om, skulle se ut som en ekvation med tv? eller flera variabler. Det betyder att systemet har ett o?ndligt antal l?sningar. I detta fall kan svaret ges i form av en generell l?sning. Hur man g?r det?

Alla variabler i matrisen ?r indelade i grundl?ggande och fria. Grundl?ggande - det h?r ?r de som st?r "p? kanten" av raderna i den stegade matrisen. Resten ?r gratis. I den allm?nna l?sningen skrivs de grundl?ggande variablerna i termer av de fria.

F?r enkelhetens skull skrivs matrisen f?rst om till ett ekvationssystem. Sedan i den sista av dem, d?r exakt bara en grundl?ggande variabel ?terstod, f?rblir den p? ena sidan, och allt annat ?verf?rs till den andra. Detta g?rs f?r varje ekvation med en grundvariabel. Sedan, i resten av ekvationerna, d?r det ?r m?jligt, ist?llet f?r grundvariabeln, ers?tts uttrycket som erh?llits f?r den. Om resultatet ?terigen ?r ett uttryck som bara inneh?ller en basvariabel, uttrycks det d?rifr?n igen, och s? vidare, tills varje basvariabel skrivs som ett uttryck med fria variabler. Detta ?r den allm?nna l?sningen f?r SLAE.

Du kan ocks? hitta den grundl?ggande l?sningen f?r systemet - ge de fria variablerna alla v?rden, och ber?kna sedan v?rdena f?r de grundl?ggande variablerna f?r detta specifika fall. Det finns o?ndligt m?nga specifika l?sningar.

L?sning med specifika exempel

H?r ?r ekvationssystemet.

F?r enkelhetens skull ?r det b?ttre att omedelbart skapa sin matris

Det ?r k?nt att vid l?sning med Gauss-metoden kommer ekvationen som motsvarar den f?rsta raden att f?rbli of?r?ndrad i slutet av transformationerna. D?rf?r blir det mer l?nsamt om det ?vre v?nstra elementet i matrisen ?r det minsta - d? kommer de f?rsta elementen i de ?terst?ende raderna efter operationerna att bli noll. Det betyder att det i den kompilerade matrisen ?r f?rdelaktigt att s?tta den andra i st?llet f?r den f?rsta raden.

andra raden: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k x a 11 \u003d 3 + (-3) x 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k x a 12 \u003d -1 + (-3) x 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k x b 1 \u003d 12 + (-3) x 12 \u003d -24

tredje raden: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k x b 1 \u003d 3 + (-5) x 12 \u003d -57

Nu, f?r att inte bli f?rvirrad, ?r det n?dv?ndigt att skriva ner matrisen med de mellanliggande resultaten av transformationerna.

Det ?r uppenbart att en s?dan matris kan g?ras mer bekv?m f?r uppfattningen med hj?lp av vissa operationer. Till exempel kan du ta bort alla "minus" fr?n den andra raden genom att multiplicera varje element med "-1".

Det ?r ocks? v?rt att notera att i den tredje raden ?r alla element multiplar av tre. Sedan kan du minska str?ngen med detta tal, multiplicera varje element med "-1/3" (minus - samtidigt f?r att ta bort negativa v?rden).

Ser mycket trevligare ut. Nu m?ste vi l?mna den f?rsta raden ifred och arbeta med den andra och tredje. Uppgiften ?r att addera den andra raden till den tredje raden, multiplicerad med en s?dan faktor att elementet a 32 blir lika med noll.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 br?k, och f?rst d?, n?r svaren tas emot, best?mma om du ska avrunda upp?t och ?vers?tta till en annan form av notation)

a" 32 = a 32 + k x a 22 = 3 + (-3/7) x 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k x a 23 \u003d 6 + (-3/7) x 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k x b 2 \u003d 19 + (-3/7) x 24 \u003d -61/7

Matrisen skrivs igen med nya v?rden.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Som du kan se har den resulterande matrisen redan en stegform. D?rf?r kr?vs inte ytterligare transformationer av systemet med Gauss-metoden. Vad som kan g?ras h?r ?r att ta bort den totala koefficienten "-1/7" fr?n den tredje raden.

Nu ?r allt vackert. Po?ngen ?r liten - skriv matrisen igen i form av ett ekvationssystem och ber?kna r?tterna

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmen med vilken r?tterna nu kommer att hittas kallas det omv?nda draget i Gauss-metoden. Ekvation (3) inneh?ller v?rdet av z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

Och den f?rsta ekvationen l?ter dig hitta x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Vi har r?tt att kalla ett s?dant system gemensamt, och till och med definitivt, det vill s?ga att ha en unik l?sning. Svaret ?r skrivet i f?ljande form:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Ett exempel p? ett obest?mt system

Varianten av att l?sa ett visst system med Gauss-metoden har analyserats, nu ?r det n?dv?ndigt att ?verv?ga fallet om systemet ?r obest?mt, det vill s?ga o?ndligt m?nga l?sningar kan hittas f?r det.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sj?lva formen av systemet ?r redan alarmerande, eftersom antalet ok?nda ?r n = 5, och rangordningen f?r systemets matris ?r redan exakt mindre ?n detta nummer, eftersom antalet rader ?r m = 4, det vill s?ga, den st?rsta ordningen f?r kvadratdeterminanten ?r 4. Detta betyder att det finns ett o?ndligt antal l?sningar, och det ?r n?dv?ndigt att leta efter dess allm?nna form. Gaussmetoden f?r linj?ra ekvationer g?r det m?jligt att g?ra detta.

F?rst, som vanligt, kompileras den ut?kade matrisen.

Andra raden: koefficient k = (-a 21 / a 11) = -3. P? den tredje raden ?r det f?rsta elementet f?re transformationerna, s? du beh?ver inte r?ra n?gonting, du m?ste l?mna det som det ?r. Fj?rde raden: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Genom att multiplicera elementen i den f?rsta raden med var och en av deras koefficienter i tur och ordning och l?gga till dem till de ?nskade raderna f?r vi en matris av f?ljande form:

Som du kan se best?r den andra, tredje och fj?rde raden av element som ?r proportionella mot varandra. Den andra och fj?rde ?r i allm?nhet desamma, s? en av dem kan tas bort omedelbart, och resten multipliceras med koefficienten "-1" och f? rad nummer 3. Och ?terigen, l?mna en av tv? identiska linjer.

Det blev en s?dan matris. Systemet har ?nnu inte skrivits ned, h?r ?r det n?dv?ndigt att best?mma de grundl?ggande variablerna - st?r vid koefficienterna a 11 \u003d 1 och en 22 \u003d 1, och gratis - allt annat.

Den andra ekvationen har bara en grundl?ggande variabel - x 2 . D?rf?r kan det uttryckas d?rifr?n genom att skriva igenom variablerna x 3 , x 4 , x 5 , som ?r fria.

Vi ers?tter det resulterande uttrycket i den f?rsta ekvationen.

Det blev en ekvation d?r den enda grundvariabeln ?r x 1. L?t oss g?ra samma sak med den som med x 2 .

Alla basvariabler, av vilka det finns tv?, uttrycks i termer av tre fria, nu kan du skriva svaret i en allm?n form.

Du kan ocks? specificera en av de s?rskilda l?sningarna f?r systemet. I s?dana fall v?ljs som regel nollor som v?rden f?r fria variabler. D? blir svaret:

16, 23, 0, 0, 0.

Ett exempel p? ett inkompatibelt system

L?sningen av inkonsekventa ekvationssystem med Gauss-metoden ?r den snabbaste. Den slutar s? fort man i ett av stegen f?r en ekvation som inte har n?gon l?sning. Det vill s?ga, stadiet med ber?kningen av r?tterna, som ?r ganska l?ngt och trist, f?rsvinner. F?ljande system beaktas:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Som vanligt ?r matrisen sammanst?lld:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Och det reduceras till en stegvis form:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Efter den f?rsta transformationen inneh?ller den tredje raden en ekvation av formen

har ingen l?sning. D?rf?r ?r systemet inkonsekvent, och svaret ?r den tomma upps?ttningen.

F?rdelar och nackdelar med metoden

Om du v?ljer vilken metod att l?sa SLAE p? papper med en penna, ser metoden som ?verv?gdes i den h?r artikeln mest attraktiv ut. I element?ra transformationer ?r det mycket sv?rare att bli f?rvirrad ?n det h?nder om du manuellt m?ste leta efter en determinant eller n?gon knepig invers matris. Men om du anv?nder program f?r att arbeta med data av denna typ, till exempel kalkylblad, visar det sig att s?dana program redan inneh?ller algoritmer f?r att ber?kna huvudparametrarna f?r matriser - determinant, minor, invers och s? vidare. Och om du ?r s?ker p? att maskinen kommer att ber?kna dessa v?rden sj?lv och inte kommer att g?ra ett misstag, ?r det mer ?ndam?lsenligt att anv?nda matrismetoden eller Cramers formler, eftersom deras till?mpning b?rjar och slutar med ber?kningen av determinanter och inversa matriser.

Ans?kan

Eftersom den Gaussiska l?sningen ?r en algoritm, och matrisen i sj?lva verket ?r en tv?dimensionell matris, kan den anv?ndas i programmering. Men eftersom artikeln placerar sig som en guide "f?r dummies" ska det s?gas att det enklaste st?llet att skjuta in metoden p? ?r kalkylblad, till exempel Excel. ?terigen, alla SLAE som anges i en tabell i form av en matris kommer att betraktas av Excel som en tv?dimensionell array. Och f?r operationer med dem finns det m?nga trevliga kommandon: addition (du kan bara l?gga till matriser av samma storlek!), Multiplikation med ett tal, matrismultiplikation (?ven med vissa begr?nsningar), hitta de inversa och transponerade matriserna och, viktigast av allt, , ber?knar determinanten. Om denna tidskr?vande uppgift ers?tts av ett enda kommando, ?r det mycket snabbare att best?mma rangordningen f?r en matris och d?rf?r fastst?lla dess kompatibilitet eller inkonsekvens.

Utbildningsinstitution "Vitryska staten

Lantbruksakademin"

Institutionen f?r h?gre matematik

Riktlinjer

f?r studiet av ?mnet "Gauss-metod f?r att l?sa linj?ra system

Ekvationer” av studenter vid fakulteten f?r redovisning av korrespondensformen f?r utbildning (NISPO)

Gorki, 2013

Gauss metod f?r att l?sa linj?ra ekvationssystem

Ekvivalenta ekvationssystem

Tv? system av linj?ra ekvationer kallas ekvivalenta om varje l?sning till en av dem ?r en l?sning till den andra. Processen att l?sa ett system av linj?ra ekvationer best?r i att det successivt omvandlas till ett ekvivalent system med hj?lp av s.k. element?ra transformationer , vilka ?r:

1) permutation av tv? godtyckliga ekvationer i systemet;

2) multiplikation av b?da delarna av valfri ekvation i systemet med ett tal som inte ?r noll;

3) l?gga till en annan ekvation till valfri ekvation, multiplicerad med valfritt tal;

4) strykning av en ekvation best?ende av nollor, dvs. typ ekvationer.

Gaussisk eliminering

T?nk p? systemet m linj?ra ekvationer med n ok?nd:

K?rnan i Gauss-metoden eller metoden f?r successiv uteslutning av ok?nda ?r som f?ljer.

F?r det f?rsta, med hj?lp av element?ra transformationer, utesluts det ok?nda fr?n alla ekvationer i systemet, f?rutom den f?rsta. S?dana transformationer av systemet kallas Gaussiskt elimineringssteg . Det ok?nda kallas l?sa variabel i det f?rsta steget av omvandlingen. Koefficienten kallas uppl?sningsfaktor , kallas den f?rsta ekvationen l?sa ekvationen , och kolumnen med koefficienter vid aktivera kolumn .

N?r du utf?r ett enda Gaussisk elimineringssteg m?ste f?ljande regler anv?ndas:

1) koefficienterna och den fria termen f?r uppl?sningsekvationen f?rblir of?r?ndrade;

2) koefficienterna f?r uppl?sningskoefficienten, bel?gna under uppl?sningskoefficienten, blir noll;

3) alla andra koefficienter och fria termer i det f?rsta steget ber?knas enligt rektangelregeln:

, var i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Vi utf?r liknande transformationer p? den andra ekvationen i systemet. Detta kommer att leda till ett system d?r det ok?nda kommer att exkluderas i alla ekvationer, f?rutom de tv? f?rsta. Som ett resultat av s?dana transformationer ?ver var och en av systemets ekvationer (direkt Gauss-metoden) reduceras det ursprungliga systemet till ett ekvivalent stegsystem av en av f?ljande typer.

Omv?nd Gauss-metod

Stegsystem

har en triangul?r form och allt (i=1,2,…,n). Ett s?dant system har en unik l?sning. De ok?nda best?ms med b?rjan fr?n den sista ekvationen (omv?nd Gauss-metoden).

Stegsystemet har formen

var , dvs. antalet systemekvationer ?r mindre ?n eller lika med antalet ok?nda. Detta system har inga l?sningar, eftersom den sista ekvationen inte kommer att g?lla f?r n?gra v?rden p? variabeln.

Stegvis siktsystem

har ett o?ndligt antal l?sningar. Fr?n den sista ekvationen uttrycks det ok?nda i termer av de ok?nda . Sedan, ist?llet f?r det ok?nda, ers?tts dess uttryck i termer av ok?nda i den n?st sista ekvationen . Forts?tter den omv?nda kursen av Gauss-metoden, de ok?nda kan uttryckas i termer av ok?nda . I det h?r fallet det ok?nda kallad fri och kan ta vilket v?rde som helst, och ok?nda grundl?ggande.

N?r man l?ser system i praktiken ?r det bekv?mt att utf?ra alla transformationer inte med ett ekvationssystem, utan med en ut?kad matris av systemet, best?ende av koefficienter f?r ok?nda och en kolumn med fria termer.

Exempel 1. L?s ett ekvationssystem

L?sning. L?t oss komponera den ut?kade matrisen av systemet och utf?ra element?ra transformationer:

.

I systemets ut?kade matris ?r siffran 3 (den ?r markerad) uppl?sningsfaktorn, den f?rsta raden ?r uppl?sningsraden och den f?rsta kolumnen ?r uppl?sningskolumnen. N?r du flyttar till n?sta matris ?ndras inte den l?sa raden, alla element i den l?sa kolumnen under det l?sa elementet ers?tts med nollor. Och alla andra element i matrisen r?knas om enligt fyrsidig regel. Ist?llet f?r element 4 i den andra raden skriver vi , ist?llet f?r elementet -3 p? den andra raden kommer det att skrivas etc. S?ledes kommer den andra matrisen att erh?llas. Denna matris kommer att ha uppl?sningselementet nummer 18 i den andra raden. F?r att bilda n?sta (tredje matris) l?mnar vi den andra raden of?r?ndrad, skriver noll i kolumnen under uppl?sningselementet och r?knar om de ?terst?ende tv? elementen: ist?llet f?r siffran 1 skriver vi , och ist?llet f?r siffran 16 skriver vi .

Som ett resultat reduceras det ursprungliga systemet till ett likv?rdigt system

Fr?n den tredje ekvationen finner vi . Ers?tt detta v?rde i den andra ekvationen: y=3. Ers?tt de hittade v?rdena i den f?rsta ekvationen y och z: , x=2.

L?sningen p? detta ekvationssystem ?r allts? x=2, y=3, .

Exempel 2. L?s ett ekvationssystem

L?sning. L?t oss utf?ra element?ra transformationer p? systemets ut?kade matris:

I den andra matrisen delas varje element i den tredje raden med 2.

I den fj?rde matrisen var varje element i den tredje och fj?rde raden dividerat med 11.

. Den resulterande matrisen motsvarar ekvationssystemet

Att l?sa detta system finner vi , , .

Exempel 3. L?s ett ekvationssystem

L?sning. L?t oss skriva den ut?kade matrisen f?r systemet och utf?ra element?ra transformationer:

.

I den andra matrisen delades varje element i den andra, tredje och fj?rde raden med 7.

Som ett resultat, ekvationssystemet

motsvarande originalet.

Eftersom det finns tv? f?rre ekvationer ?n ok?nda, d? fr?n den andra ekvationen . Ers?tt uttrycket med i den f?rsta ekvationen: , .

Formlerna allts? ge den allm?nna l?sningen av detta ekvationssystem. Ok?nda och ?r gratis och kan ta vilket v?rde som helst.

L?t t.ex. Sedan och . L?sning ?r en av de speciella l?sningarna i systemet, som det finns otaliga av.

Fr?gor f?r sj?lvkontroll av kunskap

1) Vilka transformationer av linj?ra system kallas element?ra?

2) Vilka transformationer av systemet kallas det Gaussiska elimineringssteget?

3) Vad ?r en uppl?sningsvariabel, uppl?sningsfaktor, uppl?sningskolumn?

4) Vilka regler ska anv?ndas n?r man utf?r ett steg av den Gaussiska elimineringen?

L?t ett system av linj?ra algebraiska ekvationer ges, som m?ste l?sas (hitta s?dana v?rden p? de ok?nda хi som g?r varje ekvation i systemet till en likhet).

Vi vet att ett system med linj?ra algebraiska ekvationer kan:

1) Har inga l?sningar (vara of?renlig).
2) Har o?ndligt m?nga l?sningar.
3) Ha en unik l?sning.

Som vi minns ?r Cramers regel och matrismetoden ol?mpliga i de fall d?r systemet har o?ndligt m?nga l?sningar eller ?r inkonsekvent. Gauss metod – det mest kraftfulla och m?ngsidiga verktyget f?r att hitta l?sningar p? alla linj?ra ekvationssystem, som i varje fall led oss till svaret! Metodens algoritm fungerar i alla tre fallen p? samma s?tt. Om Cramer- och matrismetoderna kr?ver kunskap om determinanter, s? kr?ver till?mpningen av Gauss-metoden kunskap om endast aritmetiska operationer, vilket g?r den tillg?nglig ?ven f?r grundskoleelever.

Ut?kade matristransformationer ( detta ?r systemets matris - en matris som endast best?r av koefficienterna f?r de ok?nda, plus en kolumn med fria termer) system av linj?ra algebraiska ekvationer i Gaussmetoden:

1) Med troky matriser burk ordna om platser.

2) om det finns (eller finns) proportionella (som ett specialfall - identiska) rader i matrisen, s? f?ljer det radera fr?n matrisen, alla dessa rader utom en.

3) om en nollrad f?rekom i matrisen under transformationerna, s? f?ljer den ocks? radera.

4) raden av matrisen kan multiplicera (dividera) till n?got annat tal ?n noll.

5) till raden i matrisen, kan du l?gg till ytterligare en str?ng multiplicerad med ett tal, skiljer sig fr?n noll.

I Gaussmetoden f?r?ndrar inte element?ra transformationer l?sningen av ekvationssystemet.

Gaussmetoden best?r av tv? steg:

1. "Direkt r?relse" - med hj?lp av element?ra transformationer, f?r den ut?kade matrisen av systemet med linj?ra algebraiska ekvationer till en "triangul?r" stegform: elementen i den ut?kade matrisen som ligger under huvuddiagonalen ?r lika med noll (flyttning uppifr?n och ner ). Till exempel till denna typ:

F?r att g?ra detta, utf?r f?ljande steg:

1) L?t oss betrakta den f?rsta ekvationen i ett system av linj?ra algebraiska ekvationer och koefficienten vid x 1 ?r lika med K. Den andra, tredje osv. vi transformerar ekvationerna enligt f?ljande: vi dividerar varje ekvation (koefficienter f?r ok?nda, inklusive fria termer) med koefficienten f?r ok?nda x 1, som finns i varje ekvation, och multiplicerar med K. D?refter subtraherar vi den f?rsta fr?n den andra ekvationen ( koefficienter f?r ok?nda och fria termer). Vi f?r vid x 1 i den andra ekvationen koefficienten 0. Fr?n den tredje transformerade ekvationen subtraherar vi den f?rsta ekvationen, s? tills alla ekvationer, utom den f?rsta, med ok?nd x 1 inte kommer att ha koefficienten 0.

2) G? vidare till n?sta ekvation. L?t detta vara den andra ekvationen och koefficienten vid x 2 ?r lika med M. Med alla "underordnade" ekvationer g?r vi tillv?ga som beskrivits ovan. S?ledes kommer "under" den ok?nda x 2 i alla ekvationer att vara nollor.

3) Vi g?r vidare till n?sta ekvation och s? vidare tills en sista ok?nd och transformerad fri term ?terst?r.

1. Gaussmetodens "omv?nda drag" ?r att erh?lla en l?sning p? ett system av linj?ra algebraiska ekvationer ("bottom-up"-draget). Fr?n den sista "l?gre" ekvationen f?r vi en f?rsta l?sning - det ok?nda x n. F?r att g?ra detta l?ser vi den element?ra ekvationen A * x n \u003d B. I exemplet ovan, x 3 \u003d 4. Vi ers?tter det hittade v?rdet i den "?vre" n?sta ekvationen och l?ser den med avseende p? n?sta ok?nda. Till exempel, x 2 - 4 \u003d 1, dvs. x 2 \u003d 5. Och s? vidare tills vi hittar alla ok?nda.

Exempel.

Vi l?ser systemet med linj?ra ekvationer med Gauss-metoden, som vissa f?rfattare rekommenderar:

Vi skriver den ut?kade matrisen av systemet och, med hj?lp av element?ra transformationer, f?r den till en stegform:

Vi tittar p? det ?vre v?nstra "steget". D?r borde vi ha en enhet. Problemet ?r att det inte finns n?gra i den f?rsta kolumnen alls, s? inget kan l?sas genom att ordna om raderna. I s?dana fall m?ste enheten organiseras med hj?lp av en element?r transformation. Detta kan vanligtvis g?ras p? flera s?tt. L?t oss g?ra s? h?r:
1 steg . Till den f?rsta raden l?gger vi till den andra raden, multiplicerad med -1. Det vill s?ga, vi multiplicerade mentalt den andra raden med -1 och gjorde till?gget av den f?rsta och andra raden, medan den andra raden inte ?ndrades.

Nu uppe till v?nster "minus ett", vilket passar oss perfekt. Den som vill f? +1 kan utf?ra ytterligare en ?tg?rd: multiplicera den f?rsta raden med -1 (?ndra dess tecken).

2 steg . Den f?rsta raden multiplicerad med 5 lades till den andra raden. Den f?rsta raden multiplicerad med 3 lades till p? den tredje raden.

3 steg . Den f?rsta raden multiplicerades med -1, i princip ?r detta f?r sk?nhet. Tecknet p? den tredje raden ?ndrades ocks? och flyttades till den andra platsen, s? p? det andra "steget hade vi den ?nskade enheten.

4 steg . Till den tredje raden, l?gg till den andra raden, multiplicerad med 2.

5 steg . Den tredje raden delas med 3.

Ett tecken som indikerar ett fel i ber?kningar (mindre ofta ett stavfel) ?r en "d?lig" slutsats. Det vill s?ga, om vi fick n?got som (0 0 11 | 23) nedan, och f?ljaktligen 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, s? kan vi med h?g grad av sannolikhet s?ga att ett misstag gjordes under grundskolan transformationer.

Vi utf?r ett omv?nt drag, i utformningen av exempel skrivs sj?lva systemet ofta inte om, och ekvationerna ?r "tagna direkt fr?n den givna matrisen". Det omv?nda draget, jag p?minner dig, fungerar "nedifr?n och upp". I det h?r exemplet blev presenten:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, d?rf?r x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Svar:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

L?t oss l?sa samma system med den f?reslagna algoritmen. Vi f?r

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Dividera den andra ekvationen med 5 och den tredje med 3. Vi f?r:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplicera den andra och tredje ekvationen med 4, vi f?r:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Subtrahera den f?rsta ekvationen fr?n den andra och tredje ekvationen, vi har:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Dividera den tredje ekvationen med 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multiplicera den tredje ekvationen med 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Subtrahera den andra ekvationen fr?n den tredje ekvationen, vi f?r den "stegade" f?rst?rkta matrisen:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

S?ledes, eftersom ett fel ackumulerades under ber?kningsprocessen, f?r vi x 3 \u003d 0,96, eller ungef?r 1.

x 2 \u003d 3 och x 1 \u003d -1.

L?ser du p? detta s?tt kommer du aldrig att bli f?rvirrad i ber?kningarna och trots r?knefelen f?r du resultatet.

Denna metod f?r att l?sa ett system med linj?ra algebraiska ekvationer ?r l?tt programmerbar och tar inte h?nsyn till de specifika egenskaperna hos koefficienterna f?r ok?nda, eftersom man i praktiken (i ekonomiska och tekniska ber?kningar) m?ste ta itu med koefficienter som inte ?r heltal.

?nskar dig framg?ng! Ses p? lektionen! Handledare Dmitry Aistrakhanov.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, kr?vs en l?nk till k?llan.

Tv? system av linj?ra ekvationer s?gs vara ekvivalenta om m?ngden av alla deras l?sningar ?r densamma.

Element?ra transformationer av ekvationssystemet ?r:

1. Utpl?ning ur systemet med triviala ekvationer, d.v.s. de f?r vilka alla koefficienter ?r lika med noll;
2. Multiplicera valfri ekvation med ett tal som inte ?r noll;
3. Addition till valfri i-te ekvation av valfri j-te ekvation, multiplicerad med valfritt tal.

Variabeln x i kallas fri om denna variabel inte ?r till?ten, och hela ekvationssystemet ?r till?tet.

Sats. Element?ra transformationer omvandlar ekvationssystemet till ett ekvivalent.

Meningen med Gauss-metoden ?r att transformera det ursprungliga ekvationssystemet och erh?lla ett likv?rdigt till?tet eller likv?rdigt inkonsekvent system.

S?, Gauss-metoden best?r av f?ljande steg:

1. T?nk p? den f?rsta ekvationen. Vi v?ljer den f?rsta koefficienten som inte ?r noll och dividerar hela ekvationen med den. Vi f?r en ekvation d?r n?gon variabel x i kommer in med koefficienten 1;
2. L?t oss subtrahera denna ekvation fr?n alla de andra, multiplicera den med siffror s? att koefficienterna f?r variabeln x i i de ?terst?ende ekvationerna s?tts till noll. Vi f?r ett system som ?r l?st med avseende p? variabeln x i och ?r ekvivalent med det ursprungliga;
3. Om triviala ekvationer uppst?r (s?llan, men det h?nder; till exempel 0 = 0) tar vi bort dem fr?n systemet. Som ett resultat blir ekvationerna en mindre;
4. Vi upprepar de f?reg?ende stegen inte mer ?n n g?nger, d?r n ?r antalet ekvationer i systemet. Varje g?ng v?ljer vi en ny variabel f?r "bearbetning". Om motstridiga ekvationer uppst?r (till exempel 0 = 8) ?r systemet inkonsekvent.

Som ett resultat f?r vi efter n?gra steg antingen ett till?tet system (eventuellt med fria variabler) eller ett inkonsekvent. Till?tna system delas in i tv? fall:

1. Antalet variabler ?r lika med antalet ekvationer. S? systemet ?r definierat;
2. Antalet variabler ?r st?rre ?n antalet ekvationer. Vi samlar alla fria variabler till h?ger - vi f?r formler f?r till?tna variabler. Dessa formler ?r skrivna i svaret.

Det ?r allt! Systemet med linj?ra ekvationer ?r l?st! Detta ?r en ganska enkel algoritm, och f?r att beh?rska den beh?ver du inte kontakta en l?rare i matematik. T?nk p? ett exempel:

En uppgift. L?s ekvationssystemet:

Beskrivning av steg:

1. Vi subtraherar den f?rsta ekvationen fr?n den andra och tredje - vi f?r den till?tna variabeln x 1;
2. Vi multiplicerar den andra ekvationen med (-1), och dividerar den tredje ekvationen med (-3) - vi f?r tv? ekvationer d?r variabeln x 2 kommer in med koefficienten 1;
3. Vi adderar den andra ekvationen till den f?rsta och subtraherar fr?n den tredje. L?t oss f? den till?tna variabeln x 2 ;
4. Slutligen subtraherar vi den tredje ekvationen fr?n den f?rsta - vi f?r den till?tna variabeln x 3 ;
5. Vi har f?tt ett auktoriserat system, vi skriver ner svaret.

Den allm?nna l?sningen av ett gemensamt system av linj?ra ekvationer ?r ett nytt system, ekvivalent med det ursprungliga, d?r alla till?tna variabler uttrycks i termer av fria.

N?r kan en generell l?sning beh?vas? Om du m?ste ta f?rre steg ?n k (k ?r hur m?nga ekvationer totalt). Men sk?len till att processen avslutas i n?got steg l< k , может быть две:

1. Efter det l -e steget f?r vi ett system som inte inneh?ller en ekvation med talet (l + 1). I sj?lva verket ?r detta bra, eftersom. det l?sta systemet tas emot ?nd? - ?ven n?gra steg tidigare.
2. Efter det l-te steget erh?lls en ekvation d?r alla koefficienter f?r variablerna ?r lika med noll, och den fria koefficienten skiljer sig fr?n noll. Detta ?r en inkonsekvent ekvation, och d?rf?r ?r systemet inkonsekvent.

Det ?r viktigt att f?rst? att uppkomsten av en inkonsekvent ekvation med Gauss-metoden ?r ett tillr?ckligt sk?l f?r inkonsekvens. Samtidigt noterar vi att triviala ekvationer som ett resultat av det l -te steget inte kan finnas kvar - alla raderas direkt i processen.

Beskrivning av steg:

1. Subtrahera den f?rsta ekvationen g?nger 4 fr?n den andra. L?gg ?ven till den f?rsta ekvationen till den tredje - vi f?r den till?tna variabeln x 1;
2. Vi subtraherar den tredje ekvationen, multiplicerad med 2, fr?n den andra - vi f?r den mots?gelsefulla ekvationen 0 = -5.

S? systemet ?r inkonsekvent, eftersom en inkonsekvent ekvation har hittats.

En uppgift. Unders?k kompatibilitet och hitta den allm?nna l?sningen f?r systemet:

Beskrivning av steg:

1. Vi subtraherar den f?rsta ekvationen fr?n den andra (efter att ha multiplicerat med tv?) och den tredje - vi f?r den till?tna variabeln x 1;
2. Subtrahera den andra ekvationen fr?n den tredje. Eftersom alla koefficienter i dessa ekvationer ?r lika, blir den tredje ekvationen trivial. Samtidigt multiplicerar vi den andra ekvationen med (-1);
3. Vi subtraherar den andra ekvationen fr?n den f?rsta ekvationen - vi f?r den till?tna variabeln x 2. Hela ekvationssystemet ?r nu ocks? l?st;
4. Eftersom variablerna x 3 och x 4 ?r fria flyttar vi dem till h?ger f?r att uttrycka de till?tna variablerna. Detta ?r svaret.

S? systemet ?r gemensamt och obest?mt, eftersom det finns tv? till?tna variabler (x 1 och x 2) och tv? fria (x 3 och x 4).

Gauss-metoden ?r enkel! Varf?r? Den ber?mda tyske matematikern Johann Carl Friedrich Gauss fick under sin livstid erk?nnande som den st?rsta matematikern genom tiderna, ett geni och till och med smeknamnet "Kungen av matematik". Och allt genialt ?r som ni vet enkelt! F?rresten, inte bara sossar, utan ocks? genier kommer in i pengarna - portr?ttet av Gauss prunkade p? en sedel p? 10 tyska mark (f?re inf?randet av euron), och Gauss ler fortfarande mystiskt mot tyskarna fr?n vanliga frim?rken.

Gauss-metoden ?r enkel p? s? s?tt att det ?R TILR?CKLIGT KUNSKAP OM EN FEMTE-KLASSE STUDENT f?r att bem?stra den. M?ste kunna addera och multiplicera! Det ?r ingen slump att metoden f?r successiv eliminering av ok?nda ofta ?verv?gs av l?rare vid skolans matematiska valfria. Det ?r en paradox, men Gaussmetoden orsakar de st?rsta sv?righeterna f?r eleverna. Inget f?rv?nande – allt handlar om metodiken, och jag ska f?rs?ka ber?tta i en tillg?nglig form om metodens algoritm.

F?rst systematiserar vi kunskapen om linj?ra ekvationssystem lite. Ett system av linj?ra ekvationer kan:

1) Ha en unik l?sning.
2) Har o?ndligt m?nga l?sningar.
3) Har inga l?sningar (vara of?renlig).

Gauss-metoden ?r det mest kraftfulla och m?ngsidiga verktyget f?r att hitta en l?sning n?gra linj?ra ekvationssystem. Som vi minns Cramers regel och matrismetod?r ol?mpliga i de fall d?r systemet har o?ndligt m?nga l?sningar eller ?r inkonsekvent. En metod f?r successiv eliminering av ok?nda i alla fall led oss till svaret! I den h?r lektionen kommer vi ?terigen att ?verv?ga Gauss-metoden f?r fall nr 1 (den enda l?sningen p? systemet), artikeln ?r reserverad f?r situationerna i punkterna nr 2-3. Jag noterar att sj?lva metodalgoritmen fungerar p? samma s?tt i alla tre fallen.

L?t oss ?terg? till det enklaste systemet fr?n lektionen Hur l?ser man ett system av linj?ra ekvationer?
och l?s det med den Gaussiska metoden.

Det f?rsta steget ?r att skriva ut?kat matrissystem:
. Med vilken princip koefficienterna registreras tror jag alla kan se. Den vertikala linjen inuti matrisen har ingen matematisk inneb?rd - det ?r bara en genomstrykning f?r att underl?tta designen.

Referens :Jag rekommenderar att komma ih?g villkor linj?r algebra. Systemmatris?r en matris som endast best?r av koefficienter f?r ok?nda, i detta exempel, systemets matris: . Ut?kad systemmatris?r samma matris i systemet plus en kolumn med fria termer, i detta fall: . Vilken som helst av matriserna kan helt enkelt kallas en matris f?r korthetens skull.

Efter att systemets ut?kade matris har skrivits ?r det n?dv?ndigt att utf?ra n?gra ?tg?rder med den, som ocks? kallas element?ra transformationer.

Det finns f?ljande element?ra transformationer:

1) Str?ngar matriser burk ordna om platser. Till exempel, i matrisen som ?verv?gs, kan du s?kert ordna om den f?rsta och andra raden:

2) Om det finns (eller f?rekom) proportionella (som ett specialfall - identiska) rader i matrisen, f?ljer det radera fr?n matrisen, alla dessa rader utom en. T?nk till exempel p? matrisen . I denna matris ?r de tre sista raderna proportionella, s? det r?cker att bara l?mna en av dem: .

3) Om en nollrad f?rekom i matrisen under transformationerna, s? f?ljer den ocks? radera. Jag kommer inte att dra, naturligtvis, ?r nolllinjen linjen d?r bara nollor.

4) Matrisens rad kan vara multiplicera (dividera) f?r vilket nummer som helst icke-noll. T?nk till exempel p? matrisen. H?r ?r det l?mpligt att dividera den f?rsta raden med -3 och multiplicera den andra raden med 2: . Denna ?tg?rd ?r mycket anv?ndbar, eftersom den f?renklar ytterligare transformationer av matrisen.

5) Denna omvandling orsakar de flesta sv?righeter, men i sj?lva verket ?r det heller inget komplicerat. Till raden i matrisen kan du l?gg till ytterligare en str?ng multiplicerad med ett tal, skiljer sig fr?n noll. Betrakta v?r matris fr?n ett praktiskt exempel: . F?rst kommer jag att beskriva f?rvandlingen i detalj. Multiplicera den f?rsta raden med -2: , och till den andra raden l?gger vi till den f?rsta raden multiplicerad med -2: . Nu kan den f?rsta raden delas "tillbaka" med -2: . Som du kan se, raden som l?ggs till LI – har inte f?r?ndrats. ?r alltid raden ?ndras, SOM l?ggs till UT.

I praktiken m?lar de f?rst?s inte s? detaljerat, utan skriver kortare:

?n en g?ng: till andra raden lagt till den f?rsta raden multiplicerat med -2. Linjen multipliceras vanligtvis muntligt eller p? ett utkast, medan det mentala f?rloppet av ber?kningar ?r ungef?r s? h?r:

"Jag skriver om matrisen och skriver om den f?rsta raden: »

F?rsta kolumnen f?rst. Nedan m?ste jag f? noll. D?rf?r multiplicerar jag enheten ovan med -2:, och adderar den f?rsta till den andra raden: 2 + (-2) = 0. Jag skriver resultatet p? den andra raden: »

"Nu den andra kolumnen. ?ver -1 g?nger -2: . Jag l?gger till den f?rsta till den andra raden: 1 + 2 = 3. Jag skriver resultatet till den andra raden: »

"Och den tredje kolumnen. ?ver -5 g?nger -2: . Jag l?gger till den f?rsta raden till den andra raden: -7 + 10 = 3. Jag skriver resultatet p? den andra raden: »

T?nk noga p? det h?r exemplet och f?rst? sekvensber?kningsalgoritmen, om du f?rst?r detta ?r Gauss-metoden praktiskt taget "i fickan". Men vi jobbar f?rst?s fortfarande med denna omvandling.

Element?ra transformationer f?r?ndrar inte l?sningen av ekvationssystemet

! UPPM?RKSAMHET: anses vara manipulationer kan inte anv?nda, om du erbjuds en uppgift d?r matriserna ges "av sig sj?lva". Till exempel med "klassisk" matriser i inget fall b?r du ordna om n?got inuti matriserna!

L?t oss ?terg? till v?rt system. Hon ?r n?stan bruten i bitar.

L?t oss skriva den ut?kade matrisen f?r systemet och, med hj?lp av element?ra transformationer, reducera den till stegvis vy:

(1) Den f?rsta raden lades till den andra raden, multiplicerad med -2. Och igen: varf?r multiplicerar vi den f?rsta raden med -2? F?r att f? noll i botten, vilket inneb?r att bli av med en variabel p? den andra raden.

(2) Dividera den andra raden med 3.

Syftet med element?ra transformationer – konvertera matrisen till stegform: . I utformningen av uppgiften drar de direkt ut "stegen" med en enkel penna och ringar ocks? in siffrorna som finns p? "stegen". Begreppet "stepped view" i sig ?r inte helt teoretiskt, i den vetenskapliga och pedagogiska litteraturen kallas det ofta trapetsformad vy eller triangul?r vy.

Som ett resultat av element?ra transformationer har vi erh?llit likv?rdig ursprungliga ekvationssystem:

Nu m?ste systemet "tvinnas ut" i motsatt riktning - fr?n botten och upp kallas denna process omv?nd Gauss-metod.

I den nedre ekvationen har vi redan det f?rdiga resultatet: .

Betrakta systemets f?rsta ekvation och ers?tt det redan k?nda v?rdet av "y" i det:

L?t oss ?verv?ga den vanligaste situationen, n?r Gaussmetoden kr?vs f?r att l?sa ett system med tre linj?ra ekvationer med tre ok?nda.

Exempel 1

L?s ekvationssystemet med Gauss-metoden:

L?t oss skriva den ut?kade matrisen f?r systemet:

Nu kommer jag omedelbart att rita resultatet som vi kommer fram till under l?sningen:

Och jag upprepar, v?rt m?l ?r att f?ra matrisen till en stegvis form med hj?lp av element?ra transformationer. Var ska man b?rja vidta ?tg?rder?

Titta f?rst p? det ?vre v?nstra numret:

Borde n?stan alltid vara h?r enhet. Generellt sett kommer -1 (och ibland andra siffror) ocks? att passa, men p? n?got s?tt har det traditionellt h?nt att en enhet vanligtvis placeras d?r. Hur organiserar man en enhet? Vi tittar p? den f?rsta kolumnen - vi har en f?rdig enhet! Transformation ett: byt f?rsta och tredje raden:

Nu kommer den f?rsta raden att f?rbli of?r?ndrad till slutet av l?sningen. Nu bra.

Enheten uppe till v?nster ?r organiserad. Nu m?ste du f? nollor p? dessa platser:

Nollor erh?lls bara med hj?lp av en "sv?r" transformation. F?rst tar vi itu med den andra raden (2, -1, 3, 13). Vad beh?ver g?ras f?r att f? noll i f?rsta positionen? Beh?ver till den andra raden l?gg till den f?rsta raden multiplicerad med -2. Mentalt eller p? ett utkast multiplicerar vi den f?rsta raden med -2: (-2, -4, 2, -18). Och vi genomf?r konsekvent (igen mentalt eller p? ett utkast) till?gg, till den andra raden l?gger vi till den f?rsta raden, redan multiplicerad med -2:

Resultatet ?r skrivet p? andra raden:

P? samma s?tt behandlar vi den tredje raden (3, 2, -5, -1). F?r att f? noll i f?rsta positionen beh?ver du till den tredje raden l?gg till den f?rsta raden multiplicerat med -3. Mentalt eller p? ett utkast multiplicerar vi den f?rsta raden med -3: (-3, -6, 3, -27). Och till den tredje raden l?gger vi till den f?rsta raden multiplicerad med -3:

Resultatet ?r skrivet p? tredje raden:

I praktiken utf?rs dessa ?tg?rder vanligtvis muntligt och skrivs ner i ett steg:

Du beh?ver inte r?kna allt p? en g?ng och samtidigt. Ordningen f?r ber?kningar och "ins?ttning" av resultat konsekvent och brukar s? h?r: f?rst skriver vi om den f?rsta raden och puffar oss tyst - KONSEKVENT och F?RSIKTIGT:


Och jag har redan ?verv?gt det mentala f?rloppet av sj?lva ber?kningarna ovan.

I det h?r exemplet ?r detta l?tt att g?ra, vi dividerar den andra raden med -5 (eftersom alla tal d?r ?r delbara med 5 utan rest). Samtidigt dividerar vi den tredje raden med -2, f?r ju mindre tal, desto enklare l?sning:

I slutskedet av element?ra transformationer m?ste ytterligare en nolla erh?llas h?r:

F?r detta till den tredje raden l?gger vi till den andra raden, multiplicerad med -2:


F?rs?k att analysera denna ?tg?rd sj?lv - multiplicera den andra raden mentalt med -2 och utf?r additionen.

Den sista ?tg?rden som utf?rs ?r resultatets frisyr, dela den tredje raden med 3.

Som ett resultat av element?ra transformationer erh?lls ett ekvivalent initialt system av linj?ra ekvationer:

H?ftigt.

Nu kommer det omv?nda f?rloppet av den Gaussiska metoden in i bilden. Ekvationerna "varva ner" nerifr?n och upp.

I den tredje ekvationen har vi redan det f?rdiga resultatet:

L?t oss titta p? den andra ekvationen: . Betydelsen av "z" ?r redan k?nd, allts?:

Och slutligen den f?rsta ekvationen: . "Y" och "Z" ?r k?nda, saken ?r liten:

Svar:

Som det upprepade g?nger har noterats, f?r alla ekvationssystem ?r det m?jligt och n?dv?ndigt att kontrollera den hittade l?sningen, lyckligtvis ?r detta inte sv?rt och snabbt.

Exempel 2

Detta ?r ett exempel f?r sj?lvl?sning, ett exempel p? efterbehandling och ett svar i slutet av lektionen.

Det b?r noteras att din tillv?gag?ngss?tt kanske inte sammanfaller med min handling, och detta ?r en egenskap hos Gauss-metoden. Men svaren m?ste vara desamma!

Exempel 3

L?s ett system av linj?ra ekvationer med Gauss-metoden

Vi skriver den ut?kade matrisen av systemet och, med hj?lp av element?ra transformationer, f?r den till en stegform:

Vi tittar p? det ?vre v?nstra "steget". D?r borde vi ha en enhet. Problemet ?r att det inte finns n?gra i den f?rsta kolumnen alls, s? inget kan l?sas genom att ordna om raderna. I s?dana fall m?ste enheten organiseras med hj?lp av en element?r transformation. Detta kan vanligtvis g?ras p? flera s?tt. Jag gjorde detta:
(1) Till den f?rsta raden l?gger vi till den andra raden, multiplicerad med -1. Det vill s?ga, vi multiplicerade mentalt den andra raden med -1 och gjorde till?gget av den f?rsta och andra raden, medan den andra raden inte ?ndrades.

Nu uppe till v?nster "minus ett", vilket passar oss perfekt. Den som vill f? +1 kan utf?ra ytterligare en gest: multiplicera den f?rsta raden med -1 (?ndra dess tecken).

(2) Den f?rsta raden multiplicerad med 5 lades till den andra raden. Den f?rsta raden multiplicerad med 3 lades till den tredje raden.

(3) Den f?rsta raden multiplicerades med -1, i princip ?r detta f?r sk?nhet. Tecknet p? den tredje raden ?ndrades ocks? och flyttades till den andra platsen, s? p? det andra "steget hade vi den ?nskade enheten.

(4) Den andra raden multiplicerad med 2 lades till den tredje raden.

(5) Den tredje raden delades med 3.

Ett d?ligt tecken som indikerar ett r?knefel (mindre ofta ett stavfel) ?r en "d?lig" slutsats. Det vill s?ga, om vi fick n?got liknande nedan, och f?ljaktligen, , d? kan man med en h?g grad av sannolikhet h?vda att ett fel gjordes under f?rloppet av element?ra transformationer.

Vi laddar det omv?nda draget, i utformningen av exempel skrivs sj?lva systemet ofta inte om, och ekvationerna ?r "tagna direkt fr?n den givna matrisen". Det omv?nda draget, jag p?minner er, fungerar nerifr?n och upp. Ja, h?r ?r en present:

Svar: .

Exempel 4

L?s ett system av linj?ra ekvationer med Gauss-metoden

Detta ?r ett exempel p? en oberoende l?sning, det ?r n?got mer komplicerat. Det ?r okej om n?gon blir f?rvirrad. Fullst?ndig l?sning och designexempel i slutet av lektionen. Din l?sning kan skilja sig fr?n min.

I den sista delen ?verv?ger vi n?gra funktioner i Gauss-algoritmen.
Den f?rsta egenskapen ?r att ibland saknas vissa variabler i systemets ekvationer, till exempel:

Hur man korrekt skriver den ut?kade matrisen f?r systemet? Jag pratade redan om detta ?gonblick p? lektionen. Cramers regel. Matrismetod. I systemets expanderade matris s?tter vi nollor i st?llet f?r de saknade variablerna:

F?rresten, detta ?r ett ganska enkelt exempel, eftersom det redan finns en nolla i den f?rsta kolumnen och det finns f?rre element?ra transformationer att utf?ra.

Den andra funktionen ?r denna. I alla ?verv?gda exempel placerade vi antingen –1 eller +1 p? "stegen". Kan det finnas andra siffror? I vissa fall kan de. T?nk p? systemet: .

H?r p? det ?vre v?nstra "steget" har vi en tv?a. Men vi l?gger m?rke till det faktum att alla siffror i den f?rsta kolumnen ?r delbara med 2 utan rest - och ytterligare tv? och sex. Och tv?an ?verst till v?nster kommer att passa oss! I det f?rsta steget m?ste du utf?ra f?ljande transformationer: l?gg till den f?rsta raden multiplicerad med -1 till den andra raden; till den tredje raden l?gg till den f?rsta raden multiplicerat med -3. S?ledes kommer vi att f? de ?nskade nollorna i den f?rsta kolumnen.

Eller ett annat hypotetiskt exempel: . H?r passar ?ven trippeln p? den andra "trappan", eftersom 12 (platsen d?r vi m?ste f? noll) ?r delbart med 3 utan rest. Det ?r n?dv?ndigt att utf?ra f?ljande transformation: till den tredje raden, l?gg till den andra raden, multiplicerad med -4, vilket resulterar i att nollan vi beh?ver erh?lls.

Gaussmetoden ?r universell, men det finns en egenhet. Du kan med tillf?rsikt l?ra dig att l?sa system med andra metoder (Cramers metod, matrismetod) bokstavligen fr?n f?rsta g?ngen - det finns en mycket stel algoritm. Men f?r att k?nna dig s?ker p? Gauss-metoden b?r du "fylla din hand" och l?sa minst 5-10 system. D?rf?r kan det till en b?rjan uppst? f?rvirring, fel i ber?kningar, och det finns inget ovanligt eller tragiskt i detta.

Regnigt h?stv?der utanf?r f?nstret .... D?rf?r, f?r alla, ett mer komplext exempel f?r en oberoende l?sning:

Exempel 5

L?s ett system med fyra linj?ra ekvationer med fyra ok?nda med Gaussmetoden.

En s?dan uppgift i praktiken ?r inte s? ovanlig. Jag tror att ?ven en tekanna som har studerat den h?r sidan i detalj f?rst?r algoritmen f?r att l?sa ett s?dant system intuitivt. I princip samma sak - bara mer action.

Fall d?r systemet inte har n?gra l?sningar (inkonsekventa) eller har o?ndligt m?nga l?sningar beaktas i lektionen Inkompatibla system och system med generell l?sning. D?r kan du fixa den ?verv?gda algoritmen f?r Gauss-metoden.

?nskar dig framg?ng!

L?sningar och svar:

Exempel 2: L?sning : L?t oss skriva ner systemets ut?kade matris och, med hj?lp av element?ra transformationer, f?ra den till en stegvis form.


Utf?rde element?ra transformationer:
(1) Den f?rsta raden lades till den andra raden, multiplicerad med -2. Den f?rsta raden lades till den tredje raden, multiplicerad med -1. Uppm?rksamhet! H?r kan det vara frestande att subtrahera den f?rsta fr?n den tredje raden, jag rekommenderar starkt inte att subtrahera - risken f?r fel ?kar kraftigt. Vi bara viker oss!
(2) Den andra radens tecken ?ndrades (multiplicerat med -1). Den andra och tredje raden har bytts ut. notera att vi p? "stegen" ?r n?jda inte bara med en, utan ocks? med -1, vilket ?r ?nnu bekv?mare.
(3) Till den tredje raden, l?gg till den andra raden, multiplicerad med 5.
(4) Den andra radens tecken ?ndrades (multiplicerat med -1). Den tredje raden delades med 14.

Flytta bak?t:

Svar: .

Exempel 4: L?sning : Vi skriver den ut?kade matrisen av systemet och, med hj?lp av element?ra transformationer, f?r den till en stegform:

Utf?rda omvandlingar:
(1) Den andra raden lades till den f?rsta raden. S?ledes ?r den ?nskade enheten organiserad i det ?vre v?nstra "steget".
(2) Den f?rsta raden multiplicerad med 7 lades till den andra raden. Den f?rsta raden multiplicerad med 6 lades till den tredje raden.

Med det andra "steget" ?r allt v?rre , "kandidaterna" f?r det ?r siffrorna 17 och 23, och vi beh?ver antingen en eller -1. Transformationer (3) och (4) kommer att syfta till att erh?lla den ?nskade enheten

(3) Den andra raden lades till den tredje raden, multiplicerad med -1.
(4) Den tredje raden, multiplicerad med -3, lades till den andra raden.
(3) Den andra raden multiplicerad med 4 lades till den tredje raden. Den andra raden multiplicerad med -1 lades till p? den fj?rde raden.
(4) Tecknet p? den andra raden har ?ndrats. Den fj?rde raden delades med 3 och placerades ist?llet f?r den tredje raden.
(5) Den tredje raden lades till den fj?rde raden, multiplicerad med -5.

Flytta bak?t: