Predmet, vek ?iakov: geometria, 9. ro?n?k

??el lekcie: ?t?dium typov polyg?nov.

U?ebn? ?loha: aktualizova?, roz?irova? a zov?eobec?ova? vedomosti ?iakov o polyg?noch; vytvori? si predstavu o „komponentoch“ mnohouholn?ka; vykona? ?t?diu po?tu z?kladn?ch prvkov pravideln?ch mnohouholn?kov (od trojuholn?ka po n-uholn?k);

Rozv?jacia ?loha: rozv?ja? schopnos? analyzova?, porovn?va?, vyvodzova? z?very, rozv?ja? v?po?tov? zru?nosti, ?stnu a p?somn? matematick? re?, pam??, ako aj samostatnos? v myslen? a u?ebn?ch ?innostiach, schopnos? pracova? vo dvojiciach a skupin?ch; rozv?ja? v?skumn? a vzdel?vacie aktivity;

V?chovn? ?loha: vychov?va? k samostatnosti, aktivite, zodpovednosti za zadan? ?lohu, vytrvalosti pri dosahovan? cie?a.

Po?as tried: na tabu?u je nap?san? cit?t

"Pr?roda hovor? jazykom matematiky, p?smenami tohto jazyka ... matematick?mi ??slami." G. Gallilei

Na za?iatku hodiny sa trieda rozdel? na pracovn? skupiny (v na?om pr?pade rozdelenie na skupiny po 4 osoby - po?et ?lenov skupiny sa rovn? po?tu skup?n ot?zok).

1. F?za hovoru-

Ciele:

a) aktualiz?cia vedomost? ?tudentov o danej t?me;

b) prebudenie z?ujmu o ?tudovan? t?mu, motiv?cia ka?d?ho ?tudenta k u?ebn?m aktivit?m.

Recepcia: Hra "Ver??, ?e ...", organiz?cia pr?ce s textom.

Formy pr?ce: front?lna, skupinov?.

"Ver?? tomu..."

1. ... slovo „polyg?n“ nazna?uje, ?e v?etky fig?rky tejto rodiny maj? „ve?a rohov“?

2. … trojuholn?k patr? do ve?kej rodiny mnohouholn?kov, ktor? sa v rovine vyzna?uj? mnoh?mi r?znymi geometrick?mi tvarmi?

3. …je ?tvorec pravideln? osemuholn?k (?tyri strany + ?tyri rohy)?

Dnes v lekcii budeme hovori? o polyg?noch. Dozved?me sa, ?e tento obrazec je ohrani?en? uzavretou preru?ovanou ?iarou, ktor? zase m??e by? jednoduch?, uzavret?. Povedzme si o tom, ?e polyg?ny s? ploch?, pravideln?, vypukl?. Jedn?m z ploch?ch polyg?nov je trojuholn?k, ktor? pozn?te u? dlho (m??ete ?tudentom uk?za? plag?ty zobrazuj?ce polyg?ny, preru?ovan? ?iaru, uk?za? ich r?zne typy, m??ete pou?i? aj TCO).

2. ?t?dium porozumenia

??el: z?skavanie nov?ch inform?ci?, ich pochopenie, v?ber.

Pr?jem: cik-cak.

Formy pr?ce: individu?lna->p?rov?->skupinov?.

Ka?d? skupina dostane text na t?mu vyu?ovacej hodiny a text je navrhnut? tak, aby obsahoval u? ?tudentom zn?me aj ?plne nov? inform?cie. Spolu s textom ?iaci dost?vaj? ot?zky, na ktor? treba n?js? odpovede v tomto texte.

Polyg?ny. Typy polyg?nov.

Kto by nepo?ul o tajomnom Bermudskom trojuholn?ku, kde bez stopy mizn? lode a lietadl?? Ale trojuholn?k, ktor? je n?m zn?my z detstva, je pln? mnoh?ch zauj?mav?ch a tajomn?ch vec?.

Popri n?m u? zn?mych typoch trojuholn?kov rozdelen?ch pod?a str?n (?k?lov?, rovnoramenn?, rovnostrann?) a uhlov (ostrouhl?, tupouhl?, pravouhl?), patr? trojuholn?k do ve?kej rodiny mnohouholn?kov, ktor? sa odli?uj? od mnoh?ch r?zne geometrick? tvary v rovine.

Slovo „polyg?n“ nazna?uje, ?e v?etky fig?rky tejto rodiny maj? „ve?a rohov“. Na charakteriz?ciu postavy to v?ak nesta??.

Preru?ovan? ?iara A 1 A 2 ... A n je obrazec, ktor? pozost?va z bodov A 1, A 2, ... A n a ?sekov A 1 A 2, A 2 A 3, ... ich sp?jaj?cich. Body sa naz?vaj? vrcholy lomenej ?iary a segmenty sa naz?vaj? spojnice lomenej ?iary. (obr.1)

Preru?ovan? ?iara sa naz?va jednoduch?, ak nem? vlastn? priese?n?ky (obr. 2,3).

Preru?ovan? ?iara sa naz?va uzavret?, ak sa jej konce zhoduj?. D??ka preru?ovanej ?iary je s??tom d??ok jej ?l?nkov (obr. 4).

Jednoduch? uzavret? preru?ovan? ?iara sa naz?va mnohouholn?k, ak jej susedn? ?l?nky nele?ia na rovnakej priamke (obr. 5).

V slove „polyg?n“ namiesto ?asti „ve?a“ nahra?te konkr?tne ??slo, napr?klad 3. Dostanete trojuholn?k. Alebo 5. Potom - p??uholn?k. V?imnite si, ?e existuje to?ko uhlov, ko?ko je str?n, tak?e tieto ??sla mo?no nazva? mnohostrann?mi.

Vrcholy lomenej ?iary sa naz?vaj? vrcholy mnohouholn?ka a spojnice lomenej ?iary sa naz?vaj? strany mnohouholn?ka.

Mnohouholn?k rozde?uje rovinu na dve oblasti: vn?torn? a vonkaj?iu (obr. 6).

Rovinn? mnohouholn?k alebo mnohouholn?kov? oblas? je kone?n? ?as? roviny ohrani?en? mnohouholn?kom.

Dva vrcholy mnohouholn?ka, ktor? s? koncami tej istej strany, sa naz?vaj? susedia. Vrcholy, ktor? nie s? koncami jednej strany, nesusedia.

Mnohouholn?k s n vrcholmi a teda n stranami sa naz?va n-uholn?k.

Hoci najmen?? po?et str?n mnohouholn?ka je 3. Ale trojuholn?ky, ktor? sa navz?jom sp?jaj?, m??u vytv?ra? ?al?ie tvary, ktor? s? zase tie? mnohouholn?kmi.

Segmenty sp?jaj?ce nesusedn? vrcholy mnohouholn?ka sa naz?vaj? diagon?ly.

Mnohouholn?k sa naz?va konvexn?, ak le?? v jednej polrovine vzh?adom na ak?ko?vek priamku obsahuj?cu jeho stranu. V tomto pr?pade sa samotn? priamka pova?uje za s??as? polroviny.

Uhol konvexn?ho mnohouholn?ka v danom vrchole je uhol, ktor? zvieraj? jeho strany zbiehaj?ce sa v tomto vrchole.

Dok??me vetu (o s??te uhlov konvexn?ho n-uholn?ka): S??et uhlov konvexn?ho n-uholn?ka sa rovn? 180 0 *(n - 2).

D?kaz. V pr?pade n=3 veta plat?. Nech А 1 А 2 …А n je dan? konvexn? mnohouholn?k a n>3. Nakresl?me si do nej uhloprie?ky (z jedn?ho vrcholu). Ke??e je mnohouholn?k konvexn?, tieto uhloprie?ky ho rozde?uj? na n - 2 trojuholn?ky. S??et uhlov mnohouholn?ka je rovnak? ako s??et uhlov v?etk?ch t?chto trojuholn?kov. S??et uhlov ka?d?ho trojuholn?ka je 180 0 a po?et t?chto trojuholn?kov je n - 2. Preto s??et uhlov konvexn?ho n - uhla A 1 A 2 ... A n je 180 0 * ( n - 2). Veta bola dok?zan?.

Vonkaj?? uhol konvexn?ho mnohouholn?ka v danom vrchole je uhol susediaci s vn?torn?m uhlom mnohouholn?ka v tomto vrchole.

Konvexn? mnohouholn?k sa naz?va pravideln?, ak s? v?etky strany rovnak? a v?etky uhly s? rovnak?.

Tak?e ?tvorec m??e by? naz?van? inak - pravideln? ?tvoruholn?k. Pravideln? s? aj rovnostrann? trojuholn?ky. Tak?to postavy u? dlho zauj?maj? majstrov, ktor? zdobili budovy. Kr?sne vzory robili napr?klad na parkete. Ale nie v?etky be?n? mnohouholn?ky sa dali pou?i? na vytvorenie parkiet. Parkety nem??u by? vytvoren? z pravideln?ch osemuholn?kov. Faktom je, ?e maj? ka?d? uhol rovn? 135 0. A ak je niektor? bod vrcholom dvoch tak?chto osemuholn?kov, potom bud? ma? 270 0 a tret? osemuholn?k sa nem? kam zmesti?: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ale dos? na ?tvorec. Preto je mo?n? parkety sklada? z pravideln?ch osemuholn?kov a ?tvorcov.

Hviezdy s? spr?vne. Na?a p??c?pa hviezda je pravideln? p??uholn?kov? hviezda. A ak oto??te ?tvorec okolo stredu o 45 0, dostanete pravideln? osemhrann? hviezdu.

1 skupina

?o je to preru?ovan? ?iara? Vysvetlite, ?o s? vrcholy a v?zby lomenej ?iary.

Ktor? preru?ovan? ?iara sa naz?va jednoduch??

Ktor? preru?ovan? ?iara sa naz?va uzavret??

?o je to mnohouholn?k? Ako sa naz?vaj? vrcholy mnohouholn?ka? Ak? s? strany mnohouholn?ka?

2 skupina

?o je ploch? mnohouholn?k? Uve?te pr?klady polyg?nov.

?o je n-gon?

Vysvetlite, ktor? vrcholy mnohouholn?ka susedia a ktor? nie.

Ak? je uhloprie?ka mnohouholn?ka?

3 skupina

?o je to konvexn? mnohouholn?k?

Vysvetlite, ktor? rohy mnohouholn?ka s? vonkaj?ie a ktor? vn?torn??

?o je pravideln? mnohouholn?k? Uve?te pr?klady pravideln?ch mnohouholn?kov.

4 skupina

Ak? je s??et uhlov konvexn?ho n-uholn?ka? Dok?za? to.

?tudenti pracuj? s textom, h?adaj? odpovede na polo?en? ot?zky, potom sa vytv?raj? expertn? skupiny, v ktor?ch sa pracuje na rovnak?ch probl?moch: ?tudenti zd?raz?uj? hlavn? vec, zostavuj? podporn? abstrakt, prezentuj? inform?cie v jednom z grafick? formy. Na konci pr?ce sa ?iaci vr?tia do svojich pracovn?ch skup?n.

3. F?za odrazu -

a) pos?denie ich vedomost?, v?zva k ?al?iemu kroku vedomost?;

b) pochopenie a osvojenie si prijat?ch inform?ci?.

Recepcia: v?skumn? pr?ca.

Formy pr?ce: individu?lna->p?rov?->skupinov?.

Pracovn? skupiny s? odborn?kmi na odpovede na ka?d? z ?ast? navrhovan?ch ot?zok.

Po n?vrate do pracovnej skupiny odborn?k predstav? ostatn?ch ?lenov skupiny s odpove?ami na ich ot?zky. V skupine doch?dza k v?mene inform?ci? v?etk?ch ?lenov pracovnej skupiny. V ka?dej pracovnej skupine sa tak v?aka pr?ci odborn?kov vytvor? v?eobecn? predstava o sk?manej t?me.

V?skumn? pr?ca ?tudentov - vyplnenie tabu?ky.

Rie?enie zauj?mav?ch ?loh na t?mu lekcie.

• V ?tvoruholn?ku nakreslite ?iaru tak, aby ju rozdelila na tri trojuholn?ky.
• Ko?ko str?n m? pravideln? mnohouholn?k, z ktor?ho ka?d? vn?torn? uhol je rovn? 135 0 ?
• V ur?itom mnohouholn?ku s? v?etky vn?torn? uhly navz?jom rovnak?. M??e by? s??et vn?torn?ch uhlov tohto mnohouholn?ka: 360 0 , 380 0 ?

Zhrnutie lekcie. Nahr?vanie dom?cich ?loh.

T?ma: "Mnohouholn?ky. Typy mnohouholn?kov"

9. ro?n?k

SL №20

U?ite?: Kharitonovi? T.I.??el lekcie: ?t?dium typov polyg?nov.

U?ebn? ?loha: aktualizova?, roz?irova? a zov?eobec?ova? vedomosti ?iakov o polyg?noch; vytvori? si predstavu o „komponentoch“ mnohouholn?ka; vykona? ?t?diu po?tu z?kladn?ch prvkov pravideln?ch mnohouholn?kov (od trojuholn?ka po n-uholn?k);

?loha v?voja: rozv?ja? schopnos? analyzova?, porovn?va?, vyvodzova? z?very, rozv?ja? v?po?tov? schopnosti, ?stnu a p?somn? matematick? re?, pam??, ako aj samostatnos? v myslen? a u?ebn?ch ?innostiach, schopnos? pracova? vo dvojiciach a skupin?ch; rozv?ja? v?skumn? a vzdel?vacie aktivity;

Vzdel?vacia ?loha: pestova? samostatnos?, aktivitu, zodpovednos? za zadan? ?lohu, vytrvalos? pri dosahovan? cie?a.

Vybavenie: interakt?vna tabu?a (prezent?cia)

Po?as vyu?ovania

Zobrazi? prezent?ciu: "Polyg?ny"

"Pr?roda hovor? jazykom matematiky, p?smenami tohto jazyka ... matematick?mi ??slami." G. Gallilei

Na za?iatku hodiny sa trieda rozdel? na pracovn? skupiny (v na?om pr?pade rozdelenie na 3 skupiny)

1. F?za hovoru-

a) aktualiz?cia vedomost? ?tudentov o danej t?me;

b) prebudenie z?ujmu o ?tudovan? t?mu, motiv?cia ka?d?ho ?tudenta k u?ebn?m aktivit?m.

Recepcia: Hra "Ver??, ?e ...", organiz?cia pr?ce s textom.

Formy pr?ce: front?lna, skupinov?.

"Ver?? tomu..."

1. ... slovo „polyg?n“ nazna?uje, ?e v?etky fig?rky tejto rodiny maj? „ve?a rohov“?

2. … patr? trojuholn?k do ve?kej rodiny mnohouholn?kov, ktor? sa l??ia od r?znych geometrick?ch tvarov v rovine?

3. …je ?tvorec pravideln? osemuholn?k (?tyri strany + ?tyri rohy)?

Dnes v lekcii budeme hovori? o polyg?noch. Dozved?me sa, ?e tento obrazec je ohrani?en? uzavretou preru?ovanou ?iarou, ktor? zase m??e by? jednoduch?, uzavret?. Povedzme si o tom, ?e polyg?ny s? ploch?, pravideln?, vypukl?. Jedn?m z ploch?ch polyg?nov je trojuholn?k, ktor? pozn?te u? dlho (m??ete ?tudentom uk?za? plag?ty zobrazuj?ce polyg?ny, preru?ovan? ?iaru, uk?za? ich r?zne typy, m??ete pou?i? aj TCO).

2. ?t?dium porozumenia

??el: z?skavanie nov?ch inform?ci?, ich pochopenie, v?ber.

Pr?jem: cik-cak.

Formy pr?ce: individu?lna->p?rov?->skupinov?.

Ka?d? skupina dostane text na t?mu vyu?ovacej hodiny a text je navrhnut? tak, aby obsahoval u? ?tudentom zn?me aj ?plne nov? inform?cie. Spolu s textom ?iaci dost?vaj? ot?zky, na ktor? treba n?js? odpovede v tomto texte.

Polyg?ny. Typy polyg?nov.

Kto by nepo?ul o tajomnom Bermudskom trojuholn?ku, kde bez stopy mizn? lode a lietadl?? Ale trojuholn?k, ktor? je n?m zn?my z detstva, je pln? mnoh?ch zauj?mav?ch a tajomn?ch vec?.

Popri n?m u? zn?mych typoch trojuholn?kov rozdelen?ch pod?a str?n (?k?lov?, rovnoramenn?, rovnostrann?) a uhlov (ostrouhl?, tupouhl?, pravouhl?), patr? trojuholn?k do ve?kej rodiny mnohouholn?kov, ktor? sa odli?uj? od mnoh?ch r?zne geometrick? tvary v rovine.

Slovo „polyg?n“ nazna?uje, ?e v?etky fig?rky tejto rodiny maj? „ve?a rohov“. Na charakteriz?ciu postavy to v?ak nesta??.

Preru?ovan? ?iara A1A2…An je obrazec, ktor? pozost?va z bodov A1,A2,…An a segmentov A1A2, A2A3,…, ktor? ich sp?jaj?. Body sa naz?vaj? vrcholy lomenej ?iary a segmenty sa naz?vaj? spojnice lomenej ?iary. (obr. 1)

Preru?ovan? ?iara sa naz?va jednoduch?, ak nem? vlastn? priese?n?ky (obr. 2,3).

Preru?ovan? ?iara sa naz?va uzavret?, ak sa jej konce zhoduj?. D??ka preru?ovanej ?iary je s??tom d??ok jej ?l?nkov (obr. 4)

Jednoduch? uzavret? preru?ovan? ?iara sa naz?va mnohouholn?k, ak jej susedn? ?l?nky nele?ia na rovnakej priamke (obr. 5).

V slove „polyg?n“ namiesto ?asti „ve?a“ nahra?te konkr?tne ??slo, napr?klad 3. Dostanete trojuholn?k. Alebo 5. Potom - p??uholn?k. V?imnite si, ?e existuje to?ko uhlov, ko?ko je str?n, tak?e tieto ??sla mo?no nazva? mnohostrann?mi.

Vrcholy lomenej ?iary sa naz?vaj? vrcholy mnohouholn?ka a spojnice lomenej ?iary sa naz?vaj? strany mnohouholn?ka.

Mnohouholn?k rozde?uje rovinu na dve oblasti: vn?torn? a vonkaj?iu (obr. 6).

Rovinn? mnohouholn?k alebo mnohouholn?kov? oblas? je kone?n? ?as? roviny ohrani?en? mnohouholn?kom.

Dva vrcholy mnohouholn?ka, ktor? s? koncami tej istej strany, sa naz?vaj? susedia. Vrcholy, ktor? nie s? koncami jednej strany, nesusedia.

Mnohouholn?k s n vrcholmi a teda n stranami sa naz?va n-uholn?k.

Hoci najmen?? po?et str?n mnohouholn?ka je 3. Ale trojuholn?ky, ktor? sa navz?jom sp?jaj?, m??u vytv?ra? ?al?ie tvary, ktor? s? zase tie? mnohouholn?kmi.

Segmenty sp?jaj?ce nesusedn? vrcholy mnohouholn?ka sa naz?vaj? diagon?ly.

Mnohouholn?k sa naz?va konvexn?, ak le?? v jednej polrovine vzh?adom na ak?ko?vek priamku obsahuj?cu jeho stranu. V tomto pr?pade sa samotn? linka pova?uje za s??as? POLROVINU

Uhol konvexn?ho mnohouholn?ka v danom vrchole je uhol, ktor? zvieraj? jeho strany zbiehaj?ce sa v tomto vrchole.

Dok??me vetu (o s??te uhlov konvexn?ho n-uholn?ka): S??et uhlov konvexn?ho n-uholn?ka sa rovn? 1800*(n - 2).

D?kaz. V pr?pade n=3 veta plat?. Nech А1А2…А n je dan? konvexn? mnohouholn?k a n>3. Nakresl?me si do nej uhloprie?ky (z jedn?ho vrcholu). Ke??e je mnohouholn?k konvexn?, tieto uhloprie?ky ho rozde?uj? na n - 2 trojuholn?ky. S??et uhlov mnohouholn?ka je rovnak? ako s??et uhlov v?etk?ch t?chto trojuholn?kov. S??et uhlov ka?d?ho trojuholn?ka je 1800 a po?et t?chto trojuholn?kov je n - 2. Preto s??et uhlov konvexn?ho n - uhla A1A2 ... A n je 1800 * (n - 2). Veta bola dok?zan?.

Vonkaj?? uhol konvexn?ho mnohouholn?ka v danom vrchole je uhol susediaci s vn?torn?m uhlom mnohouholn?ka v tomto vrchole.

Konvexn? mnohouholn?k sa naz?va pravideln?, ak s? v?etky strany rovnak? a v?etky uhly s? rovnak?.

Tak?e ?tvorec m??e by? naz?van? inak - pravideln? ?tvoruholn?k. Pravideln? s? aj rovnostrann? trojuholn?ky. Tak?to postavy u? dlho zauj?maj? majstrov, ktor? zdobili budovy. Kr?sne vzory robili napr?klad na parkete. Ale nie v?etky be?n? mnohouholn?ky sa dali pou?i? na vytvorenie parkiet. Parkety nem??u by? vytvoren? z pravideln?ch osemuholn?kov. Faktom je, ?e maj? ka?d? uhol rovn? 1350. A ak je nejak? bod vrcholom dvoch tak?chto osemuholn?kov, potom bud? ma? 2700 a tret? osemuholn?k sa nem? kam zmesti?: 3600 - 2700 \u003d 900. Ale toto sta?? na ?tvorec. Preto je mo?n? parkety sklada? z pravideln?ch osemuholn?kov a ?tvorcov.

Hviezdy s? spr?vne. Na?a p??c?pa hviezda je pravideln? p??uholn?kov? hviezda. A ak oto??te ?tvorec okolo stredu o 450, dostanete pravideln? osemhrann? hviezdu.

?o je to preru?ovan? ?iara? Vysvetlite, ?o s? vrcholy a v?zby lomenej ?iary.

Ktor? preru?ovan? ?iara sa naz?va jednoduch??

Ktor? preru?ovan? ?iara sa naz?va uzavret??

?o je to mnohouholn?k? Ako sa naz?vaj? vrcholy mnohouholn?ka? Ak? s? strany mnohouholn?ka?

?o je ploch? mnohouholn?k? Uve?te pr?klady polyg?nov.

?o je n-gon?

Vysvetlite, ktor? vrcholy mnohouholn?ka susedia a ktor? nie.

Ak? je uhloprie?ka mnohouholn?ka?

?o je to konvexn? mnohouholn?k?

Vysvetlite, ktor? rohy mnohouholn?ka s? vonkaj?ie a ktor? vn?torn??

?o je pravideln? mnohouholn?k? Uve?te pr?klady pravideln?ch mnohouholn?kov.

Ak? je s??et uhlov konvexn?ho n-uholn?ka? Dok?za? to.

?tudenti pracuj? s textom, h?adaj? odpovede na polo?en? ot?zky, potom sa vytv?raj? expertn? skupiny, v ktor?ch sa pracuje na rovnak?ch probl?moch: ?tudenti zd?raz?uj? hlavn? vec, zostavuj? podporn? abstrakt, prezentuj? inform?cie v jednom z grafick? formy. Na konci pr?ce sa ?iaci vr?tia do svojich pracovn?ch skup?n.

3. F?za odrazu -

a) pos?denie ich vedomost?, v?zva k ?al?iemu kroku vedomost?;

b) pochopenie a osvojenie si prijat?ch inform?ci?.

Recepcia: v?skumn? pr?ca.

Formy pr?ce: individu?lna->p?rov?->skupinov?.

Pracovn? skupiny s? odborn?kmi na odpovede na ka?d? z ?ast? navrhovan?ch ot?zok.

Po n?vrate do pracovnej skupiny odborn?k predstav? ostatn?ch ?lenov skupiny s odpove?ami na ich ot?zky. V skupine doch?dza k v?mene inform?ci? v?etk?ch ?lenov pracovnej skupiny. V ka?dej pracovnej skupine sa tak v?aka pr?ci odborn?kov vytvor? v?eobecn? predstava o sk?manej t?me.

V?skumn? pr?ce ?tudentov- vyplnenie tabu?ky.

Pravideln? mnohouholn?ky V?kres Po?et str?n Po?et vrcholov S??et v?etk?ch vn?torn?ch uhlov Miera vn?torn?ho stup?a. uhol Miera stup?a vonkaj?ieho uhla Po?et uhloprie?ok

A) trojuholn?k

B) ?tvoruholn?k

B) p??dierkov?

D) ?es?uholn?k

E) n-uholn?k

Rie?enie zauj?mav?ch ?loh na t?mu lekcie.

1) Ko?ko str?n m? pravideln? mnohouholn?k, ktor?ho vn?torn? uhol sa rovn? 1350?

2) V ur?itom mnohouholn?ku s? v?etky vn?torn? uhly navz?jom rovnak?. M??e by? s??et vn?torn?ch uhlov tohto mnohouholn?ka: 3600, 3800?

3) Je mo?n? postavi? p??uholn?k s uhlami 100,103,110,110,116 stup?ov?

Zhrnutie lekcie.

Nahr?vanie dom?cej ?lohy: STR66-72 ?. 15,17 A ?LOHA: V ?TVOR?HOLN?KU NAKRESLI? PRIAME TAK, ABY HO ROZDELILA NA TRI TROJUHOLN?KY.

Reflexia formou testov (na interakt?vnej tabuli)

Slovn?k lek?rskych pojmov

V?kladov? slovn?k rusk?ho jazyka. D.N. U?akov

mnohouholn?k

polyg?n, m.(mat.). Ploch? postava ohrani?en? tromi, ?tyrmi at?.

V?kladov? slovn?k rusk?ho jazyka. S.I. Ozhegov, N.Yu Shvedova.

mnohouholn?k

A, m.V matematike: geometrick? ?tvar ohrani?en? uzavretou preru?ovanou ?iarou.

Nov? v?kladov? a odvodzovac? slovn?k rusk?ho jazyka, T. F. Efremova.

mnohouholn?k

m) Geometrick? ?tvar ohrani?en? uzavretou preru?ovanou ?iarou, ktorej ?l?nky tvoria viac ako ?tyri rohy.

Encyklopedick? slovn?k, 1998

mnohouholn?k

POLYGON (v rovine) geometrick? ?tvar ohrani?en? uzavretou preru?ovanou ?iarou, ktorej spojnice sa naz?vaj? strany mnohouholn?ka a ich konce s? vrcholy mnohouholn?ka. Pod?a po?tu vrcholov sa rozli?uj? trojuholn?ky, ?tvoruholn?ky at?. Mnohouholn?k sa naz?va konvexn?, ak le?? cel? na jednej strane priamky nes?cej niektor? z jeho str?n a ak nie je konvexn?. Mnohouholn?k sa naz?va pravideln?, ak s? v?etky jeho strany a uhly rovnak?.

Polyg?n

uzavret? preru?ovan? ?iara. Podrobnej?ie, M. ? priamka, ktor? sa z?ska, ak vezmeme n ?ubovo?n?ch bodov A1, A2, ..., An a spoj?me ka?d? z nich s nasleduj?cim ?se?kou a posledn? ? s prv?m (pozri obr. ry?a. jeden, a). Body A1, A2, ..., An sa naz?vaj? vrcholy M. a segmenty A1A2, A2A3, ..., An-1An, AnA1 ? jeho strany. ?alej s? uva?ovan? iba ploch? M. (t. j. predpoklad? sa, ?e M. le?? v jednej rovine). M. sa m??e kr??i? (pozri. ry?a. jeden, b) a samopriese?n?ky nemusia by? jej vrcholmi.

Existuj? aj in? uhly poh?adu na to, ?o treba zv??i? M. Mnohouholn?k mo?no nazva? spojenou ?as?ou roviny, ktorej cel? hranica pozost?va z kone?n?ho po?tu priamych ?se?iek, ktor? sa naz?vaj? strany mnohouholn?ka. Hmotou v tomto zmysle m??e by? aj viacn?sobne spojen? ?as? roviny (pozri obr. ry?a. jeden, d), teda tak? M. m??e ma? „polygon?lne diery“. Uva?ujeme aj nekone?n? M. ? ?asti roviny ohrani?en? kone?n?m po?tom priamo?iarych ?se?iek a kone?n?m po?tom polpriamok.

?al?ia prezent?cia vych?dza z vy??ie uvedenej prvej defin?cie M. Ak sa M. nepret?na (pozri napr. ry?a. jeden, a a b), potom rozdel? mno?inu v?etk?ch bodov roviny, ktor? na nej nele?ia, na dve ?asti ? kone?n? (vn?torn?) a nekone?n? (vonkaj?iu) v tom zmysle, ?e ak dva body patria jednej z t?chto ?ast?, potom m??u by? navz?jom spojen? preru?ovanou ?iarou, ktor? nepret?na M., a ak r?zne ?asti, potom je to nemo?n?. Napriek dokonal?mu d?kazu tejto okolnosti je jej d?sledn? odvodenie z axi?m geometrie pomerne zlo?it? (tzv. Jordanova veta pre matematiku). Vn?torn? ?as? roviny vzh?adom na M. m? ur?it? plochu. Ak sa hmota pret?na, rozre?e rovinu na ur?it? po?et kusov, z ktor?ch jeden je nekone?n? (naz?van? vonkaj?? vzh?adom na hmotnos?) a ostatn? s? kone?n?, jednoducho spojen? (naz?van? vn?torn?) a hranicou ka?d?ho z nich je nejak? nepret?naj?ca sa hmota, ktorej strany s? cel? strany alebo ?asti str?n a vrcholy s? vrcholy alebo body vlastn?ho priese?n?ka dan?ho M. Ak prirad?me smer ka?d? strana M., t.j. ozna?te, ktor? z dvoch vrcholov, ktor? ho definuj?, budeme pova?ova? za za?iatok a ktor? ? za koniec, a navy?e tak, ?e za?iatok ka?dej strany je koncom predch?dzaj?cej jedna, potom sa z?ska uzavret? polygon?lna dr?ha alebo orientovan? M. zost?va na?avo od dr?hy, ktor? sleduje t?to dr?hu, a v opa?nom pr?pade z?porn? ?. Nech je M. sebapret?naj?ci a orientovan?; ak z bodu le?iaceho vo vonkaj?ej ?asti roviny vzh?adom k nej nakresl?me priamku do bodu le?iaceho vo vn?tri jednej z jej vn?torn?ch ?ast? a M. pret?na tento ?sek p kr?t z?ava doprava a q kr?t sprava do?ava, potom ??slo p ? q ( cel? ??slo kladn?, z?porn? alebo nula) nez?vis? od v?beru vonkaj?ieho bodu a naz?va sa koeficient tohto dielika. S??et obvykl?ch pl?ch t?chto kusov, vyn?soben? ich koeficientmi, sa pova?uje za „plochu“ uva?ovanej uzavretej cesty (orientovan? M.). Takto definovan? "oblas? uzavretej dr?hy" hr? d?le?it? ?lohu v te?rii matematick?ch n?strojov (planimeter at?.); z?skava sa tam oby?ajne vo forme integr?lu ? (v pol?rnych s?radniciach r, w) alebo ? (v kartezi?nskych s?radniciach x, y), kde koniec vektora polomeru r alebo ordin?ta y obieha t?to dr?hu raz.

S??et vn?torn?ch uhlov ka?d?ho nepret?naj?ceho sa M. s n stranami sa rovn? (n ? 2)180?. M. sa naz?va konvexn? (pozri. ry?a. jeden, a) ak ?iadna strana M., ktor? nie je na neur?ito pred??en?, nerozde?uje M. na dve ?asti. Konvexn? M. mo?no charakterizova? aj nasleduj?cou vlastnos?ou: priamka sp?jaj?ca dva ?ubovo?n? body roviny, ktor? le?ia vo vn?tri M, nepret?na M. Ka?d? konvexn? M. je samodisjunktn?, ale nie naopak. Napr?klad na ry?a. jeden, b zn?zor?uje samonepret?naj?ci sa M., ktor? nie je konvexn?, preto?e segment PQ, sp?jaj?ci niektor? jeho vn?torn? body, pret?na M.

Najd?le?itej?ie M.: trojuholn?ky, najm? pravouhl?, rovnoramenn?, rovnostrann? (pravideln?); ?tvoruholn?ky, najm? lichobe?n?ky, rovnobe?n?ky, koso?tvorce, obd??niky, ?tvorce. Konvexn? M. sa naz?va pravideln?, ak s? v?etky jeho strany rovnak? a v?etky vn?torn? uhly s? rovnak?. V d?vnych dob?ch vedeli, ako spr?vne M. postavi? na stranu alebo polomer op?sanej kru?nice pomocou kru?idla a prav?tka, len ak po?et str?n M je m = 3 ? 2n, 4 ? 2n, 5 ? 2n , 3 ? 5 ? 2n, kde n ? ?ubovo?n? kladn? ??slo alebo nula. Nemeck? matematik K. Gauss v roku 1801 uk?zal, ?e je mo?n? zostroji? spr?vny M. pomocou kru?idla a prav?tka, ke? po?et jeho str?n m? tvar: m = 2n ? p1 ? p2 ? ... ? pk, kde p1, p2, ... pk ? r?zne prvo??sla v tvare ?(s ? kladn? cel? ??slo). Doteraz je zn?mych iba p?? tak?chto p: 3, 5, 17, 257, 65537. Z Galoisovej te?rie (pozri Galoisovu te?riu) vypl?va, ?e ?iadne in? pravideln? metre, okrem t?ch, ktor? nazna?il Gauss, nemo?no zostroji? pomocou kru?idla a rovn? okraj. Kon?trukcia je teda mo?n? s m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... a nemo?n? s m = 7, 9, 11 , 13 , 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

Nasleduj?ca tabu?ka ukazuje polomer op?sanej kru?nice, polomer vp?sanej kru?nice a plochu pravideln?ho n-uholn?ka (pre n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), ktor?ho strana sa rovn? k.

Polomer op?sanej kru?nice

Polomer vp?sanej kru?nice

Po?n?c p??uholn?kom existuj? aj nekonvexn? (samopret?naj?ce sa alebo v tvare hviezdy) pravideln? M., t.j. tak?, v ktor?ch s? v?etky strany rovnak? a ka?d? ?al?ia strana je oto?en? rovnak?m smerom a pod rovnak?m uhlom s vzh?adom k predch?dzaj?cemu. V?etky vrcholy tak?hoto M. tie? le?ia na tej istej kru?nici. Takou je napr?klad p??c?pa hviezda. Na ry?a. 2 s? dan? v?etky pravideln? (konvexn? aj nekonvexn?) matice, od trojuholn?ka po sedemuholn?k.

Lit. pozri ?l. Mnohosten.

Wikipedia

Polyg?n

Polyg?n je geometrick? ?tvar, zvy?ajne definovan? ako uzavret? preru?ovan? ?iara.

Existuj? tri r?zne mo?nosti definovania polyg?nu:

• Ploch? uzavret? preru?ovan? ?iara je najv?eobecnej??m pr?padom;
• Ploch? uzavret? polygon?lna ?iara bez sebapriese?n?kov, ktorej ?iadne dve susedn? v?zby nele?ia na tej istej priamke;
• ?as? roviny ohrani?en? uzavretou lomenou ?iarou bez vlastn?ch priese?n?kov - ploch? polyg?n

V ka?dom pr?pade sa volaj? vrcholy lomenej ?iary vrcholov polyg?n a jeho segmenty - strany mnohouholn?k.

Mnohouholn?k (zjednozna?nenie)

• Polyg?n v geometrii
• Kamenn? mnohouholn?k v permafroste

Pr?klady pou?itia slova polyg?n v literat?re.

Gilman bol dokonca r?d, ?e sa so svoj?m obvykl?m tlmen?m revom vrhol do ponurej priepasti, hoci aj tam vytrval? prenasledovanie dvoch tvorov, ktor? vyzerali ako zhluk d?hov?ch bubl?n a mal? mnohouholn?k so stranami meniacimi sa ako v kaleidoskope, sp?soboval obzvl??? ak?tny pocit ohrozenia a nezvy?ajne otravn?.

Ponur? hu?iace priepasti -- zelen? skalnat? svah -- terasa trblietaj?ca sa v?etk?mi farbami d?hy -- pr??a?livos? nezn?mych plan?t -- ?ierna ?pir?la ?teru -- ?ernoch -- ?pinav? uli?ka a v?zgaj?ce schody -- star? ?arodejnica a mal? strapat? tvor s dlh?mi tes?kmi - p?uzgierovit?mi a mal?mi mnohouholn?k— zvl??tne sp?lenie od slnka — rany na ruke — nie?o mal? a neforemn? v ruk?ch starenky — nohy pokryt? blatom — rozpr?vky a strachy pover?iv?ch cudzincov — ?o to v?etko napokon znamenalo?

M??em vytvori? obd??nikov? textov? r?m mnohouholn?k v tvare hviezdy?

Mnohosten, ktor?ho z?klad?a je mnohouholn?k a zost?vaj?ce plochy s? trojuholn?ky so spolo?n?m vrcholom.

N?sledne bolo potrebn? na?rtn??, kde a ako presne rozmiestni? z?lohy z?padn?m smerom a nepravidelne tvarovan? mnohouholn?k Kalinin vpredu.

Pred vami - nespr?vny, ktor? i?iel prudko na sever mnohouholn?k s n?zvom Mand?usko.

Ak je grafick? r?m ov?lny resp mnohouholn?k

Ak je textov? r?m?ek ov?lny resp mnohouholn?k, potom bude t?to mo?nos? nedostupn?.

Zober? sa tri alebo viac predmetov s rovnakou hmotnos?ou, ktor? s? umiestnen? vo vrcholoch rovnostrann?ka mnohouholn?k a zr?chli na rovnak? uhlov? r?chlos? vzh?adom k stredu ich celkovej hmotnosti.

Takmer proti svojej v?li sa vzniesol cez priepas? s?mraku, nasledoval zhluk d?hov?ch bubl?n a mal? mnohouholn?k ke? si v?imol, ?e okraje obrovsk?ch hranolov, ktor? boli od neho vzdialen?, tvoria prekvapivo pravideln? opakuj?ce sa uhly.

Hladk?, panensk?, biele, miestami deformovan? pohybmi, podobn?ch nespo?etne ve?a polyg?ny lemovan? ?iernymi pruhmi otvorenej vody.

Ach, vidie? Argusov?m okom polyg?ny koraly a vl?kna votkan? do faziet a vn?tro vl?kien.

Ide o vetrom le?ten? hlinen? takyry, rozpukan? na nespo?etn? mno?stvo polyg?ny, hladk? ako klzisko, tvrd? ako bet?n.

Tu je font?na falick?ho tvaru, ktor? bolo vidie? bu? spod obl?ka, alebo spod portika, s Nept?nom stojacim na delf?ne, br?na so st?pmi pripom?naj?cimi as?rske a op?? obl?k neur?it?ho tvaru, nie?o ako halda. trojuholn?kov a polyg?ny a vrchol ka?d?ho z nich bol korunovan? fig?rkou zviera?a - losa, opice, leva.

Obr?zky m??u by? umiestnen? nielen v obd??nikov?ch grafick?ch r?moch, ale aj v modifikovan?ch polyg?ny a ov?ly.

V priebehu geometri? ?tudujeme vlastnosti geo-met-ri-ches-sky post?v a u? sme zv??ili najjednoduch?ie z nich: trojuholn?kov?-ni-ki a okolie. Z?rove? diskutujeme o tom, ?i a konkr?tne konkr?tne pr?pady t?chto obrazcov, ako napr?klad obd??nikov?, rovnak?-poly-poly a pravouhl? trojuholn?k-no-ki. Teraz je ?as hovori? o v?eobecnej?om a komplexnej?om fi-gu-rah - ve?a-uhlia-nie-kah.

So s?kromn?m pr?padom mnoho-uhlia-ni-kov my u? vieme-to-to je trojuholn?k (pozri obr. 1).

Ry?a. 1. Trojuholn?k-nick

V samotnom n?zve je u? pod-cher-ki-va-et-sya, ?e je to fi-gu-ra, niekto m? tri rohy. Next-to-va-tel-ale, in ve?a uhlia m??e ich by? ve?a, t.j. viac ako tri. Napr?klad obr?zok p??uhl?kov?ho nicku (pozri obr. 2), t.j. fi-gu-ru s piatimi uhlami-la-mi.

Ry?a. 2. P??uho?n? nick. Ty-far-ly-multi-coal-prez?vka

Defin?cia.Polyg?n- fi-gu-ra, skladaj?ci sa z nieko?k?ch bodov (viac ako dvoch) a zodpovedaj?ci odpovedi na th kov, niekto-?ito ich po-to-va-tel-ale kombinova?-ed-nya-yut. Tieto body s? on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi ve?a uhlia-no-ka, ale z rezania - sto-ro-na-mi. Z?rove? ?iadne dve susedn? strany nele?ia na rovnakej priamke a ?iadne dve nesusediace strany nere-se-ka-yut-sya.

Defin?cia.Prez?vka pre viacer?ch uhlia smerom dopredu- toto je konvexn? poly-coal-nick, pre niekoho-ro-go v?etky strany a uhly s? rovnak?.

ak?ko?vek mnohouholn?k de-la-et rovinu do dvoch oblast?: vn?tornej a vonkaj?ej. Vn?torn?-ren-ny oblas? je tie? od-ale-syat do ve?a uhlia.

In?mi slovami, napr?klad, ke? sa hovor? o p??uhl?-ni-ke, maj? na mysli cel? jeho vn?torn? oblas? aj hrani?n? tsu. A do vn?torn?ho-ren-it regi?nu od-no-syat-sya a v?etk?ch bodov, nejak?-ra? le?? vn?tri ve?a-uhlia-no-ka, t.j. bod je tie? od-but-sit-Xia do piatich-uhlia-no-ku (pozri obr. 2).

Ve?a uhlia-no-ki sa st?le niekedy naz?va n-uhlie-no-ka-mi, aby sa zd?raznilo, ?e ide o be?n? pr?pad-?aj na-nie?o-nezn?meho-z -po?et rohov (n kusov).

Defin?cia. Pe-ri-meter mnoho-uhlie-no-ka- s??et d??ok str?n multiuhl?ka-no-ka.

Teraz treba vediet s nazormi vela-uhlia-no-kov. Oni de-lyat-xia na ty-objemn? a nie objemn?. Napr?klad poly-coal-nick, zn?zornen? na obr. 2, is-la-et-sya you-bump-ly, a na obr. 3 non-chum??-lym.

Ry?a. 3. Nekonvexn? poly-uho?n? nick

2. Konvexn? a nekonvexn? mnohouholn?ky

Definovanie s?boru 1. Polyg?n na-zy-va-et-sya ty prd??, ak je pro-ve-de-nii priamy cez ktor?ko?vek zo svojich str?n, celok mnohouholn?k le?? len jedna stokoruna od tejto priamky. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya v?etko ostatn? ve?a uhlia.

Je ?ahk? si predstavi?, ?e pri pred??en? ktorejko?vek strany p??uhl?ka-no-ka na obr. 2 on je v?etko ok-zhet-sya jedna sto-ro-stud?a z tejto rovnej bane, t.j. je vydut?. Ale ke? je pro-ve-de-nii rovno cez ?tyri-you-rech-coal-no-ke na obr. 3 u? vid?me, ?e to rozde?uje na dve ?asti, t.j. nie je objemn?.

Ale je tu ?al?? def-de-le-nie you-pump-lo-sti a lot-of-coal-no-ka.

Opr?-de-les-nie 2. Polyg?n na-zy-va-et-sya ty prd??, ak ke? vyberiete ?ubovo?n? dva jeho vn?torn? body a ke? ich spoj?te z rezu, v?etky body z rezu s? tie? vn?torn? -no-mi bod-ka-mi ve?a-uhlie-no-ka.

Uk??ku pou?itia tejto defin?cie de-le-tion je mo?n? vidie? na pr?klade stavby z rezov na obr. 2 a 3.

Defin?cia. Dia-go-na-lew many-coal-no-ka-za-va-et-sya any from-re-zok, pri?om dva nesp?jaj? svoje vrcholy.

3. Veta o s??te vn?torn?ch uhlov konvexn?ho n-uholn?ka

Na opis vlastnost? polyg?nov existuj? dve najd?le?itej?ie te?rie o ich uhloch: theo-re-ma o s??te vn?torn?ch uhlov you-blog-lo-go-many-coal-no-ka a theo-re-ma o s??te vonkaj??ch uhlov. Pozrime sa na ne.

Veta. Na s??te vn?torn?ch uhlov vy-l??-lo-go-ve?a-uhlia-no-ka (n-uhlie-no-ka).

Kde je po?et jeho rohov (strany).

Do-for-tel-stvo 1. Obraz-ra-zima na Obr. 4 konvexn? prez?vka s n-uhlom.

Ry?a. 4. You-bump-ly n-angle-nick

Z vrcholu sme pro-we-dem v?etky mo?n? dia-go-on-?i. Rozde?uj? n-uholn?k-nick na trojuholn?k-no-ka, preto?e ka?d? zo str?n je multi-coal-no-ka-ra-zu-et trojuholn?k-nick, s v?nimkou str?n pri?ahl?ch k hornej ?asti pneumatiky. Z n?kresu je ?ahk? vidie?, ?e s??et uhlov v?etk?ch t?chto trojuholn?kov sa bude presne rovna? s??tu vn?torn?ch uhlov n-uhol-no-ka. Preto?e s??et uhlov ?ubovo?n?ho trojuholn?ka-no-ka -, potom s??et vn?torn?ch uhlov n-uhol-no-ka:

Do-ka-for-tel-stvo 2. Je mo?n? a ?al?ie do-ka-pre-tel-stvo tohto theo-re-we. Obr?zok analogick?ho n-uholn?ka na obr. 5 a spojte ktor?ko?vek z jeho vn?torn?ch bodov so v?etk?mi vrcholmi.

Sme-?i-?i raz-bi-e-ne n-uhol-no-ka na n trojuholn?k-ni-kov (ko?ko str?n, to?ko trojuholn?kov-ni-kov ). S??et v?etk?ch ich uhlov sa rovn? s??tu vn?torn?ch uhlov multi-uhlia-?iadne a s??tu uhlov vo vn?tornom bode, a toto je uhol. M?me:

Q.E.D.

Pred-za-ale.

Pod?a do-ka-zan-noy theo-re-me je zrejm?, ?e s??et uhlov n-uhlie-no-ka z?vis? od po?tu jej str?n (od n). Napr?klad v trojuholn?ku-ne-ke a s??tu uhlov. V four-you-reh-coal-ni-ke, a s??et uhlov - at?.

4. Veta o s??te vonkaj??ch uhlov konvexn?ho n-uholn?ka

Veta. O s??te vonkaj??ch uhlov you-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-uhlie-no-ka).

Kde je po?et jeho uhlov (stran) a, ..., s? vonkaj?ie uhly.

D?kaz. Obr?zok-ra-zim konvexn? n-uhol-nick na obr. 6 a ozna?uj? jeho vn?torn? a vonkaj?? uhol.

Ry?a. 6. Ste konvexn? n-coal-nick s ozna?en?m extern?-ni-corners-la-mi

Preto?e vonkaj?? roh je spojen? s vn?torn?m rohom ako susediaci, potom je to analogick? pre zvy?ok vonkaj??ch rohov. potom:

V priebehu pre-ob-ra-zo-va-niy sme pou?ili-zo-va-lied u? do-ka-zan-my theo-re-mine o s??te vn?torn?ch uhlov n-uhol-no-ka. .

Pred-za-ale.

Z pre-ka-zan-noy theo-re-vypl?vame z in-te-res-ny fakt, ?e s??et vonkaj??ch uhlov konvexn?ho-lo-t?ho n-uhla-no-ka sa rovn? z ko. -li-che-jeho rohov (bokov). Mimochodom, v z?vislosti od s??tu vn?torn?ch uhlov.

?alej budeme pracova? zlomkovej?ie s konkr?tnym pr?padom mno?stva uhlia-no-kov - che-you-rekh-uhlia-no-ka-mi. V ?al?ej lekcii spozn?me tak? fi-gu-roj ako par-ral-le-lo-gram a rozoberieme jeho vlastnosti.

SOURCE

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144