Denklem (10.2) potansiyel aras?ndaki ba?lant?y? kurar elektrostatik alan Ve bu alan?n gerginli?i. Bu denklemden, y?k?n potansiyeli ve yo?unlu?u aras?ndaki oran? elde edilebilir. Bunu yapmak i?in, bu denklemin her iki b?l?m?n?n ayr??mas?n? olu?turman?z ve ard?ndan form?l? (6.5) kullanman?z gerekir:

Vekt?r analizi kurallar?na g?re [bkz. Denklem (40]

B?ylece denklem (11.1) a?a??daki gibi kaydedilebilir:

Bu diferansiyel denkleme Poisson denklemi denir. Elektrik y?k?n?n olmad??? alan?n bu b?l?mlerinde

Bu denklem a?a??daki gibi ele al?nmaktad?r:

Bu ?zel Poisson denklemine Laplace denklemi denir.

Poisson denklemi, bu y?klerin yeri biliniyorsa, hacimsel y?k alan?n?n potansiyelini belirlemeyi m?mk?n k?lar. Bu diferansiyel denklemin ??z?m? (integrali) (belirli s?n?r ko?ullar? alt?nda) daha ?nce t?retti?imiz form?lle ?ak??mal?d?r (8.8):

Gelecekte, bunu do?rudan hesaplama ile kan?tlayaca??z. Bu arada, baz? problemleri ??zmek i?in integralden (8.8) ilerlemenin daha uygun oldu?unu, ancak do?rudan diferansiyel denklemden (11.3) daha uygun oldu?unu not ediyoruz.

?rnek. Bir vakumda iki sonsuz d?z elektrot aras?ndaki termiyoal ak?m?n yo?unlu?unu belirleyin. Poisson denkleminin bu ?rne?i elektrostatikten de?il, ak?m?n doktrininden al?n?r ve B?y?k ?nem Katot teorisi (amplifikasyon) lambalar? i?in.

Y?zeylerinden ?evredeki bo?lu?a, serbest elektronlar?n ak???na yay?lan metallerin pompaland??? bilinmektedir. ?ki metal elektrota belirli bir potansiyel fark ba?larsan?z ve negatif elektrotu (katot) ?s?t?rsan?z, a??r? -bend katot taraf?ndan s?rekli yay?lan elektronlar pozitif elektrotun (anot) y?zeyine ?ekilecektir. Katottan anota hareket eden elektronlar?n ak??? elektrik ak?m?na e?de?erdir. Bu ak?ma Thermioon denir.

Kartezyen koordinatlar?n?n tasar?m eksenini se?elim, b?ylece bunlar?n ba?lang?c? katot ?zerinde olacak ve X ekseni elektrotlar?n d?zlemine dik olacak ve anota y?nlendiriliyor. Katodun potansiyelini s?f?ra e?it olarak g?r?yoruz ve anotun potansiyeli, e?itlik y?zeylerinin elektrotlara paralel oldu?u hususlar?na e?ittir, bu nedenle elektrotlar aras?ndaki bo?luktaki Poisson denklemi formu al?r

Katottan X mesafesindeki elektrotlar aras?ndaki bo?lukta birim hacim ba??na elektron say?s?n? ve elektron y?k?n?n mutlak de?eri yoluyla, y?k yo?unlu?unu belirlersek,

Bu mesafe:

Y?zeyinden ??kt???nda katot taraf?ndan yay?lan elektronlar?n herhangi bir ba?lang?? h?z?na sahip olmad???n? varsayal?m. Katottan g?? anotuna do?ru yolda elektrik alan??arj elektronlar? ?zerinde ?al??malar yapacaklar - ki bu a??k?a elektronlar?n hareketinin kinetik enerjisine girecek. Katottan bir x mesafedeki elektron h?z?n? ve ayn? mesafedeki potansiyelden ifade ederek,

burada 771 elektronun k?tlesidir. Son olarak, yo?unluk elektrik ak?m?, yani, dikey bir ak?m (yani dik bir eksenden bir zaman birimi akan bir y?k, saha e?ittir: A??k?as?: A??k?as?:

??nk? bu site boyunca bir birimden ge?en elektron say?s? vard?r. Mevcut yo?unluktan farkl? olarak, X'ten ba??ms?z sabit bir de?er vard?r, ??nk? ula?t?ktan sonra sabit durum Elektrotlara paralel olarak, u?ak a??k bir ?ekilde ge?er, Ayn? numara elektronlar.

(11.5) denkleminden hari?, ?ncelikle bilinmeyen t?m bilinmeyen i?levler, ?ncelikle

Ancak (11.6) 'dan sonra

?yleyse,

Atamaya girerek -

Sorunun durumuna g?re, katotta s?f?ra ele al?nan ve buna ek olarak, bu diferansiyel denklemin kararlar?ndan, bu diferansiyel denklemin kararlar?ndan ikna edilmek ne kadar kolayd?r.

I ?zerinden anottan katota olan mesafeyi belirtirseniz, potansiyel ile bu nedenle temasa ge?melidir,

Bu nedenle, termiyoal ak?m?n yo?unlu?u OMA yasas?na uymaz, ancak elektrotlara ba?l? voltaj?n 3/2 derecesi ile orant?l? olarak b?y?r ve aralar?ndaki mesafenin karesi ile orant?l? olarak, orant?l? olarak b?y?r. Bu, termio -ak?m yasalar? ile metallerde ak?m yasalar? aras?ndaki fark iki t?r nedenle belirlenir. ?lk olarak, metallerdeki elektronlar, metalin kat? bir iskeleti olu?turan pozitif iyonlarla k?nan?r ve bu nedenle, vakum 1'de hareket ederken yok olan hareketlerine kar?? diren? ya?arlar). ?kincisi, elektrotlar aras?ndaki bo?lukta bir termiyo-ak?mla, y?k? pozitif iyonlar?n y?k? ile telafi edilmeyen, metallerde oldu?u gibi, bunun sonucunda da bu alan? var. -Tallanan “mekansal y?k” elektrot alan?n? bozar.

Form?l?n (11.9), ak?m 2'nin b?y?k yo?unluklar?nda adil olmay? b?rakt???n? unutmay?n. Anotun potansiyelinde bir art??la, katot taraf?ndan sal?nan t?m elektronlar?n hemen anota ta??nd??? an ortaya ??kar. Anotun potansiyelinde bir ba?ka art??, a??k?as?, mevcut yo?unlukta bir art??a yol a?amaz, bu da sabit bir de?ere ula??r (doygunluk ak?m?).

G?rev 10. Bu alan?n bu noktas?n?n keyfi olarak se?ilmi? olan mesafesinin anlam?na gelmesine izin verin ba?lang?? noktas? Skalay? g?ster

Laplace denklemini tatmin eder

Nokta dikkate al?nmaz.

G?rev 11. Sonsuz d?z plaka 2a kal?nl???nda, X dik plakas?n?n hacimli yo?unlu?una sahip elektrikle e?it olarak y?klenir, koordinatlar?n ba?lang?c?, plakan?n her iki y?zeyinden e?it aral?kl?, orta u?ta bulunur. Plakan?n i?indeki ve d???ndaki alan?n potansiyelinin s?ras?yla:

Ve vekt?r medyan d?zlemden x ekseni boyunca y?nlendirilir ve say?sal olarak e?ittir:

Bu vakay?, sonsuz y?kl? bir d?zlemin maksimum durumuyla kar??la?t?r?n (§ 4).

G?rev 12. K?resel koordinatlardaki Poisson denklemine dayanarak, hacim [form?l (8.12)] 'de e?it olarak y?klenen top alan?n?n potansiyelini bulun.

Var olan ?ok say?da en ?ok uygun y?ntem Bir alan g?c? bulmak, potansiyel i?in diferansiyel denklem i?in bir ??z?m olarak kabul edilir. Bunu ald?ktan sonra, Ostrogradsky-Gauss'un diferansiyel formda temel olarak uygulan?r?z:

r y?k da??l?m?n?n yo?unlu?u, e 0 - elektrik sabiti, d i v e -> = -> e -> = ? e x ? x + ? e y y + ? e z ? z, voltaj vekt?r?n?n sapmas?d?r ve alan? birbirine ba?layan ifadedir voltaj ve alan potansiyeli.

(1) 'de (2) yerine ge?ece?iz:

D i v g r a d f = ? 2 f = ? 2 f ? x 2 + ? 2 f y 2 + ? 2 f ? z 2, burada ? = ? 2'nin Laplace operat?r? oldu?u d???n?ld???nde, e?itlik (3) formu al?r:

?fadeye (4) vakum i?in Poisson denklemi denir. Yok y?klerde, Laplace denklemi olarak kaydedilir:

Potansiyeli bulduktan sonra (2) kullanarak gerginli?i hesaplamaya devam ediyoruz. Poisson denklemi ??z?mleri gereksinimleri kar??lamal?d?r:

• s?rekli bir i?lev olarak potansiyel de?er;
• Potansiyel son i?lev olmal?d?r;
• Koordinatlarda fonksiyon olarak t?rev potansiyeller kesin olmal?d?r.

Cilt V'de konsantre y?klerin varl???nda, denklem (4) ??zeltisi t?rlerin potansiyeli i?in ifade edilecektir:

Tespit 1

Elektrostati?in genel g?revi, diferansiyel denklem, yani yukar?daki gereksinimleri kar??layan Poisson denklemine bir ??z?m bulmakt?r. Teorik hesaplamalar az say?da belirli vaka i?in bilinmektedir. Ko?ullar? kar??layan bir i?lev se?mek m?mk?nse, o zaman tek ??z?m budur.

Bu t?r g?revlerde, uzay boyunca ?cretleri veya potansiyelleri ayarlamak her zaman gerekli de?ildir. ?letici bir kabukla ?evrili bir bo?lukta bir elektrik alan? bulmak i?in, i?indeki cisim alan?n? hesaplamak yeterlidir.

Poisson’un s?n?rl? bir b?lge denkleminin herhangi bir ??z?m?, karar?n davran???na uygulanan b?lgesel ko?ullarla belirlenebilir. Bir ortamdan di?erine ge?i?in s?n?rlar? yerine getirilmesi gereken ko?ullara sahiptir:

E 2 n - e 1 n = 4 p s veya ? f 1 ? n - ? f 2 ? n = 0.

E 1 t = E 2 t.

S, serbest y?klerin y?zey bo?lu?udur, n, 2'de 1 ?ar?amba g?n? ?izilen b?l?m?n s?n?r?na normal bir vekt?rd?r, t, s?n?ra te?et tek bir vekt?rd?r.

Bu denklemler, voltaj vekt?r?n?n normal bile?enlerinde bir s??ramay? ve herhangi bir y?kl? y?zeyden ge?erken elektrik alan?n?n te?et vekt?r?n?n s?reklili?ini, ?ekline ve d???ndaki y?klerin varl???n? veya yoklu?undan ba??ms?z olarak s?reklili?ini ifade eder.

K?resel, Polar ve Silindirik Koordinatlarda Poisson denklemi

Denklemin kayd?, k?resel, silindirik, kutupun yan? s?ra decartre koordinatlar?n?n yard?m?yla benzer olabilir.

K?resel R, th, y Poisson denkleminin varl???nda ?u ?ekilde kaydedilir:

1 r 2 · ? ? r 2 ? f f f + 1 r 2 sin th ? th sin th · ? f th ? 2 f 2 sin 2 th ? f f f 2 = - 1 e 0 r.

Kutup r, th:

1 r · ? ? r ? f ? r + ? 2 f r 2 ? th 2 = - 1 e 0 r.

Silindirik R, y, Z:

1 r · ? ? r ? f R + ? 2 f ? z 2 + ? 2 f r 2 ? y 2 = - 1 e 0 r.

?rnek 1

Remii R 1 ve R2 ile koaksiyel silindirler ile mevcut potansiyel fark? ? U = f 1 - f 2 ile alan? bulun.

?izim 1

??z?m

Eksenel simetri g?z ?n?ne al?nd???nda Laplace denklemini silindirik koordinatlarla sabitlemek gerekir:

1 r · ? ? r r ? f ? r = 0.

??zelti, f = - a ln (r) + b formuna sahiptir. Bunu yapmak i?in, sa? silindirde s?f?r potansiyel se?in:

f (r 2) = 0 = - a ln r 2 + b, bu nedenle

f (r 1) = ? u = - a ln r 1 + b, al:

A = ? u ln r 2 r 1.

D?n???mden sonra:

f (r) = - ? u ln r 2 r 1 ln (r) + ? u ln r 2 r 1 ln r 2.

Cevap:?ki koaksiyel silindirli bir alan, f (r) = - ? u ln r 2 r 1 ln (r) + ? u ln r 2 r 1 ln r2 kullan?larak ayarlanabilir.

?rnek 2

RADIUS R ve hacimsel y?k yo?unlu?u r ile sonsuz yuvarlak bir silindir olu?turan alan?n potansiyelini bulun. Poisson denklemini kullan?n.

??z?m

Z eksenini silindir ekseni boyunca y?nlendirmek gerekir. ?arj?n silindirik da??l?m?n?n aksif olarak simetrik oldu?u, potansiyelin ayn? simetriye sahip oldu?u g?r?lebilir, ba?ka bir deyi?le, silindir eksenine olan mesafe olan R (R) fonksiyonu olarak kabul edilir. ??zmek i?in silindirik bir koordinat sistemi kullan?l?r. Poisson'un BT'?ndaki denklemi ?u ?ekilde imzalanm??t?r:

f 2 = c 2 ln r + c "2.

C 1, C "1, C2, C" 2 sabit entegrasyondur. T?m noktalardaki potansiyelin nihai olmas? ve l i m r -> 0 ln r = inous olmas? gerekti?ine sahibiz. C1 = 0. Daha sonra, f 1 (0) = 0 ko?ulunu kullanarak potansiyeli telaffuz etmek gerekir. C "1 = 0 al?yoruz.

Y?zeysel y?kler yoktur, bu nedenle topun y?zeyindeki elektrik alan yo?unlu?u s?reklidir. Bu nedenle, potansiyelin t?revinin de R = R i?in ve potansiyelin kendisi i?in s?rekli oldu?u. Ko?ullara dayanarak, C2, C "2'yi bulabilirsiniz:

C2 ln r + c "2 = - 1 4 r e 0 r2.

C2 R = - 1 2 r e 0 r.

Yani, ortaya ??kan ifadeler ?u ?ekilde kaydedilir:

Cevap: Alan potansiyeli:

Metinde bir hata fark ederseniz, l?tfen se?in ve Ctrl+Enter'? t?klay?n

Gauss teoremi sadece basit bir konfig?rasyonun g?vdeleri i?in ge?erlidir. Poisson -Laplace denklemi ?ok daha karma??k problemleri ??zmenize izin verir, bu denklemler hem elektrikli hem de manyetik t?m sabit alanlarda kullan?l?r.

Diverjans belirtisi i?in “-” i?aretini ??karal?m:

.

Yer de?i?tirmek Diva Ve Mezun A??k :

.

- Poisson denklemi;

- Laplace denklemi;

- Laplacean.

Kartezyen koordinat sisteminde:

- Laplace denklemi;

- Poisson denklemi.

E?er Sadece 1. koordinasyona ba?l? olarak, sorun bu koordinat ?zerinde 2 veya daha fazla koordinatla 2 veya daha fazla koordinatla ??z?l?r, denklemi ??zer ?zel y?ntemler: ?zgara y?ntemi, say?sal hesaplama y?ntemi.

??z?m?n benzersizli?inin teoremi

Poisson Denklemi - Laplace, tarif ediyor Elektrik alan?, ?zel t?revlerin bir denklemidir. Bu nedenle, birbirinden ba??ms?z bir?ok karar vard?r.

??z?m?n benzersizli?inin bir teoremi var:

Poisson - Laplace denklemini tatmin eden bir?ok fonksiyonun tamam?, s?n?r ko?ullar?n? tatmin eden sadece bir tane vard?r.

?ki sonu? form?le edilmi?tir:

S?n?r ko?ullar? de?i?memesi i?in, iki medyan?n s?n?r?, ?cretlerin s?n?r?n?n di?er taraf?nda yeniden da??t?l?rsa, alan?n bir k?sm?ndaki alan de?i?mez.

Ekipman y?zeyi metal bir y?zey ile de?i?tirilebilir ve ikincisine biraz potansiyel s?yler.

Ayna g?r?nt?leri y?ntemi

Elektrik y?kleri iki heterojen ortam?n s?n?rlar?na yak?n bir yerdeyse, alan vekt?r?, ayna g?r?nt?s? y?ntemi olarak adland?r?lan yapay hesaplama y?ntemi uygulanarak belirlenebilir.

Y?ntemin fikri, heterojen bir ortam yerine homojen bir ortam dikkate al?n?rken, heterojenli?in etkisinin hayali su?lamalar?n sokulmas?yla dikkate al?nmas?, ana g?revin s?n?r ko?ullar?n? kaydederek ve bunlar? kullanma, dikkate al?n?r. ?stenen alan vekt?rlerini bulun. Bu y?ntem, do?ru ?ekildeki iki ortam?n b?l?m?n?n s?n?r?n? hesaplamak i?in en uygundur.

?ki ortam b?l?m?n?n s?n?r?nda hesaplama

?letici d?zlemin yak?n?nda bulunan y?kl? eksenin alan?

(Dielektrik - iletken)

Y?kl? eksen, iletken ortam?n y?zeyine paralel dielektrik i?inde bulunur. ?st yar? d?zlemdeki (dielektrik) alan?n do?as?n? belirlemek gerekir.

Elektrostatik ind?ksiyonun bir sonucu olarak, iletken g?vdenin y?zeyinde y?kler ortaya ??kar. Koordinattaki bir de?i?iklik ile yo?unluklar? de?i?ir X. Bu su?lamalar alan? etkiler ve etkileri dikkate al?nmal?d?r. ?letken cismin y?zeyinde da??t?m yasas?n? bilmek gerekti?inden, elektrostatik ind?ksiyondan dolay? iletken g?vdenin y?zeyi ?zerinde performans g?steren y?klerin etkisini dikkate almak ?ok zordur. Bu sorun ayna g?r?nt?leri y?ntemi kullan?larak kolayca ??z?lebilir. Y?nteme g?re, iletken g?vdenin y?zeyinde bulunan y?klerin etkisi, s?n?ra g?re bir ayna yans?mas?nda bulunan hayali bir konsantre y?k?n getirilmesiyle dikkate al?n?r, ancak t?m bo?lu?un dolduruldu?una inan?lmaktad?r. bir dielektrik. Hayali bir ?arj ger?ek mod?le e?ittir ve ters i?arete sahiptir.

Hadi kan?tlayal?m. ?ki y?kten saha gerilimi
Ve
Alan?n herhangi bir noktas?nda, sadece s?n?rda normal bir bile?eni vard?r (bir s?n?r ko?ulu yerine getirilir
). Eksenlerin her birinden elde edilen potansiyel, Laplace denklemini kar??l?yor
(Okul Bessonov, Toe s. Karar?n benzersizli?inin teoremine dayanarak, elde edilen karar do?rudur.

Y?kl? eksen, iletken ortam?n y?zeyine paralel dielektrik i?inde bulunur. Elektrostatik alan?n yo?unlu?unu ve A noktas?ndaki potansiyeli belirlemek gerekir.

Ayna g?r?nt?leri y?ntemini uyguluyoruz. Ve Alan G?c? ve Potansiyelini A noktas?nda uygulama y?ntemini kullanarak bulaca??z

;

;

;
.

bir nokta i?in
:
.

Telin iletken y?zeye ?ekilmesinin kuvvetini belirleriz:

.

?e?itli dielektrik ge?irgenli?e sahip iki dielektrik b?l?m?n?n d?z s?n?r?n?n yak?n?nda bulunan y?kl? eksenin alan?

(Dielektrik - dielektrik)

Bu durumda, b?l?m?n b?l?m?nde ind?klenen konumland?r?lmam?? ba?l? y?kler her iki alanda da alan? etkiler, muhasebe i?in iki hayali y?k getirilir. Bu g?revde, iki s?n?r ko?ulu kar??lanmal?d?r.

a) Ger?ek tel ve incelenen nokta ayn? ortamdaysa, alan iki y?kten hesaplan?r: ger?ek , t?m alan incelenen noktan?n bulundu?u bir dielektrikle doldurulur.

B) Ger?ek tel ve incelenen nokta farkl? ortamlarda bulunuyorsa, alt yar? alandaki herhangi bir noktadaki alan, baz? ek ?cretlerden bir alan olarak tan?mlan?r. . T?m alan, incelenen noktan?n bulundu?u ?evre dielektri?i ile doldurulur.

Alan gerginli?inin te?et bile?enlerinin e?itli?i durumundan:

.

Elektrikli yer de?i?tirme vekt?r?n?n normal bile?enlerinin e?itlik ko?ullar?ndan:

.

.

Birlikte ??z?l?r?z:

;

;
.

?mza ?ak??acak E?er
.

?mza Her zaman gibi olacak .

Y?kl? eksen, ba?ka bir dielektrik y?zeyine paralel dielektrik i?inde bulunur. Elektrostatik alan?n yo?unlu?unu ve A ve V noktas?ndaki potansiyeli belirlemek gerekir.
.

A noktas?n? d???n?n. O, y?kl? bir eksenle ayn? ortamda yatar. Ayna yans?malar? y?ntemini kullan?yoruz. Her ?eyi dielektrik ge?irgenli?e sahip bir ortamla dolduruyoruz . Alan iki su?lamadan hesaplan?r: ger?ek ve ayna -yans?t?lm?? hayali ?arj . Ayna g?r?nt?leri y?ntemini uyguluyoruz. Alan g?c? ve A noktas?nda potansiyel uygulama y?ntemini kullanarak bulacakt?r:

;

;

;
.

Kablolardan birinin alt?ndaki b?l?m?n s?n?r?nda s?f?r potansiyeli olan bir noktaya de?inece?iz.

.

B noktas?n? d???n?n. Y?kl? eksenli farkl? ortamlarda yatar. Ayna yans?malar? y?ntemini kullan?yoruz. Her ?eyi dielektrik ge?irgenli?e sahip bir ortamla dolduruyoruz . Alan hayali ?arjdan hesaplan?r Ger?ek ?arj?n bulundu?u ayn? noktada bulunur .

;

.

Mark: ?ncelenen nokta telin y?zeyinde yat?yorsa, telden incelenen noktaya olan mesafe telin yar??ap?na e?ittir.

S?n?r?n yak?n?nda puan ?arj?

Dielektrik - iletken ve dielektrik - dielektrik

Alan y?klenmemi? bir eksenle olu?turulursa, ancak bir nokta y?k? ile olu?turulursa, t?m hesaplama y?ntemi korunur.

Bir nokta y?k?, bir iletken olan dielektrik s?n?r?n?n yak?n?nda yatar. Alan?n gerginli?ini ve potansiyelini A noktas?nda bulun

Bili?sel ama?lar i?in, Debay-Hukkel denkleminin ??kt?s?nda kullan?lan denklemleri anlatmak istiyorum. Bu Poisson denklemi ve Bolzman'?n da??l?m?d?r.

Poisson denklemi

Plazman?n dengede quasineral oldu?unu ve bir elektrik alan?n?n hareket ?arjlar?ndan etkisi alt?nda, y?kl? par?ac?klar?n Debaevsky uzunlu?una kayd?r?ld???n? ve alan?n bu uzunluk i?inde kayboldu?unu ??rendik. Elektrostatikte, y?kl? par?ac?klar?n etkile?imi Kulonov denklemi taraf?ndan tan?mlan?r:

Etkile?imli nokta y?klerinin de?erleri nerede - ?cretler aras?ndaki mesafenin karesi. K katsay?s? bir sabittir. Sistemi SGSEQ taraf?ndan belirlenen SGS'nin elektrostatik birimlerinde kullan?rsak, k = 1. SI sistemi kullan?l?rsa, y?klerin bulundu?u ortam?n dielektrik ge?irgenli?i, 8.86'ya e?it bir elektrik sabiti nerede ?.

Fizikte, do?rudan zorla kullan?lmazlar, ancak da??t?lm?? y?klerin elektrostatik alan? kavram?n? tan?tt?lar ve alan? boyutla ?l?t?ler. elektrik alan gerilimi. Bunu yapmak i?in, alan?n her noktas?nda, tek bir deneme ?creti zihinsel olarak yerle?tirilir ve y?k alan?n?n deneme ?cretine g?re hareket etti?i kuvvet ?l??l?r:

Buradan, kolye g?c?n? bu denkleme koyarsan?z, ?unlar? elde edece?iz:
Ancak fizik?iler tamamen bir elektrik alan? tan?mlamak i?in bununla s?n?rl? de?ildir. Elektrostatik bir alana yerle?tirilen tek bir y?k? d???n?n. Alan, bu y?k? temel mesafe DS'ye P1 noktas?ndan P2 noktas?na ta??mak i?in ?al???r:
Boyut potansiyel fark veya voltaj denir. Voltaj volt cinsinden ?l??l?r. Eksi i?areti bize alan?n kendisinin birimi aktarmak i?in ?al??t???n? s?yler. pozitif y?k. ?cretleri hareket ettiren kuvvetler muhafazakard?r, ??nk? kapal? yol boyunca ?al??ma, y?k hangi y?ne hareket etti?ine bak?lmaks?z?n her zaman s?f?rd?r.

Buradan takip ediyor Derin anlam potansiyel farkl?l?klar. P1 noktas?n? d?zeltir ve y?k? P2 de?i?ken noktas?na ta??rsan?z, ?al??ma sadece ikinci nokta P2'nin konumuna ba?l?d?r. B?ylece, potansiyel kavram?n? tan?tabiliriz. Potansiyel, y?k? sonsuzluktan bu noktaya ta??mak i?in alan? ger?ekle?tirmek i?in hangi ?al??man?n gerekli oldu?unu g?steren g??l? bir i?levdir ve burada sonsuzluktaki potansiyelini s?f?ra e?it olarak kabul ederler.

Poisson denklemini anlamak i?in “?zel” vekt?r matemati?ini anlamak gerekir. Saha ve ?raksama gradyan? gibi kavramlar? k?saca anlataca??m (okuyucunun matematiksel bir analize a?ina oldu?u anla??lmaktad?r)
F (x, y, z) baz? s?rekli farkl?la?m?? koordinat fonksiyonudur. Uzay?n her noktas?nda ?zel t?revlerini bilerek, x, y, z bile?enlerinin kar??l?k gelen ?zel t?reve e?it oldu?u bir vekt?r olu?turabilirsiniz:

Kar??l?k gelen eksenlerin tek vekt?rleri nerede x, y, z. Simge "nabla" okunur ve bir diferansiyel operat?rd?r
Bu operat?r Hamilton'u matemati?e tan?tt?. Setten, d?zenli bir ?al??ma, skaler ?al??ma, bir vekt?r ?al??mas? vb. Gibi s?radan matematiksel i?lemler ger?ekle?tirebilirsiniz.

?imdi elektrostatik alan E.'ye d?nelim. Bir yandan, bir noktadan di?erine ge?erken potansiyelde bir de?i?iklik a?a??daki g?r??e sahiptir:

?te yandan, form?le g?re (*)
Yeni tan?t?lan gradyan kavram?n? uygulayarak, bu form?l a?a??dakilere d?n??t?r?l?r:
?imdi alan?n ayr?lmas? gibi bir kavramla ilgilenece?iz. Rasgele bir formun V'nin son kapal? hacmini d???n?n (a?a??daki ?ekil.). Bu y?zey S'nin alan?n? belirtin.
DA, de?eri y?zeyin k???k eleman?n?n alan? olan sonsuz k???k bir vekt?rd?r ve y?n, bu eleman i?in d?? normal ile ?ak???r.
Hacmi b?lmek ve limiti s?f?ra, yani. Hacmi sonsuz k???k bir noktaya ?ekece?iz.

Diverjans kavram?na yakla?t?k. Diverjans, div sembol? ile g?sterilir ve f vekt?r?n?n V hacimine ak???n?n oran?d?r ve V s?f?ra ?abalayacakt?r.

Poisson denkleminin nas?l elde edildi?ini g?stermeden ?nce, Gauss ve Gauss teoreminin yasas?n? bilmek ?nemlidir. ??inde ?arj olan bir k?re hayal edin. ?arj kendi etraf?nda bir elektrikli bir elektrik alan? yarat?r.

burada k?renin alan? e?ittir. Buradan
Bu, elektrik alan?n?n e'nin herhangi bir kapal? y?zeyden ak???n?n oldu?unu iddia eden Gauss yasas?d?r. ??e e?it y?zeyde kapl? tam bir y?ke:
Nerede - hacimsel y?k?n yo?unlu?u, yani. de?er elektrikli ?arj Bir birim hacminde ve - kapal? hacimimizin i?ine tahsis edilen bir temel hacim.

Gauss Teoremi (Gaussa-Ostrograd Teoreminin Tam Ad?) Diverjans hakk?nda tamamen matematiksel teorem. F Vector F ak???n? ?u ?ekilde yeniden yaz?yoruz:

S?n?rda, n -> ° oldu?unda -> 0, parantez i?indeki de?er ?raksama olur ve miktar hacimsel bir integral haline gelir:
Bu Gauss teoremidir ve alan teorisi i?in ger?ekten en ?nemli bir form?ld?r. Bu teoremi elektrostatik alana uyguluyoruz. Bir yandan, Gauss yasas?na g?re
?te yandan, Gauss Teoremine g?re (teoremi Gauss Yasas? ile kar??t?rmay?n):
Son iki denklemi birle?tiririz:
Form?l? (**) hat?rlay?n ve E polu bitkisi yerine burada yerini al
Gradyan Diverjence, Matematikte Laplace Operat?r? veya K?salt?lm?? Laplasian olarak adland?r?lan yeni bir operat?rd?r. Laplasian, puan?n simgesiyle a?a??daki gibi g?sterilir ve e?ittir
?nceki form?l? Laplasian ?eklinde yeniden yaz?yoruz:
Sonunda Poisson denklemini ald?k. ?lk makalede, bu denklem dikkate al?narak biraz farkl? bir bi?imde idi. dielektrik ge?irgenlik?ar?amba. SI sistemindeki kolyenin g?c?n? hat?rlay?n, bir sabit var. Buna g?re, Gauss yasas? yasada de?il, katsay? olacakt?r. B?ylece, Poisson denklemini ?nceki makalede sunulan bir ?eklinde al?yoruz.
Bu nedenle, asl?nda, Poisson denklemi, Vekt?r diferansiyel analizinin atamalar?nda Kulon'un (veya daha do?rusu Gauss Yasas?) yasas?d?r (veya daha do?rusu Gauss Yasas?).

Matematiksel istatistiklerin ?nemli da??l?m?n? (Bolzman'?n da??l?m?) analiz edece?iz.

Etiketler:

• fizik
• Elektrostatik

Etiket ekle

Poisson ve Laplace denklemleri elektrostatikin ana denklemleridir. Gauss teoreminden diferansiyel formda takip ederler. Ger?ekten de biliniyor E = - Grad J. Ayn? zamanda, Gauss Teoremine g?re

(11.22) E. (11.7) 'den. Elde etmek

.

Diverjans i?areti ba??na eksi alaca??z

.

Yazmak yerine Gradj, E?de?erden yazal?m ?. Div yerine ? yazaca??z. Daha sonra

Denklem (11.27) Poisson denklemi olarak adland?r?l?r. ?zel g?r??R svb = 0 oldu?unda Poisson denklemlerine Laplace denklemi denir. Laplace denklemi ??yle yaz?lacak:

Operat?re Laplace veya Laplasian'?n operat?r? denir ve bazen bir D sembol? g?sterir. Bu nedenle, bazen Poisson denkleminin bu kay?t bi?imini bulabilirsiniz:

Kartezyen koordinat sisteminde ortaya ??kaca??z. Bu ama?la, iki ?arpan?n ?al??mas? ? ve ayr?nt?l? bir bi?imde yaz?n

Bir ?arp?m ger?ekle?tirece?iz ve alaca??z

.

B?ylece, Kartezyen koordinat sistemindeki Poisson denklemi a?a??daki gibi kaydedilir:

. (11.29)

Kartezyen koordinat sistemindeki Laplace denklemi

. (11.30)

Silindirik koordinat sisteminde ? 2 j ifadesinin ??kt?s? olmadan verelim

, (11.31)

K?resel Koordinat Sisteminde (11.32)

Poisson denklemi, ikinci sipari? t?revleri aras?nda bir ba?lant? verir. J. Alan?n herhangi bir noktas?nda ve alan?n bu noktas?nda serbest ?cretlerin hacimsel yo?unlu?unda. Ayn? zamanda potansiyel J. Alan?n herhangi bir noktas?nda, elbette, sadece bu noktada bulunan serbest ?cretin boyutuna de?il, bir alan yaratan t?m ?cretlere ba?l?d?r.

Laplace denklemi (1780) ba?lang??ta potansiyel alanlar? tan?mlamak i?in kullan?ld? G?ksel Mekanik Ve daha sonra elektrik alanlar?n? tan?mlamak i?in kullan?ld?. Poisson denklemi, 1820'den beri potansiyel alanlar?n (elektrik ve manyetik) ?al??mas?na uygulan?r

Nas?l oldu?u sorusunu d???n?n genel form Poisson denkleminin ??z?m? kaydedilebilir. Hacim V Volumetrik (R), y?zey (ler) ve do?rusal (t) y?kler vard?r. Bu su?lamalar? nokta y?klerinin agregatlar? ?eklinde tan?taca??z RDV, SDS, TDL; DV- bir hacim unsuru, Ds-y?kl? y?zeyin sunulmas?, Dl- Y?kl? eksenin uzunlu?unun eleman?. Potansiyelin bile?eni DJ Uzay?n bir noktas?nda, RDV uzaktan R(11.20) form?l?ne g?re e?ittir

Y?zeysel ve do?rusal y?klerden kurucu potansiyel, onlar? nokta olarak d???n?rsek, benzer ?ekilde tan?mlayaca??z:

Tam de?er J. Sahadaki t?m y?klerden potansiyelin bile?enlerinin miktar? (integral) olarak belirlenecektir:

. (11.33)

Form?lde (11.33) R, S Ve T Yar??ap?n i?levleri var R. Da??t?mdan beri neredeyse bir form?l (11.33) nadiren kullan?l?r S. y?zeyde, T uzunlu?unda ve R Hacim a??s?ndan, elektrotlar?n konfig?rasyonu ?zerinde karma??k bir ?ekilde ba?l?d?r ve kural olarak hesaplamadan ?nce bilinmemektedir. Ba?ka bir deyi?le, nas?l bilinmiyor R, S Ve T yar??apa ba?l? R.

S?n?r ko?ullar?

S?n?r ko?ullar?, alan?n ?e?itli elektriksel ?zelliklere sahip medya b?l?m?n?n s?n?rlar?na itaat etti?i ko?ullar olarak anla??lmaktad?r. “Ge?i? s?re?leri” b?l?m?n? incelerken, ba?lang?? ko?ullar? ve ge?i? yasalar? sorunu son derece ?nemliydi. Ba?lang?? ko?ullar? ve anahtarlama yasalar?, problemleri klasik y?ntemle ??zerken s?rekli entegrasyonu belirlemeyi m?mk?n k?ld?. ???NDE klasik y?ntem Operat?r y?nteminde - gizli olarak kullan?ld?. Bunlar? kullanmadan, ge?i? i?lemleri i?in tek bir sorunu ??zmek imkans?zd?r.

Elektrikli (ve di?er herhangi bir alanda) s?n?r ko?ullar?n?n rol? ile ge?i? s?re?leri s?ras?nda ge?i? ko?ullar?n?n ba?lang?? ko?ullar?n?n rol? aras?nda bir paralel ?izmek m?mk?nd?r. Laplace (veya Poisson) denklemini entegre ederken, ??z?m s?rekli entegrasyon i?erecektir. S?n?r ko?ullar?na g?re belirlenirler. S?n?r ko?ullar? hakk?nda ayr?nt?l? bir tart??maya ge?meden ?nce, elektrostatikte iletken g?vde i?indeki alan?n sorusunu ele alaca??z.