Encyklopedisk YouTube

1 / 5

Konstruktioner med kompass och linjal, del 1.

1 De enklaste konstruktionerna med en kompass och en linjal

vetenskapsshow. Uppgift 19. Kompasser och linjal

Geometri - Konstruktion av en vanlig triangel

Geometri - Bygga en oktagon

undertexter

Exempel

Bisektionsproblem. Anv?nd en kompass och r?tlina f?r att dela upp detta segment AB i tv? lika delar. En av l?sningarna visas i figuren:

• Kompasser ritar cirklar centrerade p? punkter A och B radie AB.
• Hitta sk?rningspunkter P och F tv? konstruerade cirklar (b?gar).
• P? en linjal ritar du ett segment eller en linje som g?r genom punkterna P och F.
• Hitta segmentets mittpunkt AB- sk?rningspunkt AB och PQ.

Formell definition

I konstruktionsproblem beaktas en upps?ttning av f?ljande objekt: alla punkter i planet, alla linjer i planet och alla cirklar i planet. I villkoren f?r problemet specificeras initialt en viss upps?ttning objekt (anses som konstruerade). Det ?r till?tet att l?gga till (bygga) till upps?ttningen av byggda objekt:

1. godtycklig punkt;
2. en godtycklig punkt p? en given linje;
3. en godtycklig punkt p? en given cirkel;
4. sk?rningspunkten f?r tv? givna linjer;
5. sk?rningspunkter/tangens f?r en given r?t linje och en given cirkel;
6. sk?rningspunkter/tangens f?r tv? givna cirklar;
7. en godtycklig linje som g?r genom en given punkt
8. en r?t linje som g?r genom tv? givna punkter;
9. en godtycklig cirkel centrerad vid en given punkt
10. en godtycklig cirkel med en radie lika med avst?ndet mellan tv? givna punkter.
11. en cirkel centrerad i en given punkt och med en radie lika med avst?ndet mellan tv? givna punkter.

Det kr?vs, med hj?lp av ett ?ndligt antal av dessa operationer, att konstruera ytterligare en upps?ttning objekt som st?r i ett givet f?rh?llande till den ursprungliga upps?ttningen.

L?sningen av konstruktionsproblemet inneh?ller tre v?sentliga delar:

1. Beskrivning av metoden f?r att konstruera en given m?ngd.
2. Ett bevis p? att upps?ttningen konstruerad p? det beskrivna s?ttet verkligen st?r i ett givet f?rh?llande till originalupps?ttningen. Vanligtvis g?rs beviset f?r konstruktionen som ett regelbundet bevis p? en sats, med utg?ngspunkt i axiom och andra bevisade satser.
3. Analys av den beskrivna konstruktionsmetoden f?r dess till?mpbarhet p? olika varianter av initiala f?rh?llanden, s?v?l som f?r unikheten eller icke-unikheten hos l?sningen som erh?lls med den beskrivna metoden.

k?nda problem

En annan v?lk?nd och ol?slig uppgift med hj?lp av en kompass och en linjal ?r konstruktionen av en triangel enligt tre givna halvledarl?ngder. Intressant nog f?rblir detta problem ol?sligt ?ven i n?rvaro av ett verktyg som utf?r tresektionen av vinkeln.

Till?tna segment f?r konstruktion med kompass och linjal

Med hj?lp av dessa verktyg ?r det m?jligt att konstruera ett segment, som i l?ngd:

F?r att konstruera ett segment med en l?ngd numeriskt lika med produkten, privat och kvadratroten av l?ngderna av de givna segmenten, ?r det n?dv?ndigt att st?lla in ett enhetssegment p? konstruktionsplanet (det vill s?ga ett segment med l?ngden 1). Att extrahera r?tter fr?n segment med andra naturliga krafter som inte ?r en potens av 2 ?r inte m?jligt med en kompass och r?tlina. S?, till exempel, ?r det om?jligt att konstruera ett l?ngdsegment fr?n ett enda segment med hj?lp av en kompass och en linjal. Detta faktum, i synnerhet, antyder ol?sligheten av kubf?rdubblingsproblemet.

M?jliga och om?jliga konstruktioner

Ur en formell synvinkel reduceras l?sningen av alla konstruktionsproblem till en grafisk l?sning av n?gon algebraisk ekvation, och koefficienterna f?r denna ekvation ?r relaterade till l?ngden p? de givna segmenten. D?rf?r kan vi s?ga att problemet med konstruktion reduceras till att hitta de verkliga r?tterna till n?gon algebraisk ekvation.

D?rf?r ?r det bekv?mt att prata om konstruktionen av ett tal - en grafisk l?sning p? en ekvation av en viss typ.

Baserat p? m?jliga konstruktioner av segment ?r f?ljande konstruktioner m?jliga:

• Konstruktion av l?sningar av linj?ra ekvationer.
• Konstruktion av l?sningar till ekvationer som reducerar till l?sningar av andragradsekvationer.

Med andra ord ?r det m?jligt att bygga bara segment som ?r lika med aritmetiska uttryck med hj?lp av kvadratroten fr?n de ursprungliga talen (givna segmentl?ngder).

Det ?r viktigt att notera att det ?r viktigt att l?sningen uttrycks med hj?lp av fyrkant r?tter, inte radikaler av godtycklig grad. ?ven om en algebraisk ekvation har en l?sning i radikaler, s? f?ljer det inte av detta att en kompass och linjal kan konstruera ett segment lika med dess l?sning. Den enklaste ekvationen ?r: x 3 - 2 = 0 , (\displaystyle x^(3)-2=0,) relaterat till det ber?mda problemet med att f?rdubbla kuben, vilket reduceras till denna kubikekvation. Som n?mnts ovan, l?sningen p? denna ekvation ( 2 3 (\displaystyle (\sqrt[(3)](2)))) kan inte konstrueras med kompass och r?tlina.

F?rm?gan att konstruera en regulj?r 17-gon f?ljer av uttrycket f?r cosinus f?r den centrala vinkeln p? dess sida:

Variationer och generaliseringar

• Konstruktioner med en enda kompass. Enligt Mohr-Mascheroni-satsen kan man med hj?lp av en kompass konstruera vilken figur som helst som kan konstrueras med en kompass och en linjal. I detta fall anses en linje vara konstruerad om tv? punkter anges p? den.
• Konstruktioner med en enda linjal. Det ?r uppenbart att endast projektivt invarianta konstruktioner kan utf?ras med hj?lp av en linjal. S?rskilt,
  • det ?r om?jligt att ens dela upp segmentet i tv? lika delar,
  • det ?r ocks? om?jligt att hitta centrum f?r den givna cirkeln.

• om det finns en f?rritad cirkel p? planet med ett markerat centrum med en linjal, kan du utf?ra samma konstruktioner som med en kompass och en linjal (

Om det ?r helt naturligt att det med antagandet om en st?rre variation av verktyg visar sig vara m?jligt att l?sa en st?rre upps?ttning konstruktionsproblem, s? skulle man tv?rtom kunna f?rutse att under de restriktioner som g?ller f?r verktyg, klass av l?sbara problem kommer att minska. Desto mer anm?rkningsv?rt ?r uppt?ckten som gjorts av italienaren Mascheroni (1750-1800): alla geometriska konstruktioner som kan g?ras med en kompass och r?ta kan g?ras med bara en kompass. Det b?r givetvis f?reskrivas att det faktiskt ?r om?jligt att dra en r?t linje genom tv? givna punkter utan linjal, s? denna grundkonstruktion omfattas inte av Mascheronis teori. Ist?llet m?ste man anta att en linje ?r given om tv? av dess punkter ?r givna. Men enbart med hj?lp av en kompass ?r det m?jligt att hitta sk?rningspunkten f?r tv? linjer angivna p? detta s?tt, eller sk?rningspunkten f?r en linje med en cirkel.

F?rmodligen det enklaste exemplet p? Mascheronis konstruktion ?r dubbleringen av ett givet segment.L?sningen gavs redan p? s. 185. Vidare, p? s. 186, l?rde vi oss hur man delar ett givet segment p? mitten. L?t oss nu se hur man halverar en cirkelb?ge med centrum O. H?r ?r en beskrivning av denna konstruktion. Med en radie ritar vi tv? b?gar med centrum Fr?n punkten O avs?tter vi tv? s?dana b?gar p? dessa b?gar och att Sedan hittar vi sk?rningspunkten f?r b?gen med mitten P och radien och b?gen med mitten och radien. , med segmentet som radie, beskriver vi b?gen med mitten P eller tills sk?rningspunkten med b?gen ?r sk?rningspunkten och ?r den ?nskade mittpunkten av b?gen. Beviset l?mnas till l?saren som en ?vning.

Ris. 48. Sk?rning av en cirkel och en linje som inte g?r genom mitten

Det skulle vara om?jligt att bevisa Mascheronis huvudp?st?ende genom att visa, f?r varje konstruktion som kan g?ras med en kompass och r?ta, hur det kan g?ras med en enda kompass: det finns trots allt ett o?ndligt antal m?jliga konstruktioner. Men vi kommer att uppn? samma m?l om vi sl?r fast att var och en av f?ljande grundl?ggande konstruktioner ?r genomf?rbara med en enda kompass:

1. Rita en cirkel om centrum och radie ?r givna.

2. Hitta sk?rningspunkterna f?r tv? cirklar.

3. Hitta sk?rningspunkterna f?r linjen och cirkeln.

4. Hitta sk?rningspunkten f?r tv? linjer.

Varje geometrisk konstruktion (i vanlig mening, med antagandet av en kompass och r?tlinje) best?r av en ?ndlig sekvens av dessa element?ra konstruktioner. Att de tv? f?rsta ?r genomf?rbara med en enda kompass ?r direkt klart. Sv?rare konstruktioner 3 och 4 utf?rs med anv?ndning av de inversionsegenskaper som diskuterades i f?reg?ende stycke.

L?t oss g? ?ver till konstruktion 3: hitta sk?rningspunkterna f?r en given cirkel C med en r?t linje som g?r genom dessa punkter. Vi ritar b?gar med centrum respektive radier lika med och f?rutom punkten O, sk?r de i punkten P. Sedan konstruerar vi en punkt som ?r reciprok mot punkten P med avseende p? cirkeln C (se. konstruktion beskriven p? sidan 186). Slutligen ritar vi en cirkel med centrum och radie (den kommer s?kert att sk?ra med C): dess sk?rningspunkter med cirkel C kommer att vara de ?nskade. F?r att bevisa det r?cker det att fastst?lla att var och en av punkterna ?r p? samma avst?nd fr?n (n?r det g?ller punkterna f?ljer deras analoga egenskap omedelbart av konstruktionen). Det r?cker faktiskt att h?nvisa till den omst?ndigheten att punkten omv?nd till punkten ?r skild fr?n punkterna med ett avst?nd lika med radien av cirkeln C (se s. 184). Det ?r v?rt att notera att cirkeln som passerar genom punkterna ?r den inversa linjen i inversion med avseende p? cirkeln C, eftersom denna cirkel och linjen sk?r

Ris. 49. Sk?rning av en cirkel och en r?t linje som g?r genom mitten

med C p? samma punkter. (N?r de ?r inverterade f?rblir bascirkelpunkterna fixerade.)

Den angivna konstruktionen ?r inte m?jlig endast om linjen g?r genom centrum C. Men d? kan sk?rningspunkterna hittas genom konstruktionen som beskrivs p? sidan 188, som erh?lls n?r vi ritar en godtycklig cirkel med centrum B som sk?r C i punkter en cirkel. invers till en r?t linje som f?rbinder tv? givna punkter ger omedelbart en konstruktion som l?ser uppgift 4. L?t linjerna ges av punkter (fig. 50).

Ris. 50. Sk?rning av tv? linjer

Vi ritar en godtycklig cirkel C och, med hj?lp av ovanst?ende metod, konstruerar cirklar som ?r omv?nda till linjerna och dessa cirklar sk?r varandra i punkt O och vid ytterligare en punkt Punkt X, inversen av punkten, ?r den ?nskade sk?rningspunkten: hur man bygga det har redan f?rklarats ovan. Att X ?r den ?nskade punkten framg?r tydligt av det faktum att det finns en enda punkt invers till en punkt som samtidigt h?r till b?da linjerna och d?rf?r en punkt X, den inversa m?ste ligga samtidigt p? och p?

Dessa tv? konstruktioner kompletterar beviset p? motsvarigheten mellan Mascheronis konstruktioner, d?r endast kompasser ?r till?tna, och vanliga geometriska konstruktioner med kompasser och r?ta.

Vi brydde oss inte om elegansen i att l?sa de individuella problem vi har ?verv?gt h?r, eftersom v?rt m?l var att klarg?ra den inre meningen med Mascheronis konstruktioner. Men som ett exempel kommer vi ocks? att ange konstruktionen av en vanlig femh?rning; n?rmare best?mt talar vi om att hitta ungef?r fem punkter p? en cirkel som kan fungera som h?rn p? en vanlig inskriven femh?rning.

L?t A vara en godtycklig punkt p? cirkeln K. Eftersom sidan av en regelbunden inskriven hexagon ?r lika med cirkelns radie, blir det inte sv?rt att s?tta ?t sidan p? K s?dana punkter som

Metoderna f?r att konstruera parallella linjer med olika verktyg ?r baserade p? tecken p? parallella linjer.

Konstruera parallella linjer med kompass och r?tsida

?verv?ga principen att konstruera en parallell linje som g?r genom en given punkt, med hj?lp av en kompass och linjal.

L?t en linje vara given, och n?gon punkt A, som inte h?r till den givna linjen.

Det ?r n?dv?ndigt att konstruera en linje som g?r genom den givna punkten $A$ parallellt med den givna linjen.

I praktiken kr?vs ofta att man konstruerar tv? eller flera parallella linjer utan en given linje och punkt. I det h?r fallet ?r det n?dv?ndigt att dra en linje godtyckligt och markera n?gon punkt som inte kommer att ligga p? denna linje.

?verv?ga steg f?r att konstruera en parallell linje:

I praktiken anv?nds ocks? metoden att konstruera parallella linjer med hj?lp av en ritruta och en linjal.

Konstruktion av parallella linjer med hj?lp av en kvadrat och en linjal

F?r konstruera en linje som kommer att passera genom punkten M parallellt med den givna linjen a, n?dv?ndigt:

1. F?st kvadraten p? den raka linjen $a$ med en diagonal (se figuren), och f?st en linjal p? dess st?rre ben.
2. Flytta kvadraten l?ngs linjalen tills den givna punkten $M$ ?r p? kvadratens diagonal.
3. Dra den ?nskade linjen $b$ genom punkten $M$.

Vi har f?tt en linje som g?r genom en given punkt $M$ parallell med en given linje $a$:

$a \parallell b$, dvs $M \in b$.

Parallellen mellan linjerna $a$ och $b$ framg?r av likheten mellan de motsvarande vinklarna, som i figuren ?r markerade med bokst?verna $\alpha$ och $\beta$.

Konstruktion av en parallell linje p? ett givet avst?nd fr?n en given linje

Om det ?r n?dv?ndigt att konstruera en r?t linje parallell med en given r?t linje och med avst?nd fr?n den p? ett givet avst?nd, kan du anv?nda en linjal och en kvadrat.

L?t en rad $MN$ och ett avst?nd $a$ ges.

1. Vi markerar en godtycklig punkt p? den givna linjen $MN$ och kallar den $B$.
2. Genom punkten $B$ ritar vi en linje vinkelr?t mot linjen $MN$ och kallar den $AB$.
3. P? linjen $AB$ fr?n punkten $B$ plottar vi segmentet $BC=a$.
4. Dra med hj?lp av en kvadrat och en r?tlinje linjen $CD$ genom punkten $C$, som kommer att vara parallell med den givna linjen $AB$.

Om vi skjuter upp segmentet $BC=a$ p? linjen $AB$ fr?n punkten $B$ till andra sidan, f?r vi ytterligare en linje parallell med den givna, ?tskild fr?n den med det givna avst?ndet $a$.

Andra s?tt att rita parallella linjer

Ett annat s?tt att bygga parallella linjer ?r att bygga med en T-kvadrat. Oftast anv?nds denna metod i rit?vningar.

N?r man utf?r snickeriarbeten f?r att markera och bygga parallella linjer anv?nds ett speciellt ritverktyg - en fas - tv? tr?plankor som f?sts med ett g?ngj?rn.

S? jag f?resl?r att du forts?tter att konstruera en vinkel p? 30 grader med hj?lp av en kompass och linjal enligt f?ljande:

1) F?rst m?ste vi bygga en liksidig triangel, det blir n?mligen CFD

Innan det bygger vi tv? cirklar med samma diameter med en kompass, den andra cirkeln ?r byggd fr?n punkt B.

2) Nu delas CD av segment FO.

3) S? CFD-vinkeln vi f?r ?r lika med 60 grader

4) Och i enlighet med detta kommer v?ra CFO- och DFO-vinklar att vara lika med 30 grader

V?r h?rna ?r byggd.

Mycket ofta i geometrilektioner f?r vi uppgiften - att rita en vinkel p? 30 grader med hj?lp av en kompass och en linjal. Detta kan g?ras p? flera s?tt. L?t oss ?verv?ga en av dem.

Rita ett linjeavsnitt AB med hj?lp av en linjal.











N?r du tar bort linjerna som hj?lpte oss att bygga vinkeln f?r vi den efterl?ngtade vinkeln p? 30 grader.



Vi ritar en cirkel med valfri radie. Sedan v?ljer vi en punkt p? cirkeln och ritar ytterligare en cirkel med samma radie.



l?t oss markera punkterna. d?r tv? cirklar som C och D sk?r varandra.



Nu f?rbinder vi punkterna med en rak linje.



L?t oss nu bygga en liksidig triangel, d?r alla vinklar kommer att vara lika med 60 grader.



Nu delar vi denna vinkel p? mitten, och vi f?r en vinkel p? 30 grader.



Bygg en vinkel p? trettio grader, du kan anv?nda f?ljande metod.



Instruktionen ?r enkel:

1) Rita f?rst en cirkel med valfri diameter;

2) Rita en annan cirkel, exakt samma diameter, och sidan av den andra cirkeln ska passera genom mitten av den f?rsta cirkeln.

3) Konstruera FCD-triangeln som visas i figuren ovan.

4) Och nu har du tv? trettio graders vinklar, dessa ?r CFO och DFO.

Som du kan se ?r detta ett ganska enkelt s?tt att konstruera en trettio graders vinkel med bara en linjal och en kompass. Vem som helst kan l?ra sig hur man bygger h?rn p? det h?r s?ttet, och han kommer inte att beh?va lida under mycket l?ng tid, eftersom allt ?r enkelt. Lycka till.

Du kan bygga en vinkel p? 30 grader tillr?ckligt snabbt med hj?lp av en kompass och en linjal, beroende p? tillst?ndet.



Rita f?rst tv? vinkelr?ta linjer a och b, som sk?r varandra i punkt A.

Vi markerar punkt B var som helst p? rad b.

Vi bygger en cirkel, d?r B ?r centrum och 2AB ?r radien.

O sk?rningspunkten f?r den konstruerade cirkeln med den r?ta linjen a.

Vinkeln BOA blir bara trettio grader.

Att en vinkel p? 30 grader, den p? 60 grader ?r byggd i en r?tvinklig triangel med vinklar p? 30 och 60 grader.

1) Vi b?rjar med en cirkel: fr?n punkt O ritar vi en cirkel med godtycklig radie OA \u003d OB.

3) Genom att koppla ihop punkterna A, C, B f?r vi den ?nskade triangeln ABC med vinklar: lt; CAB = 60 gr. ,lt; CBA = 30 gr.

Denna konstruktion ?r baserad p? egenskapen hos benet AC, lika med h?lften av hypotenusan AB, som ligger mitt emot vinkeln lt; CBA = 30 grader, respektive den andra vinkeln lt; CAB = 60 gr. Byggmetoden ?r ocks? enkel.

• 1. Rita tv? korsande cirklar.
  2. Rita en rak linje genom mitten av cirklarna.
  3. Vi markerar punkterna - h?rnen i v?r liksidiga triangel: sk?rningspunkten f?r den r?ta linjen som f?rbinder cirklarnas mittpunkter med en av cirklarna; tv? sk?rningspunkter mellan cirklar.
  4. En liksidig triangel har vinklar p? 60 grader.
  5. Vi f?r exakt h?lften av 60 grader om vi tar en vinkel som ligger p? en r?t linje som f?rbinder cirklarnas mittpunkter: den delar bara triangelns h?rnpunkt exakt i h?lften.

F?r att bygga en vinkel p? 30 grader med hj?lp av en linjal och en kompass, f?resl?r jag att du anv?nder det h?r alternativet: rita f?rst en romb och sedan dess diagonaler. Med hj?lp av egenskaperna hos en romb kan man h?vda att vinkeln p? romben kommer att vara 30 grader. S?:

1. Rita en PQ-linje
2. Vi s?tter kompassen vid punkt P, expanderar kompassen till en godtycklig bredd (till exempel till mitten av v?r linje) och ritar en del av cirkeln. Punkten d?r den sk?r linjen kallas S.
3. Vi s?tter kompassen i punkt S och ritar igen en del av cirkeln s? att den sk?r den f?reg?ende. Det borde se ut s? h?r:



1. Punkten d?r de tv? delarna av cirkeln sk?r varandra kallas T.
2. Med en kompass fr?n punkt T ritar vi ytterligare en del av cirkeln, vi fick punkt R.
3. Vi f?rbinder punkterna P - R, S-R, R-T, T-P, T-S med en linjal, vi f?r en romb och, med h?nsyn till rombens egenskaper, f?r vi en vinkel p? 30 grader.





30 grader ?r h?lften av 60. Vet du delningen av en vinkel p? h?lften? H?r har du. Och 60 grader byggs i tid. Markera en punkt och rita en cirkel centrerad p? den punkten. Rita sedan samma cirkel, utan att ?ndra kompassens l?sning, men med mitten p? den f?rsta cirkeln. H?r ?r vinkeln mellan radien ritad i new centrum, och sk?rningspunkten f?r de tv? cirklarna blir exakt 60 grader.

Enligt min ?sikt ?r det snabbaste s?ttet att konstruera en 30 graders vinkel med hj?lp av en linjal och kompass som f?ljer:

vi ritar en horisontell linje, s?tter en kompass p? den vid en godtycklig punkt och ritar en cirkel. Vid den punkt d?r cirkeln korsade linjen (till exempel till h?ger) s?tter vi kompassen igen och ritar en annan s?dan cirkel. Vi ritar en linje genom mitten av den f?rsta cirkeln och sk?rningspunkten f?r cirklarna (r?d linje) och drar en linje genom sk?rningspunkterna f?r cirklarna (gr?n linje). Den spetsiga vinkeln mellan de r?da och gr?na linjerna ?r 30 grader.



Det tog bara fem r?relser f?r att bygga den vinkel vi beh?vde.

Konstruktioner med kompass och r?tlina- en del av euklidisk geometri, k?nd sedan antiken. kompasser och linjal anses vara idealiska verktyg, s?rskilt:

• Linjalen har inga indelningar och har en sida av o?ndlig l?ngd, men bara en.
• Kompassen kan ha vilken stor eller liten ?ppning som helst (det vill s?ga den kan rita en cirkel med godtycklig radie).

• 1 Exempel
• 2 Formell definition
• 3 Anm?rkningsv?rda utmaningar
  • 3.1 Konstruktion av regulj?ra polygoner
  • 3.2 Ol?sliga problem
• 4 M?jliga och om?jliga konstruktioner
• 5 Variationer och generaliseringar
• 6 intressanta fakta
• 7 Se ?ven
• 8 Anteckningar
• 9 Litteratur

Exempel

Bisektionsproblem. Dela det givna segmentet AB i tv? lika delar med hj?lp av en kompass och r?tlina. En av l?sningarna visas i figuren:

• Kompasser ritar cirklar centrerade i punkterna A och B med radien AB.
• Vi hittar sk?rningspunkterna P och Q f?r de tv? konstruerade cirklarna (b?garna).
• Rita ett segment eller en linje l?ngs linjalen som g?r genom punkterna P och Q.
• Vi hittar den ?nskade mittpunkten f?r segmentet AB - sk?rningspunkten f?r AB och PQ.

Formell definition

Konstruktionsproblem beaktar upps?ttningen av alla punkter i planet, upps?ttningen av alla linjer i planet och upps?ttningen av alla cirklar i planet, ?ver vilka f?ljande operationer ?r till?tna:

1. V?lj en punkt fr?n upps?ttningen av alla punkter:
   1. godtycklig punkt
   2. godtycklig punkt p? en given linje
   3. godtycklig punkt p? en given cirkel
   4. sk?rningspunkten mellan tv? givna linjer
   5. sk?rningspunkter/tangens f?r en given linje och en given cirkel
   6. sk?rningspunkter/tangens f?r tv? givna cirklar
2. "Genom att anv?nda linjaler» v?lj en rad fr?n upps?ttningen av alla rader:
   1. godtycklig linje
   2. en godtycklig linje som g?r genom en given punkt
   3. en linje som g?r genom tv? givna punkter
3. "Genom att anv?nda kompass» v?lj en cirkel fr?n upps?ttningen av alla cirklar:
   1. godtycklig krets
   2. en godtycklig cirkel centrerad vid en given punkt
   3. en godtycklig cirkel med en radie lika med avst?ndet mellan tv? givna punkter
   4. en cirkel centrerad i en given punkt och med en radie lika med avst?ndet mellan tv? givna punkter

I villkoren f?r problemet anges en viss upps?ttning punkter. Det kr?vs, med anv?ndning av ett ?ndligt antal operationer, att konstruera ytterligare en upps?ttning punkter bland de ovan till?tna operationerna, som st?r i ett givet f?rh?llande till den ursprungliga upps?ttningen.

L?sningen av konstruktionsproblemet inneh?ller tre v?sentliga delar:

1. Beskrivning av metoden f?r att konstruera en given m?ngd.
2. Ett bevis p? att upps?ttningen konstruerad p? det beskrivna s?ttet verkligen st?r i ett givet f?rh?llande till originalupps?ttningen. Vanligtvis g?rs beviset f?r konstruktionen som ett regelbundet bevis p? en sats, med utg?ngspunkt i axiom och andra bevisade satser.
3. Analys av den beskrivna konstruktionsmetoden f?r dess till?mpbarhet p? olika varianter av initiala f?rh?llanden, s?v?l som f?r unikheten eller icke-unikheten hos l?sningen som erh?lls med den beskrivna metoden.

k?nda problem

• Apollonius problem med att konstruera en cirkel som tangerar tre givna cirklar. Om ingen av de givna cirklarna ligger inuti den andra, har detta problem 8 v?sentligen olika l?sningar.
• Brahmaguptas problem med att konstruera en inskriven fyrh?rning p? dess fyra sidor.

Konstruktion av regelbundna polygoner

Forntida geometrar visste hur man konstruerade vanliga n-goner f?r, och.

?r 1796 visade Gauss m?jligheten att konstruera regelbundna n-goner f?r, d?r finns olika Fermat-primtal. ?r 1836 bevisade Wanzel att det inte finns n?gra andra vanliga polygoner som kan konstrueras med kompass och r?tsida.

Ol?sliga problem

F?ljande tre bygguppgifter sattes i antiken:

• Trisektion av en vinkel - dela en godtycklig vinkel i tre lika delar.
• Kubf?rdubbling - konstruera en kant p? en kub dubbelt s? stor i volym som den givna kuben
• Kvadratisera en cirkel - Konstruera en kvadrat som ?r lika stor som den givna cirkeln.

Det var f?rst p? 1800-talet som det bevisades att alla tre problemen var ol?sliga med enbart kompass och r?tlina. Fr?gan om m?jligheten till konstruktion ?r helt l?st med algebraiska metoder baserade p? Galois-teorin.

• Ett annat v?lk?nt problem som inte g?r att l?sa med hj?lp av en kompass och en linjal ?r konstruktionen av en triangel enligt tre givna halvledarl?ngder. Dessutom f?rblir detta problem ol?sligt ?ven i n?rvaro av en trisektor.

M?jliga och om?jliga konstruktioner

Varje konstruktion ?r faktiskt en l?sning p? n?gon ekvation, och koefficienterna f?r denna ekvation ?r relaterade till l?ngden p? de givna segmenten. D?rf?r ?r det bekv?mt att prata om konstruktionen av ett tal - en grafisk l?sning p? en ekvation av en viss typ. Inom ramen f?r ovanst?ende krav ?r f?ljande konstruktioner m?jliga:

• Konstruktion av l?sningar av linj?ra ekvationer.
• Konstruktion av l?sningar av andragradsekvationer.

Med andra ord ?r det m?jligt att endast konstruera tal som ?r lika med aritmetiska uttryck med hj?lp av kvadratroten av de ursprungliga talen (l?ngder p? segment). Till exempel,

• Om bara ett l?ngdsegment anges ?r det om?jligt att representera i denna form (d?rav om?jligheten att dubbla kuben).
• F?rm?gan att konstruera en vanlig 17-gon f?ljer av uttrycket f?r vinkelns cosinus:

Variationer och generaliseringar

• Konstruktioner med en enda kompass. Enligt Mohr-Mascheroni-satsen kan man med hj?lp av en kompass bygga vilken figur som helst som kan byggas med en kompass och en linjal. I detta fall anses en linje vara konstruerad om tv? punkter anges p? den.
• Konstruktioner med en enda linjal. Det ?r l?tt att se att endast projektivt invarianta konstruktioner kan utf?ras med hj?lp av en linjal. s?rskilt
  • det ?r om?jligt att ens dela upp segmentet i tv? lika delar,
  • det ?r ocks? om?jligt att hitta centrum f?r den givna cirkeln.

• • i n?rvaro av en f?rritad cirkel p? planet med markerat centrum med en linjal kan man utf?ra samma konstruktioner som med en kompass och en linjal (Steiner-Poncelets sats).
  • Om det finns tv? seriffer p? linjalen, s? ?r konstruktioner med hj?lp av den likv?rdiga med konstruktioner med hj?lp av en kompass och en linjal (Napoleon tog ett viktigt steg i beviset f?r detta).
• Konstruktioner med begr?nsade verktyg. I problem av detta slag anses verktyg (i motsats till den klassiska formuleringen av problemet) inte vara idealiska, utan begr?nsade: en r?t linje genom tv? punkter kan ritas med hj?lp av en linjal endast om avst?ndet mellan dessa punkter inte ?verstiger en viss v?rde; radien f?r cirklar som ritas med en kompass kan begr?nsas uppifr?n, under eller b?de ovan och under.
• Byggnad med platt origami. se Khujits regler

• M?nstret p? Irans flagga beskrivs som att det ?r konstruerat med kompass och r?tlina.

se ?ven

• Dynamiska geometriprogram l?ter dig rita med kompass och r?tsida p? en dator.

Anteckningar

1. Vem och n?r bevisade om?jligheten av att konstruera en triangel fr?n tre bisektrar?. Fj?rrkonsultcenter f?r matematik MCNMO.
2. ?r det m?jligt att bygga en triangel med tre bisektrar, om det f?rutom en kompass och en linjal ?r till?tet att anv?nda en trisektor. Fj?rrkonsultcenter f?r matematik MCNMO.
3. Iransk flaggstandard (pers.)

Litteratur

• A. Adler. Teori om geometriska konstruktioner / ?versatt fr?n tyska av G. M. Fikhtengolts. - Tredje upplagan. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 sid.
• I. I. Alexandrov. Samling av geometriska problem f?r konstruktionen. - Artonde upplagan. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 sid.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. Geometriska konstruktioner p? planet. Manual f?r studenter vid pedagogiska institut. - Andra upplagan. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 sid.
• A. M. Voronets. Kompassens geometri. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 sid. - (Popular Mathematics Library, redigerad av L.A. Lyusternik).
• VA Geiler Ol?sliga konstruktionsproblem // SOZH. - 1999. - Nr 12. - S. 115-118.
• V. A. Kirichenko Konstruktioner med kompasser och linjal och Galois teori // Sommarskola "Modern Mathematics". - Dubna, 2005.
• Yu. I. Manin. Bok IV. Geometri // Encyclopedia of elementary mathematics. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 sid.
• Y. Petersen. Metoder och teorier f?r att l?sa geometriska konstruktionsproblem. - M.: E. Lissners och Yu. Romans tryckeri, 1892. - 114 sid.
• V.V. Prasolov. Tre klassiska byggnadsproblem. Dubbla en kub, dela en vinkel i tre delar, kvadrera en cirkel. - M.: Nauka, 1992. - 80 sid. - (Popul?ra f?rel?sningar om matematik).
• I. Steiner. Geometriska konstruktioner utf?rda med en rak linje och en fast cirkel. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 sid.
• Valbar kurs i matematik. 7-9 / J?mf. I. L. Nikolskaya. - M.: Upplysningen, 1991. - S. 80. - 383 sid. - ISBN 5-09-001287-3.

Rita med kompass och r?tsida Om