Matematikadagi ba'zi muammolar kvadrat ildizning qiymatini hisoblash qobiliyatini talab qiladi. Bunday masalalarga ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish kiradi. Ushbu maqolada biz kvadrat ildizlarni hisoblashning samarali usulini taqdim etamiz va kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar bilan ishlashda foydalanamiz.

Kvadrat ildiz nima?

Matematikada bu tushuncha ? belgisiga mos keladi. Tarixiy ma'lumotlarga ko'ra, u birinchi marta 16-asrning birinchi yarmida Germaniyada ishlatilgan (Kristof Rudolfning algebra bo'yicha birinchi nemis asari). Olimlarning fikriga ko'ra, ramz o'zgartirilgan lotin harfi r (radix lotincha "ildiz" degan ma'noni anglatadi).

Har qanday sonning ildizi kvadrati radikal ifodaga mos keladigan qiymatga teng. Matematika tilida bu ta'rif quyidagicha ko'rinadi: ?x = y, agar y 2 = x bo'lsa.

Ijobiy sonning ildizi (x > 0) ham musbat son (y > 0), lekin agar manfiy sonning ildizini olsangiz (x)< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Mana ikkita oddiy misol:

?9 = 3, chunki 3 2 = 9; ?(-9) = 3i, chunki i 2 = -1.

Kvadrat ildizlarning qiymatlarini topish uchun Heronning iterativ formulasi

Yuqoridagi misollar juda oddiy va ulardagi ildizlarni hisoblash qiyin emas. Hatto natural sonning kvadrati sifatida ifodalab bo'lmaydigan har qanday qiymatning ildiz qiymatlarini topishda ham qiyinchiliklar paydo bo'la boshlaydi, masalan, ?10, ?11, ?12, ?13, amalda bu haqiqatni inobatga olmaganda. butun son bo'lmagan sonlarning ildizlarini topish uchun zarur: masalan ?(12.15), ?(8.5) va hokazo.

Yuqoridagi barcha holatlarda kvadrat ildizni hisoblash uchun maxsus usuldan foydalanish kerak. Hozirgi vaqtda bunday usullarning bir nechtasi ma'lum: masalan, Teylor seriyasini kengaytirish, ustunlarni bo'lish va boshqalar. Ma'lum bo'lgan barcha usullardan, ehtimol, eng sodda va eng samaralisi Heronning iterativ formulasidan foydalanish bo'lib, u Kvadrat ildizlarni aniqlashning Bobil usuli sifatida ham tanilgan (qadimgi bobilliklar o'zlarining amaliy hisob-kitoblarida undan foydalanganliklari haqida dalillar mavjud).

?x qiymatini aniqlash zarur bo'lsin. Kvadrat ildizni topish formulasi quyidagicha:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), bunda lim n->? (a n) => x.

Keling, ushbu matematik yozuvni hal qilaylik. ?x ni hisoblash uchun siz ma'lum bir 0 raqamini olishingiz kerak (u o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin, ammo natijani tezda olish uchun uni (a 0) 2 imkon qadar x ga yaqin bo'lishi uchun tanlashingiz kerak. Keyin uni o'rniga qo'ying. kvadrat ildizni hisoblash uchun ko'rsatilgan formuladan foydalaning va yangi a 1 raqamini oling, bu allaqachon kerakli qiymatga yaqinroq bo'ladi. Shundan so'ng siz ifodaga 1 ni qo'yishingiz va 2 ni olishingiz kerak. Ushbu protsedura kerakli qiymatgacha takrorlanishi kerak aniqlik olinadi.

Heronning iterativ formulasidan foydalanishga misol

Berilgan raqamning kvadrat ildizini olish uchun yuqorida tavsiflangan algoritm ko'pchilik uchun juda murakkab va chalkash tuyulishi mumkin, lekin aslida hamma narsa ancha sodda bo'lib chiqadi, chunki bu formula juda tez birlashadi (ayniqsa, agar muvaffaqiyatli raqam 0 tanlangan bo'lsa) .

Oddiy misol keltiraylik: ?11 ni hisoblashingiz kerak. 0 = 3 ni tanlaymiz, chunki 3 2 = 9, 4 2 = 16 dan ko'ra 11 ga yaqinroqdir. Formulani almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Hisob-kitoblarni davom ettirishning ma'nosi yo'q, chunki biz 2 va 3 raqamlari faqat beshinchi kasrda farq qila boshlaganini aniqladik. Shunday qilib, 0,0001 aniqlik bilan ?11 ni hisoblash uchun formulani faqat 2 marta qo'llash kifoya edi.

Hozirgi vaqtda kalkulyatorlar va kompyuterlar ildizlarni hisoblash uchun keng qo'llaniladi, ammo ularning aniq qiymatini qo'lda hisoblash imkoniyatiga ega bo'lish uchun belgilangan formulani eslab qolish foydalidir.

Ikkinchi tartibli tenglamalar

Kvadrat ildiz nima ekanligini tushunish va uni hisoblash qobiliyati kvadrat tenglamalarni yechishda qo'llaniladi. Ushbu tenglamalar bitta noma'lum tenglik deb ataladi, ularning umumiy shakli quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Bu erda c, b va a ba'zi raqamlarni ifodalaydi va a nolga teng bo'lmasligi kerak va c va b qiymatlari butunlay ixtiyoriy bo'lishi mumkin, shu jumladan nolga teng.

Rasmda ko'rsatilgan tenglikni qondiradigan x ning har qanday qiymatlari uning ildizlari deb ataladi (bu tushunchani kvadrat ildiz ? bilan aralashtirib yubormaslik kerak). Ko'rib chiqilayotgan tenglama 2-tartibli (x 2) bo'lgani uchun, u uchun ikkitadan ortiq ildiz bo'lishi mumkin emas. Keling, ushbu ildizlarni qanday topishni maqolada ko'rib chiqaylik.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish (formula)

Ko'rib chiqilayotgan tenglik turini yechishning bu usuli universal usul yoki diskriminant usuli deb ham ataladi. U har qanday kvadrat tenglamalar uchun ishlatilishi mumkin. Kvadrat tenglamaning diskriminanti va ildizlari formulasi quyidagicha:

Bu shuni ko'rsatadiki, ildizlar tenglamaning uchta koeffitsientining har birining qiymatiga bog'liq. Bundan tashqari, x 1 ni hisoblash x 2 ni hisoblashdan faqat kvadrat ildiz oldidagi belgi bilan farq qiladi. b 2 - 4ac ga teng bo'lgan radikal ifoda ko'rib chiqilayotgan tenglikning diskriminantidan boshqa narsa emas. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidagi diskriminant muhim rol o'ynaydi, chunki u yechimlar soni va turini aniqlaydi. Demak, agar u nolga teng bo'lsa, u holda faqat bitta yechim bo'ladi, agar u musbat bo'lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi va nihoyat, manfiy diskriminant ikkita murakkab ildiz x 1 va x 2 ga olib keladi.

Vyeta teoremasi yoki ikkinchi tartibli tenglamalar ildizlarining ayrim xossalari

16-asr oxirida zamonaviy algebra asoschilaridan biri frantsuz ikkinchi tartibli tenglamalarni o'rganib, uning ildizlarining xususiyatlarini olishga muvaffaq bo'ldi. Matematik jihatdan ularni quyidagicha yozish mumkin:

x 1 + x 2 = -b / a va x 1 * x 2 = c / a.

Ikkala tenglikni ham har kim osongina olishi mumkin, buning uchun siz diskriminant bilan formula orqali olingan ildizlar bilan tegishli matematik operatsiyalarni bajarishingiz kerak.

Bu ikki ifodaning birikmasini haqli ravishda kvadrat tenglamaning ildizlari uchun ikkinchi formula deb atash mumkin, bu esa diskriminantdan foydalanmasdan uning yechimlarini taxmin qilish imkonini beradi. Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, har ikkala ifoda ham har doim o'rinli bo'lsa-da, faqat uni koeffitsientlarga ajratish mumkin bo'lsa, ulardan tenglamani echishda foydalanish qulay.

Olingan bilimlarni mustahkamlash vazifasi

Keling, maqolada muhokama qilingan barcha usullarni namoyish etadigan matematik muammoni hal qilaylik. Muammoning shartlari quyidagicha: ko'paytmasi -13 va yig'indisi 4 ga teng bo'lgan ikkita raqamni topishingiz kerak.

Bu holat bizga Vyeta teoremasini darhol eslatadi; kvadrat ildizlar va ularning hosilasi yig'indisi formulalaridan foydalanib, biz yozamiz:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Agar a = 1 deb faraz qilsak, b = -4 va c = -13. Ushbu koeffitsientlar bizga ikkinchi tartibli tenglamani yaratishga imkon beradi:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Diskriminant bilan formuladan foydalanamiz va quyidagi ildizlarni olamiz:

x 1,2 = (4 ± ?D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Ya'ni, muammo ?68 raqamini topishga qisqartirildi. E'tibor bering, 68 = 4 * 17, keyin kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: ?68 = 2?17.

Endi ko'rib chiqilgan kvadrat ildiz formulasidan foydalanamiz: a 0 = 4, keyin:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) = 4.1231.

3 ni hisoblashning hojati yo'q, chunki topilgan qiymatlar atigi 0,02 ga farq qiladi. Shunday qilib, ?68 = 8,246. Uni x 1,2 formulasiga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 va x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Ko'rib turganimizdek, topilgan raqamlarning yig'indisi haqiqatan ham 4 ga teng, lekin agar ularning mahsulotini topsak, u -12,999 ga teng bo'ladi, bu esa 0,001 aniqlik bilan masala shartlarini qanoatlantiradi.

Ushbu matematik dastur yordamida siz kvadrat tenglamani yechish.

Dastur nafaqat muammoga javob beradi, balki hal qilish jarayonini ikki shaklda ko'rsatadi:
- diskriminantdan foydalanish
- Vyeta teoremasidan foydalanish (agar iloji bo'lsa).

Bundan tashqari, javob taxminiy emas, balki aniq ko'rsatiladi.
Masalan, \(81x^2-16x-1=0\) tenglamasi uchun javob quyidagi shaklda ko'rsatiladi:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ va bu kabi emas: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ushbu dastur umumta'lim maktablarining o'rta maktab o'quvchilari uchun test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinovdan o'tkazishda va ota-onalar uchun matematika va algebra fanlaridan ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilishda foydali bo'lishi mumkin. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki matematika yoki algebra uy vazifasini imkon qadar tezroq bajarishni xohlaysizmi? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning aka-ukalaringiz yoki opa-singillaringizni o'qitishingiz va/yoki o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga muammolarni hal qilish sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Agar kvadrat polinomni kiritish qoidalari bilan tanish bo'lmasangiz, ular bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Kvadrat polinomni kiritish qoidalari

Har qanday lotin harfi o'zgaruvchi sifatida harakat qilishi mumkin.
Masalan: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) va hokazo.

Raqamlar butun yoki kasr sonlar sifatida kiritilishi mumkin.
Bundan tashqari, kasr raqamlari nafaqat o'nli kasr shaklida, balki oddiy kasr shaklida ham kiritilishi mumkin.

O'nli kasrlarni kiritish qoidalari.
O'nli kasrlarda kasr qismini butun qismdan nuqta yoki vergul bilan ajratish mumkin.
Masalan, o'nli kasrlarni quyidagicha kiritishingiz mumkin: 2,5x - 3,5x^2

Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.
Faqat butun son kasrning ayiruvchisi, maxraji va butun qismi vazifasini bajara oladi.

Maxraj manfiy bo'lishi mumkin emas.

Raqamli kasrni kiritishda hisoblagich maxrajdan bo'linish belgisi bilan ajratiladi: /
Butun qism kasrdan ampersand belgisi bilan ajratiladi: &
Kirish: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Natija: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Ifodani kiritishda qavslardan foydalanishingiz mumkin. Bunda kvadrat tenglamani yechishda birinchi navbatda kiritilgan ifoda soddalashtiriladi.
Masalan: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Qaror qiling

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda AdBlock yoqilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar Siz yechimdagi xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Esdan chiqarma qaysi vazifani ko'rsating nimani hal qilasiz maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Kvadrat tenglama va uning ildizlari. Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Har bir tenglama
\(-x^2+6x+1,4=0, \to'rt 8x^2-7x=0, \to'rtlik x^2-\frac(4)(9)=0 \)
kabi ko'rinadi
\(ax^2+bx+c=0, \)
bu erda x - o'zgaruvchi, a, b va c - sonlar.
Birinchi tenglamada a = -1, b = 6 va c = 1,4, ikkinchisida a = 8, b = -7 va c = 0, uchinchisida a = 1, b = 0 va c = 4/9. Bunday tenglamalar deyiladi kvadrat tenglamalar.

Ta'rif.
Kvadrat tenglama ax 2 +bx+c=0 ko'rinishdagi tenglama deyiladi, bu erda x - o'zgaruvchi, a, b va c - ba'zi sonlar va \(a \neq 0 \).

a, b va c raqamlari kvadrat tenglamaning koeffitsientlari. a soni birinchi koeffitsient, b soni ikkinchi koeffitsient, c soni esa erkin atama deyiladi.

ax 2 +bx+c=0 ko'rinishdagi tenglamalarning har birida, bu erda \(a\neq 0\), x o'zgaruvchining eng katta kuchi kvadratdir. Shuning uchun nom: kvadrat tenglama.

E'tibor bering, kvadrat tenglama ikkinchi darajali tenglama deb ham ataladi, chunki uning chap tomoni ikkinchi darajali ko'phaddir.

X 2 koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi berilgan kvadrat tenglama. Masalan, berilgan kvadrat tenglamalar tenglamalardir
\(x^2-11x+30=0, \to'rtlik x^2-6x=0, \to'rtlik x^2-8=0 \)

Agar kvadrat tenglamada ax 2 +bx+c=0 hech bo'lmaganda b yoki c koeffitsientlaridan biri nolga teng bo'lsa, bunday tenglama deyiladi. to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama. Demak, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 tenglamalar to?liq bo?lmagan kvadrat tenglamalardir. Ularning birinchisida b=0, ikkinchisida c=0, uchinchisida b=0 va c=0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning uch turi mavjud:
1) ax 2 +c=0, bu erda \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, bu erda \(b \neq 0 \);
3) bolta 2 =0.

Keling, ushbu turlarning har birining tenglamalarini echishni ko'rib chiqaylik.

\(c \neq 0 \) uchun ax 2 +c=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechish uchun uning bo'sh hadini o'ng tomonga o'tkazing va tenglamaning ikkala tomonini a ga bo'ling:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \O'ng strelka x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Chunki \(c \neq 0 \), keyin \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Agar \(-\frac(c)(a)>0\), u holda tenglamaning ikkita ildizi bor.

Agar \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani \(b \neq 0 \) ko'paytiruvchi bilan yechish va tenglamani olish
\(x(ax+b)=0 \O'ngga \chap\( \begin(massiv)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(massiv) \o'ng. \O'ngga \chap\( \boshlang) (massiv)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(massiv) \o?ng.\)

Demak, \(b \neq 0 \) uchun ax 2 +bx=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama har doim ikkita ildizga ega bo'ladi.

ax 2 =0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama x 2 =0 tenglamaga ekvivalent va shuning uchun bitta ildiz 0 ga ega.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Keling, noma'lumlarning koeffitsientlari ham, erkin hadlari ham nolga teng bo'lmagan kvadrat tenglamalarni qanday yechish kerakligini ko'rib chiqamiz.

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yechamiz va natijada ildizlar formulasini olamiz. Bu formuladan keyin har qanday kvadrat tenglamani yechish uchun foydalanish mumkin.

ax 2 +bx+c=0 kvadrat tenglamani yeching

Ikkala tomonni a ga bo'lib, ekvivalent qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Keling, binomialning kvadratini tanlab, bu tenglamani o'zgartiramiz:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\o'ng)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \O'ng strelka \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\o'ng)^2 = \left(\frac(b)(2a)\o'ng)^ 2 - \frac(c)(a) \O'ng strelka \) \(\chap(x+\frac(b)(2a)\o'ng)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \O'ngga \chap(x+\frac(b)(2a)\o'ng)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \O'ngga \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \O'ng strelka x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \O'ng strelka \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikal ifoda deyiladi kvadrat tenglamaning diskriminanti ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” lotincha – diskriminator). U D harfi bilan belgilanadi, ya'ni.
\(D = b^2-4ac\)

Endi diskriminant yozuvidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani qayta yozamiz:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), bu erda \(D= b^2-4ac \)

Ko'rinib turibdiki:
1) Agar D>0 bo'lsa, kvadrat tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi.
2) Agar D=0 bo?lsa, kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo?ladi \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Agar D Shunday qilib, diskriminantning qiymatiga qarab, kvadrat tenglama ikkita ildizga (D > 0 uchun), bitta ildizga (D = 0 uchun) ega bo'lishi mumkin yoki hech qanday ildizga ega bo'lmasligi mumkin (D uchun Kvadrat tenglamani bu yordamida yechishda. formula bo'yicha quyidagi yo'lni bajarish tavsiya etiladi:
1) diskriminantni hisoblang va uni nolga solishtiring;
2) diskriminant musbat yoki nolga teng bo'lsa, ildiz formulasidan foydalaning; agar diskriminant manfiy bo'lsa, unda ildizlar yo'qligini yozing.

Vyeta teoremasi

Berilgan ax 2 -7x+10=0 kvadrat tenglamaning ildizlari 2 va 5. Ildizlarning yig‘indisi 7, ko‘paytmasi 10. Ko‘ramizki, ildizlar yig‘indisi ikkinchi koeffitsientga teskarisi bilan olingan. belgisi, ildizlarning hosilasi esa erkin terminga teng. Ildizlari bo'lgan har qanday qisqartirilgan kvadrat tenglama bu xususiyatga ega.

Yuqoridagi kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga teng.

Bular. Vyeta teoremasi x 2 +px+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning x 1 va x 2 ildizlari quyidagi xossaga ega ekanligini aytadi:
\(\left\( \begin(massiv)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(massiv) \o'ng. \)

Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz " tenglamalarni yechish" Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan tanishdik va ular bilan tanishishga o'tamiz kvadrat tenglamalar.

Birinchidan, kvadrat tenglama nima ekanligini, u umumiy shaklda qanday yozilishini ko'rib chiqamiz va tegishli ta'riflarni beramiz. Shundan so'ng, biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini batafsil tekshirish uchun misollardan foydalanamiz. Keyinchalik, biz to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildiz formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz. Nihoyat, ildizlar va koeffitsientlar orasidagi bog'lanishlarni kuzatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari

Avval kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglamalar haqida suhbatni kvadrat tenglamaning ta'rifi, shuningdek, tegishli ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va qisqartirilmagan, shuningdek to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.

Kvadrat tenglamalarning ta’rifi va misollari

Ta'rif.

Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir a x 2 +b x+c=0, bu erda x - o'zgaruvchi, a, b va c - ba'zi sonlar, a esa nolga teng emas.

Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deb ataladi. Bu kvadrat tenglamaning bo'lishi bilan bog'liq algebraik tenglama ikkinchi daraja.

Belgilangan ta'rif kvadrat tenglamalarga misollar keltirish imkonini beradi. Demak, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 va hokazo. Bular kvadrat tenglamalar.

Ta'rif.

Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a·x 2 +b·x+c=0, va a koeffitsienti birinchi yoki eng yuqori deyiladi yoki x 2 koeffitsienti, b ikkinchi koeffitsient yoki x koeffitsienti, c esa erkin haddir. .

Masalan, 5 x 2 -2 x -3=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani olaylik, bu yerda yetakchi koeffitsient 5 ga, ikkinchi koeffitsient -2 ga, erkin had esa -3 ga teng. Iltimos, shuni yodda tutingki, b va/yoki c koeffitsientlari manfiy bo'lganda, yuqoridagi misoldagi kabi, kvadrat tenglamaning qisqa shakli 5 x 2 +(-2 ) emas, balki 5 x 2 -2 x-3=0 ni tashkil qiladi. ·x+(-3)=0 .

Shuni ta'kidlash kerakki, a va/yoki b koeffitsientlari 1 yoki -1 ga teng bo'lganda, ular odatda kvadrat tenglamada aniq mavjud emas, bu bunday yozishning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Masalan, y 2 -y+3=0 kvadrat tenglamada yetakchi koeffitsient bitta, y koeffitsienti esa -1 ga teng.

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Etakchi koeffitsientning qiymatiga qarab qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalar farqlanadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi berilgan kvadrat tenglama. Aks holda kvadrat tenglama bo'ladi tegmagan.

Bu ta'rifga ko?ra kvadrat tenglamalar x 2 -3·x+1=0, x 2 -x-2/3=0 va hokazo. – berilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient birga teng. 5 x 2 -x-1=0 va hokazo. - qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar, ularning yetakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamadan ikkala tomonni etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent o'zgartirishdir, ya'ni shu yo'l bilan olingan qisqartirilmagan kvadrat tenglama boshlang'ich qisqartirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash hech qanday ildizga ega emas.

Keling, qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilgan tenglamaga o'tish qanday amalga oshirilishiga misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

3 x 2 +12 x-7=0 tenglamadan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.

Yechim.

Biz faqat dastlabki tenglamaning ikkala tomonini etakchi koeffitsient 3 ga bo'lishimiz kerak, u nolga teng emas, shuning uchun biz bu amalni bajarishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 +12 x-7):3=0:3 bor, bu bir xil, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0, keyin esa (3: 3) x 2 +(12:3) x-7:3=0, bu yerdan. Shunday qilib biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik, bu asl tenglamaga teng.

Javob:

To'liq va to'liqsiz kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamaning ta'rifi a?0 shartini o'z ichiga oladi. Bu shart a x 2 + b x + c = 0 tenglama kvadratik bo'lishi uchun zarur, chunki a = 0 bo'lganda u haqiqatda b x + c = 0 ko'rinishdagi chiziqli tenglamaga aylanadi.

b va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama to'liqsiz deb ataladi.

Ta'rif.

a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz, agar b, c koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lsa.

O'z navbatida

Ta'rif.

To‘liq kvadrat tenglama barcha koeffitsientlari noldan farq qiladigan tenglamadir.

Bunday nomlar tasodifan berilmagan. Bu keyingi muhokamalardan oydinlashadi.

Agar b koeffitsienti nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama a·x 2 +0·x+c=0 ko'rinishini oladi va u a·x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Agar c=0 bo'lsa, ya'ni kvadrat tenglama a·x 2 +b·x+0=0 ko'rinishga ega bo'lsa, uni a·x 2 +b·x=0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Va b=0 va c=0 bilan a·x 2 =0 kvadrat tenglamani olamiz. Hosil bo?lgan tenglamalar to?liq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x o?zgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Shuning uchun ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Demak, x 2 +x+1=0 va -2 x 2 -5 x+0,2=0 tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamalarga misol bo‘ladi va x 2 =0, -2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , -x 2 -5 x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Oldingi banddagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, mavjud to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning uch turi:

• a·x 2 =0, unga b=0 va c=0 koeffitsientlari mos keladi;
• b=0 bo'lganda a x 2 +c=0;
• va c=0 bo'lganda ax·x 2 +b·x=0.

Keling, ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari qanday yechilishini tartibda ko'rib chiqaylik.

a x 2 = 0

b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni, ya'ni a x 2 =0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan yechishdan boshlaylik. a·x 2 =0 tenglama har ikki qismni nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish yo'li bilan asl nusxadan olingan x 2 =0 tenglamaga ekvivalentdir. Shubhasiz, x 2 =0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 =0. Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, bu har qanday nolga teng bo'lmagan p soni uchun p 2 >0 tengsizlik o'rinli ekanligi bilan izohlanadi, ya'ni p?0 uchun p 2 =0 tengligiga hech qachon erishilmaydi.

Demak, a·x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning bitta ildizi x=0.

Misol tariqasida -4 x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning yechimini beramiz. U x 2 =0 tenglamaga ekvivalent, uning yagona ildizi x=0, demak, dastlabki tenglamaning bitta ildizi nolga ega.

Bu holda qisqacha yechim quyidagicha yozilishi mumkin:
-4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Endi b koeffitsienti nolga teng va c?0 bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar, ya'ni a x 2 +c=0 ko'rinishdagi tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz. Bizga ma’lumki, hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga qarama-qarshi ishorali ko‘chirish, shuningdek, tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo‘lmagan songa bo‘lish ekvivalent tenglamani beradi. Demak, a x 2 +c=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani quyidagi ekvivalent o‘zgartirishlarni amalga oshirishimiz mumkin:

• c ni o'ng tomonga siljiting, bu a x 2 =-c tenglamani beradi,
• va ikkala tomonni a ga bo'lamiz, olamiz.

Olingan tenglama uning ildizlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. a va c qiymatlariga qarab, ifodaning qiymati manfiy (masalan, a=1 va c=2 bo‘lsa) yoki ijobiy (masalan, a=-2 va c=6 bo‘lsa) bo‘lishi mumkin. u holda ), u nolga teng emas, chunki c?0 sharti bilan. Keling, holatlarni alohida ko'rib chiqaylik.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q. Bu gap har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachon bo'lsa, u holda har qanday p soni uchun tenglik to'g'ri bo'la olmaydi.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha. Bunday holda, agar biz haqida eslasak, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi; bu raqam, chunki . Raqam tenglamaning ildizi ham ekanligini taxmin qilish oson, albatta. Bu tenglama, masalan, qarama-qarshilik bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan boshqa ildizlarga ega emas. Keling buni bajaramiz.

Hozirgina e'lon qilingan tenglamaning ildizlarini x 1 va -x 1 deb belgilaymiz. Aytaylik, tenglamaning ko'rsatilgan x 1 va -x 1 ildizlaridan farqli yana bitta x 2 ildizi bor. Ma'lumki, uning ildizlarini x o'rniga tenglamaga qo'yish tenglamani to'g'ri sonli tenglikka aylantiradi. x 1 va -x 1 uchun bizda , x 2 uchun esa . Raqamli tengliklarning xossalari to'g'ri sonli tengliklarni davr bo'yicha ayirishni bajarishga imkon beradi, shuning uchun tengliklarning tegishli qismlarini ayirish x 1 2 -x 2 2 =0 ni hosil qiladi. Raqamlar bilan amallar xossalari hosil bo‘lgan tenglikni (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Biz bilamizki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa va faqat. Demak, natijaviy tenglikdan x 1 -x 2 =0 va/yoki x 1 +x 2 =0, ya’ni bir xil, x 2 =x 1 va/yoki x 2 =-x 1 kelib chiqadi. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, chunki boshida biz x 2 tenglamaning ildizi x 1 va -x 1 dan farq qiladi deb aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.

Keling, ushbu paragrafdagi ma'lumotlarni umumlashtiramiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent.

• ildizlari yo'q, agar,
• ikkita ildizga ega va agar .

a·x 2 +c=0 ko`rinishdagi to`liqsiz kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko`rib chiqamiz.

9 x 2 +7=0 kvadrat tenglamadan boshlaylik. Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9 x 2 =-7 ko'rinishini oladi. Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lib, ga erishamiz. O'ng tomon manfiy raqamga ega bo'lgani uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun 9 x 2 +7 = 0 asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

Yana -x 2 +9=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani yechamiz. To'qqizni o'ng tomonga o'tkazamiz: -x 2 =-9. Endi ikkala tomonni -1 ga bo'lamiz, biz x 2 =9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, undan biz yoki degan xulosaga kelamiz. Keyin yakuniy javobni yozamiz: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama -x 2 +9=0 ikkita ildizga ega x=3 yoki x=-3.

a x 2 +b x=0

c=0 uchun oxirgi turdagi to?liq bo?lmagan kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug?ullanish qoladi. a x 2 + b x = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar echishga imkon beradi. faktorizatsiya usuli. Shubhasiz, biz tenglamaning chap tomonida joylashgan bo'lishimiz mumkin, buning uchun umumiy koeffitsient x ni qavsdan chiqarish kifoya. Bu bizga dastlabki to?liq bo?lmagan kvadrat tenglamadan x·(a·x+b)=0 ko?rinishdagi ekvivalent tenglamaga o?tish imkonini beradi. Va bu tenglama x=0 va a·x+b=0 ikkita tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'lib, ikkinchisi chiziqli va x=-b/a ildizga ega.

Demak, a·x 2 +b·x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi x=0 va x=-b/a.

Materialni birlashtirish uchun biz ma'lum bir misolning echimini tahlil qilamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Yechim.

Qavs ichidan x ni olish tenglamani beradi. Bu x=0 va ikkita tenglamaga ekvivalentdir. Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani yechamiz: , va aralash sonni oddiy kasrga bo‘lib, ni topamiz. Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari x=0 va .

Kerakli amaliyotni qo'lga kiritgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlarini qisqacha yozish mumkin:

Javob:

x=0, .

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ildiz formulasi mavjud. Keling, yozamiz kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi: , Qayerda D=b 2 -4 a c- deb atalmish kvadrat tenglamaning diskriminanti. Kirish asosan shuni anglatadi.

Ildiz formulasi qanday olinganligini va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda undan qanday foydalanishni bilish foydalidir. Keling, buni aniqlaylik.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Keling, ba'zi ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

• Bu tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lishimiz mumkin, natijada quyidagi kvadrat tenglama hosil bo'ladi.
• Hozir to'liq kvadratni tanlang uning chap tomonida: . Shundan so'ng, tenglama shaklni oladi.
• Ushbu bosqichda oxirgi ikki shartni qarama-qarshi belgi bilan o'ng tomonga o'tkazish mumkin, bizda .
• Va o'ng tarafdagi ifodani ham o'zgartiramiz: .

Natijada, biz a·x 2 +b·x+c=0 dastlabki kvadrat tenglamaga ekvivalent tenglamaga erishamiz.

Oldingi paragraflarda biz ko'rib chiqqanimizda, biz o'xshash tenglamalarni allaqachon hal qilganmiz. Bu bizga tenglamaning ildizlari bo'yicha quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi:

• bo'lsa, tenglamaning haqiqiy yechimlari yo'q;
• bo'lsa, u holda tenglama , shuning uchun, ko'rinishga ega bo'ladi, undan uning yagona ildizi ko'rinadi;
• agar , u holda yoki , yoki bilan bir xil, ya'ni tenglama ikkita ildizga ega.

Shunday qilib, tenglamaning ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi va shuning uchun dastlabki kvadrat tenglama o'ng tomondagi ifoda belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning ishorasi sonning belgisi bilan aniqlanadi, chunki maxraj 4·a 2 har doim musbat, ya'ni b 2 -4·a·c ifoda belgisi bilan belgilanadi. Bu b 2 -4 a c ifodasi chaqirildi kvadrat tenglamaning diskriminanti va xat bilan belgilanadi D. Bu erdan diskriminantning mohiyati aniq - uning qiymati va belgisiga asoslanib, ular kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlariga egami yoki yo'qmi, agar shunday bo'lsa, ularning soni qancha - bir yoki ikkita degan xulosaga kelishadi.

Keling, tenglamaga qaytaylik va uni diskriminant belgisi yordamida qayta yozamiz: . Va biz xulosa chiqaramiz:

• agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• agar D=0 bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega;
• nihoyat, agar D>0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega yoki, ularni yoki shaklida qayta yozish mumkin va kasrlarni kengaytirib, umumiy maxrajga keltirgandan so'ng, olamiz.

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ular quyidagicha ko'rinadi, bu erda D diskriminant D=b 2 -4·a·c formulasi bilan hisoblanadi.

Ularning yordami bilan musbat diskriminant bilan kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formula ham kvadrat tenglamaning yagona yechimiga mos keladigan ildizning bir xil qiymatini beradi. Va salbiy diskriminant bilan, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formuladan foydalanishga harakat qilganda, biz salbiy sonning kvadrat ildizini chiqarishga duch kelamiz, bu bizni maktab o'quv dasturi doirasidan tashqariga olib chiqadi. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat ildizlar, biz olingan bir xil ildiz formulalari yordamida topish mumkin.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Amalda, kvadrat tenglamalarni yechishda, ularning qiymatlarini hisoblash uchun darhol ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish bilan ko'proq bog'liq.

Biroq, maktab algebra kursida odatda shunday bo'ladi haqida gapiramiz murakkab haqida emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni qo'llashdan oldin, avval diskriminantni topib, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish tavsiya etiladi (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin), va shundan keyingina ildizlarning qiymatlarini hisoblang.

Yuqoridagi mulohazalar bizga yozishga imkon beradi kvadrat tenglamani yechish algoritmi. a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglamani yechish uchun quyidagilar zarur:

• D=b 2 -4·a·c diskriminant formulasidan foydalanib, uning qiymatini hisoblang;
• agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
• formula yordamida tenglamaning yagona ildizini hisoblang, agar D=0;
• diskriminant musbat bo'lsa, ildiz formulasi yordamida kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.

Bu erda shuni ta'kidlaymizki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, siz formuladan ham foydalanishingiz mumkin; u bilan bir xil qiymatni beradi.

Kvadrat tenglamalarni yechish algoritmidan foydalanish misollariga o‘tishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Musbat, manfiy va nol diskriminantli uchta kvadrat tenglamaning yechimlarini ko'rib chiqamiz. Ularning yechimi bilan shug'ullanib, analogiya bo'yicha boshqa har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin bo'ladi. Keling, boshlaymiz.

Misol.

x 2 +2·x-6=0 tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Bu holda kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga ega bo'lamiz: a=1, b=2 va c=-6. Algoritmga ko'ra, siz avval diskriminantni hisoblashingiz kerak, buning uchun biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulasiga almashtiramiz, bizda mavjud D=b 2 -4·a·c=2 2 -4·1·(-6)=4+24=28. 28>0, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lgani uchun kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni ildiz formulasi yordamida topamiz, biz olamiz, bu erda hosil bo'lgan ifodalarni bajarish orqali soddalashtirishingiz mumkin multiplikatorni ildiz belgisidan tashqariga ko'chirish keyin fraktsiyaning kamayishi:

Javob:

Keling, keyingi odatiy misolga o'tamiz.

Misol.

-4 x 2 +28 x-49=0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D=28 2 -4·(-4)·(-49)=784-784=0. Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lib, biz uni quyidagicha topamiz, ya'ni,

Javob:

x=3,5.

Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalarni yechish masalasini ko'rib chiqish qoladi.

Misol.

5·y 2 +6·y+2=0 tenglamani yeching.

Yechim.

Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari: a=5, b=6 va c=2. Biz bu qiymatlarni diskriminant formulaga almashtiramiz, bizda bor D=b 2 -4·a·c=6 2 -4·5·2=36-40=-4. Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun taniqli formulani qo'llaymiz va bajaramiz. murakkab sonlar bilan amallar:

Javob:

haqiqiy ildizlar mavjud emas, murakkab ildizlar: .

Yana bir bor ta'kidlaymizki, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, maktabda ular odatda darhol haqiqiy ildizlar yo'qligini va murakkab ildizlar topilmasligini ko'rsatadigan javobni yozadilar.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi, bu yerda D=b 2 -4·a·c ixchamroq shakldagi formulani olish imkonini beradi, bu sizga kvadrat tenglamalarni x uchun teng koeffitsientli (yoki oddiygina a bilan) yechish imkonini beradi. 2·n ko'rinishga ega bo'lgan koeffitsient, masalan, 14· ln5=2·7·ln5). Keling, uni tashqariga chiqaraylik.

Aytaylik, a x 2 +2 n x+c=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Biz bilgan formuladan foydalanib uning ildizlarini topamiz. Buning uchun biz diskriminantni hisoblaymiz D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), va keyin biz ildiz formulasidan foydalanamiz:

n 2 -a c ifodasini D 1 deb belgilaymiz (ba’zan u D “ deb ham belgilanadi).Unda ikkinchi koeffitsienti 2 n bo‘lgan ko‘rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi ko‘rinishga ega bo‘ladi. , bu yerda D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1 yoki D 1 =D/4 ekanligini ko‘rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni, D 1 belgisi ham kvadrat tenglamaning ildizlari mavjudligi yoki yo'qligining ko'rsatkichidir.

Demak, ikkinchi koeffitsienti 2·n bo'lgan kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi

• D 1 =n 2 -a·c ni hisoblang;
• Agar D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Agar D 1 =0 bo'lsa, formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini hisoblang;
• Agar D 1 >0 bo'lsa, formuladan foydalanib ikkita haqiqiy ildizni toping.

Keling, ushbu paragrafda olingan ildiz formulasidan foydalanib, misolni hal qilishni ko'rib chiqaylik.

Misol.

5 x 2 -6 x -32=0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Bu tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2·(-3) shaklida ifodalanishi mumkin. Ya’ni, dastlabki kvadrat tenglamani 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, bu yerda a=5, n=-3 va c=-32 ko‘rinishda qayta yozib, to‘rtinchi qismini hisoblashingiz mumkin. diskriminant: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 -5·(-32)=9+160=169. Uning qiymati musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:

E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak bo'ladi.

Javob:

Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish

Ba'zan, formulalar yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblashni boshlashdan oldin, "Ushbu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi?" Degan savolni berish zarar qilmaydi. 1100 x 2 -400 x-600=0 ga qaraganda 11 x 2 -4 x-6=0 kvadrat tenglamani hisob-kitoblar nuqtai nazaridan yechish osonroq bo‘lishiga rozi bo‘ling.

Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish har ikki tomonni ma'lum songa ko'paytirish yoki bo'lish orqali erishiladi. Masalan, oldingi bandda 1100 x 2 -400 x -600=0 tenglamasini ikkala tomonni 100 ga bo‘lish orqali soddalashtirish mumkin edi.

Shunga o'xshash o'zgartirish koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar bilan amalga oshiriladi. Bunday holda, tenglamaning ikkala tomoni odatda uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlariga bo'linadi. Masalan, 12 x 2 -42 x+48=0 kvadrat tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo‘lsak, ekvivalent 2 x 2 -7 x+8=0 kvadrat tenglamaga erishamiz.

Va kvadrat tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarining maxrajlari bilan amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat tenglamaning ikkala tomoni LCM(6, 3, 1)=6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq x 2 +4·x-18=0 ko'rinishini oladi.

Ushbu fikrni yakunlab, shuni ta'kidlaymizki, ular deyarli har doim kvadrat tenglamaning eng yuqori koeffitsientidagi minusdan barcha a'zolarning belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'lishadi, bu ikkala tomonni -1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) bilan mos keladi. Masalan, odatda -2 x 2 -3 x+7=0 kvadrat tenglamadan 2 x 2 +3 x-7=0 yechimga o‘tadi.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari orqali ifodalaydi. Ildiz formulasiga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa munosabatlarni olishingiz mumkin.

Veta teoremasidan eng mashhur va qo'llaniladigan formulalar va shakldadir. Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi ikkinchi qarama-qarshi ishorali koeffitsientga, ildizlarning ko‘paytmasi esa erkin hadga teng. Masalan, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 kvadrat tenglamaning ko'rinishiga qarab, darhol uning ildizlari yig'indisi 7/3 ga, ildizlarning ko'paytmasi esa 22 ga teng ekanligini aytishimiz mumkin. /3.

Oldindan yozilgan formulalardan foydalanib, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bir qator boshqa bog'lanishlarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini uning koeffitsientlari orqali ifodalash mumkin: .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati mutlaqo zarur.

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bunda a, b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar, a ? 0 bo'ladi.

Muayyan yechim usullarini o'rganishdan oldin, barcha kvadrat tenglamalarni uchta sinfga bo'lish mumkinligini unutmang:

1. Ildizlari yo'q;
2. Aynan bitta ildizga ega bo'ling;
3. Ular ikki xil ildizga ega.

Bu kvadrat tenglamalar va chiziqli tenglamalar o'rtasidagi muhim farq, bu erda ildiz har doim mavjud va noyobdir. Tenglamaning nechta ildizi borligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin.U holda diskriminant oddiygina D = b 2 - 4ac soni bo'ladi.

Ushbu formulani yoddan bilishingiz kerak. Endi u qaerdan kelgani muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminant belgisi bilan kvadrat tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlashingiz mumkin. Aynan:

1. Agar D< 0, корней нет;
2. Agar D = 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
3. Agar D > 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

Iltimos, diqqat qiling: diskriminant ildizlarning sonini ko'rsatadi, ammo ularning belgilari emas, chunki ko'pchilik negadir ishonadi. Misollarni ko'rib chiqing va siz hamma narsani o'zingiz tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar nechta ildizga ega:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Demak, diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani xuddi shunday tahlil qilamiz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Qolgan oxirgi tenglama:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminant nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, zerikarli, lekin siz ziddiyatlarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz uchun tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz o'zingizni tushunsangiz, bir muncha vaqt o'tgach, barcha koeffitsientlarni yozishingiz shart emas. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Aksariyat odamlar buni 50-70 ta echilgan tenglamadan keyin biror joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadrat tenglamaning ildizlari

Endi yechimning o'ziga o'taylik. Diskriminant D > 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun asosiy formula

D = 0 bo'lganda, siz ushbu formulalarning har qandayidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil raqamni olasiz, bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 = 0 => a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 => tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 - 2x - x 2 = 0 => a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 => tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \o'ng))=3. \\ \end (tekislash)\]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 = 0 => a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 => tenglama bitta ildizga ega. Har qanday formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblasangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha, formulaga salbiy koeffitsientlarni almashtirishda xatolar yuzaga keladi. Bu erda yana yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulaga tom ma'noda qarang, har bir qadamni yozing - va juda tez orada siz xatolardan xalos bo'lasiz.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Shunday bo'ladiki, kvadrat tenglama ta'rifda berilganidan biroz farq qiladi. Masalan:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Bu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini payqash oson. Bunday kvadrat tenglamalarni echish standart tenglamalarga qaraganda osonroq: ular hatto diskriminantni hisoblashni ham talab qilmaydi. Shunday qilib, keling, yangi kontseptsiyani kiritamiz:

ax 2 + bx + c = 0 tenglama, agar b = 0 yoki c = 0 bo'lsa, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementning koeffitsienti nolga teng.

Albatta, bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lganda juda qiyin holat mumkin: b = c = 0. Bu holda, tenglama ax 2 = 0 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bitta ildizga ega: x. = 0.

Keling, qolgan holatlarni ko'rib chiqaylik. b = 0 bo'lsin, u holda ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz. Uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetik kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan sonda mavjud bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik faqat (-c /a) >= 0 uchun ma'noga ega. Xulosa:

1. Agar ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamada (-c /a) >= 0 tengsizlik qanoatlansa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
2. Agar (-c /a)< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant kerak emas edi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda murakkab hisoblar umuman yo'q. Darhaqiqat, (-c /a) >= 0 tengsizligini eslash ham shart emas. X 2 qiymatini ifodalash va tenglik belgisining boshqa tomonida nima borligini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Agar u salbiy bo'lsa, unda hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi erkin element nolga teng ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Polinomni faktorga kiritish kifoya:

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqarish

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu ildizlar qaerdan keladi. Xulosa qilib, keling, ushbu tenglamalardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Kvadrat tenglamalarni yeching:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 => x · (x - 7) = 0 => x 1 = 0; x 2 = -(-7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 => 5x 2 = -30 => x 2 = -6. Hech qanday ildiz yo'q, chunki kvadrat manfiy songa teng bo'lishi mumkin emas.

4x 2 - 9 = 0 => 4x 2 = 9 => x 2 = 9/4 => x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Birinchi daraja

Kvadrat tenglamalar. Keng qamrovli qo?llanma (2019)

"Kvadrat tenglama" atamasida kalit so'z "kvadrat" dir. Bu shuni anglatadiki, tenglama majburiy ravishda o'zgaruvchi (xuddi shu x) kvadratni o'z ichiga olishi kerak va uchinchi (yoki katta) darajaga xes bo'lmasligi kerak.

Ko'p tenglamalarni yechish kvadrat tenglamalarni yechishga to'g'ri keladi.

Keling, bu boshqa tenglama emas, balki kvadrat tenglama ekanligini aniqlashni o'rganamiz.

1-misol.

Keling, maxrajdan qutulib, tenglamaning har bir hadini ga ko'paytiramiz

Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz va shartlarni X ning darajalarining kamayish tartibida joylashtiramiz

Endi biz ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu tenglama kvadratikdir!

2-misol.

Chap va o'ng tomonlarni ko'paytiring:

Bu tenglama, garchi dastlab unda bo'lsa ham, kvadrat emas!

3-misol.

Keling, hamma narsani ko'paytiramiz:

Qo'rqinchlimi? To'rtinchi va ikkinchi darajalar ... Ammo, agar biz almashtirsak, biz oddiy kvadrat tenglamaga ega ekanligimizni ko'ramiz:

4-misol.

U borga o'xshaydi, lekin keling, batafsilroq ko'rib chiqaylik. Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz:

Qarang, u qisqartirildi - va endi bu oddiy chiziqli tenglama!

Endi quyidagi tenglamalardan qaysi biri kvadratik, qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

Misollar:

Javoblar:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. kvadrat emas;
4. kvadrat emas;
5. kvadrat emas;
6. kvadrat;
7. kvadrat emas;
8. kvadrat.

Matematiklar shartli ravishda barcha kvadrat tenglamalarni quyidagi turlarga ajratadilar:

• To‘liq kvadrat tenglamalar- koeffitsientlari va, shuningdek, c erkin termini nolga teng bo'lmagan tenglamalar (misoldagi kabi). Bundan tashqari, to'liq kvadrat tenglamalar orasida berilgan- bu koeffitsient bo'lgan tenglamalar (birinchi misoldagi tenglama nafaqat to'liq, balki qisqartirilgan!)

• Tugallanmagan kvadrat tenglamalar- koeffitsienti va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglamalar:

  Ular to'liq emas, chunki ularda biron bir element etishmayapti. Lekin tenglama har doim x kvadratini o'z ichiga olishi kerak!!! Aks holda, u endi kvadrat tenglama emas, balki boshqa tenglama bo'ladi.

Nega ular bunday bo'linish bilan kelishdi? X kvadrati borga o'xshaydi va yaxshi. Bu bo'linish yechim usullari bilan aniqlanadi. Keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echishga e'tibor qarataylik - ular ancha sodda!

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning turlari mavjud:

1. , bu tenglamada koeffitsient teng.
2. , bu tenglamada erkin muddat ga teng.
3. , bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.

1. i. Kvadrat ildizni qanday olishni bilganimiz uchun, keling, ushbu tenglamadan ifodalaymiz

Ifoda salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirishda natija har doim ijobiy son bo'ladi, shuning uchun: agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q.

Va agar bo'lsa, biz ikkita ildiz olamiz. Bu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Asosiysi, siz bundan kam bo'lmasligini bilishingiz va doimo yodda tutishingiz kerak.

Keling, ba'zi misollarni hal qilishga harakat qilaylik.

5-misol:

Tenglamani yeching

Endi chap va o'ng tomondan ildizni olish qoladi. Axir, ildizlarni qanday chiqarishni eslaysizmi?

Javob:

Salbiy belgili ildizlar haqida hech qachon unutmang!!!

6-misol:

Tenglamani yeching

Javob:

7-misol:

Tenglamani yeching

Oh! Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama

ildiz yo'q!

Ildizlari bo'lmagan bunday tenglamalar uchun matematiklar maxsus belgi bilan kelishdi - (bo'sh to'plam). Va javobni quyidagicha yozish mumkin:

Javob:

Shunday qilib, bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega. Bu erda hech qanday cheklovlar yo'q, chunki biz ildizni chiqarmadik.
8-misol:

Tenglamani yeching

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

Shunday qilib,

Bu tenglamaning ikkita ildizi bor.

Javob:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning eng oddiy turi (garchi ularning barchasi oddiy bo'lsa-da, to'g'rimi?). Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Biz bu erda misollar bilan cheklanamiz.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish

Sizga eslatib o'tamizki, to'liq kvadrat tenglama bu erdagi tenglamaning tenglamasidir

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish ularga qaraganda biroz qiyinroq (birozgina).

Eslab qoling, Har qanday kvadrat tenglamani diskriminant yordamida yechish mumkin! Hatto to'liqsiz.

Boshqa usullar buni tezroq bajarishga yordam beradi, lekin kvadrat tenglamalar bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, avval diskriminant yordamida yechimni o'zlashtiring.

1. Kvadrat tenglamalarni diskriminant yordamida yechish.

Ushbu usul yordamida kvadrat tenglamalarni echish juda oddiy, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir.

Agar, u holda tenglama ildizga ega bo'lsa, siz bosqichga alohida e'tibor berishingiz kerak. Diskriminant () bizga tenglamaning ildizlari sonini bildiradi.

• Agar bo'lsa, unda qadamdagi formula ga qisqartiriladi. Shunday qilib, tenglama faqat ildizga ega bo'ladi.
• Agar, u holda biz qadamda diskriminantning ildizini chiqara olmaymiz. Bu tenglamaning ildizlari yo'qligini ko'rsatadi.

Keling, tenglamalarimizga qaytaylik va ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

9-misol:

Tenglamani yeching

1-qadam o'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Bu tenglamaning ikkita ildizi borligini anglatadi.

3-qadam.

Javob:

10-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama standart shaklda taqdim etiladi, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Demak, tenglama bitta ildizga ega.

Javob:

11-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama standart shaklda taqdim etiladi, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Bu biz diskriminantning ildizini ajratib ololmasligimizni anglatadi. Tenglamaning ildizlari yo'q.

Endi biz bunday javoblarni qanday qilib to'g'ri yozishni bilamiz.

Javob: ildizlari yo'q

2. Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish.

Esingizda bo'lsa, qisqartirilgan deb ataladigan tenglama turi mavjud (a koeffitsienti teng bo'lganda):

Bunday tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish juda oson:

Ildizlar yig'indisi berilgan kvadrat tenglama teng, ildizlarning hosilasi esa teng.

12-misol:

Tenglamani yeching

Bu tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin, chunki .

Tenglamaning ildizlari yig'indisi teng, ya'ni. birinchi tenglamani olamiz:

Va mahsulot teng:

Keling, tizimni tuzamiz va hal qilamiz:

• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Javob: ; .

13-misol:

Tenglamani yeching

Javob:

14-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama berilgan, ya'ni:

Javob:

KVADRATIK TENGLAMALAR. O'RTACHA DARAJASI

Kvadrat tenglama nima?

Boshqacha qilib aytganda, kvadrat tenglama ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bu erda - noma'lum, - ba'zi sonlar va.

Raqam eng yuqori yoki deyiladi birinchi koeffitsient kvadrat tenglama, - ikkinchi koeffitsient, A - bepul a'zo.

Nega? Chunki agar tenglama darhol chiziqli bo'lib qolsa, chunki yo'qoladi.

Bu holda va nolga teng bo'lishi mumkin. Ushbu kafedrada tenglama to'liq emas deb ataladi. Agar barcha shartlar joyida bo'lsa, ya'ni tenglama to'liq bo'ladi.

Har xil turdagi kvadrat tenglamalar yechimlari

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullari:

Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullarini ko'rib chiqaylik - ular oddiyroq.

Quyidagi turdagi tenglamalarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin:

I., bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.

II. , bu tenglamada koeffitsient teng.

III. , bu tenglamada erkin muddat ga teng.

Keling, ushbu kichik turlarning har birining echimini ko'rib chiqaylik.

Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirganda natija har doim ijobiy son bo'ladi. Shunung uchun:

agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q;

agar bizda ikkita ildiz bo'lsa

Bu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Esda tutish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, u kamroq bo'lishi mumkin emas.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Salbiy belgi bilan ildizlar haqida hech qachon unutmang!

Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama

ildizlari yo'q.

Muammoning yechimi yo'qligini qisqacha yozish uchun biz bo'sh to'plam belgisidan foydalanamiz.

Javob:

Demak, bu tenglamaning ikkita ildizi bor: va.

Javob:

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu shuni anglatadiki, tenglama quyidagi hollarda yechimga ega:

Demak, bu kvadrat tenglamaning ikkita ildizi bor: va.

Misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va ildizlarini topamiz:

Javob:

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish usullari:

1. Diskriminant

Kvadrat tenglamalarni shu tarzda echish oson, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir. Esingizda bo'lsin, har qanday kvadrat tenglama diskriminant yordamida echilishi mumkin! Hatto to'liqsiz.

Ildizlar formulasida diskriminantdan ildizni payqadingizmi? Ammo diskriminant salbiy bo'lishi mumkin. Nima qilish kerak? Biz 2-bosqichga alohida e'tibor qaratishimiz kerak. Diskriminant bizga tenglamaning ildizlari sonini aytadi.

• Agar, tenglamaning ildizlari bo'lsa:
• Agar tenglama bir xil ildizlarga ega bo'lsa va aslida bitta ildiz bo'lsa:

  Bunday ildizlar qo'sh ildiz deyiladi.

• Agar, u holda diskriminantning ildizi chiqarilmaydi. Bu tenglamaning ildizlari yo'qligini ko'rsatadi.

Nima uchun turli xil ildizlar soni mumkin? Keling, kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosiga murojaat qilaylik. Funktsiyaning grafigi parabola:

Kvadrat tenglama bo'lgan maxsus holatda, . Demak, kvadrat tenglamaning ildizlari abscissa o'qi (o'qi) bilan kesishgan nuqtalardir. Parabola o'qni umuman kesib o'tmasligi yoki uni bitta (parabola tepasi o'qda yotsa) yoki ikkita nuqtada kesishi mumkin.

Bundan tashqari, koeffitsient parabola shoxlarining yo'nalishi uchun javobgardir. Agar, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga, agar bo'lsa, pastga yo'naltiriladi.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Javob: .

Javob:

Bu hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.

Javob: .

2. Vyeta teoremasi

Vyeta teoremasidan foydalanish juda oson: ko‘paytmasi tenglamaning erkin muddatiga teng bo‘lgan, yig‘indisi esa qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng bo‘lgan bir juft sonni tanlash kifoya.

Shuni yodda tutish kerakki, Vyeta teoremasi faqat qo'llanilishi mumkin qisqartirilgan kvadrat tenglamalar ().

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Bu tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin, chunki . Boshqa koeffitsientlar: ; .

Tenglama ildizlarining yig'indisi:

Va mahsulot teng:

Ko'paytmasi teng bo'lgan juft sonlarni tanlaymiz va ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Shunday qilib, va bizning tenglamamizning ildizlari.

Javob: ; .

2-misol:

Yechim:

Keling, mahsulotda keladigan raqamlar juftligini tanlaymiz va keyin ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

va: ular jami beradi.

va: ular jami beradi. Olish uchun taxmin qilingan ildizlarning belgilarini o'zgartirish kifoya: va, albatta, mahsulot.

Javob:

3-misol:

Yechim:

Tenglamaning erkin muddati manfiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti manfiy sondir. Bu faqat ildizlardan biri salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lsa mumkin. Shuning uchun ildizlarning yig'indisi ga teng ularning modullaridagi farqlar.

Keling, mahsulotda berilgan va farqi teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz:

va: ularning farqi teng - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos. Faqat ildizlardan biri salbiy ekanligini eslash qoladi. Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerakligi sababli moduli kichikroq ildiz manfiy bo'lishi kerak: . Biz tekshiramiz:

Javob:

4-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama berilgan, ya'ni:

Erkin atama manfiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti salbiy. Va bu faqat tenglamaning bir ildizi salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lganda mumkin.

Keling, mahsuloti teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz va keyin qaysi ildizlarda manfiy belgi bo'lishi kerakligini aniqlaymiz:

Shubhasiz, faqat ildizlar va birinchi shartga mos keladi:

Javob:

5-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama berilgan, ya'ni:

Ildizlarning yig'indisi manfiy, ya'ni kamida bitta ildiz manfiy. Ammo ularning mahsuloti ijobiy bo'lgani uchun, bu ikkala ildizning ham minus belgisi borligini anglatadi.

Mahsuloti teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz:

Shubhasiz, ildizlar raqamlar va.

Javob:

Qabul qiling, bu yomon diskriminantni hisoblash o'rniga, ildizlarni og'zaki ravishda topish juda qulay. Vieta teoremasidan iloji boricha tez-tez foydalanishga harakat qiling.

Ammo ildizlarni topishni osonlashtirish va tezlashtirish uchun Vyeta teoremasi kerak. Undan foydalanishdan foyda olish uchun siz harakatlarni avtomatlashtirishga olib kelishingiz kerak. Va buning uchun yana beshta misolni hal qiling. Lekin aldamang: siz diskriminantdan foydalana olmaysiz! Faqat Viet teoremasi:

Mustaqil ish uchun vazifalar yechimlari:

1-topshiriq. ((x)^(2))-8x+12=0

Vyeta teoremasiga ko'ra:

Odatdagidek, tanlovni parcha bilan boshlaymiz:

Miqdori tufayli mos emas;

: miqdor sizga kerak bo'lgan narsadir.

Javob: ; .

Vazifa 2.

Va yana bizning sevimli Vyeta teoremasi: yig'indi teng bo'lishi kerak va mahsulot teng bo'lishi kerak.

Ammo bo'lmasligi kerakligi sababli, lekin, biz ildizlarning belgilarini o'zgartiramiz: va (jami).

Javob: ; .

Vazifa 3.

Hmm... Bu qayerda?

Barcha shartlarni bir qismga ko'chirishingiz kerak:

Ildizlarning yig'indisi mahsulotga teng.

Yaxshi, to'xtang! Tenglama berilmagan. Ammo Vyeta teoremasi faqat berilgan tenglamalarda amal qiladi. Shunday qilib, avval siz tenglamani berishingiz kerak. Agar siz etakchilik qila olmasangiz, bu fikrdan voz keching va uni boshqa yo'l bilan hal qiling (masalan, diskriminant orqali). Sizga shuni eslatib o'tamanki, kvadrat tenglamani berish etakchi koeffitsientni tenglashtirishni anglatadi:

Ajoyib. Keyin ildizlarning yig'indisi va mahsulotga teng bo'ladi.

Bu erda armutni otish kabi oson tanlash mumkin: axir, bu asosiy raqam (tavtologiya uchun uzr).

Javob: ; .

Vazifa 4.

Bepul a'zo salbiy. Buning nimasi alohida? Va haqiqat shundaki, ildizlar turli belgilarga ega bo'ladi. Va endi, tanlov paytida biz ildizlarning yig'indisini emas, balki ularning modullaridagi farqni tekshiramiz: bu farq teng, lekin mahsulot.

Demak, ildizlar va ga teng, lekin ulardan biri minus. Vietaning teoremasi bizga ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgili ikkinchi koeffitsientga teng ekanligini aytadi, ya'ni. Bu shuni anglatadiki, kichikroq ildiz minusga ega bo'ladi: va, chunki.

Javob: ; .

Vazifa 5.

Avval nima qilish kerak? To'g'ri, tenglamani keltiring:

Yana: biz sonning omillarini tanlaymiz va ularning farqi teng bo'lishi kerak:

Ildizlar va ga teng, lekin ulardan biri minus. Qaysi? Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerak, ya'ni minus kattaroq ildizga ega bo'ladi.

Javob: ; .

Xulosa qilib beraman:

1. Vyeta teoremasi faqat berilgan kvadrat tenglamalarda qo'llaniladi.
2. Vieta teoremasidan foydalanib, siz tanlab, og'zaki ildizlarni topishingiz mumkin.
3. Agar tenglama berilmagan bo'lsa yoki erkin terminning mos omillar jufti topilmasa, unda butun ildizlar yo'q va siz uni boshqa usulda (masalan, diskriminant orqali) echishingiz kerak.

3. To'liq kvadratni tanlash usuli

Agar noma'lumni o'z ichiga olgan barcha atamalar qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan atamalar shaklida ifodalangan bo'lsa - yig'indining kvadrati yoki ayirma - u holda o'zgaruvchilar almashtirilgandan so'ng, tenglama turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama ko'rinishida taqdim etilishi mumkin.

Masalan:

1-misol:

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Javob:

2-misol:

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Javob:

Umuman olganda, transformatsiya quyidagicha ko'rinadi:

Bu shuni anglatadiki: .

Sizga hech narsani eslatmayaptimi? Bu kamsituvchi narsa! Aynan shu tarzda biz diskriminant formulasini oldik.

KVADRATIK TENGLAMALAR. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Kvadrat tenglama- bu ko'rinishdagi tenglama, bu erda - noma'lum, - kvadrat tenglama koeffitsientlari, - erkin muddat.

To‘liq kvadrat tenglama- koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan tenglama.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama- koeffitsienti bo'lgan tenglama, ya'ni: .

Tugallanmagan kvadrat tenglama- koeffitsient va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglama:

• koeffitsient bo'lsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi: ,
• agar erkin atama bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: ,
• agar va bo'lsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi: .

1. Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

1.1. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :

1) Noma'lumni ifodalaymiz: ,

2) ifoda belgisini tekshiring:

• agar tenglamaning yechimlari bo'lmasa,
• bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.

1.2. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :

1) Qavslar ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz: ,

2) Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Shunday qilib, tenglama ikkita ildizga ega:

1.3. Shaklning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi, bu erda:

Bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega: .

2. Qayerda ko`rinishdagi to`liq kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

2.1. Diskriminant yordamida yechim

1) Tenglamani standart shaklga keltiramiz: ,

2) Diskriminantni formuladan foydalanib hisoblaymiz: , bu tenglamaning ildizlari sonini bildiradi:

3) tenglamaning ildizlarini toping:

• agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular quyidagi formula bo'yicha topiladi:
• agar, u holda tenglamaning ildizi bo'lsa, u quyidagi formula bo'yicha topiladi:
• bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q.

2.2. Vieta teoremasi yordamida yechim

Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi (bu erdagi shakl tenglamasi) teng, ildizlarning ko'paytmasi esa teng, ya'ni. , A.

2.3. To'liq kvadratni tanlash usuli bilan yechim