Koncept dihedr?lneho uhla

Aby sme predstavili pojem dihedr?lneho uhla, najprv si pripomenieme jednu z axi?m stereometrie.

?ubovo?n? rovinu mo?no rozdeli? na dve polroviny priamky $a$ le?iacej v tejto rovine. V tomto pr?pade s? body le?iace v rovnakej polrovine na tej istej strane priamky $a$ a body le?iace v r?znych polrovin?ch s? na opa?n?ch stran?ch priamky $a$ (obr. 1). ).

Obr?zok 1.

Na tejto axi?me je zalo?en? princ?p kon?trukcie dihedr?lneho uhla.

Defin?cia 1

Postava sa vol? dihedr?lny uhol ak sa sklad? z priamky a dvoch polrov?n tejto priamky, ktor? nepatria do tej istej roviny.

V tomto pr?pade sa naz?vaj? polroviny dihedr?lneho uhla tv?re a priamka odde?uj?ca polroviny - dihedr?lny okraj(obr. 1).

Obr?zok 2. Dihedr?lny uhol

Miera stup?a dihedr?lneho uhla

Defin?cia 2

Zvol?me si ?ubovo?n? bod $A$ na hrane. Uhol medzi dvoma priamkami le?iacimi v r?znych polrovin?ch, kolm?ch na hranu a pret?naj?cimi sa v bode $A$, sa naz?va line?rny uhol dihedr?lny uhol(obr. 3).

Obr?zok 3

Je zrejm?, ?e ka?d? dihedr?lny uhol m? nekone?n? po?et line?rnych uhlov.

Veta 1

V?etky line?rne uhly jedn?ho dihedr?lneho uhla s? si navz?jom rovn?.

D?kaz.

Uva?ujme dva line?rne uhly $AOB$ a $A_1(OB)_1$ (obr. 4).

Obr?zok 4

Ke??e l??e $OA$ a $(OA)_1$ le?ia v rovnakej polrovine $\alpha $ a s? kolm? na jednu priamku, s? kosmern?. Ke??e l??e $OB$ a $(OB)_1$ le?ia v rovnakej polrovine $\beta $ a s? kolm? na jednu priamku, s? kosmern?. V d?sledku toho

\[\uhol AOB=\uhol A_1(OB)_1\]

Vzh?adom na svojvo?nos? v?beru line?rnych uhlov. V?etky line?rne uhly jedn?ho dihedr?lneho uhla s? si navz?jom rovn?.

Veta bola dok?zan?.

Defin?cia 3

Miera stup?a dihedr?lneho uhla je miera stup?a line?rneho uhla dihedr?lneho uhla.

Pr?klady ?loh

Pr?klad 1

Dajme n?m dve nekolm? roviny $\alpha $ a $\beta $, ktor? sa pret?naj? pozd?? priamky $m$. Bod $A$ patr? rovine $\beta $. $AB$ je kolmica na priamku $m$. $AC$ je kolm? na rovinu $\alpha $ (bod $C$ patr? $\alpha $). Dok??te, ?e uhol $ABC$ je line?rnym uhlom dihedr?lneho uhla.

D?kaz.

Nakresl?me obr?zok pod?a stavu probl?mu (obr. 5).

Obr?zok 5

Aby sme to dok?zali, pripom?name si nasleduj?cu vetu

Veta 2: Priamka prech?dzaj?ca z?klad?ou naklonenej, kolm? na ?u, je kolm? na jej priemet.

Preto?e $AC$ je kolmica na rovinu $\alpha $, potom bod $C$ je priemetom bodu $A$ do roviny $\alpha $. $BC$ je teda projekcia ?ikmej $AB$. Pod?a vety 2 je $BC$ kolm? na hranu dihedr?lneho uhla.

Potom uhol $ABC$ sp??a v?etky po?iadavky na definovanie line?rneho uhla dihedr?lneho uhla.

Pr?klad 2

Dihedr?lny uhol je $30^\circ$. Na jednej z pl?ch le?? bod $A$, ktor? je od druhej plochy vzdialen? $4$ cm. N?jdite vzdialenos? od bodu $A$ k okraju uhla klinu.

Rie?enie.

Pozrime sa na obr?zok 5.

Pod?a predpokladu m?me $AC=4\ cm$.

Pod?a defin?cie stup?ovej miery dihedr?lneho uhla m?me, ?e uhol $ABC$ sa rovn? $30^\circ$.

Trojuholn?k $ABC$ je pravouhl? trojuholn?k. Pod?a defin?cie s?nusu ostr?ho uhla

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Dihedr?lny uhol. Line?rny uhol dihedr?lneho uhla. Dihedr?lny uhol je ?tvar tvoren? dvoma polrovinami, ktor? nepatria do tej istej roviny a maj? spolo?n? hranicu - priamku a. Polroviny, ktor? zvieraj? dihedr?lny uhol, sa naz?vaj? jeho steny a spolo?n? hranica t?chto polrov?n sa naz?va hrana dihedr?lneho uhla. Line?rny uhol dihedr?lneho uhla je uhol, ktor?ho strany s? l??e, pozd?? ktor?ch sa strany dihedr?lneho uhla pret?naj? s rovinou kolmou na hranu dihedr?lneho uhla. Ka?d? dihedr?lny uhol m? ?ubovo?n? po?et line?rnych uhlov: cez ka?d? bod hrany mo?no nakresli? rovinu kolm? na t?to hranu; l??e, pozd?? ktor?ch t?to rovina pret?na plochy dihedr?lneho uhla, a tvoria line?rne uhly.

V?etky line?rne uhly dihedr?lneho uhla s? si navz?jom rovn?. Dok??me, ?e ak s? uhly klenby, ktor? zviera rovina podstavy pyram?dy KABC, a roviny jej bo?n?ch pl?ch rovnak?, potom z?klad?a kolmice vedenej z vrcholu K je stredom kru?nice vp?sanej do trojuholn?ka. ABC.

D?kaz. Najprv zostroj?me line?rne uhly s rovnak?mi dihedr?lnymi uhlami. Pod?a defin?cie mus? by? rovina line?rneho uhla kolm? na hranu dihedr?lneho uhla. Preto mus? by? okraj dihedr?lneho uhla kolm? na strany line?rneho uhla. Ak je KO kolm? na rovinu podstavy, potom m??eme nakresli? OP kolmo na AC, OR kolmo na CB, OQ na kolmicu AB a potom spoji? body P, Q, R s bodom K. Zostroj?me teda priemet ?ikm?ch RK, QK, RK tak, aby hrany AC, CB, AB boli kolm? na tieto v?stupky. V d?sledku toho s? tieto hrany tie? kolm? na ?ikm?. A preto s? roviny trojuholn?kov ROK, QOK, ROK kolm? na zodpovedaj?ce hrany dihedr?lneho uhla a tvoria tie rovnak? line?rne uhly, ktor? s? uveden? v podmienke. Pravouhl? trojuholn?ky ROK, QOK, ROK s? rovnak? (ke??e maj? spolo?n? nohu OK a uhly proti?ahl? k tejto vetve s? rovnak?). Preto OR = OR = OQ. Ak nakresl?me kru?nicu so stredom O a polomerom OP, tak strany trojuholn?ka ABC s? kolm? na polomery OP, OR a OQ, a preto sa dot?kaj? tejto kru?nice.

Kolmos? roviny. Roviny alfa a beta sa naz?vaj? kolm?, ak line?rny uhol jedn?ho z uhlov klenby vytvoren?ch v ich priese?n?ku je 90". Znaky kolmosti dvoch rov?n Ak jedna z dvoch rov?n prech?dza priamkou kolmou na druh? rovinu, potom tieto roviny s? kolm?.

Na obr?zku je zn?zornen? pravouhl? rovnobe?nosten. Jeho z?klad?ami s? obd??niky ABCD a A1B1C1D1. A bo?n? hrany AA1 BB1, CC1, DD1 s? kolm? na z?kladne. Z toho vypl?va, ?e AA1 je kolm? na AB, t.j. bo?n? plocha je obd??nik. Je teda mo?n? dolo?i? vlastnosti kv?dra: V kv?dri je v?etk?ch ?es? stien obd??niky. V kv?dri je v?etk?ch ?es? pl?ch obd??niky. V?etky dihedr?lne uhly kv?dra s? prav?. V?etky dihedr?lne uhly kv?dra s? prav?.

Veta Druh? mocnina uhloprie?ky pravouhl?ho rovnobe?nostena sa rovn? s??tu ?tvorcov jeho troch rozmerov. Vr??me sa znova k obr?zku a dok??eme, ?e AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 Ke??e hrana CC1 je kolm? na z?klad?u ABCD, uhol AC1 je spr?vny. Z pravouhl?ho trojuholn?ka ACC1 pod?a Pytagorovej vety dostaneme AC12=AC2+CC12. Ale AC je uhloprie?ka obd??nika ABCD, tak?e AC2 = AB2+AD2. Tie? CC1 = AA1. Preto AC12=AB2+AD2+AA12 Veta je dok?zan?.

T?to lekcia je ur?en? na samo?t?dium t?my "Dihedr?lny uhol". Po?as tejto hodiny sa ?tudenti zozn?mia s jedn?m z najd?le?itej??ch geometrick?ch tvarov, uhlom vodorovnej osi. V lekcii sa tie? mus?me nau?i?, ako ur?i? line?rny uhol uva?ovan?ho geometrick?ho ?tvaru a ak? je uhol vzpriamenia v z?kladni obr?zku.

Zopakujme si, ?o je uhol na rovine a ako sa meria.

Ry?a. 1. Lietadlo

Uva?ujme rovinu a (obr. 1). Z jedn?ho bodu O vych?dzaj? dva l??e OV a OA.

Defin?cia. Obrazec tvoren? dvoma l??mi vych?dzaj?cimi z toho ist?ho bodu sa naz?va uhol.

Uhol sa meria v stup?och a radi?noch.

Pripome?me si, ?o je radi?n.

Ry?a. 2. Radian

Ak m?me stredov? uhol, ktor?ho d??ka obl?ka sa rovn? polomeru, potom sa tak?to stredov? uhol naz?va 1 radi?nov? uhol. , ? AOB= 1 rad (obr. 2).

Vz?ah medzi radi?nmi a stup?ami.

r?d.

Ch?peme, ??astn?. (). potom

Defin?cia. dihedr?lny uhol naz?van? obrazec tvoren? priamkou a a dve polroviny so spolo?nou hranicou a nepatria do tej istej roviny.

Ry?a. 3. Polovi?n? roviny

Uva?ujme dve polroviny a a v (obr. 3). Ich spolo?n? hranica je a. Tento ?daj sa naz?va dihedr?lny uhol.

Terminol?gia

Polroviny a a v s? ?elami dihedr?lneho uhla.

Rovno a je hrana dihedr?lneho uhla.

Na spolo?nom okraji a dihedr?lny uhol zvo?te ?ubovo?n? bod O(obr. 4). V polrovine a od bodu O obnovi? kolmicu OA na priamku a. Z toho ist?ho bodu O v druhej polrovine v zostroj?me kolmicu OV do rebra a. M?m roh AOB, ktor? sa naz?va line?rny uhol dihedr?lneho uhla.

Ry?a. 4. Meranie dihedr?lneho uhla

Dok??me rovnos? v?etk?ch line?rnych uhlov pre dan? dihedr?lny uhol.

Nech m?me dihedr?lny uhol (obr. 5). Vyberte bod O a bod O 1 na priamke a. Zostrojme line?rny uhol zodpovedaj?ci bodu O, teda nakresl?me dve kolmice OA a OV v rovin?ch a a v k okraju a. Z?skame uhol AOB je line?rny uhol dihedr?lneho uhla.

Ry?a. 5. Ilustr?cia d?kazu

Z jedn?ho bodu O 1 nakreslite dve kolmice OA 1 a OB 1 do rebra a v rovin?ch a a v a z?skame druh? line?rny uhol A101B1.

L??e O 1 A 1 a OA ko-smern?, preto?e le?ia v rovnakej polrovine a s? navz?jom rovnobe?n? ako dve kolmice na t? ist? priamku a.

Rovnako aj l??e Pribli?ne 1 v 1 a OV zarovnan?, ?o znamen? ? AOB =? A101B1 ako uhly so s?smern?mi stranami, ?o sa malo dok?za?.

Rovina line?rneho uhla je kolm? na hranu dihedr?lneho uhla.

dok?za?: a ? AOW.

Ry?a. 6. Ilustr?cia d?kazu

D?kaz:

OA ? a pod?a kon?trukcie, OV ? a kon?trukciou (obr. 6).

Ch?peme t? ?iaru a kolmo na dve pret?naj?ce sa ?iary OA a OV mimo lietadla AOB, ?o znamen? rovn? a kolmo na rovinu OAB, ?o malo by? preuk?zan?.

Dihedr?lny uhol sa meria jeho line?rnym uhlom. To znamen?, ?e to?ko stup?ov radi?nov je obsiahnut?ch v line?rnom uhle, ko?ko stup?ov radi?nov je obsiahnut?ch v jeho dihedr?lnom uhle. V s?lade s t?m sa rozli?uj? nasleduj?ce typy dihedr?lnych uhlov.

Ostr? (obr. 6)

Dihedr?lny uhol je ostr?, ak je jeho line?rny uhol ostr?, t.j. .

Rovn? (obr. 7)

Dihedr?lny uhol je prav?, ke? jeho line?rny uhol je 90° - Tup? (obr. 8)

Dihedr?lny uhol je tup?, ke? je jeho line?rny uhol tup?, t.j. .

Ry?a. 7. Prav? uhol

Ry?a. 8. Tup? uhol

Pr?klady kon?trukcie line?rnych uhlov v re?lnych obrazcoch

ABCD- ?tvorsten.

1. Zostrojte line?rny uhol dihedr?lneho uhla s hranou AB.

Ry?a. 9. Ilustr?cia probl?mu

Budovanie:

Hovor?me o dihedr?lnom uhle, ktor? tvor? hrana AB a tv?re ABD a ABC(obr. 9).

Nakresl?me rovn? ?iaru DH kolmo na rovinu ABC, H je z?klad?a kolmice. Nakresl?me si ?ikmo DM kolmo na ?iaru AB,M- naklonen? z?klad?a. Pod?a vety o troch kolmiciach sme dospeli k z?veru, ?e premietanie ?ikmej NM aj kolmo na ?iaru AB.

Teda z pointy M obnoven? dve kolmice na okraj AB na dvoch stran?ch ABD a ABC. Dostali sme line?rny uhol DMN.

V?imni si AB, hrana dihedr?lneho uhla, kolm? na rovinu line?rneho uhla, t.j. rovinu DMN. Probl?m je vyrie?en?.

Komentujte. Dihedr?lny uhol mo?no ozna?i? takto: DABC, kde

AB- okraj a hroty D a OD le?a? na r?znych stran?ch rohu.

2. Zostrojte line?rny uhol dihedr?lneho uhla s hranou AC.

Nakresl?me kolmicu DH do lietadla ABC a ?ikm? DN kolmo na ?iaru AS. To dostaneme pomocou vety o troch kolm?ch HN- ?ikm? premietanie DN do lietadla ABC, aj kolmo na ?iaru AS.DNH- line?rny uhol dihedr?lneho uhla s rebrom AC.

v ?tvorstene DABC v?etky hrany s? rovnak?. Bodka M- stred rebra AC. Dok??te, ?e uhol DMV- line?rny uhol dihedr?lneho uhla VYD t.j. dihedr?lny uhol s okrajom AC. Jeden z jeho okrajov je ACD, druh? - DIA(obr. 10).

Ry?a. 10. Ilustr?cia probl?mu

Rie?enie:

Trojuholn?k ADC- rovnostrann?, DM je medi?n a teda v??ka. znamen?, DM ? AS. Rovnako aj trojuholn?k AATC- rovnostrann?, ATM je medi?n, a teda v??ka. znamen?, VM ? AS.

Tak?e od veci M rebr? AC dihedr?lny uhol obnoven? dve kolmice DM a VM k tejto hrane v ?el?ch dihedr?lneho uhla.

Tak?e ? DMAT je line?rny uhol dihedr?lneho uhla, ktor? sa mal dok?za?.

Tak?e sme definovali dihedr?lny uhol, line?rny uhol dihedr?lneho uhla.

V ?al?ej lekcii budeme uva?ova? o kolmosti ?iar a rov?n, potom sa dozvieme, ak? je dihedr?lny uhol v z?kladni obr?zkov.

Referencie na t?mu "Dihedr?lny uhol", "Dihedr?lny uhol na z?kladni geometrick?ch ?tvarov"

1. Geometria. Ro?n?k 10-11: u?ebnica pre v?eobecn? vzdel?vacie in?tit?cie / Sharygin I. F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: chor?.
2. Geometria. 10. ro?n?k: u?ebnica pre v?eobecnovzdel?vacie in?tit?cie s h?bkov?m a profilov?m ?t?diom matematiky / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydanie, stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: chor.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Dom?ca ?loha na t?mu "Diedrick? uhol", ur?enie uhla klbu na z?kladni fig?rok

Geometria. 10.-11. ro?n?k: u?ebnica pre ?tudentov vzdel?vac?ch in?tit?ci? (z?kladn? a profilov? ?rove?) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opraven? a doplnen? - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill.

?lohy 2, 3 s. 67.

Ak? je line?rny uhol dihedr?lneho uhla? Ako ho postavi??

ABCD- ?tvorsten. Zostrojte line?rny uhol dihedr?lneho uhla s hranou:

a) ATD b) DOD.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Nakreslite line?rny uhol dihedr?lneho uhla A 1 ABC s rebrom AB. Ur?te jeho mieru miery.

TEXTOV? VYSVETLENIE LEKCIE:

V planimetrii s? hlavn?mi objektmi ?iary, segmenty, l??e a body. L??e vych?dzaj?ce z jedn?ho bodu tvoria jeden z ich geometrick?ch tvarov – uhol.

Vieme, ?e line?rny uhol sa meria v stup?och a radi?noch.

V stereometrii sa k objektom prid?va rovina. ?tvar tvoren? priamkou a a dvoma polrovinami so spolo?nou hranicou a, ktor? geometriou nepatria do rovnakej roviny, sa naz?va dihedr?lny uhol. Polovi?n? roviny s? plochy dihedr?lneho uhla. Priamka a je hrana dihedr?lneho uhla.

Dihedr?lny uhol, podobne ako line?rny uhol, mo?no pomenova?, zmera?, postavi?. Toto sa dozvieme v tejto lekcii.

N?jdite dihedr?lny uhol na modeli ?tvorstenu ABCD.

Dihedr?lny uhol s hranou AB sa naz?va CABD, kde body C a D patria r?znym stran?m uhla a hrana AB sa naz?va v strede.

Okolo n?s je ve?a predmetov s prvkami v tvare dihedr?lneho uhla.

V mnoh?ch mest?ch s? v parkoch in?talovan? ?peci?lne lavi?ky na zmierenie. Lavi?ka je vyroben? vo forme dvoch naklonen?ch rov?n zbiehaj?cich sa smerom k stredu.

Pri stavbe domov sa ?asto pou??va takzvan? sedlov? strecha. Strecha tohto domu je vyroben? vo forme ?ikm?ho uhla 90 stup?ov.

Dihedr?lny uhol sa tie? meria v stup?och alebo radi?noch, ale ako ho mera?.

Zauj?mavos?ou je, ?e strechy domov le?ia na krokve. A prepravka krokiev tvor? dva stre?n? svahy pod dan?m uhlom.

Prenesieme obr?zok na v?kres. Na n?krese sa na n?jdenie uhlu klinu vyzna?? na jeho okraji bod B. Z tohto bodu sa kolmo na hranu uhla nakreslia dva nosn?ky BA a BC. Uhol ABC vytvoren? t?mito l??mi sa naz?va line?rny uhol dihedr?lneho uhla.

Miera stup?a dihedr?lneho uhla sa rovn? miere stup?a jeho line?rneho uhla.

Zmeriame uhol AOB.

Miera stup?a dan?ho dihedr?lneho uhla je ?es?desiat stup?ov.

Line?rne uhly pre dihedr?lny uhol m??u by? nakreslen? v nekone?nom po?te, je d?le?it? vedie?, ?e s? v?etky rovnak?.

Zv??te dva line?rne uhly AOB a A1O1B1. L??e OA a O1A1 le?ia v rovnakej ploche a s? kolm? na priamku OO1, tak?e s? spolu nasmerovan?. L??e OB a O1B1 s? tie? spoluriaden?. Preto sa uhol AOB rovn? uhlu A101B1 ako uhol so s?osmern?mi stranami.

Tak?e dihedr?lny uhol je charakterizovan? line?rnym uhlom a line?rne uhly s? ostr?, tup? a prav?. Zv??te modely dihedr?lnych uhlov.

Tup? uhol je tak?, ktor?ho line?rny uhol je medzi 90 a 180 stup?ami.

Prav? uhol, ak je jeho line?rny uhol 90 stup?ov.

Ostr? uhol, ak je jeho line?rny uhol medzi 0 a 90 stup?ami.

Dok??me jednu z d?le?it?ch vlastnost? line?rneho uhla.

Rovina line?rneho uhla je kolm? na hranu dihedr?lneho uhla.

Nech uhol AOB je line?rny uhol dan?ho dihedr?lneho uhla. Pod?a kon?trukcie s? l??e AO a OB kolm? na priamku a.

Rovina AOB prech?dza dvomi pret?naj?cimi sa priamkami AO a OB pod?a vety: Rovina prech?dza dvomi pret?naj?cimi sa priamkami a navy?e iba jednou.

Priamka a je kolm? na dve pret?naj?ce sa priamky le?iace v tejto rovine, ?o znamen?, ?e znamienkom kolmosti priamky a roviny je priamka a kolm? na rovinu AOB.

Na rie?enie probl?mov je d?le?it? vedie? zostavi? line?rny uhol dan?ho dihedr?lneho uhla. Zostrojte line?rny uhol dihedr?lneho uhla s hranou AB pre ?tvorsten ABCD.

Hovor?me o dihedr?lnom uhle, ktor? je tvoren? jednak hranou AB, jednou fazetou ABD, druhou fazetou ABC.

Tu je jeden sp?sob, ako stava?.

Z bodu D nakresl?me kolmicu na rovinu ABC, bod M ozna??me ako z?klad?u kolmice. Pripome?me, ?e v ?tvorstene sa z?klad?a kolmice zhoduje so stredom vp?sanej kru?nice v z?kladni ?tvorstenu.

Nakreslite sklon z bodu D kolmo na hranu AB, ozna?te bod N ako z?klad?u svahu.

V trojuholn?ku DMN bude ?se?ka NM priemety ?ikmej DN do roviny ABC. Pod?a vety o troch kolmi?k?ch bude hrana AB kolm? na priemet NM.

To znamen?, ?e strany uhla DNM s? kolm? na hranu AB, ?o znamen?, ?e zostrojen? uhol DNM je po?adovan? line?rny uhol.

Zv??te pr?klad rie?enia probl?mu v?po?tu dihedr?lneho uhla.

Rovnoramenn? trojuholn?k ABC a pravideln? trojuholn?k ADB nele?ia v rovnakej rovine. ?sek CD je kolm? na rovinu ADB. N?jdite dihedr?lny uhol DABC, ak AC=CB=2cm, AB=4cm.

Dihedr?lny uhol DABC sa rovn? jeho line?rnemu uhlu. Postavme tento roh.

Narysujme si ?ikm? SM kolm? na hranu AB, ke??e trojuholn?k ACB je rovnoramenn?, potom sa bod M bude zhodova? so stredom hrany AB.

Priamka CD je kolm? na rovinu ADB, ?o znamen?, ?e je kolm? na priamku DM le?iacu v tejto rovine. A segment MD je priemetom ?ikm?ho SM do roviny ADB.

Priamka AB je kon?trukciou kolm? na ?ikm? CM, ?o znamen?, ?e pod?a vety o troch kolmi?k?ch je kolm? na priemet MD.

Na hranu AB teda n?jdeme dve kolmice CM a DM. Tak tvoria line?rny uhol СMD dihedr?lneho uhla DABC. A zost?va n?m to n?js? z pravouhl?ho trojuholn?ka СDM.

Ke??e ?se?ka SM je stred a v??ka rovnoramenn?ho trojuholn?ka ASV, potom pod?a Pytagorovej vety je rameno SM 4 cm.

Z pravouhl?ho trojuholn?ka DMB sa pod?a Pytagorovej vety noha DM rovn? dvom kore?om z troch.

Kos?nus uhla z pravouhl?ho trojuholn?ka sa rovn? pomeru pri?ahl?ho ramena MD k prepone CM a rovn? sa trom odmocni?k?m tri kr?t dva. Tak?e uhol CMD je 30 stup?ov.

Ak chcete pou?i? uk??ku prezent?ci?, vytvorte si Google ??et (??et) a prihl?ste sa: https://accounts.google.com

Popisy sn?mok:

DOUBLE ANGLE U?ite? matematiky GOU stredn? ?kola №10 Eremenko M.A.

Hlavn? ciele lekcie: Predstavenie konceptu dihedr?lneho uhla a jeho line?rneho uhla Zv??te ?lohy na aplik?ciu t?chto konceptov

Defin?cia: Dihedr?lny uhol je ?tvar tvoren? dvoma polrovinami so spolo?nou hrani?nou ?iarou.

Hodnota dihedr?lneho uhla je hodnota jeho line?rneho uhla. AF ? CD BF ? CD AFB je line?rny uhol dihedr?lneho uhla ACD B

Dok??me, ?e v?etky line?rne uhly dihedr?lneho uhla s? si navz?jom rovn?. Uva?ujme dva line?rne uhly AOB a A1OB1. L??e OA a OA 1 le?ia na rovnakej ploche a s? kolm? na OO 1, tak?e s? spolu nasmerovan?. L??e OB a OB 1 s? tie? spoluriaden?. Preto ? AOB = ? A 1 OB 1 (ako uhly so s?osmern?mi stranami).

Pr?klady dihedr?lnych uhlov:

Defin?cia: Uhol medzi dvoma pret?naj?cimi sa rovinami je najmen?? z uhlov, ktor? zvieraj? tieto roviny.

?loha 1: V kocke A ... D 1 n?jdite uhol medzi rovinami ABC a CDD 1 . Odpove?: 90o.

?loha 2: V kocke A ... D 1 n?jdite uhol medzi rovinami ABC a CDA 1 . Odpove?: 45o.

?loha 3: V kocke A ... D 1 n?jdite uhol medzi rovinami ABC a BDD 1 . Odpove?: 90o.

?loha 4: V kocke A ... D 1 n?jdite uhol medzi rovinami ACC 1 a BDD 1 . Odpove?: 90o.

?loha 5: V kocke A ... D 1 n?jdite uhol medzi rovinami BC 1 D a BA 1 D . Rie?enie: Nech O je stred B D. A 1 OC 1 je line?rny uhol dihedr?lneho uhla A 1 B D C 1 .

?loha 6: V ?tvorstene DABC s? v?etky hrany rovnak?, bod M je stredom hrany AC. Dok??te, ?e ? DMB je line?rny uhol dihedr?lneho uhla BACD.

Rie?enie: Trojuholn?ky ABC a ADC s? pravideln?, tak?e BM ? AC a DM ? AC a teda ? DMB je line?rny uhol dihedr?lneho uhla DACB .

?loha 7: Z vrcholu B trojuholn?ka ABC, ktor?ho strana AC le?? v rovine a, je nakreslen? kolmica BB 1 na t?to rovinu. N?jdite vzdialenos? od bodu B k priamke AC a k rovine a, ak AB=2, ?BAC=150 0 a uhol vzpriamenia BACB 1 je 45 0 .

Rie?enie: ABC je tup? trojuholn?k s tup?m uhlom A, tak?e z?klad?a v??ky BK le?? na pred??en? strany AC. VC je vzdialenos? z bodu B do AC. BB 1 - vzdialenos? od bodu B k rovine a

2) Ke??e AS ?VK, tak AS?KV 1 (pod?a vety konvertujte na vetu o troch odvesniciach). Preto ?VKV 1 je line?rny uhol dihedr?lneho uhla BACB 1 a ?VKV 1 =45 0 . 3) ?VAK: ?A=30 0, VK=VA sin 30 0, VK =1. ?VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d