• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt.. Algebra ir analiz?s u?uomazgos: vadov?lis bendrojo lavinimo ?staig? 10-11 klasei.
• Gusevas V.A., Mordkovi?ius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems ? technikos mokyklas).

Paskutiniai vaizdo ?ra?ai i? ilgos logaritmini? lyg?i? sprendimo pamok? serijos. ?? kart? vis? pirma dirbsime su logaritmu ODZ – b?tent d?l neteisingos apibr??imo srities apskaitos (ar net ignoravimo) sprend?iant tokias problemas pasitaiko daugiausia klaid?.

?ioje trumpoje vaizdo pamokoje mes analizuosime logaritm? sud?ties ir atimties formuli? taikym?, taip pat nagrin?sime trupmenines racionali?sias lygtis, d?l kuri? daugelis student? taip pat turi problem?.

Kas bus aptarta? Pagrindin? formul?, su kuria nor??iau susidoroti, atrodo taip:

log a (f g ) = log a f + log a g

Tai yra standartinis per?jimas nuo sandaugos prie logaritm? sumos ir atvirk??iai. J?s tikriausiai ?inote ?i? formul? nuo pat logaritm? tyrimo prad?ios. Ta?iau ?ia yra viena kli?tis.

Kol kintamieji a , f ir g yra ?prasti skai?iai, problem? n?ra. ?i formul? puikiai veikia.

Ta?iau kai tik vietoj f ir g atsiranda funkcijos, i?kyla apibr??imo srities i?pl?timo arba susiaurinimo problema, priklausomai nuo to, kokiu b?du konvertuoti. Spr?skite patys: kair?je para?ytame logaritme apibr??imo sritis yra tokia:

fg > 0

Ta?iau de?in?je para?ytoje sumoje apibr??imo sritis jau ?iek tiek skiriasi:

f > 0

g > 0

?is reikalavim? rinkinys yra grie?tesnis nei pradinis. Pirmuoju atveju mus tenkins variantas f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 vykdomas).

Taigi, pereinant nuo kairiosios konstrukcijos prie de?iniosios, apibr??imo sritis siaur?ja. Jei i? prad?i? tur?tume sum? ir j? perra?ytume kaip sandaug?, tada apibr??imo sritis i?siple?ia.

Kitaip tariant, pirmuoju atveju galime netekti ?akn?, o antruoju – gauti papildom?. ? tai reikia atsi?velgti sprend?iant realias logaritmines lygtis.

Taigi pirmoji u?duotis yra tokia:

Kair?je matome logaritm? sum? toje pa?ioje baz?je. Tod?l ?iuos logaritmus galima prid?ti:

Kaip matote, de?in?je mes pakeit?me nul? pagal formul?:

a = log b b a

Dar ?iek tiek pertvarkykime savo lygt?:

log 4 (x – 5) 2 = log 4 1

Prie? mus yra kanonin? logaritmin?s lygties forma, galime i?braukti log ?enkl? ir sulyginti argumentus:

(x – 5) 2 = 1

|x-5| = 1

Atkreipkite d?mes?: i? kur atsirado modulis? Leiskite jums priminti, kad tikslaus kvadrato ?aknis yra tiksliai lygi moduliui:

Tada i?sprend?iame klasikin? lygt? su moduliu:

|f| = g (g > 0) =>f = ±g

x - 5 = ±1 => x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

?tai du kandidatai ? atsakym?. Ar jie yra pradin?s logaritmin?s lygties sprendiniai? Negali b?ti!

Mes neturime teis?s palikti visko taip ir u?sira?yti atsakym?. Pa?velkite ? ?ingsn?, kai logaritm? sum? pakei?iame vienu argument? sandaugos logaritmu. Problema ta, kad originaliose i?rai?kose turime funkcijas. Tod?l tur?t? b?ti reikalaujama:

x(x - 5) > 0; (x – 5)/x > 0.

Kai transformavome gamin?, gaudami tiksl? kvadrat?, pasikeit? reikalavimai:

(x – 5) 2 > 0

Kada ?is reikalavimas ?vykdytas? Taip, beveik visada! I?skyrus atvej?, kai x - 5 = 0. Tai yra, nelygyb? bus suma?inta iki vieno ta?ko:

x - 5 ? 0 => x ? 5

Kaip matote, apibr??imo sritis i?sipl?t?, apie kuri? kalb?jome pa?ioje pamokos prad?ioje. Tod?l gali atsirasti ir papildom? ?akn?.

Kaip i?vengti ?i? papildom? ?akn? atsiradimo? Tai labai paprasta: ?i?rime ? gautas ?aknis ir lyginame jas su pradin?s lygties sritimi. Suskai?iuokime:

x (x - 5) > 0

I?spr?sime intervalo metodu:

x (x - 5) = 0 => x = 0; x = 5

Gautus skai?ius pa?ymime tiesia linija. Visi ta?kai yra perbraukti, nes nelygyb? yra grie?ta. Imame bet kok? skai?i?, didesn? nei 5, ir pakei?iame:

Mus domina intervalai (-?; 0) ? (5; ?). Jei atkarpoje pa?ym?sime savo ?aknis, pamatysime, kad x = 4 mums netinka, nes ?i ?aknis yra u? pradin?s logaritmin?s lygties srities.

Gr??tame prie populiacijos, i?braukiame ?akn? x \u003d 4 ir u?ra?ome atsakym?: x \u003d 6. Tai galutinis atsakymas ? pradin? logaritmin? lygt?. Viskas, u?duotis i?spr?sta.

Mes pereiname prie antrosios logaritmin?s lygties:

Mes tai i?sprend?iame. Atkreipkite d?mes?, kad pirmasis narys yra trupmena, o antrasis yra ta pati trupmena, bet apversta. Nei?sig?skite lgx i?rai?kos – tai tik 10 bazini? logaritm?, galime para?yti:

lgx = log 10 x

Kadangi turime dvi apverstas trupmenas, si?lau ?vesti nauj? kintam?j?:

Tod?l m?s? lygtis gali b?ti perra?yta taip:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 – 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

Kaip matote, trupmenos skaitiklis yra tikslus kvadratas. Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis:

(t – 1) 2 = 0; t ? 0

I?sprend?iame pirm?j? lygt?:

t - 1 = 0;

t = 1.

?i vert? atitinka antr?j? reikalavim?. Tod?l galima teigti, kad mes visi?kai i?sprend?me savo lygt?, bet tik kintamojo t at?vilgiu. Dabar prisiminkime, kas yra t:

Gavome santyk?:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx - lgx = -1

logx = -1

Pateikiame ?i? lygt? ? kanonin? form?:

lgx = lg 10 -1

x = 10 -1 = 0,1

D?l to mes gavome vienintel? ?akn?, kuri teori?kai yra pradin?s lygties sprendimas. Ta?iau ?aiskime saugiai ir i?ra?ykime pradin?s lygties srit?:

Tod?l m?s? ?aknis atitinka visus reikalavimus. Mes radome pradin?s logaritmin?s lygties sprendim?. Atsakymas: x = 0,1. Problema i?spr?sta.

?iandienos pamokoje yra tik vienas esminis dalykas: naudodamiesi per?jimo nuo sandaugos prie sumos formul? ir atvirk??iai, nepamir?kite, kad apibr??imo sritis gali susiaur?ti arba i?pl?sti, priklausomai nuo to, kuria kryptimi pereinama.

Kaip suprasti, kas vyksta: susitraukimas ar i?sipl?timas? Labai paprasta. Jei anks?iau funkcijos buvo kartu, o dabar tapo atskiros, tai apibr??imo apimtis susiaur?jo (nes atsirado daugiau reikalavim?). Jei i? prad?i? funkcijos buvo atskiros, o dabar yra kartu, tada apibr??imo sritis i?ple?iama (produktui keliama ma?iau reikalavim? nei atskiriems veiksniams).

Atsi?velgdamas ? ?i? pastab?, nor??iau pasteb?ti, kad antrajai logaritminei lyg?iai ?i? transformacij? visi?kai nereikia, t.y. argument? niekur nesudedame ir nedauginame. Ta?iau ?ia nor??iau atkreipti j?s? d?mes? ? dar vien? nuostab? triuk?, leid?iant? gerokai supaprastinti sprendim?. Kalbama apie kintamojo keitim?.

Ta?iau atminkite, kad joks pakeitimas nei?laisvina m?s? nuo taikymo srities. ?tai kod?l rad? visas ?aknis, mes nebuvome pernelyg ting?s ir gr??ome prie pradin?s lygties, kad surastume jos ODZ.

Da?nai kei?iant kintam?j? erzina klaida, kai mokiniai randa t reik?m? ir mano, kad sprendimas baigtas. Negali b?ti!

Surad? t reik?m?, turite gr??ti prie pradin?s lygties ir pamatyti, k? tiksliai pa?ym?jome ?ia raide. D?l to turime i?spr?sti dar vien? lygt?, kuri vis d?lto bus daug paprastesn? nei pradin?.

B?tent tai yra naujo kintamojo ?vedimo esm?. Pradin? lygt? padalijome ? dvi tarpines, kuri? kiekviena i?sprend?iama daug lengviau.

Kaip i?spr?sti „?d?tas“ logaritmines lygtis

?iandien mes toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuojame konstrukcijas, kai vienas logaritmas yra po kito logaritmo ?enklu. Abi lygtis i?spr?sime naudodami kanonin? form?.

?iandien mes toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuojame konstrukcijas, kai vienas logaritmas yra po kito ?enklu. Abi lygtis i?spr?sime naudodami kanonin? form?. Leiskite jums priminti, kad jei turime papras?iausi? logaritmin? lygt? log a f (x) \u003d b, tada tokiai lyg?iai i?spr?sti atliekame ?iuos veiksmus. Pirmiausia turime pakeisti skai?i? b :

b = log a a b

Atkreipkite d?mes?, kad a b yra argumentas. Pana?iai ir pradin?je lygtyje argumentas yra funkcija f(x). Tada perra?ome lygt? ir gauname toki? konstrukcij?:

log a f(x) = log a a b

Po to galime atlikti tre?i? veiksm? – atsikratyti logaritmo ?enklo ir tiesiog para?yti:

f(x) = a b

D?l to gauname nauj? lygt?. ?iuo atveju funkcijai f(x) netaikomi jokie apribojimai. Pavyzd?iui, jo vietoje taip pat gali b?ti logaritmin? funkcija. Ir tada v?l gauname logaritmin? lygt?, kuri? v?l suma?iname iki papras?iausios ir i?sprend?iame kanonine forma.

Bet u?teks dain? ?od?i?. I?spr?skime tikr?j? problem?. Taigi u?duotis numeris 1:

2 log (1 + 3 log 2 x ) = 2

Kaip matote, turime paprast? logaritmin? lygt?. F (x) vaidmuo yra konstrukcija 1 + 3 log 2 x, o skai?ius b yra skai?ius 2 (a vaidmuo taip pat yra du). Perra?ykime ?iuos du taip:

Svarbu suprasti, kad pirmieji du dvejetai at?jo pas mus i? logaritmo pagrindo, tai yra, jei pradin?je lygtyje b?t? 5, tada gautume, kad 2 = log 5 5 2. Apskritai baz? priklauso tik nuo logaritmo, kuris i? prad?i? pateikiamas u?davinyje. O m?s? atveju ?is skai?ius yra 2.

Taigi, mes perra?ome savo logaritmin? lygt?, atsi?velgdami ? tai, kad du, kurie yra de?in?je, i? tikr?j? taip pat yra logaritmas. Mes gauname:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Mes pereiname prie paskutinio m?s? schemos ?ingsnio - atsikratome kanonin?s formos. Galima sakyti, tiesiog nubraukite r?sto ?enklus. Ta?iau matematikos po?i?riu ne?manoma „i?braukti r?sto“ - teisingiau sakyti, kad mes tiesiog sulyginame argumentus:

1 + 3 log 2 x = 4

I? ?ia lengva rasti 3 log 2 x :

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

V?l gavome papras?iausi? logaritmin? lygt?, gr??inkime j? ? kanonin? form?. Nor?dami tai padaryti, turime atlikti ?iuos pakeitimus:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Kod?l baz?je yra deuce? Kadangi m?s? kanonin?je lygtyje kair?je logaritmas yra tiksliai 2 baz?je. Perra?ome u?davin? atsi?velgdami ? ?? fakt?:

log 2 x = log 2 2

V?lgi, atsikratome logaritmo ?enklo, t.y., argumentus tiesiog sulyginame. Turime teis? tai padaryti, nes pagrindai yra vienodi ir daugiau joki? papildom? veiksm? nebuvo atlikta nei de?in?je, nei kair?je:

Tai viskas! Problema i?spr?sta. Mes radome logaritmin?s lygties sprendim?.

Pastaba! Nors kintamasis x yra argumente (tai yra, yra reikalavimai apibr??imo sri?iai), mes nekelsime joki? papildom? reikalavim?.

Kaip min?jau auk??iau, ?is patikrinimas yra nereikalingas, jei kintamasis yra tik viename tik vieno logaritmo argumente. M?s? atveju x tikrai yra tik argumente ir tik po vienu ?urnalo ?enklu. Tod?l papildom? patikrinim? nereikia.

Ta?iau jei nepasitikite ?iuo metodu, galite lengvai patikrinti, ar x = 2 tikrai yra ?aknis. Pakanka pakeisti ?? skai?i? ? pradin? lygt?.

Pereikime prie antrosios lygties, ji ?iek tiek ?domiau:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

Jei i?rai?k? did?iojo logaritmo viduje pa?ym?sime funkcija f (x), gautume papras?iausi? logaritmin? lygt?, su kuria prad?jome ?iandienos vaizdo pamok?. Tod?l galima taikyti kanonin? form?, kuriai vienet? reikia pavaizduoti forma log 2 2 1 = log 2 2.

Perra?ant m?s? did?i?j? lygt?:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = log 2 2

Atsikratome logaritmo ?enklo, sulygindami argumentus. Mes turime teis? tai padaryti, nes pagrindai yra vienodi kair?je ir de?in?je. Taip pat atkreipkite d?mes?, kad log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

Prie? mus v?l yra papras?iausia logaritmin? lygtis log a f (x) \u003d b. Mes pereiname prie kanonin?s formos, ty nul? pavaizduojame formoje log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Perra?ome savo lygt? ir atsikratome ?urnalo ?enklo sulygindami argumentus:

log 1/2 (2x - 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

V?lgi, i?kart gavome atsakym?. Joki? papildom? patikrinim? nereikia, nes pradin?je lygtyje tik viename logaritme yra funkcija argumente.

Tod?l papildom? patikrinim? nereikia. Galime dr?siai teigti, kad x = 1 yra vienintel? ?ios lygties ?aknis.

Bet jei antrajame logaritme vietoj keturi? b?t? kokia x funkcija (arba 2x b?t? ne argumente, o baz?je) - tada reikt? patikrinti apibr??imo srit?. Prie?ingu atveju yra didel? tikimyb? patekti ? papildomas ?aknis.

I? kur atsiranda ?ios papildomos ?aknys? ?? dalyk? reikia suprasti labai ai?kiai. Pa?i?r?kite ? pradines lygtis: visur funkcija x yra po logaritmo ?enklu. Tod?l, kadangi ?ra??me log 2 x , automati?kai nustatome reikalavim? x > 0. Prie?ingu atveju ?is ?ra?as tiesiog neturi prasm?s.

Ta?iau, sprend?iant logaritmin? lygt?, atsikratome vis? r?sto ?enkl? ir gauname paprastas konstrukcijas. ?ia jau n?ra nustatyti jokie apribojimai, nes tiesin? funkcija yra apibr??ta bet kuriai x reik?mei.

B?tent d?l ?ios problemos, kai galutin? funkcija apibr??iama visur ir visada, o pradin? – anaiptol ne visur ir ne visada, tod?l logaritmini? lyg?i? sprendime labai da?nai atsiranda papildom? ?akn?.

Bet dar kart? kartoju: tai atsitinka tik tada, kai funkcija yra arba keliuose logaritmuose, arba vieno i? j? pagrindu. Problemose, kurias ?iandien svarstome, i? esm?s n?ra problem? ple?iant apibr??imo srit?.

Skirtingo pagrindo atvejai

?i pamoka skirta sud?tingesn?ms strukt?roms. ?iandienin?se lygtyse logaritmai nebebus sprend?iami „tu?ti“ – pirmiausia reikia atlikti kai kurias transformacijas.

Pradedame spr?sti logaritmines lygtis su visi?kai skirtingomis baz?mis, kurios n?ra tikslios viena kitos laipsniai. Nebijokite toki? u?duo?i? – jos i?sprend?iamos ne sunkiau nei papras?iausi dizainai, kuriuos i?analizavome auk??iau.

Ta?iau prie? pereinant tiesiai prie u?davini?, leiskite man priminti papras?iausi? logaritmini? lyg?i? sprendimo formul? naudojant kanonin? form?. Apsvarstykite toki? problem?:

log a f(x) = b

Svarbu, kad funkcija f (x) b?t? tik funkcija, o skai?iai a ir b b?t? tiksliai tokie skai?iai (be kintam?j? x). ?inoma, pa?od?iui po minut?s apsvarstysime ir tokius atvejus, kai vietoj kintam?j? a ir b yra funkcijos, bet dabar ne apie tai.

Kaip prisimename, skai?ius b turi b?ti pakeistas logaritmu toje pa?ioje baz?je a, kuri yra kair?je. Tai daroma labai paprastai:

b = log a a b

?inoma, ?od?iai „bet koks skai?ius b“ ir „bet koks skai?ius a“ rei?kia tokias reik?mes, kurios atitinka apibr??imo srit?. Vis? pirma, ?i lygtis susijusi tik su baze a > 0 ir a ? 1.

Ta?iau ?is reikalavimas ?vykdomas automati?kai, nes pradiniame u?davinyje jau yra logaritmas bazei a – jis tikrai bus didesnis u? 0 ir nelygus 1. Tod?l t?siame logaritmin?s lygties sprendim?:

log a f(x) = log a a b

Toks ?ym?jimas vadinamas kanonine forma. Jo patogumas yra tas, kad galime i? karto atsikratyti r?sto ?enklo, sulygindami argumentus:

f(x) = a b

B?tent ?i? technik? dabar naudosime sprend?iant logaritmines lygtis su kintamu pagrindu. Taigi eikime!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Kas toliau? Ka?kas dabar pasakys, kad reikia apskai?iuoti teising? logaritm? arba suma?inti juos iki vienos baz?s ar dar ka?ko. Ir i? ties?, dabar reikia suvesti abi bazes ? t? pa?i? form? - arba 2, arba 0,5. Bet kart? ir visiems laikams i?mokime ?i? taisykl?:

Jei logaritmin?je lygtyje yra de?imtaini? trupmen?, b?tinai konvertuokite ?ias trupmenas i? de?imtainio ?ym?jimo ? ?prast?. Tokia transformacija gali gerokai supaprastinti sprendim?.

Toks per?jimas turi b?ti atliktas nedelsiant, net prie? atliekant bet kokius veiksmus ir transformacijas. Pa?i?r?kime:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

K? mums duoda toks rekordas? 1/2 ir 1/8 galime pavaizduoti kaip neigiam? eksponent?:

Mes turime kanonin? form?. Sulyginkite argumentus ir gaukite klasikin? kvadratin? lygt?:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Prie? mus yra duota kvadratin? lygtis, kuri? lengva i?spr?sti naudojant Vieta formules. Pana?ius skai?iavimus vidurin?je mokykloje tur?tum?te pamatyti tiesiog ?od?iu:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Tai viskas! I?spr?sta pradin? logaritmin? lygtis. Mes turime dvi ?aknis.

Leiskite jums priminti, kad ?iuo atveju nereikia apibr??ti apimties, nes funkcija su kintamuoju x yra tik viename argumente. Tod?l apimtis atliekama automati?kai.

Taigi pirmoji lygtis i?spr?sta. Pereikime prie antrojo:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 -1

Ir dabar atkreipkite d?mes?, kad pirmojo logaritmo argumentas taip pat gali b?ti para?ytas kaip laipsnis su neigiamu rodikliu: 1/2 = 2 -1. Tada galite paimti abiej? lygties pusi? galias ir padalyti visk? i? -1:

Ir dabar mes baig?me labai svarb? logaritmin?s lygties sprendimo ?ingsn?. Galb?t ka?kas ka?ko nepasteb?jo, tod?l paai?kinsiu.

Pa?velkite ? m?s? lygt?: log yra kair?je ir de?in?je, bet 2 bazinis logaritmas yra kair?je, o 3 bazinis logaritmas yra de?in?je.

Tod?l tai yra logaritmai su skirtingais pagrindais, kurie n?ra redukuojami vienas ? kit? paprastu eksponentu. Vienintelis b?das i?spr?sti tokias problemas yra atsikratyti vieno i? ?i? logaritm?. ?iuo atveju, kadangi vis dar svarstome gana paprastas problemas, de?in?je esantis logaritmas buvo tiesiog apskai?iuotas ir gavome papras?iausi? lygt? – b?tent t?, apie kuri? kalb?jome pa?ioje ?ios dienos pamokos prad?ioje.

Pavaizduokime skai?i? 2, kuris yra de?in?je, kaip log 2 2 2 = log 2 4. Ir tada atsikratykite logaritmo ?enklo, po kurio mums lieka tik kvadratin? lygtis:

2 ?urnalas (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x - 2 = 0

Prie? mus yra ?prasta kvadratin? lygtis, ta?iau ji n?ra suma?inta, nes koeficientas, esantis x 2, skiriasi nuo vienyb?s. Tod?l mes j? i?spr?sime naudodami diskriminant?:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (-9 - 11) / 10 \u003d -2

Tai viskas! Mes radome abi ?aknis, o tai rei?kia, kad gavome pradin?s logaritmin?s lygties sprendim?. I? tikr?j? pradin?je u?duotyje funkcija su kintamuoju x yra tik viename argumente. Vadinasi, nereikia joki? papildom? patikr? apibr??imo srityje – abi m?s? rastos ?aknys tikrai atitinka visus galimus apribojimus.

Tai gal?t? b?ti ?ios dienos vaizdo pamokos pabaiga, ta?iau pabaigai nor??iau dar kart? pasakyti: spr?sdami logaritmines lygtis b?tinai konvertuokite visas de?imtaines trupmenas ? paprastas. Daugeliu atvej? tai labai supaprastina j? sprendim?.

Retai, labai retai pasitaiko problem?, kai atsikratant de?imtaini? trupmen? skai?iavimai tik apsunkinami. Ta?iau tokiose lygtyse, kaip taisykl?, i? prad?i? ai?ku, kad neb?tina atsikratyti de?imtaini? trupmen?.

Daugeliu kit? atvej? (ypa? jei tik pradedate treniruotis spr?sti logaritmines lygtis) nedvejodami atsikratykite de?imtaini? trupmen? ir i?verskite jas ? ?prastas. Kadangi praktika rodo, kad tokiu b?du j?s labai supaprastinsite tolesn? sprendim? ir skai?iavimus.

Sprendimo subtilyb?s ir gudryb?s

?iandien pereiname prie sud?tingesni? problem? ir i?spr?sime logaritmin? lygt?, kuri remiasi ne skai?iumi, o funkcija.

Ir net jei ?i funkcija yra tiesin?, sprendinio schemoje reik?s atlikti nedidelius pakeitimus, kuri? prasm? susiveda ? papildomus logaritmo apibr??imo srities reikalavimus.

Sunkios u?duotys

?i pamoka bus gana ilga. Jame analizuosime dvi gana rimtas logaritmines lygtis, kurias spr?sdami klysta daug mokini?. Per savo matematikos mokytojo praktik? nuolat susidurdavau su dviej? tip? klaidomis:

1. Papildom? ?akn? atsiradimas d?l logaritm? apibr??imo srities i?pl?timo. Kad nepadarytum?te toki? ??eid?ian?i? klaid?, tiesiog atid?iai steb?kite kiekvien? transformacij?;
2. ?akn? praradimas d?l to, kad studentas pamir?o apsvarstyti kai kuriuos „subtilius“ atvejus – b?tent ? tokias situacijas ?iandien ir skirsime d?mes?.

Tai paskutin? logaritmini? lyg?i? pamoka. Tai bus ilga, analizuosime sud?tingas logaritmines lygtis. ?sitaisykite patogiai, i?sivirkite arbatos ir prad?sime.

Pirmoji lygtis atrodo gana standartin?:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

I? karto pastebime, kad abu logaritmai yra atvirk?tin?s vienas kito kopijos. Prisiminkime nuostabi? formul?:

log a b = 1/log b a

Ta?iau ?i formul? turi kelet? apribojim?, atsirandan?i?, jei vietoj skai?i? a ir b yra kintamojo x funkcijos:

b > 0

1 ? a > 0

?ie reikalavimai keliami logaritmo pagrindu. Kita vertus, trupmenoje privalome tur?ti 1 ? a > 0, nes ne tik kintamasis a yra logaritmo argumente (taigi, a > 0), bet ir pats logaritmas yra vardiklyje trupmena. Bet log b 1 = 0, o vardiklis turi b?ti ne nulis, taigi a ? 1.

Taigi, kintamojo a apribojimai i?saugomi. Bet kas atsitiks su kintamuoju b? Viena vertus, i? baz?s seka b > 0, kita vertus, kintamasis b ? 1, nes logaritmo baz? turi skirtis nuo 1. I? viso i? de?in?s formul?s pus?s i?plaukia, kad 1 ? b > 0.

Ta?iau ?ia yra problema: antrojo reikalavimo (b ? 1) tr?ksta pirmojoje nelygyb?je kairiajame logaritme. Kitaip tariant, atlikdami ?i? transformacij?, privalome patikrinti atskirai kad argumentas b skiriasi nuo vieno!

?tai, patikrinkime. Taikykime savo formul?:

1 ? x - 0,5 > 0; 1 ? x + 1 > 0

Taigi jau i? pradin?s logaritmin?s lygties gavome, kad ir a, ir b turi b?ti didesni u? 0, o ne lyg?s 1. Taigi logaritmin? lygt? galime lengvai apversti:

Si?lau ?vesti nauj? kintam?j?:

log x + 1 (x - 0,5) = t

Tokiu atveju m?s? konstrukcija bus perra?yta taip:

(t 2 - 1)/t = 0

Atkreipkite d?mes?, kad skaitiklyje turime kvadrat? skirtum?. Kvadrat? skirtum? atskleid?iame naudodami sutrumpint? daugybos formul?:

(t – 1)(t + 1)/t = 0

Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis. Ta?iau skaitiklyje yra sandauga, tod?l kiekvien? veiksn? prilyginame nuliui:

t1 = 1;

t2 = -1;

t ? 0.

Kaip matote, abi kintamojo t reik?m?s mums tinka. Ta?iau sprendimas tuo nesibaigia, nes reikia rasti ne t , o x reik?m?. Gr??tame prie logaritmo ir gauname:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

Perkelkime kiekvien? i? ?i? lyg?i? ? kanonin? form?:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Pirmuoju atveju atsikratome logaritmo ?enklo ir sulyginame argumentus:

x - 0,5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0,5;

Tokia lygtis neturi ?akn?, tod?l pirmoji logaritmin? lygtis taip pat neturi ?akn?. Bet su antr?ja lygtimi viskas yra daug ?domiau:

(x – 0,5)/1 = 1/(x + 1)

I?sprend?iame proporcij? - gauname:

(x – 0,5) (x + 1) = 1

Primenu, kad sprend?iant logaritmines lygtis daug patogiau duoti visas bendr?sias de?imtaines trupmenas, tad perra?ykime savo lygt? taip:

(x – 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Prie? mus yra duota kvadratin? lygtis, ji lengvai i?sprend?iama naudojant Vieta formules:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 \u003d -1,5;

x2 = 1.

Gavome dvi ?aknis – jos yra kandidat?s ? pradin? logaritmin? lygt?. Kad suprastume, kokios ?aknys i? tikr?j? gl?di atsakymui, gr??kime prie pradin?s problemos. Dabar patikrinsime kiekvien? savo ?akn?, kad pamatytume, ar jos atitinka taikymo srit?:

1,5 ? x > 0,5; 0 ? x > –1.

?ie reikalavimai prilygsta dvigubai nelygybei:

1 ? x > 0,5

I? ?ia i? karto matome, kad ?aknis x = -1,5 mums netinka, bet x = 1 yra gana patenkinta. Tod?l x = 1 yra galutinis logaritmin?s lygties sprendimas.

Pereikime prie antrosios u?duoties:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

I? pirmo ?vilgsnio gali atrodyti, kad visi logaritmai turi skirtingus pagrindus ir skirtingus argumentus. K? daryti su tokiomis strukt?romis? Vis? pirma, atkreipkite d?mes?, kad skai?iai 25, 5 ir 625 yra 5 laipsniai:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

O dabar naudosime nepaprast? logaritmo savyb?. Faktas yra tas, kad i? argumento laipsnius galite i?skirti faktori? forma:

log a b n = n ? log a b

?iai transformacijai taip pat taikomi apribojimai, kai vietoje b yra funkcija. Bet pas mus b yra tik skai?ius ir joki? papildom? apribojim? nekyla. Perra?ykime savo lygt?:

2 ? r?stas x 5 + r?stas 125 x 5 = 4 ? r?stas 25 x 5

Gavome lygt? su trimis terminais, kuriuose yra ?urnalo ?enklas. Be to, vis? trij? logaritm? argumentai yra lyg?s.

At?jo laikas apversti logaritmus, kad jie b?t? vienodi – 5. Kadangi kintamasis b yra konstanta, apimtis nesikei?ia. Mes tiesiog perra?ome:

Kaip ir tik?tasi, vardiklyje „nuskaityti“ tie patys logaritmai. Si?lau pakeisti kintam?j?:

log 5 x = t

Tokiu atveju m?s? lygtis bus perra?yta taip:

I?ra?ykime skaitikl? ir atidarykime skliaustus:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4 t (t + 3) = 2 (t 2 + 5 t + 6) + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = 2 t 2 + 10 t + 12 + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = -t 2 + 12

Gr??tame ? savo frakcij?. Skaitiklis turi b?ti lygus nuliui:

Ir vardiklis skiriasi nuo nulio:

t ? 0; t ? –3; t ? –2

Paskutiniai reikalavimai ?vykdomi automati?kai, nes jie visi yra „susieti“ su sveikaisiais skai?iais, o visi atsakymai yra neracional?s.

Taigi, trupmenin?-racionali lygtis i?spr?sta, randamos kintamojo t reik?m?s. Gr??tame prie logaritmin?s lygties sprendimo ir prisimename, kas yra t:

Perkeliame ?i? lygt? ? kanonin? form?, gauname skai?i? su neracionaliu laipsniu. Tegul tai j?s? nesupainioja – netgi tokie argumentai gali b?ti tapatinami:

Mes turime dvi ?aknis. Tiksliau, du kandidatai ? atsakymus – patikrinkime, ar jie atitinka apimt?. Kadangi logaritmo pagrindas yra kintamasis x, mums reikia:

1 ? x > 0;

Su ta pa?ia s?kme tvirtiname, kad x ? 1/125, kitaip antrojo logaritmo baz? pavirs vienu. Galiausiai x ? 1/25 tre?iajam logaritmui.

I? viso turime keturis apribojimus:

1 ? x > 0; x ? 1/125; x ? 1/25

Dabar kyla klausimas: ar m?s? ?aknys atitinka ?iuos reikalavimus? Tikrai patenkinta! Kadangi 5 bet kokiam laipsniui bus didesnis u? nul?, o reikalavimas x > 0 yra automati?kai ?vykdytas.

Kita vertus, 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 -2, 1/125 \u003d 5 -3, o tai rei?kia, kad ?ie apribojimai m?s? ?aknims (kurie, priminsiu, turi neracional? skai?i? rodiklis) taip pat atitinka, ir abu atsakymai yra problemos sprendimai.

Taigi mes turime galutin? atsakym?. ?iame numeryje yra du pagrindiniai punktai:

1. B?kite atsarg?s keisdami logaritm?, kai argumentas ir baz? yra atvirk??iai. Tokios transformacijos nustato nereikalingus apibr??imo srities apribojimus.
2. Nebijokite konvertuoti logaritm?: galite juos ne tik apversti, bet ir atidaryti pagal sumos formul? ir apskritai keisti pagal bet kokias formules, kurias studijavote spr?sdami logaritmines i?rai?kas. Ta?iau visada atminkite, kad kai kurios transformacijos i?ple?ia taikymo srit?, o kai kurios j? susiaurina.

b (b > 0) logaritmas iki a baz?s (a > 0, a ? 1) yra eksponentas, iki kurio reikia padidinti skai?i? a, kad gautum?te b.

10 bazinis b logaritmas gali b?ti para?ytas kaip log(b), o logaritmas iki pagrindo e (nat?ralus logaritmas) - ln(b).

Da?nai naudojamas sprend?iant logaritm? problemas:

Logaritm? savyb?s

Yra keturi pagrindiniai logaritm? savyb?s.

Tegul a > 0, a ? 1, x > 0 ir y > 0.

Savyb? 1. Produkto logaritmas

Produkto logaritmas yra lygus logaritm? sumai:

log a (x ? y) = log a x + log a y

Savyb? 2. Dalinio logaritmas

Dalinio logaritmas yra lygus logaritm? skirtumui:

log a (x / y) = log a x – log a y

Savyb? 3. Laipsnio logaritmas

Laipsnio logaritmas yra lygus laipsnio ir logaritmo sandaugai:

Jei logaritmo baz? yra eksponente, taikoma kita formul?:

Savyb? 4. ?aknies logaritmas

?i? savyb? galima gauti i? laipsnio logaritmo savyb?s, nes n-ojo laipsnio ?aknis yra lygi 1/n laipsniui:

Formul?, kaip pereiti nuo logaritmo vienoje baz?je prie logaritmo kitoje baz?je

?i formul? taip pat da?nai naudojama sprend?iant ?vairias logaritm? u?duotis:

Ypatinga byla:

Logaritm? (nelygybi?) palyginimas

Tarkime, kad turime 2 funkcijas f(x) ir g(x) pagal logaritmus su tais pa?iais pagrindais ir tarp j? yra nelygyb?s ?enklas:

Nor?dami juos palyginti, pirmiausia turite pa?velgti ? logaritm? baz? a:

• Jei a > 0, tada f(x) > g(x) > 0
• Jei 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kaip spr?sti u?davinius naudojant logaritmus: pavyzd?iai

U?duotys su logaritmais?trauktas ? NAUDOJIM? matematikoje 11 klasei 5 ir 7 u?duotyje, u?duotis su sprendimais galite rasti m?s? svetain?s atitinkamuose skyriuose. Taip pat matematikos u?duo?i? banke yra u?duotys su logaritmais. Visus pavyzd?ius rasite ie?kodami svetain?je.

Kas yra logaritmas

Logaritmai visada buvo laikomi sunkia tema mokykliniame matematikos kurse. Yra daug skirting? logaritmo apibr??im?, ta?iau d?l tam tikr? prie?as?i? daugumoje vadov?li? naudojami patys sud?tingiausi ir apgail?tiniausi.

Logaritm? apibr??sime paprastai ir ai?kiai. Sukurkime tam lentel?:

Taigi, mes turime dviej? gali?.

Logaritmai – savyb?s, formul?s, kaip i?spr?sti

Jei paimsite skai?i? i? apatin?s eilut?s, galite lengvai rasti gali?, iki kurios turite pakelti du, kad gautum?te ?? skai?i?. Pavyzd?iui, nor?dami gauti 16, turite pakelti du ? ketvirt? laipsn?. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki ?e?tos laipsnio. Tai matyti i? lentel?s.

Ir dabar - i? tikr?j? logaritmo apibr??imas:

argumento x baz? a yra laipsnis, iki kurio reikia pakelti skai?i? a, kad gautume skai?i? x.

?ym?jimas: log a x \u003d b, kur a yra baz?, x yra argumentas, b i? tikr?j? yra logaritmas.

Pavyzd?iui, 2 3 = 8 => log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas i? 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Taip pat gal?t? log 2 64 = 6, nes 2 6 = 64.

Skai?iaus logaritmo pagal duot?j? baz? radimo operacija vadinama. Taigi ? savo lentel? ?traukime nauj? eilut?:

Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apm?stomi. Pavyzd?iui, pabandykite rasti log 2 5. Skai?iaus 5 lentel?je n?ra, bet logika nurodo, kad logaritmas bus ka?kur atkarpoje. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tokie skai?iai vadinami neracionaliais: skai?iai po kablelio gali b?ti ra?omi neribot? laik? ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau palikti j? taip: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra i?rai?ka su dviem kintamaisiais (baz? ir argumentas). I? prad?i? daugelis ?moni? painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Kad i?vengtum?te erzinan?i? nesusipratim?, tiesiog pa?i?r?kite ? paveiksl?l?:

Prie? mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibr??imas. Prisiminti: logaritmas yra galia, kuriai reikia pakelti baz?, kad gautum?te argument?. B?tent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveiksl?lyje jis pary?kintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apa?ioje! ?i? nuostabi? taisykl? pasakoju savo mokiniams jau pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.

Kaip skai?iuoti logaritmus

I?siai?kinom apibr??im? – belieka i?mokti skai?iuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „r?sto“ ?enklo. Pirmiausia pa?ymime, kad i? apibr??imo i?plaukia du svarb?s faktai:

1. Argumentas ir baz? visada turi b?ti didesni u? nul?. Tai i?plaukia i? laipsnio apibr??imo racionaliuoju rodikliu, iki kurio logaritmo apibr??imas suma?inamas.
2. Pagrindas turi skirtis nuo vienyb?s, nes bet kurios galios vienetas vis tiek yra vienetas. D?l ?ios prie?asties klausimas „? koki? gali? reikia pakelti, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio n?ra!

Tokie apribojimai vadinami galiojantis diapazonas(ODZ). Pasirodo, logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b => x > 0, a > 0, a ? 1.

Atkreipkite d?mes?, kad skai?iui b (logaritmo reik?m?) n?ra joki? apribojim?. Pavyzd?iui, logaritmas gali b?ti neigiamas: log 2 0,5 = -1, nes 0,5 = 2 -1 .

Ta?iau dabar mes svarstome tik skaitines i?rai?kas, kur nereikia ?inoti logaritmo ODZ. ? visus apribojimus problem? reng?jai jau atsi?velg?. Ta?iau kai ?sigalios logaritmin?s lygtys ir nelygyb?s, DHS reikalavimai taps privalomi. I? ties?, pagrinde ir argumente gali b?ti labai stiprios konstrukcijos, kurios neb?tinai atitinka auk??iau nurodytus apribojimus.

Dabar apsvarstykite bendr? logaritm? skai?iavimo schem?. J? sudaro trys ?ingsniai:

1. I?reik?kite baz? a ir argument? x kaip laipsn?, kurio ma?iausia baz? yra didesn? u? vienet?. Pakeliui geriau atsikratyti de?imtaini? trupmen?;
2. I?spr?skite kintamojo b lygt?: x = a b ;
3. Gautas skai?ius b bus atsakymas.

Tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matyti jau pirmame ?ingsnyje. Reikalavimas, kad baz? b?t? didesn? u? vien?, yra labai aktualus: tai suma?ina klaidos tikimyb? ir labai supaprastina skai?iavimus. Pana?iai ir su de?imtain?mis trupmenomis: jei i? karto jas konvertuosite ? paprastas, klaid? bus daug kart? ma?iau.

Pa?i?r?kime, kaip ?i schema veikia su konkre?iais pavyzd?iais:

U?duotis. Apskai?iuokite logaritm?: log 5 25

1. Pavaizduokime baz? ir argument? kaip penki? laipsn?: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Sudarykime ir i?spr?skime lygt?:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Gavau atsakym?: 2.

U?duotis. Apskai?iuokite logaritm?:

U?duotis. Apskai?iuokite logaritm?: log 4 64

1. Pavaizduokime baz? ir argument? kaip dviej? laipsn?: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Sudarykime ir i?spr?skime lygt?:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Gavau atsakym?: 3.

U?duotis. Apskai?iuokite logaritm?: log 16 1

1. Pavaizduokime baz? ir argument? kaip dviej? laipsn?: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Sudarykime ir i?spr?skime lygt?:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Gautas atsakymas: 0.

U?duotis. Apskai?iuokite logaritm?: log 7 14

1. Pavaizduokime baz? ir argument? kaip septyneto laipsn?: 7 = 7 1 ; 14 nevaizduojamas kaip septyni? laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;
2. I? ankstesn?s pastraipos matyti, kad ? logaritm? neatsi?velgiama;
3. Atsakymas nesikei?ia: ?urnalas 7 14.

Ma?a pastaba apie paskutin? pavyzd?. Kaip ?sitikinti, kad skai?ius n?ra tiksli kito skai?iaus laipsnis? Labai paprasta – tiesiog i?skaidykite j? ? pirminius veiksnius. Jei yra bent du skirtingi pl?timosi veiksniai, skai?ius n?ra tiksli galia.

U?duotis. I?siai?kinkite, ar tikslios skai?iaus laipsniai yra: 8; 48; 81; 35; keturiolika.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 n?ra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 5 - v?lgi ne tikslus laipsnis;
14 \u003d 7 2 - v?lgi n?ra tikslus laipsnis;

Taip pat atkreipkite d?mes?, kad patys pirminiai skai?iai visada yra tikslios j? galios.

De?imtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai yra tokie ?prasti, kad turi special? pavadinim? ir pavadinim?.

argumento x yra 10 bazinis logaritmas, t.y. galia, iki kurios reikia padidinti 10, kad gautume x. Pavadinimas: lgx.

Pavyzd?iui, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.

Nuo ?iol vadov?lyje pasirod?ius tokiai frazei kaip „Rasti lg 0,01“, ?inokite, kad tai n?ra ra?ybos klaida. Tai yra de?imtainis logaritmas. Ta?iau jei nesate ?prat? prie tokio pavadinimo, visada galite j? perra?yti:
log x = log 10 x

Viskas, kas tinka ?prastiniams logaritmams, galioja ir de?imtain?ms dalims.

nat?ralusis logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo ?ym?jim?. Tam tikra prasme tai net svarbesn? nei de?imtain?. Tai nat?ralus logaritmas.

argumento x yra logaritmas ? baz? e, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skai?i? e, kad gautume skai?i? x. Pavadinimas: lnx.

Daugelis paklaus: koks yra skai?ius e? Tai neracionalus skai?ius, jo tikslios reik?m?s negalima rasti ir u?ra?yti. ?tai tik pirmieji skai?iai:
e = 2,718281828459…

Mes nesigilinsime, kas yra ?is skai?ius ir kod?l jis reikalingas. Tiesiog atminkite, kad e yra nat?raliojo logaritmo pagrindas:
ln x = log e x

Taigi ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skai?ius. Apskritai bet kurio racionalaus skai?iaus nat?ralusis logaritmas yra neracionalus. ?inoma, i?skyrus vienyb?: ln 1 = 0.

Nat?rali?j? logaritm? atveju galioja visos taisykl?s, kurios galioja ?prastiems logaritmams.

Taip pat ?i?r?kite:

Logaritmas. Logaritmo savyb?s (logaritmo galia).

Kaip pavaizduoti skai?i? kaip logaritm??

Mes naudojame logaritmo apibr??im?.

Logaritmas yra galios matas, iki kurio reikia pakelti baz?, kad b?t? gautas skai?ius po logaritmo ?enklu.

Taigi, nor?dami pavaizduoti tam tikr? skai?i? c kaip logaritm? bazei a, po logaritmo ?enklu turite ?d?ti laipsn? su ta pa?ia baze kaip ir logaritmo pagrindas ir ?ra?yti ?? skai?i? c ? eksponent?:

Logaritmo forma galite pavaizduoti absoliu?iai bet kok? skai?i? - teigiam?, neigiam?, sveik?j?, trupmenin?, racional?, neracional?:

Kad nesupainiotum?te a ir c ?temptomis testo ar egzamino s?lygomis, galite prisiminti ?i? taisykl?:

tai, kas yra apa?ioje, nusileid?ia, o kas auk??iau, kyla auk?tyn.

Pavyzd?iui, skai?i? 2 norite pateikti kaip logaritm? su 3 baze.

Turime du skai?ius – 2 ir 3. ?ie skai?iai yra baz? ir rodiklis, kuriuos ra?ysime po logaritmo ?enklu. Belieka nustatyti, kuris i? ?i? skai?i? turi b?ti u?ra?omas laipsnio pagrindu, o kuris - auk?tyn, eksponente.

Baz? 3 logaritmo ?ra?e yra apa?ioje, o tai rei?kia, kad pavaizduodami dvikov? kaip logaritm? su 3 pagrindu, 3 taip pat ?ra?ysime ? baz?.

2 yra didesnis nei 3. Ir laipsnio ?ym?jime ra?ome du vir? trij?, tai yra, eksponente:

Logaritmai. Pirmas lygis.

Logaritmai

logaritmas teigiamas skai?ius b d?l prie?asties a, kur a > 0, a ? 1, yra eksponentas, iki kurio skai?ius turi b?ti padidintas. a, Gauti b.

Logaritmo apibr??imas trumpai galima para?yti taip:

?i lygyb? galioja b > 0, a > 0, a ? 1. Paprastai jis vadinamas logaritmin? tapatyb?.
Skai?iaus logaritmo radimo veiksmas vadinamas logaritmas.

Logaritm? savyb?s:

Produkto logaritmas:

Dalinio logaritmas i? dalybos:

Logaritmo pagrindo pakeitimas:

Laipsnio logaritmas:

?aknies logaritmas:

Logaritmas su galios baze:

De?imtainiai ir nat?ral?s logaritmai.

De?imtainis logaritmas skai?iai vadina to skai?iaus bazin? 10 logaritm? ir ra?o   lg b
nat?ralusis logaritmas skai?iai vadina ?io skai?iaus logaritm? baze e, kur e yra neracionalus skai?ius, ma?daug lygus 2,7. Tuo pat metu jie ra?o ln b.

Kitos pastabos apie algebr? ir geometrij?

Pagrindin?s logaritm? savyb?s

Pagrindin?s logaritm? savyb?s

Logaritmus, kaip ir bet kur? skai?i?, galima sud?ti, atimti ir konvertuoti visais ?manomais b?dais. Bet kadangi logaritmai n?ra visi?kai ?prasti skai?iai, ?ia yra taisykl?s, kurios vadinamos pagrindin?s savyb?s.

?ias taisykles reikia ?inoti – be j? negalima i?spr?sti jokios rimtos logaritmin?s problemos. Be to, j? labai ma?ai – visko galima i?mokti per vien? dien?. Taigi prad?kime.

Logaritm? sud?jimas ir at?mimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pa?ia baze: log a x ir log a y. Tada juos galima prid?ti ir atimti, ir:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Taigi, logaritm? suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite d?mes?: pagrindinis dalykas ?ia yra tuo pa?iu pagrindu. Jei baz?s skiriasi, ?ios taisykl?s neveikia!

?ios formul?s pad?s apskai?iuoti logaritmin? i?rai?k? net tada, kai neatsi?velgiama ? atskiras jos dalis (?r. pamok? „Kas yra logaritmas“). Pa?velkite ? pavyzd?ius ir pamatykite:

r?stas 6 4 + r?stas 6 9.

Kadangi logaritm? pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formul?:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

U?duotis. Raskite i?rai?kos reik?m?: log 2 48 - log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formul?:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

U?duotis. Raskite i?rai?kos reik?m?: log 3 135 - log 3 5.

V?lgi, baz?s yra tos pa?ios, tod?l turime:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, originalios i?rai?kos sudarytos i? „blog?“ logaritm?, kurie n?ra nagrin?jami atskirai. Ta?iau po transformacij? pasirodo visai normal?s skai?iai. Daugelis test? yra pagr?sti ?iuo faktu. Taip, kontrol? – egzamine si?lomi pana??s i?sirei?kimai visi?kai rimtai (kartais – prakti?kai be pakeitim?).

Rodiklio pa?alinimas i? logaritmo

Dabar ?iek tiek apsunkinkime u?duot?. K? daryti, jei logaritmo baz?je arba argumente yra laipsnis? Tada ?io laipsnio rodiklis gali b?ti paimtas i? logaritmo ?enklo pagal ?ias taisykles:

Nesunku pasteb?ti, kad paskutin? taisykl? seka pirm?sias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai suma?ins skai?iavim? kiek?.

?inoma, visos ?ios taisykl?s turi prasm?, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ? 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: i?mokite taikyti visas formules ne tik i? kair?s ? de?in?, bet ir atvirk??iai, t.y. prie? logaritmo ?enkl? esan?ius skai?ius galite ?vesti ? pat? logaritm?.

Kaip i?spr?sti logaritmus

Tai yra tai, ko da?niausiai reikia.

U?duotis. Raskite i?rai?kos reik?m?: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirm?j? formul?:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

U?duotis. Raskite i?rai?kos reik?m?:

Atkreipkite d?mes?, kad vardiklis yra logaritmas, kurio baz? ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mes turime:

Manau, kad paskutin? pavyzd? reikia paai?kinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutin?s akimirkos dirbame tik su vardikliu. Jie pateik? ten stovin?io logaritmo baz? ir argument? laipsni? pavidalu ir i??m? rodiklius - gavo „trij? auk?t?“ trupmen?.

Dabar pa?velkime ? pagrindin? dal?. Skaitiklis ir vardiklis turi t? pat? skai?i?: log 2 7. Kadangi log 2 7 ? 0, tai trupmen? galime suma?inti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti ? skaitikl?, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Per?jimas prie naujo pagrindo

Kalb?damas apie logaritm? sud?jimo ir at?mimo taisykles, konkre?iai pabr??iau, kad jos veikia tik su tais pa?iais pagrindais. K? daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie n?ra tiksl?s to paties skai?iaus laipsniai?

? pagalb? ateina per?jimo ? nauj? baz? formul?s. Suformuluojame juos teoremos forma:

Tegu pateiktas logaritmas log a x. Tada bet kurio skai?iaus c, kurio c > 0 ir c ? 1, lygyb? yra teisinga:

Konkre?iai, jei ?d?sime c = x, gausime:

I? antrosios formul?s i?plaukia, kad galima sukeisti logaritmo baz? ir argument?, ta?iau tokiu atveju „apver?iama“ visa i?rai?ka, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

?ios formul?s retai randamos ?prastose skaitin?se i?rai?kose. ?vertinti, kiek jos patogios, galima tik sprend?iant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Ta?iau yra u?duo?i?, kuri? niekaip nepavyks i?spr?sti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrin?kime kelet? i? ?i?:

U?duotis. Raskite i?rai?kos reik?m?: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite d?mes?, kad abiej? logaritm? argumentai yra tiksl?s eksponentai. I?imkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar apverskime antr?j? logaritm?:

Kadangi sandauga nesikei?ia nuo faktori? permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada i?siai?kinome logaritmus.

U?duotis. Raskite i?rai?kos reik?m?: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. U?sira?ykime ir atsikratykime rodikli?:

Dabar atsikratykime de?imtainio logaritmo, pereidami prie naujos baz?s:

Pagrindin? logaritmin? tapatyb?

Da?nai sprend?iant skai?i? reikia pateikti kaip logaritm? tam tikrai bazei.

?iuo atveju formul?s mums pad?s:

Pirmuoju atveju skai?ius n tampa veiksniu argumente. Skai?ius n gali b?ti visi?kai bet koks, nes tai tik logaritmo reik?m?.

Antroji formul? i? tikr?j? yra perfrazuotas apibr??imas. Jis vadinamas taip:

I? ties?, kas atsitiks, jei skai?ius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad ?io laipsnio skai?ius b suteikt? skai?i? a? Teisingai: tai tas pats skai?ius a. Dar kart? atid?iai perskaitykite ?i? pastraip? - daugelis ?moni? ant jos „kabo“.

Kaip ir naujosios bazin?s konvertavimo formul?s, pagrindin? logaritmin? tapatyb? kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

U?duotis. Raskite i?rai?kos reik?m?:

Atkreipkite d?mes?, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog pa?m? kvadrat? i? pagrindo ir logaritmo argumento. Atsi?velgiant ? gali? dauginimo i? tos pa?ios baz?s taisykles, gauname:

Jei kas nors ne?ino, tai buvo tikra Vieningo valstybinio egzamino u?duotis ?

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savyb?mis - tai grei?iau logaritmo apibr??imo pasekm?s. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, steb?tinai, sukelia problem? net „pa?engusiems“ studentams.

1. log a a = 1 yra. Atsiminkite kart? ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a i? tos baz?s yra lygus vienetui.
2. log a 1 = 0 yra. Baz? a gali b?ti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a 0 = 1 yra tiesiogin? apibr??imo pasekm?.

Tai visos savyb?s. B?tinai praktikuokite juos pritaikydami prakti?kai! Pamokos prad?ioje atsisi?skite cheat lap?, atsispausdinkite ir i?spr?skite problemas.

Mes visi esame susipa?in? su lygtimis i? pradini? klasi?. Net ir ten mok?m?s spr?sti papras?iausius pavyzd?ius, ir reikia pripa?inti, kad jie pritaiko net ir auk?tojoje matematikoje. Su lygtimis viskas paprasta, ?skaitant kvadratines. Jei kyla problem? d?l ?ios temos, primygtinai rekomenduojame j? pabandyti dar kart?.

Logaritmai, kuriuos tikriausiai jau i?laik?te. Nepaisant to, manome, kad svarbu pasakyti, kas tai yra tiems, kurie dar ne?ino. Logaritmas prilygsta galiai, iki kurios reikia pakelti baz?, kad skai?ius b?t? de?in?je nuo logaritmo ?enklo. Pateiksime pavyzd?, kuriuo remiantis tau viskas paai?k?s.

Jei padidinsite 3 ? ketvirt? laipsn?, gausite 81. Dabar pakeiskite skai?ius pagal analogij? ir pagaliau suprasite, kaip sprend?iami logaritmai. Dabar belieka tik sujungti dvi svarstomas s?vokas. I? prad?i? situacija atrodo itin sunki, ta?iau atid?iau panagrin?jus svoris stoja ? savo vietas. Esame tikri, kad po ?io trumpo straipsnio j?s netur?site problem? ?ioje egzamino dalyje.

?iandien yra daug b?d?, kaip i?spr?sti tokias strukt?ras. Kalb?sime apie papras?iausias, efektyviausias ir tinkamiausias USE u?duo?i? atveju. Logaritmini? lyg?i? sprendimas tur?t? prasid?ti nuo papras?iausio pavyzd?io. Papras?iausios logaritmin?s lygtys susideda i? funkcijos ir vieno kintamojo joje.

Svarbu pa?ym?ti, kad x yra argumento viduje. A ir b turi b?ti skai?iai. ?iuo atveju funkcij? galite tiesiog i?reik?ti skai?iumi laipsnyje. Tai atrodo taip.

?inoma, tokiu b?du i?sprend? logaritmin? lygt?, b?site rasti teising? atsakym?. Ta?iau did?iosios daugumos student? problema ?iuo atveju yra ta, kad jie nesupranta, kas ir i? kur tai atsiranda. D?l to tenka taikstytis su klaidomis ir negauti norim? ta?k?. Labiausiai ??eid?ianti klaida bus, jei sumai?ysite raides vietomis. Norint i?spr?sti lygt? tokiu b?du, reikia ?siminti ?i? standartin? mokyklos formul?, nes j? sunku suprasti.

Kad b?t? lengviau, galite naudoti kit? metod? - kanonin? form?. Id?ja itin paprasta. V?l atkreipkite d?mes? ? u?duot?. Atminkite, kad raid? a yra skai?ius, o ne funkcija ar kintamasis. A n?ra lygus vienetui ir yra didesnis u? nul?. N?ra joki? apribojim? b. Dabar i? vis? formuli? prisimename vien?. B gali b?ti i?reik?tas taip.

I? to i?plaukia, kad visos pradin?s lygtys su logaritmais gali b?ti pavaizduotos taip:

Dabar galime atmesti logaritmus. Rezultatas – paprasta konstrukcija, kuri? jau mat?me anks?iau.

?ios formul?s patogumas slypi tame, kad j? galima naudoti ?vairiais atvejais, o ne tik papras?iausio dizaino.

Nesijaudinkite d?l OOF!

Daugelis patyrusi? matematik? pasteb?s, kad mes nekreip?me d?mesio ? apibr??imo srit?. Taisykl? susiveda ? tai, kad F(x) b?tinai yra didesnis nei 0. Ne, mes nepraleidome ?io momento. Dabar kalbame apie dar vien? rimt? kanonin?s formos prana?um?.

?ia nebus papildom? ?akn?. Jei kintamasis bus tik vienoje vietoje, apimtis neb?tina. Jis veikia automati?kai. Nor?dami patikrinti ?? sprendim?, apsvarstykite galimyb? i?spr?sti kelet? paprast? pavyzd?i?.

Kaip i?spr?sti logaritmines lygtis su skirtingais pagrindais

Tai jau sud?tingos logaritmin?s lygtys, tod?l j? sprendimo b?das tur?t? b?ti ypatingas. ?ia retai ?manoma apsiriboti li?dnai pagars?jusia kanonine forma. Prad?kime savo i?sami? istorij?. Turime toki? konstrukcij?.

Atkreipkite d?mes? ? trupmen?. Jame yra logaritmas. Jei tai matote u?duotyje, verta prisiminti vien? ?dom? triuk?.

K? tai rei?kia? Kiekvienas logaritmas gali b?ti i?reik?tas kaip dviej? logaritm?, turin?i? patogi? baz?, koeficientas. Ir ?i formul? turi special? atvej?, kuris tinka ?iam pavyzd?iui (turime omenyje, jei c=b).

B?tent tai matome savo pavyzdyje. ?iuo b?du.

Ties? sakant, jie apvert? trupmen? ir gavo patogesn? i?rai?k?. Prisiminkite ?? algoritm?!

Dabar reikia, kad logaritmin?je lygtyje neb?t? skirting? bazi?. Pavaizduokime baz? kaip trupmen?.

Matematikoje yra taisykl?, pagal kuri? galite paimti laipsn? i? pagrindo. Pasirodo tokia konstrukcija.

Atrodyt?, kas dabar trukdo savo i?rai?k? paversti kanonine forma ir elementariai j? i?spr?sti? Ne taip paprasta. Prie? logaritm? netur?t? b?ti trupmen?. I?taisykime ?i? situacij?! Dal? leid?iama i?imti kaip laipsn?.

Atitinkamai.

Jei pagrindai yra vienodi, galime pa?alinti logaritmus ir sulyginti pa?ias i?rai?kas. Taigi situacija taps daug kart? lengvesn? nei buvo. Bus elementari lygtis, kuri? kiekvienas i? m?s? mok?jome i?spr?sti dar 8 ar net 7 klas?je. Skai?iavimus galite atlikti patys.

Gavome vienintel? tikr?j? ?ios logaritmin?s lygties ?akn?. Logaritmin?s lygties sprendimo pavyzd?iai yra gana paprasti, tiesa? Dabar gal?site savaranki?kai susidoroti su net sunkiausiomis pasiruo?imo ir i?laikymo egzaminu u?duotimis.

Koks rezultatas?

Bet koki? logaritmini? lyg?i? atveju mes vadovaujam?s viena labai svarbia taisykle. B?tina elgtis taip, kad i?rai?ka b?t? kuo paprastesn?. Tokiu atveju tur?site daugiau ?ans? ne tik teisingai i?spr?sti problem?, bet ir tai padaryti papras?iausiu bei logi?kiausiu b?du. Taip visada dirba matematikai.

Labai nerekomenduojame ie?koti sunki? keli?, ypa? ?iuo atveju. Prisiminkite kelet? paprast? taisykli?, kurios leis jums pakeisti bet koki? i?rai?k?. Pavyzd?iui, prid?kite du ar tris logaritmus ? t? pat? pagrind? arba paimkite gali? i? baz?s ir laim?kite.

Taip pat verta atsiminti, kad sprend?iant logaritmines lygtis reikia nuolat treniruotis. Palaipsniui pereisite prie vis sud?tingesni? strukt?r? ir tai leis jums u?tikrintai i?spr?sti visas egzamino problem? galimybes. Pasiruo?kite egzaminams i? anksto ir s?km?s!

?iuo vaizdo ?ra?u pradedu ilg? pamok? apie logaritmines lygtis serij?. Dabar i? karto turite tris pavyzd?ius, kuri? pagrindu i?moksime i?spr?sti papras?iausias u?duotis, kurios vadinamos taip - pirmuonys.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Leiskite jums priminti, kad papras?iausia logaritmin? lygtis yra tokia:

log a f(x) = b

Svarbu, kad kintamasis x b?t? tik argumento viduje, t.y. tik funkcijoje f(x). O skai?iai a ir b yra tik skai?iai ir jokiu b?du n?ra funkcijos, turin?ios kintam?j? x.

Pagrindiniai sprendimo b?dai

Yra daug b?d?, kaip i?spr?sti tokias strukt?ras. Pavyzd?iui, dauguma mokytoj? mokykloje si?lo tok? b?d?: Nedelsdami i?reik?kite funkcij? f ( x ) naudodami formul? f( x ) = a b . Tai yra, kai sutinkate papras?iausi? konstrukcij?, galite i? karto pereiti prie sprendimo be papildom? veiksm? ir konstrukcij?.

Taip, ?inoma, sprendimas bus teisingas. Ta?iau ?ios formul?s problema yra ta, kad dauguma student? nesuprasti, i? kur ji atsiranda ir kod?l b?tent a raid? keliame ? raid? b.

D?l to da?nai pastebiu labai ??eid?ian?ias klaidas, kai, pavyzd?iui, ?ios raid?s yra sukei?iamos. ?i? formul? reikia arba suprasti, arba ?siminti, o antrasis metodas priveda prie klaid? pa?iais netinkamiausiais ir svarbiausiais momentais: egzaminuose, testuose ir pan.

Tod?l si?lau visiems savo mokiniams atsisakyti standartin?s mokyklos formul?s ir sprend?iant logaritmines lygtis antr?j? metod?, kuris, kaip tikriausiai atsp?jote i? pavadinimo, vadinasi kanonin? forma.

Kanonin?s formos id?ja yra paprasta. Dar kart? pa?velkime ? savo u?duot?: kair?je pus?je yra log a , o raid? a rei?kia tiksliai skai?i? ir jokiu b?du ne funkcij?, kurioje yra kintamasis x. Tod?l ?iai raidei taikomi visi apribojimai, taikomi logaritmo pagrindui. b?tent:

1 ? a > 0

Kita vertus, i? tos pa?ios lygties matome, kad logaritmas turi b?ti lygus skai?iui b, ir ?iai raidei n?ra taikomi jokie apribojimai, nes ji gali ?gauti bet koki? reik?m? – ir teigiam?, ir neigiam?. Viskas priklauso nuo to, kokias reik?mes ?gyja funkcija f(x).

Ir ?ia mes prisimename m?s? nuostabi? taisykl?, kad bet kuris skai?ius b gali b?ti pavaizduotas kaip logaritmas baz?je a nuo a iki b laipsnio:

b = log a a b

Kaip atsiminti ?i? formul?? Taip, labai paprasta. Para?ykime toki? konstrukcij?:

b = b 1 = b log a a

?inoma, tokiu atveju atsiranda visi apribojimai, kuriuos u?sira??me prad?ioje. O dabar pasinaudokime pagrindine logaritmo savybe ir ?veskime koeficient? b kaip a laipsn?. Mes gauname:

b = b 1 = b log a a = log a a b

D?l to pradin? lygtis bus perra?yta tokia forma:

log a f (x) = log a a b -> f (x) = a b

Tai viskas. Naujojoje funkcijoje neb?ra logaritmo ir ji i?sprend?iama standartiniais algebriniais metodais.

Ai?ku, dabar kas nors paprie?taraus: kam i?vis reik?jo sugalvoti ka?koki? kanonin? formul?, kam atlikti du papildomus nereikalingus ?ingsnius, jei buvo galima i? karto pereiti nuo pradin?s konstrukcijos prie galutin?s formul?s? Taip, jei tik tod?l, kad dauguma student? nesupranta, i? kur atsiranda ?i formul?, ir d?l to reguliariai klysta j? taikydami.

Ta?iau tokia veiksm? seka, susidedanti i? trij? ?ingsni?, leid?ia i?spr?sti pradin? logaritmin? lygt?, net jei nesupranti, i? kur ta galutin? formul?. Beje, ?is ?ra?as vadinamas kanonine formule:

log a f(x) = log a a b

Kanonin?s formos patogumas slypi ir tame, kad ja galima i?spr?sti labai pla?i? logaritmini? lyg?i? klas?, o ne tik pa?ias papras?iausias, kurias ?iandien svarstome.

Sprendimo pavyzd?iai

Dabar pa?velkime ? tikrus pavyzd?ius. Taigi nuspr?skime:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Perra?ykime taip:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3

Daugelis student? skuba ir stengiasi i? karto pakelti skai?i? 0,5 iki galios, kuri mums kilo i? pradin?s problemos. Ir i? ties?, kai jau esate gerai apmokytas spr?sti tokias problemas, galite i? karto atlikti ?? veiksm?.

Ta?iau jei dabar tik pradedate nagrin?ti ?i? tem?, geriau niekur neskub?kite, kad nepadarytum?te ??eid?ian?i? klaid?. Taigi turime kanonin? form?. Mes turime:

3x - 1 = 0,5 -3

Tai jau ne logaritmin? lygtis, o tiesin? lygtis kintamojo x at?vilgiu. Nor?dami tai i?spr?sti, pirmiausia panagrin?kime skai?i? 0,5 iki -3 laipsnio. Atminkite, kad 0,5 yra 1/2.

(1/2) -3 = (2/1) 3 = 8

I?spr?sdami logaritmin? lygt?, visus de?imtainius skai?ius konvertuokite ? trupmenas.

Perra?ome ir gauname:

3x - 1 = 8
3x=9
x=3

Visi mes gavome atsakym?. Pirmoji u?duotis i?spr?sta.

Antra u?duotis

Pereikime prie antrosios u?duoties:

Kaip matote, ?i lygtis neb?ra pati papras?iausia. Jei tik tod?l, kad skirtumas yra kair?je, o ne vienas logaritmas vienoje baz?je.

Tod?l j?s turite ka?kaip atsikratyti ?io skirtumo. ?iuo atveju viskas labai paprasta. Pa?velkime atid?iau ? pagrindus: kair?je yra skai?ius po ?aknimi:

Bendra rekomendacija: visose logaritmin?se lygtyse stenkit?s atsikratyti radikal?, t. y. nuo ?ra?? su ?aknimis ir pereikite prie laipsni? funkcij? vien tod?l, kad ?i? gali? rodikliai lengvai pa?alinami i? logaritmo ?enklo ir galiausiai tokie. ?ym?jimas labai supaprastina ir pagreitina skai?iavimus. Para?ykime taip:

Dabar primename nepaprast? logaritmo savyb?: i? argumento, taip pat i? pagrindo, galite i?skirti laipsnius. Kalbant apie bazes, atsitinka taip:

log a k b = 1/k loga b

Kitaip tariant, skai?ius, kuris stov?jo pagrindo laipsnyje, pakeliamas ? priek? ir tuo pa?iu apver?iamas, tai yra, jis tampa skai?iaus atvirk?tiniu skai?iumi. M?s? atveju buvo bazinis laipsnis, kurio rodiklis buvo 1/2. Tod?l galime j? i?imti kaip 2/1. Mes gauname:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Atkreipkite d?mes?: ?iame ?ingsnyje jokiu b?du netur?tum?te atsikratyti logaritm?. Prisiminkite 4-5 klas?s matematik? ir operacij? eili?kum?: pirmiausia atliekama daugyba, o tik po to atliekama sud?jimas ir at?mimas. ?iuo atveju i? 10 element? atimame vien? i? t? pa?i? element?:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Dabar m?s? lygtis atrodo taip, kaip tur?t?. Tai papras?iausia konstrukcija, kuri? i?sprend?iame naudodami kanonin? form?:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Tai viskas. Antroji problema i?spr?sta.

Tre?ias pavyzdys

Pereikime prie tre?ios u?duoties:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Prisiminkite ?i? formul?:

log b = log 10 b

Jei d?l koki? nors prie?as?i? susipainiojate ra?ydami lg b , tada atlikdami visus skai?iavimus galite tiesiog para?yti log 10 b . Su de?imtainiais logaritmais galite dirbti taip pat, kaip ir su kitais: i?imkite laipsnius, sud?kite ir bet kur? skai?i? pavaizduokite kaip lg 10.

B?tent ?ias savybes dabar naudosime spr?sdami problem?, nes tai n?ra pati papras?iausia, kuri? u?sira??me pa?ioje pamokos prad?ioje.

Pirmiausia atkreipkite d?mes?, kad koeficientas 2 prie? lg 5 gali b?ti ?terptas ir tampa 5 baz?s laipsniu. Be to, laisvasis terminas 3 taip pat gali b?ti pavaizduotas kaip logaritmas – tai labai lengva pasteb?ti i? m?s? ?ym?jimo.

Spr?skite patys: bet koks skai?ius gali b?ti pavaizduotas kaip ?urnalas iki 10 baz?s:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Perra?ykime pradin? problem?, atsi?velgdami ? gautus pakeitimus:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg

Prie? mus v?l kanonin? forma, ir mes j? gavome apeidami transformacij? etap?, t.y., papras?iausia logaritmin? lygtis mums niekur neatsirado.

Apie tai ir kalb?jau pa?ioje pamokos prad?ioje. Kanonin? forma leid?ia i?spr?sti platesn? u?duo?i? grup? nei standartin? mokyklos formul?, kuri? pateikia dauguma mokyklos mokytoj?.

Tai viskas, atsikratome de?imtainio logaritmo ?enklo ir gauname paprast? tiesin? konstrukcij?:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Viskas! Problema i?spr?sta.

Pastaba apie taikymo srit?

?ia nor??iau pateikti svarbi? pastab? apie apibr??imo srit?. Tikrai dabar yra mokini? ir mokytoj?, kurie sakys: „Kai sprend?iame i?rai?kas logaritmais, b?tina atsiminti, kad argumentas f (x) turi b?ti didesnis u? nul?! ?iuo at?vilgiu kyla logi?kas klausimas: kod?l n? vienoje i? nagrin?jam? problem? nereikalavome, kad ?i nelygyb? b?t? patenkinta?

Nesijaudink. Tokiais atvejais neatsiras papildom? ?akn?. Ir tai dar vienas puikus triukas, leid?iantis paspartinti sprendim?. Tik ?inokite, kad jeigu u?davinyje kintamasis x pasitaiko tik vienoje vietoje (tiksliau, viename ir vieninteliame vieno ir vienintelio logaritmo argumente), o niekur kitur m?s? atveju kintamasis x nepasitaiko, tada para?ykite domen? nereikia nes jis veiks automati?kai.

Spr?skite patys: pirmoje lygtyje gavome, kad 3x - 1, t.y. argumentas turi b?ti lygus 8. Tai automati?kai rei?kia, kad 3x - 1 bus didesnis u? nul?.

Ta pa?ia s?kme galime para?yti, kad antruoju atveju x turi b?ti lygus 5 2, t.y., jis tikrai didesnis u? nul?. Ir tre?iuoju atveju, kur x + 3 = 25 000, t.y., v?lgi, akivaizd?iai didesnis u? nul?. Kitaip tariant, apimtis yra automatin?, bet tik tuo atveju, jei x yra tik vieno logaritmo argumente.

Tai viskas, k? reikia ?inoti norint i?spr?sti paprastas problemas. Vien ?i taisykl? kartu su transformacijos taisykl?mis leis i?spr?sti labai pla?i? problem? klas?.

Bet b?kime s??iningi: norint pagaliau suprasti ?i? technik? ir i?mokti taikyti kanonin? logaritmin?s lygties form?, neu?tenka vien ?i?r?ti vienos vaizdo pamokos. Tod?l dabar atsisi?skite nepriklausomo sprendimo parinktis, kurios pridedamos prie ?ios vaizdo pamokos, ir prad?kite spr?sti bent vien? i? ?i? dviej? nepriklausom? darb?.

Tai u?truks vos kelias minutes. Ta?iau tokio mokymo poveikis bus daug didesnis, palyginti su tuo, jei k? tik ?i?r?jote ?? vaizdo ?ra??.

Tikiuosi, kad ?i pamoka pad?s suprasti logaritmines lygtis. Taikykite kanonin? form?, supaprastinkite i?rai?kas naudodamiesi darbo su logaritmais taisykl?mis - ir j?s nebijosite joki? u?duo?i?. Ir tai viskas, k? ?iandien turiu.

Apimties svarstymas

Dabar pakalb?kime apie logaritmin?s funkcijos srit?, taip pat apie tai, kaip tai veikia logaritmini? lyg?i? sprendim?. Apsvarstykite formos konstrukcij?

log a f(x) = b

Tokia i?rai?ka vadinama papras?iausia – ji turi tik vien? funkcij?, o skai?iai a ir b yra tik skai?iai ir jokiu b?du n?ra funkcija, kuri priklauso nuo kintamojo x. Tai i?spr?sta labai paprastai. Jums tereikia naudoti formul?:

b = log a a b

?i formul? yra viena i? pagrindini? logaritmo savybi?, o pakeit? pradin? i?rai?k? gauname:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Tai jau pa??stama formul? i? mokyklini? vadov?li?. Daugeliui mokini? tikriausiai kils klausimas: kadangi funkcija f ( x ) pradin?je i?rai?koje yra po log ?enklu, jai taikomi tokie apribojimai:

f(x) > 0

?is apribojimas galioja, nes neigiam? skai?i? logaritmas neegzistuoja. Taigi, galb?t d?l ?io apribojimo tur?tum?te ?vesti atsakym? patikrinim?? Galb?t juos reikia pakeisti ?altinyje?

Ne, papras?iausiose logaritmin?se lygtyse papildomas tikrinimas nereikalingas. Ir tod?l. Pa?velkite ? m?s? galutin? formul?:

f(x) = a b

Faktas yra tas, kad skai?ius a bet kuriuo atveju yra didesnis nei 0 - ?? reikalavim? taip pat nustato logaritmas. Skai?ius a yra pagrindas. ?iuo atveju skai?iui b netaikomi jokie apribojimai. Bet tai nesvarbu, nes nesvarbu, kokiu laipsniu padidintume teigiam? skai?i?, vis tiek gausime teigiam? skai?i? i?vestyje. Taigi reikalavimas f (x) > 0 yra ?vykdytas automati?kai.

Tikrai verta patikrinti funkcijos apimt? po ?urnalo ?enklu. Gali b?ti gana sud?ting? dizain?, ir juos spr?sdami b?tinai turite j? laikytis. Pa?i?r?kime.

Pirma u?duotis:

Pirmas ?ingsnis: konvertuokite de?in?je esan?i? trupmen?. Mes gauname:

Atsikratome logaritmo ?enklo ir gauname ?prast? neracionali? lygt?:

I? gaut? ?akn? mums tinka tik pirmoji, nes antroji ?aknis ma?esn? u? nul?. Vienintelis atsakymas bus skai?ius 9. ?tai ir viskas, problema i?spr?sta. Joki? papildom? patikrinim?, ar i?rai?ka po logaritmo ?enklu yra didesn? u? 0, nereikia, nes ji ne tik didesn? u? 0, bet pagal lygties s?lyg? lygi 2. Tod?l reikalavimas „didesnis u? nul?“ yra automati?kai patenkintas.

Pereikime prie antrosios u?duoties:

?ia viskas taip pat. Perra?ome konstrukcij?, pakeisdami trigub?:

Atsikratome logaritmo ?enkl? ir gauname neracionali? lygt?:

Atsi?velgdami ? apribojimus, i?lyginkite abi dalis ir gauname:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 -4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Gaut? lygt? i?sprend?iame per diskriminant?:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Bet x = -6 mums netinka, nes jei ?? skai?i? pakeisime ? savo nelygyb?, gausime:

-6 + 4 = -2 < 0

M?s? atveju reikalaujama, kad jis b?t? didesnis nei 0 arba, kra?tutiniais atvejais, lygus. Bet x = -1 mums tinka:

-1 + 4 = 3 > 0

Vienintelis atsakymas m?s? atveju yra x = -1. ?tai ir visas sprendimas. Gr??kime ? pa?i? m?s? skai?iavimo prad?i?.

Pagrindin? ?ios pamokos i?vada yra ta, kad nereikia tikrinti funkcijos rib? papras?iausiose logaritmin?se lygtyse. Nes sprend?iant visus apribojimus vykdomi automati?kai.

Ta?iau tai jokiu b?du nerei?kia, kad galite visi?kai pamir?ti apie patikrinim?. Darbo su logaritmine lygtimi procese ji gali virsti neracionalia, kuri tur?s savo apribojimus ir reikalavimus de?inei pusei, kuri? ?iandien mat?me dviejuose skirtinguose pavyzd?iuose.

Nedvejodami spr?skite tokias problemas ir b?kite ypa? atsarg?s, jei gin?e yra ?aknis.

Logaritmin?s lygtys su skirtingais pagrindais

Toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuojame dar du gana ?domius triukus, kuriais madinga spr?sti sud?tingesnes strukt?ras. Ta?iau pirmiausia prisiminkime, kaip sprend?iamos papras?iausios u?duotys:

log a f(x) = b

?iame ?ym?jime a ir b yra tik skai?iai, o funkcijoje f (x) turi b?ti kintamasis x ir tik ten, tai yra, x turi b?ti tik argumente. Tokias logaritmines lygtis transformuosime naudodami kanonin? form?. D?l to atkreipiame d?mes? ? tai

b = log a a b

O a b yra tik argumentas. Perra?ykime ?i? i?rai?k? taip:

log a f(x) = log a a b

B?tent to ir siekiame, kad ir kair?je, ir de?in?je b?t? logaritmas iki pagrindo a. ?iuo atveju, vaizd?iai tariant, r?sto ?enklus galime nubraukti, o matematikos po?i?riu galime teigti, kad argumentus tiesiog sulyginame:

f(x) = a b

D?l to gauname nauj? i?rai?k?, kuri bus i?spr?sta daug lengviau. Taikykime ?i? taisykl? savo u?duotims ?iandien.

Taigi pirmasis dizainas:

Vis? pirma atkreipiu d?mes?, kad de?in?je yra trupmena, kurios vardiklis yra log. Kai matote toki? i?rai?k?, verta prisiminti nuostabi? logaritm? savyb?:

I?vertus ? rus? kalb?, tai rei?kia, kad bet kur? logaritm? galima pavaizduoti kaip dviej? logaritm? su bet kuria baze c koeficient?. ?inoma, 0< с ? 1.

Taigi: ?i formul? turi vien? nuostab? ypating? atvej?, kai kintamasis c yra lygus kintamajam b. Tokiu atveju gauname formos konstrukcij?:

B?tent ?i? konstrukcij? mes stebime i? ?enklo de?in?je m?s? lygtyje. Pakeiskime ?i? konstrukcij? log a b , gausime:

Kitaip tariant, palyginus su pradine u?duotimi, mes sukeit?me argument? ir logaritmo baz?. Vietoj to, mes tur?jome apversti trupmen?.

Primename, kad bet koks laipsnis gali b?ti pa?alintas i? baz?s pagal ?i? taisykl?:

Kitaip tariant, koeficientas k, kuris yra baz?s laipsnis, i?imamas kaip atvirk?tin? trupmena. I?imkime j? kaip apverst? trupmen?:

Trupmeninio koeficiento negalima palikti priekyje, nes tokiu atveju ?io ?ra?o negal?sime pavaizduoti kaip kanonin?s formos (juk kanonin?je formoje prie? antr?j? logaritm? papildomo koeficiento n?ra). Tod?l argumente kaip laipsn? ?d?kime trupmen? 1/4:

Dabar sulyginame argumentus, kuri? pagrindai yra vienodi (ir mes tikrai turime tuos pa?ius pagrindus), ir para?ome:

x + 5 = 1

x = -4

Tai viskas. Gavome atsakym? ? pirm?j? logaritmin? lygt?. Atkreipkite d?mes?: pradin?je u?duotyje kintamasis x yra tik viename ?urnale ir yra jo argumente. Tod?l nereikia tikrinti domeno, o m?s? skai?ius x = -4 i? tikr?j? yra atsakymas.

Dabar pereikime prie antrosios i?rai?kos:

log 56 = log 2 log 2 7 – 3 log (x + 4)

?ia, be ?prast? logaritm?, teks dirbti su lg f (x). Kaip i?spr?sti toki? lygt?? Nepasiruo?usiam mokiniui gali atrodyti, kad tai ka?kokia skarda, bet i? tikr?j? viskas i?spr?sta elementariai.

Atid?iai pa?velkite ? termin? lg 2 log 2 7. K? apie tai galime pasakyti? Log ir lg pagrindai ir argumentai yra vienodi, ir tai tur?t? duoti u?uomin?. Dar kart? prisiminkime, kaip laipsniai i?imami i? po logaritmo ?enklo:

log a b n = n log a b

Kitaip tariant, kokia buvo skai?iaus b galia argumente, tampa veiksniu prie? pat? log?. ?i? formul? pritaikykime rei?kiniui lg 2 log 2 7. Nebijokite lg 2 – tai da?niausiai pasitaikanti i?rai?ka. Galite perra?yti taip:

Jam galioja visos taisykl?s, kurios galioja bet kuriam kitam logaritmui. Vis? pirma, prie?ais esantis veiksnys gali b?ti ?trauktas ? argumento gali?. Para?ykime:

Labai da?nai studentai tu??iu ta?ku nemato ?io veiksmo, nes n?ra gerai ?vesti vien? ?urnal? po kito ?enklu. Ties? sakant, tame n?ra nieko nusikalstamo. Be to, gauname formul?, kuri? lengva apskai?iuoti, jei atsimenate svarbi? taisykl?:

?i? formul? galima laikyti ir apibr??imu, ir viena i? jos savybi?. Bet kokiu atveju, jei konvertuojate logaritmin? lygt?, ?i? formul? tur?tum?te ?inoti taip pat, kaip ir bet kurio skai?iaus atvaizdavim? ?urnalo forma.

Gr??tame prie savo u?duoties. Perra?ome atsi?velgdami ? tai, kad pirmasis lygyb?s ?enklo de?in?je esantis narys bus tiesiog lygus lg 7. Turime:

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Perkelkime lg 7 ? kair?, gausime:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Atimame kair?je esan?ias i?rai?kas, nes j? pagrindas yra tas pats:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Dabar atid?iau pa?velkime ? gaut? lygt?. Tai prakti?kai kanonin? forma, ta?iau de?in?je yra koeficientas -3. ?veskime j? ? tinkam? lg argument?:

lg 8 = lg (x + 4) -3

Prie? mus yra kanonin? logaritmin?s lygties forma, tod?l i?braukiame lg ?enklus ir sulyginame argumentus:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Tai viskas! I?sprend?me antr?j? logaritmin? lygt?. ?iuo atveju papildom? patikrinim? nereikia, nes pradin?je u?duotyje x buvo tik viename argumente.

Leiskite man pakartoti pagrindinius ?ios pamokos dalykus.

Pagrindin? formul?, kuri nagrin?jama visose ?io puslapio pamokose, skirtose logaritmin?ms lygtims spr?sti, yra kanonin? forma. Ir nesijaudinkite d?l to, kad daugumoje mokyklini? vadov?li? mokoma, kaip tokias problemas spr?sti kitaip. ?is ?rankis veikia labai efektyviai ir leid?ia i?spr?sti daug platesn? u?duo?i? grup? nei pa?ios papras?iausios, kurias nagrin?jome pa?ioje pamokos prad?ioje.

Be to, norint i?spr?sti logaritmines lygtis, bus naudinga ?inoti pagrindines savybes. B?tent:

1. Per?jimo ? vien? baz? formul? ir specialus atvejis, kai apver?iame ?urnal? (tai mums labai pravert? atliekant pirm?j? u?duot?);
2. Formul? gali? ?vedimui ir i??mimui i? po logaritmo ?enklo. ?ia daugelis student? ?stringa ir nemato, kad i?imtoje ir ?vestoje galioje gali b?ti log f (x). Nieko blogo tame. Vien? r?st? galime ?vesti pagal kito ?enkl? ir tuo pa?iu gerokai supaprastinti problemos sprendim?, k? ir stebime antruoju atveju.

Baigdamas noriu pridurti, kad kiekvienu i? ?i? atvej? neb?tina tikrinti apimties, nes visur kintamasis x yra tik viename log ?enkle ir tuo pa?iu yra jo argumente. Tod?l visi domeno reikalavimai tenkinami automati?kai.

Problemos su kintamu pagrindu

?iandien nagrin?sime logaritmines lygtis, kurios daugeliui student? atrodo nestandartin?s, jei ne visi?kai nei?sprend?iamos. Kalbame apie i?rai?kas, kurios pagr?stos ne skai?iais, o kintamaisiais ir net funkcijomis. Tokias konstrukcijas spr?sime naudodami standartin? technik?, b?tent per kanonin? form?.

Pirmiausia prisiminkime, kaip i?sprend?iamos papras?iausios problemos, pagr?stos ?prastais skai?iais. Taigi, vadinama papras?iausia konstrukcija

log a f(x) = b

Nor?dami i?spr?sti tokias problemas, galime naudoti ?i? formul?:

b = log a a b

Perra?ome savo pradin? i?rai?k? ir gauname:

log a f(x) = log a a b

Tada sulyginame argumentus, t.y. ra?ome:

f(x) = a b

Taip atsikratome r?sto ?enklo ir i?sprend?iame ?prast? problem?. ?iuo atveju sprendime gautos ?aknys bus pradin?s logaritmin?s lygties ?aknys. Be to, ?ra?as, kai ir kair?, ir de?in? yra tame pa?iame logaritme su tuo pa?iu pagrindu, vadinamas kanonine forma. B?tent iki ?io rekordo ir stengsim?s suma?inti ?iandienines statybas. Taigi eime.

Pirma u?duotis:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Pakeiskite 1 log x - 2 (x - 2) 1 . Laipsnis, kur? stebime argumente, i? tikr?j? yra skai?ius b , kuris buvo lygyb?s ?enklo de?in?je. Taigi perra?ykime savo i?rai?k?. Mes gauname:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

K? mes matome? Prie? mus yra kanonin? logaritmin?s lygties forma, tod?l galime saugiai sulyginti argumentus. Mes gauname:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Ta?iau sprendimas tuo nesibaigia, nes ?i lygtis n?ra lygiavert? pradinei. Gal? gale, gauta konstrukcija susideda i? funkcij?, kurios yra apibr??tos visoje skai?i? eilut?je, o m?s? pradiniai logaritmai yra apibr??ti ne visur ir ne visada.

Tod?l apibr??imo srit? turime u?ra?yti atskirai. Neb?kime i?mintingesni ir pirmiausia sura?ykime visus reikalavimus:

Pirma, kiekvieno logaritmo argumentas turi b?ti didesnis nei 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

Antra, baz? turi b?ti ne tik didesn? nei 0, bet ir skirtis nuo 1:

x – 2 ? 1

Kaip rezultatas, mes gauname sistem?:

Ta?iau nei?sig?skite: apdorojant logaritmines lygtis tokia sistema gali b?ti labai supaprastinta.

Spr?skite patys: viena vertus, i? m?s? reikalaujama, kad kvadratin? funkcija b?t? didesn? u? nul?, kita vertus, ?i kvadratin? funkcija prilyginama kokiai nors tiesinei i?rai?kai, kuri taip pat reikalaujama, kad ji b?t? didesn? u? nul?.

Tokiu atveju, jei reikalaujame, kad x - 2 > 0, tai automati?kai bus ?vykdytas reikalavimas 2x 2 - 13x + 18 > 0. Tod?l nelygyb?, kurioje yra kvadratin? funkcija, galime dr?siai i?braukti. Taigi m?s? sistemoje esan?i? i?rai?k? skai?ius bus suma?intas iki trij?.

?inoma, lygiai taip pat gal?tume nubraukti tiesin? nelygyb?, t. y. nubraukti x - 2 > 0 ir reikalauti, kad 2x 2 - 13x + 18 > 0. Ta?iau reikia pripa?inti, kad papras?iausi? tiesin? nelygyb? i?spr?sti yra daug grei?iau ir lengviau. nei kvadratin?, net jei i?sprendus vis? ?i? sistem? gauname tas pa?ias ?aknis.

Apskritai, kai tik ?manoma, stenkit?s optimizuoti skai?iavimus. O logaritmini? lyg?i? atveju i?braukite sunkiausias nelygybes.

Perra?ykime savo sistem?:

?tai tokia trij? posaki? sistema, i? kuri? dvi i? tikr?j? jau i?siai?kinome. Atskirai i?ra?ykime kvadratin? lygt? ir i?spr?skime:

2x2 – 14x + 20 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

Prie? mus yra suma?intas kvadratinis trinaris, tod?l galime naudoti Vieta formules. Mes gauname:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Dabar, gr??tant prie m?s? sistemos, matome, kad x = 2 mums netinka, nes i? m?s? reikalaujama, kad x b?t? grie?tai didesnis nei 2.

Bet x \u003d 5 mums tinka gana gerai: skai?ius 5 yra didesnis nei 2, o tuo pa?iu metu 5 n?ra lygus 3. Tod?l vienintelis ?ios sistemos sprendimas bus x \u003d 5.

Viskas, u?duotis i?spr?sta, ?skaitant atsi?velgiant ? ODZ. Pereikime prie antrosios lygties. ?ia laukiame ?domesni? ir prasmingesni? skai?iavim?:

Pirmas ?ingsnis: kaip ir paskutin? kart?, vis? ?? versl? perkeliame ? kanonin? form?. Nor?dami tai padaryti, skai?i? 9 galime para?yti taip:

Negalima liesti pagrindo su ?aknimi, bet geriau pakeisti argument?. Pereikime nuo ?aknies prie laipsnio su racionaliuoju rodikliu. Para?ykime:

Leiskite man neperra?yti visos m?s? didel?s logaritmin?s lygties, o tiesiog i? karto sulyginti argumentus:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Prie? mus v?l yra suma?intas kvadratinis trinaris, naudosime Vieta formules ir para?ysime:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Taigi, gavome ?aknis, bet niekas negarantavo, kad jos atitiks pradin? logaritmin? lygt?. Juk r?st? ?enklai kelia papildomus apribojimus (?ia tekt? u?ra?yti sistem?, bet d?l visos konstrukcijos grem?zdi?kumo nusprend?iau apibr??imo srit? skai?iuoti atskirai).

Vis? pirma, atminkite, kad argumentai turi b?ti didesni nei 0, b?tent:

Tai yra apibr??imo srities keliami reikalavimai.

I? karto pastebime, kad kadangi pirm?sias dvi sistemos i?rai?kas prilyginame viena kitai, bet kuri? i? j? galime i?braukti. Pirm?j? i?braukime, nes jis atrodo gr?smingesnis nei antrasis.

Be to, atkreipkite d?mes?, kad antrosios ir tre?iosios nelygybi? sprendiniai bus tos pa?ios aib?s (kai kurio skai?iaus kubas yra didesnis u? nul?, jei pats skai?ius didesnis u? nul?; pana?iai ir su tre?iojo laipsnio ?aknimi - ?ios nelygyb?s yra visi?kai pana?us, tod?l vien? i? j? galime u?braukti).

Ta?iau su tre?i?ja nelygybe tai neveiks. Atsikratykime kair?je esan?io radikalo ?enklo, kuriam abi dalis pakeliame ? kub?. Mes gauname:

Taigi gauname ?iuos reikalavimus:

-2 ? x > -3

Kuri i? m?s? ?akn?: x 1 = -3 arba x 2 = -1 atitinka ?iuos reikalavimus? Akivaizdu, kad tik x = -1, nes x = -3 netenkina pirmosios nelygyb?s (nes m?s? nelygyb? yra grie?ta). I? viso, gr??tant prie u?davinio, gauname vien? ?akn?: x = -1. ?tai ir viskas, problema i?spr?sta.

V?lgi, pagrindiniai ?ios u?duoties punktai:

1. Nedvejodami pritaikykite ir spr?skite logaritmines lygtis naudodami kanonin? form?. Studentai, kurie daro tok? ?ra?? ir nepereina tiesiai nuo pradin?s problemos prie tokios konstrukcijos kaip log a f ( x ) = b , daro daug ma?iau klaid? nei tie, kurie ka?kur skuba, praleid?ia tarpinius skai?iavimo ?ingsnius;
2. Kai tik logaritme atsiranda kintamoji baz?, problema nustoja b?ti pati papras?iausia. Tod?l j? sprend?iant b?tina atsi?velgti ? apibr??imo srit?: argumentai turi b?ti didesni u? nul?, o pagrindai turi b?ti ne tik didesni u? 0, bet ir nelyg?s 1.

Paskutinius reikalavimus galutiniams atsakymams galite kelti ?vairiais b?dais. Pavyzd?iui, galima i?spr?sti vis? sistem?, kurioje yra visi domeno reikalavimai. Kita vertus, pirmiausia galite i?spr?sti pa?i? problem?, o tada prisiminti apibr??imo srit?, j? atskirai i?siai?kinti sistemos pavidalu ir pritaikyti gautoms ?aknims.

Kur? b?d? pasirinkti sprend?iant tam tikr? logaritmin? lygt?, priklauso nuo j?s?. Bet kokiu atveju atsakymas bus tas pats.