ladybe.ru
Skombinujte dva zdroje inform?ci? pomocou Bayesovho vzorca. Vzorec celkovej pravdepodobnosti a Bayesove vzorce
Ak udalos? ALE sa m??e sta? iba vtedy, ke? sa jedna z udalost?, ktor? tvoria kompletn? skupina nekompatibiln?ch udalost? , potom pravdepodobnos? udalosti ALE vypo??tan? pod?a vzorca
Tento vzorec sa naz?va vzorec celkovej pravdepodobnosti .
Zv??te znova cel? skupinu nezlu?ite?n?ch udalost?, ktor?ch pravdepodobnosti v?skytu s? 
. Udalos? ALE m??e nasta? len spolu s akouko?vek udalos?ou, ktor? zavol?me hypot?z
. Potom pod?a vzorca celkovej pravdepodobnosti
Ak udalos? ALE stalo, m??e zmeni? pravdepodobnosti hypot?z 
.
Pod?a vety o n?soben? pravdepodobnosti
.
Podobne aj pre in? hypot?zy
V?sledn? vzorec sa naz?va Bayesov vzorec (Bayesov vzorec ). Pravdepodobnosti hypot?z sa naz?vaj? zadn? pravdepodobnosti , ke??e - predch?dzaj?ce pravdepodobnosti .
Pr?klad. Obchod dostal nov? produkty od troch podnikov. Percentu?lne zlo?enie t?chto v?robkov je nasledovn?: 20 % - v?robky prv?ho podniku, 30 % - v?robky druh?ho podniku, 50 % - v?robky tretieho podniku; ?alej 10 % v?robkov prv?ho podniku najvy??ej triedy, v druhom podniku 5 % a tretieho 20 % v?robkov najvy??ej triedy. N?jdite pravdepodobnos?, ?e n?hodne zak?pen? nov? produkt bude najvy??ej kvality.
Rie?enie. Ozna?i? pod?a AT udalos? spo??vaj?cu v tom, ?e bude zak?pen? pr?miov? produkt, ozna?ujeme akcie spo??vaj?ce v n?kupe produktov prv?ho, druh?ho a tretieho podniku.
M??eme pou?i? vzorec celkovej pravdepodobnosti a v na?om z?pise:
Nahraden?m t?chto hodn?t do vzorca celkovej pravdepodobnosti z?skame po?adovan? pravdepodobnos?:
Pr?klad. Jeden z troch strelcov je povolan? k palebnej l?nii a vyp?li dva v?strely. Pravdepodobnos? zasiahnutia cie?a jedn?m v?strelom pre prv?ho strelca je 0,3, pre druh?ho - 0,5; za tretiu - 0,8. Cie? nie je zasiahnut?. N?jdite pravdepodobnos?, ?e v?strely vystrelil prv? strelec.
Rie?enie. Mo?n? s? tri hypot?zy:
Prv? strelec je povolan? k palebnej l?nii,
Druh? strelec je povolan? k palebnej l?nii,
Tret? strelec bol privolan? k palebnej l?nii.
Ke??e privolanie ak?hoko?vek strelca na palebn? l?niu je rovnako mo?n? 
V d?sledku experimentu bola pozorovan? udalos? B - po v?streloch nebol zasiahnut? cie?. Podmienen? pravdepodobnosti tejto udalosti pod?a vytvoren?ch hypot?z s?:
pomocou Bayesovho vzorca n?jdeme po experimente pravdepodobnos? hypot?zy:
Pr?klad. Na troch automatick?ch strojoch sa spracov?vaj? diely rovnak?ho typu, ktor? prich?dzaj? po spracovan? na spolo?nom dopravn?ku. Prv? stroj d?va 2% nepodarkov, druh? - 7%, tret? - 10%. Produktivita prv?ho stroja je 3-kr?t vy??ia ako produktivita druh?ho a tretieho je 2-kr?t ni??ia ako produktivita druh?ho.
a) Ak? je chybovos? na mont??nej linke?
b) Ak? s? pomery ?ast? ka?d?ho stroja medzi chybn?mi ?as?ami na dopravn?ku?
Rie?enie. Zoberme n?hodne jeden diel z mont??nej linky a zv??me udalos? A – diel je chybn?. Je spojen? s hypot?zami, kde bola t?to s??iastka obr?ban?: - n?hodne vybran? s??iastka bola obr?ban? na tom stroji,.
Podmienen? pravdepodobnosti (v stave probl?mu s? uveden? v percent?ch):
Z?vislosti medzi v?konmi stroja znamenaj? nasledovn?:
A ke??e hypot?zy tvoria ucelen? skupinu, tak .
Po vyrie?en? v?slednej s?stavy rovn?c zist?me: .
a) Celkov? pravdepodobnos?, ?e n?hodne vybrat? diel z mont??nej linky je chybn?:
In?mi slovami, v mno?stve dielov sch?dzaj?cich z mont??nej linky je chyba 4 %.
b) Nech je zn?me, ?e n?hodne vybrat? ?as? je chybn?. Pomocou Bayesovho vzorca n?jdeme podmienen? pravdepodobnosti hypot?z:
Na celkovej hmotnosti chybn?ch ?ast? na dopravn?ku je teda podiel prv?ho stroja 33%, druh?ho - 39%, tretieho - 28%.
Praktick? ?lohy
Cvi?enie 1
Rie?enie probl?mov v hlavn?ch ?astiach te?rie pravdepodobnosti
Cie?om je z?ska? praktick? zru?nosti pri rie?en? probl?mov na
oddiely te?rie pravdepodobnosti
Pr?prava na praktick? ?lohu
Obozn?mi? sa s teoretick?m materi?lom na t?to t?mu, pre?tudova? si obsah teoretickej, ako aj relevantnej ?asti literat?ry.
Pr?kaz na vykonanie ?lohy
Vyrie?te 5 ?loh pod?a po?tu mo?nost? ?loh uveden?ch v tabu?ke 1.
Mo?nosti po?iato?n?ch ?dajov
st?l 1
|
??slo ?lohy |
||||||
Zlo?enie spr?vy pre ?lohu 1
5 vyrie?en?ch ?loh pod?a ??sla variantu.
?lohy na samostatn? rie?enie
1.. S? tieto skupiny udalost? pr?pady: a) z??itok - hod mincou; v?voj: A1- vzh?ad erbu; A2- vzh?ad ??sla; b) z??itok – hod dvoma mincami; v?voj: V 1- vzh?ad dvoch erbov; V 2 - vzh?ad dvoch ??slic; AT 3- vzh?ad jedn?ho erbu a jedn?ho ??sla; c) z??itok – hod kockou; v?voj: C1 - v?skyt nie viac ako dvoch bodov; C2 - v?skyt troch alebo ?tyroch bodov; C3 - v?skyt najmenej piatich bodov; d) sk?senos? - strela na cie?; v?voj: D1- zasiahnu?; D2- ch?ba?; e) sk?senos? - dva v?strely na cie?; v?voj: E0- ani jeden z?sah; E1- jeden ?der; E2- dva z?sahy; f) sk?senos? - ?ahanie dvoch kariet z bal??ka; v?voj: F1- vzh?ad dvoch ?erven?ch kariet; F2- vzh?ad dvoch ?iernych kariet?
2. Urna A obsahuje bielu a B ?ierne gule. Z urny sa n?hodne vy?rebuje jedna lopti?ka. N?jdite pravdepodobnos?, ?e t?to gu?a je biela.
3. V urne A biely piesok B ?ierne gule. Jedna lopta sa vyberie z urny a odlo?? sa. T?to gu?a je biela. Potom sa z urny vyberie ?al?ia lopta. N?jdite pravdepodobnos?, ?e t?to gu?a je tie? biela.
4. V urne A bieli a B ?ierne gule. Jedna lopta bola vybrat? z urny a odlo?en? nabok bez toho, aby sa pozrela. Potom sa z urny vybrala ?al?ia lopta. Uk?zalo sa, ?e je biely. N?jdite pravdepodobnos?, ?e prv? odlo?en? guli?ka je tie? biela.
5. Z urny s A bieli a B ?ierne gule, vytiahnite jednu po druhej v?etky gule okrem jednej. N?jdite pravdepodobnos?, ?e posledn? gu?a, ktor? zostala v urne, je biela.
6. Z urny, v ktorej A biele gule a B ?ierne, vytiahnite v rade v?etky gule v ?om. N?jdite pravdepodobnos?, ?e druh? vytiahnut? gu?a je biela.
7. V urne A bielych a B ?iernych g?? (A > 2). Z urny sa vyber? dve lopti?ky naraz. N?jdite pravdepodobnos?, ?e obe gule s? biele.
8. Biela a B v urne A ?ierne gule (A > 2, B > 3). Z urny sa vyberie p?? lopti?iek naraz. N?jdite pravdepodobnos? R dve z nich bud? biele a tri ?ierne.
9. V strane zlo?enej z X produktov, existuje ja defektn?. Zo ?ar?e sa vyberie na kontrolu I Produkty. N?jdite pravdepodobnos? R ktor? z nich presne J produkty bud? chybn?.
10. Kocka sa hod? raz. N?jdite pravdepodobnos? nasleduj?cich udalost?: ALE - v?skyt p?rneho po?tu bodov; AT- v?skyt najmenej 5 bodov; OD- vzh?ad nie viac ako 5 bodov.
11. Kocka sa hod? dvakr?t. N?jdite pravdepodobnos? R?e sa v oboch pr?padoch objav? rovnak? po?et bodov.
12. S??asne sa h?d?u dve kocky. N?jdite pravdepodobnosti nasleduj?cich udalost?: ALE- s??et straten?ch bodov sa rovn? 8; AT- s??in straten?ch bodov sa rovn? 8; OD- s??et straten?ch bodov je v???? ako ich s??in.
13. Hodia sa dve mince. Ktor? z nasleduj?cich udalost? je pravdepodobnej?ia: ALE - mince bud? le?a? na rovnak?ch stran?ch; AT - Le?ia mince na r?znych stran?ch?
14. V urne A bieli a B ?ierne gule (A > 2; B > 2). Z urny sa vyber? dve lopti?ky s??asne. Ktor? udalos? je pravdepodobnej?ia: ALE- gule rovnakej farby; AT - gule r?znych farieb?
15. Traja hr??i hraj? karty. Ka?d?mu z nich je rozdan?ch 10 kariet a dve karty zost?vaj? do ?rebovania. Jeden z hr??ov vid?, ?e m? 6 kariet diamantovej farby a 4 karty nediamantovej farby. Zahod? dve z t?chto ?tyroch kariet a vezme si ?ah. N?jdite pravdepodobnos?, ?e k?pi dva diamanty.
16. Z urny obsahuj?cej P o??slovan? lopti?ky, n?hodne vyberte jednu po druhej v?etky lopti?ky v nej. N?jdite pravdepodobnos?, ?e ??sla vy?rebovan?ch lopti?iek bud? v porad?: 1, 2,..., P.
17. Rovnak? urna ako v predch?dzaj?cej ?lohe, ale po vybrat? sa ka?d? guli?ka vlo?? sp?? a zmie?a sa s ostatn?mi a zap??e sa jej ??slo. N?jdite pravdepodobnos?, ?e prirodzen? postupnos? ??sel bude zap?san?: 1, 2,..., n.
18. Cel? bal??ek kariet (52 listov) sa n?hodne rozdel? na dva rovnak? bal??ky po 26 listov. N?jdite pravdepodobnosti nasleduj?cich udalost?: ALE - v ka?dom z bal??kov bud? dve es?; AT- v jednom z bal??kov nebud? ?iadne es? a v druhom - v?etky ?tyri; S-in jeden z bal??kov bude ma? jedno eso a druh? bal??ek bude ma? tri.
19. Basketbalov?ho ?ampion?tu sa z??ast?uje 18 t?mov, z ktor?ch s? n?hodne vytvoren? dve skupiny po 9 t?mov. Medzi ??astn?kmi s??a?e je 5 t?mov
extra trieda. N?jdite pravdepodobnosti nasleduj?cich udalost?: ALE - v?etky t?my extratriedy bud? spada? do rovnakej skupiny; AT- do jednej zo skup?n sa dostan? dva extratriedne t?my a do druhej tri.
20. ??sla s? nap?san? na deviatich kart?ch: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dve z nich sa n?hodne vyber? a polo?ia na st?l v porad? pod?a vzh?adu, potom sa pre??ta v?sledn? ??slo. , napr?klad 07 (sedem), 14 (?trn?s?) at?. N?jdite pravdepodobnos?, ?e ??slo je p?rne.
21. ??sla s? nap?san? na piatich karti?k?ch: 1, 2, 3, 4, 5. Dve z nich sa postupne vyber?. N?jdite pravdepodobnos?, ?e ??slo na druhej karte je v???ie ako ??slo na prvej.
22. Rovnak? ot?zka ako v ?lohe 21, ale prv? karta po vytiahnut? sa vr?ti sp?? a zmie?a sa so zvy?kom a zap??e sa ??slo na nej.
23. V urne A biela, B ?ierne a C ?erven? gule. Jedna po druhej sa z urny vyber? v?etky lopti?ky v nej a zap??u sa ich farby. N?jdite v tomto zozname pravdepodobnos?, ?e sa biela objav? pred ?iernou.
24. S? dve urny: v prvej A bieli a B ?ierne gule; v druhom C biela a D ?ierna. Z ka?dej urny sa vy?rebuje lopti?ka. N?jdite pravdepodobnos?, ?e obe gule s? biele.
25. V podmienkach ?lohy 24 n?jdite pravdepodobnos?, ?e vytiahnut? lopti?ky bud? r?znych farieb.
26. V bubne revolvera je sedem hniezd, p?? z nich je nabit?ch n?bojnicami a dve s? pr?zdne. Bubon sa uvedie do rot?cie, v d?sledku ?oho je jedna z obj?mok n?hodne umiestnen? proti hlavni. Potom sa stla?? sp???; ak bola cela pr?zdna, v?strel nenastane. N?jdite pravdepodobnos? R skuto?nos?, ?e po opakovan? tak?hoto experimentu dvakr?t za sebou nebudeme strie?a? oba razy.
27. Za rovnak?ch podmienok (pozri ?lohu 26) n?jdite pravdepodobnos?, ?e k v?strelu d?jde v oboch pr?padoch.
28. V urne je A; lopti?ky ozna?en? 1, 2, ..., do Z urny ja ke? sa vy?rebuje jedna lopti?ka (I<к), zap??e sa ??slo lopty a lopta sa vlo?? sp?? do urny. N?jdite pravdepodobnos? R?e v?etky zaznamenan? ??sla bud? in?.
29. Slovo "kniha" sa sklad? z piatich p?smen delenej abecedy. Die?a, ktor? nevedelo ??ta?, tieto p?smen? rozh?dzalo a potom ich poskladalo v n?hodnom porad?. N?jdite pravdepodobnos? R fakt, ?e op?? dostal slovo „kniha“.
30. Slovo „anan?s“ sa sklad? z p?smen delenej abecedy. Die?a, ktor? nevedelo ??ta?, tieto p?smen? rozh?dzalo a potom ich poskladalo v n?hodnom porad?. N?jdite pravdepodobnos? R skuto?nos?, ?e m? op?? slovo „anan?s
31. Z pln?ho bal??ka kariet (52 listov, 4 farby) sa vyberie nieko?ko kariet naraz. Ko?ko kariet treba vybra?, aby sa s pravdepodobnos?ou v???ou ako 0,50 dalo poveda?, ?e medzi nimi bud? karty rovnakej farby?
32. N?udia n?hodne sedia za okr?hlym stolom (N > 2). N?jdite pravdepodobnos? R?e dve pevn? tv?re ALE a AT bude nabl?zku.
33. Rovnak? probl?m (pozri 32), ale tabu?ka je obd??nikov? a N osoba sed? n?hodne pozd?? jednej z jeho str?n.
34. ??sla od 1 do N. Z nich N n?hodne sa vyber? dva sudy. N?jdite pravdepodobnos?, ?e na oboch sudoch s? nap?san? ??sla men?ie ako k
(2
35.
??sla od 1 do N. Z nich N n?hodne sa vyber? dva sudy. N?jdite pravdepodobnos?, ?e jeden zo sudov m? ??slo v???ie ako k ,
a na druhej strane - menej ako k .
(2
36. Bat?ria je vybit? M pi?tole strie?aj?ce na skupinu pozost?vaj?cu z N Ciele (M< N). Zbrane si vyberaj? ciele postupne, n?hodne, za predpokladu, ?e ?iadne dve zbrane nem??u strie?a? na rovnak? cie?. N?jdite pravdepodobnos? R skuto?nos?, ?e sa bude strie?a? na ciele s ??slami 1, 2, ... M.
37.. Bat?ria pozost?vaj?ca z do pi?tole, strie?a na skupinu pozost?vaj?cu z ja lietadla (do< 2). Ka?d? zbra? si vyber? svoj cie? n?hodne a nez?visle od ostatn?ch. N?jdite pravdepodobnos?, ?e v?etky do zbrane bud? strie?a? na rovnak? cie?.
38. Za podmienok predch?dzaj?ceho probl?mu n?jdite pravdepodobnos?, ?e v?etky zbrane bud? strie?a? na r?zne ciele.
39. ?tyri lopti?ky s? n?hodne rozpt?len? po ?tyroch jamk?ch; ka?d? lopti?ka zasiahne jednu alebo druh? jamku s rovnakou pravdepodobnos?ou a nez?visle od ostatn?ch (neexistuj? ?iadne prek??ky, aby sa nieko?ko lopti?iek dostalo do tej istej jamky). N?jdite pravdepodobnos?, ?e v jednej z jamiek bud? tri lopti?ky, jedna - v druhej a ?iadne lopti?ky v ?al??ch dvoch jamk?ch.
40. M??a sa poh?dala s Pe?om a nechce s n?m jazdi? v jednom autobuse. Z hostela do ?stavu prem?va 5 autobusov od 7 do 8. Kto nem? ?as na tieto autobusy, me?k? na predn??ku. Ko?k?mi sp?sobmi sa m??u M??a a Pe?a dosta? do in?tit?tu r?znymi autobusmi a neme?ka? na predn??ku?
41. V oddelen? informa?n?ch technol?gi? banky s? 3 analytici, 10 program?torov a 20 in?inierov. Na pr?cu nad?as vo sviatok mus? ved?ci oddelenia vy?leni? jedn?ho zamestnanca. Ko?k?mi sp?sobmi sa to d? urobi??
42. Ved?ci bezpe?nostnej slu?by banky mus? denne umiestni? 10 str??nikov na 10 miest. Ko?k?mi sp?sobmi sa to d? urobi??
43. Nov? prezident banky mus? spomedzi 10 riadite?ov vymenova? 2 nov?ch viceprezidentov. Ko?k?mi sp?sobmi sa to d? urobi??
44. Jedna z bojuj?cich str?n zajala 12 a druh? - 15 v?z?ov. Ko?k?mi sp?sobmi mo?no vymeni? 7 vojnov?ch zajatcov?
45. Petya a Masha zbieraj? video disky. Pe?a m? na konte 30 kom?di?, 80 ak?n?ch filmov a 7 melodr?m, M??a 20 kom?di?, 5 ak?n?ch filmov a 90 melodr?m. Ko?k?mi sp?sobmi si m??u Pe?a a M??a vymeni? 3 kom?die, 2 ak?n? filmy a 1 melodr?mu?
46. Ko?k?mi sp?sobmi si m??u Pe?a a M??a v podmienkach ?lohy 45 vymeni? 3 melodr?my a 5 kom?di??
47. Za podmienok ?lohy 45, ko?k?mi sp?sobmi si m??u Pe?a a M??a vymeni? 2 ak?n? filmy a 7 kom?di?.
48. Jedna z bojuj?cich str?n zajala 15 a druh? - 16 v?z?ov. Ko?k?mi sp?sobmi mo?no vymeni? 5 vojnov?ch zajatcov?
49. Ko?ko ?ut je mo?n? zaregistrova? v 1 meste, ak m? ??slo 3 ??slice a 3 p?smen? )?
50. Jedna z bojuj?cich str?n zajala 14 a druh? - 17 v?z?ov. Ko?k?mi sp?sobmi mo?no vymeni? 6 vojnov?ch zajatcov?
51. Ko?ko r?znych slov mo?no vytvori? preskupen?m p?smen v slove „matka“?
52. V ko??ku s? 3 ?erven? a 7 zelen?ch jab?k. Vyberie sa z nej jedno jablko. N?jdite pravdepodobnos?, ?e bude ?erven?.
53. V ko??ku s? 3 ?erven? a 7 zelen?ch jab?k. Jedno zelen? jablko sa z neho vybralo a odlo?ilo. Potom sa z ko??ka vyberie e?te 1 jablko. Ak? je pravdepodobnos?, ?e toto jablko je zelen??
54. V d?vke 1 000 kusov s? 4 chybn?. Na kontrolu sa vyberie ?ar?a 100 produktov. Ak? je pravdepodobnos? LLP, ?e kontroln? d?vka nebude chybn??
56. V 80. rokoch bola v ZSSR popul?rna hra sportloto 5 z 36. Hr?? si na kartu pozna?il 5 ??sel od 1 do 36 a z?skal ceny r?znych nomin?lnych hodn?t, ak uh?dol in? po?et ??sel ozn?men?ch ?rebovacou komisiou. N?jdite pravdepodobnos?, ?e hr?? neuh?dol ?iadne ??slo.
57. V 80. rokoch bola v ZSSR popul?rna hra „sportloto 5 z 36“. Hr?? si na kartu pozna?il 5 ??sel od 1 do 36 a z?skal ceny r?znych nomin?lnych hodn?t, ak uh?dol in? po?et ??sel ozn?men?ch ?rebovacou komisiou. N?jdite pravdepodobnos?, ?e hr?? uh?dol jedno ??slo.
58. V 80. rokoch bola v ZSSR popul?rna hra sportloto 5 z 36. Hr?? si na kartu pozna?il 5 ??sel od 1 do 36 a z?skal ceny r?znych nomin?lnych hodn?t, ak uh?dol in? po?et ??sel ozn?men?ch ?rebovacou komisiou. N?jdite pravdepodobnos?, ?e hr?? uh?dol 3 ??sla.
59. V 80. rokoch bola v ZSSR popul?rna hra sportloto 5 z 36. Hr?? si na kartu pozna?il 5 ??sel od 1 do 36 a z?skal ceny r?znych nomin?lnych hodn?t, ak uh?dol in? po?et ??sel ozn?men?ch ?rebovacou komisiou. N?jdite pravdepodobnos?, ?e hr?? neuh?dol v?etk?ch 5 ??sel.
60. V 80. rokoch bola v ZSSR popul?rna hra sportloto 6 zo 49. Hr?? si na kartu pozna?il 6 ??sel od 1 do 49 a z?skal ceny r?znych nomin?lnych hodn?t, ak uh?dol in? po?et ??sel ozn?men?ch ?rebovacou komisiou. N?jdite pravdepodobnos?, ?e hr?? uh?dol 2 ??sla.
61. V 80. rokoch bola v ZSSR popul?rna hra „sportloto 6 zo 49“. Hr?? si na kartu pozna?il 6 ??sel od 1 do 49 a z?skal ceny r?znych nomin?lnych hodn?t, ak uh?dol in? po?et ??sel ozn?men?ch ?rebovacou komisiou. N?jdite pravdepodobnos?, ?e hr?? neuh?dol ?iadne ??slo.
62. V 80. rokoch bola v ZSSR popul?rna hra „sportloto 6 zo 49“. Hr?? si na kartu pozna?il 6 ??sel od 1 do 49 a z?skal ceny r?znych nomin?lnych hodn?t, ak uh?dol in? po?et ??sel ozn?men?ch ?rebovacou komisiou. N?jdite pravdepodobnos?, ?e hr?? uh?dol v?etk?ch 6 ??sel.
63. V d?vke 1 000 kusov s? 4 chybn?. Na kontrolu sa vyberie ?ar?a 100 produktov. Ak? je pravdepodobnos? LLP, ?e v kontrolnej d?vke bude iba 1 chybn??
64. Ko?ko r?znych slov mo?no vytvori? preskupen?m p?smen v slove „kniha“?
65. Ko?ko r?znych slov mo?no vytvori? preskupen?m p?smen v slove "anan?s"?
66. Do v??ahu nast?pilo 6 os?b a ubytov?a m? 7 poschod?. Ak? je pravdepodobnos?, ?e v?etk?ch 6 ?ud? vyjde na tom istom poschod??
67. Do v??ahu nast?pilo 6 os?b, budova m? 7 poschod?. Ak? je pravdepodobnos?, ?e v?etk?ch 6 ?ud? vyjde na r?znych poschodiach?
68. Po?as b?rky do?lo k pretrhnutiu dr?tu na ?seku medzi 40 a 79 km elektrick?ho vedenia. Za predpokladu, ?e zlom je rovnako mo?n? v ktoromko?vek bode, n?jdite pravdepodobnos?, ?e zlom nastal medzi 40. a 45. kilometrom.
69. Na 200-kilometrovom ?seku plynovodu doch?dza k ?niku plynu medzi kompresorov?mi stanicami A a B, ktor? je rovnako mo?n? na ktoromko?vek mieste plynovodu. Ak? je pravdepodobnos?, ?e k ?niku d?jde do 20 km od A
70. Na 200-kilometrovom ?seku plynovodu doch?dza k ?niku plynu medzi kompresorov?mi stanicami A a B, ktor? je rovnako mo?n? na ktoromko?vek mieste plynovodu. Ak? je pravdepodobnos?, ?e ?nik je bli??ie k bodu A ako k bodu B?
71. Radar in?pektora dopravnej pol?cie m? presnos? 10 km/h a zat??a na najbli??iu stranu. ?o sa st?va ?astej?ie - zaokr?h?ovanie v prospech vodi?a alebo rev?zora?
72. M??a str?vi na ceste do ?stavu 40 a? 50 min?t a ak?ko?vek ?as v tomto intervale je rovnako pravdepodobn?. Ak? je pravdepodobnos?, ?e str?vi na ceste 45 a? 50 min?t.
73. Pe?a a M??a sa dohodli, ?e sa stretn? pri pam?tn?ku Pu?kina od 12. do 13. hodiny, ale nikto nevedel uvies? presn? ?as pr?chodu. Dohodli sa, ?e na seba po?kaj? 15 min?t. Ak? je pravdepodobnos? ich stretnutia?
74. Ryb?ri ulovili v rybn?ku 120 r?b, z toho 10 kr??kovan?ch. Ak? je pravdepodobnos? ulovenia kr??kovanej ryby?
75. Z ko??ka s 3 ?erven?mi a 7 zelen?mi jablkami postupne vyberte v?etky jablk?. Ak? je pravdepodobnos?, ?e 2. jablko je ?erven??
76. Z ko??ka s 3 ?erven?mi a 7 zelen?mi jablkami postupne vyberte v?etky jablk?. Ak? je pravdepodobnos?, ?e posledn? jablko je zelen??
77. ?tudenti sa domnievaj?, ?e z 50 l?stkov je 10 „dobr?ch“. Pe?a a M??a sa striedavo ?ahaj? po jednom l?stku. Ak? je pravdepodobnos?, ?e M??a dostala „dobr?“ l?stok?
78. ?tudenti sa domnievaj?, ?e z 50 l?stkov je 10 „dobr?ch“. Pe?a a M??a sa striedavo ?ahaj? po jednom l?stku. Ak? je pravdepodobnos?, ?e obaja dostali „dobr?“ tiket?
79. M??a pri?la na sk??ku s vedom?m odpoved? na 20 ot?zok programu z 25. Profesor sa p?ta 3 ot?zky. Ak? je pravdepodobnos?, ?e M??a odpovie na 3 ot?zky?
80. M??a pri?la na sk??ku s vedom?m odpoved? na 20 ot?zok programu z 25. Profesor sa p?ta 3 ot?zky. Ak? je pravdepodobnos?, ?e M??a neodpovie na ?iadnu z ot?zok?
81. M??a pri?la na sk??ku s vedom?m odpoved? na 20 ot?zok programu z 25. Profesor sa p?ta 3 ot?zky. Ak? je pravdepodobnos?, ?e M??a odpovie na 1 ot?zku?
82. ?tatistika ?iadost? o bankov? ?ver je nasledovn?: 10 % - stav. org?ny, 20 % - ostatn? banky, zvy?ok - fyzick? osoby. Pravdepodobnos? zlyhania ?veru je 0,01, 0,05 a 0,2. Ak? ?as? p??i?iek je nen?vratn??
83. pravdepodobnos?, ?e t??denn? obrat obchodn?ka so zmrzlinou presiahne 2000 rub?ov. je 80 % za jasn?ho po?asia, 50 % za polojasna a 10 % za da?div?ho po?asia. Ak? je pravdepodobnos?, ?e obrat presiahne 2 000 rub?ov. ak je pravdepodobnos? jasn?ho po?asia 20% a poloobla?no a da?divo - ka?d? 40%.
84. Biela (b) a C s? v urne A ?ierne (h) gule. Z urny sa vyber? dve lopti?ky (s??asne alebo postupne). N?jdite pravdepodobnos?, ?e obe gule s? biele.
85. V urne A bieli a B
86. V urne A bieli a B
87. V urne A bieli a B ?ierne gule. Jedna lopti?ka sa vyberie z urny, ozna?? sa jej farba a lopti?ka sa vr?ti do urny. Potom sa z urny vyberie ?al?ia lopta. N?jdite pravdepodobnos?, ?e tieto gule bud? r?znych farieb.
88. Je tu krabica s deviatimi nov?mi tenisov?mi lopti?kami. Na hru sa ber? tri lopti?ky; po hre s? vr?ten? sp??. Pri v?bere l?pt nerozli?uj? odohran? a neodohran? lopty. Ak? je pravdepodobnos?, ?e po troch hr?ch nebud? v boxe ?iadne neodohran? lopti?ky?
89. Odchod z bytu, N ka?d? hos? si oble?ie svoje galo?e;
90. Odchod z bytu, N hostia s rovnakou ve?kos?ou top?nok si v tme ob?vaj? galo?e. Ka?d? z nich dok??e rozl??i? prav? galusku od ?avej, ale nedok??e rozl??i? svoju vlastn? od niekoho in?ho. N?jdite pravdepodobnos?, ?e ka?d? hos? si oble?ie galo?e patriace jedn?mu p?ru (mo?no nie ich vlastn?).
91. V podmienkach ?lohy 90 n?jdite pravdepodobnos?, ?e v?etci od?du vo svojich galo??ch ak hostia nedok??u rozl??i? prav? galo?e od ?avej a jednoducho vezm? prv? dve galo?e, ktor? natrafia.
92. Prebieha stre?ba na lietadlo, ktor?ho zranite?n?mi ?as?ami s? dva motory a kokpit. Na zasiahnutie (znefunk?nenie) lietadla sta?? zasiahnu? oba motory naraz alebo kokpit. Za dan?ch podmienok stre?by je pravdepodobnos? zasiahnutia prv?ho motora p1 druh? motor p2, kokpite p3.?asti lietadla s? ovplyvnen? nez?visle od seba. N?jdite pravdepodobnos?, ?e lietadlo zasiahne.
93. Dvaja strelci, nez?visle na sebe, vystrelia dva v?strely (ka?d? na svoj cie?). Pravdepodobnos? zasiahnutia cie?a jednou ranou pre prv?ho strelca p1 pre druh? p2. V??azom s??a?e sa st?va strelec, v cieli ktor?ho bude viac jamiek. N?jdite pravdepodobnos? Rx?o vyhr? prv? strelec.
94. za vesm?rnym objektom je objekt s pravdepodobnos?ou detekovan? R. Detekcia objektov v ka?dom cykle prebieha nez?visle od ostatn?ch. N?jdite pravdepodobnos?, ?e kedy P cykly, objekt bude detekovan?.
95. Na rozrezan?ch kart?ch abecedy je nap?san?ch 32 p?smen ruskej abecedy. N?hodne sa vytiahne p?? kariet, jedna po druhej, a polo?? sa na st?l v porad?, v akom sa objavia. N?jdite pravdepodobnos?, ?e sa z?ska slovo „koniec“.
96. Dve lopti?ky s? n?hodne a nez?visle od seba rozh?dzan? po ?tyroch bunk?ch umiestnen?ch za sebou v priamke. Ka?d? lopti?ka s rovnakou pravdepodobnos?ou 1/4 zasiahne ka?d? bunku. N?jdite pravdepodobnos?, ?e lopti?ky spadn? do susedn?ch buniek.
97. Na lietadlo s? vystre?ovan? z?paln? projektily. Palivo v lietadle je s?streden? v ?tyroch n?dr?iach umiestnen?ch v trupe za sebou. Ve?kosti n?dr?? s? rovnak?. Na zap?lenie lietadla sta?? zasiahnu? dva n?boje bu? do tej istej n?dr?e, alebo do susedn?ch n?dr??. Je zn?me, ?e priestor tanku zasiahli dva n?boje. N?jdite pravdepodobnos?, ?e lietadlo za?ne horie?.
98. Z pln?ho bal??ka kariet (52 listov) sa naraz vyber? ?tyri karty. N?jdite pravdepodobnos?, ?e v?etky ?tyri tieto karty s? rovnakej farby.
99. Z pln?ho bal??ka kariet (52 listov) sa vyber? ?tyri karty naraz, ale ka?d? karta sa po vytiahnut? vr?ti sp?? do bal??ka. N?jdite pravdepodobnos?, ?e v?etky ?tyri karty s? rovnakej farby.
100. Po zapnut? zapa?ovania sa motor pravdepodobne spust? R.
101. Zariadenie m??e pracova? v dvoch re?imoch: 1) norm?lny a 2) abnorm?lny. Norm?lny re?im sa pozoruje v 80% v?etk?ch pr?padov prev?dzky zariadenia; abnorm?lne - v 20%. Pravdepodobnos? zlyhania zariadenia v ?ase t v norm?lnom re?ime je 0,1; v abnorm?lnom - 0,7. N?jdite ?pln? pravdepodobnos? R porucha zariadenia.
102. Predaj?a prij?ma tovar od 3 dod?vate?ov: 55% od 1., 20 od 2. a 25% od 3. Podiel sob??ov je 5, 6 a 8 percent. Ak? je pravdepodobnos?, ?e zak?pen? chybn? v?robok poch?dza od druh?ho dod?vate?a.
103. Tok ?ut popri ?erpac?ch staniciach tvoria 60 % n?kladn? aut? a 40 % osobn? aut?. Ak? je pravdepodobnos? n?jdenia n?kladn?ho auta na ?erpacej stanici, ak je pravdepodobnos? natankovania 0,1 a osobn?ho auta 0,3
104. Tok ?ut popri ?erpac?ch staniciach tvoria 60 % n?kladn? aut? a 40 % osobn? aut?. Ak? je pravdepodobnos? n?jdenia n?kladn?ho auta na ?erpacej stanici, ak je pravdepodobnos? natankovania 0,1 a osobn?ho auta 0,3
105. Predaj?a prij?ma tovar od 3 dod?vate?ov: 55% od 1., 20 od 2. a 25% od 3. Podiel sob??ov je 5, 6 a 8 percent. Ak? je pravdepodobnos?, ?e zak?pen? chybn? v?robok poch?dza od 1. dod?vate?a.
106. Na rozrezan?ch kart?ch abecedy je nap?san?ch 32 p?smen ruskej abecedy. N?hodne sa vytiahne p?? kariet, jedna po druhej, a polo?? sa na st?l v porad?, v akom sa objavia. N?jdite pravdepodobnos?, ?e dostanete slovo „kniha“.
107. Predaj?a prij?ma tovar od 3 dod?vate?ov: 55% od 1., 20 od 2. a 25% od 3. Podiel sob??ov je 5, 6 a 8 percent. Ak? je pravdepodobnos?, ?e zak?pen? chybn? v?robok poch?dza od 1. dod?vate?a.
108. Dve lopti?ky s? n?hodne a nez?visle od seba rozh?dzan? po ?tyroch bunk?ch umiestnen?ch za sebou v priamke. Ka?d? lopti?ka s rovnakou pravdepodobnos?ou 1/4 zasiahne ka?d? bunku. N?jdite pravdepodobnos?, ?e 2 lopti?ky padn? do tej istej bunky
109. Po zapnut? zapa?ovania za?ne motor s pravdepodobnos?ou pracova? R. N?jdite pravdepodobnos?, ?e motor za?ne be?a? po druhom zapnut? zapa?ovania;
110. Na lietadlo s? vystre?ovan? z?paln? projektily. Palivo v lietadle je s?streden? v ?tyroch n?dr?iach umiestnen?ch v trupe za sebou. Ve?kosti n?dr?? s? rovnak?. Na zap?lenie lietadla sta?? zasiahnu? dva n?boje v tej istej n?dr?i. Je zn?me, ?e priestor tanku zasiahli dva n?boje. N?jdite pravdepodobnos?, ?e lietadlo za?ne horie?
111. Na lietadlo s? vystre?ovan? z?paln? projektily. Palivo v lietadle je s?streden? v ?tyroch n?dr?iach umiestnen?ch v trupe za sebou. Ve?kosti n?dr?? s? rovnak?. Na zap?lenie lietadla sta?? zasiahnu? dva n?boje v susedn?ch n?dr?iach. Je zn?me, ?e priestor tanku zasiahli dva n?boje. N?jdite pravdepodobnos?, ?e lietadlo za?ne horie?
112. V urne A bieli a B ?ierne gule. Jedna lopti?ka sa vyberie z urny, ozna?? sa jej farba a lopti?ka sa vr?ti do urny. Potom sa z urny vyberie ?al?ia lopta. N?jdite pravdepodobnos?, ?e obe vytiahnut? gule s? biele.
113. V urne A bieli a B ?ierne gule. Z urny sa vyber? dve lopti?ky naraz. N?jdite pravdepodobnos?, ?e tieto gule bud? r?znych farieb.
114. Dve lopti?ky s? n?hodne a nez?visle od seba rozh?dzan? po ?tyroch bunk?ch umiestnen?ch za sebou v priamke. Ka?d? lopti?ka s rovnakou pravdepodobnos?ou 1/4 zasiahne ka?d? bunku. N?jdite pravdepodobnos?, ?e lopti?ky spadn? do susedn?ch buniek.
115. M??a pri?la na sk??ku s vedom?m odpoved? na 20 ot?zok programu z 25. Profesor sa p?ta 3 ot?zky. Ak? je pravdepodobnos?, ?e M??a odpovie na 2 ot?zky?
116. ?tudenti sa domnievaj?, ?e z 50 l?stkov je 10 „dobr?ch“. Pe?a a M??a sa striedavo ?ahaj? po jednom l?stku. Ak? je pravdepodobnos?, ?e obaja dostali „dobr?“ tiket?
117. ?tatistika ?iadost? o bankov? ?ver je nasledovn?: 10 % - stav. org?ny, 20 % - ostatn? banky, zvy?ok - fyzick? osoby. Pravdepodobnos? zlyhania ?veru je 0,01, 0,05 a 0,2. Ak? ?as? p??i?iek je nen?vratn??
118. Na rozrezan?ch kart?ch abecedy je nap?san?ch 32 p?smen ruskej abecedy. N?hodne sa vytiahne p?? kariet, jedna po druhej, a polo?? sa na st?l v porad?, v akom sa objavia. N?jdite pravdepodobnos?, ?e sa z?ska slovo „koniec“.
119 ?tatistika ?iadost? o bankov? ?ver je nasledovn?: 10% - stav. org?ny, 20 % - ostatn? banky, zvy?ok - fyzick? osoby. Pravdepodobnos? zlyhania ?veru je 0,01, 0,05 a 0,2. Ak? ?as? p??i?iek je nen?vratn??
120. pravdepodobnos?, ?e t??denn? obrat obchodn?ka so zmrzlinou presiahne 2000 rub?ov. je 80 % za jasn?ho po?asia, 50 % za polojasna a 10 % za da?div?ho po?asia. Ak? je pravdepodobnos?, ?e obrat presiahne 2 000 rub?ov. ak je pravdepodobnos? jasn?ho po?asia 20% a poloobla?no a da?divo - ka?d? 40%.
Formul?r udalost? cel? skupina, ak sa aspo? jedna z nich nevyhnutne vyskytne ako v?sledok experimentu a s? p?rovo nekonzistentn?.
Predpokladajme, ?e udalos? A m??e nasta? len spolu s jednou z nieko?k?ch p?rovo nekompatibiln?ch udalost?, ktor? tvoria kompletn? skupinu. Zavolajme udalosti i= 1, 2,…, n) hypot?z?al?ie sk?senosti (a priori). Pravdepodobnos? v?skytu udalosti A je ur?en? vzorcom pln? pravdepodobnos? :
Pr?klad 16 S? tam tri urny. Prv? urna obsahuje 5 bielych a 3 ?ierne gule, druh? urna obsahuje 4 biele a 4 ?ierne gule a tretia urna obsahuje 8 bielych gu???ok. Jedna z urien sa vyberie n?hodne (m??e to znamena?, ?e sa napr?klad vyberie pomocn? urna obsahuj?ca tri lopti?ky o??slovan? 1, 2 a 3). Z tejto urny sa n?hodne vy?rebuje lopta. Ak? je pravdepodobnos?, ?e bude ?ierna?
Rie?enie. Udalos? A– ?ah? sa ?ierna gu?a. Ak by sa vedelo, z ktorej urny sa lopti?ka ?ah?, potom by sa po?adovan? pravdepodobnos? dala vypo??ta? pod?a klasickej defin?cie pravdepodobnosti. Uve?me predpoklady (hypot?zy) o tom, ktor? urna sa vyberie na vytiahnutie lopty.
Lopti?ku je mo?n? ?rebova? bu? z prvej urny (hypot?za), alebo z druhej (hypot?za) alebo z tretej (hypot?za). Ke??e s? rovnak? ?ance vybra? si ktor?ko?vek z urien, potom 
.
Z toho teda vypl?va
Pr?klad 17. Elektrick? lampy sa vyr?baj? v troch tov?r?ach. Prv? z?vod vyr?ba 30% z celkov?ho po?tu elektrick?ch l?mp, druh? - 25%,
a tret? pre zvy?ok. V?robky prv?ho z?vodu obsahuj? 1% chybn?ch elektrick?ch l?mp, druh? - 1,5%, tret? - 2%. Obchod dost?va produkty zo v?etk?ch troch tov?rn?. Ak? je pravdepodobnos?, ?e lampa zak?pen? v obchode je chybn??
Rie?enie. Je potrebn? zada? predpoklady, v ktorom z?vode bola ?iarovka vyroben?. Ke? to vieme, m??eme n?js? pravdepodobnos?, ?e je chybn?. Predstavme si not?ciu udalost?: A– zak?pen? elektrick? lampa sa uk?zala ako chybn?, – lampa bola vyroben? v prvom z?vode, – lampa bola vyroben? v druhom z?vode,
– lampu vyr?ba tretia tov?re?.
Po?adovan? pravdepodobnos? sa zist? pod?a vzorca celkovej pravdepodobnosti:
Bayesov vzorec. Nech je ?pln? skupina p?rovo nekompatibiln?ch udalost? (hypot?z). ALE je n?hodn? udalos?. potom
Posledn? vzorec, ktor? v?m umo??uje prece?ova? pravdepodobnosti hypot?z po tom, ?o sa dozvieme v?sledok testu, v d?sledku ?oho sa objavila udalos? A, sa naz?va Bayesov vzorec .
Pr?klad 18. Priemerne 50 % pacientov s t?mto ochoren?m je prijat?ch do ?pecializovanej nemocnice Komu, 30 % s ochoren?m L, 20 % –
s chorobou M. Pravdepodobnos? ?pln?ho vylie?enia choroby K sa rovn? 0,7 pre choroby L a M tieto pravdepodobnosti s? 0,8 a 0,9. Pacient prijat? do nemocnice bol prepusten? zdrav?. N?jdite pravdepodobnos?, ?e tento pacient mal toto ochorenie K.
Rie?enie. Zav?dzame hypot?zy: - pacient trpel chorobou Komu L, pacientka trpela chorobou M.
Potom, pod?a stavu probl?mu, m?me . Predstavme si udalos? ALE Pacient prijat? do nemocnice bol prepusten? zdrav?. Pod?a podmienok
Pod?a vzorca celkovej pravdepodobnosti dostaneme:
Bayesov vzorec.
Pr?klad 19. Nech je v urne p?? lopti?iek a v?etky predpoklady o po?te bielych lopti?iek s? rovnako pravdepodobn?. Z urny sa n?hodne vyberie lopta a uk??e sa, ?e je biela. Ak? je najpravdepodobnej?? predpoklad o po?iato?nom zlo?en? urny?
Rie?enie. Nech je hypot?za, ?e v urne biele gule 
t.j. je mo?n? urobi? ?es? predpokladov. Potom, pod?a stavu probl?mu, m?me .
Predstavme si udalos? ALE N?hodne vytiahnut? biela gu?a. Po?me po??ta?. Od , potom pod?a Bayesovho vzorca m?me: 
Hypot?za je teda najpravdepodobnej?ia, ke??e .
Pr?klad 20. Zlyhali dva z troch nez?visle funguj?cich prvkov v?po?tov?ho zariadenia. N?jdite pravdepodobnos? zlyhania prv?ho a druh?ho prvku, ak sa pravdepodobnos? zlyhania prv?ho, druh?ho a tretieho prvku rovn? 0,2; 0,4 a 0,3.
Rie?enie. Ozna?i? pod?a ALE udalos? - dva prvky zlyhali. Je mo?n? urobi? nasleduj?ce hypot?zy:
- prv? a druh? prvok zlyhal a tret? prvok je prev?dzkyschopn?. Ke??e prvky pracuj? nez?visle, plat? n?sobiaca veta:
Bayesov vzorec
Bayesova veta- jedna z hlavn?ch teor?mov element?rnej te?rie pravdepodobnosti, ktor? ur?uje pravdepodobnos? udalosti vyskytuj?cej sa za podmienok, ke? s? na z?klade pozorovan? zn?me len niektor? ?iastkov? inform?cie o udalostiach. Pod?a Bayesovho vzorca je mo?n? presnej?ie prepo??ta? pravdepodobnos? s prihliadnut?m na predt?m zn?me inform?cie aj ?daje z nov?ch pozorovan?.
"Fyzick? v?znam" a terminol?gia
Bayesov vzorec v?m umo??uje „preusporiada? pr??inu a n?sledok“: vzh?adom na zn?mu skuto?nos? udalosti vypo??tajte pravdepodobnos?, ?e bola sp?soben? danou pr??inou.
Udalosti odr??aj?ce p?sobenie „pr??in“ sa v tomto pr?pade zvy?ajne naz?vaj? hypot?z, preto?e oni s? predpokladan? udalosti, ktor? k tomu viedli. Bezpodmiene?n? pravdepodobnos? platnosti hypot?zy sa naz?va a priori(Ak? je pravdepodobn? pr??ina? v?eobecne), a podmiene?n? – ber?c do ?vahy skuto?nos? udalosti – a posteriori(Ak? je pravdepodobn? pr??ina? sa uk?zalo, ?e berie do ?vahy ?daje o udalosti).
D?sledok
D?le?it?m d?sledkom Bayesovho vzorca je vzorec pre celkov? pravdepodobnos? udalosti v z?vislosti od nieko?ko nekonzistentn? hypot?zy ( a len od nich!).
- pravdepodobnos? v?skytu udalosti B v z?vislosti od mno?stva hypot?z A i ak s? zn?me stupne spo?ahlivosti t?chto hypot?z (napr?klad meran? experiment?lne); Odvodenie vzorca
Ak udalos? z?vis? len od pr??in A i, tak ak sa to stalo, znamen? to, ?e niektor? z d?vodov sa nevyhnutne stal, t.j.
Pod?a Bayesovho vzorca
prevod P(B) vpravo, z?skame po?adovan? v?raz.
Met?da filtrovania spamu
Met?da zalo?en? na Bayesovej vete bola ?spe?ne pou?it? pri filtrovan? spamu.
Popis
Pri tr?novan? filtra sa pre ka?d? slovo vyskytuj?ce sa v p?smen?ch vypo??ta a ulo?? jeho „v?ha“ - pravdepodobnos?, ?e p?smeno s t?mto slovom je spam (v najjednoduch?om pr?pade pod?a klasickej defin?cie pravdepodobnosti: „vyskytuje sa v spame / vzh?ad v?etk?ho“).
Pri kontrole novo doru?en?ho listu sa pravdepodobnos?, ?e ide o spam, vypo??ta pod?a vy??ie uveden?ho vzorca pre s?bor hypot?z. V tomto pr?pade s? „hypot?zy“ slov? a pre ka?d? slovo „spo?ahlivos? hypot?zy“ - % tohto slova v p?smene a „z?vislos? udalosti od hypot?zy“ P(B | A i) - predt?m vypo??tan? "v?ha" slova. To znamen?, ?e „v?ha“ p?smena v tomto pr?pade nie je ni? in? ako priemern? „v?ha“ v?etk?ch jeho slov.
List je klasifikovan? ako „spam“ alebo „non-spam“ pod?a toho, ?i jeho „v?ha“ presahuje ur?it? hranicu nastaven? pou??vate?om (zvy?ajne zaber? 60-80%). Po rozhodnut? o p?smene sa v datab?ze aktualizuj? „v?hy“ slov, ktor? obsahuje.
Charakteristick?
T?to met?da je jednoduch? (algoritmy s? element?rne), pohodln? (umo?n? v?m zaob?s? sa bez „?iernych zoznamov“ a podobn?ch umel?ch trikov), ??inn? (po natr?novan? na dostato?ne ve?kej vzorke odre?e a? 95 – 97 % spamu a v pr?pade ak?chko?vek ch?b m??e by? ?alej tr?novan?). Vo v?eobecnosti existuj? v?etky n?znaky jeho ?irok?ho pou??vania, ?o sa v praxi deje - takmer v?etky modern? spamov? filtre s? postaven? na jeho z?klade.
Met?da m? v?ak aj z?sadn? nev?hodu: je na z?klade predpokladu, ?o niektor? slov? s? be?nej?ie v spame, zatia? ?o in? s? be?nej?ie v be?n?ch e-mailoch a je neefekt?vny, ak je tento predpoklad nepravdiv?. Ako v?ak ukazuje prax, ani ?lovek nie je schopn? ur?i? tak?to spam "od oka" - a? po pre??tan? listu a pochopen? jeho v?znamu.
?al?ia, nie z?sadn?, nev?hoda spojen? s implement?ciou – met?da pracuje len s textom. Spameri, ktor? o tomto obmedzen? vedeli, za?ali do obr?zka vklada? reklamn? inform?cie, pri?om text v liste bu? ch?ba, alebo ned?va zmysel. Proti tomu treba pou?i? bu? n?stroje na rozpozn?vanie textu ("drah?" postup, ktor? sa pou??va len v nevyhnutn?ch pr?padoch), alebo star? met?dy filtrovania - "?ierne listiny" a regul?rne v?razy (ke??e tak?to p?smen? maj? ?asto stereotypn? formu).
pozri tie?
Pozn?mky
Odkazy
Literat?ra
- Byrd Kiwi. Bayesova veta. // ?asopis Computerra, 24. august 2001
- Paul Graham. Pl?n na spam. // Osobn? str?nka Paula Grahama.
Nad?cia Wikimedia. 2010.
Pozrite sa, ?o je "Bayesov vzorec" v in?ch slovn?koch:
Vzorec, ktor? vyzer? takto: kde a1, A2, ..., An s? nezlu?ite?n? udalosti, V?eobecn? sch?ma na aplik?ciu F. v. napr.: ak udalos? B m??e nasta? v dekomp. podmienky, za ktor?ch sa vytvor? n hypot?z A1, A2, ..., An s pravdepodobnos?ami P (A1), ... zn?mymi pred experimentom, ... ... Geologick? encyklop?dia
Umo??uje vypo??ta? pravdepodobnos? udalosti z?ujmu prostredn?ctvom podmienen?ch pravdepodobnost? tejto udalosti za predpokladu ur?it?ch hypot?z, ako aj pravdepodobnosti t?chto hypot?z. Formul?cia Nech je dan? priestor pravdepodobnosti a ?pln? skupina v p?roch ... ... Wikipedia
Umo??uje vypo??ta? pravdepodobnos? udalosti z?ujmu prostredn?ctvom podmienen?ch pravdepodobnost? tejto udalosti za predpokladu ur?it?ch hypot?z, ako aj pravdepodobnosti t?chto hypot?z. Formul?cia Nech je dan? priestor pravdepodobnosti a ?pln? skupina udalost?, ako ... ... Wikipedia
- (alebo Bayesov vzorec) je jednou z hlavn?ch teor?mov te?rie pravdepodobnosti, ktor? umo??uje ur?i? pravdepodobnos?, ?e udalos? (hypot?za) nastala za pr?tomnosti iba nepriamych d?kazov (?dajov), ktor? m??u by? nepresn? ... Wikipedia
Bayesova veta je jednou z hlavn?ch teor?mov element?rnej te?rie pravdepodobnosti, ktor? ur?uje pravdepodobnos? udalosti, ktor? nastane za podmienok, ke? s? na z?klade pozorovan? zn?me len niektor? ?iastkov? inform?cie o udalostiach. Pod?a Bayesovho vzorca m??ete ... ... Wikipedia
Bayes, Thomas Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes D?tum narodenia: 1702 (1702) Miesto narodenia ... Wikipedia
Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes D?tum narodenia: 1702 (1702) Miesto narodenia: Lond?n ... Wikipedia
Bayesovsk? inferencia je jednou z met?d ?tatistickej inferencie, v ktorej sa Bayesov vzorec pou??va na spresnenie pravdepodobnostn?ch odhadov pravdivosti hypot?z, ke? pr?du d?kazy. Pou?itie Bayesovskej aktualiz?cie je obzvl??? d?le?it? v ... ... Wikip?dii
Chceli by ste vylep?i? tento ?l?nok?: N?jdite a poskytnite pozn?mky pod ?iarou pre odkazy na d?veryhodn? zdroje, ktor? potvrdzuj? to, ?o bolo nap?san?. Uve?te pozn?mky pod ?iarou a uve?te presnej?ie zdroje. Pere ... Wikipedia
Zradia sa v?zni navz?jom pod?a svojich sebeck?ch z?ujmov, alebo bud? ml?a?, ??m sa skr?ti celkov? ?as? Prisoner's dilemma (angl. Prisoner's dilemma, n?zov „dilema“ sa pou??va menej ... Wikipedia
knihy
- Te?ria pravdepodobnosti a matematick? ?tatistika v probl?moch: Viac ako 360 probl?mov a cvi?en?, Borzykh D. Navrhovan? manu?l obsahuje probl?my r?znych ?rovn? zlo?itosti. Hlavn? d?raz sa v?ak kladie na ?lohy strednej zlo?itosti. Toto sa rob? z?merne s cie?om povzbudi? ?tudentov, aby…
Stru?n? te?ria
Ak udalos? nastane iba vtedy, ak nastane jedna z udalost? tvoriacich ?pln? skupinu nekompatibiln?ch udalost?, potom sa rovn? s??tu s??inov pravdepodobnost? ka?dej z udalost? a zodpovedaj?cej podmienenej pe?a?enky pravdepodobnosti .
V tomto pr?pade sa udalosti naz?vaj? hypot?zy a pravdepodobnosti sa naz?vaj? a priori. Tento vzorec sa naz?va vzorec celkovej pravdepodobnosti.
Bayesov vzorec sa pou??va pri rie?en? praktick?ch probl?mov, ke? nastala udalos?, ktor? sa objav? spolu s niektorou z udalost? tvoriacich ucelen? skupinu udalost?, a je potrebn? vykona? kvantitat?vne prehodnotenie pravdepodobnosti hypot?z. A priori (pred sk?senos?ou) pravdepodobnosti s? zn?me. Je potrebn? vypo??ta? a posteriori (po sk?senostiach) pravdepodobnosti, t.j. V podstate mus?te n?js? podmienen? pravdepodobnosti. Bayesov vzorec vyzer? takto:
?al?ia strana sa zaober? probl?mom na .
Pr?klad rie?enia probl?mu
Podmienka ?lohy 1
V z?vode vyr?baj? stroje 1, 2 a 3 20 %, 35 % a 45 % v?etk?ch dielov. V ich produktoch je chyba 6%, 4%, 2%. Ak? je pravdepodobnos?, ?e n?hodne vybran? polo?ka je chybn?? Ak? je pravdepodobnos?, ?e bol vyroben?: a) strojom 1; b) stroj 2; c) stroj 3?
Rie?enie probl?mu 1
Ozna?te pr?padom, ?e sa ?tandardn? v?robok uk?zal ako chybn?.
Udalos? m??e nasta? iba vtedy, ak nastane jedna z troch udalost?:
Produkt sa vyr?ba na stroji 1;
Produkt sa vyr?ba na stroji 2;
Produkt sa vyr?ba na stroji 3;
Nap??me podmienen? pravdepodobnosti:
Vzorec ?plnej pravdepodobnosti
Ak sa udalos? m??e vyskytn?? len vtedy, ke? nastane jedna z udalost?, ktor? tvoria ?pln? skupinu nekompatibiln?ch udalost?, potom sa pravdepodobnos? udalosti vypo??ta pod?a vzorca
Pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti n?jdeme pravdepodobnos? udalosti:
Bayesov vzorec
Bayesov vzorec v?m umo??uje „preusporiada? pr??inu a n?sledok“: vzh?adom na zn?mu skuto?nos? udalosti vypo??tajte pravdepodobnos?, ?e bola sp?soben? danou pr??inou.
Pravdepodobnos?, ?e chybn? polo?ka bola vyroben? na stroji 1:
Pravdepodobnos?, ?e chybn? polo?ka bola vyroben? na stroji 2:
Pravdepodobnos?, ?e chybn? polo?ka bola vyroben? na stroji 3:
Podmienka ?lohy 2
Skupinu tvor? 1 v?born? ?iak, 5 dobr?ch ?iakov a 14 priemern?ch ?iakov. Vynikaj?ci ?tudent odpoved? na 5 a 4 s rovnakou pravdepodobnos?ou, dobr? ?tudent odpoved? na 5, 4 a 3 s rovnakou pravdepodobnos?ou a priemern? ?tudent odpoved? na 4, 3 a 2 s rovnakou pravdepodobnos?ou. N?hodne vybran? ?tudent odpovedal 4. Ak? je pravdepodobnos?, ?e bol povolan? priemern? ?tudent?
Rie?enie probl?mu 2
Hypot?zy a podmienen? pravdepodobnosti
Mo?n? s? nasleduj?ce hypot?zy:
Vynikaj?ci ?tudent odpovedal;
Odpovedal dobre;
– odpovedal priemern? ?tudent;
Nechajte udalos? – ?tudent z?ska? 4.
Podmienen? pravdepodobnosti:
odpove?:
Stredn? n?klady na rie?enie kontroln?ch pr?c s? 700 - 1200 rub?ov (ale nie menej ako 300 rub?ov za cel? objedn?vku). Cena je silne ovplyvnen? naliehavos?ou rozhodnutia (od dn? a? po nieko?ko hod?n). N?klady na online pomoc pri sk??ke / teste - od 1 000 rub?ov. pre rie?enie l?stkov.
Aplik?ciu je mo?n? ponecha? priamo v chate, pri?om ste predt?m vyhodili stav ?loh a informovali v?s o term?noch rie?enia. Doba odozvy je nieko?ko min?t.
Nech s? zn?me ich pravdepodobnosti a zodpovedaj?ce podmienen? pravdepodobnosti. Potom je pravdepodobnos? v?skytu udalosti:
Tento vzorec sa naz?va vzorce celkovej pravdepodobnosti. V u?ebniciach je formulovan? teor?mou, ktorej d?kaz je element?rny: pod?a algebra udalost?, (udalos? sa stala a alebo sa stala udalos? a po nej pri?la udalos? alebo sa stala udalos? a po nej pri?la udalos? alebo …. alebo sa stala udalos? a sledovan? udalos?). Ke??e hypot?zy 
s? nezlu?ite?n?, a udalos? je z?visl?, potom pod?a s??tacia veta pre pravdepodobnosti nezlu?ite?n?ch udalost? (Prv? krok) a teor?m o n?soben? pravdepodobnost? z?visl?ch udalost? (druh? krok):
Pravdepodobne mnoh? o?ak?vaj? obsah prv?ho pr?kladu =)
Kamko?vek p?uje? - v?ade urna:
?loha 1
Existuj? tri rovnak? urny. Prv? urna obsahuje 4 biele a 7 ?iernych lopti?iek, druh? urna obsahuje iba biele lopti?ky a tretia urna obsahuje iba ?ierne gule. N?hodne sa vyberie jedna urna a n?hodne sa z nej vy?rebuje lopti?ka. Ak? je pravdepodobnos?, ?e t?to gu?a je ?ierna?
Rie?enie: zv??te udalos? - z n?hodne vybranej urny sa vy?rebuje ?ierna gu?a. T?to udalos? m??e nasta? v d?sledku implement?cie jednej z nasleduj?cich hypot?z:
– vyberie sa 1. urna;
– vyberie sa 2. urna;
– vyberie sa 3. urna.
Ke??e urna sa vyber? n?hodne, v?ber ktorejko?vek z troch urien rovnako mo?n?, V d?sledku toho: 
V?imnite si, ?e sa vytv?raj? vy??ie uveden? hypot?zy cel? skupina podujat?, teda pod?a podmienky sa ?ierna gu?a m??e objavi? len z t?chto urien a napr?klad neletie? z biliardov?ho stola. Urobme jednoduch? priebe?n? kontrolu: 
Dobre, po?me ?alej:
Prv? urna obsahuje 4 biele + 7 ?iernych = 11 lopti?iek, ka?d? klasick? defin?cia:
je pravdepodobnos? vytiahnutia ?iernej gule za podmienky?e sa vyberie 1. urna.
Druh? urna obsahuje len biele gule, tak?e ak sa vyberie vzh?ad ?iernej gule sa st?va nemo?n?: .
A nakoniec, v tretej urne s? iba ?ierne gule, ?o znamen?, ?e zodpovedaj?ce podmienen? pravdepodobnos? extrakcia ?iernej gule bude (udalos? je ist?).
je pravdepodobnos?, ?e z n?hodne vybranej urny bude vy?rebovan? ?ierna gu?a.
Odpove?:
Analyzovan? pr?klad op?? nazna?uje, ak? d?le?it? je ROZUMIE? STAVU. Zoberme si rovnak? probl?my s urnami a lopti?kami - s ich vonkaj?ou podobnos?ou m??u by? sp?soby rie?enia ?plne odli?n?: niekde je potrebn? pou?i? iba klasick? defin?cia pravdepodobnosti, niekde udalosti nez?visl?, niekde z?visl?, a niekde sa bav?me o hypot?zach. Z?rove? neexistuje jasn? form?lne krit?rium pre v?ber cesty rie?enia - takmer v?dy si to mus?te premyslie?. Ako zlep?i? svoje zru?nosti? Rie?ime, rie?ime a e?te raz rie?ime!
?loha 2
Na strelnici je 5 r?znych pu?iek. Pravdepodobnos? zasiahnutia cie?a pre dan?ho strelca je rovn? 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 a 0,4. Ak? je pravdepodobnos? zasiahnutia cie?a, ak strelec vystrel? jeden v?strel z n?hodne vybranej pu?ky?
Kr?tke rie?enie a odpove? na konci hodiny.
Vo v???ine tematick?ch probl?mov nie s? hypot?zy, samozrejme, rovnako pravdepodobn?:
?loha 3
V pyram?de je 5 pu?iek, z ktor?ch tri s? vybaven? optick?m zameriava?om. Pravdepodobnos?, ?e strelec zasiahne cie? pri stre?be z pu?ky s teleskopick?m zameriava?om je 0,95; pre pu?ku bez teleskopick?ho zameriava?a je t?to pravdepodobnos? 0,7. N?jdite pravdepodobnos?, ?e cie? bude zasiahnut?, ak strelec vystrel? jeden v?strel z n?hodne vybratej pu?ky.
Rie?enie: v tomto probl?me je po?et pu?iek ?plne rovnak? ako v predch?dzaj?com, existuj? v?ak iba dve hypot?zy:
- strelec si vyberie pu?ku s optick?m zameriava?om;
- strelec si vyberie pu?ku bez teleskopick?ho zameriava?a.
Autor: klasick? defin?cia pravdepodobnosti: 
.
ovl?danie:
Zv??te udalos?: - strelec zasiahne cie? n?hodne vybranou pu?kou.
Pod?a podmienok: .
Pod?a vzorca celkovej pravdepodobnosti:
Odpove?: 0,85
V praxi je celkom prijate?n? skr?ten? sp?sob navrhovania ?lohy, ktor? tie? pozn?te:
Rie?enie: pod?a klasickej defin?cie: 
s? pravdepodobnosti v?beru pu?ky s a bez optick?ho zameriava?a, resp.
Pod?a podmienok, 
– pravdepodobnos? zasiahnutia cie?a pr?slu?n?mi typmi pu?iek.
Pod?a vzorca celkovej pravdepodobnosti:
je pravdepodobnos?, ?e strelec zasiahne cie? n?hodne vybranou pu?kou.
Odpove?: 0,85
Nasleduj?ca ?loha pre nez?visl? rie?enie:
?loha 4
Motor pracuje v troch re?imoch: norm?lny, n?ten? a vo?nobeh. V re?ime ne?innosti je pravdepodobnos? jeho zlyhania 0,05, v norm?lnom re?ime - 0,1 a v n?tenom re?ime - 0,7. 70 % ?asu be?? motor v norm?lnom re?ime a 20 % v n?tenom re?ime. Ak? je pravdepodobnos? poruchy motora po?as prev?dzky?
Len pre ka?d? pr?pad mi dovo?te pripomen?? - na z?skanie pravdepodobnosti je potrebn? percent? vydeli? 100. Bu?te ve?mi opatrn?! Pod?a mojich pozorovan? sa podmienky ?loh pre vzorec celkovej pravdepodobnosti ?asto pok??aj? zamie?a?; a konkr?tne som si vybral tak?to pr?klad. Poviem ti tajomstvo - skoro som sa poplietla =)
Rie?enie na konci hodiny (sformulovan? v skratke)
Probl?my pre Bayesove vzorce
Materi?l ?zko s?vis? s obsahom predch?dzaj?ceho odseku. Nech sa udalos? stane ako v?sledok implement?cie jednej z hypot?z 
. Ako ur?i? pravdepodobnos?, ?e sa konkr?tna hypot?za uskuto?nila?
Za podmienky tej udalosti u? sa stalo, pravdepodobnosti hypot?z precenil pod?a vzorcov, ktor? dostali meno anglick?ho k?aza Thomasa Bayesa:
- pravdepodobnos?, ?e sa hypot?za uskuto?nila; 
- pravdepodobnos?, ?e sa hypot?za uskuto?nila;
…
je pravdepodobnos?, ?e hypot?za bola pravdiv?.
Na prv? poh?ad to vyzer? ako ?pln? absurdita – na?o prepo??tava? pravdepodobnosti hypot?z, ak s? u? zn?me? Ale v skuto?nosti je rozdiel:
- toto je a priori(odhadom predt?m testy) pravdepodobnosti.
- toto je a posteriori(odhadom po testy) pravdepodobnosti rovnak?ch hypot?z, prepo??tan? v s?vislosti s „novoobjaven?mi okolnos?ami“ – s prihliadnut?m na skuto?nos?, ?e pr?p. Stalo.
Pozrime sa na tento rozdiel na konkr?tnom pr?klade:
?loha 5
Do skladu boli prijat? 2 ?ar?e produktov: prv? - 4000 kusov, druh? - 6000 kusov. Priemern? percento ne?tandardn?ch produktov v prvej d?vke je 20% a v druhej - 10%. N?hodne vybrat? produkt zo skladu sa uk?zal ako ?tandardn?. N?jdite pravdepodobnos?, ?e je: a) z prvej v?rky, b) z druhej v?rky.
Prv? ?as? rie?enia spo??va v pou?it? vzorca celkovej pravdepodobnosti. In?mi slovami, v?po?ty sa vykon?vaj? za predpokladu, ?e test e?te nevyroben? a udalos? "produkt sa uk?zal ako ?tandardn?" k?m to nepr?de.
Uva?ujme o dvoch hypot?zach:
- n?hodne vybrat? v?robok bude z 1. ?ar?e;
- n?hodne vybran? v?robok bude z 2. ?ar?e.
Celkom: 4000 + 6000 = 10000 polo?iek na sklade. Pod?a klasickej defin?cie:
.
ovl?danie:
Zv??te z?visl? udalos?: – polo?ka n?hodne vybrat? zo skladu bude?tandardn?.
V prvej v?rke 100 % - 20 % = 80 % ?tandardn?ch produktov, teda: 
za podmienky?e patr? 1. strane.
Podobne v druhej v?rke 100 % - 10 % = 90 % ?tandardn?ch produktov a 
je pravdepodobnos?, ?e n?hodne vybran? polo?ka na sklade bude ?tandardnou polo?kou za podmienky?e patr? 2. strane.
Pod?a vzorca celkovej pravdepodobnosti:
je pravdepodobnos?, ?e produkt vybran? n?hodne zo skladu bude ?tandardn?m produktom.
Druh? ?as?. Predpokladajme, ?e n?hodne vybrat? produkt zo skladu sa uk?zal ako ?tandardn?. T?to fr?za je priamo nap?san? v podmienke a uv?dza skuto?nos?, ?e udalos? Stalo.
Pod?a Bayesov?ch vzorcov:
a) - pravdepodobnos?, ?e vybran? ?tandardn? v?robok patr? do 1. ?ar?e;
b) - pravdepodobnos?, ?e vybran? ?tandardn? v?robok patr? do 2. ?ar?e.
Po precenenie hypot?zy sa samozrejme st?le tvoria cel? skupina:
(sk??ka ;-))
Odpove?: 
Pochopi? zmysel prehodnocovania hypot?z n?m pom??e Ivan Vasilievi?, ktor? op?? zmenil povolanie a stal sa riadite?om z?vodu. Vie, ?e dnes 1. obchod expedoval do skladu 4000 polo?iek a 2. obchod - 6000 produktov, a pr?de sa o tom presved?i?. Predpokladajme, ?e v?etky produkty s? rovnak?ho typu a s? v rovnakej n?dobe. Prirodzene, Ivan Vasiljevi? predt?m po??tal, ?e v?robok, ktor? teraz odoberie na overenie, bude s najv???ou pravdepodobnos?ou vyroben? v 1. dielni as pravdepodobnos?ou v druhej. Ke? sa v?ak vybran? polo?ka uk??e ako ?tandardn?, zvol?: „Ak? skvel? skrutka! - vydala to sk?r 2. diel?a. Pravdepodobnos? druhej hypot?zy je teda nadhodnoten? k lep?iemu a pravdepodobnos? prvej hypot?zy je podhodnoten?: . A toto prece?ovanie nie je bezd?vodn? – ve? 2. diel?a nielen?e vyrobila viac produktov, ale aj funguje 2-kr?t lep?ie!
Hovor?te si, ?ist? subjektivizmus? ?iasto?ne - ?no, navy?e tlmo?il s?m Bayes a posteriori pravdepodobnosti ako ?rove? d?very. Nie v?etko je v?ak tak? jednoduch? – v bayesovskom pr?stupe je objekt?vne zrno. Koniec koncov, pravdepodobnos?, ?e produkt bude ?tandardn? (0,8 a 0,9 pre 1. a 2. obchod, v uvedenom porad?) toto je predbe?n?(a priori) a stredn? odhady. Ale filozoficky povedan?, v?etko plynie, v?etko sa men?, vr?tane pravdepodobnost?. Je dos? mo?n?, ?e v ?ase ?t?dia?spe?nej?? 2. obchod zv??il percento ?tandardn?ch produktov (a/alebo 1. obchod zn??en?) a ak skontrolujete viac alebo v?etk?ch 10 tis?c polo?iek na sklade, potom bud? nadhodnoten? hodnoty ove?a bli??ie k pravde.
Mimochodom, ak Ivan Vasilyevi? extrahuje ne?tandardn? ?as?, potom naopak - bude „podozrieva?“ prv? obchod viac a menej - druh?. Navrhujem, aby ste si to overili sami:
?loha 6
Do skladu boli prijat? 2 ?ar?e produktov: prv? - 4000 kusov, druh? - 6000 kusov. Priemern? percento ne?tandardn?ch produktov v prvej d?vke je 20%, v druhej - 10%. Uk?zalo sa, ?e n?hodne vybrat? v?robok zo skladu je nie?tandardn?. N?jdite pravdepodobnos?, ?e je: a) z prvej v?rky, b) z druhej v?rky.
Podmienka bude odl??en? dvomi p?smenami, ktor? som zv?raznil tu?n?m p?smom. Probl?m je mo?n? vyrie?i? od za?iatku alebo m??ete pou?i? v?sledky predch?dzaj?cich v?po?tov. Vo vzorke som realizoval kompletn? rie?enie, ale aby som sa vyhol form?lnemu prekrytiu s ?lohou ?. 5, event. „N?hodne vybrat? produkt zo skladu bude ne?tandardn?“ ozna?en? .
Bayesovsk? sch?mu prehodnocovania pravdepodobnost? n?jdeme v?ade a tie? ju akt?vne vyu??vaj? r?zne druhy podvodn?kov. Zoberme si trojp?smenov? akciov? spolo?nos?, ktor? sa stala famili?rnou, ktor? l?ka vklady od obyvate?stva, ?dajne ich niekde investuje, pravidelne vypl?ca dividendy at?. ?o sa deje? De? za d?om, mesiac za mesiacom plynie a ?oraz viac faktov, sprostredkovan?ch reklamou a ?stnym podan?m, len zvy?uje ?rove? d?very vo finan?n? pyram?du. (zadn? Bayesovsk? prehodnotenie v d?sledku minul?ch udalost?!). To znamen?, ?e v o?iach vkladate?ov neust?le rastie pravdepodobnos?, ?e "toto je seri?zna kancel?ria"; k?m pravdepodobnos? opa?nej hypot?zy („s? to oby?ajn? podvodn?ci“), samozrejme, kles? a kles?. Ostatn? je mysl?m jasn?. Je pozoruhodn?, ?e z?skan? poves? d?va organiz?torom ?as ?spe?ne sa skry? pred Ivanom Vasilyevi?om, ktor? zostal nielen bez d?vky skrutiek, ale aj bez nohav?c.
K nemenej zauj?mav?m pr?kladom sa vr?time o nie?o nesk?r, no zatia? je na rade azda najbe?nej?? pr?pad s tromi hypot?zami:
?loha 7
Elektrick? lampy sa vyr?baj? v troch tov?r?ach. Prv? z?vod vyr?ba 30% z celkov?ho po?tu l?mp, 2. - 55% a 3. - zvy?ok. V?robky 1. z?vodu obsahuj? 1% chybn?ch l?mp, 2. - 1,5%, 3. - 2%. Obchod dost?va produkty zo v?etk?ch troch tov?rn?. Lampa, ktor? som k?pil, bola chybn?. Ak? je pravdepodobnos?, ?e ho vyrobil z?vod 2?
V?imnite si, ?e v probl?moch na Bayesov?ch vzorcoch v podmienke nevyhnutne niektor? ?o sa stalo udalos?, v tomto pr?pade k?pa lampy.
Udalost? pribudlo a Rie?enie je pohodlnej?ie usporiada? v "r?chlom" ?t?le.
Algoritmus je ?plne rovnak?: v prvom kroku zist?me pravdepodobnos?, ?e k?pen? lampa bude bude defektn?.
Pomocou po?iato?n?ch ?dajov prelo??me percent? na pravdepodobnosti:
s? pravdepodobnosti, ?e lampu vyr?ba 1., 2. a 3. z?vod.
ovl?danie:
Podobne: - pravdepodobnosti v?roby chybnej ?iarovky pre pr?slu?n? tov?rne.
Pod?a vzorca celkovej pravdepodobnosti:
- pravdepodobnos?, ?e zak?pen? lampa bude chybn?.
Krok dva. Nechajte zak?pen? lampu chybn? (udalos? sa stala)
Pod?a Bayesovho vzorca: 
- pravdepodobnos?, ?e zak?pen? chybn? svietidlo je vyroben? v druhom z?vode
Odpove?:
Pre?o sa po prehodnoten? zv??ila po?iato?n? pravdepodobnos? 2. hypot?zy? Koniec koncov, druh? z?vod vyr?ba lampy priemernej kvality (prv? je lep??, tret? je hor??). Tak pre?o sa zv??il a posteriori pravdepodobnos?, ?e vadn? lampa je z 2. tov?rne? To u? nie je sp?soben? „reput?ciou“, ale ve?kos?ou. Ke??e z?vod ??slo 2 vyrobil najv???? po?et l?mp, vy??taj? mu to (aspo? subjekt?vne): „S najv???ou pravdepodobnos?ou poch?dza t?to chybn? lampa odtia?“.
Je zauj?mav? poznamena?, ?e pravdepodobnosti 1. a 3. hypot?zy boli v o?ak?van?ch smeroch nadhodnoten? a zhodovali sa:
ovl?danie: 
, ktor? mala by? overen?.
Mimochodom, o podce?ovan? a prece?ovan?:
?loha 8
V ?tudentskej skupine maj? 3 osoby vysok? ?rove? za?kolenia, 19 ?ud? priemern? ?rove? a 3 osoby n?zku ?rove?. Pravdepodobnos? ?spe?n?ho absolvovania sk??ky u t?chto ?tudentov je: 0,95; 0,7 a 0,4. Je zn?me, ?e nejak? ?tudent sk??ku zlo?il. Ak? je pravdepodobnos?, ?e:
a) bol ve?mi dobre pripraven?;
b) bol primerane pripraven?;
c) bol zle pripraven?.
Vykonajte v?po?ty a analyzujte v?sledky prehodnotenia hypot?z.
?loha je bl?zka realite a je prijate?n? najm? pre skupinu ?tudentov extern?ho ?t?dia, kde u?ite? prakticky nepozn? schopnosti toho ?i onoho ?tudenta. V tomto pr?pade m??e v?sledok sp?sobi? sk?r neo?ak?van? n?sledky. (najm? na sk??ky v 1. semestri). Ak m? zle pripraven? ?tudent to ??astie, ?e dostane l?stok, u?ite? ho pravdepodobne bude pova?ova? za dobr?ho ?tudenta alebo dokonca za siln?ho ?tudenta, ?o v bud?cnosti prinesie dobr? dividendy. (samozrejme, mus?te „zdvihn?? latku“ a zachova? svoj imid?). Ak sa ?tudent u?il, napch?val, opakoval 7 dn? a 7 noc?, no mal jednoducho smolu, tak sa ?al?ie udalosti m??u vyv?ja? t?m najhor??m mo?n?m sp?sobom – s po?etn?mi opakovaniami a bilancovan?m na pokraji odchodu.
Netreba dod?va?, ?e poves? je najd?le?itej?? kapit?l, nie je n?hoda, ?e mnoh? korpor?cie nes? men? svojich otcov zakladate?ov, ktor? viedli biznis pred 100-200 rokmi a presl?vili sa svojou bezchybnou poves?ou.
?no, Bayesovsk? pr?stup je do istej miery subjekt?vny, ale ... tak to v ?ivote chod?!
Skonsolidujme materi?l s posledn?m priemyseln?m pr?kladom, v ktorom budem hovori? o technick?ch jemnostiach rie?enia, s ktor?mi sa e?te nestretli:
?loha 9
Tri dielne z?vodu vyr?baj? diely rovnak?ho typu, ktor? sa montuj? do spolo?n?ho kontajnera. Je zn?me, ?e prv? obchod vyr?ba 2-kr?t viac dielov ako druh? a 4-kr?t viac ako tret? obchod. V prvej dielni je chyba 12%, v druhej - 8%, v tretej - 4%. Na kontrolu sa odoberie jedna ?as? z n?doby. Ak? je pravdepodobnos?, ?e bude vadn?? Ak? je pravdepodobnos?, ?e vy?a?en? chybn? diel vyrobila 3. diel?a?
Taki Ivan Vasilievi? je op?? na koni =) Film mus? ma? ??astn? koniec =)
Rie?enie: na rozdiel od ?loh ?. 5-8 je tu vyslovene polo?en? ot?zka, ktor? je rie?en? pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti. Ale na druhej strane, podmienka je trochu „za?ifrovan?“ a ?kolsk? zru?nos? sklada? najjednoduch?ie rovnice n?m pom??e vyrie?i? tento r?bus. Pre "x" je vhodn? vzia? najmen?iu hodnotu:
Nech je podiel dielov vyroben?ch v tretej dielni.
Prv? diel?a pod?a podmienky vyr?ba 4x viac ako tretia diel?a, tak?e podiel 1. dielne je .
Navy?e, prv? diel?a vyr?ba 2-kr?t viac produktov ako druh? diel?a, ?o znamen?, ?e podiel druhej dielne: .
Zostavme a vyrie?ime rovnicu:
Teda: - pravdepodobnosti, ?e ?as? vybrat? z kontajnera uvo?nila 1., 2. a 3. diel?a, resp.
Ovl?danie: . Okrem toho nebude zbyto?n? znova sa pozrie? na fr?zu „Je zn?me, ?e prv? diel?a vyr?ba 2-kr?t viac produktov ako druh? diel?a a 4-kr?t viac ako tretia diel?a“ a uistite sa, ?e z?skan? pravdepodobnosti skuto?ne zodpovedaj? tejto podmienke.
Za "X" bolo spo?iatku mo?n? zobra? podiel 1. alebo podiel 2. obchodu - pravdepodobnosti vyjd? rovnako. Ale tak ?i onak, naj?a??? ?sek pre?iel a rie?enie je na dobrej ceste:
Z podmienky zist?me:
- pravdepodobnos? v?roby chybn?ho dielu pre pr?slu?n? dielne.
Pod?a vzorca celkovej pravdepodobnosti: 
je pravdepodobnos?, ?e ?as? n?hodne extrahovan? z kontajnera bude ne?tandardn?.
Ot?zka druh?: ak? je pravdepodobnos?, ?e vy?a?en? chybn? diel vyrobil 3. obchod? T?to ot?zka predpoklad?, ?e diel u? bol odstr?nen? a zistilo sa, ?e je chybn?. Prehodnot?me hypot?zu pomocou Bayesovho vzorca: 
je po?adovan? pravdepodobnos?. Celkom o?ak?van? – ve? tretia diel?a produkuje nielen najmen?? podiel dielov, ale vedie aj v kvalite!
V tomto pr?pade som musel zjednodu?i? ?tvorposchodov? zlomok, ?o sa pri probl?moch na Bayesov?ch vzorcoch mus? robi? pomerne ?asto. Ale pre t?to lekciu som akosi n?hodou zobral pr?klady, v ktor?ch sa mnoh? v?po?ty daj? robi? bez oby?ajn?ch zlomkov.
Ke??e v podmienke nie s? ?iadne body „a“ a „be“, je lep?ie uvies? odpove? s textov?mi koment?rmi:
Odpove?: 
- pravdepodobnos?, ?e ?as? vybrat? z kontajnera bude chybn?; - pravdepodobnos?, ?e vytiahnut? chybn? diel uvo?nila 3. diel?a.
Ako vid?te, probl?my vo vzorci celkovej pravdepodobnosti a Bayesov?ch vzorcoch s? celkom jednoduch? a pravdepodobne z tohto d?vodu sa tak ?asto sna?ia skomplikova? podmienku, ktor? som u? spomenul na za?iatku ?l?nku.
?al?ie pr?klady s? v s?bore s hotov? rie?enia pre F.P.V. a Bayesove vzorce, navy?e sa zrejme n?jdu tak?, ktor? sa chc? s touto t?mou hlb?ie obozn?mi? v in?ch zdrojoch. A t?ma je naozaj ve?mi zauj?mav? - ?o stoj? za to s?m Bayesov paradox, ktor? zd?vod?uje ka?dodenn? radu, ?e ak je ?loveku diagnostikovan? zriedkav? ochorenie, m? zmysel vykona? druh? a dokonca dve opakovan? nez?visl? vy?etrenia. Zdalo by sa, ?e to robia v?lu?ne zo z?falstva... - ale nie! Nehovorme v?ak o smutn?ch veciach.
je pravdepodobnos?, ?e n?hodne vybran? ?tudent sk??ku zlo??.
Nechajte ?tudenta absolvova? sk??ku. Pod?a Bayesov?ch vzorcov:
a)
- pravdepodobnos?, ?e ?tudent, ktor? zlo?il sk??ku, bol ve?mi dobre pripraven?. Objekt?vna po?iato?n? pravdepodobnos? je nadhodnoten?, ke??e takmer v?dy maj? niektor? „priemern?“ ??astie na ot?zky a odpovedaj? ve?mi d?razne, ?o vyvol?va myln? dojem bezchybnej pr?pravy.b)
je pravdepodobnos?, ?e ?tudent, ktor? zlo?il sk??ku, bol primerane pripraven?. Po?iato?n? pravdepodobnos? sa ukazuje ako mierne nadhodnoten?, preto?e ?tudentov s priemernou ?rov?ou pr?pravy je v???inou v???ina, navy?e sem u?ite? zarad? ne?spe?ne odpovedan? „v?born? ?tudenti“ a ob?as slabo prospievaj?ceho ?tudenta, ktor? mal ve?k? ??astie na l?stok.v)
- pravdepodobnos?, ?e ?tudent, ktor? zlo?il sk??ku, bol zle pripraven?. Po?iato?n? pravdepodobnos? bola nadhodnoten? k hor?iemu. Niet sa ?omu divi?.Vy?etrenie:
Odpove? :
