Ako zisti? v??ku lichobe?n?ka, ak s? zn?me z?klady. V?etky mo?nosti, ako n?js? oblas? lichobe?n?ka

Oblas? lichobe?n?ka. Pozdravujem! V tejto publik?cii sa budeme zaobera? t?mto vzorcom. Pre?o je to tak a ako to m??ete pochopi?? Ak existuje porozumenie, nemus?te sa to u?i?. Ak chcete len vidie? tento vzorec a ?o je naliehav?, m??ete okam?ite posun?? str?nku nadol))

Teraz podrobne a v poriadku.

Lichobe?n?k je ?tvoruholn?k, dve strany tohto ?tvoruholn?ka s? rovnobe?n?, ostatn? dve nie s?. Tie, ktor? nie s? rovnobe?n?, s? z?kladne lichobe?n?ka. ?al?ie dve sa naz?vaj? strany.

Ak s? strany rovnak?, potom sa lichobe?n?k naz?va rovnoramenn?. Ak je jedna zo str?n kolm? na z?kladne, potom sa tak?to lichobe?n?k naz?va obd??nikov?.

V klasickej forme je lichobe?n?k zn?zornen? nasledovne - v???ia z?klad?a je dole, respekt?ve men?ia je hore. Ale nikto to nezakazuje zobrazova? a naopak. Tu s? n??rty:

?al?? d?le?it? koncept.
Stredov? ?iara lichobe?n?ka je segment, ktor? sp?ja stredy str?n. Stredov? ?iara je rovnobe?n? so z?klad?ami lichobe?n?ka a rovn? sa ich polovi?n?mu s??tu.

Teraz po?me hlb?ie. Pre?o presne?

Zv??te lichobe?n?k so z?klad?ami a a b a so strednou ?iarou l a vykonajte nieko?ko ?al??ch kon?trukci?: nakreslite rovn? ?iary cez z?kladne a kolmice cez konce stredovej ?iary, k?m sa nepretn? so z?klad?ami:

*P?smenov? ozna?enia vrcholov a in?ch bodov nie s? zad?van? z?merne, aby sa predi?lo zbyto?n?mu ozna?eniu.

Pozrite, trojuholn?ky 1 a 2 s? rovnak? pod?a druh?ho znamienka rovnosti trojuholn?kov, trojuholn?ky 3 a 4 s? rovnak?. Z rovnosti trojuholn?kov vypl?va rovnos? prvkov, konkr?tne n?h (s? vyzna?en? modrou a ?ervenou farbou).

Teraz pozornos?! Ak ment?lne „odre?eme“ modr? a ?erven? segmenty zo spodnej z?kladne, potom budeme ma? segment (to je strana obd??nika) rovn? strednej ?iare. ?alej, ak „prilep?me“ odrezan? modr? a ?erven? segmenty na horn? z?klad?u lichobe?n?ka, z?skame tie? segment (to je tie? strana obd??nika) rovn? strednej ?iare lichobe?n?ka.

M?m to? Ukazuje sa, ?e s??et z?kladov sa bude rovna? dvom medi?nom lichobe?n?ka:

Pozrite si ?al?ie vysvetlenie

Urobme nasledovn? - postav?me priamku prech?dzaj?cu spodnou z?klad?ou lichobe?n?ka a priamku, ktor? bude prech?dza? bodmi A a B:

Dostaneme trojuholn?ky 1 a 2, s? rovnak? v bo?n?ch a susedn?ch uhloch (druh? znak rovnosti trojuholn?kov). To znamen?, ?e v?sledn? segment (na n??rte je ozna?en? modrou farbou) sa rovn? hornej z?kladni lichobe?n?ka.

Teraz zv??te trojuholn?k:

*Stredn? ?iara tohto lichobe?n?ka a stredn? ?iara trojuholn?ka sa zhoduj?.

Je zn?me, ?e trojuholn?k sa rovn? polovici z?kladne rovnobe?nej s n?m, to znamen?:

Dobre, rozumiem. Teraz o oblasti lichobe?n?ka.

Vzorec pre oblas? lichobe?n?ka:

Hovor? sa: plocha lichobe?n?ka sa rovn? s??inu polovice s??tu jeho z?kladov a v??ky.

To znamen?, ?e sa ukazuje, ?e sa rovn? s??inu stredovej ?iary a v??ky:

Pravdepodobne ste si u? v?imli, ?e je to zrejm?. Geometricky sa to d? vyjadri? takto: ak v duchu odre?eme trojuholn?ky 2 a 4 z lichobe?n?ka a polo??me ich na trojuholn?ky 1 a 3:

Potom dostaneme obd??nik s plochou rovnaj?cou sa ploche n??ho lichobe?n?ka. Plocha tohto obd??nika sa bude rovna? s??inu stredovej ?iary a v??ky, to znamen?, ?e m??eme nap?sa?:

Ale tu nejde o p?sanie, samozrejme, ale o pochopenie.

Stiahnite si (zobrazte) materi?l ?l?nku vo form?te *pdf

To je v?etko. Ve?a ??astia!

S pozdravom Alexander.

Lichobe?n?k je reli?fny ?tvoruholn?k, v ktorom s? dve proti?ahl? strany rovnobe?n? a ?al?ie dve s? nerovnobe?n?. Ak s? v?etky proti?ahl? strany ?tvoruholn?ka p?rovo rovnobe?n?, potom ide o rovnobe?n?k.

Budete potrebova?

- v?etky strany lichobe?n?ka (AB, BC, CD, DA).

In?trukcia

1. neparaleln? strany trap?z sa naz?vaj? bo?n? strany a paraleln? z?kladne. ?iara medzi z?klad?ami, kolm? na ne - v??ka trap?z. Ak strana strany trap?z rovn?, naz?va sa rovnoramenn?. Najprv sa pozrime na rie?enie trap?z, ktor? nie je rovnoramenn?.

2. Nakreslite ?iaru BE z bodu B k spodnej z?kladni AD rovnobe?ne so stranou trap?z CD. Preto?e BE a CD s? rovnobe?n? a nakreslen? medzi rovnobe?n?mi z?klad?ami trap?z BC a DA, potom BCDE je rovnobe?n?k a jeho protiklady strany BE a CD s? si rovn?. BE = CD.

3. Uva?ujme trojuholn?k ABE. Vypo??tajte stranu AE. AE = AD-ED. z?klady trap?z BC a AD s? zn?me a v rovnobe?n?ku s? BCDE opa?n? strany ED a BC s? rovnak?. ED=BC, tak?e AE=AD-BC.

4. Teraz zistite oblas? trojuholn?ka ABE pomocou Heronovho vzorca v?po?tom polobvodu. S=kore?(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). V tomto vzorci je p semiperimeter trojuholn?ka ABE. p = 1/2* (AB+BE+AE). Na v?po?et plochy pozn?te v?etky potrebn? ?daje: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Vyjadrite z tohto vzorca v??ku trojuholn?ka, ktor? je z?rove? v??kou trap?z. BH = 2 x S/AE. Vypo??tajte si to.

7. Ak je lichobe?n?k rovnoramenn?, rozhodnutie sa m??e vykona? in?m sp?sobom. Uva?ujme trojuholn?k ABH. Je obd??nikov?, preto?e jeden z rohov, BHA, je rovn?.

8. Nakreslite v??ku CF z vrcholu C.

9. Presk?majte hodnotu HBCF. HBCF obd??nik, z toho, ?e s? dva strany s? v??ky a ?al?ie dve s? z?kladne trap?z, to znamen?, ?e uhly s? prav? a opa?n? strany s? paraleln?. To znamen?, ?e BC=HF.

10. Pozrite sa na pravouhl? trojuholn?ky ABH a FCD. Rohy vo v??kach BHA a CFD s? rovn? a rohy s? bo?n? strany x BAH a CDF s? rovnak?, preto?e lichobe?n?k ABCD je rovnoramenn?, tak?e trojuholn?ky s? podobn?. Preto?e v??ky BH a CF s? bu? bo?n? strany rovnoramenn? trap?z AB a CD s? rovnak?, potom s? rovnak? aj podobn? trojuholn?ky. Tak?e ich strany AH a FD s? tie? rovnak?.

11. Zisti? AH. AH+FD=AD-HF. Preto?e z rovnobe?n?ka HF=BC az trojuholn?kov AH=FD potom AH=(AD-BC)*1/2.

Lichobe?n?k je geometrick? ?tvar, ktor? je ?tvoruholn?kom, v ktorom s? dve strany, ktor? sa naz?vaj? z?kladne, rovnobe?n? a ?al?ie dve nie s? rovnobe?n?. Naz?vaj? sa strany. trap?z. Segment nakreslen? cez stredy str?n sa naz?va stredov? ?iara. trap?z. Lichobe?n?k m??e ma? r?zne d??ky str?n alebo identick?, v tomto pr?pade sa naz?va rovnoramenn?. Ak je jedna zo str?n kolm? na z?klad?u, potom bude lichobe?n?k obd??nikov?. Ove?a praktickej?ie je ale vedie? odhali? n?mestie trap?z .

Budete potrebova?

Prav?tko s milimetrov?mi dielikmi

In?trukcia

1. Zmerajte v?etky strany trap?z: AB, BC, CD a DA. Zap??te si v?sledky svojich meran?.

2. Na segmente AB ozna?te stred - bod K. Na segmente DA ozna?te bod L, ktor? je tie? v strede segmentu AD. Spojte body K a L, v?sledn? segment KL bude stredov? ?iara trap?z A B C D. Zmerajte segment KL.

3. Z vrchu trap?z- t??ba C, zn??te kolmicu na jej z?klad?u AD o segment CE. On bude v??ka trap?z A B C D. Zmerajte segment CE.

4. Segment KL potom naz?vame p?smenom m a segment CE p?smenom h n?mestie S trap?z Vypo??tajte ABCD pomocou vzorca: S=m*h, kde m je stredov? ?iara trap?z ABCD, h - v??ka trap?z A B C D.

5. Existuje ?al?? vzorec, ktor? v?m umo??uje vypo??ta? n?mestie trap?z A B C D. Spodn? z?klad?a trap?z Nazvime AD p?smeno b a horn? z?klad?u BC - p?smeno a. Plocha je ur?en? vzorcom S=1/2*(a+b)*h, kde a a b s? z?klady trap?z, h - v??ka trap?z .

Podobn? vide?

Tip 3: Ako zisti? v??ku lichobe?n?ka, ak pozn?te oblas?

Lichobe?n?k je ?tvoruholn?k, v ktorom s? dve z jeho ?tyroch str?n navz?jom rovnobe?n?. Z?kladom s? rovnobe?n? strany trap?z, pri?om ?al?ie dve s? bo?n? strany dan?ho trap?z. objavi? v??ka trap?z, ak je zn?ma jeho oblas?, bude to ve?mi jednoduch?.

In?trukcia

1. Mus?me zisti?, ako je dovolen? vypo??ta? plochu inici?ly trap?z. Existuje na to nieko?ko vzorcov v z?vislosti od po?iato?n?ch ?dajov: S = ((a + b) * h) / 2, kde a a b s? d??ky z?kladov trap?z a h je jeho v??ka (V??ka trap?z- kolmica spadnut? z jednej podstavy trap?z do in?ho); S \u003d m * h, kde m je stredn? ?iara trap?z(Stredn? ?iara je segment rovnobe?n? so z?klad?ami trap?z a spojenie stredov jeho str?n).

2. Teraz, ke? pozn?me vzorce na v?po?et plochy trap?z, je dovolen? z nich odvodi? nov?, zisti? v??ku trap?z:h = (2xS)/(a+b);h = S/m.

3. Aby bolo jasnej?ie, ako rie?i? podobn? probl?my, je dovolen? vidie? pr?klady: Pr?klad 1: Dan? lichobe?n?k, ktor?ho plocha je 68 cm ?, ktor?ho priemern? ?iara je 8 cm v??ka dan? trap?z. Na vyrie?enie tohto probl?mu mus?te pou?i? predt?m odvoden? vzorec: h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Odpove?: v??ka tohto trap?z je 8,5 cm Pr?klad 2: Let trap?z plocha je 120 cm ?, d??ky z?kladov dan?ho trap?z s? 8 cm a 12 cm, v tomto porad?, je potrebn? zisti? v??ka toto trap?z. Ak to chcete urobi?, pou?ite jeden z odvoden?ch vzorcov: h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Odpove?: v??ka dan?ho trap?z rovn?ch 12 cm

Podobn? vide?

Pozn?mka!
Ka?d? lichobe?n?k m? nieko?ko vlastnost?: - stredn? ?iara lichobe?n?ka sa rovn? polovici s??tu jeho z?kladov; - segment, ktor? sp?ja uhloprie?ky lichobe?n?ka, sa rovn? polovici rozdielu jeho z?kladov; - ak je priamka je nakreslen? cez stredy z?kladn?, potom pret?na priese?n?k uhloprie?ok lichobe?n?ka; - je dovolen? vp?sa? kruh do lichobe?n?ka, ak sa s??et z?kladn? tohto lichobe?n?ka rovn? s??tu jeho strany.Tieto vlastnosti pou?ite pri rie?en? probl?mov.

Tip 4: Ako zisti? v??ku trojuholn?ka pod?a s?radn?c bodov

V??ka v trojuholn?ku je priamka sp?jaj?ca horn? ?as? postavy s opa?nou stranou. Tento segment mus? by? ur?ite kolm? na stranu, preto je mo?n? z ak?hoko?vek vrcholu nakresli? iba jeden v??ka. Z toho, ?e na tomto obr?zku s? tri vrcholy, je v ?om to?ko v??ok. Ak je trojuholn?k dan? s?radnicami jeho vrcholov, v?po?et d??ky ktorejko?vek z v??ok sa d? urobi? povedzme pomocou vzorca na zistenie plochy a v?po?et d??ok str?n.

In?trukcia

1. Na z?klade v?po?tov plocha trojuholn?k rovn? polovici s??inu d??ky ka?dej z jeho str?n a d??ky v??ky zn??enej na t?to stranu. Z tejto defin?cie vypl?va, ?e ak chcete n?js? v??ku, mus?te pozna? oblas? postavy a d??ku strany.

2. Za?nite v?po?tom d??ok str?n trojuholn?k. Ozna?te s?radnice vrcholov obr?zku nasledovne: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) a C(X?,Y?,Z?). Potom m??ete vypo??ta? d??ku strany AB pomocou vzorca AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Pre ostatn? 2 strany bud? tieto vzorce vyzera? takto: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) a AC = ?(( Xa-X+)+ (Y+-Y+)+ (Z+-Z+)+). Povedzme za trojuholn?k so s?radnicami A(3,5,7), B(16,14,19) a C(1,2,13) je d??ka strany AB ?((3-16)? + (5-14) a + (7-19)?) = a(-13a + (-9?) + (-12?)) = a(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19,85. D??ky str?n BC a AC vypo??tan? rovnakou met?dou sa bud? rovna?? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20,12 a a(2a + 3a + (-6?)) = A49 = 7.

3. Zru?nosti d??ok 3 str?n z?skan? v predch?dzaj?com kroku sta?ia na v?po?et plochy trojuholn?k(S) pod?a Heronovho vzorca: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Povedzme, ?e po nahraden? hodn?t z?skan?ch zo s?radn?c do tohto vzorca trojuholn?k-pr?klad z predch?dzaj?ceho kroku, tento vzorec poskytne nasleduj?cu hodnotu: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20 ,12) * (19,85+ 20,12-7)) = ?*? (46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Na z?klade oblasti trojuholn?k, vypo??tan? v predch?dzaj?com kroku a d??ky str?n z?skan? v druhom kroku, vypo??tajte v??ky pre ka?d? zo str?n. Preto?e plocha sa rovn? polovici s??inu v??ky a d??ky strany, na ktor? je nakreslen?, na zistenie v??ky vyde?te dvojn?sobok plochy d??kou po?adovanej strany: H \u003d 2 * S / a. Vo vy??ie uvedenom pr?klade bude v??ka zn??en? na stranu AB 2 * 68,815 / 16,09? 8,55, v??ka na stranu BC bude ma? d??ku 2 * 68,815 / 20,12? 6,84 a na strane AC sa t?to hodnota bude rovna? 2 * 68,815 / 7? 19,66.

Lichobe?n?k je tak? ?tvoruholn?k, ktor?ho dve strany s? rovnobe?n? (toto s? z?kladne lichobe?n?ka, zn?zornen? na obr?zku a a b), a ?al?ie dve nie s? (na obr?zku AD a CB). V??ka lichobe?n?ka je segment h nakreslen? kolmo na z?kladne.

Ako n?js? v??ku lichobe?n?ka vzh?adom na plochu lichobe?n?ka a d??ky z?kladne?

Na v?po?et plochy S lichobe?n?ka ABCD pou?ijeme vzorec:

S = ((a + b) x h)/2.

Tu s? segmenty a a b z?kladne lichobe?n?ka, h je v??ka lichobe?n?ka.

Transform?ciou tohto vzorca m??eme nap?sa?:

Pomocou tohto vzorca z?skame hodnotu h, ak je zn?ma hodnota plochy S a d??ky b?z a a b.

Pr?klad

Ak je zn?me, ?e plocha lichobe?n?ka S je 50 cm?, d??ka z?kladne a je 4 cm, d??ka z?kladne b je 6 cm, potom na zistenie v??ky h pou?ijeme vzorec:

Nahra?te zn?me hodnoty do vzorca.

h \u003d (2 x 50) / (4 + 6) \u003d 100 / 10 \u003d 10 cm

Odpove?: V??ka lichobe?n?ka je 10 cm.

Ako n?js? v??ku lichobe?n?ka, ak je uveden? plocha lichobe?n?ka a d??ka stredovej ?iary?

Pou?ime vzorec na v?po?et plochy lichobe?n?ka:

Tu m je stredn? ?iara, h je v??ka lichobe?n?ka.

Ak vyvstane ot?zka, ako n?js? v??ku lichobe?n?ka, vzorec:

h = S/m, bude odpove?.

M??eme teda n?js? hodnotu v??ky lichobe?n?ka h so zn?mymi hodnotami plochy S a segmentu stredovej ?iary m.

Pr?klad

Zn?ma je d??ka stredovej ?iary lichobe?n?ka m, ktor? je 20 cm, a plocha S, ktor? je 200 cm?. N?jdite hodnotu v??ky lichobe?n?ka h.

Nahraden?m hodn?t S a m dostaneme:

h = 200/20 = 10 cm

Odpove?: v??ka lichobe?n?ka je 10 cm

Ako zisti? v??ku pravouhl?ho lichobe?n?ka?

Ak je lichobe?n?k ?tvoruholn?k, s dvoma rovnobe?n?mi stranami (z?klad?ami) lichobe?n?ka. Potom je diagon?la segment, ktor? sp?ja dva proti?ahl? vrcholy uhlov lichobe?n?ka (segment AC na obr?zku). Ak je lichobe?n?k pravouhl?, pomocou uhloprie?ky zist?me v??ku lichobe?n?ka h.

Obd??nikov? lichobe?n?k je tak? lichobe?n?k, kde jedna zo str?n je kolm? na z?kladne. V tomto pr?pade sa jeho d??ka (AD) zhoduje s v??kou h.

Uva?ujme teda o pravouhlom lichobe?n?ku ABCD, kde AD je v??ka, DC je z?klad?a, AC je uhloprie?ka. Vyu?ime Pytagorovu vetu. Druh? mocnina prepony AC pravouhl?ho trojuholn?ka ADC sa rovn? s??tu ?tvorcov jeho ramien AB a BC.

Potom m??ete nap?sa?:

AC? = AD? + DC?.

AD je noha trojuholn?ka, strana lichobe?n?ka a z?rove? jeho v??ka. Koniec koncov, segment AD je kolm? na z?kladne. Jeho d??ka bude:

AD = ? (AC? - DC?)

M?me teda vzorec na v?po?et v??ky lichobe?n?ka h = AD

Pr?klad

Ak je d??ka z?kladne pravouhl?ho lichobe?n?ka (DC) 14 cm a uhloprie?ka (AC) je 15 cm, na z?skanie hodnoty v??ky (AD -strana) pou?ijeme Pytagorovu vetu.

Nech x je nezn?ma vetva pravouhl?ho trojuholn?ka (AD).

AC? = AD? + DC? mo?no zap?sa?

15? = 14? + x?,

x = ?(15?-14?) = ?(225-196) = ?29 cm

Odpove?: v??ka pravouhl?ho lichobe?n?ka (AB) bude ?29 cm, ?o bude pribli?ne 5,385 cm

Ako zisti? v??ku rovnoramenn?ho lichobe?n?ka?

Rovnoramenn? lichobe?n?k je lichobe?n?k, v ktorom s? d??ky str?n navz?jom rovnak?. Osou symetrie bude priamka veden? cez stredy z?kladne tak?hoto lichobe?n?ka. ?peci?lnym pr?padom je lichobe?n?k, ktor?ho uhloprie?ky s? na seba kolm?, vtedy sa v??ka h bude rovna? polovici s??tu z?kladn?.

Zv??te pr?pad, ke? uhloprie?ky nie s? na seba kolm?. V rovnoramennom (rovnomernom) lichobe?n?ku s? uhly na z?kladniach rovnak? a d??ky uhloprie?ok s? rovnak?. Je tie? zn?me, ?e v?etky vrcholy rovnoramenn?ho lichobe?n?ka sa dot?kaj? ?iary kruhu nakreslenej okolo tohto lichobe?n?ka.

Zv??te kresbu. ABCD je rovnoramenn? lichobe?n?k. Je zn?me, ?e z?kladne lichobe?n?ka s? rovnobe?n?, ?o znamen?, ?e BC = b je rovnobe?n? s AD = a, strana AB = CD = c, ?o znamen?, ?e uhly na z?kladniach s? rovnak?, resp. uhol BAQ = CDS = a a uhol ABC = BCD = v. Dospeli sme teda k z?veru, ?e trojuholn?k ABQ sa rovn? trojuholn?ku SCD, ?o znamen?, ?e segment

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

Ak m?me pod?a stavu probl?mu hodnoty z?kladne a a b a d??ku bo?nej strany c, n?jdeme v??ku lichobe?n?ka h rovn? segmentu BQ.

Uva?ujme pravouhl? trojuholn?k ABQ. BO - v??ka lichobe?n?ka, kolm? na z?klad?u AD, teda segment AQ. Stranu AQ trojuholn?ka ABQ n?jdeme pomocou vzorca, ktor? sme odvodili sk?r:

Ak m?me hodnoty dvoch ramien pravouhl?ho trojuholn?ka, n?jdeme preponu BQ = h. Pou??vame Pytagorovu vetu.

AB?= AQ? + BQ?

Nahra?te tieto ?lohy:

c? = AQ? + h?.

Z?skame vzorec na zistenie v??ky rovnoramenn?ho lichobe?n?ka:

h = ?(c2-AQ2).

Pr?klad

Je dan? rovnoramenn? lichobe?n?k ABCD, kde z?klad?a AD = a = 10 cm, z?klad?a BC = b = 4 cm a strana AB = c = 12 cm. Za tak?chto podmienok sa pozrime na pr?klad, ako zisti? v??ku lichobe?n?ka, rovnoramenn?ho lichobe?n?ka ABCD.

N?jdite stranu AQ trojuholn?ka ABQ dosaden?m zn?mych ?dajov:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2 = 3 cm.

Teraz dosa?te hodnoty str?n trojuholn?ka do vzorca Pytagorovej vety.

h = ?(c?- AQ?) = ?(12?- 3?) = ?135 = 11,6 cm.

Odpove?. V??ka h rovnoramenn?ho lichobe?n?ka ABCD je 11,6 cm.

V matematike je zn?mych nieko?ko typov ?tvoruholn?kov: ?tvorec, obd??nik, koso?tvorec, rovnobe?n?k. Medzi nimi je lichobe?n?k - druh konvexn?ho ?tvoruholn?ka, v ktorom s? dve strany rovnobe?n? a ostatn? dve nie s?. Rovnobe?n? proti?ahl? strany sa naz?vaj? z?kladne a ?al?ie dve sa naz?vaj? strany lichobe?n?ka. Segment, ktor? sp?ja stredy str?n, sa naz?va stredov? ?iara. Existuje nieko?ko typov lichobe?n?kov: rovnoramenn?, obd??nikov?, krivo?iare. Pre ka?d? typ lichobe?n?ka existuj? vzorce na zistenie oblasti.

Oblas? trap?zu

Ak chcete n?js? oblas? lichobe?n?ka, mus?te pozna? d??ku jeho z?kladov a jeho v??ku. V??ka lichobe?n?ka je segment kolm? na z?kladne. Nech je horn? z?klad?a a, spodn? z?klad?a b a v??ka h. Potom m??ete vypo??ta? plochu S pod?a vzorca:

S = 1/2* (a + b) * h

tie. vezmite polovicu s??tu z?kladov vyn?soben?ch v??kou.

M??ete tie? vypo??ta? plochu lichobe?n?ka, ak pozn?te hodnotu v??ky a stredovej ?iary. Ozna?me stredn? ?iaru - m. Potom

Vyrie?me probl?m zlo?itej?ie: pozn?me d??ky ?tyroch str?n lichobe?n?ka - a, b, c, d. Potom sa oblas? n?jde pod?a vzorca:

Ak s? zn?me d??ky uhloprie?ok a uhol medzi nimi, potom sa oblas? h?ad? takto:

S = 1/2 * d1 * d2 * sina

kde d s indexmi 1 a 2 s? uhloprie?ky. V tomto vzorci je vo v?po?te uveden? s?nus uhla.

Pri zn?mych d??kach z?kladne a a b a dvoch uhloch na spodnej z?kladni sa plocha vypo??ta takto:

S = 1/2 * (b2 - a2) * (sin a * sin v / sin (a + v))

Oblas? rovnoramenn?ho lichobe?n?ka

Rovnoramenn? lichobe?n?k je ?peci?lny pr?pad lichobe?n?ka. Jeho rozdiel je v tom, ?e tak?to lichobe?n?k je konvexn? ?tvoruholn?k s osou symetrie prech?dzaj?cou stredmi dvoch proti?ahl?ch str?n. Jeho strany s? rovnak?.

Existuje nieko?ko sp?sobov, ako n?js? oblas? rovnoramenn?ho lichobe?n?ka.

Cez d??ky troch str?n. V tomto pr?pade sa d??ky str?n zhoduj?, preto s? ozna?en? jednou hodnotou - c, a a b - d??ky z?kladne:

Ak je zn?ma d??ka hornej z?kladne, bo?nej strany a uhol spodnej z?kladne, potom sa plocha vypo??ta takto:

S = c * sin a * (a + c * cos a)

kde a je horn? z?klad?a, c je strana.

Ak je namiesto hornej z?kladne zn?ma d??ka spodnej z?kladne - b, plocha sa vypo??ta pod?a vzorca:

S = c * sin a * (b - c * cos a)

Ak s? zn?me dve z?kladne a uhol pri spodnej z?kladni, plocha sa vypo??ta pomocou doty?nice uhla:

S = 1/2 * (b2 - a2) * tg a

Plocha sa tie? vypo??ta cez uhloprie?ky a uhol medzi nimi. V tomto pr?pade maj? uhloprie?ky rovnak? d??ku, tak?e ka?d? je ozna?en? p?smenom d bez indexov:

S = 1/2 * d2 * sina

Vypo??tajte plochu lichobe?n?ka, pri?om pozn?te d??ku bo?nej strany, stredov? ?iaru a uhol na spodnej z?kladni.

Nechajte stranu - c, stredn? ?iaru - m, roh - a, potom:

S = m * c * sina

Niekedy m??e by? do rovnostrann?ho lichobe?n?ka vp?san? kru?nica, ktorej polomer bude - r.

Je zn?me, ?e kru?nicu je mo?n? vp?sa? do ak?hoko?vek lichobe?n?ka, ak sa s??et d??ok z?kladn? rovn? s??tu d??ok jeho str?n. Potom sa oblas? n?jde cez polomer vp?sanej kru?nice a uhol na spodnej z?kladni:

S = 4r2/sina

Rovnak? v?po?et sa vykon? cez priemer D vp?sanej kru?nice (mimochodom, zhoduje sa s v??kou lichobe?n?ka):

Po znalosti z?kladne a uhla sa plocha rovnoramenn?ho lichobe?n?ka vypo??ta takto:

S = a*b/sina

(tento a nasleduj?ce vzorce platia len pre lichobe?n?ky s vp?san?m kruhom).

Prostredn?ctvom z?kladne a polomeru kruhu sa oblas? h?ad? takto:

Ak s? zn?me iba z?klady, potom sa plocha vypo??ta pod?a vzorca:

Cez z?kladne a bo?n? ?iaru sa plocha lichobe?n?ka s vp?san?m kruhom a cez z?kladne a stredov? ?iaru - m vypo??ta takto:

Oblas? pravouhl?ho lichobe?n?ka

Lichobe?n?k sa naz?va obd??nikov?, v ktorom je jedna zo str?n kolm? na z?kladne. V tomto pr?pade sa d??ka strany zhoduje s v??kou lichobe?n?ka.

Obd??nikov? lichobe?n?k je ?tvorec a trojuholn?k. Po n?jden? plochy ka?dej z fig?rok spo??tajte v?sledky a z?skajte celkov? plochu fig?ry.

Na v?po?et plochy pravouhl?ho lichobe?n?ka s? vhodn? aj v?eobecn? vzorce na v?po?et plochy lichobe?n?ka.

Ak s? zn?me d??ky z?kladne a v??ka (alebo kolm? strana), potom sa plocha vypo??ta pod?a vzorca:

S = (a + b) * h/2

Ako h (v??ka) m??e by? strana s. Potom vzorec vyzer? takto:

S = (a + b) * c / 2

?al??m sp?sobom, ako vypo??ta? plochu, je vyn?sobi? d??ku stredovej ?iary v??kou:

alebo d??kou bo?nej kolmej strany:

?al?ia met?da v?po?tu je cez polovicu s??inu uhloprie?ok a s?nusu uhla medzi nimi:

S = 1/2 * d1 * d2 * sina

Ak s? uhloprie?ky kolm?, vzorec sa zjednodu?? na:

S = 1/2 * d1 * d2

?al?? sp?sob v?po?tu je cez polobvod (s??et d??ok dvoch proti?ahl?ch str?n) a polomer vp?sanej kru?nice.

Tento vzorec plat? pre b?zy. Ak vezmeme d??ky str?n, potom sa jedna z nich bude rovna? dvojn?sobku polomeru. Vzorec bude vyzera? takto:

S = (2r + c) * r

Ak je kruh vp?san? do lichobe?n?ka, potom sa plocha vypo??ta rovnak?m sp?sobom:

kde m je d??ka stredovej ?iary.

Oblas? krivo?iareho lichobe?n?ka

Krivkov? lichobe?n?k je ploch? ?tvar ohrani?en? grafom nez?pornej spojitej funkcie y = f(x) definovanej na ?se?ke , na osi x a na priamkach x = a, x = b. V skuto?nosti s? dve jeho strany navz?jom rovnobe?n? (z?kladne), tretia strana je kolm? na z?kladne a ?tvrt? je krivka zodpovedaj?ca grafu funkcie.

Oblas? krivo?iareho lichobe?n?ka sa h?ad? cez integr?l pomocou Newton-Leibnizovho vzorca:

Takto sa vypo??tavaj? plochy r?znych typov lichobe?n?kov. Ale okrem vlastnost? str?n maj? lichobe?n?ky rovnak? vlastnosti uhlov. Ako v?etky existuj?ce ?tvoruholn?ky, s??et vn?torn?ch uhlov lichobe?n?ka je 360 stup?ov. A s??et uhlov susediacich so stranou je 180 stup?ov.

Geometria patr? medzi vedy, s vyu??van?m ktor?ch sa v praxi ?lovek stret?va takmer denne. Medzi r?znymi geometrick?mi tvarmi si osobitn? pozornos? zasl??i lichobe?n?k. Je to konvexn? postava so ?tyrmi stranami, z ktor?ch dve s? navz?jom rovnobe?n?. Posledne menovan? sa naz?vaj? z?kladne a zvy?n? dve sa naz?vaj? strany. Segment kolm? na z?kladne a ur?uj?ci ve?kos? medzery medzi nimi bude v??ka lichobe?n?ka. Ako m??ete vypo??ta? jeho d??ku?

N?jdite v??ku ?ubovo?n?ho lichobe?n?ka

Na z?klade po?iato?n?ch ?dajov je mo?n? ur?i? v??ku postavy nieko?k?mi sp?sobmi.

Zn?ma oblas?

Ak je zn?ma d??ka rovnobe?n?ch str?n a je ozna?en? aj plocha obr?zku, potom je mo?n? na ur?enie po?adovanej kolmice pou?i? nasleduj?ci vz?ah:

S=h*(a+b)/2,
h je po?adovan? hodnota (v??ka),
S je plocha postavy,
a a b s? strany navz?jom rovnobe?n?.
Z vy??ie uveden?ho vzorca vypl?va, ?e h=2S/(a+b).

Hodnota strednej ?iary je zn?ma

Ak je medzi po?iato?n?mi ?dajmi okrem oblasti lichobe?n?ka (S) zn?ma aj d??ka jeho stredovej ?iary (l), potom je na v?po?ty u?ito?n? ?al?? vzorec. Po prv?, stoj? za to objasni?, ?o je stredn? ?iara pre tento typ ?tvoruholn?ka. Term?n definuje ?as? priamky sp?jaj?cej stredy str?n obr?zku.

Na z?klade vlastnost? lichobe?n?ka l=(a+b)/2,
l - stredn? ?iara,
a, b s? strany-podstavy ?tvoruholn?ka.
Preto h = 2S/(a+b)=S/1.

Zn?me s? 4 strany postavy

V tomto pr?pade pom??e Pytagorova veta. Po zn??en? kolmice na ve?k? bo?n? z?klad?u ju pou?ite na dva v?sledn? pravouhl? trojuholn?ky. Kone?n? v?raz bude vyzera? takto:

h=?c2-(((a-b)2 +c2-d2)/2(a-b))2,

c a d s? 2 ?al?ie strany.

Rohy na z?kladni

Ak m?te ?daje o z?kladnom uhle, pou?ite trigonometrick? funkcie.

h = c*sina = d*sinv,

a a v s? rohy na z?kladni ?tvoruholn?ka,
c a d s? jeho strany.

Uhloprie?ky obrazca a uhly, ktor? pret?naj?

D??ka uhloprie?ky je d??ka segmentu sp?jaj?ceho proti?ahl? vrcholy obr?zku. Ozna?me tieto veli?iny symbolmi d1 a d2 a uhly medzi nimi g a f. potom:

h = (d1*d2)/(a+b) sin g = (d1*d2)/(a+b) sinf,

h = (d1*d2)/2l sin g = (d1*d2)/2l sinf,

a a b s? z?kladn? strany obr?zku,
d1 a d2 s? uhloprie?ky lichobe?n?ka,
g a f s? uhly medzi uhloprie?kami.

V??ka postavy a polomer kruhu, ktor? je do nej vp?san?

Ako vypl?va z defin?cie tohto druhu kruhu, dot?ka sa ka?dej z?kladne v 1 bode, ktor? je s??as?ou jednej priamky. Preto vzdialenos? medzi nimi - priemer - po?adovan? v??ka postavy. A ke??e priemer je dvojn?sobok polomeru, potom:

h = 2 * r,
r je polomer kru?nice, ktor? je vp?san? do dan?ho lichobe?n?ka.

N?jdite v??ku rovnoramenn?ho lichobe?n?ka

Ako vypl?va zo znenia, charakteristick?m znakom rovnoramenn?ho lichobe?n?ka je rovnos? jeho str?n. Preto na zistenie v??ky postavy pou?ite vzorec na ur?enie tejto hodnoty v pr?pade, ?e s? zn?me strany lichobe?n?ka.

Ak teda c \u003d d, potom h \u003d ?c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 \u003d ?c 2 - (a-b) 2 / 4,
a, b - bo?n? z?kladne ?tvoruholn?ka,
c = d s? jeho strany.