274. A??klamalar.

A) De?erlendirmek istedi?iniz ifade ?unlar? i?eriyorsa toplam veya fark say?lar, tablolar?n yard?m? olmadan s?radan toplama veya ??karma yoluyla bulunmal?d?r. ?rne?in:

log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

B)?fadelerin logaritmas?n?n nas?l yap?ld???n? bilerek, belirli bir logaritma sonucunu kullanarak, bu sonucun elde edildi?i ifadeyi tersine bulabiliriz; yani e?er

kay?t X=g?nl?k A+ g?nl?k B- 3 g?nl?k ?le,

o zaman bunu anlamak kolayd?r

V) Logaritmik tablolar?n yap?s?n? incelemeye ge?meden ?nce, ondal?k logaritman?n baz? ?zelliklerini belirtece?iz; 10 say?s?n?n temel al?nd??? olanlar (hesaplamalar i?in yaln?zca bu t?r logaritmalar kullan?l?r).

?kinci b?l?m.

Ondal?k logaritman?n ?zellikleri.

275 . A) 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 vb. oldu?undan, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, vb.

Ara?, Bir ve s?f?rlarla temsil edilen bir tam say?n?n logaritmas?, say?n?n temsilindeki s?f?r say?s? kadar bir i?eren pozitif bir tam say?d?r.

B?ylece: g?nl?k 100.000 = 5, kay?t 1000 000 = 6 , vesaire.

B) ??nk?

log 0,1 = -l; g?nl?k 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; g?nl?k 0,0001 = - 4, vesaire.

Ara?, ?n?nde s?f?r bulunan bir birim taraf?ndan temsil edilen ondal?k kesirin logaritmas?, kesirin temsilinde 0 tam say? da dahil olmak ?zere s?f?rlar oldu?u kadar ?ok say?da negatif birim i?eren negatif bir tamsay?d?r.

B?ylece: g?nl?k 0,00001= - 5, g?nl?k 0,000001 = -6, vesaire.

V)?rne?in bir ve s?f?rlarla temsil edilmeyen bir tam say?y? ele alal?m. ?rne?in 35 veya kesirli bir tam say?. 10.7. B?yle bir say?n?n logaritmas? bir tam say? olamaz, ??nk? 10'u bir tamsay? ?ss?yle (pozitif veya negatif) bir ?ss?ne y?kseltti?imizde, s?f?rlarla (1'den sonra veya ondan ?nce) 1 elde ederiz. ?imdi b?yle bir say?n?n logaritmas?n?n bir kesir oldu?unu varsayal?m. A / B . O zaman e?itli?imiz olurdu

Ancak bu e?itlikler imkans?zd?r, ??nk? 10A s?f?rlarla birlikte 1'ler var, oysa dereceler 35B Ve 10,7B herhangi bir ?nlemle B 1'in ard?ndan s?f?r verilemez. Bu, izin veremeyece?imiz anlam?na gelir g?nl?k 35 Ve g?nl?k 10.7 kesirlere e?itti. Ancak logaritmik fonksiyonun ?zelliklerinden biliyoruz ki () her pozitif say?n?n bir logaritmas? vard?r; dolay?s?yla 35 ve 10,7 say?lar?n?n her birinin kendine ait logaritmas? vard?r ve ne tam say? ne de kesirli say? olamayaca?? i?in irrasyonel bir say?d?r ve bu nedenle say?larla tam olarak ifade edilemez. ?rrasyonel logaritmalar genellikle yakla??k olarak birka? ondal?k basama?a sahip bir ondal?k kesir olarak ifade edilir. Bu kesrin tam say?s?na (“0 tam say?” olsa bile) denir. karakteristik ve kesirli k?s?m logaritman?n mantisidir. ?rne?in logaritma varsa 1,5441 , o zaman karakteristi?i e?ittir 1 ve mantis 0,5441 .

G)?rne?in bir tamsay? veya kar???k say?y? ele alal?m. 623 veya 623,57 . B?yle bir say?n?n logaritmas? bir karakteristik ve bir mantisten olu?ur. Ondal?k logaritmalar?n ?u rahatl??a sahip oldu?u ortaya ??kt?: ?zelliklerini her zaman tek bir say? t?r?ne g?re bulabiliriz . Bunu yapmak i?in, bu rakamlarla ilgili ?rneklerimizde belirli bir tam say?n?n veya bir tam say?n?n bir tamsay? k?sm?nda ka? rakam oldu?unu sayal?m. 3 . Bu nedenle say?lar?n her biri 623 Ve 623,57 100'den fazla fakat 1000'den az; bu her birinin logaritmas?n?n daha b?y?k oldu?u anlam?na gelir g?nl?k 100 yani daha fazlas? 2 , ancak daha az g?nl?k 1000 yani daha az 3 (Daha b?y?k bir say?n?n ayn? zamanda daha b?y?k bir logaritmaya sahip oldu?unu unutmay?n). Buradan, g?nl?k 623 = 2,..., Ve g?nl?k 623,57 = 2,... (noktalar bilinmeyen mantislerin yerini al?r).

Buna benzer olarak ?unlar? buluyoruz:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1,...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 g?nl?k 8634 = 3,...

Genel olarak belirli bir tam say?n?n veya belirli bir kar???k say?n?n tam say? k?sm?n?n ?unlar? i?ermesine izin verin: M say?lar ??eren en k???k tam say? oldu?undan M say?lar evet 1 ?le M - 1 sonunda s?f?rlar, o zaman (bu say?y? belirtir) N) e?itsizlikleri yazabiliriz:

ve bu nedenle

M - 1 < log N < M ,

g?nl?k N = ( M- 1) + pozitif kesir.

Yani karakteristik g?nl?kN = M - 1 .

Bunu bu ?ekilde g?r?yoruz bir tam say?n?n veya kar???k say?n?n logaritmas?n?n ?zelli?i, say?n?n eksi bir k?sm?ndaki basamak say?s? kadar pozitif birim i?erir.

Bunu fark ettikten sonra do?rudan ?unu yazabiliriz:

g?nl?k 7,205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720.4 = 2,... vesaire.

D) Birka? ondal?k kesri daha k???k alal?m 1 (yani sahip olmak 0 t?m): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, vesaire.

Dolay?s?yla bu logaritmalar?n her biri, aralar?nda bir birim fark olan iki negatif tamsay? aras?nda yer al?r; dolay?s?yla bunlar?n her biri, bu negatif say?lardan bir miktar pozitif kesirle art?r?lm?? daha k???k olana e?ittir. ?rne?in, log0.0056= -3 + pozitif kesir. Bu kesrin 0,7482 oldu?unu varsayal?m. O zaman ?u anlama gelir:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Gibi tutarlar - 3 + 0,7482 Negatif bir tam say? ve pozitif bir ondal?k kesirden olu?an logaritmik hesaplamalarda a?a??daki gibi k?salt?lm?? olarak yazmaya karar verdik: 3 ,7482 (Bu say? ??yle okunur: 3 eksi, 7482 on binde biri.), yani, pozitif kalan mantisle de?il, yaln?zca bu karakteristikle ilgili oldu?unu g?stermek i?in karakteristi?in ?zerine bir eksi i?areti koyarlar. Yani yukar?daki tablodan a??k?a g?r?l?yor ki

log 0,35 == 1,....; log 0,07 = 2,....; g?nl?k 0,0008 = 4,....

B?rak?n hi? . ilk anlaml? rakamdan ?nce gelen bir ondal?k kesir vard?r a maliyetler M 0 tam say? da dahil olmak ?zere s?f?rlar. O zaman a??kt?r ki

- M < log A < - (M- 1).

?ki tam say?dan beri: - M Ve - (M- 1) daha az var - M , O

g?nl?k A = - M+ pozitif kesir,

ve dolay?s?yla karakteristik g?nl?k A = - M (pozitif bir mantis ile).

B?ylece, 1'den k???k bir ondal?k kesirin logaritmas?n?n ?zelli?i, s?f?r tam say?lar da dahil olmak ?zere ilk anlaml? basamaktan ?nceki ondal?k kesirin g?r?nt?s?nde s?f?rlar oldu?u kadar ?ok say?da negatif i?erir; B?yle bir logaritman?n mantisi pozitiftir.

e) Hadi bir say?y? ?arpal?m N(tamsay? veya kesirli - fark etmez) 10'a, 100'e 1000..., genel olarak 1'e s?f?r. Bakal?m bu nas?l de?i?ecek g?nl?k N. ?r?n?n logaritmas? fakt?rlerin logaritmas?n?n toplam?na e?it oldu?undan,

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; vesaire.

Ne zaman g?nl?k N bir tam say? eklersek, bu say?y? mantis yerine her zaman karakteristi?e ekleyebiliriz.

Yani log N = 2,7804 ise 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, vb.;

veya log N = 3,5649 ise 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, vb.

Bir say? 10, 100, 1000,.. ile, genellikle 1 ile s?f?rlarla ?arp?ld???nda logaritman?n mantisi de?i?mez ve fakt?rdeki s?f?r say?s? kadar karakteristik artar. .

Benzer ?ekilde, b?l?m?n logaritmas?n?n, b?lenin logaritmas? olmadan b?lenin logaritmas?na e?it oldu?u dikkate al?nd???nda ?unu elde ederiz:

log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; vesaire.

Bir logaritmadan bir tamsay? ??kar?rken, bu tamsay?y? her zaman karakteristikten ??karmay? ve mantisi de?i?tirmeden b?rakmay? kabul edersek, o zaman ?unu s?yleyebiliriz:

Bir say?y? 1'e s?f?rlarla b?lmek logaritman?n mantisini de?i?tirmez, ancak b?lende s?f?rlar oldu?u s?rece karakteristik birim kadar azal?r.

276. Sonu?lar. M?lkten ( e) a?a??daki iki sonu? ??kar?labilir:

A) Ondal?k say?n?n logaritmas?n?n mantisi, ondal?k basama?a ta??nd???nda de?i?mez ??nk? bir ondal?k noktay? hareket ettirmek 10, 100, 1000 vb. ile ?arpmaya veya b?lmeye e?de?erdir. Dolay?s?yla say?lar?n logaritmas?:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

yaln?zca ?zellikler bak?m?ndan farkl?l?k g?sterir, ancak mantislerde farkl?l?k g?stermez (t?m mantislerin pozitif olmas? ?art?yla).

B) Ayn? anlaml? k?sma sahip olan ancak yaln?zca s?f?rlarla biten say?lar?n mantisleri ayn?d?r: Dolay?s?yla say?lar?n logaritmalar?: 23, 230, 2300, 23.000 yaln?zca ?zellikler bak?m?ndan farkl?l?k g?sterir.

Yorum. Ondal?k logaritman?n belirtilen ?zelliklerinden, bir tam say?n?n ve ondal?k kesirin logaritmas?n?n ?zelliklerini tablolar?n yard?m? olmadan bulabilece?imiz a??kt?r (bu, ondal?k logaritman?n b?y?k rahatl???d?r); sonu? olarak logaritmik tablolara yaln?zca bir mantis yerle?tirilir; ek olarak, kesirlerin logaritmas?n? bulmak, tam say?lar?n logaritmas?n? bulmaya indirgendi?inden (bir kesrin logaritmas? = paydan?n logaritmas? olmadan pay?n logaritmas?), tablolara yaln?zca tam say?lar?n logaritmas?n?n mantisleri yerle?tirilir.

???nc? b?l?m.

D?rt basamakl? tablolar?n tasar?m? ve kullan?m?.

277. Logaritma sistemleri. Logaritma sistemi, ayn? taban? kullanan ard???k tam say?lar i?in hesaplanan bir logaritma k?mesidir. ?ki sistem kullan?l?r: say?n?n temel al?nd??? s?radan veya ondal?k logaritma sistemi 10 ve irrasyonel bir say?n?n temel al?nd??? do?al logaritma sistemi (matemati?in di?er dallar?nda a??k olan baz? nedenlerden dolay?) 2,7182818 ... Hesaplamalar i?in, bu t?r logaritman?n ?zelliklerini s?ralarken belirtti?imiz kolayl?k nedeniyle ondal?k logaritmalar kullan?l?r.

Do?al logaritmalara, logaritman?n mucidi ?sko? matematik?iden sonra Neperov da denir. Nepera(1550-1617) ve ondal?k logaritmalar - Briggs, profes?r?n ad?n? alm??t?r Brigga(Napier'in ?a?da?? ve arkada??), bu logaritmalar?n tablolar?n? ilk derleyen ki?iydi.

278. Negatif bir logaritmay? mantisas? pozitif olan bir logaritmaya d?n??t?rmek ve ters d?n???m. 1'den k???k say?lar?n logaritmas?n?n negatif oldu?unu g?rd?k. Bu onlar?n olumsuz bir ?zellik ve olumsuz bir mantisten olu?tu?u anlam?na gelir. Bu t?r logaritmalar her zaman mantisleri pozitif olacak ?ekilde d?n??t?r?lebilir, ancak karakteristik negatif kal?r. Bunu yapmak i?in mantis'e pozitif, ?zelli?e negatif eklemek yeterlidir (elbette logaritman?n de?erini de?i?tirmez).

?rne?in logaritmam?z varsa - 2,0873 , sonra ?unu yazabilirsiniz:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

veya k?salt?lm?? olarak:

Tersine, negatif karakteristi?e ve pozitif mantise sahip herhangi bir logaritma, negatif logaritmaya d?n??t?r?lebilir. Bunu yapmak i?in, pozitif mantislere negatif, negatif karakteristi?e de pozitif eklemek yeterlidir: b?ylece ?unu yazabilirsiniz:

279. D?rt basamakl? tablolar?n a??klamas?. Pratik sorunlar?n ?o?unu ??zmek i?in, kullan?m? ?ok basit olan d?rt basamakl? tablolar olduk?a yeterlidir. Bu tablolar (?st k?sm?nda “logaritmalar” yazan) bu kitab?n sonuna yerle?tirilmi? ve k???k bir k?sm? (d?zenlemeyi a??klamak i?in) bu sayfada bas?lm??t?r.

Logaritmalar.

t?m tamsay?lar?n logaritmalar? 1 ile 9999 dahil, d?rt ondal?k basama?a kadar hesaplan?r, bu basamaklar?n sonuncusu ?u kadar art?r?l?r: 1 5'inci ondal?k basama??n 5 veya 5'ten fazla olmas? gereken t?m durumlarda; bu nedenle, 4 basamakl? tablolar yakla??k mantisleri verir 1 / 2 onbinde biri (eksikli?i veya fazlas? ile).

Bir tam say?n?n veya ondal?k kesrin logaritmas?n?, ondal?k logaritman?n ?zelliklerine dayanarak do?rudan karakterize edebildi?imiz i?in, tablolardan yaln?zca mantisleri almal?y?z; Ayn? zamanda, ondal?k say?daki virg?l?n konumunun ve say?n?n sonundaki s?f?r say?s?n?n mantisin de?erini etkilemedi?ini unutmamal?y?z. Dolay?s?yla verilen bir say?n?n mantisini bulurken bu say?daki virg?l ve varsa sonundaki s?f?rlar? at?p bundan sonra olu?an tam say?n?n mantisini buluyoruz. A?a??daki durumlar ortaya ??kabilir.

1) Bir tamsay? 3 rakamdan olu?ur.?rne?in 536 say?s?n?n logaritmas?n?n mantisini bulmam?z gerekti?ini varsayal?m. Bu say?n?n ilk iki rakam? yani 53, tablolarda soldaki ilk dikey s?tunda bulunur (bkz. tablo). 53 say?s?n? bulduktan sonra, bu ?izgi en ?ste yerle?tirilen 0, 1, 2, 3,... 9 say?lar?ndan birinin i?inden ge?en dikey bir s?tunla kesi?ene kadar yatay bir ?izgi boyunca sa?a do?ru hareket ediyoruz (ve Belirli bir say?n?n 3. basama?? olan tablonun alt k?sm?, yani ?rne?imizde 6 say?s?. Kesi?me noktas?nda mantis 7292'yi (yani. 0,7292), 536 say?s?n?n logaritmas?na aittir. Benzer ?ekilde 508 say?s? i?in mantis 0,7059'u, 500 say?s? i?in 0,6990'? vb. buluruz.

2) Bir tamsay? 2 veya 1 rakamdan olu?ur. Daha sonra bu say?ya zihinsel olarak bir veya iki s?f?r atar?z ve bu ?ekilde olu?an ?? basamakl? say?n?n mantisini buluruz. ?rne?in 510 say?s?n? elde etti?imiz 51 say?s?na bir s?f?r ekliyoruz ve mantis 7070'i buluyoruz; 5 say?s?na 2 s?f?r atar?z ve mantis 6990'? vb. buluruz.

3) Bir tamsay? 4 rakamla ifade edilir.?rne?in log 5436'n?n mantisini bulman?z gerekiyor. Daha sonra tablolarda ?nce az ?nce belirtti?imiz gibi bu say?n?n ilk 3 rakam?n?n temsil etti?i say?n?n yani 543'?n mantisini buluyoruz (bu mantis 7348 olacak) ; daha sonra bulunan mantisten yatay ?izgi boyunca sa?a (kal?n dikey ?izginin arkas?nda bulunan tablonun sa? taraf?na), 1, 2 3 say?lar?ndan birinden ge?en dikey s?tunla kesi?ene kadar hareket ederiz. .. 9, tablonun bu b?l?m?n?n ?st?nde (ve alt?nda) bulunur, bu, belirli bir say?n?n 4. basama??n? temsil eder, yani. ?rne?imizde 6 say?s?. Kav?akta d?zeltmeyi buluyoruz (say?) 5), 5436 say?s?n?n mantisini elde etmek i?in 7348 mantisine zihinsel olarak uygulanmas? gereken; Bu ?ekilde mantis 0.7353'? elde ederiz.

4) Bir tamsay? 5 veya daha fazla rakamla ifade edilir. Daha sonra ilk 4 rakam? d???ndaki t?m rakamlar? at?p yakla??k d?rt basamakl? bir say? al?yoruz ve bu say?n?n son rakam?n? o say?da 1 art?r?yoruz. say?n?n at?lan 5. basama??n?n 5 veya 5'ten b?y?k olmas? durumu. Yani 57842 yerine 5784, 30257 yerine 3026, 583263 yerine 5833 al?yoruz vb. Bu yuvarlat?lm?? d?rt basamakl? say? i?in, az ?nce a??kland??? gibi mantis'i buluyoruz.

Bu talimatlar?n rehberli?inde, ?rne?in a?a??daki say?lar?n logaritmas?n? bulal?m:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

?ncelikle ?imdilik tablolara ge?meden sadece ?zelliklerini s?ralay?p, daha sonra yazaca??m?z mantislere yer b?rakaca??z:

log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....

g?nl?k 804,7 = 2,.... g?nl?k 7,2634 = 0,....

g?nl?k 0,26 = 1,.... g?nl?k 3456,86 = 3,....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; g?nl?k 3456,86 = 3,5387.

280. Not. Baz? d?rt basamakl? tablolarda (?rne?in tablolarda) V. Lorchenko ve N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) bu numaran?n 4. hanesine y?nelik d?zeltmeler yap?lmaz. Bu t?r tablolarla u?ra??rken, a?a??daki ger?e?e dayanarak yap?labilecek basit bir hesaplama kullanarak bu d?zeltmeleri bulmak gerekir: e?er say?lar 100'? a?arsa ve aralar?ndaki farklar 1'den k???kse, o zaman hassas bir hata olmadan yap?labilir. varsay?ld? logaritmalar aras?ndaki farklar kar??l?k gelen say?lar aras?ndaki farklarla orant?l?d?r . Mesela 5367 say?s?na kar??l?k gelen mantisi bulman?z gerekiyor. Bu mantis elbette 536,7 say?s?yla ayn?. Tablolarda 536 say?s? i?in mantis 7292'yi buluyoruz. Bu mantis, 537 say?s?na kar??l?k gelen sa?daki mantis 7300 ile kar??la?t?r?ld???nda, 536 say?s? 1 artarsa mantisin 8 on artaca??n? g?r?yoruz. -binde biri (8 s?zde masa fark? iki biti?ik mantis aras?nda); 536 say?s? 0,7 artarsa, mantisleri on binde 8 oran?nda de?il, daha k???k bir say? kadar artacakt?r. X varsay?lan orant?l?l??a g?re oranlar? kar??lamas? gereken on binde biri:

X :8 = 0,7:1; Neresi X = 8 07 = 5,6,

onbinde 6'ya yuvarlan?r. Bu, 536,7 say?s?n?n (ve dolay?s?yla 5367 say?s?n?n) mantisinin ?u ?ekilde olaca?? anlam?na gelir: 7292 + 6 = 7298.

Tablolarda iki biti?ik say?y? kullanarak ara say?y? bulmaya denir. enterpolasyon. Burada a??klanan enterpolasyona denir orant?l???nk? logaritmadaki de?i?imin say?daki de?i?imle orant?l? oldu?u varsay?m?na dayanmaktad?r. Logaritmik fonksiyondaki de?i?imin grafiksel olarak d?z bir ?izgiyle ifade edildi?ini varsayd???ndan do?rusal olarak da adland?r?l?r.

281. Yakla??k logaritman?n hata s?n?r?. Logaritmas? aranan say? tam say? ise 4 basamakl? tablolarda bulunan logaritmas?n?n hata s?n?r?, dedi?imiz gibi al?nabilir. 1 / 2 on bininci k?s?m. E?er bu say? do?ru de?ilse, o zaman bu hata s?n?r?na, say?n?n yanl??l???ndan kaynaklanan ba?ka bir hatan?n s?n?r?n? da eklemeliyiz. B?yle bir limitin ?arp?m olarak al?nabilece?i kan?tlanm??t?r (bu kan?t? atl?yoruz)

A(D +1) on binde biri.,

hangisinde A en kesin olmayan say? i?in hata pay?d?r, varsay?l?rsa tamsay? k?sm? 3 rakamdan olu?uyor, A D Verilen kesin olmayan say?n?n aras?nda yer ald??? ard???k ?? basamakl? iki say?ya kar??l?k gelen mantislerin tablosal fark?. B?ylece logaritman?n son hatas?n?n limiti ?u form?lle ifade edilecektir:

1 / 2 + A(D +1) on binde biri

?rnek. G?nl??? bul p , almak p yakla??k say? 3,14, tam olarak 1 / 2 y?z?nc?.

3.14 say?s?n?n 3. rakam?ndan sonra virg?l? hareket ettirerek soldan sayarak ?? basamakl? 314 say?s?n? elde ederiz. 1 / 2 birimler; Bu, yanl?? bir say? i?in, yani harfle belirtti?imiz hata pay?n?n oldu?u anlam?na gelir. A , orada 1 / 2 Buldu?umuz tablolardan:

log 3,14 = 0,4969.

Tablo fark? D 314 ve 315 say?lar?n?n mantisleri aras?nda 14 bulunur, dolay?s?yla bulunan logaritman?n hatas? daha az olacakt?r

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 on binde biri.

0,4969 logaritmas?n?n eksik mi yoksa a??r? m? oldu?unu bilmedi?imiz i?in yaln?zca logaritman?n tam oldu?unu garanti edebiliriz. p 0,4969 - 0,0008 ile 0,4969 + 0,0008 aras?ndad?r, yani 0,4961< log p < 0,4977.

282. Belirli bir logaritmay? kullanarak bir say? bulun. Belirli bir logaritmay? kullanarak bir say?y? bulmak i?in, verilen say?lar?n mantislerini bulmak i?in ayn? tablolar kullan?labilir; ancak antilogaritma ad? verilenleri, yani bu mantislere kar??l?k gelen say?lar? i?eren di?er tablolar? kullanmak daha uygundur. ?st k?s?mda “antilogaritmalar” ibaresi ile g?sterilen bu tablolar, logaritma tablolar?ndan sonra bu kitab?n sonuna yerle?tirilmi?tir; bunlar?n k???k bir k?sm? bu sayfada yer almaktad?r (a??klama amac?yla).

Size 4 basamakl? bir mantis 2863 verildi?ini (?zelliklere dikkat etmiyoruz) ve kar??l?k gelen tam say?y? bulman?z gerekti?ini varsayal?m. Daha sonra antilogaritma tablolar?na sahip oldu?unuzda, bunlar? belirli bir say?n?n mantisini bulmak i?in daha ?nce a??kland??? gibi kullanman?z gerekir, yani: mantisin ilk 2 basama??n? soldaki ilk s?tunda buluruz. Daha sonra bu say?lardan, ?st sat?rda (veya altta) aranmas? gereken mantisin 3. rakam?ndan gelen dikey s?tunla kesi?ene kadar yatay ?izgi boyunca sa?a do?ru hareket ediyoruz. Kav?akta, mantis 286'ya kar??l?k gelen d?rt basamakl? 1932 say?s?n? buluyoruz. Daha sonra bu say?dan, mantisin 4. basama??ndan gelen dikey s?tunla kesi?ime kadar yatay ?izgi boyunca sa?a do?ru ilerliyoruz. oraya yerle?tirilen 1, 2, 3,... 9 say?lar? aras?nda ?stte (veya altta) bulunur. Kesi?mede, daha ?nce bulunan say?ya (zihinde) uygulanmas? gereken d?zeltme 1'i buluruz. Mantis 2863'e kar??l?k gelen say?y? almak i?in 1032'yi kullan?n.

B?ylece say? 1933 olacakt?r. Bundan sonra ?zelli?ine dikkat ederek 1933 say?s?n? uygun yere me?gul etmeniz gerekmektedir. ?rne?in:

E?er kay?t X = 3,2863 ise X = 1933,

„ kay?t x = 1,2863, „ X = 19,33,

, kay?t X = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ kay?t X = 2 ,2863, „ X = 0,01933

??te daha fazla ?rnek:

kay?t X = 0,2287, X = 1,693,

kay?t X = 1 ,7635, X = 0,5801,

kay?t X = 3,5029, X = 3184,

kay?t X = 2 ,0436, X = 0,01106.

Mantis 5 veya daha fazla rakam i?eriyorsa, yaln?zca ilk 4 rakam? al?r?z, geri kalan?n? atar?z (ve 5. rakamda be? veya daha fazla rakam varsa 4. rakam? 1 art?r?r?z). ?rne?in mantis 35478 yerine 3548, 47562 yerine 4756 al?yoruz.

283. Not. Mantisin 4. ve sonraki rakamlar?na y?nelik d?zeltme de enterpolasyon yoluyla bulunabilir. Yani, e?er mantis 84357 ise, o zaman mantis 843'e kar??l?k gelen 6966 say?s?n? bulduktan sonra ?u ?ekilde ak?l y?r?tebiliriz: e?er mantis 1 (binde bir) artarsa, yani 844 olursa o zaman say? ?u ?ekilde olur: Tablolardan g?r?lece?i ?zere 16 adet artacak; mantis 1 (bininci) de?il, 0,57 (bininci) artarsa say? artacakt?r X birimler ve X oranlar? kar??lamal?d?r:

X : 16 = 0,57: 1, buradan x = 16 0,57 = 9,12.

Bu, gerekli say?n?n 6966+ 9,12 = 6975,12 veya (yaln?zca d?rt rakamla s?n?rl?) 6975 olaca?? anlam?na gelir.

284. Bulunan say?n?n hata s?n?r?. Bulunan say?da virg?l?n soldan 3. rakamdan sonra olmas? durumunda, yani logaritman?n karakteristi?i 2 oldu?unda, toplam?n hata limiti olarak al?nabilece?i kan?tlanm??t?r.

Nerede A say?n?n bulundu?u logaritman?n (on binde bir olarak ifade edilen) hata s?n?r?d?r ve D - Bulunan say?n?n aras?nda yer ald??? iki ard???k ?? basamakl? say?n?n mantisleri aras?ndaki fark (soldan 3. basamaktan sonra virg?lle). Karakteristik 2 de?il, ba?ka bir ?ey oldu?unda, bulunan say?da virg?l?n sola veya sa?a kayd?r?lmas?, yani say?y? 10'un baz? kuvvetlerine b?lmeniz veya ?arpman?z gerekecektir. Bu durumda hata, sonucun de?eri de 10'un ayn? kuvvetine b?l?necek veya ?arp?lacakt?r.

?rne?in logaritmay? kullanarak bir say? ar?yoruz. 1,5950 on binde 3'e kadar do?ru oldu?u bilinen; o zaman demek A = 3 . Antilogaritmalar tablosundan bulunan bu logaritmaya kar??l?k gelen say?, 39,36 . Soldan 3. rakamdan sonra virg?l? hareket ettirerek say?y? elde ederiz 393,6 aras?nda olu?an 393 Ve 394 . Logaritma tablolar?ndan bu iki say?ya kar??l?k gelen mantisler aras?ndaki fark?n ?u ?ekilde oldu?unu g?r?yoruz: 11 on binde biri; Ara? D = 11 . 393.6 say?s?n?n hatas? daha az olacak

Bu, numaradaki hatan?n oldu?u anlam?na gelir. 39,36 daha az olacak 0,05 .

285. Negatif ?zelliklere sahip logaritma i?lemleri. Logaritmalar?n toplanmas? ve ??kar?lmas? a?a??daki ?rneklerden de g?r?lebilece?i gibi herhangi bir zorluk yaratmaz:

Logaritmay? pozitif bir say?yla ?arpman?n da hi?bir zorlu?u yoktur, ?rne?in:

Son ?rnekte pozitif mantis ayr? ayr? 34 ile ?arp?l?r, ard?ndan negatif karakteristik 34 ile ?arp?l?r.

Negatif bir karakteristi?in ve pozitif bir mantisin logaritmas? negatif bir say? ile ?arp?l?rsa, o zaman iki ?ekilde ilerleyin: ya verilen logaritma ?nce negatife ?evrilir ya da mantis ve karakteristik ayr? ayr? ?arp?l?r ve sonu?lar birle?tirilir; ?rne?in :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

B?lme s?ras?nda iki durum ortaya ??kabilir: 1) olumsuz ?zellik b?l?nm??t?r ve 2) b?lene b?l?nemez. ?lk durumda karakteristik ve mantis ayr? ayr? ayr?l?r:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

?kinci durumda, karakteristi?e o kadar ?ok negatif birim eklenir ki, ortaya ??kan say? b?lene b?l?n?r; mantis'e ayn? say?da pozitif birim eklenir:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Bu d?n???m?n zihinde yap?lmas? gerekir, dolay?s?yla eylem ?u ?ekilde ger?ekle?ir:

286. ??kar?lan logaritmalar?n terimlerle de?i?tirilmesi. Logaritma kullanarak baz? karma??k ifadeleri hesaplarken, baz? logaritmalar? toplaman?z ve baz?lar?n? ??karman?z gerekir; bu durumda, ola?an eylem ger?ekle?tirme y?nteminde, eklenen logaritmalar?n toplam?n?, ard?ndan ??kar?lanlar?n toplam?n? ayr? ayr? bulurlar ve ikinciyi ilk toplamdan ??kar?rlar. ?rne?in, e?er elimizde:

kay?t X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

o zaman eylemlerin ola?an y?r?t?lmesi ?u ?ekilde g?r?necektir:

Ancak ??karma i?lemini toplama i?lemiyle de?i?tirmek m?mk?nd?r. Bu y?zden:

Art?k hesaplamay? ?u ?ekilde d?zenleyebilirsiniz:

287. Hesaplama ?rnekleri.

?rnek 1. ?fadeyi de?erlendirin:

E?er A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Ve D = 7.246.

Bu ifadenin logaritmas?n? alal?m:

kay?t X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

?imdi gereksiz zaman kayb?n? ?nlemek ve hata olas?l???n? azaltmak i?in ?ncelikle t?m hesaplamalar? ?imdilik y?r?tmeden ve dolay?s?yla tablolara ba?vurmadan d?zenleyece?iz:

Bundan sonra tablolar? al?p kalan bo? alanlara logaritma koyuyoruz:

Hata s?n?r?.?ncelikle say?n?n hata s?n?r?n? bulal?m X 1 = 194,5 , ?una e?it:

Yani, her ?eyden ?nce bulman?z gerekiyor A , yani yakla??k logaritman?n on binde biri olarak ifade edilen hata s?n?r?. Diyelim ki bu say?lar A, B, C Ve D hepsi do?rudur. O zaman bireysel logaritmalardaki hatalar a?a??daki gibi olacakt?r (on binde bir):

V logA.......... 1 / 2

V 1/3 g?nl?k A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 eklendi ??nk? 1,9146'n?n 3 logaritmas?na b?lerken b?l?m?n 5. basama??n? atarak b?l?m? yuvarlad?k ve bu nedenle daha da k???k bir hata yapt?k 1 / 2 on binde).

?imdi logaritman?n hata limitini buluyoruz:

A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (on binde biri).

Daha da tan?mlayal?m D . ??nk? X 1 = 194,5 , ard?ndan aralar?nda yer alan 2 ard???k tam say? X 1 irade 194 Ve 195 . Tablo fark? D bu say?lara kar??l?k gelen mantisler aras?nda e?ittir 22 . Bu, say?n?n hata s?n?r?n?n oldu?u anlam?na gelir X 1 Orada:

??nk? X = X 1 : 10, ard?ndan say?daki hata s?n?r? X e?ittir 0,3:10 = 0,03 . B?ylece buldu?umuz say? 19,45 kesin say?dan daha az farkl?l?k g?sterir 0,03 . Yakla??m?m?z?n eksiklikle mi yoksa fazlal?kla m? bulundu?unu bilmedi?imiz i?in yaln?zca ?unu garanti edebiliriz:

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , yani

19,48 > X > 19,42 ,

ve bu nedenle e?er kabul edersek X =19,4 , o zaman 0,1'e kadar do?rulukla dezavantajl? bir yakla??ma sahip olaca??z.

?rnek 2. Hesaplamak:

X = (- 2,31) 3 5 ?72 = - (2,31) 3 5 ?72 .

Negatif say?lar?n logaritmas? olmad???ndan ilk ?nce ?unu buluruz:

X" = (2,31) 3 5 ?72

ayr??ma yoluyla:

kay?t X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.

Hesaplamadan sonra ortaya ??k?yor:

X" = 28,99 ;

buradan,

X = - 28,99 .

?rnek 3. Hesaplamak:

K?k?n i?areti c u m m a oldu?undan s?rekli logaritma burada kullan?lamaz. Bu gibi durumlarda form?l? k?s?mlara g?re hesaplay?n.

?lk ?nce buluyoruz N = 5 ?8 , Daha sonra N 1 = 4 ?3 ; sonra basit bir toplama i?lemiyle belirleriz N+ N 1 ve sonunda hesapl?yoruz 3 ?N+ N 1 ; ortaya ??k?yor:

N=1.514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

kay?t X= log3 ? 2,830 = 1 / 3 g?nl?k 2.830 = 0,1506 ;

X = 1,415 .

D?rd?nc? B?l?m.

?stel ve logaritmik denklemler.

288. ?stel denklemler, bilinmeyenin ?stelin i?ine dahil edildi?i denklemlerdir ve logaritmik- bilinmeyenin i?aretin alt?na girdi?i yerler kay?t. Bu t?r denklemler yaln?zca ?zel durumlarda ??z?lebilir ve logaritman?n ?zelliklerine ve say?lar e?itse logaritmalar?n?n da e?it olmas? ve tam tersine, logaritmalar e?itse kar??l?k gelenlerin e?it olmas? ilkesine g?venmek gerekir. say?lar e?ittir.

?rnek 1. Denklemi ??z?n: 2 X = 1024 .

Denklemin her iki taraf?n?n logaritmas?n? alal?m:

?rnek 2. Denklemi ??z?n: A 2x - A X = 1 . Koyarak A X = en ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:

sen 2 - en - 1 = 0 ,

??nk? 1-?5 < 0 ise son denklem imkans?zd?r (fonksiyon A X her zaman pozitif bir say? vard?r) ve ilki ?unu verir:

?rnek 3. Denklemi ??z?n:

kay?t( a + x) + g?nl?k ( b + x) = g?nl?k ( c + x) .

Denklem ?u ?ekilde yaz?labilir:

kay?t [( a + x) (b + x)] = g?nl?k ( c + x) .

Logaritmalar?n e?itli?inden say?lar?n e?it oldu?u sonucunu ??kar?yoruz:

(a + x) (b + x) = c + x .

Bu, ??z?m? zor olmayan ikinci dereceden bir denklemdir.

Be?inci b?l?m.

Bile?ik faiz, vadeli ?demeler ve vadeli ?demeler.

289. Bile?ik faizle ilgili temel problem. Sermaye ne kadara d?n??ecek? A b?y?mede verilen ruble R sonra bile?ik faiz T y?llar ( T - tamsay?)?

“Faiz faizi” denilen ?ey dikkate al?n?rsa, yani sermayeye ?denmesi gereken faiz paras? her y?l?n sonunda sermayeye ilave edilerek art?r?l?rsa, sermayenin bile?ik faizle ?dendi?ini s?yl?yorlar. sonraki y?llarda da ilgiyle kar??lanacakt?r.

Verilen her sermaye rublesi R %, bir y?l i?inde kar getirecek P / 100 ruble ve dolay?s?yla 1 y?ldaki her sermaye rublesi d?n??ecek 1 + P / 100 ruble (?rne?in, e?er sermaye ?u ?ekilde verilirse: 5 %, o zaman bir y?l i?indeki her ruble ?una d?n??ecek: 1 + 5 / 100 , yani i?inde 1,05 ruble).

K?sal?k a??s?ndan kesri belirtmek i?in P / 100 ?rne?in bir harfle, R Bir y?lda sermayenin her rublesinin paraya d?n??ece?ini s?yleyebiliriz. 1 + R ruble; buradan, A Rubleler 1 y?l i?inde iade edilecek A (1 + R ) ovalay?n. Bir y?l sonra, yani b?y?menin ba?lang?c?ndan 2 y?l sonra, bunlar?n her rublesi A (1 + R ) ovalay?n. tekrar ileti?ime ge?ece?im 1 + R ovmak.; Bu, t?m sermayenin d?n??ece?i anlam?na gelir A (1 + R ) 2 ovmak. Ayn? ?ekilde ?? y?l sonra sermayenin olaca??n? da g?r?yoruz. A (1 + R ) 3 d?rt y?l i?inde olacak A (1 + R ) 4 ,... genellikle arac?l???yla T y?llar e?er T bir tam say?d?r, ?una d?n??ecektir: A (1 + R ) T ovmak. B?ylece, ile belirtmek A Nihai sermaye i?in a?a??daki bile?ik faiz form?l?ne sahip olaca??z:

A = A (1 + R ) T Nerede R = P / 100 .

?rnek.?zin vermek A =2.300 ovmak, P = 4, T=20 y?llar; o zaman form?l ?unu verir:

R = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.

Hesaplamak A logaritma kullan?yoruz:

kay?t A = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

bir = 5031 ruble.

Yorum. Bu ?rnekte yapmam?z gerekiyordu g?nl?k 1.04 ile ?arpmak 20 . Say?dan beri 0,0170 yakla??k bir de?er var g?nl?k 1.04 kadar 1 / 2 on binde bir k?sm? ise bu say?n?n ?arp?m? 20 kesinlikle sadece ?u ana kadar olacak 1 / 2 20, yani 10'a kadar on binde = binde 1. Bu nedenle toplamda 3,7017 Sadece on binde birlik say?ya de?il, ayn? zamanda binde birlik say?ya da kefil olamay?z. Bu gibi durumlarda daha fazla do?ruluk elde etmek i?in say?n?n daha iyi olmas? gerekir. 1 + R ?rne?in 4 basamakl? de?il, ?ok say?da basamakl? logaritmalar? al?n. 7 haneli. Bu ama?la burada en yayg?n de?erler i?in 7 basamakl? logaritmalar?n yaz?ld??? k???k bir tablo sunuyoruz. R .

290. As?l g?rev acil ?demelerdir. Birisi ald? A ba??na ruble R Borcunu faiziyle birlikte geri ?demek ?art?yla y?zde T y?l sonunda ayn? tutar? ?der. Bu miktar ne kadar olmal?d?r?

Toplam X Bu ko?ullar alt?nda y?ll?k olarak ?denen tutara acil ?deme denir. Yine harfle belirtelim R 1 ruble'den y?ll?k faiz paras?, yani. P / 100 . Daha sonra ilk y?l?n sonunda bor? A artar A (1 + R ), temel ?deme X rubleye mal olacak A (1 + R )-X .

?kinci y?l?n sonunda bu miktar?n her rublesi yeniden paraya d?n??ecek. 1 + R ruble ve bu nedenle bor? [ A (1 + R )-X ](1 + R ) = A (1 + R ) 2 - X (1 + R ) ve ?deme i?in X ruble ??yle olacak: A (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X . Ayn? ?ekilde 3. y?l?n sonunda da borcun kapanmas?n? sa?layaca??z.

A (1 + R ) 3 - X (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X ,

ve genel olarak ve son T y?l ??yle olacak:

A (1 + R ) T - X (1 + R ) t-1 - X (1 + R ) t-2 ... - X (1 + R ) - X , veya

A (1 + R ) T - X [ 1 + (1 + R ) + (1 + R ) 2 + ...+ (1 + R ) t-2 + (1 + R ) t-1 ]

Parantez i?indeki polinom, geometrik ilerlemenin terimlerinin toplam?n? temsil eder; ilk ?yeye sahip olan 1 , son ( 1 + R ) t-1 ve payda ( 1 + R ). Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplam? form?l?n? kullanarak (B?l?m 10 B?l?m 3 § 249) ?unlar? buluruz:

ve sonras?nda bor? miktar? T -inci ?deme ?u ?ekilde olacakt?r:

Sorunun ?artlar?na g?re bor? bitmi?tir T -inci y?l ?una e?it olmal?d?r: 0 ; Bu y?zden:

Neresi

Bunu hesaplarken acil ?deme form?lleri logaritma kullanarak ?nce yard?mc? say?y? bulmal?y?z N = (1 + R ) T logaritmayla: g?nl?k N= T g?nl?k(1+ R) ; bulduktan sonra N, bundan 1 ??kar?n, ard?ndan form?l?n paydas?n? elde ederiz X, bundan sonra ikincil logaritmayla ?unu buluruz:

kay?t X=g?nl?k A+ log N + log r - log (N - 1).

291. D?nem katk?lar?n?n ana g?revi. Birisi her y?l?n ba??nda ayn? tutar? bankaya yat?r?yor. A ovmak. Daha sonra bu katk?lardan hangi sermayenin olu?aca??n? belirleyin. T bankan?n ?demesi halinde y?llar R bile?ik faiz.

Taraf?ndan belirlenmi? R 1 ruble'den y?ll?k faiz paras?, yani. P / 100 , biz ??yle mant?k y?r?t?yoruz: ilk y?l?n sonunda sermaye A (1 + R );

2. y?l?n ba??nda bu miktara ilave edilecektir. A ruble; bu, ?u anda sermayenin olaca?? anlam?na gelir A (1 + R ) + A . 2. y?l?n sonunda olacak A (1 + R ) 2 + bir (1 + R );

3. y?l?n ba??nda tekrar girilir A ruble; bu, ?u anda sermaye olaca?? anlam?na gelir A (1 + R ) 2 + bir (1 + R ) + A ; 3. ay?n sonunda olacak A (1 + R ) 3 + bir (1 + R ) 2 + bir (1 + R ) Bu arg?manlara daha da devam edersek, sonunda ?unu buluyoruz: T y?l gerekli sermaye A irade:

Bu, her y?l?n ba??nda yap?lan d?nem katk?lar?n?n form?l?d?r.

Ayn? form?l a?a??daki mant?kla elde edilebilir: pe?inat A bankadayken ruble T Bile?ik faiz form?l?ne g?re y?llara d?n??ecek A (1 + R ) T ovmak. ?kinci taksit, bankada bir y?l daha az kalmak, yani. T - 1 ya??nday?m, ileti?im A (1 + R ) t-1 ovmak. Ayn? ?ekilde ???nc? taksit de verilecek A (1 + R ) t-2 vb. ve son olarak bankada sadece 1 y?ld?r bekleyen son taksit, A (1 + R ) ovalay?n. Bu nihai sermaye anlam?na gelir A ovmak. irade:

A= A (1 + R ) T + A (1 + R ) t-1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ),

bu, basitle?tirmeden sonra yukar?da bulunan form?l? verir.

Bu form?l?n logaritmas?n? kullanarak hesaplama yaparken, acil ?demeler i?in form?l? hesaplarken oldu?u gibi ilerlemelisiniz, yani ?nce N = ( say?s?n? bulmal?s?n?z. 1 + R ) T logaritmas?na g?re: g?nl?k N= T kay?t(1 + R ), ard?ndan say? N-1 ve sonra form?l?n logaritmas?n? al?n:

g?nl?k A = g?nl?k A+g?nl?k(1+ R) + log (N - 1) - 1оgR

Yorum. Acil bir katk? ise A ovmak. her y?l?n ba??nda de?il sonunda yap?ld? (?rne?in acil bir ?deme yap?lmas? gibi) X borcunu ?demek i?in), o zaman bir ?ncekine benzer ?ekilde mant?k y?r?terek, sonunda ?unu buluyoruz: T y?l gerekli sermaye A" ovmak. (son taksit dahil) olacak A ovmak, faiz getirmiyor):

A"= A (1 + R ) t-1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ) + A

bu ?una e?ittir:

yani. A" biter ( 1 + R ) kat daha az A Bu beklenen bir ?eydi, ??nk? sermayenin her rublesi A" kar??l?k gelen sermaye rublesinden daha az bir y?l boyunca bankada yat?yor A.

Bir say?n?n logaritmas? N dayal? A ?s denir X olu?turman?z gereken A numaray? almak i?in N

?art?yla
,
,

Logaritman?n tan?m?ndan ?u sonu? ??k?yor
, yani
- bu e?itlik temel logaritmik ?zde?liktir.

10 taban?na g?re logaritmalara ondal?k logaritma denir. Yerine
yazmak
.

Tabana g?re logaritmalar e do?al olarak adland?r?l?r ve belirlenir
.

Logaritman?n temel ?zellikleri.

Birin logaritmas? herhangi bir taban i?in s?f?ra e?ittir.

?r?n?n logaritmas?, fakt?rlerin logaritmas?n?n toplam?na e?ittir.

3) B?l?m?n logaritmas? logaritmalar?n fark?na e?ittir

Fakt?r
logaritmalardan tabana ge?i? mod?l? denir A tabandaki logaritmalara B .

2-5 aras?ndaki ?zellikleri kullanarak, karma??k bir ifadenin logaritmas?n? logaritmalar ?zerinde yap?lan basit aritmetik i?lemlerin sonucuna indirgemek genellikle m?mk?nd?r.

?rne?in,

Bir logaritman?n bu t?r d?n???mlerine logaritma denir. Logaritman?n tersi olan d?n???mlere potansiyasyon denir.

B?l?m 2. Y?ksek matemati?in unsurlar?.

1. S?n?rlar

Fonksiyonun s?n?r?
sonlu bir say?d?r A e?er x?x 0 ?nceden belirlenmi? her biri i?in
?yle bir say? var ki
en k?sa s?rede
, O
.

Limiti olan bir fonksiyon ondan sonsuz k???k bir miktarda farkl?l?k g?sterir:
, nerede?- b.m.v., yani.
.

?rnek. ??levi d???n?n
.

?abalarken
, i?lev sen s?f?ra do?ru e?ilim g?sterir:

1.1. Limitlerle ilgili temel teoremler.

Sabit bir de?erin limiti bu sabit de?ere e?ittir

.

Sonlu say?da fonksiyonun toplam?n?n (fark?n?n) limiti, bu fonksiyonlar?n limitlerinin toplam?na (fark?na) e?ittir.

Sonlu say?da fonksiyonun ?arp?m?n?n limiti, bu fonksiyonlar?n limitlerinin ?arp?m?na e?ittir.

Paydan?n limiti s?f?r de?ilse, iki fonksiyonun b?l?m?n?n limiti, bu fonksiyonlar?n limitlerinin b?l?m?ne e?ittir.

Harika S?n?rlar

,
, Nerede

1.2. Limit Hesaplama ?rnekleri

Ancak t?m limitler bu kadar kolay hesaplanm?yor. ?o?u zaman, limitin hesaplanmas? ?u t?rden bir belirsizli?in ortaya ??kar?lmas?na indirgenir: veya .

.

2. Bir fonksiyonun t?revi

Bir fonksiyonumuz olsun
, segmentte s?rekli
.

Arg?man biraz art?? var
. Daha sonra fonksiyon bir art?? alacakt?r
.

Ba??ms?z de?i?ken de?eri fonksiyon de?erine kar??l?k gelir
.

Ba??ms?z de?i?ken de?eri
fonksiyon de?erine kar??l?k gelir.

Buradan, .

Bu oran?n limitini bulal?m.
. E?er bu limit mevcutsa buna verilen fonksiyonun t?revi denir.

Tan?m 3 Verilen bir fonksiyonun t?revi
arg?manla arg?man?n art??? keyfi olarak s?f?ra yakla?t???nda, bir fonksiyonun art???n?n arg?man?n art???na oran?n?n limiti denir.

Bir fonksiyonun t?revi
a?a??daki gibi belirlenebilir:

; ; ; .

Tan?m 4Bir fonksiyonun t?revini bulma i?lemine denir farkl?la?ma.

2.1. T?revin mekanik anlam?.

Kat? bir cismin ya da maddesel bir noktan?n do?rusal hareketini ele alal?m.

Zaman?n bir noktas?nda izin ver hareket noktas?
uzaktayd? ba?lang?? pozisyonundan
.

Bir s?re sonra
mesafe kat etti
. Davran?? =- maddi bir noktan?n ortalama h?z?
. Bunu dikkate alarak bu oran?n limitini bulal?m.
.

Sonu? olarak, maddi bir noktan?n anl?k hareket h?z?n?n belirlenmesi, yolun zamana g?re t?revinin bulunmas?na indirgenir.

2.2. T?revin geometrik de?eri

Grafiksel olarak tan?mlanm?? bir fonksiyonumuz olsun
.

Pirin?. 1. T?revin geometrik anlam?

E?er
, sonra i?aret et
, noktaya yakla?arak e?ri boyunca hareket edecek
.

Buradan
, yani arg?man?n belirli bir de?eri i?in t?revin de?eri Belirli bir noktada tanjant?n eksenin pozitif y?n? ile olu?turdu?u a??n?n tanjant?na say?sal olarak e?ittir
.

2.3. Temel farkl?la?ma form?lleri tablosu.

G?? fonksiyonu

?stel fonksiyon

Logaritmik fonksiyon

Trigonometrik fonksiyon

Ters trigonometrik fonksiyon

2.4. Farkl?la?ma kurallar?.

T?revi

Fonksiyonlar?n toplam?n?n (fark?n?n) t?revi

?ki fonksiyonun ?arp?m?n?n t?revi

?ki fonksiyonun b?l?m?n?n t?revi

2.5. Karma??k bir fonksiyonun t?revi.

Fonksiyon verilsin
?eklinde temsil edilebilecek ?ekilde

Ve
de?i?ken burada o zaman bir ara arg?mand?r

Karma??k bir fonksiyonun t?revi, verilen fonksiyonun ara arg?mana g?re t?revi ile ara arg?man?n x'e g?re t?revinin ?arp?m?na e?ittir.

?rnek 1.

?rnek 2.

3. Diferansiyel fonksiyon.

Olsun
, belirli bir aral?kta t?revlenebilir
ve izin ver en bu fonksiyonun bir t?revi var

,

o zaman yazabiliriz

(1),

Nerede - sonsuz k???k bir miktar,

ne zamandan beri

T?m e?itlik ko?ullar?n? (1) ile ?arpmak
sahibiz:

Nerede
- b.m.v. daha y?ksek sipari?.

B?y?kl?k
fonksiyonun diferansiyeli denir
ve belirlenmi?

.

3.1. Diferansiyelin geometrik de?eri.

Fonksiyon verilsin
.

?ekil 2. Diferansiyelin geometrik anlam?.

.

A??k?as?, fonksiyonun diferansiyeli
belirli bir noktadaki te?etin koordinat?ndaki art??a e?ittir.

3.2. ?e?itli mertebelerden t?revler ve diferansiyeller.

e?er varsa
, Daha sonra
birinci t?rev denir.

Birinci t?revin t?revine ikinci dereceden t?rev denir ve ??yle yaz?l?r:
.

Fonksiyonun n'inci dereceden t?revi
(n-1)'inci dereceden t?rev olarak adland?r?l?r ve ??yle yaz?l?r:

.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline ikinci diferansiyel veya ikinci derece diferansiyel denir.

.

.

3.3 Biyolojik problemlerin farkl?la?may? kullanarak ??z?lmesi.

G?rev 1. ?al??malar, bir mikroorganizma kolonisinin b?y?mesinin yasalara uygun oldu?unu g?stermi?tir.
, Nerede N – mikroorganizmalar?n say?s? (bin olarak), T – zaman (g?nler).

b) Bu d?nemde koloninin n?fusu artacak m? yoksa azalacak m??

Cevap. Koloninin boyutu artacakt?r.

G?rev 2. G?ldeki su, patojen bakterilerin i?eri?ini izlemek i?in periyodik olarak test edilir. Ba??ndan sonuna kadar T testten sonraki g?nler, bakteri konsantrasyonu orana g?re belirlenir

.

G?lde ne zaman minimum bakteri konsantrasyonu olacak ve i?inde y?zmek m?mk?n olacak m??

??z?m: Bir fonksiyon, t?revi s?f?r oldu?unda maksimum veya minimuma ula??r.

,

Maksimum veya minimumun 6 g?n sonra olaca??n? belirleyelim. Bunu yapmak i?in ikinci t?revi alal?m.

Cevap: 6 g?n sonra minimum bakteri konsantrasyonu olacakt?r.

Logaritmik ifadeler, ??z?m ?rnekleri. Bu yaz?da logaritma ??z?m?yle ilgili problemlere bakaca??z. G?revler bir ifadenin anlam?n? bulma sorusunu sorar. Logaritma kavram?n?n bir?ok g?revde kullan?ld???n? ve anlam?n? anlaman?n son derece ?nemli oldu?unu belirtmek gerekir. Birle?ik Devlet S?nav?na gelince, logaritma denklemleri ??zerken, uygulamal? problemlerde ve ayr?ca fonksiyonlar?n incelenmesiyle ilgili g?revlerde kullan?l?r.

Logaritman?n anlam?n? anlamak i?in ?rnekler verelim:

Temel logaritmik kimlik:

Logaritman?n her zaman hat?rlanmas? gereken ?zellikleri:

*?arp?m?n logaritmas?, fakt?rlerin logaritmas?n?n toplam?na e?ittir.

* * *

*Bir b?l?m?n (kesir) logaritmas?, fakt?rlerin logaritmalar? aras?ndaki farka e?ittir.

* * *

*Bir kuvvetin logaritmas? ?ss?n logaritmas? ile ?ss?n?n ?arp?m?na e?ittir.

* * *

*Yeni bir temele ge?i?

* * *

Daha fazla ?zellik:

* * *

Logaritman?n hesaplanmas? ?sl? say?lar?n ?zelliklerinin kullan?m?yla yak?ndan ilgilidir.

Bunlardan baz?lar?n? listeleyelim:

Bu ?zelli?in ?z?, pay paydaya aktar?ld???nda ve tam tersi durumda ?ss?n i?aretinin tersine de?i?mesidir. ?rne?in:

Bu ?zellikten bir sonu?:

* * *

Bir kuvveti bir kuvvete y?kseltirken taban ayn? kal?r ancak ?sler ?arp?l?r.

* * *

G?rd???n?z gibi logaritma kavram?n?n kendisi basittir. ?nemli olan, size belirli bir beceri kazand?ran iyi uygulamaya ihtiyac?n?z olmas?d?r. Elbette form?l bilgisi gereklidir. Temel logaritmalar? d?n??t?rme becerisi geli?tirilmediyse, basit g?revleri ??zerken kolayca hata yapabilirsiniz.

Pratik yap?n, ?nce matematik dersindeki en basit ?rnekleri ??z?n, ard?ndan daha karma??k olanlara ge?in. Gelecekte logaritmalar?n ne kadar “?irkin” ??z?ld???n? mutlaka g?sterece?im; bunlar Birle?ik Devlet S?nav?nda g?r?nmeyecek ama ilgi ?ekici, ka??rmay?n!

Hepsi bu! Size iyi ?anslar!

Sayg?lar?mla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteyi sosyal a?larda anlat?rsan?z sevinirim.

Logaritma nedir?

Dikkat!
Ek var
?zel B?l?m 555'teki materyaller.
?ok "pek de?il..." olanlar i?in
Ve “?ok…” diyenler i?in)

Logaritma nedir? Logaritmalar nas?l ??z?l?r? Bu sorular bir?ok mezunun kafas?n? kar??t?r?yor. Geleneksel olarak logaritma konusunun karma??k, anla??lmaz ve korkutucu oldu?u d???n?l?r. ?zellikle logaritmal? denklemler.

Bu kesinlikle do?ru de?il. Kesinlikle! Bana inanm?yor musun? ?yi. ?imdi sadece 10 - 20 dakika i?inde:

1. Anlay?n logaritma nedir.

2. B?t?n bir ?stel denklem s?n?f?n? ??zmeyi ??renin. Onlar hakk?nda hi?bir ?ey duymam?? olsan?z bile.

3. Basit logaritmalar? hesaplamay? ??renin.

?stelik bunun i?in ?arp?m tablosunu ve bir say?n?n ?ss?n? nas?l y?kseltece?inizi bilmeniz yeterli...

??phelerin varm?? gibi hissediyorum... Peki, tamam, zaman? i?aretle! Hadi gidelim!

?ncelikle ?u denklemi kafan?zda ??z?n:

Bu siteyi be?endiyseniz...

Bu arada, sizin i?in birka? ilgin? sitem daha var.)

?rnek ??zerek pratik yapabilir ve seviyenizi ??renebilirsiniz. An?nda do?rulama ile test etme. Hadi ??renelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve t?revler hakk?nda bilgi sahibi olabilirsiniz.