dynamick? syst?m- s?bor prvkov, pre ktor? je ?pecifikovan? funk?n? vz?ah medzi ?asom a polohou vo f?zovom priestore ka?d?ho prvku syst?mu. [ ] T?to matematick? abstrakcia umo??uje ?tudova? a op?sa? v?voj syst?mov v ?ase.

Stav dynamick?ho syst?mu v ktoromko?vek ?asovom okamihu je op?san? mno?inou re?lnych ??sel (alebo vektorov) zodpovedaj?cich ur?it?mu bodu v stavovom priestore. V?voj dynamick?ho syst?mu je ur?en? deterministickou funkciou, to znamen?, ?e po ur?itom ?asovom intervale syst?m nadobudne ?pecifick? stav v z?vislosti od aktu?lneho.

?vod

Dynamick? syst?m je matematick? model nejak?ho objektu, procesu alebo javu, v ktorom sa zanedb?vaj? „fluktu?cie a v?etky ostatn? ?tatistick? javy“.

Dynamick? syst?m m??e by? reprezentovan? aj ako syst?m s ?t?t. Pri tomto pr?stupe dynamick? syst?m opisuje (ako celok) dynamiku nejak?ho procesu, a to: proces prechodu syst?mu z jedn?ho stavu do druh?ho. F?zov? priestor syst?mu je s?hrn v?etk?ch pr?pustn?ch stavov dynamick?ho syst?mu. Dynamick? syst?m je teda charakterizovan? svojim po?iato?n?m stavom a z?konom, ktor?m syst?m prech?dza z po?iato?n?ho stavu do in?ho.

Rozli?ujte medzi syst?mami s diskr?tne?as a syst?my nepretr?it??as.

V syst?moch s diskr?tnym ?asom, ktor? sa tradi?ne naz?vaj? kask?dy, spr?vanie syst?mu (alebo, ?o je to ist?, trajekt?riu syst?mu vo f?zovom priestore) popisuje sekvencie?t?tov. V syst?moch so spojit?m ?asom, ktor? sa tradi?ne naz?vaj? tokov, stav syst?mu je definovan? pre v?etci moment na skuto?nej alebo komplexnej osi. Kask?dy a toky s? hlavn?m predmetom ?vah v symbolickej a topologickej dynamike.

Dynamick? syst?m (s diskr?tnym aj spojit?m ?asom) je ?asto op?san? auton?mnym syst?mom diferenci?lnych rovn?c, dan?m v nejakej dom?ne a sp??aj?cim podmienky existencie vety a jednozna?nosti rie?enia diferenci?lnej rovnice. Rovnov??ne polohy dynamick?ho syst?mu zodpovedaj? singul?rnym bodom diferenci?lnej rovnice a uzavret? f?zov? krivky zodpovedaj? jej periodick?m rie?eniam.

Hlavnou n?pl?ou te?rie dynamick?ch syst?mov je ?t?dium kriviek definovan?ch diferenci?lnymi rovnicami. To zah??a rozdelenie f?zov?ho priestoru na trajekt?rie a ?t?dium obmedzuj?ceho spr?vania t?chto trajekt?ri?: h?adanie a klasifik?cia rovnov??nych poz?ci?, v?ber pri?ahovania ( atraktory) a odpudzuj?ce ( odpudzova?e) sady (odrody). Najd?le?itej??mi pojmami te?rie dynamick?ch syst?mov s? stabilita rovnov??nych stavov (t. j. schopnos? syst?mu s mal?mi zmenami po?iato?n?ch podmienok zotrva? ?ubovo?ne dlh? ?as v bl?zkosti rovnov??nej polohy alebo na danom potrub?) a drsnos? (t. j. zachovanie vlastnost? s mal?mi zmenami v samotnom matematickom modeli; “ hrub? syst?m- ide o tak?, ktor?ch kvalitat?vny charakter pohybov sa nemen? pri dostato?ne malej zmene parametrov“).

Zapojenie pravdepodobnostno-?tatistick?ch reprezent?ci? do ergodickej te?rie dynamick?ch syst?mov vedie ku koncepcii dynamick?ho syst?mu s invariantn? miera.

Modern? te?ria dynamick?ch syst?mov je s?hrnn? n?zov pre ?t?dium, v ktorom sa ?iroko vyu??vaj? a efekt?vne kombinuj? met?dy z r?znych oblast? matematiky: topol?gia a algebra, algebraick? geometria a te?ria mier, te?ria diferenci?lnych foriem, te?ria singular?t a katastrof.

Met?dy te?rie dynamick?ch syst?mov s? ?iadan? aj v in?ch odvetviach pr?rodn?ch vied, ako je nerovnov??na termodynamika, te?ria dynamick?ho chaosu, synergetika.

Defin?cia

Nechaj X (\displaystyle X) je ?ubovo?n? hladk? rozvod .

dynamick? syst?m, definovan? na hladkom potrub? X (\displaystyle X), sa naz?va mapovanie g: R x X -> X (\displaystyle g\colon R\times X\to X), nap?san? v parametrickej forme g t (x) (\displaystyle g^(t)(x)), kde t ? R , x ? X (\displaystyle t\in R,x\in X), ?o je diferencovate?n? mapa, a g 0 (\displaystyle g^(0))- mapovanie identity priestoru X (\displaystyle X). V pr?pade stacion?rnych reverzibiln?ch syst?mov rodina s jedn?m parametrom ( g t: t ? R ) (\displaystyle \(g^(t):t\in R\)) tvor? skupinu transform?ci? topologick?ho priestoru X (\displaystyle X), a teda najm? pre ak?ko?vek t 1 , t 2 ? R (\displaystyle t_(1),t_(2)\in R) identitu g t 1 ? g t 2 = g t 1 + t 2 (\displaystyle g^(t_(1))\circ g^(t_(2))=g^(t_(1)+t_(2))).

Z diferencovate?nosti mapovania g (\displaystyle g) z toho vypl?va, ?e funkcia g t (x 0) (\displaystyle g^(t)(x_(0))) je diferencovate?n? funkcia ?asu, jej graf sa nach?dza v roz??renom f?zovom priestore R x X (\displaystyle R\times X) a volal integr?lna trajekt?ria(krivka) dynamick? syst?m. Jeho projekcia do priestoru X (\displaystyle X), ktor? sa naz?va f?zov? priestor, sa naz?va f?zov? trajekt?ria(krivka) dynamick? syst?m.

?pecifik?cia stacion?rneho dynamick?ho syst?mu je ekvivalentn? rozdeleniu f?zov?ho priestoru na f?zov? trajekt?rie. ?pecifik?cia dynamick?ho syst?mu je vo v?eobecnosti ekvivalentn? rozdeleniu roz??ren?ho f?zov?ho priestoru na integr?lne trajekt?rie.

Met?dy definovania dynamick?ch syst?mov

Na definovanie dynamick?ho syst?mu je potrebn? pop?sa? jeho f?zov? priestor X (\displaystyle X), sada ?asov T (\displaystyle T) a nejak? pravidlo, ktor? popisuje pohyb bodov f?zov?ho priestoru s ?asom. Ve?a bodov v ?ase T (\displaystyle T) m??e by? intervalom skuto?nej ?iary (potom hovor?me, ?e ?as nepretr?ite) a mno?ina cel?ch alebo prirodzen?ch ??sel ( diskr?tne?as). V druhom pr?pade je „pohyb“ bodu f?zov?ho priestoru sk?r ako okam?it? „skoky“ z jedn?ho bodu do druh?ho: trajekt?ria tak?hoto syst?mu nie je hladk? krivka, ale jednoducho s?bor bodov a zvy?ajne sa naz?va obe?n? dr?ha. Napriek vonkaj??m rozdielom v?ak existuje ?zke prepojenie medzi syst?mami so spojit?m a diskr?tnym ?asom: mnoh? vlastnosti s? spolo?n? pre tieto triedy syst?mov alebo sa ?ahko pren??aj? z jedn?ho do druh?ho.

F?zov? toky

Nechajte f?zu priestor X (\displaystyle X) predstavuje viacrozmern? priestor alebo oblas? v ?om a ?as je spojit?. Predpokladajme, ?e vieme, ako r?chlo sa ka?d? bod pohybuje x (\displaystyle x) f?zov? priestor. In?mi slovami, funkcia vektora r?chlosti je zn?ma v (x) (\displaystyle v(x)). Potom bude trajekt?ria bodu rie?en?m auton?mnej diferenci?lnej rovnice d x d t = v (x) (\displaystyle (\frac (dx)(dt))=v(x)) s po?iato?n?m stavom x (0) = x 0 (\displaystyle x(0)=x_(0)). Takto definovan? dynamick? syst?m sa naz?va f?zov? tok pre auton?mnu diferenci?lnu rovnicu.

Kask?dy

Nechaj X (\displaystyle X) je ?ubovo?n? mno?ina a f: X -> X (\displaystyle f\colon X\to X)- nejak? mapovanie mno?iny X (\displaystyle X) pre seba. Zv??te iter?cie tohto mapovania, to znamen? v?sledky jeho opakovanej aplik?cie na body vo f?zovom priestore. Definuj? dynamick? syst?m s f?zov?m priestorom X (\displaystyle X) a mnohokr?t T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ). V skuto?nosti budeme predpoklada?, ?e ?ubovo?n? bod x 0 ? X (\displaystyle x_(0)\in X) po?as 1 (\displaystyle 1) ide k veci x 1 = f (x 0) ? X (\displaystyle x_(1)=f(x_(0))\in X). Potom v ?ase 2 (\displaystyle 2) tento bod prejde k veci x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) (\displaystyle x_(2)=f(x_(1))=f(f(x_(0)))) at?.

Ak displej f (\displaystyle f) reverzibiln?, mo?no definova? reverzn? iter?cie: x - 1 = f - 1 (x 0) (\displaystyle x_(-1)=f^(-1)(x_(0))), x - 2 = f - 1 (f - 1 (x 0)) (\displaystyle x_(-2)=f^(-1)(f^(-1)(x_(0)))) at?. Takto z?skame syst?m s mno?inou ?asov?ch bodov T = Z (\displaystyle T=\mathbb (Z) ).

Pr?klady

• Syst?m diferenci?lnych rovn?c

definuje dynamick? syst?m so spojit?m ?asom, naz?van? "harmonick? oscil?tor". Jeho f?zov?m priestorom je rovina (x, v) (\displaystyle (x,v)), kde v (\displaystyle v)- bodov? r?chlos? x (\displaystyle x). Harmonick? oscil?tor modeluje r?zne oscila?n? procesy - napr?klad spr?vanie sa za?a?enia na pru?ine. Jeho f?zov? krivky s? elipsy so stredom na nule.

Ot?zky te?rie dynamick?ch syst?mov

Ke??e m?me nejak? ?lohu dynamick?ho syst?mu, nie je v?dy mo?n? n?js? a op?sa? jeho trajekt?rie v explicitnej forme. Preto sa zvy?ajne zva?uj? jednoduch?ie (ale nie menej zmyslupln?) ot?zky o v?eobecnom spr?van? syst?mu. Napr?klad:

1. M? syst?m uzavret? f?zov? krivky, to znamen?, ?e sa m??e v priebehu evol?cie vr?ti? do p?vodn?ho stavu?
2. Ako s? usporiadan? invariantn? variety syst?mu (?peci?lnym pr?padom s? uzavret? trajekt?rie)?
3. Ako funguje atraktor syst?mu, teda mno?ina vo f?zovom priestore, ku ktorej smeruje „v???ina“ trajekt?ri??
4. Ako sa spr?vaj? trajekt?rie vystrelen? z bl?zkych bodov – zost?vaj? bl?zko alebo sa ?asom vz?a?uj? na zna?n? vzdialenos??
Odkazy

Na rozde?ova?och a ich podskupin?ch. ?zko s?vis? s te?riou diferenci?lnych rovn?c, preto?e oby?ajn? diferenci?lna rovnica definuje skupinu difeomorfizmu s jedn?m parametrom svojho f?zov?ho priestoru.

Tento ?tudijn? odbor sa ?asto naz?va jednoducho „Dynamick? syst?my“, „Te?ria syst?mov“ alebo dlh?ie ako „Te?ria matematick?ch dynamick?ch syst?mov“.

Vzor: Syst?m

Nad?cia Wikimedia. 2010.

• Te?ria le?ov?ch gr?p
• Te?ria diferenci?lnych rovn?c

Pozrite sa, ?o je „Te?ria dynamick?ch syst?mov“ v in?ch slovn?koch:

METRICK? TE?RIA DYNAMICK?CH SYST?MOV Rovnako ako ergodick? te?ria... Matematick? encyklop?dia

ENTROPICK? TE?RIA DYNAMICK?CH SYST?MOV- ?as? ergodickej te?rie ?zko s?visiaca s te?riou pravdepodobnosti a te?riou inform?cie. Povaha tohto spojenia je vo v?eobecnosti nasledovn?. Nech (Tt) je dynamika syst?m (zvy?ajne merate?n? prietok alebo kask?da) s f?zov?m priestorom W a invariantnou mierou Nech … Matematick? encyklop?dia

Katedra neline?rnych dynamick?ch syst?mov a procesov riadenia VMK Ms?- Katedra neline?rnych dynamick?ch syst?mov a procesov Katedry v?po?tovej matematiky a kybernetiky Moskovskej ?t?tnej univerzity pomenovan? po M. V. Lomonosovovi (NDSiPU VMK MSU). Ved?ci katedry (od roku 1989) - laure?t Leninovho ?t?tu (ZSSR a Rusk? feder?cia), ... ... Wikipedia

Te?ria katastrof (matematika)- Te?ria katastrof je odvetvie matematiky, ktor? zah??a te?riu bifurk?ci? diferenci?lnych rovn?c (dynamick?ch syst?mov) a te?riu singular?t hladk?ch zobrazen?. Pojmy „katastrofa“ a „te?ria katastrofy“ zaviedli Ren? Thom a ... ... Wikipedia

Bifurka?n? te?ria- dynamick? syst?my je te?ria, ktor? ?tuduje zmeny v kvalitat?vnom obraze rozdelenia f?zov?ho priestoru v z?vislosti od zmeny parametra (alebo viacer?ch parametrov). Obsah 1 Preh?ad 2 Bifurk?cia rovnov?h ... Wikipedia

Te?ria line?rnych stacion?rnych syst?mov- ?as? te?rie dynamick?ch syst?mov, ktor? ?tuduje spr?vanie a dynamick? vlastnosti line?rnych stacion?rnych syst?mov (LSS). ?iroko pou??van? v procese riadenia technick?ch syst?mov, digit?lneho spracovania sign?lov a in?ch oblast? stroj?rstva... ... Wikipedia

Te?ria n?hodn?ch mat?c- Te?ria n?hodn?ch mat?c je odvetvie matematickej ?tatistiky, ktor? ?tuduje vlastnosti s?borov mat?c, ktor?ch prvky s? rozdelen? n?hodne. Spravidla je stanoven? z?kon rozlo?enia prvkov. Z?rove? sa ?tuduj? ich vlastn? ?tatistiky ... ... Wikipedia

Te?ria uzlov- Te?ria uzlov je n?uka o vlo?en? jednorozmern?ch variet v trojrozmernom euklidovskom priestore alebo v gule. V ?ir?om zmysle je predmetom te?rie uzlov vsadzovanie g?? do rozde?ova?ov a vo v?eobecnosti zap???anie rozde?ova?ov. Obsah 1 ... ... Wikipedia

Kolmogorovova te?ria- Kolmogorovova te?ria Arnolda Mosera alebo te?ria KAM pomenovan? po jej tvorcoch A. N. Kolmogorovovi, V. I. Arnoldovi a Yu. Moserovi, odvetvie te?rie dynamick?ch syst?mov, ktor? ?tuduje mal? poruchy takmer ... ... Wikipedia

Te?ria katastrof (jednozna?nos?)- Te?ria katastrof: Te?ria katastrof je odvetvie matematiky, ktor? zah??a te?riu bifurk?ci? diferenci?lnych rovn?c (dynamick?ch syst?mov) a te?riu singular?t hladk?ch zobrazen?. Katastrofizmus (te?ria katastrof) syst?m ... ... Wikipedia

knihy

• Synchroniz?cia dynamick?ch syst?mov , . V tejto knihe sa pok??ame systematicky prezentova? fakty a v?sledky s?visiace s r?chlo sa rozv?jaj?cou oblas?ou vedy a techniky – synchroniz?ciou dynamick?ch syst?mov. Kniha ... K?pi? za 735 rub?ov
• Te?ria dynamick?ch syst?mov, G. A. Stepanyants. T?to kniha je venovan? prezent?cii z?kladov v?eobecnej te?rie dynamick?ch syst?mov, vytvoren?ch pr?cami viacer?ch vynikaj?cich dom?cich a zahrani?n?ch matematikov. Znalos? tejto te?rie umo??uje...

V?chodiskom pri tvorbe Levinovej te?rie motiv?cie bola my?lienka, ?e vedomie je determinovan? dvoma sp?sobmi: procesom asoci?cie a v?le. Vn?mal ich ako samostatn? tendencie. Levin uk?zal, ?e ur?uj?ca tendencia, ktor? nazval kv?zipotreba, nie je ?peci?lny pr?pad, ale naopak, je dynamick?m predpokladom ak?hoko?vek spr?vania. Energetick? zlo?ka spr?vania bola pre Levina v?dy ?stredn?m ?l?nkom pri vysvet?ovan? z?merov a ?inov ?loveka.

Druh energie, ktor? vykon?va du?evn? pr?cu, Levin nazval ment?lna energia. Uvo??uje sa vtedy, ke? sa psychick? syst?m sna?? znovu z?ska? rovnov?hu sp?soben? nerovnov?hou. Ten je spojen? so zv??en?m nap?tia v jednej ?asti syst?mu v porovnan? s ostatn?mi.

Prvou Levinovou pomerne rozsiahlou v?eobecnou teoretickou pr?cou, v ktorej navrhol dostato?ne podrobn? v?eobecn? psychologick? explana?n? model dynamiky spr?vania, bola jeho kniha Z?mer, v??a a potreba, zalo?en? na v?sledkoch prv?ch experimentov Ovsyankina, Zeigarnika, Birenbauma, Karstena. V tejto knihe Lewin, takmer bez toho, aby otvorene diskutoval so Z. Freudom, pon?ka ve?mi presved?iv? odpove? akademickej psychol?gie na v?zvu Freuda, ktor? ako prv? venoval pozornos? oblasti ?t?dia motiva?n?ch s?l ?udsk?ho konania, ignoroval pred n?m.

K???ov? pojmy Levina s? umiestnen? v n?zve knihy. Z?kladom ?udskej ?innosti v akejko?vek jej forme, ?i u? ide o asoci?ciu, konanie, myslenie, pam??, je pod?a Lewina z?mer – potreba. Potreby pova?uje za nap?t? syst?my, ktor? vytv?raj? nap?tie, ktor?ho vybitie nast?va v akcii, ke? sa naskytne vhodn? pr?le?itos?. Aby Lewin odl??il svoje ch?panie potrieb od toho, ?o je u? ust?len? v psychol?gii a sp?ja sa najm? s biologick?mi, vroden?mi potrebami, ktor? koreluj? s ur?it?mi vn?torn?mi stavmi, naz?va ich „kv?zi-potreby“. Do konceptu v??ov?ch procesov zara?uje cel? rad intencion?lnych procesov r?zneho stup?a svojv?le, pri?om upozor?uje na tak? znak, ak?m je svojvo?n? kon?trukcia bud?ceho po?a, v ktorom by k n?stupu samotn?ho konania malo d?js? automaticky. Osobitn? miesto v Lewinovom modeli zauj?ma pojem „Aufforderungscharakter“, tento pojem sa preklad? ako stimul (kde existuje kvalifik?tor ?oho) alebo stimul (kde tak?to ?pecifik?cia neexistuje).Kv?zi potreby sa tvoria v r. aktu?lna situ?cia v s?vislosti s prijat?mi z?mermi a prejavuj? sa t?m, ?e ur?it? veci alebo udalosti z?skavaj? podnet, kontakt s ktor?m so sebou nesie tendenciu k ur?it?mu konaniu. Kon?tatovanie zn?meho faktu, ?e predmety v?dy vn?mame neobjekt?vne, maj? ur?it? emocion?lny sfarbenie pre n?s, Levin si v?imne, ?e okrem toho od n?s zrejme vy?aduj? vykon?vanie ur?itej ?innosti vo vz?ahu k sebe sam?mu: „Dobr? po?asie a ur?it? krajina n?s volaj? na prech?dzku, schody nab?daj? k dvoj- ro?n? die?a ?s? hore a dole; dvere – otv?rajte a zatv?rajte ich." Podnecovanie m??e ma? r?znu intenzitu a znamenie (pr??a?liv? alebo odpudzuj?ce), ale to pod?a Levina nie je to hlavn?. Ove?a d?le?itej?ie je, ?e predmety navodzuj? ur?it?, viac ?i menej ?zko vymedzen? ?iny, a preto je potrebn?, aby sa na nich h?balo. ktor? m??u by? mimoriadne odli?n?, aj ke? sa obmedz?me len na pozit?vne podnety.Levinom citovan? fakty sved?ia o priamej s?vislosti medzi zmenami motiv?cie objektov a dynamikou potrieb a kv?zi potrieb subjektu, ako aj tzv. jeho ?ivotn? ciele.

Lewin pod?va bohat? popis fenomenol?gie motiv?cie, ktor? sa men? v z?vislosti od situ?cie, ako aj v d?sledku vykon?vania po?adovan?ch akci?: satur?cia vedie k strate motiv?cie objektom a konan?m a s?tos? sa prejavuje v zmena z pozit?vnej motiv?cie na negat?vnu; z?rove? cudzie veci a povolania, najm? tie, ktor? s? v nie?om protikladn? k origin?lu, z?skavaj? pozit?vny stimul. Akcie a ich prvky m??u tie? strati? svoju prirodzen? motiv?ciu v d?sledku automatiz?cie. A naopak: s n?rastom intenzity potrieb sa zvy?uje nielen motiv?cia predmetov, ktor? na ne reaguj?, ale okruh tak?chto predmetov sa aj roz?iruje (hladn? sa st?va menej vyberav?m).

Levin veril, ?e ?lovek je zlo?it? energetick? syst?m a druh energie, ktor? vykon?va psychologick? pr?cu, sa naz?va psychick? energia. Psychick? energia sa uvo??uje, ke? sa ?lovek pok??a znovu z?ska? rovnov?hu po tom, ?o je v stave nerovnov?hy. Nerovnov?ha vznik? zv??en?m nap?tia v jednej ?asti syst?mu v porovnan? s ostatn?mi ?as?ami v d?sledku vonkaj?ej stimul?cie alebo vn?torn?ch zmien. Osobnos? ?ije a rozv?ja sa v psychologickom poli objektov, ktor? ju obklopuj?, z ktor?ch ka?d? m? ur?it? n?boj (valenciu). Valencia je pojmovou vlastnos?ou regi?nu psychologick?ho prostredia, je to hodnota regi?nu pre ?loveka. Jeho experimenty dok?zali, ?e pre ka?d?ho ?loveka m? t?to valencia svoje vlastn? znamenie, hoci z?rove? existuj? predmety, ktor? maj? pre ka?d?ho rovnak? pr??a?liv? alebo odpudzuj?cu silu. Vplyvom na ?loveka predmety v ?om vyvol?vaj? potreby, ktor? Levin pova?oval za ak?si energetick? n?boje sp?sobuj?ce v ?loveku nap?tie. V tomto stave m? ?lovek tendenciu k vyb?janiu, t.j. na uspokojenie vlastn?ch potrieb. Lewin rozli?oval dva druhy potrieb – biologick? a soci?lne (kv?zi potreby). Jedna z najzn?mej??ch Levinov?ch rovn?c, ktorou op?sal ?udsk? spr?vanie v psychologickej oblasti pod vplyvom r?znych potrieb, ukazuje, ?e spr?vanie je funkciou osobnosti aj psychologick?ho po?a.

Na vysvetlenie dynamiky pou??va Levin niektor? koncepty. Nap?tie je stav intraperson?lnej oblasti vo vz?ahu k ostatn?m intraperson?lnym oblastiam. Telo sa sna?? vyrovna? nap?tie tejto oblasti v porovnan? s ostatn?mi. Psychologick?m prostriedkom vyrovn?vania nap?tia je proces – myslenie, memorovanie at?. Potreba – zv??enie nap?tia alebo uvo?nenie energie v intraperson?lnej oblasti. Potreby v ?trukt?re osobnosti nie s? izolovan?, ale s? navz?jom prepojen?, v ur?itej hierarchii. Potreby sa delia na fyziologick? stavy (skuto?n? potreby) a z?mery, alebo kv?zi potreby. Pojem potreby odr??a vn?torn? stav jednotlivca, stav n?dze a pojem kv?zipotreba je ekvivalentn? ?pecifick?mu z?meru uspokoji? potrebu. "To znamen?, ?e ?lovek sa mus? uch?li? k z?meru, ke? neexistuje ?iadna prirodzen? potreba vykona? zodpovedaj?cu ?innos?, alebo dokonca ke? existuje prirodzen? potreba opa?n?ho charakteru."

Diferenci?cia je jedn?m z k???ov?ch pojmov te?rie „pola“. a vz?ahuje sa na v?etky aspekty ?ivotn?ho priestoru. Napr?klad die?a sa pod?a Levina vyzna?uje v???ou n?chylnos?ou na vplyv prostredia a pod?a toho aj v???ou slabos?ou hran?c vo vn?tornej sf?re, v dimenzii „realita-nerealita“ a v ?asovej sf?re. Zvy?ovanie organiz?cie a integr?cie te?rie spr?vania osobnosti "pole". definuje ako organiza?n? vz?jomn? z?vislos?. S pr?chodom zrelosti nast?va ve?k? diferenci?cia ako v osobnosti samotnej, tak aj v psychickom prostred?, zvy?uje sa sila hran?c, skomplikuje sa syst?m hierarchick?ch a selekt?vnych vz?ahov medzi nap?t?mi syst?mami.

Kone?n?m cie?om v?etk?ch du?evn?ch procesov je t??ba obnovi? rovnov?hu ?loveka. Tento proces mo?no uskuto?ni? h?adan?m ur?it?ch valen?n?ch objektov psychologick?ho prostredia, ktor? m??u uvo?ni? nap?tie.

Levinov pr?stup sa vyzna?oval dvoma bodmi. Najprv pre?iel od my?lienky, ?e energia mot?vu je uzavret? v tele, k my?lienke syst?mu „organizmus-?ivotn? prostredie“. Jedinec a jeho prostredie sa javili ako nedelite?n? dynamick? celok. Po druh?, na rozdiel od interpret?cie motiv?cie ako biologicky vopred ur?enej kon?tanty, Lewin veril, ?e motiva?n? nap?tie m??e vytv?ra? ako jednotlivec s?m, tak aj in? ?udia (napr?klad experiment?tor, ktor? jednotlivcovi pon?kne splnenie ?lohy). Tak?e samotn? motiv?cia bola uznan? ako psychologick? stav. U? sa neredukovalo na biologick? potreby, uspokojovan?m ktor?ch telo vy?erp?va svoj motiva?n? potenci?l.

Levin odvodil svoju predstavu o motiv?cii z neoddelite?n?ho spojenia medzi subjektom a objektom. Z?rove? sa odstr?nila opoz?cia medzi vn?torn?m a vonkaj??m, preto?e boli vyhl?sen? za r?zne p?ly jedin?ho priestoru – po?a pod?a Levina. Pre Gestalt psychol?gov je pole to, ?o je vn?man? ako priamo dan? vedomiu. Pre Lewina je pole ?trukt?rou, v ktorej sa spr?vanie odohr?va. Zastre?uje motiva?n? a?pir?cie jednotlivca a z?rove? objekty t?chto a?pir?ci?. Levin odvodil spr?vanie z faktu interakcie medzi jednotlivcom a prostred?m. Nezauj?mali ho predmety ako veci, ale len to, v akom vz?ahu s? k potreb?m jednotlivca. Motiva?n? zmeny sa neodv?jali od vn?torn?ch ?trukt?r osobnosti, ale od charakteristiky samotn?ho odboru, od dynamiky celku.

Tieto v?sledky pribli?uj? Levinov postoj k my?lienkam Adlera a humanistickej psychol?gie: d?le?itos? zachovania celistvosti osobnosti, jej Ja, potreba ?loveka uvedomi? si ?trukt?ru svojej osobnosti. Podobnos? t?chto konceptov, ku ktor?m pri?li vedci z r?znych ?k?l a smerov, hovor? o v?zname tohto probl?mu, ?e po uvedomen? si vplyvu nevedomia na spr?vanie ?udstvo prich?dza k my?lienke potreby nakresli? ?iaru. medzi ?lovekom a in?mi ?iv?mi bytos?ami, aby sme pochopili nielen d?vody jeho agresivity, krutosti, zmyselnosti, ktor? psychoanal?za dokonale vysvetlila, ale aj z?klady jeho mor?lky, l?skavosti a kult?ry. Ve?k? v?znam mala t??ba v novom svete po vojne, ktor? uk?zala bezv?znamnos? a krehkos? ?loveka, prekona? vznikaj?ci pocit typickosti a zamenite?nosti ?ud?, dok?za?, ?e ?udia s? integr?lnymi, jedine?n?mi syst?mami, z ktor?ch ka?d? nesie svoj vlastn? vn?torn? svet, ktor? nie je podobn? svetu in?ch ?ud?.

Pojmy syst?mu, hlavn? charakteristiky syst?mu.

syst?m - je to s?bor prvkov, ktor? s? v interakcii a s? spojen? ur?itou ?trukt?rou.

Z?kladn?m blokom ka?d?ho syst?mu s? jeho z?kladn? prvky, ka?d? prvok je charakterizovan? mno?inou stavov, v ktor?ch sa m??e nach?dza?.

Sch?ma fungovania prvku syst?mu:

Mnoh? syst?my sa vyzna?uj? princ?pom sp?tnej v?zby – v?stupn? sign?l mo?no pou?i? na korekciu riadenia.

S(t) je stav prvku v ?ase t.

U(t) – riadenie prvku v momente t.

a(t) je prostredie prvku v okamihu t.

E(t) - n?hodn? ??inky prvku v okamihu t.

Y(t) je v?stupn? sign?l prvku v ?ase t.

Vo v?eobecnom pr?pade sa opis fungovania prvku syst?mu vykon?va pomocou syst?mu diferenci?lnych alebo diferen?n?ch rovn?c nasleduj?ceho tvaru:

Y(t) = f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E (t),E(t-1),...)

(Y(t) = g (S(t), a(t), E(t)) (1)

Pr?klady ?trukt?ry syst?mu:

line?rny (s?riov?):

hierarchick? (stromov?):

radi?lne (hviezdicov?):

bunka alebo matrica:

n?sobi? spojen? - s ?ubovo?nou ?trukt?rou.

Pri anal?ze dynamick?ch syst?mov uva?ujeme o rie?en? nasleduj?cich probl?mov:

?lohou pozorovania je ur?i? stav syst?mu v ?ase S(t) pod?a v?stupn?ch hodn?t (o ich spr?van?) v bud?cnosti.

N?jdite S(t) s vedom?m
pre syst?m s diskr?tnym ?asom.

pre syst?my so spojit?m ?asom.

?lohou identifik?cie je ur?i? aktu?lny stav S(t) pod?a ?dajov o spr?van? sa v?stupn?ch hodn?t v minulosti.

3. Prognostick? ?lohy - ur?ovanie bud?cich stavov pod?a aktu?lnych a

minul? hodnoty.

N?jdite S(t+1), S(t+2),... s vedom?m

Probl?mom h?adania riadenia je n?js? riadiacu postupnos? U(t), U(t+1),…, U(S), S > t, ktor? privedie syst?m zo stavu S(t) = X do stavu S (S) = Y.

Probl?m synt?zy maxim?lnej kontroly spo??va v ur?itej optim?lnej postupnosti riadiacich akci? U*(t) rie?iacich probl?m 4 a maxim?lnej cie?ovej funkcie alebo funkcion?lu:

F(S(t)), t = 0,1,2,…

Typy syst?mu:

Pr?tomnos?ou n?hodn?ch faktorov:

deterministick?

Stochastick? - nemo?no opomen?? vplyv n?hodn?ch faktorov.

2. Ber?c do ?vahy ?asov? faktor:

Syst?my so spojit?m ?asom

Syst?my diskr?tneho ?asu

3. Ovplyvnen? minul?mi obdobiami:

Markovove syst?my - na rie?enie ?loh 1 a 2 s? potrebn? inform?cie len za bezprostredne predch?dzaj?ce alebo nasleduj?ce obdobie. Pre Markovove syst?my m? rovnica (1) tvar: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E(t), E(t-1)) = 0

Nemarkovskej.

Niektor? v?eobecn? vlastnosti syst?mov:

kauzalita je schopnos? predv?da? d?sledky niektor?ch n?sledkov v bud?cnosti. ?as?. pr?pad: predur?enie syst?mu znamen?, ?e v podstate tak? stavy, pre ktor? sa d? na z?klade minul?ch pozorovan? vypo??ta? cel? bud?ci v?voj syst?mu.

ovl?date?nos? - spo??va v tom, ?e vhodnou vo?bou vstupnej akcie U mo?no dosiahnu? ?ubovo?n? vstupn? sign?l Y.

stabilita - syst?m je stabiln?, ak sa pri dostato?ne mal?ch zmen?ch podmienok jeho fungovania v?razne nemen? spr?vanie syst?mu.

zotrva?nos? - v?skyt oneskoren? v syst?me v reakcii (oneskorenie) na zmenu riadenia a (alebo) vonkaj?ieho prostredia.

adaptabilita - schopnos? syst?mu meni? svoje spr?vanie a (alebo) svoju ?trukt?ru v reakcii na zmenu vonkaj?ieho prostredia.

Deterministick? dynamick? syst?my s diskr?tnym ?asom.

Mnoh? aplik?cie v ekonomike vy?aduj? modelovanie syst?mov v priebehu ?asu.

Stav syst?mu v ?ase t je op?san? rozmerov?m vektorom X(t).

X(t) = ….. , X(t) R n (R je mno?ina v?etk?ch re?lnych ??sel)

t

V?voj syst?mu v priebehu ?asu popisuje funkcia

G (X 0, t, ) , kde

X 0 – po?iato?n? stav syst?mu;

t je ?as;

- vektor parametra.

Funkcia g(*) sa tie? naz?va prechodov? funkcia

Funkcia g(*) je pravidlo, ktor? popisuje aktu?lny stav ako funkciu ?asu, po?iato?n?ch podmienok a parametrov.

Napr?klad: Xt = X 0 (1+ ) t = g (X 0, t, )

Funkcia g(*) vo v?eobecnosti nie je zn?ma. Zvy?ajne sa ?pecifikuje implicitne ako rie?enie syst?mu diferen?n?ch rovn?c.

Diferen?n? rovnica alebo s?stava rovn?c je rovnica v nasleduj?com tvare: F (t, X t , X t +1 , …, X t + m , ) = 0 (1), kde

X t je stav syst?mu v ?ase t.

Rie?en?m rovnice (1) je postupnos? vektorov

Xt = X 0 , X 1 ,…,

Zvy?ajne sa predpoklad?, ?e rovnicu (1) mo?no vyrie?i? analyticky vzh?adom na X t + m a prep?sa? do podoby takzvan?ch rovn?c - stavov:

Xt+m = f (t, Xt, Xt+1, …,Xt+m-1, )(2)

Napr?klad:

Xt +2 = Xt + Xt +1/2 + t

Ka?d? syst?m m??e by? reprezentovan? vo forme (2) v?dy?

Diferen?n? rovnica (2) sa naz?va line?rny, ak F(*) je line?rna funkcia stavov?ch premenn?ch (nie nevyhnutne line?rna vzh?adom na )

V rovniciach (1) a (2) sa naz?va hodnota m syst?mov? poriadok nie je v??nym obmedzen?m, preto?e syst?m je vy??ieho r?du zaveden?m ?al??ch premenn?ch a rovn?c.

Pr?klad: X t \u003d f (X t -1, Y t -1) - syst?m 2. r?du

Zav?dzame Y t \u003d X t -1

X t \u003d f (X t -1, Yt -1)

Budeme teda bra? do ?vahy iba syst?my 1. r?du nasleduj?ceho tvaru:

Xt-1 = f(t, Xt, ) (3)

Rovnica (3) sa naz?va auton?mna, ak v nej t nie je zahrnut? ako samostatn? argument.

Pr?klad:

Zv??te dynamiku fixn?ch akt?v v podniku

K t je obstar?vacia cena dlhodob?ho majetku podniku v obdob? t.

- odpisov? sadzba, tj % z dlhodob?ho majetku, ktor? bol v priebehu roka vyraden? z podniku.

I t = invest?cie do fixn?ch akt?v.

Kt +1 = (1 - )K t + I t je rovnica prv?ho r?du, line?rna, ak I t = I, potom

Kt +1 = (1 - )K t + I je auton?mna rovnica

Ak I t = I(t) je neauton?mne (z?vis? od t)

Rie?en?m rovnice (3) je postupnos? stavov?ch vektorov (X t ) vyhovuj?cich rovnici (3) pre v?etky mo?n? stavy. T?to postupnos? sa naz?va trajekt?ria syst?mu. Rovnica (3) ukazuje, ako sa stav syst?mu men? z obdobia na obdobie a trajekt?ria syst?mu ud?va jeho v?voj ako funkciu po?iato?n?ch podmienok a stavu prostredia. .

Ak je zn?my po?iato?n? stav X 0, je ?ahk? z?ska? postupnos? rie?en? iterat?vnym aplikovan?m vz?ahu (3), prechodov? funkciu z?skame takto:

Xt +1 = f (t, Xt, )

X 1 \u003d f (0, X 0, ) = g (0, X 0, )

X 2 \u003d f (1, X, ) = f (1; f (0, X 0, );) = g (1, x 0, )

Xt+1 = f (t, Xt, ) = f (t, g, (t – 1, X 0, ),) = g (t, X0, )

Ak f (*) je jednohodnotov?, v?ade definovan? funkcia, potom existuje jedine?n? rie?enie rovnice (3) pre ?ubovo?n? X 0 .

Ak m? funkcia tvar f (t, X t , ) = / X t nie je v?ade definovan?.

Ak f(*) je spojit? diferenci?lna funkcia, potom bude rie?enie hladk? aj vzh?adom na a X0

V?sledn? rie?enie z?vis? od po?iato?n?ho stavu X 0 .

Probl?m s okrajovou podmienkou pozost?va z rovnice (3) a okrajovej podmienky ?pecifikovanej vo vzorci:

Xs = Xs (4)

Ak v rovnici (4) - S = 0 , potom sa to naz?va po?iato?n? stav.

Rovnica (3) m? ve?a rie?en? a rovnica (3) + (4) - syst?m je jedin?m rie?en?m, preto existuj? v?eobecn? a konkr?tne rie?enia diferen?nej rovnice (3):

Xtg = X(t, c, ) = (Xt (Xt +1 = f (t, Xt, ))), kde parameter e indexuje konkr?tne rie?enie.

X t - v??ka pr?spevku v okamihu t

Z - % i miera

Xt+1 = Xt(1+z); X 0 = ...

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 \u003d X 1 (1 + z) \u003d X 0 (1 + z) 2 \u003d g (X 0, t, z) kde t \u003d 2

Ak m??ete n?js? v?eobecn? rie?enie syst?mu (3) . budeme ma? kompletn? inform?cie o spr?van? syst?mu v priebehu ?asu, bude ?ahk? ur?i?, ako syst?m reaguje na meniace sa parametre.

Bohu?ia?, v?eobecn? rie?enie existuje len pre ur?it? triedy 1. r?du (najm? pre line?rne syst?my)

Auton?mne syst?my

Spr?vanie auton?mnych syst?mov je dan? diferen?nou rovnicou

X t +1 \u003d f (X t, ) (1)

Auton?mne syst?my modeluj? situ?cie, kedy ?trukt?ra syst?mu zost?va v ?ase rovnak?. To umo??uje pou?i? na anal?zu grafick? met?du.

X t \u003d 1 \u003d f (t, X t, )

X t \u003d X t +1 – X t \u003d f (t, X t, ) - Xt = d (t, Xt, ) (2)

Funkcia d (*) ukazuje, ako ve?mi sa zmen? stav syst?mu z obdobia na obdobie. V ka?dom bode Xt mo?no priradi? vektor X t v zodpovedaj?cej rovnici (2) Funkcia d (*) sa v tomto kontexte naz?va vektorov? pole

X°/t = 0

Pre auton?mne syst?my
a

V auton?mnych syst?moch v?etky syst?my, ktor? kedy zasiahli bod X 0, n?sledne sleduj? rovnak? trajekt?riu. V neauton?mnych syst?moch spr?vanie z?vis? aj od toho, kedy sa syst?m dostal do bodu X 0.

Za po?iato?nej podmienky X 0 pre auton?mne syst?my aplikujeme rovnicu (1):

uplat?ovan? dvakr?t za sebou.

Vo vy??ie uvedenom syst?me f t znamen? v?sledok aplik?cie funkcie f() iterat?vne na jej argument t-kr?t. Funkcia f t ukazuje, kam syst?m p?jde v t peri?dach od po?iato?n?ho stavu.

X t - kde sa syst?m bude pohybova? z bodu X 0 po?as t ?asov?ch ?sekov.

Funkcia f t sa niekedy naz?va tok syst?mu.

stabiln? stavy. Periodick? rovnov?hy. Stabilita.

Postupom ?asu sa syst?m dostane do stabiln?ho stavu. Preto n?s bude zauj?ma? asymptotick? spr?vanie syst?mu ako t -> ?.

Zv??te syst?m

Preto ak
existuje teda
.

Bod X sp??aj?ci rovnicu
sa naz?va pevn? bod mapovania
.

Bodka sa v kontexte dynamick?ch syst?mov naz?va stabiln? stav alebo stacion?rny stav.

Pevn? body sa ?iroko pou??vaj? na ?t?dium dlhodob?ho spr?vania dynamick?ch syst?mov.

ak
, potom 1 inak 0

Ljapunovova te?ria stability

Bodka sa naz?va Lyapunov stabiln? ak pre ak?ko?vek ??slo
existuje tak? ??slo ,
to podmienky
pre v?etk?ch
.

je d??ka vektora v rovine.

- rovnov??ny stav.

je norma vektora X.

Bodka bude Ljapunov stabiln? v pr?pade, ke? sa syst?m raz dostal do susedstva bodu a zostane v bl?zkosti .

Bodka sa naz?va asymptoticky stabiln? v zmysle Ljapunova, ak:

Pri asymptoticky stabiln?ch syst?moch sa syst?m ?asom pribli?uje k svojmu rovnov??nemu stavu.

Syst?m sa spr?va takto:

– tok syst?mu

– kam syst?m p?jde po k krokoch

Periodick? rie?enie dynamick?ho syst?mu
sa naz?va rie?enie vo forme
, kde p je peri?da syst?mu alebo peri?da trajekt?rie.

Periodick? rie?enie je teda pevn?m bodom mapovania
.

pevn? bod

Skontrolujte, ?i existuje pevn? bod
:

ak?ko?vek bod je pevn?.

Skal?rne line?rne syst?my

Skal?rne line?rne syst?my maj? tvar:
(1)

je rovnica dan? v ?ase t.

Ak v rovnici (1)
, potom
, potom sa naz?va homog?nna.

Homog?nne line?rne syst?my

Pre skal?rne syst?my je vhodn? analyzova? spr?vanie syst?mu pomocou f?zov?ho diagramu. F?zov? diagram je graf z?vislosti

Pr?pad 1.0

Je analyticky stabiln?

-line?rne, ak a=1, pod 45 0 - uhol sklonu.

Za 0

Pr?pad 2. -1

tlmen? vibr?cie

Pr?pad 3. a>1

Pr?pad 4. a<-1

Pr?pad 5. a = 1

Pr?pad 6. a = 0

Pr?pad 7. a = -1 x t+1 = -x t

Ak
, potom

, potom

V?eobecn? rie?enie homog?nnych line?rnych syst?mov m? tvar:

O
,
,

Nehomog?nne line?rne s?stavy prv?ho r?du

(1)

-ovl?danie

Pri anal?ze nehomog?nnych syst?mov hr? d?le?it? ?lohu princ?p „superpoz?cie“.

Spo??va v tom, ?e v?eobecn? rie?enie rovnice (1) mo?no zap?sa? vo forme rovnice:

(2)

kde je v?eobecn? rie?enie homog?nnej rovnice (1):
a naz?va sa doplnkov? funkcia.

je ak?ko?vek konkr?tne rie?enie nehomog?nnej rovnice (1).

Auton?mna rovnica (1)

1.

2.

d?kaz:

Ak je rie?en?m rovnice (1), teda
.

Ak je ?al?ie rie?enie rovnice (1), teda

Zv??te funkciu
a skontrolujte, ?i rie?enie rovnice (1).

2. [Nevyhnutnos?] Uk?zali sme, ?e ak za?neme s nejak?m rie?en?m a prida? k tomu
, potom dostaneme rie?enie rovnice (1). Vznik? ot?zka, ?i takto z?skame v?etky rie?enia rovnice (1). Dok??me, ?e je to naozaj tak:

M?me dve rie?enia (1), a :

Ozna?i?

- homog?nny,
z t = ca t

-= ca t
=+ cca t

Syst?my auton?mnych liniek

Xt +1 =ax t + U (3)

=+ (2)

= ma?ka

= a + U
=

=+ ma?ka

Ak

Ak

V pr?pade, ke?
?asom syst?m dosiahne stav ->a vhodnou vo?bou rovnice U m??eme dosiahnu? ak?ko?vek stav. Syst?m (3) sa potom naz?va riaden?.

Ak
, potom ?asom syst?m nadobudne neobmedzen? hodnoty bez oh?adu na rovnicu, a preto bude nekontrolovate?n?.

V?eobecn? rie?enie (3) m? tvar:

(4)

Zv??te okrajov? podmienku x s = x s:

(5)

Neauton?mne line?rne syst?my

Xt +1 =axt + Ut

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+Ut =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (ax t-2 +Ut-2)+ aUt-1 + Ut = a 3 x t-2 +a Ut-2 + aUt-1 + Ut)=

Ak
, potom

Ak
, potom

Predpokladajme, ?e postupnos? U t je ohrani?en?, t.j. Ut <= pre ak?ko?vek t.

Potom - hrani?n? hodnota.

EKONOMICK? APLIK?CIE TE?RIE LINE?RNYCH SYST?MOV

Pavu?inov? model trhovej rovnov?hy.

Hlavn? predpoklady modelu:

line?rny charakter krivky dopytu

line?rna krivka ponuky

rovnos? krivky ponuky a dopytu

kde d0, d1 >0

veta:

, kde S 1 >0, S 0 <=0 (ke??e pri cene 0 nikto ni? nevypust?).

Rovnov?ha:

d 0 -d 1 P t \u003d S 0 + S 1 P t-1

d 1 P t \u003d d 0 -S 0 -S 1 P t-1 |: d 1

Pt =
(*)

Aby sa ceny ?asom pribli?ovali k rovnov??nej cene, je potrebn?, aby pomer alebo S1 d1
v syst?me d?jde k divergentn?m oscil?ci?m.

krivka na grafe

ponuka je strm?ia ako krivka dopytu.

d 1 p * \u003d d 0 -S 0 -S 1 p *

Pre racion?lnej?ie spr?vanie by v?robcovia mali pri svojich rozhodnutiach bra? do ?vahy nielen s??asn?, ale aj bud?ce podmienky na trhu. Pre norm?lne fungovanie trhu je teda d?le?it? schopnos? ekonomick?ch subjektov vytv?ra? o?ak?vania bud?cnosti (predpoveda?).

Dynamika cien na finan?n?ch trhoch.

S - ponuka nehnute?nost?

D - dopyt po nehnute?nostiach

P t je hodnota akci? v momente t.

d t s? disidenti v ?ase t.

r je ?rokov? sadzba na vkladov?ch ??toch.

- o?ak?van? hodnota akci? v ?ase t+1.

Arbitr?? je situ?cia, ktor? umo??uje investorovi z?ska? okam?it? zisk bez rizika k?pou akt?va za n?zku cenu a jeho okam?it?m predajom za vy??iu cenu.

O trhu sa hovor?, ?e je efekt?vny, ak mu ch?baj? mo?nosti arbitr??e.

Vyu?ime z?sadu ?iadnej arbitr??e na z?skanie bilan?n?ho pomeru pre hodnotu akci?.

(1)

Na pr?klade charkovskej nehnute?nosti:

P t \u003d 30 tis?c dol?rov.

Dt = 2 tis?c dol?rov ro?ne - poplatok za pren?jom

-predpokladan? cena za byt v nasleduj?com obdob?.

\u003d 33-2 \u003d 31 tis?c dol?rov.

MECHANIZMY O?AK?VANIA

1. Model adapt?vnych o?ak?van?

=
, kde 0<=<=1

0
=

1
=

- met?da exponenci?lneho vyhladzovania (2)

(1)

(2)

Predpokladajme, ?e d t = d=kon?t. pre ?ubovo?n? t

0

Spolo?n? rozhodnutie:
, kde Р 0 je po?iato?n? hodnota akci?.

a<1,
a tP 0
0

z?kladn? hodnota akci?.

a t P 0 – ?pekulat?vna zlo?ka

2. Model racion?lnych o?ak?van?

Nev?hodou je n?zka miera u?enia ??astn?kov trhu. T?m sa otv?ra mo?nos? medzitepor?lnej arbitr??e, t.j. ?pekul?cie na predpokladan? zmeny cien akci? v nasleduj?cich obdobiach.

Na odstr?nenie tohto logick?ho rozporu bol v 70. rokoch navrhnut? model racion?lnych o?ak?van? (R. Lucas).

Podstatou modelu je, ?e v priemere sa trh nem??e systematicky m?li? pri odhadovan? ceny akt?v. V na?om modeli to znamen? nasledovn?: investori by sa nemali systematicky m?li? pri odhadovan? hodnoty akci?.

- nezaujat? odhad, t.j.
- je nestrann? odhad Pt+1; alebo
=Pt+1+Et

E t – chyba odhadu

Uva?ujme extr?mnu verziu modelu racion?lnych o?ak?van? (model s ?plnou predv?davos?ou), v ktorom je chyba odhadu 0.

Z ?pln?ho modelu predpovede predpokladajme, ?e E t = 0, t.j.
=Pt+1

Zv??te dynamiku cien akci? v modeli s ?plnou predv?davos?ou.

Arbitr??na podmienka:

(1+r) Pt = dt

(1+r) Pt = dtPt+1

= Pt+1

Pt+1 = (1+r) Pt-d (3)

P t je nestabiln?, P t ->?, ke??e (1+r) >, pokia? neza?neme z pevn?ho bodu:

Ak P t =, potom P t + k =

d=0, Pt +1 = (1+r) Pt

V modeli ?pln?ho predv?dania zohr?vaj? o?ak?vania investorov ?lohu samovyjadruj?ceho proroctva; ceny akt?v m??u r?s? donekone?na. investori veria, ?e bud? st?pa?. V takomto modeli teda dominuje ?pekulat?vna zlo?ka ceny akcie nad jej fundament?lnou hodnotou.

DYNAMICK? SYST?M, matematick? model v?voja re?lneho (fyzik?lneho, biologick?ho, ekonomick?ho at?.) syst?mu, ktor?ho stav v ktoromko?vek okamihu je jednozna?ne ur?en? jeho po?iato?n?m stavom.

Odkaz na hist?riu. Zakladate?mi te?rie dynamick?ch syst?mov s? A. Poincare a A. M. Lyapunov. Koncom 19. - za?iatkom 20. storo?ia objavili a ?tudovali triedu probl?mov (v nebeskej mechanike, v te?rii rovnov??nych ?tvarov rotuj?cej tekutiny a pod.), v ktor?ch bolo potrebn? pozna? spr?vanie viac ako jedn?ho individu?lneho rie?enia x(t) s?stavy oby?ajn?ch diferenci?lnych rovn?c (ODR), ale v?etk?ch (alebo ve?mi mnoh?ch) rie?en? zodpovedaj?cich r?znym po?iato?n?m stavom re?lneho (napr?klad fyzik?lneho) syst?mu. V tomto pr?pade m??e by? x(t) reprezentovan? ako krivka v priestore v?etk?ch mo?n?ch stavov (t.j. hodn?t vektorov x) a pomocou geometrick?ch vlastnost? tejto krivky je mo?n? pochopi? a op?sa? vlastnosti rie?enie x(t). Tak?to krivka sa naz?va f?zov? trajekt?ria.

V prvej tretine 20. storo?ia sa v pr?cach mnoh?ch matematikov rozvinula te?ria dynamick?ho syst?mu. Najv???? v?znam mali pr?ce A. A. Andronova, ktor? si uvedomil a na d?le?it?ch pr?kladoch uk?zal, ?e te?ria dynamick?ho syst?mu je efekt?vna pre ?t?dium neline?rnych procesov v pr?rode a v laborat?riu. Do tejto doby sa jasne uk?zala potreba ?tudova? neline?rne probl?my, preto?e line?rny matematick? apar?t ?asto nie je schopn? op?sa? skuto?n? procesy. Andronov op?sal samooscil?cie pomocou Poincar?ho limitn?ch cyklov a na?rtol kont?ry novej vedy – neline?rnej dynamiky. Spolu s L. S. Pontryaginom predstavil koncept hrub?ho syst?mu necitliv?ho na mal? zmeny parametrov. Tak?to syst?m pri mal?ch zmen?ch parametrov drasticky nemen? svoje vlastnosti, t.j. jeho stavy pred a po zmene parametrov s? topologicky identick? (ekvivalentn?). Hrub? syst?my vyp??aj? otvoren? plochy vo funk?nom priestore v?etk?ch dynamick?ch syst?mov. Mimo t?chto regi?nov a najm? na ich hraniciach le?ia nerovn? syst?my. Prechod cez hranicu sprev?dza rozdvojenie – zmena ?trukt?ry dynamick?ho syst?mu. V rodine dynamick?ch syst?mov, ktor? z?visia od parametra, pri poznan? ?trukt?ry dynamick?ho syst?mu pri po?iato?nej hodnote parametra a v?etk?ch bifurk?ci?ch mo?no jednozna?ne predpoveda? jeho ?trukt?ru pri kone?nej hodnote parametra.

V druhej polovici 20. storo?ia D. V. Anosov, V. I. Arnold, R. Bowen, R. Manet, Ya. G. Sinai, S. Smale, S. Hayashi, L. P. Shilnikov a ?al?? rozvinuli Andronovove my?lienky a vytvorili hlbok? a koherentn? te?ria dynamick?ho syst?mu, ktor? d?va spr?vne predstavy o podstate deterministick?ch procesov a umo??uje sk?ma? modely re?lnych syst?mov.

Charakteristika dynamick?ho syst?mu. Defin?cia dynamick?ho syst?mu zah??a priestor stavov (x) a oper?tora (z?kon) v?voja f t v z?vislosti od ?asu t, pod?a ktor?ho syst?m z po?iato?n?ho stavu x 0 prich?dza do stavu x t v ?ase t. Stav dynamick?ho syst?mu je op?san? mno?inou premenn?ch x, zvolen?mi z d?vodov prirodzenosti ich interpret?cie, jednoduchosti popisu, symetrie a pod.. Mno?ina stavov (f?z) dynamick?ho syst?mu tvor? f?zov? priestor, v ktorom ka?d? stav zodpoved? bodu a evol?cia je reprezentovan? pohybom bodu po f?zovej trajekt?rii - krivke zapustenej do f?zov?ho priestoru. Napr?klad pohyb n ?ast?c pri p?soben? pr??a?liv?ch s?l je op?san? vo f?zovom priestore mno?inou v?etk?ch mno??n s?radn?c a r?chlost? t?chto ?ast?c a evolu?n? oper?tor je ur?en? rie?en?m zodpovedaj?ceho syst?mu ODR.

Charakteristiky v?voja syst?mu sa prejavuj? v type f?zov?ch trajekt?ri?. Najm? stavu rovnov?hy dynamick?ho syst?mu zodpoved? degenerovan? trajekt?ria - bod vo f?zovom priestore, periodick? pohyb - uzavret? krivka, kv?ziperiodick? pohyb s m z?kladn?ch frekvenci? v spektre - krivka na m-rozmern? torus vlo?en? do f?zov?ho priestoru. Stacion?rny re?im (ust?len? pohyb) disipat?vneho syst?mu zodpoved? atraktoru - s?boru trajekt?ri?, ktor? k sebe pri?ahuj? v?etky bl?zke trajekt?rie. Ust?len? periodick? oscil?cie zodpovedaj? limitn?mu cyklu - izolovanej (vo f?zovom priestore) uzavretej trajekt?rii; chaotick? samooscil?cie zvy?ajne zodpovedaj? zvl??tnemu atraktoru - pri?ahovacej mno?ine pozost?vaj?cej z nestabiln?ch trajekt?ri?.

Pod?a charakteru rovn?c a v?skumn?ch met?d sa dynamick? syst?my delia na kone?norozmern? (s kone?norozmern?m f?zov?m priestorom) a nekone?nerozmern? (distribuovan?). Kone?n?-dimenzion?lne dynamick? syst?my mo?no rozdeli? na konzervat?vne a disipat?vne, ?o zodpoved? odli?nej fyzik?lnej povahe re?lnych syst?mov. Konzervat?vne dynamick? syst?my s? syst?my so zachovan?m f?zov?m objemom. Tvoria ich hamiltonovsk? syst?my s ?asovo nez?vislou hamiltonovskou funkciou. Pre disipat?vne syst?my nie je zachovan? f?zov? objem, v ich f?zovom priestore je ohrani?en? oblas? (gu?a disip?cie), do ktorej nav?dy pad? bod na akejko?vek trajekt?rii.

Dynamick? syst?my mo?no tie? rozdeli? na syst?my so spojit?m a diskr?tnym ?asom. Dynamick? syst?my so spojit?m ?asom s? zvy?ajne dan? syst?mom ODR x = f(x) (x je skal?rna alebo vektorov? veli?ina, bodka ozna?uje diferenci?ciu vzh?adom na ?as), v ktorej pre ka?d? po?iato?n? bod x existuje jedine?n? rie?enie. Rovnov??ny stav x 0 tak?hoto dynamick?ho syst?mu je ur?en? z rovnice f(x 0) = 0. Spr?vanie v bl?zkosti rovnov??neho stavu O z?vis? od vlastnost? syst?mu linearizovan?ho v bl?zkosti O, konkr?tne od kore?ov l 1, l2,.., ln charakteristickej rovnice

kde d ij je Kroneckerov symbol. Nech Re l j je z?porn? pre p a kladn? pre q kore?ov a p + q = n. Ak p \u003d n (q \u003d n), bod O sa naz?va stabiln? (nestabiln?) uzol. Trajekt?rie bl?zko tohto bodu vo f?zovom priestore s? k nemu pri?ahovan? v pr?pade stabiln?ho uzla, ke? je ?as t -> +?, a v pr?pade nestabiln?ho uzla, ke? t-> -?. Ak p?0, q?0, bod O sa naz?va sedlo. Prech?dzaj? ?ou dve plochy: p-rozmern? W s O a q-rozmern? W u O, naz?van? stabiln? a nestabiln? variety sedla O, ako aj stabiln? a nestabiln? separatrice. Tieto povrchy s? tvoren? trajekt?riami smeruj?cimi k O ako t ->+? a t -> -?. Zost?vaj?ce trajekt?rie op???aj? sedlo ako t -> ± ? (obr. 1).

Trajekt?ria, ktor? s??asne le?? v W s O W u O (a nezhoduje sa s O), sa naz?va homoklinick? alebo sedlov? separa?n? slu?ka. V jednorozmern?ch modeloch spojit?ho m?dia zodpoved? homoklinick? trajekt?ria stacion?rnej postupuj?cej vlne vo forme solit?nu.

Periodick? rie?enie x = p(t) s?stavy x = f(x) m? nasleduj?cu vlastnos?: p(t) = p(t + T) pre ?ubovo?n? t, kde T je peri?da. Toto rie?enie zodpoved? uzavretej trajekt?rii L vo f?zovom priestore. Spr?vanie sa trajekt?ri? v okol? periodickej trajekt?rie L je charakterizovan? multiplik?tormi g 1 , ..., g n , ktor? sa nach?dzaj? pomocou rie?en? syst?mu linearizovan?ho na L. Jeden z nich, napr?klad g n , sa v?dy rovn? 1. Ak |g i |< 1 (|g i | >1) pre v?etky i = 1, 2, ..., n - 1, potom je trajekt?ria L stabiln? (nestabiln?). Ak p multiplik?tory le?ia vo vn?tri a q mimo jednotkovej kru?nice v komplexnej rovine, p + q = n - 1, potom L je trajekt?ria sedlov?ho typu. Le?? v priese?n?ku dvoch pl?ch: (p + 1)-rozmern? W s L a (q + 1)-rozmern? W u L (stabiln? a nestabiln? separatrice). Povrch W s L (W u L) pozost?va z trajekt?ri? smeruj?cich k L ako t -> +? (t ->- ?). Pre n = 3 ap = q=1 je povrch W s L (W u L) topologicky ekvivalentn? valcu, ak je multiplik?tor g kladn? a v???? ako 1 (obr?zok 2).

Spr?vanie trajekt?ri? v okol? L sa ?tuduje uva?ovan?m ich st?p na (n - 1)-rozmernej ploche D pret?naj?cej (bez dotyku) L a trajekt?rie bl?zko nej. Ak je bod m 0 na D dostato?ne bl?zko k L, potom trajekt?ria prech?dzaj?ca cez m 0 pret?na D v inom bode m, ktor? sa naz?va sekven?n? mapa (Poincar?ho mapa) (obr. 3).

Lineariz?cia Poincar?ho mapy v priese?n?ku L s D je op?san? Jacobiho maticou. Jeho vlastn? hodnoty g 1 , ..., g n-1 s? multiplik?tory uzavretej trajekt?rie L.

Stabiln? a nestabiln? variety periodick?ch trajekt?ri? sa m??u pret?na?. Trajekt?ria patriaca do priese?n?ka W s L a W u L a odli?n? od L je homoklinick?. Ak k tomuto priese?n?ku d?jde bez dotyku, potom v bl?zkosti homoklinickej trajekt?rie existuje mno?ina r?znych nestabiln?ch trajekt?ri?, medzi ktor?mi je nekone?n? mno?ina uzavret?ch trajekt?ri? sedlov?ho typu. Tak?to mno?ina trajekt?ri? je typick? pre dynamick? syst?m s chaotickou dynamikou. Pr?tomnos? homoklinickej trajekt?rie teda m??e sl??i? ako krit?rium pre existenciu chaotick?ch re?imov v dynamickom syst?me (pozri Dynamick? chaos).

Dynamick? syst?my s diskr?tnym ?asom s? zvy?ajne definovan? mapovan?m G f?zov?ho priestoru do seba: x n+1 = G(x n). Potom evolu?n? oper?tor f t , t = m, je jednoducho mapa G aplikovan? m-kr?t: f n x=G(G(...G(x)...)). Napr?klad najjednoduch?? model popula?nej dynamiky popisuje hustotu po?tu ?lenov (n + 1) gener?cie, x n + 1, ako funkciu po?tu x n predch?dzaj?cej gener?cie: x n + 1 \u003d ax n - bx 2 n, a, b > 0 - nastavenie ?lohy. V z?vislosti od hodn?t a a b m??e tento dynamick? syst?m demon?trova? bu? pravideln? (v?etky atraktory s? periodick? trajekt?rie) alebo chaotick? dynamiku.

Mapa Poincar?ho v skuto?nosti definuje syst?m diskr?tneho ?asu. Napr?klad dynamick? syst?my popisuj?ce p?sobenie periodickej poruchy na syst?m ODR, ktor? mo?no zap?sa? ako x = f(x, th), th = o, kde f je vektorov? funkcia periodick? v th, v?dy generuj? Poincar?ho. mapovanie. Pre tak?to syst?my existuje glob?lna Poincar?ho se?n? plocha th = 0, ktor? ka?d? trajekt?ria pret?na nekone?ne ve?akr?t. Spr?vanie trajekt?ri? v syst?me so spojit?m ?asom je ?plne ur?en? dynamick?m syst?mom s diskr?tnym ?asom.

D?le?itou s??as?ou te?rie dynamick?ho syst?mu je ergodick? te?ria, ktor? popisuje ?tatistick? vlastnosti trajekt?ri?. Ak s? nestabiln?, body na r?znych trajekt?ri?ch sa v procese evol?cie rozch?dzaj? o zna?n? vzdialenos? od seba, napriek bl?zkosti po?iato?n?ch stavov syst?m demon?truje „citliv? z?vislos?“ od po?iato?n?ch podmienok. (V?imnite si, ?e nemo?nos? dlhodobej predpovede po?asia s?vis? pr?ve s nestabilitou trajekt?ri?.) podmienok. Tieto trajekt?rie m??u ma? r?zne vlastnosti a rozmanitos? t?chto vlastnost? mo?no op?sa? z h?adiska rozdelenia pravdepodobnosti.

A. Poincar? ako prv? vyjadril v kvalitat?vnej forme my?lienku, ?e ke? s? trajekt?rie dynamick?ho syst?mu nestabiln?, m??eme hovori? o ich ?tatistick?ch vlastnostiach rovnak?ho charakteru, ktor? u? boli v tom ?ase spom?nan? v pr?cach L. Boltzmann a J. W. Gibbs o ?tatistickej mechanike. Podobn? my?lienky boli implementovan? v ergodickej te?rii a ?spe?ne plnia ?lohu „mostu“ medzi deterministick?m a n?hodn?m „svetom“.

Pomocou te?rie dynamick?ho syst?mu boli ?tudovan? a vysvetlen? mnoh? neline?rne javy v pr?rode a technike, ako napr?klad dynamick? chaos, synchroniz?cia periodick?ch a chaotick?ch oscil?ci?, vytv?ranie disipat?vnych ?trukt?r, ?asopriestorov? chaos v modeloch distribuovan?ch syst?my, s??a? re?imov v neur?nov?ch sie?ach mozgu at?.

Lit.: Kvalitat?vna te?ria dynamick?ch syst?mov 2. r?du. M., 1967; Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V. Ergodic theory. M., 1980; V?sledky vedy a techniky. Ser. Modern? probl?my matematiky. z?kladn? smery. M., 1985-1991. [T. 1-9]: Dynamick? syst?my; Katok A., Hasselblatt B. ?vod do modernej te?rie dynamick?ch syst?mov. M., 1999.

V. S. Afraimovi?, M. I. Rabinovi?.