Problemimizde, U(x) fonksiyonu ?zel, s?reksiz bir forma sahiptir: duvarlar aras?nda s?f?ra e?ittir ve kuyunun kenarlar?nda (duvarlarda) sonsuz olur:

Duvarlar aras?nda bulunan noktalarda par?ac?klar?n dura?an durumlar? i?in Schr?dinger denklemini yaz?yoruz:

veya (1.1) form?l?n? dikkate al?rsak

Denklem (1.3), kuyu duvarlar?nda s?n?r ko?ullar? ile tamamlanmal?d?r. Dalga fonksiyonunun par?ac?klar? bulma olas?l??? ile ilgili oldu?unu dikkate alal?m. Ayr?ca problemin ?artlar?na g?re duvarlar?n d???nda bir partik?l tespit edilememektedir. O zaman duvarlardaki ve ?tesindeki dalga fonksiyonu ortadan kalkmal?d?r ve problemin s?n?r ko?ullar? basit bir bi?im al?r:

?imdi denklemi (1.3) ??zmeye ba?layal?m. ?zellikle, ??z?m?n?n de Broglie dalgalar? oldu?u dikkate al?nabilir. Ancak bir ??z?m olarak bir de Broglie dalgas?, kesinlikle bir y?nde "ko?an" bir serbest par?ac??? tan?mlad??? i?in sorunumuza uygulanm?yor. Bizim durumumuzda, par?ac?k duvarlar aras?nda "ileri geri" hareket eder. Bu durumda, s?perpozisyon ilkesine dayal? olarak, istenen ??z?m, momentumu p ve -p ile birbirine do?ru ilerleyen iki de Broglie dalgas? olarak, yani ?u ?ekilde temsil edilebilir:

Sabitler ve s?n?r ko?ullar?n?n birinden ve normalizasyon ko?ulundan bulunabilir. ?kincisi, t?m olas?l?klar? toplarsan?z, yani genel olarak (herhangi bir yerde) duvarlar aras?nda bir elektron bulma olas?l???n? bulursan?z, bir tane elde edersiniz (g?venilir bir olay?n olas?l??? 1'dir), yani:

Birinci s?n?r ko?uluna g?re, elimizde:

B?ylece problemimizin ??z?m?n? elde ederiz:

Bilindi?i gibi, . Bu nedenle, bulunan ??z?m ?u ?ekilde yeniden yaz?labilir:

A sabiti normalizasyon ko?ulundan belirlenir. Ancak burada ?zellikle ilgi ?ekici de?il. ?kinci s?n?r ko?ulu kullan?lmadan kal?r. Nas?l bir sonu? sa?lar? Bulunan ??z?me (1.5) uyguland??? gibi, a?a??daki denkleme yol a?ar:

Ondan, sorunumuzda p d?rt?s?n?n herhangi bir de?er alamayaca??n?, sadece de?erleri alabilece?ini g?r?yoruz.

Bu arada, dalga fonksiyonu (0…l) aral???nda her yerde s?f?ra e?it olaca??ndan, n s?f?ra e?it olamaz! Bu, duvarlar aras?ndaki par?ac???n hareketsiz kalamayaca?? anlam?na gelir! Hareket ediyor olmal?. ?letim elektronlar? bir metalde benzer ko?ullarda bulunur. Elde edilen sonu? onlar i?in de ge?erlidir: bir metaldeki elektronlar dura?an olamaz.

Hareket eden bir elektronun m?mk?n olan en k???k momentumu

Elektron momentumunun duvarlardan yans?d???nda i?aret de?i?tirdi?ini g?sterdik. Bu nedenle, bir elektronun duvarlar aras?nda kilitli oldu?u zaman momentumunun ne oldu?u sorusu kesin olarak cevaplanamaz: +p veya -p. Momentum belirsizdir. Belirsizlik derecesi a??k?a ?u ?ekilde tan?mlan?r: =p-(-p)=2p. Koordinat?n belirsizli?i l'ye e?ittir; Bir elektronu "yakalamaya" ?al???rsan?z, o zaman duvarlar aras?ndaki s?n?rlar i?inde bulunacakt?r, ancak tam olarak nerede oldu?u bilinmemektedir. p'nin en k???k de?eri oldu?undan, ?unu elde ederiz:

Heisenberg ba??nt?s?n? problemimizin ko?ullar? alt?nda, yani p'nin en k???k de?erinin var olmas? ko?ulu alt?nda do?rulad?k. Momentumun keyfi olarak olas? bir de?erini akl?m?zda tutarsak, belirsizlik ili?kisi ?u ?ekli al?r:

Bu, Heisenberg-Bohr'un belirsizlik hakk?ndaki orijinal varsay?m?n?n, ?l??mlerde yaln?zca olas? belirsizliklerin alt s?n?r?n? belirledi?i anlam?na gelir. Hareketin ba?lang?c?nda sistem minimum belirsizliklerle donat?lm??sa, zamanla b?y?yebilirler.

Ancak form?l (1.6) son derece ilgin? bir sonuca daha i?aret ediyor: Kuantum mekani?inde bir sistemin momentumunun her zaman s?rekli de?i?emeyece?i ortaya ??k?yor (klasik mekanikte her zaman oldu?u gibi). ?rne?imizdeki par?ac?k momentum spektrumu kesiklidir; duvarlar aras?ndaki par?ac?k momentumu sadece s??ramalarda (kuanta) de?i?ebilir. Ele al?nan problemdeki atlama de?eri sabittir ve 'ye e?ittir.

?ek. 2. Par?ac???n momentumunun olas? de?erlerinin spektrumu a??k?a g?sterilmi?tir. B?ylece klasik mekani?e tamamen yabanc? olan mekanik niceliklerdeki de?i?imin kuantum mekani?indeki ayr?kl???, onun matematiksel d?zene?inden kaynaklanmaktad?r. S??ramalarda momentumun neden de?i?ti?i soruldu?unda net bir tane bulmak imkans?zd?r. Kuantum mekani?inin yasalar? bunlard?r; sonucumuz mant?ksal olarak onlardan ??k?yor - t?m a??klama bu.

?imdi par?ac???n enerjisine d?nelim. Enerji, form?l (1) ile momentum ile ili?kilidir. Momentum spektrumu ayr?k ise, duvarlar aras?ndaki par?ac?k enerji de?erlerinin spektrumunun da ayr?k oldu?u otomatik olarak ortaya ??kar. Ve o ilkel. Form?l (1.6)'ya g?re olas? de?erler form?l (1.1) ile de?i?tirilirse, ?unu elde ederiz:

burada n = 1, 2,… ve kuantum say?s? olarak adland?r?l?r.

B?ylece enerji seviyelerini ald?k.

Pirin?. ?ekil 3, problemimizin ko?ullar?na kar??l?k gelen enerji seviyelerinin d?zenini g?stermektedir. Ba?ka bir problem i?in enerji seviyelerinin d?zenlenmesinin farkl? olaca?? a??kt?r. Par?ac?k y?kl?yse (?rne?in bir elektronsa), o zaman en d???k enerji seviyesinde olmad??? i?in kendili?inden ???k yayabilir (foton ?eklinde). Ayn? zamanda, duruma g?re daha d???k bir enerji seviyesine gidecektir:

Sorunumuzdaki her dura?an durum i?in dalga fonksiyonlar?, s?f?r de?erleri mutlaka duvarlara d??en sin?zoidlerdir. n = 1.2 i?in bu t?r iki dalga fonksiyonu ?ek. bir.

Schr?dinger denklemi, Avusturyal? fizik?i Erwin Schr?dinger'in ad?n? alm??t?r. Kuantum mekani?inin ana teorik arac?d?r. Kuantum mekani?inde, Schr?dinger denklemi, klasik mekanikteki hareket denklemi (Newton'un ikinci yasas?) ile ayn? rol? oynar. Schr?dinger denklemi, s?zde y- fonksiyonlar (psi - fonksiyonlar). Genel durumda, psi - i?levi, koordinatlar?n ve zaman?n bir i?levidir: y = y (x,y,z,t). Mikropar?ac?k sabit durumdaysa, psi - i?levi zamana ba?l? de?ildir: y= y (x,y,z).

Bir mikropar?ac???n tek boyutlu hareketinin en basit durumunda (?rne?in, yaln?zca eksen boyunca x ) Schr?dinger denklemi ?u ?ekildedir:

nerede y(x)– psi - sadece bir koordinata ba?l? fonksiyon x ; m – par?ac?k k?tlesi; - Planck sabiti (= h/2p); E par?ac???n toplam enerjisi, sen - potansiyel enerji. Klasik fizikte, nicelik (AB ) par?ac???n kinetik enerjisine e?it olacakt?r. Kuantum mekani?inde, ??nk? belirsizlik ili?kileri kinetik enerji kavram? anlams?zd?r. Potansiyel enerjiye dikkat edin sen bir ?zelliktir d?? kuvvet alan? par?ac???n hareket etti?i yer. Bu de?er olduk?a kesindir. Ayn? zamanda koordinatlar?n bir fonksiyonudur, bu durumda sen = sen (x,y,z).

?? boyutlu durumda, ne zaman y = y (x,y,z) Schr?dinger denklemindeki ilk terim yerine, psi fonksiyonunun ?? koordinata g?re ?? k?smi t?revinin toplam? yaz?lmal?d?r.

Schr?dinger denklemi ne i?in kullan?l?r? Daha ?nce belirtildi?i gibi, bu kuantum mekani?inin temel denklemidir. Bunu bir yere yazar ve belirli bir mikropar?ac?k i?in ??zersek (ki bu hi? de kolay bir i? de?ildir), o zaman par?ac???n hareket etti?i uzay?n herhangi bir noktas?ndaki psi fonksiyonunun de?erini elde ederiz. Ne veriyor? psi-fonksiyon mod?l?n?n karesi karakterize eder olas?l?k uzay?n belirli bir b?lgesinde bir par?ac???n tespiti. Koordinatlarla uzayda bir nokta al?n x , y , z (?ek. 6). Bu noktada bir par?ac???n bulunma olas?l??? nedir? Cevap: Bu olas?l?k s?f?rd?r! (bir noktan?n boyutu yoktur, bir par?ac?k bir noktaya fiziksel olarak ?arpamaz). Yani soru yanl?? sorulmu?tur. Farkl? bir ?ekilde ifade edelim: K???k bir uzay b?lgesinde hacmi olan bir par?ac?k bulma olas?l??? nedir? dV = dx dy dz belirli bir noktada merkezli? Cevap:

nerede dP temel bir hacimde bir par?ac???n tespit edilmesinin temel olas?l???d?r. dV . Denklem (22) ger?ek bir psi fonksiyonu i?in ge?erlidir (ayr?ca karma??k da olabilir, bu durumda psi fonksiyonunun mod?l?n?n karesi denklem (22)'de ikame edilmelidir. Uzay?n bir b?lgesi sonlu bir hacme sahipse V , o zaman olas?l?k P Bu hacimdeki bir par?ac??? tespit etmek, ifadenin (22) hacim ?zerinde integrali al?narak bulunur. V :

Hat?rlamak mikropartik?llerin hareketinin olas?l?ksal a??klamas? kuantum mekani?inin temel fikridir. B?ylece, Schr?dinger denkleminin yard?m?yla kuantum mekani?inin ana sorunu ??z?ld?: incelenen nesnenin hareketinin tan?m?, bu durumda bir kuantum mekanik par?ac?k.

Bir dizi ba?ka ?nemli ger?e?i not ediyoruz. Form?l (21)'den g?r?lebilece?i gibi, Schr?dinger denklemi ikinci dereceden bir diferansiyel denklemdir. Sonu? olarak, ??zme s?recinde iki keyfi sabit g?r?necektir. Onlar? nas?l bulabilirim? Bunu yapmak i?in s?zde kullan?n s?n?r ko?ullar?: fiziksel problemin spesifik i?eri?inden, mikropartik?l?n hareket b?lgesinin s?n?rlar?ndaki psi fonksiyonunun de?eri bilinmelidir. Ayr?ca, s?zde normalle?tirme ko?ulu psi fonksiyonunun kar??lamas? gereken:

Bu ko?ulun anlam? basittir: en az?ndan hareket b?lgesi i?inde bir yerde bir par?ac??? tespit etme olas?l???, olas?l??? bire e?it olan belirli bir olayd?r.

Schr?dinger denkleminin ??z?m?n? fiziksel anlamla dolduran s?n?r ko?ullar?d?r. Bu ko?ullar olmadan, bir denklemin ??z?m?, fiziksel anlamdan yoksun, tamamen matematiksel bir problemdir. Bir sonraki b?l?mde, ?zel bir ?rnek kullanarak, Schr?dinger denkleminin ??z?m?nde s?n?r ko?ullar?n?n ve normalle?tirme ko?ulunun uygulanmas?n? ele al?yoruz.

psi i?levi

dalga fonksiyonu (durum i?levi, psi i?levi, olas?l?k genli?i) - karma??k de?erli fonksiyon kullan?lan Kuantum mekani?i i?in olas?l?ksal a??klama devletler kuantum mekanik sistem. Geni? anlamda, ayn? durum vekt?r?.

"Olas?l?k genli?i" ad?n?n bir varyant? ile ili?kilidir istatistiksel yorumlama dalga fonksiyonu: uzayda belirli bir noktada belirli bir zamanda bir par?ac??? bulma olas?l?k yo?unlu?u, bu durumun dalga fonksiyonunun mutlak de?erinin karesine e?ittir.

Dalga fonksiyonunun mod?l?n?n karesinin fiziksel anlam?

Dalga fonksiyonu, sistemin koordinatlar?na (veya genelle?tirilmi? koordinatlar?na) ve genel olarak zamana ba?l?d?r ve ?u ?ekilde olu?turulmu?tur: Meydan o mod?l yo?unluk muydu olas?l?klar(ayr?k spektrumlar i?in - sadece olas?l?k) sistemi zaman an?nda koordinatlar taraf?ndan tan?mlanan konumda tespit etmek i?in:

Daha sonra, dalga fonksiyonu taraf?ndan tan?mlanan sistemin belirli bir kuantum durumunda, bir par?ac???n sonlu hacim uzay?n?n herhangi bir b?lgesinde tespit edilme olas?l??? hesaplanabilir: .

olarak hareket eden koordinatlar k?mesi fonksiyon arg?manlar?, temsil etmek tam fiziksel miktarlar seti sistemde ?l??lebilir. Kuantum mekani?inde, birka? tam nicelik k?mesi se?mek m?mk?nd?r, b?ylece ayn? durumun dalga fonksiyonu farkl? arg?manlardan yaz?labilir. Dalga fonksiyonunun kaydedilmesi i?in se?ilen niceliklerin tamam?, dalga fonksiyonu g?sterimi. Evet m?mk?n koordinat verim, d?rt?sel sunum, i?inde kuantum alan teorisi Kullan?lm?? ikinci niceleme ve dolum numaras? g?sterimi veya Fok temsili ve benzeri.

?rne?in, bir atomdaki bir elektronun dalga fonksiyonu koordinat g?steriminde verilirse, dalga fonksiyonunun mod?l?n?n karesi, uzayda belirli bir noktada bir elektron bulman?n olas?l?k yo?unlu?udur. Momentum temsilinde ayn? dalga fonksiyonu verilirse, mod?l?n?n karesi birini veya di?erini bulma olas?l?k yo?unlu?udur. itme?le birlikte.

girii?

Kuantum mekani?inin seyrinin anla??lmas? en zor olanlardan biri oldu?u bilinmektedir. Bu, yeni ve "ola?and???" matematiksel ayg?tla ?ok fazla ba?lant?l? de?il, fakat ?ncelikle, klasik fizik a??s?ndan devrimciyi, kuantum mekani?inin alt?nda yatan fikirleri ve sonu?lar? yorumlaman?n karma??kl???n? anlaman?n zorlu?uyla ba?lant?l?d?r.

Kuantum mekani?iyle ilgili ?o?u ders kitab?nda, malzemenin sunumu, kural olarak, dura?an Schr?dinger denkleminin ??z?mlerinin analizine dayan?r. Bununla birlikte, dura?an yakla??m, bir kuantum mekanik problemini ??zmenin sonu?lar?n?n benzer klasik sonu?larla do?rudan kar??la?t?r?lmas?na izin vermez. Ek olarak, kuantum mekani?i s?ras?nda incelenen bir?ok s?re? (bir par?ac???n potansiyel bir bariyerden ge?i?i, yar?-dura?an bir durumun bozunmas? vb. gibi) prensipte do?as? gere?i dura?an de?ildir ve bu nedenle, sadece dura?an olmayan Schr?dinger denkleminin ??z?mleri temelinde tam olarak anla??labilir. Analitik olarak ??z?lebilen problemlerin say?s? az oldu?undan, kuantum mekani?inin incelenmesi s?recinde bir bilgisayar?n kullan?lmas? ?zellikle ?nemlidir.

Schr?dinger denklemi ve ??z?mlerinin fiziksel anlam?

Schr?dinger dalga denklemi

Kuantum mekani?inin temel denklemlerinden biri, kuantum sistemlerinin durumlar?ndaki zamanla de?i?imi belirleyen Schr?dinger denklemidir. ?eklinde yaz?l?r

burada H, sistemin Hamiltonyenidir, zamana ba?l? de?ilse enerji operat?r?yle ?ak???r. Operat?r tipi, sistemin ?zelliklerine g?re belirlenir. U(r) potansiyel alan?ndaki bir k?tle par?ac???n?n g?reli olmayan hareketi i?in, operat?r ger?ektir ve par?ac???n kinetik ve potansiyel enerjisinin operat?rlerinin toplam? ile temsil edilir.

Par?ac?k bir elektromanyetik alanda hareket ederse, Hamilton operat?r? karma??k olacakt?r.

Denklem (1.1) zaman a??s?ndan birinci mertebeden bir denklem olmas?na ra?men, sanal birli?inden dolay? periyodik ??z?mleri de vard?r. Bu nedenle, Schr?dinger denklemi (1.1) genellikle Schr?dinger dalga denklemi olarak adland?r?l?r ve ??z?m? zamana ba?l? dalga fonksiyonu olarak adland?r?l?r. H operat?r?n?n bilinen bir formuyla Denklem (1.1), bu de?er zaman?n ilk an?nda biliniyorsa, sonraki herhangi bir zamanda dalga fonksiyonunun de?erini belirlemeyi m?mk?n k?lar. B?ylece, Schr?dinger dalga denklemi, kuantum mekani?inde nedensellik ilkesini ifade eder.

Schr?dinger dalga denklemi, a?a??daki bi?imsel de?erlendirmeler temelinde elde edilebilir. Klasik mekanikte, enerjinin koordinatlar?n ve momentumun bir fonksiyonu olarak verildi?i bilinmektedir.

sonra eylem fonksiyonu S i?in klasik Hamilton-Jacobi denklemine ge?i?

(1.3)'ten bi?imsel d?n???mle elde edilebilir

Ayn? ?ekilde, (1.3)'ten operat?r denklemine formal bir d?n???mle ge?ildi?inde (1.3)'ten (1.1) denklemi elde edilir.

(1.3) koordinatlar?n ve momentumlar?n ?arp?mlar?n? i?ermiyorsa veya operat?rlere (1.4) ge?tikten sonra birbirleriyle gidip gelen ?r?nlerini i?eriyorsa. Bu d?n???mden sonra, operat?rlerin sa? ve sol k?s?mlar?n?n operat?rlerinin fonksiyonu ?zerindeki eylemin sonu?lar?n? e?itleyerek, elde edilen operat?r e?itli?i, dalga denklemine (1.1) ula??yoruz. Ancak, bu bi?imsel d?n???mler Schr?dinger denkleminin bir t?revi olarak al?nmamal?d?r. Schr?dinger denklemi, deneysel verilerin bir genellemesidir. Maxwell denklemlerinin elektrodinamikte t?retilmemesi gibi, kuantum mekani?inde t?retilmez, en az etki ilkesi (veya Newton denklemleri) klasik mekanikte t?retilmez.

Dalga fonksiyonu i?in denklemin (1.1) kar??land???n? do?rulamak kolayd?r.

belirli bir momentum de?erine sahip bir par?ac???n serbest hareketini tan?mlar. Genel durumda, denklem (1.1)'in ge?erlili?i, bu denklemin yard?m?yla elde edilen t?m sonu?lar?n deneyimleriyle uyu?ma ile kan?tlanm??t?r.

(1.1) denkleminin ?nemli e?itli?i ifade etti?ini g?sterelim.

zaman i?inde dalga fonksiyonunun normalle?mesinin korundu?unu g?sterir. Soldaki (1.1) fonksiyonu * ile ?arpal?m ve denklem karma??k e?leni?i (1.1) ile fonksiyon ile ?arpal?m ve elde edilen ilk denklemden ikinci denklemi ??karal?m; sonra buluruz

Bu ili?kiyi de?i?kenlerin t?m de?erleri ?zerine entegre ederek ve operat?r?n kendi kendine biti?ikli?ini hesaba katarak (1.5) elde ederiz.

(1.6) ba??nt?s?nda, bir par?ac???n potansiyel alan?ndaki hareketi yerine Hamilton operat?r?n?n (1.2) a??k ifadesini de?i?tirirsek, o zaman bir diferansiyel denkleme (s?reklilik denklemi) ula??r?z.

olas?l?k yo?unlu?u ve vekt?r nerede

olas?l?k ak?m yo?unlu?u vekt?r? olarak adland?r?labilir.

Karma??k dalga fonksiyonu her zaman ?u ?ekilde temsil edilebilir:

nerede ve ger?ek zaman ve koordinat fonksiyonlar?d?r. Yani olas?l?k yo?unlu?u

ve olas?l?k ak?m yo?unlu?u

(1.9)'dan, fonksiyonu F koordinatlara ba?l? olmayan t?m fonksiyonlar i?in j = 0 olur. ?zellikle, t?m ger?ek fonksiyonlar i?in j= 0.

Schr?dinger denkleminin (1.1) ??z?mleri genellikle karma??k fonksiyonlarla temsil edilir. Karma??k i?levleri kullanmak, gerekli olmasa da ?ok uygundur. Bir karma??k fonksiyon yerine, sistemin durumu iki ger?ek fonksiyonla ve iki birle?tirilmi? denklemi yerine getirerek tan?mlanabilir. ?rne?in, H operat?r? reel ise, fonksiyonu (1.1)'de yerine koyarak ve ger?el ve sanal k?s?mlar? ay?rarak, iki denklemli bir sistem elde ederiz.

bu durumda olas?l?k yo?unlu?u ve olas?l?k ak?m yo?unlu?u bi?imini al?r.

Momentum temsilinde dalga fonksiyonlar?.

Dalga fonksiyonunun Fourier d?n???m?, bir kuantum durumunda momentum da??l?m?n? karakterize eder. ?ekirdek olarak potansiyelin Fourier d?n???m? i?in bir integral denklemin t?retilmesi gerekir.

??z?m. ve fonksiyonlar? aras?nda kar??l?kl? olarak ters iki ili?ki vard?r.

(2.1) ba??nt?s? tan?m olarak kullan?l?rsa ve buna bir i?lem uygulan?rsa, 3 boyutlu bir fonksiyonun tan?m? dikkate al?narak,

sonu? olarak, kolayca g?r?lebilece?i gibi, ters ba??nt?y? (2.2) elde ederiz. A?a??da (2.8) ba??nt?s?n?n t?retilmesinde benzer hususlar kullan?lmaktad?r.

o zaman sahip oldu?umuz potansiyelin Fourier g?r?nt?s? i?in

Dalga fonksiyonunun Schr?dinger denklemini sa?lad???n? varsayarsak

Burada s?ras?yla ve (2.1) ve (2.3) ifadelerinin yerine koyarak, ?unu elde ederiz:

?ift katl? integralde, bir de?i?ken ?zerinden entegrasyondan bir de?i?ken ?zerinden entegrasyona ge?iyoruz ve sonra bu yeni de?i?keni tekrar ile ifade ediyoruz. ?zerinde integral herhangi bir de?erde yaln?zca integralin kendisi s?f?ra e?itse kaybolur, ancak o zaman

Bu, ?ekirdek olarak potansiyelin Fourier d?n???m? ile istenen integral denklemdir. Elbette, integral denklemi (2.6), yaln?zca potansiyelin (2.4) Fourier d?n???m?n?n mevcut olmas? ko?uluyla elde edilebilir; bunun i?in, ?rne?in, potansiyel, en az?ndan nerede oldu?u gibi, b?y?k mesafelerde azalmal?d?r.

Unutulmamal?d?r ki normalle?me ko?ulundan

e?itlik takip eder

Bu, fonksiyon i?in (2.1) ifadesini (2.7) ile de?i?tirerek g?sterilebilir:

Burada ?nce integrasyon yaparsak (2.8) ba??nt?s?n? kolayca elde ederiz.

Genel Schr?dinger denklemi. Dura?an durumlar i?in Schr?dinger denklemi

De Broglie dalgalar?n?n (bkz. § 216) ve Heisenberg belirsizlik ili?kisinin (bkz. 5 215) istatistiksel yorumu, ?e?itli kuvvet alanlar?nda mikro par?ac?klar?n hareketini tan?mlayan kuantum mekani?indeki hareket denkleminin a?a??dakilerden bir denklem olmas? gerekti?i sonucuna yol a?t?. g?zlemlenebilirler, par?ac?klar?n dalga ?zelliklerini deneyimler. Temel denklem, dalga fonksiyonu PS (x, y, z, t) i?in bir denklem olmal?d?r, ??nk? tam olarak bu veya daha kesin olarak nicelik |PS| 2, par?ac???n t zaman?nda dV hacminde, yani x ve x+dx, y ve y+dy, z ve z+dz koordinatlar?na sahip b?lgede kalma olas?l???n? belirler. ?stenilen denklem, par?ac?klar?n dalga ?zelliklerini hesaba katmas? gerekti?inden, elektromanyetik dalgalar? tan?mlayan denkleme benzer bir dalga denklemi olmal?d?r.

G?receli olmayan kuantum mekani?inin temel denklemi 1926'da E. Schr?dinger taraf?ndan form?le edildi. Schr?dinger denklemi, fizi?in t?m temel denklemleri gibi (?rne?in, Newton'un klasik mekanikteki denklemleri ve Maxwell'in elektromanyetik alan denklemleri) t?retilmez, ancak varsay?l?r. Bu denklemin do?rulu?u, onun yard?m?yla elde edilen sonu?lar?n deneyimiyle uyum i?inde onaylan?r ve bu da ona bir do?a yasas?n?n karakterini verir. Schr?dinger denklemi ?u ?ekildedir:

burada h=h/(2p), m par?ac???n k?tlesidir, ? Laplace operat?r?d?r ( ),

i - hayali birim, U (x, y, z, t) - bir par?ac???n hareket etti?i kuvvet alan?ndaki potansiyel fonksiyonu, PS (x, y, z, t ) - par?ac???n istenen dalga fonksiyonu.

Denklem (217.1), k???k bir h?zla (???k h?z?na k?yasla) hareket eden herhangi bir par?ac?k (d?n??? 0'a e?it; bkz. § 225) i?in ge?erlidir, yani y h?z?yla<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

s?rekli olmal?d?r; 3) |PS| i?levi 2 integrallenebilir olmal?d?r; en basit durumlarda bu durum, olas?l?klar?n normalle?tirilmesi ko?uluna (216.3) indirgenir.

Schr?dinger denklemine ula?mak i?in, de Broglie'nin fikrine g?re bir d?zlem dalga ile ili?kili olan, serbest?e hareket eden bir par?ac??? ele alal?m. Basitlik i?in, tek boyutlu durumu ele al?yoruz. X ekseni boyunca yay?lan bir d?zlem dalgan?n denklemi (bkz. § 154)

Veya karma??k g?sterimde . Bu nedenle, de Broglie d?zlem dalgas? ?u ?ekildedir:

(217.2)

(o = E/h, k=p/h oldu?u dikkate al?narak). Kuantum mekani?inde, ?s bir eksi i?aretiyle al?n?r, ancak yaln?zca |PS| 2 , o zaman bu (bkz. (217.2)) gerekli de?ildir. O zamanlar

,

; (217.3)

E enerjisi ile momentum p (E = p 2 /(2m)) aras?ndaki ili?kiyi kullanarak ve ifadeleri (217,3) de?i?tirerek, diferansiyel denklemi elde ederiz.

bu, U = 0 (serbest bir par?ac?k olarak kabul ettik) durumu i?in denklem (217.1) ile ?ak??maktad?r.

Bir par?ac?k, potansiyel enerji U ile karakterize edilen bir kuvvet alan?nda hareket ederse, toplam enerji E, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplam?d?r. E ve p aras?ndaki ili?kiyi kullanarak benzer bir mant?k y?r?terek (bu durumda, p 2 / (2m) = E - U), (217.1) ile ?ak??an bir diferansiyel denkleme d?n?yoruz.

Yukar?daki ak?l y?r?tme, Schr?dinger denkleminin bir t?revi olarak al?nmamal?d?r. Sadece bu denkleme nas?l ula??labilece?ini a??kl?yorlar. Schr?dinger denkleminin do?rulu?unun kan?t?, yol a?t??? sonu?lar?n deneyimleriyle uyu?mas?d?r.

Denklem (217.1) genel Schr?dinger denklemidir. Ayn? zamanda zamana ba?l? Schr?dinger denklemi olarak da adland?r?l?r. Mikrokozmosta meydana gelen bir?ok fiziksel olay i?in, denklem (217.1), PS'nin zamana ba??ml?l???n? ortadan kald?rarak, ba?ka bir deyi?le, dura?an durumlar i?in Schr?dinger denklemini - sabit enerji de?erlerine sahip bir durum bularak basitle?tirilebilir. Bu, par?ac???n hareket etti?i kuvvet alan? sabitse, yani U = U(x, y, z fonksiyonu) m?mk?nd?r. ) a??k?a zamana ba?l? de?ildir ve potansiyel enerji anlam?na gelir. Bu durumda, Schr?dinger denkleminin ??z?m?, biri sadece koordinatlar?n bir fonksiyonu, di?eri sadece zaman?n bir fonksiyonu olan ve zamana ba??ml?l?k fakt?r taraf?ndan ifade edilen iki fonksiyonun bir ?r?n? olarak temsil edilebilir.

,

nerede - sabit bir alan durumunda sabit olan par?ac???n toplam enerjisi. (217.4)'? (217.1) yerine koyarsak,

buradan, ortak fakt?r e – i (E/ h) t ve kar??l?k gelen d?n???mlere b?ld?kten sonra, ps fonksiyonunu tan?mlayan denkleme ula??r?z:

(217.5)

Denklem (217.5), dura?an durumlar i?in Schr?dinger denklemi olarak adland?r?l?r.

Bu denklem, bir parametre olarak par?ac???n toplam enerjisini E i?erir. Diferansiyel denklemler teorisinde, bu t?r denklemlerin, s?n?r ko?ullar? uygulanarak fiziksel bir anlam? olan ??z?mlerin se?ildi?i sonsuz say?da ??z?m? oldu?u kan?tlanm??t?r. Schr?dinger denklemi i?in, bu t?r ko?ullar dalga fonksiyonlar?n?n d?zenlilik ko?ullar?d?r: dalga fonksiyonlar? sonlu, tek de?erli ve birinci t?revleriyle birlikte s?rekli olmal?d?r. Bu nedenle, yaln?zca d?zenli fonksiyonlarla ifade edilen ??z?mler ps . Ancak, E parametresinin herhangi bir de?eri i?in de?il, yaln?zca verilen sorunun ?zelli?i olan belirli bir dizi i?in d?zenli ??z?mler ger?ekle?ir. Bu enerji de?erlerine i?sel denir. Enerji ?zde?erlerine kar??l?k gelen ??z?mlere ?zfonksiyonlar denir. E ?zde?erleri, s?rekli veya ayr?k bir seri olu?turabilir. ?lk durumda, s?rekli veya s?rekli bir spektrumdan, ikinci durumda ise ayr?k bir spektrumdan s?z edilir.

De Broglie'nin par?ac?klar?n dalga ?zellikleri fikrinin geli?tirilmesinde, 1926'da Schr?dinger denklemi elde etti.

104. (20)

burada m par?ac???n k?tlesidir, sanal birimdir, U par?ac???n potansiyel enerjisidir, D Laplace operat?r?d?r [bak?n?z (1.10)].

Schr?dinger denkleminin ??z?m?, par?ac???n mikro durumunu ve dalga ?zelliklerini tan?mlayan par?ac???n Y(x, y, z, t) dalga fonksiyonunu bulmay? sa?lar.

D?? kuvvetlerin alan? zaman i?inde sabitse (yani dura?ansa), o zaman U a??k?a t'ye ba?l? de?ildir. Bu durumda, Denklem (20)'nin ??z?m? iki fakt?re ayr?l?r.

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)

Dura?an durumda, Schr?dinger denklemi ?u ?ekildedir:

(22)

nerede E, U - toplam ve potansiyel enerji, m - par?ac?k k?tlesi.

Tarihsel olarak "dalga fonksiyonu" ad?n?n, bu i?levi belirleyen (20) veya (22) denkleminin dalga denklemlerinin bi?imini ifade etmesi nedeniyle ortaya ??kt??? belirtilmelidir.

104. En basit kuantum mekanik sistemler olarak hidrojen atomu ve hidrojen benzeri "atomlar" (He + , Li 2+ ve di?erleri): kuantum durumlar?, dalga fonksiyonunun radyal ve a??sal bile?enleri, y?r?nge simetrisi.

Rutherford, ara?t?rmas?na dayanarak, 1911'de bir n?kleer (gezegensel) atom modeli. Bu modele g?re elektronlar, 10 -10 m mertebesinde do?rusal boyutlar? olan bir b?lgede, pozitif bir ?ekirde?in etraf?nda kapal? y?r?ngelerde hareket ederek bir atomun elektron kabu?unu olu?tururlar. Z(Z-- Mendeleev sistemindeki eleman?n seri numaras?, e -.temel y?k), boyut 10 -15 - 10 -14 m, k?tle, neredeyse bir atomun k?tlesine e?it. Atomlar n?tr oldu?undan, ?ekirde?in y?k? elektronlar?n toplam y?k?ne e?ittir, yani ?ekirde?in etraf?nda d?nmesi gerekir. Z elektronlar.

bir hidrojen atomu ve hidrojen benzeri sistemler- bunlar Ze y?kl? bir ?ekirdek ve bir elektrondan olu?an sistemlerdir (?rne?in, He +, Li 2+ iyonlar?).

Bir hidrojen atomu i?in bir elektronun enerji seviyeleri sorununun ??z?m? (ve hidrojen benzeri sistemler: helyum iyonu He + , ?ift iyonize lityum Li + +, vb.) ?ekirde?in Coulomb alan?.

Bir elektronun y?kl? bir ?ekirdekle etkile?iminin potansiyel enerjisi Z(bir hidrojen atomu i?in Z=1),

nerede r elektron ile ?ekirdek aras?ndaki uzakl?kt?r. Grafiksel i?lev sen(r), ?ekil 2'de kal?n e?ri ile g?sterilmi?tir. 6, azal?rken sonsuz azalan (artan. modulo) r yani bir elektron ?ekirde?e yakla?t???nda.

Bir hidrojen atomundaki bir elektronun durumu, (1) de?erini dikkate alarak dura?an Schr?dinger denklemini sa?layan dalga fonksiyonu PS ile tan?mlan?r:"

, (2)

nerede m elektronun k?tlesi, E bir atomdaki bir elektronun toplam enerjisidir.

Bu, VDPA'n?n hidrojen benzeri bir atomunun elektronu i?in s?zde dura?an Schr?dinger denklemidir.

1. Enerji. Diferansiyel denklemler teorisinde, (2) t?r?ndeki denklemlerin, yaln?zca enerji ?zde?erleri i?in dalga fonksiyonunun PS benzersizli?i, sonlulu?u ve s?reklili?i gereksinimlerini kar??layan ??z?mlere sahip oldu?u kan?tlanm??t?r.

(n= 1, 2, 3,…), (3)

yani, ayr? bir negatif enerji de?erleri k?mesi i?in.

B?ylece, sonsuz y?ksek "duvarlara" sahip bir "potansiyel kuyu" durumunda oldu?u gibi, hidrojen atomu i?in Schr?dinger denkleminin ??z?m?, ayr?k enerji seviyelerinin ortaya ??kmas?na yol a?ar. Olas? de?erler E 1 , E 2 , E 3, ... ?ek. 6 yatay ?izgiler olarak. en d???k seviye E 1 m?mk?n olan minimum enerjiye kar??l?k gelir, - temel, ba?ka ( E n >E 1 , n = 2, 3,…) – heyecanl?. saat E < 0 движение электрона является ili?kili hiperbolik bir "potansiyel kuyusu" i?indedir. ?ekilden, ana kuantum say?s? artt?k?a P enerji seviyeleri daha yak?n aral?kl?d?r n=? E ? = 0. Ne zaman E> 0 bir elektronun hareketi Bedava; s?rekli b?lge E >0(?ekil 6'da g?lgeli) iyonize atom. Bir hidrojen atomunun iyonla?ma enerjisi,

E ben = - E 1 = ben 4 / (8h 2 e 0 2) = 13,55 eV.

2. Kuantum say?lar?. Kuantum mekani?inde, Schr?dinger denkleminin (2) ?zfonksiyonlar taraf?ndan sa?land??? kan?tlanm??t?r. , ?? kuantum say?s?yla belirlenir: ana P, orbital ben ve manyetik m l .

(3)'e g?re ana kuantum say?s? n, bir atomdaki bir elektronun enerji seviyelerini belirler ve birden ba?layarak herhangi bir tamsay? de?eri alabilir: