?VOD

Rovnice v ?kolskom kurze algebry zauj?maj? popredn? miesto. Ich ?t?diu sa venuje viac ?asu ako akejko?vek inej t?me ?kolsk?ho kurzu matematiky. Sila te?rie rovn?c je v tom, ?e m? nielen teoretick? v?znam pre poznanie pr?rodn?ch z?konov, ale sl??i aj ?pecifick?m praktick?m ??elom. V???ina probl?mov o priestorov?ch form?ch a kvantitat?vnych vz?ahoch re?lneho sveta spo??va v rie?en? r?znych typov rovn?c. Osvojen?m si sp?sobov ich rie?enia ?udia nach?dzaj? odpovede na r?zne ot?zky z oblasti vedy a techniky (doprava, po?nohospod?rstvo, priemysel, spoje a pod.). Taktie? pre formovanie schopnosti rie?i? rovnice m? ve?k? v?znam samostatn? pr?ca ?iaka pri u?en? sa rie?i? rovnice. Pri ?t?diu akejko?vek t?my mo?no rovnice vyu?i? ako ??inn? prostriedok na upev?ovanie, prehlbovanie, opakovanie a roz?irovanie teoretick?ch vedomost?, na rozvoj tvorivej matematickej ?innosti ?iakov.

V modernom svete s? rovnice ?iroko pou??van? v r?znych odvetviach matematiky pri rie?en? d?le?it?ch aplikovan?ch probl?mov. T?to t?ma sa vyzna?uje ve?kou h?bkou prezent?cie a bohatos?ou s?vislost? vytvoren?ch s jej pomocou pri u?en?, logickou platnos?ou prezent?cie. Preto zauj?ma v?nimo?n? postavenie v rade rovn?c. ?tudenti za??naj? ?tudova? t?mu „?tvorcov? troj?lenky“, ke? u? nazbierali nejak? sk?senosti a vlastnia pomerne ve?k? z?sobu algebraick?ch a v?eobecn?ch matematick?ch konceptov, konceptov a zru?nost?. Do zna?nej miery pr?ve na materi?li tejto t?my je potrebn? syntetizova? materi?l t?kaj?ci sa rovn?c, implementova? princ?py historizmu a pr?stupnosti.

Relevantnos? T?mou je potreba implement?cie princ?pov historizmu a nedostatok materi?lu na jeho realiz?ciu na t?mu „Rie?enie kvadratick?ch rovn?c“.

V?skumn? probl?m: identifik?cia historick?ho materi?lu na u?enie sa rie?i? kvadratick? rovnice.

Cie?: formovanie predst?v o pr?ci s kvadratick?mi rovnicami na hodin?ch matematiky, v?ber s?boru lekci? s prvkami historizmu na t?mu "Kvadrick? rovnice".

Predmet ?t?dia: rie?enie kvadratick?ch rovn?c v 8. ro?n?ku s vyu?it?m prvkov historizmu.

Predmet ?t?dia: kvadratick? rovnice a rozvoj lekci? o rie?en? kvadratick?ch rovn?c s pou?it?m historick?ch materi?lov.

?lohy:

vykona? anal?zu vedeckej a metodologickej literat?ry o v?skumnom probl?me;

analyzova? ?kolsk? u?ebnice a vyzdvihn?? v nich miesto u?enia sa rie?i? kvadratick? rovnice;

vyzdvihn?? s?bor lekci? o rie?en? kvadratick?ch rovn?c pomocou historick?ch materi?lov.

V?skumn? met?dy:

rozbor literat?ry na t?mu "Rie?enie kvadratick?ch rovn?c";

pozorovanie ?iakov po?as vyu?ovacej hodiny na t?mu „Rie?enie kvadratick?ch rovn?c“;

v?ber materi?lu: lekcie na t?mu „Rie?enie kvadratick?ch rovn?c“ s pou?it?m historick?ch odkazov.

§ 1. Z hist?rie vzniku kvadratick?ch rovn?c

Algebra vznikla v s?vislosti s rie?en?m r?znych ?loh pomocou rovn?c. Zvy?ajne je v probl?moch potrebn? n?js? jednu alebo nieko?ko nezn?mych a z?rove? pozna? v?sledky niektor?ch akci? vykonan?ch na po?adovan?ch a dan?ch mno?stv?ch. Tak?to ?lohy sa redukuj? na rie?enie jednej alebo s?stavy nieko?k?ch rovn?c, na h?adanie po?adovan?ch pomocou algebraick?ch oper?ci? na dan?ch veli?in?ch. Algebra ?tuduje v?eobecn? vlastnosti akci? na mno?stv?.

Niektor? algebraick? techniky na rie?enie line?rnych a kvadratick?ch rovn?c boli zn?me u? pred 4000 rokmi v starovekom Babylone.

Kvadratick? rovnice v starovekom Babylone

Potreba rie?enia rovn?c nielen prv?ho, ale aj druh?ho stup?a v staroveku bola sp?soben? potrebou rie?enia probl?mov s?visiacich s h?adan?m pl?ch zemsk?ch a zemn?ch pr?c vojensk?ho charakteru, ako aj s rozvojom astron?mie, resp. samotn? matematiku. Babylon?ania vedeli rie?i? kvadratick? rovnice okolo roku 2000 pred Kristom. Pomocou modernej algebraickej not?cie m??eme poveda?, ?e v ich klinopisn?ch textoch s? okrem ne?pln?ch napr?klad aj ?pln? kvadratick? rovnice:

Pravidlo na rie?enie t?chto rovn?c uveden? v babylonsk?ch textoch sa v podstate zhoduje s t?m modern?m, ale nie je zn?me, ako Babylon?ania k tomuto pravidlu pri?li. Takmer v?etky doteraz n?jden? klinopisn? texty uv?dzaj? len probl?my s rie?eniami uveden?mi vo forme receptov, bez uvedenia sp?sobu ich n?jdenia. Napriek vysok?mu stup?u rozvoja algebry v Babylone ch?ba v klinov?ch textoch koncept z?porn?ho ??sla a v?eobecn? met?dy rie?enia kvadratick?ch rovn?c.

Diofantova aritmetika neobsahuje systematick? v?klad algebry, ale obsahuje systematick? rad probl?mov sprev?dzan?ch vysvetleniami a rie?en?ch formulovan?m rovn?c r?zneho stup?a.

Pri zostavovan? rovn?c Diophantus ?ikovne vyber? nezn?me, aby zjednodu?il rie?enie.

Tu je napr?klad jedna z jeho ?loh.

?loha 2. "N?jdite dve ??sla s vedom?m, ?e ich s??et je 20 a ich s??in je 96."

Diophantus argumentuje nasledovne: z podmienky probl?mu vypl?va, ?e po?adovan? ??sla sa nerovnaj?, preto?e ak by boli rovnak?, ich s??in by sa rovnal nie 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovicu ich sumy, t.j.
. Druh? je men?ia, t.j.
. Rozdiel medzi nimi
. Preto rovnica:

Odtia?
. Jedno z po?adovan?ch ??sel je 12, druh? je 8. Rie?enie
lebo Diophantus neexistuje, ke??e gr?cka matematika poznala len kladn? ??sla.

Ak vyrie?ime tento probl?m a vyberieme jedno z nezn?mych ??sel ako nezn?me, m??eme pr?s? k rie?eniu rovnice:

Je jasn?, ?e Diophantus zjednodu?uje rie?enie v?berom polovi?n?ho rozdielu po?adovan?ch ??sel ako nezn?meho; podar? sa mu probl?m zredukova? na rie?enie ne?plnej kvadratickej rovnice.

Kvadratick? rovnice v Indii

Probl?my s kvadratick?mi rovnicami sa u? nach?dzaj? v astronomickom pojednan? „Aryabhattam“, ktor? v roku 499 zostavil indick? matematik a astron?m Aryabhatta. ?al?? indick? vedec, Brahmagupta (7. storo?ie), na?rtol v?eobecn? pravidlo na rie?enie kvadratick?ch rovn?c zredukovan?ch na jedin? kanonick? formu:

(1)

V rovnici (1) m??u by? koeficienty z?porn?. Brahmaguptove pravidlo sa v podstate zhoduje s na??m.

V Indii boli verejn? s??a?e v rie?en? zlo?it?ch probl?mov be?n?. V jednej zo star?ch indick?ch kn?h sa o tak?chto s??a?iach hovor?: „Ako slnko pre?iari hviezdy svojou ?iarou, tak vzdelan? ?lovek za?iari sl?vu na verejn?ch stretnutiach, pri navrhovan? a rie?en? algebraick?ch probl?mov.“ ?lohy sa ?asto obliekali do poetickej podoby.

Tu je jeden z probl?mov sl?vneho indick?ho matematika XII. Bhaskara.

Bhaskarovo rie?enie nazna?uje, ?e autor si bol vedom? dvojhodnotovosti kore?ov kvadratick?ch rovn?c.

Rovnica zodpovedaj?ca probl?mu 3 je:

Bhaskara p??e pod z?mienkou:

a na dokon?enie ?avej strany tejto rovnice k ?tvorcu prid? 322 na obe strany, ??m dostane:

Al-Khwarizmiho kvadratick? rovnice

Al-Khwarizmiho algebraick? pojednanie uv?dza klasifik?ciu line?rnych a kvadratick?ch rovn?c. Autor uv?dza 6 typov rovn?c a vyjadruje ich takto:

Pre Al-Khwarizmiho, ktor? sa vyh?bal pou??vaniu z?porn?ch ??sel, s? ?leny ka?dej z t?chto rovn?c s??tan?m, nie od??tan?m. V tomto pr?pade sa zjavne neber? do ?vahy rovnice, ktor? nemaj? kladn? rie?enia. Autor na?rt?va met?dy rie?enia t?chto rovn?c pomocou met?d al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutie sa, samozrejme, ?plne nezhoduje s na??m. Nehovoriac o tom, ?e je to ?isto r?torick?, treba si napr?klad uvedomi?, ?e pri rie?en? ne?plnej kvadratickej rovnice prv?ho typu Al-Khwarizmi, ako v?etci matematici pred 17. storo??m, neberie do ?vahy nulu. rie?enie, pravdepodobne preto, ?e pri konkr?tnych praktick?ch ?loh?ch na tom nez?le??. Pri rie?en? ?pln?ch kvadratick?ch rovn?c Al-Khwarizmi stanovuje pravidl? ich rie?enia pomocou konkr?tnych numerick?ch pr?kladov a n?sledne ich geometrick?ch d?kazov.

Vezmime si pr?klad.

?loha 4. „?tvorec a ??slo 21 sa rovnaj? 10 kore?om. N?jdite kore? "(?o znamen? kore? rovnice
).

Rie?enie: vyde?te po?et kore?ov na polovicu, dostanete 5, vyn?sobte 5, od s??inu od??tajte 21, zost?vaj? 4. Vezmite odmocninu zo 4, dostanete 2. Od??tajte 2 od 5, dostanete 3, toto bude po?adovan? kore?. Alebo pridajte 2 k 5, ??m z?skate 7, to je tie? kore?.

Al-Khwarizmiho pojednanie je prvou knihou, ktor? sa k n?m dostala, v ktorej je systematicky prezentovan? klasifik?cia kvadratick?ch rovn?c a uveden? vzorce na ich rie?enie.

Kvadratick? rovnice v Eur?peXII- XVIIv.

Formul?re na rie?enie kvadratick?ch rovn?c na modeli Al-Khwarizmi v Eur?pe boli prv?kr?t op?san? v „Knihe po??tadla“, nap?sanej v roku 1202. Taliansky matematik Leonard Fibonacci. Autor nez?visle vyvinul nieko?ko nov?ch algebraick?ch pr?kladov rie?enia probl?mov a ako prv? v Eur?pe prist?pil k zavedeniu z?porn?ch ??sel.

T?to kniha prispela k roz??reniu algebraick?ch poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Franc?zsku a ?al??ch eur?pskych krajin?ch. Mnoh? ?lohy z tejto knihy boli prenesen? takmer do v?etk?ch eur?pskych u?ebn?c 14. – 17. storo?ia. V?eobecn? pravidlo na rie?enie kvadratick?ch rovn?c zredukovan? na jeden kanonick? tvar
so v?etk?mi mo?n?mi kombin?ciami znakov a koeficientov b, c, sformuloval v Eur?pe v roku 1544 M. Stiefel.

Vieta m? v?eobecn? deriv?ciu vzorca na rie?enie kvadratickej rovnice, ale Vieta rozpoznal iba kladn? korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prv?mi v 16. storo??. bra? do ?vahy okrem pozit?vnych aj negat?vne korene. A? v XVII storo??. v?aka pr?cam Girarda, Descarta, Newtona a ?al??ch vedcov dost?va met?da rie?enia kvadratick?ch rovn?c modern? podobu.

Po?iatky algebraick?ch met?d rie?enia praktick?ch probl?mov s? spojen? s vedou o staroveku. Ako je zn?me z dej?n matematiky, v?znamn? ?as? probl?mov matematick?ho charakteru, ktor? rie?ili egyptsk?, sumersk?, babylonsk? pis?ri-po??ta?i (XX-VI storo?ia pred Kristom), mala vypo??tan? charakter. Av?ak aj vtedy sa z ?asu na ?as vyskytli probl?my, v ktor?ch bola po?adovan? hodnota veli?iny ?pecifikovan? nejak?mi nepriamymi podmienkami vy?aduj?cimi z n??ho modern?ho poh?adu formul?ciu rovnice alebo s?stavy rovn?c. Spo?iatku sa na rie?enie tak?chto probl?mov pou??vali aritmetick? met?dy. Nesk?r sa za?ali formova? po?iatky algebraick?ch reprezent?ci?. Napr?klad babylonsk? kalkula?ky dok?zali vyrie?i? probl?my, ktor? sa z h?adiska modernej klasifik?cie redukuj? na rovnice druh?ho stup?a. Vznikla met?da rie?enia textov?ch ?loh, ktor? nesk?r sl??ila ako z?klad pre zv?raznenie algebraickej zlo?ky a jej samostatn? ?t?dium.

T?to ?t?dia bola vykonan? u? v inej dobe, najprv arabsk?mi matematikmi (VI-X storo?ia nl), ktor? vy?lenili charakteristick? akcie, ktor?mi sa rovnice zredukovali na ?tandardn? formu, redukciu podobn?ch ?lenov, prenos ?lenov z jednej ?asti rovnice na in? so zmenou znamienka. A potom eur?pski matematici renesancie, ako v?sledok dlh?ho h?adania, vytvorili jazyk modernej algebry, pou??vanie p?smen, zavedenie symbolov pre aritmetick? oper?cie, z?tvorky at?. Na prelome 16. 17. storo?ia. Algebra ako ?pecifick? ?as? matematiky, ktor? m? svoj predmet, met?du, oblasti pou?itia, sa u? sformovala. Jeho ?al?? rozvoj a? do na?ej doby spo??val v zdokona?ovan? met?d, roz?irovan? mo?nost? pou?itia, objas?ovan? pojmov a ich s?vislost? s pojmami in?ch odvetv? matematiky.

Tak?e vzh?adom na d?le?itos? a rozsiahlos? materi?lu spojen?ho s pojmom rovnica je jeho ?t?dium v modernej metodol?gii matematiky spojen? s tromi hlavn?mi oblas?ami jej v?skytu a fungovania.

Hist?ria v?voja rie?en? kvadratick?ch rovn?c

Aristoteles

D.I. Mendelejev

N?jdite strany po?a, ktor? m? tvar obd??nika, ak je jeho plocha 12 , a

Zv??me tento probl?m.

• Nech x je d??ka po?a, potom jeho ??rka,
• je jeho oblas?.
• Urobme kvadratick? rovnicu:
• Papyrus uv?dza pravidlo pre jeho rozhodnutie: "Divide 12 by".
• 12: .
• Tak?e, .
• "D??ka po?a je 4", - uveden? v papyruse.

• Redukovan? kvadratick? rovnica
• kde s? nejak? re?lne ??sla.

V jednej z babylonsk?ch ?loh bolo potrebn? ur?i? aj d??ku obd??nikov?ho po?a (ozna?me ho) a jeho ??rku ().

Pridan?m d??ky a dvoch ??rok obd??nikov?ho po?a z?skate 14 a plocha po?a je 24. N?jdite jeho strany.

Zostavme si s?stavu rovn?c:

Odtia? dostaneme kvadratick? rovnicu.

Aby sme to vyrie?ili, prid?me do v?razu ur?it? ??slo,

z?ska? cel? ?tvorec:

V d?sledku toho, .

Vo v?eobecnosti kvadratick? rovnica

M? dva korene:

• DIOPHANT
• Starovek? gr?cky matematik, ktor? ?il pravdepodobne v 3. storo?? pred Kristom. e. Autor knihy "Aritmetika" - kniha venovan? rie?eniu algebraick?ch rovn?c.
• Dnes sa pod „diofant?nskymi rovnicami“ zvy?ajne rozumej? rovnice s celo??seln?mi koeficientmi, ktor?ch rie?enia treba h?ada? medzi cel?mi ??slami. Diophantus bol tie? jedn?m z prv?ch, ktor? vyvinuli matematick? not?ciu.

"N?jdite dve ??sla s vedom?m, ?e ich s??et je 20 a ich s??in je 96."

Jedno z ??sel bude viac ako polovica ich s??tu, teda 10+, druh? menej, teda 10-.

Preto plat? rovnica ()()=96

Tu je jeden z probl?mov sl?vnych

Indick? matematik Bhaskara z 12. storo?ia:

?pinav? k?de? op?c

Dobre jes?, bavi? sa.

Odmocnili ?as? osem

Z?bava na l?ke.

A dvan?s? vo vini?och...

Za?ali sk?ka?, visie? ...

Ko?ko bolo op?c

Povie? mi, v tomto st?de?

• Bhaskarovo rie?enie nazna?uje, ?e si bol vedom? dvojakej hodnoty kore?ov kvadratick?ch rovn?c.
• Zodpovedaj?ce rie?enie rovnice

• Bhaskara p??e vo forme a na dokon?enie ?avej strany tejto rovnice na ?tvorec prid?me 32 2 na obe strany, ??m z?skame

"AL-JABR" - OBNOVA - AL-KHOREZMI NAZAL OPER?CIU VYL??ENIA Z OBOCH ?AST? ROVNICE NEGAT?VNYCH ?LENOV PRIDAN?M ROVNOCENN?CH ?LENOV, ALE OPA?NE V ZNAKU.

"AL-MUKABALA" - OPOZ?CIA - ZN??ENIE ?AST? ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE ROVNICE.

PRAVIDLO "AL-JABR"

PRI RIE?EN? ROVNICE

AK V PRVEJ ?ASTI,

NEZ?LE?? NA ?O

SPOZNAJTE NEGAT?VNEHO ?LENA,

SME NA OBOCH ?AS?OCH

D?ME ROVN?HO ?LENA,

LEN S IN?M ZNA?EN?M,

A N?JDEME POZIT?VNY V?SLEDOK.

1) ?tvorce sa rovnaj? kore?om, to znamen?;

2) ?tvorce sa rovnaj? ??slu, to znamen?;

3) korene sa rovnaj? ??slu, to znamen?;

4) ?tvorce a ??sla sa rovnaj? kore?om, t.j.;

5) druh? mocniny a odmocniny sa rovnaj? ??slu, t.j.

6) korene a ??sla sa rovnaj? druh?m mocniam, t.j.

?loha . Druh? mocnina a ??slo 21 sa rovnaj? 10 kore?om. N?jdite kore?.

Rie?enie. Rozde?te po?et kore?ov na polovicu - dostanete 5, vyn?sobte 5 sebou,

Odpo??tajte 21 od s??inu a ponechajte 4.

Vezmite druh? odmocninu zo 4 a dostanete 2.

Odpo??tajte 2 od 5 - dostanete 3, bude to po?adovan? kore?. Alebo pridajte k 5, ??m z?skate 7, to je tie? kore?.

Fibonacci sa narodil v talianskom obchodnom centre Pisa, pravdepodobne v 70. rokoch 12. storo?ia. . V roku 1192 bol vymenovan? za z?stupcu obchodnej kol?nie Pisan v severnej Afrike. Na ?iados? svojho otca sa pres?ahoval do Al??rska a ?tudoval tam matematiku. V roku 1200 sa Leonardo vr?til do Pisy a za?al p?sa? svoje prv? dielo The Book of the Abacus. [ . Pod?a historika matematiky A.P. Ju?kevi?a Kniha po??tadla“ sa ostro vyvy?uje nad eur?psku aritmetick? a algebraick? literat?ru storo?? XII-XIV rozmanitos?ou a silou met?d, bohatos?ou probl?mov, d?kazom prezent?cie... Nasleduj?ci matematici z nej vo ve?kej miere ?erpali probl?my a met?dy na ich rie?enie ».

Nakresl?me funkciu

• Graf je parabola, ktorej vetvy smeruj? nahor, od r

2) S?radnice vrcholov paraboly

Prehovoril W. Sauer :

„Pre ?tudenta algebry je ?asto u?ito?nej?ie vyrie?i? ten ist? probl?m tromi r?znymi sp?sobmi, ako vyrie?i? tri alebo ?tyri r?zne probl?my. Rie?en?m jedn?ho probl?mu r?znymi met?dami je mo?n? porovnan?m zisti?, ktor? je krat?ia a efekt?vnej?ia. Tak sa robia sk?senosti."

"Mesto je jednota odli?n?ch"

Aristoteles

"??slo vyjadren? v desatinnom znamienku bude ??ta? Nemec, Rus, Arab a Yankee rovnak?m sp?sobom."

Zatia? neexistuje ?iadna HTML verzia diela.

Podobn? dokumenty

Hist?ria v?voja vzorcov pre korene kvadratick?ch rovn?c. Kvadratick? rovnice v starovekom Babylone. Rie?enie kvadratick?ch rovn?c pod?a Diofanta. Kvadratick? rovnice v Indii, Chorezmii a Eur?pe v 13. - 17. storo??. Vietova veta, modern? algebraick? z?pis.

test, pridan? 27.11.2010


Hist?ria kvadratick?ch rovn?c: Rovnice v starovekom Babylone a Indii. Vzorce pre p?rny koeficient v x. Kvadratick? rovnice zvl??tnej povahy. Vietova veta pre polyn?my vy???ch stup?ov. ?t?dium bikvadratick?ch rovn?c. Podstata Cordanovho vzorca.

abstrakt, pridan? 09.05.2009


Odvodenie vzorca na rie?enie kvadratickej rovnice v dejin?ch matematiky. Porovn?vacia anal?za technol?gi? r?znych met?d rie?enia rovn?c druh?ho stup?a, pr?klady ich aplik?cie. Stru?n? te?ria rie?enia kvadratick?ch rovn?c, zostavenie knihy probl?mov.

abstrakt, pridan? 18.12.2012


V?znam matematiky v na?om ?ivote. Hist?ria ??tu. V?voj met?d v?po?tovej matematiky v s??asnosti. Vyu?itie matematiky v in?ch ved?ch, ?loha matematick?ho modelovania. Stav matematick?ho vzdel?vania v Rusku.

?l?nok, pridan? 01.05.2010


gr?cka matematika. Stredovek a renesancia. Za?iatky modernej matematiky. Modern? matematika. Matematika nie je zalo?en? na logike, ale na zvukovej intu?cii. Probl?my z?kladov matematiky s? filozofick?.

abstrakt, pridan? 09.06.2006


Hist?ria v?voja matematickej vedy v Eur?pe v 6.-14. storo??, jej predstavitelia a ?spechy. Rozvoj matematiky v renesancii. Tvorba doslovn?ho kalkulu, ?innos? Fran?oisa Vietu. Zlep?enie v?po?tovej techniky koncom 16. – za?iatkom 16. storo?ia

prezent?cia, pridan? 20.09.2015


Preh?ad v?voja eur?pskej matematiky v XVII-XVIII storo?ia. Nerovnomern? v?voj eur?pskej vedy. Analytick? geometria. Tvorba matematickej anal?zy. Vedeck? ?kola Leibniz. V?eobecn? charakteristiky vedy XVIII storo?ia. Smery rozvoja matematiky.

prezent?cia, pridan? 20.09.2015


Obdobie zrodu matematiky (do 7. – 5. storo?ia pred Kristom). ?as matematiky kon?t?nt (7.-5. storo?ie pred Kristom - XVII. storo?ie po Kr.). Matematika premenn?ch (XVII-XIX storo?ia). Modern? obdobie rozvoja matematiky. Vlastnosti po??ta?ovej matematiky.

prezent?cia, pridan? 20.09.2015


?spechy starovek?ch gr?ckych matematikov, ktor? ?ili medzi 6. storo??m pred Kristom. a 5. storo?? n??ho letopo?tu. Vlastnosti po?iato?n?ho obdobia rozvoja matematiky. ?loha pytagorejskej ?koly vo v?voji matematiky: Plat?n, Eudoxus, Zeno, Democritus, Euclid, Archimedes, Apollonius.

test, pridan? 17.09.2010


Hist?ria formovania matematiky ako vedy. Obdobie element?rnej matematiky. Obdobie vzniku matematiky premenn?ch. Tvorba analytickej geometrie, diferenci?lneho a integr?lneho po?tu. V?voj matematiky v Rusku v XVIII-XIX storo?ia.

Domov > Nahl?si?

Stredn? ?kola MOU pomenovan? po Hrdinoch Sovietskeho zv?zu
Sotnikov? A.T. a Shepeleva N. G. s. Uritskoe

Spr?va k t?me:

„Hist?ria vzniku

kvadratick? rovnice"

Pripraven?:Izotov? J?lia,
Ampleeva Elena,
?epelev Nikolay,

Dja?enko Jurij.

Oh, matematika. Po st?ro?ia si pokryt? sl?vou,

Svietidlo v?etk?ch pozemsk?ch svietidiel.

Ty majest?tna kr??ovn?

Niet divu, ?e Gauss pokrstil.

Pr?sne, logick?, majest?tne,

?t?hly v lete ako ??p,

Tvoja ve?n? sl?va

V priebehu vekov z?skala nesmrte?nos?.

Chv?lime ?udsk? myse?

Diela jeho magick?ch r?k,

N?dej tohto veku

Kr??ovn? v?etk?ch pozemsk?ch vied.

Chceme v?m to dnes poveda?

Hist?ria v?skytu

?o by mal vedie? ka?d? ?tudent

Hist?ria kvadratick?ch rovn?c.

Euklides, v tre?om storo?? pred na??m letopo?tom. e. vo svojich „Princ?poch“ venovan?ch geometrickej algebre cel? druh? knihu, ktor? obsahuje v?etok potrebn? materi?l na rie?enie kvadratick?ch rovn?c.

Euclid (Enkleidiz), starogr?cky matematik, autor prv?ho teoretick?ho pojednania o matematike, ktor? sa k n?m dostalo

Inform?cie o Euklidovi s? ve?mi vz?cne. Za spo?ahliv? mo?no pova?ova? len to, ?e jeho vedeck? ?innos? prebiehala v Alexandrii v 3. storo?? pred Kristom. e. Euklides je prv?m matematikom alexandrijskej ?koly. Jeho hlavn? dielo „Za?iatky“ (v latinizovanej podobe – „Prvky“) obsahuje prezent?ciu planimetrie, stereometrie a mno?stvo probl?mov z te?rie ??sel; v nej zhrnul doteraj?? v?voj gr?ckej matematiky a polo?il z?klad pre ?al?? rozvoj matematiky. Volavka - gr?cky matematik a in?inier prv?kr?t v Gr?cku v 1. storo?? n??ho letopo?tu. poskytuje ?isto algebraick? sp?sob rie?enia kvadratickej rovnice.

Volavka Alexandrijsk?; Volavka, I c. n. gr?cky mechanik a matematik. Doba jeho ?ivota je neist?, vie sa len, ?e citoval Archimeda (zomrel v roku 212 pred Kr.), jeho samotn?ho citoval Pappus (asi 300 po Kr.). V s??asnosti prevl?da n?zor, ?e ?il v 1. stor. n. e. ?tudoval geometriu, mechaniku, hydrostatiku, optiku; vyna?iel prototyp parn?ho stroja a presn? nivela?n? pr?stroje. Najpopul?rnej??mi automatmi boli automatick? divadl?, font?ny a in?.G. op?sal teodolit opieraj?c sa o z?kony statiky a kinetiky, op?sal p?ku, blok, vrtu?u a vojensk? vozidl?. V optike formuloval z?kony odrazu svetla, v matematike - met?dy na meranie najd?le?itej??ch geometrick?ch ?tvarov. Hlavn? diela G. s? Ietrik, Pneumatika, Autopoietika, Mechanika (franc?zsky; dielo sa zachovalo cel? v arab?ine), Katoptika (n?uka o zrkadl?ch; zachovala sa len v latinskom preklade) at?. G. pou?il tzv. ?spechy jeho predchodcov: Euklides, Archimedes, Strato z Lampsacus. Jeho ?t?l je jednoduch? a jasn?, aj ke? niekedy pr?li? lakonick? alebo ne?trukt?rovan?. Z?ujem o spisy G. vznikol v III. storo??. n. e. Gr?cki a potom byzantsk? a arabsk? ?tudenti komentovali a prekladali jeho diela.

Diophantus- gr?cky vedec v 3. storo?? n??ho letopo?tu, bez toho, aby sa uch?lil ku geometrii, vyrie?il niektor? kvadratick? rovnice ?isto algebraick?m sp?sobom a samotn? rovnica a jej rie?enie boli nap?san? v symbolickej forme

„Poviem v?m, ako gr?cky matematik Diophantus skladal a rie?il kvadratick? rovnice. Tu je napr?klad jedna z jeho ?loh:"N?jdite dve ??sla s vedom?m, ?e ich s??et je 20 a ich s??in je 96."

1. Z podmienky ?lohy vypl?va, ?e po?adovan? ??sla sa nerovnaj?, preto?e ak by boli rovn?, ich s??in by nebol 96, ale 100.

2. Takto. jedna z nich bude viac ako polovica ich s??tu, t.j. 10 + x, druh? je menej, t.j. 10 - x.

3. Rozdiel medzi nimi je 2x.

4. Preto plat? rovnica (10 + x) * (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96 x 2 - 4 = 0

5. Odpove? x = 2. Jedno z po?adovan?ch ??sel je 12,
in? - 8. Rie?enie x = - 2 pre Diofanta neexistuje, preto?e Gr?cka matematika poznala len kladn? ??sla.“ Diophantus vedel rie?i? ve?mi zlo?it? rovnice, pou??val p?smenov? ozna?enia pre nezn?me, zaviedol ?peci?lny symbol na v?po?et, pou??val skratky slov. Bhaskare - Akaria- indick? matematik v XII storo?? n??ho letopo?tu. objavil v?eobecn? met?du rie?enia kvadratick?ch rovn?c.

Po?me analyzova? jeden z probl?mov indick?ch matematikov, napr?klad probl?m Bhaskara:

„K?de? op?c sa zab?va: osmina z celkov?ho po?tu z nich v ?tvorci ?ant? v lese, zvy?n?ch dvan?s? kri?? na vrchole kopca. Povedz mi, ko?ko je tam op?c?"

V koment?ri k probl?mu by som chcel poveda?, ?e rovnica (x/8) 2 + 12 = x zodpoved? ?lohe. Bhaskara p??e ako x 2 - 64x \u003d - 768. Pridan?m ?tvorca 32 do oboch ?ast? rovnica z?ska tvar:

x 2 - 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x - 32) 2 = 256

Po extrakcii druhej odmocniny dostaneme: x - 32 \u003d 16.

„V tomto pr?pade, hovor? Bhaskara, s? z?porn? jednotky prvej ?asti tak?, ?e jednotky druhej ?asti s? men?ie ako oni, a preto mo?no druh? ?as? pova?ova? za pozit?vnu aj negat?vnu a dostaneme dvojn?sobn? hodnotu nezn?ma. : 48 a 16."

Treba kon?tatova?, ?e Bhaskarovo rie?enie nazna?uje, ?e vedel o dvojhodnotnosti kore?ov kvadratick?ch rovn?c.

Navrhuje sa vyrie?i? star? indick? probl?m Bhaskara:

„Bolo vidie? ?tvorec p?tiny op?c, zmen?en? o tri, schovan? v jaskyni, jedna opica vyliezla na strom. Ko?ko tam bolo op?c? Treba poznamena?, ?e tento probl?m je vyrie?en? element?rne, redukovan? na kvadratick? rovnicu.
Al - Khorezmi - arabsk? u?enec, ktor? v roku 825 nap?sal knihu „Kniha re?taurovania a opoz?cie“. Bola to prv? u?ebnica algebry na svete. Dal tie? ?es? typov kvadratick?ch rovn?c a pre ka?d? zo ?iestich rovn?c sformuloval v slovnej forme ?peci?lne pravidlo na jej rie?enie. V pojednan? Khorezmi uv?dza 6 typov rovn?c a vyjadruje ich takto:

1. "?tvorce sa rovnaj? kore?om", t.j. ax 2 = in.

2. "?tvorce sa rovnaj? ??slu", t.j. ax 2 = s.

3. "Korene sa rovnaj? ??slu", t.j. ah = s.

4. "?tvorce a ??sla sa rovnaj? kore?om", t.j. ax 2 + c \u003d in.

5. "?tvorce a odmocniny sa rovnaj? ??slu", t.j. ax 2 + in = s.

6. "Odmocniny a ??sla sa rovnaj? ?tvorcom", t.j. v + c \u003d ah 2.

Po?me analyzova? probl?m al-Khwarizmiho, ktor? je zredukovan? na rie?enie kvadratickej rovnice. "?tvorec a ??slo sa rovnaj? kore?om." Napr?klad jeden ?tvorec a ??slo 21 sa rovnaj? 10 odmocnin?m toho ist?ho ?tvorca, t.j. ot?zka je, z ?oho vznikne ?tvorec, ktor? sa po pripo??tan? 21 rovn? 10 odmocnin?m toho ist?ho ?tvorca?

A pomocou 4. vzorca al-Khwarizmiho musia ?tudenti zap?sa?: x 2 + 21 = 10x

Fran?ois Viet - franc?zsky matematik, sformuloval a dok?zal vetu o s??te a s??ine kore?ov danej kvadratickej rovnice.

Umenie, ktor? prezentujem, je nov?, alebo bolo aspo? tak po?koden? vplyvom barbarov, ?e som pova?oval za vhodn? da? mu ?plne nov? vzh?ad.

Fran?ois Viet

Fran?ois (1540-13.12. 1603) sa v?ak narodil v meste Fontenay-le-Comte v provincii Poitou, ne?aleko sl?vnej pevnosti La Rochelle. Po z?skan? pr?vnick?ho titulu od dev?tn?stich rokov ?spe?ne vykon?val pr?vnick? prax vo svojom rodnom meste. Ako pr?vnik sa Viet te?il medzi obyvate?stvom prest??e a re?pektu. Bol ?iroko vzdelan?m ?lovekom. Vyznal sa v astron?mii a matematike a t?mto ved?m venoval v?etok svoj vo?n? ?as.

Hlavnou v???ou Viety bola matematika. Hlboko ?tudoval diela klasikov Archimeda a Diofanta, bezprostredn?ch predchodcov Cardana, Bombelliho, Stevina a ?al??ch. Vieta ich nielen obdivoval, videl v nich aj ve?k? chybu, ktorou bola obtia?nos? porozumenia kv?li slovnej symbolike: Takmer v?etky akcie a znaky boli zaznamenan? slovami, ch?bal n?znak t?ch pohodln?ch, takmer automatick?ch pravidiel, ktor? teraz pou??vame. . Nebolo mo?n? zap?sa?, a teda za?a? vo v?eobecnej forme, algebraick? porovnania alebo ak?ko?vek in? algebraick? v?razy. Ka?d? typ rovnice s ??seln?mi koeficientmi bol rie?en? pod?a osobitn?ho pravidla. Preto bolo potrebn? dok?za?, ?e na v?etk?ch ??slach existuj? tak? v?eobecn? akcie, ktor? nez?visia od samotn?ch t?chto ??sel. Viet a jeho nasledovn?ci zistili, ?e nez?le?? na tom, ?i ide o po?et objektov alebo o d??ku segmentu. Hlavn? vec je, ?e s t?mito ??slami je mo?n? vykon?va? algebraick? oper?cie a v d?sledku toho op?? z?ska? ??sla rovnak?ho druhu. M??u by? teda ozna?en? nejak?mi abstraktn?mi znakmi. Viet to urobil. Nielen?e predstavil svoj doslovn? po?et, ale urobil z?sadne nov? objav a stanovil si za cie? ?tudova? nie ??sla, ale akcie na nich. Tento sp?sob p?sania umo?nil Vietovi urobi? d?le?it? objavy pri ?t?diu v?eobecn?ch vlastnost? algebraick?ch rovn?c. Nie n?hodou sa Vieta naz?va „otcom“ algebry, zakladate?om p?smenov?ch symbolov.

Informa?n? zdroje:

http :// som. fio. en/ zdrojov/ Karpuhina/2003/12/ Dokon?en?%20 pr?ca/ Koncert/ index1. htm

http :// str?nky. mar?u. en/ iac/ ?koly/ s4/ str?nku74. html

Potreba rie?enia rovn?c nielen prv?ho, ale aj druh?ho stup?a v staroveku bola sp?soben? potrebou rie?enia probl?mov s?visiacich s h?adan?m pl?ch zemsk?ch a zemn?ch pr?c vojensk?ho charakteru, ako aj s rozvojom astron?mie, resp. samotn? matematiku. Kvadratick? rovnice boli schopn? vyrie?i? okolo roku 2000 pred Kristom. e. Babylon?ania.

Pomocou modernej algebraickej not?cie m??eme poveda?, ?e v ich klinopisn?ch textoch s? okrem ne?pln?ch napr?klad aj ?pln? kvadratick? rovnice:

X 2 + X = *; X 2 - X = 14,5

Pravidlo na rie?enie t?chto rovn?c uveden? v babylonsk?ch textoch sa v podstate zhoduje s t?m modern?m, ale nie je zn?me, ako Babylon?ania k tomuto pravidlu pri?li. Takmer v?etky doteraz n?jden? klinopisn? texty uv?dzaj? len probl?my s rie?eniami uveden?mi vo forme receptov, bez uvedenia sp?sobu ich n?jdenia.

Napriek vysok?mu stup?u rozvoja algebry v Babylone ch?ba v klinov?ch textoch koncept z?porn?ho ??sla a v?eobecn? met?dy rie?enia kvadratick?ch rovn?c.

Ako Diophantus zostavil a vyrie?il kvadratick? rovnice.

Diofantova aritmetika neobsahuje systematick? v?klad algebry, ale obsahuje systematick? rad probl?mov sprev?dzan?ch vysvetleniami a rie?en?ch formulovan?m rovn?c r?zneho stup?a.

Pri zostavovan? rovn?c Diophantus ?ikovne vyber? nezn?me, aby zjednodu?il rie?enie.

Tu je napr?klad jedna z jeho ?loh.

?loha 11."N?jdite dve ??sla s vedom?m, ?e ich s??et je 20 a ich s??in je 96"

Diophantus argumentuje nasledovne: z podmienky probl?mu vypl?va, ?e po?adovan? ??sla sa nerovnaj?, preto?e ak by boli rovnak?, ich s??in by sa rovnal nie 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovicu ich sumy, t.j. 10+x, druh? je men??, t.j. 10-te roky. Rozdiel medzi nimi 2x.

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

Odtia? x = 2. Jedn?m z po?adovan?ch ??sel je 12 , in? 8 . Rie?enie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, ke??e gr?cka matematika poznala len kladn? ??sla.

Ak tento probl?m vyrie?ime v?berom jedn?ho z po?adovan?ch ??sel ako nezn?meho, pr?deme k rie?eniu rovnice

y(20 - y) = 96,

pri 2 - 20 rokov + 96 = 0. (2)

Je jasn?, ?e Diophantus zjednodu?uje rie?enie v?berom polovi?n?ho rozdielu po?adovan?ch ??sel ako nezn?meho; podar? sa mu probl?m zredukova? na rie?enie ne?plnej kvadratickej rovnice (1).

Kvadratick? rovnice v Indii

?lohy pre kvadratick? rovnice sa u? nach?dzaj? v astronomickom trakte „Aryabhattam“, ktor? v roku 499 zostavil indick? matematik a astron?m Aryabhatta. ?al?? indick? vedec, Brahmagupta (7. storo?ie), na?rtol v?eobecn? pravidlo na rie?enie kvadratick?ch rovn?c zredukovan?ch na jedin? kanonick? formu:

Oh 2 + bx = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) s? koeficienty okrem a, m??e by? aj negat?vny. Brahmaguptove pravidlo sa v podstate zhoduje s na??m.

V starovekej Indii boli verejn? s??a?e v rie?en? zlo?it?ch probl?mov be?n?. V jednej zo star?ch indick?ch kn?h sa o tak?chto s??a?iach hovor? toto: „Ako slnko pre?iari hviezdy svojou ?iarou, tak vzdelan? ?lovek za?iari sl?vu druh?ho na verejn?ch stretnutiach, kde navrhuje a rie?i algebraick? probl?my.“ ?lohy sa ?asto obliekali do poetickej podoby.

Tu je jeden z probl?mov sl?vneho indick?ho matematika XII. Bhaskara.

?loha 13.

„?ikovn? k?de? op?c a dvan?s? vini?a...

Ke? som jedol silu, bavil som sa. Za?ali sk?ka?, visie? ...

?sma ?as? z nich vo ?tvorci Ko?ko tam bolo op?c,

Z?bava na l?ke. Povie? mi, v tomto st?de?

Bhaskarovo rie?enie nazna?uje, ?e vedel o dvojhodnotovosti kore?ov kvadratick?ch rovn?c (obr. 3).

Rovnica zodpovedaj?ca probl?mu 13 je:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara p??e pod z?mienkou:

X 2 - 64x = -768

a na doplnenie ?avej strany tejto rovnice na ?tvorec prid? k obom stran?m 32 2 , potom z?skate:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, x 2 = 48.