?iame straipsnyje ?is metodas nagrin?jamas kaip tiesini? lyg?i? sistem? (SLAE) sprendimo b?das. Metodas yra analitinis, tai yra, leid?ia ?ra?yti sprendimo algoritm? bendras vaizdas, tada pakeiskite reik?mes i? konkre?i? ten esan?i? pavyzd?i?. Skirtingai nuo matricos metodo ar Cramerio formuli?, sprend?iant tiesini? lyg?i? sistem? Gauso metodu, galite dirbti ir su tomis, kurios turi be galo daug sprendini?. Arba jie jo visai neturi.

K? rei?kia Gauss

Pirmiausia turite u?ra?yti m?s? lyg?i? sistem? ? Tai atrodo taip. Sistema paimama:

Koeficientai ra?omi lentel?s forma, o de?in?je atskirame stulpelyje – laisvieji nariai. Stulpelis su laisvaisiais nariais yra atskirtas d?l patogumo.Matrica, kurioje yra ?is stulpelis, vadinama i?pl?stine.

Be to, pagrindin? matrica su koeficientais turi b?ti suma?inta iki vir?utin?s trikampio formos. Tai yra pagrindinis tikslas sprend?iant sistem? Gauso metodu. Papras?iau tariant, po tam tikr? manipuliacij? matrica tur?t? atrodyti taip, kad apatin?je kairiojoje jos dalyje b?t? tik nuliai:

Tada, jei nauj? matric? dar kart? para?ysite kaip lyg?i? sistem?, pasteb?site, kad paskutin?je eilut?je jau yra vienos i? ?akn? reik?m?, kuri v?liau pakei?iama ? auk??iau esan?i? lygt?, randama kita ?aknis ir pan.

Tai yra Gauso metodo sprendimo apra?ymas pa?iais bendriausiais terminais. O kas atsitiks, jei staiga sistema neturi sprendimo? O gal j? yra be galo daug? Norint atsakyti ? ?iuos ir daugel? kit? klausim?, b?tina atskirai apsvarstyti visus sprendime naudojamus elementus Gauso metodu.

Matricos, j? savyb?s

Matricoje n?ra pasl?ptos prasm?s. Tai tiesiog patogus b?das ?ra?yti duomenis v?lesn?ms operacijoms. Net moksleiviai netur?t? j? bijoti.

Matrica visada yra sta?iakamp?, nes taip patogiau. Netgi Gauso metodu, kai viskas susiveda ? trikamp?s matricos sudarym?, ?ra?e atsiranda sta?iakampis, tik su nuliais toje vietoje, kur n?ra skai?i?. Nuli? galima praleisti, ta?iau jie yra numanomi.

Matrica turi dyd?. Jo "plotis" yra eilu?i? skai?ius (m), jo "ilgis" yra stulpeli? skai?ius (n). Tada matricos A dydis (joms ?ym?ti da?niausiai naudojamos did?iosios lotyni?kos raid?s) bus ?ymimas kaip A mxn . Jei m = n, tada ?i matrica yra kvadratin?, o m = n yra jos tvarka. Atitinkamai bet kuris matricos A elementas gali b?ti ?ymimas jo eilut?s ir stulpelio skai?iumi: a xy ; x - eilut?s numeris, pakeitimai , y - stulpelio numeris, pakeitimai .

B n?ra pagrindinis sprendimo ta?kas. I? esm?s visas operacijas galima atlikti tiesiogiai su pa?iomis lygtimis, ta?iau ?ym?jimas pasirodys daug sud?tingesnis ir jame bus daug lengviau susipainioti.

Determinantas

Matrica taip pat turi determinant?. Tai labai svarbi savyb?. Su?inokite jo reik?m? dabar neverta, galite tiesiog parodyti, kaip jis apskai?iuojamas, o tada pasakyti, kokias matricos savybes ji nustato. Lengviausias b?das rasti determinant? yra per ?stri?aines. Matricoje br??iamos ?sivaizduojamos ?stri?ain?s; ant kiekvieno i? j? esantys elementai padauginami, o tada pridedami gauti produktai: ?stri?ain?s su nuolyd?iu ? de?in? - su "pliuso" ?enklu, su nuolyd?iu ? kair? - su "minuso" ?enklu.

Labai svarbu pa?ym?ti, kad determinant? galima apskai?iuoti tik kvadratinei matricai. Sta?iakampei matricai galite atlikti ?iuos veiksmus: pasirinkti ma?iausi? i? eilu?i? ir stulpeli? skai?iaus (teb?nie k), tada atsitiktine tvarka matricoje pa?ym?ti k stulpeli? ir k eilu?i?. Elementai, esantys pasirinkt? stulpeli? ir eilu?i? sankirtoje, sudarys nauj? kvadratin? matric?. Jei tokios matricos determinantas yra skai?ius, kuris n?ra nulis, tada jis vadinamas pradin?s sta?iakamp?s matricos baziniu ma?uoju.

Prie? sprend?iant lyg?i? sistem? Gauso metodu, nepakenks apskai?iuoti determinant?. Jei paai?k?ja, kad jis yra nulis, galime i? karto pasakyti, kad matrica turi arba begalin? skai?i? sprendini?, arba j? i? viso n?ra. Tokiu li?dnu atveju reikia eiti toliau ir su?inoti apie matricos rang?.

Sistemos klasifikacija

Yra toks dalykas kaip matricos rangas. Tai yra did?iausia jo nenulinio determinanto tvarka (atsimindami pagrindin? ma??j?, galime sakyti, kad matricos rangas yra pagrindin?s ma?osios eil?s tvarka).

Atsi?velgiant ? tai, kaip viskas yra su rangu, SLAE galima suskirstyti ?:

• Bendras. At jungtini? sistem? pagrindin?s matricos (sudarytos tik i? koeficient?) rangas sutampa su i?pl?stin?s (su laisv?j? termin? stulpeliu). Tokios sistemos turi sprendim?, bet neb?tinai vien?, tod?l jung?i? sistemos papildomai skirstomos ?:
• - tam tikras- tur?ti unikal? sprendim?. Tam tikrose sistemose matricos rangas ir ne?inom?j? skai?ius (arba stulpeli? skai?ius, kuris yra tas pats) yra lyg?s;
• - neterminuota - su begaliniu skai?iumi sprendini?. Toki? sistem? matric? rangas yra ma?esnis u? ne?inom?j? skai?i?.
• Nesuderinamas. At tokios sistemos, pagrindin?s ir i?pl?stin?s matric? eil?s nesutampa. Nesuderinamos sistemos neturi sprendimo.

Gauso metodas geras tuo, kad leid?ia gauti arba nedviprasmi?k? sistemos nenuoseklumo ?rodym? (neskai?iuojant dideli? matric? determinant?), arba bendr? sprendin? sistemai su begaliniu sprendini? skai?iumi sprendimo metu.

Elementarios transformacijos

Prie? pereinant tiesiai prie sistemos sprendimo, galima padaryti j? ma?iau sud?ting? ir patogesn? skai?iavimams. Tai pasiekiama elementariomis transformacijomis – tokias, kad j? ?gyvendinimas niekaip nepakeist? galutinio atsakymo. Reikia pa?ym?ti, kad kai kurios i? auk??iau pamin?t? elementari?j? transformacij? galioja tik matricoms, kuri? ?altinis buvo b?tent SLAE. ?tai ?i? transformacij? s?ra?as:

1. Stygos permutacija. Akivaizdu, kad jei pakeisime lyg?i? tvark? sistemos ?ra?e, tai sprendiniui tai niekaip nepaveiks. Vadinasi, ?ios sistemos matricoje taip pat galima sukeisti eilutes, nepamir?tant, ?inoma, apie laisv?j? nari? stulpel?.
2. Vis? eilut?s element? padauginimas i? tam tikro koeficiento. Labai naudingas! Su juo galite suma?inti didelius skai?ius matricoje arba pa?alinti nulius. Sprendim? rinkinys, kaip ?prasta, nesikeis, o tolimesnes operacijas atlikti taps patogiau. Svarbiausia, kad koeficientas neb?t? lygus nuliui.
3. I?trinti eilutes su proporciniais koeficientais. Tai i? dalies i?plaukia i? ankstesn?s pastraipos. Jei dvi ar daugiau matricos eilu?i? turi proporcingus koeficientus, tada padauginus / padalijus vien? i? eilu?i? i? proporcingumo koeficiento, gaunamos dvi (arba dar kart? daugiau) visi?kai identi?kos eilut?s, o papildomas galite pa?alinti, palikdami tik vienas.
4. Nulin?s eilut?s pa?alinimas. Jei transformacij? metu ka?kur gaunama eilut?, kurioje visi elementai, ?skaitant laisv?j? nar?, yra lyg?s nuliui, tai toki? eilut? galima pavadinti nuliu ir i?mesti i? matricos.
5. Pridedant prie vienos eilut?s element? kitos (atitinkamuose stulpeliuose) elementus, padaugintus i? tam tikro koeficiento. Neai?kiausia ir svarbiausia transformacija i? vis?. Verta prie to pasilikti pla?iau.

Sudedant eilut?, padaugint? i? koeficiento

Kad b?t? lengviau suprasti, verta ?ingsnis po ?ingsnio i?ardyti ?? proces?. I? matricos paimtos dvi eilut?s:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tarkime, kad reikia prid?ti pirm?j? prie antrojo, padaugint? i? koeficiento „-2“.

a" 21 \u003d a 21 + -2 x a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 x a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 x a 1n

Tada matricoje antroji eilut? pakei?iama nauja, o pirmoji lieka nepakitusi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Pa?ym?tina, kad daugybos koeficient? galima pasirinkti taip, kad, prid?jus dvi eilutes, vienas i? naujos eilut?s element? b?t? lygus nuliui. Tod?l sistemoje galima gauti lygt?, kurioje bus vienu ne?inomuoju ma?iau. Ir jei j?s gaunate dvi tokias lygtis, tada operacij? galima atlikti dar kart? ir gauti lygt?, kurioje jau bus du ma?iau ne?inom?j?. Ir jei kiekvien? kart? visoms eilut?ms, kurios yra ?emesn?s u? pradin?, pasuksime ? nul? vien? koeficient?, tada galime, kaip ?ingsniai, nusileisti ? pat? matricos apa?i? ir gauti lygt? su vienu ne?inomuoju. Tai vadinama sistemos i?sprendimu Gauso metodu.

Apskritai

Tegul b?na sistema. Ji turi m lyg?i? ir n ne?inom? ?akn?. Galite u?ra?yti taip:

Pagrindin? matrica sudaroma i? sistemos koeficient?. Laisv?j? nari? stulpelis pridedamas prie i?pl?stin?s matricos ir patogumo d?lei atskiriamas juostele.

• pirmoji matricos eilut? padauginama i? koeficiento k = (-a 21 / a 11);
• pridedama pirmoji modifikuota matricos eilut? ir antroji eilut?;
• vietoj antros eilut?s ? matric? ?terpiamas ankstesn?s pastraipos papildymo rezultatas;
• dabar pirmasis koeficientas naujoje antroje eilut?je yra 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Dabar atliekama ta pati transformacij? serija, ?traukiamos tik pirmoji ir tre?ia eilut?s. Atitinkamai kiekviename algoritmo ?ingsnyje elementas a 21 pakei?iamas 31 . Tada viskas kartojama 41, ... a m1. Rezultatas yra matrica, kurioje pirmasis elementas eilut?se yra lygus nuliui. Dabar turime pamir?ti apie pirm? eilut? ir vykdyti t? pat? algoritm?, pradedant nuo antros eilut?s:

• koeficientas k \u003d (-a 32 / a 22);
• antroji modifikuota eilut? pridedama prie "dabartin?s" eilut?s;
• papildymo rezultatas pakei?iamas tre?ioje, ketvirtoje ir tt eilut?se, o pirmoji ir antroji lieka nepakit?;
• matricos eilut?se pirmieji du elementai jau lyg?s nuliui.

Algoritmas turi b?ti kartojamas tol, kol pasirodys koeficientas k = (-a m,m-1 /a mm). Tai rei?kia, kad algoritmas paskutin? kart? buvo paleistas tik ?emesnei lyg?iai. Dabar matrica atrodo kaip trikampis arba turi laiptuot? form?. Apatin?je eilut?je yra lygyb? a mn x x n = b m . Koeficientas ir laisvasis narys yra ?inomi, per juos i?rei?kiama ?aknis: x n = b m /a mn. Gauta ?aknis pakei?iama ? vir?utin? eilut?, kad b?t? nustatyta x n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1 . Ir taip toliau pagal analogij?: kiekvienoje kitoje eilut?je yra nauja ?aknis ir, pasiek? sistemos „vir??“, galite rasti daugyb? sprendim?. Tai bus vienintelis.

Kai n?ra sprendim?

Jei vienoje i? matricos eilu?i? visi elementai, i?skyrus laisv?j? nar?, yra lyg?s nuliui, tai ?i? eilut? atitinkanti lygtis atrodo taip, kad 0 = b. Jis neturi sprendimo. O kadangi tokia lygtis ?traukta ? sistem?, tai visos sistemos sprendini? aib? yra tu??ia, tai yra i?sigimusi.

Kai sprendini? yra be galo daug

Gali pasirodyti, kad suma?intoje trikamp?je matricoje n?ra eilu?i? su vienu elementu - lygties koeficientu, o viena - laisvuoju nariu. Yra tik eilut?s, kurios perra?omos kaip lygtis su dviem ar daugiau kintam?j?. Tai rei?kia, kad sistema turi begalin? sprendim? skai?i?. ?iuo atveju atsakymas gali b?ti pateiktas bendro sprendimo forma. Kaip tai padaryti?

Visi matricos kintamieji skirstomi ? pagrindinius ir laisvuosius. Pagrindiniai – tai tie, kurie stovi laiptuotos matricos eilu?i? „ant kra?to“. Likusieji nemokami. Bendrajame sprendime pagrindiniai kintamieji ra?omi laisvaisiais.

Patogumui matrica pirmiausia perra?oma ? lyg?i? sistem?. Tada paskutiniame i? j?, kur tiksliai liko tik vienas pagrindinis kintamasis, jis lieka vienoje pus?je, o visa kita perkeliama ? kit?. Tai daroma kiekvienai lyg?iai su vienu pagrindiniu kintamuoju. Tada likusiose lyg?i? dalyse, kur ?manoma, vietoj pagrindinio kintamojo pakei?iama jam gauta i?rai?ka. Jei d?l to v?l atsiranda i?rai?ka, turinti tik vien? pagrindin? kintam?j?, ji v?l i?rei?kiama i? ten ir taip toliau, kol kiekvienas pagrindinis kintamasis u?ra?omas kaip i?rai?ka su laisvaisiais kintamaisiais. Tai yra bendras SLAE sprendimas.

Taip pat galite rasti pagrindin? sistemos sprendim? – suteikite laisviesiems kintamiesiems bet kokias reik?mes, o tada ?iuo konkre?iu atveju apskai?iuokite pagrindini? kintam?j? reik?mes. Yra be galo daug konkre?i? sprendim?.

Sprendimas su konkre?iais pavyzd?iais

?ia yra lyg?i? sistema.

Patogumui geriau i? karto sukurti jo matric?

?inoma, kad sprend?iant Gauso metodu, pirm?j? eilut? atitinkanti lygtis transformacij? pabaigoje i?liks nepakitusi. Tod?l bus pelningiau, jei vir?utinis kairysis matricos elementas bus ma?iausias - tada pirmieji likusi? eilu?i? elementai po operacij? taps nuliu. Tai rei?kia, kad sudarytoje matricoje bus naudinga vietoj pirmosios eilut?s d?ti antr?.

antroji eilut?: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k x a 11 \u003d 3 + (-3) x 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k x a 12 \u003d -1 + (-3) x 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k x a 13 = 1 + (-3) x 4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k x b 1 \u003d 12 + (-3) x 12 \u003d -24

tre?ia eilut?: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k x a 11 = 5 + (-5) x 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k x a 12 = 1 + (-5) x 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k x a 13 = 2 + (-5) x 4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k x b 1 \u003d 3 + (-5) x 12 \u003d -57

Dabar, kad nesusipainiotum?te, reikia u?sira?yti matric? su tarpiniais transformacij? rezultatais.

Akivaizdu, kad toki? matric? kai kuri? operacij? pagalba galima padaryti patogesn? suvokimui. Pavyzd?iui, galite pa?alinti visus „minusus“ i? antrosios eilut?s, padaugindami kiekvien? element? i? „-1“.

Taip pat verta pamin?ti, kad tre?ioje eilut?je visi elementai yra trij? kartotiniai. Tada galite suma?inti eilut? ?iuo skai?iumi, padaugindami kiekvien? element? i? "-1/3" (at?mus - tuo pa?iu metu, kad pa?alintum?te neigiamas reik?mes).

Atrodo daug gra?iau. Dabar turime palikti pirm?j? eilut? ir dirbti su antr?ja ir tre?ia. U?duotis yra prid?ti antr? eilut? prie tre?ios eil?s, padaugint? i? tokio koeficiento, kad elementas a 32 tapt? lygus nuliui.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 trupmenos ir tik tada, kai gausite atsakymus, nuspr?skite, ar suapvalinti ir i?versti ? kit? ?ym?jimo form?)

a" 32 = a 32 + k x a 22 = 3 + (-3/7) x 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k x a 23 \u003d 6 + (-3/7) x 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k x b 2 \u003d 19 + (-3/7) x 24 \u003d -61/7

Matrica v?l para?yta su naujomis reik?m?mis.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kaip matote, gauta matrica jau turi laiptuot? form?. Tod?l tolesni? sistemos transformacij? Gauso metodu nereikia. K? ?ia galima padaryti, tai i? tre?ios eilut?s pa?alinti bendr? koeficient? „-1/7“.

Dabar viskas gra?u. Esm? ma?a – v?l para?ykite matric? lyg?i? sistemos forma ir apskai?iuokite ?aknis

x + 2y + 4z = 12 (1)

7m + 11z = 24 (2)

Algoritmas, pagal kur? dabar bus randamos ?aknys, Gauso metodu vadinamas atvirk?tiniu jud?jimu. (3) lygtis apima z reik?m?:

y = (24–11x(61/9))/7 = –65/9

Ir pirmoji lygtis leid?ia rasti x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Turime teis? toki? sistem? vadinti jungtine ir netgi apibr??ta, tai yra, turin?ia unikal? sprendim?. Atsakymas para?ytas tokia forma:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z = 61/9.

Neribotos sistemos pavyzdys

I?nagrin?tas tam tikros sistemos sprendimo Gauso metodu variantas, dabar reikia nagrin?ti atvej?, jei sistema yra neapibr??ta, tai yra, jai galima rasti be galo daug sprendim?.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Jau pati sistemos forma kelia nerim?, nes ne?inom?j? skai?ius yra n = 5, o sistemos matricos rangas jau lygiai ma?esnis u? ?? skai?i?, nes eilu?i? skai?ius yra m = 4, tai yra, did?iausia kvadratinio determinanto eil? yra 4. Tai rei?kia, kad sprendini? yra be galo daug, ir reikia ie?koti bendrosios jo formos. Gauso metodas tiesin?ms lygtims leid?ia tai padaryti.

Pirmiausia, kaip ?prasta, sudaroma papildyta matrica.

Antroji eilut?: koeficientas k = (-a 21 / a 11) = -3. Tre?ioje eilut?je pirmas elementas yra prie? transformacijas, tod?l nieko liesti nereikia, reikia palikti tok?, koks yra. Ketvirta eilut?: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Padauginus pirmosios eilut?s elementus i? kiekvieno j? koeficiento ir prid?jus juos prie norim? eilu?i?, gauname tokios formos matric?:

Kaip matote, antroji, tre?ioji ir ketvirtoji eilut?s susideda i? element?, kurie yra proporcingi vienas kitam. Antrasis ir ketvirtasis paprastai yra vienodi, tod?l vien? i? j? galima nedelsiant pa?alinti, o likusius padauginti i? koeficiento „-1“ ir gauti eilut?s numer? 3. Ir v?l palikite vien? i? dviej? identi?k? eilu?i?.

Pasirod? tokia matrica. Sistema dar nenura?yta, ?ia reikia nustatyti pagrindinius kintamuosius - esant koeficientams 11 \u003d 1 ir 22 \u003d 1, o laisvus - visus kitus.

Antroji lygtis turi tik vien? pagrindin? kintam?j? – x 2 . Vadinasi, j? galima i?reik?ti i? ten, ra?ant per kintamuosius x 3 , x 4 , x 5 , kurie yra laisvi.

Gaut? i?rai?k? pakei?iame pirm?ja lygtimi.

Paai?k?jo lygtis, kurioje vienintelis pagrindinis kintamasis yra x 1. Su juo darykime t? pat?, kaip ir su x 2 .

Visi pagrindiniai kintamieji, kuri? yra du, i?rei?kiami trimis laisvaisiais, dabar galite para?yti atsakym? bendra forma.

Taip pat galite nurodyti vien? i? konkre?i? sistemos sprendim?. Tokiais atvejais, kaip taisykl?, laisv?j? kintam?j? reik?m?s pasirenkami nuliai. Tada atsakymas bus toks:

16, 23, 0, 0, 0.

Nesuderinamos sistemos pavyzdys

Nenuosekli? lyg?i? sistem? sprendimas Gauso metodu yra grei?iausias. Jis baigiasi, kai tik viename i? etap? gaunama lygtis, kuri neturi sprendinio. Tai yra, gana ilgas ir ni?rus etapas su ?akn? skai?iavimu i?nyksta. Atsi?velgiama ? ?i? sistem?:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kaip ?prasta, matrica sudaroma:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ir jis suma?inamas iki pakopin?s formos:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po pirmosios transformacijos tre?ioje eilut?je yra formos lygtis

neturintis sprendimo. Tod?l sistema yra nenuosekli, o atsakymas yra tu??ias rinkinys.

Metodo privalumai ir tr?kumai

Jei pasirinksite, kur? metod? i?spr?sti SLAE popieriuje su ra?ikliu, tada metodas, kuris buvo aptartas ?iame straipsnyje, atrodo patraukliausias. Elementariose transformacijose susipainioti yra daug sunkiau, nei tai atsitinka, jei reikia rankiniu b?du ie?koti determinanto ar kokios keblios atvirk?tin?s matricos. Ta?iau jei darbui su tokio tipo duomenimis naudojate programas, pavyzd?iui, skai?iuokles, tuomet paai?k?ja, kad tokiose programose jau yra algoritmai, skirti skai?iuoti pagrindinius matric? parametrus – determinant?, ma?uosius, atvirk?tinius ir pan. Ir jei esate tikri, kad ma?ina pati apskai?iuos ?ias reik?mes ir nesuklys, tikslingiau naudoti matricos metod? arba Cramerio formules, nes j? taikymas prasideda ir baigiasi determinant? ir atvirk?tini? matric? skai?iavimu.

Taikymas

Kadangi Gauso sprendimas yra algoritmas, o matrica i? tikr?j? yra dvimatis masyvas, j? galima naudoti programuojant. Bet kadangi straipsnis save pozicionuoja kaip „maneken?“ vadov?, reik?t? pasakyti, kad metod? lengviausia ?d?ti ? skai?iuokles, pavyzd?iui, „Excel“. V?lgi, bet koks SLAE, ?vestas ? lentel? matricos pavidalu, „Excel“ bus laikomas dvima?iu masyvu. O operacijoms su jais yra daug gra?i? komand?: sud?jimas (galima prid?ti tik vienodo dyd?io matricas!), Daugyba i? skai?iaus, matricos daugyba (taip pat su tam tikrais apribojimais), atvirk?tini? ir perkelt? matric? radimas ir, svarbiausia, , apskai?iuojant determinant?. Jei ?i daug laiko reikalaujanti u?duotis pakei?iama viena komanda, daug grei?iau galima nustatyti matricos rang?, taigi ir nustatyti jos suderinamum? ar nenuoseklum?.

?vietimo ?staiga „Baltarusijos valstyb?

?em?s ?kio akademija“

Auk?tosios matematikos katedra

Gair?s

u? tem? „Gauso metodas tiesini? sistem? sprendimui

Lygtys“ neakivaizdinio ugdymo (NISPO) Buhalterin?s apskaitos fakulteto student?

Gorkis, 2013 m

Gauso metodas tiesini? lyg?i? sistemoms spr?sti

Ekvivalentin?s lyg?i? sistemos

Dvi tiesini? lyg?i? sistemos vadinamos lygiavert?mis, jei kiekvienas i? j? yra kitos. Tiesini? lyg?i? sistemos sprendimo procesas susideda i? nuoseklaus jos transformavimo ? lygiavert? sistem?, naudojant vadinam?j?. elementarios transformacijos , kurie yra:

1) bet kuri? dviej? sistemos lyg?i? permutacija;

2) bet kurios sistemos lygties abiej? dali? dauginimas i? ne nulinio skai?iaus;

3) prie bet kurios lygties pridedant kit? lygt?, padaugint? i? bet kurio skai?iaus;

4) lygties, susidedan?ios i? nuli?, i?braukimas, t.y. tipo lygtis.

Gauso eliminacija

Apsvarstykite sistem? m tiesines lygtis su n ne?inomas:

Gauso metodo arba nuoseklaus ne?inom?j? i?skyrimo metodo esm? yra tokia.

Pirma, elementari?j? transformacij? pagalba ne?inomasis pa?alinamas i? vis? sistemos lyg?i?, i?skyrus pirm?j?. Tokios sistemos transformacijos vadinamos Gauso pa?alinimo ?ingsnis . Ne?inomasis vadinamas skiriam?j? kintam?j? pirmajame transformacijos etape. Koeficientas vadinamas skiriamosios gebos koeficientas , vadinama pirmoji lygtis sprend?iant lygt? , o koeficient? stulpelis ties ?galinti stulpel? .

Atliekant vien? Gauso pa?alinimo veiksm?, reikia vadovautis ?iomis taisykl?mis:

1) sprend?iamosios lygties koeficientai ir laisvasis terminas lieka nepakit?;

2) skyros stulpelio, esan?io ?emiau skiriamojo koeficiento, koeficientai virsta nuliu;

3) visi kiti koeficientai ir laisvieji laipsniai pirmoje pakopoje apskai?iuojami pagal sta?iakampio taisykl?:

, kur i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Pana?ias transformacijas atliekame antrojoje sistemos lygtyje. Tai sukels sistem?, kurioje ne?inomasis bus ne?trauktas ? visas lygtis, i?skyrus pirm?sias dvi. D?l toki? transformacij? per kiekvien? sistemos lygt? (tiesiogin? Gauso metodo eiga) pradin? sistema redukuojama ? lygiavert? vieno i? ?i? tip? pakop? sistem?.

Atvirk?tinis Gauso metodas

?ingsni? sistema

turi trikampio form? ir viskas (i=1,2,…,n). Tokia sistema turi unikal? sprendim?. Ne?inomieji nustatomi pradedant nuo paskutin?s lygties (Gauso metodo atvirk?tin? dalis).

?ingsni? sistema turi form?

kur , t.y. sistemos lyg?i? skai?ius yra ma?esnis arba lygus ne?inom?j? skai?iui. ?i sistema neturi sprendim?, nes paskutin? lygtis negalios jokioms kintamojo reik?m?ms.

Pakopinio vaizdo sistema

turi begal? sprendim?. Pagal paskutin? lygt? ne?inomasis i?rei?kiamas ne?inomaisiais . Tada vietoj ne?inomo jo i?rai?ka ne?inomaisiais pakei?iama ? prie?paskutin? lygt? . T?siant atvirk?tin? Gauso metodo eig?, ne?inomieji galima i?reik?ti ne?inomaisiais . ?iuo atveju ne?inomas paskambino Laisvas ir gali tur?ti bet koki? reik?m? ir ne?inom? pagrindinis.

Prakti?kai sprend?iant sistemas, patogu visas transformacijas atlikti ne lyg?i? sistema, o i?pl?stine sistemos matrica, susidedan?ia i? ne?inom?j? koeficient? ir laisv?j? termin? stulpelio.

1 pavyzdys. I?spr?skite lyg?i? sistem?

Sprendimas. Sudarykime i?pl?stin? sistemos matric? ir atliksime elementarias transformacijas:

.

I?pl?stoje sistemos matricoje skai?ius 3 (jis pary?kintas) yra skiriamosios gebos koeficientas, pirmoji eilut? yra skiriamosios gebos eilut?, o pirmoji stulpelis yra skiriamosios gebos stulpelis. Pereinant ? kit? matric?, sprend?iamoji eilut? nesikei?ia, visi sprend?iamojo stulpelio elementai, esantys po sprend?iamuoju elementu, pakei?iami nuliais. O visi kiti matricos elementai perskai?iuojami pagal keturkamp? taisykl?. Vietoj elemento 4 antroje eilut?je ra?ome , vietoj elemento -3 antroje eilut?je bus ra?oma ir tt Taigi bus gauta antroji matrica. ?ios matricos antroje eilut?je bus 18 skiriamojo elemento numeris. Nor?dami sudaryti kit? (tre?i?j? matric?), antr? eilut? paliekame nepakeist?, stulpelyje po sprend?iamuoju elementu ra?ome nul? ir perskai?iuojame likusius du elementus: vietoj skai?iaus 1 ra?ome , o vietoj skai?iaus 16 ra?ome .

D?l to pradin? sistema suma?inama iki lygiavert?s

I? tre?iosios lygties randame . Pakeiskite ?i? reik?m? ? antr?j? lygt?: y=3. Rastas reik?mes pakeiskite ? pirm?j? lygt? y ir z: , x=2.

Taigi ?ios lyg?i? sistemos sprendimas yra x=2, y=3, .

2 pavyzdys. I?spr?skite lyg?i? sistem?

Sprendimas. Atlikime elementarias transformacijas i?pl?stoje sistemos matricoje:

Antroje matricoje kiekvienas tre?iosios eilut?s elementas yra padalintas i? 2.

Ketvirtoje matricoje kiekvienas tre?ios ir ketvirtos eilu?i? elementas buvo padalintas i? 11.

. Gauta matrica atitinka lyg?i? sistem?

I?spr?sdami ?i? sistem?, randame , , .

3 pavyzdys. I?spr?skite lyg?i? sistem?

Sprendimas. Para?ykime i?pl?stin? sistemos matric? ir atliksime elementarias transformacijas:

.

Antroje matricoje kiekvienas antros, tre?ios ir ketvirtos eilu?i? elementas buvo padalintas i? 7.

D?l to lyg?i? sistema

lygiavertis originalui.

Kadangi lyg?i? yra dviem ma?iau nei ne?inom?j?, tai i? antrosios lygties . Pirmoje lygtyje pakeiskite i?rai?k?: , .

Taigi formul?s pateikite bendr? ?ios lyg?i? sistemos sprendin?. Ne?inomi ir nemokami ir gali tur?ti bet koki? vert?.

Tegu pvz. Tada ir . Sprendimas yra vienas i? konkre?i? sistemos sprendim?, kuri? yra begal?.

?ini? savikontrol?s klausimai

1) Kokios tiesini? sistem? transformacijos vadinamos elementariosiomis?

2) Kokios sistemos transformacijos vadinamos Gauso eliminacijos ?ingsniu?

3) Kas yra skiriamieji kintamieji, skiriamieji koeficientai, skiriamieji stulpeliai?

4) Kokios taisykl?s tur?t? b?ti taikomos atliekant vien? Gauso eliminacijos ?ingsn??

Tegu pateikiama tiesini? algebrini? lyg?i? sistema, kuri? reikia i?spr?sti (raskite tokias ne?inom?j? хi reik?mes, kurios kiekvien? sistemos lygt? paver?ia lygybe).

?inome, kad tiesini? algebrini? lyg?i? sistema gali:

1) Neturi sprendim? (b?ti nesuderinamas).
2) Tur?kite be galo daug sprendim?.
3) Tur?kite unikal? sprendim?.

Kaip prisimename, Cramerio taisykl? ir matricos metodas netinka tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendini? arba yra nenuosekli. Gauso metodas – galingiausias ir universaliausias ?rankis ie?kant sprendim? bet kuriai tiesini? lyg?i? sistemai, kuri kiekvienu atveju veda mus prie atsakymo! Metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai. Jei Cramerio ir matricos metodai reikalauja determinant? i?manymo, tai Gauso metodo taikymui reikia ?inoti tik aritmetines operacijas, tod?l jis yra prieinamas net pradini? klasi? mokiniams.

I?pl?stin?s matricos transformacijos ( tai yra sistemos matrica - matrica, sudaryta tik i? ne?inom?j? koeficient? ir laisv?j? termin? stulpelio) tiesini? algebrini? lyg?i? sistemos Gauso metodu:

1) Su trokis matricos gali pertvarkyti vietos.

2) jei matricoje yra (arba yra) proporcing? (ypatingu atveju - identi?k?) eilu?i?, tai seka I?trinti i? matricos visos ?ios eilut?s, i?skyrus vien?.

3) jei transformacij? metu matricoje atsirado nulin? eilut?, tai taip pat seka I?trinti.

4) matricos eilut? gali padauginti (padalyti)? bet kur? skai?i?, i?skyrus nul?.

5) ? matricos eilut?, galite prid?kite kit? eilut?, padaugint? i? skai?iaus, skiriasi nuo nulio.

Gauso metodu elementarios transformacijos nekei?ia lyg?i? sistemos sprendinio.

Gauso metodas susideda i? dviej? etap?:

1. „Tiesioginis jud?jimas“ - naudojant elementarias transformacijas, i?pl?stin? tiesini? algebrini? lyg?i? sistemos matric? perkelkite ? „trikamp?“ laiptuot? form?: i?pl?stin?s matricos elementai, esantys ?emiau pagrindin?s ?stri?ain?s, yra lyg?s nuliui (jud?jimas i? vir?aus ? apa?i?). ). Pavyzd?iui, tokio tipo:

Nor?dami tai padaryti, atlikite ?iuos veiksmus:

1) Panagrin?kime pirm?j? tiesini? algebrini? lyg?i? sistemos lygt?, o koeficientas, esantis x 1, lygus K. Antroji, tre?ioji ir kt. lygtis transformuojame taip: kiekvien? lygt? (ne?inom?, ?skaitant laisvuosius narius) padalijame i? kiekvienoje lygtyje esan?io ne?inomo x 1 koeficiento ir padauginame i? K. Po to atimame pirm?j? i? antrosios lygties ( Ne?inom?j? ir laisv?j? termin? koeficientai). Antroje lygtyje ties x 1 gauname koeficient? 0. I? tre?iosios transformuotos lygties atimame pirm?j? lygt?, taigi, kol visos lygtys, i?skyrus pirm?j?, kuri? x 1 ne?inomas, netur?s koeficiento 0.

2) Pereikite prie kitos lygties. Tegul tai yra antroji lygtis, o koeficientas, esantis x 2, yra lygus M. Su visomis „pavald?iomis“ lygtimis elgiam?s taip, kaip apra?yta auk??iau. Taigi, "po" ne?inomu x 2 visose lygtyse bus nuliai.

3) Pereiname prie kitos lygties ir taip toliau, kol lieka paskutinis ne?inomas ir transformuotas laisvasis narys.

1. Gauso metodo „atvirk?tinis jud?jimas“ yra gauti linijini? algebrini? lyg?i? sistemos sprendim? („jud?jimas i? apa?ios ? vir??“). I? paskutin?s „apatin?s“ lygties gauname vien? pirm?j? sprendin? – ne?inom? x n. Nor?dami tai padaryti, i?sprend?iame elementari?j? lygt? A * x n \u003d B. Auk??iau pateiktame pavyzdyje x 3 \u003d 4. Rast? reik?m? „vir?utin?je“ kitoje lygtyje pakei?iame ir i?sprend?iame kito ne?inomojo at?vilgiu. Pavyzd?iui, x 2 - 4 \u003d 1, t.y. x 2 \u003d 5. Ir taip toliau, kol rasime visus ne?inomuosius.

Pavyzdys.

Kaip kai kurie autoriai pataria, tiesini? lyg?i? sistem? sprend?iame Gauso metodu:

Ra?ome i?pl?stin? sistemos matric? ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame j? ? ?ingsnin? form?:

Mes ?i?rime ? vir?utin? kair?j? „?ingsn?“. Ten tur?tume tur?ti padalin?. B?da ta, kad pirmame stulpelyje i?vis n?ra n? vieno, tod?l persta?ius eilutes nieko nepavyks i?spr?sti. Tokiais atvejais padalinys turi b?ti organizuojamas naudojant elementari? transformacij?. Paprastai tai galima padaryti keliais b?dais. Padarykime tai taip:
1 ?ingsnis . Prie pirmosios eilut?s pridedame antr? eilut?, padaugint? i? -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antr?j? eilut? i? -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilu?i? prid?jim?, o antroji eilut? nepasikeit?.

Dabar vir?uje kair?je „minusas vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildom? veiksm?: pirm?j? eilut? padauginti i? -1 (pakeisti jos ?enkl?).

2 ?ingsnis . Pirmoji eilut?, padauginta i? 5, buvo ?traukta ? antr?j? eilut?. Pirma eilut?, padauginta i? 3, buvo ?traukta ? tre?i? eilut?.

3 ?ingsnis . Pirmoji eilut? buvo padauginta i? -1, i? esm?s tai skirta gro?iui. Tre?iosios linijos ?enklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas ? antr? viet?, taigi antruoju „?ingsniu“ gavome norim? vienet?.

4 ?ingsnis . Prie tre?ios eilut?s prid?kite antr? eilut?, padaugint? i? 2.

5 ?ingsnis . Tre?ioji eilut? padalinta i? 3.

?enklas, rodantis skai?iavimo klaid? (re?iau ra?ybos klaid?), yra „bloga“ i?vada. Tai yra, jei ?emiau gausime ka?k? pana?aus ? (0 0 11 | 23) ir atitinkamai 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tada su didele tikimybe galime sakyti, kad pradinio pamokos metu buvo padaryta klaida. transformacijos.

Atliekame atvirk?tin? ?ingsn?, projektuojant pavyzd?ius pati sistema da?nai neperra?oma, o lygtys „paimtos tiesiai i? duotosios matricos“. Atvirk?tinis ?ingsnis, primenu, veikia „i? apa?ios ? vir??“. ?iame pavyzdyje dovana pasirod?:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, tod?l x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Atsakymas:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 = 1.

I?spr?skime t? pa?i? sistem? naudodami si?lom? algoritm?. Mes gauname

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Antr?j? lygt? padalinkite i? 5, o tre?i?j? i? 3. Gauname:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Antr?j? ir tre?i?j? lygtis padauginus i? 4, gauname:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Atimdami pirm?j? lygt? i? antrosios ir tre?iosios lyg?i?, gauname:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Tre?i?j? lygt? padalykite i? 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Tre?i?j? lygt? padauginkite i? 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

I? tre?iosios lygties atimkite antr?j? lygt?, gausime „pakopin?“ padidint? matric?:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Taigi, kadangi skai?iavimo procese susikaup? klaida, gauname x 3 \u003d 0,96 arba apytiksliai 1.

x 2 \u003d 3 ir x 1 \u003d -1.

Taip spr?sdami niekada nesupainiosite skai?iavimuose ir, nepaisant skai?iavimo klaid?, gausite rezultat?.

?is tiesini? algebrini? lyg?i? sistemos sprendimo b?das yra lengvai programuojamas ir neatsi?velgia ? specifinius koeficient? ne?inomiesiems ypatumus, nes praktikoje (ekonominiuose ir techniniuose skai?iavimuose) tenka susidurti su nesveikaisiais koeficientais.

Linkime s?km?s! Iki pasimatymo klas?je! Mokytojas Dmitrijus Aistrakhanovas.

svetain?, visi?kai ar i? dalies nukopijavus med?iag?, b?tina nuoroda ? ?altin?.

Dvi tiesini? lyg?i? sistemos vadinamos lygiavert?mis, jei vis? j? sprendini? aib? yra vienoda.

Elementarios lyg?i? sistemos transformacijos yra ?ios:

1. I?braukimas i? triviali? lyg?i? sistemos, t.y. tie, kuri? visi koeficientai lyg?s nuliui;
2. Bet kurios lygties padauginimas i? ne nulio skai?iaus;
3. Priedas prie bet kurios i-osios bet kurios j-osios lygties, padaugintos i? bet kurio skai?iaus.

Kintamasis x i vadinamas laisvuoju, jei ?is kintamasis neleid?iamas, o leid?iama visa lyg?i? sistema.

Teorema. Elementariosios transformacijos paver?ia lyg?i? sistem? ? lygiavert?.

Gauso metodo prasm? yra transformuoti pradin? lyg?i? sistem? ir gauti lygiavert? leistin? arba lygiavert? nenuosekli? sistem?.

Taigi Gauso metodas susideda i? ?i? ?ingsni?:

1. Apsvarstykite pirm?j? lygt?. Pasirenkame pirm?j? nenulin? koeficient? ir i? jo padalijame vis? lygt?. Gauname lygt?, kurioje koks nors kintamasis x i ?eina su koeficientu 1;
2. Atimkime ?i? lygt? i? vis? kit?, padaugindami j? i? skai?i? taip, kad likusiose lygtyse kintamojo x i koeficientai b?t? lyg?s nuliui. Gauname sistem?, kuri yra i?spr?sta kintamojo x i at?vilgiu ir yra lygiavert? pradinei;
3. Jei atsiranda triviali? lyg?i? (retai, bet pasitaiko; pavyzd?iui, 0 = 0), jas i?triname i? sistemos. D?l to lygtys tampa viena ma?iau;
4. Ankstesnius veiksmus kartojame ne daugiau n kart?, kur n yra lyg?i? skai?ius sistemoje. Kiekvien? kart? „apdorojimui“ pasirenkame nauj? kintam?j?. Jei atsiranda prie?taring? lyg?i? (pavyzd?iui, 0 = 8), sistema yra nenuosekli.

D?l to po keli? ?ingsni? gauname arba leistin? sistem? (galb?t su laisvais kintamaisiais), arba nenuosekli?. Leid?iamos sistemos skirstomos ? du atvejus:

1. Kintam?j? skai?ius lygus lyg?i? skai?iui. Taigi sistema yra apibr??ta;
2. Kintam?j? skai?ius yra didesnis nei lyg?i? skai?ius. De?in?je renkame visus laisvus kintamuosius – gauname leid?iam? kintam?j? formules. ?ios formul?s para?ytos atsakyme.

Tai viskas! Tiesini? lyg?i? sistema i?spr?sta! Tai gana paprastas algoritmas, ir norint j? ?valdyti, nereikia susisiekti su matematikos mokytoju. Apsvarstykite pavyzd?:

U?duotis. I?spr?skite lyg?i? sistem?:

?ingsni? apra?ymas:

1. Pirm?j? lygt? atimame i? antrosios ir tre?iosios – gauname leistin? kintam?j? x 1;
2. Antr?j? lygt? padauginame i? (-1), o tre?i?j? padalijame i? (-3) - gauname dvi lygtis, kuriose kintamasis x 2 ?eina su koeficientu 1;
3. Antr?j? lygt? pridedame prie pirmosios, o i? tre?iosios atimame. Gaukime leistin? kintam?j? x 2 ;
4. Galiausiai i? pirmosios atimame tre?i?j? lygt? – gauname leistin? kintam?j? x 3 ;
5. Gavome autorizuot? sistem?, sura?ome atsakym?.

Bendras jungtin?s tiesini? lyg?i? sistemos sprendimas yra nauja sistema, lygiavert? pradinei, kurioje visi leid?iami kintamieji i?rei?kiami laisvaisiais.

Kada gali prireikti bendro sprendimo? Jei turite atlikti ma?iau ?ingsni? nei k (k yra lyg?i? i? viso). Ta?iau prie?astys, kod?l procesas baigiasi kokiu nors l ?ingsniu< k , может быть две:

1. Po l -ojo ?ingsnio gauname sistem?, kurioje n?ra lygties su skai?iumi (l + 1). Ties? sakant, tai yra gerai, nes. i?spr?sta sistema vis tiek gaunama – net keliais ?ingsniais anks?iau.
2. Po l-ojo ?ingsnio gaunama lygtis, kurioje visi kintam?j? koeficientai lyg?s nuliui, o laisvasis koeficientas skiriasi nuo nulio. Tai nenuosekli lygtis, tod?l sistema yra nenuosekli.

Svarbu suprasti, kad nenuoseklios lygties atsiradimas Gauso metodu yra pakankama nenuoseklumo prie?astis. Tuo pa?iu metu pastebime, kad d?l l-ojo ?ingsnio triviali? lyg?i? negali likti - visos jos i?trinamos tiesiogiai proceso metu.

?ingsni? apra?ymas:

1. I? antrosios atimkite pirm?j? lygt? 4 kartus. Taip pat prid?kite pirm?j? lygt? prie tre?iosios - gauname leistin? kintam?j? x 1;
2. Tre?i?j? lygt?, padaugint? i? 2, atimame i? antrosios – gauname prie?taring? lygt? 0 = -5.

Taigi, sistema yra nenuosekli, nes buvo rasta nenuosekli lygtis.

U?duotis. I?tirkite suderinamum? ir raskite bendr? sistemos sprendim?:

?ingsni? apra?ymas:

1. Pirm?j? lygt? atimame i? antrosios (padauginus i? dviej?) ir tre?i?j? – gauname leistin? kintam?j? x 1;
2. Atimkite antr?j? lygt? i? tre?iosios. Kadangi visi ?i? lyg?i? koeficientai yra vienodi, tre?ioji lygtis tampa triviali. Tuo pat metu antr? lygt? padauginame i? (-1);
3. I? pirmosios lygties atimame antr?j? lygt? – gauname leistin? kintam?j? x 2. Dabar taip pat i?spr?sta visa lyg?i? sistema;
4. Kadangi kintamieji x 3 ir x 4 yra laisvi, juos perkeliame ? de?in?, kad i?reik?tume leid?iamus kintamuosius. Tai yra atsakymas.

Taigi, sistema yra jungtin? ir neapibr??ta, nes yra du leid?iami kintamieji (x 1 ir x 2) ir du laisvieji (x 3 ir x 4).

Gauso metodas yra paprastas! Kod?l? ?ymusis vokie?i? matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas per savo gyvenim? gavo pripa?inim? kaip did?iausi? vis? laik? matematik?, genij? ir netgi pravard? „Matematikos karalius“. Ir viskas i?radinga, kaip ?inote, yra paprasta! Beje, ? pinigus papuola ne tik ?iulptukai, bet ir genijai – Gauso portretas puikavosi ant 10 Vokietijos marki? kupi?ros (iki euro ?vedimo), o Gaussas iki ?iol paslaptingai ?ypsosi vokie?iams i? paprast? pa?to ?enkl?.

Gauso metodas yra paprastas tuo, kad J? ?valdyti PAKAKNA VENTKOK?S MOKINIO ?INI?. Turi mok?ti prid?ti ir dauginti! Neatsitiktinai pasirenkam?j? matematikos dalyk? mokytojai da?nai svarsto nuoseklaus ne?inom?j? pa?alinimo metod?. Paradoksalu, ta?iau Gauso metodas mokiniams sukelia daugiausiai sunkum?. Nieko steb?tino – viskas apie metodik?, o a? pabandysiu prieinama forma papasakoti apie metodo algoritm?.

Pirmiausia ?iek tiek susisteminame ?inias apie tiesini? lyg?i? sistemas. Tiesini? lyg?i? sistema gali:

1) Tur?kite unikal? sprendim?.
2) Tur?kite be galo daug sprendim?.
3) Neturi sprendim? (b?ti nesuderinamas).

Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ie?kant sprendimo bet koks tiesini? lyg?i? sistemos. Kaip prisimename Cramerio taisykl? ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendim? arba yra nenuosekli. Ne?inom? nuoseklaus pa?alinimo metodas ?iaip veda mus prie atsakymo! ?ioje pamokoje dar kart? apsvarstysime Gauso metod? atvejui Nr. 1 (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis skirtas 2-3 punkt? situacijoms. Pastebiu, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

I? pamokos gr??kime prie papras?iausios sistemos Kaip i?spr?sti tiesini? lyg?i? sistem??
ir i?spr?skite j? Gauso metodu.

Pirmas ?ingsnis – ra?yti i?pl?stin? matricin? sistema:
. Kokiu principu fiksuojami koeficientai, manau, visi mato. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematin?s reik?m?s – tai tik perbrauktas dizainas.

Nuoroda :Rekomenduoju prisiminti terminai tiesin? algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik i? ne?inom?j? koeficient?, ?iame pavyzdyje sistemos matrica: . I?pl?stin? sistemos matrica yra ta pati sistemos matrica ir laisv?j? termin? stulpelis, ?iuo atveju: . Bet kuri i? matric? gali b?ti vadinama tiesiog matrica d?l trumpumo.

Para?ius i?pl?stin? sistemos matric?, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Yra ?ios elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos gali pertvarkyti vietos. Pavyzd?iui, nagrin?jamoje matricoje galite saugiai pertvarkyti pirm?j? ir antr?j? eilutes:

2) Jei matricoje yra (arba atsirado) proporcing? (ypatingu atveju - identi?k?) eilu?i?, tai seka I?trinti i? matricos visos ?ios eilut?s, i?skyrus vien?. Apsvarstykite, pavyzd?iui, matric? . ?ioje matricoje paskutin?s trys eilut?s yra proporcingos, tod?l pakanka palikti tik vien? i? j?: .

3) Jei transformacij? metu matricoje atsirado nulin? eilut?, tai taip pat seka I?trinti. A?, ?inoma, nebrai?ysiu, nulin? linija yra ta linija, kurioje tik nuliai.

4) Matricos eilut? gali b?ti padauginti (padalyti) bet kuriam skai?iui ne nulis. Apsvarstykite, pavyzd?iui, matric?. ?ia patartina pirm?j? eilut? padalyti i? -3, o antr?j? eilut? padauginti i? 2: . ?is veiksmas yra labai naudingas, nes supaprastina tolesnius matricos pakeitimus.

5) ?i transformacija sukelia daugiausiai sunkum?, ta?iau i? tikr?j? n?ra ir nieko sud?tingo. ? matricos eilut? galite prid?kite kit? eilut?, padaugint? i? skai?iaus, skiriasi nuo nulio. Apsvarstykite m?s? matric? i? praktinio pavyzd?io: . Pirmiausia labai detaliai apra?ysiu transformacij?. Padauginkite pirm?j? eilut? i? -2: , ir prie antros eilut?s pridedame pirm?j? eilut?, padaugint? i? -2: . Dabar pirmoji eilut? gali b?ti padalinta "atgal" i? -2: . Kaip matote, eilut?, kuri yra PRID?TA LI – nepasikeit?. Yra visada eilut? pakeista, PRIE KURIOS PRID?TA UT.

Prakti?kai, ?inoma, jie netapo taip i?samiai, bet ra?o trumpiau:

Dar kart?: ? antr? eilut? prid?jo pirm?j? eilut?, padaugint? i? -2. Linija paprastai padauginama ?od?iu arba juodra?tyje, o protiniai skai?iavim? eiga yra ma?daug tokia:

„Perra?au matric? ir perra?au pirm? eilut?: »

Pirmas stulpelis pirmas. ?emiau turiu gauti nul?. Tod?l auk??iau esant? vienet? padauginu i? -2:, o pirm? pridedu prie antrosios eilut?s: 2 + (-2) = 0. Rezultat? ra?au antroje eilut?je: »

„Dabar antra kolona. Vir? -1 kartas -2: . Pirm?j? pridedu prie antros eilut?s: 1 + 2 = 3. Rezultat? ra?au ? antr? eilut?: »

„Ir tre?ia kolona. Vir? -5 kartus -2: . Pirm? eilut? pridedu prie antros eilut?s: -7 + 10 = 3. Rezultat? ra?au antroje eilut?je: »

Pra?ome gerai pagalvoti apie ?? pavyzd? ir suprasti nuoseklaus skai?iavimo algoritm?, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra prakti?kai „ki?en?je“. Bet, ?inoma, mes vis dar dirbame su ?ia pertvarka.

Elementariosios transformacijos nekei?ia lyg?i? sistemos sprendinio

! D?MESIO: apgalvotos manipuliacijos negali naudoti, jei jums pasi?loma u?duotis, kur matricos pateikiamos „pa?ios“. Pavyzd?iui, su "klasika" matricos jokiu b?du netur?tum?te nieko pertvarkyti matric? viduje!

Gr??kime prie m?s? sistemos. Ji prakti?kai suskaidyta ? gabalus.

Para?ykime padidint? sistemos matric? ir, naudodami elementari?sias transformacijas, suma?inkime j? iki laiptuotas vaizdas:

(1) Pirmoji eilut? buvo prid?ta prie antrosios eilut?s, padauginta i? -2. Ir dar: kod?l pirm?j? eilut? dauginame i? -2? Norint gauti nul? apa?ioje, o tai rei?kia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilut?je.

(2) Padalinkite antr?j? eilut? i? 3.

Elementari?j? transformacij? paskirtis – konvertuoti matric? ? ?ingsnin? form?: . Kurdami u?duot?, jie tiesiai pie?tuku nubr??ia „kop??ias“, taip pat apjuosite skai?ius, esan?ius ant „laipteli?“. Pats terminas „pakopinis vaizdas“ n?ra visi?kai teorinis, mokslin?je ir mokomojoje literat?roje jis da?nai vadinamas trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.

D?l elementari? transformacij? gavome lygiavertis originali lyg?i? sistema:

Dabar sistem? reikia „atsukti“ prie?inga kryptimi – i? apa?ios ? vir?? ?is procesas vadinamas atvirk?tinis Gauso metodas.

Apatin?je lygtyje jau turime galutin? rezultat?: .

Apsvarstykite pirm?j? sistemos lygt? ir pakeiskite ja jau ?inom? „y“ reik?m?:

Panagrin?kime da?niausiai pasitaikan?i? situacij?, kai trij? tiesini? lyg?i? su trimis ne?inomaisiais sistemai i?spr?sti reikalingas Gauso metodas.

1 pavyzdys

Gauso metodu i?spr?skite lyg?i? sistem?:

Para?ykime i?pl?stin? sistemos matric?:

Dabar i? karto nubrai?ysiu rezultat?, kur? pasieksime sprendimo eigoje:

Ir kartoju, m?s? tikslas yra suvesti matric? ? laiptuot? form? naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko prad?ti imtis veiksm??

Pirmiausia pa?i?r?kite ? vir?utin? kair?j? skai?i?:

?ia tur?t? b?ti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks ir -1 (o kartais ir kiti skai?iai), bet ka?kaip tradici?kai susiklost? taip, kad ten da?niausiai dedamas vienetas. Kaip organizuoti padalin?? Mes ?i?rime ? pirm? stulpel? - turime baigt? ?rengin?! Pirma transformacija: sukeiskite pirm? ir tre?i? eilutes:

Dabar pirmoji eilut? i?liks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai.

Vir?utiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar ?iose vietose reikia gauti nulius:

Nuliai gaunami tiesiog „sunkios“ transformacijos pagalba. Pirma, mes susiduriame su antr?ja eilute (2, -1, 3, 13). K? reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje b?t? nulis? Reikia prie antros eilut?s prid?kite pirm?j? eilut?, padaugint? i? -2. Proti?kai arba juodra?tyje pirm?j? eilut? padauginame i? -2: (-2, -4, 2, -18). Ir mes nuosekliai atliekame (v?l mintyse arba pagal juodra?t?) papildym?, prie antros eilut?s pridedame pirm?j? eilut?, jau padaugint? i? -2:

Rezultatas para?ytas antroje eilut?je:

Pana?iai elgiam?s ir su tre?i?ja eilute (3, 2, -5, -1). Nor?dami gauti nul? pirmoje pozicijoje, jums reikia prie tre?ios eilut?s prid?kite pirm?j? eilut?, padaugint? i? -3. Proti?kai arba juodra?tyje pirm?j? eilut? padauginame i? -3: (-3, -6, 3, -27). Ir prie tre?ios eilut?s pridedame pirm?j? eilut?, padaugint? i? -3:

Rezultatas ra?omas tre?ioje eilut?je:

Praktikoje ?ie veiksmai da?niausiai atliekami ?od?iu ir u?ra?omi vienu ?ingsniu:

Nereikia visko skai?iuoti i? karto ir tuo pa?iu metu. Skai?iavim? ir rezultat? „?terpimo“ tvarka nuoseklus o da?niausiai taip: pirma perra?ome pirm? eilut?, ir tyliai i?sipu?iame - NOSEKVENMIAI ir ATSARGIAI:


O pa?i? skai?iavim? protin? eig? jau apsvars?iau auk??iau.

?iame pavyzdyje tai padaryti nesunku, antr? eilut? padalijame i? -5 (nes visi ten esantys skai?iai dalijasi i? 5 be liekanos). Tuo pa?iu metu tre?i? eilut? padalijame i? -2, nes kuo ma?esnis skai?ius, tuo paprastesnis sprendimas:

Paskutiniame elementari?j? transformacij? etape ?ia reikia gauti dar vien? nul?:

U? tai prie tre?ios eilut?s pridedame antr? eilut?, padaugint? i? -2:


Pabandykite patys i?analizuoti ?? veiksm? - mintyse padauginkite antr? eilut? i? -2 ir atlikite sud?jim?.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato ?ukuosena, tre?i? eilut? padalinkite i? 3.

D?l elementari?j? transformacij? buvo gauta lygiavert? pradin? tiesini? lyg?i? sistema:

Saunus.

Dabar pradeda veikti atvirk?tin? Gauso metodo eiga. Lygtys „atsipalaiduoja“ i? apa?ios ? vir??.

Tre?ioje lygtyje mes jau turime galutin? rezultat?:

Pa?velkime ? antr?j? lygt?: . „z“ reik?m? jau ?inoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Y“ ir „Z“ ?inomi, reikalas ma?as:

Atsakymas:

Kaip jau ne kart? buvo pa?ym?ta, bet kuriai lyg?i? sistemai galima ir b?tina patikrinti rast? sprendim?, laimei, tai n?ra sunku ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savaranki?ko sprendimo pavyzdys, u?baigimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reik?t? pa?ym?ti, kad j?s? veiksm? eiga gali nesutapti su mano veiksmais, ir tai yra Gauso metodo bruo?as. Bet atsakymai turi b?ti tie patys!

3 pavyzdys

I?spr?skite tiesini? lyg?i? sistem? Gauso metodu

Ra?ome i?pl?stin? sistemos matric? ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame j? ? ?ingsnin? form?:

Mes ?i?rime ? vir?utin? kair?j? „?ingsn?“. Ten tur?tume tur?ti padalin?. B?da ta, kad pirmame stulpelyje i?vis n?ra n? vieno, tod?l persta?ius eilutes nieko nepavyks i?spr?sti. Tokiais atvejais padalinys turi b?ti organizuojamas naudojant elementari? transformacij?. Paprastai tai galima padaryti keliais b?dais. A? padariau tai:
(1) Prie pirmosios eilut?s pridedame antr? eilut?, padaugint? i? -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antr?j? eilut? i? -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilu?i? prid?jim?, o antroji eilut? nepasikeit?.

Dabar vir?uje kair?je „minusas vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildom? gest?: padauginkite pirm?j? eilut? i? -1 (pakeiskite jos ?enkl?).

(2) Pirmoji eilut?, padauginta i? 5, buvo ?traukta ? antr?j? eilut?. Pirmoji eilut?, padauginta i? 3, buvo ?traukta ? tre?i? eilut?.

(3) Pirmoji eilut? buvo padauginta i? -1, i? esm?s tai skirta gro?iui. Tre?iosios linijos ?enklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas ? antr? viet?, taigi antruoju „?ingsniu“ gavome norim? vienet?.

(4) Antroji eilut?, padauginta i? 2, buvo prid?ta prie tre?ios eilut?s.

(5) Tre?ioji eilut? buvo padalinta i? 3.

Blogas ?enklas, rodantis skai?iavimo klaid? (re?iau ra?ybos klaid?), yra „bloga“ i?vada. Tai yra, jei gautume ka?k? pana?aus ? ?emiau, ir atitinkamai , tada su didele tikimybe galima teigti, kad elementari?j? transformacij? metu buvo padaryta klaida.

Apmokestiname atvirk?tin? ?ingsn?, projektuojant pavyzd?ius pati sistema da?nai neperra?oma, o lygtys „paimtos tiesiai i? duotosios matricos“. Atvirk?tinis jud?jimas, primenu, veikia i? apa?ios ? vir??. Taip, ?ia yra dovana:

Atsakymas: .

4 pavyzdys

I?spr?skite tiesini? lyg?i? sistem? Gauso metodu

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, jis yra ?iek tiek sud?tingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje. J?s? sprendimas gali skirtis nuo mano.

Paskutin?je dalyje aptariame kai kurias Gauso algoritmo ypatybes.
Pirmoji ypatyb? yra ta, kad kartais sistemos lygtyse tr?ksta kai kuri? kintam?j?, pavyzd?iui:

Kaip teisingai para?yti i?pl?stin? sistemos matric?? Apie ?i? akimirk? jau kalb?jau pamokoje. Cramerio taisykl?. Matricos metodas. I?pl?stoje sistemos matricoje vietoj tr?kstam? kintam?j? dedame nulius:

Beje, tai yra gana paprastas pavyzdys, nes pirmajame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementari? transformacij? reikia atlikti ma?iau.

Antroji savyb? yra tokia. Visuose nagrin?jamuose pavyzd?iuose ant „?ingsni?“ ?d?jome arba –1, arba +1. Ar gali b?ti kit? skai?i?? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistem?: .

?ia, vir?utiniame kairiajame „?ingsnelyje“, turime dvikov?. Ta?iau pastebime fakt?, kad visi skai?iai pirmajame stulpelyje dalijasi i? 2 be liku?io – ir dar i? dviej? ir ?e?i?. Ir mums tiks vir?uje, kair?je, esanti deuce! Pirmajame ?ingsnyje turite atlikti ?ias transformacijas: prie antrosios eilut?s prid?kite pirm?j? eilut?, padaugint? i? -1; prie tre?ios eilut?s prid?kite pirm?j? eilut?, padaugint? i? -3. Taigi pirmajame stulpelyje gausime norimus nulius.

Arba kitas hipotetinis pavyzdys: . ?ia mums tinka ir antrosios „laiptel?s“ trigubas, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nul?) dalijasi i? 3 be liekanos. B?tina atlikti toki? transformacij?: prie tre?ios eilut?s prid?kite antr?j? eilut?, padaugint? i? -4, d?l to bus gautas mums reikalingas nulis.

Gauso metodas yra universalus, ta?iau yra vienas ypatumas. Galite dr?siai i?mokti spr?sti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) pa?od?iui i? pirmo karto – yra labai grie?tas algoritmas. Ta?iau nor?dami pasitik?ti Gauso metodu, tur?tum?te „u?pildyti rank?“ ir i?spr?sti bent 5–10 sistem?. Tod?l i? prad?i? gali kilti painiavos, klaid? skai?iavimuose, ir tame n?ra nieko ne?prasto ar tragi?ko.

Lietingas rudens oras u? lango....Tod?l kiekvienam sud?tingesnis savaranki?ko sprendimo pavyzdys:

5 pavyzdys

Gauso metodu i?spr?skite keturi? tiesini? lyg?i? su keturiais ne?inomaisiais sistem?.

Tokia u?duotis praktikoje n?ra tokia reta. Manau, kad net arbatinukas, i?samiai i?studijav?s ?? puslap?, intuityviai supranta tokios sistemos sprendimo algoritm?. I? esm?s tas pats – tik daugiau veiksmo.

Pamokoje Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendruoju sprendimu nagrin?jami atvejai, kai sistema neturi sprendini? (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendim?. ?ia galite pataisyti svarstom? Gauso metodo algoritm?.

Linkime s?km?s!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : U?ra?ykime i?pl?stin? sistemos matric? ir, naudodami elementari?sias transformacijas, perveskime j? ? laiptuot? form?.


Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji eilut? buvo prid?ta prie antrosios eilut?s, padauginta i? -2. Pirmoji eilut? buvo prid?ta prie tre?ios eilut?s, padauginta i? -1. D?mesio!?ia gali kilti pagunda atimti pirm? i? tre?ios eilut?s, a? grie?tai nerekomenduoju atimti - klaidos rizika labai padid?ja. Mes tiesiog sulenkiame!
(2) Antros eilut?s ?enklas buvo pakeistas (padaugintas i? -1). Antroji ir tre?ioji eilut?s buvo pakeistos. pastaba kad ant „laipteli?“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir -1, o tai dar patogiau.
(3) Prie tre?ios eilut?s prid?kite antr? eilut?, padaugint? i? 5.
(4) Antros eilut?s ?enklas buvo pakeistas (padaugintas i? -1). Tre?ioji eilut? buvo padalinta i? 14.

Atvirk?tinis jud?jimas:

Atsakymas: .

4 pavyzdys: Sprendimas : Ra?ome i?pl?stin? sistemos matric? ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame j? ? ?ingsnin? form?:

Atliktos konversijos:
(1) Antroji eilut? buvo prid?ta prie pirmosios eilut?s. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas vir?utiniame kairiajame „?ingsnyje“.
(2) Pirmoji eilut?, padauginta i? 7, buvo ?traukta ? antr?j? eilut?. Pirmoji eilut?, padauginta i? 6, buvo ?traukta ? tre?i? eilut?.

Su antruoju „?ingsniu“ viskas dar blogiau , jo „kandidatai“ yra skai?iai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba -1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norim? vienet?

(3) Antroji eilut? buvo prid?ta prie tre?ios eilut?s, padauginta i? -1.
(4) Tre?ioji eilut?, padauginta i? -3, buvo prid?ta prie antrosios eilut?s.
(3) Antroji eilut?, padauginta i? 4, buvo ?traukta ? tre?i? eilut?. Antroji eilut?, padauginta i? -1, buvo ?traukta ? ketvirt? eilut?.
(4) Pakeistas antrosios eilut?s ?enklas. Ketvirtoji eilut? buvo padalinta i? 3 ir ?d?ta vietoj tre?ios eilut?s.
(5) Tre?ioji eilut? buvo prid?ta prie ketvirtos eilut?s, padauginta i? -5.

Atvirk?tinis jud?jimas: