F?rest?ll dig att exponentieringsoperatorn inte st?r till v?rt f?rfogande, s? det ?terst?r bara att multiplicera. Genom att definiera en grad med en icke-negativ heltalsexponent x n kan du g?ra en ber?kning med n - 1 multiplikationer. Men multiplikation ?r en ganska dyr operation (kom ih?g multiplikation i en kolumn). D?rf?r kommer vi att f?rs?ka minimera antalet utf?rda multiplikationer.

Till exempel, om exponenten i sig ?r en potens av tv?, n \u003d 2 m, kr?vs endast m multiplikationer, mer exakt, kvadrering: x 2 m \u003d x 2 2 2 ... 2. Denna anv?ndbara observation kan ut?kas till det allm?nna fallet med de uppenbara likheterna: x n = x 2 n 2 f?r j?mn n , x x 2 n - 1 2 f?r udda n . Du kan t?nka p? dessa formler som ett rekursivt s?tt att ber?kna graden. Naturligtvis m?ste dessa relationer kompletteras med randvillkor x 0 = 1, x 1 = x.

Det visar sig att antalet multiplikationer som b?r utf?ras f?r att h?ja till en potens i enlighet med den beskrivna rekursiva proceduren ber?knas med formeln siffrorna n. Detta v?rde v?xer extremt l?ngsamt med tillv?xten av n, vilket framg?r av tabellen:

Det ?r mycket osannolikt att vi skulle beh?va h?ja n?got till 10000000000, men om vi var tvungna skulle vi bara beh?va fyrtiotre multiplikationer!

Formeln ?verensst?mmer helt med det speciella fallet som betraktades tidigare, n?r n = 2 m och z = m , e = 1 . I det allm?nna fallet noterar vi att siffrorna i den bin?ra expansionen av ett tal ?r lika med resten av multipeldivisionen av detta tal med tv?. Uppkomsten av en nollsiffra startar den rekursiva algoritmen l?ngs den f?rsta (j?mna) banan, vilket l?gger till en extra multiplikation. Siffran ett v?ljer den udda grenen av algoritmen, vilket kr?ver ytterligare tv? multiplikationer.

Vi kommer att analysera, f?rutom den naiva versionen av programmet, som inte f?rtj?nar en separat diskussion p? grund av dess trivialitet, tv? till: rekursiv och iterativ. B?da alternativen ?r baserade p? den snabba exponentieringsmetoden.

Tidigare diskuterade vi f?rdelarna med icke-rekursiva algoritmer framf?r rekursiva. Det skulle vara frestande att implementera snabb exponentiering utan rekursion, med en enda loop. Denna uppgift ?r inte s? l?tt som vi skulle vilja. Vi b?r bev?pna oss med en metod som skulle till?ta oss att bygga cykler inte som ett resultat av gudomlig uppenbarelse (den bes?ker oss ganska s?llan), utan m?lmedvetet. Metoden att konstruera en cykel med hj?lp av en invariant ?r precis vad vi beh?ver nu.

Syftet med varje kommando i programmet ?r att f?ra oss n?rmare att l?sa problemet, det vill s?ga till en situation d?r de n?dv?ndiga variablerna ?ntligen kommer att f? de n?dv?ndiga, korrekt ber?knade v?rdena. Det enda s?ttet att uppn? ett s?dant m?l ?r att ?ndra v?rdena p? variabler till nya, detta g?rs p? uppdrag. L?t oss titta p? kommandona som bildar loopkroppen ur denna synvinkel.

L?t programmet involvera en upps?ttning variabler X = x y … z . L?t oss kalla det programstatus. En cykel anses vara korrekt om, som ett resultat av dess funktion, den erforderliga relationen mellan variablerna ?r uppfylld. En relation f?rst?s som n?got p?st?ende om variabler. Vad betyder bekr?ftelse? Betrakta en funktion G X som beror p? tillst?ndet och har ett booleskt v?rde. Likheten G X = ja betyder att p?st?endet ?r sant, annars ?r det inte det. Funktionen G kommer att kallas loop objektiv funktion.

Slingkroppen best?r av kommandon som tilldelar nya v?rden till variablerna X F X: X <- F X S?ledes byggs en ?terkommande sekvens av programtillst?nd. M?let f?r slingan uppn?s n?r objektivfunktionen utv?rderas till sant, s? uttrycket ¬ G X kan tas som loopvillkoret: slinga tills ¬ G X X <- F X slutet av loop-v?rdena X 0 .

Det ?r ofta obekv?mt att ber?kna avslutningsvillkoret f?r cykeln G X . Sedan, om du har tur, kan du f?rs?ka hitta ett starkare villkor Q X (det vill s?ga s?dant att Q X => G X g?ller f?r alla X), vilket ?r l?ttare att ber?kna.

All denna formalism svarar inte p? fr?gor om hur man hittar en transformation F s? att cykeln avslutas f?rr eller senare, och hur man konstruerar ett cykelavslutningsvillkor Q X . Metod f?r invarianterhj?lper till att hitta b?de f?rvandlingen och tillst?ndet.

Nyckelrollen i metoden spelas cykel invariant?r en annan tillst?ndsfunktion som tar booleska v?rden. En funktion I X kallas en cykelinvariant om f?ljande villkor ?r uppfyllda:

I X 0 - invarianten tar ett sant v?rde i initialtillst?ndet;

I X => I F X - sanningen om invarianten bevaras under cykelns g?ng;

I X ? Q X => G X - samtidig sanning f?r invarianten och cykelns avslutningsvillkor inneb?r sanningen f?r m?lvillkoret.

Om vi, innan vi g?r in i cykeln, tar hand om uppfyllandet av villkoret I X och v?ljer en transformation F X som bevarar sanningen om invarianten och cykeln en dag slutar, kommer m?let att uppn?s i slutet av cykeln .

Det ?r dags att g? vidare fr?n abstrakta id?er till konkreta exempel. L?t oss konstruera en algoritm f?r naiv ber?kning av graden p = x n .

L?t oss tillhandah?lla en upps?ttning variabler X = p x n i programmet. Deras initiala v?rden (innan de g?r in i slingan) ?r X 0 = p 0 x 0 n 0 . V?rdena x 0 och n 0 ?r ing?ngsparametrarna f?r algoritmen.

L?t oss uppfinna en cykel, varefter variabeln p f?r v?rdet x 0 n 0 , s? vi tar G p x n = p = x 0 n 0 som objektiv funktion.

Den enklaste (men inte p? n?got s?tt den snabbaste) algoritmen reducerar problemet med att h?ja till potensen av n till problemet med att h?ja till potensen n - 1, s? att variabeln n i slingan minskar med ett tills den blir noll . D?rf?r g?r vi Q p x n = n = 0 till ett avslutningsvillkor.

Nu m?ste vi v?lja en invariant. L?t variablerna p x n tilldelas nya v?rden p ? x ? n ? i slingkroppen, och, som vi best?mt tidigare, n ? = n - 1 . Det ?r l?tt att kontrollera att funktionen I p x n = x 0 n 0 = p x n ?r l?mplig f?r rollen som en invariant.

I p 0 x 0 n 0 = x 0 n 0 = p 0 x 0 n 0 ?r faktiskt sant om vi s?tter p 0 = 1 . Det andra villkoret som invarianten m?ste uppfylla ?r ocks? uppfyllt. Eftersom I p x n => I p ? x ? n ? , det vill s?ga x 0 n 0 = p x n => x 0 n 0 = p ? x ? n - 1, r?cker det f?r att s?tta p x och ? = x f?r att s?kerst?lla invarians. Slutligen kontrollerar vi det tredje villkoret, I p x n ? Q p x n => Q p x n , dvs x 0 n 0 = p x n ? n = 0 => p = x 0 n 0 . Uppenbarligen g?rs det. N?r vi kontrollerade f?rh?llandena hittade vi ocks? de transformationer som sker i slingkroppen.

Vi har kommit fram till algoritmen p <- 1 cykel medan n ? 0 p n <- p x n - 1 slutet av cykeln

L?saren kanske undrar varf?r en s? komplex f?rberedelse beh?vdes f?r att f? en s? sj?lvklar algoritm. Kanske kommer en snabbversion av den iterativa algoritmen mer ?vertygande att visa kraften i den invarianta metoden.

Skillnaden mellan den snabba algoritmen och den naiva ?r att i loopen minskar variabeln n, ist?llet f?r att minska med ett, med ungef?r h?lften. N?rmare best?mt, om n ?r j?mnt delas det p? mitten, och om det ?r udda reduceras det med ett och delas sedan p? mitten. Det ?r klart att med tiden kommer n att bli noll, och detta kommer att bli, som i den naiva algoritmen, ett villkor f?r att avsluta cykeln.

L?t oss ta invarianten I p x n = x 0 n 0 = p x n fr?n den naiva algoritmen utan ?ndringar, och vi ska f?rs?ka uppn? att I p x n => I p ? x ? n ? , d?r denna g?ng = n ? n 2 f?r j?mnt n , n - 1 2 f?r udda n . Sedan m?ste vi se till att villkoret x 0 n 0 = p x n => x 0 n 0 = p ? x ? n 2 f?r j?mn n , x 0 n 0 = p x ? n - 1 2 f?r udda n , det vill s?ga p x n = p ? x ? n 2 f?r j?mnt n , p ? x ? n - 1 2 f?r udda n . F?r att denna likhet ska h?lla r?cker det att s?tta p ? = p f?r j?mn n , p x f?r udda n , x ? = x 2 .

Resultatet av v?r forskning ?r algoritmen p <- 1 cykel medan n ? 0 om n mod 2 = 1 p <- p x n <- n - 1 slut om x <- x 2 n <- n 2 slutet av cykeln

Det b?r erk?nnas att vi ursprungligen kompilerade denna algoritm utan att tillgripa metoden med invarianter. Programmet fungerade bra, men trots sin korthet visade det sig vara sv?rt att f?rst?. Vi kunde inte hitta de r?tta orden f?r att f?rklara det f?r l?saren och bevisa dess riktighet. Och bara metoden med invarianter gav b?de en f?rklaring och ett bevis.

Du b?r inte anta att metoden med invarianter g?r skapandet av n?gon cykel till en rutinuppgift. Det finns fortfarande mycket utrymme f?r kreativitet. Till exempel ?r konstruktionen av en invariant i m?nga fall inte det mest sj?lvklara. D?rf?r kommer vi att ber?tta vilka ?verv?ganden som ledde oss till invarianten I p x n = x 0 n 0 = p x n . P? jakt efter ett invariant f?rh?llande mellan programvariabler som f?rblir sant n?r loopkroppen upprepas, sammanst?llde vi en tabell med v?rden f?r denna upps?ttning variabler. Till exempel valde vi att h?ja tv? till trettonde potens: p x n 1 2 13 2 4 6 2 16 3 32 256 1 8192 65536 0

Regelbundenhet som utf?rs i varje rad i tabellen hittades snabbt: v?rdet p? uttrycket p x n visade sig vara detsamma och lika med exakt 2 13 .

Det visar sig att problemet med att snabbt h?ja ett tal till potensen n ?r n?ra relaterat till detta problem. F?rest?ll dig en dator som bara har ett register (minnescell) som kan lagra ett icke-negativt heltal. Instruktionsupps?ttningen f?r denna imagin?ra maskin inneh?ller bara tv? instruktioner: D f?rdubblar inneh?llet i ett register (fr?n ordet Dubbel- dubbel) och jag ?kar registret med ett ( ?kning- ?ka). Inledningsvis inneh?ller registret noll. Det kr?vs att man hittar det kortaste programmet f?r maskinen, varefter numret n kommer att finnas i registret. Ett program ?r en ?ndlig sekvens av instruktioner D och I.

F?r varje givet n finns det o?ndligt m?nga program. Till exempel ?r programmet I I I … I alltid l?mpligt (totalt n instruktioner I). Att l?gga till ett valfritt antal D-instruktioner i b?rjan av ett giltigt program ?ndrar uppenbarligen inte dess korrekthet.

Det visar sig ett slags talsystem: varje heltals icke-negativt tal kan associeras med ett program f?r att f? det - ett ord ?ver ett alfabet med tv? bokst?ver (eller, b?ttre, siffror), D och I. Nackdelen med detta talsystem ?r dess tvetydighet: f?r varje nummer finns det o?ndligt m?nga representationer. Vi kan f?rs?ka eliminera denna brist genom att v?lja den kortaste av alla m?jliga representationer. Men ?ven den kortaste inledningen ?r inte den enda. Det ?r klart att den kortaste representationen b?r s?kas bland de som b?rjar med I , f?r om den b?rjar med D kan den f?rkortas genom att ta bort denna D . Notera nu att om I I … ?r den kortaste representationen, s? ?r I D … ocks? den kortaste representationen (att ?ka en efter en motsvarar att f?rdubbla den). F?r alla andra registerv?rden ger dubblering ett st?rre resultat ?n att l?gga till ett. Denna enda kvarvarande tvetydighet elimineras genom att ytterligare kr?va att representationen inte inneh?ller tv? "siffror" I i rad. Den resulterande representationen kommer att anropas kanonisk.

Det visar sig att den kanoniska representationen l?tt kan erh?llas fr?n den bin?ra notationen av numret n: du m?ste ers?tta varje nolla med en "siffra" D och var och en med "siffror" D I . Efter att detta ?r gjort b?r du kassera "siffran" D fr?n b?rjan av det resulterande programmet, om den visas d?r. Till exempel, f?r n = 13 = 1101 2 erh?lls programmet I D I D D I. Och faktiskt, 13 = 0 + 1 ? 2 + 1 ? 2 ? 2 + 1 .

Men vad har allt detta att g?ra med snabb exponentiering? L?t det finnas n?gon representation av exponenten n . Detta betyder att n erh?lls fr?n noll som ett resultat av successiva ?kningar med ett eller f?rdubblingar. Men att l?gga till en till exponenten ?r detsamma som att multiplicera hela exponenten med x, och att dubbla exponenten ?r att kvadrera exponenten. Om vi har en f?rdig representation av exponenten till v?rt f?rfogande, f?r vi algoritmen p <- 1 cykel f?r varje siffra d fr?n representationen n om d = I p <- p x annars p <- p 2 slut om cykelns slut » representationerna m?ste f?rst arrangera en ny cykel. Det kommer att vara problematiskt att kombinera b?da cyklerna, eftersom "siffrorna" beh?vs i den ordning de skrivs, det vill s?ga fr?n v?nster till h?ger. Samtidigt ?r de mycket l?ttare att f? fr?n h?ger till v?nster (precis som siffrorna i den bin?ra notationen f?r ett tal). V?r l?sning, f?r vars skull vi har tagit upp metoden med invarianter, kringg?r denna sv?righet. Den slingan tar implicit emot "siffrorna" f?r representationen av exponenten fr?n h?ger till v?nster och, beroende p? n?sta siffra, utf?r de n?dv?ndiga ?tg?rderna: loop medan n ? 0 om n mod 2 = 1 I n <- n - 1 annars D n <- n 2 end if loop end H?r i fallet med I, ska kommandot p <- p x utf?ras, och i fallet med D ska kommandot x <- x 2 utf?ras. Naturligtvis m?ste du tilldela p <- 1 f?re loopen. Den resulterande algoritmen, som ?r l?tt att se, motsvarar den som skapades tidigare.

Den st?rsta sv?righeten med v?r uppgift var att skapa en algoritm. Nu n?r algoritmerna ?r klara blir det inte sv?rt att ?verf?ra dem till Perl. I detta avseende utel?mnar vi avsnittet "Utveckling" och g?r direkt till de f?rdiga programmen.

En gammal post p? kvittot f?r betalning av skatt ("yasaka"). Det betyder m?ngden 1232 rubel. 24 kop. Illustration ur boken: Yakov Perelman "Underh?llande aritmetik"

Mer Richard Feynman i "Klart att du sk?mtar, herr Feynman!" l?rde ut flera metoder f?r muntlig r?kning. ?ven om det ?r v?ldigt enkla knep finns de inte alltid med i skolans l?roplan.

Till exempel, f?r att snabbt kvadrera talet X runt 50 (50 2 = 2500), m?ste du subtrahera / l?gga till hundra f?r varje enhet av skillnaden mellan 50 och X, och sedan l?gga till den kvadratiska skillnaden. Beskrivningen l?ter mycket mer komplicerad ?n sj?lva ber?kningen.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Den unge Feynman l?rde sig detta trick av kollegan fysiker Hans Bethe, som ocks? arbetade p? Los Alamos vid den tiden p? Manhattan Project.

Hans visade n?gra fler knep som han anv?nde f?r snabba utr?kningar. Till exempel, f?r att ber?kna kubr?tter och exponentiering, ?r det bekv?mt att komma ih?g tabellen ?ver logaritmer. Denna kunskap f?renklar avsev?rt komplexa aritmetiska operationer. Ber?kna till exempel i ditt sinne det ungef?rliga v?rdet av kubroten av 2,5. Faktum ?r att med s?dana ber?kningar fungerar en slags skjutregel i ditt huvud, d?r addition och division av tal ers?tts med addition och subtraktion av deras logaritmer. Det mest bekv?ma.

R?knesticka

F?re tillkomsten av datorer och minir?knare anv?ndes skjutregeln ?verallt. Detta ?r en sorts analog "dator" som l?ter dig utf?ra flera matematiska operationer, inklusive multiplikation och division av tal, kvadrering och kub, ber?kning av kvadrat- och kubr?tter, ber?kning av logaritmer, potentiering, ber?kning av trigonometriska och hyperboliska funktioner och n?gra andra operationer. Om du delar upp ber?kningen i tre steg och sedan med hj?lp av en skjutregel kan du h?ja siffror till valfri verklig potens och extrahera roten till valfri verklig potens. Ber?kningarnas noggrannhet ?r cirka 3 signifikanta siffror.

F?r att snabbt utf?ra komplexa ber?kningar i ditt sinne ?ven utan en skjutregel, ?r det en bra id? att memorera kvadraterna f?r alla tal, ?tminstone upp till 25, helt enkelt f?r att de ofta anv?nds i ber?kningar. Och tabellen ?ver grader - den vanligaste. Det ?r l?ttare att komma ih?g ?n att r?kna om varje g?ng som 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1 048 576 och ?3 ? 1,732.

Richard Feynman f?rb?ttrade sina f?rdigheter och m?rkte gradvis nya intressanta m?nster och samband mellan siffror. Han ger det h?r exemplet: ”Om n?gon b?rjade dividera 1 med 1,73 kunde du direkt
svara att det blir 0,577, eftersom 1,73 ?r ett tal n?ra kvadratroten ur tre. S? 1/1,73 ?r ungef?r en tredjedel av kvadratroten ur 3."

En s?dan avancerad huvudr?kning kan ha f?rv?nat kollegor p? den tiden d? det inte fanns n?gra datorer och minir?knare. P? den tiden kunde absolut alla forskare r?kna v?l i sina sinnen, d?rf?r var det n?dv?ndigt att dyka tillr?ckligt djupt in i siffrornas v?rld f?r att uppn? beh?rskning.

Nuf?rtiden tar folk fram en minir?knare bara f?r att dividera 76 med 3. Att ?verraska andra har blivit mycket l?ttare. P? Feynmans tid fanns det ist?llet f?r en minir?knare tr?kulram, d?r det ocks? var m?jligt att utf?ra komplexa operationer, inklusive att ta kubr?tter. Den store fysikern m?rkte redan d? att med hj?lp av s?dana verktyg beh?ver m?nniskor inte alls memorera m?nga aritmetiska kombinationer, utan helt enkelt l?ra sig hur man rullar bollarna korrekt. Det vill s?ga m?nniskor med "expanders" av hj?rnan k?nner inte till siffrorna. De presterar s?mre p? uppgifter i "offline"-l?ge.

H?r ?r fem mycket enkla mentalr?kningstips som rekommenderas av Yakov Perelman i 1941 Quick Count-manualen.

1. Om ett av de multiplicerade talen delas upp i faktorer ?r det bekv?mt att multiplicera dem sekventiellt.

225 x 6 = 225 x 2 x 3 = 450 x 3
147 x 8 \u003d 147 x 2 x 2 x 2, det vill s?ga dubbla resultatet tre g?nger

2. N?r du multiplicerar med 4 r?cker det att dubbla resultatet tv? g?nger. P? samma s?tt, n?r man dividerar med 4 och 8, halveras antalet tv? eller tre g?nger.

3. N?r du multiplicerar med 5 eller 25 kan talet delas med 2 eller 4, och sedan kan en eller tv? nollor l?ggas till resultatet.

74 x 5 = 37 x 10
72 x 25 = 18 x 100

H?r ?r det b?ttre att omedelbart utv?rdera hur enklare det ?r. Till exempel ?r det bekv?mare att multiplicera 31 x 25 som 25 x 31 p? standards?ttet, det vill s?ga som 750 + 25, och inte som 31 x 25, det vill s?ga 7,75 x 100.

N?r du multiplicerar med ett tal n?ra ett runt tal (98, 103) ?r det praktiskt att omedelbart multiplicera med ett runt tal (100) och sedan subtrahera / addera produkten av skillnaden.

37 x 98 = 3700 - 74
37 x 104 = 3700 + 148

4. F?r att kvadrera ett tal som slutar p? 5 (till exempel 85), multiplicera antalet tiotal (8) med det plus en (9) och attribut 25.

8 x 9 = 72, tilldela 25, allts? 85 2 = 7225

Varf?r denna regel g?ller kan ses fr?n formeln:

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

Tekniken g?ller ?ven f?r decimaler som slutar p? 5:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. Gl?m inte den bekv?ma formeln n?r du kvadrerar

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Naturligtvis kan alla metoder kombineras med varandra, vilket skapar mer bekv?ma och effektiva tekniker f?r specifika situationer.

Vi brukade tycka att att bygga ett hus ?r en l?ng och dyr process. Ibland str?cker det sig i flera ?r, f?rvandlas till en l?ngsiktig konstruktion, pumpar ut alla medel fr?n familjens budget. Vi pratade om detta i materialet. Men i livet finns det situationer n?r du beh?ver bygga ett hus snabbt och f?r det minsta beloppet.

Det verkar som om detta antingen ?r om?jligt, eller s? m?ste kvaliteten p? den struktur som byggs allvarligt ?ventyras. Men p? v?r portal finns det m?nga exempel n?r nyb?rjarutvecklare motbevisade detta uttalande. Det viktigaste ?r att n?rma sig saken i detalj, f?rbereda allt f?r att bygga ett hus och v?lja r?tt och genomf?rbar byggteknik f?r dig sj?lv.

Fr?n den h?r artikeln kommer du att l?ra dig:

• Vilka nya material f?r huset och ny teknik anv?nds oftast f?r snabb konstruktion av ett hus p? landet.
• Hus av olika material, byggda p? kort tid.
• Material f?r att bygga ett hus p? kort tid.
• Vad man ska l?gga v?ggarna i huset. Hur man snabbt bygger ett stenhus.
• Vilken v?gg ska man v?lja f?r ett enskilt hus. Varf?r ?r det s? popul?rt att bygga hus med ramteknik?
• Bygga ett hus med moderna material. Varf?r konstruktionen av SIP-paneler f?renklar byggandet av en stuga.
• Vilka ?r f?rdelarna med p?lskruvfundament och fast formteknik.
• Vilka principer p?skyndar byggandet av en struktur.

Material f?r att bygga ett hus - vad man ska v?lja

Byggandet av en lantstuga, h?llbar och uppfyller alla byggregler, m?ste b?rja med en noggrant utformad plan. Det ?r n?dv?ndigt att ber?kna uppskattningen i f?rv?g, v?lja byggteknik och det b?sta byggmaterialet f?r att bygga ett hus. Du b?r ocks? ta h?nsyn till klimatf?rh?llandena p? den plats d?r konstruktionen kommer att utf?ras och jordens egenskaper. F?rst efter att ha samlat in all n?dv?ndig information kan du v?lja de mest rationella, snabba och kostnadseffektiva byggmetoderna.

Material f?r husets v?ggar. Vad man ska v?lja - tr?, paneler eller stenl?ggning.

Dessutom ?r denna princip dubbelt viktig om det ?r n?dv?ndigt att snabbt uppf?ra en byggnad, eftersom. alla misstag eller hak kommer att leda till en f?rsening i konstruktionen. Om vi ?verv?ger de allm?nna principerna f?r att v?lja en teknik f?r accelererad konstruktion av en struktur, ?r utg?ngspunkten den garanterade kvaliteten p? materialen, strikt definierad geometri, enkelhet och tillverkningsbarhet under installationen, s?v?l som tillg?nglighet.

F?r snabbmurning v?ljer vi d?rf?r fabrikstillverkat material f?r husets v?ggar. Specifikationerna m?ste garanteras uppfylla de angivna kraven. Ett f?rs?k att spara pengar och anv?nda olika hantverksmaterial, den sk. garageproduktion - ett lotteri, utan garantier f?r att f? ett kvalitetsresultat.

Att bygga ett hus - valet av materialf?r egenbyggare och byggf?retag

Om du planerar att v?lja det mest h?llbara materialet och snabbt bygga ett stenhus fullt av v?rdighet, b?r du anv?nda storformatblock med en tydlig geometri som enkelt kan bearbetas (s?ga, jaga, borra) p? byggarbetsplatsen. S?dant material ?r l?ttare och snabbare att l?gga.

Tr? som v?ggmaterial f?r en privat herrg?rd eller hus p? landet v?ljs av fans av ramteknik. I det h?r fallet kommer enkelheten i arbetet f?rst, vilket inneb?r h?g konstruktionshastighet, minimering av anv?ndningen av byggutrustning (eftersom du till och med kan s?tta en tr?ram ensam), bred tillg?nglighet och det faktum att tr? ?r ett ganska billigt material.

Om ramkonstruktion ?r valet av sj?lvbyggare som planerar att individuellt installera en l?da hemma s? snart som m?jligt, ?r h?llbara prefabricerade paneler i storformat (SIP, etc.) att f?redra av utvecklare som bygger en byggnad med hj?lp av konstruktion f?retag.

Var och en av dessa metoder har sina egna funktioner, men mer om det senare.

Funktioner av den snabba konstruktionen av ett stenhus

Erfarenheterna fr?n FORUMHOUSE-anv?ndare tyder p? att alla har sin egen v?g till ett "snabbt hem", men det finns flera nyckelpunkter som ?r gemensamma f?r alla enskilda utvecklare. F?r det f?rsta ?r det bristen p? egna bost?der, den h?ga kostnaden f?r kvadratmeter i nybyggnationer och oviljan att sl?nga pengar genom att hyra en l?genhet.

Vladimir Egorov (smeknamn Bobahina)FORUMHOUSE anv?ndare

Min familj ?r ung - jag, min fru och tv? sm? barn. Jag har inget eget boende, s? jag var tvungen att bo i hyresr?tter. Jag ber?knade p? n?got s?tt att vi under 5 ?r av "nomadiskt" liv spenderade 1 miljon rubel p? hyra (i sj?lva verket gav vi det till "farbror"). D?rf?r, efter n?sta drag, tog jag ett best?mt beslut - sluta vandra, du m?ste skaffa ditt eget h?rn.

Efter att ha minskat debiteringen p? l?net ber?knade Vladimir att genom att ta ett l?n p? 1-1,5 miljoner rubel skulle det vara mer l?nsamt att bygga ett hus snarare ?n att investera i ett bol?n. Efter att det stora beslutet togs ?terst?r det att v?lja en konstruktionsteknik som g?r att du snabbt kan bygga en stuga fr?n "0", redo f?r familjen att flytta. Efter att ha analyserat "hur mycket det kostar att bygga ett hus", best?mde Vladimir sig f?r att dela upp byggarbetsplatsen i flera steg och v?lja materialet f?r b?rande v?ggar, som ?r b?st l?mpat f?r sj?lvkonstruktion.

N?r vi ser fram?t, l?t oss s?ga att v?r anv?ndare lyckades uppfylla sin dr?m: in att bygga ett hus s? snart som m?jligt storlek 10x7,5 m och f?rbereda f?rsta v?ningen f?r permanent boende. Dessutom valdes l?ttbetong som byggmaterial. Det ?r v?rt att notera att tomten tillhandah?lls till Vladimir av hans far, vilket blev en av de avg?rande faktorerna f?r framg?ngen med denna konstruktion.

Observera ocks? att stenhuset faktiskt byggdes av en person p? 6 m?nader. Vid anv?ndning av hyrd arbetskraft - ett team p? flera personer, kan dessa villkor reduceras med 2-3 g?nger, men med en ?kning av kostnaden f?r den struktur som byggs. N?r man t?nker p? snabbt byggande m?ste man d?rf?r alltid kompromissa: hastighet/uppskattning, och ?ven v?lja – att bygga helt p? egen hand (det tar tid) eller jobba och styra bygget hela tiden.

Den h?ga hastigheten att bygga ett hus underl?ttas av n?rvaron av alla typer av n?dv?ndiga kommunikationer p? platsen - ljus och vatten, s?v?l som kompetent planering av varje byggskede och valet av modern teknik.

N?r vi bygger ett stenhus m?ste vi f?rs?ka minimera "v?ta" processer och optimera alla tekniska stadier.

Ramkonstruktionsteknik

Modern byggerfarenhet tyder p? att det ?r m?jligt att avsev?rt p?skynda byggprocessen med hj?lp av bepr?vad teknik som redan har passerat ink?rningstiden. F?rutsatt att denna l?sning ?r effektiv f?r en viss bostadsregion. De d?r. det utvalda materialet f?r v?ggarna ?r vanligt i omr?det d?r du bor och ?r inte en bristvara, och byggteam vet hur man arbetar med det och har redan "knackat p? handen". I det h?r fallet, med korrekt kontroll, ?r det m?jligt att garantera ett h?gkvalitativt resultat.

Om du beh?ver bygga ett hus snabbt och inte g? s?nder v?ljer m?nga utvecklare att bygga hus med ramkonstruktionsteknik, som det mest rationella f?r sj?lvbyggande.

Ufonru FORUMHOUSE anv?ndare

Jag har en tomt p? 6 tunnland i SNT n?ra St. Petersburg. Jag best?mde mig f?r att bygga ett hus p? den. Det ?terst?r att v?lja en teknik s? att du kan bygga en p? din fritid, snabbt och effektivt. Och h?ll dig inom 400 tusen rubel.

Som ett resultat av att skyffla information Ufonru valde "ramar". V?r anv?ndare lyckades ensam, p? 80 dagar, bygga ett varmt hus v?rt 350 tusen rubel, med en vind och en fin finish, 6x10 m i storlek.

F?rdelarna med "ramverk" kan skrivas ner: f?rm?gan att utf?ra n?stan ?ret runt konstruktion, materialet ger ett minimum av "v?ta" processer (kr?ver tid och bra v?derf?rh?llanden), utveckling av teknik och h?g konstruktionshastighet .

Det m?ste s?gas direkt Ufonru kom till punkten i detalj. F?r att minimera avfallet ber?knades husets dimensioner utifr?n dimensionerna p? OSB-skivor, skivor, gipsskivor, isolering etc. Detta gjorde det m?jligt att anv?nda hela sin anv?ndbara yta, utan rester och spara tid p? sk?rmaterial.

Som grund valdes ett grunt remsfundament och till forms?ttningen valdes br?dor i storleken 100x50 mm som sedan gick till ramst?ll och bandning utan efterf?ljande kapning. Och detta ?r ytterligare hastighet och besparingar i material.

Med hj?lp av principen om optimering reducerades endast priset p? grunden f?r detta hus till 65 tusen rubel.

Nyanserna i att bygga ett hus fr?n SIP-paneler och tidpunkten f?r byggandet av en p?lskruvsfundament

I jakten p? hastigheten f?r att bygga en stuga tror m?nga nyb?rjare utvecklare naivt att ett hus ?r en l?da med v?ggar med insatta f?nster och d?rrar. Det ?r det faktiskt inte. Du kan bo i ett hus med ett minimum av kommunikationer - den s? kallade. ingenj?rer. Dessa ?r el, avlopp och vatten.

Se hur man sj?lvst?ndigt, p? sex m?nader, bygger ett luftbetonghus f?r permanent bostad. Fr?n v?r video kommer du ocks? att l?ra dig om

Som du vet ber?knas arean av en rektangel genom att multiplicera l?ngden p? dess tv? olika sidor. En kvadrat har alla sidor lika, s? du m?ste multiplicera sidan med sig sj?lv. Det ?r h?rifr?n uttrycket "fyrkantigt" kommer. Det kanske enklaste s?ttet att kvadrera valfritt tal ?r att ta en vanlig minir?knare och multiplicera det ?nskade talet med sig sj?lv. Om du inte har en minir?knare till hands kan du anv?nda den inbyggda minir?knaren i din mobiltelefon. F?r mer avancerade anv?ndare kan det rekommenderas att anv?nda Office Microsoft Excel-applikationen, s?rskilt om s?dana ber?kningar m?ste utf?ras ganska ofta. F?r att g?ra detta, v?lj en godtycklig cell, till exempel G7, och skriv in formeln =F7*F7 i den. Ange sedan valfritt nummer i cell F7 och f? resultatet i cell G7.

Hur man kvadrerar ett tal vars sista siffra ?r 5. F?r att kvadrera det h?r talet m?ste du kassera den sista siffran i talet. Det resulterande talet m?ste multipliceras med ett st?rre tal med 1. Sedan m?ste du l?gga till siffran 25 till h?ger efter resultatet. Exempel. L?t det kr?vas f?r att f? kvadraten p? talet 35. Efter att den sista siffran 5 sl?ngts kvarst?r siffran 3. 1 l?ggs till - talet 4,3x4 = 12 erh?lls. 25 l?ggs till och resultatet ?r 1225. 35x35=3*4 l?gg till 25=1225.

Hur man kvadrerar ett tal vars sista siffra ?r 6. Denna algoritm ?r l?mplig f?r dig som har klurat ut fr?gan om hur man kvadrerar ett tal som slutar p? talet 5. Som du vet fr?n matematiken kan kvadraten p? ett binomial ber?knas med hj?lp av formeln (A + B) x (A + B) \u003d AxA + 2xAxB + BxB. I fallet med kvadrera talet A, vars sista siffra ?r 6, kan detta tal representeras som A \u003d B + 1, d?r B ?r talet som ?r 1 mindre ?n talet A, s? dess sista siffra ?r 5 . I det h?r fallet kan formeln representeras i en enklare form (B + 1) x (B + 1) \u003d BxB + 2xBx1 + 1x1 \u003d BxB + 2xB + 1. L?t till exempel detta tal vara 16. L?sning 16 x16 \u003d 15 x15 + 2x15 x1 + 1x1 \u003d 225 + 30 + 1 \u003d 256 Muntlig regel: f?r att hitta kvadraten p? ett tal som slutar p? 6: du m?ste kvadrera det f?reg?ende talet, l?gg till tv? g?nger det f?reg?ende talet och l?gg till 1.

Hur man kvadrerar tal fr?n 11 till 29. F?r att kvadrera tal fr?n 11 till 19 m?ste du l?gga till antalet enheter till det ursprungliga talet, multiplicera resultatet med 10 och tilldela det kvadratiska antalet enheter till h?ger. Exempel. Ruta 13. Antalet enheter i detta tal ?r 3. D?refter m?ste du ber?kna mellantalet 13+3=16. Multiplicera det sedan med 10. Det blir 160. Kvadraten p? antalet ettor ?r 3x3 = 9. Slutresultatet ?r 169. F?r siffrorna p? den tredje tio anv?nds en liknande algoritm, bara du beh?ver multiplicera med 20 och l?gga till kvadraten av enheter, och inte attribut. Exempel. Ber?kna kvadraten p? talet 24. Antalet enheter hittas - 4. Mellantalet ber?knas - 24 + 4 \u003d 28. Multiplicera med 20 ger 560. Kvadraten p? antalet ettor ?r 4x4 = 16. Slutresultatet ?r 560+16=576.

Hur man kvadrerar tal fr?n 40 till 60. Algoritmen ?r ganska enkel. F?rst m?ste du hitta hur mycket det givna talet ?r mer eller mindre ?n mitten av intervallet f?r talet 50. Addera (om talet ?r mer ?n 50) eller subtrahera (om talet ?r mindre ?n 50) 25 till resultatet Multiplicera den resulterande summan (eller skillnaden) med 100. Addera kvadraten till resultatet skillnaden mellan talet vars kvadrat du vill hitta och talet 50. Exempel: du m?ste hitta kvadraten p? talet 46. Skillnaden ?r 50-46=4,5-4=1,1x100=0,4x4=6,0+16=2116. Resultat: 46x46=2116.

Ett annat knep ?r hur man kvadrerar tal fr?n 40 till 60. F?r att ber?kna kvadraten p? ett tal fr?n 40 till 49 m?ste du ?ka antalet enheter med 15, multiplicera resultatet med 100, till h?ger om det l?gg till kvadrat av skillnaden mellan den sista siffran i det givna talet och 10. Exempel. Ber?kna kvadraten p? talet 42. Antalet enheter av detta tal ?r 2. 15 l?ggs till: 2+15=17. Skillnaden mellan samma antal enheter och 10 hittas. Den ?r lika med 8. Den ?r kvadratisk: 8x8 \u003d 64. Talet 64 tilldelas till h?ger om f?reg?ende resultat 17. Det slutliga talet ?r 1764. Om talet ligger i intervallet fr?n 51 till 59 anv?nds samma algoritm f?r att kvadrera det, endast 25 m?ste l?ggas till talet av enheter.

Hur man kvadrerar ett tv?siffrigt tal i ditt sinne. Om en person vet hur man kvadrerar ensiffriga tal, med andra ord, k?nner till multiplikationstabellen, kommer han inte att ha problem med att ber?kna kvadraterna av tv?siffriga tal. Exempel. Du m?ste kvadrera det tv?siffriga talet 36. Detta tal multipliceras med talet p? dess tiotal. 36x3=8. D?refter m?ste du hitta produkten av siffrorna i numret: 3x6 \u003d 18. L?gg sedan till b?da resultaten. 108+18=126. N?sta steg: du m?ste kvadrera enheterna f?r det ursprungliga talet: 6x6=36. I den resulterande produkten best?ms antalet tiotal - 3 och l?ggs till det tidigare resultatet: 126 + 3 = 129. Och det sista steget. Till h?ger om det erh?llna resultatet tillskrivs antalet enheter av det ursprungliga numret, i detta exempel - 6. Slutresultatet ?r numret 1296.

Det finns m?nga s?tt att kvadrera olika tal. Vissa av ovanst?ende algoritmer ?r ganska enkla, vissa ?r ganska kr?ngliga och obegripliga vid f?rsta anblicken. M?nga av dem har anv?nts av m?nniskor i ?rhundraden. Varje person kan utveckla sina egna mer f?rst?eliga och intressanta algoritmer. Men om det finns problem med den muntliga redog?relsen eller andra sv?righeter uppst?r m?ste du involvera tekniska medel.

F?rm?gan att mentalt r?kna kvadraterna av tal kan vara anv?ndbar i olika livssituationer, till exempel f?r en snabb bed?mning av investeringstransaktioner, f?r att ber?kna ytor och volymer och i m?nga andra fall. Dessutom kan f?rm?gan att r?kna rutor i ditt huvud fungera som en demonstration av dina intellektuella f?rm?gor. Den h?r artikeln analyserar metoderna och algoritmerna som l?ter dig l?ra dig denna f?rdighet.

Kvadraten p? summan och kvadraten p? skillnaden

Ett av de enklaste s?tten att kvadrera tv?siffriga tal ?r en teknik baserad p? anv?ndningen av formlerna f?r kvadraten p? summan och kvadraten p? skillnaden:

F?r att anv?nda den h?r metoden m?ste du dekomponera ett tv?siffrigt tal till summan av en multipel av 10 och ett tal mindre ?n 10. Till exempel:

• 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
• 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

N?stan alla kvadreringstekniker (som beskrivs nedan) ?r baserade p? formlerna f?r kvadratsumma och kvadratskillnad. Dessa formler gjorde det m?jligt att identifiera ett antal algoritmer som f?renklar kvadrering i vissa speciella fall.

Ett torg n?ra ett v?lk?nt torg

Om talet vi kvadrerar ?r n?ra det tal vi k?nner kvadraten p?, kan vi anv?nda en av fyra tekniker f?r enkel mental r?kning:

1 till:

Metodik: till kvadraten p? ett tal ett mindre, l?gg till sj?lva talet och talet ett mindre.

• 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
• 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

1 mindre:

Metodik: subtrahera fr?n kvadraten av talet ett till sj?lva talet och talet ett till.

• 19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
• 24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

2 till

Metodik: till kvadraten av ett tal 2 mindre, l?gg till tv? g?nger summan av sj?lva talet och talet 2 mindre.

• 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 mindre

Metodik: fr?n kvadraten p? talet 2 till, subtrahera tv? g?nger summan av sj?lva talet och talet 2 till.

• 48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
• 98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

Alla dessa tekniker kan l?tt bevisas genom att h?rleda algoritmerna fr?n formlerna f?r kvadraten p? summan och kvadraten p? skillnaden (som diskuterades ovan).

Kvadrat p? tal som slutar p? 5

Till kvadrattal som slutar p? 5. Algoritmen ?r enkel. Antalet upp till de fem sista, multiplicera med samma tal plus ett. Vi l?gger till 25 till det ?terst?ende antalet.

• 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
• 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
• 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Detta g?ller ?ven f?r mer komplexa exempel:

• 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Kvadratnummer n?ra 50

R?kna kvadraten p? talen som finns i varierar fr?n 40 till 60 kan g?ras p? ett mycket enkelt s?tt. Algoritmen ?r som f?ljer: vi adderar (eller subtraherar) till 25 s? mycket som talet ?r st?rre (eller mindre) ?n 50. Vi multiplicerar denna summa (eller skillnaden) med 100. Till denna produkt adderar vi kvadraten p? skillnaden mellan talet ?r kvadratiskt och femtio. Se hur algoritmen fungerar med exempel:

• 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
• 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Tresiffrig talkvadrat

Kvadratering av tresiffriga tal kan g?ras med en av de f?rkortade multiplikationsformlerna:

Det kan inte s?gas att denna metod ?r bekv?m f?r oral r?kning, men i s?rskilt sv?ra fall kan den antas:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Tr?na

Om du vill f?rb?ttra dina f?rdigheter i ?mnet f?r denna lektion kan du anv?nda f?ljande spel. Po?ngen du f?r p?verkas av att dina svar ?r korrekta och hur l?ng tid som g?r ?t f?r godk?nt. Observera att siffrorna ?r olika varje g?ng.