V tomto ?l?nku je met?da pova?ovan? za sp?sob rie?enia syst?mov line?rnych rovn?c (SLAE). Met?da je analytick?, to znamen?, ?e v?m umo??uje zap?sa? algoritmus rie?enia v?eobecn? poh?ad a potom tam nahra?te hodnoty z konkr?tnych pr?kladov. Na rozdiel od maticovej met?dy alebo Cramerov?ch vzorcov sa pri rie?en? s?stavy line?rnych rovn?c pomocou Gaussovej met?dy d? pracova? aj s tak?mi, ktor? maj? nekone?ne ve?a rie?en?. Alebo ho nemaj? v?bec.

?o znamen? Gauss?

Najprv si mus?te zap?sa? n?? syst?m rovn?c do Vyzer? to takto. Zoberie sa syst?m:

Koeficienty sa zapisuj? vo forme tabu?ky a vpravo v samostatnom st?pci - vo?n? ?leny. St?pec s vo?n?mi ?lenmi je pre pohodlie oddelen? Matica, ktor? obsahuje tento st?pec, sa naz?va roz??ren?.

?alej mus? by? hlavn? matica s koeficientmi zredukovan? na horn? trojuholn?kov? tvar. Toto je hlavn? bod rie?enia syst?mu Gaussovou met?dou. Jednoducho povedan?, po ur?it?ch manipul?ci?ch by matica mala vyzera? takto, aby v jej ?avej dolnej ?asti boli iba nuly:

Ak potom nov? maticu nap??ete znova ako s?stavu rovn?c, v?imnete si, ?e posledn? riadok u? obsahuje hodnotu jedn?ho z kore?ov, ktor? sa potom dosad? do vy??ie uvedenej rovnice, n?jde sa ?al?? kore? at?.

Toto je najv?eobecnej?? popis rie?enia Gaussovou met?dou. A ?o sa stane, ak zrazu syst?m nebude ma? rie?enie? Alebo ich je nekone?ne ve?a? Na zodpovedanie t?chto a mnoh?ch ?al??ch ot?zok je potrebn? samostatne zv??i? v?etky prvky pou?it? pri rie?en? Gaussovou met?dou.

Matrice, ich vlastnosti

V matrici nie je skryt? v?znam. Je to len pohodln? sp?sob zaznamen?vania ?dajov pre neskor?ie oper?cie. Nemali by sa ich b?? ani ?kol?ci.

Matica je v?dy obd??nikov?, preto?e je pohodlnej?ia. Aj v Gaussovej met?de, kde sa v?etko scvrk?va na zostavenie trojuholn?kovej matice, sa v polo?ke objav? obd??nik, len s nulami na mieste, kde nie s? ?iadne ??sla. Nuly m??u by? vynechan?, ale s? implikovan?.

Matica m? ve?kos?. Jeho „??rka“ je po?et riadkov (m), jeho „d??ka“ je po?et st?pcov (n). Potom ve?kos? matice A (na ich ozna?enie sa zvy?ajne pou??vaj? ve?k? latinsk? p?smen?) ozna??me ako A mxn . Ak m=n, potom je t?to matica ?tvorcov? a m=n je jej poradie. Pod?a toho m??e by? ?ubovo?n? prvok matice A ozna?en? ??slom jeho riadka a st?pca: a xy ; x - ??slo riadku, zmeny , y - ??slo st?pca, zmeny .

B nie je hlavn?m bodom rie?enia. V z?sade je mo?n? v?etky oper?cie vykon?va? priamo so samotn?mi rovnicami, ale z?pis sa uk??e by? ove?a ?a?kop?dnej?? a bude ove?a ?ah?ie sa v ?om zmias?.

Determinant

Matica m? tie? determinant. Toto je ve?mi d?le?it? vlastnos?. Zisti? jeho v?znam teraz nestoj? za to, m??ete jednoducho uk?za?, ako sa vypo??tava, a potom poveda?, ak? vlastnosti matice ur?uje. Najjednoduch?? sp?sob, ako n?js? determinant, je cez uhloprie?ky. V matici s? nakreslen? imagin?rne uhloprie?ky; prvky umiestnen? na ka?dom z nich sa vyn?sobia a potom sa pridaj? v?sledn? produkty: uhloprie?ky so sklonom doprava - so znamienkom "plus", so sklonom do?ava - so znamienkom "m?nus".

Je mimoriadne d?le?it? poznamena?, ?e determinant mo?no vypo??ta? iba pre ?tvorcov? maticu. Pre pravouhl? maticu m??ete urobi? nasledovn?: vybra? najmen?? z po?tu riadkov a po?tu st?pcov (nech je k) a potom n?hodne ozna?i? k st?pcov a k riadkov v matici. Prvky umiestnen? na priese?n?ku vybran?ch st?pcov a riadkov vytvoria nov? ?tvorcov? maticu. Ak je determinantom takejto matice ??slo in? ako nula, potom sa naz?va z?kladn? minor p?vodnej pravouhlej matice.

Predt?m, ako prist?pime k rie?eniu s?stavy rovn?c Gaussovou met?dou, neza?kod? vypo??ta? determinant. Ak sa uk??e, ?e je nula, potom m??eme okam?ite poveda?, ?e matica m? bu? nekone?n? po?et rie?en?, alebo neexistuj? ?iadne. V takomto smutnom pr?pade treba ?s? ?alej a informova? sa o hodnosti matice.

Klasifik?cia syst?mu

Existuje nie?o ako hodnos? matice. Toto je maxim?lne poradie jej nenulov?ho determinantu (pri zapam?tan? si men?ieho z?kladu m??eme poveda?, ?e poradie matice je poradie men?ieho z?kladu).

Pod?a toho, ako je to s hodnos?ou, mo?no SLAE rozdeli? na:

• Spolo?n?. O spolo?n?ch syst?mov sa poradie hlavnej matice (pozost?vaj?cej len z koeficientov) zhoduje s porad?m roz??renej (so st?pcom vo?n?ch ?lenov). Tak?to syst?my maj? rie?enie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sa k?bov? syst?my navy?e delia na:
• - ist?- s jedine?n?m rie?en?m. V ur?it?ch syst?moch s? poradie matice a po?et nezn?mych (alebo po?et st?pcov, ?o je to ist?) rovnak?;
• - neur?it? - s nekone?n?m mno?stvom rie?en?. Poradie mat?c pre tak?to syst?my je men?ie ako po?et nezn?mych.
• Nekompatibiln?. O V tak?chto syst?moch sa poradie hlavnej a roz??renej matice nezhoduje. Nekompatibiln? syst?my nemaj? rie?enie.

Gaussova met?da je dobr? v tom, ?e umo??uje z?ska? bu? jednozna?n? d?kaz nekonzistentnosti syst?mu (bez v?po?tu determinantov ve?k?ch mat?c), alebo v?eobecn? rie?enie pre syst?m s nekone?n?m po?tom rie?en?.

Element?rne transform?cie

Pred priamym prist?pen?m k rie?eniu syst?mu je mo?n? ho urobi? menej ?a?kop?dnym a pohodlnej??m pre v?po?ty. Dosahuje sa to element?rnymi transform?ciami – tak?mi, ?e ich implement?cia nijako nemen? kone?n? odpove?. Treba poznamena?, ?e niektor? z vy??ie uveden?ch element?rnych transform?ci? s? platn? len pre matice, ktor?ch zdrojom bol pr?ve SLAE. Tu je zoznam t?chto transform?ci?:

1. Permut?cia re?azca. Je zrejm?, ?e ak zmen?me poradie rovn?c v syst?movom z?zname, tak to nijako neovplyvn? rie?enie. V d?sledku toho je mo?n? aj zamie?a? riadky v matici tohto syst?mu, samozrejme netreba zab?da? ani na st?pec vo?n?ch ?lenov.
2. Vyn?sobenie v?etk?ch prvkov re?azca nejak?m faktorom. Ve?mi u?ito?n?! Pomocou neho m??ete zmen?i? ve?k? ??sla v matici alebo odstr?ni? nuly. S?bor rie?en? sa ako obvykle nezmen? a bude pohodlnej?ie vykon?va? ?al?ie oper?cie. Hlavn? vec je, ?e koeficient sa nerovn? nule.
3. Vyma?te riadky s proporcion?lnymi koeficientmi. To ?iasto?ne vypl?va z predch?dzaj?ceho odseku. Ak maj? dva alebo viac riadkov v matici proporcion?lne koeficienty, potom pri vyn?soben? / delen? jedn?ho z riadkov koeficientom proporcionality sa z?skaj? dva (alebo op?? viac) absol?tne identick? riadky a m??ete odstr?ni? ?al?ie riadky a ponecha? iba jeden.
4. Odstr?nenie nulov?ho riadku. Ak sa v priebehu transform?ci? niekde z?ska re?azec, v ktorom s? v?etky prvky vr?tane vo?n?ho ?lena nulov?, potom mo?no tak?to re?azec nazva? nulou a vyhodi? ho z matice.
5. Pridanie prvkov v jednom riadku prvkov druh?ho (v zodpovedaj?cich st?pcoch), vyn?soben?ch ur?it?m koeficientom. Najobsk?rnej?ia a najd?le?itej?ia premena zo v?etk?ch. Stoj? za to venova? sa tomu podrobnej?ie.

Pridanie re?azca vyn?soben?ho faktorom

Pre ?ah?ie pochopenie stoj? za to rozobra? tento proces krok za krokom. Z matice s? prevzat? dva riadky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Predpokladajme, ?e mus?te prida? prv? k druh?mu, vyn?soben? koeficientom "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 x a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 x a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 x a 1n

Potom sa v matici druh? riadok nahrad? nov?m a prv? zostane nezmenen?.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba poznamena?, ?e koeficient n?sobenia mo?no zvoli? tak, ?e v d?sledku s??tania dvoch re?azcov sa jeden z prvkov nov?ho re?azca rovn? nule. Preto je mo?n? z?ska? rovnicu v s?stave, kde bude o jednu nezn?mu menej. A ak dostanete dve tak?to rovnice, potom je mo?n? oper?ciu vykona? znova a z?ska? rovnicu, ktor? u? bude obsahova? o dve nezn?me menej. A ak zaka?d?m oto??me na nulu o jeden koeficient pre v?etky riadky, ktor? s? ni??ie ako p?vodn?, potom m??eme, ako po krokoch, ?s? a? na ?pln? spodok matice a dosta? rovnicu s jednou nezn?mou. Toto sa naz?va rie?enie syst?mu pomocou Gaussovej met?dy.

V?eobecne

Nech existuje syst?m. M? m rovn?c a n nezn?mych kore?ov. M??ete si to zap?sa? takto:

Hlavn? matica je zostaven? z koeficientov syst?mu. St?pec vo?n?ch ?lenov je pridan? do roz??renej matice a oddelen? ?iarou pre pohodlie.

• prv? riadok matice sa vyn?sob? koeficientom k = (-a 21 / a 11);
• prid? sa prv? upraven? riadok a druh? riadok matice;
• namiesto druh?ho riadku sa do matice vlo?? v?sledok doplnenia z predch?dzaj?ceho odseku;
• teraz je prv? koeficient v novom druhom riadku a 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz sa vykon? rovnak? s?ria transform?ci?, je zahrnut? iba prv? a tret? riadok. V s?lade s t?m je v ka?dom kroku algoritmu prvok a21 nahraden? prvkom a31. Potom sa v?etko opakuje pre 41, ... a m1. V?sledkom je matica, kde sa prv? prvok v riadkoch rovn? nule. Teraz mus?me zabudn?? na riadok ??slo jedna a spusti? rovnak? algoritmus od druh?ho riadku:

• koeficient k \u003d (-a 32 / a 22);
• druh? upraven? riadok sa prid? k "aktu?lnemu" riadku;
• v?sledok s??tania je nahraden? v tre?om, ?tvrtom at?. riadkoch, pri?om prv? a druh? zost?vaj? nezmenen?;
• v riadkoch matice s? prv? dva prvky u? rovn? nule.

Algoritmus sa mus? opakova?, k?m sa neobjav? koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To znamen?, ?e algoritmus bol naposledy spusten? len pre ni??iu rovnicu. Teraz matica vyzer? ako trojuholn?k alebo m? stup?ovit? tvar. Spodn? riadok obsahuje rovnos? a mn x x n = b m . Koeficient a vo?n? ?len s? zn?me a pomocou nich sa vyjadruje kore?: x n = b m /a mn. V?sledn? kore? sa dosad? do horn?ho riadku, aby sa zistilo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1 . A tak ?alej analogicky: v ka?dom ?al?om riadku je nov? kore? a po dosiahnut? „vrcholu“ syst?mu m??ete n?js? ve?a rie?en?. Bude to jedin?.

Ke? neexistuj? rie?enia

Ak sa v jednom z riadkov matice v?etky prvky okrem vo?n?ho ?lena rovnaj? nule, potom rovnica zodpovedaj?ca tomuto riadku vyzer? ako 0 = b. Nem? to rie?enie. A ke??e tak?to rovnica je v syst?me zahrnut?, potom je mno?ina rie?en? cel?ho syst?mu pr?zdna, teda degenerovan?.

Ke? existuje nekone?n? mno?stvo rie?en?

M??e sa uk?za?, ?e v redukovanej trojuholn?kovej matici nie s? ?iadne riadky s jedn?m prvkom - koeficientom rovnice a jedn?m - vo?n?m ?lenom. Existuj? iba re?azce, ktor? by po prep?san? vyzerali ako rovnica s dvoma alebo viacer?mi premenn?mi. To znamen?, ?e syst?m m? nekone?n? mno?stvo rie?en?. V tomto pr?pade m??e by? odpove? dan? vo forme v?eobecn?ho rie?enia. Ako to spravi??

V?etky premenn? v matici s? rozdelen? na z?kladn? a vo?n?. Z?kladn? – to s? tie, ktor? stoja „na okraji“ riadkov v stup?ovitej matici. Ostatn? s? zadarmo. Vo v?eobecnom rie?en? s? z?kladn? premenn? zap?san? v term?noch vo?n?ch.

Pre pohodlie je matica najprv prep?san? sp?? do syst?mu rovn?c. Potom v poslednom z nich, kde zostala pr?ve jedna z?kladn? premenn?, zost?va na jednej strane a v?etko ostatn? sa pren??a na druh?. Toto sa rob? pre ka?d? rovnicu s jednou z?kladnou premennou. Potom vo zvy?ku rovn?c, kde je to mo?n?, sa namiesto z?kladnej premennej nahrad? v?raz z?skan? pre ?u. Ak je v?sledkom op?? v?raz obsahuj?ci iba jednu z?kladn? premenn?, je vyjadren? odtia? znova at?., k?m sa ka?d? z?kladn? premenn? nezap??e ako v?raz s vo?n?mi premenn?mi. Toto je v?eobecn? rie?enie SLAE.

M??ete tie? n?js? z?kladn? rie?enie syst?mu - dajte vo?n?m premenn?m ?ubovo?n? hodnoty a potom pre tento konkr?tny pr?pad vypo??tajte hodnoty z?kladn?ch premenn?ch. Existuje nekone?ne ve?a konkr?tnych rie?en?.

Rie?enie s konkr?tnymi pr?kladmi

Tu je syst?m rovn?c.

Pre pohodlie je lep?ie okam?ite vytvori? maticu

Je zn?me, ?e pri rie?en? Gaussovou met?dou zostane rovnica zodpovedaj?ca prv?mu riadku na konci transform?ci? nezmenen?. Preto bude v?hodnej?ie, ak bude ?av? horn? prvok matice najmen?? - potom sa prv? prvky zost?vaj?cich riadkov po oper?ci?ch zmenia na nulu. To znamen?, ?e v zostavenej matici bude v?hodn? umiestni? druh? na miesto prv?ho riadku.

druh? riadok: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k x a 11 \u003d 3 + (-3) x 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k x a 12 \u003d -1 + (-3) x 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k x b 1 \u003d 12 + (-3) x 12 \u003d -24

tret? riadok: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k x b 1 \u003d 3 + (-5) x 12 \u003d -57

Teraz, aby nedo?lo k z?mene, je potrebn? zap?sa? maticu s medziv?sledkami transform?ci?.

Je zrejm?, ?e tak?to matica m??e by? pomocou niektor?ch oper?ci? vhodnej?ia na vn?manie. M??ete napr?klad odstr?ni? v?etky "m?nusy" z druh?ho riadku vyn?soben?m ka?d?ho prvku "-1".

Za zmienku tie? stoj?, ?e v tre?om rade s? v?etky prvky n?sobkom troch. Potom m??ete re?azec zn??i? o toto ??slo, vyn?soben?m ka?d?ho prvku "-1/3" (m?nus - s??asne na odstr?nenie z?porn?ch hodn?t).

Vyzer? ove?a kraj?ie. Teraz mus?me necha? prv? riadok a pracova? s druh?m a tret?m. ?lohou je prida? druh? riadok k tretiemu riadku, vyn?soben? tak?m koeficientom, aby sa prvok a 32 rovnal nule.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 zlomkov a a? potom, ke? dostanete odpovede, sa rozhodnite, ?i zaokr?hlite nahor a prelo??te do inej formy z?pisu)

a" 32 = a 32 + k x a 22 = 3 + (-3/7) x 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k x a 23 \u003d 6 + (-3/7) x 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k x b 2 \u003d 19 + (-3/7) x 24 \u003d -61/7

Matica sa znova zap??e s nov?mi hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ako vid?te, v?sledn? matica u? m? stup?ovit? tvar. Preto nie s? potrebn? ?al?ie transform?cie syst?mu Gaussovou met?dou. ?o sa tu d? urobi?, je odstr?ni? celkov? koeficient "-1/7" z tretieho riadku.

Teraz je v?etko kr?sne. Pointa je mal? - nap??te maticu op?? vo forme s?stavy rovn?c a vypo??tajte korene

x + 2y + 4z = 12(1)

7r + 11z = 24 (2)

Algoritmus, ktor?m sa teraz bud? h?ada? korene, sa v Gaussovej met?de naz?va sp?tn? pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

A prv? rovnica v?m umo??uje n?js? x:

x = (12 - 4z - 2r)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

M?me pr?vo naz?va? tak?to syst?m spolo?n?m, a dokonca ur?it?m, to znamen?, ?e m? jedine?n? rie?enie. Odpove? je nap?san? v nasleduj?com tvare:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Pr?klad neur?it?ho syst?mu

Variant rie?enia ur?itej s?stavy Gaussovou met?dou bol analyzovan?, teraz je potrebn? zv??i? pr?pad, ak je s?stava neur?it?, teda mo?no pre ?u n?js? nekone?ne ve?a rie?en?.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

U? samotn? forma syst?mu je alarmuj?ca, preto?e po?et nezn?mych je n = 5 a poradie matice syst?mu je u? presne men?ie ako toto ??slo, preto?e po?et riadkov je m = 4, tj. najv???? r?d ?tvorcov?ho determinantu je 4. To znamen?, ?e rie?en? je nekone?ne ve?a a je potrebn? h?ada? jeho v?eobecn? tvar. Gaussova met?da pre line?rne rovnice to umo??uje.

Najprv sa ako obvykle zostav? roz??ren? matica.

Druh? riadok: koeficient k = (-a 21 / a 11) = -3. V tre?om riadku je prv? prvok pred transform?ciami, tak?e sa nemus?te ni?oho dot?ka?, mus?te to necha? tak, ako je. ?tvrt? riadok: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Postupn?m vyn?soben?m prvkov prv?ho riadku ka?d?m z ich koeficientov a ich pridan?m do po?adovan?ch riadkov z?skame maticu nasleduj?ceho tvaru:

Ako vid?te, druh?, tret? a ?tvrt? riadok pozost?va z prvkov, ktor? s? navz?jom proporcion?lne. Druh? a ?tvrt? s? vo v?eobecnosti rovnak?, tak?e jeden z nich m??e by? okam?ite odstr?nen? a zvy?ok sa vyn?sob? koeficientom "-1" a z?ska sa ??slo riadku 3. A op?? ponechajte jeden z dvoch rovnak?ch riadkov.

Uk?zalo sa, ?e tak? matrica. Syst?m e?te nebol zap?san?, tu je potrebn? ur?i? z?kladn? premenn? - stojace pri koeficientoch a 11 \u003d 1 a 22 \u003d 1 a zadarmo - v?etko ostatn?.

Druh? rovnica m? iba jednu z?kladn? premenn? - x 2 . D? sa teda vyjadri? odtia?, zapisovan?m cez premenn? x 3 , x 4 , x 5 , ktor? s? vo?n?.

V?sledn? v?raz dosad?me do prvej rovnice.

Uk?zalo sa rovnicu, v ktorej je jedinou z?kladnou premennou x 1. Urobme s n?m to ist? ako s x 2 .

V?etky z?kladn? premenn?, z ktor?ch s? dve, s? vyjadren? tromi vo?n?mi, teraz m??ete odpove? nap?sa? vo v?eobecnej forme.

M??ete tie? zada? jedno z konkr?tnych rie?en? syst?mu. V tak?chto pr?padoch sa ako hodnoty pre vo?n? premenn? spravidla vyberaj? nuly. Potom bude odpove?:

16, 23, 0, 0, 0.

Pr?klad nekompatibiln?ho syst?mu

Najr?chlej?ie je rie?enie nekonzistentn?ch s?stav rovn?c Gaussovou met?dou. Kon??, akon?hle sa v jednej z f?z z?ska rovnica, ktor? nem? rie?enie. To znamen?, ?e f?za s v?po?tom kore?ov, ktor? je dos? dlh? a bez?te?n?, zmizne. Do ?vahy prich?dza nasleduj?ci syst?m:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ako obvykle, matica je zostaven?:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A je zredukovan? na stup?ovit? formu:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvej transform?cii obsahuje tret? riadok rovnicu tvaru

nemajuce riesenie. Preto je syst?m nekonzistentn? a odpove?ou je pr?zdna mno?ina.

V?hody a nev?hody met?dy

Ak si vyberiete met?du na vyrie?enie SLAE na papieri perom, met?da, ktor? bola zva?ovan? v tomto ?l?nku, vyzer? najatrakt?vnej?ie. Pri element?rnych transform?ci?ch je ove?a ?a??ie zmias?, ako sa to st?va, ak mus?te manu?lne h?ada? determinant alebo nejak? z?ludn? inverzn? maticu. Ak v?ak pou??vate programy na pr?cu s ?dajmi tohto typu, napr?klad tabu?ky, potom sa ukazuje, ?e tak?to programy u? obsahuj? algoritmy na v?po?et hlavn?ch parametrov mat?c - determinant, ved?aj?ie, inverzn? at?. A ak ste si ist?, ?e stroj vypo??ta tieto hodnoty s?m a neurob? chybu, je vhodnej?ie pou?i? maticov? met?du alebo Cramerove vzorce, preto?e ich aplik?cia za??na a kon?? v?po?tom determinantov a inverzn?ch mat?c.

Aplik?cia

Ke??e Gaussovo rie?enie je algoritmus a matica je v skuto?nosti dvojrozmern? pole, mo?no ho pou?i? pri programovan?. Ale ke??e sa ?l?nok stavia ako n?vod „pre hl?pych“, treba poveda?, ?e najjednoduch?ie miesto, kam t?to met?du str?i?, s? tabu?ky, napr?klad Excel. Op?? plat?, ?e ka?d? SLAE zadan? do tabu?ky vo forme matice bude Excel pova?ova? za dvojrozmern? pole. A na oper?cie s nimi existuje ve?a pekn?ch pr?kazov: s??tanie (m??ete s??ta? iba matice rovnakej ve?kosti!), N?sobenie ??slom, n?sobenie matice (aj s ur?it?mi obmedzeniami), h?adanie inverzn?ch a transponovan?ch mat?c a hlavne , v?po?et determinantu. Ak je t?to ?asovo n?ro?n? ?loha nahraden? jedin?m pr?kazom, je ove?a r?chlej?ie ur?i? hodnos? matice, a teda ur?i? jej kompatibilitu alebo nekonzistenciu.

Vzdel?vacia in?tit?cia „Bielorusk? ?t?t

Po?nohospod?rska akad?mia"

Katedra vy??ej matematiky

Smernice

na ?t?dium t?my „Gaussova met?da rie?enia s?stav line?rnych

Rovnice“ ?tudentmi Fakulty ??tovn?ctva kore?ponden?nej formy vzdel?vania (NISPO)

Gorki, 2013

Gaussova met?da rie?enia s?stav line?rnych rovn?c

Ekvivalentn? s?stavy rovn?c

Dva syst?my line?rnych rovn?c sa naz?vaj? ekvivalentn?, ak ka?d? rie?enie jednej z nich je rie?en?m druhej. Proces rie?enia s?stavy line?rnych rovn?c spo??va v jej postupnej transform?cii na ekvivalentn? s?stavu pomocou tzv element?rne transform?cie , ktor? s?:

1) permut?cia ?ubovo?n?ch dvoch rovn?c syst?mu;

2) n?sobenie oboch ?ast? ?ubovo?nej rovnice s?stavy nenulov?m ??slom;

3) pridanie ?al?ej rovnice k akejko?vek rovnici vyn?sobenej ?ubovo?n?m ??slom;

4) vypustenie rovnice pozost?vaj?cej z n?l, t.j. typov? rovnice.

Gaussova elimin?cia

Zv??te syst?m m line?rne rovnice s n nezn?my:

Podstata Gaussovej met?dy alebo met?dy postupn?ho vylu?ovania nezn?mych je nasledovn?.

Po prv?, pomocou element?rnych transform?ci? sa nezn?ma vyl??i zo v?etk?ch rovn?c syst?mu, okrem prvej. Tak?to premeny syst?mu sa naz?vaj? Gaussov elimina?n? krok . Nezn?my sa vol? rozli?ovacia premenn? v prvom kroku transform?cie. Koeficient sa naz?va faktor rozl??enia , prv? rovnica sa naz?va rie?enie rovnice , a st?pec koeficientov pri povoli? st?pec .

Pri vykon?van? jedn?ho Gaussovho elimina?n?ho kroku sa musia pou?i? nasleduj?ce pravidl?:

1) koeficienty a vo?n? ?len rozli?ovacej rovnice zost?vaj? nezmenen?;

2) koeficienty rozli?ovacieho st?pca, umiestnen?ho pod rozli?ovac?m koeficientom, sa zmenia na nulu;

3) v?etky ostatn? koeficienty a vo?n? ?leny v prvom kroku sa vypo??taj? pod?a pravidla obd??nika:

, kde i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Podobn? transform?cie vykon?vame na druhej rovnici syst?mu. To povedie k syst?mu, v ktorom bude nezn?ma vyl??en? vo v?etk?ch rovniciach, okrem prv?ch dvoch. V d?sledku tak?chto transform?ci? nad ka?dou z rovn?c syst?mu (priama Gaussova met?da) sa p?vodn? syst?m redukuje na ekvivalentn? stup?ov? syst?m jedn?ho z nasleduj?cich typov.

Reverzn? Gaussova met?da

Krokov? syst?m

m? trojuholn?kov? tvar a v?etko (i=1,2,…,n). Tak?to syst?m m? unik?tne rie?enie. Nezn?me sa ur?ia vych?dzaj?c z poslednej rovnice (obr?ten? Gaussova met?da).

Stup?ov? syst?m m? tvar

kde , t.j. po?et rovn?c syst?mu je men?? alebo rovn? po?tu nezn?mych. Tento syst?m nem? ?iadne rie?enia, preto?e posledn? rovnica nebude plati? pre ?iadne hodnoty premennej.

Syst?m stup?ovit?ho zobrazenia

m? nekone?n? mno?stvo rie?en?. Z poslednej rovnice je nezn?ma vyjadren? pomocou nezn?mych . Potom sa namiesto nezn?mej do predposlednej rovnice dosad? jej vyjadrenie v zmysle nezn?mych . Pokra?ovanie v opa?nom smere Gaussovej met?dy, nezn?me m??u by? vyjadren? ako nezn?me . V tomto pr?pade nezn?me volal zadarmo a m??e ma? ak?ko?vek hodnotu a nezn?mu z?kladn?.

Pri rie?en? syst?mov v praxi je vhodn? vykon?va? v?etky transform?cie nie s?stavou rovn?c, ale roz??renou maticou s?stavy, pozost?vaj?cou z koeficientov nezn?mych a st?pca vo?n?ch ?lenov.

Pr?klad 1. Vyrie?te s?stavu rovn?c

Rie?enie. Zostavme roz??ren? maticu syst?mu a vykonajte element?rne transform?cie:

.

V roz??renej matici syst?mu je ??slo 3 (je zv?raznen?) faktor rozl??enia, prv? riadok je riadok rozl??enia a prv? st?pec je st?pec rozl??enia. Pri prechode na ?al?iu maticu sa rozli?ovac? riadok nemen?, v?etky prvky rozli?ovacieho st?pca pod rozli?ovac?m prvkom s? nahraden? nulami. A v?etky ostatn? prvky matice sa prepo??taj? pod?a ?tvoruholn?kov?ho pravidla. Namiesto prvku 4 v druhom riadku p??eme , namiesto prvku -3 v druhom riadku sa nap??e at?. Takto sa z?ska druh? matica. T?to matica bude ma? rozli?ovac? prvok ??slo 18 v druhom riadku. Na vytvorenie ?al?ej (tretej matice) nech?me druh? riadok nezmenen?, do st?pca pod rozli?ovac?m prvkom nap??eme nulu a zvy?n? dva prvky prepo??tame: namiesto ??sla 1 nap??eme , a namiesto ??sla 16 nap??eme .

V?sledkom je, ?e p?vodn? syst?m je redukovan? na ekvivalentn? syst?m

Z tretej rovnice zist?me . Dosa?te t?to hodnotu do druhej rovnice: r=3. Dosa?te n?jden? hodnoty do prvej rovnice r a z: , X=2.

Rie?enie tohto syst?mu rovn?c je teda X=2, r=3, .

Pr?klad 2. Vyrie?te s?stavu rovn?c

Rie?enie. Vykonajte element?rne transform?cie na roz??renej matici syst?mu:

V druhej matici je ka?d? prvok tretieho riadku delen? 2.

Vo ?tvrtej matici bol ka?d? prvok tretieho a ?tvrt?ho riadku rozdelen? 11.

. V?sledn? matica zodpoved? s?stave rovn?c

Pri rie?en? tohto syst?mu n?jdeme , , .

Pr?klad 3. Vyrie?te s?stavu rovn?c

Rie?enie. Nap??me roz??ren? maticu syst?mu a vykonajte element?rne transform?cie:

.

V druhej matici bol ka?d? prvok druh?ho, tretieho a ?tvrt?ho riadku vydelen? 7.

V d?sledku toho syst?m rovn?c

ekvivalentn? origin?lu.

Ke??e existuje o dve rovnice menej ako nezn?mych, tak z druhej rovnice . Dosa?te v?raz pre do prvej rovnice: , .

Tak?e vzorce uve?te v?eobecn? rie?enie tejto s?stavy rovn?c. Nezn?me a s? zadarmo a m??u ma? ak?ko?vek hodnotu.

Nech napr. Potom a . Rie?enie je jedn?m z konkr?tnych rie?en? syst?mu, ktor?ch je nespo?etne ve?a.

Ot?zky na sebaovl?danie vedomost?

1) Ak? transform?cie line?rnych syst?mov sa naz?vaj? element?rne?

2) Ak? transform?cie syst?mu sa naz?vaj? Gaussov elimina?n? krok?

3) ?o je rozli?ovacia premenn?, rozli?ovac? faktor, rozli?ovac? st?pec?

4) Ak? pravidl? by sa mali pou?i? pri vykon?van? jedn?ho kroku Gaussovej elimin?cie?

Nech je dan? syst?m line?rnych algebraick?ch rovn?c, ktor? je potrebn? vyrie?i? (n?jdite tak? hodnoty nezn?mych хi, ktor? menia ka?d? rovnicu syst?mu na rovnos?).

Vieme, ?e syst?m line?rnych algebraick?ch rovn?c m??e:

1) Nema? ?iadne rie?enia (bu? nezlu?ite?n?).
2) Ma? nekone?ne ve?a rie?en?.
3) Majte jedine?n? rie?enie.

Ako si pam?t?me, Cramerovo pravidlo a maticov? met?da s? nevhodn? v pr?padoch, ke? m? syst?m nekone?ne ve?a rie?en? alebo je nekonzistentn?. Gaussova met?da – najv?konnej?? a najuniverz?lnej?? n?stroj na h?adanie rie?en? ak?hoko?vek syst?mu line?rnych rovn?c, ktor? v ka?dom pr?pade ve? n?s k odpovedi! Algoritmus met?dy vo v?etk?ch troch pr?padoch funguje rovnako. Ak Cramerova a maticov? met?da vy?aduj? znalos? determinantov, potom aplik?cia Gaussovej met?dy vy?aduje znalos? iba aritmetick?ch oper?ci?, ?o ju spr?stup?uje aj ?iakom z?kladn?ch ?k?l.

Roz??ren? maticov? transform?cie ( toto je matica syst?mu - matica zlo?en? iba z koeficientov nezn?mych plus st?pec vo?n?ch ?lenov) s?stavy line?rnych algebraick?ch rovn?c v Gaussovej met?de:

1) s troky matice m?c? preusporiada? Miesta.

2) ak v matici s? (alebo s?) proporcion?lne (ako ?peci?lny pr?pad - identick?) riadky, tak z toho vypl?va vymaza? z matice, v?etky tieto riadky okrem jedn?ho.

3) ak sa pri transform?ci?ch objavil v matici nulov? riadok, tak to tie? nasleduje vymaza?.

4) riadok matice m??e n?sobi? (deli?) na ak?ko?vek ??slo in? ako nula.

5) do riadku matice, m??ete pridajte ?al?? re?azec vyn?soben? ??slom, odli?n? od nuly.

V Gaussovej met?de element?rne transform?cie nemenia rie?enie s?stavy rovn?c.

Gaussova met?da pozost?va z dvoch f?z:

1. "Priamy pohyb" - pomocou element?rnych transform?ci? prive?te roz??ren? maticu syst?mu line?rnych algebraick?ch rovn?c do "trojuholn?kov?ho" stup?ovit?ho tvaru: prvky roz??renej matice umiestnen? pod hlavnou uhloprie?kou sa rovnaj? nule (pohyb zhora nadol ). Napr?klad k tomuto druhu:

Ak to chcete urobi?, vykonajte nasleduj?ce kroky:

1) Uva?ujme prv? rovnicu s?stavy line?rnych algebraick?ch rovn?c a koeficient v x 1 sa rovn? K. Druh?, tretia at?. rovnice transformujeme nasledovne: ka?d? rovnicu (koeficienty pre nezn?me, vr?tane vo?n?ch ?lenov) vydel?me koeficientom pre nezn?mu x 1, ktor? je v ka?dej rovnici a vyn?sob?me K. Potom od??tame prv? od druhej rovnice ( koeficienty pre nezn?me a vo?n? term?ny). Dostaneme pri x 1 v druhej rovnici koeficient 0. Od tretej transformovanej rovnice od??tame prv? rovnicu, tak?e k?m v?etky rovnice okrem prvej s nezn?mym x 1 nebud? ma? koeficient 0.

2) Prejdite na ?al?iu rovnicu. Nech je to druh? rovnica a koeficient na x 2 sa rovn? M. So v?etk?mi „podriaden?mi“ rovnicami postupujeme tak, ako je pop?san? vy??ie. Teda „pod“ nezn?mou x 2 vo v?etk?ch rovniciach bud? nuly.

3) Prejdeme k ?al?ej rovnici a tak ?alej, k?m nezostane posledn? nezn?my a transformovan? vo?n? ?len.

1. "Sp?tn?m pohybom" Gaussovej met?dy je z?skanie rie?enia syst?mu line?rnych algebraick?ch rovn?c (pohyb "zdola nahor"). Z poslednej „dolnej“ rovnice dostaneme jedno prv? rie?enie – nezn?mu x n. Aby sme to dosiahli, rie?ime element?rnu rovnicu A * x n \u003d B. Vo vy??ie uvedenom pr?klade x 3 \u003d 4. N?jden? hodnotu dosad?me do „hornej“ nasleduj?cej rovnice a vyrie?ime ju vzh?adom na ?al?iu nezn?mu. Napr?klad x 2 - 4 \u003d 1, t.j. x 2 \u003d 5. A tak ?alej, k?m nen?jdeme v?etky nezn?me.

Pr?klad.

Syst?m line?rnych rovn?c rie?ime Gaussovou met?dou, ako radia niektor? autori:

Nap??eme roz??ren? maticu syst?mu a pomocou element?rnych transform?ci? ju privedieme do stup?ovit?ho tvaru:

Pozer?me sa na ?av? horn? "krok". Tam by sme mali ma? jednotku. Probl?m je, ?e v prvom st?pci nie s? v?bec ?iadne, tak?e preskupen?m riadkov sa ni? nevyrie?i. V tak?chto pr?padoch mus? by? jednotka organizovan? pomocou element?rnej transform?cie. Zvy?ajne sa to d? urobi? nieko?k?mi sp?sobmi. Urobme to takto:
1 krok . K prv?mu riadku prid?me druh? riadok, vyn?soben? -1. To znamen?, ?e druh? riadok sme v duchu vyn?sobili -1 a vykonali s??tanie prv?ho a druh?ho riadku, pri?om druh? riadok sa nezmenil.

Teraz v?avo hore „m?nus jedna“, ?o n?m ?plne vyhovuje. Kto chce z?ska? +1, m??e vykona? dodato?n? akciu: vyn?sobi? prv? riadok -1 (zmeni? jeho znamienko).

2 krok . Prv? riadok vyn?soben? 5 bol pridan? k druh?mu riadku a prv? riadok vyn?soben? 3 bol pridan? k tretiemu riadku.

3 krok . Prv? riadok bol vyn?soben? -1, v z?sade je to pre kr?su. Znak tretieho riadku bol tie? zmenen? a presunut? na druh? miesto, ??m sme na druhom „kroku“ mali ?elan? jednotku.

4 krok . K tretiemu riadku pridajte druh? riadok vyn?soben? 2.

5 krok . Tret? riadok je delen? 3.

Znak, ktor? ozna?uje chybu vo v?po?toch (menej ?asto preklep), je „zl?“ spodn? riadok. To znamen?, ?e ak dostaneme nie?o ako (0 0 11 | 23) ni??ie, a teda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potom s vysokou pravdepodobnos?ou m??eme poveda?, ?e chyba sa stala po?as z?kladn?ho transform?ci?.

Vykon?vame sp?tn? pohyb, pri n?vrhu pr?kladov sa ?asto neprepisuje samotn? syst?m a rovnice sa „preberaj? priamo z danej matice“. Pripom?nam v?m, ?e sp?tn? pohyb funguje „zdola nahor“. V tomto pr?klade sa dar uk?zal:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, teda x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odpove?:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Vyrie?me rovnak? syst?m pomocou navrhovan?ho algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vyde?te druh? rovnicu 5 a tretiu 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vyn?sobte druh? a tretiu rovnicu 4, dostaneme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Od??tan?m prvej rovnice od druhej a tretej rovnice m?me:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vyde?te tretiu rovnicu ??slom 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vyn?sobte tretiu rovnicu ??slom 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Od??tan?m druhej rovnice od tretej rovnice dostaneme „stup?ovit?“ roz??ren? maticu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Ke??e sa v procese v?po?tov nahromadila chyba, dostaneme x 3 \u003d 0,96 alebo pribli?ne 1.

x 2 \u003d 3 a x 1 \u003d -1.

Pri takomto rie?en? sa nikdy nebudete vo v?po?toch zmias? a aj napriek chyb?m vo v?po?toch dostanete v?sledok.

Tento sp?sob rie?enia s?stavy line?rnych algebraick?ch rovn?c je ?ahko programovate?n? a nezoh?ad?uje ?pecifick? vlastnosti koeficientov pre nezn?me, preto?e v praxi (v ekonomick?ch a technick?ch v?po?toch) sa treba zaobera? necelo??seln?mi koeficientmi.

Prajem v?m ?spech! Uvid?me sa v triede! T?tor Dmitrij Aistrakhanov.

str?nky, s ?pln?m alebo ?iasto?n?m kop?rovan?m materi?lu, je potrebn? odkaz na zdroj.

Dva syst?my line?rnych rovn?c sa pova?uj? za ekvivalentn?, ak je mno?ina v?etk?ch ich rie?en? rovnak?.

Element?rne transform?cie s?stavy rovn?c s?:

1. Vypustenie zo s?stavy trivi?lnych rovn?c, t.j. tie, pre ktor? s? v?etky koeficienty rovn? nule;
2. N?sobenie ?ubovo?nej rovnice nenulov?m ??slom;
3. S??tanie ?ubovo?nej i -tej rovnice ?ubovo?nej j -tej rovnice vyn?soben? ?ubovo?n?m ??slom.

Premenn? x i sa naz?va vo?n?, ak t?to premenn? nie je povolen?, a je povolen? cel? syst?m rovn?c.

Veta. Element?rne transform?cie transformuj? s?stavu rovn?c na ekvivalentn?.

Zmyslom Gaussovej met?dy je transformova? p?vodn? syst?m rovn?c a z?ska? ekvivalentn? povolen? alebo ekvivalentn? nekonzistentn? syst?m.

Gaussova met?da teda pozost?va z nasleduj?cich krokov:

1. Zv??te prv? rovnicu. Vyberieme prv? nenulov? koeficient a vydel?me n?m cel? rovnicu. Z?skame rovnicu, do ktorej vstupuje nejak? premenn? x i s koeficientom 1;
2. Od??tajme t?to rovnicu od v?etk?ch ostatn?ch a vyn?sobme ju ??slami tak, aby koeficienty pre premenn? x i v zost?vaj?cich rovniciach boli nulov?. Dostaneme syst?m, ktor? je vyrie?en? vzh?adom na premenn? x i a je ekvivalentn? p?vodnej;
3. Ak vznikn? trivi?lne rovnice (zriedka, ale st?va sa to; napr?klad 0 = 0), vyma?eme ich zo syst?mu. V?sledkom je, ?e rovnice s? o jednu menej;
4. Predch?dzaj?ce kroky opakujeme maxim?lne n-kr?t, kde n je po?et rovn?c v s?stave. Zaka?d?m, ke? vyberieme nov? premenn? na „spracovanie“. Ak vznikn? konfliktn? rovnice (napr?klad 0 = 8), syst?m je nekonzistentn?.

V?sledkom je, ?e po nieko?k?ch krokoch z?skame bu? povolen? syst?m (pr?padne s vo?n?mi premenn?mi), alebo nekonzistentn?. Povolen? syst?my spadaj? do dvoch pr?padov:

1. Po?et premenn?ch sa rovn? po?tu rovn?c. Tak?e syst?m je definovan?;
2. Po?et premenn?ch je v???? ako po?et rovn?c. V?etky vo?n? premenn? zhroma??ujeme vpravo – dost?vame vzorce pre povolen? premenn?. Tieto vzorce s? nap?san? v odpovedi.

To je v?etko! S?stava line?rnych rovn?c je vyrie?en?! Ide o pomerne jednoduch? algoritmus a na jeho zvl?dnutie nie je potrebn? kontaktova? u?ite?a matematiky. Zv??te pr?klad:

?loha. Vyrie?te s?stavu rovn?c:

Popis krokov:

1. Od druhej a tretej od??tame prv? rovnicu – dostaneme povolen? premenn? x 1;
2. Druh? rovnicu vyn?sob?me (-1), tretiu rovnicu vydel?me (-3) – dostaneme dve rovnice, do ktor?ch vstupuje premenn? x 2 s koeficientom 1;
3. K prvej pripo??tame druh? rovnicu a od tretej odpo??tame. Zoberme si povolen? premenn? x 2 ;
4. Nakoniec od prvej od??tame tretiu rovnicu – dostaneme povolen? premenn? x 3 ;
5. Dostali sme autorizovan? syst?m, odpove? zapisujeme.

V?eobecn? rie?enie spojen?ho syst?mu line?rnych rovn?c je nov? syst?m, ekvivalentn? p?vodn?mu, v ktorom s? v?etky povolen? premenn? vyjadren? ako vo?n?.

Kedy m??e by? potrebn? v?eobecn? rie?enie? Ak mus?te urobi? menej krokov ako k (k je celkov? po?et rovn?c). Av?ak d?vody, pre?o proces kon?? v niektorom kroku l< k , может быть две:

1. Po l -tom kroku dostaneme s?stavu, ktor? neobsahuje rovnicu s ??slom (l + 1). V skuto?nosti je to dobr?, preto?e. vyrie?en? syst?m dostane aj tak – aj o p?r krokov sk?r.
2. Po l -tom kroku sa z?ska rovnica, v ktorej s? v?etky koeficienty premenn?ch rovn? nule a vo?n? koeficient je odli?n? od nuly. Toto je nekonzistentn? rovnica, a preto je syst?m nekonzistentn?.

Je d?le?it? pochopi?, ?e v?skyt nekonzistentnej rovnice Gaussovou met?dou je dostato?n?m d?vodom nekonzistentnosti. Z?rove? poznamen?vame, ?e v d?sledku l -t?ho kroku nem??u zosta? trivi?lne rovnice - v?etky s? priamo v procese vymazan?.

Popis krokov:

1. Od??tajte prv? rovnicu kr?t 4 od druhej. A tie? pridajte prv? rovnicu do tretej - dostaneme povolen? premenn? x 1;
2. Od druhej od??tame tretiu rovnicu vyn?soben? 2 - dostaneme protichodn? rovnicu 0 = -5.

Syst?m je teda nekonzistentn?, preto?e sa na?la nekonzistentn? rovnica.

?loha. Presk?majte kompatibilitu a n?jdite v?eobecn? rie?enie syst?mu:

Popis krokov:

1. Prv? rovnicu odpo??tame od druhej (po vyn?soben? dvoma) a tretiu - dostaneme povolen? premenn? x 1;
2. Odpo??tajte druh? rovnicu od tretej. Ke??e v?etky koeficienty v t?chto rovniciach s? rovnak?, tretia rovnica sa st?va trivi?lnou. Z?rove? druh? rovnicu vyn?sob?me (-1);
3. Od prvej rovnice od??tame druh? rovnicu – dostaneme povolen? premenn? x 2. Cel? syst?m rovn?c je teraz tie? vyrie?en?;
4. Ke??e premenn? x 3 a x 4 s? vo?n?, presunieme ich doprava, aby sme vyjadrili povolen? premenn?. Toto je odpove?.

Syst?m je teda spojen? a neur?it?, ke??e s? dve povolen? premenn? (x 1 a x 2) a dve vo?n? (x 3 a x 4).

Gaussova met?da je jednoduch?! pre?o? Sl?vnemu nemeck?mu matematikovi Johannovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi sa po?as svojho ?ivota dostalo uznania ako najv???ieho matematika v?etk?ch ?ias, g?nia a dokonca aj prez?vky „kr?? matematiky“. A v?etko d?myseln?, ako viete, je jednoduch?! Mimochodom, k peniazom sa dost?vaj? nielen hulv?ti, ale aj g?niovia - Gaussov portr?t vychva?ovan? na bankovke 10 nemeck?ch mariek (pred zaveden?m eura) a Gauss sa na Nemcov st?le z?hadne usmieva z oby?ajn?ch po?tov?ch zn?mok.

Gaussova met?da je jednoduch? v tom, ?e na jej zvl?dnutie STA?? VEDOMOSTI ?IAKA PIAT?HO RO?N?KA. Mus? vedie? s??ta? a n?sobi?! Nie n?hodou o met?de postupn?ho odstra?ovania nezn?mych ?asto uva?uj? u?itelia na ?kolsk?ch matematick?ch volite?n?ch predmetoch. Je to paradox, ale najv???ie ?a?kosti ?iakom sp?sobuje Gaussova met?da. Ni? prekvapuj?ce - je to v?etko o metodol?gii a pok?sim sa v pr?stupnej forme poveda? o algoritme met?dy.

Najprv trochu systematizujeme poznatky o s?stav?ch line?rnych rovn?c. Syst?m line?rnych rovn?c m??e:

1) Majte jedine?n? rie?enie.
2) Ma? nekone?ne ve?a rie?en?.
3) Nema? ?iadne rie?enia (bu? nezlu?ite?n?).

Gaussova met?da je najv?konnej?? a najuniverz?lnej?? n?stroj na h?adanie rie?enia ak?ko?vek s?stavy line?rnych rovn?c. Ako si pam?t?me Cramerovo pravidlo a maticov? met?da s? nevhodn? v pr?padoch, ke? m? syst?m nekone?ne ve?a rie?en? alebo je nekonzistentn?. Met?da postupnej elimin?cie nezn?mych tak ?i tak ve? n?s k odpovedi! V tejto lekcii sa budeme op?? zaobera? Gaussovou met?dou pre pr?pad ?. 1 (jedin? rie?enie syst?mu), ?l?nok je vyhraden? pre situ?cie bodov ?. 2-3. Podot?kam, ?e samotn? algoritmus met?dy funguje vo v?etk?ch troch pr?padoch rovnak?m sp?sobom.

Vr??me sa k najjednoduch?iemu syst?mu z lekcie Ako vyrie?i? s?stavu line?rnych rovn?c?
a vyrie?i? to pomocou Gaussovej met?dy.

Prv?m krokom je p?sanie roz??ren? maticov? syst?m:
. Ak?m princ?pom sa koeficienty zaznamen?vaj?, to pod?a m?a vid? ka?d?. Vertik?lna ?iara vo vn?tri matice nem? ?iadny matematick? v?znam - je to len pre?iarknut? pre zjednodu?enie dizajnu.

Odkaz :Odpor??am zapam?ta? si podmienky line?rna algebra. Syst?mov? matica je matica zlo?en? len z koeficientov pre nezn?me, v tomto pr?klade matica syst?mu: . Roz??ren? syst?mov? matica je rovnak? matica syst?mu plus st?pec vo?n?ch v?razov, v tomto pr?pade: . Ktor?ko?vek z mat?c mo?no pre stru?nos? nazva? jednoducho maticou.

Po zap?san? roz??renej matice syst?mu je potrebn? s ?ou vykona? nejak? akcie, ktor? sa tie? naz?vaj? element?rne transform?cie.

Existuj? nasleduj?ce z?kladn? transform?cie:

1) Struny matice m?c? preusporiada? Miesta. Napr?klad v uva?ovanej matici m??ete bezpe?ne zmeni? usporiadanie prv?ho a druh?ho riadku:

2) Ak s? (alebo sa objavili) proporcion?lne (ako ?peci?lny pr?pad - identick?) riadky v matici, potom nasleduje vymaza? z matice, v?etky tieto riadky okrem jedn?ho. Zoberme si napr?klad maticu . V tejto matici s? posledn? tri riadky proporcion?lne, tak?e sta?? necha? len jeden z nich: .

3) Ak sa pri transform?ci?ch objavil v matici nulov? riadok, tak to tie? nasleduje vymaza?. Nebudem kresli?, samozrejme, nulov? ?iara je ?iara, v ktorej iba nuly.

4) Riadok matice m??e by? n?sobi? (deli?) pre ?ubovo?n? ??slo nenulov?. Zoberme si napr?klad maticu . Tu je vhodn? rozdeli? prv? riadok -3 a vyn?sobi? druh? riadok 2: . T?to akcia je ve?mi u?ito?n?, preto?e zjednodu?uje ?al?ie transform?cie matice.

5) T?to transform?cia sp?sobuje najv???ie ?a?kosti, ale v skuto?nosti nie je ni? zlo?it?. Do riadku matice, m??ete pridajte ?al?? re?azec vyn?soben? ??slom, odli?n? od nuly. Zv??te na?u maticu z praktick?ho pr?kladu: . Najprv ve?mi podrobne op??em premenu. Vyn?sobte prv? riadok -2: , a k druh?mu riadku prid?me prv? riadok vyn?soben? -2: . Teraz m??e by? prv? riadok rozdelen? "sp??" -2: . Ako vid?te, riadok, ktor? je PRIDAN? LI – sa nezmenil. Je v?dy riadok sa zmen?, DO KTOR?HO SA PRID? UT.

V praxi, samozrejme, nema?uj? tak podrobne, ale p??u krat?ie:

E?te raz: do druh?ho riadku pridal prv? riadok vyn?soben? -2. ?iara sa zvy?ajne n?sob? ?stne alebo na n?vrhu, zatia? ?o ment?lny priebeh v?po?tov je pribli?ne tak?to:

„Prep??em maticu a prep??em prv? riadok: »

Najprv prv? st?pec. Ni??ie potrebujem dosta? nulu. Jednotku vy??ie preto vyn?sob?m -2:, a prv? pripo??tam k druh?mu riadku: 2 + (-2) = 0. V?sledok zap??em do druh?ho riadku: »

„Teraz druh? st?pec. Nad -1 kr?t -2: . Prv? prid?m do druh?ho riadku: 1 + 2 = 3. Do druh?ho riadku zap??em v?sledok: »

"A tret? st?pec." Nad -5 kr?t -2: . Prv? riadok prid?m k druh?mu riadku: -7 + 10 = 3. Do druh?ho riadku zap??em v?sledok: »

Dobre si premyslite tento pr?klad a pochopte algoritmus sekven?n?ho v?po?tu, ak tomu rozumiete, Gaussova met?da je prakticky „vo vrecku“. Ale, samozrejme, na tejto premene st?le pracujeme.

Element?rne transform?cie nemenia rie?enie s?stavy rovn?c

! POZOR: pova?ovan? za manipul?cie nemo?no pou?i?, ak v?m pon?kne ?lohu, kde sa matice d?vaj? „samo od seba“. Napr?klad pri "klasickom" matice v ?iadnom pr?pade by ste nemali nie?o prestavova? vo vn?tri matr?c!

Vr??me sa k n??mu syst?mu. Je prakticky rozbit? na k?sky.

Nap??me roz??ren? maticu syst?mu a pomocou element?rnych transform?ci? ju zredukujeme na stup?ovit? poh?ad:

(1) Prv? riadok bol pridan? k druh?mu riadku, vyn?soben? -2. A znova: pre?o n?sob?me prv? riadok -2? Aby sa naspodku dostala nula, ?o znamen? zbavi? sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Vyde?te druh? riadok 3.

??el element?rnych transform?ci? – previes? maticu do stup?ovitej formy: . Pri n?vrhu ?lohy priamo nakreslia „rebr?k“ jednoduchou ceruzkou a tie? zakr??kuj? ??sla, ktor? sa nach?dzaj? na „schodoch“. Samotn? pojem „odstup?ovan? poh?ad“ nie je ?plne teoretick?, vo vedeckej a n?u?nej literat?re sa ?asto naz?va lichobe?n?kov? poh?ad alebo trojuholn?kov? poh?ad.

V d?sledku element?rnych transform?ci? sme z?skali ekvivalent p?vodn? syst?m rovn?c:

Teraz je potrebn? syst?m "odkr?ti?" opa?n?m smerom - zdola nahor, tento proces sa naz?va reverzn? Gaussova met?da.

V spodnej rovnici u? m?me hotov? v?sledok: .

Zv??te prv? rovnicu syst?mu a dosa?te do nej u? zn?mu hodnotu „y“:

Uva?ujme o najbe?nej?ej situ?cii, ke? je na rie?enie s?stavy troch line?rnych rovn?c s tromi nezn?mymi potrebn? Gaussova met?da.

Pr?klad 1

Rie?te s?stavu rovn?c pomocou Gaussovej met?dy:

Nap??me roz??ren? maticu syst?mu:

Teraz okam?ite nakresl?m v?sledok, ku ktor?mu d?jdeme v priebehu rie?enia:

A opakujem, na??m cie?om je dosta? maticu do stup?ovitej formy pomocou element?rnych transform?ci?. Kde za?a? kona??

Najprv sa pozrite na ?av? horn? ??slo:

Mal by tu by? takmer v?dy jednotka. V?eobecne povedan?, bude vyhovova? aj -1 (a niekedy aj in? ??sla), ale akosi sa u? tradi?ne st?va, ?e sa tam v???inou umiest?uje jednotka. Ako organizova? jednotku? Pozer?me sa na prv? st?pec – m?me hotov? jednotku! Transform?cia jedna: vyme?te prv? a tret? riadok:

Teraz zostane prv? riadok nezmenen? a? do konca rie?enia. Teraz dobre.

Jednotka v?avo hore je usporiadan?. Teraz mus?te z?ska? nuly na t?chto miestach:

Nuly sa z?skavaj? pr?ve pomocou „?a?kej“ transform?cie. Najprv sa zaober?me druh?m riadkom (2, -1, 3, 13). ?o je potrebn? urobi?, aby ste na prvej poz?cii dostali nulu? Potreba k druh?mu riadku pridajte prv? riadok vyn?soben? -2. Ment?lne alebo na koncepte vyn?sob?me prv? riadok -2: (-2, -4, 2, -18). A d?sledne vykon?vame (op?? ment?lne alebo na n?vrh) prid?vanie, k druh?mu riadku prid?me prv? riadok, u? vyn?soben? -2:

V?sledok je nap?san? v druhom riadku:

Podobne sa zaober?me tret?m riadkom (3, 2, -5, -1). Ak chcete z?ska? nulu na prvej poz?cii, potrebujete k tretiemu riadku pridajte prv? riadok vyn?soben? -3. Ment?lne alebo na koncepte vyn?sob?me prv? riadok -3: (-3, -6, 3, -27). A do tretieho riadku prid?me prv? riadok vyn?soben? -3:

V?sledok je nap?san? v tre?om riadku:

V praxi sa tieto ?innosti zvy?ajne vykon?vaj? ?stne a zapisuj? sa v jednom kroku:

Netreba po??ta? v?etko naraz a v rovnakom ?ase. Poradie v?po?tov a "vkladanie" v?sledkov konzistentn? a oby?ajne takto: najprv prep??eme prv? riadok, a potichu sa naf?kneme – D?SLEDNE a POZORNE:


A ment?lny priebeh samotn?ch v?po?tov som u? zv??il vy??ie.

V tomto pr?klade je to jednoduch?, vydel?me druh? riadok -5 (ke??e v?etky ??sla s? bezo zvy?ku delite?n? 5). Z?rove? vydel?me tret? riadok -2, preto?e ??m men?ie ??slo, t?m jednoduch?ie rie?enie:

V z?vere?nej f?ze element?rnych transform?ci? tu treba z?ska? e?te jednu nulu:

Pre to do tretieho riadku prid?me druh? riadok, vyn?soben? -2:


Sk?ste t?to akciu analyzova? sami - ment?lne vyn?sobte druh? riadok -2 a vykonajte s??tanie.

Poslednou vykonanou akciou je ??es v?sledku, vyde?te tret? riadok 3.

V d?sledku element?rnych transform?ci? sa z?skal ekvivalentn? p?vodn? syst?m line?rnych rovn?c:

V pohode.

Teraz prich?dza na rad opa?n? priebeh Gaussovej met?dy. Rovnice sa „odv?jaj?“ zdola nahor.

V tretej rovnici u? m?me hotov? v?sledok:

Pozrime sa na druh? rovnicu: . V?znam „z“ je u? zn?my, teda:

A na z?ver prv? rovnica: . "Y" a "Z" s? zn?me, z?le?itos? je mal?:

Odpove?:

Ako u? bolo opakovane poznamenan?, pre ak?ko?vek syst?m rovn?c je mo?n? a potrebn? skontrolova? n?jden? rie?enie, na??astie to nie je ?a?k? a r?chle.

Pr?klad 2

Toto je pr?klad na samorie?enie, uk??ka dokon?ovania a odpove? na konci hodiny.

Treba poznamena?, ?e v?? postup sa nemus? zhodova? s moj?m postupom, a to je vlastnos? Gaussovej met?dy. Ale odpovede musia by? rovnak?!

Pr?klad 3

Rie?te s?stavu line?rnych rovn?c pomocou Gaussovej met?dy

Nap??eme roz??ren? maticu syst?mu a pomocou element?rnych transform?ci? ju privedieme do stup?ovit?ho tvaru:

Pozer?me sa na ?av? horn? "krok". Tam by sme mali ma? jednotku. Probl?m je, ?e v prvom st?pci nie s? v?bec ?iadne, tak?e preskupen?m riadkov sa ni? nevyrie?i. V tak?chto pr?padoch mus? by? jednotka organizovan? pomocou element?rnej transform?cie. Zvy?ajne sa to d? urobi? nieko?k?mi sp?sobmi. Urobil som toto:
(1) K prv?mu riadku prid?me druh? riadok, vyn?soben? -1. To znamen?, ?e druh? riadok sme v duchu vyn?sobili -1 a vykonali s??tanie prv?ho a druh?ho riadku, pri?om druh? riadok sa nezmenil.

Teraz v?avo hore „m?nus jedna“, ?o n?m ?plne vyhovuje. Kto chce z?ska? +1, m??e vykona? ?al?ie gesto: vyn?sobi? prv? riadok -1 (zmeni? jeho znamienko).

(2) K druh?mu riadku bol pridan? prv? riadok vyn?soben? 5. Prv? riadok vyn?soben? 3 bol pridan? k tretiemu riadku.

(3) Prv? riadok bol vyn?soben? -1, v z?sade je to pre kr?su. Znak tretieho riadku bol tie? zmenen? a presunut? na druh? miesto, ??m sme na druhom „kroku“ mali ?elan? jednotku.

(4) Druh? riadok vyn?soben? 2 bol pridan? k tretiemu riadku.

(5) Tret? rad bol rozdelen? 3.

Zl? znamenie, ktor? ozna?uje chybu vo v?po?te (menej ?asto preklep), je „zl?“ spodn? riadok. To znamen?, ?e ak dostaneme nie?o ako ni??ie, a teda , potom mo?no s vysokou mierou pravdepodobnosti tvrdi?, ?e v priebehu element?rnych transform?ci? do?lo k chybe.

??tujeme sp?tn? pohyb, pri n?vrhu pr?kladov sa ?asto neprepisuje samotn? syst?m a rovnice sa „preberaj? priamo z danej matice“. Pripom?nam v?m, ?e sp?tn? pohyb funguje zdola nahor. ?no, tu je dar?ek:

Odpove?: .

Pr?klad 4

Rie?te s?stavu line?rnych rovn?c pomocou Gaussovej met?dy

Toto je pr?klad nez?visl?ho rie?enia, je o nie?o komplikovanej??. Nevad?, ak je niekto zm?ten?. ?pln? rie?enie a uk??ka n?vrhu na konci lekcie. Va?e rie?enie sa m??e l??i? od m?jho.

V poslednej ?asti zv??ime niektor? vlastnosti Gaussovho algoritmu.
Prvou vlastnos?ou je, ?e niekedy niektor? premenn? ch?baj? v rovniciach syst?mu, napr?klad:

Ako spr?vne nap?sa? roz??ren? maticu syst?mu? O tomto momente som u? hovoril v lekcii. Cramerovo pravidlo. Maticov? met?da. V roz??renej matici syst?mu umiestnime nuly na miesto ch?baj?cich premenn?ch:

Mimochodom, toto je pomerne jednoduch? pr?klad, preto?e v prvom st?pci je u? jedna nula a je potrebn? vykona? menej element?rnych transform?ci?.

Druh? vlastnos? je toto. Vo v?etk?ch uva?ovan?ch pr?kladoch sme na „kroky“ umiestnili bu? –1 alebo +1. M??u by? aj in? ??sla? V niektor?ch pr?padoch m??u. Zv??te syst?m: .

Tu na ?avom hornom "kroku" m?me dvojku. V?imli sme si v?ak fakt, ?e v?etky ??sla v prvom st?pci s? bezo zvy?ku delite?n? dvomi – a ?al??mi dvomi a ?iestimi. A t? dvojka v?avo hore n?m pristane! V prvom kroku mus?te vykona? nasleduj?ce transform?cie: pridajte prv? riadok vyn?soben? -1 k druh?mu riadku; k tretiemu riadku pridajte prv? riadok vyn?soben? -3. V prvom st?pci teda dostaneme po?adovan? nuly.

Alebo in? hypotetick? pr?klad: . Tu sa n?m hod? aj trojka na druhej „prie?ke“, ke??e 12 (miesto, kde potrebujeme dosta? nulu) je bezo zvy?ku delite?n? 3. Je potrebn? vykona? nasleduj?cu transform?ciu: do tretieho riadku pridajte druh? riadok vyn?soben? -4, v d?sledku ?oho sa z?ska nula, ktor? potrebujeme.

Gaussova met?da je univerz?lna, no m? jednu zvl??tnos?. M??ete sa s istotou nau?i?, ako rie?i? syst?my in?mi met?dami (Cramerova met?da, maticov? met?da) doslova od za?iatku - existuje ve?mi rigidn? algoritmus. Ale aby ste sa c?tili ist? v Gaussovej met?de, mali by ste si „naplni? ruku“ a vyrie?i? aspo? 5-10 syst?mov. Preto m??e na za?iatku d?js? k zm?tku, chyb?m vo v?po?toch a nie je v tom ni? neobvykl? alebo tragick?.

Da?div? jesenn? po?asie za oknom .... Preto pre ka?d?ho komplexnej?? pr?klad na samostatn? rie?enie:

Pr?klad 5

Rie?te s?stavu ?tyroch line?rnych rovn?c so ?tyrmi nezn?mymi pomocou Gaussovej met?dy.

Tak?to ?loha v praxi nie je tak? zriedkav?. Mysl?m si, ?e aj ?ajn?k, ktor? si t?to str?nku podrobne pre?tudoval, rozumie algoritmu rie?enia tak?hoto syst?mu intuit?vne. V podstate to ist? – len viac akcie.

Pr?pady, kedy syst?m nem? ?iadne rie?enia (nekonzistentn?) alebo m? nekone?ne ve?a rie?en?, s? zva?ovan? v lekcii Nekompatibiln? syst?my a syst?my so v?eobecn?m rie?en?m. Tam m??ete opravi? uva?ovan? algoritmus Gaussovej met?dy.

Prajem v?m ?spech!

Rie?enia a odpovede:

Pr?klad 2: Rie?enie : Zap??me si roz??ren? maticu syst?mu a pomocou element?rnych transform?ci? ju prenesme do stup?ovit?ho tvaru.


Vykonan? element?rne transform?cie:
(1) Prv? riadok bol pridan? k druh?mu riadku, vyn?soben? -2. Prv? riadok bol pridan? k tretiemu riadku, vyn?soben? -1. Pozor! Tu m??e by? l?kav? od??ta? prv? od tretieho riadku, od??tanie d?razne neodpor??am – riziko chyby sa zna?ne zvy?uje. Len zlo??me!
(2) Znamienko druh?ho riadku bolo zmenen? (vyn?soben? -1). Druh? a tret? riadok boli vymenen?. Pozn?mka?e na „stup?och“ sme spokojn? nielen s jedn?m, ale aj s -1, ?o je e?te pohodlnej?ie.
(3) K tretiemu riadku pridajte druh? riadok vyn?soben? 5.
(4) Znamienko druh?ho riadku bolo zmenen? (vyn?soben? -1). Tret? riadok bol rozdelen? 14.

Sp?tn? pohyb:

Odpove?: .

Pr?klad 4: Rie?enie : Nap??eme roz??ren? maticu syst?mu a pomocou element?rnych transform?ci? ju privedieme do stup?ovit?ho tvaru:

Vykonan? konverzie:
(1) Druh? riadok bol pridan? k prv?mu riadku. Po?adovan? jednotka je teda usporiadan? v ?avom hornom „kroku“.
(2) K druh?mu riadku bol pridan? prv? riadok vyn?soben? ??slom 7. Prv? riadok vyn?soben? ??slom 6 bol pridan? k tretiemu riadku.

S druh?m „krokom“ je v?etko hor?ie , "kandid?tmi" na ?u s? ??sla 17 a 23 a potrebujeme bu? jednotku alebo -1. Transform?cie (3) a (4) bud? zameran? na z?skanie po?adovanej jednotky

(3) Druh? riadok bol pridan? k tretiemu riadku, vyn?soben? -1.
(4) Tret? riadok, vyn?soben? -3, bol pridan? k druh?mu riadku.
(3) K tretiemu riadku bol pridan? druh? riadok vyn?soben? 4. Druh? riadok vyn?soben? -1 bol pridan? k ?tvrt?mu riadku.
(4) Znamienko druh?ho riadku bolo zmenen?. ?tvrt? riadok bol rozdelen? 3 a umiestnen? namiesto tretieho riadku.
(5) Tret? riadok bol pridan? k ?tvrt?mu riadku, vyn?soben? -5.

Sp?tn? pohyb: