Je nepravdepodobn?, ?e ve?a ?ud? prem???a o tom, ?i je mo?n? vypo??ta? udalosti, ktor? s? viac-menej n?hodn?. Jednoducho povedan?, je re?lne vedie?, ktor? strana kocky padne ako ?al?ia? Pr?ve t?to ot?zku si polo?ili dvaja ve?k? vedci, ktor? polo?ili z?klady takej vedy, akou je te?ria pravdepodobnosti, v ktorej sa pravdepodobnos? udalosti ?tuduje pomerne rozsiahle.

P?vod

Ak sa pok?site definova? tak? pojem ako te?ria pravdepodobnosti, dostanete nasledovn?: toto je jedna z oblast? matematiky, ktor? ?tuduje st?los? n?hodn?ch udalost?. Samozrejme, tento koncept skuto?ne neodha?uje cel? podstatu, preto je potrebn? ho zv??i? podrobnej?ie.

Chcel by som za?a? tvorcami te?rie. Ako u? bolo spomenut? vy??ie, boli dvaja a pr?ve oni boli medzi prv?mi, ktor? sa pok?sili vypo??ta? v?sledok nejakej udalosti pomocou vzorcov a matematick?ch v?po?tov. Celkovo sa po?iatky tejto vedy objavili v stredoveku. V tom ?ase sa r?zni myslitelia a vedci pok??ali analyzova? hazardn? hry, ako je ruleta, kocky at?., ??m sa vytvoril vzorec a percento vypadnutia konkr?tneho ??sla. Z?klad polo?ili v sedemn?stom storo?? spom?nan? vedci.

Spo?iatku sa ich pr?ca nedala prip?sa? ve?k?m ?spechom v tejto oblasti, preto?e v?etko, ?o robili, boli jednoducho empirick? fakty a experimenty boli nastaven? vizu?lne, bez pou?itia vzorcov. Postupom ?asu sa uk?zalo, ?e dosahuje skvel? v?sledky, ktor? sa objavili v d?sledku pozorovania h?dzania kociek. Pr?ve tento n?stroj pomohol odvodi? prv? zrozumite?n? vzorce.

Rovnako zm???aj?ci ?udia

Nie je mo?n? nespomen?? tak? osobu, akou je Christian Huygens, v procese ?t?dia t?my naz?vanej „te?ria pravdepodobnosti“ (pravdepodobnos? udalosti je pokryt? pr?ve v tejto vede). T?to osoba je ve?mi zauj?mav?. Rovnako ako vy??ie uveden? vedci sa pok?sil odvodi? z?konitos? n?hodn?ch udalost? vo forme matematick?ch vzorcov. Je pozoruhodn?, ?e to nerobil spolu s Pascalom a Fermatom, to znamen?, ?e v?etky jeho diela sa nijako neprel?nali s t?mito my?lienkami. Huygens vyviedol

Zauj?mavos?ou je, ?e jeho pr?ca vy?la d?vno pred v?sledkami pr?ce objavite?ov, alebo sk?r o dvadsa? rokov sk?r. Spomedzi ozna?en?ch konceptov s? najzn?mej?ie:

• pojem pravdepodobnosti ako ve?kos? n?hody;
• matematick? o?ak?vania pre jednotliv? pr?pady;
• vety o n?soben? a s??tan? pravdepodobnost?.

Ned? sa nespomen?? ani na to, kto tie? v?znamne prispel k ?t?diu probl?mu. Vykonan?m vlastn?ch testov, nez?visl?ch od kohoko?vek, sa mu podarilo predlo?i? d?kaz o z?kone ve?k?ch ??sel. Na druhej strane vedci Poisson a Laplace, ktor? pracovali na za?iatku dev?tn?steho storo?ia, dok?zali p?vodn? teor?my dok?za?. Od tohto momentu sa te?ria pravdepodobnosti za?ala pou??va? na anal?zu ch?b v priebehu pozorovan?. T?to vedu nemohli ob?s? ani rusk? vedci, ?i sk?r Markov, ?eby?ev a Djapunov. Na z?klade pr?ce ve?k?ch g?niov zafixovali tento predmet ako odvetvie matematiky. Tieto fig?ry fungovali u? na konci dev?tn?steho storo?ia a v?aka ich prispeniu sa objavili javy ako:

• z?kon ve?k?ch ??sel;
• te?ria Markovov?ch re?azcov;
• centr?lna limitn? veta.

Tak?e s hist?riou zrodu vedy a s hlavn?mi ?u?mi, ktor? ju ovplyvnili, je v?etko viac-menej jasn?. Teraz je ?as skonkretizova? v?etky fakty.

Z?kladn? pojmy

Predt?m, ako sa dotknete z?konov a teor?mov, stoj? za to ?tudova? z?kladn? pojmy te?rie pravdepodobnosti. Podujatie v ?om preber? ved?cu ?lohu. T?to t?ma je dos? objemn?, ale bez nej nebude mo?n? pochopi? v?etko ostatn?.

Udalos? v te?rii pravdepodobnosti je ak?ko?vek s?bor v?sledkov experimentu. Nie je to?ko konceptov tohto fenom?nu. Tak?e vedec Lotman, ktor? pracuje v tejto oblasti, povedal, ?e v tomto pr?pade hovor?me o tom, ?o sa „stalo, hoci sa to mo?no nestalo“.

N?hodn? udalosti (te?ria pravdepodobnosti im venuje osobitn? pozornos?) je pojem, ktor? zah??a absol?tne ak?ko?vek jav, ktor? m? schopnos? nasta?. Alebo naopak, pri splnen? mnoh?ch podmienok tento scen?r nenastane. Je tie? potrebn? vedie?, ?e s? to n?hodn? udalosti, ktor? zachyt?vaj? cel? objem javov, ktor? sa vyskytli. Te?ria pravdepodobnosti nazna?uje, ?e v?etky podmienky sa m??u neust?le opakova?. Pr?ve ich spr?vanie sa naz?valo „experiment“ alebo „test“.

Ur?it? udalos? je tak?, ktor? sa 100% vyskytne v danom teste. Nemo?n? udalos? je teda tak?, ktor? sa nestane.

Kombin?cia dvojice akci? (podmiene?ne pr?pad A a pr?pad B) je jav, ktor? sa vyskytuje s??asne. S? ozna?en? ako AB.

S??et dvoj?c udalost? A a B je C, in?mi slovami, ak sa stane aspo? jedna z nich (A alebo B), z?ska sa C. Vzorec op?san?ho javu je nap?san? takto: C \u003d A + B.

Disjunktn? udalosti v te?rii pravdepodobnosti znamenaj?, ?e tieto dva pr?pady sa navz?jom vylu?uj?. Nikdy sa nem??u sta? s??asne. Spolo?n? udalosti v te?rii pravdepodobnosti s? ich antip?dom. To znamen?, ?e ak sa stalo A, potom to nebr?ni B ?iadnym sp?sobom.

Opa?n? udalosti (te?ria pravdepodobnosti sa nimi zaober? ve?mi podrobne) s? ?ahko pochopite?n?. Najlep?ie je s nimi zaobch?dza? v porovnan?. S? takmer rovnak? ako nezlu?ite?n? udalosti v te?rii pravdepodobnosti. Ale ich rozdiel spo??va v tom, ?e v ka?dom pr?pade mus? nasta? jeden z mnoh?ch javov.

Rovnako pravdepodobn? s? udalosti, ktor?ch mo?nos? opakovania je rovnak?. Aby to bolo jasnej?ie, m??eme si predstavi? hod mincou: strata jednej z jej str?n s rovnakou pravdepodobnos?ou vypadne z druhej.

Priazniv? udalos? je ?ah?ie vidie? na pr?klade. Povedzme, ?e existuje epiz?da B a epiz?da A. Prvou je hod kockou s v?skytom nep?rneho ??sla a druhou je v?skyt ??sla p?? na kocke. Potom sa uk??e, ?e A uprednost?uje B.

Nez?visl? udalosti v te?rii pravdepodobnosti sa premietaj? iba do dvoch alebo viacer?ch pr?padov a znamenaj? nez?vislos? ak?hoko?vek konania od in?ho. Napr?klad A - padanie chvostov pri h?dzan? mince a B - z?skanie zdvih?ka z bal??ka. S? to nez?visl? udalosti v te?rii pravdepodobnosti. V tomto bode sa to vyjasnilo.

Z?visl? udalosti v te?rii pravdepodobnosti s? tie? pr?pustn? len pre ich mno?inu. Nazna?uj? z?vislos? jedn?ho od druh?ho, to znamen?, ?e jav B sa m??e vyskytn?? iba vtedy, ak sa A u? stalo alebo naopak nestalo, ke? je to hlavn? podmienka pre B.

V?sledkom n?hodn?ho experimentu pozost?vaj?ceho z jednej zlo?ky s? element?rne udalosti. Te?ria pravdepodobnosti vysvet?uje, ?e ide o jav, ktor? sa stal iba raz.

Z?kladn? vzorce

Tak?e pojmy „udalos?“, „te?ria pravdepodobnosti“ boli zv??en? vy??ie, bola tie? uveden? defin?cia hlavn?ch pojmov tejto vedy. Teraz je ?as zozn?mi? sa priamo s d?le?it?mi vzorcami. Tieto v?razy matematicky potvrdzuj? v?etky hlavn? pojmy v tak n?ro?nom predmete, ak?m je te?ria pravdepodobnosti. Aj tu zohr?va ve?k? ?lohu pravdepodobnos? udalosti.

Je lep?ie za?a? s hlavn?mi.A predt?m, ako sa k nim prist?pite, stoj? za to zv??i?, ?o to je.

Kombinatorika je predov?etk?m odvetv?m matematiky, zaober? sa ?t?diom ve?k?ho mno?stva cel?ch ??sel, ako aj r?znych permut?ci? samotn?ch ??sel a ich prvkov, r?znych ?dajov at?., Ktor? ved? k vzniku mno?stva kombin?ci?. Okrem te?rie pravdepodobnosti je toto odvetvie d?le?it? pre ?tatistiku, informatiku a kryptografiu.

Teraz teda m??ete prejs? k prezent?cii samotn?ch vzorcov a ich defin?cie.

Prv?m z nich bude v?raz pre po?et permut?ci?, vyzer? takto:

P_n = n ? (n - 1) ? (n - 2)…3 ? 2 ? 1 = n!

Rovnica plat? len vtedy, ak sa prvky l??ia len v porad?.

Teraz sa zv??i vzorec umiestnenia, vyzer? takto:

A_n^m = n ? (n - 1) ? (n-2) ? ... ? (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Tento v?raz sa vz?ahuje nielen na poradie prvku, ale aj na jeho zlo?enie.

Tretia a z?rove? posledn? rovnica z kombinatoriky sa naz?va vzorec pre po?et kombin?ci?:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombin?cia sa naz?va v?ber, ktor? nie je usporiadan?, a toto pravidlo sa na ne vz?ahuje.

Uk?zalo sa, ?e je ?ahk? pr?s? na vzorce kombinatoriky, teraz m??eme prejs? ku klasickej defin?cii pravdepodobnost?. Tento v?raz vyzer? takto:

V tomto vzorci je m po?et podmienok priazniv?ch pre udalos? A a n je po?et absol?tne v?etk?ch rovnako mo?n?ch a z?kladn?ch v?sledkov.

Existuje ve?k? mno?stvo v?razov, ?l?nok nepokryje v?etky, ale dotkne sa najd?le?itej??ch z nich, ako napr?klad pravdepodobnos? s??tu udalost?:

P(A + B) = P(A) + P(B) - t?to veta sl??i na s??tanie iba nekompatibiln?ch udalost?;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a toto je na prid?vanie iba kompatibiln?ch.

Pravdepodobnos? vzniku udalost?:

P(A ? B) = P(A) ? P(B) - t?to veta plat? pre nez?visl? udalosti;

(P(A ? B) = P(A) ? P(B|A); P(A ? B) = P(A) ? P(A|B)) – a toto je pre z?visl? osoby.

Vzorec udalosti ukon?? zoznam. Te?ria pravdepodobnosti n?m hovor? o Bayesovej vete, ktor? vyzer? takto:

P(H_m|A) = (P(H_m)P(A|H_m)): (?_(k=1)^n P(H_k)P(A|H_k)),m = 1,..., n

V tomto vzorci je H 1, H 2, …, Hn cel? skupina hypot?z.

Pr?klady

Ak pozorne ?tudujete ak?ko?vek odbor matematiky, bez cvi?en? a vzorov?ch rie?en? sa nezaob?de. Rovnako aj te?ria pravdepodobnosti: udalosti, pr?klady s? tu neoddelite?nou s??as?ou, ktor? potvrdzuje vedeck? v?po?ty.

Vzorec pre po?et permut?ci?

Povedzme, ?e v bal??ku kariet je tridsa? kariet, po?n?c nomin?lnou hodnotou jedna. ?al?ia ot?zka. Ko?ko sp?sobov je mo?n? nasklada? bal??ek tak, aby karty s nomin?lnou hodnotou jedna a dve neboli ved?a seba?

?loha je nastaven?, teraz prejdime k jej rie?eniu. Najprv mus?te ur?i? po?et permut?ci? tridsiatich prvkov, na to vezmeme vy??ie uveden? vzorec, uk??e sa P_30 = 30!.

Na z?klade tohto pravidla zist?me, ko?ko je mo?nost? zlo?i? bal??ek r?znymi sp?sobmi, no treba od nich odpo??ta? tie, v ktor?ch s? na rade prv? a druh? karta. Ak to chcete urobi?, za?nime s mo?nos?ou, ke? je prv? nad druhou. Ukazuje sa, ?e prv? karta m??e zauja? dvadsa?dev?? miest - od prv?ho do dvadsiateho deviateho a druh? karta od druh?ho do tridsiateho, ukazuje sa, ?e pre p?r kariet je iba dvadsa?dev?? miest. Zvy?ok m??e obsadi? dvadsa?osem miest a v ?ubovo?nom porad?. To znamen?, ?e pre permut?ciu dvadsiatich ?smich kariet existuje dvadsa?osem mo?nost? P_28 = 28!

V d?sledku toho sa ukazuje, ?e ak zv??ime rie?enie, ke? je prv? karta nad druhou, existuje 29 ? 28 mo?nost? navy?e! = 29!

Pomocou rovnakej met?dy mus?te vypo??ta? po?et nadbyto?n?ch mo?nost? pre pr?pad, ke? je prv? karta pod druhou. Ukazuje sa tie? 29 ? 28! = 29!

Z toho vypl?va, ?e existuj? 2 ? 29! mo?nosti navy?e, pri?om je potrebn?ch 30 sp?sobov, ako zostavi? bal??ek! - 2 ? 29!. Zost?va len po??ta?.

30! = 29! ? 30; 30!- 2 ? 29! = 29! ? (30 - 2) = 29! ? 28

Teraz mus?te medzi sebou vyn?sobi? v?etky ??sla od jednej do dvadsa?dev?? a potom na konci v?etko vyn?sobi? 28. Odpove? je 2,4757335 ??10?^32

Pr?klad rie?enia. Vzorec pre ??slo umiestnenia

V tomto probl?me mus?te zisti?, ko?ko sp?sobov existuje, ako umiestni? p?tn?s? zv?zkov na jednu policu, ale pod podmienkou, ?e celkovo je tridsa? zv?zkov.

V tomto probl?me je rie?enie o nie?o jednoduch?ie ako v predch?dzaj?com. Pomocou u? zn?meho vzorca je potrebn? vypo??ta? celkov? po?et aran?m?nov z tridsiatich zv?zkov po p?tn?s?.

A_30^15 = 30 ? 29 ? 28?... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? 16 = 202 843 204 931 700 3

Odpove? sa bude rovna? 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz zoberme ?lohu trochu zlo?itej?ie. Mus?te zisti?, ko?ko sp?sobov existuje, ako usporiada? tridsa? kn?h na dve police, za predpokladu, ?e na jednej poli?ke m??e by? iba p?tn?s? zv?zkov.

Pred za?at?m rie?enia by som chcel objasni?, ?e niektor? probl?my sa rie?ia nieko?k?mi sp?sobmi, tak?e v tomto existuj? dva sp?soby, ale v oboch sa pou??va rovnak? vzorec.

V tomto probl?me m??ete prevzia? odpove? z predch?dzaj?cej, preto?e tam sme vypo??tali, ko?kokr?t m??ete r?znymi sp?sobmi naplni? policu p?tn?stimi knihami. Uk?zalo sa, ?e A_30^15 = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ...? 16.

Druh? policu vypo??tame pod?a permuta?n?ho vzorca, preto?e je v nej umiestnen?ch p?tn?s? kn?h, pri?om zost?va len p?tn?s?. Pou??vame vzorec P_15 = 15!.

Ukazuje sa, ?e celkovo bude A_30^15 ? P_15 sp?sobov, ale okrem toho bude potrebn? s??in v?etk?ch ??sel od tridsiatich do ?estn?stich vyn?sobi? s??inom ??sel od jednej do p?tn?s?, v d?sledku toho bude z?skame s??in v?etk?ch ??sel od jedna do tridsa?, to znamen?, ?e odpove? je 30!

Ale tento probl?m sa d? vyrie?i? aj inak – jednoduch?ie. K tomu si viete predstavi?, ?e na tridsa? kn?h je jedna polica. V?etky s? umiestnen? na tejto rovine, ale ke??e podmienka vy?aduje dve police, jednu dlh? prere?eme na polovicu, vyjde n?m ka?d? dve p?tn?s?. Z toho vypl?va, ?e mo?nosti umiestnenia m??u by? P_30 = 30!.

Pr?klad rie?enia. Vzorec pre kombina?n? ??slo

Teraz zv??ime variant tretieho probl?mu z kombinatoriky. Mus?te zisti?, ko?ko sp?sobov existuje na usporiadanie p?tn?stich kn?h, za predpokladu, ?e si potrebujete vybra? z tridsiatich ?plne rovnak?ch.

Pre rie?enie sa samozrejme pou?ije vzorec pre po?et kombin?ci?. Z podmienky je zrejm?, ?e poradie rovnak?ch p?tn?stich kn?h nie je d?le?it?. Preto najprv mus?te zisti? celkov? po?et kombin?ci? tridsiatich kn?h z p?tn?stich.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : p?tn?s?! = 155 117 520

To je v?etko. Pomocou tohto vzorca bolo mo?n? v ?o najkrat?om ?ase vyrie?i? tak?to probl?m, odpove? je 155 117 520.

Pr?klad rie?enia. Klasick? defin?cia pravdepodobnosti

Pomocou vy??ie uveden?ho vzorca m??ete n?js? odpove? v jednoduchom probl?me. Pom??e to v?ak vizu?lne vidie? a sledova? priebeh akci?.

Probl?m je dan? t?m, ?e v urne je desa? absol?tne rovnak?ch lopti?iek. Z toho s? ?tyri ?lt? a ?es? modr?ch. Z urny sa vyberie jedna lopta. Mus?te zisti? pravdepodobnos?, ?e dostanete modr?.

Na vyrie?enie probl?mu je potrebn? ozna?i? z?skanie modrej lopty ako udalos? A. T?to sk?senos? m??e ma? desa? v?sledkov, ktor? s? naopak element?rne a rovnako pravdepodobn?. Z?rove? je ?es? z desiatich priazniv?ch pre udalos? A. Rie?ime pomocou vzorca:

P(A) = 6:10 = 0,6

Pou?it?m tohto vzorca sme zistili, ?e pravdepodobnos? z?skania modrej gule je 0,6.

Pr?klad rie?enia. Pravdepodobnos? s??tu udalost?

Teraz bude predstaven? variant, ktor? je rie?en? pomocou vzorca pre pravdepodobnos? s??tu udalost?. Tak?e za predpokladu, ?e existuj? dve krabice, prv? obsahuje jednu siv? a p?? bielych gu???ok a druh? obsahuje osem siv?ch a ?tyri biele gule. V?sledkom bolo, ?e jeden z nich bol odobrat? z prv?ho a druh?ho boxu. Je potrebn? zisti?, ak? je ?anca, ?e vytiahnut? lopti?ky bud? sivobiele.

Na vyrie?enie tohto probl?mu je potrebn? ur?i? udalosti.

• Tak?e, A - vezmite siv? gu?u z prv?ho po?a: P(A) = 1/6.
• A '- vzali bielu gu?u aj z prv?ho po?a: P (A ") \u003d 5/6.
• B - siv? gu?a bola vytiahnut? u? z druh?ho boxu: P(B) = 2/3.
• B' - vybrali siv? gu?u z druhej ?katule: P(B") = 1/3.

Pod?a stavu probl?mu je potrebn?, aby sa vyskytol jeden z javov: AB 'alebo A'B. Pomocou vzorca dostaneme: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Teraz bol pou?it? vzorec na vyn?sobenie pravdepodobnosti. ?alej, aby ste na?li odpove?, mus?te pou?i? rovnicu na ich s??tanie:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Tak?e pomocou vzorca m??ete vyrie?i? podobn? probl?my.

V?sledok

?l?nok priniesol inform?cie na t?mu „Te?ria pravdepodobnosti“, v ktorej hr? z?sadn? ?lohu pravdepodobnos? udalosti. Samozrejme, nie v?etko bolo zoh?adnen?, ale na z?klade prezentovan?ho textu sa teoreticky d? zozn?mi? s touto ?as?ou matematiky. Dan? veda m??e by? u?ito?n? nielen v profesion?lnej pr?ci, ale aj v ka?dodennom ?ivote. S jeho pomocou m??ete vypo??ta? ak?ko?vek mo?nos? akejko?vek udalosti.

Text sa dotkol aj v?znamn?ch d?tumov v hist?rii formovania te?rie pravdepodobnosti ako vedy a mien ?ud?, ktor?ch diela boli do nej investovan?. Takto ?udsk? zvedavos? viedla k tomu, ?e sa ?udia nau?ili po??ta? aj n?hodn? udalosti. Kedysi ich to len zauj?malo, no dnes u? o tom vedia v?etci. A nikto nepovie, ?o n?s ?ak? v bud?cnosti, ak? ?al?ie brilantn? objavy s?visiace s uva?ovanou te?riou sa urobia. Jedno je v?ak ist? – v?skum nestoj? na mieste!

V ekonomike, ale aj v in?ch oblastiach ?udskej ?innosti ?i v pr?rode sa neust?le mus?me pot?ka? s udalos?ami, ktor? sa nedaj? presne predpoveda?. Objem predaja tovaru teda z?vis? od dopytu, ktor? sa m??e v?razne l??i?, a od mno?stva ?al??ch faktorov, ktor? je takmer nemo?n? zoh?adni?. Preto treba pri organizovan? v?roby a predaja predv?da? v?sledok tak?chto aktiv?t bu? na z?klade vlastnej predch?dzaj?cej sk?senosti, alebo podobnej sk?senosti in?ch ?ud?, pr?padne intu?cie, ktor? je tie? z ve?kej ?asti zalo?en? na experiment?lnych ?dajoch.

Aby bolo mo?n? nejako zhodnoti? posudzovan? udalos?, je potrebn? vzia? do ?vahy alebo ?peci?lne zorganizova? podmienky, v ktor?ch sa t?to udalos? zaznamen?va.

Naz?va sa implement?cia ur?it?ch podmienok alebo akci? na identifik?ciu predmetnej udalosti sk?senosti alebo experimentova?.

Podujatie sa vol? n?hodn? ak v d?sledku experimentu m??e alebo nemus? nasta?.

Podujatie sa vol? autentick?, ak sa nevyhnutne objav? v d?sledku tejto sk?senosti, a nemo?n? ak sa nem??e objavi? v tomto z??itku.

Napr?klad sne?enie v Moskve 30. novembra je n?hodn? udalos?. Ka?dodenn? v?chod slnka mo?no pova?ova? za ur?it? udalos?. Sne?enie na rovn?ku mo?no pova?ova? za nemo?n? udalos?.

Jedn?m z hlavn?ch probl?mov v te?rii pravdepodobnosti je probl?m stanovenia kvantitat?vnej miery mo?nosti v?skytu udalosti.

Algebra udalost?

Udalosti sa naz?vaj? nezlu?ite?n?, ak ich nemo?no pozorova? spolu v rovnakom z??itku. Pr?tomnos? dvoch a troch ?ut v jednej predajni na predaj v rovnakom ?ase s? teda dve nezlu?ite?n? udalosti.

s??et udalos?ou je udalos?, ktor? spo??va v v?skyte aspo? jednej z t?chto udalost?

Pr?kladom s??tu udalost? je pr?tomnos? aspo? jedn?ho z dvoch produktov v obchode.

pr?ca udalosti sa naz?va udalos? spo??vaj?ca v s??asnom v?skyte v?etk?ch t?chto udalost?

Udalos? spo??vaj?ca v objaven? sa dvoch tovarov s??asne v predajni je produktom udalost?: - vzh?ad jedn?ho produktu, - vzh?ad in?ho produktu.

Udalosti tvoria ucelen? skupinu udalost?, ak sa aspo? jedna z nich nevyhnutne vyskytne v z??itku.

Pr?klad. Pr?stav m? dve kotvisk? pre lode. Mo?no zv??i? tri udalosti: - nepr?tomnos? plavidiel v kotvisk?ch, - pr?tomnos? jedn?ho plavidla na jednom z kotv?sk, - pr?tomnos? dvoch plavidiel na dvoch kotvisk?ch. Tieto tri udalosti tvoria ucelen? skupinu udalost?.

Naproti naz?vaj? sa dve jedine?n? mo?n? udalosti, ktor? tvoria kompletn? skupinu.

Ak je jedna z opa?n?ch udalost? ozna?en? ako , potom opa?n? udalos? je zvy?ajne ozna?en? ako .

Klasick? a ?tatistick? defin?cie pravdepodobnosti udalosti

Ka?d? z rovnako mo?n?ch v?sledkov testu (experimentov) sa naz?va element?rny v?sledok. Zvy?ajne sa ozna?uj? p?smenami. Napr?klad sa h?d?e kockou. Pod?a po?tu bodov na stran?ch m??e by? ?es? z?kladn?ch v?sledkov.

Z element?rnych v?sledkov m??ete posklada? komplexnej?iu udalos?. Udalos? s p?rnym po?tom bodov je teda ur?en? tromi v?sledkami: 2, 4, 6.

Kvantitat?vnym meradlom mo?nosti v?skytu uva?ovanej udalosti je pravdepodobnos?.

Naj?astej?ie sa pou??vaj? dve defin?cie pravdepodobnosti udalosti: klasick? a ?tatistick?.

Klasick? defin?cia pravdepodobnosti s?vis? s pojmom priazniv? v?sledok.

Exodus sa naz?va priazniv? t?to udalos?, ak jej v?skyt znamen? v?skyt tejto udalosti.

V danom pr?klade je uva?ovan? udalos? p?rnym po?tom bodov na poklesnutej hrane a m? tri priazniv? v?sledky. V tomto pr?pade gener?l
po?et mo?n?ch v?sledkov. Tak?e tu m??ete pou?i? klasick? defin?ciu pravdepodobnosti udalosti.

Klasick? defin?cia sa rovn? pomeru po?tu priazniv?ch v?sledkov k celkov?mu po?tu mo?n?ch v?sledkov

kde je pravdepodobnos? udalosti , je po?et priazniv?ch v?sledkov pre udalos?, je celkov? po?et mo?n?ch v?sledkov.

V uva?ovanom pr?klade

?tatistick? defin?cia pravdepodobnosti je spojen? s pojmom relat?vnej frekvencie v?skytu udalosti v experimentoch.

Relat?vna frekvencia v?skytu udalosti sa vypo??ta pod?a vzorca

kde je po?et v?skytov udalosti v s?rii experimentov (testov).

?tatistick? defin?cia. Pravdepodobnos? udalosti je ??slo, vo?i ktor?mu je relat?vna frekvencia stabilizovan? (stanoven?) s neobmedzen?m n?rastom po?tu experimentov.

V praktick?ch probl?moch sa relat?vna frekvencia pre dostato?ne ve?k? po?et pokusov berie ako pravdepodobnos? udalosti.

Z t?chto defin?ci? pravdepodobnosti udalosti je vidie?, ?e nerovnos? v?dy plat?

Na ur?enie pravdepodobnosti udalosti na z?klade vzorca (1.1) sa ?asto pou??vaj? kombinatorikov? vzorce na zistenie po?tu priazniv?ch v?sledkov a celkov?ho po?tu mo?n?ch v?sledkov.

Vo svojom blogu preklad ?al?ej predn??ky kurzu „Principles of Game Balance“ od hern?ho dizajn?ra Jana Schreibera, ktor? pracoval na projektoch ako Marvel Trading Card Game a Playboy: the Mansion.

A? do dne?n?ho d?a bolo takmer v?etko, o ?om sme hovorili, deterministick? a minul? t??de? sme sa bli??ie pozreli na tranzit?vnu mechaniku a rozobrali sme ju tak podrobne, ako len viem vysvetli?. Ale doteraz sme nevenovali pozornos? in?m aspektom mnoh?ch hier, a to nedeterministick?m momentom - in?mi slovami n?hodnosti.

Pochopenie podstaty n?hodnosti je pre hern?ch dizajn?rov ve?mi d?le?it?. Vytv?rame syst?my, ktor? ovplyv?uj? pou??vate?sk? sk?senos? v danej hre, preto mus?me vedie?, ako tieto syst?my funguj?. Ak je v syst?me n?hodnos?, mus?me pochopi? podstatu tejto n?hodnosti a vedie?, ako ju zmeni?, aby sme dosiahli v?sledky, ktor? potrebujeme.

Kocky

Za?nime nie??m jednoduch?m – h?dzan?m kociek. Ke? v???ina ?ud? mysl? na kocky, predstav? si ?es?stenn? kocku zn?mu ako d6. V???ina hr??ov v?ak videla mnoho in?ch kociek: ?tvorstrann? (d4), osemstenn? (d8), dvan?s?stenn? (d12), dvadsa?stenn? (d20). Ak ste skuto?n? geek, mo?no m?te niekde 30- alebo 100-zrnov? kocky.

Ak t?to terminol?giu nepozn?te, d znamen? kocku a ??slo za ?ou je po?et jej tv?r?. Ak je ??slo pred d, znamen? to po?et kociek pri hode. Napr?klad v hre Monopoly h?d?ete 2k6.

Tak?e v tomto pr?pade je slovn? spojenie „kocky“ konven?n? ozna?enie. Existuje obrovsk? mno?stvo in?ch gener?torov n?hodn?ch ??sel, ktor? nevyzeraj? ako plastov? fig?rky, ale plnia rovnak? funkciu – generuj? n?hodn? ??slo od 1 do n. Oby?ajn? mincu mo?no zn?zorni? aj ako dvojstenn? kocku d2.

Videl som dva n?vrhy sedemstennej kocky: jeden vyzeral ako kocka a druh? vyzeral sk?r ako sedemstenn? dreven? ceruzka. Tetraedrick? dreidel, tie? zn?my ako titotum, je anal?gom tetraedrickej kosti. Hracia doska s rotuj?cou ??pkou v Chutes & Ladders, kde v?sledok m??e by? od 1 do 6, zodpoved? ?es?stennej kocke.

Gener?tor n?hodn?ch ??sel v po??ta?i m??e vygenerova? ?ubovo?n? ??slo od 1 do 19, ak n?vrh?r zad? tak?to pr?kaz, hoci po??ta? nem? 19-hrann? kocku (vo v?eobecnosti budem hovori? viac o pravdepodobnosti z?skania ??sel na po??ta? bud?ci t??de?). V?etky tieto polo?ky vyzeraj? odli?ne, ale v skuto?nosti s? ekvivalentn?: m?te rovnak? ?ancu na ka?d? z nieko?k?ch mo?n?ch v?sledkov.

Kocky maj? nieko?ko zauj?mav?ch vlastnost?, o ktor?ch mus?me vedie?. Po prv?, pravdepodobnos? z?skania niektorej z tv?r? je rovnak? (predpoklad?m, ?e h?d?ete pravidelnou geometrickou kockou). Ak chcete pozna? priemern? hodnotu hodu (zn?mu ako matematick? o?ak?vanie pre t?ch, ktor? maj? radi te?riu pravdepodobnosti), spo??tajte hodnoty na v?etk?ch hran?ch a vyde?te toto ??slo po?tom hr?n.

S??et hodn?t v?etk?ch stien pre ?tandardn? ?es?stenn? kocku je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Vyde?te 21 po?tom stien a z?skajte priemern? hodnotu hodu: 21 / 6 = 3,5. Toto je ?peci?lny pr?pad, preto?e predpoklad?me, ?e v?etky v?sledky s? rovnako pravdepodobn?.

?o ak m?te ?peci?lne kocky? Videl som napr?klad hru so ?es?hrannou kockou so ?peci?lnymi n?lepkami na tv?rach: 1, 1, 1, 2, 2, 3, tak?e sa spr?va ako zvl??tna trojstrann? kocka, ktor? sk?r hod? ??slo 1 ako 2 a je pravdepodobnej?ie, ?e padne 2 ako 3. Ak? je priemern? hodnota hodu pre t?to kocku? Tak?e 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, vyde?te 6 - dostanete 5/3 alebo pribli?ne 1,66. Ak teda m?te ?peci?lnu kocku a hr??i hodia tromi kockami a potom s??taj? v?sledky, viete, ?e s??et ich hodov bude pribli?ne 5 a na z?klade tohto predpokladu m??ete hru vybalansova?.

Kocky a nez?vislos?

Ako som u? povedal, vych?dzame z predpokladu, ?e vypadnutie ka?dej tv?re je rovnako pravdepodobn?. Nez?le?? na tom, ko?ko kociek tu hod?te. Ka?d? hod kockou je nez?visl?, ?o znamen?, ?e predch?dzaj?ce hody neovplyv?uj? v?sledky nasleduj?cich hodov. Pri dostato?nom po?te pokusov si ur?ite v?imnete s?riu ??sel – napr?klad h?dzanie v???inou vy???ch alebo ni???ch hodn?t – alebo in? vlastnosti, ale to neznamen?, ?e s? kocky „hor?ce“ alebo „studen?“. O tom si povieme nesk?r.

Ak hod?te ?tandardnou ?es?stennou kockou a dvakr?t za sebou padne ??slo 6, pravdepodobnos?, ?e v?sledkom ?al?ieho hodu bude 6, je tie? 1/6. Pravdepodobnos? sa nezvy?uje, preto?e kocka sa „zahriala“ ". Pravdepodobnos? sa z?rove? nezni?uje: je nespr?vne tvrdi?, ?e ??slo 6 u? vypadlo dvakr?t za sebou, ?o znamen?, ?e teraz mus? vypadn?? ?al?ia tv?r.

Samozrejme, ak hod?te kockou dvadsa?kr?t a zaka?d?m padne ??slo 6, ?anca, ?e dvadsiaty prv? raz padne 6, je dos? vysok?: mo?no m?te len nespr?vnu kocku. Ak je v?ak kocka spr?vna, pravdepodobnos? z?skania ka?dej z tv?r? je rovnak?, bez oh?adu na v?sledky ostatn?ch hodov. M??ete si tie? predstavi?, ?e kocku men?me zaka?d?m: ak ??slo 6 padlo dvakr?t za sebou, odstr??te „hor?cu“ kocku z hry a nahra?te ju novou. Ospravedl?ujem sa, ak o tom niekto z v?s u? vedel, ale potreboval som to objasni?, k?m sa pohnem ?alej.

Ako urobi? hod kockou viac-menej n?hodne

Po?me si poveda?, ako dosiahnu? r?zne v?sledky na r?znych kock?ch. Ak hod?te kockou len raz alebo nieko?kokr?t, hra sa bude zda? n?hodnej?ia, ke? bude ma? kocka viac hr?n. ??m ?astej?ie h?d?ete kockou a ??m viac kociek h?d?ete, t?m viac sa v?sledky pribli?uj? k priemeru.

Napr?klad v pr?pade 1k6 + 4 (teda ak raz hod?te ?tandardnou ?es?stennou kockou a k v?sledku pripo??tate 4), priemer bude ??slo medzi 5 a 10. Ak hod?te 5k2, priemer bude aj ??slo medzi 5 a 10. V?sledkom hodenia 5d2 bud? v???inou ??sla 7 a 8, menej ?asto in? hodnoty. Rovnak? s?ria, dokonca rovnak? priemern? hodnota (7,5 v oboch pr?padoch), ale charakter n?hodnosti je odli?n?.

Po?kaj min?tu. Nepovedal som pr?ve, ?e kocky sa „nezahrievaj?“ ani „nechladia“? A teraz hovor?m: ak hod?te ve?a kociek, v?sledky hodov s? bli??ie k priemernej hodnote. pre?o?

Nechaj ma vysvetli?. Ak hod?te jednou kockou, pravdepodobnos?, ?e sa objavia v?etky tv?re, je rovnak?. To znamen?, ?e ak v priebehu ?asu hod?te ve?a kociek, ka?d? tv?r sa objav? pribli?ne rovnako. ??m viac kociek hod?te, t?m viac sa bude celkov? v?sledok pribli?ova? k priemeru.

Nie je to preto, ?e by hoden? ??slo "sp?sobilo" hodenie in?ho ??sla, ktor? e?te nebolo hoden?. Preto?e mal? s?ria hodu ??sla 6 (alebo 20, alebo nejak?ho in?ho ??sla) v kone?nom d?sledku ve?a nezmen?, ak kockou hod?te e?te desa?tis?ckr?t a v???inou ide o priemer. Teraz budete ma? nieko?ko ve?k?ch ??sel a nesk?r nieko?ko mal?ch - a ?asom sa pribl??ia k priemernej hodnote.

Nie je to preto, ?e by predch?dzaj?ce hody ovplyvnili kocky (v??ne, kocka je vyroben? z plastu, nem? mozog na to, aby si pomyslela: „Ach, u? je to d?vno, ?o pri?la dvojka“), ale preto, ?e sa to zvy?ajne st?va s mno?stvom hodov.hranie kociek.

Je teda celkom jednoduch? vypo??ta? pre jeden n?hodn? hod kockou - aspo? vypo??tajte priemern? hodnotu hodu. Existuj? aj sp?soby, ako vypo??ta? „ako je nie?o n?hodn?“ a poveda?, ?e v?sledky hodu 1k6 + 4 bud? „n?hodnej?ie“ ako 5k2. Pre 5d2 bud? hoden? v?sledky rozdelen? rovnomernej?ie. Aby ste to dosiahli, mus?te vypo??ta? smerodajn? odch?lku: ??m v???ia hodnota, t?m n?hodnej?ie bud? v?sledky. Ner?d by som dnes d?val to?ko v?po?tov, t?to t?mu vysvetl?m nesk?r.

Jedin? vec, ktor? v?s chcem po?iada?, aby ste si zapam?tali, je, ?e vo v?eobecnosti plat?, ?e ??m menej kociek hod?te, t?m viac n?hodn?ch. A ??m viac str?n m? kocka, t?m viac n?hodnosti, preto?e existuje viac mo?nost? pre hodnotu.

Ako vypo??ta? pravdepodobnos? pomocou po??tania

Mo?no sa p?tate: ako m??eme vypo??ta? presn? pravdepodobnos? konkr?tneho v?sledku? V skuto?nosti je to pre mnoh? hry dos? d?le?it?: ak hod?te kockou na za?iatku, je pravdepodobn?, ?e bude nejak? optim?lny v?sledok. Odpove? znie: mus?me vypo??ta? dve hodnoty. Po prv?, celkov? po?et v?sledkov pri hode kockou a po druh?, po?et priazniv?ch v?sledkov. Vydelen?m druhej hodnoty prvou z?skate po?adovan? pravdepodobnos?. Ak chcete z?ska? percento, vyn?sobte v?sledok 100.

Pr?klady

Tu je ve?mi jednoduch? pr?klad. Chcete hodi? 4 alebo vy??ie a raz hodi? ?es?stennou kockou. Maxim?lny po?et v?sledkov je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Z toho 3 v?sledky (4, 5, 6) s? priazniv?. Na v?po?et pravdepodobnosti teda vydel?me 3 x 6 a dostaneme 0,5 alebo 50 %.

Tu je pr?klad, ktor? je trochu komplikovanej??. Chcete, aby hod 2k6 priniesol p?rne ??slo. Maxim?lny po?et v?sledkov je 36 (6 mo?nost? pre ka?d? kocku, jedna kocka neovplyv?uje druh?, tak?e vyn?sob?me 6 x 6 a dostaneme 36). Probl?m s t?mto typom ot?zok je, ?e je ?ahk? po??ta? dvakr?t. Napr?klad pri hode 2k6 s? dva mo?n? v?sledky 3: 1+2 a 2+1. Vyzeraj? rovnako, rozdiel je v?ak v tom, ktor? ??slo je zobrazen? na prvej kocke a ktor? na druhej.

M??ete si tie? predstavi?, ?e kocky s? r?znych farieb: tak?e napr?klad v tomto pr?pade je jedna kocka ?erven? a druh? modr?. Potom spo??tajte po?et mo?n?ch v?skytov p?rneho ??sla:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ukazuje sa, ?e existuje 18 mo?nost? priazniv?ho v?sledku z 36 - ako v predch?dzaj?com pr?pade je pravdepodobnos? 0,5 alebo 50%. Mo?no ne?akan?, ale celkom presn?.

Simul?cia Monte Carlo

?o ak m?te na tento v?po?et pr?li? ve?a kociek? Napr?klad, chcete vedie?, ak? je pravdepodobnos?, ?e pri hode 8k6 padne celkovo 15 alebo viac. Pre osem kociek existuje obrovsk? mno?stvo r?znych v?sledkov a ich manu?lne po??tanie by trvalo ve?mi dlho – aj ke? by sme na?li nejak? dobr? rie?enie na zoskupenie r?znych s?ri? hodov kockami.

V tomto pr?pade je najjednoduch?ie nepo??ta? manu?lne, ale pou?i? po??ta?. Existuj? dva sp?soby, ako vypo??ta? pravdepodobnos? na po??ta?i. Prv? sp?sob m??e z?ska? presn? odpove?, ale zah??a trochu programovania alebo skriptovania. Po??ta? prejde ka?d? mo?nos?, vyhodnot? a spo??ta celkov? po?et iter?ci? a po?et iter?ci?, ktor? zodpovedaj? po?adovan?mu v?sledku, a potom poskytne odpovede. V?? k?d m??e vyzera? asi takto:

Ak nie ste program?tor a nechcete presn? odpove?, ale pribli?n? odpove?, m??ete si t?to situ?ciu nasimulova? v Exceli, kde p?r tis?ckr?t hod?te 8d6 a dostanete odpove?. Na hodenie 1d6 v Exceli pou?ite vzorec =FLOOR(RAND()*6)+1.

Situ?ciu, ke? nepozn?te odpove? a len to mnohokr?t sk??ate, m? n?zov – simul?cia Monte Carlo. Toto je skvel? rie?enie, ku ktor?mu sa m??ete vr?ti?, ke? je pr?li? ?a?k? vypo??ta? pravdepodobnos?. Skvel? je, ?e v tomto pr?pade nemus?me rozumie? tomu, ako matematika funguje, a vieme, ?e odpove? bude „celkom dobr?“, preto?e ako u? vieme, ??m viac hodov, t?m viac sa v?sledok pribli?uje priemern? hodnota.

Ako skombinova? nez?visl? pokusy

Ak sa p?tate na viacero opakovan?ch, ale nez?visl?ch pokusov, potom v?sledok jedn?ho hodu neovplyvn? v?sledok ostatn?ch hodov. Pre t?to situ?ciu existuje e?te jedno jednoduch?ie vysvetlenie.

Ako rozl??i? medzi nie??m z?visl?m a nez?visl?m? V z?sade, ak m??ete izolova? ka?d? hod (alebo s?riu hodov) kockou ako samostatn? udalos?, potom je nez?visl?. Napr?klad hod?me 8k6 a chceme hodi? celkovo 15. T?to udalos? nemo?no rozdeli? na nieko?ko nez?visl?ch hodov kockou. Ak chcete z?ska? v?sledok, vypo??tate s??et v?etk?ch hodn?t, tak?e v?sledok hoden? jednou kockou ovplyvn? v?sledky, ktor? by sa mali hodi? na ostatn?ch.

Tu je pr?klad nez?visl?ch hodov: hr?te kockou a nieko?kokr?t h?d?ete ?es?stennou kockou. Prv? hod mus? hodi? 2 alebo vy??ie, aby ste zostali v hre. Pre druh? rolku - 3 alebo vy??ie. Tret? vy?aduje 4 alebo viac, ?tvrt? vy?aduje 5 alebo viac a piaty vy?aduje 6. Ak je v?etk?ch p?? hodov ?spe?n?ch, vyhr?vate. V tomto pr?pade s? v?etky hody nez?visl?. ?no, ak jeden hod zlyh?, ovplyvn? to v?sledok celej hry, ale jeden hod neovplyvn? druh?. Ak je napr?klad v?? druh? hod kockou ve?mi dobr?, neznamen? to, ?e ?al?ie hody bud? rovnako dobr?. Preto m??eme zv??i? pravdepodobnos? ka?d?ho hodu kockou samostatne.

Ak m?te nez?visl? pravdepodobnosti a chcete vedie?, ak? je pravdepodobnos?, ?e nastan? v?etky udalosti, ur??te ka?d? jednotliv? pravdepodobnos? a vyn?sob?te ju. ?al?? sp?sob: ak pomocou „a“ pop??ete nieko?ko podmienok (napr?klad ak? je pravdepodobnos? nejakej n?hodnej udalosti a inej nez?vislej n?hodnej udalosti?) – vypo??tajte jednotliv? pravdepodobnosti a vyn?sobte ich.

Nez?le?? na tom, ?o si mysl?te – nikdy nes??tajte nez?visl? pravdepodobnosti. Toto je ?ast? omyl. Aby ste pochopili, pre?o je to nespr?vne, predstavte si situ?ciu, ke? si hod?te mincou a chcete vedie?, ak? je pravdepodobnos?, ?e dostanete hlavy dvakr?t za sebou. Pravdepodobnos? vypadnutia z ka?dej strany je 50%. Ak spo??tate tieto dve pravdepodobnosti, z?skate 100% ?ancu z?ska? hlavy, ale vieme, ?e to nie je pravda, preto?e m??u pr?s? dva po sebe id?ce chvosty. Ak namiesto toho vyn?sob?te dve pravdepodobnosti, dostanete 50 % * 50 % = 25 % – ?o je spr?vna odpove? na v?po?et pravdepodobnosti, ?e dostanete hlavy dvakr?t za sebou.

Pr?klad

Vr??me sa k hre ?es?stenn?ch kociek, kde treba najprv hodi? ??slo v???ie ako 2, potom viac ako 3 – a tak ?alej a? do 6. Ak? s? ?ance, ?e v danej s?rii piatich hodov bud? v?etky bud? v?sledky priazniv??

Ako u? bolo spomenut? vy??ie, ide o nez?visl? pokusy, preto vypo??tame pravdepodobnos? pre ka?d? jednotliv? hod a potom ich vyn?sob?me. Pravdepodobnos?, ?e v?sledok prv?ho hodu bude priazniv?, je 5/6. Druh? - 4.6. Tretia - 3.6. ?tvrt? - 2/6, piaty - 1/6. V?etky v?sledky navz?jom vyn?sob?me a dostaneme pribli?ne 1,5 %. V?hry v tejto hre s? pomerne zriedkav?, tak?e ak do svojej hry prid?te tento prvok, budete potrebova? dos? ve?k? jackpot.

Neg?cia

Tu je ?al?? u?ito?n? tip: niekedy je ?a?k? vypo??ta? pravdepodobnos?, ?e k udalosti d?jde, ale je jednoduch?ie ur?i? pravdepodobnos?, ?e k udalosti ned?jde. Predpokladajme napr?klad, ?e m?me in? hru: hod?te 6k6 a vyhr?te, ak aspo? raz hod?te 6. Ak? je pravdepodobnos? v?hry?

V tomto pr?pade je potrebn? zv??i? ve?a mo?nost?. Je mo?n?, ?e vypadne jedno ??slo 6, teda na jednej z kociek padne ??slo 6 a na ostatn?ch ??sla od 1 do 5, potom je 6 mo?nost?, ktor? z kociek bude ma? a 6. ??slo 6 m??ete z?ska? na dvoch kock?ch, troch alebo aj viacer?ch a zaka?d?m budete musie? vykona? samostatn? v?po?et, tak?e sa tu ?ahko zmias?.

Pozrime sa v?ak na probl?m z druhej strany. Prehr?te, ak ?iadna z kociek nepadne 6. V tomto pr?pade m?me 6 nez?visl?ch pokusov. Pravdepodobnos?, ?e ka?d? z kociek hod? in? ??slo ako 6, je 5/6. Vyn?sobte ich - a z?skajte pribli?ne 33%. Pravdepodobnos? prehry je teda jedna ku trom. Pravdepodobnos? v?hry je teda 67 % (alebo dve a? tri).

Z tohto pr?kladu je zrejm?, ?e ak po??tate s pravdepodobnos?ou, ?e k udalosti ned?jde, mus?te v?sledok odpo??ta? od 100 %. Ak je pravdepodobnos? v?hry 67 %, potom je pravdepodobnos? prehry 100 % m?nus 67 % alebo 33 % a naopak. Ak je ?a?k? vypo??ta? jednu pravdepodobnos?, ale je ?ahk? vypo??ta? opa?n?, vypo??tajte opak a potom od??tajte toto ??slo od 100%.

Podmienky pripojenia pre jeden nez?visl? test

O nie?o sk?r som povedal, ?e by ste nikdy nemali s??ta? pravdepodobnosti v nez?visl?ch sk??kach. Existuj? pr?pady, kedy je mo?n? s??ta? pravdepodobnosti? ?no, v jednej konkr?tnej situ?cii.

Ak chcete vypo??ta? pravdepodobnos? viacer?ch nes?visiacich priazniv?ch v?sledkov v tej istej ?t?dii, spo??tajte pravdepodobnosti ka?d?ho priazniv?ho v?sledku. Napr?klad pravdepodobnos? hodenia 4, 5 alebo 6 na 1k6 sa rovn? s??tu pravdepodobnosti hodenia 4, pravdepodobnosti hodenia 5 a pravdepodobnosti hodenia 6. T?to situ?ciu mo?no zn?zorni? takto: ak pou?ite spojku "alebo" v ot?zke o pravdepodobnosti (napr?klad ak? je pravdepodobnos? toho ?i onoho v?sledku jednej n?hodnej udalosti?) - vypo??tajte jednotliv? pravdepodobnosti a spo??tajte ich.

Upozornenie: Ke? vypo??tate v?etky mo?n? v?sledky hry, s??et pravdepodobnosti ich v?skytu sa mus? rovna? 100 %, inak bol v?? v?po?et vykonan? nespr?vne. Je to dobr? sp?sob, ako skontrolova? svoje v?po?ty. Napr?klad ste analyzovali pravdepodobnos? z?skania v?etk?ch kombin?ci? v pokri. Ak spo??tate v?etky v?sledky, ktor? dostanete, mali by ste dosta? presne 100 % (alebo aspo? hodnotu bl?zku 100 %: ak pou??vate kalkula?ku, m??e sa vyskytn?? mal? chyba zaokr?h?ovania, ale ak prid?vate presn? ??sla ru?ne, v?etko by sa malo s??ta?. ). Ak sa s??et nezhoduje, potom ste s najv???ou pravdepodobnos?ou nebrali do ?vahy niektor? kombin?cie alebo nespr?vne vypo??tali pravdepodobnosti niektor?ch kombin?ci? a v?po?ty je potrebn? prekontrolova?.

Nerovnak? pravdepodobnosti

Doteraz sme predpokladali, ?e ka?d? strana kocky vypad?va s rovnakou frekvenciou, preto?e takto kocka funguje. Ale niekedy sa m??ete stretn?? so situ?ciou, ke? s? mo?n? r?zne v?sledky a maj? r?zne ?ance na vypadnutie.

Napr?klad v jednom z doplnkov ku kartovej hre Nuclear War je hracie pole so ??pkou, ktor? ur?uje v?sledok odp?lenia rakety. Naj?astej?ie sp?sob? norm?lne po?kodenie, v???ie alebo men?ie, ale niekedy sa po?kodenie zdvojn?sob? alebo strojn?sob?, alebo raketa vybuchne na odpa?ovacej rampe a ubl??i v?m, alebo d?jde k inej udalosti. Na rozdiel od dosky so ??pkami v Chutes & Ladders alebo A Game of Life nie s? v?sledky dosky v Nuclear War rovnako pravdepodobn?. Niektor? ?seky hracieho po?a s? v???ie a ??p sa na nich zastavuje ove?a ?astej?ie, in? zase ve?mi mal? a ??p sa na nich zastav? len zriedka.

Na prv? poh?ad teda kos? vyzer? asi takto: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - u? sme o tom hovorili, je to nie?o ako v??en? 1d3. Preto mus?me rozdeli? v?etky tieto ?asti na rovnak? ?asti, n?js? najmen?iu mern? jednotku, delite?a, ktor?mu je v?etko n?sobkom, a potom zn?zorni? situ?ciu ako d522 (alebo nejak? in?), kde bude mno?ina tv?r? kocky predstavuj? rovnak? situ?ciu, ale s viacer?mi v?sledkami. Toto je jeden zo sp?sobov, ako vyrie?i? probl?m, a je to technicky mo?n?, ale existuje jednoduch?ia mo?nos?.

Vr??me sa k na?ej ?tandardnej ?es?stennej kocke. Povedali sme, ?e na v?po?et priemernej hodnoty hodu pre norm?lnu kocku je potrebn? s??ta? hodnoty v?etk?ch tv?r? a rozdeli? ich po?tom tv?r?, ale ako presne sa v?po?et vykon?va? M??ete to vyjadri? r?zne. Pre ?es?stenn? kocku je pravdepodobnos?, ?e ka?d? padne, presne 1/6. Teraz vyn?sob?me v?sledok ka?d?ho aspektu pravdepodobnos?ou tohto v?sledku (v tomto pr?pade 1/6 pre ka?d? aspekt) a potom s??tame v?sledn? hodnoty. Tak?e s??tanie (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), dostaneme rovnak? v?sledok (3.5) ako vo v?po?te vy??ie. V skuto?nosti to po??tame zaka?d?m: ka?d? v?sledok vyn?sob?me pravdepodobnos?ou tohto v?sledku.

M??eme urobi? rovnak? v?po?et pre ??pku na hernom pl?ne v Nuclear War? Samozrejme, ?e m??eme. A ak zr?tame v?etky zisten? v?sledky, dostaneme priemern? hodnotu. V?etko, ?o mus?me urobi?, je vypo??ta? pravdepodobnos? ka?d?ho v?sledku pre ??pku na ihrisku a vyn?sobi? ju hodnotou v?sledku.

?al?? pr?klad

Uveden? sp?sob v?po?tu priemeru je vhodn? aj vtedy, ak s? v?sledky rovnako pravdepodobn?, ale maj? r?zne v?hody – napr?klad ak hod?te kockou a vyhr?te na niektor?ch tv?rach viac ako na in?ch. Vezmime si napr?klad hru, ktor? sa odohr?va v kas?ne: pod?te st?vku a hod?te 2k6. Ak padn? tri ??sla s n?zkou hodnotou (2, 3, 4) alebo ?tyri ??sla s vysokou hodnotou (9, 10, 11, 12), vyhr?te sumu rovnaj?cu sa va?ej st?vke. ??sla s najni??ou a najvy??ou hodnotou s? ?peci?lne: ak padne 2 alebo 12, vyhr?te dvojn?sobok va?ej st?vky. Ak padne ak?ko?vek in? ??slo (5, 6, 7, 8), svoju st?vku prehr?te. Toto je celkom jednoduch? hra. Ak? je v?ak pravdepodobnos? v?hry?

Za?nime spo??tan?m, ko?kokr?t m??ete vyhra?. Maxim?lny po?et v?sledkov pri hode 2k6 je 36. Ak? je po?et priazniv?ch v?sledkov?

• Je tu 1 mo?nos?, ktor? hod? 2, a 1 mo?nos?, ktor? hod? 12.
• Existuj? 2 mo?nosti pre 3 a 2 mo?nosti pre 11.
• Existuj? 3 mo?nosti pre 4 a 3 mo?nosti pre 10.
• Existuj? 4 mo?nosti, z ktor?ch bude 9.

Zhrnut?m v?etk?ch mo?nost? dostaneme 16 priazniv?ch v?sledkov z 36. Za norm?lnych podmienok teda vyhr?te 16-kr?t z 36 mo?n?ch – pravdepodobnos? v?hry je o nie?o men?ia ako 50 %.

Dvakr?t z t?chto ?estn?stich v?ak vyhr?te dvakr?t to?ko – je to ako vyhra? dvakr?t. Ak hr?te t?to hru 36-kr?t, pri?om zaka?d?m vsad?te 1 $ a ka?d? z mo?n?ch v?sledkov pr?de raz, vyhr?te spolu 18 $ (v skuto?nosti vyhr?te 16-kr?t, ale dve z nich sa po??taj? ako dve v?hry). ). Ak hr?te 36-kr?t a vyhr?te 18 dol?rov, neznamen? to, ?e pravdepodobnosti s? vyrovnan??

Nepon?h?aj sa. Ak spo??tate, ko?kokr?t m??ete prehra?, dostanete 20, nie 18. Ak hr?te 36-kr?t, pri?om zaka?d?m vsad?te 1 dol?r, vyhr?te spolu 18 dol?rov, ke? sa v?etky kurzy hodia. Celkovo v?ak strat?te 20 dol?rov za v?etk?ch 20 zl?ch v?sledkov. V d?sledku toho budete mierne pozadu: za ka?d?ch 36 hier prehr?te v priemere 2 dol?re netto (m??ete tie? poveda?, ?e prehr?te v priemere 1/18 dol?ra za de?). Teraz vid?te, ak? ?ahk? je v tomto pr?pade urobi? chybu a nespr?vne vypo??ta? pravdepodobnos?.

Permut?cia

Doteraz sme vych?dzali z toho, ?e pri hode kockou nez?le?? na porad?, v akom s? ??sla hoden?. Hod 2 + 4 je rovnak? ako hod 4 + 2. Vo v???ine pr?padov po??tame po?et priazniv?ch v?sledkov ru?ne, ale niekedy je t?to met?da nepraktick? a je lep?ie pou?i? matematick? vzorec.

Pr?klad takejto situ?cie je z hry s kockami Farkle. Za ka?d? nov? kolo hod?te 6k6. Ak budete ma? ??astie a pr?du v?etky mo?n? v?sledky 1-2-3-4-5-6 (Priamo), z?skate ve?k? bonus. Ak? je pravdepodobnos?, ?e sa tak stane? V tomto pr?pade existuje ve?a mo?nost? na stratu tejto kombin?cie.

Rie?enie je nasledovn?: na jednej z kociek (a len na jednej) by malo vypadn?? ??slo 1. Ko?ko mo?nost?, aby na jednej kocke padlo ??slo 1? Existuje 6 mo?nost?, ke??e kociek je 6 a na ktor?ko?vek z nich m??e padn?? ??slo 1. Pod?a toho vezmite jednu kocku a odlo?te ju. Teraz by na jednej zo zost?vaj?cich kociek malo padn?? ??slo 2. Na to je 5 mo?nost?. Vezmite ?al?iu kocku a odlo?te ju. Potom 4 zo zost?vaj?cich kociek m??u prist?? na 3, 3 zo zost?vaj?cich kociek m??u prist?? na 4 a 2 zo zost?vaj?cich kociek m??u prist?? na 5. V?sledkom je, ?e v?m zostane jedna kocka, na ktorej je ??slo 6 by mala padn?? (v druhom pr?pade je kocka len jedna kos? a nie je na v?ber).

Aby sme spo??tali po?et priazniv?ch v?sledkov pre priamu kombin?ciu, vyn?sob?me v?etky r?zne nez?visl? mo?nosti: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 – zd? sa, ?e existuje pomerne ve?k? po?et mo?nost? pre t?to kombin?cia pr?de.

Aby sme vypo??tali pravdepodobnos? z?skania rovnej kombin?cie, mus?me vydeli? 720 po?tom v?etk?ch mo?n?ch v?sledkov pre hod 6k6. Ak? je po?et v?etk?ch mo?n?ch v?sledkov? Ka?d? kocka m??e hodi? 6 tv?r?, tak?e vyn?sob?me 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (ove?a v???ie ??slo ako predch?dzaj?ce). Vydel?me 720 ??slom 46656 a dostaneme pravdepodobnos? rovnaj?cu sa asi 1,5 %. Ak by ste navrhovali t?to hru, bolo by pre v?s u?ito?n? to vedie?, aby ste si mohli vytvori? vhodn? syst?m bodovania. Teraz u? ch?peme, pre?o vo Farkle z?skate tak? ve?k? bonus, ak traf?te priamu kombin?ciu: t?to situ?cia je pomerne zriedkav?.

V?sledok je zauj?mav? aj z in?ho d?vodu. Pr?klad ukazuje, ako zriedka v kr?tkom obdob? vypadne v?sledok zodpovedaj?ci pravdepodobnosti. Samozrejme, ak by sme hodili nieko?ko tis?c kociek, r?zne strany kocky by sa objavovali pomerne ?asto. Ale ke? hod?me len ?iestimi kockami, takmer nikdy sa nestane, ?e by padla ka?d? jedna z kociek. Ukazuje sa, ?e je hl?pe o?ak?va?, ?e teraz vypadne tv?r, ktor? e?te nebola, preto?e „??slo 6 sme u? dlho nevypustili“. Pozrite, v?? gener?tor n?hodn?ch ??sel je pokazen?.

To n?s vedie k v?eobecnej mylnej predstave, ?e v?etky v?sledky prich?dzaj? rovnakou r?chlos?ou po?as kr?tkeho ?asov?ho obdobia. Ak hod?me kockou nieko?kokr?t, frekvencia ka?dej z tv?r? nebude rovnak?.

Ak ste u? niekedy pracovali na online hre s nejak?m gener?torom n?hodn?ch ??sel, potom ste sa s najv???ou pravdepodobnos?ou stretli so situ?ciou, ke? hr?? nap??e na technick? podporu so s?a?nos?ou, ?e gener?tor n?hodn?ch ??sel nezobrazuje n?hodn? ??sla. Dospel k tomuto z?veru, preto?e zabil 4 pr??ery za sebou a dostal 4 ?plne rovnak? odmeny a tieto odmeny by mali klesn?? iba v 10% pr?padov, tak?e by sa to nemalo takmer nikdy sta?.

Rob?te matematiku. Pravdepodobnos? je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, to znamen?, ?e 1 v?sledok z 10 tis?c je pomerne zriedkav? pr?pad. To sa v?m hr?? sna?? poveda?. Je v tomto pr?pade probl?m?

V?etko z?vis? od okolnost?. Ko?ko hr??ov je teraz na va?om serveri? Predpokladajme, ?e m?te pomerne popul?rnu hru a ka?d? de? ju hr? 100 000 ?ud?. Ko?ko hr??ov zabije ?tyri pr??ery za sebou? Pravdepodobne v?etko, nieko?kokr?t denne, ale predpokladajme, ?e polovica z nich len obchoduje s r?znymi predmetmi na aukci?ch, chatuje na RP serveroch alebo sa venuje in?m hern?m aktivit?m - tak?e len polovica z nich lov? pr??ery. Ak? je pravdepodobnos?, ?e niekto dostane rovnak? odmenu? V tejto situ?cii m??ete o?ak?va?, ?e sa to stane aspo? nieko?kokr?t denne.

Mimochodom, pr?ve preto sa zd?, ?e ka?d?ch p?r t??d?ov niekto vyhr? v lot?rii, aj ke? ten niekto nikdy nebol vy alebo niekto, koho pozn?te. Ak bude pravidelne hra? dostatok ?ud?, je pravdepodobn?, ?e sa niekde n?jde aspo? jeden ??astlivec. Ale ak hr?te lot?riu sami, je nepravdepodobn?, ?e vyhr?te, je pravdepodobnej?ie, ?e budete pozvan? pracova? v Infinity Ward.

Mapy a z?vislos?

Diskutovali sme o nez?visl?ch udalostiach, ako je h?dzanie kockou, a teraz pozn?me mnoho v?konn?ch n?strojov na anal?zu n?hodnosti v mnoh?ch hr?ch. V?po?et pravdepodobnosti je trochu komplikovanej??, pokia? ide o ?ahanie kariet z bal??ka, preto?e ka?d? karta, ktor? vytiahneme, ovplyv?uje tie, ktor? v bal??ku ostan?.

Ak m?te ?tandardn? bal??ek 52 kariet, vytiahnete si z neho 10 s?dc a chcete vedie?, ak? je pravdepodobnos?, ?e ?al?ia karta bude rovnakej farby - pravdepodobnos? sa oproti p?vodnej zmenila, preto?e ste u? jednu srdcov? kartu z karty odstr?nili. paluba. Ka?d? karta, ktor? odstr?nite, zmen? pravdepodobnos?, ?e sa v bal??ku objav? ?al?ia karta. V tomto pr?pade predch?dzaj?ca udalos? ovplyv?uje nasleduj?cu, preto ju naz?vame z?vislou na pravdepodobnosti.

V?imnite si, ?e ke? hovor?m „karty“, m?m na mysli ak?ko?vek hern? mechaniku, ktor? m? sadu predmetov a jeden z nich odstr?nite bez toho, aby ste ho nahradili. „Bal?k kariet“ je v tomto pr?pade obdobou vrec??ka ?et?nov, z ktor?ho vyber?te jeden ?et?n, alebo urny, z ktorej sa vyberaj? farebn? lopti?ky (nikdy som nevidel hry s urnou, z ktorej by sa vyberali farebn? lopti?ky von, ale u?itelia te?rie pravdepodobnosti na to, ?o z nejak?ho d?vodu, tento pr?klad je preferovan?).

Vlastnosti z?vislosti

Chcel by som objasni?, ?e pokia? ide o karty, predpoklad?m, ?e si vytiahnete karty, pozriete sa na ne a odstr?nite ich z bal??ka. Ka?d? z t?chto akci? je d?le?itou vlastnos?ou. Ak by som mal bal??ek, povedzme, ?iestich kariet o??slovan?ch od 1 do 6, zamie?al by som ich a ?ahal by som si jednu kartu, potom by som znova zamie?al v?etk?ch ?es? kariet – bolo by to podobn?, ako ke? h?d?em ?es?stennou kockou, preto?e jeden v?sledok nie je ovplyvni? tu pre ?al?ie. A ak si potiahnem karty a nenahrad?m ich, tak ?ahan?m 1 karty zvy?ujem pravdepodobnos?, ?e nabud?ce si vytiahnem kartu s ??slom 6. Pravdepodobnos? sa bude zvy?ova?, a? si nakoniec t?to kartu potiahnem alebo zamie?am bal??ek.

D?le?it? je aj fakt, ?e sa pozer?me do kariet. Ak vyberiem kartu z bal??ka a nepozer?m sa na ?u, nebudem ma? ?iadne ?al?ie inform?cie a pravdepodobnos? sa v skuto?nosti nezmen?. M??e to znie? nelogicky. Ako m??e jednoduch? oto?enie karty magicky zmeni? ?ance? Ale je to mo?n?, preto?e pravdepodobnos? nezn?mych polo?iek m??ete vypo??ta? len na z?klade toho, ?o viete.

Ak napr?klad zamie?ate ?tandardn? bal??ek kariet, odhal?te 51 kariet a ?iadna z nich nie je klubov? kr??ovn?, potom si m??ete by? 100% ist?, ?e zost?vaj?ca karta je klubov? kr??ovn?. Ak zamie?ate ?tandardn? bal??ek kariet a potiahnete 51 kariet bez toho, aby ste sa na ne pozreli, potom je pravdepodobnos?, ?e zost?vaj?ca karta je kr??ovnou pal?c, st?le 1/52. Po otvoren? ka?dej karty z?skate ?al?ie inform?cie.

V?po?et pravdepodobnosti pre z?visl? udalosti sa riadi rovnak?mi princ?pmi ako pre nez?visl? udalosti, a? na to, ?e je to o nie?o zlo?itej?ie, ke??e pri odkryt? kariet sa pravdepodobnosti menia. Preto mus?te vyn?sobi? ve?a r?znych hodn?t namiesto n?sobenia rovnakej hodnoty. V skuto?nosti to znamen?, ?e mus?me spoji? v?etky v?po?ty, ktor? sme urobili, do jednej kombin?cie.

Pr?klad

Zamie?ate ?tandardn? bal??ek 52 kariet a potiahnete dve karty. Ak? je pravdepodobnos?, ?e si vyberiete p?r? Existuje nieko?ko sp?sobov, ako vypo??ta? t?to pravdepodobnos?, ale mo?no najjednoduch?? je nasledovn?: ak? je pravdepodobnos?, ?e po vytiahnut? jednej karty nebudete m?c? vytiahnu? p?r? T?to pravdepodobnos? je nulov?, tak?e v podstate nez?le?? na tom, ktor? prv? kartu si vytiahnete, pokia? sa zhoduje s druhou. Nez?le?? na tom, ktor? kartu vytiahneme ako prv?, st?le m?me ?ancu vytiahnu? p?r. Preto je pravdepodobnos? vytiahnutia p?ru po vytiahnut? prvej karty 100%.

Ak? je pravdepodobnos?, ?e sa druh? karta zhoduje s prvou? V bal??ku zost?va 51 kariet a 3 z nich sa zhoduj? s prvou kartou (v skuto?nosti by to boli 4 z 52, ale jednu zo zodpovedaj?cich kariet ste u? odstr?nili, ke? ste si vytiahli prv? kartu), tak?e pravdepodobnos? je 1/ 17. Tak?e ke? nabud?ce hr?te Texas Hold'em, chlap?k oproti v?m pri stole hovor?: „Super, ?al?? p?r? Dnes m?m ??astie“, budete vedie?, ?e s vysokou mierou pravdepodobnosti blafuje.

?o ak prid?me dvoch ?ol?kov, tak?e m?me v bal??ku 54 kariet a chceme vedie?, ak? je pravdepodobnos? ?ahania p?ru? Prv? karta m??e by? ?ol?k a potom bude v bal??ku iba jedna zhodn? karta, nie tri. Ako zisti? pravdepodobnos? v tomto pr?pade? Rozdel?me pravdepodobnosti a ka?d? mo?nos? vyn?sob?me.

Na?a prv? karta m??e by? ?ol?k alebo in? karta. Pravdepodobnos? vytiahnutia ?ol?ka je 2/54, pravdepodobnos? vytiahnutia inej karty je 52/54. Ak je prv? karta ?ol?k (2/54), potom pravdepodobnos?, ?e sa druh? karta bude zhodova? s prvou, je 1/53. Vyn?sob?me hodnoty (m??eme ich vyn?sobi?, preto?e ide o samostatn? udalosti a chceme, aby sa obe udalosti stali) a dostaneme 1/1431 – menej ako jednu desatinu percenta.

Ak si najsk?r potiahnete nejak? in? kartu (52/54), pravdepodobnos? zhody s druhou kartou je 3/53. Vyn?sob?me hodnoty a dostaneme 78/1431 (o nie?o viac ako 5,5%). ?o urob?me s t?mito dvoma v?sledkami? Nepret?naj? sa a my chceme pozna? pravdepodobnos? ka?d?ho z nich, preto hodnoty spo??tame. Dostaneme kone?n? v?sledok 79/1431 (st?le asi 5,5%).

Ak by sme si chceli by? ist? presnos?ou odpovede, mohli by sme vypo??ta? pravdepodobnos? v?etk?ch ostatn?ch mo?n?ch v?sledkov: ?ahanie ?ol?ka a nezodpovedanie druhej karty, alebo ?ahanie inej karty a nezodpovedanie druhej karty. Zhrnut?m t?chto pravdepodobnost? a pravdepodobnosti v?hry by sme dostali presne 100 %. Nebudem tu uv?dza? matematiku, ale m??ete sk?si? matematiku pre kontrolu.

Paradox Monty Hall

To n?s priv?dza k pomerne zn?memu paradoxu, ktor? mnoh?ch ?asto m?tie, paradoxu Montyho Halla. Paradox je pomenovan? pod?a moder?tora telev?znej rel?cie Let's Make a Deal Pre t?ch, ktor? t?to rel?ciu nikdy nevideli, poviem, ?e to bol opak The Price Is Right.

Vo filme The Price Is Right je hostite? (predt?m hostil Bob Barker, teraz Drew Carey? Nevad?) v?? priate?. Chce, aby ste vyhrali peniaze alebo skvel? ceny. Sna?? sa v?m poskytn?? ka?d? pr?le?itos? na v?hru, pokia? dok??ete odhadn??, ak? skuto?n? hodnotu maj? sponzorovan? predmety.

Monty Hall sa zachoval inak. Bol ako zl? dvoj?a Boba Barkera. Jeho cie?om bolo, aby ste v n?rodnej telev?zii vyzerali ako idiot. Ak ste boli na ?ou, bol to v?? s?per, hrali ste proti nemu a ?ance boli v jeho prospech. Mo?no som prehnane tvrd?, ale pri poh?ade na predstavenie, do ktor?ho sa s v???ou pravdepodobnos?ou dostanete, ak m?te na sebe smie?ny kost?m, presne k tomu prich?dzam.

Jeden z najzn?mej??ch m?mov predstavenia bol tento: pred vami s? tri dvere, dvere ??slo 1, dvere ??slo 2 a dvere ??slo 3. Jedny dvere si m??ete vybra? zadarmo. Za jedn?m z nich je ve?kolep? cena – napr?klad nov? auto. Za ?al??mi dvoma dverami nie s? ?iadne ceny, obe nemaj? ?iadnu hodnotu. Maj? v?s poni?ova?, tak?e za nimi nie je len tak nie?o, ale nie?o hl?pe, napr?klad koza alebo obrovsk? tuba zubnej pasty – ?oko?vek, len nie nov? auto.

Vyberiete si jedny z dver?, Monty sa ich chyst? otvori?, aby v?m dal vedie?, ?i ste vyhrali alebo nie... ale po?kajte. Sk?r ne? sa dozvieme, po?me sa pozrie? na jedny z t?ch dver?, ktor? ste si nevybrali. Monty vie, za ktor?mi dverami je cena, a v?dy m??e otvori? dvere, ktor? za sebou nemaj? cenu. „Vyber?te si dvere ??slo 3? Potom otvorme dvere ??slo 1, aby sme uk?zali, ?e za nimi nie je ?iadna cena.“ A teraz v?m zo ?tedrosti pon?ka mo?nos? vymeni? vybran? dvere ??slo 3 za to, ?o je za dverami ??slo 2.

V tomto bode vyvst?va ot?zka pravdepodobnosti: zvy?uje t?to pr?le?itos? va?u pravdepodobnos? v?hry alebo ju zni?uje, alebo zost?va nezmenen?? Co si myslis?

Spr?vna odpove?: mo?nos? vybra? si in? dvere zvy?uje ?ancu na v?hru z 1/3 na 2/3. To je nelogick?. Ak ste sa s t?mto paradoxom e?te nestretli, potom si s najv???ou pravdepodobnos?ou hovor?te: po?kajte, ako to je: otvoren?m jedn?ch dver? sme magicky zmenili pravdepodobnos?? Ako sme videli na pr?klade m?p, presne toto sa stane, ke? z?skame viac inform?ci?. Je zrejm?, ?e ke? si vyberiete prv?kr?t, pravdepodobnos? v?hry je 1/3. Ke? sa otvoria jedny dvere, v?bec to nemen? pravdepodobnos? v?hry pre prv? mo?nos?: pravdepodobnos? je st?le 1/3. Ale pravdepodobnos?, ?e tie druh? dvere s? spr?vne, je teraz 2/3.

Pozrime sa na tento pr?klad z druhej strany. Vyberiete si dvere. Pravdepodobnos? v?hry je 1/3. Navrhujem, aby ste vymenili ?al?ie dve dvere, ?o rob? Monty Hall. Samozrejme, otvor? jedny z dver?, aby uk?zal, ?e za t?m nie je ?iadna cena, ale toto m??e urobi? v?dy, tak?e to vlastne ni? nemen?. Samozrejme, budete chcie? zvoli? in? dvere.

Ak ot?zke celkom nerozumiete a potrebujete presved?ivej?ie vysvetlenie, kliknite na tento odkaz a prejdite na skvel? mal? Flash aplik?ciu, ktor? v?m umo?n? podrobnej?ie presk?ma? tento paradox. M??ete za?a? s pribli?ne 10 dverami a potom postupne prejs? na hru s tromi dverami. K dispoz?cii je tie? simul?tor, kde m??ete hra? s ?ubovo?n?m po?tom dver? od 3 do 50 alebo spusti? nieko?ko tis?c simul?ci? a zisti?, ko?kokr?t by ste vyhrali, keby ste hrali.

Vyberte si jedny z troch dver? – pravdepodobnos? v?hry je 1/3. Teraz m?te dve strat?gie: zmeni? v?ber po otvoren? nespr?vnych dver? alebo nie. Ak nezmen?te svoj v?ber, pravdepodobnos? zostane 1/3, preto?e v?ber je len v prvej f?ze a mus?te hne? uh?dnu?. Ak sa zmen?te, potom m??ete vyhra?, ak si najsk?r vyberiete nespr?vne dvere (potom otvoria ?al?ie zl?, tie spr?vne ostan? - zmena rozhodnutia, len to vezmete). Pravdepodobnos? v?beru nespr?vnych dver? na za?iatku je 2/3 – ukazuje sa teda, ?e zmenou svojho rozhodnutia zdvojn?sob?te pravdepodobnos? v?hry.

Pozn?mka od u?ite?a vy??ej matematiky a odborn?ka na rovnov?hu hier Maxima Soldatova - Schreiber ju samozrejme nemal, ale bez nej je dos? ?a?k? pochopi? t?to magick? transform?ciu

Op?tovn? n?v?teva paradoxu Monty Hall

Pokia? ide o samotn? ?ou, aj ke? s?peri Montyho Halla neboli dobr? v matematike, on v nej bol dobr?. Tu je to, ?o urobil, aby trochu zmenil hru. Ak ste si vybrali dvere, za ktor?mi bola v?hra, s pravdepodobnos?ou 1/3 v?m v?dy pon?kol mo?nos? vybra? si in? dvere. Vyberiete si auto a potom ho vymen?te za kozu a vyzer?te dos? hl?po – ?o je presne to, ?o potrebujete, preto?e Hall je tak trochu zl? chlap.

Ale ak si vyberiete dvere, ktor? nemaj? cenu, pon?kne v?m ?al?ie iba polovicu ?asu, alebo v?m len uk??e va?u nov? kozu a vy od?dete z javiska. Po?me analyzova? t?to nov? hru, kde sa Monty Hall m??e rozhodn??, ?i v?m pon?kne mo?nos? vybra? si in? dvere alebo nie.

Predpokladajme, ?e postupuje pod?a tohto algoritmu: ak si vyberiete dvere s cenou, v?dy v?m pon?kne mo?nos? vybra? si in? dvere, inak je rovnako pravdepodobn?, ?e v?m pon?kne vybra? si in? dvere alebo v?m d? kozu. Ak? je pravdepodobnos? va?ej v?hry?

V jednej z troch mo?nost? si hne? vyberiete dvere, za ktor?mi sa nach?dza v?hra, a hostite? v?s vyzve, aby ste si vybrali ?al?ie.

Zo zost?vaj?cich dvoch mo?nost? z troch (na za?iatku si vyberiete dvere bez ceny) v?m v polovici pr?padov hostite? pon?kne zmenu v??ho rozhodnutia a v druhej polovici pr?padov nie.

Polovica z 2/3 je 1/3, to znamen?, ?e v jednom pr?pade z troch dostanete kozu, v jednom pr?pade z troch vyberiete nespr?vne dvere a hostite? v?m pon?kne vybra? si in? a v r. jeden pr?pad z troch si vyberiete spr?vne dvere, ale on op?? pon?kne in?.

Ak facilit?tor pon?kne v?ber in?ch dver?, u? vieme, ?e jeden z troch pr?padov, ke? n?m d? kozu a my odch?dzame, sa nestal. Toto je u?ito?n? inform?cia: znamen? to, ?e na?e ?ance na v?hru sa zmenili. Dva z troch pr?padov, ke? m?me na v?ber: v jednom pr?pade to znamen?, ?e sme uh?dli spr?vne a v druhom pr?pade, ?e sme uh?dli nespr?vne, tak?e ak n?m v?bec pon?kli na v?ber, pravdepodobnos? na?ej v?hry je 1 /2 , a matematicky je jedno, ?i zostanete pri v?bere alebo zvol?te in? dvere.

Rovnako ako poker je to psychologick? hra, nie matematick?. Pre?o v?m Monty pon?kol na v?ber? Mysl? si, ?e ste pros???ek, ktor? nevie, ?e vybra? si in? dvere je „spr?vne“ rozhodnutie a tvrdohlavo sa bude dr?a? svojho v?beru (predsa len, situ?cia je psychicky komplikovanej?ia, ke? si auto vyberiete a potom ho strat?te? )?

Alebo v?m t?to ?ancu pon?kne, ke? sa rozhodol, ?e ste ?ikovn? a vyberiete si in? dvere, preto?e vie, ?e ste spo?iatku h?dali spr?vne a padli ste na h?k? Alebo mo?no je netypicky l?skav? a tla?? v?s, aby ste urobili nie?o prospe?n? pre v?s, preto?e u? dlho nedaroval aut? a producenti hovoria, ?e publikum sa za??na nudi? a bolo by lep?ie da? ?oskoro ve?k? cenu, tak?e ?e klesli hodnotenia?

Montymu sa teda ob?as dar? pon?knu? na v?ber, pri?om celkov? pravdepodobnos? v?hry zost?va rovn? 1/3. Pam?tajte, ?e pravdepodobnos?, ?e okam?ite prehr?te, je 1/3. Je tu 1/3 ?anca, ?e uh?dnete hne? a 50 % z nich vyhr?te (1/3 x 1/2 = 1/6).

Pravdepodobnos?, ?e najsk?r uh?dnete zle, ale potom m?te ?ancu vybra? si in? dvere, je 1/3 a v polovici z t?chto pr?padov vyhr?te (tie? 1/6). Spo??tajte dve nez?visl? v?hern? mo?nosti a dostanete pravdepodobnos? 1/3, tak?e nez?le?? na tom, ?i zostanete pri v?bere alebo si vyberiete in? dvere - celkov? pravdepodobnos? va?ej v?hry po?as celej hry je 1/3.

Pravdepodobnos? nie je v???ia ako v situ?cii, ke? ste uh?dli dvere a hostite? v?m jednoducho uk?zal, ?o je za nimi, bez toho, aby v?m pon?kol vybra? si in?. Cie?om n?vrhu nie je zmeni? pravdepodobnos?, ale urobi? rozhodovac? proces z?bavnej??m pre sledovanie telev?zie.

Mimochodom, toto je jeden z d?vodov, pre?o m??e by? poker tak? zauj?mav?: vo v???ine form?tov medzi kolami, ke? sa uzatv?raj? st?vky (napr?klad flop, turn a river v Texas Hold'em), sa karty postupne odkr?vaj?, a ak m?te na za?iatku hry jednu ?ancu na v?hru, potom sa po ka?dom kole st?vok, ke? je otvoren?ch viac kariet, t?to pravdepodobnos? zmen?.

Paradox chlapca a diev?a?a

To n?s priv?dza k ?al?iemu dobre zn?memu paradoxu, ktor? m? tendenciu zmias? ka?d?ho, paradoxu chlapca a diev?a?a. Jedin? vec, o ktorej dnes p??em, nes?vis? priamo s hrami (aj ke? v?s asi len mus?m postr?i?, aby ste vytvorili vhodn? hern? mechanizmy). Toto je sk?r h?danka, ale zauj?mav?, a aby ste ju vyrie?ili, mus?te pochopi? podmienen? pravdepodobnos?, o ktorej sme hovorili vy??ie.

?loha: M?m kamar?tku s dvoma de?mi, aspo? jedno z nich je diev?a. Ak? je pravdepodobnos?, ?e aj druh? die?a bude diev?a? Predpokladajme, ?e v ka?dej rodine je ?anca ma? diev?a a chlapca 50/50, a to plat? pre ka?d? die?a.

V skuto?nosti niektor? mu?i maj? v sperme viac spermi? s chromoz?mom X alebo chromoz?mom Y, tak?e pravdepodobnos? sa mierne l??i. Ak viete, ?e jedno die?a je diev?a, ?anca na druh? diev?a je o nie?o vy??ia a existuj? aj ?al?ie stavy, ako je hermafroditizmus. Ale na vyrie?enie tohto probl?mu to nebudeme bra? do ?vahy a predpoklad?me, ?e narodenie die?a?a je nez?vislou udalos?ou a narodenie chlapca a diev?a?a je rovnako pravdepodobn?.

Ke??e hovor?me o 1/2 ?anci, intuit?vne o?ak?vame, ?e odpove? bude 1/2 alebo 1/4, alebo nejak? in? n?sobok dvoch v menovateli. Ale odpove? je 1/3. pre?o?

Probl?mom v tomto pr?pade je, ?e inform?cie, ktor? m?me, zni?uj? po?et mo?nost?. Predpokladajme, ?e rodi?ia s? fan??ikmi Sesame Street a bez oh?adu na pohlavie det? ich pomenovali A a B. Za norm?lnych podmienok existuj? ?tyri rovnako pravdepodobn? mo?nosti: A a B s? dvaja chlapci, A a B s? dve diev?at?, A je chlapec a B je diev?a, A je diev?a a B je chlapec. Ke??e vieme, ?e aspo? jedno die?a je diev?a, m??eme vyl??i?, ?e A a B s? dvaja chlapci. Ostali n?m teda tri mo?nosti – st?le rovnako pravdepodobn?. Ak s? v?etky mo?nosti rovnako pravdepodobn? a s? tri, potom pravdepodobnos? ka?dej z nich je 1/3. Len v jednej z t?chto troch mo?nost? s? obe deti diev?at?, tak?e odpove? je 1/3.

A op?? o paradoxe chlapca a diev?a?a

Rie?enie probl?mu sa st?va e?te nelogickej??m. Predstavte si, ?e m?j priate? m? dve deti a jedno z nich je diev?a, ktor? sa narodilo v utorok. Predpokladajme, ?e za norm?lnych podmienok je rovnako pravdepodobn?, ?e sa die?a narod? ka?d? zo siedmich dn? v t??dni. Ak? je pravdepodobnos?, ?e aj druh? die?a bude diev?a?

Mo?no si mysl?te, ?e odpove? bude st?le 1/3: ?o znamen? utorok? Ale v tomto pr?pade n?s intu?cia zlyh?va. Odpove? je 13/27, ?o nie je len intuit?vne, ale ve?mi zvl??tne. O ?o v tomto pr?pade ide?

V skuto?nosti utorok men? pravdepodobnos?, preto?e nevieme, ktor? die?a sa narodilo v utorok, alebo mo?no obe sa narodili v utorok. V tomto pr?pade pou??vame rovnak? logiku: po??tame v?etky mo?n? kombin?cie, ke? je aspo? jedno die?a diev?a, ktor? sa narodilo v utorok. Ako v predch?dzaj?com pr?klade, predpokladajme, ?e deti maj? men? A a B. Kombin?cie vyzeraj? takto:

• A je diev?a, ktor? sa narodilo v utorok, B je chlapec (v tejto situ?cii je 7 mo?nost?, jedna pre ka?d? de? v t??dni, kedy sa mohol narodi? chlapec).
• B - diev?a, ktor? sa narodilo v utorok, A - chlapec (tie? 7 mo?nost?).
• A je diev?a, ktor? sa narodilo v utorok, B je diev?a, ktor? sa narodilo v in? de? v t??dni (6 mo?nost?).
• B - diev?a, ktor? sa narodilo v utorok, A - diev?a, ktor? sa nenarodilo v utorok (tie? 6 pravdepodobnost?).
• A a B s? dve diev?at?, ktor? sa narodili v utorok (1 mo?nos?, treba si na to da? pozor, aby sa to ner?talo dvakr?t).

Zr?tame a dostaneme 27 r?znych rovnako mo?n?ch kombin?ci? narodenia det? a dn? s aspo? jednou mo?nos?ou, ?e sa v utorok narod? diev?atko. Z toho 13 mo?nost? je, ke? sa narodia dve diev?at?. Vyzer? to tie? ?plne nelogicky - zd? sa, ?e t?to ?loha bola vyn?jden? len preto, aby sp?sobila boles? hlavy. Ak ste st?le zm?ten?, str?nka hern?ho teoretika Jespera Juhla m? na to dobr? vysvetlenie.

Ak pr?ve pracujete na hre

Ak je v hre, ktor? navrhujete, n?hoda, je to skvel? pr?le?itos? na jej anal?zu. Vyberte ?ubovo?n? prvok, ktor? chcete analyzova?. Najprv si polo?te ot?zku, ak? by ste o?ak?vali pravdepodobnos? dan?ho prvku v kontexte hry.

Ak napr?klad tvor?te RPG a uva?ujete o tom, ak? by mala by? pravdepodobnos?, ?e hr?? v boji poraz? mon?trum, polo?te si ot?zku, ak? percento v?hry sa v?m zd? spr?vne. V pr?pade konzolov?ch RPG sa hr??i zvy?ajne ve?mi roz??lia, ke? prehraj?, tak?e je lep?ie, ak prehr?vaj? zriedkavo – 10 % ?asu alebo menej. Ak ste dizajn?r RPG, pravdepodobne to viete lep?ie ako ja, ale mus?te ma? z?kladn? predstavu o tom, ak? by mala by? pravdepodobnos?.

Potom si polo?te ot?zku, ?i s? va?e pravdepodobnosti z?visl? (ako pri kart?ch) alebo nez?visl? (ako pri kock?ch). Diskutujte o v?etk?ch mo?n?ch v?sledkoch a ich pravdepodobnosti. Uistite sa, ?e s??et v?etk?ch pravdepodobnost? je 100 %. A, samozrejme, porovnajte svoje v?sledky s va?imi o?ak?vaniami. Je mo?n? h?dza? kockami alebo ?aha? karty tak, ako ste zam???ali, alebo je jasn?, ?e hodnoty je potrebn? upravi?. A samozrejme, ak n?jdete nedostatky, m??ete pomocou rovnak?ch v?po?tov ur?i?, ko?ko potrebujete zmeni? hodnoty.

Dom?ca ?loha

Va?a „dom?ca ?loha“ na tento t??de? v?m pom??e zdokonali? va?e pravdepodobnostn? schopnosti. Tu s? dve hry s kockami a kartov? hra, ktor? mus?te analyzova? pomocou pravdepodobnosti, ako aj zvl??tny hern? mechanizmus, ktor? som kedysi vyvinul – na jeho pr?klade si otestujete met?du Monte Carlo.

Hra #1 - Dra?ie kosti

Toto je hra s kockami, ktor? sme kedysi s kolegami vymysleli (v?aka Jebovi Havensovi a Jesse Kingovi) – z?merne f?ka do povedomia ?ud? svojimi pravdepodobnos?ami. Toto je jednoduch? kas?nov? hra s n?zvom „Dragon Dice“ a ide o s??a? v hazardn?ch hr?ch medzi hr??om a zariaden?m.

Dostanete oby?ajn? kocku 1k6. Cie?om hry je hodi? o ??slo vy??ie ako je dom?ek. Tom dostane ne?tandardn? 1k6 - rovnak? ako vy, ale na jednej z jeho tv?r? namiesto jednej - obr?zok draka (tak?e kas?no m? kocku draka-2-3-4-5-6). Ak in?tit?cia z?ska draka, automaticky vyhr?va a vy prehr?vate. Ak obaja dostan? rovnak? ??slo, je to rem?za a znova h?d?ete kockou. Vyhr?va ten, kto hod? najvy??ie ??slo.

Samozrejme, v?etko nie je ?plne v prospech hr??a, preto?e kas?no m? v?hodu v podobe dra?? tv?re. Ale je to naozaj tak? Toto si mus?te vypo??ta?. Najprv v?ak skontrolujte svoju intu?ciu.

Povedzme, ?e v?hra je 2 ku 1. Ak teda vyhr?te, ponech?te si svoju st?vku a z?skate dvojn?sobok sumy. Ak napr?klad vsad?te 1 dol?r a vyhr?te, ponech?te si tento dol?r a z?skate ?al?ie 2 dol?re navrch, spolu teda 3 dol?re. Ak prehr?te, strat?te iba svoju st?vku. Hrali by ste? M?te intuit?vne pocit, ?e pravdepodobnos? je v???ia ako 2 ku 1, alebo si st?le mysl?te, ?e je men?ia? In?mi slovami, v priemere po?as 3 hier o?ak?vate, ?e vyhr?te viac ako raz, alebo menej, alebo raz?

Akon?hle ste dostali svoju intu?ciu z cesty, pou?ite matematiku. Pre obe kocky je len 36 mo?n?ch poz?ci?, tak?e ich v?etky ?ahko spo??tate. Ak si nie ste ist? touto ponukou 2:1, zv??te toto: Povedzme, ?e ste hru hrali 36-kr?t (v?dy ste stavili 1 dol?r). Za ka?d? v?hru dostanete 2 dol?re, za ka?d? stratu 1 dol?r a rem?za ni? nemen?. Spo??tajte v?etky svoje pravdepodobn? v?hry a prehry a rozhodnite sa, ?i nejak? dol?re strat?te alebo z?skate. Potom sa op?tajte sami seba, ako spr?vna sa uk?zala va?a intu?cia. A potom si uvedomi?, ak? som dareb?k.

A ?no, ak ste sa u? nad touto ot?zkou zamysleli – z?merne v?s m?tiem skres?ovan?m skuto?n?ch mechanizmov kockov?ch hier, ale som si ist?, ?e t?to prek??ku dok??ete prekona? len dobrou my?lienkou. Sk?ste tento probl?m vyrie?i? sami.

Hra #2 - Roll of Luck

Ide o kockov? hru s n?zvom Roll of Luck (tie? Birdcage, preto?e niekedy sa kocky neh?d?u, ale umiestnia sa do ve?kej dr?tenej klietky, ktor? pripom?na klietku Bingo). Hra je jednoduch?, v podstate sa scvrk?va na toto: Stavte, povedzme, 1 dol?r na ??slo medzi 1 a 6. Potom hod?te 3k6. Za ka?d? kocku, ktor? zasiahne va?e ??slo, z?skate 1 dol?r (a ponech?te si p?vodn? st?vku). Ak va?e ??slo nepadne na ?iadnu z kociek, kas?no dostane v?? dol?r a vy nedostanete ni?. Ak teda vsad?te na 1 a trikr?t dostanete 1, z?skate 3 dol?re.

Intuit?vne sa zd?, ?e v tejto hre s? ?ance vyrovnan?. Ka?d? kocka je individu?lna ?anca na v?hru 1 ku 6, tak?e va?a ?anca na v?hru je 3 a? 6 pri troch hodoch. Pam?tajte v?ak, samozrejme, ?e sklad?te tri samostatn? kocky a m??ete prida? iba vtedy, ak hovor? o samostatn?ch v?hern?ch kombin?ci?ch t?ch ist?ch kociek. Nie?o, ?o budete musie? zn?sobi?.

Po spo??tan? v?etk?ch mo?n?ch v?sledkov (pravdepodobne jednoduch?ie v Exceli ako ru?ne, je ich 216), hra na prv? poh?ad st?le vyzer? p?rne-nep?rne. V skuto?nosti je st?le pravdepodobnej?ie, ?e kas?no vyhr? – o ko?ko viac? Konkr?tne, ko?ko pe?az? o?ak?vate, ?e priemerne strat?te za kolo hry?

V?etko, ?o mus?te urobi?, je s??ta? v?hry a prehry v?etk?ch 216 v?sledkov a potom ich vydeli? 216, ?o by malo by? celkom jednoduch?. Ale ako vid?te, existuje nieko?ko ?skal?, do ktor?ch m??ete spadn??, a preto hovor?m, ?e ak si mysl?te, ?e v tejto hre existuje rovnomern? ?anca na v?hru, nepochopili ste to.

Hra #3 - 5 Card Stud

Ak ste sa u? zohriali pri predch?dzaj?cich hr?ch, pozrime sa, ?o vieme o podmienenej pravdepodobnosti pomocou tejto kartovej hry ako pr?kladu. Predstavme si poker s bal??kom 52 kariet. Predstavme si tie? 5 card stud, kde ka?d? hr?? dostane len 5 kariet. Nem??ete zahodi? kartu, nem??ete si vzia? nov?, ?iadny spolo?n? bal??ek – dostanete iba 5 kariet.

Royal flush je 10-J-Q-K-A v jednej ruke, celkovo ?tyri, tak?e existuj? ?tyri mo?n? sp?soby, ako z?ska? kr??ovsk? farbu. Vypo??tajte pravdepodobnos?, ?e dostanete jednu z t?chto kombin?ci?.

Mus?m v?s varova? pred jednou vecou: nezabudnite, ?e t?chto p?? kariet m??ete ?aha? v akomko?vek porad?. To znamen?, ?e najprv si m??ete vytiahnu? eso alebo desiatku, na tom nez?le??. Tak?e pri v?po?toch majte na pam?ti, ?e v skuto?nosti existuj? viac ako ?tyri sp?soby, ako z?ska? kr??ovsk? farbu, za predpokladu, ?e karty boli rozdan? v porad?.

Hra ?. 4 - Lot?ria IMF

?tvrt? ?lohu nebude tak ?ahk? vyrie?i? met?dami, o ktor?ch sme dnes hovorili, ale situ?ciu m??ete jednoducho nasimulova? pomocou programovania alebo Excelu. Na pr?klade tohto probl?mu m??ete vypracova? met?du Monte Carlo.

U? som spomenul hru Chron X, na ktorej som kedysi pracoval, a bola tam jedna ve?mi zauj?mav? karta – lot?ria MMF. Fungovalo to takto: pou?ili ste ho v hre. Po skon?en? kola boli karty prerozdelen? a existovala 10% ?anca, ?e karta bude mimo hry a n?hodn? hr?? dostane 5 jednotiek z ka?d?ho typu zdroja, ktor? sa nach?dza na danej karte. Karta bola vlo?en? do hry bez jedin?ho ?et?nu, ale zaka?d?m, ke? zostala v hre na za?iatku ?al?ieho kola, dostala jeden ?et?n.

Bola teda 10% ?anca, ?e to d?te do hry, kolo sa skon??, karta opust? hru a nikto ni? nez?ska. Ak sa tak nestane (s 90% ?ancou), je 10% ?anca (v skuto?nosti 9%, ke??e to je 10% z 90%), ?e opust? hru v ?al?om kole a niekto z?ska 5 surov?n. Ak karta opust? hru po jednom kole (10% z 81% dostupn?ch, tak?e pravdepodobnos? je 8,1%), niekto dostane 10 jednotiek, ?al?ie kolo - 15, ?al?? 20 at?. Ot?zka: Ak? je o?ak?van? hodnota po?tu zdrojov, ktor? z?skate z tejto karty, ke? kone?ne opust? hru?

Norm?lne by sme sa pok?sili vyrie?i? tento probl?m vypo??tan?m pravdepodobnosti ka?d?ho v?sledku a vyn?soben?m po?tom v?etk?ch v?sledkov. Existuje 10% ?anca, ?e dostanete 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, ?e dostanete 5 jednotiek zdrojov (9% * 5 = 0,45 zdrojov). 8,1 % z toho, ?o z?skate, je 10 (8,1 % * 10 = 0,81 zdrojov – vo v?eobecnosti o?ak?van? hodnota). A tak ?alej. A potom by sme to v?etko zhrnuli.

A teraz je v?m probl?m zrejm?: v?dy existuje ?anca, ?e karta neopust? hru, m??e zosta? v hre nav?dy, na nekone?n? po?et k?l, tak?e neexistuje sp?sob, ako vypo??ta? ?iadnu pravdepodobnos?. Met?dy, ktor? sme sa dnes nau?ili, n?m neumo??uj? vypo??ta? nekone?n? rekurziu, tak?e ju budeme musie? vytvori? umelo.

Ak ste dostato?ne dobr? v programovan?, nap??te program, ktor? bude t?to kartu simulova?. Mali by ste ma? ?asov? slu?ku, ktor? privedie premenn? do po?iato?nej polohy nula, zobraz? n?hodn? ??slo a s 10% pravdepodobnos?ou premenn? opust? slu?ku. V opa?nom pr?pade prid? 5 do premennej a cyklus sa opakuje. Ke? kone?ne opust? slu?ku, zv??te celkov? po?et sk??obn?ch spusten? o 1 a celkov? po?et zdrojov (o ko?ko z?vis? od toho, kde sa premenn? zastavila). Potom premenn? resetujte a za?nite odznova.

Spustite program nieko?ko tis?ckr?t. Nakoniec vyde?te celkov? zdroje celkov?m po?tom j?zd – to bude va?a o?ak?van? hodnota met?dy Monte Carlo. Spustite program nieko?kokr?t, aby ste sa uistili, ?e z?skan? ??sla s? pribli?ne rovnak?. Ak je rozptyl st?le ve?k?, zvy?ujte po?et opakovan? vo vonkaj?ej slu?ke, k?m neza?nete dost?va? z?palky. M??ete si by? ist?, ?e ak?ko?vek ??sla, s ktor?mi skon??te, bud? pribli?ne spr?vne.

Ak ste nov??ikom v programovan? (aj ke? ste), tu je mal? cvi?enie, ktor? otestuje va?e zru?nosti v Exceli. Ak ste hern? dizajn?r, tieto zru?nosti nebud? nikdy zbyto?n?.

Teraz bud? pre v?s ve?mi u?ito?n? funkcie if a rand. Rand nevy?aduje hodnoty, len vytv?ra n?hodn? desatinn? ??slo medzi 0 a 1. Zvy?ajne ho kombinujeme s podlahou a plusmi a m?nusmi, aby sme simulovali hod kockou, o ktorom som sa zmienil u? sk?r. V tomto pr?pade v?ak nech?vame len 10% ?ancu, ?e karta opust? hru, tak?e m??eme len skontrolova?, ?i je rand men?? ako 0,1 a u? sa o to nestara?.

Ak m? tri hodnoty. V porad? podmienka, ktor? je bu? pravdiv? alebo nie, potom hodnota, ktor? sa vr?ti, ak je podmienka pravdiv?, a hodnota, ktor? sa vr?ti, ak je podmienka nepravdiv?. Tak?e nasleduj?ca funkcia vr?ti 5 % ?asu a 0 ostatn?ch 90 % ?asu: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Existuje mnoho sp?sobov, ako nastavi? tento pr?kaz, ale pou?il by som tento vzorec pre bunku, ktor? predstavuje prv? kolo, povedzme, ?e je to bunka A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Tu pou??vam z?porn? premenn?, ktor? znamen? „t?to karta neopustila hru a zatia? neposkytla ?iadne zdroje“. Ak sa teda prv? kolo skon?ilo a karta je mimo hry, A1 je 0; inak je -1.

Pre nasleduj?cu bunku predstavuj?cu druh? kolo: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Ak sa teda prv? kolo skon?? a karta okam?ite opust? hru, A1 je 0 (po?et zdrojov) a t?to bunka t?to hodnotu jednoducho skop?ruje. V opa?nom pr?pade je A1 -1 (karta e?te neopustila hru) a t?to bunka sa na?alej n?hodne pohybuje: 10% ?asu vr?ti 5 jednotiek zdrojov, zvy?ok ?asu bude jej hodnota st?le - 1. Ak pou?ijeme tento vzorec na ?al?ie bunky, z?skame ?al?ie kol? a pod?a toho, s ktorou bunkou skon??te, dostanete kone?n? v?sledok (alebo -1, ak karta neopustila hru po v?etk?ch odohran?ch kol?ch).

Vezmite tento rad buniek, ?o je jedin? kolo s touto kartou, a skop?rujte a vlo?te nieko?ko stoviek (alebo tis?cov) riadkov. S?ce sa n?m nepodar? urobi? nekone?n? test pre Excel (v tabu?ke je obmedzen? po?et buniek), ale aspo? pokryjeme v???inu pr?padov. Potom vyberte jednu bunku, do ktorej vlo??te priemer v?sledkov v?etk?ch k?l - Excel na to l?skavo poskytuje funkciu average().

V syst?me Windows m??ete aspo? stla?en?m kl?vesu F9 prepo??ta? v?etky n?hodn? ??sla. Ako predt?m, urobte to nieko?kokr?t a uvid?te, ?i z?skate rovnak? hodnoty. Ak je rozptyl pr?li? ve?k?, zdvojn?sobte po?et cyklov a sk?ste to znova.

Nevyrie?en? probl?my

Ak ste n?hodou vy?tudovali te?riu pravdepodobnosti a vy??ie uveden? probl?my sa v?m zdaj? pr?li? jednoduch? – tu s? dva probl?my, nad ktor?mi som si l?mal hlavu u? roky, ale bohu?ia? nie som tak? dobr? v matematike, aby som ich vyrie?il.

Nevyrie?en? probl?m ?. 1: Lot?ria MMF

Prv?m nevyrie?en?m probl?mom je predch?dzaj?ca dom?ca ?loha. M??em k?udne pou?i? met?du Monte Carlo (pomocou C++ alebo Excelu) a by? si ist? odpove?ou na ot?zku „ko?ko zdrojov hr?? dostane“, ale neviem presne matematicky poskytn?? presn? preuk?zate?n? odpove? (to je nekone?n? rad).

Nevyrie?en? probl?m ?. 2: Tvarov? sekvencie

T?to ?lohu (tie? ?aleko presahuje ?lohy, ktor? s? rie?en? v tomto blogu) mi dal zn?my hr?? pred viac ako desiatimi rokmi. Pri hran? blackjacku vo Vegas si v?imol jednu zauj?mav? vlastnos?: ?ahanie kariet z 8-bal??kovej top?nky, videl desa? fig?rok za sebou (fig?rka alebo l?cov? karta je 10, Joker, King alebo Queen, tak?e celkovo je v hre 16 ?tandardn? bal??ek 52 kariet alebo 128 v 416-kartovej top?nke).

Ak? je pravdepodobnos?, ?e t?to top?nka obsahuje aspo? jednu sekvenciu desiatich alebo viacer?ch kusov? Predpokladajme, ?e boli zamie?an? poctivo, v n?hodnom porad?. Alebo, ak chcete, ak? je pravdepodobnos?, ?e nikde nie je sekvencia desiatich alebo viacer?ch tvarov?

?lohu si m??eme zjednodu?i?. Tu je sekvencia 416 ?ast?. Ka?d? ?as? je 0 alebo 1. V sekvencii je n?hodne roztr?sen?ch 128 jednotiek a 288 n?l. Ko?ko sp?sobov je n?hodne prelo?i? 128 jednotiek s 288 nulami a ko?kokr?t bude t?mto sp?sobom existova? aspo? jedna skupina desiatich alebo viacer?ch jednotiek?

V?dy, ke? som sa pustil do rie?enia tohto probl?mu, zdalo sa mi to ?ahk? a samozrejm?, no akon?hle som sa zah?bil do detailov, zrazu sa to rozpadlo a zdalo sa mi to jednoducho nemo?n?.

Tak?e si n?jdite ?as a vyslovte odpove?: sadnite si, pozorne si premyslite, na?tudujte si podmienky, sk?ste zapoji? skuto?n? ??sla, preto?e v?etci ?udia, s ktor?mi som o tomto probl?me hovoril (vr?tane nieko?k?ch postgradu?lnych ?tudentov pracuj?cich v tejto oblasti), reagovali takmer rovnako. sp?sobom: "Je to ?plne zrejm?... oh, nie, po?kajte, v?bec to nie je zrejm?." To je pr?pad, ke? nem?m met?du na v?po?et v?etk?ch mo?nost?. Samozrejme, mohol by som probl?m brut?lne vyn?ti? pomocou po??ta?ov?ho algoritmu, ale ove?a zauj?mavej?ie by bolo n?js? matematick? sp?sob, ako ho vyrie?i?.

P?vodne bola te?ria pravdepodobnosti len zbierkou inform?ci? a empirick?ch pozorovan? z hry kocky, z ktorej sa stala sol?dna veda. Fermat a Pascal boli prv?, ktor? tomu dali matematick? r?mec.

Od ?vah o ve?nom k te?rii pravdepodobnosti

Dvaja jednotlivci, ktor?m te?ria pravdepodobnosti v?a?? za mnoh? z?kladn? vzorce, Blaise Pascal a Thomas Bayes, s? zn?mi ako hlboko veriaci ?udia, druh? z nich bol presbyteri?nskym kazate?om. Zd? sa, ?e t??ba t?chto dvoch vedcov dok?za? myln? predstavu o istej Fortune, darova? ??astie jej ob??bencom, dala impulz v?skumu v tejto oblasti. Ve? v skuto?nosti je ka?d? hazardn? hra so svojimi v?hrami a prehrami len symf?niou matematick?ch princ?pov.

V?aka nad?eniu Chevalier de Mere, ktor? bol rovnako hazardn?m hr??om a ?lovekom, ktor?mu nebola ?ahostajn? veda, bol Pascal n?ten? n?js? sp?sob, ako vypo??ta? pravdepodobnos?. De Mere zaujala t?to ot?zka: „Ko?kokr?t je potrebn? hodi? dve kocky v p?roch, aby pravdepodobnos? z?skania 12 bodov presiahla 50 %?“. Druh? ot?zka, ktor? p?na mimoriadne zaujala: "Ako rozdeli? st?vku medzi ??astn?kov nedokon?enej hry?" Pascal samozrejme ?spe?ne odpovedal na obe ot?zky de Mereho, ktor? sa stal nevedom?m inici?torom rozvoja te?rie pravdepodobnosti. Je zauj?mav?, ?e osoba de Mere zostala zn?ma v tejto oblasti, a nie v literat?re.

Predt?m sa ?iadny matematik e?te nepok?sil vypo??ta? pravdepodobnosti udalost?, preto?e sa verilo, ?e ide len o h?danie. Blaise Pascal dal prv? defin?ciu pravdepodobnosti udalosti a uk?zal, ?e ide o ?pecifick? ?daj, ktor? mo?no matematicky zd?vodni?. Te?ria pravdepodobnosti sa stala z?kladom ?tatistiky a je ?iroko pou??van? v modernej vede.

?o je n?hodnos?

Ak vezmeme do ?vahy test, ktor? sa m??e opakova? nekone?ne ve?akr?t, potom m??eme definova? n?hodn? udalos?. Toto je jeden z mo?n?ch v?sledkov tejto sk?senosti.

Sk?senos? je vykon?vanie konkr?tnych akci? v kon?tantn?ch podmienkach.

Aby bolo mo?n? pracova? s v?sledkami sk?senost?, udalosti sa zvy?ajne ozna?uj? p?smenami A, B, C, D, E ...

Pravdepodobnos? n?hodnej udalosti

Aby sme mohli prejs? k matematickej ?asti pravdepodobnosti, je potrebn? definova? v?etky jej zlo?ky.

Pravdepodobnos? udalosti je numerick? miera mo?nosti v?skytu nejakej udalosti (A alebo B) v d?sledku sk?senosti. Pravdepodobnos? sa ozna?uje ako P(A) alebo P(B).

Te?ria pravdepodobnosti je:

• spo?ahliv? udalos? sa zaru?ene vyskytne ako v?sledok experimentu Р(O) = 1;
• nemo?n? udalos? sa nikdy nem??e sta? Р(?) = 0;
• n?hodn? udalos? le?? medzi istou a nemo?nou, to znamen?, ?e pravdepodobnos? jej v?skytu je mo?n?, ale nie je zaru?en? (pravdepodobnos? n?hodnej udalosti je v?dy v r?mci 0<=P(A)<=1).

Vz?ahy medzi udalos?ami

Jedna aj s??et udalost? A + B sa ber? do ?vahy, ke? sa udalos? zapo??tava do implement?cie aspo? jednej zo zlo?iek, A alebo B, alebo oboch - A aj B.

Vo vz?jomnom vz?ahu m??u by? udalosti:

• Rovnako mo?n?.
• kompatibiln?.
• Nekompatibiln?.
• Opa?n? (vz?jomne sa vylu?uj?ci).
• Z?visl?.

Ak sa dve udalosti m??u sta? s rovnakou pravdepodobnos?ou, tak potom rovnako mo?n?.

Ak v?skyt udalosti A neru?? pravdepodobnos? v?skytu udalosti B, potom oni kompatibiln?.

Ak udalosti A a B nikdy nenastan? v rovnakom ?ase v tom istom experimente, potom sa naz?vaj? nezlu?ite?n?. Dobr?m pr?kladom je h?dzanie mincou: h?dzanie sa do chvosta automaticky neznamen?, ?e ide o hlavu.

Pravdepodobnos? s??tu tak?chto nezlu?ite?n?ch udalost? pozost?va zo s??tu pravdepodobnost? ka?dej z t?chto udalost?:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ak v?skyt jednej udalosti znemo??uje v?skyt inej udalosti, potom sa naz?vaj? opa?n?. Potom je jeden z nich ozna?en? ako A a druh? - ? (??taj ako „nie A“). V?skyt udalosti A znamen?, ?e ? nenastala. Tieto dve udalosti tvoria kompletn? skupinu so s??tom pravdepodobnost? rovn?m 1.

Z?visl? udalosti sa vz?jomne ovplyv?uj?, navz?jom sa zni?uj? alebo zvy?uj? pravdepodobnos?.

Vz?ahy medzi udalos?ami. Pr?klady

Ove?a jednoduch?ie je pochopi? princ?py te?rie pravdepodobnosti a kombin?cie udalost? pomocou pr?kladov.

Experiment, ktor? sa uskuto?n?, je vytiahnu? lopti?ky z krabice a v?sledkom ka?d?ho experimentu je element?rny v?sledok.

Udalos? je jedn?m z mo?n?ch v?sledkov z??itku – ?erven? gu?a, modr? gu?a, lopti?ka s ??slom ?es? at?.

Test ??slo 1. K dispoz?cii je 6 lopti?iek, z ktor?ch tri s? modr? s nep?rnymi ??slami a ?al?ie tri s? ?erven? s p?rnymi ??slami.

Test ??slo 2. K dispoz?cii je 6 modr?ch guli?iek s ??slami od jedna do ?es?.

Na z?klade tohto pr?kladu m??eme pomenova? kombin?cie:

• Spo?ahliv? podujatie. V ?paniel?ine ?. 2, udalos? "z?skaj modr? lopti?ku" je spo?ahliv?, preto?e pravdepodobnos? jej v?skytu je 1, preto?e v?etky lopti?ky s? modr? a nem??e ch?ba?. Zatia? ?o udalos? „z?skaj loptu s ??slom 1“ je n?hodn?.
• Nemo?n? udalos?. V ?paniel?ine 1 s modr?mi a ?erven?mi lopti?kami je udalos? „z?skaj fialov? gu?u“ nemo?n?, preto?e pravdepodobnos? jej v?skytu je 0.
• Ekvivalentn? udalosti. V ?paniel?ine ?. 1, udalosti „z?skaj loptu s ??slom 2“ a „z?skaj loptu s ??slom 3“ s? rovnako pravdepodobn? a udalosti „z?skaj loptu s p?rnym ??slom“ a „dosta? loptu s ??slom 2“ “ maj? r?zne pravdepodobnosti.
• Kompatibiln? udalosti. Z?skanie ?estky v procese hodu kockou dvakr?t za sebou s? kompatibiln? udalosti.
• Nekompatibiln? udalosti. V tej istej ?paniel?ine Udalosti ?. 1 „z?skaj ?erven? lopti?ku“ a „z?skaj lopti?ku s nep?rnym ??slom“ nemo?no kombinova? v rovnakom z??itku.
• opa?n? udalosti. Najv?raznej??m pr?kladom je h?dzanie minc?, kde je kreslenie hl?v rovnak? ako nekreslenie chvostov a s??et ich pravdepodobnost? je v?dy 1 (cel? skupina).
• Z?visl? udalosti. Tak?e po ?panielsky ?. 1, m??ete si da? za cie? vytiahnu? ?erven? gu?u dvakr?t za sebou. Jeho extrahovanie alebo neextrahovanie prv?kr?t ovplyv?uje pravdepodobnos? jeho extrakcie druh?kr?t.

Je vidie?, ?e prv? udalos? v?razne ovplyv?uje pravdepodobnos? druhej (40 % a 60 %).

Vzorec pravdepodobnosti udalosti

Prechod od ve?tenia k exaktn?m ?dajom nast?va prenesen?m t?my do matematickej roviny. To znamen?, ?e ?sudky o n?hodnej udalosti, ako je „vysok? pravdepodobnos?“ alebo „minim?lna pravdepodobnos?“, mo?no previes? na ?pecifick? ??seln? ?daje. Tak?to materi?l je u? pr?pustn? hodnoti?, porovn?va? a zav?dza? do zlo?itej??ch v?po?tov.

Z h?adiska v?po?tu je defin?cia pravdepodobnosti udalosti pomerom po?tu element?rnych pozit?vnych v?sledkov k po?tu v?etk?ch mo?n?ch v?sledkov sk?senosti s oh?adom na konkr?tnu udalos?. Pravdepodobnos? sa ozna?uje P (A), kde P znamen? slovo „pravdepodobnos?“, ?o je z franc?z?tiny prelo?en? ako „pravdepodobnos?“.

Tak?e vzorec pre pravdepodobnos? udalosti je:

Kde m je po?et priazniv?ch v?sledkov pre udalos? A, n je s??et v?etk?ch mo?n?ch v?sledkov pre t?to sk?senos?. Pravdepodobnos? udalosti je v?dy medzi 0 a 1:

0 <= P(A) <= 1.

V?po?et pravdepodobnosti udalosti. Pr?klad

Vezmime si ?paniel?inu. ?. 1 s lopti?kami, ktor? je pop?san? vy??ie: 3 modr? gule s ??slami 1/3/5 a 3 ?erven? gule s ??slami 2/4/6.

Na z?klade tohto testu mo?no zv??i? nieko?ko r?znych ?loh:

• A - pokles ?ervenej gule. ?erven? gu???ky s? 3 a variantov je celkom 6. Toto je najjednoduch?? pr?klad, v ktorom je pravdepodobnos? udalosti P(A)=3/6=0,5.
• B - vypustenie p?rneho ??sla. Spolu s? 3 (2,4,6) p?rne ??sla a celkov? po?et mo?n?ch ??seln?ch mo?nost? je 6. Pravdepodobnos? tejto udalosti je P(B)=3/6=0,5.
• C - strata ??sla v???ieho ako 2. Tak?to mo?nosti s? 4 (3,4,5,6) z celkov?ho po?tu mo?n?ch v?sledkov 6. Pravdepodobnos? udalosti C je P(C)=4/6= 0,67.

Ako je mo?n? vidie? z v?po?tov, udalos? C m? vy??iu pravdepodobnos?, preto?e po?et mo?n?ch pozit?vnych v?sledkov je vy??? ako v pr?pade A a B.

Nekompatibiln? udalosti

Tak?to udalosti sa nem??u objavi? s??asne v tej istej sk?senosti. Ako v ?paniel?ine ?.1, nie je mo?n? z?ska? modr? a ?erven? lopti?ku s??asne. To znamen?, ?e m??ete z?ska? modr? alebo ?erven? gu?u. Rovnako tak sa v kocke nem??e s??asne objavi? p?rne a nep?rne ??slo.

Pravdepodobnos? dvoch udalost? sa pova?uje za pravdepodobnos? ich s??tu alebo s??inu. S??et tak?chto udalost? A + B sa pova?uje za udalos?, ktor? spo??va v objaven? sa udalosti A alebo B a s??in ich AB - v objaven? sa oboch. Napr?klad vzh?ad dvoch ?estiek naraz na tv?rach dvoch kociek v jednom hode.

S??et nieko?k?ch udalost? je udalos?, ktor? predpoklad? v?skyt aspo? jednej z nich. V?sledkom viacer?ch udalost? je spolo?n? v?skyt v?etk?ch.

V te?rii pravdepodobnosti spravidla pou?itie spojenia „a“ ozna?uje s??et, spojenie „alebo“ - n?sobenie. Vzorce s pr?kladmi v?m pom??u pochopi? logiku s??tania a n?sobenia v te?rii pravdepodobnosti.

Pravdepodobnos? s??tu nezlu?ite?n?ch udalost?

Ak sa berie do ?vahy pravdepodobnos? nekompatibiln?ch udalost?, potom sa pravdepodobnos? s??tu udalost? rovn? s??tu ich pravdepodobnost?:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Napr?klad: vypo??tame pravdepodobnos?, ?e v ?paniel. ?. 1 s modr?mi a ?erven?mi gu???kami padne ??slo medzi 1 a 4. Po??tame nie jednou akciou, ale s??tom pravdepodobnost? element?rnych zlo?iek. Tak?e v takomto experimente je len 6 lopti?iek alebo 6 zo v?etk?ch mo?n?ch v?sledkov. ??sla sp??aj?ce podmienku s? 2 a 3. Pravdepodobnos? z?skania ??sla 2 je 1/6, pravdepodobnos? ??sla 3 je tie? 1/6. Pravdepodobnos? z?skania ??sla medzi 1 a 4 je:

Pravdepodobnos? s??tu nekompatibiln?ch udalost? celej skupiny je 1.

Ak teda v experimente s kockou spo??tame pravdepodobnosti z?skania v?etk?ch ??sel, vo v?sledku dostaneme jedno.

To plat? aj pre opa?n? udalosti, napr?klad pri pokuse s mincou, kde jedna z jej str?n je udalos? A a druh? opa?n? udalos? ?, ako je zn?me,

Р(А) + Р(?) = 1

Pravdepodobnos? vzniku nekompatibiln?ch udalost?

N?sobenie pravdepodobnost? sa pou??va pri zva?ovan? v?skytu dvoch alebo viacer?ch nezlu?ite?n?ch udalost? v jednom pozorovan?. Pravdepodobnos?, ?e sa v ?om udalosti A a B objavia s??asne, sa rovn? s??inu ich pravdepodobnost?, alebo:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Napr?klad pravdepodobnos?, ?e v ?. 1 ako v?sledok dvoch pokusov sa dvakr?t objav? modr? gu?a, rovn? sa

To znamen?, ?e pravdepodobnos? udalosti, ktor? nastane, ke? v d?sledku dvoch pokusov s extrakciou lopti?iek bud? extrahovan? iba modr? lopti?ky, je 25%. Je ve?mi jednoduch? urobi? praktick? experimenty s t?mto probl?mom a zisti?, ?i je to skuto?ne tak.

Spolo?n? akcie

Udalosti sa pova?uj? za spolo?n?, ke? sa vzh?ad jednej z nich m??e zhodova? so vzh?adom druhej. Napriek tomu, ?e s? spolo?n?, zva?uje sa pravdepodobnos? nez?visl?ch udalost?. Napr?klad hod dvoma kockami m??e da? v?sledok, ke? na obe padne ??slo 6. Hoci sa udalosti zhodovali a objavili sa s??asne, s? na sebe nez?visl? – vypadn?? m??e len jedna ?estka, druh? kocka na to nem? vplyv. .

Pravdepodobnos? spolo?n?ch udalost? sa pova?uje za pravdepodobnos? ich s??tu.

Pravdepodobnos? s??tu spolo?n?ch udalost?. Pr?klad

Pravdepodobnos? s??tu udalost? A a B, ktor? s? vo vz?jomnom vz?ahu spolo?n?, sa rovn? s??tu pravdepodobnost? udalosti m?nus pravdepodobnos? ich s??inu (teda ich spolo?nej realiz?cie):

R k?b. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Predpokladajme, ?e pravdepodobnos? zasiahnutia cie?a jednou ranou je 0,4. Potom udalos? A - zasiahnutie cie?a v prvom pokuse, B - v druhom pokuse. Tieto udalosti s? spolo?n?, preto?e je mo?n?, ?e je mo?n? zasiahnu? cie? z prv?ho aj z druh?ho v?strelu. Ale udalosti nie s? z?visl?. Ak? je pravdepodobnos? zasiahnutia cie?a dvoma ranami (aspo? jednou)? Pod?a vzorca:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpove? na ot?zku znie: "Pravdepodobnos? zasiahnutia cie?a dvoma ranami je 64%."

Tento vzorec pravdepodobnosti udalosti mo?no aplikova? aj na nezlu?ite?n? udalosti, kde pravdepodobnos? spolo?n?ho v?skytu udalosti P(AB) = 0. To znamen?, ?e pravdepodobnos? s??tu nezlu?ite?n?ch udalost? mo?no pova?ova? za ?peci?lny pr?pad. navrhovan?ho vzorca.

Pravdepodobn? geometria pre preh?adnos?

Je zauj?mav?, ?e pravdepodobnos? s??tu spolo?n?ch udalost? mo?no zn?zorni? ako dve oblasti A a B, ktor? sa navz?jom pret?naj?. Ako vid?te na obr?zku, plocha ich spojenia sa rovn? celkovej ploche m?nus plocha ich priese?n?ka. Toto geometrick? vysvetlenie rob? zdanlivo nelogick? vzorec zrozumite?nej??m. V?imnite si, ?e geometrick? rie?enia nie s? v te?rii pravdepodobnosti nezvy?ajn?.

Defin?cia pravdepodobnosti s??tu mno?iny (viac ako dvoch) spolo?n?ch udalost? je dos? ?a?kop?dna. Na jej v?po?et je potrebn? pou?i? vzorce, ktor? s? pre tieto pr?pady poskytnut?.

Z?visl? udalosti

Z?visl? udalosti sa naz?vaj?, ak v?skyt jednej (A) z nich ovplyv?uje pravdepodobnos? v?skytu druhej (B). Okrem toho sa berie do ?vahy vplyv tak v?skytu udalosti A, ako aj jej nepr?tomnosti. Hoci udalosti sa pod?a defin?cie naz?vaj? z?visl?, iba jedna z nich je z?visl? (B). Obvykl? pravdepodobnos? bola ozna?en? ako P(B) alebo pravdepodobnos? nez?visl?ch udalost?. V pr?pade z?visl?ch sa zav?dza nov? pojem - podmienen? pravdepodobnos? P A (B), ?o je pravdepodobnos? z?vislej udalosti B za podmienky, ?e nastala udalos? A (hypot?za), od ktorej z?vis?.

Ale udalos? A je tie? n?hodn?, tak?e m? aj pravdepodobnos?, ktor? sa mus? a m??e bra? do ?vahy pri v?po?toch. Nasleduj?ci pr?klad uk??e, ako pracova? so z?visl?mi udalos?ami a hypot?zou.

Pr?klad v?po?tu pravdepodobnosti z?visl?ch udalost?

Dobr?m pr?kladom na v?po?et z?visl?ch udalost? je ?tandardn? bal??ek kariet.

Na pr?klade bal??ka 36 kariet zv??te z?visl? udalosti. Je potrebn? ur?i? pravdepodobnos?, ?e druh? vytiahnut? karta z bal??ka bude diamantov? farba, ak prv? vytiahnut? karta je:

1. Tambur?na.
2. ?al?? oblek.

Je zrejm?, ?e pravdepodobnos? druhej udalosti B z?vis? od prvej udalosti A. Ak teda plat? prv? mo?nos?, ?o je v bal??ku o 1 kartu (35) a 1 diamant (8) menej, pravdepodobnos? udalosti B:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Ak plat? druh? mo?nos?, potom je v bal??ku 35 kariet a celkov? po?et tambur?n (9) je st?le zachovan?, potom je pravdepodobnos? nasleduj?cej udalosti B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Je vidie?, ?e ak je udalos? A podmienen? t?m, ?e prv? karta je diamant, tak pravdepodobnos? udalosti B kles? a naopak.

N?sobenie z?visl?ch udalost?

Na z?klade predch?dzaj?cej kapitoly prij?mame prv? udalos? (A) ako fakt, no v podstate m? n?hodn? charakter. Pravdepodobnos? tejto udalosti, konkr?tne extrakcie tambur?ny z bal??ka kariet, sa rovn?:

P(A) = 9/36 = 1/4

Ke??e te?ria neexistuje sama o sebe, ale m? sl??i? praktick?m ??elom, je spravodliv? poznamena?, ?e naj?astej?ie je potrebn? pravdepodobnos? vzniku z?visl?ch udalost?.

Pod?a vety o s??ine pravdepodobnost? z?visl?ch udalost? sa pravdepodobnos? v?skytu spolo?ne z?visl?ch udalost? A a B rovn? pravdepodobnosti jednej udalosti A vyn?sobenej podmienenou pravdepodobnos?ou udalosti B (v z?vislosti od A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Potom v pr?klade s bal??kom je pravdepodobnos? ?ahania dvoch kariet s diamantovou farbou:

9/36 * 8/35 = 0,0571 alebo 5,7 %

A pravdepodobnos?, ?e sa najsk?r vy?a?ia nie diamanty a potom diamanty, sa rovn?:

27/36 * 9/35 = 0,19 alebo 19 %

Je vidie?, ?e pravdepodobnos? v?skytu udalosti B je v???ia za predpokladu, ?e sa najsk?r vytiahne karta inej farby ako diamant. Tento v?sledok je celkom logick? a pochopite?n?.

Celkov? pravdepodobnos? udalosti

Ke? sa probl?m s podmienen?mi pravdepodobnos?ami stane mnohostrann?m, nemo?no ho vypo??ta? konven?n?mi met?dami. Ak existuj? viac ako dve hypot?zy, a to A1, A2, ..., A n , .. tvoria ucelen? skupinu udalost? za podmienky:

• P(Ai)>0, i=1,2,…
• A i ? A j =?,i?j.
• S k A k =O.

Tak?e vzorec pre celkov? pravdepodobnos? pre udalos? B s ?plnou skupinou n?hodn?ch udalost? A1, A2, ..., A n je:

Poh?ad do bud?cnosti

Pravdepodobnos? n?hodnej udalosti je podstatn? v mnoh?ch oblastiach vedy: ekonometria, ?tatistika, fyzika at?. Ke??e niektor? procesy nemo?no op?sa? deterministicky, ke??e s? samy o sebe pravdepodobnostn?, s? potrebn? ?peci?lne met?dy pr?ce. Te?ria pravdepodobnosti udalosti m??e by? pou?it? v akejko?vek technologickej oblasti ako sp?sob ur?enia mo?nosti chyby alebo poruchy.

D? sa poveda?, ?e rozpoznan?m pravdepodobnosti akosi urob?me teoretick? krok do bud?cnosti, ke? sa na ?u pozrieme cez prizmu vzorcov.

Doteraz prezentovan? v otvorenej banke USE probl?mov v matematike (mathege.ru), ktor?ch rie?enie je zalo?en? iba na jednom vzorci, ktor? je klasickou defin?ciou pravdepodobnosti.

Najjednoduch?? sp?sob, ako pochopi? vzorec, s? pr?klady.
Pr?klad 1 V ko??ku je 9 ?erven?ch lopti?iek a 3 modr?. Guli?ky sa l??ia len farbou. N?hodne (bez pozerania) dostaneme jeden z nich. Ak? je pravdepodobnos?, ?e takto vybran? lopta bude modr??

Komentujte. V probl?moch v te?rii pravdepodobnosti sa stane nie?o (v tomto pr?pade na?a akcia ?ahania lopty), ?o m??e ma? in? v?sledok – v?sledok. Treba poznamena?, ?e na v?sledok sa d? pozera? r?znymi sp?sobmi. "Vytiahli sme loptu" je tie? v?sledkom. "Vytiahli sme modr? lopti?ku" je v?sledok. "Vy?rebovali sme t?to konkr?tnu lopti?ku zo v?etk?ch mo?n?ch lopti?iek" - tento najmenej zov?eobecnen? poh?ad na v?sledok sa naz?va element?rny v?sledok. Vo vzorci na v?po?et pravdepodobnosti s? myslen? element?rne v?sledky.

Rie?enie. Teraz vypo??tame pravdepodobnos? v?beru modrej gule.
Udalos? A: „Vybran? lopta bola modr?“
Celkov? po?et v?etk?ch mo?n?ch v?sledkov: 9+3=12 (po?et v?etk?ch lopti?iek, ktor? sme mohli vy?rebova?)
Po?et v?sledkov priazniv?ch pre udalos? A: 3 (po?et tak?ch v?sledkov, pri ktor?ch do?lo k udalosti A - to znamen? po?et modr?ch lopti?iek)
P(A) = 3/12 = 1/4 = 0,25
Odpove?: 0,25

Vypo??tajme pre rovnak? probl?m pravdepodobnos? v?beru ?ervenej gule.
Celkov? po?et mo?n?ch v?sledkov zostane rovnak?, 12. Po?et priazniv?ch v?sledkov: 9. Po?adovan? pravdepodobnos?: 9/12=3/4=0,75

Pravdepodobnos? akejko?vek udalosti je v?dy medzi 0 a 1.
Niekedy v be?nej re?i (ale nie v te?rii pravdepodobnosti!) Pravdepodobnos? udalost? sa odhaduje v percent?ch. Prechod medzi matematick?m a konverza?n?m hodnoten?m sa rob? n?soben?m (alebo delen?m) 100 %.
tak?e,
V tomto pr?pade je pravdepodobnos? nulov? pre udalosti, ktor? sa nem??u sta? – nepravdepodobn?. Napr?klad v na?om pr?klade by to bola pravdepodobnos? vytiahnutia zelenej lopty z ko?a. (Po?et priazniv?ch v?sledkov je 0, P(A)=0/12=0, ak sa po??taj? pod?a vzorca)
Pravdepodobnos? 1 m? udalosti, ktor? sa ur?ite stan?, bez mo?nost?. Na??m probl?mom je napr?klad pravdepodobnos?, ?e „vybran? lopti?ka bude bu? ?erven? alebo modr?“. (Po?et priazniv?ch v?sledkov: 12, P(A)=12/12=1)

Pozreli sme sa na klasick? pr?klad, ktor? ilustruje defin?ciu pravdepodobnosti. V?etky podobn? probl?my USE v te?rii pravdepodobnosti sa rie?ia pomocou tohto vzorca.
Namiesto ?erven?ch a modr?ch lopti?iek m??u by? jablk? a hru?ky, chlapci a diev?at?, nau?en? a nenau?en? l?stky, l?stky obsahuj?ce a neobsahuj?ce ot?zku na ur?it? t?mu (prototypy , ), chybn? a kvalitn? ta?ky ?i z?hradn? ?erpadl? (prototypy , ) - princ?p zost?va rovnak?.

Mierne sa l??ia vo formul?cii ?lohy te?rie pravdepodobnosti USE, kde je potrebn? vypo??ta? pravdepodobnos? udalosti nast?vaj?cej v ur?it? de?. ( , ) Rovnako ako v predch?dzaj?cich ?loh?ch mus?te ur?i?, ?o je element?rny v?sledok, a potom pou?i? rovnak? vzorec.

Pr?klad 2 Konferencia trv? tri dni. Prv? a druh? de? po 15 re?n?kov, tret? de? 20. Ak? je pravdepodobnos?, ?e spr?va profesora M. padne na tret? de?, ak sa poradie spr?v ur?? ?rebom?

Ak? je tu z?kladn? v?sledok? - Priradenie posudku profesora k jedn?mu zo v?etk?ch mo?n?ch s?riov?ch ??sel prejavu. Do ?rebovania sa zapoj? 15+15+20=50 ?ud?. Spr?va profesora M. tak m??e dosta? jedno z 50 ??sel. To znamen?, ?e existuje iba 50 z?kladn?ch v?sledkov.
Ak? s? priazniv? v?sledky? - Tie, v ktor?ch sa uk??e, ?e profesor prehovor? na tret? de?. Teda posledn?ch 20 ??sel.
Pod?a vzorca je pravdepodobnos? P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpove?: 0,4

?rebovanie je tu vytvorenie n?hodnej kore?pondencie medzi ?u?mi a objednan?mi miestami. V pr?klade 2 sa porovn?vanie posudzovalo z h?adiska toho, ktor? z miest m??e konkr?tna osoba zauja?. K rovnakej situ?cii m??ete pristupova? aj z druhej strany: kto z ?ud? by sa s akou pravdepodobnos?ou mohol dosta? na konkr?tne miesto (prototypy , , , ):

Pr?klad 3 Na ?rebovan? sa z??ast?uje 5 Nemcov, 8 Franc?zov a 3 Est?nci. Ak? je pravdepodobnos?, ?e prv? (/druh?/siedmy/posledn? - to je jedno) bude Franc?z.

Po?et element?rnych v?sledkov je po?et v?etk?ch mo?n?ch ?ud?, ktor? by sa mohli dosta? na dan? miesto ?rebom. 5+8+3=16 ?ud?.
Priazniv? v?sledky - Franc?zi. 8 ?ud?.
Po?adovan? pravdepodobnos?: 8/16=1/2=0,5
Odpove?: 0,5

Prototyp je mierne odli?n?. Existuj? ?lohy o minciach () a kock?ch (), ktor? s? o nie?o kreat?vnej?ie. Rie?enia t?chto probl?mov n?jdete na str?nkach prototypu.

Tu je nieko?ko pr?kladov hodu mincou alebo kockou.

Pr?klad 4 Ke? si hod?me mincou, ak? je pravdepodobnos?, ?e dostaneme chvosty?
V?sledky 2 - hlavy alebo chvosty. (ver? sa, ?e minca nikdy nepadne na hranu) Priazniv? v?sledok - chvosty, 1.
Pravdepodobnos? 1/2=0,5
Odpove?: 0,5.

Pr?klad 5?o ak hod?me mincou dvakr?t? Ak? je pravdepodobnos?, ?e sa to v oboch pr?padoch objav??
Hlavn? vec je ur?i?, ktor? z?kladn? v?sledky budeme bra? do ?vahy pri h?dzan? dvoch minc?. Po vhoden? dvoch minc? m??e nasta? jeden z nasleduj?cich v?sledkov:
1) PP - v oboch pr?padoch to skon?ilo na chvoste
2) PO - prv?kr?t chvosty, druh?kr?t hlavy
3) OP - prv? raz hlavy, druh? kr?t chvosty
4) OO - vedie v oboch pr?padoch
In? mo?nosti nie s?. To znamen?, ?e existuj? 4 z?kladn? v?sledky. Len prv? je priazniv?, 1.
Pravdepodobnos?: 1/4 = 0,25
Odpove?: 0,25

Ak? je pravdepodobnos?, ?e dva hody mince dopadn? na chvosty?
Po?et element?rnych v?sledkov je rovnak?, 4. Priazniv? v?sledky s? druh? a tret?, 2.
Pravdepodobnos? z?skania jedn?ho chvosta: 2/4 = 0,5

Pri tak?chto probl?moch m??e pr?s? vhod in? vzorec.
Ak pri jednom hode mincou m?me 2 mo?n? v?sledky, potom pri dvoch hodoch bude 2 2=2 2 =4 (ako v pr?klade 5), pri troch hodoch 2 2 2=2 3 =8, pri ?tyroch : 2·2·2·2=2 4 =16, … pre N hodov mo?n?ch v?sledkov bude 2·2·...·2=2 N .

M??ete teda n?js? pravdepodobnos? z?skania 5 chvostov z 5 hodov mincou.
Celkov? po?et element?rnych v?sledkov: 2 5 =32.
Priazniv? v?sledky: 1. (RRRRRR - v?etk?ch 5 kr?t chvosty)
Pravdepodobnos?: 1/32=0,03125

To ist? plat? pre kocky. Pri jednom hode je mo?n?ch 6. Tak?e pri dvoch hodoch: 6 6=36, pri troch 6 6 6=216 at?.

Pr?klad 6 H?d?eme kockou. Ak? je pravdepodobnos? z?skania p?rneho ??sla?

Celkov? v?sledky: 6, pod?a po?tu tv?r?.
Priazniv?: 3 v?sledky. (2, 4, 6)
Pravdepodobnos?: 3/6 = 0,5

Pr?klad 7 Ho? dvoma kockami. Ak? je pravdepodobnos?, ?e celkov? po?et hod? 10? (zaokr?hlen? na stotiny)

Na jednu kocku pripad? 6 mo?n?ch v?sledkov. Pre dvoch je teda pod?a vy??ie uveden?ho pravidla 6·6=36.
Ak? v?sledky bud? priazniv?, ak celkovo 10 vypadne?
10 treba rozlo?i? na s??et dvoch ??sel od 1 do 6. D? sa to urobi? dvoma sp?sobmi: 10=6+4 a 10=5+5. Tak?e pre kocky s? mo?n? mo?nosti:
(6 na prvom a 4 na druhom)
(4 na prvom a 6 na druhom)
(5 na prvom a 5 na druhom)
Celkovo 3 mo?nosti. Po?adovan? pravdepodobnos?: 3/36=1/12=0,08
Odpove?: 0,08

O in?ch typoch probl?mov B6 sa bude diskutova? v jednom z nasleduj?cich ?l?nkov „Ako vyrie?i?“.