z?kladn? vlastnosti.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

rovnak? d?vody

log6 4 + log6 9.

Teraz si ?lohu trochu skomplikujeme.

Pr?klady rie?enia logaritmov

?o ak existuje stupe? v z?klade alebo argumente logaritmu? Potom m??e by? exponent tohto stup?a vy?at? zo znamienka logaritmu pod?a nasleduj?cich pravidiel:

Samozrejme, v?etky tieto pravidl? d?vaj? zmysel, ak je dodr?an? logaritmus ODZ: a > 0, a ? 1, x >

?loha. N?jdite hodnotu v?razu:

Prechod na nov? z?klad

Nech je dan? logaritmus logax. Potom pre ak?ko?vek ??slo c tak?, ?e c > 0 a c ? 1, plat? rovnos?:

?loha. N?jdite hodnotu v?razu:

Pozri tie?:

Z?kladn? vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapam?tali exponent, m??ete si pre?tudova? pravidlo: exponent je 2,7 a dvojn?sobok roku narodenia Leva Tolst?ho.

Z?kladn? vlastnosti logaritmov

Ke? pozn?te toto pravidlo, budete pozna? presn? hodnotu exponenta aj d?tum narodenia Leva Tolst?ho.

Pr?klady pre logaritmy

Vezmite logaritmus v?razov

Pr?klad 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pod?a vlastnost? 3,5 vypo??tame

2.

3.

4. kde .

Pr?klad 2 N?jdite x ak

Pr?klad 3. Nech je uveden? hodnota logaritmov

Vypo??tajte log(x), ak

Z?kladn? vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako ka?d? ??slo, mo?no s??ta?, od??ta? a previes? v?etk?mi mo?n?mi sp?sobmi. Ale ke??e logaritmy nie s? celkom be?n? ??sla, existuj? tu pravidl?, ktor? sa naz?vaj? z?kladn? vlastnosti.

Tieto pravidl? musia by? zn?me - bez nich nemo?no vyrie?i? ?iadny v??ny logaritmick? probl?m. Navy?e je ich ve?mi m?lo – v?etko sa d? nau?i? za jeden de?. Tak po?me na to.

S??tanie a od??tanie logaritmov

Zv??te dva logaritmy s rovnak?m z?kladom: logax a logay. Potom ich mo?no s??ta? a od??ta? a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

S??et logaritmov sa teda rovn? logaritmu s??inu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Pozn?mka: k???ov?m bodom je tu - rovnak? d?vody. Ak s? z?klady odli?n?, tieto pravidl? nefunguj?!

Tieto vzorce pom??u vypo??ta? logaritmick? v?raz, aj ke? sa neber? do ?vahy jeho jednotliv? ?asti (pozri lekciu „?o je logaritmus“). Pozrite sa na pr?klady a uvid?te:

Ke??e z?klady logaritmov s? rovnak?, pou?ijeme s??tov? vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log2 48 - log2 3.

Z?klady s? rovnak?, pou??vame rozdielov? vzorec:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log3 135 - log3 5.

Op?? plat?, ?e z?klady s? rovnak?, tak?e m?me:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vid?te, p?vodn? v?razy sa skladaj? zo „zl?ch“ logaritmov, ktor? sa neuva?uj? samostatne. Ale po transform?ci?ch sa uk??u celkom norm?lne ??sla. Mnoh? testy s? zalo?en? na tejto skuto?nosti. ?no, kontrola – na sk??ke s? pon?kan? podobn? v?razy ?plne v??ne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstr?nenie exponentu z logaritmu

Je ?ahk? vidie?, ?e posledn? pravidlo nasleduje ich prv? dve. Ale je lep?ie si to aj tak zapam?ta? – v niektor?ch pr?padoch to v?razne zn??i mno?stvo v?po?tov.

V?etky tieto pravidl? maj? samozrejme zmysel, ak sa dodr?? logaritmus ODZ: a > 0, a ? 1, x > 0. A e?te nie?o: nau?te sa aplikova? v?etky vzorce nielen z?ava doprava, ale aj naopak, t.j. m??ete zada? ??sla pred znamienkom logaritmu do samotn?ho logaritmu. To je to, ?o sa naj?astej?ie vy?aduje.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log7 496.

Zbavme sa stup?a v argumente pod?a prv?ho vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

?loha. N?jdite hodnotu v?razu:

V?imnite si, ?e menovate? je logaritmus, ktor?ho z?klad a argument s? presn? mocniny: 16 = 24; 49 = 72. M?me:

Mysl?m, ?e posledn? pr?klad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chv?le pracujeme len s menovate?om.

Vzorce logaritmov. Logaritmy s? pr?klady rie?en?.

Predlo?ili z?klad a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stup?ov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodov?“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavn? zlomok. ?itate? a menovate? maj? rovnak? ??slo: log2 7. Ke??e log2 7 ? 0, zlomok m??eme zmen?i? - 2/4 zostan? v menovateli. Pod?a pravidiel aritmetiky m??u by? ?tyri prenesen? do ?itate?a, ?o sa stalo. V?sledkom je odpove?: 2.

Prechod na nov? z?klad

Ke? u? hovor?me o pravidl?ch s??tania a od??tania logaritmov, osobitne som zd?raznil, ?e funguj? iba s rovnak?mi z?kladmi. ?o ak s? z?klady odli?n?? ?o ak to nie s? presn? mocniny rovnak?ho ??sla?

Na pomoc prich?dzaj? vzorce pre prechod na nov? z?klad?u. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je dan? logaritmus logax. Potom pre ak?ko?vek ??slo c tak?, ?e c > 0 a c ? 1, plat? rovnos?:

Konkr?tne, ak d?me c = x, dostaneme:

Z druh?ho vzorca vypl?va, ?e je mo?n? zameni? z?klad a argument logaritmu, ale v tomto pr?pade je cel? v?raz „prevr?ten?“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nach?dzaj? v be?n?ch ??seln?ch v?razoch. Ich vhodnos? je mo?n? vyhodnoti? len pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c a nerovn?c.

S? v?ak ?lohy, ktor? sa nedaj? vyrie?i? v?bec inak ako pres?ahovan?m sa do nov?ho z?kladu. Uva?ujme o nieko?k?ch z nich:

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log5 16 log2 25.

V?imnite si, ?e argumenty oboch logaritmov s? presn? exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz oto?me druh? logaritmus:

Ke??e s??in sa nemen? permut?ciou faktorov, pokojne sme vyn?sobili ?tyri a dva a potom sme pri?li na logaritmy.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log9 100 lg 3.

Z?kladom a argumentom prv?ho logaritmu s? presn? mocniny. Po?me si to zap?sa? a zbavi? sa indik?torov:

Teraz sa zbavme desiatkov?ho logaritmu prechodom na nov? z?klad:

Z?kladn? logaritmick? identita

V procese rie?enia je ?asto potrebn? reprezentova? ??slo ako logaritmus k danej b?ze. V tomto pr?pade n?m pom??u vzorce:

V prvom pr?pade sa ??slo n stane exponentom v argumente. ??slo n m??e by? ?plne ?oko?vek, preto?e je to len hodnota logaritmu.

Druh? vzorec je vlastne parafr?zovan? defin?cia. Vol? sa to takto:

?o sa stane, ak sa ??slo b zv??i do takej miery, ?e ??slo b v tomto stupni d?va ??slo a? Spr?vne: toto je rovnak? ??slo a. Pozorne si pre??tajte tento odsek e?te raz - ve?a ?ud? na ?om „vis?“.

Rovnako ako nov? z?kladn? konverzn? vzorce, z?kladn? logaritmick? identita je niekedy jedin?m mo?n?m rie?en?m.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu:

V?imnite si, ?e log25 64 = log5 8 - pr?ve vytiahol ?tvorec zo z?kladne a argument logaritmu. Vzh?adom na pravidl? n?sobenia pr?vomoc? s rovnak?m z?kladom dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skuto?n? ?loha z Jednotnej ?t?tnej sk??ky ?

Logaritmick? jednotka a logaritmick? nula

Na z?ver uvediem dve identity, ktor? je ?a?k? nazva? vlastnos?ami – sk?r ide o d?sledky z defin?cie logaritmu. Neust?le sa nach?dzaj? v probl?moch a prekvapivo robia probl?my aj „pokro?il?m“ ?iakom.

1. logaa = 1 je. Pam?tajte si raz a nav?dy: logaritmus k ?ubovo?nej z?kladni a z tejto samotnej z?kladne sa rovn? jednej.
2. loga 1 = 0 je. Z?kladom a m??e by? ?oko?vek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Preto?e a0 = 1 je priamym d?sledkom defin?cie.

To s? v?etky vlastnosti. Ur?ite si ich nacvi?te v praxi! Stiahnite si cheat sheet na za?iatku lekcie, vytla?te si ho a vyrie?te probl?my.

Pozri tie?:

Logaritmus ??sla b so z?kladom a ozna?uje v?raz. Vypo??ta? logaritmus znamen? n?js? tak? mocninu x (), pri ktorej plat? rovnos?

Z?kladn? vlastnosti logaritmu

Vy??ie uveden? vlastnosti musia by? zn?me, preto?e na ich z?klade sa takmer v?etky probl?my a pr?klady rie?ia na z?klade logaritmov. Zost?vaj?ce exotick? vlastnosti mo?no odvodi? matematick?mi manipul?ciami s t?mito vzorcami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri v?po?te vzorcov pre s??et a rozdiel logaritmov (3.4) sa stret?vame pomerne ?asto. Ostatn? s? trochu zlo?it?, ale v mnoh?ch ?loh?ch s? nevyhnutn? na zjednodu?enie zlo?it?ch v?razov a v?po?et ich hodn?t.

Be?n? pr?pady logaritmov

Niektor? z be?n?ch logaritmov s? tie, v ktor?ch je z?klad dokonca desa?, exponenci?lny alebo dvojkov?.
Logaritmus z?kladnej desiatky sa zvy?ajne naz?va logaritmus z?kladnej desiatky a jednoducho sa ozna?uje lg(x).

Zo z?znamu je vidie?, ?e z?klady nie s? v z?zname zap?san?. Napr?klad

Prirodzen? logaritmus je logaritmus, ktor?ho z?kladom je exponent (ozna?en? ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapam?tali exponent, m??ete si pre?tudova? pravidlo: exponent je 2,7 a dvojn?sobok roku narodenia Leva Tolst?ho. Ke? pozn?te toto pravidlo, budete pozna? presn? hodnotu exponenta aj d?tum narodenia Leva Tolst?ho.

A ?al?? d?le?it? logaritmus z?kladne dva je

Deriv?cia logaritmu funkcie sa rovn? jednej delenej premennou

Integr?lny alebo primit?vny logaritmus je ur?en? z?vislos?ou

Vy??ie uveden? materi?l je dostato?n? na to, aby ste vyrie?ili ?irok? triedu probl?mov s?visiacich s logaritmami a logaritmami. Pre asimil?ciu materi?lu uvediem len nieko?ko be?n?ch pr?kladov zo ?kolsk?ch osnov a univerz?t.

Pr?klady pre logaritmy

Vezmite logaritmus v?razov

Pr?klad 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pod?a vlastnost? 3,5 vypo??tame

2.
Pod?a rozdielovej vlastnosti logaritmov m?me

3.
Pomocou vlastnost? 3.5 n?jdeme

4. kde .

Zdanlivo zlo?it? v?raz vyu??vaj?ci s?riu pravidiel je zjednodu?en? na formul?r

N?jdenie hodn?t logaritmu

Pr?klad 2 N?jdite x ak

Rie?enie. Pre v?po?et pou??vame vlastnosti 5 a 13 a? do posledn?ho term?nu

N?hradn?k v z?zname a sm?ti?

Ke??e z?klady s? rovnak?, d?vame rovn?tko medzi v?razy

Logaritmy. Prv? ?rove?.

Nech je uveden? hodnota logaritmov

Vypo??tajte log(x), ak

Rie?enie: Zoberte logaritmus premennej na z?pis logaritmu cez s??et ?lenov

Toto je len za?iatok obozn?menia sa s logaritmami a ich vlastnos?ami. Precvi?te si v?po?ty, oboha?te svoje praktick? zru?nosti – nadobudnut? vedomosti budete ?oskoro potrebova? na rie?enie logaritmick?ch rovn?c. Po pre?tudovan? z?kladn?ch met?d rie?enia tak?chto rovn?c roz??rime va?e vedomosti o ?al?iu rovnako d?le?it? t?mu - logaritmick? nerovnosti ...

Z?kladn? vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako ka?d? ??slo, mo?no s??ta?, od??ta? a previes? v?etk?mi mo?n?mi sp?sobmi. Ale ke??e logaritmy nie s? celkom be?n? ??sla, existuj? tu pravidl?, ktor? sa naz?vaj? z?kladn? vlastnosti.

Tieto pravidl? musia by? zn?me - bez nich nemo?no vyrie?i? ?iadny v??ny logaritmick? probl?m. Navy?e je ich ve?mi m?lo – v?etko sa d? nau?i? za jeden de?. Tak po?me na to.

S??tanie a od??tanie logaritmov

Zv??te dva logaritmy s rovnak?m z?kladom: logax a logay. Potom ich mo?no s??ta? a od??ta? a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

S??et logaritmov sa teda rovn? logaritmu s??inu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Pozn?mka: k???ov?m bodom je tu - rovnak? d?vody. Ak s? z?klady odli?n?, tieto pravidl? nefunguj?!

Tieto vzorce pom??u vypo??ta? logaritmick? v?raz, aj ke? sa neber? do ?vahy jeho jednotliv? ?asti (pozri lekciu „?o je logaritmus“). Pozrite sa na pr?klady a uvid?te:

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log6 4 + log6 9.

Ke??e z?klady logaritmov s? rovnak?, pou?ijeme s??tov? vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log2 48 - log2 3.

Z?klady s? rovnak?, pou??vame rozdielov? vzorec:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log3 135 - log3 5.

Op?? plat?, ?e z?klady s? rovnak?, tak?e m?me:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vid?te, p?vodn? v?razy sa skladaj? zo „zl?ch“ logaritmov, ktor? sa neuva?uj? samostatne. Ale po transform?ci?ch sa uk??u celkom norm?lne ??sla. Mnoh? testy s? zalo?en? na tejto skuto?nosti. ?no, kontrola – na sk??ke s? pon?kan? podobn? v?razy ?plne v??ne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstr?nenie exponentu z logaritmu

Teraz si ?lohu trochu skomplikujeme. ?o ak existuje stupe? v z?klade alebo argumente logaritmu? Potom m??e by? exponent tohto stup?a vy?at? zo znamienka logaritmu pod?a nasleduj?cich pravidiel:

Je ?ahk? vidie?, ?e posledn? pravidlo nasleduje ich prv? dve. Ale je lep?ie si to aj tak zapam?ta? – v niektor?ch pr?padoch to v?razne zn??i mno?stvo v?po?tov.

V?etky tieto pravidl? maj? samozrejme zmysel, ak sa dodr?? logaritmus ODZ: a > 0, a ? 1, x > 0. A e?te nie?o: nau?te sa aplikova? v?etky vzorce nielen z?ava doprava, ale aj naopak, t.j. m??ete zada? ??sla pred znamienkom logaritmu do samotn?ho logaritmu.

Ako rie?i? logaritmy

To je to, ?o sa naj?astej?ie vy?aduje.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log7 496.

Zbavme sa stup?a v argumente pod?a prv?ho vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

?loha. N?jdite hodnotu v?razu:

V?imnite si, ?e menovate? je logaritmus, ktor?ho z?klad a argument s? presn? mocniny: 16 = 24; 49 = 72. M?me:

Mysl?m, ?e posledn? pr?klad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chv?le pracujeme len s menovate?om. Predlo?ili z?klad a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stup?ov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodov?“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavn? zlomok. ?itate? a menovate? maj? rovnak? ??slo: log2 7. Ke??e log2 7 ? 0, zlomok m??eme zmen?i? - 2/4 zostan? v menovateli. Pod?a pravidiel aritmetiky m??u by? ?tyri prenesen? do ?itate?a, ?o sa stalo. V?sledkom je odpove?: 2.

Prechod na nov? z?klad

Ke? u? hovor?me o pravidl?ch s??tania a od??tania logaritmov, osobitne som zd?raznil, ?e funguj? iba s rovnak?mi z?kladmi. ?o ak s? z?klady odli?n?? ?o ak to nie s? presn? mocniny rovnak?ho ??sla?

Na pomoc prich?dzaj? vzorce pre prechod na nov? z?klad?u. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je dan? logaritmus logax. Potom pre ak?ko?vek ??slo c tak?, ?e c > 0 a c ? 1, plat? rovnos?:

Konkr?tne, ak d?me c = x, dostaneme:

Z druh?ho vzorca vypl?va, ?e je mo?n? zameni? z?klad a argument logaritmu, ale v tomto pr?pade je cel? v?raz „prevr?ten?“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nach?dzaj? v be?n?ch ??seln?ch v?razoch. Ich vhodnos? je mo?n? vyhodnoti? len pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c a nerovn?c.

S? v?ak ?lohy, ktor? sa nedaj? vyrie?i? v?bec inak ako pres?ahovan?m sa do nov?ho z?kladu. Uva?ujme o nieko?k?ch z nich:

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log5 16 log2 25.

V?imnite si, ?e argumenty oboch logaritmov s? presn? exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz oto?me druh? logaritmus:

Ke??e s??in sa nemen? permut?ciou faktorov, pokojne sme vyn?sobili ?tyri a dva a potom sme pri?li na logaritmy.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log9 100 lg 3.

Z?kladom a argumentom prv?ho logaritmu s? presn? mocniny. Po?me si to zap?sa? a zbavi? sa indik?torov:

Teraz sa zbavme desiatkov?ho logaritmu prechodom na nov? z?klad:

Z?kladn? logaritmick? identita

V procese rie?enia je ?asto potrebn? reprezentova? ??slo ako logaritmus k danej b?ze. V tomto pr?pade n?m pom??u vzorce:

V prvom pr?pade sa ??slo n stane exponentom v argumente. ??slo n m??e by? ?plne ?oko?vek, preto?e je to len hodnota logaritmu.

Druh? vzorec je vlastne parafr?zovan? defin?cia. Vol? sa to takto:

?o sa stane, ak sa ??slo b zv??i do takej miery, ?e ??slo b v tomto stupni d?va ??slo a? Spr?vne: toto je rovnak? ??slo a. Pozorne si pre??tajte tento odsek e?te raz - ve?a ?ud? na ?om „vis?“.

Rovnako ako nov? z?kladn? konverzn? vzorce, z?kladn? logaritmick? identita je niekedy jedin?m mo?n?m rie?en?m.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu:

V?imnite si, ?e log25 64 = log5 8 - pr?ve vytiahol ?tvorec zo z?kladne a argument logaritmu. Vzh?adom na pravidl? n?sobenia pr?vomoc? s rovnak?m z?kladom dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skuto?n? ?loha z Jednotnej ?t?tnej sk??ky ?

Logaritmick? jednotka a logaritmick? nula

Na z?ver uvediem dve identity, ktor? je ?a?k? nazva? vlastnos?ami – sk?r ide o d?sledky z defin?cie logaritmu. Neust?le sa nach?dzaj? v probl?moch a prekvapivo robia probl?my aj „pokro?il?m“ ?iakom.

1. logaa = 1 je. Pam?tajte si raz a nav?dy: logaritmus k ?ubovo?nej z?kladni a z tejto samotnej z?kladne sa rovn? jednej.
2. loga 1 = 0 je. Z?kladom a m??e by? ?oko?vek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Preto?e a0 = 1 je priamym d?sledkom defin?cie.

To s? v?etky vlastnosti. Ur?ite si ich nacvi?te v praxi! Stiahnite si cheat sheet na za?iatku lekcie, vytla?te si ho a vyrie?te probl?my.

Za?nime s vlastnosti logaritmu jednoty. Jeho formul?cia je nasledovn?: logaritmus jednoty sa rovn? nule, tj. log a 1=0 pre ?ubovo?n? a>0, a?1. D?kaz je jednoduch?: ke??e a 0 = 1 pre ?ubovo?n? a, ktor? sp??a vy??ie uveden? podmienky a>0 a a?1 , potom z defin?cie logaritmu okam?ite vypl?va dok?zan? rovnos? log a 1=0.

Uve?me pr?klady aplik?cie uva?ovanej vlastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 a .

Prejdime k ?al?ej vlastnosti: logaritmus ??sla rovn?ho z?kladu sa rovn? jednej, teda log a a=1 pre a>0, a?1. V skuto?nosti, ke??e a 1 =a pre ?ubovo?n? a , potom pod?a defin?cie logaritmu log a a=1 .

Pr?klady pou?itia tejto vlastnosti logaritmov s? log 5 5 = 1 , log 5,6 5,6 a lne = 1 .

Napr?klad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus s??inu dvoch kladn?ch ??sel x a y sa rovn? s??inu logaritmov t?chto ??sel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a?1. Dok??me vlastnos? logaritmu s??inu. Vzh?adom na vlastnosti stup?a a log a x+log a y =a log a x a log a y a ke??e pod?a hlavnej logaritmickej identity log a x =x a log a y = y , potom log a x a log a y =x y . Teda log a x + log a y = x y , z ?oho vypl?va po?adovan? rovnos? pod?a defin?cie logaritmu.

Uk??me si pr?klady pou?itia vlastnosti logaritmu s??inu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnos? logaritmu s??inu mo?no zov?eobecni? na s??in kone?n?ho po?tu n kladn?ch ??sel x 1 , x 2 , …, x n ako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . T?to rovnos? sa d? ?ahko dok?za?.

Napr?klad prirodzen? logaritmus s??inu mo?no nahradi? s??tom troch prirodzen?ch logaritmov ??sel 4 , e a .

Logaritmus podielu dvoch kladn?ch ??sel x a y sa rovn? rozdielu medzi logaritmami t?chto ??sel. Vlastnos? logaritmu podielu zodpoved? vzorcu v tvare , kde a>0 , a?1 , x a y s? nejak? kladn? ??sla. Platnos? tohto vzorca je dok?zan? ako vzorec pre logaritmus s??inu: od , potom pod?a defin?cie logaritmu .

Tu je pr?klad pou?itia tejto vlastnosti logaritmu: .

Prejdime k vlastnos? logaritmu stup?a. Logaritmus stup?a sa rovn? s??inu exponentu a logaritmu modulu b?zy tohto stup?a. T?to vlastnos? logaritmu stup?a zap??eme vo forme vzorca: log a b p =p log a |b|, kde a>0 , a?1, b a p s? ??sla tak?, ?e stupe? b p d?va zmysel a b p > 0 .

Najprv dok??eme t?to vlastnos? pre kladn? b . Z?kladn? logaritmick? identita n?m umo??uje reprezentova? ??slo b ako log a b , potom b p = (a log a b) p a v?sledn? v?raz sa v?aka vlastnosti mocniny rovn? a p log a b . Dostaneme sa teda k rovnosti b p =a p log a b , z ktorej pod?a defin?cie logaritmu us?dime, ?e log a b p = p log a b .

Zost?va dok?za? t?to vlastnos? pre z?porn? b . Tu si v?imneme, ?e v?raz log a b p pre z?porn? b m? zmysel len pre p?rne exponenty p (ke??e hodnota stup?a b p mus? by? v???ia ako nula, inak logaritmus nebude d?va? zmysel) a v tomto pr?pade b p =|b| p . Potom b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odkia? log a b p =p log a |b| .

Napr?klad, a ln(-3)4=4ln|-3|=4ln3.

Vypl?va to z predch?dzaj?cej vlastnosti vlastnos? logaritmu od kore?a: logaritmus odmocniny n-t?ho stup?a sa rovn? s??inu zlomku 1/n a logaritmu kore?ov?ho v?razu, tj. , kde a>0 , a?1 , n je prirodzen? ??slo v???ie ako jedna, b>0 .

D?kaz je zalo?en? na rovnosti (pozri ), ktor? plat? pre ka?d? kladn? b , a na vlastnosti logaritmu stup?a: .

Tu je pr?klad pou?itia tejto vlastnosti: .

Teraz dok??me prevodn? vzorec na nov? z?klad logaritmu mil? . Na to sta?? dok?za? platnos? log c b = log a b log c a . Z?kladn? logaritmick? identita n?m umo??uje reprezentova? ??slo b ako log a b , potom log c b = log c a log a b . Zost?va pou?i? vlastnos? logaritmu stup?a: log c a log a b = log a b log c a. T?m je dok?zan? rovnos? log c b=log a b log c a, ?o znamen?, ?e je dok?zan? aj vzorec pre prechod na nov? z?klad logaritmu.

Uk??me si nieko?ko pr?kladov pou?itia tejto vlastnosti logaritmov: a .

Vzorec na prechod na nov? z?klad?u v?m umo??uje prejs? na pr?cu s logaritmami, ktor? maj? „pohodln?“ z?klad?u. Napr?klad sa d? pou?i? na prepnutie na prirodzen? alebo desiatkov? logaritmy, aby ste mohli vypo??ta? hodnotu logaritmu z tabu?ky logaritmov. Vzorec na prechod na nov? z?klad logaritmu tie? umo??uje v niektor?ch pr?padoch n?js? hodnotu dan?ho logaritmu, ke? s? zn?me hodnoty niektor?ch logaritmov s in?mi z?kladmi.

?asto sa pou??va ?peci?lny pr?pad vzorca na prechod na nov? z?klad logaritmu pre c=b tvaru . To ukazuje, ?e log a b a log b a – . Napr?klad, .

?asto sa pou??va aj vzorec , ?o je u?ito?n? pri h?adan? logaritmick?ch hodn?t. Aby sme potvrdili na?e slov?, uk??eme, ako sa pomocou neho vypo??ta hodnota logaritmu formul?ra. M?me . Na d?kaz vzorca sta?? pou?i? prechodov? vzorec na nov? z?klad logaritmu a: .

Zost?va dok?za? porovn?vacie vlastnosti logaritmov.

Dok??me, ?e pre ak?ko?vek kladn? ??sla b 1 a b 2 plat? b 1 log a b 2 a pre a> 1 nerovnos? log a b 1 =a log a b 2 , откуда в силу основного логарифмического тождества следует, что b 1 >=b 2 . Так мы получили противоречие условию b 1

Nakoniec zost?va dok?za? posledn? z uveden?ch vlastnost? logaritmov. Obmedz?me sa na dok?zanie jeho prvej ?asti, teda dok??eme, ?e ak a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 je pravda log a 1 b>log a 2 b . Ostatn? tvrdenia tejto vlastnosti logaritmov s? dok?zan? podobn?m princ?pom.

Pou?ime opa?n? met?du. Predpokladajme, ?e pre 1 >1 , a 2 >1 a a 1 =log a 2 b , а при b>1 log a 1 b<=log a 2 b je pravda. Pomocou vlastnost? logaritmov mo?no tieto nerovnosti prep?sa? ako a v uvedenom porad? a z nich vypl?va, ?e log b a 1 <= log b a 2 a log b a 1 >= log b a 2, v tomto porad?. Potom, pomocou vlastnost? mocn?n s rovnak?mi z?kladmi, musia by? splnen? rovnosti b log b a 1 >= b log b a 2 a b log b a 1 >= b log b a 2, teda a 1 >=a 2 . Dospeli sme teda k rozporu s podmienkou a 1

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a in? Algebra a za?iatky anal?zy: U?ebnica pre ro?n?ky 10-11 v?eobecn?ch vzdel?vac?ch in?tit?ci?.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (pr?ru?ka pre uch?dza?ov o ?t?dium na technick?ch ?kol?ch).

Vo vz?ahu k

mo?no nastavi? ?lohu n?js? ?ubovo?n? z troch ??sel z ostatn?ch dvoch, ktor? s? dan?. Dan? a a potom N sa zist? umocnen?m. Ak je dan? N a potom sa a n?jde extrahovan?m odmocniny x (alebo umocnen?m). Teraz zv??te pr?pad, ke? je za dan? a a N potrebn? n?js? x.

Nech je ??slo N kladn?: ??slo a je kladn? a nerovn? sa jednej: .

Defin?cia. Logaritmus ??sla N k z?kladu a je exponent, na ktor? mus?te zv??i? a, aby ste dostali ??slo N; logaritmus je ozna?en?

V rovnosti (26.1) sa teda exponent nach?dza ako logaritmus N k z?kladu a. Pr?spevky

maj? rovnak? v?znam. Rovnos? (26.1) sa niekedy naz?va z?kladn? identita te?rie logaritmov; v skuto?nosti vyjadruje defin?ciu pojmu logaritmus. Pod?a tejto defin?cie je z?klad logaritmu a v?dy kladn? a odli?n? od jednoty; logaritmovate?n? ??slo N je kladn?. Z?porn? ??sla a nula nemaj? logaritmy. D? sa dok?za?, ?e ka?d? ??slo s dan?m z?kladom m? dobre definovan? logaritmus. Preto rovnos? znamen? . V?imnite si, ?e podmienka je tu nevyhnutn?, inak by z?ver nebol opodstatnen?, preto?e rovnos? plat? pre v?etky hodnoty x a y.

Pr?klad 1. N?jdite

Rie?enie. Ak chcete z?ska? ??slo, mus?te zv??i? z?klad 2 na silu Preto.

Pri rie?en? tak?chto pr?kladov m??ete zaznamena? v nasleduj?com formul?ri:

Pr?klad 2. N?jdite .

Rie?enie. M?me

V pr?kladoch 1 a 2 sme ?ahko na?li po?adovan? logaritmus reprezentovan?m logaritmovate?n?ho ??sla ako stup?a z?kladne s racion?lnym exponentom. Vo v?eobecnom pr?pade, napr?klad pre at?., to nemo?no urobi?, preto?e logaritmus m? iracion?lnu hodnotu. Venujme pozornos? jednej ot?zke s?visiacej s t?mto tvrden?m. V § 12 sme uviedli pojem mo?nosti ur?enia ?ubovo?nej re?lnej mocniny dan?ho kladn?ho ??sla. Bolo to potrebn? na zavedenie logaritmov, ktor? vo v?eobecnosti m??u by? iracion?lne ??sla.

Zv??te niektor? vlastnosti logaritmov.

Vlastnos? 1. Ak sa ??slo a z?klad rovnaj?, potom sa logaritmus rovn? jednej, a naopak, ak sa logaritmus rovn? jednej, potom sa ??slo a z?klad rovnaj?.

D?kaz. Nech Pod?a defin?cie logaritmu m?me a odkia?

Naopak, nech Potom pod?a defin?cie

Vlastnos? 2. Logaritmus jednoty k ?ubovo?nej z?kladni sa rovn? nule.

D?kaz. Pod?a defin?cie logaritmu (nulov? mocnina ?ubovo?nej kladnej b?zy sa rovn? jednej, pozri (10.1)). Odtia?

Q.E.D.

Plat? aj opa?n? tvrdenie: ak , potom N = 1. V skuto?nosti m?me .

Pred uveden?m nasleduj?cej vlastnosti logaritmov s?hlas?me s tvrden?m, ?e dve ??sla a a b le?ia na rovnakej strane tretieho ??sla c, ak s? obe v???ie ako c alebo men?ie ako c. Ak je jedno z t?chto ??sel v???ie ako c a druh? men?ie ako c, potom hovor?me, ?e le?ia na opa?n?ch stran?ch c.

Vlastnos? 3. Ak ??slo a z?klad le?ia na rovnakej strane jednoty, potom je logaritmus kladn?; ak ??slo a z?klad le?ia na opa?n?ch stran?ch jednoty, potom je logaritmus z?porn?.

D?kaz vlastnosti 3 je zalo?en? na skuto?nosti, ?e stupe? a je v???? ako jedna, ak je z?klad v???? ako jeden a exponent je kladn?, alebo ak je z?klad men?? ako jeden a exponent je z?porn?. Stupe? je men?? ako jedna, ak je z?klad v???? ako jedna a exponent je z?porn?, alebo ak je z?klad men?? ako jedna a exponent je kladn?.

Do ?vahy prich?dzaj? ?tyri pr?pady:

Obmedz?me sa na rozbor prv?ho z nich, zvy?ok si ?itate? zv??i s?m.

Nech potom exponent v rovnosti nie je ani z?porn?, ani rovn? nule, teda je kladn?, t.j., ktor? bolo potrebn? dok?za?.

Pr?klad 3. Zistite, ktor? z nasleduj?cich logaritmov s? kladn? a ktor? z?porn?:

Rie?enie, a) ke??e ??slo 15 a z?klad?a 12 s? umiestnen? na rovnakej strane jednotky;

b) , ke??e 1000 a 2 s? umiestnen? na tej istej strane jednotky; z?rove? nie je podstatn?, ?e z?klad je v???? ako logaritmick? ??slo;

c), ke??e 3,1 a 0,8 le?ia na opa?n?ch stran?ch jednoty;

G); pre?o?

e) ; pre?o?

Nasleduj?ce vlastnosti 4-6 sa ?asto naz?vaj? pravidl? logaritmu: umo??uj?, poznaj?c logaritmy niektor?ch ??sel, n?js? logaritmy ich s??inu, kvocient, stupe? ka?d?ho z nich.

Vlastnos? 4 (pravidlo pre logaritmus s??inu). Logaritmus s??inu nieko?k?ch kladn?ch ??sel v danom z?klade sa rovn? s??tu logaritmov t?chto ??sel v rovnakom z?klade.

D?kaz. Nech s? uveden? kladn? ??sla.

Pre logaritmus ich s??inu nap??eme rovnos? (26.1) definuj?cu logaritmus:

Odtia?to n?jdeme

Porovnan?m exponentov prv?ho a posledn?ho v?razu z?skame po?adovan? rovnos?:

V?imnite si, ?e podmienka je nevyhnutn?; logaritmus s??inu dvoch z?porn?ch ??sel d?va zmysel, ale v tomto pr?pade dostaneme

Vo v?eobecnosti, ak je s??in viacer?ch faktorov kladn?, potom sa jeho logaritmus rovn? s??tu logaritmov modulov t?chto faktorov.

Vlastnos? 5 (pravidlo kvocientov?ho logaritmu). Logaritmus podielu kladn?ch ??sel sa rovn? rozdielu medzi logaritmami dividendy a delite?a v rovnakom z?klade. D?kaz. D?sledne n?js?

Q.E.D.

Vlastnos? 6 (pravidlo logaritmu stup?a). Logaritmus mocniny ?ubovo?n?ho kladn?ho ??sla sa rovn? logaritmu tohto ??sla kr?t exponent.

D?kaz. K ??slu op?? nap??eme hlavn? identitu (26.1):

Q.E.D.

D?sledok. Logaritmus odmocniny kladn?ho ??sla sa rovn? logaritmu odmocniny vydelen?mu exponentom odmocniny:

Platnos? tohto n?sledku m??eme dok?za? prezent?ciou ako a pou?it?m vlastnosti 6.

Pr?klad 4. Logaritmus na z?klad a:

a) (predpoklad? sa, ?e v?etky hodnoty b, c, d, e s? kladn?);

b) (predpoklad? sa, ?e ).

Rie?enie a) V tomto v?raze je vhodn? prejs? na zlomkov? mocniny:

Na z?klade rovnosti (26,5)-(26,7) m??eme teraz nap?sa?:

V?imli sme si, ?e s logaritmami ??sel sa vykon?vaj? jednoduch?ie oper?cie ako s ??slami samotn?mi: pri n?soben? ??sel sa ich logaritmy s??taj?, pri delen? sa od??taj? at?.

Preto sa vo v?po?tovej praxi pou??vaj? logaritmy (pozri § 29).

Akcia inverzn? k logaritmu sa naz?va potenci?cia, menovite: potenci?cia je akcia, pri ktorej sa toto ??slo samo n?jde dan?m logaritmom ??sla. V podstate potenci?cia nie je ?iadna ?peci?lna akcia: ide o zv??enie z?kladne na mocninu (rovnaj?cu sa logaritmu ??sla). Pojem "potenci?cia" mo?no pova?ova? za synonymum pojmu "umocnenie".

Pri potenci?cii je potrebn? pou?i? pravidl?, ktor? s? inverzn? k pravidl?m logaritmu: nahradi? s??et logaritmov logaritmom s??inu, rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu at?. Najm? ak existuje ak?ko?vek faktor pred znamienkom logaritmu, potom sa mus? pri potenci?cii prenies? na stupne indik?tora pod znamienkom logaritmu.

Pr?klad 5. N?jdite N, ak je to zn?me

Rie?enie. V s?vislosti s pr?ve uveden?m potencia?n?m pravidlom sa faktory 2/3 a 1/3, ktor? s? pred znamienkami logaritmov na pravej strane tejto rovnosti, prenes? na exponenty pod znamienkami t?chto logaritmov; dostaneme

Teraz nahrad?me rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu:

aby sme z?skali posledn? zlomok v tomto re?azci rovnosti, oslobodili sme predch?dzaj?ci zlomok od iracionality v menovateli (?as? 25).

Vlastnos? 7. Ak je z?klad v???? ako jedna, potom v???ie ??slo m? v???? logaritmus (a men?ie m? men??), ak je z?klad men?? ako jeden, potom v???ie ??slo m? men?? logaritmus (a men?ie jeden m? v????).

T?to vlastnos? je tie? formulovan? ako pravidlo pre logaritmus nerovnost?, ktor?ch obe ?asti s? kladn?:

Pri logaritmovan? nerovn?c so z?kladom v????m ako jedna sa zachov? znamienko nerovnosti a pri logaritmovan? so z?kladom men??m ako jedna sa znamienko nerovnosti obr?ti (pozri aj bod 80).

D?kaz je zalo?en? na vlastnostiach 5 a 3. Uva?ujme pr?pad, ke? If , then a s pou?it?m logaritmu dostaneme

(a a N/M le?ia na rovnakej strane jednoty). Odtia?

Ak bude nasledova?, ?itate? na to pr?de s?m.

Jedn?m z prvkov algebry primit?vnych ?rovn? je logaritmus. N?zov poch?dza z gr?ckeho jazyka zo slova „??slo“ alebo „stupe?“ a znamen? stupe?, o ktor? je potrebn? zv??i? ??slo na z?kladni, aby sa zistilo kone?n? ??slo.

Typy logaritmov

• log a b je logaritmus ??sla b k z?kladu a (a > 0, a ? 1, b > 0);
• lg b - desiatkov? logaritmus (z?klad logaritmu 10, a = 10);
• ln b - prirodzen? logaritmus (z?klad logaritmu e, a = e).

Ako vyrie?i? logaritmy?

Logaritmus ??sla b k z?kladu a je exponent, ktor? vy?aduje, aby z?klad a bol zv??en? na ??slo b. V?sledok sa vyslovuje takto: „logaritmus b na z?klad?u a“. Rie?en?m logaritmick?ch probl?mov je, ?e dan? stupe? mus?te ur?i? ??slami pod?a zadan?ch ??sel. Existuje nieko?ko z?kladn?ch pravidiel na ur?enie alebo rie?enie logaritmu, ako aj na transform?ciu samotn?ho z?pisu. Pomocou nich sa rie?ia logaritmick? rovnice, nach?dzaj? sa deriv?cie, rie?ia sa integr?ly a vykon?va sa mnoho ?al??ch oper?ci?. V z?sade je rie?en?m samotn?ho logaritmu jeho zjednodu?en? z?pis. Ni??ie s? uveden? hlavn? vzorce a vlastnosti:

Pre ak?ko?vek a ; a > 0; a ? 1 a pre ?ubovo?n? x; y > 0.

• a log a b = b je z?kladn? logaritmick? identita
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, pre k ? 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - vzorec pre prechod na nov? z?klad
• log a x = 1/log x a

Ako rie?i? logaritmy - pokyny na rie?enie krok za krokom

• Najprv si zap??te po?adovan? rovnicu.

Pozn?mka: ak je z?kladn? logaritmus 10, z?znam sa skr?ti a z?ska sa desiatkov? logaritmus. Ak existuje prirodzen? ??slo e, zap??eme ho a zredukujeme na prirodzen? logaritmus. Znamen? to, ?e v?sledkom v?etk?ch logaritmov je mocnina, na ktor? sa z?kladn? ??slo zv??i, aby sa z?skalo ??slo b.

Priamo rie?enie spo??va vo v?po?te tohto stup?a. Pred rie?en?m v?razu s logaritmom je potrebn? ho zjednodu?i? pod?a pravidla, teda pomocou vzorcov. Hlavn? identity n?jdete tak, ?e sa v ?l?nku vr?tite trochu sp??.

Pri s??tan? a od??tan? logaritmov s dvoma r?znymi ??slami, ale s rovnak?m z?kladom, nahra?te jedin?m logaritmom s??in alebo delenie ??sel b a c. V tomto pr?pade m??ete pou?i? prechodov? vzorec na in? z?klad (pozri vy??ie).

Ak pou??vate v?razy na zjednodu?enie logaritmu, mus?te si uvedomi? ur?it? obmedzenia. A to je: z?klad logaritmu a je iba kladn? ??slo, ale nie je rovn? jednej. ??slo b, podobne ako a, mus? by? v???ie ako nula.

Existuj? pr?pady, ke? po zjednodu?en? v?razu nebudete m?c? vypo??ta? logaritmus v ??selnej forme. St?va sa, ?e tak?to v?raz ned?va zmysel, preto?e mnoh? stupne s? iracion?lne ??sla. Za tejto podmienky ponechajte mocninu ??sla ako logaritmus.

(z gr?ckeho logos - "slovo", "vz?ah" a ?rithmos - "??slo") b pod?a rozumu a(log a b) sa naz?va tak?to ??slo c, a b= a c, teda log a b=c a b=ac s? ekvivalentn?. Logaritmus m? zmysel, ak a > 0, a ? 1, b > 0.

In?mi slovami logaritmus??sla b pod?a rozumu a formulovan? ako exponent, na ktor? sa mus? ??slo zv??i? a z?ska? ??slo b(logaritmus existuje len pre kladn? ??sla).

Z tejto formul?cie vypl?va, ?e v?po?et x= log a b, je ekvivalentn? rie?eniu rovnice a x =b.

Napr?klad:

log 2 8 = 3 preto?e 8 = 2 3 .

Upozor?ujeme, ?e uveden? formul?cia logaritmu umo??uje okam?ite ur?i? logaritmick? hodnotu ke? ??slo pod znamienkom logaritmu je ur?it? mocnina z?kladu. Formul?cia logaritmu skuto?ne umo??uje zd?vodni?, ?e ak b = a c, potom logaritmus ??sla b pod?a rozumu a rovn? sa s. Je tie? zrejm?, ?e t?ma logaritmu ?zko s?vis? s t?mou stupe? ??sla.

Odvol?vame sa na v?po?et logaritmu logaritmus. Logaritmus je matematick? oper?cia logaritmu. Pri logaritmovan? sa s??in faktorov transformuje na s??ty ?lenov.

Potencovanie je matematick? oper?cia inverzn? k logaritmu. Pri potenci?cii sa dan? z?klad pozdvihne na silu v?razu, na ktorom sa potenci?cia vykon?va. V tomto pr?pade sa s??ty ?lenov transformuj? na s??in faktorov.

Pomerne ?asto sa pou??vaj? re?lne logaritmy so z?kladmi 2 (bin?rne), e Eulerov?m ??slom e ? 2,718 (prirodzen? logaritmus) a 10 (desatinn?).

V tejto f?ze to stoj? za zv??enie vzorky logaritmov denn?k 7 2 , ln ? 5, lg0,0001.

A polo?ky lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 ned?vaj? zmysel, preto?e v prvom z nich je z?porn? ??slo umiestnen? pod znamienkom logaritmu, v druhom - z?porn? ??slo v z?klad a v tre?om - a z?porn? ??slo pod znamienkom logaritmu a jednotky v z?klade.

Podmienky na ur?enie logaritmu.

Samostatne sa oplat? zv??i? podmienky a > 0, a ? 1, b > 0. defin?cia logaritmu. Pozrime sa, pre?o s? tieto obmedzenia prijat?. To n?m pom??e s rovnos?ou tvaru x = log a b, naz?van? z?kladn? logaritmick? identita, ktor? priamo vypl?va z defin?cie logaritmu uvedenej vy??ie.

Vezmite si podmienku a?1. Ke??e jedna sa rovn? jednej akejko?vek mocnine, potom rovnos? x=log a b m??e existova? len vtedy b = 1, ale log 1 1 bude ak?ko?vek re?lne ??slo. Aby sme t?to nejednozna?nos? odstr?nili, berieme a?1.

Dok??me nevyhnutnos? podmienky a>0. O a=0 pod?a formul?cie logaritmu m??e existova? len vtedy b = 0. A potom pod?a toho log 0 0 m??e by? ak?ko?vek nenulov? re?lne ??slo, preto?e nula a? ak?ko?vek nenulov? mocnina je nula. Na odstr?nenie tejto nejednozna?nosti podmienka a?0. A kedy a<0 museli by sme odmietnu? anal?zu racion?lnych a iracion?lnych hodn?t logaritmu, preto?e exponent s racion?lnym a iracion?lnym exponentom je definovan? len pre nez?porn? z?klady. Pr?ve z tohto d?vodu je podmienka a>0.

A posledn? podmienka b>0 vypl?va z nerovnosti a>0, preto?e x=log a b, a hodnotu stup?a s kladn?m z?kladom a v?dy pozit?vny.

Vlastnosti logaritmov.

Logaritmy vyzna?uj?ce sa v?razn?m Vlastnosti, ?o viedlo k ich ?irok?mu pou?itiu, ?o v?razne u?ah?ilo starostliv? v?po?ty. Pri prechode „do sveta logaritmov“ sa n?sobenie premen? na ove?a jednoduch?ie s??tanie, delenie na od??tanie, umoc?ovanie a odmoc?ovanie na n?sobenie a delenie exponentom.

Formul?ciu logaritmov a tabu?ku ich hodn?t (pre goniometrick? funkcie) prv?kr?t publikoval v roku 1614 ?k?tsky matematik John Napier. Logaritmick? tabu?ky, roz??ren? a podrobn? in?mi vedcami, boli ?iroko pou??van? vo vedeck?ch a in?inierskych v?po?toch a zostali relevantn?, k?m sa neza?ali pou??va? elektronick? kalkula?ky a po??ta?e.