INTRODUKTION

Ekvationer i algebras skolg?ng intar en ledande plats. Mer tid ?gnas ?t deras studier ?n till n?got annat ?mne i skolans matematikkurs. Styrkan med ekvationsteorin ?r att den inte bara har teoretisk betydelse f?r kunskapen om naturlagar, utan ocks? tj?nar specifika praktiska syften. De flesta problem om rumsliga former och kvantitativa relationer i den verkliga v?rlden handlar om att l?sa olika typer av ekvationer. Genom att bem?stra s?tten att l?sa dem hittar m?nniskor svar p? olika fr?gor fr?n vetenskap och teknik (transport, jordbruk, industri, kommunikation, etc.). ?ven f?r bildandet av f?rm?gan att l?sa ekvationer ?r studentens sj?lvst?ndiga arbete med att l?ra sig att l?sa ekvationer av stor betydelse. N?r man studerar vilket ?mne som helst kan ekvationer anv?ndas som ett effektivt s?tt att konsolidera, f?rdjupa, upprepa och ut?ka teoretisk kunskap, f?r utveckling av kreativa matematiska aktiviteter hos elever.

I den moderna v?rlden anv?nds ekvationer i stor utstr?ckning inom olika grenar av matematiken, f?r att l?sa viktiga till?mpade problem. Detta ?mne k?nnetecknas av ett stort djup av presentation och rikedomen av de kopplingar som skapats med hj?lp av l?rande, den logiska giltigheten av presentationen. D?rf?r intar den en exceptionell position i ekvationsraden. Studenter b?rjar studera ?mnet "Square trinomials" som redan har samlat p? sig en del erfarenhet och ?ger ett ganska stort lager av algebraiska och allm?nna matematiska begrepp, begrepp och f?rdigheter. I stor utstr?ckning ?r det p? materialet i detta ?mne som det ?r n?dv?ndigt att syntetisera materialet relaterat till ekvationer, f?r att implementera principerna om historicism och tillg?nglighet.

Relevans?mnet ?r behovet av att implementera historicismens principer och bristen p? material f?r genomf?randet av detta p? ?mnet "L?sning av andragradsekvationer".

Forskningsproblem: identifiera historiskt material f?r att l?ra sig l?sa andragradsekvationer.

M?l: bildandet av id?er om att arbeta med andragradsekvationer i matematiklektioner, valet av en upps?ttning lektioner med inslag av historicism p? ?mnet "Kvadratiska ekvationer".

Studieobjekt: l?sa andragradsekvationer i ?rskurs 8 med hj?lp av element fr?n historicism.

Studie?mne: andragradsekvationer och utveckling av lektioner om att l?ra sig att l?sa andragradsekvationer med hj?lp av historiska material.

Uppgifter:

utf?ra en analys av vetenskaplig och metodologisk litteratur om forskningsproblemet;

analysera skolb?cker och belysa i dem platsen f?r att l?ra sig att l?sa andragradsekvationer;

plocka upp en upps?ttning lektioner om att l?sa andragradsekvationer med historiska material.

Forskningsmetoder:

analys av litteratur om ?mnet "L?sning av andragradsekvationer";

observation av elever under en lektion p? ?mnet "L?sa andragradsekvationer";

urval av material: lektioner i ?mnet "L?sa andragradsekvationer" med hj?lp av historisk referens.

§ 1. Ur andragradsekvationernas uppkomsts historia

Algebra uppstod i samband med l?sningen av olika problem med hj?lp av ekvationer. Vanligtvis i problem kr?vs det att hitta en eller flera ok?nda, samtidigt som man k?nner till resultaten av vissa ?tg?rder som utf?rs p? ?nskade och givna kvantiteter. S?dana problem reduceras till att l?sa en eller ett system av flera ekvationer, till att hitta de ?nskade med hj?lp av algebraiska operationer p? givna storheter. Algebra studerar de allm?nna egenskaperna hos ?tg?rder p? kvantiteter.

Vissa algebraiska tekniker f?r att l?sa linj?ra och andragradsekvationer var k?nda s? tidigt som f?r 4000 ?r sedan i det antika Babylon.

Andragradsekvationer i det antika Babylon

Behovet av att l?sa ekvationer inte bara av den f?rsta, utan ocks? av den andra graden i antiken orsakades av behovet av att l?sa problem relaterade till att hitta omr?den med land och markarbeten av milit?r natur, s?v?l som utvecklingen av astronomi och matematiken i sig. Babylonierna visste hur man l?ser andragradsekvationer runt 2000 f.Kr. Genom att till?mpa modern algebraisk notation kan vi s?ga att det i deras kilskriftstexter finns, f?rutom ofullst?ndiga, s?dana, till exempel, kompletta andragradsekvationer:

Regeln f?r att l?sa dessa ekvationer, som anges i de babyloniska texterna, sammanfaller i huvudsak med den moderna, men det ?r inte k?nt hur babylonierna kom till denna regel. N?stan alla kilskriftstexter som hittills hittats ger bara problem med l?sningar angivna i form av recept, utan indikation p? hur de hittats. Trots den h?ga utvecklingen av algebra i Babylon saknar kilskriftstexterna konceptet med ett negativt tal och allm?nna metoder f?r att l?sa andragradsekvationer.

Diophantus aritmetik inneh?ller ingen systematisk framst?llning av algebra, men den inneh?ller en systematisk serie problem, ?tf?ljda av f?rklaringar och l?sta genom att formulera ekvationer av olika grader.

N?r man sammanst?ller ekvationer v?ljer Diophantus skickligt ok?nda f?r att f?renkla l?sningen.

H?r finns till exempel en av hans uppgifter.

Uppgift 2. "Hitta tv? tal, och veta att deras summa ?r 20 och deras produkt ?r 96."

Diophantus argumenterar enligt f?ljande: det f?ljer av problemets villkor att de ?nskade talen inte ?r lika, eftersom om de var lika, s? skulle deras produkt inte vara lika med 96, utan med 100. S?ledes kommer en av dem att vara mer ?n h?lften av deras summa, dvs.
. Den andra ?r mindre, dvs.
. Skillnaden mellan dem
. D?rav ekvationen:

H?rifr?n
. Ett av de ?nskade siffrorna ?r 12, det andra ?r 8. L?sning
f?r Diophantus existerar inte, eftersom den grekiska matematiken bara visste positiva tal.

Om vi l?ser detta problem genom att v?lja ett av de ok?nda talen som det ok?nda, s? kan vi komma till l?sningen av ekvationen:

Det ?r tydligt att Diophantus f?renklar l?sningen genom att v?lja halva skillnaden av de ?nskade talen som det ok?nda; han lyckas reducera problemet till att l?sa en ofullst?ndig andragradsekvation.

Andragradsekvationer i Indien

Problem f?r andragradsekvationer finns redan i den astronomiska avhandlingen Aryabhattam, sammanst?lld 499 av den indiske matematikern och astronomen Aryabhatta. En annan indisk forskare, Brahmagupta (600-talet), beskrev den allm?nna regeln f?r att l?sa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form:

(1)

I ekvation (1) kan koefficienter vara negativa. Brahmaguptas styre sammanfaller i huvudsak med v?rt.

I Indien var offentliga t?vlingar f?r att l?sa sv?ra problem vanliga. I en av de gamla indiska b?ckerna s?gs f?ljande om s?dana t?vlingar: "Som solen ?vergl?nser stj?rnorna med sin briljans, s? kommer en l?rd person att ?vergl?nsa ?ran i offentliga m?ten, f?resl? och l?sa algebraiska problem." Uppgifterna var ofta kl?dda i poetisk form.

H?r ?r ett av problemen med den ber?mda indiska matematikern fr?n XII-talet. Bhaskara.

Bhaskaras l?sning indikerar att f?rfattaren var medveten om tv?v?rdigheten hos andragradsekvationers r?tter.

Ekvationen som motsvarar problem 3 ?r:

Bhaskara skriver under sken av:

och f?r att slutf?ra den v?nstra sidan av denna ekvation till kvadraten, l?gger han till 322 p? b?da sidorna och f?r d?:

Al-Khwarizmis kvadratiska ekvationer

Al-Khwarizmis algebraiska avhandling ger en klassificering av linj?ra och andragradsekvationer. F?rfattaren listar 6 typer av ekvationer, som uttrycker dem enligt f?ljande:

F?r Al-Khwarizmi, som undvek anv?ndningen av negativa tal, ?r termerna f?r var och en av dessa ekvationer adderingar, inte subtraktioner. I detta fall tas uppenbarligen inte h?nsyn till ekvationer som inte har positiva l?sningar. F?rfattaren beskriver metoderna f?r att l?sa dessa ekvationer med hj?lp av teknikerna al-jabr och al-muqabala. Hans beslut sammanfaller naturligtvis inte helt med v?rt. F?r att inte tala om det faktum att det ?r rent retoriskt, det b?r till exempel noteras att n?r man l?ser en ofullst?ndig andragradsekvation av den f?rsta typen tar Al-Khwarizmi, liksom alla matematiker f?re 1600-talet, inte h?nsyn till nollan. l?sning, f?rmodligen f?r att det i specifika praktiska uppgifter inte spelar n?gon roll. N?r man l?ser fullst?ndiga andragradsekvationer, anger Al-Khwarizmi reglerna f?r att l?sa dem med hj?lp av speciella numeriska exempel, och sedan deras geometriska bevis.

L?t oss ta ett exempel.

Uppgift 4. ”Kvadraten och talet 21 ?r lika med 10 r?tter. Hitta roten "(vilket betyder roten till ekvationen
).

L?sning: dela antalet r?tter p? mitten, du f?r 5, multiplicera 5 med sig sj?lv, subtrahera 21 fr?n produkten, 4 ?terst?r Ta roten av 4, du f?r 2. Subtrahera 2 fr?n 5, du f?r 3, detta blir ?nskad rot. Eller l?gg till 2 till 5, vilket ger 7, detta ?r ocks? en rot.

Al-Khwarizmis avhandling ?r den f?rsta bok som har kommit till oss, d?r klassificeringen av andragradsekvationer systematiskt presenteras och formler f?r deras l?sning ges.

Andragradsekvationer i EuropaXII- XVIIi.

Former f?r att l?sa andragradsekvationer p? modellen av Al-Khwarizmi i Europa beskrevs f?rst i "Abacusboken", skriven 1202. Den italienske matematikern Leonard Fibonacci. F?rfattaren utvecklade sj?lvst?ndigt n?gra nya algebraiska exempel p? probleml?sning och var den f?rsta i Europa som n?rmade sig inf?randet av negativa tal.

Denna bok bidrog till spridningen av algebraisk kunskap inte bara i Italien utan ?ven i Tyskland, Frankrike och andra europeiska l?nder. M?nga uppgifter fr?n denna bok ?verf?rdes till n?stan alla europeiska l?rob?cker p? 1300-1600-talen. Allm?n regel f?r att l?sa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form
med alla m?jliga kombinationer av tecken och koefficienter b, c, formulerades i Europa 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en allm?n h?rledning av formeln f?r att l?sa en andragradsekvation, men Vieta k?nde bara igen positiva r?tter. De italienska matematikerna Tartaglia, Cardano, Bombelli var bland de f?rsta p? 1500-talet. ta h?nsyn, f?rutom positiva, och negativa r?tter. Endast under XVII-talet. tack vare arbeten av Girard, Descartes, Newton och andra vetenskapsm?n tar metoden f?r att l?sa andragradsekvationer en modern form.

Ursprunget till algebraiska metoder f?r att l?sa praktiska problem ?r kopplade till vetenskapen om den antika v?rlden. Som bekant fr?n matematikens historia hade en betydande del av problemen av matematisk natur, l?sta av egyptiska, sumeriska, babyloniska skriftl?rda-datorer (XX-VI ?rhundraden f.Kr.), en ber?knad karakt?r. Men ?ven d?, fr?n tid till annan, uppstod problem d?r det ?nskade v?rdet av en kvantitet specificerades av n?gra indirekta f?rh?llanden som kr?ver, fr?n v?r moderna synvinkel, formuleringen av en ekvation eller ett ekvationssystem. Inledningsvis anv?ndes aritmetiska metoder f?r att l?sa s?dana problem. Senare b?rjade b?rjan av algebraiska representationer bildas. Babyloniska minir?knare kunde till exempel l?sa problem som ur modern klassificerings synvinkel reduceras till ekvationer av andra graden. En metod f?r att l?sa textproblem skapades, som senare fungerade som grund f?r att lyfta fram den algebraiska komponenten och dess oberoende studie.

Denna studie utf?rdes redan i en annan era, f?rst av arabiska matematiker (VI-X ?rhundraden e.Kr.), som pekade ut karakteristiska ?tg?rder genom vilka ekvationer reducerades till en standardform, reducering av liknande termer, ?verf?ring av termer fr?n en del av ekvation till en annan med ett teckenbyte. Och sedan av de europeiska matematikerna fr?n ren?ssansen, som ett resultat av en l?ng s?kning, skapade de spr?ket f?r modern algebra, anv?ndningen av bokst?ver, inf?randet av symboler f?r aritmetiska operationer, parenteser, etc. Vid ?rsskiftet den 16- 1600-talet. Algebra som en specifik del av matematiken, som har sitt eget ?mne, metod, anv?ndningsomr?den, har redan bildats. Dess vidareutveckling, fram till v?r tid, bestod i att f?rb?ttra metoderna, utvidga till?mpningsomr?det, f?rtydliga begreppen och deras samband med begreppen inom andra grenar av matematiken.

S?, med tanke p? vikten och vidstr?ckningen av materialet som ?r associerat med begreppet en ekvation, ?r dess studie i modern matematikmetod associerad med tre huvudomr?den f?r dess f?rekomst och funktion.

Historia om utvecklingen av l?sningar till andragradsekvationer

Aristoteles

D.I. Mendeleev

Hitta sidorna av ett f?lt som har formen av en rektangel om dess area ?r 12 , a

L?t oss ?verv?ga detta problem.

• L?t x vara l?ngden p? f?ltet, sedan dess bredd,
• ?r dess omr?de.
• L?t oss g?ra en andragradsekvation:
• Papyrusen ger regeln f?r hans beslut: "Dela 12 med".
• 12: .
• S?, .
• "L?ngden p? f?ltet ?r 4", - anges i papyrus.

• Reducerad andragradsekvation
• var finns n?gra reella tal.

I en av de babyloniska uppgifterna kr?vdes det ocks? att best?mma l?ngden p? ett rektangul?rt f?lt (l?t oss beteckna det) och dess bredd ().

Om du l?gger till l?ngden och tv? bredder av ett rektangul?rt f?lt f?r du 14, och f?ltets yta ?r 24. Hitta dess sidor.

L?t oss g?ra ett ekvationssystem:

H?rifr?n f?r vi en andragradsekvation.

F?r att l?sa det l?gger vi till ett visst tal till uttrycket,

f?r att f? en hel fyrkant:

F?ljaktligen.

I allm?nhet den andragradsekvationen

Har tv? r?tter:

• DIOPHANT
• En antik grekisk matematiker som troligen levde p? 300-talet f.Kr. e. F?rfattaren till "Aritmetik" - en bok ?gnad ?t l?sningen av algebraiska ekvationer.
• Numera f?rst?s "diofantiska ekvationer" vanligtvis som ekvationer med heltalskoefficienter, vars l?sningar m?ste hittas bland heltal. Diophantus var ocks? en av de f?rsta som utvecklade matematisk notation.

"Hitta tv? tal och veta att deras summa ?r 20 och deras produkt ?r 96."

Ett av talen kommer att vara mer ?n h?lften av deras summa, det vill s?ga 10+, det andra mindre, det vill s?ga 10-.

D?rav ekvationen ()()=96

H?r ?r ett av de ber?mdas problem

Indisk matematiker Bhaskara fr?n 1100-talet:

Frisk flock av apor

?ta gott, ha kul.

De kvadrerade del ?tta

Ha kul p? ?ngen.

Och tolv i vinstockar ...

De b?rjade hoppa, h?nga ...

Hur m?nga apor var det

S?ger du mig, i den h?r flocken?

• Bhaskaras l?sning indikerar att han var medveten om tv?v?rdigheten hos andragradsekvationers r?tter.
• Motsvarande l?sning p? ekvationen

• Bhaskara skriver i formul?ret och f?r att g?ra den v?nstra sidan av denna ekvation till en kvadrat l?gger vi till 32 2 p? b?da sidorna,

"AL-JABR" - ?TERST?LLNING - AL-KHOREZMI KALLADE UTSLUTNING FR?N B?DA DELARNA AV EKVATIONEN F?R NEGATIVA MEDLEMMAR GENOM ATT L?GA TILL LIKA MEDLEMMAR MEN MOTST?ND I TECKNET.

"AL-MUKABALA" - OPPOSITION - MINSKNING I DELARNA AV SAMMA MEDLEMMARS EKVATION.

REGELN F?R "AL-JABR"

VID L?SNING AV EKVATIONEN

OM I DEL ETT,

DET spelar ingen roll VAD

M?T NEGATIV MEDLEM,

VI ?R TILL B?DA DELAR

VI GER EN LIKA MEDLEM,

ENDAST MED EN ANNAN SKYLT,

OCH VI KOMMER ATT HITTA ETT POSITIVT RESULTAT.

1) kvadraterna ?r lika med r?tterna, det vill s?ga;

2) rutor ?r lika med ett tal, det vill s?ga;

3) r?tterna ?r lika med antalet, det vill s?ga;

4) kvadrater och tal ?r lika med r?tterna, d.v.s.;

5) kvadrater och r?tter ?r lika med ett tal, d.v.s.;

6) r?tterna och talen ?r lika med kvadrater, dvs.

En uppgift . Kvadraten och talet 21 ?r lika med 10 r?tter. Hitta en rot.

L?sning. Dela antalet r?tter p? mitten - du f?r 5, multiplicera 5 med sig sj?lv,

Subtrahera 21 fr?n produkten, l?mna 4.

Ta kvadratroten ur 4 och du f?r 2.

Subtrahera 2 fr?n 5 - du f?r 3, detta blir den ?nskade roten. Eller l?gg till 5, vilket ger 7, detta ?r ocks? en rot.

Fibonacci f?ddes i det italienska handelscentrumet Pisa, f?rmodligen p? 1170-talet. . 1192 uts?gs han att representera Pisan handelskolonin i Nordafrika. P? beg?ran av sin far flyttade han till Algeriet och studerade matematik d?r. ?r 1200 ?terv?nde Leonardo till Pisa och b?rjade skriva sitt f?rsta verk, The Book of the Abacus. [ . Enligt matematikhistorikern A.P. Yushkevich The book of the abacus” h?jer sig kraftigt ?ver den europeiska aritmetiska och algebraiska litteraturen under XII-XIV-?rhundradena genom m?ngfalden och styrkan av metoder, rikedomen av problem, bevisen p? presentation ... Efterf?ljande matematiker drog i stor utstr?ckning fr?n den b?de problem och metoder f?r att l?sa dem ».

L?t oss plotta funktionen

• Grafen ?r en parabel vars grenar ?r riktade upp?t, eftersom

2) Parabolens vertexkoordinater

W. Sauer talade :

”Det ?r ofta mer anv?ndbart f?r en elev i algebra att l?sa samma problem p? tre olika s?tt ?n att l?sa tre eller fyra olika problem. Genom att l?sa ett problem med olika metoder ?r det m?jligt att genom j?mf?relse ta reda p? vilken som ?r kortare och effektivare. Det ?r s? erfarenhet g?rs."

"Staden ?r en enhet av de olikheter"

Aristoteles

"En siffra uttryckt med ett decimaltecken kommer att l?sas av en tysk, en rysk, en arab och en j?nkare p? samma s?tt"

Det finns ingen HTML-version av verket ?nnu.

Liknande dokument

Historien om utvecklingen av formler f?r r?tter till andragradsekvationer. Andragradsekvationer i det antika Babylon. L?sning av andragradsekvationer av Diophantus. Andragradsekvationer i Indien, Khorezmia och Europa under 1200 - 1600-talen. Vietas sats, modern algebraisk notation.

test, tillagt 2010-11-27


A History of Quadratic Equations: Ekvationer i det antika Babylon och Indien. Formler f?r en j?mn koefficient vid x. Andragradsekvationer av viss karakt?r. Vietas sats f?r polynom av h?gre grader. Studie av biquadratiska ekvationer. K?rnan i Cordanos formel.

abstrakt, tillagt 2009-09-05


H?rledning av formeln f?r att l?sa en andragradsekvation i matematikens historia. J?mf?rande analys av teknologier av olika metoder f?r att l?sa ekvationer av andra graden, exempel p? deras till?mpning. En kort teori om att l?sa andragradsekvationer, sammanst?lla en problembok.

abstrakt, tillagt 2012-12-18


Matematikens betydelse i v?rt liv. Kontots historia. Utvecklingen av metoder f?r ber?kningsmatematik f?r n?rvarande. Anv?ndningen av matematik i andra vetenskaper, rollen av matematisk modellering. Tillst?ndet f?r matematisk utbildning i Ryssland.

artikel, tillagd 2010-05-01


Grekisk matematik. Medeltid och ren?ssans. B?rjan av modern matematik. Modern matematik. Matematik bygger inte p? logik, utan p? sund intuition. Problemen med matematikens grunder ?r filosofiska.

abstrakt, tillagt 2006-06-09


Historien om utvecklingen av matematisk vetenskap i Europa under 6-1300-talen, dess f?retr?dare och prestationer. Matematikens utveckling under ren?ssansen. Skapande av bokstavlig kalkyl, aktivitet av Fran?ois Vieta. F?rb?ttringar i datoranv?ndning i slutet av 1500-talet - b?rjan av 1500-talet

presentation, tillagd 2015-09-20


Genomg?ng av utvecklingen av europeisk matematik under XVII-XVIII-talen. Oj?mn utveckling av europeisk vetenskap. Analytisk geometri. Skapande av matematisk analys. Vetenskapsskolan i Leibniz. Allm?nna egenskaper hos vetenskapen under XVIII-talet. Riktningar f?r utveckling av matematik.

presentation, tillagd 2015-09-20


Perioden f?r matematikens f?delse (fram till 700-500-talen f.Kr.). Tid f?r matematik av konstanter (7: e-5: e ?rhundradena f.Kr. - XVII ?rhundradet e.Kr.). Matematik f?r variabler (XVII-XIX ?rhundraden). Modern period av utveckling av matematik. Funktioner i datormatematik.

presentation, tillagd 2015-09-20


Prestationerna av antika grekiska matematiker som levde mellan 600-talet f.Kr. och 500-talet e.Kr. Funktioner i den inledande perioden av utveckling av matematik. Den pytagoreiska skolans roll i utvecklingen av matematik: Platon, Eudoxus, Zeno, Demokritos, Euklid, Arkimedes, Apollonius.

test, tillagt 2010-09-17


Historien om bildandet av matematik som en vetenskap. Period av element?r matematik. Perioden f?r skapandet av variablers matematik. Skapande av analytisk geometri, differential- och integralkalkyl. Utvecklingen av matematik i Ryssland under XVIII-XIX ?rhundradena.

Hem > Rapportera

MOU gymnasieskola uppkallad efter Sovjetunionens hj?ltar
Sotnikova A.T. och Shepeleva N. G. s. Uritskoe

Rapport om ?mnet:

"Historien om uppkomsten

Kvadratisk ekvation"

F?rberedd av:Izotova Julia,
Ampleeva Elena,
Shepelev Nikolay,

Dyachenko Yuri.

?h matematik. I ?rhundraden ?r du t?ckt av h?rlighet,

Belysning av alla jordiska ljusk?llor.

Du majest?tiska drottning

Inte konstigt att Gauss d?pte sig.

Strikt, logiskt, majest?tiskt,

Smal under flygning, som en pil,

Din eviga h?rlighet

Genom tiderna fick hon od?dlighet.

Vi prisar det m?nskliga sinnet

Hans magiska h?nders verk,

Denna tids hopp

Drottning av alla jordiska vetenskaper.

Vi vill ber?tta idag

H?ndelsehistoria

Vad varje elev borde veta

Andragradsekvationers historia.

Euklid, p? III-talet f.Kr. e. i hans "Principer" ?gnas ?t geometrisk algebra hela den andra boken, som inneh?ller allt n?dv?ndigt material f?r att l?sa andragradsekvationer.

Euklid (Enkleidiz), antik grekisk matematiker, f?rfattare till den f?rsta teoretiska avhandlingen om matematik som har kommit till oss

Information om Euklid ?r ytterst knapph?ndig. Det kan endast anses tillf?rlitligt att hans vetenskapliga verksamhet ?gde rum i Alexandria p? 300-talet f.Kr. e. Euklid ?r den f?rsta matematikern i den alexandrinska skolan. Hans huvudverk "Beginnings" (i latiniserad form - "Elements") inneh?ller en presentation av planimetri, stereometri och ett antal fr?gor inom talteorin; i den sammanfattade han den grekiska matematikens tidigare utveckling och lade grunden f?r matematikens vidare utveckling. H?ger - Grekisk matematiker och ingenj?r f?r f?rsta g?ngen i Grekland p? 1000-talet e.Kr. ger ett rent algebraiskt s?tt att l?sa en andragradsekvation.

H?ger av Alexandria; Heron, I c. n. t.ex. grekisk mekaniker och matematiker. Tidpunkten f?r hans liv ?r os?ker, det ?r bara k?nt att han citerade Arkimedes (som dog 212 f.Kr.), sj?lv citerades han av Pappus (ca 300 e.Kr.). I dagsl?get ?r den r?dande uppfattningen att han levde p? 1000-talet. n. e. Han studerade geometri, mekanik, hydrostatik, optik; uppfann prototypen av ?ngmaskin och precisionsutj?mningsinstrument. De mest popul?ra automaterna var automatiska teatrar, font?ner och andra. G. beskrev teodoliten, f?rlitade sig p? statikens och kinetikens lagar, och gav en beskrivning av spaken, blocket, propellern och milit?rfordon. Inom optiken formulerade han lagarna f?r ljusreflektion, i matematik - metoder f?r att m?ta de viktigaste geometriska formerna. G.s huvudverk ?r Ietrik, Pneumatik, Autopoietik, Mekanik (franska; verket har bevarats helt p? arabiska), Catoptics (vetenskapen om speglar; den har bevarats endast i latinsk ?vers?ttning), etc. G. anv?nde prestationer av sina f?reg?ngare: Euclid, Archimedes, Strato of Lampsacus. Hans stil ?r enkel och tydlig, men ibland f?r lakonisk eller ostrukturerad. Intresset f?r G.s skrifter uppstod p? III-talet. n. e. Grekiska och sedan bysantinska och arabiska studenter kommenterade och ?versatte hans verk.

Diophantus- en grekisk vetenskapsman p? 300-talet e.Kr., utan att tillgripa geometri, l?ste n?gra andragradsekvationer p? ett rent algebraiskt s?tt, och sj?lva ekvationen och dess l?sning skrevs i symbolisk form

”Jag ska ber?tta hur den grekiske matematikern Diophantus komponerade och l?ste andragradsekvationer. H?r ?r till exempel en av hans uppgifter:"Hitta tv? tal och veta att deras summa ?r 20 och deras produkt ?r 96."

1. Av problemets tillst?nd f?ljer att de ?nskade siffrorna inte ?r lika, eftersom om de var lika, skulle deras produkt inte vara 96, utan 100.

2. Allts?. en av dem kommer att vara mer ?n h?lften av sin summa, dvs. 10 + x, den andra ?r mindre, dvs. 10 - x.

3. Skillnaden mellan dem ?r 2x.

4. D?rav ekvationen (10 + x) * (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96 x 2 - 4 = 0

5. Svar x = 2. Ett av de ?nskade siffrorna ?r 12,
annat - 8. L?sning x = - 2 f?r Diophantus existerar inte, eftersom Grekisk matematik k?nde bara positiva tal." Diophantus visste hur man l?ser mycket komplexa ekvationer, anv?nde bokstavsbeteckningar f?r ok?nda, introducerade en speciell symbol f?r ber?kning, anv?nde f?rkortningar av ord. Bhaskare - Akaria- Indisk matematiker p? XII-talet e.Kr. uppt?ckte en allm?n metod f?r att l?sa andragradsekvationer.

L?t oss analysera ett av problemen med indiska matematiker, till exempel problemet med Bhaskara:

"En flock apor har roligt: en ?ttondel av det totala antalet av dem i en fyrkant leker i skogen, de ?terst?ende tolv skriker p? toppen av h?gen. S?g mig, hur m?nga apor finns det?"

F?r att kommentera problemet s? skulle jag vilja s?ga att ekvationen (x/8) 2 + 12 = x motsvarar problemet. Bhaskara skriver som x 2 - 64x \u003d - 768. L?gger ruta 32 till b?da delarna, kommer ekvationen att ha formen:

x 2 - 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x - 32) 2 = 256

Efter att ha extraherat kvadratroten f?r vi: x - 32 = 16.

"I det h?r fallet, s?ger Bhaskara, ?r de negativa enheterna i den f?rsta delen s?dana att enheterna i den andra delen ?r mindre ?n dem, och d?rf?r kan den senare betraktas som b?de positiv och negativ, och vi f?r det dubbla v?rdet av det ok?nda : 48 och 16."

Det m?ste dras slutsatsen att Bhaskaras l?sning indikerar att han k?nde till tv?v?rdigheten hos andragradsekvationers r?tter.

Det f?resl?s att l?sa det gamla indiska Bhaskara-problemet:

"Kvadraten p? en femtedel av aporna, reducerad med tre, g?mde sig i grottan, en apa kl?ttrade i ett tr?d, var synlig. Hur m?nga apor fanns det? Det b?r noteras att detta problem l?ses element?rt och reduceras till en andragradsekvation.
Al - Khorezmi - en arabisk forskare som 825 skrev boken "The Book of Restoration and Opposition." Det var v?rldens f?rsta l?robok i algebra. Han gav ocks? sex typer av andragradsekvationer och f?r var och en av de sex ekvationerna formulerade han i verbal form en speciell regel f?r att l?sa den. I avhandlingen listar Khorezmi 6 typer av ekvationer, som uttrycker dem enligt f?ljande:

1. "Kvadrater ?r lika med r?tter", d.v.s. axe 2 = in.

2. "Kvadrater ?r lika med tal", d.v.s. ax 2 = s.

3. "R?tterna ?r lika med antalet", d.v.s. ah = s.

4. "Kvadrater och tal ?r lika med r?tterna", d.v.s. axe 2 + c \u003d in.

5. "Kvadrater och r?tter ?r lika med antalet", d.v.s. ax 2 + in = s.

6. "R?tter och tal ?r lika med kvadrater", d.v.s. in + c \u003d ah 2.

L?t oss analysera problemet med al-Khwarizmi, som reduceras till att l?sa en andragradsekvation. "En kvadrat och ett tal ?r lika med r?tterna." Till exempel ?r en kvadrat och talet 21 lika med 10 r?tter av samma kvadrat, d.v.s. fr?gan ?r, av vad bildas en kvadrat, som, efter att ha lagt till 21 till den, blir lika med 10 r?tter av samma kvadrat?

Och med den fj?rde formeln f?r al-Khwarizmi m?ste eleverna skriva ner: x 2 + 21 = 10x

Fran?ois Viet - Fransk matematiker, formulerade och bevisade satsen om summan och produkten av r?tterna till den givna andragradsekvationen.

Konsten jag presenterar ?r ny, eller har ?tminstone blivit s? korrumperad av barbarernas inflytande att jag har sett det l?mpligt att ge den ett helt nytt utseende.

Fran?ois Viet

?nd? f?ddes Fran?ois (1540-13.12. 1603) i staden Fontenay-le-Comte i provinsen Poitou, inte l?ngt fr?n den ber?mda f?stningen La Rochelle. Efter att ha tagit en juristexamen arbetade han fr?n nitton ?rs ?lder framg?ngsrikt som advokat i sin hemstad. Som advokat ?tnj?t Viet prestige och respekt bland befolkningen. Han var en mycket utbildad person. Han kunde astronomi och matematik och ?gnade all sin lediga tid ?t dessa vetenskaper.

Vietas fr?msta passion var matematik. Han studerade djupt verken av klassikerna Archimedes och Diophantus, de omedelbara f?reg?ngarna till Cardano, Bombelli, Stevin och andra. Vieta beundrade dem inte bara, han s?g ett stort fel i dem, vilket var sv?righeten att f?rst? p? grund av verbal symbolik: N?stan alla handlingar och tecken registrerades i ord, det fanns ingen antydan om de bekv?ma, n?stan automatiska reglerna som vi nu anv?nder . Det var om?jligt att skriva ner och d?rf?r b?rja i allm?n form, algebraiska j?mf?relser eller andra algebraiska uttryck. Varje typ av ekvation med numeriska koefficienter l?stes enligt en speciell regel. D?rf?r var det n?dv?ndigt att bevisa att det finns s?dana generella ?tg?rder p? alla nummer som inte beror p? dessa siffror i sig. Viet och hans anh?ngare slog fast att det inte spelar n?gon roll om numret i fr?ga ?r antalet objekt eller l?ngden p? segmentet. Huvudsaken ?r att det ?r m?jligt att utf?ra algebraiska operationer med dessa siffror och som ett resultat ?terigen f? siffror av samma slag. D?rf?r kan de betecknas med n?gra abstrakta tecken. Viet gjorde just det. Han introducerade inte bara sin bokstavliga kalkyl, utan gjorde en i grunden ny uppt?ckt och satte sig som m?l att studera inte siffror, utan handlingar p? dem. Detta s?tt att skriva gjorde det m?jligt f?r Vieta att g?ra viktiga uppt?ckter i studiet av de allm?nna egenskaperna hos algebraiska ekvationer. Det ?r ingen slump att Vieta kallas "fadern" till algebra, bokstavssymbolernas grundare.

Informationsresurser:

http :// som. fio. sv/ Resurser/ Karpuhina/2003/12/ Avslutad%20 arbete/ Konsert/ index1. htm

http :// sidor. marsu. sv/ iac/ skola/ s4/ sida74. html

Behovet av att l?sa ekvationer inte bara av den f?rsta, utan ocks? av den andra graden i antiken orsakades av behovet av att l?sa problem relaterade till att hitta omr?den med land och markarbeten av milit?r natur, s?v?l som utvecklingen av astronomi och matematiken i sig. Andragradsekvationer kunde l?sa omkring 2000 f.Kr. e. Babyloniernas.

Genom att till?mpa modern algebraisk notation kan vi s?ga att det i deras kilskriftstexter finns, f?rutom ofullst?ndiga, s?dana, till exempel, kompletta andragradsekvationer:

X 2 + X = *; X 2 - X = 14,5

Regeln f?r att l?sa dessa ekvationer, som anges i de babyloniska texterna, sammanfaller i huvudsak med den moderna, men det ?r inte k?nt hur babylonierna kom till denna regel. N?stan alla kilskriftstexter som hittills hittats ger bara problem med l?sningar angivna i form av recept, utan indikation p? hur de hittats.

Trots den h?ga utvecklingen av algebra i Babylon saknar kilskriftstexterna konceptet med ett negativt tal och allm?nna metoder f?r att l?sa andragradsekvationer.

Hur Diophantus sammanst?llde och l?ste andragradsekvationer.

Diophantus aritmetik inneh?ller ingen systematisk framst?llning av algebra, men den inneh?ller en systematisk serie problem, ?tf?ljda av f?rklaringar och l?sta genom att formulera ekvationer av olika grader.

N?r man sammanst?ller ekvationer v?ljer Diophantus skickligt ok?nda f?r att f?renkla l?sningen.

H?r finns till exempel en av hans uppgifter.

Uppgift 11."Hitta tv? tal och veta att deras summa ?r 20 och deras produkt ?r 96"

Diophantus argumenterar enligt f?ljande: det f?ljer av problemets villkor att de ?nskade talen inte ?r lika, eftersom om de var lika, s? skulle deras produkt inte vara lika med 96, utan med 100. S?ledes kommer en av dem att vara mer ?n h?lften av deras summa, dvs. 10+x, den andra ?r mindre, dvs. 10-tal. Skillnaden mellan dem 2x.

D?rav ekvationen:

(10 + x)(10 - x) = 96

H?rifr?n x = 2. Ett av de ?nskade numren ?r 12 , ?vrig 8 . L?sning x = -2 f?r Diophantus existerar inte, eftersom den grekiska matematiken bara visste positiva tal.

Om vi l?ser detta problem genom att v?lja ett av de ?nskade talen som det ok?nda, kommer vi till l?sningen av ekvationen

y(20 - y) = 96,

p? 2 - 20 ?r + 96 = 0. (2)

Det ?r tydligt att Diophantus f?renklar l?sningen genom att v?lja halva skillnaden av de ?nskade talen som det ok?nda; han lyckas reducera problemet till att l?sa en ofullst?ndig andragradsekvation (1).

Andragradsekvationer i Indien

Problem f?r andragradsekvationer finns redan i det astronomiska omr?det "Aryabhattam", sammanst?llt 499 av den indiske matematikern och astronomen Aryabhatta. En annan indisk forskare, Brahmagupta (600-talet), beskrev den allm?nna regeln f?r att l?sa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form:

?h 2 + bx = c, a > 0. (1)

I ekvation (1), koefficienterna, utom f?r a, kan ocks? vara negativt. Brahmaguptas styre sammanfaller i huvudsak med v?rt.

I det antika Indien var offentliga t?vlingar f?r att l?sa sv?ra problem vanliga. I en av de gamla indiska b?ckerna s?gs f?ljande om s?dana t?vlingar: "Som solen ?vergl?nser stj?rnorna med sin glans, s? kommer en l?rd person att ?vergl?nsa en annans ?ra vid offentliga m?ten, f?resl? och l?sa algebraiska problem." Uppgifterna var ofta kl?dda i poetisk form.

H?r ?r ett av problemen med den ber?mda indiska matematikern fr?n XII-talet. Bhaskara.

Uppgift 13.

"En fr?sch flock apor och tolv i vinstockar ...

Har ?tit kraft, haft kul. De b?rjade hoppa, h?nga ...

Del ?tta av dem i en fyrkant Hur m?nga apor fanns det,

Ha kul p? ?ngen. S?ger du mig, i den h?r flocken?

Bhaskaras l?sning indikerar att han k?nde till tv?v?rdigheten hos andragradsekvationers r?tter (fig. 3).

Ekvationen som motsvarar problem 13 ?r:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under sken av:

X 2 - 64x = -768

och f?r att g?ra den v?nstra sidan av denna ekvation till en kvadrat l?gger han till p? b?da sidorna 32 2 , f?r d?:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, x 2 = 48.