Vo vz?ahu k

mo?no nastavi? ?lohu n?js? ?ubovo?n? z troch ??sel z ostatn?ch dvoch, ktor? s? dan?. Dan? a a potom N sa zist? umocnen?m. Ak je dan? N a potom sa a n?jde extrahovan?m odmocniny x (alebo umocnen?m). Teraz zv??te pr?pad, ke? je za dan? a a N potrebn? n?js? x.

Nech je ??slo N kladn?: ??slo a je kladn? a nerovn? sa jednej: .

Defin?cia. Logaritmus ??sla N k z?kladu a je exponent, na ktor? mus?te zv??i? a, aby ste dostali ??slo N; logaritmus je ozna?en?

V rovnosti (26.1) sa teda exponent nach?dza ako logaritmus N k z?kladu a. Pr?spevky

maj? rovnak? v?znam. Rovnos? (26.1) sa niekedy naz?va z?kladn? identita te?rie logaritmov; v skuto?nosti vyjadruje defin?ciu pojmu logaritmus. Pod?a tejto defin?cie je z?klad logaritmu a v?dy kladn? a odli?n? od jednoty; logaritmovate?n? ??slo N je kladn?. Z?porn? ??sla a nula nemaj? logaritmy. D? sa dok?za?, ?e ka?d? ??slo s dan?m z?kladom m? dobre definovan? logaritmus. Preto rovnos? znamen? . V?imnite si, ?e podmienka je tu nevyhnutn?, inak by z?ver nebol opodstatnen?, preto?e rovnos? plat? pre v?etky hodnoty x a y.

Pr?klad 1. N?jdite

Rie?enie. Ak chcete z?ska? ??slo, mus?te zv??i? z?klad 2 na silu Preto.

Pri rie?en? tak?chto pr?kladov m??ete zaznamena? v nasleduj?com formul?ri:

Pr?klad 2. N?jdite .

Rie?enie. M?me

V pr?kladoch 1 a 2 sme ?ahko na?li po?adovan? logaritmus reprezentovan?m logaritmovate?n?ho ??sla ako stup?a z?kladne s racion?lnym exponentom. Vo v?eobecnom pr?pade, napr?klad pre at?., to nemo?no urobi?, preto?e logaritmus m? iracion?lnu hodnotu. Venujme pozornos? jednej ot?zke s?visiacej s t?mto tvrden?m. V § 12 sme uviedli pojem mo?nosti ur?enia ?ubovo?nej re?lnej mocniny dan?ho kladn?ho ??sla. Bolo to potrebn? na zavedenie logaritmov, ktor? vo v?eobecnosti m??u by? iracion?lne ??sla.

Zv??te niektor? vlastnosti logaritmov.

Vlastnos? 1. Ak sa ??slo a z?klad rovnaj?, potom sa logaritmus rovn? jednej, a naopak, ak sa logaritmus rovn? jednej, potom sa ??slo a z?klad rovnaj?.

D?kaz. Nech Pod?a defin?cie logaritmu m?me a odkia?

Naopak, nech Potom pod?a defin?cie

Vlastnos? 2. Logaritmus jednoty k ?ubovo?nej z?kladni sa rovn? nule.

D?kaz. Pod?a defin?cie logaritmu (nulov? mocnina ?ubovo?nej kladnej b?zy sa rovn? jednej, pozri (10.1)). Odtia?

Q.E.D.

Plat? aj opa?n? tvrdenie: ak , potom N = 1. V skuto?nosti m?me .

Pred uveden?m nasleduj?cej vlastnosti logaritmov s?hlas?me s tvrden?m, ?e dve ??sla a a b le?ia na rovnakej strane tretieho ??sla c, ak s? obe v???ie ako c alebo men?ie ako c. Ak je jedno z t?chto ??sel v???ie ako c a druh? men?ie ako c, potom hovor?me, ?e le?ia na opa?n?ch stran?ch c.

Vlastnos? 3. Ak ??slo a z?klad le?ia na rovnakej strane jednoty, potom je logaritmus kladn?; ak ??slo a z?klad le?ia na opa?n?ch stran?ch jednoty, potom je logaritmus z?porn?.

D?kaz vlastnosti 3 je zalo?en? na skuto?nosti, ?e stupe? a je v???? ako jedna, ak je z?klad v???? ako jeden a exponent je kladn?, alebo ak je z?klad men?? ako jeden a exponent je z?porn?. Stupe? je men?? ako jedna, ak je z?klad v???? ako jedna a exponent je z?porn?, alebo ak je z?klad men?? ako jedna a exponent je kladn?.

Do ?vahy prich?dzaj? ?tyri pr?pady:

Obmedz?me sa na rozbor prv?ho z nich, zvy?ok si ?itate? zv??i s?m.

Nech potom exponent v rovnosti nie je ani z?porn?, ani rovn? nule, teda je kladn?, t.j., ktor? bolo potrebn? dok?za?.

Pr?klad 3. Zistite, ktor? z nasleduj?cich logaritmov s? kladn? a ktor? z?porn?:

Rie?enie, a) ke??e ??slo 15 a z?klad?a 12 s? umiestnen? na rovnakej strane jednotky;

b) , ke??e 1000 a 2 s? umiestnen? na tej istej strane jednotky; z?rove? nie je podstatn?, ?e z?klad je v???? ako logaritmick? ??slo;

c), ke??e 3,1 a 0,8 le?ia na opa?n?ch stran?ch jednoty;

G); pre?o?

e) ; pre?o?

Nasleduj?ce vlastnosti 4-6 sa ?asto naz?vaj? pravidl? logaritmu: umo??uj?, poznaj?c logaritmy niektor?ch ??sel, n?js? logaritmy ich s??inu, kvocient, stupe? ka?d?ho z nich.

Vlastnos? 4 (pravidlo pre logaritmus s??inu). Logaritmus s??inu nieko?k?ch kladn?ch ??sel v danom z?klade sa rovn? s??tu logaritmov t?chto ??sel v rovnakom z?klade.

D?kaz. Nech s? uveden? kladn? ??sla.

Pre logaritmus ich s??inu nap??eme rovnos? (26.1) definuj?cu logaritmus:

Odtia?to n?jdeme

Porovnan?m exponentov prv?ho a posledn?ho v?razu z?skame po?adovan? rovnos?:

V?imnite si, ?e podmienka je nevyhnutn?; logaritmus s??inu dvoch z?porn?ch ??sel d?va zmysel, ale v tomto pr?pade dostaneme

Vo v?eobecnosti, ak je s??in viacer?ch faktorov kladn?, potom sa jeho logaritmus rovn? s??tu logaritmov modulov t?chto faktorov.

Vlastnos? 5 (pravidlo kvocientov?ho logaritmu). Logaritmus podielu kladn?ch ??sel sa rovn? rozdielu medzi logaritmami dividendy a delite?a v rovnakom z?klade. D?kaz. D?sledne n?js?

Q.E.D.

Vlastnos? 6 (pravidlo logaritmu stup?a). Logaritmus mocniny ?ubovo?n?ho kladn?ho ??sla sa rovn? logaritmu tohto ??sla kr?t exponent.

D?kaz. K ??slu op?? nap??eme hlavn? identitu (26.1):

Q.E.D.

D?sledok. Logaritmus odmocniny kladn?ho ??sla sa rovn? logaritmu odmocniny vydelen?mu exponentom odmocniny:

Platnos? tohto n?sledku m??eme dok?za? prezent?ciou ako a pou?it?m vlastnosti 6.

Pr?klad 4. Logaritmus na z?klad a:

a) (predpoklad? sa, ?e v?etky hodnoty b, c, d, e s? kladn?);

b) (predpoklad? sa, ?e ).

Rie?enie a) V tomto v?raze je vhodn? prejs? na zlomkov? mocniny:

Na z?klade rovnosti (26,5)-(26,7) m??eme teraz nap?sa?:

V?imli sme si, ?e s logaritmami ??sel sa vykon?vaj? jednoduch?ie oper?cie ako s ??slami samotn?mi: pri n?soben? ??sel sa ich logaritmy s??taj?, pri delen? sa od??taj? at?.

Preto sa vo v?po?tovej praxi pou??vaj? logaritmy (pozri § 29).

Akcia inverzn? k logaritmu sa naz?va potenci?cia, menovite: potenci?cia je akcia, ktorou sa toto ??slo samo n?jde pomocou dan?ho logaritmu ??sla. V podstate potenci?cia nie je ?iadna ?peci?lna akcia: ide o zv??enie z?kladne na mocninu (rovnaj?cu sa logaritmu ??sla). Pojem "potenci?cia" mo?no pova?ova? za synonymum pojmu "umocnenie".

Pri potenci?cii je potrebn? pou?i? pravidl?, ktor? s? inverzn? k pravidl?m logaritmu: nahradi? s??et logaritmov logaritmom s??inu, rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu at?. Najm? ak existuje ak?ko?vek faktor pred znamienkom logaritmu, potom sa mus? pri potenci?cii prenies? na stupne indik?tora pod znamienkom logaritmu.

Pr?klad 5. N?jdite N, ak je to zn?me

Rie?enie. V s?vislosti s pr?ve uveden?m potencia?n?m pravidlom sa faktory 2/3 a 1/3, ktor? s? pred znamienkami logaritmov na pravej strane tejto rovnosti, prenes? na exponenty pod znamienkami t?chto logaritmov; dostaneme

Teraz nahrad?me rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu:

aby sme z?skali posledn? zlomok v tomto re?azci rovnosti, oslobodili sme predch?dzaj?ci zlomok od iracionality v menovateli (?as? 25).

Vlastnos? 7. Ak je z?klad v???? ako jedna, potom v???ie ??slo m? v???? logaritmus (a men?ie m? men??), ak je z?klad men?? ako jeden, potom v???ie ??slo m? men?? logaritmus (a men?ie jeden m? v????).

T?to vlastnos? je tie? formulovan? ako pravidlo pre logaritmus nerovnost?, ktor?ch obe ?asti s? kladn?:

Pri logaritmovan? nerovn?c so z?kladom v????m ako jedna sa zachov? znamienko nerovnosti a pri logaritmovan? so z?kladom men??m ako jedna sa znamienko nerovnosti obr?ti (pozri aj bod 80).

D?kaz je zalo?en? na vlastnostiach 5 a 3. Uva?ujme pr?pad, ke? Ak , potom a logaritmicky dostaneme

(a a N/M le?ia na rovnakej strane jednoty). Odtia?

Ak bude nasledova?, ?itate? na to pr?de s?m.

Va?e s?kromie je pre n?s d?le?it?. Z tohto d?vodu sme vyvinuli Z?sady ochrany osobn?ch ?dajov, ktor? popisuj?, ako pou??vame a uchov?vame va?e inform?cie. Pre??tajte si pros?m na?e z?sady ochrany osobn?ch ?dajov a ak m?te nejak? ot?zky, dajte n?m vedie?.

Zhroma??ovanie a pou??vanie osobn?ch ?dajov

Osobn? ?daje s? ?daje, ktor? mo?no pou?i? na identifik?ciu alebo kontaktovanie konkr?tnej osoby.

Ke? n?s budete kontaktova?, m??ete by? kedyko?vek po?iadan? o poskytnutie svojich osobn?ch ?dajov.

Nasleduje nieko?ko pr?kladov typov osobn?ch ?dajov, ktor? m??eme zhroma??ova?, a ako m??eme tieto inform?cie pou?i?.

Ak? osobn? ?daje zhroma??ujeme:

• Ke? odo?lete ?iados? na str?nke, m??eme zhroma??ova? r?zne inform?cie vr?tane v??ho mena, telef?nneho ??sla, e-mailovej adresy at?.

Ako pou??vame va?e osobn? ?daje:

• Osobn? ?daje, ktor? zhroma??ujeme, n?m umo??uj? kontaktova? v?s a informova? v?s o jedine?n?ch ponuk?ch, akci?ch a in?ch akci?ch a pripravovan?ch akci?ch.
• Z ?asu na ?as m??eme pou?i? va?e osobn? ?daje, aby sme v?m posielali d?le?it? upozornenia a komunik?ciu.
• Osobn? ?daje m??eme pou?i? aj na intern? ??ely, ako je vykon?vanie auditov, anal?za ?dajov a r?zne v?skumy, aby sme zlep?ili slu?by, ktor? poskytujeme, a poskytli v?m odpor??ania t?kaj?ce sa na?ich slu?ieb.
• Ak sa z??astn?te ?rebovania o ceny, s??a?e alebo podobn?ho stimulu, m??eme pou?i? inform?cie, ktor? n?m poskytnete, na spravovanie tak?chto programov.

Spr?stupnenie tret?m stran?m

Inform?cie, ktor? od v?s dostaneme, nezverej?ujeme tret?m stran?m.

V?nimky:

• V pr?pade, ?e je potrebn? – v s?lade so z?konom, s?dnym poriadkom, v s?dnom konan? a/alebo na z?klade verejn?ch ?iadost? alebo ?iadost? ?t?tnych org?nov na ?zem? Ruskej feder?cie – zverejni? va?e osobn? ?daje. M??eme tie? zverejni? inform?cie o v?s, ak zist?me, ?e tak?to zverejnenie je potrebn? alebo vhodn? na ??ely bezpe?nosti, presadzovania pr?va alebo in?ho verejn?ho z?ujmu.
• V pr?pade reorganiz?cie, zl??enia alebo predaja m??eme osobn? ?daje, ktor? zhroma??ujeme, prenies? na pr?slu?n? tretiu stranu, n?stupcu.

Ochrana osobn?ch ?dajov

Prij?mame opatrenia – vr?tane administrat?vnych, technick?ch a fyzick?ch – na ochranu va?ich osobn?ch ?dajov pred stratou, kr?de?ou a zneu?it?m, ako aj pred neopr?vnen?m pr?stupom, zverejnen?m, zmenou a zni?en?m.

Zachovanie v??ho s?kromia na ?rovni spolo?nosti

Aby sme zaistili bezpe?nos? va?ich osobn?ch ?dajov, informujeme na?ich zamestnancov o postupoch ochrany osobn?ch ?dajov a zabezpe?enia a pr?sne presadzujeme postupy ochrany osobn?ch ?dajov.

Logaritmus b (b > 0) na z?klad a (a > 0, a ? 1) je exponent, na ktor? mus?te zv??i? ??slo a, aby ste dostali b.

Logaritmus z?kladu 10 z b mo?no zap?sa? ako log(b) a logaritmus na z?klad e (prirodzen? logaritmus) - ln(b).

?asto sa pou??va pri rie?en? probl?mov s logaritmami:

Vlastnosti logaritmov

Existuj? ?tyri hlavn? vlastnosti logaritmov.

Nech a > 0, a ? 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnos? 1. Logaritmus s??inu

Logaritmus produktu sa rovn? s??tu logaritmov:

log a (x ? y) = log a x + log a y

Vlastnos? 2. Logaritmus kvocientu

Logaritmus kvocientu sa rovn? rozdielu logaritmov:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnos? 3. Logaritmus stup?a

Logaritmus stup?ov sa rovn? s??inu stup?a a logaritmu:

Ak je z?klad logaritmu v exponente, potom plat? in? vzorec:

Vlastnos? 4. Logaritmus kore?a

T?to vlastnos? mo?no z?ska? z vlastnosti logaritmu stup?a, preto?e kore? n-t?ho stup?a sa rovn? mocnine 1/n:

Vzorec na prechod od logaritmu na jednej b?ze k logaritmu na inej b?ze

Tento vzorec sa tie? ?asto pou??va pri rie?en? r?znych ?loh pre logaritmy:

?peci?lny pr?pad:

Porovnanie logaritmov (nerovnost?)

Predpokladajme, ?e m?me 2 funkcie f(x) a g(x) pod logaritmami s rovnak?mi z?klad?ami a medzi nimi je znamienko nerovnosti:

Ak ich chcete porovna?, mus?te sa najprv pozrie? na z?klad logaritmov a:

• Ak a > 0, potom f(x) > g(x) > 0
• Ak 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Ako rie?i? probl?my s logaritmami: pr?klady

?lohy s logaritmami zahrnut? v POU?IT? z matematiky pre 11. ro?n?k v ?lohe 5 a ?lohe 7 n?jdete ?lohy s rie?en?m na na?ej str?nke v pr?slu?n?ch sekci?ch. V banke ?loh z matematiky sa nach?dzaj? aj ?lohy s logaritmami. V?etky pr?klady n?jdete na str?nke.

?o je logaritmus

Logaritmy boli v?dy pova?ovan? za n?ro?n? t?mu v kurze ?kolskej matematiky. Existuje mnoho r?znych defin?ci? logaritmu, ale z nejak?ho d?vodu v???ina u?ebn?c pou??va tie najzlo?itej?ie a najne??astnej?ie z nich.

Logaritmus definujeme jednoducho a jasne. Na to vytvor?me tabu?ku:

Tak?e m?me mocniny dvoch.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, ako rie?i?

Ak vezmete ??slo zo spodn?ho riadku, potom m??ete ?ahko n?js? silu, na ktor? mus?te zdvihn?? dvojku, aby ste z?skali toto ??slo. Napr?klad, ak chcete z?ska? 16, mus?te zv??i? dve na ?tvrt? mocninu. A aby ste z?skali 64, mus?te zv??i? dve na ?iestu mocninu. To je mo?n? vidie? z tabu?ky.

A teraz - v skuto?nosti defin?cia logaritmu:

z?klad a argumentu x je mocnina, na ktor? treba zv??i? ??slo a, aby sme dostali ??slo x.

Z?pis: log a x \u003d b, kde a je z?klad, x je argument, b je v skuto?nosti to, ?omu sa rovn? logaritmus.

Napr?klad 2 3 = 8 => log 2 8 = 3 (z?kladn? 2 logaritmus ??sla 8 je tri, preto?e 2 3 = 8). M??e tie? log 2 64 = 6, preto?e 2 6 = 64.

Zavol? sa oper?cia h?adania logaritmu ??sla k dan?mu z?kladu. Pridajme teda do tabu?ky nov? riadok:

Bohu?ia?, nie v?etky logaritmy sa daj? tak ?ahko zv??i?. Sk?ste napr?klad n?js? log 2 5. ??slo 5 nie je v tabu?ke, ale logika diktuje, ?e logaritmus bude le?a? niekde na intervale. Preto?e 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tak?to ??sla sa naz?vaj? iracion?lne: ??sla za desatinnou ?iarkou mo?no p?sa? donekone?na a nikdy sa neopakuj?. Ak sa logaritmus uk??e ako iracion?lny, je lep?ie ho necha? takto: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je d?le?it? pochopi?, ?e logaritmus je v?raz s dvoma premenn?mi (z?klad a argument). Mnoho ?ud? si spo?iatku m?li, kde je z?klad a kde je argument. Aby ste predi?li nepr?jemn?m nedorozumeniam, sta?? sa pozrie? na obr?zok:

Pred nami nie je ni? in? ako defin?cia logaritmu. Pam?tajte: logaritmus je sila, ku ktorej potrebujete zv??i? z?klad, aby ste dostali argument. Pr?ve z?klad je mocne vyv??en? - na obr?zku je zv?raznen? ?ervenou farbou. Ukazuje sa, ?e z?klad?a je v?dy na dne! Toto ??asn? pravidlo hovor?m svojim ?tudentom na prvej hodine - a nie je tam ?iadny zm?tok.

Ako po??ta? logaritmy

Pri?li sme na defin?ciu - zost?va sa nau?i? po??ta? logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na za?iatok si v?imneme, ?e z defin?cie vypl?vaj? dve d?le?it? skuto?nosti:

1. Argument a z?klad musia by? v?dy v???ie ako nula. Vypl?va to z defin?cie stup?a racion?lnym exponentom, na ktor? je zredukovan? defin?cia logaritmu.
2. Z?klad sa mus? l??i? od jednoty, preto?e jednotka k akejko?vek moci je st?le jednotkou. Z tohto d?vodu je ot?zka „na ak? silu treba pozdvihn??, aby ste dostali dvojku“ nezmyseln?. Tak? stupe? neexistuje!

Tak?to obmedzenia s? tzv platn? rozsah(ODZ). Ukazuje sa, ?e ODZ logaritmu vyzer? takto: log a x = b => x > 0, a > 0, a ? 1.

V?imnite si, ?e neexistuj? ?iadne obmedzenia na ??slo b (hodnota logaritmu) nie je ulo?en?. Napr?klad logaritmus m??e by? z?porn?: log 2 0,5 = -1, preto?e 0,5 = 2 -1.

Teraz v?ak uva?ujeme iba o ??seln?ch v?razoch, kde nie je potrebn? pozna? ODZ logaritmu. V?etky obmedzenia u? spracovatelia probl?mov vzali do ?vahy. Ke? v?ak do hry vst?pia logaritmick? rovnice a nerovnosti, po?iadavky DHS sa stan? povinn?mi. Skuto?ne, v z?klade a argumente m??u by? ve?mi siln? kon?trukcie, ktor? nemusia nevyhnutne zodpoveda? vy??ie uveden?m obmedzeniam.

Teraz zv??te v?eobecn? sch?mu na v?po?et logaritmov. Pozost?va z troch krokov:

1. Vyjadrite z?klad a a argument x ako mocninu s najmen??m mo?n?m z?kladom v????m ako jedna. Po ceste je lep?ie zbavi? sa desatinn?ch zlomkov;
2. Rie?te rovnicu pre premenn? b: x = a b ;
3. V?sledn? ??slo b bude odpove?ou.

To je v?etko! Ak sa logaritmus uk??e ako iracion?lny, bude to vidie? u? v prvom kroku. Po?iadavka, aby bol z?klad v???? ako jedna, je ve?mi d?le?it?: zni?uje sa t?m pravdepodobnos? chyby a v?razne sa zjednodu?uj? v?po?ty. Podobne je to aj s desatinn?mi zlomkami: ak ich hne? prevediete na oby?ajn?, ch?b bude mnohon?sobne menej.

Pozrime sa, ako t?to sch?ma funguje na konkr?tnych pr?kladoch:

?loha. Vypo??tajte logaritmus: log 5 25

1. Predstavme si z?klad a argument ako mocninu p??ky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Zostavme a vyrie?ime rovnicu:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Dostal odpove?: 2.

?loha. Vypo??tajte logaritmus:

?loha. Vypo??tajte logaritmus: log 4 64

1. Predstavme si z?klad a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Zostavme a vyrie?ime rovnicu:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Dostal odpove?: 3.

?loha. Vypo??tajte logaritmus: log 16 1

1. Predstavme si z?klad a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Zostavme a vyrie?ime rovnicu:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Prijat? odpove?: 0.

?loha. Vypo??tajte logaritmus: log 7 14

1. Predstavme z?klad a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nie je vyjadren? ako mocnina siedmich, preto?e 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z predch?dzaj?ceho odseku vypl?va, ?e logaritmus sa neuva?uje;
3. Odpove? je ?iadna zmena: log 7 14.

Mal? pozn?mka k posledn?mu pr?kladu. Ako sa uisti?, ?e ??slo nie je presnou mocninou in?ho ??sla? Ve?mi jednoduch? – sta?? to rozlo?i? na prvo?inite?a. Ak s? v expanzii aspo? dva r?zne faktory, ??slo nie je presnou mocninou.

?loha. Zistite, ?i s? presn? mocniny ??sla: 8; 48; 81; 35; ?trn?s?.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - presn? stupe?, preto?e existuje len jeden multiplik?tor;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nie je presn? mocnina, preto?e existuj? dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - presn? stupe?;
35 = 7 5 - op?? nie presn? stupe?;
14 \u003d 7 2 - op?? nie presn? stupe?;

V?imnite si tie?, ?e samotn? prvo??sla s? v?dy presn? mocniny sam?ch seba.

Desatinn? logaritmus

Niektor? logaritmy s? tak? be?n?, ?e maj? ?peci?lny n?zov a ozna?enie.

argumentu x je z?kladn? 10 logaritmus, t.j. mocnina, na ktor? sa mus? zv??i? 10, aby sa z?skalo x. Ozna?enie: lgx.

Napr?klad log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - at?.

Ke? odteraz uvid?te v u?ebnici fr?zu ako „N?js? lg 0,01“, vedzte, ?e to nie je preklep. Toto je desiatkov? logaritmus. Ak v?ak na tak?to ozna?enie nie ste zvyknut?, v?dy ho m??ete prep?sa?:
log x = log 10 x

V?etko, ?o plat? pre be?n? logaritmy, plat? aj pre desatinn? miesta.

prirodzen? logaritmus

Existuje ?al?? logaritmus, ktor? m? svoj vlastn? z?pis. V istom zmysle je e?te d?le?itej?ia ako desatinn?. Toto je prirodzen? logaritmus.

argumentu x je logaritmus k z?kladu e, t.j. mocnina, na ktor? treba zv??i? ??slo e, aby sme dostali ??slo x. Ozna?enie: lnx.

Mnoh? sa bud? p?ta?: ak? je ??slo e? Ide o iracion?lne ??slo, jeho presn? hodnota sa ned? n?js? a zap?sa?. Tu s? len prv? ??sla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme sa ponori? do toho, ?o je toto ??slo a pre?o je to potrebn?. Pam?tajte, ?e e je z?kladom prirodzen?ho logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1; loge2 = 2; ln e 16 = 16 - at?. Na druhej strane, ln 2 je iracion?lne ??slo. Vo v?eobecnosti je prirodzen? logaritmus ak?hoko?vek racion?lneho ??sla iracion?lny. Samozrejme okrem jednoty: ln 1 = 0.

Pre prirodzen? logaritmy platia v?etky pravidl?, ktor? platia pre be?n? logaritmy.

Pozri tie?:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnos? logaritmu).

Ako zn?zorni? ??slo ako logaritmus?

Pou??vame defin?ciu logaritmu.

Logaritmus je indik?torom sily, na ktor? mus? by? z?klad?a zv??en?, aby sa ??slo dostalo pod znamienko logaritmu.

Aby sme teda mohli reprezentova? ur?it? ??slo c ako logaritmus so z?kladom a, je potrebn? umiestni? pod znamienko logaritmu stupe? s rovnak?m z?kladom ako z?klad logaritmu a zap?sa? toto ??slo c do exponentu :

Vo forme logaritmu m??ete reprezentova? absol?tne ak?ko?vek ??slo - kladn?, z?porn?, cel? ??slo, zlomkov?, racion?lne, iracion?lne:

Aby nedo?lo k z?mene p?smen a a c v stresov?ch podmienkach testu alebo sk??ky, m??ete si zapam?ta? nasleduj?ce pravidlo:

?o je dole, ide dole, ?o je hore, ide hore.

Napr?klad chcete reprezentova? ??slo 2 ako logaritmus k z?kladu 3.

M?me dve ??sla - 2 a 3. Tieto ??sla s? z?klad a exponent, ktor? zap??eme pod znamienko logaritmu. Zost?va ur?i?, ktor? z t?chto ??sel by sa malo zap?sa? do z?kladu stup?a a ktor? - hore do exponentu.

Z?klad 3 v z?zname logaritmu je naspodku, ?o znamen?, ?e ke? zn?zorn?me dvojku ako logaritmus k z?kladu 3, zap??eme aj 3 k z?kladu.

2 je vy??ia ako 3. A v z?pise stup?a nap??eme dvojku nad tri, teda v exponente:

Logaritmy. Prv? ?rove?.

Logaritmy

logaritmus kladn? ??slo b pod?a rozumu a, kde a > 0, a ? 1, je exponent, na ktor? sa mus? ??slo zv??i?. a, Z?ska? b.

Defin?cia logaritmu d? sa to stru?ne nap?sa? takto:

T?to rovnos? plat? pre b > 0, a > 0, a ? 1. Zvy?ajne je tzv logaritmick? identita.
Vol? sa akcia n?jdenia logaritmu ??sla logaritmus.

Vlastnosti logaritmov:

Logaritmus produktu:

Logaritmus podielu z delenia:

Nahradenie z?kladne logaritmu:

Logaritmus stup?ov:

kore?ov? logaritmus:

Logaritmus s v?konovou z?klad?ou:

Desatinn? a prirodzen? logaritmy.

Desatinn? logaritmus??sla volaj? z?kladn? 10 logaritmus tohto ??sla a p??u   lg b
prirodzen? logaritmus??sla volaj? logaritmus tohto ??sla k z?kladni e, kde e je iracion?lne ??slo, pribli?ne rovn? 2,7. Z?rove? p??u ln b.

?al?ie pozn?mky o algebre a geometrii

Z?kladn? vlastnosti logaritmov

Z?kladn? vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako ka?d? ??slo, mo?no s??ta?, od??ta? a previes? v?etk?mi mo?n?mi sp?sobmi. Ale ke??e logaritmy nie s? celkom be?n? ??sla, existuj? tu pravidl?, ktor? sa naz?vaj? z?kladn? vlastnosti.

Tieto pravidl? musia by? zn?me - bez nich nemo?no vyrie?i? ?iadny v??ny logaritmick? probl?m. Navy?e je ich ve?mi m?lo – v?etko sa d? nau?i? za jeden de?. Tak po?me na to.

S??tanie a od??tanie logaritmov

Uva?ujme dva logaritmy s rovnak?m z?kladom: log a x a log a y. Potom ich mo?no s??ta? a od??ta? a:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

S??et logaritmov sa teda rovn? logaritmu s??inu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Pozn?mka: k???ov?m bodom je tu - rovnak? d?vody. Ak s? z?klady odli?n?, tieto pravidl? nefunguj?!

Tieto vzorce pom??u vypo??ta? logaritmick? v?raz, aj ke? sa neber? do ?vahy jeho jednotliv? ?asti (pozri lekciu „?o je logaritmus“). Pozrite sa na pr?klady a uvid?te:

denn?k 6 4 + denn?k 6 9.

Ke??e z?klady logaritmov s? rovnak?, pou?ijeme s??tov? vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 2 48 - log 2 3.

Z?klady s? rovnak?, pou??vame rozdielov? vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 3 135 - log 3 5.

Op?? plat?, ?e z?klady s? rovnak?, tak?e m?me:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vid?te, p?vodn? v?razy sa skladaj? zo „zl?ch“ logaritmov, ktor? sa neuva?uj? samostatne. Ale po transform?ci?ch sa uk??u celkom norm?lne ??sla. Mnoh? testy s? zalo?en? na tejto skuto?nosti. ?no, kontrola – na sk??ke s? pon?kan? podobn? v?razy ?plne v??ne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstr?nenie exponentu z logaritmu

Teraz si ?lohu trochu skomplikujeme. ?o ak existuje stupe? v z?klade alebo argumente logaritmu? Potom m??e by? exponent tohto stup?a vy?at? zo znamienka logaritmu pod?a nasleduj?cich pravidiel:

Je ?ahk? vidie?, ?e posledn? pravidlo nasleduje ich prv? dve. Ale je lep?ie si to aj tak zapam?ta? – v niektor?ch pr?padoch to v?razne zn??i mno?stvo v?po?tov.

V?etky tieto pravidl? maj? samozrejme zmysel, ak sa dodr?? logaritmus ODZ: a > 0, a ? 1, x > 0. A e?te nie?o: nau?te sa aplikova? v?etky vzorce nielen z?ava doprava, ale aj naopak, t.j. m??ete zada? ??sla pred znamienkom logaritmu do samotn?ho logaritmu.

Ako rie?i? logaritmy

To je to, ?o sa naj?astej?ie vy?aduje.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stup?a v argumente pod?a prv?ho vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

?loha. N?jdite hodnotu v?razu:

V?imnite si, ?e menovate? je logaritmus, ktor?ho z?klad a argument s? presn? mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 72. M?me:

Mysl?m, ?e posledn? pr?klad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chv?le pracujeme len s menovate?om. Predlo?ili z?klad a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stup?ov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodov?“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavn? zlomok. ?itate? a menovate? maj? rovnak? ??slo: log 2 7. Ke??e log 2 7 ? 0, zlomok m??eme zmen?i? - 2/4 zostan? v menovateli. Pod?a pravidiel aritmetiky m??u by? ?tyri prenesen? do ?itate?a, ?o sa stalo. V?sledkom je odpove?: 2.

Prechod na nov? z?klad

Ke? u? hovor?me o pravidl?ch s??tania a od??tania logaritmov, osobitne som zd?raznil, ?e funguj? iba s rovnak?mi z?kladmi. ?o ak s? z?klady odli?n?? ?o ak to nie s? presn? mocniny rovnak?ho ??sla?

Na pomoc prich?dzaj? vzorce pre prechod na nov? z?klad?u. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je dan? logaritmus log a x. Potom pre ak?ko?vek ??slo c tak?, ?e c > 0 a c ? 1, plat? rovnos?:

Konkr?tne, ak d?me c = x, dostaneme:

Z druh?ho vzorca vypl?va, ?e je mo?n? zameni? z?klad a argument logaritmu, ale v tomto pr?pade je cel? v?raz „prevr?ten?“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nach?dzaj? v be?n?ch ??seln?ch v?razoch. Ich vhodnos? je mo?n? vyhodnoti? len pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c a nerovn?c.

S? v?ak ?lohy, ktor? sa nedaj? vyrie?i? v?bec inak ako pres?ahovan?m sa do nov?ho z?kladu. Uva?ujme o nieko?k?ch z nich:

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 5 16 log 2 25.

V?imnite si, ?e argumenty oboch logaritmov s? presn? exponenty. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz oto?me druh? logaritmus:

Ke??e s??in sa nemen? permut?ciou faktorov, pokojne sme vyn?sobili ?tyri a dva a potom sme pri?li na logaritmy.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 9 100 lg 3.

Z?kladom a argumentom prv?ho logaritmu s? presn? mocniny. Po?me si to zap?sa? a zbavi? sa indik?torov:

Teraz sa zbavme desiatkov?ho logaritmu prechodom na nov? z?klad:

Z?kladn? logaritmick? identita

V procese rie?enia je ?asto potrebn? reprezentova? ??slo ako logaritmus k danej b?ze.

V tomto pr?pade n?m pom??u vzorce:

V prvom pr?pade sa ??slo n stane exponentom v argumente. ??slo n m??e by? ?plne ?oko?vek, preto?e je to len hodnota logaritmu.

Druh? vzorec je vlastne parafr?zovan? defin?cia. Vol? sa to takto:

?o sa stane, ak sa ??slo b zv??i do takej miery, ?e ??slo b v tomto stupni d?va ??slo a? Spr?vne: toto je rovnak? ??slo a. Pozorne si pre??tajte tento odsek e?te raz - ve?a ?ud? na ?om „vis?“.

Rovnako ako nov? z?kladn? konverzn? vzorce, z?kladn? logaritmick? identita je niekedy jedin?m mo?n?m rie?en?m.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu:

V?imnite si, ?e log 25 64 = log 5 8 - pr?ve vytiahol ?tvorec zo z?kladne a argument logaritmu. Vzh?adom na pravidl? n?sobenia pr?vomoc? s rovnak?m z?kladom dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skuto?n? ?loha z Jednotnej ?t?tnej sk??ky ?

Logaritmick? jednotka a logaritmick? nula

Na z?ver uvediem dve identity, ktor? je ?a?k? nazva? vlastnos?ami – sk?r ide o d?sledky z defin?cie logaritmu. Neust?le sa nach?dzaj? v probl?moch a prekvapivo robia probl?my aj „pokro?il?m“ ?iakom.

1. log a a = 1 je. Pam?tajte si raz a nav?dy: logaritmus k ?ubovo?nej z?kladni a z tejto samotnej z?kladne sa rovn? jednej.
2. log a 1 = 0 je. Z?kladom a m??e by? ?oko?vek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Preto?e a 0 = 1 je priamym d?sledkom defin?cie.

To s? v?etky vlastnosti. Ur?ite si ich nacvi?te v praxi! Stiahnite si cheat sheet na za?iatku lekcie, vytla?te si ho a vyrie?te probl?my.

log a r b r = log a b alebo log a b= log a r b r

Hodnota logaritmu sa nemen?, ak sa z?klad logaritmu a ??slo pod znamienkom logaritmu zv??ia na rovnak? mocninu.

Pod znamienkom logaritmu m??u by? iba kladn? ??sla a z?klad logaritmu sa nerovn? jednej.

Pr?klady.

1) Porovnajte log 3 9 a log 9 81.

log 3 9=2 preto?e 3 2 =9;

log 9 81 = 2, preto?e 9 2 = 81.

Tak?e log 3 9 = log 9 81.

V?imnite si, ?e z?klad druh?ho logaritmu sa rovn? druhej mocnine z?kladne prv?ho logaritmu: 9=3 2 a ??slo pod znamienkom druh?ho logaritmu sa rovn? druhej mocnine ??sla pod znamienkom prv?ho. logaritmus: 81=9 2 . Ukazuje sa, ?e ??slo aj z?klad prv?ho logaritmu log 3 9 boli zv??en? na druh? mocninu a hodnota logaritmu sa od toho nezmenila:

?alej od extrakcie kore?a n stup?a spomedzi a je kon?trukcia ??sla a do istej miery ( 1/n), potom z log 9 81 m??ete z?ska? log 3 9 zobrat?m druhej odmocniny ??sla a z?kladu logaritmu:

2) Skontrolujte rovnos?: log 4 25=log 0,5 0,2.

Zv??te prv? logaritmus. Vezmite druh? odmocninu z?kladne 4 a medzi 25 ; dostaneme: log 4 25 = log 2 5.

Zv??te druh? logaritmus. Z?klad logaritmu: 0,5= 1/2. ??slo pod znamienkom tohto logaritmu: 0,2 = 1/5. Zv??me ka?d? z t?chto ??sel na m?nus prv? mocninu:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Tak?e log 0,5 0,2 = log 2 5. Z?ver: t?to rovnos? je pravdiv?.

Vyrie?te rovnicu:

log 4 x 4 + log 16 81 = log 2 (5x+2). Logaritmy prin??ame z?ava do z?kladne 2 .

log 2 x 2 + log 2 3 = log 2 (5x+2). Vzali sme druh? odmocninu ??sla a od z?kladu prv?ho logaritmu. Zobrali sme ?tvrt? kore? ??sla a z?klad druh?ho logaritmu.

log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Preve?te s??et logaritmov na logaritmus s??inu.

3x2=5x+2. Prijat? po zosilnen?.

3x2-5x-2=0. Kvadratick? rovnicu rie?ime pomocou v?eobecn?ho vzorca pre ?pln? kvadratick? rovnicu:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b2-4ac=(-5)2-4?3?(-2)=25+24=49=72 >0; 2 skuto?n? korene.

Vy?etrenie.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81 = log 2 (5?2+2);

log 2 2 2 + log 2 3 = log 2 12;

log2(4*3)=log212;

log 2 12 = log 2 12;

log a n b=(1/ n)? log a b

Logaritmus ??sla b pod?a rozumu a n rovn? s??inu zlomku 1/ n na logaritmus ??sla b pod?a rozumu a.

N?js?:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30 log 32 3?log 125 2 ak je to zn?me log 2 3=b,log 5 2=c.

Rie?enie.

Rie?i? rovnice:

1) log 2 x + log 4 x + log 16 x = 5,25.

Rie?enie.

Tieto logaritmy prenesieme na z?klad 2. Pou?ite vzorec: log a n b=(1/ n)? log a b

log2x+(1/2) log2x+(1/4) log2x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Tu s? podobn? v?razy:

(1+0,5+0,25) log2 x = 5,25;

1,75 log 2 x = 5,25 |: 1,75

log 2x=3. Pod?a defin?cie logaritmu:

2) 0,5 log4 (x-2) + log16 (x-3) = 0,25.

Rie?enie. Vezmite z?kladn? 16 logaritmus na z?klad?u 4.

0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Preve?te s??et logaritmov na logaritmus s??inu.

log4((x-2)(x-3))=0,5;

log4 (x2-2x-3x+6) = 0,5;

log4 (x2-5x+6) = 0,5. Pod?a defin?cie logaritmu:

x 2 - 5 x + 4 = 0. Pod?a Vietovej vety:

x 1 = 1; x2=4. Prv? hodnota x nebude fungova?, preto?e pre x = 1 logaritmy tejto rovnosti neexistuj?, preto?e pod znamienkom logaritmu m??u by? iba kladn? ??sla.

Skontrolujme t?to rovnicu pre x=4.

Vy?etrenie.

0,5 log4 (4-2) + log16 (4-3) = 0,25

0,5 log 4 2 + log 16 1 = 0,25

0,5?0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritmus ??sla b pod?a rozumu a sa rovn? logaritmu ??sla b na novom z?klade s delen? logaritmom starej z?kladne a na novom z?klade s.

Pr?klady:

1) log23=log3/log2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Vypo??ta?:

1) denn?k 5 7 ak je to zn?me lg7?0,8451; lg5?0,6990.

c b / log c a.

log57=log7/log5?0,8451:0,6990?1,2090.

odpove?: denn?k 5 7?1,209 0?1,209 .

2) denn?k 5 7 ak je to zn?me ln7?1,9459; ln5?1,6094.

Rie?enie. Pou?ite vzorec: log a b = log c b / log c a.

log 5 7=ln7/ln5?1,9459:1,6094?1,2091.

odpove?: denn?k 5 7?1,209 1?1,209 .

N?js? x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Pou??vame vzorec: log c b / log c a = log a b . Dostaneme:

log 3 x = log 3 4 + log 3 6 + log 3 8;

log3 x = log3 (4-6*8);

log 3 x = log 3 192;

x = 192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Pou??vame vzorec: log c b / log c a = log a b . Dostaneme:

log7 x = lg143-lgll-lg13;

log7x=lg143- (lgll+lg13);

log7 x=log143-log(11?13);

log7 x=lg143-lg143;

x=1.

Strana 1 z 1 1

Logaritmick? v?razy, rie?enie pr?kladov. V tomto ?l?nku sa budeme zaobera? probl?mami s?visiacimi s rie?en?m logaritmov. ?lohy nasto?uj? ot?zku h?adania hodnoty v?razu. Treba poznamena?, ?e koncept logaritmu sa pou??va v mnoh?ch ?loh?ch a je mimoriadne d?le?it? pochopi? jeho v?znam. Pokia? ide o USE, logaritmus sa pou??va pri rie?en? rovn?c, v aplikovan?ch probl?moch a tie? v ?loh?ch s?visiacich so ?t?diom funkci?.

Tu s? pr?klady na pochopenie samotn?ho v?znamu logaritmu:

Z?kladn? logaritmick? identita:

Vlastnosti logaritmov, ktor? si mus?te v?dy zapam?ta?:

*Logaritmus s??inu sa rovn? s??tu logaritmov faktorov.

* * *

* Logaritmus kvocientu (zlomku) sa rovn? rozdielu logaritmov faktorov.

* * *

* Logaritmus stup?a sa rovn? s??inu exponentu a logaritmu jeho z?kladu.

* * *

*Prechod na nov? z?klad?u

* * *

?al?ie vlastnosti:

* * *

V?po?et logaritmov ?zko s?vis? s vyu??van?m vlastnost? exponentov.

Uv?dzame niektor? z nich:

Podstatou tejto vlastnosti je, ?e pri prenose ?itate?a do menovate?a a naopak sa znamienko exponentu zmen? na opa?n?. Napr?klad:

D?sledok tejto vlastnosti:

* * *

Pri zv??en? mocniny na mocninu zost?va z?klad rovnak?, ale exponenty sa n?sobia.

* * *

Ako vid?te, samotn? koncept logaritmu je jednoduch?. Hlavn? vec je, ?e je potrebn? dobr? prax, ktor? d?va ur?it? zru?nos?. Znalos? vzorcov je ur?ite povinn?. Ak nie je vytvoren? zru?nos? v prevode element?rnych logaritmov, potom sa pri rie?en? jednoduch?ch ?loh m??ete ?ahko pom?li?.

Cvi?te, najsk?r vyrie?te najjednoduch?ie pr?klady z kurzu matematiky, potom prejdite na zlo?itej?ie. V bud?cnosti ur?ite uk??em, ako sa rie?ia „?kared?“ logaritmy, na sk??ke tak? nebud?, ale s? zauj?mav?, nenechajte si to ujs?!

To je v?etko! Ve?a ??astia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som v?a?n?, keby ste o str?nke povedali na soci?lnych sie?ach.