• edukacyjne: naucz uczni?w znajdowania obszaru wielok?ta za pomoc? wybranych przez siebie metod, formowania wst?pnych reprezentacji
• umiej?tno?ci wielok?tne, graficzne i pomiarowe;
• opracowanie: opracowanie metod aktywno?ci umys?owej uczni?w podczas wykonywania zada? od obserwacji, oblicze? do wyja?niania wzorc?w obliczania powierzchni wielok?ta;
• edukowanie: ujawnianie subiektywnych do?wiadcze? uczni?w, zach?canie do dzia?ania, aspiracji uczni?w jako podstawa wychowania pozytywnych cech osobowo?ci;
• metodyczne: tworzenie warunk?w do przejawiania si? aktywno?ci poznawczej uczni?w.

Wyposa?enie lekcji:

1. Projekt tablicy: po lewej - kszta?ty wielok?t?w, po prawej - puste p??tno tablicy do pisania na lekcji, po?rodku - prostok?t wielok?ta.
2. Ulotka „Do bada?”.
3. Narz?dzia nauczyciela i uczni?w (kreda, wska?nik, linijka, arkusz bada?, figurki, papier do rysowania, marker).

Metoda lekcji:

• O interakcji nauczyciela i uczni?w - dialog-komunikacja;
• Zgodnie z metod? rozwi?zywania problem?w - wyszukiwanie cz??ciowe;
• Zgodnie ze sposobem aktywno?ci umys?owej - (SUD) trening rozwojowy.

Forma lekcji jest frontalna, w parach, indywidualna.

Rodzaj lekcji to lekcja opanowania nowej wiedzy, umiej?tno?ci i zdolno?ci.

Struktura lekcji to stopniowe pog??bianie tematu, elastyczna, dialogiczna.

Podczas zaj??

Pozdrowienia.

Lekcja jest pi?kna i przynosi rado??, gdy wsp?lnie my?limy i pracujemy. Dzisiaj rozwa?ymy liczby, okre?limy ich nazwy, pomy?limy, poszukamy i znajdziemy rozwi?zania. ?yczymy sobie nawzajem udanej pracy.

Aktualizacja wiedzy.

Rozwa? liczby (wielok?ty na planszy).

Wszyscy s? razem. Czemu? Jaka jest ich wsp?lna cecha? (Wielok?ty).

Nazwij ten wielok?t (5-k?t, 6-k?t…)

Czy wiesz, jaka jest powierzchnia wielok?ta?

Nast?pnie poka? na jednej z figur.

(Uog?lnienie przez nauczyciela: obszar jest cz??ci? p?aszczyzny wewn?trz zamkni?tej figury geometrycznej.)

W j?zyku rosyjskim to s?owo ma kilka znacze?.

(Ucze? w s?owniku wprowadza znaczenia.)

1. Cz??? p?aszczyzny wewn?trz zamkni?tej figury geometrycznej.
2. Du?a niezabudowana i p?aska powierzchnia.
3. Miejsce na dowolny cel.

Jaka warto?? jest u?ywana w matematyce?

W matematyce u?ywana jest pierwsza warto??.

(Na planszy jest posta?).

Czy to wielok?t? TAk.

Nazwij kszta?t inaczej. Prostok?t.

Poka? d?ugo??, szeroko??.

Jak znale?? obszar wielok?ta?

Napisz wz?r za pomoc? liter i symboli.

Je?li d?ugo?? naszego prostok?ta wynosi 20 cm, to szeroko?? wynosi 10 cm. Jaki jest obszar?

Powierzchnia 200 cm 2

Zastan?w si?, jak przymocowa? linijk?, aby figurka by?a podzielona na:

Czy widzia?e?, z jakich cz??ci sk?ada si? figura? A teraz wr?cz przeciwnie, zmontujemy ca?o?? w cz??ciach.

(Cz??ci postaci le?? na biurkach. Dzieci uk?adaj? z nich prostok?t).

Wyci?gnij wnioski ze swoich obserwacji.

Ca?? figur? mo?na podzieli? na cz??ci oraz z cz??ci tworz?c ca?o??.

Domy oparte na tr?jk?tach i czworok?tach by?y figurami, sylwetkami. Oto, czym si? okaza?y.

(Pokaz rysunk?w wykonanych przez uczni?w w domu. Jedna z prac jest analizowana).

Jakich liczb u?y?e?? Masz z?o?ony wielok?t.

Zestawienie zadania edukacyjnego.

Na lekcji musimy odpowiedzie? sobie na pytanie: jak znale?? obszar wielok?ta z?o?onego?

Dlaczego dana osoba musi znale?? teren?

(Odpowiedzi dzieci i uog?lnienie przez nauczyciela).

Zadanie wyznaczenia obszaru wynika?o z praktyki.

(Pokazano plan terenu szko?y.)

Aby zbudowa? szko??, najpierw stworzyli plan. Nast?pnie terytorium podzielono na sekcje okre?lonego obszaru, budynki, klomby, ustawiono stadion. W tym przypadku witryna ma okre?lony kszta?t - kszta?t wielok?ta.

Rozwi?zanie problemu edukacyjnego.

(Wzory s? rozdawane do bada?.)

Przed tob? jest posta?. Nazwij j?.

Wielok?t, sze?ciok?t.

Znajd? obszar wielok?ta. Co nale?y w tym celu zrobi??

Podziel na prostok?ty.

(W przypadku trudno?ci pojawi si? kolejne pytanie: „Z jakich kszta?t?w sk?ada si? wielok?t?”).

Z dw?ch prostok?t?w.

Podziel kszta?t na prostok?ty za pomoc? linijki i o??wka. Wyznacz numery 1 i 2 otrzymane cz??ci.

Zr?bmy pomiary.

Znajd? obszar pierwszej figury.

(Uczniowie proponuj? nast?puj?ce rozwi?zania i zapisuj? je na tablicy.)

• S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 cm 2
• S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 cm 2

Znaj?c obszar cz??ci, jak znale?? obszar ca?ej figury?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

• S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 cm 2
• S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 cm 2
• S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Por?wnaj wyniki i wyci?gnij wnioski.

Pod??ajmy za naszymi krokami

Jak znajduje si? obszar wielok?ta?

Algorytm jest kompilowany i napisany na plakacie:?

1. Podziel figur? na cz??ci

2. Znajd? obszary cz??ci tych wielok?t?w (S 1, S 2).

3. Znajd? obszar ca?ego wielok?ta (S 1 + S 2).

Wypowiedz algorytm.

(Kilku uczni?w wymawia algorytm).

Znale?li?my dwa sposoby, a mo?e jest ich wi?cej?

I mo?esz doko?czy? figur?.

Ile masz prostok?t?w?

Wyznaczmy cz??ci 1 i 2. Zr?bmy pomiary.

Znajd? obszar ka?dej cz??ci wielok?ta.

• S1=6? 5=30cm 2
• S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 cm 2

Jak znale?? obszar naszego sze?ciok?ta?

S \u003d 30-15 \u003d 15 cm 2

Stw?rzmy algorytm:

Doko?cz figur? do prostok?ta

Znaleziono S 1 i S 2 .

Znale?li?my r??nic? S 1 - S 2.

Por?wnaj dwa algorytmy. Wyci?gnij wniosek. Jakie dzia?ania s? takie same? Gdzie r??ni?y si? nasze dzia?ania?

Zamknij oczy, opu?? g?owy. Powt?rz w my?lach algorytm.

Zrobili?my prace badawcze, rozwa?yli?my r??ne metody i teraz mo?emy znale?? obszar dowolnego wielok?ta.

Kontrola wydajno?ci.

Sprawd? si?.

Oto wielok?ty.

Znajd? obszar jednej wybranej figury, podczas gdy mo?esz u?y? r??nych metod.

Praca jest wykonywana niezale?nie. Dzieci wybieraj? figurk?. Znajd? teren na jeden ze sposob?w. Weryfikacja to klucz na tablicy.

Co mo?na powiedzie? o formularzu? (Formularz inny)

Jaka jest powierzchnia tych wielok?t?w? (Powierzchnie tych wielok?t?w s? r?wne)

Oce? wyniki.

Kto ma racj? - wstaw "+".

Kto ma w?tpliwo?ci, trudno?ci - „?”

Konsultanci s?u?? pomoc? ch?opakom, szukaj? b??d?w, pomagaj? je poprawi?.

Praca domowa:

Skomponuj swoje arkusze badawcze, oblicz obszar wielok?ta na r??ne sposoby.

Podsumowanie lekcji.

A wi?c, ch?opaki, co powiesz rodzicom o tym, jak znale?? obszar figury geometrycznej - wielok?ta.

Jednostki odleg?o?ci i d?ugo?ci Przelicznik jednostek powierzchni Przelicznik Do??cz © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Kopiowanie materia??w jest zabronione. W kalkulatorze online mo?esz u?ywa? warto?ci w tych samych jednostkach miary! Je?li masz problemy z konwersj? jednostek miary, u?yj konwertera jednostek odleg?o?ci i d?ugo?ci oraz konwertera jednostek powierzchni. Dodatkowe funkcje kalkulatora powierzchni czworok?tnej

• Mo?esz porusza? si? mi?dzy polami wprowadzania, naciskaj?c prawy i lewy klawisz na klawiaturze.

Teoria. Obszar czworoboku Czworok?t to figura geometryczna sk?adaj?ca si? z czterech punkt?w (wierzcho?k?w), z kt?rych ?adne trzy nie le?? na tej samej linii prostej, oraz czterech segment?w (bok?w) ??cz?cych te punkty parami. Czworok?t nazywamy wypuk?ym, je?li odcinek ??cz?cy dowolne dwa punkty tego czworok?ta b?dzie si? w nim znajdowa?.

Jak znale?? obszar wielok?ta?

Wz?r na okre?lenie obszaru okre?la si?, bior?c ka?d? kraw?d? wielok?ta AB i obliczaj?c obszar tr?jk?ta ABO z wierzcho?kiem na pocz?tku O, poprzez wsp??rz?dne wierzcho?k?w. Podczas chodzenia wok?? wielok?ta powstaj? tr?jk?ty, w tym wewn?trz wielok?ta i znajduj?ce si? poza nim. R??nica mi?dzy sum? tych obszar?w to powierzchnia samego wielok?ta.

Dlatego formu?a nazywana jest formu?? geodety, poniewa? „kartograf” jest u ?r?de?; je?li porusza si? po obszarze w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz?wek zegara, obszar jest dodawany, je?li jest po lewej stronie i odejmowany, je?li jest po prawej stronie pod wzgl?dem pocz?tku. Wz?r powierzchni obowi?zuje dla dowolnego nieprzecinaj?cego si? (prostego) wielok?ta, kt?ry mo?e by? wypuk?y lub wkl?s?y. Zawarto??

• 1 Definicja
• 2 przyk?ady
• 3 Bardziej z?o?ony przyk?ad
• 4 Wyja?nienie nazwy
• 5 Zobacz

Obszar wielok?ta

Uwaga

Mog?oby by?:

• tr?jk?t;
• czworoboczny;
• pi?? lub sze?ciok?t i tak dalej.

Tak? figur? z pewno?ci? b?d? charakteryzowa? dwie pozycje:

1. S?siednie boki nie nale?? do tej samej linii.
2. Nies?siaduj?ce nie maj? punkt?w wsp?lnych, to znaczy nie przecinaj? si?.

Aby zrozumie?, kt?re wierzcho?ki s?siaduj?, musisz sprawdzi?, czy nale?? do tej samej strony. Je?li tak, to s?siednie. W przeciwnym razie mo?na je po??czy? segmentem, kt?ry nale?y nazwa? przek?tn?. Mo?na je rysowa? tylko w wielok?tach, kt?re maj? wi?cej ni? trzy wierzcho?ki.

Jakie ich rodzaje istniej?? Wielok?t z wi?cej ni? czterema rogami mo?e by? wypuk?y lub wkl?s?y. R??nica w tym ostatnim polega na tym, ?e niekt?re z jego wierzcho?k?w mog? le?e? po r??nych stronach linii prostej poprowadzonej przez dowolny bok wielok?ta.

Jak znale?? obszar sze?ciok?ta foremnego i nieregularnego?

• Znaj?c d?ugo?? boku, pomn?? go przez 6 i uzyskaj obw?d sze?ciok?ta: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Zast?p wyniki w naszym wzorze:
Powierzchnia \u003d 1/2 * obw?d * apothema Powierzchnia \u003d 1/2 * 60 cm * 5?3 Rozwi??: Teraz pozostaje upro?ci? odpowied?, aby pozby? si? pierwiastk?w kwadratowych i wskaza? wynik w centymetrach kwadratowych: 1/2 * 60 cm * 5 ?3 cm = 30 * 5?3 cm =150 ?3 cm =259,8 cm? Film o tym, jak znale?? obszar sze?ciok?ta foremnego Istnieje kilka opcji okre?lania obszaru nieregularnego sze?ciok?ta:

• metoda trapezowa.
• Metoda obliczania powierzchni nieregularnych wielok?t?w za pomoc? osi wsp??rz?dnych.
• Metoda dzielenia sze?ciok?ta na inne kszta?ty.

W zale?no?ci od pocz?tkowych danych, kt?re znasz, wybierana jest odpowiednia metoda.

Wa?ny

Niekt?re nieregularne sze?ciok?ty sk?adaj? si? z dw?ch r?wnoleg?obok?w. Aby okre?li? obszar r?wnoleg?oboku, pomn?? jego d?ugo?? przez jego szeroko??, a nast?pnie dodaj dwa znane ju? obszary. Film o tym, jak znale?? obszar wielok?ta Sze?ciok?t r?wnoboczny ma sze?? r?wnych bok?w i jest sze?ciok?tem foremnym.

Powierzchnia sze?ciok?ta r?wnobocznego jest r?wna 6 obszarom tr?jk?t?w, na kt?re podzielona jest regularna figura sze?ciok?tna. Wszystkie tr?jk?ty w sze?ciok?cie foremnym s? r?wne, wi?c aby znale?? pole takiego sze?ciok?ta, wystarczy zna? pole co najmniej jednego tr?jk?ta. Aby znale?? pole sze?ciok?ta r?wnobocznego, stosuje si? oczywi?cie wz?r na pole sze?ciok?ta foremnego, opisany powy?ej.

404 Nie Znaleziono

Dekorowanie domu, ubieranie, rysowanie obraz?w przyczyni?y si? do procesu formowania i gromadzenia informacji z dziedziny geometrii, kt?re ?wcze?ni ludzie pozyskiwali empirycznie, kawa?ek po kawa?ku i przekazywali z pokolenia na pokolenie. Dzi? znajomo?? geometrii jest niezb?dna w ?yciu codziennym wycinaczowi, budowniczemu, architektowi i ka?demu zwyk?emu cz?owiekowi. Dlatego musisz nauczy? si? oblicza? obszar r??nych figur i pami?ta?, ?e ka?da z formu? mo?e by? p??niej przydatna w praktyce, w tym wz?r na sze?ciok?t foremny.
Sze?ciok?t to taka figura wielok?tna, kt?rej ??czna liczba k?t?w wynosi sze??. Sze?ciok?t foremny to sze?ciok?tna figura o r?wnych bokach. K?ty sze?ciok?ta foremnego r?wnie? s? sobie r?wne.
W ?yciu codziennym cz?sto mo?emy spotka? przedmioty, kt?re maj? kszta?t foremnego sze?ciok?ta.

Kalkulator nieregularnego obszaru wielok?ta po bokach

B?dziesz potrzebowa?

• - ruletka;
• — dalmierz elektroniczny;
• - kartka papieru i o??wek;
• - kalkulator.

Instrukcja 1 Je?li potrzebujesz ca?kowitej powierzchni mieszkania lub oddzielnego pokoju, po prostu przeczytaj paszport techniczny mieszkania lub domu, pokazuje on materia? filmowy z ka?dego pokoju i ca?kowity materia? z mieszkania. 2 Aby zmierzy? powierzchni? prostok?tnego lub kwadratowego pokoju, we? ta?m? miernicz? lub dalmierz elektroniczny i zmierz d?ugo?? ?cian. Podczas pomiaru odleg?o?ci za pomoc? dalmierza pami?taj, aby kierunek wi?zki by? prostopad?y, w przeciwnym razie wyniki pomiar?w mog? by? zniekszta?cone. 3 Nast?pnie pomn?? uzyskan? d?ugo?? (w metrach) pomieszczenia przez szeroko?? (w metrach). Wynikowa warto?? b?dzie powierzchni? pod?ogi, mierzon? w metrach kwadratowych.

Wz?r na obszar Gaussa

Je?li potrzebujesz obliczy? powierzchni? pod?ogi bardziej z?o?onej konstrukcji, takiej jak pok?j pi?ciok?tny lub pok?j z okr?g?ym ?ukiem, narysuj schematyczny szkic na kartce papieru. Nast?pnie podziel z?o?ony kszta?t na kilka prostych, takich jak kwadrat i tr?jk?t lub prostok?t i p??okr?g. U?yj ta?my mierniczej lub dalmierza, aby zmierzy? rozmiar wszystkich bok?w otrzymanych figur (w przypadku okr?gu musisz zna? ?rednic?) i wprowad? wyniki na sw?j rysunek.

5 Teraz oblicz obszar ka?dego kszta?tu osobno. Powierzchni? prostok?t?w i kwadrat?w oblicza si? mno??c boki. Aby obliczy? powierzchni? ko?a, podziel ?rednic? na p?? i kwadrat (pomn?? j? przez siebie), a nast?pnie pomn?? wynik przez 3,14.
Je?li chcesz tylko po?ow? okr?gu, podziel wynikowy obszar na p??. Aby obliczy? obszar tr?jk?ta, znajd? P, dziel?c sum? wszystkich bok?w przez 2.

Wz?r do obliczania powierzchni nieregularnego wielok?ta

Je?li punkty s? numerowane kolejno w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz?wek zegara, to wyznaczniki w powy?szym wzorze s? dodatnie i modu? w nim mo?na pomin??; je?li s? ponumerowane zgodnie z ruchem wskaz?wek zegara, wyznaczniki b?d? ujemne. Dzieje si? tak dlatego, ?e formu?a mo?e by? postrzegana jako szczeg?lny przypadek twierdzenia Greena. Aby zastosowa? wz?r, musisz zna? wsp??rz?dne wierzcho?k?w wielok?ta na p?aszczy?nie kartezja?skiej.

Na przyk?ad we?my tr?jk?t o wsp??rz?dnych ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). We? pierwsz? wsp??rz?dn? x pierwszego wierzcho?ka i pomn?? j? przez wsp??rz?dn? y drugiego wierzcho?ka, a nast?pnie pomn?? wsp??rz?dn? x drugiego wierzcho?ka przez wsp??rz?dn? y trzeciego. Powtarzamy t? procedur? dla wszystkich wierzcho?k?w. Wynik mo?na okre?li? za pomoc? nast?puj?cego wzoru: A tri.

Wz?r na obliczenie powierzchni nieregularnego czworoboku

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) gdzie xi i yi oznaczaj? odpowiedni? wsp??rz?dn?. Ten wz?r mo?na uzyska?, otwieraj?c nawiasy w og?lnym wzorze dla przypadku n = 3. Korzystaj?c z tego wzoru, mo?na stwierdzi?, ?e powierzchnia tr?jk?ta jest r?wna po?owie sumy 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, co daje 3. Liczba zmiennych we wzorze zale?y od liczby bok?w wielok?ta. Na przyk?ad wz?r na pole pi?ciok?ta b?dzie wykorzystywa? zmienne do x5 i y5: Pentagon. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 - x 2 y 1 - x 3 y 2 - x 4 y 3 - x 5 y 4 - x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \ponad 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A dla czw?rki - zmienne do x4 i y4: Czw?rka.

• edukacyjne: naucz uczni?w znajdowania obszaru wielok?ta za pomoc? wybranych przez siebie metod, formowania wst?pnych reprezentacji
• umiej?tno?ci wielok?tne, graficzne i pomiarowe;
• opracowanie: opracowanie metod aktywno?ci umys?owej uczni?w podczas wykonywania zada? od obserwacji, oblicze? do wyja?niania wzorc?w obliczania powierzchni wielok?ta;
• edukowanie: ujawnianie subiektywnych do?wiadcze? uczni?w, zach?canie do dzia?ania, aspiracji uczni?w jako podstawa wychowania pozytywnych cech osobowo?ci;
• metodyczne: tworzenie warunk?w do przejawiania si? aktywno?ci poznawczej uczni?w.

Wyposa?enie lekcji:

1. Projekt tablicy: po lewej - kszta?ty wielok?t?w, po prawej - puste p??tno tablicy do pisania na lekcji, po?rodku - prostok?t wielok?ta.
2. Ulotka „Do bada?”.
3. Narz?dzia nauczyciela i uczni?w (kreda, wska?nik, linijka, arkusz bada?, figurki, papier do rysowania, marker).

Metoda lekcji:

• O interakcji nauczyciela i uczni?w - dialog-komunikacja;
• Zgodnie z metod? rozwi?zywania problem?w - wyszukiwanie cz??ciowe;
• Zgodnie ze sposobem aktywno?ci umys?owej - (SUD) trening rozwojowy.

Forma lekcji jest frontalna, w parach, indywidualna.

Rodzaj lekcji to lekcja opanowania nowej wiedzy, umiej?tno?ci i zdolno?ci.

Struktura lekcji to stopniowe pog??bianie tematu, elastyczna, dialogiczna.

Podczas zaj??

Pozdrowienia.

Lekcja jest pi?kna i przynosi rado??, gdy wsp?lnie my?limy i pracujemy. Dzisiaj rozwa?ymy liczby, okre?limy ich nazwy, pomy?limy, poszukamy i znajdziemy rozwi?zania. ?yczymy sobie nawzajem udanej pracy.

Aktualizacja wiedzy.

Rozwa? liczby (wielok?ty na planszy).

Wszyscy s? razem. Czemu? Jaka jest ich wsp?lna cecha? (Wielok?ty).

Nazwij ten wielok?t (5-k?t, 6-k?t…)

Czy wiesz, jaka jest powierzchnia wielok?ta?

Nast?pnie poka? na jednej z figur.

(Uog?lnienie przez nauczyciela: obszar jest cz??ci? p?aszczyzny wewn?trz zamkni?tej figury geometrycznej.)

W j?zyku rosyjskim to s?owo ma kilka znacze?.

(Ucze? w s?owniku wprowadza znaczenia.)

1. Cz??? p?aszczyzny wewn?trz zamkni?tej figury geometrycznej.
2. Du?a niezabudowana i p?aska powierzchnia.
3. Miejsce na dowolny cel.

Jaka warto?? jest u?ywana w matematyce?

W matematyce u?ywana jest pierwsza warto??.

(Na planszy jest posta?).

Czy to wielok?t? TAk.

Nazwij kszta?t inaczej. Prostok?t.

Poka? d?ugo??, szeroko??.

Jak znale?? obszar wielok?ta?

Napisz wz?r za pomoc? liter i symboli.

Je?li d?ugo?? naszego prostok?ta wynosi 20 cm, to szeroko?? wynosi 10 cm. Jaki jest obszar?

Powierzchnia 200 cm 2

Zastan?w si?, jak przymocowa? linijk?, aby figurka by?a podzielona na:

Czy widzia?e?, z jakich cz??ci sk?ada si? figura? A teraz wr?cz przeciwnie, zmontujemy ca?o?? w cz??ciach.

(Cz??ci postaci le?? na biurkach. Dzieci uk?adaj? z nich prostok?t).

Wyci?gnij wnioski ze swoich obserwacji.

Ca?? figur? mo?na podzieli? na cz??ci oraz z cz??ci tworz?c ca?o??.

Domy oparte na tr?jk?tach i czworok?tach by?y figurami, sylwetkami. Oto, czym si? okaza?y.

(Pokaz rysunk?w wykonanych przez uczni?w w domu. Jedna z prac jest analizowana).

Jakich liczb u?y?e?? Masz z?o?ony wielok?t.

Zestawienie zadania edukacyjnego.

Na lekcji musimy odpowiedzie? sobie na pytanie: jak znale?? obszar wielok?ta z?o?onego?

Dlaczego dana osoba musi znale?? teren?

(Odpowiedzi dzieci i uog?lnienie przez nauczyciela).

Zadanie wyznaczenia obszaru wynika?o z praktyki.

(Pokazano plan terenu szko?y.)

Aby zbudowa? szko??, najpierw stworzyli plan. Nast?pnie terytorium podzielono na sekcje okre?lonego obszaru, budynki, klomby, ustawiono stadion. W tym przypadku witryna ma okre?lony kszta?t - kszta?t wielok?ta.

Rozwi?zanie problemu edukacyjnego.

(Wzory s? rozdawane do bada?.)

Przed tob? jest posta?. Nazwij j?.

Wielok?t, sze?ciok?t.

Znajd? obszar wielok?ta. Co nale?y w tym celu zrobi??

Podziel na prostok?ty.

(W przypadku trudno?ci pojawi si? kolejne pytanie: „Z jakich kszta?t?w sk?ada si? wielok?t?”).

Z dw?ch prostok?t?w.

Podziel kszta?t na prostok?ty za pomoc? linijki i o??wka. Wyznacz numery 1 i 2 otrzymane cz??ci.

Zr?bmy pomiary.

Znajd? obszar pierwszej figury.

(Uczniowie proponuj? nast?puj?ce rozwi?zania i zapisuj? je na tablicy.)

• S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 cm 2
• S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 cm 2

Znaj?c obszar cz??ci, jak znale?? obszar ca?ej figury?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

• S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 cm 2
• S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 cm 2
• S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Por?wnaj wyniki i wyci?gnij wnioski.

Pod??ajmy za naszymi krokami

Jak znajduje si? obszar wielok?ta?

Algorytm jest kompilowany i napisany na plakacie:?

1. Podziel figur? na cz??ci

2. Znajd? obszary cz??ci tych wielok?t?w (S 1, S 2).

3. Znajd? obszar ca?ego wielok?ta (S 1 + S 2).

Wypowiedz algorytm.

(Kilku uczni?w wymawia algorytm).

Znale?li?my dwa sposoby, a mo?e jest ich wi?cej?

I mo?esz doko?czy? figur?.

Ile masz prostok?t?w?

Wyznaczmy cz??ci 1 i 2. Zr?bmy pomiary.

Znajd? obszar ka?dej cz??ci wielok?ta.

• S1=6? 5=30cm 2
• S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 cm 2

Jak znale?? obszar naszego sze?ciok?ta?

S \u003d 30-15 \u003d 15 cm 2

Stw?rzmy algorytm:

Doko?cz figur? do prostok?ta

Znaleziono S 1 i S 2 .

Znale?li?my r??nic? S 1 - S 2.

Por?wnaj dwa algorytmy. Wyci?gnij wniosek. Jakie dzia?ania s? takie same? Gdzie r??ni?y si? nasze dzia?ania?

Zamknij oczy, opu?? g?owy. Powt?rz w my?lach algorytm.

Zrobili?my prace badawcze, rozwa?yli?my r??ne metody i teraz mo?emy znale?? obszar dowolnego wielok?ta.

Kontrola wydajno?ci.

Sprawd? si?.

Oto wielok?ty.

Znajd? obszar jednej wybranej figury, podczas gdy mo?esz u?y? r??nych metod.

Praca jest wykonywana niezale?nie. Dzieci wybieraj? figurk?. Znajd? teren na jeden ze sposob?w. Weryfikacja to klucz na tablicy.

Co mo?na powiedzie? o formularzu? (Formularz inny)

Jaka jest powierzchnia tych wielok?t?w? (Powierzchnie tych wielok?t?w s? r?wne)

Oce? wyniki.

Kto ma racj? - wstaw "+".

Kto ma w?tpliwo?ci, trudno?ci - „?”

Konsultanci s?u?? pomoc? ch?opakom, szukaj? b??d?w, pomagaj? je poprawi?.

Praca domowa:

Skomponuj swoje arkusze badawcze, oblicz obszar wielok?ta na r??ne sposoby.

Podsumowanie lekcji.

A wi?c, ch?opaki, co powiesz rodzicom o tym, jak znale?? obszar figury geometrycznej - wielok?ta.

Lekcja z serii „ Algorytmy geometryczne»

Witam drogi czytelniku.

Rozwi?zanie wielu problem?w geometrii obliczeniowej opiera si? na znalezieniu obszar wielok?ta. W tej lekcji wyprowadzimy wz?r do obliczania powierzchni wielok?ta za pomoc? wsp??rz?dnych jego wierzcho?k?w i napiszemy funkcj? obliczaj?c? ten obszar.

Zadanie. Oblicz powierzchni? wielok?ta, podane przez wsp??rz?dne jego wierzcho?k?w, w kolejno?ci zgodnej z ruchem wskaz?wek zegara.

Informacje z geometrii obliczeniowej

Aby wyprowadzi? wz?r na obszar wielok?ta, potrzebujemy informacji z geometrii obliczeniowej, a mianowicie koncepcji zorientowanego obszaru tr?jk?ta.

Zorientowany obszar tr?jk?ta to zwyk?y obszar oznaczony znakiem. Zorientowany znak obszaru tr?jk?ta ABC taki sam jak k?t zorientowany mi?dzy wektorami i. Oznacza to, ?e jego znak zale?y od kolejno?ci wyliczania wierzcho?k?w.

Na Ry?. 1 tr?jk?t ABC to tr?jk?t prostok?tny. Jego obszar zorientowany jest (jest wi?kszy od zera, poniewa? para jest zorientowana dodatnio). T? sam? warto?? mo?na obliczy? w inny spos?b.

Wynajmowa? O jest dowolnym punktem p?aszczyzny. Na naszym rysunku pole tr?jk?ta ABC otrzymujemy odejmuj?c pola OAB i OCA od pola tr?jk?ta OBC. Dlatego po prostu potrzebujesz dodaj zorientowane obszary tr?jk?ty OAB, OBC i OCA. Ta zasada dzia?a dla ka?dego wyboru punktu O.

Podobnie, aby obliczy? pole dowolnego wielok?ta, nale?y doda? zorientowane obszary tr?jk?t?w

Suma b?dzie obszarem wielok?ta, wzi?tym ze znakiem plus, je?li wielok?t znajduje si? po lewej stronie podczas obchodzenia wielok?ta (z pomini?ciem granicy w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz?wek zegara) i ze znakiem minus, je?li jest po prawej stronie (z pomini?ciem zgodnie z ruchem wskaz?wek zegara ).

Tak wi?c obliczenie pola wielok?ta zosta?o zredukowane do znalezienia pola tr?jk?ta. Zobaczmy, jak wyrazi? to we wsp??rz?dnych.

Iloczyn poprzeczny dw?ch wektor?w na p?aszczy?nie to obszar r?wnoleg?oboku zbudowanego na tych wektorach.

Iloczyn wektorowy wyra?ony jako wsp??rz?dne wektor?w:

Je?li wsp??rz?dne wierzcho?k?w podano w kolejno?ci przeciwnej do ruchu wskaz?wek zegara, to liczba S, obliczone wed?ug tego wzoru b?d? dodatnie. W przeciwnym razie b?dzie ujemny i aby uzyska? zwyk?? powierzchni? geometryczn?, musimy przyj?? jej warto?? bezwzgl?dn?.

Rozwa? wi?c program do znajdowania obszaru wielok?ta okre?lonego przez wsp??rz?dne wierzcho?k?w.

3. Je?eli wielok?t sk?ada si? z kilku wielok?t?w, to jego pole jest r?wne sumie powierzchni tych wielok?t?w.

4. Pole kwadratu o boku \(a\) to \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Obszar prostok?ta i r?wnoleg?oboku)))\]

Twierdzenie: pole prostok?ta

Pole prostok?ta o bokach \(a\) i \(b\) to \(S=ab\) .

Dow?d

Zbudujmy prostok?t \(ABCD\) do kwadratu o boku \(a+b\) , jak pokazano na rysunku:

Ten kwadrat sk?ada si? z prostok?ta \(ABCD\) , innego r?wnego mu prostok?ta oraz dw?ch kwadrat?w o bokach \(a\) i \(b\) . W ten spos?b,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multilinia*)\)

Definicja

Wysoko?? r?wnoleg?oboku to prostopad?a narysowana od wierzcho?ka r?wnoleg?oboku do boku (lub przed?u?enia boku), kt?ry nie zawiera tego wierzcho?ka.
Na przyk?ad wysoko?? \(BK\) spada na bok \(AD\) , a wysoko?? \(BH\) spada na przed?u?enie boku \(CD\) :

Twierdzenie: powierzchnia r?wnoleg?oboku

Powierzchnia r?wnoleg?oboku jest r?wna iloczynowi wysoko?ci i boku, do kt?rego ta wysoko?? jest rysowana.

Dow?d

Narysuj prostopad?e \(AB"\) i \(DC"\), jak pokazano na rysunku. Zauwa?, ?e te prostopad?e s? r?wne wysoko?ci r?wnoleg?oboku \(ABCD\) .

Wtedy \(AB"C"D\) jest prostok?tem, st?d \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Zauwa?, ?e tr?jk?ty prostok?tne \(ABB"\) i \(DCC"\) s? r?wne. W ten spos?b,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Du?y(\text(Obszar tr?jk?ta)))\]

Definicja

Stron?, do kt?rej narysowana jest wysoko?? w tr?jk?cie, nazwiemy podstaw? tr?jk?ta.

Twierdzenie

Powierzchnia tr?jk?ta jest po?ow? iloczynu jego podstawy i wysoko?ci narysowanej do tej podstawy.

Dow?d

Niech \(S\) b?dzie polem tr?jk?ta \(ABC\) . We?my bok \(AB\) jako podstaw? tr?jk?ta i narysujmy wysoko?? \(CH\) . Udowodnijmy, ?e \ Zbudujmy tr?jk?t \(ABC\) do r?wnoleg?oboku \(ABDC\), jak pokazano na rysunku:

Tr?jk?ty \(ABC\) i \(DCB\) s? r?wne w trzech bokach (\(BC\) jest ich wsp?lnym bokiem, \(AB = CD\) i \(AC = BD\) jako przeciwleg?ymi bokami r?wnoleg?oboku \ (ABDC\ )), wi?c ich pola s? r?wne. Dlatego pole \(S\) tr?jk?ta \(ABC\) jest r?wne po?owie powierzchni r?wnoleg?oboku \(ABDC\) , tj. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Twierdzenie

Je?eli dwa tr?jk?ty \(\triangle ABC\) i \(\triangle A_1B_1C_1\) maj? r?wne wysoko?ci, to ich pola s? odnoszone jako podstawy, do kt?rych te wysoko?ci s? narysowane.

Konsekwencja

Mediana tr?jk?ta dzieli go na dwa tr?jk?ty o r?wnej powierzchni.

Twierdzenie

Je?eli dwa tr?jk?ty \(\triangle ABC\) i \(\triangle A_2B_2C_2\) maj? ten sam k?t, to ich pola s? powi?zane jako iloczyny bok?w tworz?cych ten k?t.

Dow?d

Niech \(\k?t A=\k?t A_2\) . Po??czmy te naro?niki, jak pokazano na rysunku (punkt \(A\) jest wyr?wnany z punktem \(A_2\)):

Narysuj wysoko?ci \(BH\) i \(C_2K\) .

Tr?jk?ty \(AB_2C_2\) i \(ABC_2\) maj? t? sam? wysoko?? \(C_2K\) , dlatego: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Tr?jk?ty \(ABC_2\) i \(ABC\) maj? t? sam? wysoko?? \(BH\) , dlatego: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Mno??c dwie ostatnie r?wno?ci otrzymujemy: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( lub ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

twierdzenie Pitagorasa

W tr?jk?cie prostok?tnym kwadrat d?ugo?ci przeciwprostok?tnej jest r?wny sumie kwadrat?w d?ugo?ci n?g:

Prawd? jest r?wnie? odwrotno??: je?li w tr?jk?cie kwadrat d?ugo?ci jednego boku jest r?wny sumie kwadrat?w d?ugo?ci dw?ch pozosta?ych bok?w, to taki tr?jk?t jest prostok?tny.

Twierdzenie

Obszar tr?jk?ta prostok?tnego to po?owa iloczynu n?g.

Twierdzenie: Wz?r Herona

Niech \(p\) b?dzie p??obwodem tr?jk?ta, \(a\) , \(b\) , \(c\) b?d? d?ugo?ciami jego bok?w, wtedy jego pole b?dzie r?wne \

\[(\Large(\text(Obszar rombu i trapezu)))\]

Komentarz

Dlatego romb jest r?wnoleg?obokiem, wtedy obowi?zuje dla niego ta sama formu?a, tj. Powierzchnia rombu jest r?wna iloczynowi wysoko?ci i boku, do kt?rego ta wysoko?? jest rysowana.

Twierdzenie

Powierzchnia wypuk?ego czworoboku, kt?rego przek?tne s? prostopad?e, stanowi po?ow? iloczynu przek?tnych.

Dow?d

Rozwa?my czworok?t \(ABCD\) . Oznacz \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Zauwa?, ?e ten czworok?t sk?ada si? z czterech tr?jk?t?w prostok?tnych, dlatego jego pole jest r?wne sumie p?l tych tr?jk?t?w:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multilinia*)\)

Nast?pstwo: obszar rombu

Powierzchnia rombu to po?owa iloczynu jego przek?tnych:

Definicja

Wysoko?? trapezu to prostopad?a poprowadzona od szczytu jednej podstawy do drugiej podstawy.

Twierdzenie: obszar trapezu

Powierzchnia trapezu to po?owa sumy podstaw razy wysoko??.

Dow?d

Rozwa?my trapez \(ABCD\) o podstawach \(BC\) i \(AD\) . Narysuj \(CD"\parallel AB\), jak pokazano na rysunku:

Wtedy \(ABCD"\) jest r?wnoleg?obokiem.

Rysujemy r?wnie? \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) to wysoko?ci trapezu).

Nast?pnie \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Dlatego trapez sk?ada si? z r?wnoleg?oboku \(ABCD"\) i tr?jk?ta \(CDD"\) , w?wczas jego pole jest r?wne sumie p?l r?wnoleg?oboku i tr?jk?ta, czyli:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Ka?dy, kto studiowa? matematyk? i geometri? w szkole, zna te nauki przynajmniej powierzchownie. Ale z biegiem czasu, je?li nie s? praktykowane, wiedza zostaje zapomniana. Wielu uwa?a nawet, ?e po prostu zmarnowali czas na studiowanie oblicze? geometrycznych. Jednak s? w b??dzie. Pracownicy techniczni wykonuj? codzienn? prac? zwi?zan? z obliczeniami geometrycznymi. Je?li chodzi o obliczanie powierzchni wielok?ta, wiedza ta znajduje r?wnie? zastosowanie w ?yciu. B?d? potrzebne przynajmniej do obliczenia powierzchni ziemi. Nauczmy si? wi?c, jak znale?? obszar wielok?ta.

Definicja wielok?ta

Najpierw zdefiniujmy, czym jest wielok?t. Jest to p?aska figura geometryczna, kt?ra powsta?a w wyniku przeci?cia trzech lub wi?cej linii. Inna prosta definicja: wielok?t to zamkni?ta polilinia. Oczywi?cie na przeci?ciu linii powstaj? punkty przeci?cia, ich liczba jest r?wna liczbie linii tworz?cych wielok?t. Punkty przeci?cia nazywane s? wierzcho?kami, a odcinki utworzone z linii prostych nazywane s? bokami wielok?ta. S?siednie segmenty wielok?ta nie le?? na tej samej linii prostej. Odcinki linii, kt?re nie s?siaduj? ze sob?, to te, kt?re nie przechodz? przez punkty wsp?lne.

Suma p?l tr?jk?t?w

Jak znale?? obszar wielok?ta? Obszar wielok?ta to wewn?trzna cz??? p?aszczyzny, kt?ra powsta?a na przeci?ciu segment?w lub bok?w wielok?ta. Poniewa? wielok?t jest kombinacj? kszta?t?w takich jak tr?jk?t, romb, kwadrat, trapez, po prostu nie ma uniwersalnego wzoru na obliczenie jego powierzchni. W praktyce najbardziej uniwersaln? metod? jest podzia? wielok?ta na prostsze figury, kt?rych obszar nie jest trudny do znalezienia. Dodaj?c sumy p?l tych prostych figur otrzymujemy pole wielok?ta.

Przez obszar ko?a

W wi?kszo?ci przypadk?w wielok?t ma regularny kszta?t i tworzy figur? o r?wnych bokach i k?tach mi?dzy nimi. Obliczenie pola w tym przypadku jest bardzo proste za pomoc? ko?a wpisanego lub opisanego. Je?li znana jest powierzchnia ko?a, nale?y j? pomno?y? przez obw?d wielok?ta, a nast?pnie otrzymany iloczyn podzielony przez 2. W rezultacie otrzymuje si? wz?r na obliczenie powierzchni takiego wielok?ta : S = 1/2 ?P?r., gdzie P jest polem okr?gu, a r jest obwodem wielok?ta .

Metoda dzielenia wielok?ta na „wygodne” kszta?ty jest najpopularniejsza w geometrii, pozwala szybko i poprawnie znale?? obszar wielok?ta. Czwarta klasa liceum zazwyczaj uczy si? takich metod.

Powierzchnia, jedna z podstawowych wielko?ci zwi?zanych z kszta?tami geometrycznymi. W najprostszych przypadkach mierzy si? j? liczb? jednostkowych kwadrat?w wype?niaj?cych p?ask? figur?, czyli kwadrat?w o boku r?wnym jednej d?ugo?ci. Obliczenia P. by?y ju? w staro?ytno?ci ... ...

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Obszar (znaczenia). Powierzchnia figury p?askiej jest addytywn? cech? numeryczn? figury nale??cej w ca?o?ci do jednej p?aszczyzny. W najprostszym przypadku, gdy figur? mo?na podzieli? na sko?czon? ... ... Wikipedia

I Pole to jedna z podstawowych wielko?ci zwi?zanych z kszta?tami geometrycznymi. W najprostszych przypadkach mierzy si? j? liczb? jednostkowych kwadrat?w wype?niaj?cych p?ask? figur?, czyli kwadrat?w o boku r?wnym jednej d?ugo?ci. Obliczanie P. ... ... Wielka radziecka encyklopedia

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Obszar (znaczenia). Powierzchnia Jednostka L? Jednostki SI m? ... Wikipedia

G. 1. Cz??? powierzchni ziemi, przestrze? naturalnie ograniczona lub specjalnie przeznaczona do jakiego? celu. ott. Przestrze? wodna. ott. Du?e, p?askie miejsce, przestrze?. 2. P?aska niezabudowana przestrze? publiczna ... ... Wsp??czesny s?ownik obja?niaj?cy j?zyka rosyjskiego Efremova

Proponuje si? usuni?cie tego artyku?u. Wyja?nienie przyczyn i odpowiedni? dyskusj? mo?na znale?? na stronie Wikipedii: Do usuni?cia / 2 wrze?nia 2012 r. Chocia? proces dyskusji nie jest zako?czony, artyku? mo?na ulepszy?, ale nale?y ... ... Wikipedia

Dwie figury w R2 o r?wnych polach i odpowiednio dwa wielok?ty M1 i M2 tak, ?e mo?na je poci?? na wielok?ty tak, aby cz??ci tworz?ce M1 by?y odpowiednio przystaj?ce do cz??ci tworz?cych M2. ... ... Encyklopedia matematyczna

B=7, G=8, B + G/2 - 1= 10 Twierdzenie Picka jest klasycznym wynikiem geometrii kombinatorycznej i geometrii liczb. Obszar wielok?ta z liczb? ca?kowit? ... Wikipedia

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Twierdzenie Picka. V = 7, Г = 8, В + Г/2 - 1 = 10 Wz?r Picka (lub twierdzenie Picka) jest klasycznym wynikiem geometrii kombinatorycznej i geometrii liczb. Kwadrat ... Wikipedia

Dziedzina (zbi?r otwarty sp?jny) na granicy cia?a wypuk?ego w przestrzeni euklidesowej E 3. Ca?a granica cia?a wypuk?ego jest nazywana. kompletne V. p. Je?li cia?o jest sko?czone, to kompletne V. p. Zamkni?te. Je?li cia?o jest niesko?czone, to pe?ne V.p. niesko?czona... ... Encyklopedia matematyczna

Wielok?t to p?aska lub wypuk?a figura, kt?ra sk?ada si? z przecinaj?cych si? linii (wi?cej ni? 3) i tworzy du?? liczb? punkt?w przeci?cia linii. Inny wielok?t mo?na zdefiniowa? jako przerywan? lini?, kt?ra si? zamyka. W inny spos?b punkty przeci?cia mo?na nazwa? wierzcho?kami figury. W zale?no?ci od liczby wierzcho?k?w figur? mo?na nazwa? pi?ciok?tem, sze?ciok?tem i tak dalej. K?t wielok?ta to k?t utworzony przez boki zbiegaj?ce si? w jednym wierzcho?ku. K?t znajduje si? wewn?trz wielok?ta. Co wi?cej, k?ty mog? by? r??ne, do 180 stopni. Istniej? r?wnie? naro?niki zewn?trzne, kt?re zwykle s?siaduj? z naro?nikami wewn?trznymi.

Linie proste, kt?re nast?pnie przecinaj? si?, nazywane s? bokami wielok?ta. Mog? by? s?siaduj?ce, s?siaduj?ce lub nieprzylegaj?ce. Bardzo wa?n? cech? prezentowanej figury geometrycznej jest to, ?e jej nies?siaduj?ce boki nie przecinaj? si?, a zatem nie maj? wsp?lnych punkt?w. Przyleg?e boki figury nie mog? le?e? w tej samej linii prostej.

Te wierzcho?ki figury, kt?re nale?? do tej samej linii, mo?na nazwa? s?siednimi. Je?li narysujesz lini? pomi?dzy dwoma wierzcho?kami, kt?re nie s?siaduj? ze sob?, otrzymasz przek?tn? wielok?ta. Je?li chodzi o obszar figury, jest to wewn?trzna cz??? p?aszczyzny figury geometrycznej o du?ej liczbie wierzcho?k?w, kt?r? tworz? oddzielaj?ce j? segmenty wielok?ta.

Nie ma jednego rozwi?zania do okre?lenia obszaru przedstawionej figury geometrycznej, poniewa? mo?e istnie? niesko?czona liczba wariant?w figury, a dla ka?dego wariantu istnieje w?asne rozwi?zanie. Jednak nadal nale?y rozwa?y? niekt?re z najcz?stszych opcji znalezienia obszaru figury (s? najcz??ciej stosowane w praktyce, a nawet s? uwzgl?dnione w szkolnym programie nauczania).

Przede wszystkim rozwa? wielok?t foremny, czyli tak? figur?, w kt?rej wszystkie k?ty utworzone przez r?wne boki s? r?wnie? r?wne. Jak wi?c znale?? obszar wielok?ta na konkretnym przyk?adzie? W tym przypadku znalezienie obszaru figury wielok?tnej jest mo?liwe, je?li zostanie podany promie? okr?gu wpisanego w figur? lub opisanego wok?? niego. Aby to zrobi?, mo?esz u?y? nast?puj?cej formu?y:

S = 1/2 ?P?r, gdzie r to promie? okr?gu (wpisanego lub opisanego), a P to obw?d geometrycznej figury wielok?tnej, kt?ry mo?na znale?? mno??c liczb? bok?w figury przez ich d?ugo??.

Jak znale?? obszar wielok?ta?

Aby odpowiedzie? na pytanie, jak znale?? obszar wielok?ta, wystarczy post?powa? zgodnie z nast?puj?c? interesuj?c? w?a?ciwo?ci? figury wielok?ta, kt?r? kiedy? odkry? s?ynny austriacki matematyk Georg Pick. Na przyk?ad za pomoc? wzoru S = N + M/2 -1 mo?na znale?? obszar takiego wielok?ta, kt?rego wierzcho?ki znajduj? si? w w?z?ach siatki kwadratowej. W tym przypadku S jest odpowiednio obszarem; N - liczba w?z??w siatki kwadratowej, kt?re znajduj? si? wewn?trz figury z wieloma naro?nikami; M to liczba tych w?z??w siatki kwadratowej, kt?re znajduj? si? na wierzcho?kach i bokach wielok?ta. Jednak pomimo swojego pi?kna formu?a Picka praktycznie nie jest stosowana w praktycznej geometrii.

Najprostsz? i najbardziej znan? metod? wyznaczania obszaru, kt?r? bada si? w szkole, jest podzia? wielok?tnej figury geometrycznej na prostsze cz??ci (trapezoidy, prostok?ty, tr?jk?ty). Znalezienie obszaru tych figur nie jest trudne. W tym przypadku obszar wielok?ta jest okre?lany po prostu: musisz znale?? obszary wszystkich figur, na kt?re podzielony jest wielok?t.

Zasadniczo definicja obszaru wielok?ta jest okre?lana w mechanice (wymiary cz??ci).

1.1 Obliczanie obszar?w w staro?ytno?ci

1.2 R??ne podej?cia do badania poj?? „obszar”, „wielok?t”, „obszar wielok?ta”

1.2.1 Poj?cie obszaru. W?a?ciwo?ci obszaru

1.2.2 Poj?cie wielok?ta

1.2.3 Poj?cie obszaru wielok?ta. Opisowa definicja

1.3 R??ne wzory na obszary wielok?t?w

1.4 Wyprowadzanie wzor?w na pole wielok?ta

1.4.1 Obszar tr?jk?ta. Formu?a Herona

1.4.2 Powierzchnia prostok?ta

1.4.3 Powierzchnia trapezu

1.4.4 Powierzchnia czworoboku

1.4.5 Uniwersalna formu?a

1.4.6 Powierzchnia n-gonu

1.4.7 Obliczanie powierzchni wielok?ta ze wsp??rz?dnych jego wierzcho?k?w

1.4.8 Wybierz formu??

1.5 Twierdzenie Pitagorasa o sumie p?l kwadrat?w zbudowanych na nogach tr?jk?ta prostok?tnego

1.6 R?wnowa?no?? tr?jk?t?w. Twierdzenie Bogliaia-Gervina

1.7 Stosunek obszar?w podobnych tr?jk?t?w

1.8 Figury o najwi?kszej powierzchni

1.8.1 Trapez lub prostok?t

1.8.2 Niezwyk?a w?asno?? kwadratu

1.8.3 Dzia?ki o r??nym kszta?cie

1.8.4 Tr?jk?t o najwi?kszej powierzchni

Rozdzia? 2. Metodyczne cechy badania obszar?w wielok?t?w na zaj?ciach matematycznych

2.1 Planowanie tematyczne i cechy nauczania w klasach z pog??bion? nauk? matematyki

2.2 Metodologia lekcji

2.3 Wyniki prac eksperymentalnych

Wniosek

Literatura

Wst?p

Temat „Obszar wielok?t?w” jest integraln? cz??ci? szkolnego kursu matematyki, co jest ca?kiem naturalne. Rzeczywi?cie, historycznie samo pojawienie si? geometrii wi??e si? z potrzeb? por?wnywania dzia?ek w takiej czy innej formie. Jednocze?nie nale?y zauwa?y?, ?e mo?liwo?ci edukacyjne ujawnienia tego tematu w szkole ?redniej s? dalekie od pe?nego wykorzystania.

G??wnym zadaniem nauczania matematyki w szkole jest zapewnienie silnego i ?wiadomego opanowania systemu wiedzy i umiej?tno?ci matematycznych niezb?dnych ka?demu cz?onkowi wsp??czesnego spo?ecze?stwa w ?yciu codziennym i pracy, wystarczaj?cego do studiowania pokrewnych dyscyplin i kontynuowania nauki.

Wraz z rozwi?zaniem g??wnego zadania dog??bna nauka matematyki zapewnia kszta?towanie sta?ego zainteresowania tematem u uczni?w, identyfikacj? i rozw?j ich zdolno?ci matematycznych, orientacj? na zawody, kt?re s? w znacznym stopniu zwi?zane z matematyk?, i przygotowanie do studiowania na uniwersytecie.

Praca kwalifikacyjna obejmuje tre?? kursu matematyki szko?y og?lnokszta?c?cej oraz szereg pyta? dodatkowych, kt?re bezpo?rednio z tym kursem s?siaduj? i pog??biaj? go w g??wnych nurtach ideologicznych.

W??czenie dodatkowych pyta? s?u?y dw?m powi?zanym ze sob? celom. Z jednej strony jest to stworzenie, w po??czeniu z g??wnymi sekcjami kursu, bazy do zaspokojenia zainteresowa? i rozwijania umiej?tno?ci uczni?w z zami?owaniem do matematyki, z drugiej za? wype?nienie znacz?cych luk w danie g??wne, nadaj?c tre?ci pog??bionej analizy niezb?dn? integralno??.

Praca kwalifikacyjna sk?ada si? ze wst?pu, dw?ch rozdzia??w, zako?czenia oraz cytowanej literatury. W pierwszym rozdziale om?wiono teoretyczne podstawy badania obszar?w wielok?t?w, a drugi rozdzia? bezpo?rednio dotyczy metodologicznych cech badania obszar?w.

Rozdzia? 1

1.1 Obliczanie obszar?w w staro?ytno?ci

Podstawy wiedzy geometrycznej zwi?zane z pomiarem powierzchni gin? w g??binach tysi?cleci.

Ju? 4-5 tysi?cy lat temu Babilo?czycy byli w stanie okre?li? obszar prostok?ta i trapezu w jednostkach kwadratowych. Kwadrat od dawna s?u?y? jako standard pomiaru powierzchni ze wzgl?du na wiele jego niezwyk?ych w?a?ciwo?ci: r?wne boki, r?wne i proste k?ty, symetri? i og?ln? doskona?o?? formy. Kwadraty s? ?atwe do zbudowania lub mo?esz wype?ni? p?aszczyzn? bez przerw.

W staro?ytnych Chinach miar? powierzchni by? prostok?t. Kiedy murarze okre?lali powierzchni? prostok?tnej ?ciany domu, mno?yli wysoko?? i szeroko?? ?ciany. Jest to przyj?ta definicja w geometrii: powierzchnia prostok?ta jest r?wna iloczynowi jego s?siednich bok?w. Obie te strony musz? by? wyra?one w tych samych jednostkach liniowych. Ich iloczynem b?dzie powierzchnia prostok?ta wyra?ona w odpowiednich jednostkach kwadratowych. Za???my, ?e je?li wysoko?? i szeroko?? ?ciany s? mierzone w decymetrach, to iloczyn obu pomiar?w b?dzie wyra?ony w decymetrach kwadratowych. A je?li powierzchnia ka?dej dzia?ki licowej jest decymetrem kwadratowym, wynikowy produkt wska?e liczb? p?ytek potrzebnych do licowania. Wynika to ze stwierdzenia le??cego u podstaw pomiaru powierzchni: pole figury sk?adaj?cej si? z nieprzecinaj?cych si? figur jest r?wne sumie ich p?l.

Staro?ytni Egipcjanie 4000 lat temu stosowali prawie te same techniki, co my do mierzenia powierzchni prostok?ta, tr?jk?ta i trapezu: podstawa tr?jk?ta zosta?a podzielona na p?? i pomno?ona przez wysoko??; w przypadku trapezu suma bok?w r?wnoleg?ych zosta?a podzielona na p?? i pomno?ona przez wysoko?? i tak dalej. Aby obliczy? powierzchni?

czworok?tny z bokami (rys. 1.1), zastosowano wz?r (1.1)

tych. pomno?ono p??sumy przeciwnych stron.

Wz?r ten jest oczywi?cie niepoprawny dla ka?dego czworoboku, wynika z niego w szczeg?lno?ci, ?e pola wszystkich romb?w s? takie same. Tymczasem oczywiste jest, ?e pola takich romb?w zale?? od wielko?ci k?t?w na wierzcho?kach. Ta formu?a dotyczy tylko prostok?ta. Za jego pomoc? mo?esz w przybli?eniu obliczy? obszar czworok?t?w, w kt?rych k?ty s? zbli?one do prawej.

Aby okre?li? obszar

tr?jk?t r?wnoramienny (ryc. 1.2), w kt?rym Egipcjanie zastosowali przybli?ony wz?r:
(1.2) Rys. 1.2 B??d pope?niony w tym przypadku jest tym mniejszy, tym mniejsza r??nica mi?dzy bokiem a wysoko?ci? tr?jk?ta, innymi s?owy, im bli?ej g?ry (i) podstawy wysoko?ci od. Dlatego przybli?ona formu?a (1.2) ma zastosowanie tylko do tr?jk?t?w o stosunkowo ma?ym k?cie wierzcho?kowym.

Ale ju? staro?ytni Grecy wiedzieli, jak poprawnie znale?? obszary wielok?t?w. W swoich Elementach Euklides nie u?ywa s?owa „obszar”, poniewa? przez samo s?owo „figura” rozumie cz??? p?aszczyzny ograniczonej jedn? lub drug? zamkni?t? lini?. Euclid nie wyra?a wyniku pomiaru obszaru jako liczby, ale por?wnuje ze sob? obszary r??nych figur.

Podobnie jak inni naukowcy staro?ytno?ci, Euklides zajmuje si? przekszta?caniem niekt?rych postaci w inne, s? one r?wnej wielko?ci. Powierzchnia figury z?o?onej nie zmieni si?, je?li jej cz??ci zostan? u?o?one inaczej, ale bez przecinania si?. Dlatego na przyk?ad mo?na na podstawie wzor?w na obszar prostok?ta znale?? wzory na obszary innych figur. Tak wi?c tr?jk?t jest podzielony na takie cz??ci, z kt?rych mo?na nast?pnie zrobi? z niego prostok?t o r?wnej powierzchni. Z tej konstrukcji wynika, ?e powierzchnia tr?jk?ta jest r?wna po?owie iloczynu jego podstawy i wysoko?ci. Odwo?uj?c si? do takiego przerysowania, stwierdzaj?, ?e powierzchnia r?wnoleg?oboku jest r?wna iloczynowi podstawy i wysoko?ci, powierzchnia trapezu jest iloczynem po?owy sumy podstaw i wysoko?ci.

Kiedy murarze musz? u?o?y? ?cian? o z?o?onej konfiguracji, mog? okre?li? powierzchni? ?ciany, licz?c liczb? p?ytek, kt?re zosta?y w?o?one do p?ytek. Niekt?re p?ytki b?d? oczywi?cie musia?y zosta? rozdrobnione, aby kraw?dzie ok?adziny pokrywa?y si? z kraw?dzi? ?ciany. Liczba wszystkich p?ytek, kt?re wesz?y do pracy, ocenia powierzchni? ?ciany z nadmiarem, liczba p?ytek nie?amanych - z wad?. Wraz ze zmniejszaniem si? wielko?ci kom?rek zmniejsza si? ilo?? odpad?w, a powierzchnia ?ciany, okre?lona przez liczb? p?ytek, jest coraz dok?adniej obliczana.

Jednym z p??nych greckich matematyk?w - encyklopedyst?w, kt?rych prace mia?y g??wnie zastosowanie w przyrodzie, by? ?yj?cy w I wieku Czapla z Aleksandrii. n. mi. B?d?c wybitnym in?ynierem, nazywany by? tak?e „Czapl? Mechanikiem”. W swojej pracy Dioptrics Heron opisuje r??ne maszyny i praktyczne przyrz?dy pomiarowe.

Jedna z ksi??ek Herona zosta?a nazwana przez niego „Geometri?” i jest rodzajem zbioru wzor?w i odpowiadaj?cych im problem?w. Zawiera przyk?ady obliczania p?l kwadrat?w, prostok?t?w i tr?jk?t?w. Czapla pisze o znalezieniu obszaru tr?jk?ta wzd?u? jego bok?w: „Niech na przyk?ad jeden bok tr?jk?ta ma d?ugo?? 13 zmierzonych sznur?w, drugi 14, a trzeci 15. Aby znale?? obszar, wykonaj nast?puj?ce czynno?ci . Dodaj 13, 14 i 15; otrzymasz 42. Po?owa z tego to 21. Odejmij od tych trzech stron jeden po drugim; najpierw odejmij 13 - pozostaje 8, potem 14 - pozostaje 7, a na ko?cu 15 - pozostaje 6. Teraz pomn?? je: 21 razy 8 da 168, we? to 7 razy - otrzymasz 1176, a to jeszcze 6 razy - ty zdob?d? 7056. St?d pierwiastek kwadratowy wyniesie 84. Tyle sznur?w pomiarowych b?dzie w obszarze tr?jk?ta.