Denklem (10.2), elektrostatik alan?n potansiyeli ile bu alan?n g?c? aras?nda bir ili?ki kurar. Bu denklemden, potansiyel ve y?k yo?unlu?u aras?ndaki ili?ki t?retilebilir. Bunu yapmak i?in, bu denklemin her iki b?l?m?n?n diverjans?n? olu?turman?z ve ard?ndan form?l? (6.5) kullanman?z gerekir:

Vekt?r analizi kurallar?na g?re [bkz. denklem (40]

denklem (11.1) ?u ?ekilde yaz?labilir:

Bu diferansiyel denkleme Poisson denklemi denir. Alan?n elektrik y?k?n?n olmad??? k?s?mlar?nda

Bu denklem ?una d?n???r:

Poisson denkleminin bu ?zel bi?imine Laplace denklemi denir.

Poisson denklemi, bu y?klerin konumu biliniyorsa, uzay y?kleri alan?n?n potansiyelini belirlemeyi m?mk?n k?lar. Bu diferansiyel denklemin (belirli s?n?r ko?ullar? alt?nda) ??z?m? (integrali), daha ?nce t?retti?imiz form?l (8.8) ile a??k?a ?rt??melidir:

A?a??da, bunu do?rudan hesaplama ile kan?tlayaca??z. ?imdilik, baz? problemleri ??zmek i?in integralden (8.8) de?il, do?rudan diferansiyel denklemden (11.3) ilerlemenin daha uygun oldu?unu not ediyoruz.

?rnek. Vakumda iki sonsuz d?z elektrot aras?ndaki termiyonik ak?m?n yo?unlu?unu belirleyin. Poisson denkleminin uygulanmas?na ili?kin bu ?rnek, elektrostatikten de?il, ak?m teorisinden al?nm??t?r ve katot (y?kseltici) lambalar?n teorisi i?in b?y?k ?nem ta??maktad?r.

Is?t?lm?? metallerin y?zeylerinden ?evredeki bo?lu?a bir serbest elektron ak??? yayd?klar? bilinmektedir. ?ki metal elektrota belirli bir potansiyel fark? uygulan?rsa ve negatif elektrot (katot) ?s?t?l?rsa, ?s?t?lan katot taraf?ndan s?rekli olarak yay?lan elektronlar pozitif elektrotun (anot) y?zeyine ?ekilecektir. Katottan anoda hareket eden elektronlar?n ak???, bir elektrik ak?m?na e?de?erdir. Bu ak?ma termiyonik denir.

Kartezyen koordinatlar?n?n eksenlerini, orijinleri katotta olacak ve x ekseni elektrotlar?n d?zlemine dik ve anoda do?ru y?nlendirilecek ?ekilde se?iyoruz. Katot potansiyelini s?f?ra ve anot potansiyelini e?it al?yoruz Simetri d???ncelerinden, e?potansiyel y?zeylerin elektrotlara paralel oldu?u a??kt?r, bu nedenle elektrotlar aras?ndaki bo?luktaki Poisson denklemi ?u ?ekli al?r.

Katottan x mesafesindeki elektrotlar aras?ndaki bo?lukta birim hacim ba??na elektron say?s? ve elektron y?k?n?n mutlak de?eri ile g?sterirsek, o zaman ba??na y?k yo?unlu?u

bu mesafe ??yle olacakt?r:

Basitlik i?in, katot taraf?ndan yay?lan elektronlar?n y?zeyinden ??karken herhangi bir ba?lang?? h?z?na sahip olmad???n? varsayal?m. Katottan anoda giderken, elektrik alan kuvvetleri y?k?n elektronlar? ?zerinde i? yapacak - bu da a??k?a elektronlar?n hareketinin kinetik enerjisine d?n??ecektir. Katottan x mesafesindeki bir elektronun h?z?n? ve ayn? mesafedeki potansiyel arac?l???yla ?unu elde ederiz:

771 elektron k?tlesidir. Son olarak, elektrik ak?m?n?n yo?unlu?u, yani, ak?ma dik alan boyunca birim zamanda akan y?k (yani, eksene dik alan, a??k?a ?una e?ittir:

??nk? bu alandan birim zamanda ge?en elektron say?s? vard?r. Ak?m yo?unlu?unun aksine, x'e ba?l? olmayan sabit bir de?erdir, ??nk? sabit duruma ula?t?ktan sonra, a??k?as?, ayn? say?da elektron elektrotlara paralel herhangi bir d?zlemden ge?er.

?lki hari? t?m bilinmeyen x fonksiyonlar?n? (11.5) denkleminden ??karal?m.

Ama (11.6) dan ?u sonucu ??kar ki

yani,

A notasyonu ile tan???n - ?unu elde ederiz

Bu diferansiyel denklemin ??z?mlerinden, problemin durumuna g?re katotta kaybolan ve ayr?ca ko?ulu sa?layan ikame yoluyla do?rulamak kolayd?r.

Anottan katoda olan mesafeyi I ?zerinden belirtirsek, potansiyelde Bu nedenle,

B?ylece, termiyonik ak?m yo?unlu?u Ohm yasas?na uymaz, ancak elektrotlara uygulanan voltaj?n 3/2 g?c?yle orant?l? ve aralar?ndaki mesafenin karesi ile ters orant?l? olarak b?y?r. Termiyonik ak?m yasalar? ile metallerdeki ak?m yasalar? aras?ndaki bu fark iki nedenden kaynaklanmaktad?r. ?lk olarak, metallerdeki elektronlar, metalin kat? iskeletini olu?turan pozitif iyonlarla ?arp???r ve bu nedenle hareketlerine kar??, vakumda hareket ederken bulunmayan diren?le kar??la??rlar 1). ?kincisi, elektrotlar aras?ndaki bo?lukta bir termiyonik ak?mla, y?k? metallerde oldu?u gibi pozitif iyonlar?n y?k? ile telafi edilmeyen sadece serbest elektronlar vard?r, bunun sonucunda bu alan?n alan?- "uzay y?k?" ad? verilen elektrotlar?n alan?n? bozar.

Form?l?n (11.9) y?ksek ak?m yo?unluklar?nda 2) ge?erlili?ini kaybetti?ine dikkat edin. Anot potansiyelindeki bir art??la, katot taraf?ndan sal?nan t?m elektronlar?n hemen anoda ?ekildi?i bir an gelir. Anot potansiyelindeki daha fazla bir art??, ak?m yo?unlu?unda bir art??a yol a?amaz, bu da sabit bir de?ere (doyma ak?m?) ula??r.

Problem 10. Uzayda verilen bir noktan?n rastgele se?ilmi? bir ba?lang?? noktas?ndan uzakl??? olsun.

Laplace denklemini kar??lar

Nokta dikkate al?nmaz.

Problem 11. Kal?nl??? 2a olan sonsuz bir d?z levha, k?tle yo?unlu?u olan elektrikle d?zg?n bir ?ekilde y?klenmi?tir.X ekseni levhaya diktir, koordinatlar?n orijini, levhan?n her iki y?zeyinden e?it uzakl?kta, medyan d?zlemde bulunur. Plakan?n i?indeki ve d???ndaki alan potansiyelinin s?ras?yla e?it oldu?unu g?steriniz:

ve vekt?r medyan d?zlemden x ekseni boyunca y?nlendirilir ve say?sal olarak ?una e?ittir:

Bu durumu sonsuz y?kl? bir d?zlemin s?n?rlay?c? durumuyla kar??la?t?r?n (§ 4).

Problem 12. K?resel koordinatlarda Poisson denklemini temel alarak hacmi [form?l (8.12)] ?zerinden d?zg?n y?kl? bir topun alan potansiyelini bulun.

Alan kuvvetini bulmak i?in en uygun y?ntemin potansiyel i?in diferansiyel denklemin ??z?m? olarak kabul edildi?i ?ok say?da durum vard?r. Bunu elde ettikten sonra, Ostrogradsky-Gauss teoremini diferansiyel formda temel olarak uygular?z:

r y?k da??l?m yo?unlu?udur, e 0 elektrik sabitidir, d i v E -> = ? -> E -> = ? E x ? x + ? E y ? y + ? E z ? z, kuvvet vekt?r?n?n ?raksamas?d?r ve alan kuvveti ve potansiyeli ile ilgili ifade.

(1) 'de (2) bir ikame yapal?m:

d ben v g r a d f = ? 2 f = ? 2 f ? x 2 + ? 2 f ? y 2 + ? 2 f ? z 2 oldu?u g?z ?n?ne al?nd???nda, burada ? = ? 2 Laplace operat?r?d?r, e?itlik (3) ?u ?ekli al?r:

?fade (4), vakum i?in Poisson denklemi olarak adland?r?l?r. ?cretsiz olarak Laplace denklemi olarak yaz?lacakt?r:

Potansiyeli bulduktan sonra, (2) kullanarak yo?unlu?un hesaplanmas?na ge?iyoruz. Poisson denkleminin ??z?mleri a?a??daki gereksinimleri kar??lamal?d?r:

• s?rekli fonksiyon olarak potansiyel de?er;
• potansiyel sonlu bir fonksiyon olmal?d?r;
• potansiyelin koordinatlar?n bir fonksiyonu olarak t?revleri sonlu olmal?d?r.

V hacminde konsantre y?klerin varl???nda, denklem (4)'?n ??z?m?, formun potansiyeli i?in ifade edilecektir:

tan?m 1

Elektrostatiklerin genel sorunu, bir diferansiyel denkleme, yani yukar?daki gereksinimleri kar??layan Poisson denklemine bir ??z?m bulmaya indirgenmi?tir. Az say?da ?zel durum i?in teorik hesaplamalar bilinmektedir. Ko?ullar? sa?layan bir f fonksiyonu se?mek m?mk?nse, o zaman tek ??z?m budur.

Bu t?r problemlerde, t?m uzayda y?kleri veya potansiyelleri belirtmek her zaman gerekli de?ildir. ?letken bir k?l?fla ?evrili bir bo?luktaki elektrik alan?n? bulmak i?in i?indeki cisimlerin alan?n? hesaplamak yeterlidir.

S?n?rl? bir alan?n Poisson denkleminin herhangi bir ??z?m?, ??z?m?n davran???na uygulanan s?n?r ko?ullar? taraf?ndan belirlenebilir. Bir ortamdan di?erine ge?i?in s?n?rlar?, yerine getirilmesi gereken ko?ullara sahiptir:

E 2 n - E 1 n = 4 p s veya ? f 1 ? n - ? f 2 ? n = 0 .

E 1 t = E 2 t .

s, serbest y?klerin y?zey bo?lu?u, n, ortam 1'den 2'ye ?izilen ara y?zeyin normalinin birim vekt?r?d?r, t, ara y?ze te?et olan birim vekt?rd?r.

Bu denklemler, kuvvet vekt?r?n?n normal bile?enlerindeki s??ramay? ve elektrik alan kuvveti vekt?r?n?n tanjant?n?n, ?ekli ve d???ndaki y?klerin varl??? veya yoklu?u ne olursa olsun, herhangi bir y?kl? y?zeyden ge?erken s?reklili?ini ifade eder.

K?resel, kutupsal ve silindirik koordinatlarda Poisson denklemi

Denklem, Kartezyen koordinatlar?n yan? s?ra k?resel, silindirik, polar kullan?larak yaz?labilir.

K?resel r, th, y varl???nda Poisson denklemi ?u ?ekilde yaz?lacakt?r:

1 r 2 ? ? r r 2 ? f ? r + 1 r 2 g?nah th ? th g?nah th ? f ? th + ? 2 f r 2 g?nah 2 th ? f 2 = - 1 e 0 r .

Polar r'de, th:

1 r ? ? r ? f ? r + ? 2 f r 2 ? th 2 = - 1 e 0 r .

Silindirik olarak r, y, z:

1 r ? ? r ? f ? r + ? 2 f ? z 2 + ? 2 f r 2 ? y 2 = - 1 e 0 r .

?rnek 1

Yar??aplar? r 1 ve r 2 olan ve mevcut potansiyel fark? ? U = f 1 - f 2 olan koaksiyel silindirler aras?ndaki alan? bulun.

Resim 1

??z?m

Eksenel simetriyi dikkate alarak Laplace denklemini silindirik koordinatlarla sabitlemek gerekir:

1 r ? ? r ? f ? r = 0 .

??z?m f = - A ln (r) + B ?eklindedir. Bunu yapmak i?in, istenen silindirdeki s?f?r potansiyeli se?in, ard?ndan:

f (r 2) \u003d 0 \u003d - A ln r 2 + B, bu nedenle

f (r 1) = ? U = - A ln r 1 + B , ?unu elde ederiz:

A = ? U ln r 2 r 1 .

D?n???mden sonra:

f (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Cevap: iki koaksiyel silindirli alan f (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2 fonksiyonu ile verilebilir.

?rnek 2

Yar??ap? R ve hacim y?k yo?unlu?u r olan sonsuz yuvarlak bir silindir olu?turan alan?n potansiyelini bulun. Poisson denklemini kullan?n.

??z?m

Z eksenini silindirin ekseni boyunca y?nlendirmek gerekir. Silindirik y?k da??l?m?n?n eksenel olarak simetrik oldu?u, potansiyelin ayn? simetriye sahip oldu?u, ba?ka bir deyi?le f (r)'nin bir fonksiyonu olarak kabul edildi?i ve r'nin silindir ekseninden uzakl?k oldu?u g?r?lebilir. ??z?m, silindirik bir koordinat sistemi kullan?r. ??indeki Poisson denklemi ?u ?ekilde yaz?lacakt?r:

f 2 = C 2 ln r + C " 2 .

C 1 , C " 1 , C 2 , C " 2 integrasyon sabitleridir. T?m noktalardaki potansiyelin sonlu olmas? gerekti?ine sahibiz ve l i m r -> 0 ln r = ? . Buradan C 1 = 0 ??kar. Ard?ndan, f 1 (0) = 0 ko?ulunu kullanarak potansiyeli normalle?tirmek gerekir. C" 1 = 0 elde ederiz.

Y?zey y?k? yoktur, bu nedenle topun y?zeyindeki elektrik alan kuvveti s?reklidir. Bu nedenle, potansiyelin t?revi de t?pk? potansiyelin kendisi gibi r = R i?in s?reklidir. Ko?ullara ba?l? olarak, C 2, C " 2'yi bulabilirsiniz:

C 2 ln R + C " 2 = - 1 4 r e 0 R 2 .

C 2 R = - 1 2 r e 0 R .

B?ylece elde edilen ifadeler ?u ?ekilde yaz?l?r:

Cevap: alan potansiyeli:

Metinde bir hata fark ederseniz, l?tfen vurgulay?n ve Ctrl+Enter tu?lar?na bas?n.

Gauss teoremi yaln?zca basit bir konfig?rasyonun g?vdeleri i?in ge?erlidir. Poisson - Laplace denklemi ?ok daha karma??k problemleri ??zmenize izin verir, bu denklemler hem elektrik hem de manyetik t?m sabit alanlarda kullan?l?r.

Diverjans i?areti i?in "-" i?aretini ??karal?m:

.

de?i?tirelim div ve mezun?zerinde :

.

Poisson denklemidir;

– Laplace denklemi;

- Laplace.

Kartezyen koordinat sisteminde:

– Laplace denklemi;

Poisson denklemidir.

E?er bir sadece 1. koordinata ba?l?d?r, daha sonra problem bu koordinat ?zerinden 2 veya daha fazla koordinatla 2 katl? entegrasyonla ??z?l?r, denklemi ??zmek i?in ?zel y?ntemler vard?r: ?zgara y?ntemi, say?sal hesaplama y?ntemi.

??z?m benzersizli?i teoremi

Elektrik alan?n? tan?mlayan Poisson-Laplace denklemi bir k?smi diferansiyel denklemdir. Bu nedenle birbirinden ba??ms?z bir?ok ??z?m vard?r.

??z?m i?in bir teklik teoremi var:

Poisson-Laplace denklemini sa?layan t?m fonksiyonlardan s?n?r ko?ullar?n? sa?layan sadece bir tanesi vard?r.

Bunun iki sonucu var:

S?n?r ko?ullar?n?n de?i?memesi i?in y?kler iki ortam aras?ndaki aray?z?n di?er taraf?nda yeniden da??t?l?rsa, uzay?n bir k?sm?ndaki alan de?i?meyecektir.

Bir e?potansiyel y?zey, metale bir miktar potansiyel kazand?r?larak metal olanla de?i?tirilebilir.

Ayna g?r?nt?s? y?ntemi

Elektrik y?kleri birbirine benzemeyen iki ortam?n s?n?r?na yak?n bir yerde bulunuyorsa, alan vekt?r?, ayna g?r?nt?s? y?ntemi olarak adland?r?lan yapay bir hesaplama y?ntemi uygulanarak belirlenebilir.

Y?ntemin fikri, homojen olmayan bir ortam yerine homojen bir ortam d???n?l?rken, hayali y?kler getirilerek homojen olmayanl???n etkisi dikkate al?n?r, ana sorunun s?n?r ko?ullar? yaz?l?r ve bunlar? kullanarak, gerekli alan vekt?rleri bulunur. Bu y?ntem, normal ?ekilli iki ortam aras?ndaki arabirimi hesaplamak i?in en uygundur.

?ki ortam aras?ndaki aray?zde hesaplama

?letken bir d?zlemin yak?n?nda bulunan y?kl? bir eksenin alan?

(Dielektrik - ?letken)

Y?kl? eksen, iletken ortam?n y?zeyine paralel dielektrikte bulunur. Alan?n do?as?n?n ?st yar? d?zlemde (dielektrik) belirlenmesi gerekir.

Elektrostatik ind?ksiyonun bir sonucu olarak, iletken bir cismin y?zeyinde y?kler olu?ur. Koordinattaki bir de?i?iklikle yo?unluklar? de?i?ir x. Bu y?kler alan? etkiler ve etkileri dikkate al?nmal?d?r. Elektrostatik ind?ksiyon nedeniyle iletken bir cismin y?zeyinde ortaya ??kan y?klerin etkisini hesaba katmak ?ok zordur, ??nk? iletken bir cismin y?zeyi ?zerindeki da??l?mlar?n?n yasas?n? bilmek gerekir. Bu sorun ayna g?r?nt?s? y?ntemi kullan?larak kolayca ??z?lebilir. Y?nteme g?re, iletken bir cismin y?zeyinde bulunan y?klerin etkisi, s?n?ra g?re ayna yans?mas?nda bulunan hayali bir konsantre y?k getirilerek dikkate al?n?rken, t?m alan?n bir dielektrik ile dolduruldu?u varsay?l?r. . Hayali y?k, ger?ek olana mutlak de?erde e?ittir ve z?t i?arete sahiptir.

Hadi kan?tlayal?m. ?ki ?arjdan alan g?c?
ve
alan?n herhangi bir noktas?nda sadece s?n?ra dik bir bile?ene sahiptir (s?n?r ko?ulu
). Eksenlerin her birinden gelen potansiyel Laplace denklemini sa?lar
(hesab?n t?retilmesi. Bessonov TOE s. 42 (y?kl? eksenin potansiyeli i?in form?l, silindirik bir koordinat sisteminde Laplace denklemine ikame edilir)). ??z?m?n teklik teoremine g?re elde edilen ??z?m do?rudur.

Y?kl? eksen, iletken ortam?n y?zeyine paralel dielektrikte bulunur. Elektrostatik alan?n g?c?n? ve A noktas?ndaki potansiyeli belirlemek gerekir.

Ayna g?r?nt?leri y?ntemini uyguluyoruz. Ve s?perpozisyon y?ntemini kullanarak A noktas?ndaki alan g?c?n? ve potansiyelini bulaca??z.

;

;

;
.

nokta i?in
:
.

Telin iletken y?zeye olan ?ekim kuvvetini belirleyin:

.

Farkl? ge?irgenliklere sahip iki dielektrik aras?ndaki d?z bir arabirimin yak?n?nda bulunan y?kl? bir eksenin alan?

(Dielektrik - Dielektrik)

Bu durumda, aray?zde ind?klenen telafi edilmemi? ba?l? y?kler her iki k?redeki alan? da etkiler; bunlar? hesaba katmak i?in iki hayali y?k getirilir. Bu problemde iki s?n?r ko?ulu sa?lanmal?d?r.

a) Ger?ek tel ve incelenen nokta ayn? ortamdaysa, alan iki y?kten hesaplan?r: ger?ek , t?m alan, incelenen noktan?n bulundu?u bir dielektrik ile doldurulur.

b) Ger?ek tel ve incelenen nokta farkl? ortamlarda ise, alt yar? uzay?n herhangi bir noktas?ndaki alan, baz? ek y?klerden alan olarak tan?mlan?r. . T?m alan, incelenen noktan?n bulundu?u ortam?n dielektrik ile doldurulur.

Alan kuvvetinin te?et bile?enlerinin e?itli?i ko?ulundan:

.

Elektrik yer de?i?tirme vekt?r?n?n normal bile?enlerinin e?itlik ko?ulundan:

.

.

Birlikte ??zerek ?unlar? elde ederiz:

;

;
.

??aret ile e?le?ecek e?er
.

??aret her zaman gibi olacak .

Y?kl? eksen, dielektrikte ba?ka bir dielektrik y?zeyine paralel olarak bulunur. Elektrostatik alan?n g?c?n? ve A ve B noktalar?ndaki potansiyeli belirlemek gerekir.
.

A noktas?n? d???n?n. Y?kl? bir eksenle ayn? ortamda bulunur. Ayna yans?malar? y?ntemini kullan?yoruz. Her ?eyi dielektrik sabiti olan bir ortamla dolduruyoruz . Alan iki ?cret ?zerinden hesaplan?r: ger?ek ve yans?t?lm?? hayali ?cret . Ayna g?r?nt?leri y?ntemini uyguluyoruz. S?perpozisyon y?ntemini kullanarak A noktas?ndaki alan g?c?n? ve potansiyelini buluyoruz:

;

;

;
.

Tellerden birinin alt?ndaki aray?zde s?f?r potansiyele sahip bir nokta alal?m.

.

B noktas?n? d???n?n. Y?kl? bir eksene sahip farkl? ortamlarda bulunur. Ayna yans?malar? y?ntemini kullan?yoruz. Her ?eyi dielektrik sabiti olan bir ortamla dolduruyoruz . Alan, hayali bir ?cretten hesaplan?r , ger?ek y?k?n oldu?u noktada bulunur .

;

.

Not: ?ncelenen nokta telin y?zeyinde bulunuyorsa, telden incelenen noktaya olan mesafe telin yar??ap?na e?ittir.

S?n?ra yak?n nokta y?k?

Dielektrik - ?letken ve Dielektrik - Dielektrik

Alan, y?kl? bir eksen taraf?ndan de?il, bir nokta y?k? taraf?ndan olu?turulursa, t?m hesaplama prosed?r? korunur.

Dielektrik iletken aray?z?n?n yak?n?nda bir nokta y?k? bulunur. A noktas?ndaki alan g?c?n? ve potansiyelini bulun.

E?itim ama?l? olarak Debye-H?ckel denkleminin t?retilmesinde kullan?lan denklemlerden bahsetmek istiyorum. Bu Poisson denklemi ve Boltzmann da??l?m?d?r.

Poisson denklemi

Plazman?n denge durumunda yar?-n?tr oldu?unu ve hareketli y?klerden gelen bir elektrik alan?n?n etkisi alt?nda, y?kl? par?ac?klar?n Debye uzunlu?u kadar yer de?i?tirdi?ini ve alan?n bu uzunluk i?inde bozundu?unu bulduk. Elektrostatikte, y?kl? par?ac?klar?n etkile?imi Coulomb denklemi ile tan?mlan?r:

Etkile?en nokta y?klerin de?erleri nerede, y?kler aras?ndaki mesafenin karesidir. k katsay?s? bir sabittir. Sistemi, CGSEq ile g?sterilen CGS elektrostatik birimlerinde kullan?rsak, o zaman k = 1 olur. SI sistemi kullan?l?yorsa, o zaman, y?klerin bulundu?u ortam?n dielektrik sabiti nerede, 8.86 ?'ye e?it bir elektrik sabitidir. .

Fizikte kuvvet do?rudan kullan?lmaz, ancak da??t?lm?? y?klerden olu?an bir elektrostatik alan kavram? tan?t?l?r ve alan b?y?kl?k ile ?l??l?r. elektrik alan ?iddeti. Bunu yapmak i?in, alan?n her noktas?na zihinsel olarak tek bir test y?k? yerle?tirilir ve y?k alan?n?n test y?k?ne etki etti?i kuvvet ?l??l?r:

Dolay?s?yla, Coulomb kuvvetini bu denklemde yerine koyarsak, ?unu elde ederiz:
Ancak fizik?iler, elektrik alan?n? tam olarak tan?mlamak i?in bununla da s?n?rl? de?ildir. Elektrostatik alana yerle?tirilmi? bir birim y?k? d???n?n. Alan, bu y?k? P1 noktas?ndan P2 noktas?na ds temel uzakl??? kadar hareket ettirme i?ini yapar:
De?er, potansiyel fark veya voltaj olarak adland?r?l?r. Voltaj Volt cinsinden ?l??l?r. Eksi i?areti bize alan?n kendisinin bir birim pozitif y?k ta??mak i?in i? yapt???n? s?yler. Y?kleri hareket ettiren kuvvetler korunumludur, ??nk? kapal? bir yolda yap?lan i?, y?k hangi yolda hareket ederse etsin her zaman s?f?rd?r.

Bundan, potansiyel fark?n derin anlam? gelir. P1 noktas?n? sabitler ve y?k? P2 de?i?ken noktas?na ta??rsak, i? yaln?zca ikinci P2 noktas?n?n konumuna ba?l?d?r. B?ylece potansiyel kavram?n? tan?tabiliriz. Potansiyel, y?k? sonsuzdan, sonsuzdaki potansiyelin ko?ullu olarak s?f?r olarak al?nd??? belirli bir P2 noktas?na hareket ettirmek i?in alan?n ne kadar i? yapmas? gerekti?ini g?steren bir kuvvet fonksiyonudur.

Poisson denklemini anlamak i?in "?zel" vekt?r matemati?ini anlaman?z gerekir. Alan gradyan? ve diverjans gibi kavramlardan k?saca bahsedece?im (okuyucunun matematiksel analize a?ina oldu?u varsay?lmaktad?r)
f(x,y,z) koordinatlar?n s?rekli t?revlenebilir bir fonksiyonu olsun. Uzaydaki her noktada k?smi t?revlerini bilerek, x, y, z bile?enleri kar??l?k gelen k?smi t?revlere e?it olan bir vekt?r olu?turabilirsiniz:

kar??l?k gelen x, y, z eksenlerinin birim vekt?rleri nerede. Simge "nabla" olarak okunur ve bir diferansiyel operat?rd?r
Bu operat?r matemati?e Hamilton taraf?ndan tan?t?ld?. Nabla ile ortak ?arp?m, nokta ?arp?m, ?apraz ?arp?m gibi genel matematiksel i?lemleri ger?ekle?tirebilirsiniz.

?imdi elektrostatik alan E'ye d?nelim. Bir yandan, bir noktadan di?erine ge?erken potansiyeldeki de?i?iklik a?a??daki forma sahiptir:

Di?er yandan (*) form?l?ne g?re
Az ?nce tan?t?lan gradyan kavram?n? uygulayarak, bu form?l ?una d?n??t?r?l?r:
?imdi alan sapmas? gibi bir kavramla ilgilenelim. Rastgele bir ?ekle sahip sonlu bir kapal? hacim V d???n?n (a?a??daki ?ekle bak?n). Bu y?zeyin alan?n? g?sterelim S. Bu hacimden ??kan F vekt?r?n?n toplam ak???, tan?m gere?i, e?ittir.
da, b?y?kl??? S y?zeyinin k???k bir eleman?n?n alan?na e?it olan ve y?n? bu eleman?n d??a normali ile ?ak??an sonsuz k???k bir vekt?rd?r.
F vekt?r?n?n bu ak???n? alal?m ve hacme b?lelim ve s?f?ra meyleden limiti bulal?m, yani. hacmi sonsuz k???k bir noktaya kadar daraltaca??z.

Ayr??ma kavram?na geldik. Sapma, div sembol? ile g?sterilir ve F vekt?r?n?n ak???n?n V hacmine oran?d?r ve V s?f?ra e?ilimlidir.

Poisson denkleminin nas?l elde edildi?ini g?stermeden ?nce Gauss yasas?n? ve Gauss teoremini bilmek ?nemlidir. ??inde q y?k? olan bir k?re d???n?n. Y?k, kendi ?evresinde E yo?unlu?unda bir elektrik alan? olu?turur. E vekt?r?n?n ak???n? al?n.

burada S, k?remizin e?it alan?d?r. Sonu? olarak
Bu, herhangi bir kapal? y?zeyden ge?en E elektrik alan?n?n ak???n?n, y?zey taraf?ndan kapsanan toplam y?k?n ?r?n?ne e?it oldu?unu belirten Gauss yasas?d?r:
uzay y?k? yo?unlu?u nerede, yani. birim hacim ba??na elektrik y?k?n?n de?eri ve kapal? hacmimiz i?inde tahsis edilen temel hacimdir.

Gauss teoremi (tam ad? Gauss-Ostrogradsky teoremidir) tamamen matematiksel bir diverjans teoremidir. F vekt?r?n?n toplam ak???n? a?a??daki gibi yeniden yazal?m:

Limitte, N -> ?, ->0 oldu?unda, parantez i?indeki de?er bir diverjans olur ve toplam, bir hacim integraline gider:
Bu Gauss teoremidir ve alan teorisinin ger?ekten en ?nemli form?l?d?r. Bu teoremi bir elektrostatik alana uygulayal?m. Bir yandan Gauss yasas?na g?re
?te yandan, Gauss teoremine g?re (teoremi Gauss yasas?yla kar??t?rmay?n):
Son iki denklemi birle?tirerek ?unu elde ederiz:
Form?l? (**) hat?rlay?n ve burada alan?n potansiyelini E yerine yerine koyun
Gradyan sapmas?, matematikte Laplace operat?r? veya k?saca Laplacian olarak adland?r?lan yeni bir operat?rd?r. Laplacian, nabla simgesiyle a?a??daki gibi g?sterilir ve ?una e?ittir:
?nceki form?l? Laplacian bi?iminde yeniden yazal?m:
Son olarak, Poisson denklemine sahibiz. ?lk makalede, bu denklem ortam?n dielektrik sabiti dikkate al?nd???nda biraz farkl? bir bi?imdeydi. SI sisteminde Coulomb kuvvetini hat?rlay?n, bir sabit vard?r. Buna g?re, Gauss yasas?nda de?il, bir katsay? olacakt?r. B?ylece Poisson denklemini ?nceki makalede sunulan bi?imde elde ederiz.
B?ylece, ?z?nde, Poisson denklemi, vekt?r diferansiyel analizi notasyonunda farkl? bir bi?imde yeniden yaz?lm?? Coulomb yasas?d?r (veya daha do?rusu Gauss yasas?d?r).

Burada matematiksel istatistiklerden ?nemli bir da??l?m? analiz edece?iz - Boltzmann da??l?m?.

Etiketler:

• fizik
• elektrostatik

Etiket ekle

Poisson ve Laplace denklemleri, elektrostati?in temel denklemleridir. Gauss teoremini diferansiyel formda takip ederler. Nitekim bilinmektedir ki E = - derece j. Ayn? zamanda Gauss teoremine g?re

(11.22)'de yedek E (11.7)'den itibaren. Almak

.

Eksiyi sapma i?aretinden ??karal?m

.

yazmak yerine derece, e?de?erini ?j yaz?yoruz. div yerine ? yazal?m. O zamanlar

Denklem (11.27) Poisson denklemi olarak adland?r?l?r. r svb =0 oldu?unda Poisson denkleminin ?zel bir bi?imine Laplace denklemi denir. Laplace denklemi a?a??daki gibi yaz?l?r:

Operat?re Laplace operat?r? veya Laplacian denir ve bazen D sembol? ile de g?sterilir. Bu nedenle, bazen Poisson denklemini ?u ?ekilde yazabilirsiniz:

Kartezyen koordinat sisteminde a?al?m. Bu ama?la, iki fakt?r?n ?arp?m?n? ? ve geni?letilmi? bi?imde yaz?yoruz.

D?nem d?nem ?arpma i?lemi yap?yoruz ve

.

B?ylece Kartezyen koordinat sistemindeki Poisson denklemi a?a??daki gibi yaz?lacakt?r:

. (11.29)

Kartezyen koordinatlarda Laplace denklemi

. (11.30)

Silindirik bir koordinat sisteminde ? 2 j ifadesini t?retmeden veriyoruz

, (11.31)

k?resel koordinatlarda (11.32)

Poisson denklemi, ikinci mertebeden k?smi t?revleri aras?nda bir ili?ki verir. j alan?n herhangi bir noktas?nda ve alan?n bu noktas?nda serbest y?klerin hacimsel yo?unlu?u. Ayn? zamanda, potansiyel j Alan?n herhangi bir noktas?nda, elbette, yaln?zca verilen noktada bulunan serbest y?k?n b?y?kl???ne de?il, alan? olu?turan t?m y?klere ba?l?d?r.

Laplace denklemi (1780) ba?lang??ta g?k mekani?indeki potansiyel alanlar? tan?mlamak i?in uyguland? ve daha sonra elektrik alanlar?n? tan?mlamak i?in kullan?ld?. Poisson denklemi, 1820'den beri potansiyel alanlar?n (elektrik ve manyetik) incelenmesine uygulanm??t?r.

Poisson denkleminin ??z?m?n?n genel formda nas?l yaz?labilece?i sorusunu ele alal?m. Hacim ver V hacim (r), y?zey (s) ve do?rusal (t) y?kleri vard?r. Bu ?cretleri, nokta ?cretlerinin toplam? olarak temsil ediyoruz. rdv, sds, tdl; dV- hacim ??esi, ds- y?kl? y?zey eleman?, dl- y?kl? eksenin uzunluk eleman?. Potansiyel bile?en dj uzayda bir noktada uzakta rdV uzaktan R, form?le g?re (11.20) e?ittir

Y?zeyden gelen potansiyelin bile?enleri ve do?rusal y?kler, bunlar? nokta olarak kabul ederek benzer ?ekilde tan?mlar?z:

Tam anlam j Alandaki t?m y?klerden gelen potansiyel bile?enlerinin toplam? (integrali) olarak tan?mlan?r:

. (11.33)

Form?lde (11.33) r, s ve t yar??ap fonksiyonlar? var R. Pratikte, form?l (11.33) nadiren kullan?l?r, ??nk? da??l?m s y?zeyin ?zerinde t uzunlu?unda ve r hacim olarak elektrotlar?n konfig?rasyonuna karma??k bir ?ekilde ba?l?d?r ve kural olarak hesaplamadan ?nce bilinmemektedir. Ba?ka bir deyi?le, nas?l oldu?u bilinmiyor. r, s ve t yar??apa ba?l? R.

S?n?r ko?ullar?

S?n?r ko?ullar?, farkl? elektriksel ?zelliklere sahip ortamlar aras?ndaki aray?zlerde alan?n uydu?u ko?ullar olarak anla??l?r. "Ge?ici s?re?ler" b?l?m?n?n incelenmesinde, ba?lang?? ko?ullar? ve kom?tasyon yasalar? sorunu son derece b?y?k ?nem ta??yordu. Ba?lang?? ko?ullar? ve anahtarlama yasalar?, klasik y?ntemle problemlerin ??z?m?nde integrasyon sabitlerinin belirlenmesini m?mk?n k?lm??t?r. Klasik y?ntemde a??k olarak, operat?r y?nteminde ise gizli olarak kullan?lm??t?r. Bunlar? kullanmadan, ge?ici s?re?ler i?in herhangi bir g?revi ??zmek imkans?zd?r.

Bir elektrik (ve di?er herhangi bir) alandaki s?n?r ko?ullar?n?n rol? ile ge?ici s?re?lerde ba?lang?? ko?ullar?n?n ve anahtarlama yasalar?n?n rol? aras?nda bir paralellik ?izilebilir. Laplace (veya Poisson) denklemini entegre ederken, ??z?m entegrasyon sabitlerini i?erecektir. S?n?r ko?ullar?na g?re belirlenirler. S?n?r ko?ullar?n?n ayr?nt?l? bir tart??mas?na ge?meden ?nce, elektrostatik ko?ullar alt?nda iletken bir cismin i?indeki alan sorununu ele alal?m.