N?r man l?ser m?nga matteproblem, s?rskilt de som intr?ffar f?re ?rskurs 10, ?r ordningen f?r utf?rda ?tg?rder som kommer att leda till m?let tydligt definierade. S?dana problem inkluderar till exempel linj?ra och andragradsekvationer, linj?ra och kvadratiska olikheter, br?kekvationer och ekvationer som reduceras till andragrads. Principen f?r framg?ngsrik l?sning av var och en av de n?mnda uppgifterna ?r f?ljande: det ?r n?dv?ndigt att fastst?lla vilken typ av uppgift som l?ses, kom ih?g den n?dv?ndiga sekvensen av ?tg?rder som kommer att leda till det ?nskade resultatet, d.v.s. svara och f?lj dessa steg.

Uppenbarligen beror framg?ng eller misslyckande i att l?sa ett visst problem huvudsakligen p? hur korrekt typen av ekvation som l?ses best?ms, hur korrekt sekvensen av alla steg i dess l?sning reproduceras. Naturligtvis, i det h?r fallet, ?r det n?dv?ndigt att ha f?rdigheter f?r att utf?ra identiska transformationer och ber?kningar.

En annan situation uppst?r med trigonometriska ekvationer. Det ?r inte sv?rt att fastst?lla det faktum att ekvationen ?r trigonometrisk. Sv?righeter uppst?r n?r man ska best?mma sekvensen av ?tg?rder som skulle leda till r?tt svar.

Det ?r ibland sv?rt att best?mma dess typ genom utseendet p? en ekvation. Och utan att k?nna till typen av ekvation ?r det n?stan om?jligt att v?lja r?tt bland flera dussin trigonometriska formler.

F?r att l?sa den trigonometriska ekvationen m?ste vi f?rs?ka:

1. f?ra alla funktioner som ing?r i ekvationen till "samma vinklar";
2. bringa ekvationen till "samma funktioner";
3. faktorisera v?nster sida av ekvationen osv.

?verv?ga grundl?ggande metoder f?r att l?sa trigonometriska ekvationer.

I. Reduktion till de enklaste trigonometriska ekvationerna

L?sningsschema

Steg 1. Uttryck den trigonometriska funktionen i termer av k?nda komponenter.

Steg 2 Hitta funktionsargument med formler:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n b?ge i a + pn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n Є Z.

Steg 3 Hitta en ok?nd variabel.

Exempel.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

L?sning.

1) cos(3x - p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

Svar: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. Variabel substitution

L?sningsschema

Steg 1. Ta ekvationen till en algebraisk form med avseende p? en av de trigonometriska funktionerna.

Steg 2 Beteckna den resulterande funktionen med variabeln t (inf?r vid behov begr?nsningar f?r t).

Steg 3 Skriv ner och l?s den resulterande algebraiska ekvationen.

Steg 4 G?r en omv?nd substitution.

Steg 5 L?s den enklaste trigonometriska ekvationen.

Exempel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

L?sning.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) L?t sin (x/2) = t, d?r |t| <= 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2 uppfyller inte villkoret |t| <= 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

Svar: x = p + 4pn, n Є Z.

III. Reduktionsmetod f?r ekvationsordning

L?sningsschema

Steg 1. Ers?tt denna ekvation med en linj?r med hj?lp av effektreduktionsformlerna:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2 L?s den resulterande ekvationen med metoderna I och II.

Exempel.

cos2x + cos2x = 5/4.

L?sning.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

Svar: x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. Homogena ekvationer

L?sningsschema

Steg 1. Ta med denna ekvation till formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ekvation av f?rsta graden)

eller till utsikten

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ekvation av andra graden).

Steg 2 Dividera b?da sidor av ekvationen med

a) cos x ? 0;

b) cos 2 x ? 0;

och f? ekvationen f?r tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Steg 3 L?s ekvationen med hj?lp av k?nda metoder.

Exempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

L?sning.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ? 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) L?t d? tg x = t

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, allts?

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fr?n den f?rsta ekvationen x = p/4 + pn, n Є Z; fr?n den andra ekvationen x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Svar: x = p/4 + pn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Metod f?r att transformera en ekvation med hj?lp av trigonometriska formler

L?sningsschema

Steg 1. Anv?nd alla typer av trigonometriska formler, f?ra denna ekvation till en ekvation som kan l?sas med metoderna I, II, III, IV.

Steg 2 L?s den resulterande ekvationen med hj?lp av k?nda metoder.

Exempel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

L?sning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fr?n den f?rsta ekvationen 2x = p/2 + pn, n Є Z; fr?n den andra ekvationen cos x = -1/2.

Vi har x = p/4 + pn/2, n Є Z; fr?n den andra ekvationen x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

Som ett resultat, x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Svar: x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

F?rm?gan och f?rdigheterna att l?sa trigonometriska ekvationer ?r mycket viktigt, deras utveckling kr?ver avsev?rd anstr?ngning, b?de fr?n elevens och l?rarens sida.

M?nga problem med stereometri, fysik etc. ?r f?rknippade med l?sningen av trigonometriska ekvationer. Processen att l?sa s?dana problem inneh?ller s? att s?ga m?nga av de kunskaper och f?rdigheter som f?rv?rvas n?r man studerar elementen i trigonometri.

Trigonometriska ekvationer intar en viktig plats i processen att l?ra ut matematik och personlighetsutveckling i allm?nhet.

Har du n?gra fr?gor? Vet du inte hur man l?ser trigonometriska ekvationer?
F?r att f? hj?lp av en handledare -.
F?rsta lektionen ?r gratis!

blog.site, med hel eller partiell kopiering av materialet, kr?vs en l?nk till k?llan.

Kr?ver kunskap om trigonometrins grundl?ggande formler - summan av kvadraterna av sinus och cosinus, uttrycket f?r tangenten genom sinus och cosinus, med flera. F?r de som har gl?mt eller inte k?nner till dem rekommenderar vi att l?sa artikeln "".
S? vi k?nner till de grundl?ggande trigonometriska formlerna, det ?r dags att oms?tta dem i praktiken. L?sa trigonometriska ekvationer med r?tt tillv?gag?ngss?tt ?r det en ganska sp?nnande aktivitet, som att till exempel l?sa en Rubiks kub.

Utifr?n sj?lva namnet ?r det tydligt att en trigonometrisk ekvation ?r en ekvation d?r det ok?nda st?r under tecknet f?r en trigonometrisk funktion.
Det finns s? kallade enkla trigonometriska ekvationer. S? h?r ser de ut: sinх = a, cos x = a, tg x = a. ?verv?ga, hur man l?ser s?dana trigonometriska ekvationer, f?r tydlighetens skull kommer vi att anv?nda den redan v?lbekanta trigonometriska cirkeln.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

spj?ls?ng x = a

Varje trigonometrisk ekvation l?ses i tv? steg: vi bringar ekvationen till den enklaste formen och l?ser den sedan som den enklaste trigonometriska ekvationen.
Det finns 7 huvudsakliga metoder f?r att l?sa trigonometriska ekvationer.

1. Variabel substitution och substitutionsmetod

L?s ekvationen 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Med hj?lp av reduktionsformlerna f?r vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

L?t oss ers?tta cos(x + /6) med y f?r enkelhetens skull och f? den vanliga andragradsekvationen:

2y 2 – 3y + 1 + 0

R?tterna vars y 1 = 1, y 2 = 1/2

L?t oss nu g? bakl?nges

Vi ers?tter de hittade v?rdena av y och f?r tv? svar:

2. L?sa trigonometriska ekvationer genom faktorisering

Hur l?ser man ekvationen sin x + cos x = 1?

L?t oss flytta allt ?t v?nster s? att 0 blir kvar till h?ger:

sin x + cos x - 1 = 0

Vi anv?nder ovanst?ende identiteter f?r att f?renkla ekvationen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

L?t oss g?ra faktoriseringen:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi f?r tv? ekvationer

3. Reduktion till en homogen ekvation

En ekvation ?r homogen med avseende p? sinus och cosinus om alla dess termer med avseende p? sinus och cosinus har samma grad av samma vinkel. G?r s? h?r f?r att l?sa en homogen ekvation:

a) ?verf?ra alla dess medlemmar till v?nster sida;

b) placera alla gemensamma faktorer utanf?r parentes;

c) likst?lla alla faktorer och parenteser med 0;

d) inom parentes erh?lls en homogen ekvation av mindre grad, som i sin tur delas med en sinus eller cosinus i h?gre grad;

e) l?s den resulterande ekvationen f?r tg.

L?s ekvationen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

L?t oss anv?nda formeln sin 2 x + cos 2 x = 1 och bli av med de ?ppna tv? till h?ger:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividera med cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Vi ers?tter tg x med y och f?r en andragradsekvation:

y 2 + 4y +3 = 0 vars r?tter ?r y 1 =1, y 2 = 3

H?rifr?n hittar vi tv? l?sningar till den ursprungliga ekvationen:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. L?sa ekvationer, genom ?verg?ngen till en halv vinkel

L?s ekvationen 3sin x - 5cos x = 7

L?t oss g? vidare till x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Flyttar allt ?t v?nster:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividera med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Inf?rande av en extra vinkel

F?r ?verv?gande, l?t oss ta en ekvation av formen: a sin x + b cos x \u003d c,

d?r a, b, c ?r n?gra godtyckliga koefficienter och x ?r en ok?nd.

Dividera b?da sidor av ekvationen med:



Nu har ekvationens koefficienter, enligt trigonometriska formler, egenskaperna f?r sin och cos, n?mligen: deras modul ?r inte mer ?n 1 och summan av kvadraterna = 1. L?t oss beteckna dem som cos respektive sin, d?r ?r s? kallad hj?lpvinkel. D? kommer ekvationen att ta formen:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

eller sin(x + ) = C

L?sningen p? denna enkla trigonometriska ekvation ?r

x \u003d (-1) k * b?ge C - + k, d?r



Det b?r noteras att beteckningarna cos och sin ?r utbytbara.

L?s ekvationen sin 3x - cos 3x = 1

I denna ekvation ?r koefficienterna:

a \u003d, b \u003d -1, s? vi dividerar b?da delarna med \u003d 2

Din integritet ?r viktig f?r oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi anv?nder och lagrar din information. L?s v?r integritetspolicy och l?t oss veta om du har n?gra fr?gor.

Insamling och anv?ndning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan anv?ndas f?r att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att l?mna din personliga information n?r som helst n?r du kontaktar oss.

F?ljande ?r n?gra exempel p? de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan anv?nda s?dan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• N?r du skickar in en ans?kan p? webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi anv?nder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in g?r att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Fr?n tid till annan kan vi anv?nda din personliga information f?r att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
• Vi kan ocks? komma att anv?nda personuppgifter f?r interna ?ndam?l, s?som att genomf?ra revisioner, dataanalyser och olika unders?kningar f?r att f?rb?ttra de tj?nster vi tillhandah?ller och ge dig rekommendationer ang?ende v?ra tj?nster.
• Om du deltar i en prisdragning, t?vling eller liknande incitament kan vi anv?nda informationen du tillhandah?ller f?r att administrera s?dana program.

Utl?mnande till tredje part

Vi l?mnar inte ut information fr?n dig till tredje part.

Undantag:

• I h?ndelse av att det ?r n?dv?ndigt - i enlighet med lagen, r?ttsordningen, i r?ttsliga f?rfaranden och / eller baserat p? offentliga f?rfr?gningar eller f?rfr?gningar fr?n statliga organ p? Ryska federationens territorium - avsl?ja din personliga information. Vi kan ocks? avsl?ja information om dig om vi fastst?ller att ett s?dant avsl?jande ?r n?dv?ndigt eller l?mpligt f?r s?kerhet, brottsbek?mpning eller andra ?ndam?l av allm?nt intresse.
• I h?ndelse av en omorganisation, sammanslagning eller f?rs?ljning kan vi komma att ?verf?ra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens eftertr?dare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar f?rsiktighets?tg?rder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - f?r att skydda din personliga information fr?n f?rlust, st?ld och missbruk, s?v?l som fr?n obeh?rig ?tkomst, avsl?jande, ?ndring och f?rst?relse.

Uppr?tth?lla din integritet p? f?retagsniv?

F?r att s?kerst?lla att din personliga information ?r s?ker, kommunicerar vi sekretess- och s?kerhetspraxis till v?ra anst?llda och till?mpar strikt sekretesspraxis.

Lektion och presentation om ?mnet: "L?sning av de enklaste trigonometriska ekvationerna"

Ytterligare material
K?ra anv?ndare, gl?m inte att l?mna dina kommentarer, feedback, f?rslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Manualer och simulatorer i onlinebutiken "Integral" f?r ?rskurs 10 fr?n 1C
Vi l?ser problem inom geometri. Interaktiva uppgifter f?r att bygga i rymden
Programvarumilj? "1C: Mathematical constructor 6.1"

Vad ska vi studera:
1. Vad ?r trigonometriska ekvationer?

3. Tv? huvudmetoder f?r att l?sa trigonometriska ekvationer.
4. Homogena trigonometriska ekvationer.
5. Exempel.

Vad ?r trigonometriska ekvationer?

Killar, vi har redan studerat arcsine, arccosine, arctangent och arccotangent. L?t oss nu titta p? trigonometriska ekvationer i allm?nhet.

Trigonometriska ekvationer - ekvationer d?r variabeln finns under den trigonometriska funktionens tecken.

Vi upprepar formen f?r att l?sa de enklaste trigonometriska ekvationerna:

1) Om |а|<= 1, s? har ekvationen cos(x) = a en l?sning:

X= ± arccos(a) + 2pk

2) Om |а|<= 1, s? har ekvationen sin(x) = a en l?sning:

3) Om |a| > 1, d? har ekvationen sin(x) = a och cos(x) = a inga l?sningar 4) Ekvationen tg(x)=a har en l?sning: x=arctg(a)+ pk

5) Ekvationen ctg(x)=a har en l?sning: x=arcctg(a)+ pk

F?r alla formler ?r k ett heltal

De enklaste trigonometriska ekvationerna har formen: Т(kx+m)=a, T- valfri trigonometrisk funktion.

Exempel.

L?s ekvationer: a) sin(3x)= ?3/2

L?sning:

A) L?t oss beteckna 3x=t, d? kommer vi att skriva om v?r ekvation i formen:

L?sningen p? denna ekvation blir: t=((-1)^n)arcsin(?3/2)+ pn.

Fr?n v?rdetabellen f?r vi: t=((-1)^n)xp/3+ pn.

L?t oss g? tillbaka till v?r variabel: 3x =((-1)^n)xp/3+ pn,

D? ?r x= ((-1)^n)xp/9+ pn/3

Svar: x= ((-1)^n)xp/9+ pn/3, d?r n ?r ett heltal. (-1)^n - minus ett till n.

Fler exempel p? trigonometriska ekvationer.

L?s ekvationerna: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- p/3)= ?3

L?sning:

A) Den h?r g?ngen g?r vi direkt till ber?kningen av ekvationens r?tter:

X/5= ± arccos(1) + 2pk. D? x/5= pk => x=5pk

Svar: x=5pk, d?r k ?r ett heltal.

B) Vi skriver i formen: 3x- p/3=arctg(?3)+ pk. Vi vet att: arctg(?3)= p/3

3x- p/3= p/3+ pk => 3x=2p/3 + pk => x=2p/9 + pk/3

Svar: x=2p/9 + pk/3, d?r k ?r ett heltal.

L?s ekvationer: cos(4x)= ?2/2. Och hitta alla r?tter p? segmentet.

L?sning:

L?t oss l?sa v?r ekvation i allm?n form: 4x= ± arccos(?2/2) + 2pk

4x= ± p/4 + 2pk;

X= ± p/16+ pk/2;

L?t oss nu se vilka r?tter som faller p? v?rt segment. F?r k F?r k=0, x= p/16 ?r vi i det givna segmentet .
Med k=1, x= p/16+ p/2=9p/16 tr?ffar de igen.
F?r k=2, x= p/16+ p=17p/16, men h?r tr?ffade vi inte, vilket betyder att vi inte tr?ffar f?r stort k heller.

Svar: x= p/16, x= 9p/16

Tv? huvudsakliga l?sningsmetoder.

Vi har ?verv?gt de enklaste trigonometriska ekvationerna, men det finns mer komplexa. F?r att l?sa dem anv?nds metoden f?r att introducera en ny variabel och faktoriseringsmetoden. L?t oss titta p? exempel.

L?t oss l?sa ekvationen:

L?sning:
F?r att l?sa v?r ekvation anv?nder vi metoden f?r att introducera en ny variabel, betecknad: t=tg(x).

Som ett resultat av ers?ttningen f?r vi: t 2 + 2t -1 = 0

Hitta r?tterna till andragradsekvationen: t=-1 och t=1/3

Sedan tg(x)=-1 och tg(x)=1/3, vi fick den enklaste trigonometriska ekvationen, l?t oss hitta dess r?tter.

X=arctg(-1) +pk= -p/4+pk; x=arctg(1/3) + pk.

Svar: x= -p/4+pk; x=arctg(1/3) + pk.

Ett exempel p? att l?sa en ekvation

L?s ekvationer: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

L?sning:

L?t oss anv?nda identiteten: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

V?r ekvation blir: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

L?t oss introducera ers?ttningen t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

L?sningen till v?r andragradsekvation ?r r?tterna: t=2 och t=-1/2

Sedan cos(x)=2 och cos(x)=-1/2.

D?rf?r att cosinus kan inte ta v?rden st?rre ?n ett, d? har cos(x)=2 inga r?tter.

F?r cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2pk; x= ±2p/3 + 2pk

Svar: x= ±2p/3 + 2pk

Homogena trigonometriska ekvationer.

Definition: En ekvation av formen a sin(x)+b cos(x) kallas homogena trigonometriska ekvationer av f?rsta graden.

Formens ekvationer

homogena trigonometriska ekvationer av andra graden.

F?r att l?sa en homogen trigonometrisk ekvation av f?rsta graden dividerar vi den med cos(x): Det ?r om?jligt att dividera med cosinus om det ?r lika med noll, l?t oss se till att det inte ?r s?:
L?t cos(x)=0, sedan asin(x)+0=0 => sin(x)=0, men sinus och cosinus ?r inte lika med noll samtidigt, vi fick en mots?gelse, s? vi kan s?kert dividera med noll.

L?s ekvationen:
Exempel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

L?sning:

Ta ut den gemensamma faktorn: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

D? m?ste vi l?sa tv? ekvationer:

cos(x)=0 och cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 f?r x= p/2 + pk;

Betrakta ekvationen cos(x)+sin(x)=0 Dividera v?r ekvation med cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +pk= -p/4+pk

Svar: x= p/2 + pk och x= -p/4+pk

Hur l?ser man homogena trigonometriska ekvationer av andra graden?
Killar, h?ll dig alltid till dessa regler!

1. Se vad koefficienten a ?r lika med, om a \u003d 0 kommer v?r ekvation att ha formen cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), ett exempel p? vars l?sning finns p? f?reg?ende glida

2. Om a?0, d? du m?ste dividera b?da delarna av ekvationen med kvadratisk cosinus, f?r vi:

Vi g?r ?ndringen av variabeln t=tg(x) vi f?r ekvationen:

L?s exempel #:3

L?s ekvationen:
L?sning:

Dividera b?da sidor av ekvationen med cosinuskvadrat:

Vi g?r en f?r?ndring av variabeln t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hitta r?tterna till andragradsekvationen: t=-3 och t=1

Sedan: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + pk=-arctg(3) + pk

Tg(x)=1 => x= p/4+ pk

Svar: x=-arctg(3) + pk och x= p/4+ pk

L?s exempel #:4

L?s ekvationen:

L?sning:
L?t oss f?rvandla v?rt uttryck:

Vi kan l?sa s?dana ekvationer: x= - p/4 + 2pk och x=5p/4 + 2pk

Svar: x= - p/4 + 2pk och x=5p/4 + 2pk

L?s exempel #:5

L?s ekvationen:

L?sning:
L?t oss f?rvandla v?rt uttryck:

Vi introducerar ers?ttningen tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

L?sningen p? v?r andragradsekvation blir r?tterna: t=-2 och t=1/2

D? f?r vi: tg(2x)=-2 och tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ pk => x=-arctg(2)/2 + pk/2

2x= arctg(1/2) + pk => x=arctg(1/2)/2+ pk/2

Svar: x=-arctg(2)/2 + pk/2 och x=arctg(1/2)/2+ pk/2

Uppgifter f?r sj?lvst?ndig l?sning.

1) L?s ekvationen

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= ?3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = ?3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) L?s ekvationer: sin(3x)= ?3/2. Och hitta alla r?tter p? segmentet [p/2; p].

3) L?s ekvationen: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) L?s ekvationen: 3 sin 2 (x) + ?3sin (x) cos(x) = 0

5) L?s ekvationen: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) L?s ekvationen: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =?3/2 -sin 2 (2x)

N?r man l?ser m?nga matteproblem, s?rskilt de som intr?ffar f?re ?rskurs 10, ?r ordningen f?r utf?rda ?tg?rder som kommer att leda till m?let tydligt definierade. S?dana problem inkluderar till exempel linj?ra och andragradsekvationer, linj?ra och kvadratiska olikheter, br?kekvationer och ekvationer som reduceras till andragrads. Principen f?r framg?ngsrik l?sning av var och en av de n?mnda uppgifterna ?r f?ljande: det ?r n?dv?ndigt att fastst?lla vilken typ av uppgift som l?ses, kom ih?g den n?dv?ndiga sekvensen av ?tg?rder som kommer att leda till det ?nskade resultatet, d.v.s. svara och f?lj dessa steg.

Uppenbarligen beror framg?ng eller misslyckande i att l?sa ett visst problem huvudsakligen p? hur korrekt typen av ekvation som l?ses best?ms, hur korrekt sekvensen av alla steg i dess l?sning reproduceras. Naturligtvis, i det h?r fallet, ?r det n?dv?ndigt att ha f?rdigheter f?r att utf?ra identiska transformationer och ber?kningar.

En annan situation uppst?r med trigonometriska ekvationer. Det ?r inte sv?rt att fastst?lla det faktum att ekvationen ?r trigonometrisk. Sv?righeter uppst?r n?r man ska best?mma sekvensen av ?tg?rder som skulle leda till r?tt svar.

Det ?r ibland sv?rt att best?mma dess typ genom utseendet p? en ekvation. Och utan att k?nna till typen av ekvation ?r det n?stan om?jligt att v?lja r?tt bland flera dussin trigonometriska formler.

F?r att l?sa den trigonometriska ekvationen m?ste vi f?rs?ka:

1. f?ra alla funktioner som ing?r i ekvationen till "samma vinklar";
2. bringa ekvationen till "samma funktioner";
3. faktorisera v?nster sida av ekvationen osv.

?verv?ga grundl?ggande metoder f?r att l?sa trigonometriska ekvationer.

I. Reduktion till de enklaste trigonometriska ekvationerna

L?sningsschema

Steg 1. Uttryck den trigonometriska funktionen i termer av k?nda komponenter.

Steg 2 Hitta funktionsargument med formler:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n b?ge i a + pn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n Є Z.

Steg 3 Hitta en ok?nd variabel.

Exempel.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

L?sning.

1) cos(3x - p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

Svar: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. Variabel substitution

L?sningsschema

Steg 1. Ta ekvationen till en algebraisk form med avseende p? en av de trigonometriska funktionerna.

Steg 2 Beteckna den resulterande funktionen med variabeln t (inf?r vid behov begr?nsningar f?r t).

Steg 3 Skriv ner och l?s den resulterande algebraiska ekvationen.

Steg 4 G?r en omv?nd substitution.

Steg 5 L?s den enklaste trigonometriska ekvationen.

Exempel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

L?sning.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) L?t sin (x/2) = t, d?r |t| <= 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2 uppfyller inte villkoret |t| <= 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

Svar: x = p + 4pn, n Є Z.

III. Reduktionsmetod f?r ekvationsordning

L?sningsschema

Steg 1. Ers?tt denna ekvation med en linj?r med hj?lp av effektreduktionsformlerna:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2 L?s den resulterande ekvationen med metoderna I och II.

Exempel.

cos2x + cos2x = 5/4.

L?sning.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

Svar: x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. Homogena ekvationer

L?sningsschema

Steg 1. Ta med denna ekvation till formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ekvation av f?rsta graden)

eller till utsikten

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ekvation av andra graden).

Steg 2 Dividera b?da sidor av ekvationen med

a) cos x ? 0;

b) cos 2 x ? 0;

och f? ekvationen f?r tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Steg 3 L?s ekvationen med hj?lp av k?nda metoder.

Exempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

L?sning.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ? 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) L?t d? tg x = t

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, allts?

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fr?n den f?rsta ekvationen x = p/4 + pn, n Є Z; fr?n den andra ekvationen x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Svar: x = p/4 + pn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Metod f?r att transformera en ekvation med hj?lp av trigonometriska formler

L?sningsschema

Steg 1. Anv?nd alla typer av trigonometriska formler, f?ra denna ekvation till en ekvation som kan l?sas med metoderna I, II, III, IV.

Steg 2 L?s den resulterande ekvationen med hj?lp av k?nda metoder.

Exempel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

L?sning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fr?n den f?rsta ekvationen 2x = p/2 + pn, n Є Z; fr?n den andra ekvationen cos x = -1/2.

Vi har x = p/4 + pn/2, n Є Z; fr?n den andra ekvationen x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

Som ett resultat, x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Svar: x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

F?rm?gan och f?rdigheterna att l?sa trigonometriska ekvationer ?r mycket viktigt, deras utveckling kr?ver avsev?rd anstr?ngning, b?de fr?n elevens och l?rarens sida.

M?nga problem med stereometri, fysik etc. ?r f?rknippade med l?sningen av trigonometriska ekvationer. Processen att l?sa s?dana problem inneh?ller s? att s?ga m?nga av de kunskaper och f?rdigheter som f?rv?rvas n?r man studerar elementen i trigonometri.

Trigonometriska ekvationer intar en viktig plats i processen att l?ra ut matematik och personlighetsutveckling i allm?nhet.

Har du n?gra fr?gor? Vet du inte hur man l?ser trigonometriska ekvationer?
F?r att f? hj?lp av en handledare – anm?l dig.
F?rsta lektionen ?r gratis!

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, kr?vs en l?nk till k?llan.