Pyramid koncept

Definition 1

En geometrisk figur som bildas av en polygon och en punkt som inte ligger i planet som inneh?ller denna polygon, kopplad till polygonens alla h?rn, kallas en pyramid (Fig. 1).

Polygonen som pyramiden best?r av kallas pyramidens bas, trianglarna som erh?lls genom att f?rbinda med punkten ?r pyramidens sidoytor, trianglarnas sidor ?r pyramidens sidor och punkten gemensam f?r alla trianglar ?r toppen av pyramiden.

Typer av pyramider

Beroende p? antalet h?rn vid basen av pyramiden kan den kallas triangul?r, fyrkantig och s? vidare (fig. 2).

Figur 2.

En annan typ av pyramid ?r en vanlig pyramid.

L?t oss introducera och bevisa egenskapen hos en vanlig pyramid.

Sats 1

Alla sidoytor p? en vanlig pyramid ?r likbenta trianglar som ?r lika med varandra.

Bevis.

T?nk p? en vanlig $n-$gonal pyramid med spets $S$ p? h?jden $h=SO$. L?t oss beskriva en cirkel runt basen (Fig. 4).

Figur 4

Betrakta triangel $SOA$. Av Pythagoras sats f?r vi

Uppenbarligen kommer vilken sidokant som helst att definieras p? detta s?tt. D?rf?r ?r alla sidokanter lika med varandra, det vill s?ga alla sidoytor ?r likbenta trianglar. L?t oss bevisa att de ?r lika med varandra. Eftersom basen ?r en vanlig polygon, ?r baserna p? alla sidoytor lika med varandra. F?ljaktligen ?r alla sidoytor lika enligt III-tecknet f?r trianglars likhet.

Teoremet har bevisats.

Vi introducerar nu f?ljande definition relaterad till begreppet en vanlig pyramid.

Definition 3

Apotemet f?r en vanlig pyramid ?r h?jden p? dess sidoyta.

Uppenbarligen, enligt sats 1, ?r alla apotemer lika.

Sats 2

Den laterala ytan av en vanlig pyramid definieras som produkten av basens halvomkrets och apotem.

Bevis.

L?t oss beteckna sidan av $n-$kolpyramidens bas som $a$ och apotem som $d$. D?rf?r ?r omr?det p? sidoytan lika med

Eftersom, enligt sats 1, alla sidor ?r lika, allts?

Teoremet har bevisats.

En annan typ av pyramid ?r den trunkerade pyramiden.

Definition 4

Om ett plan parallellt med dess bas dras genom en vanlig pyramid, s? kallas figuren som bildas mellan detta plan och basens plan en stympad pyramid (fig. 5).

Figur 5. Stympad pyramid

Den stympade pyramidens sidoytor ?r trapetser.

Sats 3

Arean av den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid definieras som produkten av summan av halvperimetrarna f?r baserna och apotem.

Bevis.

L?t oss beteckna sidorna av $n-$kolpyramidens baser med $a\ respektive\b$, och apotemet med $d$. D?rf?r ?r omr?det p? sidoytan lika med

Eftersom alla sidor ?r lika, allts?

Teoremet har bevisats.

Uppgiftsexempel

Exempel 1

Hitta arean av den laterala ytan av en stympad triangul?r pyramid om den erh?lls fr?n en vanlig pyramid med bassida 4 och apotem 5 genom att sk?ra av med ett plan som g?r genom mittlinjen p? sidoytorna.

L?sning.

Enligt medianlinjesatsen f?r vi att den ?vre basen av den trunkerade pyramiden ?r lika med $4\cdot \frac(1)(2)=2$, och apotem ?r lika med $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5 $.

Sedan, genom sats 3, f?r vi

Denna videohandledning hj?lper anv?ndare att f? en uppfattning om Pyramid-tema. R?tt pyramid. I den h?r lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet en pyramid, ge det en definition. Fundera p? vad en vanlig pyramid ?r och vilka egenskaper den har. Sedan bevisar vi satsen p? sidoytan av en vanlig pyramid.

I den h?r lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet en pyramid, ge det en definition.

T?nk p? en polygon A 1 A 2...En, som ligger i planet a, och en punkt P, som inte ligger i planet a (fig. 1). L?t oss koppla ihop punkten P med toppar A 1, A 2, A 3, … En. Skaffa sig n trianglar: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R och s? vidare.

Definition. Polyeder RA 1 A 2 ... A n, gjord av n-gon A 1 A 2...En och n trianglar RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , ringde n- kolpyramid. Ris. ett.

Ris. ett

T?nk p? en fyrkantig pyramid PABCD(Fig. 2).

R- toppen av pyramiden.

ABCD- basen av pyramiden.

RA- sido revben.

AB- baskant.

Fr?n en punkt R sl?pp vinkelr?t RN p? jordplanet ABCD. Den vinkelr?ta ritningen ?r h?jden p? pyramiden.

Ris. 2

Pyramidens totala yta best?r av sidoytan, det vill s?ga arean av alla sidoytor och basytan:

S full \u003d S-sida + S huvud

En pyramid kallas korrekt om:

• dess bas ?r en vanlig polygon;
• segmentet som f?rbinder toppen av pyramiden med mitten av basen ?r dess h?jd.

F?rklaring p? exemplet med en vanlig fyrkantig pyramid

T?nk p? en vanlig fyrkantig pyramid PABCD(Fig. 3).

R- toppen av pyramiden. basen av pyramiden ABCD- en vanlig fyrh?rning, det vill s?ga en kvadrat. Punkt O, sk?rningspunkten f?r diagonalerna, ?r mitten av kvadraten. Betyder att, RO?r h?jden p? pyramiden.

Ris. 3

F?rklaring: i den h?gra n-gon, den inskrivna cirkelns centrum och den omskrivna cirkelns centrum sammanfaller. Detta centrum kallas polygonens centrum. Ibland s?ger de att toppen projiceras in i mitten.

H?jden p? sidoytan p? en vanlig pyramid, ritad fr?n dess topp, kallas apotem och betecknas h a.

1. alla sidokanter p? en vanlig pyramid ?r lika;

2. sidoytorna ?r lika likbenta trianglar.

L?t oss bevisa dessa egenskaper med hj?lp av exemplet med en vanlig fyrkantig pyramid.

Given: RABSD- vanlig fyrkantig pyramid,

ABCD- fyrkantig,

RO?r h?jden p? pyramiden.

Bevisa:

1. RA = PB = PC = PD

2.?ATP = ?BCP = ?CDP = ?DAP Se fig. fyra.

Ris. fyra

Bevis.

RO?r h?jden p? pyramiden. Det vill s?ga rakt RO vinkelr?tt mot planet ABC, och d?rmed direkt AO, VO, SO och DO ligger i den. Trianglarna allts? ROA, ROV, ROS, ROD- rektangul?r.

T?nk p? en kvadrat ABCD. Av en kvadrats egenskaper f?ljer att AO = BO = CO = DO.

Sedan de r?ta trianglarna ROA, ROV, ROS, ROD ben RO- allm?n och ben AO, VO, SO och DO lika, s? dessa trianglar ?r lika i tv? ben. Fr?n trianglarnas likhet f?ljer segmentens likhet, RA = PB = PC = PD. Punkt 1 ?r bevisad.

Segment AB och Sol?r lika eftersom de ?r sidor av samma kvadrat, RA = RV = PC. Trianglarna allts? AVR och videobandspelare - likbent och lika p? tre sidor.

P? samma s?tt f?r vi att trianglarna ABP, BCP, CDP, DAP?r likbenta och lika, vilket kr?vdes f?r att bevisa i punkt 2.

Arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid ?r lika med h?lften av produkten av omkretsen av basen och apotem:

Som bevis v?ljer vi en vanlig triangul?r pyramid.

Given: RAVS?r en vanlig triangul?r pyramid.

AB = BC = AC.

RO- h?jd.

Bevisa: . Se fig. 5.

Ris. 5

Bevis.

RAVS?r en vanlig triangul?r pyramid. Det ?r AB= AC = BC. L?ta O- mitten av triangeln ABC, d? RO?r h?jden p? pyramiden. Pyramidens bas ?r en liksidig triangel. ABC. L?gg m?rke till att .

trianglar RAV, RVS, RSA- lika likbenta trianglar (efter egenskap). En triangul?r pyramid har tre sidoytor: RAV, RVS, RSA. S? omr?det f?r pyramidens laterala yta ?r:

S-sidan = 3S RAB

Teoremet har bevisats.

Radien p? en cirkel inskriven i basen av en vanlig fyrkantig pyramid ?r 3 m, h?jden p? pyramiden ?r 4 m. Hitta arean p? pyramidens sidoyta.

Given: regelbunden fyrkantig pyramid ABCD,

ABCD- fyrkantig,

r= 3 m,

RO- h?jden p? pyramiden,

RO= 4 m.

Hitta: S sida. Se fig. 6.

Ris. 6

L?sning.

Enligt den bepr?vade satsen, .

Hitta sidan av basen f?rst AB. Vi vet att radien f?r en cirkel som ?r inskriven i basen av en vanlig fyrkantig pyramid ?r 3 m.

Sedan, m.

Hitta kvadratens omkrets ABCD med en sida p? 6 m:

T?nk p? en triangel BCD. L?ta M- mitten sida DC. D?rf?r att O- mitten BD, d? (m).

Triangel DPC- likbent. M- mitten DC. Det ?r, RM- medianen och d?rav h?jden i triangeln DPC. Sedan RM- pyramidens apotem.

RO?r h?jden p? pyramiden. Sedan, rakt RO vinkelr?tt mot planet ABC, och d?rav det direkta OM ligger i den. L?t oss hitta en apotem RM fr?n en r?tvinklig triangel ROM.

Nu kan vi hitta sidoytan p? pyramiden:

Svar: 60 m2.

Radien f?r en cirkel som ?r omskriven n?ra basen av en vanlig triangul?r pyramid ?r m. Den laterala ytan ?r 18 m 2. Hitta l?ngden p? apotem.

Given: ABCP- vanlig triangul?r pyramid,

AB = BC = SA,

R= m,

S-sidan = 18 m 2.

Hitta: . Se fig. 7.

Ris. 7

L?sning.

I en r?tvinklig triangel ABC givet radien f?r den omskrivna cirkeln. L?t oss hitta en sida AB denna triangel med hj?lp av sinussatsen.

N?r vi k?nner till sidan av en vanlig triangel (m), hittar vi dess omkrets.

Enligt satsen om omr?det f?r den laterala ytan av en vanlig pyramid, d?r h a- pyramidens apotem. Sedan:

Svar: 4 m.

S? vi unders?kte vad en pyramid ?r, vad en vanlig pyramid ?r, vi bevisade satsen p? sidoytan av en vanlig pyramid. I n?sta lektion kommer vi att bekanta oss med den trunkerade pyramiden.

Bibliografi

1. Geometri. ?rskurs 10-11: en l?robok f?r studenter vid utbildningsinstitutioner (grund- och profilniv?er) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5:e upplagan, Rev. och ytterligare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Geometri. ?rskurs 10-11: En l?robok f?r allm?nna l?roanstalter / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Geometri. ?rskurs 10: L?robok f?r allm?nna l?roanstalter med f?rdjupning och profilstudie i matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6:e upplagan, stereotyp. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.

1. Internetportal "Yaklass" ()
2. Internetportal "Festival f?r pedagogiska id?er "F?rsta september" ()
3. Internetportal "Slideshare.net" ()

L?xa

1. Kan en vanlig polygon vara basen till en oregelbunden pyramid?
2. Bevisa att icke-korsande kanter p? en vanlig pyramid ?r vinkelr?ta.
3. Hitta v?rdet p? den dihedriska vinkeln vid sidan av basen av en vanlig fyrkantig pyramid, om pyramidens apotem ?r lika med sidan av dess bas.
4. RAVS?r en vanlig triangul?r pyramid. Konstruera den linj?ra vinkeln f?r den dihedriska vinkeln vid basen av pyramiden.

Instruktion

I h?ndelse av att grunden pyramider ligger en kvadrat, l?ngden p? dess diagonal ?r k?nd, liksom l?ngden p? kanten av denna pyramider, d? h?jd detta pyramider kan uttryckas fr?n Pythagoras sats, eftersom triangeln som bildas av kanten pyramider, och halva diagonalen vid basen ?r en r?tvinklig triangel.
Pythagoras sats s?ger att kvadraten p? hypotenusan i en rektangel ?r lika stor som summan av kvadraterna p? dess ben (a? = b? + c?). kant pyramider- hypotenusan, ett av benen ?r halva kvadratens diagonal. Sedan hittas l?ngden p? det ok?nda benet (h?jden) av formlerna:
b? = a? - c?;
c? = a? - b?.

F?r att g?ra b?da situationerna s? tydliga och begripliga som m?jligt kan du ?verv?ga ett par.
Exempel 1: Basarea pyramider 46 cm?, dess volym ?r 120 cm?. Baserat p? dessa data, h?jden pyramider ligger s? h?r:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
Svar: h?jden av en given pyramider blir cirka 7,83 cm
Exempel 2: pyramider, vid vars bas ligger en polygon - en kvadrat, dess diagonal ?r 14 cm, kantl?ngden ?r 15 cm. Enligt dessa data, f?r att hitta h?jd pyramider, m?ste du anv?nda f?ljande formel (som, som en konsekvens av Pythagoras sats):
h? = 15? - 14?
h? = 225 - 196 = 29
h = ?29 cm
Svar: h?jden av en given pyramider?r ?29 cm eller ungef?r 5,4 cm

notera

Om det vid basen av pyramiden finns en kvadrat eller en annan vanlig polygon, kan denna pyramid kallas regelbunden. En s?dan pyramid har ett antal egenskaper:
dess sidoribbor ?r lika;
dess ansikten ?r likbenta trianglar, som ?r lika med varandra;
n?ra en s?dan pyramid kan man beskriva en sf?r, samt skriva in den.

K?llor:

• R?tt pyramid

En pyramid ?r en figur, vid vars bas ligger en polygon, medan dess ytor ?r trianglar med en gemensam vertex f?r alla. I typiska problem ?r det ofta n?dv?ndigt att konstruera och best?mma l?ngden p? en vinkelr?t ritad fr?n en vertex pyramider till dess basplan. L?ngden p? detta segment kallas h?jden pyramider.

Du kommer beh?va

• - linjal
• - penna
• - kompasser

Instruktion

F?r att utf?ra, bygg en pyramid i enlighet med problemets tillst?nd. Till exempel, f?r att bygga en vanlig tetraeder m?ste du rita en figur s? att alla 6 kanter ?r lika med varandra. Om du beh?ver bygga h?jd fyrkantig, d? b?r endast 4 kanter av basen vara lika. D? kan kanterna p? sidoytorna byggas olika mot polygonens kanter. Namnge pyramiden, beteckna alla h?rn med latinska bokst?ver. Till exempel f?r pyramider med en triangel vid basen kan du v?lja A, B, C (f?r basen), S (f?r toppen). Om specifika storlekar p? kanter anges i villkoret, utg? fr?n dessa v?rden n?r du konstruerar en figur.

Till att b?rja med, v?lj villkorligt med hj?lp av en kompass , r?ra fr?n insidan av alla kanter p? polygonen. Om pyramiden, d? punkten (kalla det, till exempel, H) p? grundval pyramider, i vilken h?jden faller, m?ste motsvara mitten av cirkeln inskriven i r?tt bas pyramider. Mitten kommer att motsvara en punkt p? samma avst?nd fr?n n?gon annan punkt p? cirkeln. Om vi kopplar ihop vertexet pyramider S med mitten av cirkeln H, d? blir segmentet SH h?jden pyramider. T?nk samtidigt p? att en cirkel kan skrivas in i en fyrh?rning vars summor av motsatta sidor ?r desamma. Det g?ller kvadraten och romben. I detta fall kommer punkten H att ligga i fyrh?rningen. F?r vilken triangel som helst ?r det m?jligt att inskriva och beskriva en cirkel.

Att bygga h?jd pyramider, anv?nd en kompass f?r att rita en cirkel och anv?nd sedan en linjal f?r att koppla dess centrum H till spetsen S. SH ?r den ?nskade h?jden. Om vid basen pyramider SABC ?r en ogiltig siffra, d? kommer h?jden att f?rbinda vertexet pyramider med mitten av cirkeln d?r basens polygon ?r inskriven. Alla h?rn i polygonen ligger p? en s?dan cirkel. I detta fall kommer detta segment att vara vinkelr?tt mot basens plan pyramider. Du kan beskriva en cirkel runt en fyrh?rning om summan av de motsatta vinklarna ?r 180o. D? kommer mitten av en s?dan cirkel att ligga i sk?rningspunkten mellan diagonalerna f?r motsvarande

Definition. Sidoansikte- detta ?r en triangel d?r en vinkel ligger p? toppen av pyramiden, och den motsatta sidan av den sammanfaller med sidan av basen (polygon).

Definition. Sidor revben?r de gemensamma sidorna av sidoytorna. En pyramid har lika m?nga kanter som det finns h?rn i en polygon.

Definition. pyramidh?jd?r en vinkelr?t fall fr?n toppen till basen av pyramiden.

Definition. Apotem- detta ?r vinkelr?t p? pyramidens sidoyta, s?nkt fr?n toppen av pyramiden till sidan av basen.

Definition. Diagonal sektion- detta ?r en del av pyramiden av ett plan som passerar genom toppen av pyramiden och diagonalen p? basen.

Definition. R?tt pyramid- Det h?r ?r en pyramid d?r basen ?r en vanlig polygon, och h?jden sjunker till mitten av basen.

Volym och yta av pyramiden

Formel. pyramidvolym genom basarea och h?jd:

pyramidegenskaper

Om alla sidokanter ?r lika, kan en cirkel omskrivas runt pyramidens bas, och basens centrum sammanfaller med cirkelns centrum. Dessutom passerar den vinkelr?ta som tappas fr?n toppen genom mitten av basen (cirkeln).

Om alla sidoribbor ?r lika, lutar de mot basplanet i samma vinklar.

De laterala ribborna ?r lika n?r de bildar lika vinklar med basplanet, eller om en cirkel kan beskrivas runt pyramidens bas.

Om sidoytorna lutar mot basens plan i en vinkel, kan en cirkel inskrivas i pyramidens bas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess mitt.

Om sidoytorna lutar mot basplanet i en vinkel, ?r sidoytornas apotemer lika.

Egenskaper hos en vanlig pyramid

1. Pyramidens topp ?r lika l?ngt fr?n alla h?rn av basen.

2. Alla sidokanter ?r lika.

3. Alla sidoribbor lutar i samma vinklar mot basen.

4. Apotemer p? alla sidoytor ?r lika.

5. Ytorna p? alla sidoytor ?r lika.

6. Alla ytor har samma dihedrala (platta) vinklar.

7. En sf?r kan beskrivas runt pyramiden. Mitten av den beskrivna sf?ren kommer att vara sk?rningspunkten f?r perpendikul?ra som passerar genom mitten av kanterna.

8. En sf?r kan vara inskriven i en pyramid. Mitten av den inskrivna sf?ren kommer att vara sk?rningspunkten f?r bisektrarna som utg?r fr?n vinkeln mellan kanten och basen.

9. Om centrum av den inskrivna sf?ren sammanfaller med mitten av den omskrivna sf?ren, s? ?r summan av de platta vinklarna vid spetsen lika med p eller vice versa, en vinkel ?r lika med p / n, d?r n ?r talet av vinklar vid basen av pyramiden.

Pyramidens f?rbindelse med sf?ren

En sf?r kan beskrivas runt pyramiden n?r vid basen av pyramiden ligger en polyeder runt vilken en cirkel kan beskrivas (ett n?dv?ndigt och tillr?ckligt villkor). Sf?rens centrum kommer att vara sk?rningspunkten f?r plan som passerar vinkelr?tt genom mittpunkterna p? pyramidens sidokanter.

En sf?r kan alltid beskrivas runt vilken triangul?r eller vanlig pyramid som helst.

En sf?r kan inskrivas i en pyramid om halvledarplanen f?r pyramidens inre dihedriska vinklar sk?r varandra vid en punkt (ett n?dv?ndigt och tillr?ckligt villkor). Denna punkt kommer att vara mitten av sf?ren.

Anslutningen av pyramiden med konen

En kon kallas inskriven i en pyramid om deras h?rn sammanfaller och konens bas ?r inskriven i pyramidens bas.

En kon kan inskrivas i en pyramid om pyramidens apotemer ?r lika.

En kon s?gs vara omskriven runt en pyramid om deras h?rn sammanfaller och konens bas ?r omskriven runt pyramidens bas.

En kon kan beskrivas runt en pyramid om alla sidokanter p? pyramiden ?r lika med varandra.

Anslutning av en pyramid med en cylinder

En pyramid s?gs vara inskriven i en cylinder om toppen av pyramiden ligger p? en bas av cylindern, och basen av pyramiden ?r inskriven i en annan bas av cylindern.

En cylinder kan omskrivas runt en pyramid om en cirkel kan omskrivas runt pyramidens bas.

Definition. Stympad pyramid (pyramidformigt prisma)– Det h?r ?r en polyeder som ligger mellan pyramidens bas och ett snittplan parallellt med basen. S?ledes har pyramiden en stor bas och en mindre bas som liknar den st?rre. Sidoytorna ?r trapetser.

Definition. Triangul?r pyramid (tetraeder)- det h?r ?r en pyramid d?r tre ytor och basen ?r godtyckliga trianglar.

En tetraeder har fyra ytor och fyra h?rn och sex kanter, d?r tv? kanter inte har n?gra gemensamma h?rn men inte r?r vid varandra.

Varje vertex best?r av tre ytor och kanter som bildas triedrisk vinkel.

Segmentet som f?rbinder tetraederns vertex med mitten av den motsatta sidan kallas median f?r tetraedern(GM).

Bimedian kallas ett segment som f?rbinder mittpunkterna p? motsatta kanter som inte ber?r (KL).

Alla bimedianer och medianer i en tetraeder sk?r varandra vid en punkt (S). I det h?r fallet delas bimedianerna i h?lften och medianerna i f?rh?llandet 3: 1 fr?n toppen.

Definition. lutande pyramid?r en pyramid d?r en av kanterna bildar en trubbig vinkel (v) med basen.

Definition. Rektangul?r pyramid?r en pyramid d?r en av sidoytorna ?r vinkelr?t mot basen.

Definition. Akut vinklad pyramid?r en pyramid d?r apotem ?r mer ?n halva l?ngden av sidan av basen.

Definition. trubbig pyramid?r en pyramid d?r apotem ?r mindre ?n halva l?ngden av sidan av basen.

Definition. vanlig tetraeder En tetraeder vars fyra ytor ?r liksidiga trianglar. Det ?r en av fem vanliga polygoner. I en vanlig tetraeder ?r alla dihedriska vinklar (mellan ytor) och trihedriska vinklar (vid en vertex) lika.

Definition. Rektangul?r tetraeder en tetraeder kallas som har en r?t vinkel mellan tre kanter vid spetsen (kanterna ?r vinkelr?ta). Tre ansikten bildas rektangul?r trihedrisk vinkel och ytorna ?r r?tvinkliga trianglar, och basen ?r en godtycklig triangel. Apotemet f?r varje ansikte ?r lika med halva sidan av basen som apotemet faller p?.

Definition. Isoedrisk tetraeder En tetraeder kallas d?r sidoytorna ?r lika med varandra, och basen ?r en regelbunden triangel. Ytorna p? en s?dan tetraeder ?r likbenta trianglar.

Definition. Ortocentrisk tetraeder en tetraeder kallas d?r alla h?jder (perpendicularer) som ?r s?nkta fr?n toppen till den motsatta sidan sk?r varandra i en punkt.

Definition. stj?rnpyramiden En polyeder vars bas ?r en stj?rna kallas.

Definition. Bipyramid- en polyeder best?ende av tv? olika pyramider (pyramider kan ocks? sk?ras av), som har en gemensam bas, och h?rnen ligger p? motsatta sidor av basplanet.

Vi forts?tter att ?verv?ga de uppgifter som ing?r i provet i matematik. Vi har redan studerat problem d?r villkoret ?r givet och det kr?vs f?r att hitta avst?ndet mellan tv? givna punkter eller vinkeln.

En pyramid ?r en polyeder vars bas ?r en polygon, de andra ytorna ?r trianglar och de har en gemensam vertex.

En vanlig pyramid ?r en pyramid vars bas ligger en vanlig polygon, och dess topp projiceras in i mitten av basen.

En vanlig fyrkantig pyramid - basen ?r en kvadrat. Pyramidens topp projiceras vid sk?rningspunkten f?r basens diagonaler (fyrkant).

ML - apotem
?MLO - dihedrisk vinkel vid basen av pyramiden
?MCO - vinkeln mellan den laterala kanten och planet f?r pyramidens bas

I den h?r artikeln kommer vi att ?verv?ga uppgifter f?r att l?sa r?tt pyramid. Det kr?vs att hitta vilket element som helst, lateral yta, volym, h?jd. Naturligtvis beh?ver du k?nna till Pythagoras sats, formeln f?r arean av pyramidens laterala yta, formeln f?r att hitta pyramidens volym.

I artikeln « » formler presenteras som ?r n?dv?ndiga f?r att l?sa problem inom stereometri. S? arbetsuppgifterna ?r:

SABCD punkt O- bascentrumS vertex, S? = 51, AC= 136. Hitta sidokantenSC.

I det h?r fallet ?r basen en kvadrat. Det betyder att diagonalerna AC och BD ?r lika, de sk?r varandra och halverar i sk?rningspunkten. Observera att i en vanlig pyramid passerar h?jden s?nkt fr?n dess topp genom mitten av pyramidens bas. S? SO ?r h?jden och triangelnSOCrektangul?r. Sedan genom Pythagoras sats:

Hur man tar roten till ett stort antal.

Svar: 85

Best?m sj?lv:

I en vanlig fyrkantig pyramid SABCD punkt O- bascentrum S vertex, S? = 4, AC= 6. Hitta en sidokant SC.

I en vanlig fyrkantig pyramid SABCD punkt O- bascentrum S vertex, SC = 5, AC= 6. Hitta l?ngden p? segmentet S?.

I en vanlig fyrkantig pyramid SABCD punkt O- bascentrum S vertex, S? = 4, SC= 5. Hitta l?ngden p? segmentet AC.

SABC R- mitten av revbenet f?re Kristus, S- topp. Det ?r k?nt att AB= 7, och SR= 16. Hitta den laterala ytarean.

Arean av sidoytan p? en vanlig triangul?r pyramid ?r lika med h?lften av produkten av omkretsen av basen och apotem (apotem ?r h?jden p? sidoytan p? en vanlig pyramid ritad fr?n dess topp):

Eller s? kan du s?ga s? h?r: arean av pyramidens laterala yta ?r lika med summan av ytorna p? de tre sidoytorna. Sidoytorna i en vanlig triangul?r pyramid ?r trianglar med lika stor yta. I detta fall:

Svar: 168

Best?m sj?lv:

I en vanlig triangul?r pyramid SABC R- mitten av revbenet f?re Kristus, S- topp. Det ?r k?nt att AB= 1, och SR= 2. Hitta arean av sidoytan.

I en vanlig triangul?r pyramid SABC R- mitten av revbenet f?re Kristus, S- topp. Det ?r k?nt att AB= 1, och den laterala ytan ?r 3. Hitta l?ngden p? segmentet SR.

I en vanlig triangul?r pyramid SABC L- mitten av revbenet f?re Kristus, S- topp. Det ?r k?nt att SL= 2, och den laterala ytan ?r 3. Hitta l?ngden p? segmentet AB.

I en vanlig triangul?r pyramid SABC M. Arean av en triangel ABC?r 25, ?r pyramidens volym 100. Hitta l?ngden p? segmentet FR?KEN.

Pyramidens bas ?r en liksidig triangel. Det ?r d?rf?r M?r mitten av basen, ochFR?KEN- h?jden p? en vanlig pyramidSABC. Pyramidvolym SABC?r lika med: inspektera l?sning

I en vanlig triangul?r pyramid SABC basmedianerna sk?r varandra i en punkt M. Arean av en triangel ABC?r 3, FR?KEN= 1. Hitta volymen p? pyramiden.

I en vanlig triangul?r pyramid SABC basmedianerna sk?r varandra i en punkt M. Pyramidens volym ?r 1, FR?KEN= 1. Hitta arean av triangeln ABC.

L?t oss avsluta med det h?r. Som du kan se l?ses uppgifter i ett eller tv? steg. I framtiden kommer vi att ?verv?ga med dig andra problem fr?n denna del, d?r revolutionskroppar ges, missa inte det!

Jag ?nskar er framg?ng!

Med v?nlig h?lsning, Alexander Krutitskikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du ber?ttar om sajten i sociala n?tverk.