Najv???? spolo?n? delite? a najmen?? spolo?n? n?sobok s? k???ov? aritmetick? pojmy, ktor? v?m umo??uj? jednoducho pracova? s oby?ajn?mi zlomkami. LCM a sa naj?astej?ie pou??vaj? na n?jdenie spolo?n?ho menovate?a viacer?ch zlomkov.

Z?kladn? pojmy

Delite? cel?ho ??sla X je ?al?ie cel? ??slo Y, ktor?m je X delite?n? bezo zvy?ku. Napr?klad delite? 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. N?sobkom cel?ho ??sla X je ??slo Y, ktor? je delite?n? X bezo zvy?ku. Napr?klad 3 je n?sobok 15 a 6 je n?sobok 12.

Pre ka?d? dvojicu ??sel m??eme n?js? ich spolo?n?ch delite?ov a n?sobkov. Napr?klad pre 6 a 9 je spolo?n? n?sobok 18 a spolo?n? delite? je 3. Je zrejm?, ?e p?ry m??u ma? nieko?ko delite?ov a n?sobkov, tak?e pri v?po?toch sa pou??va najv???? delite? GCD a najmen?? n?sobok LCM. .

Najmen?? delite? ned?va zmysel, preto?e pre ka?d? ??slo je v?dy jedna. Najv???? n?sobok je tie? nezmyseln?, preto?e postupnos? n?sobkov m? tendenciu k nekone?nu.

N?jdenie GCD

Existuje mnoho met?d na n?jdenie najv???ieho spolo?n?ho delite?a, z ktor?ch najzn?mej?ie s?:

• postupn? vy??slenie delite?ov, v?ber spolo?n?ch pre p?r a h?adanie najv???ieho z nich;
• rozklad ??sel na nedelite?n? faktory;
• Euklidov algoritmus;
• bin?rny algoritmus.

Dnes s? vo vzdel?vac?ch in?tit?ci?ch najob??benej?ie met?dy rozkladu na hlavn? faktory a euklidovsk? algoritmus. Ten sa zase pou??va pri rie?en? diofantick?ch rovn?c: h?adanie GCD je potrebn? na kontrolu rovnice, ?i je mo?n? ju vyrie?i? v cel?ch ??slach.

N?jdenie NOC

Najmen?? spolo?n? n?sobok je tie? presne ur?en? iterat?vnym s??tan?m alebo rozkladom na nedelite?n? faktory. Okrem toho je ?ahk? n?js? LCM, ak u? bol ur?en? najv???? delite?. Pre ??sla X a Y s? LCM a GCD spojen? nasleduj?cim vz?ahom:

LCM(X,Y) = X x Y/GCM(X,Y).

Napr?klad, ak gcd(15,18) = 3, potom LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90. Najzrejmej??m pou?it?m LCM je n?js? spolo?n?ho menovate?a, ktor? je najmen??m spolo?n?m n?sobkom dan? zlomky.

Coprime ??sla

Ak dvojica ??sel nem? spolo?n?ch delite?ov, potom sa tak?to dvojica naz?va koprim?. GCM pre tak?to p?ry sa v?dy rovn? jednej a na z?klade spojenia delite?ov a n?sobkov sa GCM pre coprime rovn? ich s??inu. Napr?klad ??sla 25 a 28 s? koprim?, preto?e nemaj? spolo?n?ch delite?ov, a LCM(25, 28) = 700, ?o zodpoved? ich s??inu. Ak?ko?vek dve nedelite?n? ??sla bud? v?dy rovnak?.

Spolo?n? delite? a viacn?sobn? kalkula?ka

Pomocou na?ej kalkula?ky m??ete vypo??ta? GCD a LCM pre ?ubovo?n? po?et ??sel, z ktor?ch si m??ete vybra?. ?lohy na v?po?et spolo?n?ch delite?ov a n?sobkov sa nach?dzaj? v aritmetike ro?n?kov 5 a 6, av?ak GCD a LCM s? k???ov? pojmy matematiky a pou??vaj? sa v te?rii ??sel, planimetrii a komunika?nej algebre.

Pr?klady zo ?ivota

Spolo?n? menovate? zlomkov

Najmen?? spolo?n? n?sobok sa pou??va pri h?adan? spolo?n?ho menovate?a viacer?ch zlomkov. Predpokladajme, ?e v aritmetickej ?lohe je potrebn? s??ta? 5 zlomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Ak chcete prida? zlomky, v?raz sa mus? zredukova? na spolo?n?ho menovate?a, ??m sa zn??i probl?m s n?jden?m LCM. Ak to chcete urobi?, vyberte 5 ??sel v kalkula?ke a zadajte hodnoty menovate?a do pr?slu?n?ch buniek. Program vypo??ta LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz mus?te pre ka?d? zlomok vypo??ta? ?al?ie faktory, ktor? s? definovan? ako pomer LCM k menovate?ovi. Dodato?n? multiplik?tory by teda vyzerali takto:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Potom vyn?sob?me v?etky zlomky zodpovedaj?cim dodato?n?m faktorom a dostaneme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Tak?to zlomky m??eme jednoducho s??ta? a dostaneme v?sledok v tvare 159/360. Zlomok zn??ime o 3 a uvid?me kone?n? odpove? - 53/120.

Rie?enie line?rnych diofantick?ch rovn?c

Line?rne diofantick? rovnice s? vyjadren?m tvaru ax + by = d. Ak je pomer d / gcd(a, b) cel? ??slo, potom je rovnica rie?ite?n? v cel?ch ??slach. Pozrime sa na nieko?ko rovn?c na mo?nos? celo??seln?ho rie?enia. Najprv skontrolujte rovnicu 150x + 8y = 37. Pomocou kalkula?ky zist?me gcd (150,8) = 2. Vydelte 37/2 = 18,5. ??slo nie je cel? ??slo, preto rovnica nem? cel? korene.

Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760y = 10120. Pomocou kalkula?ky n?jdite gcd(1320, 1760) = 440. Vyde?te 10120/440 = 23. V?sledkom je cel? ??slo, preto je diofant?nska rovnica rie?ite?n? v .

Z?ver

GCD a LCM zohr?vaj? d?le?it? ?lohu v te?rii ??sel a samotn? pojmy s? ?iroko pou??van? v r?znych oblastiach matematiky. Pou?ite na?u kalkula?ku na v?po?et najv????ch delite?ov a najmen??ch n?sobkov ?ubovo?n?ho po?tu ??sel.

Aby ste pochopili, ako vypo??ta? LCM, mali by ste najprv ur?i? v?znam pojmu "viacn?sobn?".

N?sobok A je prirodzen? ??slo, ktor? je bezo zvy?ku delite?n? ??slom A. Za n?sobky 5 teda mo?no pova?ova? 15, 20, 25 at?.

M??e existova? obmedzen? po?et delite?ov konkr?tneho ??sla, ale existuje nekone?n? po?et n?sobkov.

Spolo?n? n?sobok prirodzen?ch ??sel je ??slo, ktor? je nimi bezo zvy?ku delite?n?.

Ako n?js? najmen?? spolo?n? n?sobok ??sel

Najmen?? spolo?n? n?sobok (LCM) ??sel (dve, tri alebo viac) je najmen?ie prirodzen? ??slo, ktor? je rovnomerne delite?n? v?etk?mi t?mito ??slami.

Na n?jdenie NOC m??ete pou?i? nieko?ko met?d.

Pre mal? ??sla je vhodn? zap?sa? do riadku v?etky n?sobky t?chto ??sel, k?m sa medzi nimi nen?jde spolo?n?. N?sobky s? v z?zname ozna?en? ve?k?m p?smenom K.

Napr?klad n?sobky 4 mo?no zap?sa? takto:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Tak?e vid?te, ?e najmen?? spolo?n? n?sobok ??sel 4 a 6 je ??slo 24. Toto zadanie sa vykon?va takto:

LCM(4,6) = 24

Ak s? ??sla ve?k?, n?jdite spolo?n? n?sobok troch alebo viacer?ch ??sel, potom je lep?ie pou?i? in? sp?sob v?po?tu LCM.

Na splnenie ?lohy je potrebn? rozlo?i? navrhnut? ??sla na prvo??sla.

Najprv mus?te nap?sa? roz??renie najv???ieho z ??sel v riadku a pod n?m - zvy?ok.

Pri roz??ren? ka?d?ho ??sla m??e existova? in? po?et faktorov.

Zoberme si napr?klad ??sla 50 a 20 do prvo??sel.

Pri rozklade men?ieho ??sla treba pod?iarknu? faktory, ktor? ch?baj? pri rozklade prv?ho najv???ieho ??sla, a potom ich k nemu prida?. V prezentovanom pr?klade ch?ba dvojka.

Teraz m??eme vypo??ta? najmen?? spolo?n? n?sobok 20 a 50.

LCM (20, 50) = 2 x 5 x 5 x 2 = 100

?i?e s??in prvo?inite?ov v???ieho ??sla a ?inite?ov druh?ho ??sla, ktor? nie s? zahrnut? do rozkladu v???ieho ??sla, bude najmen?? spolo?n? n?sobok.

Ak chcete n?js? LCM troch alebo viacer?ch ??sel, v?etky by sa mali rozlo?i? na prvo??sla, ako v predch?dzaj?com pr?pade.

Ako pr?klad m??ete n?js? najmen?? spolo?n? n?sobok ??sel 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Do rozkladu na v???ie ??slo sa teda nedostali len dve dvojky z rozkladu ?estn?stky (jedna je pri rozklade dvadsa??tyri).

Preto je potrebn? ich prid?va? do rozkladu v???ieho po?tu.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Existuj? ?peci?lne pr?pady ur?enia najmen?ieho spolo?n?ho n?sobku. Tak?e, ak je mo?n? jedno z ??sel deli? bezo zvy?ku druh?m, potom v???ie z t?chto ??sel bude najmen?? spolo?n? n?sobok.

Napr?klad NOC s dvan?stimi a dvadsiatimi ?tyrmi by bolo dvadsa??tyri.

Ak je potrebn? n?js? najmen?? spolo?n? n?sobok prvo??sel, ktor? nemaj? rovnak?ch delite?ov, potom sa ich LCM bude rovna? ich s??inu.

Napr?klad LCM(10; 11) = 110.

Najmen?? spolo?n? n?sobok dvoch ??sel priamo s?vis? s najv????m spolo?n?m delite?om t?chto ??sel. Toto prepojenie medzi GCD a NOC je definovan? nasleduj?cou vetou.

Veta.

Najmen?? spolo?n? n?sobok dvoch kladn?ch cel?ch ??sel aab sa rovn? s??inu ??sel aab delen?m najv????m spolo?n?m delite?om ??sel aab , tj. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

D?kaz.

Nechaj M je nejak? n?sobok ??sel a a b. To znamen?, ?e M je delite?n? a a pod?a defin?cie delite?nosti existuje nejak? cel? ??slo k tak?, ?e rovnos? M=a·k plat?. Ale M je delite?n? aj b, potom a k je delite?n? b.

Ozna?te gcd(a, b) ako d . Potom m??eme zap?sa? rovnosti a=a 1 ·d a b=b 1 ·d a a 1 =a:dab 1 =b:d bud? prvo??sla. Preto podmienku z?skan? v predch?dzaj?com odseku, ?e a k je delite?n? b, mo?no preformulova? takto: a 1 d k je delite?n? b 1 d , a to je vzh?adom na vlastnosti delite?nosti ekvivalentn? podmienke, ?e a 1 k je delite?n? b jedna .

Mus?me si tie? zap?sa? dva d?le?it? d?sledky z uva?ovanej vety.

Spolo?n? n?sobky dvoch ??sel s? rovnak? ako n?sobky ich najmen?ieho spolo?n?ho n?sobku.

To je pravda, preto?e ak?ko?vek spolo?n? n?sobok M ??sel aab je definovan? rovnos?ou M=LCM(a, b) t pre nejak? celo??seln? hodnotu t .

Najmen?? spolo?n? n?sobok kladn?ch ??sel aab sa rovn? ich s??inu.

Zd?vodnenie tejto skuto?nosti je celkom zrejm?. Ke??e a a b s? rovnak?, potom gcd(a, b)=1 , teda, LCM(a,b)=ab: GCD(a,b)=ab:l=ab.

Najmen?? spolo?n? n?sobok troch alebo viacer?ch ??sel

H?adanie najmen?ieho spolo?n?ho n?sobku troch alebo viacer?ch ??sel mo?no zredukova? na postupn? h?adanie LCM dvoch ??sel. Ako sa to rob?, je nazna?en? v nasleduj?cej vete: a 1 , a 2 , …, a k sa zhoduj? so spolo?n?mi n?sobkami ??sel m k-1 a ak sa teda zhoduj? s n?sobkami m k . A ke??e najmen?? kladn? n?sobok ??sla m k je samotn? ??slo m k, potom najmen?? spolo?n? n?sobok ??sel a 1 , a 2 , …, a k je m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. at?. Matematika. 6. ro?n?k: u?ebnica pre vzdel?vacie in?tit?cie.
• Vinogradov I.M. Z?klady te?rie ??sel.
• Mikhelovi? Sh.Kh. Te?ria ??sel.
• Kulikov L.Ya. a in? Zbierka ?loh z algebry a te?rie ??sel: U?ebnica pre ?tudentov fiz.-mat. odbornosti pedagogick?ch ?stavov.

Defin?cia. Naz?va sa najv???ie prirodzen? ??slo, ktor?m s? ??sla a a b delite?n? bezo zvy?ku najv???? spolo?n? delite? (gcd) tieto ??sla.

N?jdite najv???ieho spolo?n?ho delite?a ??sel 24 a 35.
Delite?mi 24 bud? ??sla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a delite?mi 35 bud? ??sla 1, 5, 7, 35.
Vid?me, ?e ??sla 24 a 35 maj? len jedn?ho spolo?n?ho delite?a – ??slo 1. Tak?to ??sla sa naz?vaj? nes?delite?n?.

Defin?cia. Prirodzen? ??sla sa naz?vaj? nes?delite?n? ak ich najv???? spolo?n? delite? (gcd) je 1.

Najv???? spolo?n? delite? (GCD) mo?no n?js? bez vypisovania v?etk?ch delite?ov dan?ch ??sel.

Rozlo?en?m ??sel 48 a 36 dostaneme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorov zahrnut?ch do roz??renia prv?ho z t?chto ??sel vyp???ame tie, ktor? nie s? zahrnut? do roz??renia druh?ho ??sla (t. j. dve dvojky).
Zost?vaj? faktory 2 * 2 * 3. Ich s??in je 12. Toto ??slo je najv????m spolo?n?m delite?om ??sel 48 a 36. N?jdeme aj najv???ieho spolo?n?ho delite?a troch alebo viacer?ch ??sel.

N?js? najv???? spolo?n? delite?

2) z faktorov zahrnut?ch do roz??renia jedn?ho z t?chto ??sel pre?iarknite tie, ktor? nie s? zahrnut? do roz??renia in?ch ??sel;
3) n?jdite s??in zost?vaj?cich faktorov.

Ak s? v?etky dan? ??sla delite?n? jedn?m z nich, potom toto ??slo je najv???? spolo?n? delite? dan? ??sla.
Napr?klad najv???? spolo?n? delite? 15, 45, 75 a 180 je 15, preto?e del? v?etky ostatn? ??sla: 45, 75 a 180.

Najmen?? spolo?n? n?sobok (LCM)

Defin?cia. Najmen?? spolo?n? n?sobok (LCM) prirodzen? ??sla a a b s? najmen?ie prirodzen? ??slo, ktor? je n?sobkom oboch a a b. Najmen?? spolo?n? n?sobok (LCM) ??sel 75 a 60 mo?no n?js? bez vypisovania n?sobkov t?chto ??sel za sebou. Aby sme to dosiahli, rozlo??me 75 a 60 na jednoduch? faktory: 75 \u003d 3 * 5 * 5 a 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vyp??me faktory zahrnut? do roz??renia prv?ho z t?chto ??sel a pripo??tajme k nim ch?baj?ce faktory 2 a 2 z roz??renia druh?ho ??sla (?i?e faktory skombinujeme).
Dostaneme p?? faktorov 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ktor?ch s??in je 300. Toto ??slo je najmen?? spolo?n? n?sobok ??sel 75 a 60.

N?jdite tie? najmen?? spolo?n? n?sobok troch alebo viacer?ch ??sel.

Komu n?js? najmen?? spolo?n? n?sobok nieko?ko prirodzen?ch ??sel, potrebujete:
1) rozlo?i? ich na hlavn? faktory;
2) nap??te faktory zahrnut? do roz??renia jedn?ho z ??sel;
3) pridajte k nim ch?baj?ce faktory z expanzi? zost?vaj?cich ??sel;
4) n?jdite s??in v?sledn?ch faktorov.

V?imnite si, ?e ak je jedno z t?chto ??sel delite?n? v?etk?mi ostatn?mi ??slami, potom je toto ??slo najmen??m spolo?n?m n?sobkom t?chto ??sel.
Napr?klad najmen?? spolo?n? n?sobok 12, 15, 20 a 60 by bol 60, preto?e je delite?n? v?etk?mi dan?mi ??slami.

Pytagoras (VI. storo?ie pred Kristom) a jeho ?tudenti ?tudovali problematiku delite?nosti ??sel. ??slo, ktor? sa rovn? s??tu v?etk?ch jeho delite?ov (bez samotn?ho ??sla), naz?vali dokonal? ??slo. Napr?klad ??sla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) s? dokonal?. ?al?ie dokonal? ??sla s? 496, 8128, 33 550 336. Pytagorejci poznali iba prv? tri dokonal? ??sla. ?tvrt? - 8128 - sa stal zn?mym v 1. storo??. n. e. Piata - 33 550 336 - bola n?jden? v 15. storo??. Do roku 1983 u? bolo zn?mych 27 dokonal?ch ??sel. Doteraz v?ak vedci nevedia, ?i existuj? nep?rne dokonal? ??sla, ?i existuje najv???ie dokonal? ??slo.
Z?ujem starovek?ch matematikov o prvo??sla je sp?soben? skuto?nos?ou, ?e ka?d? ??slo je bu? prvo??slo, alebo m??e by? reprezentovan? ako s??in prvo??sel, to znamen?, ?e prvo??sla s? ako tehly, z ktor?ch sa sklad? zvy?ok prirodzen?ch ??sel.
Pravdepodobne ste si v?imli, ?e prvo??sla v rade prirodzen?ch ??sel sa vyskytuj? nerovnomerne – v niektor?ch ?astiach radu je ich viac, v in?ch menej. Ale ??m ?alej sa pohybujeme po ??selnom rade, t?m s? prvo??sla zriedkavej?ie. Vznik? ot?zka: existuje posledn? (najv???ie) prvo??slo? Starovek? gr?cky matematik Euclid (3. storo?ie pred Kristom) vo svojej knihe „Za?iatky“, ktor? bola dvetis?c rokov hlavnou u?ebnicou matematiky, dok?zal, ?e prvo??sel je nekone?ne ve?a, teda za ka?d?m prvo??slom je p?rne ??slo. v???ie prvo??slo.
Na n?jdenie prvo??sel pri?iel s takouto met?dou in? gr?cky matematik tej istej doby, Eratosthenes. Zap?sal si v?etky ??sla od 1 po nejak? ??slo a potom pre?iarkol jednotku, ktor? nie je prvo??slom ani zlo?en?m ??slom, potom pre?iarkol cez jednotku v?etky ??sla po 2 (??sla, ktor? s? n?sobkom 2, t.j. 4, 6, 8 at?.). Prv? zost?vaj?ce ??slo po 2 bolo 3. Potom sa po dvojke pre?iarkli v?etky ??sla po 3 (??sla, ktor? s? n?sobkom 3, t.j. 6, 9, 12 at?.). nakoniec zostali nepre?iarknut? len prvo??sla.

T?ma "Viacn?sobn? ??sla" sa ?tuduje v 5. ro?n?ku strednej ?koly. Jeho cie?om je zlep?i? p?somn? a ?stne zru?nosti matematick?ch v?po?tov. V tejto lekcii s? predstaven? nov? pojmy - "viacn?sobn? ??sla" a "delite?ky", rozprac?va sa technika h?adania delite?ov a n?sobkov prirodzen?ho ??sla, schopnos? n?js? LCM r?znymi sp?sobmi.

T?to t?ma je ve?mi d?le?it?. Poznatky na ?om mo?no uplatni? pri rie?en? pr?kladov so zlomkami. Aby ste to dosiahli, mus?te n?js? spolo?n?ho menovate?a v?po?tom najmen?ieho spolo?n?ho n?sobku (LCM).

N?sobok A je cel? ??slo, ktor? je delite?n? A bezo zvy?ku.

Ka?d? prirodzen? ??slo m? nekone?n? po?et jeho n?sobkov. Pova?uje sa za najmenej. N?sobok nem??e by? men?? ako samotn? ??slo.

Je potrebn? dok?za?, ?e ??slo 125 je n?sobkom ??sla 5. Aby ste to dosiahli, mus?te vydeli? prv? ??slo druh?m. Ak je 125 delite?n? 5 bez zvy?ku, odpove? je ?no.

T?to met?da je pou?ite?n? pre mal? ??sla.

Pri v?po?te LCM existuj? ?peci?lne pr?pady.

1. Ak potrebujete n?js? spolo?n? n?sobok pre 2 ??sla (napr?klad 80 a 20), kde jedno z nich (80) je delite?n? bezo zvy?ku druh?m (20), potom je toto ??slo (80) najmen?ie n?sobok t?chto dvoch ??sel.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ak dve nemaj? spolo?n?ho delite?a, potom m??eme poveda?, ?e ich LCM je s??inom t?chto dvoch ??sel.

LCM (6, 7) = 42.

Zv??te posledn? pr?klad. 6 a 7 vo vz?ahu k 42 s? deli?e. Delia n?sobok bezo zvy?ku.

V tomto pr?klade s? 6 a 7 p?rov? deli?e. Ich s??in sa rovn? najv???iemu n?sobku (42).

??slo sa naz?va prvo??slo, ak je delite?n? iba samo sebou alebo 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostatn? sa naz?vaj? kompozitn?.

V inom pr?klade mus?te ur?i?, ?i 9 je delite? vzh?adom na 42.

42:9=4 (zvy?ok 6)

Odpove?: 9 nie je delite?om 42, preto?e odpove? m? zvy?ok.

Delite? sa l??i od n?sobku t?m, ?e delite? je ??slo, ktor?m sa delia prirodzen? ??sla, a samotn? n?sobok je delite?n? t?mto ??slom.

Najv???? spolo?n? delite? ??sel a a b, vyn?soben? ich najmen??m n?sobkom, d? s??in samotn?ch ??sel a a b.

Konkr?tne: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Spolo?n? n?sobky pre komplexnej?ie ??sla sa nach?dzaj? nasleduj?cim sp?sobom.

N?jdite napr?klad LCM pre 168, 180, 3024.

Tieto ??sla rozlo??me na prvo??sla, zap??eme ich ako s??in mocnin:

168 = 2?x3?x7?

2?х3?х5?х7?=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.