Tiesini? lyg?i? sistema yra n tiesini? lyg?i? s?junga, kuri? kiekvienoje yra k kintam?j?. Tai para?yta taip:

Daugelis, pirm? kart? susid?r? su auk?tesne algebra, klaidingai mano, kad lyg?i? skai?ius b?tinai turi sutapti su kintam?j? skai?iumi. Mokyklin?je algebroje tai paprastai b?na, ta?iau auk?tesn?s algebros atveju tai n?ra tiesa.

Lyg?i? sistemos sprendinys – tai skai?i? seka (k 1 , k 2 , ..., k n ), kuri yra kiekvienos sistemos lygties sprendimas, t.y. pakei?iant ?i? lygt? vietoj kintam?j? x 1 , x 2 , ..., x n, gaunama teisinga skaitin? lygyb?.

Atitinkamai, i?spr?sti lyg?i? sistem? rei?kia rasti vis? jos sprendini? aib? arba ?rodyti, kad ?i aib? tu??ia. Kadangi lyg?i? ir ne?inom?j? skai?ius gali b?ti nevienodas, galimi trys atvejai:

1. Sistema nenuosekli, t.y. vis? sprendini? aib? tu??ia. Gana retas atvejis, kur? lengva aptikti, nepaisant to, kokiu b?du i?spr?sti sistem?.
2. Sistema yra nuosekli ir apibr??ta, t.y. turi tiksliai vien? sprendim?. Klasikin? versija, gerai ?inoma nuo mokyklos laik?.
3. Sistema yra nuosekli ir neapibr??ta, t.y. turi be galo daug sprendim?. Tai pats sunkiausias variantas. Neu?tenka konstatuoti, kad „sistema turi begalin? sprendini? rinkin?“ – b?tina apra?yti, kaip ?i aib? yra i?d?styta.

Kintamasis x i vadinamas leistinu, jei jis ?trauktas tik ? vien? sistemos lygt? ir su koeficientu 1. Kitaip tariant, likusiose lygtyse kintamojo x i koeficientas turi b?ti lygus nuliui.

Jei kiekvienoje lygtyje pasirenkame vien? leistin? kintam?j?, gauname leistin? kintam?j? rinkin? visai lyg?i? sistemai. Pati sistema, para?yta tokia forma, taip pat bus vadinama leid?iama. Paprastai kalbant, vien? ir t? pa?i? pradin? sistem? galima redukuoti ? skirtingas leistinas sistemas, ta?iau tai mums dabar ner?pi. ?tai leid?iam? sistem? pavyzd?iai:

Abi sistemos leid?iamos atsi?velgiant ? kintamuosius x 1 , x 3 ir x 4 . Ta?iau su tokia pa?ia s?kme galima teigti, kad antroji sistema yra leid?iama x 1 , x 3 ir x 5 at?vilgiu. Pakanka perra?yti naujausi? lygt? ? form? x 5 = x 4 .

Dabar apsvarstykite bendresn? atvej?. Tarkime, kad i? viso turime k kintam?j?, i? kuri? leid?iama r. Tada galimi du atvejai:

1. Leid?iam? kintam?j? skai?ius r lygus bendram kintam?j? k skai?iui: r = k. Gauname k lyg?i? sistem?, kurioje r = k leid?iam? kintam?j?. Tokia sistema yra bendradarbiaujanti ir apibr??ta, nes x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Leid?iam? kintam?j? skai?ius r yra ma?esnis u? bendr? kintam?j? skai?i? k : r< k . Остальные (k - r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Taigi auk??iau pateiktose sistemose kintamieji x 2 , x 5 , x 6 (pirmai sistemai) ir x 2 , x 5 (antrai) yra laisvi. Atvej?, kai yra laisv?j? kintam?j?, geriau suformuluoti kaip teorem?:

Atkreipkite d?mes?: tai labai svarbus dalykas! Priklausomai nuo to, kaip ra?ote galutin? sistem?, tas pats kintamasis gali b?ti leid?iamas ir nemokamas. Dauguma pa?engusi? matematikos d?stytoj? rekomenduoja kintamuosius ra?yti leksikografine tvarka, t.y. did?jan?iu indeksu. Ta?iau ?io patarimo laikytis visai neprivalote.

Teorema. Jei n lyg?i? sistemoje leid?iami kintamieji x 1 , x 2 , ..., x r, o x r + 1 , x r + 2 , ..., x k yra laisvi, tai:

1. Jei nustatysime laisv?j? kintam?j? reik?mes (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), tada raskite reik?mes x 1 , x 2 , . .., x r , gauname vien? i? sprendini?.
2. Jei dviejuose sprendiniuose laisv?j? kintam?j? reik?m?s yra vienodos, tai ir leid?iam? kintam?j? reik?m?s yra vienodos, t.y. sprendimai yra lyg?s.

Kokia ?ios teoremos prasm?? Norint gauti visus leistinos lyg?i? sistemos sprendinius, pakanka i?skirti laisvuosius kintamuosius. Tada, priskirdami skirtingas reik?mes laisviesiems kintamiesiems, gausime paruo?tus sprendimus. Tai viskas – tokiu b?du galite gauti visus sistemos sprendimus. Kit? sprendim? n?ra.

I?vada: leistina lyg?i? sistema visada yra suderinama. Jei leistinoje sistemoje lyg?i? skai?ius yra lygus kintam?j? skai?iui, sistema bus apibr??ta, o jei ma?iau – neapibr??ta.

Ir viskas b?t? gerai, bet kyla klausimas: kaip i? pirmin?s lyg?i? sistemos gauti i?spr?st?? Tam yra

J?s? privatumas mums svarbus. D?l ?ios prie?asties suk?r?me Privatumo politik?, kurioje apra?oma, kaip naudojame ir saugome j?s? informacij?. Perskaitykite m?s? privatumo politik? ir prane?kite mums, jei turite klausim?.

Asmenin?s informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmenin? informacija rei?kia duomenis, kurie gali b?ti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

J?s? gali b?ti papra?yta pateikti savo asmenin? informacij? bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzd?iai, kokios r??ies asmenin?s informacijos galime rinkti ir kaip galime toki? informacij? naudoti.

Koki? asmenin? informacij? renkame:

• Kai pateikiate parai?k? svetain?je, galime rinkti ?vairi? informacij?, ?skaitant j?s? vard?, telefono numer?, el. pa?to adres? ir kt.

Kaip naudojame j?s? asmenin? informacij?:

• M?s? renkama asmenin? informacija leid?ia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasi?lymus, akcijas ir kitus renginius bei art?jan?ius renginius.
• Retkar?iais galime naudoti j?s? asmenin? informacij? svarbiems prane?imams ir ?inut?ms si?sti.
• Mes taip pat galime naudoti asmenin? informacij? vidiniais tikslais, pavyzd?iui, atlikti audit?, duomen? analiz? ir ?vairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas d?l m?s? paslaug?.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar pana?ioje paskatoje, mes galime naudoti j?s? pateikt? informacij? tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas tre?iosioms ?alims

Mes neatskleid?iame i? j?s? gautos informacijos tre?iosioms ?alims.

I?imtys:

• Jei tai b?tina – pagal ?statymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis vie?ais pra?ymais ar valstybini? institucij? pra?ymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmenin? informacij?. Taip pat galime atskleisti informacij? apie jus, jei nuspr?sime, kad toks atskleidimas yra b?tinas arba tinkamas d?l saugumo, teis?saugos ar kit? vie?ojo intereso prie?as?i?.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinkt? asmenin? informacij? galime perduoti atitinkamai tre?iajai ?aliai.

Asmenin?s informacijos apsauga

Mes imam?s atsargumo priemoni?, ?skaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti j?s? asmenin? informacij? nuo praradimo, vagyst?s ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteis?tos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

J?s? privatumo palaikymas ?mon?s lygiu

Siekdami u?tikrinti, kad j?s? asmenin? informacija b?t? saugi, savo darbuotojams prane?ame apie privatumo ir saugos praktik? ir grie?tai vykdome privatumo praktik?.

Patikimesnis nei grafinis metodas, aptartas ankstesn?je pastraipoje.

Pakeitimo metodas

?? metod? naudojome 7 klas?je spr?sdami tiesini? lyg?i? sistemas. Algoritmas, kuris buvo sukurtas 7 klas?je, yra gana tinkamas bet kuri? dviej? lyg?i? (neb?tinai tiesini?) sistemoms spr?sti su dviem kintamaisiais x ir y (?inoma, kintamieji gali b?ti ?ymimi ir kitomis raid?mis, kas nesvarbu). Ties? sakant, ?? algoritm? naudojome ankstesn?je pastraipoje, kai dvi?enklio skai?iaus problema atved? ? matematin? model?, kuris yra lyg?i? sistema. ?i? auk??iau pateikt? lyg?i? sistem? i?sprend?me pakeitimo metodu (?r. 1 pavyzd? i? § 4).

Pakeitimo metodo panaudojimo algoritmas sprend?iant dviej? lyg?i? sistem? su dviem kintamaisiais x, y.

1. I? vienos sistemos lygties i?reik?kite y reik?me x.
2. Vietoj y gaut? i?rai?k? pakeiskite kita sistemos lygtimi.
3. I?spr?skite gaut? x lygt?.
4. Paeiliui kiekvien? i? lygties, rastos tre?iame ?ingsnyje, ?aknis vietoj x pakeiskite ? i?rai?k? nuo y iki x, gaut? pirmame ?ingsnyje.
5. U?ra?ykite atsakym? reik?mi? poromis (x; y), kurios buvo rastos atitinkamai tre?iame ir ketvirtame ?ingsnyje.

4) Paeiliui pakeiskite kiekvien? rast? y reik?m? ? formul? x \u003d 5 - Zy. Jei tada
5) Duotos lyg?i? sistemos poros (2; 1) ir sprendiniai.

Atsakymas: (2; 1);

Algebrinis sud?jimo metodas

?is metodas, kaip ir pakeitimo metodas, jums pa??stamas i? 7 klas?s algebros kurso, kur jis buvo naudojamas tiesini? lyg?i? sistemoms spr?sti. ?iame pavyzdyje primename metodo esm?.

2 pavyzdys I?spr?skite lyg?i? sistem?

Visus pirmosios sistemos lygties narius padauginame i? 3, o antr?j? lygt? paliekame nepakeist?:
I? pirmosios lygties atimkite antr?j? sistemos lygt?:

Algebri?kai sud?jus dvi pradin?s sistemos lygtis, buvo gauta lygtis, kuri yra paprastesn? u? pateiktos sistemos pirm?j? ir antr?j? lygtis. ?ia paprastesne lygtimi turime teis? pakeisti bet kuri? tam tikros sistemos lygt?, pavyzd?iui, antr?j?. Tada pateikta lyg?i? sistema bus pakeista paprastesne sistema:

?i? sistem? galima i?spr?sti pakeitimo metodu. I? antrosios lygties randame ?i? i?rai?k? vietoj y pakeit? ? pirm?j? sistemos lygt?, gauname

Belieka rast?sias x reik?mes pakeisti ? formul?

Jei x = 2, tada

Taigi, mes radome du sistemos sprendimus:

Nauj? kintam?j? ?vedimo metodas

Su naujo kintamojo ?vedimo b?du sprend?iant racionali?sias lygtis su vienu kintamuoju susipa?inote 8 klas?s algebros kurse. ?io lyg?i? sistem? sprendimo metodo esm? yra ta pati, ta?iau techniniu po?i?riu yra keletas ypatybi?, kurias aptarsime tolesniuose pavyzd?iuose.

3 pavyzdys I?spr?skite lyg?i? sistem?

?veskime nauj? kintam?j? Tada pirm?j? sistemos lygt? galima perra?yti paprastesne forma: I?spr?skime ?i? lygt? kintamojo t at?vilgiu:

Abi ?ios reik?m?s atitinka s?lyg?, tod?l yra racionalios lygties su kintamuoju t ?aknys. Bet tai rei?kia, i? kur mes nustatome, kad x = 2y, arba
Taigi, naudojant naujo kintamojo ?vedimo metod?, mums pavyko tarsi „susluoksniuoti“ pirm?j? gana sud?tingos i?vaizdos sistemos lygt? ? dvi paprastesnes lygtis:

x = 2 y; y - 2x.

Kas toliau? Tada kiekviena i? dviej? gaut? paprast? lyg?i? turi b?ti nagrin?jama paeiliui sistemoje su lygtimi x 2 - y 2 \u003d 3, kurios mes dar neprisimename. Kitaip tariant, problema suma?inama iki dviej? lyg?i? sistem? sprendimo:

B?tina rasti sprendimus pirmajai, antrai sistemai ir ? atsakym? ?traukti visas gautas ver?i? poras. I?spr?skime pirm?j? lyg?i? sistem?:

Pasinaudokime pakeitimo metodu, juolab kad ?ia jau viskas paruo?ta: ? antr?j? sistemos lygt? vietoj x pakei?iame i?rai?k? 2y. Gauk

Kadangi x \u003d 2y, atitinkamai randame x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Taigi gaunami du duotosios sistemos sprendiniai: (2; 1) ir (-2; -1). I?spr?skime antr?j? lyg?i? sistem?:

V?l panaudokime pakeitimo metod?: antrojoje sistemos lygtyje vietoj y pakei?iame i?rai?k? 2x. Gauk

?i lygtis neturi ?akn?, o tai rei?kia, kad lyg?i? sistema neturi sprendini?. Taigi ? atsakym? tur?t? b?ti ?traukti tik pirmosios sistemos sprendiniai.

Atsakymas: (2; 1); (-2;-1).

Nauj? kintam?j? ?vedimo metodas sprend?iant dviej? lyg?i? su dviem kintamaisiais sistemas naudojamas dviem variantais. Pirmas variantas: vienas naujas kintamasis ?vedamas ir naudojamas tik vienoje sistemos lygtyje. B?tent taip atsitiko 3 pavyzdyje. Antrasis variantas: abiejose sistemos lygtyse ?vedami ir vienu metu naudojami du nauji kintamieji. Taip bus 4 pavyzdyje.

4 pavyzdys I?spr?skite lyg?i? sistem?

Pristatykime du naujus kintamuosius:

Tada mes to i?mokstame

Tai leis mums perra?yti pateikt? sistem? daug paprastesne forma, ta?iau atsi?velgiant ? naujus kintamuosius a ir b:

Kadangi a \u003d 1, tada i? lygties a + 6 \u003d 2 randame: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Taigi, kintamiesiems a ir b gavome vien? sprendim?:

Gr??? prie kintam?j? x ir y, gauname lyg?i? sistem?

?iai sistemai i?spr?sti taikome algebrinio sud?jimo metod?:

Nuo tada i? lygties 2x + y = 3 randame:
Taigi, kintamiesiems x ir y gavome vien? sprendim?:

U?baikime ?? skyri? trumpa, bet gana rimta teorine diskusija. J?s jau ?gijote tam tikros patirties sprend?iant ?vairias lygtis: tiesin?, kvadratin?, racionali?j?, neracionali?j?. J?s ?inote, kad pagrindin? lygties sprendimo id?ja yra palaipsniui pereiti nuo vienos lygties prie kitos, paprastesn?s, bet lygiavert?s pateiktai. Ankstesniame skyriuje pristat?me lyg?i? su dviem kintamaisiais ekvivalenti?kumo s?vok?. ?i s?voka taip pat naudojama lyg?i? sistemoms.

Apibr??imas.

Dvi lyg?i? sistemos su kintamaisiais x ir y laikomos lygiavert?mis, jei jos turi tuos pa?ius sprendinius arba jei abi sistemos neturi sprendini?.

Visi trys metodai (pakeitimas, algebrinis prid?jimas ir nauj? kintam?j? ?vedimas), kuriuos aptar?me ?iame skyriuje, yra visi?kai teisingi lygiaverti?kumo po?i?riu. Kitaip tariant, taikydami ?iuos metodus vien? lyg?i? sistem? pakei?iame kita, paprastesne, bet lygiaverte pradinei sistemai.

Grafinis lyg?i? sistem? sprendimo metodas

Mes jau i?mokome spr?sti lyg?i? sistemas tokiais ?prastais ir patikimais b?dais kaip keitimo metodas, algebrinis sud?jimas ir nauj? kintam?j? ?vedimas. O dabar prisiminkime metod?, kur? jau studijavote ankstesn?je pamokoje. Tai yra, pakartokime tai, k? ?inote apie grafinio sprendimo metod?.

Lyg?i? sistem? grafinio sprendimo b?das yra grafiko sudarymas kiekvienai i? konkre?i? lyg?i?, kurios yra ?trauktos ? ?i? sistem? ir yra toje pa?ioje koordina?i? plok?tumoje, taip pat kur reikia rasti ?i? grafik? ta?k? sankirt?. . ?iai lyg?i? sistemai i?spr?sti reikia ?io ta?ko koordinat?s (x; y).

Reikia atsiminti, kad grafinei lyg?i? sistemai ?prasta tur?ti arba vien? teising? sprendin?, arba begalin? sprendini? skai?i?, arba sprendini? visai neturi.

Dabar atid?iau pa?velkime ? kiekvien? i? ?i? sprendim?. Taigi, lyg?i? sistema gali tur?ti unikal? sprendim?, jei susikerta ties?s, kurios yra sistemos lyg?i? grafikai. Jeigu ?ios ties?s lygiagre?ios, tai tokia lyg?i? sistema visi?kai neturi sprendini?. Sistemos lyg?i? tiesiogini? grafik? sutapimo atveju tokia sistema leid?ia rasti daugyb? sprendim?.

Na, o dabar pa?velkime ? dviej? lyg?i? sistemos su 2 ne?inomaisiais sprendimo algoritm? naudojant grafin? metod?:

Pirma, i? prad?i? sudarome 1-osios lygties grafik?;
Antrasis ?ingsnis bus grafiko, susieto su antr?ja lygtimi, brai?ymas;
Tre?ia, turime rasti grafik? susikirtimo ta?kus.
Ir kaip rezultatas, mes gauname kiekvieno susikirtimo ta?ko koordinates, kurios bus lyg?i? sistemos sprendimas.

Pa?velkime ? ?? metod? i?samiau su pavyzd?iu. Pateikiame lyg?i? sistem?, kuri? reikia i?spr?sti:

Lyg?i? sprendimas

1. Pirmiausia sudarysime ?ios lygties grafik?: x2+y2=9.

Ta?iau reikia pa?ym?ti, kad ?is lyg?i? grafikas bus apskritimas, kurio centras yra prad?ioje, o jo spindulys bus lygus trims.

2. Kitas ?ingsnis bus sudaryti lygt?, toki? kaip: y = x - 3.

?iuo atveju turime nutiesti linij? ir rasti ta?kus (0;-3) ir (3;0).

3. Pa?i?r?kime, k? gavome. Matome, kad ties? kerta apskritim? dviejuose jos ta?kuose A ir B.

Dabar ie?kome ?i? ta?k? koordina?i?. Matome, kad koordinat?s (3;0) atitinka ta?k? A, o koordinat?s (0;-3) – ta?k? B.

Ir k? mes gauname d?l to?

Ties?s ir apskritimo sankirtoje gauti skai?iai (3;0) ir (0;-3) yra b?tent abiej? sistemos lyg?i? sprendiniai. Ir i? to i?plaukia, kad ?ie skai?iai taip pat yra ?ios lyg?i? sistemos sprendiniai.

Tai yra, ?io sprendimo atsakymas yra skai?iai: (3;0) ir (0;-3).

Tiesini? algebrini? lyg?i? sistem? (SLAE) sprendimas neabejotinai yra svarbiausia tiesin?s algebros kurso tema. Daugyb? problem? i? vis? matematikos ?ak? redukuojama iki tiesini? lyg?i? sistem? sprendimo. ?ie veiksniai paai?kina ?io straipsnio k?rimo prie?ast?. Straipsnio med?iaga parinkta ir susisteminta taip, kad jos pagalba gal?tum?te

• pasirinkti optimal? metod? tiesini? algebrini? lyg?i? sistemai i?spr?sti,
• studijuoti pasirinkto metodo teorij?,
• I?spr?skite savo tiesini? lyg?i? sistem?, i?samiai apsvarst? tipini? pavyzd?i? ir u?davini? sprendimus.

Trumpas straipsnio med?iagos apra?ymas.

Pirmiausia pateikiame visus reikiamus apibr??imus, s?vokas ir ?vedame tam tikr? ?ym?jim?.

Toliau nagrin?jame linijini? algebrini? lyg?i? sistem?, kuriose lyg?i? skai?ius yra lygus ne?inom? kintam?j? skai?iui ir kurios turi unikal? sprendim?, sprendimo b?dus. Pirma, sutelkime d?mes? ? Cramerio metod?, antra, parodysime matricos metod? tokioms lyg?i? sistemoms spr?sti ir, tre?ia, analizuosime Gauso metod? (ne?inom? kintam?j? nuoseklaus pa?alinimo metod?). Siekdami ?tvirtinti teorij?, tikrai ?vairiais b?dais i?spr?sime kelet? SLAE.

Po to pereiname prie bendrosios formos tiesini? algebrini? lyg?i? sistem?, kuriose lyg?i? skai?ius nesutampa su ne?inom? kintam?j? skai?iumi arba pagrindin? sistemos matrica yra i?sigimusi, sprendimo. Suformuluojame Kronecker-Capelli teorem?, kuri leid?ia nustatyti SLAE suderinamum?. Panagrin?kime sistem? sprendim? (j? suderinamumo atveju) naudodami matricos bazinio minoro s?vok?. Taip pat apsvarstysime Gauso metod? ir i?samiai apib?dinsime pavyzd?i? sprendimus.

B?tinai apsistokite ties vienar??i? ir nehomogeni?k? tiesini? algebrini? lyg?i? sistem? bendrojo sprendimo strukt?ra. Pateiksime pamatin?s sprendini? sistemos samprat? ir parodykime, kaip bendrasis SLAE sprendimas para?ytas naudojant pamatin?s sprendini? sistemos vektorius. Nor?dami geriau suprasti, pa?velkime ? kelet? pavyzd?i?.

Apibendrinant, mes atsi?velgiame ? lyg?i? sistemas, kurios yra suma?intos iki tiesini?, taip pat ? ?vairias problemas, kurias sprend?iant kyla SLAE.

Puslapio nar?ymas.

Apibr??imai, s?vokos, pavadinimai.

Nagrin?sime p tiesini? algebrini? lyg?i? sistemas su n ne?inom? kintam?j? (p gali b?ti lygus n ) formos

Ne?inomi kintamieji, - koeficientai (kai kurie realieji arba kompleksiniai skai?iai), - laisvieji nariai (taip pat realieji ar kompleksiniai skai?iai).

?i SLAE forma vadinama koordinuoti.

AT matricos forma?i lyg?i? sistema turi form?,
kur - pagrindin? sistemos matrica, - ne?inom? kintam?j? matrica-stulpelis, - laisv?j? nari? matrica-stulpelis.

Jei prie matricos A kaip (n + 1)-?j? stulpel? prid?sime laisv?j? termin? matricos stulpel?, tai gausime vadinam?j?. i?pl?stin? matrica tiesini? lyg?i? sistemos. Paprastai padidinta matrica ?ymima raide T, o laisv?j? nari? stulpelis yra atskirtas vertikalia linija nuo likusi? stulpeli?, tai yra,

Sprend?iant tiesini? algebrini? lyg?i? sistem? vadinamas ne?inom? kintam?j? reik?mi? rinkiniu, kuris visas sistemos lygtis paver?ia tapatyb?mis. Nurodyt? ne?inom? kintam?j? ver?i? matricos lygtis taip pat virsta tapatybe.

Jei lyg?i? sistema turi bent vien? sprendin?, tada ji vadinama Bendras.

Jei lyg?i? sistema neturi sprendini?, tada ji vadinama nesuderinamas.

Jei SLAE turi unikal? sprendim?, tada jis vadinamas tam tikras; jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada - neapibr??tas.

Jei vis? sistemos lyg?i? laisvieji nariai lyg?s nuliui , tada sistema i?kvie?iama vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Elementari?j? tiesini? algebrini? lyg?i? sistem? sprendimas.

Jei sistemos lyg?i? skai?ius yra lygus ne?inom? kintam?j? skai?iui ir jos pagrindin?s matricos determinantas n?ra lygus nuliui, vadinsime tokias SLAE elementarus. Tokios lyg?i? sistemos turi unikal? sprendim?, o vienalyt?s sistemos atveju visi ne?inomi kintamieji yra lyg?s nuliui.

Mes prad?jome mokytis tokio SLAE vidurin?je mokykloje. Jas spr?sdami pa?m?me vien? lygt?, vien? ne?inom? kintam?j? i?rei?k?me kitomis ir pakeit?me ? likusias lygtis, tada pa?m?me kit? lygt?, i?rei?k?me kit? ne?inom? kintam?j? ir pakeit?me ? kitas lygtis ir pan. Arba jie naudojo prid?jimo metod?, ty prid?jo dvi ar daugiau lyg?i?, kad pa?alint? kai kuriuos ne?inomus kintamuosius. Mes nenagrin?sime ?i? metod? i?samiai, nes jie i? esm?s yra Gauso metodo modifikacijos.

Pagrindiniai elementari?j? tiesini? lyg?i? sistem? sprendimo metodai yra Cramerio metodas, matricinis metodas ir Gauso metodas. Sutvarkykime juos.

Tiesini? lyg?i? sistem? sprendimas Cramerio metodu.

I?spr?skime tiesini? algebrini? lyg?i? sistem?

kurioje lyg?i? skai?ius lygus ne?inom? kintam?j? skai?iui, o sistemos pagrindin?s matricos determinantas skiriasi nuo nulio, tai yra, .

Leisti b?ti pagrindin?s sistemos matricos determinantas ir yra determinantai matric?, kurios gaunamos i? A pakei?iant 1, 2, …, n stulpelyje atitinkamai ? laisv?j? nari? stulpel?:

Su tokiu ?ym?jimu ne?inomi kintamieji apskai?iuojami pagal Cramerio metodo formules as . Taip Kramerio metodu randamas tiesini? algebrini? lyg?i? sistemos sprendimas.

Pavyzdys.

Cramerio metodas .

Sprendimas.

Pagrindin? sistemos matrica turi form? . Apskai?iuokite jo determinant? (jei reikia, ?r. straipsn?):

Kadangi sistemos pagrindin?s matricos determinantas n?ra nulis, tai sistema turi unikal? sprendim?, kur? galima rasti Cramerio metodu.

Sudarykite ir apskai?iuokite reikiamus determinantus (determinantas gaunamas pirm? matricos A stulpel? pakeitus laisv?j? nari? stulpeliu, determinantas - antr?j? stulpel? pakeitus laisv?j? nari? stulpeliu, - tre?i? matricos A stulpel? pakeitus laisv?j? nari? stulpeliu ):

Ne?inom? kintam?j? paie?ka naudojant formules :

Atsakymas:

Pagrindinis Cramerio metodo tr?kumas (jei j? galima pavadinti tr?kumu) yra determinant? skai?iavimo sud?tingumas, kai sistemos lyg?i? skai?ius yra didesnis nei trys.

Tiesini? algebrini? lyg?i? sistem? sprendimas matriciniu metodu (naudojant atvirk?tin? matric?).

Tegul tiesini? algebrini? lyg?i? sistema pateikiama matricos forma , kur matricos A matmenys yra n x n, o jos determinantas n?ra lygus nuliui.

Kadangi , Tada matrica A yra apver?iama, tai yra, yra atvirk?tin? matrica . Jei abi lygyb?s dalis padauginsime i? kair?je pus?je, tai gausime formul? ne?inom? kintam?j? stulpeli? matricai rasti. Taigi gavome tiesini? algebrini? lyg?i? sistemos sprendim? matricos metodu.

Pavyzdys.

I?spr?skite tiesini? lyg?i? sistem? matricos metodas.

Sprendimas.

Perra?ykime lyg?i? sistem? matricine forma:

Nes

tada SLAE galima i?spr?sti matricos metodu. Naudojant atvirk?tin? matric?, ?ios sistemos sprendim? galima rasti kaip .

Sukurkime atvirk?tin? matric? naudodami matricos A element? algebrini? komplement? matric? (jei reikia, ?r. straipsn?):

Belieka paskai?iuoti – ne?inom? kintam?j? matric? padauginus atvirk?tin? matric? laisv? nari? matricos stulpelyje (jei reikia, ?r. straipsn?):

Atsakymas:

arba kitu ?ym?jimu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Pagrindin? problema ie?kant sprendim? tiesini? algebrini? lyg?i? sistemoms matricos metodu yra atvirk?tin?s matricos paie?kos sud?tingumas, ypa? kvadratin?ms matricoms, kuri? eil? auk?tesn? u? tre?i?j?.

Tiesini? lyg?i? sistem? sprendimas Gauso metodu.

Tarkime, kad turime rasti n tiesini? lyg?i? su n ne?inom? kintam?j? sistemos sprendim?
kurios pagrindin?s matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Gauso metodo esm? susideda i? nuoseklaus ne?inom? kintam?j? pa?alinimo: pirma, x 1 ne?traukiamas ? visas sistemos lygtis, pradedant nuo antrosios, tada x 2 ne?traukiamas i? vis? lyg?i?, pradedant nuo tre?iosios ir tt, kol tik ne?inomas kintamasis. x n lieka paskutin?je lygtyje. Toks sistemos lyg?i? transformavimo procesas, skirtas nuosekliai pa?alinti ne?inomus kintamuosius, vadinamas tiesioginis Gauso metodas. U?baigus Gauso metodo eig? ? priek?, x n randamas pagal paskutin? lygt?, x n-1 apskai?iuojamas i? prie?paskutin?s lygties, naudojant ?i? reik?m?, ir tt x 1 randamas i? pirmosios lygties. Ne?inom? kintam?j? skai?iavimo procesas, pereinant nuo paskutin?s sistemos lygties prie pirmosios, vadinamas atvirk?tinis Gauso metodas.

Trumpai apib?dinkime ne?inom? kintam?j? pa?alinimo algoritm?.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Ne?inom? kintam?j? x 1 pa?aliname i? vis? sistemos lyg?i?, pradedant nuo antrosios. Nor?dami tai padaryti, pirm?j? lygt?, padaugint? i?, prid?kite prie antrosios sistemos lygties, pirm?j?, padaugint? i?, prid?kite prie tre?iosios lygties ir taip toliau, prid?kite pirm?j?, padaugint? i?, prie n-osios lygties. Lyg?i? sistema po toki? transformacij? ?gaus form?

kur .

Gautume t? pat? rezultat?, jei pirmoje sistemos lygtyje i?reik?tume x 1 kitais ne?inomais kintamaisiais ir gaut? i?rai?k? pakeistume visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 ne?traukiamas ? visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiam?s pana?iai, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri pa?ym?ta paveiksl?lyje

Nor?dami tai padaryti, prid?kite antr?j?, padaugint? i?, prie tre?iosios sistemos lygties, antr?j?, padaugint? i?, prid?kite prie ketvirtosios lygties ir taip toliau, prid?kite antr?j?, padaugint? i?, prie n-osios lygties. Lyg?i? sistema po toki? transformacij? ?gaus form?

kur . Taigi kintamasis x 2 ne?traukiamas ? visas lygtis, pradedant nuo tre?iosios.

Toliau mes pereiname prie ne?inomo x 3 pa?alinimo, elgdamiesi pana?iai su paveiksle pa?ym?ta sistemos dalimi

Taigi t?siame tiesiogin? Gauso metodo eig?, kol sistema ?gaus form?

Nuo ?io momento pradedame atvirk?tin? Gauso metodo eig?: apskai?iuojame x n i? paskutin?s lygties kaip , naudojant gaut? reik?m? x n randame x n-1 i? prie?paskutin?s lygties ir taip toliau, randame x 1 i? pirmosios. lygtis.

Pavyzdys.

I?spr?skite tiesini? lyg?i? sistem? Gauso metodas.

Sprendimas.

I?skirkime ne?inom? kintam?j? x 1 i? antrosios ir tre?iosios sistemos lyg?i?. Nor?dami tai padaryti, prie abiej? antrosios ir tre?iosios lyg?i? dali? pridedame atitinkamas pirmosios lygties dalis, padaugintas atitinkamai i? ir i?:

Dabar i? tre?iosios lygties ne?traukiame x 2, prie jos kair?s ir de?in?s dali? prid?dami kair? ir de?in? antrosios lygties dalis, padaugint? i?:

Tuo baigiamas Gauso metodo ? priek? kursas, pradedame atvirk?tin? kurs?.

I? gautos lyg?i? sistemos paskutin?s lygties randame x 3:

I? antrosios lygties gauname .

I? pirmosios lygties randame likus? ne?inom? kintam?j? ir tai u?baigia atvirk?tin? Gauso metodo eig?.

Atsakymas:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Bendrosios formos tiesini? algebrini? lyg?i? sistem? sprendimas.

Bendruoju atveju sistemos p lyg?i? skai?ius nesutampa su ne?inom? kintam?j? n skai?iumi:

Tokie SLAE gali netur?ti sprendim?, tur?ti vien? sprendim? arba tur?ti be galo daug sprendim?. ?is teiginys taip pat taikomas lyg?i? sistemoms, kuri? pagrindin? matrica yra kvadratin? ir i?sigimusi.

Kronecker-Capelli teorema.

Prie? randant tiesini? lyg?i? sistemos sprendim?, b?tina nustatyti jos suderinamum?. Pateikiamas atsakymas ? klausim?, kada SLAE suderinamas, o kada nesuderinamas Kronecker-Capelli teorema:
kad p lyg?i? sistema su n ne?inom?j? (p gali b?ti lygi n ) b?t? nuosekli, b?tina ir pakanka, kad sistemos pagrindin?s matricos rangas b?t? lygus i?pl?stin?s matricos rangui, tai yra Rank( A)=Reitingas(T) .

Kaip pavyzd? panagrin?kime Kronecker-Cappelli teoremos taikym? tiesini? lyg?i? sistemos suderinamumui nustatyti.

Pavyzdys.

Su?inokite, ar tiesini? lyg?i? sistema turi sprendimus.

Sprendimas.

. Naudokime nepilname?i? ribojimo metod?. Antrosios eil?s nepilnametis skiriasi nuo nulio. Panagrin?kime j? supan?ius tre?ios eil?s nepilname?ius:

Kadangi visi besiribojantys tre?ios eil?s nepilname?iai yra lyg?s nuliui, pagrindin?s matricos rangas yra du.

Savo ruo?tu padidintos matricos rangas yra lygus trims, nes tre?ios eil?s nepilnametis

skiriasi nuo nulio.

?iuo b?du, Diapazonas(A) , tod?l pagal Kronecker-Capelli teorem? galime daryti i?vad?, kad pradin? tiesini? lyg?i? sistema yra nenuosekli.

Atsakymas:

Sprendimo sistemos n?ra.

Taigi, mes i?mokome nustatyti sistemos nenuoseklum? naudodami Kronecker-Capelli teorem?.

Bet kaip rasti SLAE sprendim?, jei nustatytas jo suderinamumas?

Nor?dami tai padaryti, mums reikia matricos pagrindinio minoro sampratos ir matricos rango teoremos.

I?kvie?iama matricos A auk??iausios eil?s ma?oji, i?skyrus nul? pagrindinis.

I? bazinio minoro apibr??imo matyti, kad jo eil? lygi matricos rangui. Nenulin?je matricoje A gali b?ti keli pagrindiniai minorai; visada yra vienas pagrindinis minoras.

Pavyzd?iui, apsvarstykite matric? .

Visi ?ios matricos tre?iosios eil?s minoriniai yra lyg?s nuliui, nes ?ios matricos tre?iosios eil?s elementai yra atitinkam? pirmosios ir antrosios eilu?i? element? suma.

?ie antros eil?s nepilname?iai yra pagrindiniai, nes jie n?ra lyg?s nuliui

Nepilname?iai n?ra pagrindiniai, nes jie lyg?s nuliui.

Matricos rango teorema.

Jei matricos, kurios eil?s p pagal n, rangas yra r, tai visi matricos eilu?i? (ir stulpeli?) elementai, kurie nesudaro pasirinkto pagrindinio ma?ojo, yra tiesi?kai i?rei?kiami atitinkamais eilu?i? (ir stulpeli?) elementais. ), kurie sudaro pagrindin? nepilnamet?.

K? mums suteikia matricos rango teorema?

Jei Kronecker-Capelli teorema nustat?me sistemos suderinamum?, tada pasirenkame bet kur? pagrindin? pagrindin?s sistemos matricos minor? (jos eil? lygi r) ir i? sistemos pa?aliname visas lygtis, kurios sudaryti pasirinkt? pagrindin? minor?. Tokiu b?du gautas SLAE bus lygiavertis pradiniam, nes i?mestos lygtys vis dar yra perteklin?s (pagal matricos rango teorem?, tai yra tiesinis likusi? lyg?i? derinys).

D?l to, atmetus perteklines sistemos lygtis, galimi du atvejai.

Jei lyg?i? skai?ius r gautoje sistemoje yra lygus ne?inom? kintam?j? skai?iui, tada jis bus apibr??tas ir vienintelis sprendimas gali b?ti rastas Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Pavyzdys.

.

Sprendimas.

Sistemos pagrindin?s matricos rangas yra lygus dviem, nes antros eil?s minorinis skiriasi nuo nulio. I?pl?stinis matricos rangas taip pat yra lygus dviem, nes vienintelis tre?iosios eil?s minoras yra lygus nuliui

o pirmiau aptartas antros eil?s minoras skiriasi nuo nulio. Remiantis Kronecker-Capelli teorema, galima teigti pirmin?s tiesini? lyg?i? sistemos suderinamum?, nes Rank(A)=Rank(T)=2 .

Kaip pagrind? imam?s nepilname?io . J? sudaro pirmosios ir antrosios lyg?i? koeficientai:


Tre?ioji sistemos lygtis nedalyvauja formuojant pagrindin? minor?, tod?l j? i?traukiame i? sistemos pagal matricos rango teorem?:


Taip gavome elementari? tiesini? algebrini? lyg?i? sistem?. I?spr?skime tai Cramerio metodu:


Atsakymas:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jei lyg?i? r skai?ius gautoje SLAE yra ma?esnis u? ne?inom? kintam?j? skai?i? n , tada pagrindin? minorin? dal? sudaran?ius terminus paliekame kairiosiose lyg?i? dalyse, o likusius narius perkeliame ? de?ini?sias lyg?i? dalis. sistemos su prie?ingu ?enklu.

Ne?inomi kintamieji (j? yra r), lik? kair?je lyg?i? pus?je, vadinami pagrindinis.

Ne?inomi kintamieji (j? yra n - r), kurie atsid?r? de?in?je pus?je, vadinami Laisvas.

Dabar darome prielaid?, kad laisvieji ne?inomi kintamieji gali tur?ti savavali?kas reik?mes, o r pagrindiniai ne?inomi kintamieji bus i?reik?ti laisvaisiais ne?inomais kintamaisiais unikaliu b?du. J? i?rai?k? galima rasti i?sprendus gaut? SLAE Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Paimkime pavyzd?.

Pavyzdys.

I?spr?skite tiesini? algebrini? lyg?i? sistem? .

Sprendimas.

Raskite pagrindin?s sistemos matricos rang? besiribojan?i? nepilname?i? metodu. Paimkime 1 1 = 1 kaip nulin? pirmos eil?s ma??j?. Prad?kime ie?koti ne nulio antros eil?s nepilname?io, kuris supa ?? nepilnamet?:


Taigi radome ne nul? antros eil?s minor?. Prad?kime ie?koti ne nulio besiribojan?io tre?ios eil?s nepilname?io:


Taigi pagrindin?s matricos rangas yra trys. Papildytos matricos rangas taip pat lygus trims, tai yra, sistema yra nuosekli.

Rastas ne nulis tre?ios eil?s minoras bus laikomas baziniu.

Ai?kumo d?lei parodome elementus, kurie sudaro pagrindin? ma??j?:


Terminus, dalyvaujan?ius pagrindiniame minore, paliekame kair?je sistemos lyg?i? pus?je, o likusius su prie?ingais ?enklais perkeliame ? de?ines:


Mes suteikiame laisvus ne?inomus kintamuosius x 2 ir x 5 savavali?kas reik?mes, tai yra, imame , kur yra savavali?ki skai?iai. ?iuo atveju SLAE ?gauna form?


Gaut? elementari?j? tiesini? algebrini? lyg?i? sistem? sprend?iame Cramerio metodu:


Vadinasi,.

Atsakyme nepamir?kite nurodyti laisv? ne?inom? kintam?j?.

Atsakymas:

Kur yra savavali?ki skai?iai.

Apibendrinti.

Nor?dami i?spr?sti bendrosios formos tiesini? algebrini? lyg?i? sistem?, pirmiausia i?siai?kiname jos suderinamum? naudodamiesi Kronecker-Capelli teorema. Jei pagrindin?s matricos rangas n?ra lygus i?pl?stin?s matricos rangui, tada darome i?vad?, kad sistema yra nenuosekli.

Jei pagrindin?s matricos rangas yra lygus i?pl?stin?s matricos rangui, tada pasirenkame pagrindin? minor? ir atmetame sistemos lygtis, kurios nedalyvauja formuojant pasirinkt? pagrindin? minor?.

Jei bazinio minoro tvarka lygi ne?inom? kintam?j? skai?iui, tai SLAE turi unikal? sprendim?, kur? galima rasti bet kuriuo mums ?inomu metodu.

Jei pagrindin?s ma?osios eil?s tvarka yra ma?esn? u? ne?inom? kintam?j? skai?i?, tada terminus su pagrindiniais ne?inomais kintamaisiais paliekame sistemos lyg?i? kair?je pus?je, likusius terminus perkeliame ? de?ini?sias puses ir suteikiame savavali?kas reik?mes. ? laisvus ne?inomus kintamuosius. I? gautos tiesini? lyg?i? sistemos pagrindinius ne?inomus kintamuosius randame Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Gauso metodas bendrosios formos tiesini? algebrini? lyg?i? sistemoms spr?sti.

Naudojant Gauso metod?, galima i?spr?sti bet kokios r??ies tiesini? algebrini? lyg?i? sistemas be i?ankstinio j? suderinamumo tyrimo. Ne?inom? kintam?j? nuoseklaus pa?alinimo procesas leid?ia padaryti i?vad? tiek apie SLAE suderinamum?, tiek nenuoseklum?, o jei yra sprendimas, j? galima rasti.

Skai?iavimo po?i?riu pirmenyb? teikiama Gauso metodui.

I?sam? jo apra?ym? ir analizuojamus pavyzd?ius ?i?r?kite straipsnyje Gauso metodas bendrosios formos tiesini? algebrini? lyg?i? sistemoms spr?sti.

Vienar??i? ir nehomogenini? tiesini? algebrini? sistem? bendrojo sprendinio fiksavimas naudojant pamatin?s sprendini? sistemos vektorius.

?iame skyriuje mes sutelksime d?mes? ? jungtines vienar??es ir nehomogenines tiesini? algebrini? lyg?i? sistemas, turin?ias begalin? sprendini? skai?i?.

Pirmiausia panagrin?kime vienar??es sistemas.

Fundamentali sprendim? sistema Homogenin? p tiesini? algebrini? lyg?i? sistema su n ne?inom? kintam?j? yra (n – r) tiesi?kai nepriklausom? ?ios sistemos sprendini? aib?, kur r yra pagrindin?s sistemos matricos bazinio minoro eil?.

Jei tiesi?kai nepriklausomus vienalyt?s SLAE sprendimus pa?ym?sime kaip X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) yra n matmen? matric? stulpeliai 1 ) , tada ?ios vienalyt?s sistemos bendras sprendinys pavaizduotas kaip tiesin? pagrindin?s sprendini? sistemos vektori? kombinacija su savavali?kais pastoviais koeficientais С 1 , С 2 , …, С (n-r), tai yra, .

K? rei?kia terminas bendras homogenin?s tiesini? algebrini? lyg?i? sistemos sprendimas (oroslau)?

Reik?m? paprasta: formul? nurodo visus galimus pradinio SLAE sprendimus, kitaip tariant, imant bet kok? savavali?k? konstant? C 1 , C 2 , ..., C (n-r) reik?mi? rinkin?, pagal formul? mes gaus vien? i? originalaus vienaly?io SLAE sprendini?.

Taigi, jei rasime pagrindin? sprendini? sistem?, visus ?io vienaly?io SLAE sprendimus galime nustatyti kaip .

Parodykime pagrindin?s vienalyt?s SLAE sprendim? sistemos konstravimo proces?.

Parenkame pradin?s tiesini? lyg?i? sistemos pagrindin? minor?, i? sistemos i?braukiame visas kitas lygtis, o ? de?in? sistemos lyg?i? pus? su prie?ingais ?enklais perkeliame visus terminus, kuriuose yra laisv?j? ne?inom? kintam?j?. Laisviesiems ne?inomiems kintamiesiems suteikime reik?mes 1,0,0,…,0 ir apskai?iuokime pagrindinius ne?inomuosius, bet kokiu b?du i?spr?sdami gaut? elementari? tiesini? lyg?i? sistem?, pavyzd?iui, Cramerio metodu. Taigi bus gautas X (1) – pirmasis pagrindin?s sistemos sprendimas. Jei laisviesiems ne?inomiesiems duosime reik?mes 0,1,0,0,…,0 ir apskai?iuosime pagrindinius ne?inomuosius, gausime X (2) . Ir taip toliau. Jei laisviesiems ne?inomiems kintamiesiems duosime reik?mes 0,0,…,0,1 ir apskai?iuosime pagrindinius ne?inomuosius, gausime X (n-r) . Taip bus sukonstruota pamatin? vienalyt?s SLAE sprendini? sistema ir jos bendras sprendimas gali b?ti para?ytas forma .

Nehomogenin?ms tiesini? algebrini? lyg?i? sistemoms bendras sprendimas pavaizduotas kaip

Pa?i?r?kime ? pavyzd?ius.

Pavyzdys.

Raskite pagrindin? sprendini? sistem? ir bendr? homogenin?s tiesini? algebrini? lyg?i? sistemos sprendim? .

Sprendimas.

Vienar??i? tiesini? lyg?i? sistem? pagrindin?s matricos rangas visada yra lygus i?pl?stin?s matricos rangui. Raskime pagrindin?s matricos rang? nepilname?i? ribojimo metodu. Kaip pirmos eil?s minor?, imame pagrindin?s sistemos matricos element? a 1 1 = 9. Raskite antrosios eil?s besiribojant? ne nul? ma??:

Randamas antros eil?s minoras, kitoks nei nulis. Pereikime per tre?ios eil?s nepilname?ius, besiribojan?ius su juo, ie?kodami nulinio vieneto:

Visi besiribojantys tre?iosios eil?s nepilname?iai yra lyg?s nuliui, tod?l pagrindin?s ir i?pl?stin?s matricos rangas yra du. Paimkime pagrindin? minor?. Ai?kumo d?lei atkreipiame d?mes? ? j? sudaran?ius sistemos elementus:

Tre?ioji originalios SLAE lygtis nedalyvauja formuojant pagrindin? minor?, tod?l j? galima atmesti:

S?vokas, kuriose yra pagrindiniai ne?inomieji, paliekame de?iniosiose lyg?i? pus?se, o terminus su laisvaisiais ne?inomaisiais perkeliame ? de?in?:

Sukurkime pagrindin? pirmin?s homogenin?s tiesini? lyg?i? sistemos sprendini? sistem?. Pagrindin? ?io SLAE sprendim? sistema susideda i? dviej? sprendini?, nes pradiniame SLAE yra keturi ne?inomi kintamieji, o jo pagrindin?s minorin?s eil?s tvarka yra dvi. Nor?dami rasti X (1), laisviesiems ne?inomiems kintamiesiems suteikiame reik?mes x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, tada randame pagrindinius ne?inomus i? lyg?i? sistemos
.

?ioje pamokoje ap?velgsime tiesini? lyg?i? sistemos sprendimo b?dus. Auk?tosios matematikos eigoje tiesini? lyg?i? sistemas reikia spr?sti tiek atskir? u?duo?i? forma, pavyzd?iui, „I?spr?skite sistem? Kramerio formul?mis“, tiek sprend?iant kitus u?davinius. Beveik visose auk?tosios matematikos ?akose tenka susidurti su tiesini? lyg?i? sistemomis.

Pirma, ?iek tiek teorijos. K? ?iuo atveju rei?kia matematinis ?odis „linijinis“? Tai rei?kia, kad sistemos lygtyse visi kintamieji yra ?traukti pirmame laipsnyje: joki? ?mantri? dalyk? kaip ir kt., nuo kuri? d?iugina tik matematikos olimpiad? dalyviai.

Auk?tojoje matematikoje kintamiesiems ?ym?ti naudojamos ne tik nuo vaikyst?s pa??stamos raid?s.
Gana populiarus variantas yra kintamieji su indeksais: .
Arba pradin?s lotyni?kos ab?c?l?s raid?s, ma?os ir didel?s:
Ne taip jau retai galima rasti graiki?k? raid?i?: – daugeliui gerai ?inom? „alfa, beta, gama“. Taip pat rinkinys su indeksais, tarkime, su raide „mu“:

Vien? ar kit? raid?i? rinkinio vartojimas priklauso nuo auk?tosios matematikos ?akos, kurioje susiduriame su tiesini? lyg?i? sistema. Taigi, pavyzd?iui, tiesini? lyg?i? sistemose, su kuriomis susiduriama sprend?iant integralus, diferencialines lygtis, tradici?kai ?prasta naudoti ?ym?jim?

Bet nesvarbu, kaip kintamieji b?t? pa?ym?ti, tiesini? lyg?i? sistemos sprendimo principai, metodai ir metodai nuo to nesikei?ia. Taigi, jei susid?r?te su ka?kuo baisu, neskub?kite u?versti problem? knygos i? baim?s, juk vietoj jos galite nupie?ti saul?, vietoj jos - pauk?t?, o vietoje - (mokytojo) veid?. Ir, kaip beb?t? keista, galima i?spr?sti ir tiesini? lyg?i? sistem? su ?iais ?ym?jimais.

Ka?k? a? turiu toki? nuojaut?, kad straipsnis pasirodys gana ilgas, tod?l ma?as turinys. Taigi, nuoseklus „apra?ymas“ bus toks:

– Tiesini? lyg?i? sistemos sprendimas pakeitimo metodu („mokyklos metodas“);
– Sistemos sprendimas sistemos lyg?i? termin? sud?jimo (at?mimo) metodu;
– Sistemos sprendimas Kramerio formul?mis;
– Sistemos sprendimas naudojant atvirk?tin? matric?;
– Sistemos sprendimas Gauso metodu.

Visi yra susipa?in? su tiesini? lyg?i? sistemomis i? mokyklinio matematikos kurso. Ties? sakant, mes pradedame nuo kartojimo.

Tiesini? lyg?i? sistemos sprendimas pakeitimo metodu

?is metodas taip pat gali b?ti vadinamas „mokykliniu metodu“ arba ne?inom?j? pa?alinimo metodu. Vaizd?iai tariant, jis taip pat gali b?ti vadinamas „pusiau baigtu Gauso metodu“.

1 pavyzdys

?ia turime dviej? lyg?i? sistem? su dviem ne?inomaisiais. Atkreipkite d?mes?, kad laisvieji terminai (skai?iai 5 ir 7) yra kair?je lygties pus?je. Paprastai tariant, nesvarbu, kur jie yra, kair?je ar de?in?je, tiesiog auk?tosios matematikos u?daviniuose jie da?nai yra taip. Ir toks ?ra?as netur?t? kelti painiavos, jei reikia, sistemoje visada galima para?yti „kaip ?prasta“:. Nepamir?kite, kad perkeliant termin? i? dalies ? dal?, reikia pakeisti jo ?enkl?.

K? rei?kia i?spr?sti tiesini? lyg?i? sistem?? I?spr?sti lyg?i? sistem? rei?kia rasti jos sprendini? aib?. Sistemos sprendimas yra vis? ? j? ?traukt? kintam?j? ver?i? rinkinys, kuri KIEKVIEN? sistemos lygt? paver?ia tikra lygybe. Be to, sistema gali b?ti nesuderinamas (neturiu sprendim?).Nesidrov?kite, tai yra bendras apibr??imas =) Tur?sime tik vien? „x“ reik?m? ir vien? „y“ reik?m?, kurios tenkina kiekvien? lygt? su-mes.

Yra grafinis sistemos sprendimo b?das, kur? rasite pamokoje. Papras?iausios problemos su tiesia linija. Ten a? kalb?jau apie geometrine prasme dviej? tiesini? lyg?i? su dviem ne?inomaisiais sistemos. Bet dabar kieme – algebros era, ir skai?iai-skai?iai, veiksmai-veiksmai.

Mes nusprend?iame: i? pirmosios lygties i?rei?kiame:
Gaut? i?rai?k? pakei?iame antr?ja lygtimi:

Atidarome skliaustus, pateikiame pana?ius terminus ir randame vert?:

Toliau primename, nuo ko jie ?oko:
Mes jau ?inome vert?, belieka rasti:

Atsakymas:

Kai BET KOKIA lyg?i? sistema buvo i?spr?sta bet kokiu b?du, primygtinai rekomenduoju patikrinti (?od?iu, juodra?tyje arba skai?iuotuvu). Laimei, tai daroma greitai ir lengvai.

1) Pirmoje lygtyje pakeiskite rast? atsakym?:

- gaunama teisinga lygyb?.

2) Rast? atsakym? pakei?iame antroje lygtyje:

- gaunama teisinga lygyb?.

Arba, papras?iau tariant, „viskas susid?jo“

Nagrin?jamas sprendimo b?das n?ra vienintelis, i? pirmos lygties buvo galima i?reik?ti , bet ne .
Galite ir atvirk??iai – i?reik?kite k? nors i? antrosios lygties ir pakeiskite j? pirm?ja lygtimi. Beje, atkreipkite d?mes?, kad nepalankiausias i? keturi? b?d? yra i?reik?ti i? antrosios lygties:

Gaunamos trupmenos, bet kod?l taip yra? Yra racionalesnis sprendimas.

Ta?iau kai kuriais atvejais trupmenos vis dar yra b?tinos. ?iuo at?vilgiu atkreipiu j?s? d?mes?, KAIP para?iau posak?. Ne taip: ir jokiu b?du ne taip: .

Jei auk?tojoje matematikoje susiduriate su trupmeniniais skai?iais, pabandykite atlikti visus skai?iavimus ?prastomis netinkamomis trupmenomis.

Tiksliau, ne arba!

Kablelis gali b?ti naudojamas tik retkar?iais, ypa? jei – tai galutinis atsakymas ? koki? nors problem? ir su ?iuo numeriu nereikia atlikti joki? tolesni? veiksm?.

Daugelis skaitytoj? tikriausiai pagalvojo: „Kod?l toks i?samus paai?kinimas, kaip pataisos klasei, ir viskas ai?ku“. Nieko pana?aus, atrodo, toks paprastas mokyklinis pavyzdys, bet kiek LABAI svarbi? i?vad?! ?tai dar vienas:

Bet kokia u?duotis turi b?ti atlikta racionaliausiu b?du.. Jau vien tod?l, kad sutaupo laiko ir nerv?, o taip pat suma?ina tikimyb? suklysti.

Jei auk?tosios matematikos u?duotyje susiduriate su dviej? tiesini? lyg?i? sistema su dviem ne?inomaisiais, visada galite naudoti pakeitimo metod? (nebent nurodoma, kad sistem? reikia i?spr?sti kitu metodu) ".
Be to, kai kuriais atvejais pakeitimo metod? patartina naudoti esant didesniam kintam?j? skai?iui.

2 pavyzdys

I?spr?skite tiesini? lyg?i? su trimis ne?inomaisiais sistem?

Pana?i lyg?i? sistema da?nai susidaro naudojant vadinam?j? neapibr??t?j? koeficient? metod?, kai randame racionaliosios trupmenin?s funkcijos integral?. Aptariam? sistem? a? pa?miau i? ten.

Surandant integral? – tiksl? greitas suraskite koeficient? reik?mes, o ne b?kite sud?tingi su Cramerio formul?mis, atvirk?tin?s matricos metodu ir kt. Tod?l ?iuo atveju tinkamas pakeitimo metodas.

Pateikus koki? nors lyg?i? sistem?, vis? pirma norima i?siai?kinti, bet ar galima I? KARTO kaip nors supaprastinti? Analizuodami sistemos lygtis, pastebime, kad antr?j? sistemos lygt? galima padalyti i? 2, k? ir darome:

Nuoroda: matematinis simbolis rei?kia "i? to seka tai", jis da?nai naudojamas sprend?iant u?davinius.

Dabar analizuojame lygtis, turime i?reik?ti kai kuriuos kintamuosius per likusius. Kuri? lygt? pasirinkti? Tikriausiai jau atsp?jote, kad lengviausias b?das ?iam tikslui yra paimti pirm?j? sistemos lygt?:

?ia nesvarbu, kur? kintam?j? i?reik?ti, lygiai taip pat galima i?reik?ti arba .

Tada mes pakei?iame i?rai?k? ? antr?j? ir tre?i?j? sistemos lygtis:

Atidarykite skliaustus ir prid?kite pana?i? termin?:

Tre?i?j? lygt? padalijame i? 2:

I? antrosios lygties i?rei?kiame ir pakei?iame tre?i?ja lygtimi:

Beveik viskas yra paruo?ta, i? tre?iosios lygties randame:
I? antrosios lygties:
I? pirmosios lygties:

Patikrinkite: pakeiskite rastas kintam?j? reik?mes kiekvienos sistemos lygties kair?je:

1)
2)
3)

Gaunamos atitinkamos de?in?s lyg?i? pus?s, tod?l sprendimas randamas teisingai.

3 pavyzdys

I?spr?skite tiesini? lyg?i? su 4 ne?inomaisiais sistem?

Tai pavyzdys savaranki?kam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).

Sistemos sprendimas sud?jus (atimant) sistemos lygtis

Sprend?iant tiesini? lyg?i? sistemas, reikia stengtis naudoti ne „mokyklin? metod?“, o sistemos lyg?i? termin? sud?jimo (at?mimo) metod?. Kod?l? Tai sutaupo laiko ir supaprastina skai?iavimus, ta?iau dabar tai taps ai?kiau.

4 pavyzdys

I?spr?skite tiesini? lyg?i? sistem?:

Naudojau t? pa?i? sistem? kaip ir pirmame pavyzdyje.
Analizuodami lyg?i? sistem?, pastebime, kad kintamojo koeficientai yra identi?ki absoliu?ia reik?me ir prie?ingi pagal ?enkl? (–1 ir 1). Esant tokiai situacijai, lygtis galima sud?ti po termino:

Veiksmai, pa?ym?ti raudonai, atliekami PROTINIAI.
Kaip matote, d?l termin? prid?jimo praradome kintam?j? . Tai, ties? sakant, yra metodo esm? – atsikratyti vieno i? kintam?j?.