TANIM

meydana gelen adyabatik bir s?reci a??klar. Adyabatik bir s?re?, s?z konusu sistem ile ?evre aras?nda ?s? al??veri?inin olmad??? bir s?re?tir: .

Poisson denklemi ?u ?ekildedir:

Burada, gaz?n kaplad??? hacim, onun de?eridir ve de?ere adyabatik ?s denir.

Poisson denkleminde adyabatik ?s

Pratik hesaplamalarda, ideal bir gaz i?in adyabatik ?ss?n , iki atomlu bir gaz i?in ve ?? atomlu bir gaz i?in oldu?unu hat?rlamak uygundur.

Molek?ller aras?ndaki etkile?im kuvvetleri ?nemli bir rol oynamaya ba?lad???nda, ger?ek gazlar ne olacak? Bu durumda, incelenen her gaz i?in adyabatik ?s deneysel olarak elde edilebilir. B?yle bir y?ntem 1819'da Clement ve Desormes taraf?ndan ?nerildi. Balonu i?indeki bas?nca ula?ana kadar so?uk gazla dolduruyoruz. Sonra valfi a??yoruz, gaz adyabatik olarak genle?meye ba?l?yor ve silindirdeki bas?n? atmosferik bas?nca d???yor. Gaz izokorik olarak ortam s?cakl???na ?s?t?ld?ktan sonra, silindirdeki bas?n? artacakt?r. Daha sonra adyabatik ?s, a?a??daki form?l kullan?larak hesaplanabilir:

Adyabatik ?s her zaman 1'den b?y?kt?r, bu nedenle, bir gaz - hem ideal hem de ger?ek - adyabatik olarak daha k???k bir hacme s?k??t?r?ld???nda, gaz s?cakl??? her zaman artar ve gaz geni?ledi?inde so?ur. Pn?matik ?akmakta?? ad? verilen adyabatik bir i?lemin bu ?zelli?i, yan?c? kar???m?n bir silindir i?inde s?k??t?r?ld??? ve y?ksek s?cakl?kta tutu?tu?u dizel motorlarda kullan?l?r. Termodinami?in birinci yasas?n? hat?rlay?n: , nerede - , ve A - ?zerinde yap?lan i?. Gaz taraf?ndan ger?ekle?tirilen i? yaln?zca i? enerjisini ve dolay?s?yla s?cakl??? de?i?tirmeye gitti?inden. Poisson denkleminden, adyabatik bir s?re?te bir gaz?n i?ini hesaplamak i?in bir form?l elde edebilirsiniz:

Burada n mol cinsinden gaz miktar?d?r, R evrensel gaz sabitidir, T gaz?n mutlak s?cakl???d?r.

Adyabatik bir s?re? i?in Poisson denklemi sadece i?ten yanmal? motorlar?n hesaplamalar?nda de?il ayn? zamanda so?utma makinelerinin tasar?m?nda da kullan?l?r.

Poisson denkleminin yaln?zca s?rekli de?i?en denge durumlar?ndan olu?an bir denge adyabatik s?recini do?ru bir ?ekilde tan?mlad???n? hat?rlamakta fayda var. Ger?ekte, gaz?n adyabatik olarak genle?mesi i?in silindirdeki valfi a?arsak, makroskobik s?rt?nme nedeniyle s?necek olan gaz t?rb?lanslar?yla dura?an olmayan ge?ici bir s?re? meydana gelir.

Problem ??zme ?rnekleri

?RNEK 1

Egzersiz yapmak	Tek atomlu bir ideal gaz, hacmi iki kat?na ??kacak ?ekilde adyabatik olarak s?k??t?r?l?r. Gaz bas?nc? nas?l de?i?ecek?
??z?m	Tek atomlu bir gaz?n adyabatik ?ss? . Ancak, a?a??daki form?l kullan?larak da hesaplanabilir: burada R, evrensel gaz sabitidir ve i, gaz molek?l?n?n serbestlik derecesidir. Tek atomlu bir gaz i?in serbestlik derecesi 3't?r: bu, molek?l?n merkezinin ?? koordinat ekseni boyunca ?teleme hareketleri ger?ekle?tirebilece?i anlam?na gelir. Yani adyabatik ?s: Adyabatik s?recin ba??ndaki ve sonundaki gaz hallerini Poisson denklemi ile temsil edelim:
Cevap	Bas?n? 3.175 kat azalacak.

?RNEK 2

Egzersiz yapmak	100 mol iki atomlu ideal gaz, 300 K s?cakl?kta adyabatik olarak s?k??t?r?lm??t?r. Bu durumda, gaz bas?nc? 3 kat artm??t?r. Gaz i?i nas?l de?i?ti?
??z?m	Bir iki atomlu molek?l?n serbestlik derecesi, ??nk? molek?l translasyonel olarak ?? koordinat ekseni boyunca hareket edebilir ve iki eksen etraf?nda d?nebilir.

E?itim ama?l? olarak Debye-H?ckel denkleminin t?retilmesinde kullan?lan denklemlerden bahsetmek istiyorum. Bu Poisson denklemi ve Boltzmann da??l?m?d?r.

Poisson denklemi

Plazman?n denge durumunda yar?-n?tr oldu?unu ve hareketli y?klerden gelen bir elektrik alan?n?n etkisi alt?nda y?kl? par?ac?klar?n Debye uzunlu?u kadar yer de?i?tirdi?ini ve alan?n bu uzunluk i?inde bozundu?unu bulduk. Elektrostatikte, y?kl? par?ac?klar?n etkile?imi Coulomb denklemi ile tan?mlan?r:

Etkile?en nokta y?klerinin de?erleri nerede, y?kler aras?ndaki mesafenin karesidir. k katsay?s? bir sabittir. Sistemi CGS elektrostatik birimlerinde kullan?rsak, CGSEq ile g?sterilir, o zaman k = 1. SI sistemi kullan?l?rsa, y?klerin bulundu?u ortam?n dielektrik sabiti nerede, 8,86 ?'ye e?it bir elektrik sabitidir. .

Fizikte kuvvet do?rudan kullan?lmaz, ancak da??t?lm?? y?klerin elektrostatik alan? kavram? tan?t?l?r ve alan b?y?kl?kle ?l??l?r. elektrik alan g?c?. Bunu yapmak i?in, alan?n her noktas?na zihinsel olarak tek bir test y?k? yerle?tirilir ve y?k alan?n?n test y?k?ne etki etti?i kuvvet ?l??l?r:

Dolay?s?yla, Coulomb kuvvetini bu denklemde yerine koyarsak, ?unu elde ederiz:
Ancak fizik?iler, elektrik alan?n? tam olarak tan?mlamak i?in bununla da s?n?rl? de?iller. Bir elektrostatik alana yerle?tirilmi? bir birim y?k? ele alal?m. Alan, bu y?k? P1 noktas?ndan P2 noktas?na temel bir ds mesafesi kadar hareket ettirme i?ini yapar:
De?ere potansiyel fark veya voltaj denir. Voltaj Volt cinsinden ?l??l?r. Eksi i?areti bize alan?n kendisinin bir birim pozitif y?k ta??mak i?in i? yapt???n? s?yler. Y?kleri hareket ettiren kuvvetler korunumludur, ??nk? y?k hangi yolda hareket ederse etsin, kapal? bir yol ?zerinde yap?lan i? her zaman s?f?rd?r.

Buradan potansiyel fark?n derin anlam? ??kar. P1 noktas?n? sabitlersek ve y?k? P2 de?i?ken noktas?na ta??rsak, i? yaln?zca ikinci P2 noktas?n?n konumuna ba?l?d?r. B?ylece potansiyel kavram?n? tan?tabiliriz. Potansiyel, y?k? sonsuzdan, sonsuzdaki potansiyelin ko?ullu olarak s?f?r olarak al?nd??? belirli bir P2 noktas?na ta??mak i?in alan?n ne kadar i? yapmas? gerekti?ini g?steren bir kuvvet i?levidir.

Poisson denklemini anlamak i?in "?zel" vekt?r matemati?ini anlaman?z gerekir. Alan gradyan? ve diverjans gibi kavramlardan k?saca bahsedece?im (okuyucunun matematiksel analize a?ina oldu?u varsay?lmaktad?r)
f(x,y,z) koordinatlar?n s?rekli t?revlenebilir bir fonksiyonu olsun. Uzaydaki her noktadaki k?smi t?revlerini bilerek, x, y, z bile?enleri kar??l?k gelen k?smi t?revlere e?it olan bir vekt?r olu?turabilirsiniz:

kar??l?k gelen x, y, z eksenlerinin birim vekt?rleri burada. Simge "nabla" olarak okunur ve bir diferansiyel operat?rd?r
Bu operat?r matemati?e Hamilton taraf?ndan tan?t?ld?. Nabla ile ortak ?arp?m, i? ?arp?m, ?apraz ?arp?m gibi yayg?n matematiksel i?lemleri ger?ekle?tirebilirsiniz.

?imdi elektrostatik alan E'ye d?nelim. Bir yandan, bir noktadan di?erine hareket ederken potansiyeldeki de?i?iklik a?a??daki forma sahiptir:

?te yandan, form?le g?re (*)
Az ?nce tan?t?lan gradyan kavram?n? uygulayarak, bu form?l ?una d?n??t?r?l?r:
?imdi alan sapmas? gibi bir kavramla ilgilenelim. Rastgele bir ?ekle sahip sonlu bir kapal? hacim V d???n?n (a?a??daki ?ekle bak?n). Bu y?zeyin alan?n? S g?sterelim. Bu hacimden ??kan F vekt?r?n?n toplam ak??? tan?m gere?i ?una e?ittir:
, burada da, b?y?kl??? S y?zeyinin k???k bir eleman?n?n alan?na e?it olan ve y?n? bu eleman?n d??a normali ile ?ak??an sonsuz k???k bir vekt?rd?r.
F vekt?r?n?n bu ak???n? al?p hacme b?lelim ve s?f?ra meylederken limiti bulal?m, yani hacmi sonsuz k???k bir noktaya kadar daraltaca??z.

Diverjans kavram?na geldik. Sapma div sembol? ile g?sterilir ve F vekt?r?n?n ak???n?n V hacmine oran?d?r ve V s?f?ra e?ilimlidir.

Poisson denkleminin nas?l elde edildi?ini g?stermeden ?nce Gauss yasas?n? ve Gauss teoremini bilmek ?nemlidir. ??inde q y?k? olan bir k?re hayal edin. Y?k kendi ?evresinde E yo?unlu?unda bir elektrik alan? olu?turur. E vekt?r?n?n ak???n? ele alal?m.

burada S, k?remizin alan?d?r. Buradan
Bu, herhangi bir kapal? y?zeyden ge?en E elektrik alan?n?n ak???n?n, y?zey taraf?ndan kaplanan toplam y?k?n ?r?n?ne e?it oldu?unu belirten Gauss yasas?d?r:
uzay y?k? yo?unlu?u nerede, yani birim hacim ba??na elektrik y?k?n?n de?eri ve kapal? hacmimizin i?inde tahsis edilen temel hacimdir.

Gauss teoremi (tam ad? Gauss-Ostrogradsky teoremidir) tamamen matematiksel bir diverjans teoremidir. F vekt?r?n?n toplam ak???n? ?u ?ekilde yeniden yazal?m:

S?n?rda, N -> ?, ->0 oldu?unda, parantez i?indeki de?er bir sapma olur ve toplam bir hacim integraline gider:
Bu Gauss'un teoremidir ve ger?ekten de alan teorisinin en ?nemli form?l?d?r. Bu teoremi bir elektrostatik alana uygulayal?m. Bir yandan Gauss yasas?na g?re
?te yandan, Gauss teoremine g?re (teoremi Gauss yasas?yla kar??t?rmay?n):
Son iki denklemi birle?tirerek ?unu elde ederiz:
(**) form?l?n? hat?rlay?n ve burada E yerine alan?n potansiyelini yaz?n
Gradyan sapma, matematikte Laplace operat?r? veya k?saca Laplacian olarak adland?r?lan yeni bir operat?rd?r. Laplacian, nabla simgesiyle a?a??daki gibi g?sterilir ve ?una e?ittir:
?nceki form?l? Laplacian formunda yeniden yazal?m:
Son olarak, Poisson denklemine sahibiz. ?lk makalede, bu denklem ortam?n dielektrik sabiti dikkate al?narak biraz farkl? bir bi?imdeydi. SI sisteminde Coulomb kuvvetinin bir sabiti oldu?unu hat?rlay?n. Buna g?re, Gauss yasas?nda bir katsay? de?il, bir katsay? olacakt?r. B?ylece, ?nceki makalede sunulan formda Poisson denklemini elde ederiz.
Bu nedenle, ?z?nde, Poisson denklemi, vekt?r diferansiyel analizi g?steriminde farkl? bir bi?imde yeniden yaz?lm?? Coulomb yasas?d?r (veya daha do?rusu Gauss yasas?d?r).

??inde matematiksel istatistiklerden ?nemli bir da??l?m? analiz edece?iz - Boltzmann da??l?m?.

Etiketler:

• fizik
• elektrostatik

Etiket ekle

Denklem (10.2), elektrostatik alan?n potansiyeli ile bu alan?n g?c? aras?nda bir ili?ki kurar. Bu denklemden, potansiyel ve y?k yo?unlu?u aras?ndaki ili?ki elde edilebilir. Bunu yapmak i?in, bu denklemin her iki b?l?m?n?n ?raksamas?n? olu?turman?z ve ard?ndan (6.5) form?l?n? kullanman?z gerekir:

Vekt?r analizi kurallar?na g?re [bkz. denklem (40]

dolay?s?yla denklem (11.1) ?u ?ekilde yaz?labilir:

Bu diferansiyel denkleme Poisson denklemi denir. Alan?n elektrik y?k?n?n olmad??? k?s?mlar?nda

Bu denklem ?una d?n???r:

Poisson denkleminin bu ?zel formuna Laplace denklemi denir.

Poisson denklemi, bu y?klerin yeri biliniyorsa, uzay y?kleri alan?n?n potansiyelini belirlemeyi m?mk?n k?lar. Bu diferansiyel denklemin (belirli s?n?r ko?ullar? alt?nda) ??z?m? (integrali), daha ?nce t?retti?imiz form?l (8.8) ile a??k?a ?rt??melidir:

A?a??da, bunu do?rudan hesaplama ile kan?tlayaca??z. ?imdilik, baz? problemleri ??zmek i?in integralden (8.8) de?il, do?rudan diferansiyel denklemden (11.3) ilerlemenin daha uygun oldu?unu not ediyoruz.

?rnek. Vakumda iki sonsuz d?z elektrot aras?ndaki termiyonik ak?m?n yo?unlu?unu belirleyin. Poisson denkleminin uygulanmas?na ili?kin bu ?rnek, elektrostatikten de?il, ak?m teorisinden al?nm??t?r ve katot (y?kselten) lambalar teorisi i?in b?y?k ?nem ta??maktad?r.

Is?t?lm?? metallerin y?zeylerinden ?evreleyen bo?lu?a bir serbest elektron ak??? yayd??? bilinmektedir. ?ki metal elektrota belirli bir potansiyel fark? uygulan?rsa ve negatif elektrot (katot) ?s?t?l?rsa, s?cak katottan s?rekli yay?lan elektronlar pozitif elektrotun (anot) y?zeyine ?ekilir. Katottan anoda hareket eden elektronlar?n ak??? bir elektrik ak?m?na e?de?erdir. Bu ak?ma termiyonik denir.

Kartezyen koordinatlar?n eksenlerini, orijinleri katotta olacak ve x ekseni elektrotlar?n d?zlemine dik olacak ve anoda do?ru y?nlendirilecek ?ekilde se?iyoruz. Katot potansiyelini s?f?ra ve anot potansiyelini e?it olarak al?yoruz Simetri de?erlendirmelerinden, e?potansiyel y?zeylerin elektrotlara paralel oldu?u a??kt?r, bu nedenle elektrotlar aras?ndaki bo?lukta Poisson denklemi ?eklini al?r.

Katottan x mesafesinde elektrotlar aras?ndaki bo?lukta birim hacim ba??na elektron say?s? ve elektron y?k?n?n mutlak de?eri ile g?sterirsek, o zaman ba??na y?k yo?unlu?u

bu mesafe ?u ?ekilde olacakt?r:

Basit olmas? i?in katot taraf?ndan yay?lan elektronlar?n y?zeyinden ??karken herhangi bir ba?lang?? h?zlar?n?n olmad???n? varsayal?m. Katottan anoda giderken, elektrik alan?n?n kuvvetleri, y?k?n elektronlar? ?zerinde i? yapacak - ki bu, a??k?a elektronlar?n hareketinin kinetik enerjisine d?n??ecektir. Katottan x mesafesindeki bir elektronun h?z?n? ve ayn? mesafedeki potansiyeli ifade ederek, ?unu elde ederiz:

burada 771 elektron k?tlesidir. Son olarak, elektrik ak?m?n?n yo?unlu?u, yani ak?ma dik alan boyunca birim zamanda akan y?k (yani, i?indeki eksene dik alan a??k?a ?una e?ittir:

??nk? bu alandan birim zamanda ge?en elektron say?s? vard?r. Ak?m yo?unlu?unun aksine, x'e ba?l? olmayan sabit bir de?erdir, ??nk? dura?an duruma ula?t?ktan sonra, a??k?a ayn? say?da elektron elektrotlara paralel herhangi bir d?zlemden ge?er.

Denklemden (11.5) t?m bilinmeyen x fonksiyonlar?n? hari? tutal?m, her ?eyden ?nce hari?

Ancak (11.6)'dan ?unu takip eder:

yani,

A notasyonunu tan?t?yoruz - al?yoruz

Sorunun durumuna g?re katotta kaybolan ve ek olarak ko?ulu kar??layan bu diferansiyel denklemin ??z?mlerinden ikame yoluyla do?rulamak kolayd?r.

Anottan katoda olan mesafeyi I ile belirtirsek, o zaman potansiyelde Bu nedenle,

B?ylece, termiyonik ak?m yo?unlu?u Ohm yasas?na uymaz, ancak elektrotlara uygulanan voltaj?n 3/2 g?c?yle orant?l? olarak ve aralar?ndaki mesafenin karesiyle ters orant?l? olarak b?y?r. Termiyonik ak?m yasalar? ile metallerdeki ak?m yasalar? aras?ndaki bu fark iki t?r nedenden kaynaklanmaktad?r. ?lk olarak, metallerdeki elektronlar, metalin kat? iskeletini olu?turan pozitif iyonlarla ?arp???r ve bu nedenle, vakumda hareket ederken olmayan hareketlerine kar?? diren? ya?arlar 1). ?kincisi, elektrotlar aras?ndaki bo?lukta termiyonik bir ak?mla, yaln?zca metallerde oldu?u gibi y?k? pozitif iyonlar?n y?k? ile telafi edilmeyen serbest elektronlar vard?r, bunun sonucunda bu alan ?ok- "uzay y?k?" olarak adland?r?lan elektrotlar?n alan?n? bozar.

Form?l (11.9)'un y?ksek ak?m yo?unluklar?nda ge?erlili?ini yitirdi?ine dikkat edin 2). Anot potansiyelinin artmas?yla, katot taraf?ndan sal?nan t?m elektronlar?n hemen anoda ?ekildi?i bir an gelir. Anot potansiyelinde daha fazla bir art??, a??k bir ?ekilde, sabit bir de?ere (doyma ak?m?) ula?an ak?m yo?unlu?unda bir art??a yol a?amaz.

Problem 10. Uzayda belirli bir noktan?n keyfi olarak se?ilmi? bir ba?lang?? noktas?ndan uzakl??? olsun.

Laplace denklemini kar??lar

Nokta dikkate al?nmaz.

Problem 11. Kal?nl??? 2a olan sonsuz yass? bir levha, k?tle yo?unlu?una sahip elektrikle d?zg?n bir ?ekilde y?klenmi?tir, x ekseni levhaya diktir, koordinatlar?n orijini, levhan?n her iki y?zeyinden e?it uzakl?kta, medyan d?zlemde yer almaktad?r. S?ras?yla plakan?n i?indeki ve d???ndaki alan potansiyellerinin e?it oldu?unu g?steriniz:

ve vekt?r, medyan d?zlemden x ekseni boyunca y?nlendirilir ve say?sal olarak ?una e?ittir:

Bu durumu, y?kl? sonsuz bir d?zlemin (§ 4) s?n?rlay?c? durumuyla kar??la?t?r?n.

Problem 12. K?resel koordinatlarda Poisson denklemine dayal? olarak, hacmi ?zerinden e?it olarak y?klenmi? bir topun alan potansiyelini [form?l (8.12)] bulun.

Poisson ve Laplace denklemleri elektrostati?in temel denklemleridir. Gauss teoreminden diferansiyel formda ??karlar. Nitekim biliniyor ki E = - derece j. Ayn? zamanda Gauss teoremine g?re

(11.22)'de de?i?tirin E (11.7)'den. Elde etmek

.

Diverjans i?aretinden eksiyi ??karal?m

.

yazmak yerine derece, e?de?erini ?j yazar?z. Div yerine ? yazal?m. Daha sonra

Denklem (11.27) Poisson denklemi olarak adland?r?l?r. r svb =0 oldu?unda, Poisson denkleminin ?zel bir bi?imi Laplace denklemi olarak adland?r?l?r. Laplace denklemi a?a??daki gibi yaz?l?r:

Operat?re Laplace operat?r? veya Laplacian denir ve bazen D sembol? ile de g?sterilir. Bu nedenle, bazen Poisson denklemini bu ?ekilde yazarken bulabilirsiniz:

Kartezyen koordinat sisteminde a?al?m. Bu ama?la, iki fakt?r?n ?arp?m?n? ? ve geni?letilmi? formda yaz?yoruz.

Terim terimli ?arpma i?lemini ger?ekle?tiriyoruz ve ?unu elde ediyoruz:

.

B?ylece Kartezyen koordinat sistemindeki Poisson denklemi ?u ?ekilde yaz?lacakt?r:

. (11.29)

Kartezyen koordinatlarda Laplace denklemi

. (11.30)

Silindirik bir koordinat sisteminde ? 2 j ifadesini t?retmeden veriyoruz

, (11.31)

k?resel koordinatlarda (11.32)

Poisson denklemi, ikinci dereceden k?smi t?revler aras?nda bir ili?ki verir. J alan?n herhangi bir noktas?ndaki ve alan?n bu noktas?ndaki serbest y?klerin hacimsel yo?unlu?u. Ayn? zamanda potansiyel J Alan?n herhangi bir noktas?nda, elbette, yaln?zca belirli bir noktada bulunan serbest y?k?n b?y?kl???ne de?il, alan? olu?turan t?m y?klere ba?l?d?r.

Laplace denklemi (1780) aslen g?k mekani?indeki potansiyel alanlar? tan?mlamak i?in uyguland? ve daha sonra elektrik alanlar?n? tan?mlamak i?in kullan?ld?. Poisson denklemi, 1820'den beri potansiyel alanlar?n (elektrik ve manyetik) incelenmesine uygulanm??t?r.

Poisson denkleminin ??z?m?n?n genel bi?imde nas?l yaz?labilece?i sorusunu ele alal?m. Hacim olarak izin ver V hacim (r), y?zey (s) ve do?rusal (t) y?kler vard?r. Bu ?cretleri nokta ?cretlerinin tahsilatlar? olarak temsil ediyoruz rdv, sds, tdl; dV- hacim ??esi, ds- y?kl? y?zey eleman?, dl- y?kl? eksenin uzunluk eleman?. potansiyel bile?en dj uzak uzayda bir noktada rdV uzaktan R, (11.20) form?l?ne g?re e?ittir

Potansiyelin y?zey ve do?rusal y?klerden gelen bile?enleri, bunlar? nokta olarak kabul ederek, benzer ?ekilde tan?mlar?z:

Tam anlam J alandaki t?m y?klerden potansiyel bile?enlerinin toplam? (integrali) olarak tan?mlan?r:

Form?lde (11.33) r,s Ve T yar??ap fonksiyonlar? var R. Uygulamada, form?l (11.33) nadiren kullan?l?r, ??nk? da??l?m S y?zeyin ?zerinde T uzunlu?unda ve R hacim karma??k bir ?ekilde elektrotlar?n konfig?rasyonuna ba?l?d?r ve kural olarak hesaplamadan ?nce bilinmemektedir. Ba?ka bir deyi?le, nas?l oldu?u bilinmiyor. r, s Ve T yar??apa ba?l?d?r R.

s?n?r ko?ullar?

S?n?r ko?ullar?, farkl? elektriksel ?zelliklere sahip ortamlar aras?ndaki aray?zlerde alan?n uydu?u ko?ullard?r. "Ge?ici s?re?ler" b?l?m?n?n incelenmesinde, ba?lang?? ko?ullar? ve kom?tasyon yasalar? sorusu son derece b?y?k ?nem ta??yordu. Ba?lang?? ko?ullar? ve anahtarlama yasalar?, klasik y?ntemle problem ??zmede entegrasyon sabitlerinin belirlenmesini m?mk?n k?lm??t?r. Klasik y?ntemde a??k olarak, operat?r y?nteminde ise gizli olarak kullan?lm??t?r. Bunlar? kullanmadan ge?ici s?re?ler i?in herhangi bir g?revi ??zmek imkans?zd?r.

Bir elektrik (ve herhangi bir ba?ka) alandaki s?n?r ko?ullar?n?n rol? ile ge?ici s?re?lerde ba?lang?? ko?ullar?n?n ve anahtarlama yasalar?n?n rol? aras?nda bir paralellik kurulabilir. Laplace (veya Poisson) denklemini entegre ederken, entegrasyon sabitleri ??z?me girecektir. S?n?r ko?ullar?na g?re belirlenirler. S?n?r ko?ullar?n?n ayr?nt?l? bir tart??mas?na ge?meden ?nce, elektrostatik ko?ullar alt?nda iletken bir cisim i?indeki alan sorununu ele alal?m.

Laplace ve Poisson denklemlerinin incelenmesi, dura?an bir s?recin problemlerinin ele al?nmas?na yol a?ar: bunlar hidrodinamik, dif?zyon, s?cakl?k da??l?m?, elektrostatik vb.

Bu denklemler eliptik tiptedir.

Zaman i?eren denklemlere yol a?an bu problemlere matematiksel fizi?in dura?an olmayan veya dinamik problemleri denir; zaman i?ermeyen denklemlere yol a?an problemler dura?an veya statik olarak adland?r?l?r.

G?sterildi?i gibi, matematiksel fizik denklemlerinin iki keyfi fonksiyona ba?l? olarak sonsuz say?da ??z?m? vard?r (iki de?i?kenli bir fonksiyon i?in ikinci dereceden denklemlerden bahsediyoruz). S?reci karakterize eden belirli bir ??z?m? bir dizi ??z?mden ay?rmak i?in, istenen i?leve fiziksel hususlar taraf?ndan dikte edilen ek ko?ullar getirmek gerekir. K?smi diferansiyel denklemler i?in bu t?r ko?ullar, ?o?unlukla ba?lang?? ve s?n?r ko?ullar?d?r. S?n?r ko?ullar?, s?z konusu ortam?n s?n?r?nda belirlenen ko?ullard?r; ba?lang?? ko?ullar?, belirli bir fiziksel olgunun incelenmesinin ba?lad??? zamandaki bir noktayla ilgili ko?ullard?r. Ek ko?ullar ve diferansiyel denklemin kendisi, s?recin kendisiyle ilgili fiziksel hususlar temelinde t?retilir. Ayn? zamanda, ek ko?ullar, t?m ??z?m k?mesinden tek bir ??z?m?n se?ilmesini sa?layacak ?ekilde olmal?d?r. S?n?r ve ba?lang?? ko?ullar?n?n say?s?, denklemin t?r?ne g?re belirlenir ve bi?imleri, nesnenin ve ?evrenin s?n?r?nda verilen ba?lang?? durumuna g?re belirlenir. Ele ald???m?z denklemler i?in, ba?lang?? ko?ullar?n?n say?s?, denklemde yer alan zamana g?re en y?ksek t?revin mertebesine, s?n?r ko?ullar?n?n say?s? ise koordinata g?re en y?ksek t?revin mertebesine e?ittir. .

Bir diferansiyel denklem ve ek ko?ullar k?mesi, bir fiziksel problemin matematiksel bir form?lasyonudur ve matematiksel fizik problemi olarak adland?r?l?r.

Bu nedenle, matematiksel fizi?in g?revi, k?smi diferansiyel denklemlere, ?rne?in s?n?r ve ba?lang?? ko?ullar? gibi baz? ek ko?ullar? sa?layan ??z?mler bulmakt?r.

Matematiksel fizik problemi, problemin t?m ko?ullar?n? sa?layan ??z?m? varsa, benzersiz ve kararl? ise do?ru olarak form?le edilmi? say?l?r.

Dize titre?imleri. S?n?r ve ba?lang?? ko?ullar?. S?n?r de?er problemlerinin ifadesi

?pin g??l? bir ba?lang?? gerilimi alt?nda olmas?na izin verin. Bir sicim dengeden ??kar?l?r ve bir kuvvetin etkisine tabi tutulursa, sicim sal?n?m yapmaya ba?lar. Sal?n?m s?reci, ipin dikey hareketini karakterize eden tek bir fonksiyonla a??klanabilir (denge konumundan sapma (?ekil 2.2)). Her bir sabit de?er i?in fonksiyonun d?zlemdeki grafi?i, dizinin o andaki ?eklini verir.

Fonksiyon denklemi kar??lar

d?? kuvvetlerin etkisi olmaks?z?n bir telin serbest titre?imlerini tan?mlar.

Denklem (2.69), hiperbolik t?r?n en basit denklemidir ve ayn? zamanda matematiksel fizikteki en ?nemli denklemlerden biridir.

Fiziksel s?recin matematiksel a??klamas? i?in tek bir hareket denklemi (2.69) veya (2.70) yeterli de?ildir. Sicim titre?imleri sorunu d???n?ld???nde, ek ko?ullar iki t?r olabilir: ba?lang?? ve s?n?r (s?n?r).

Sicim sal?n?m s?reci, ba?lang?? ?ekline ve h?z da??l?m?na ba?l? oldu?undan, ba?lang?? ko?ullar? ayarlanmal?d?r:

?? t?r s?n?r ko?ulundan bahsedece?iz:

bilinen fonksiyonlar nerede,

ve bilinen sabitler.

Yukar?daki ko?ullar s?ras?yla birinci, ikinci ve ???nc? t?rden s?n?r ko?ullar? olarak adland?r?l?r. Bir cismin u?lar?n?n (ip, ?ubuk vb.) belirli bir yasaya g?re hareket etmesi durumunda ger?ekle?en durumlar; ko?ullar II - belirtilen kuvvetlerin u?lara uygulanmas? durumunda; ko?ullar III - u?lar?n elastik olarak sabitlenmesi durumunda.

E?itli?in sa? taraf?nda verilen fonksiyonlar s?f?ra e?itse, s?n?r ko?ullar? homojen olarak adland?r?l?r. B?ylece, s?n?r ko?ullar? (2.72) homojendir. Listelenen ?e?itli s?n?r ko?ullar? t?rlerini birle?tirerek, alt? t?r en basit s?n?r de?er problemi elde ederiz.

U?lardaki modun, dizenin kendilerinden yeterince uzak olan k?sm? ?zerinde ?nemli bir etkisinin olmayaca?? durumda, dizi sonsuz olarak kabul edilir. Bu nedenle, tam bir s?n?r de?er problemi yerine, s?n?rlay?c? bir problem ortaya koyarlar - Kosh problemi: ba?lang?? ko?ullar?n? kar??layan bir denklem (2.69) ??z?m? bulmak

Bir s?n?ra yak?n bir s?reci incelersek ve bizi ilgilendiren zaman aral???nda s?n?r rejiminin ikinci s?n?r ?zerindeki etkisi ?nemli de?ilse, o zaman problemin yar? s?n?rl? bir do?ru ?zerinde form?lasyonuna geliriz. Bu durumda, ba?lang?? ko?ullar? ve I - III s?n?r ko?ullar?ndan biri belirtilir.

Problem ??zme ?rnekleri

?RNEK 2.42. Tek tip uzunlukta bir dizi, k???k enine titre?imler ger?ekle?tirir. ?u anda dize () ?eklindeyse ve her bir noktas?n?n h?z? bir i?lev taraf?ndan veriliyorsa, dize noktalar?n?n do?rusal dinlenme konumundan sapmalar?n? belirleme problemini ayarlay?n. Vakalar? g?z ?n?nde bulundurun:

• a) ipin u?lar? sabittir;
• b) ipin u?lar? serbesttir;

c) ipin u?lar?na ve andan ba?layarak s?ras?yla enine kuvvetler ve uygulan?r;

d) ipin u?lar? elastik olarak sabitlenmi?tir, yani. her u?, ucun sapmas?yla orant?l? bir diren? ya?ar.

??z?m. Bilindi?i gibi, sicim noktalar?n?n denge konumundan sapmalar?, etki eden bir d?? kuvvetin yoklu?unda, serbest titre?imler denklemini (2.70) kar??lar.

Burada gerilim, do?rusal yo?unluk, ??nk? dize tek tiptir.

Ba?lang?? ko?ullar? ?una benzer:

S?n?r ko?ullar?n? ??karal?m.

durum a). ?pin u?lar? sabit oldu?undan, noktalardaki sapmalar? ve herhangi biri i?in s?f?ra e?it olmal?d?r, yani.

B?ylece, u?larda sabitlenmi? bir sicimin sal?n?mlar?yla ilgili fiziksel problem ?u matematiksel probleme indirgenmi?tir: 'de tan?mlanm?? bir fonksiyon bulmak ve bu denklemin bir ??z?m?d?r.

ve s?n?r ko?ullar?n?n kar??lanmas?

ve ba?lang?? ko?ullar?