Menelaova veta prip???a zauj?mav? stereometrick? zov?eobecnenie.

Menelaova veta pre ?tvorsten.

Ak lietadlo m prekr??i rebr? AB, BC, CD a DA?tvorsten A B C D v bodoch A1, B1, C1, D1, potom (2).

Naopak, ak za ?tyri body A1, B1, C1, D1 le?iace respekt?ve na okrajoch AB, BC, CD, DA?tvorsten, plat? rovnos? (2), potom tieto ?tyri body le?ia v rovnakej rovine.

D?kaz.

Nechaj h 1, h 2, h 3, h 4- vzdialenosti od bodov A B C D respekt?ve do roviny m , potom ; ; ; .

Zost?va vyn?sobi? z?skan? pomery.

Na d?kaz opa?nej vety zostroj?me rovinu A 1 , B 1 , C 1 . Nech t?to rovina pret?na hranu DA v bode T.

Pod?a osved?en?ho a pod?a podmienok , teda (a pod?a lemmy) body T a D1 sa zhoduj?.Tvrdenie je dok?zan?.

§2. Ceva teor?m

Cevova veta o trojuholn?ku.

Nechajte body A1, B1, C1 le?a? po stran?ch Slnko, AC a VA trojuholn?k ABC(pozri obr?zok). V porad? pre segmenty AA 1, BB 1, SS 1 pret?naj? v jednom bode, je potrebn? a posta?uj?ce, aby vz?ah platil: (3) (segmenty AA 1 , BB 1 , SS 1 niekedy naz?van? ceviany).

D?kaz.

Potreba. Nechajte segmenty AA 1 , BB 1, SS 1 pret?naj? v bode M vn?tri trojuholn?ka ABC .

Ozna?i? pod?a S1, S2, S3 oblasti trojuholn?kov AMS, SMV, AMV a cez h 1, h 2- vzdialenosti od bodov ALE a AT do rovnej PANI. Potom rovnako,. Vyn?soben?m z?skan?ch proporci? sme presved?en? o platnosti vety.

Primeranos?. Nechajte body A1, B1, C1 le?a? na bokoch Sun, SA, AC trojuholn?k a vz?ah (3), M- priese?n?k segmentov AA 1 a BB 1 a segment CM kr??ov? strana AB v bode Q. Potom pod?a toho, ?o u? bolo preuk?zan? , . Lema op?? implikuje zhodu bodov Q = Cl. Dostato?nos? bola preuk?zan?.

Teraz prejdeme k priestorov?mu zov?eobecneniu Cevovej vety.

Cevova veta pre ?tvorsten.

Nechaj M- bod vo vn?tri ?tvorstenu A B C D, a A1, B1, C1 a D1- priese?n?ky rov?n CMD , AMD, AMB a SMV s rebrami AB, B C , CD a DA resp. Potom (?tyri). A naopak: ak na body , potom lietadl? ABC , BCD 1 a DAB 1 prejs? cez jeden bod.

D?kaz.

Nevyhnutnos? je ?ahk? z?ska?, ak si v?imnete, ?e body A1, B1, C1, D1 le?a? v rovnakej rovine (t?to rovina prech?dza priamkami A 1 C 1 a B 1 D 1, ktor? sa pret?naj? v bode M) a aplikujte Menelaovu vetu. Konverzn? veta je dok?zan? rovnak?m sp?sobom ako konverzn? Menelaova veta v priestore: mus?te nakresli? rovinu cez body A1, B1, C1 a pomocou lemy dok?za?, ?e t?to rovina pret?na hranu DA v bode D1 .

§3. Vlastnosti medi?nov a bimedi?nov ?tvorstenu

Stred ?tvorstenu je segment sp?jaj?ci vrchol ?tvorstena s ?a?iskom proti?ahlej steny (priese?n?k stredn?c).

Veta (Aplik?cia Menelaovej vety).

Stredy ?tvorstenu sa pret?naj? v jednom bode. Tento bod rozde?uje ka?d? medi?n 3:1 zhora.

D?kaz.

Zoberme si dva medi?ny: DD 1 a CC 1 ?tvorsten A B C D. Tieto medi?ny sa v ur?itom bode pretn? F . CL je medi?n okraja ABC , DL je medi?n okraja ABD, a D 1 , C 1 - centroidy tv?re ABC a ABD. Pod?a Menelaovej vety: a . Nap??me vetu o trojuholn?ku DLD 1 : ; => D?kaz je podobn? pre ak?ko?vek in? p?r medi?nov.

Veta (Aplik?cia Cevovej vety).

Najprv uv?dzame defin?cie niektor?ch prvkov ?tvorstenu. Segment sp?jaj?ci stredy pret?naj?cich sa okrajov ?tvorstenu sa naz?va bimedi?n. Biheights (analogicky) s? be?n? kolmice pret?naj?cich sa hr?n.

Veta.

Bimedi?ny ?tvorstenu sa pret?naj? v rovnakom bode ako stredy ?tvorstenu.

D?kaz.

V trojuholn?ku LDC segmentov DC a LF pret?naj? v bode K. Pod?a Cevovej vety pre tento trojuholn?k: , t.j. , CK=KD, LK – bimedi?n.

Pozn?mka 1.

FL = FK. Menelaova veta pre trojuholn?k DL K : , , teda LF = FK .

Pozn?mka 2.

Bodka F je ?a?isko ?tvorstenu. , , znamen? .

1.2 R?zne typy ?tvorstenov

§jedna. Pytagorejsk? ?tvorsten

Trojuholn?k sa naz?va pytagorovsk?, ak m? jeden prav? uhol a pomer v?etk?ch str?n je racion?lny (t. j. pomocou podobnosti z neho m??ete z?ska? pravouhl? trojuholn?k s celo??seln?mi d??kami str?n).

Analogicky k tomu sa ?tvorsten naz?va pytagorejsk?, ak s? jeho rovinn? uhly v jednom z vrcholov spr?vne a pomer ak?chko?vek dvoch hr?n je racion?lny (pomocou podobnosti mo?no z?ska? ?tvorsten s prav?mi uhlami roviny v jednom z vrcholov a celo??seln? d??ky hr?n).

Sk?sme odvodi? „Rovnicu Pytagorovho tetra?dra“, t.j. tak? rovnicu s tromi nezn?mymi x, i, z, ?e ktor?ko?vek pytagorovsk? ?tvorsten d?va racion?lne rie?enie tejto rovnice a naopak, ak?ko?vek racion?lne rie?enie rovnice d?va pytagorovsk? ?tvorsten.

Najprv uv?dzame sp?sob, ako op?sa? v?etky pytagorejsk? trojuholn?ky.

Na obr?zku je zn?zornen? trojuholn?k OAB- pravouhl?, d??ky jeho n?h s? ozna?en? a a b, a dyna prepony - cez R. ??slo (1) nazvime parametrom pravouhl?ho trojuholn?ka OAB(alebo presnej?ie parameter „vzh?adom na nohu a Pomocou vz?ahu p 2 \u003d a 2 + b 2, m?me:

Z t?chto rovn?c priamo z?skame vzorce vyjadruj?ce pomery str?n pravouhl?ho trojuholn?ka prostredn?ctvom jeho parametra:

a (2).

Vzorce (1) a (2) priamo implikuj? nasleduj?ce tvrdenie: aby bol pravouhl? trojuholn?k pytagorejsk?, je potrebn? a posta?uj?ce, aby ??slo x bolo racion?lne. Ak je trojuholn?k Pytagorejsk?, potom z (1) vypl?va, ?e x je racion?lne. Naopak, ak je x racion?lne, potom pod?a (2) s? pomery str?n racion?lne, teda Pytagorov trojuholn?k.

Nechaj teraz OABC- ?tvorsten s ploch?mi rohmi na vrchole O rovno. D??ky hr?n vych?dzaj?cich z vrcholu O ozna??me a, b, c, a d??ky zost?vaj?cich hr?n cez p, q, r .

Zv??te parametre troch pravouhl?ch trojuholn?kov OAB, OBC, OSA:

Potom pomocou vzorcov (2) m??eme vyjadri? pomery str?n t?chto pravouhl?ch trojuholn?kov z h?adiska ich parametrov:

Priamo z (4) vypl?va, ?e parametre x, i, z , uspokoji? vz?ah (6). Toto je v?eobecn? rovnica Pytagorovho tetra?dra.

Vzorce (3) - (5) priamo implikuj? nasleduj?ce tvrdenie: v porad? pre ?tvorsten OABC s prav?mi rovinn?mi uhlami pri vrchole O je pytagorovsk?, je potrebn? a posta?uj?ce, aby parametre x, i, z (sp??aj?ca rovnica (6)) boli racion?lne.

Pokra?uj?c v anal?gii Pytagorovho trojuholn?ka s Pytagorov?m ?tvorstenom, pok?sme sa sformulova? a dok?za? priestorov? zov?eobecnenie Pytagorovej vety pre pravouhl? ?tvorsteny, ktor? samozrejme bude plati? aj pre Pytagorove ?tvorsteny. K tomu n?m pom??e nasleduj?ca lemma.

Lema 1.

Ak je plocha polyg?nu S, potom plocha jeho priemetu do roviny p je , kde f - uhol medzi rovinou p a rovinou mnohouholn?ka.

D?kaz.

V?rok lemy je zrejm? pre trojuholn?k, ktor?ho jedna strana je rovnobe?n? s priese?n?kom roviny p s rovinou mnohouholn?ka. V skuto?nosti sa d??ka tejto strany po?as projekcie nemen? a d??ka v??ky spustenej na ?u po?as projekcie sa men? v cosf raz.

Dok??me teraz, ?e ka?d? mnohosten mo?no rozdeli? na trojuholn?ky nazna?en?ho tvaru.

Aby sme to dosiahli, nakresl?me rovn? ?iary rovnobe?n? s priese?n?kmi rov?n cez v?etky vrcholy mnohouholn?ka, zatia? ?o mnohouholn?k je rozrezan? na trojuholn?ky a lichobe?n?ky. Zost?va reza? ka?d? lichobe?n?k pozd?? ktorejko?vek z jeho uhloprie?ok.

Veta 1(priestorov? Pytagorova veta).

V obd??nikovom ?tvorstene A B C D, s ploch?mi rohmi navrchu D, s??et ?tvorcov pl?ch jeho troch pravouhl?ch pl?ch sa rovn? ?tvorcu plochy tv?re ABC .

D?kaz.

Nech a je uhol medzi rovinami ABC a DBC, D"- bodov? projekcia D do lietadla ABC. Potom S DDBC = СosaS DАBC a S ?D"BC = c OSaS DDBC(pod?a Lemy 1), tak c osa = . S D D " BC = .

Podobn? rovnosti mo?no z?ska? pre trojuholn?ky D "AB a D "AC. Ich s??tan?m a zoh?adnen?m s??tu pl?ch trojuholn?kov D "slnko , D "AC a D "AB rovn? ploche trojuholn?ka ABC, dostaneme to, ?o je potrebn?.

?loha.

Nechajte v?etky ploch? rohy na vrchu D rovn?; a , b , c s? d??ky hr?n vych?dzaj?cich z vrcholu D do lietadla ABC. Potom

D?kaz.

Pod?a Pytagorovej vety pre pravouhl? ?tvorsten

Na druhej strane

1= ) => .

§2. Ortocentrick? ?tvorsten

Na rozdiel od trojuholn?ka, ktor?ho v??ky sa v?dy pret?naj? v jednom bode – ortocentre, nie ka?d? ?tvorsten m? podobn? vlastnos?. ?tvorsten, ktor?ho v??ky sa pret?naj? v jednom bode, sa naz?va ortocentrick?. za??name ?t?dium ortocentrick?ch ?tvorstenov nevyhnutn?mi a posta?uj?cimi podmienkami pre ortocentrickos?, pri?om ka?d? z nich mo?no pova?ova? za defin?ciu ortocentrick?ho ?tvorstenu.

(1) V??ky ?tvorstenu sa pret?naj? v jednom bode.

(2) Z?klad?ami v??ok ?tvorstenu s? ortocentr? pl?ch.

(3) Ka?d? dva proti?ahl? okraje ?tvorstenu s? kolm?.

(4) S??ty druh?ch mocn?n proti?ahl?ch hr?n ?tvorstenu s? rovnak?.

(5) Segmenty sp?jaj?ce stredy proti?ahl?ch hr?n ?tvorstenu s? rovnak?.

(6) S??in kos?nusov opa?n?ch dihedr?lnych uhlov s? rovnak?.

(7) S??et druh?ch mocn?n pl?ch pl?ch je ?tyrikr?t men?? ako s??et druh?ch mocn?n s??inov proti?ahl?ch hr?n.

Dok??me niektor? z nich.

D?kaz (3).

Nech s? ka?d? dva proti?ahl? okraje ?tvorstenu kolm?.

Preto sa v??ky ?tvorstenu pret?naj? v p?roch. Ak sa nieko?ko ?iar pret?na v p?roch, potom le?ia v rovnakej rovine alebo prech?dzaj? jedn?m bodom. V??ky ?tvorstenu nem??u le?a? v rovnakej rovine, preto?e inak by jeho vrcholy le?ali v rovnakej rovine, tak?e sa pret?naj? v jednom bode.

V?eobecne povedan?, na to, aby sa v??ky ?tvorstenu pret?nali v jednom bode, je potrebn? a posta?uj?ce vy?adova?, aby boli kolm? iba dva p?ry proti?ahl?ch hr?n. D?kaz tohto tvrdenia vypl?va priamo z nasleduj?ceho probl?mu.

?loha 1.

Dan? ?ubovo?n? ?tvorsten A B C D. Dok?? to.

Rie?enie.

Nechaj a= , b= , c=. Potom , a pridan?m t?chto rovn?c z?skame po?adovan?.

Nechaj a= , b= a c=. Rovnos? 2 + 2 = 2 + 2 , ?o chce?. (a,c)=0. Aplikovan?m tohto algoritmu na ?al?ie dvojice proti?ahl?ch hr?n samozrejme z?skame po?adovan? tvrdenie.

Predlo?me doklad o majetku (6).

Na d?kaz pou??vame nasleduj?ce vety:

S?nusov? veta. "S??in d??ok dvoch proti?ahl?ch hr?n ?tvorstenu, delen? s??inom s?nusov dihedrick?ch uhlov na t?chto hran?ch, je rovnak? pre v?etky tri p?ry proti?ahl?ch hr?n ?tvorstenu."

Bertschneiderova veta. "Ak a a b s? d??ky dvoch skosen?ch hr?n ?tvorstenu a s? dihedr?lne uhly na t?chto hran?ch, potom hodnota nez?vis? od v?beru dvojice skosen?ch hr?n.

Pou?it?m s?nusovej vety pre ?tvorsten a Bertschneiderovej vety dostaneme, ?e s??in kos?nusov opa?n?ch dihedr?lnych uhlov s? rovnak? pr?ve vtedy, ak s? s??ty ?tvorcov proti?ahl?ch hr?n rovnak?, ?o znamen? platnos? vlastnosti (6) ortocentrick? ?tvorsten.

Na z?ver odseku o ortocentrickom ?tvorstene vyrie?ime nieko?ko probl?mov na t?to t?mu.

?loha 2.

Dok??te, ?e ortocentrick? ?tvorsten sp??a vz?ah OH 2 \u003d 4R 2 - 3d 2, kde O- stred op?sanej gule, H- priese?n?k v??ok, R je polomer op?sanej gule, d je vzdialenos? medzi stredmi proti?ahl?ch hr?n.

Rie?enie.

Nechaj Komu a L- stred rebier AB a CD resp. Bodka H le?? v rovine prech?dzaj?cej cez CD kolm? AB a pointa O- v rovine prech?dzaj?cej cez Komu kolm? AB.

Tieto roviny s? symetrick? pod?a ?a?iska ?tvorstenu - stredu segmentu KL. Ak vezmeme do ?vahy tak? roviny pre v?etky hrany, dostaneme body H a O symetrick? o M, ?o znamen? KLMO- rovnobe?n?k. ?tvorce jej str?n s? rovnak?, a preto . Vzh?adom na ?sek prech?dzaj?ci bodom M paraleln? AB a CD, ch?peme to AB2 + CD2 = 4d2 .

Tu m??eme doda?, ?e priamka, na ktorej le?ia body Ach M a H, sa naz?va Eulerova l?nia ortocentrick?ho ?tvorstenu.

Komentujte.

Spolu s Eulerovou l?niou si m??eme v?imn?? existenciu Eulerov?ch g?? pre ortocentrick? terahedron, o ktor?ch budeme diskutova? v nasleduj?cich probl?moch.

?loha 3.

Dok??te, ?e pre ortocentrick? kruhov? ?tvorsten patr? 9 bodov ka?dej steny do tej istej gule (gu?a s 24 bodmi). Na vyrie?enie tohto probl?mu je potrebn? preuk?za? stav nasleduj?ceho probl?mu.

?loha 4.

Dok??te, ?e stredy str?n trojuholn?ka, z?kladne v??ok a stredy segmentov v??ok od vrcholov po bod ich priese?n?ka le?ia na jednej kru?nici – kru?nici s 9 bodmi (Euler).

D?kaz.

Nechaj ABC- tento trojuholn?k H- priese?n?k jeho v??ok, A1, B1, C1- stredy segmentov AN, VN, CH; AA 2- v??ky, A 3- stredn? slnko. Pre pohodlie to budeme predpoklada? ABC- ostr? trojuholn?k. Preto?e B 1 A 1 C 1 \u003d VY a AB 1 A 2 C 1 \u003d AB 1 NS 1, potom B 1 A 2 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, t.j. bodov A1, B1, A2, C1 le?a? na rovnakom kruhu. Je to tie? ?ahk? vidie? B 1 A 3 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, t.j. bodov A1, B1, A3, C1 tie? le?a? na rovnakom (a teda na rovnakom) kruhu. Z toho vypl?va, ?e v?etk?ch 9 bodov uveden?ch v podmienke le?? na rovnakom kruhu. Pr?pad tup?ho trojuholn?ka ABC zaobch?dza? podobn?m sp?sobom.

V?imnite si, ?e 9-bodov? kru?nica je homotetick? s op?sanou kru?nicou so stredom v H a koeficientom (takto s? usporiadan? trojuholn?ky ABC a A 1 B 1 C 1). Na druhej strane, 9-bodov? kru?nica je homotetick? s op?sanou kru?nicou so stredom v priese?n?ku stredov trojuholn?ka. ABC a koeficient (takto s? umiestnen? trojuholn?ky ABC a trojuholn?k s vrcholmi v stredoch jeho str?n).

Teraz, po ur?en? kruhu 9 bodov, m??eme prist?pi? k d?kazu stavu ?lohy 3.

D?kaz.

?sek ortocentrick?ho ?tvorstenu ?ubovo?nou rovinou rovnobe?nou s proti?ahl?mi okrajmi a prech?dzaj?cou v rovnakej vzdialenosti od t?chto okrajov je obd??nik, ktor?ho uhloprie?ky sa rovnaj? vzdialenosti medzi stredmi proti?ahl?ch okrajov ?tvorstenu (v?etky tieto vzdialenosti sa rovnaj? navz?jom, pozri nevyhnutn? a posta?uj?cu podmienku ortocentrickosti (5) Z toho vypl?va, ?e stredy v?etk?ch hr?n ortocentrick?ho ?tvorstenu le?ia na povrchu gule, ktorej stred sa zhoduje s ?a?iskom dan?ho ?tvorstenu. priemer sa rovn? vzdialenosti medzi stredmi proti?ahl?ch hr?n ?tvorstenu. V?etky ?tyri kruhy s 9 bodmi teda le?ia na povrchu tejto gule.

?loha 5.

Dok??te, ?e pre ortocentrick? ?tvorsten s? ?a?isk? a priese?n?ky v??ok pl?ch, ako aj body rozde?uj?ce segmenty ka?dej v??ky ?tvorstenu od vrcholu k priese?n?ku v??ok v pomere 2:1 , le?ia na rovnakej guli (gu?a s 12 bodmi).

D?kaz.

Nechajte body Ach M a H- stred op?sanej gule, ?a?isko a ortocentrum ortocentrick?ho ?tvorstenu; M- stred segmentu ON(pozri probl?m 2). ?a?isk? pl?ch ?tvorstenu sl??ia ako vrcholy homotetick?ho ?tvorstenu so stredom homotetiky v bode M a koeficient , pod touto rovnos?ou bod O p?jde k veci O 1 umiestnen? na segmente MN tak , O 1 bude stredom gule prech?dzaj?cej ?a?iskami tv?r?.

Na druhej strane body deliace segmenty v??ok ?tvorstenu od vrcholov k ortocentru v pomere 2:1 sl??ia ako vrcholy ?tvorstenu homotetick?ho k dan?mu so stredom homotetiky v H a koeficient. Pri tejto homotete ide o pointu O, ako je ?ahk? vidie?, p?jde do rovnak?ho bodu O 1. Osem z dvan?stich bodov teda le?? na povrchu gule so stredom O 1 a polomer trikr?t men?? ako polomer gule op?sanej okolo ?tvorstenu.

Dok??me, ?e priese?n?ky v??ok ka?dej plochy le?ia na povrchu tej istej gule.

Nechaj O', N' a M'- stred op?sanej kru?nice, priese?n?k v??ok a ?a?isko ?ubovo?nej plochy. O' a H' s? projekcie bodov O a H do roviny tejto tv?re a segmentu M' rozde?uje segment O'N' v pomere 1:2, po??taj?c od O'(zn?my planimetrick? fakt). Teraz je ?ahk? overi? (pozri obr?zok), ?e projekcia O 1 na rovine tejto tv?re - bod O' 1 sa zhoduje so stredom segmentu M`N`, t.j. O 1 v rovnakej vzdialenosti od M' a H', ?o sa vy?adovalo.

§3. ?tvorsten kostry

R?mov? ?tvorsten sa naz?va ?tvorsten, ktor?ho gu?a sa dot?ka v?etk?ch ?iestich okrajov ?tvorstenu. Nie ka?d? ?tvorsten je dr?tov? model. Napr?klad je ?ahk? pochopi?, ?e nie je mo?n? zostroji? gu?u dot?kaj?cu sa v?etk?ch okrajov izoedrick?ho ?tvorstenu, ak je jeho ohrani?en? r?m „dlh?“.

Uve?me si vlastnosti r?mov?ho ?tvorstenu.

(1) Ku v?etk?m hran?m ?tvorstenu sa dot?ka gu?a.

(2) S??ty d??ok pret?naj?cich sa hr?n s? rovnak?.

(3) S??ty dihedr?lnych uhlov na proti?ahl?ch hran?ch s? rovnak?.

(4) Kruhy vp?san? do tv?r? sa dot?kaj? v p?roch.

(5) V?etky ?tvoruholn?ky, ktor? s? v?sledkom v?voja ?tvorstenu, s? ohrani?en?.

(6) Kolmice obnoven? na plochy zo stredov ich vp?san?ch kru?n?c sa pret?naj? v jednom bode.

Dok??me nieko?ko vlastnost? dr?ten?ho tera?dra.

D?kaz (2).

Nechaj O je stred gule dot?kaj?ci sa ?tyroch hr?n vo vn?torn?ch bodoch. v?imnite si teraz, ?e ak z bodu X kresli? doty?nice XP a XQ do gule so stredom O, potom body R a Q symetrick? pod?a roviny prech?dzaj?cej priamkou XO a stred segmentu PQ, ?o znamen? lietadl? ROH a QOX tvar s rovinou XPQ rovnak? uhly.

Narysujme 4 roviny prech?dzaj?ce bodom O a uva?ovan?mi hranami ?tvorstenu. Rozdelili ka?d? z uva?ovan?ch dihedr?lnych uhlov na dva dihedr?lne uhly. Vy??ie bolo uk?zan?, ?e v?sledn? dihedr?lne uhly susediace s jednou stranou ?tvorstenu s? rovnak?. Jeden aj druh? uva?ovan? s??et dihedr?lnych uhlov zah??a jeden z?skan? uhol pre ka?d? plochu ?tvorstenu. Uskuto?nen?m podobn?ho uva?ovania pre ?al?ie dvojice ?ikm?ch hr?n z?skame platnos? vlastnosti (2).

Pripome?me si niektor? vlastnosti op?san?ho ?tvoruholn?ka:

a) Rovinn? ?tvoruholn?k je op?san? pr?ve vtedy, ak s? s??ty jeho proti?ahl?ch str?n rovnak?;

b) Ak je op?san? ?tvoruholn?k rozdelen? uhloprie?kou na dva trojuholn?ky, potom sa kru?nice vp?san? do trojuholn?kov dot?kaj?

Vzh?adom na tieto vlastnosti je ?ahk? dok?za? zvy?ok vlastnost? dr?ten?ho ?tvorstenu. Vlastnos? (3) ?tvorstenu vypl?va priamo z vlastnosti (b) a vlastnos? (4) z vlastnosti (a) a vlastnosti (1) ?tvorstenu. Majetok (5) z majetku (3). Koniec koncov, kruhy vp?san? do pl?ch ?tvorstenu s? priese?n?kmi jeho pl?ch s gu?ou dot?kaj?cou sa okrajov, z ?oho je zrejm?, ?e kolmice obnoven? v stredoch kru?n?c vp?san?ch do pl?ch sa nevyhnutne pret?naj? v stred tejto sf?ry.

?loha 1.

Gu?a sa dot?ka okrajov AB, BC, CD a DA?tvorsten A B C D v bodoch L, M, N, K,?o s? vrcholy ?tvorca. Dok??te, ?e ak sa t?to gu?a dotkne hrany AC, potom sa dot?ka aj okraja BD .

Rie?enie.

Pod?a podmienok KLMN- n?mestie. Prejdime cez body K, L, M, N roviny dot?kaj?ce sa gule. Preto?e v?etky tieto roviny s? rovnako naklonen? k rovine KLMN, potom sa pret?naj? v jednom bode S umiestnen? na priamke OO 1, kde je stred gule, a O 1 je stredom n?mestia. Tieto roviny pret?naj? povrch ?tvorca KLMN?tvorec TUVW, ktor?ho bo?n? stredy s? body K, L, M, N. V ?tvorstennom uhle STUVW s vrcholom S s? v?etky rovinn? uhly rovnak? a body K, L, M, N le?a? na osiach jeho ploch?ch uhlov a SK=SL=SM=SN. v d?sledku toho

SA=SC a SD = SB, ?o znamen? AK=AL=CM=CN a BL=BM=DN=DK. Pod?a podmienok AC sa dotkne aj lopty, tak?e ALE C =AK+CN=2AK. A odvtedy SK- osi uhla DSA, potom DK:KA=DS:SA=DB:AC. Z rovnosti AC = 2 AC z toho teraz vypl?va DB=2DK. Nechaj R- stred segmentu DB, potom R le?? na priamke SO. trojuholn?ky D.O.K. a DOP s? si rovn?, preto?e DK=DP a DKO = DPO = 90°. Preto OP=OK=R, kde R je polomer gule, tak D.B. plat? aj pre sf?ru.

§?tyri. Izoedrick? ?tvorsten

?tvorsten sa naz?va ekviedrick?, ak s? v?etky jeho steny rovnak?. Aby sme si predstavili izoedrick? ?tvorsten, zoberme z papiera ?ubovo?n? trojuholn?k s ostr?m uhlom a ohneme ho pozd?? stredov?ch ?iar. Potom sa tri vrcholy stretn? v jednom bode a polovice str?n sa uzavr? a vytvoria bo?n? okraje ?tvorstenu.

(0) Tv?re s? zhodn?.

(1) Hrany kr??enia s? v p?roch rovnak?.

(2) Trojstenn? uhly s? rovnak?.

(3) Opa?n? uhly s? rovnak?.

(4) Dva rovinn? uhly zalo?en? na tej istej hrane s? rovnak?.

(5) S??et rovinn?ch uhlov v ka?dom vrchole je 180°.

(6) V?voj ?tvorstenu - trojuholn?ka alebo rovnobe?n?ka.

(7) Op?san? rovnobe?nosten je pravouhl?.

(8) ?tvorsten m? tri osi s?mernosti.

(9) Spolo?n? kolmice kr??iacich sa hr?n vo dvojiciach

s? kolm?.

(10) Stredov? ?iary s? p?rovo kolm?.

(11) Obvody stien s? rovnak?.

(12) Plochy pl?ch s? rovnak?.

(13) V??ky ?tvorstenu s? rovnak?.

(14) Segmenty sp?jaj?ce vrcholy s ?a?iskami proti?ahl?ch pl?ch s? rovnak?.

(15) Polomery kru?n?c op?san?ch v bl?zkosti pl?ch s? rovnak?.

(16) ?a?isko ?tvorstenu sa zhoduje so stredom op?sanej gule.

(17) ?a?isko sa zhoduje so stredom vp?sanej gule.

(18) Stred op?sanej gule sa zhoduje so stredom op?sanej gule.

(19) Vp?san? gu?a sa dot?ka pl?ch v stredoch op?san?ch bl?zko nich

kruhov? tv?re.

(20) S??et norm?l vonkaj?ej jednotky (jednotkov? vektory,

kolmo na plochy) sa rovn? nule.

(21) S??et v?etk?ch dihedrick?ch uhlov sa rovn? nule.

Takmer v?etky vlastnosti izoedrick?ho ?tvorstenu vypl?vaj? z jeho

defin?cie, preto dokazujeme len niektor? z nich.

D?kaz (16).

Preto?e ?tvorsten A B C D izoedrick?, potom pod?a vlastnosti (1) AB = CD. Nechajte bod Komu segment AB a pointa L stredn? bod DC, teda segment KL bimedi?lny ?tvorsten A B C D, odkia? z vlastnost? medi?nov ?tvorstenu vypl?va, ?e bod O- stred segmentu KL, je ?a?isko ?tvorstenu A B C D .

Okrem toho sa stredy ?tvorstenu pret?naj? v ?a?isku, v bode O a zdie?ajte tento bod v pomere 3:1, po??taj?c zhora. ?alej, ber?c do ?vahy vy??ie uveden? a vlastnos? (14) izoedrick?ho ?tvorstenu, z?skame nasleduj?cu rovnos? segmentov AO=BO=CO=DO, z ?oho vypl?va, ?e bod O je stred op?sanej gule (pod?a defin?cie gu?a op?san? okolo mnohostenu).

Sp??. Nechaj Komu a L- stred rebier AB a CD respekt?ve bod O- stred op?sanej gule ?tvorstenu, t.j. stredn? bod KL. Preto?e O je stred op?sanej gule ?tvorstenu, potom trojuholn?ky AOB a TRESKA- rovnoramenn? s rovnak?mi stranami a rovnak?mi stredmi OK a OL. Preto DAOB =?COD. Tak?e AB = CD. Podobne je dok?zan? rovnos? ?al??ch dvoj?c proti?ahl?ch hr?n, z ktor?ch vlastnos?ou (1) izoedrick?ho ?tvorstenu vyplynie ?elan?.

D?kaz (17).

Uva?ujme osnicu dihedr?lneho uhla na okraji AB, rozdel? segment DC vzh?adom na oblasti pl?ch ABD a ABC .

Preto?e ?tvorsten A B C D izoedrick?, potom pod?a vlastnosti (12) S ABD = S ABD => DL=LC, z ?oho vypl?va, ?e bisektor ABL obsahuje bimedi?n KL. Aplikovan?m podobn?ho uva?ovania pre zost?vaj?ce uhly dvojstenu a s prihliadnut?m na skuto?nos?, ?e priese?n?ky ?tvorstenu sa pret?naj? v jednom bode, ktor? je stredom vp?sanej gule, zist?me, ?e tento bod bude nevyhnutne ?a?iskom tohto izo?dra. ?tvorsten.

Sp??. Zo skuto?nosti, ?e ?a?isko a stred vp?sanej gule sa zhoduj?, m?me nasledovn?: DL=LC=>SABD=SADC. Ak podobn?m sp?sobom dok??eme, ?e v?etky steny maj? rovnak? ve?kos?, a pou?it?m vlastnosti (12) izoedrick?ho ?tvorstenu dostaneme to, ?o h?ad?me.

Dok??me teraz vlastnos? (20). Aby sme to urobili, mus?me najprv dok?za? jednu z vlastnost? ?ubovo?n?ho ?tvorstenu.

u?ebnica teor?m ?tvorstenu

Lema 1.

Ak sa d??ky vektorov kolm?ch na steny ?tvorstenu numericky rovnaj? ploch?m zodpovedaj?cich pl?ch, potom sa s??et t?chto vektorov rovn? nule.

D?kaz.

Nechaj X- bod vo vn?tri a mnohosten, h i (i=1,2,3,4)- vzdialenos? od nej k rovine i-t? hrana.

Mnohosten nare?eme na pyram?dy s vrcholom X ktor?ho z?kladmi s? jeho tv?re. Objem ?tvorstenu V sa rovn? s??tu objemov t?chto pyram?d, t.j. 3 V=?h i S i, kde Si n?mestie i-t? hrana. Nechaj ?alej n i je jednotkov? vektor vonkaj?ej norm?ly k i-tej stene, M i je ?ubovo?n? bod tejto steny. Potom h i \u003d (ХM i, S i n i), preto 3V=?h i S i =?(XM i, S i n i)=(XO, S i n i)+(OM i, S i n i)=(XO, ?S i n i)+3V, kde O- teda nejak? pevn? bod ?tvorstenu, ? S i n i =0 .

?alej je zrejm?, ?e vlastnos? (20) izoedrick?ho ?tvorstenu je ?peci?lnym pr?padom vy??ie uvedenej lemy, kde S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => n 1 = n 2 = n 3 = n 4 a ke??e plochy pl?ch nie s? rovn? nule, z?skame spr?vnu rovnos? n1 + n2 + n3 + n4 =0 .

Na z?ver pr?behu o izoedrickom ?tvorstene uv?dzame nieko?ko probl?mov na t?to t?mu.

?loha 1.

Priamka prech?dzaj?ca ?a?iskom ?tvorstenu a stredom gule op?sanej bl?zko neho pret?na hrany AB a CD. Dok?? to AC=BD a AD=BC .

Rie?enie.

?a?isko ?tvorstenu le?? na priamke sp?jaj?cej stredy hr?n AB a CD .

Preto stred op?sanej gule ?tvorstenu le?? na tejto ?iare, ?o znamen?, ?e nazna?en? ?iara je kolm? na okraje AB a CD. Nechaj C' a D'- bodov? projekcie C a D do roviny prech?dzaj?cej priamkou AB paraleln? CD. Preto?e AC`BD`- rovnobe?n?k (pod?a kon?trukcie), potom AC=BD a AD=BC .

?loha 2.

Nechaj h je v??ka izoedrick?ho ?tvorstenu, h1 a h2- segmenty, na ktor? je jedna z v??ok plochy rozdelen? priese?n?kom v??ok tejto plochy. Dok?? to h 2 \u003d 4 h 1 h 2; dok??te tie?, ?e z?klad?a v??ky ?tvorstenu a priese?n?k v??ok steny, na ktor? je t?to v??ka zn??en?, s? symetrick? vzh?adom na stred kru?nice op?sanej okolo tejto steny.

D?kaz.

Nechaj A B C D- tento ?tvorsten, D.H.- jeho vysok?, DA 1, DВ 1, DC 1- v??ka tv?re zn??en? od vrcholu D do str?n BC, SA a AB .

Odre?te povrch ?tvorstenu pozd?? okrajov DA, DB, DC a urobte zametanie. To je zrejm? H je priese?n?k v??ok trojuholn?ka D 1 D 2 D 3. Nechaj F- priese?n?k v??ok trojuholn?ka ABC, AK je v??ka tohto trojuholn?ka, ?F=h1, FК=h2. Potom D 1 H \u003d 2h 1, D 1 A 1 \u003d h 1 -h 2 .

Tak?e, preto?e h- v??ka n??ho ?tvorstenu, h 2 \u003d DH 2 \u003d DA 2 - HA 1 2 \u003d (h 1 + h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 \u003d 4 h 1 h 2. Nechaj teraz M- ?a?isko trojuholn?ka ABC(tie? zn?me ako ?a?isko trojuholn?ka D 1 D 2 D 3), O je stred op?sanej kru?nice. To je zn?me F, M a O le?ia na jednej priamke (Eulerova ?iara) a M- medzi F a O , FM =2 MO, Na druhej strane trojuholn?k D 1 D 2 D 3 homotetick? k trojuholn?ku ABC s?streden? na M a koeficient (-2), tak МН = 2 FM. Z toho vypl?va OH = FO .

?loha 3.

Dok??te, ?e v izoedrickom ?tvorstene z?kladne v??ok, stredy v??ok a priese?n?ky v??ok pl?ch le?ia na povrchu jednej gule (gu?a s 12 bodmi).

D?kaz.

Rie?en?m ?lohy 2 sme dok?zali, ?e stred gule op?sanej okolo ?tvorstenu sa premieta na ka?d? plochu do stredu ?se?ky, ktorej konce s? z?klad?ou v??ky spustenej na t?to plochu a priese?n?kom v??ok t?to tv?r. A ke??e vzdialenos? od stredu gule op?sanej okolo ?tvorstenu k tv?ri je , kde h- v??ka ?tvorstenu, stred op?sanej gule je vzdialen? od t?chto bodov vo vzdialenosti , kde a- vzdialenos? medzi priese?n?kom v??ok a stredom kru?nice op?sanej bl?zko okraja.

§5. Incentrick? ?tvorsten

Segmenty sp?jaj?ce ?a?isk? pl?ch ?tvorstenu s proti?ahl?mi vrcholmi (strednice ?tvorstenu) sa v?dy pret?naj? v jednom bode, tento bod je ?a?iskom ?tvorstenu. Ak v tomto stave nahrad?me ?a?isk? tv?r? ortocentrami tv?r?, zmen? sa to na nov? defin?ciu ortocentrick?ho ?tvorstenu. Ak ich nahrad?me stredmi kru?n?c vp?san?mi do pl?ch, niekedy naz?van?mi stredy, z?skame defin?ciu novej triedy ?tvorstenov – incentrick?ch.

Charakteristiky triedy incentrick?ch ?tvorstenov s? tie? celkom zauj?mav?.

(1) Segmenty sp?jaj?ce vrcholy ?tvorstenu so stredmi kru?n?c vp?san?ch do proti?ahl?ch pl?ch sa pret?naj? v jednom bode.

(2) Sektory uhla dvoch pl?ch nakreslen?ch k spolo?nej hrane t?chto pl?ch maj? spolo?n? z?klad?u.

(3) S??in d??ok proti?ahl?ch hr?n s? rovnak?.

(4) Trojuholn?k tvoren? druh?mi priese?n?kmi troch hr?n vych?dzaj?cich z toho ist?ho vrcholu s ?ubovo?nou gu?ou prech?dzaj?cou cez tri konce t?chto hr?n je rovnostrann?.

D?kaz (2).

Majetkom (1), ak DF, BE, CF, AM- osy zodpovedaj?cich uhlov v trojuholn?koch ABC a FBD, potom segmenty KS a LD bude ma? spolo?n? bod ja(pozri obr?zok). Ak priamo DK a CL nepret?naj? sa v bode F, potom samozrejme KS a DL nepret?naj?, ?o nem??e by? (pod?a defin?cie incentrick?ho ?tvorstenu).

D?kaz (3).

Ak vezmeme do ?vahy vlastnos? (2) a vlastnos? osi, z?skame vz?ahy:

; .

§6. Porovnate?n? ?tvorsteny

Tetrahedry s? vraj ?mern?, ak maj?

(1) Dvojit? v??ky s? rovnak?.

(2) Priemet ?tvorstenu na rovinu kolm? na ak?ko?vek bimedi?n je koso?tvorec.

(3) Plochy op?san?ho kv?dra s? rovnak?.

(4) 4a 2 a 1 2 - (b 2 +b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 \u003d 4b 2 b 1 2 - (c 2 +c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 \u003d 4c 2 c 1 2 - (a 2 +a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, kde a a 1 , b a b 1 , s a od 1- d??ky proti?ahl?ch hr?n.

Na d?kaz ekvivalencie defin?ci? (1) - (4) sta?? poznamena?, ?e dvojv??ky ?tvorstenu sa rovnaj? v??kam rovnobe?n?ka, ktor? je jeho priemetom, uveden?m vo vlastnosti (2), a v??kam ?tvorstenu. op?san? rovnobe?nosten a ?e ?tvorec plochy kv?dra obsahuj?ceho napr?klad hranu s, sa rovn? , a skal?rny s??in je vyjadren? cez okraje ?tvorstenu pod?a vzorca (4).

Prid?vame tu ?al?ie dve podmienky proporcionality:

(5) Pre ka?d? p?r proti?ahl?ch hr?n ?tvorstenu s? roviny pretiahnut? jednou z nich a stredom druhej strany kolm?.

(6) Gu?a m??e by? vp?san? do ohrani?en?ho rovnobe?nostenu ?mern?ho ?tvorstenu.

§7. Pravideln? ?tvorsten

Ak s? okraje ?tvorstenu rovnak?, potom trojstenn?, dvojstenn? a ploch? uhol sa bude rovna?. V tomto pr?pade sa ?tvorsten naz?va pravideln?. V?imnite si tie?, ?e tak?to ?tvorsten je ortocentrick? aj dr?tov? a izoedrick? a incentrick? a ?mern?.

Pozn?mka 1.

Ak je ?tvorsten izohedrick? a patr? k jedn?mu z nasleduj?cich typov ?tvorstenov: ortocentrick?, dr?ten?, incentrick?, ?mern?, potom bude pravideln?.

Pozn?mka 2.

?tvorsten je pravideln?, ak patr? do dvoch uveden?ch typov ?tvorstenov: ortocentrick?, dr?ten?, incentrick?, ?mern?, izoedrick?.

Vlastnosti pravideln?ho ?tvorstenu:

Ka?d? z jeho vrcholov je vrcholom troch trojuholn?kov. Tak?e s??et rovinn?ch uhlov v ka?dom vrchole bude rovn? 180?

(0) Osemsten m??e by? vp?san? do pravideln?ho ?tvorstenu, navy?e ?tyri (z ?smich) pl?ch osemstenu bud? kombinovan? so ?tyrmi stenami ?tvorstenu, v?etk?ch ?es? vrcholov osemstenu bude kombinovan?ch so stredmi ?iestich hr?n ?tvorstenu.

(1) Pravideln? ?tvorsten pozost?va z jedn?ho vp?san?ho osemstenu (v strede) a ?tyroch ?tvorstenov (vo vrcholoch), pri?om okraje t?chto ?tvorstenov a osemstenu s? polovicou okrajov pravideln?ho ?tvorstenu.

(2) Pravideln? ?tvorsten je mo?n? vp?sa? do kocky dvoma sp?sobmi, navy?e ?tyri vrcholy ?tvorstenu bud? spojen? so ?tyrmi vrcholmi kocky.

(3) Pravideln? ?tvorsten m??e by? vp?san? do dvadsa?stena, navy?e ?tyri vrcholy ?tvorstenu bud? kombinovan? so ?tyrmi vrcholmi dvadsa?stena.

?loha 1.

Dok??te, ?e ?ikm? hrany pravideln?ho ?tvorstenu s? navz?jom kolm?.

Rie?enie:

Nechaj DH- v??ka pravideln?ho ?tvorstenu, bod H je stredom pravideln?ho D ABC . Potom projekcia segmentu AD na rovinu z?kladne ABC bude segmentom BH . Preto?e BH ?AC , potom o troch kolmici veta ?ikm? BD ?AC .

?loha 2.

Dan? pravideln? ?tvorsten IAWS s hranou 1. n?jdite vzdialenos? medzi ?iarami AL a MO, kde L- stred rebra PANI , O- stred tv?re ABC.

Rie?enie:

1. Vzdialenos? medzi dvoma pret?naj?cimi sa priamkami je d??ka kolmice, spustenej z jednej priamky, k rovine rovnobe?nej s touto priamkou a obsahuj?cej druh? priamku.

2. Budovanie projekcie AK segment AL do lietadla ABC. Lietadlo AKL kolmo na rovinu ABC, rovnobe?ne s ?iarou MO a obsahuje riadok AL. Po?adovan? d??ka je teda d??ka kolmice ON, zn??en? z bodu O do AK .

3. N?jdite S D KHA dve cesty.

S D = .

Na druhej strane: S D KHA =

tak p.

Po?me n?js? ON : r= .

?loha 3.

Ka?d? okraj trojuholn?kovej pyram?dy PABC sa rovn? 1; BD- v??ka trojuholn?ka ABC. Rovnostrann? trojuholn?k bde le?? v rovine zvieraj?cej uhol f s rebrom AC a body P a E le?a? na jednej strane lietadla ABC. N?jdite vzdialenos? medzi bodmi P a E .

Rie?enie. Ke??e v?etky okraje pyram?dy PABC s? rovnak?, je to pravideln? ?tvorsten. Nechaj M- z?kladn? stred ABC , N– ortogon?lne premietanie vrcholu E rovnostrann? trojuholn?k bde do lietadla ABC ,K- stredn? BD ,F je z?klad?a kolmice vedenej z bodu E do v??ky POPOLUDNIE?tvorsten PABC. Preto?e EK BD, potom pomocou vety o troch kolm?ch NK BD, preto EKN je line?rny uhol dihedr?lneho uhla, ktor? zvieraj? roviny ABC a bde a odvtedy NK || AC, potom EKN= f . ?alej tu m?me:

BD = , MUDr = , KD = , BD = , POPOLUDNIE = ,

KM = KD - MUDr = - = , EK = BD · = , EN = EK hriech f = hriech f ,

NK = EK cos f = cos f , MN 2= NK 2+ KM 2 = cos 2f + ,

PE 2= EF 2+ PF 2= MN 2 + (PM-MF)2= MN 2 + (PM - EN)2 =

= cos 2f + + ( - hriech f )2 = cos 2f + + - hriech f + hriech 2f == + + - hriech f = - hriech f = - hriech f .

v d?sledku toho

PE= = .

?loha 4.

N?jdite uhly medzi v??kami zo?ikmenia susedn?ch pl?ch ?tvorstenu.

Rie?enie.

Pr?pad ??slo 1.

Nechaj BK a D.F.- v??ka tv?re ABC a BCD. BK, FD= a . Ozna?te d??ku hrany ?tvorstenu ako a. Po?me str?vi? FL || BK, potom a = DFL . KL = LC.

D DLF :

; ; ; .

Pr?pad ??slo 2 (v??ka je umiestnen? inak).

BK a CN- v??ka tv?re ABC a BCD. Po?me str?vi? FP || CN a FL || BK . ; . Po?me n?js? LP .DO je v??ka pravideln?ho ?tvorstenu, DO = , Q– projekcia P do lietadla ABC , . ,

Nap??me kos?nusov? vetu pre D LFP :

Preto?e uhol medzi priamkami je pod?a defin?cie ostr?

Kapitola II. Tetrahedron na stredo?kolskom kurze matematiky

§jedna. Porovn?vacia charakteristika prezent?cie t?my „?tvorsten“ v ?kolsk?ch u?ebniciach

V ?kolskom kurze geometrie sa ve?a ?asu venuje ?t?diu z?kladov t?my Tetrahedron. Pri realiz?cii tejto t?my nie s? prakticky ?iadne metodologick? probl?my, ke??e ?tudenti vedia, ?o je pyram?da (vr?tane trojuholn?kovej), tak z propedeutick?ch kurzov z predch?dzaj?cich ro?n?kov vyu?ovania matematiky, ako aj zo ?ivotn?ch sk?senost?. Pravideln? ?tvorsten je spojen? s jeho ploch?m n?protivkom - pravideln?m trojuholn?kom a rovnos? str?n s rovnos?ou hr?n alebo pl?ch.

Pri ?t?diu t?my pre ?tudentov s? v?ak probl?my a r?zne u?ebnice sa ich sna?ia rie?i? r?znymi sp?sobmi (poradie, v akom je teoretick? l?tka prezentovan?, ?rove? zlo?itosti ?loh at?.). Uve?me kr?tky popis be?n?ch u?ebn?c geometrie z h?adiska ?t?dia ?tvorstenu.

Prezent?cia t?my „Tetrahedron“ v u?ebnici „Geometria“ pre ro?n?ky 10-11 Atanasyan L. S. a ?al?ie.

AT z?kladn? u?ebnicu „Geometria“ pre 10. – 11. ro?n?k strednej ?koly Atanasyan L. S. a ?al?ie inform?cie o ?tvorstene n?jdete v 7 odsekoch (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Autori u?ebnice definuj? ?tvorsten ako plochu zlo?en? zo ?tyroch trojuholn?kov. Z teoretick?ho z?kladu u?ebnice pre ro?n?k 10 je mo?n? z?ska? vedomosti o ploch?ch, hran?ch a vrcholoch ?tvorstenu, o kon?trukcii rezov ?tvorstena rovinou, v?po?te plochy celkov?ho povrchu ?tvorstenu. ?tvorsten, vr?t. a skr?ten? (kapitola III, § 2 „Pyram?da“).

Teoretick? materi?l u?ebnice je podan? kompaktne a ?tylisticky jednotne. ?as? teoretick?ho materi?lu sa nach?dza v praktickej ?asti u?ebnice (niektor? vety s? dok?zan? v ?loh?ch). Praktick? materi?l u?ebnice je rozdelen? do dvoch stup?ov n?ro?nosti (existuj? tzv. „?lohy so zv??enou n?ro?nos?ou“, ozna?en? ?peci?lnym symbolom „*“). Okrem toho je na konci u?ebnice probl?mov? kniha s probl?mami vysokej zlo?itosti, z ktor?ch niektor? sa t?kaj? ?tvorstenu. Pozrime sa na niektor? ?lohy u?ebnice.

Rie?enie probl?mov.

?loha 1 (?. 300). V pravidelnej trojuholn?kovej pyram?de DABC bodov E, F a P- stredy str?n BC , AB a AD. Ur?te typ sekcie a n?jdite jej plochu, ak je strana z?kladne pyram?dy a, bo?n? hrana sa rovn? b.

Rie?enie.

Postav?me rez rovinou prech?dzaj?cou bodmi E, F, P. Nakreslite stredn? ?iaru trojuholn?ka ABC , EF || AC ,

EF || AC, a A C le?? v sq D CA, znamen? EF || sq DCA. Rovina rezu pret?na tv?r DCA v priamke PC.

Preto?e rovina rezu prech?dza priamkou EF rovnobe?ne s rovinou DCA a prekro?? rovinu DCA, potom priese?n?k PK rovnobe?ne s priamkou EF.

Stavajme na hrane BDA?se?ka FP, ale na hrane BDC-?se?ka EK.?tvoruholn?k EFOK a je to po?adovan? sekcia. EF || AC, PK || EF || AC, , , znamen? .

Preto?e PK || EF a PK = EF, potom EFPC- rovnobe?n?k. Touto cestou, EK || EP, EP- stredov? ?iara trojuholn?ka BCD, .

Uhol medzi ?ikm?mi ?iarami D.B. a CA rovn? sa 90 °. Po?me to dok?za?. Zostrojenie v??ky pyram?dy DO. Bodka O- stred rovnostrann?ho trojuholn?ka ABC. Pokra?ujme v segmente BO do kri?ovatky s bo?nou AC v bode M. V pravouhlom trojuholn?ku ABC:BM- v??ka, medi?n a os, teda. M?me to , , potom pod?a krit?ria kolmosti priamky a roviny , potom .

Preto?e , PK || CA a EK || BD, potom a EFPC- obd??nik.

.

Probl?m 2 (#8653ca).

Z?klad?a pyram?dy je pravouhl? trojuholn?k s nohami a a b. Ka?d? z jeho bo?n?ch hr?n je sklonen? k rovine z?kladne pod uhlom f . N?jdite objem pyram?dy

Rie?enie:

A B C D- pyram?da, roh ABC- pravouhl? , AC = b, BC = a, rohy DAO, DBO, DCO s? si rovn?. Po?me n?js? V DABC0 .

1) ?DAO=?ADC=?DBO pozd?? nohy a ostr? uhol, ?o znamen? AO=OC=OB=R kru?nica op?san? o ?ABC. Preto?e . ?ABC- obd??nikov? teda .

2) Od ? DOC : ; .

3) ; ; .

Prezent?cia t?my „Tetrahedron“ v u?ebnici „Geometria“ pre ro?n?ky 7-11 Pogorelova A.V.

V ?al?ej z?kladnej u?ebnici A.V. Pogorelovej a ?al?? teoretick? materi?l viac-menej s?visiaci s t?mou „Tetrahedron“ je obsiahnut? v odsekoch 176-180, 186, 192, 199, 200.

Odsek 180 „Pravideln? mnohosten“ obsahuje defin?ciu pojmu „pravideln? ?tvorsten“ („?tvorsten je trojuholn?kov? pyram?da, v ktorej s? v?etky hrany rovnak?“), d?kaz niektor?ch vlastnost? a teor?m o pyram?de ilustruj? n?kresy ?tvorsten. T?to u?ebnica sa v?ak nezameriava na ?t?dium obrazca a v tomto zmysle mo?no jej informa?n? obsah (oh?adne ?tvorstenu) hodnoti? ako n?zky. Praktick? materi?l u?ebnice obsahuje uspokojiv? po?et ?loh s?visiacich s pyram?dou, na z?kladni ktorej je trojuholn?k (?o je v skuto?nosti ?tvorsten). Uve?me pr?klady rie?enia niektor?ch probl?mov.

Rie?enie probl?mov.

?loha 1 (?. 41 z odseku „Polyhedra“).

Z?klad?a pyram?dy je rovnoramenn? trojuholn?k, ktor?ho z?klad?a je 12 cm a strana 10 cm Bo?n? steny zvieraj? so z?klad?ou rovnak? uhly, z ktor?ch ka?d? obsahuje 45°. N?jdite v??ku pyram?dy.

Rie?enie:

Nakresl?me kolmicu SO na rovinu podstavy a kolmice SK, SM a SN do str?n DABS. Potom pomocou vety o troch kolm?ch OK BC, OM AC a ON AB.

potom SKO= SMO= SNO = 45° - ako line?rne uhly dan?ch dihedrick?ch uhlov. Preto pravouhl? trojuholn?ky SKO, SMO a SNO s? rovnak? v nohe a ostrom uhle . Tak?e to OK=OM=ON, o to ide O je stred vp?san?ho kruhu DABC.

Vyjadrite plochu obd??nika ABC:

Na druhej strane , . Tak?e to ; ok = r = 3 cm. Ke??e v pravouhlom trojuholn?ku S.O.K. ostr? uhol je 45° , potom ?SOK je rovnoramenn? a SO=OK= 3 (cm) .

?loha 2 (?. 43 z odseku „Objemy mnohostenov“).

N?jdite objem pyram?dy, ktorej z?klad?ou je trojuholn?k s dvoma uhlami a a v; polomer op?sanej kru?nice R. Bo?n? hrany pyram?dy s? sklonen? k rovine jej z?kladne pod uhlom g.

Rie?enie.

Preto?e v?etky bo?n? hrany pyram?dy s? naklonen? k rovine z?kladne pod rovnak?m uhlom, v??ka pyram?dy O 1 O prech?dza stredom kru?nice op?sanej v bl?zkosti z?kladne. Tak?e to

V DABC. Potom pod?a s?nusovej vety

Tak?e to , , =

=.

Oblas? trojuholn?ka :

Potom .

Prezent?cia t?my „Tetrahedron“ v u?ebnici „Geometria“ pre ro?n?ky 10-11 Aleksandrova A.D.

Zoberme si u?ebnicu Alexandrov A.D. at?. „Geometria: u?ebnica pre ?iakov 11. ro?n?ka. s h?bkov?m ?t?diom matematiky. V tejto u?ebnici nie s? ?iadne samostatn? odseky venovan? ?tvorstenu, t?ma je v?ak pr?tomn? vo forme fragmentov in?ch odsekov.

?tvorsten sa prv?kr?t spom?na v § 21.3. Materi?l odseku berie do ?vahy vetu o triangul?cii mnohostenu, ako pr?klad sa vykon?va triangul?cia konvexnej pyram?dy. Samotn? pojem „mnohosten“ v u?ebnici je interpretovan? dvoma sp?sobmi, druh? defin?cia pojmu priamo s?vis? so ?tvorstenom: „Mnohosten je obrazec, ktor? je spojen?m kone?n?ho po?tu ?tvorstenov ...“. Poznatky t?kaj?ce sa pravidelnej pyram?dy a niektor?ch aspektov symetrie ?tvorstenu mo?no n?js? v §23.

§ 26.2 popisuje aplik?ciu Eulerovej vety („na pravideln?ch sie?ach“) pre pravideln? mnohosteny (vr?tane ?tvorstenu) a § 26.4 rozober? typy symetri? charakteristick? pre tieto obr?zky.

V u?ebnici n?jdete aj inform?cie o strednej ?iare ?tvorstenu, ?a?isku (§35.5) a triede izoedrick?ch ?tvorstenov. Pohyby prv?ho a druh?ho druhu s? demon?trovan? v priebehu rie?enia ?loh na ?tvorstenoch.

Charakteristick?m znakom u?ebnice je vysok? vedeck? obsah, ktor? sa autorom podarilo sk?bi? s pr?stupn?m jazykom a preh?adnou ?trukt?rou prezent?cie. Uve?me pr?klady rie?enia niektor?ch probl?mov.

Rie?enie probl?mov.

?loha 1.

Do dan?ho pravideln?ho trojuholn?kov?ho zrezan?ho ihlana s bo?nou hranou a mo?no umiestni? gu?u dot?kaj?cu sa v?etk?ch pl?ch a gu?u dot?kaj?cu sa v?etk?ch hr?n. N?jdite strany z?kladne pyram?dy.

Rie?enie.

Zn?zornime na v?krese "pln?" pyram?du. T?to pyram?da, - v??ka "plnej" pyram?dy, - jej ?as? k hornej z?kladni je zrezan?. ?loha je zredukovan? na planimetrick? a nie je potrebn? kresli? ?iadnu z t?chto g??. Preto?e gu?a dot?kaj?ca sa v?etk?ch hr?n m??e by? vp?san? do zrezan?ho ihlana, potom m??e by? kruh vp?san? do jeho bo?nej plochy. Ozna?me , (pre pohodlnos? delenia na polovicu) a pre pop?san? ?tvoruholn?k z?skame, ?e odkia?

Z existencie vp?sanej gule vypl?va, ?e existuje polkruh umiestnen? v lichobe?n?ku ( - apot?m „plnej“ pyram?dy), tak?e jeho stred le?? v strede a s?m sa dot?ka ostatn?ch troch str?n lichobe?n?ka. .

Stred lopty a s? body kontaktu. Potom . Tieto veli?iny vyjadrujeme v term?noch a . Od: . Od: . Z lichobe?n?ka: . Dostaneme rovnicu:

.(2)

Po vyrie?en? s?stavy rovn?c (1) a (2) dostaneme, ?e strany b?z s? rovnak?.

?loha 2 .

Vo vn?tri pravideln?ho ?tvorstenu s okrajom a?tyri rovnak? gule s? usporiadan? tak, ?e ka?d? gu?a sa dot?ka troch ?al??ch g?? a troch stien ?tvorstenu. N?jdite polomer t?chto g??.

Rie?enie .

Tento ?tvorsten, - jeho v??ka, - stredy g??, - priese?n?k priamky s rovinou. V?imnite si, ?e stredy rovnak?ch g??, ktor? sa dot?kaj? roviny, s? od nej vzdialen? o rovnak? vzdialenos?, pri?om ka?d? z nich sa rovn? polomeru gule (ozna?uje ju ako X). Roviny s? teda rovnobe?n?, a preto .

Ale ak? je v??ka pravideln?ho ?tvorstenu s hranou ; ako v??ka pravideln?ho ?tvorstenu s hranou 2 X ; .

Zost?va sa vyjadri? V?imnite si, ?e bod je vo vn?tri trojstenn?ho uhla a je vo vzdialenosti od jeho pl?ch a rovinn? uhly trojstenn?ho uhla s? rovnak?. Nie je ?a?k? z?ska? ?o. Dost?vame sa k rovnici:

, odkia? po zjednodu?eniach z?skame .

Prezent?cia t?my „Tetrahedron“ v u?ebnici „Geometria“ pre ro?n?ky 10-11 Smirnova I.M.

Prezent?cia t?my "Tetrahedron" v u?ebnici pre 10.-11. ro?n?k humanit?rneho profilu Smirnova I.M. venuj? sa tieto triedy: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

Po pre?tudovan? vety, ?e „ak?ko?vek konvexn? mnohosten m??e by? zlo?en? z pyram?d so spolo?n?m vrcholom, ktor?ch z?kladne tvoria povrch mnohostenu“, sa pri niektor?ch tak?chto mnohostenoch uva?uje o Eulerovej vete, najm? o splnen? podmienok tzv. teor?m je tie? pova?ovan? za trojuholn?kov? pyram?du, ktor? v podstate , a tam je ?tvorsten.

U?ebnica je zauj?mav? t?m, ?e sa zaober? topol?giou a topologicky pravideln?mi mnohostenmi (?tvorsten, osemsten, dvadsa?sten, kocka, dvan?s?sten), ktor?ch existencia je od?vodnen? pomocou rovnakej Eulerovej vety.

Okrem toho u?ebnica poskytuje defin?ciu pojmu „spr?vna pyram?da“; teor?my o existencii vp?san?ch a op?san?ch g?? ?tvorstenu, uva?uje sa o niektor?ch vlastnostiach symetrie t?kaj?cej sa ?tvorstenu. Na z?vere?nej lekcii (35) je uveden? vzorec na zistenie objemu trojuholn?kovej pyram?dy.

T?to u?ebnica sa vyzna?uje ve?k?m mno?stvom ilustra?n?ho a historick?ho materi?lu, ako aj mal?m mno?stvom praktick?ho materi?lu, vzh?adom na zameranie u?ebnice. Pozrime sa aj na u?ebnicu od Smirnovej I.M. a ?al?ie pre ro?n?ky 10-11 pr?rodovedn?ho profilu.

Prezent?cia t?my „Tetrahedron“ v u?ebnici „Geometria“ pre ro?n?ky 10-11 Smirnova I.M. at?.

T?to u?ebnica sa od predch?dzaj?ceho n?vodu l??i rozlo?en?m t?m a ?rov?ou zlo?itosti ?loh navrhnut?ch na rie?enie. V?raznou ?rtou prezent?cie l?tky je jej ?lenenie na „semestre“, z ktor?ch s? v u?ebnici ?tyri. Tetrahedron je spomenut? hne? v prvom odseku („?vod do geometrie telies“), pojem „pyram?da“ je definovan? v §3.

Rovnako ako v predch?dzaj?cej u?ebnici je praktick? materi?l doplnen? o ?lohy s rozv?jan?m stereometrick?ch ?tvarov. V materi?li §26 mo?no n?js? vetu o guli vp?sanej do ?tvorstenu. Zvy?ok teoretick?ho materi?lu t?kaj?ceho sa ?tvorstenu sa v skuto?nosti zhoduje s materi?lmi z u?ebnice op?sanej vy??ie.

Rie?enie probl?mov.

?loha 1.

N?jdite najkrat?iu cestu pozd?? povrchu pravideln?ho ?tvorstenu A B C D sp?janie bodiek E a F umiestnen? vo v??kach bo?n?ch pl?ch 7 cm od zodpovedaj?cich vrcholov ?tvorstenu. Okraj ?tvorstenu je 20 cm.

Rie?enie.

Zv??te v?voj troch stien ?tvorstenu. Najkrat?ia cesta je ?sek sp?jaj?ci body E a F. Jeho d??ka je 20 cm.

?loha 2.

Na z?kladni pyram?dy le?? pravouhl? trojuholn?k, ktor?ho jedna z n?h je 3 cm a ostr? uhol pri?ahl? k nej je 30 stup?ov. V?etky bo?n? hrany pyram?dy s? naklonen? k rovine z?kladne pod uhlom 60 stup?ov. N?jdite objem pyram?dy.

Rie?enie.

Oblas? trojuholn?ka ABC je . Z?kladom v??ky je stred. Triangle SAC je rovnostrann?. .

Odtia? a teda objem pyram?dy sa rovn?.

Z?ver.

V?raznou ?rtou u?ebnice Atanasyan L.S. at?. je, ?e ?t?dium ?tvorstenu za??na pomerne skoro, materi?l je roztr?sen? po celom kurze a prezentovan? na r?znych ?rovniach zlo?itosti. V u?ebnici Pogorelov A.V. materi?l je umiestnen? kompaktne, pojem „tetrahedron“, ako aj pojmy in?ch priestorov?ch ?tvarov, sa zav?dza pomerne neskoro (na konci 10. ro?n?ka), praktick? materi?l uveden? v u?ebnici je mal?. V u?ebnici Smirnova I.M. a ?al?? teoretick? materi?l, ako aj praktick?, m? mal? objem, praktick? ?lohy n?zkej zlo?itosti, u?ebnica sa vyzna?uje ve?k?m mno?stvom materi?lu z dej?n matematiky. V u?ebnici Alexandrov A.D. a in?.?rove? zlo?itosti u?iva je vy??ia, materi?l s?m o sebe je rozmanitej??, ve?a praktick?ch ?loh obsahuje nejak? ?as? te?rie, existuj? extr?mne ?lohy a ?lohy vo forme ot?zok, ??m sa odli?uje od ostatn?ch.

§2. Testovanie ?rovne rozvoja priestorov?ho myslenia u ?iakov stredn?ch ?k?l

Inteligencia je schopnos? u?i? sa alebo rozumie?, ktor? je vlastn? v?etk?m ?u?om. Niekto ju m? vo v???ej miere, in? v men?ej, no u ka?d?ho ?loveka zost?va t?to schopnos? prakticky nezmenen? po cel? ?ivot. Pr?ve v?aka intelektu sme schopn? kona? spr?vne a pou?i? sa z vlastn?ch ch?b.

V psychol?gii je inteligencia definovan? ako schopnos? vn?ma? poznatky a vyu??va? ich v in?ch, z?sadne nov?ch situ?ci?ch. V testovac?ch podmienkach je mo?n? ur?i?, ako ?spe?ne sa ?lovek adaptuje na neobvykl? situ?cie. Zis?ovanie ?rovne v?eobecn?ho intelektu?lneho rozvoja prostredn?ctvom testu je pomerne n?ro?n? a ?asovo n?ro?n? pr?ca, preto v texte tejto pr?ce bude pou?it? ?as? metodiky testovania inteligencie, ktor? odpoved? na ot?zku o ?rovni rozvoja priestorov?ho myslenie. Priestorov? myslenie je ?pecifick? druh du?evnej ?innosti, ktor? sa uskuto??uje pri rie?en? probl?mov vy?aduj?cich orient?ciu v praktickom i teoretickom priestore (vidite?nom aj imagin?rnom). Vo svojich najrozvinutej??ch form?ch je to myslenie pod?a vzorcov, v ktor?ch s? fixovan? priestorov? vlastnosti a vz?ahy. Pr?ca s po?iato?n?mi obrazmi vytvoren?mi na r?znych vizu?lnych z?kladoch, myslenie zabezpe?uje ich modifik?ciu, transform?ciu a vytv?ranie nov?ch obrazov, ktor? s? odli?n? od p?vodn?ch.

Pou?it? test („Minitest ?rovne rozvoja priestorov?ho myslenia“ z „Prv?ho testu koeficientu rozvoja inteligencie“ od F. Cartera, K. Russella) je univerz?lny pre v?etky vekov? skupiny a zaber? mal? mno?stvo ?asu (30 min?t). Text testu a jeho k???e n?jdete v "Pr?lohe ?. 1" k diplomu.