Gauss eritmasi. Gauss usuli (noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish). Qo'g'irchoqlar uchun echimlarga misollar

Yechilishi kerak bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimi berilsin (tizimning har bir tenglamasini tenglikka aylantiradigan xi noma'lum qiymatlarini toping).

Biz bilamizki, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi:

1) Hech qanday yechim yo'q (bo'lishi qo'shma bo'lmagan).
2) Cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ling.
3) Yagona yechimga ega bo'ling.

Esda tutganimizdek, Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki mos kelmaydigan hollarda mos kelmaydi. Gauss usuli – har qanday chiziqli tenglamalar tizimining yechimlarini topish uchun eng kuchli va ko'p qirrali vosita, qaysi har holda bizni javobga olib boradi! Usul algoritmining o'zi uchta holatda ham bir xil ishlaydi. Agar Kramer va matritsa usullari determinantlarni bilishni talab qilsa, Gauss usulini qo'llash uchun siz faqat arifmetik amallarni bilishingiz kerak, bu esa uni hatto boshlang'ich sinf o'quvchilari uchun ham ochiq qiladi.

Kengaytirilgan matritsa konvertatsiyalari ( bu tizimning matritsasi - faqat noma'lumlar koeffitsientlaridan tashkil topgan matritsa, ortiqcha erkin shartlar ustuni) Gauss usulida chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari:

1) Bilan troki matritsalar mumkin qayta tartibga solish ba'zi joylarda.

2) agar matritsada proportsional (alohida holatda - bir xil) qatorlar paydo bo'lsa (yoki mavjud bo'lsa), unda siz o'chirish Bu satrlarning barchasi bittadan tashqari matritsadan.

3) agar transformatsiyalar paytida matritsada nol qator paydo bo'lsa, u ham bo'lishi kerak o'chirish.

4) matritsaning qatori bo'lishi mumkin ko'paytirish (bo'lish) noldan boshqa istalgan raqamga.

5) matritsaning qatoriga mumkin raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing, noldan farq qiladi.

Gauss usulida elementar o‘zgartirishlar tenglamalar sistemasi yechimini o‘zgartirmaydi.

Gauss usuli ikki bosqichdan iborat:

"To'g'ridan-to'g'ri harakat" - elementar transformatsiyalardan foydalanib, chiziqli algebraik tenglamalar tizimining kengaytirilgan matritsasini "uchburchak" bosqichli shaklga keltiring: kengaytirilgan matritsaning asosiy diagonal ostida joylashgan elementlari nolga teng (yuqoridan pastga siljish). Masalan, ushbu turga:

Buning uchun quyidagi amallarni bajaring:

1) Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining birinchi tenglamasini ko'rib chiqamiz va x 1 uchun koeffitsient K ga teng. Ikkinchi, uchinchi va hokazo. tenglamalarni quyidagicha o'zgartiramiz: har bir tenglamani (noma'lumlar koeffitsientlari, shu jumladan, erkin shartlar) har bir tenglamada bo'lgan noma'lum x 1 koeffitsientiga bo'linadi va K ga ko'paytiriladi. Shundan so'ng biz birinchisini ayirib tashlaymiz. ikkinchi tenglama (noma'lumlar va erkin hadlar koeffitsientlari). Ikkinchi tenglamadagi x 1 uchun biz 0 koeffitsientini olamiz. Uchinchi o'zgartirilgan tenglamadan birinchidan tashqari barcha tenglamalar 0 koeffitsientiga ega bo'lguncha ayiriladi.

2) Keyingi tenglamaga o'tamiz. Bu ikkinchi tenglama va x 2 uchun koeffitsient M ga teng bo'lsin. Yuqorida ta'riflanganidek, barcha "pastki" tenglamalar bilan davom etamiz. Shunday qilib, noma'lum x 2 "ostida" barcha tenglamalarda nollar bo'ladi.

3) Keyingi tenglamaga o'ting va shunga o'xshash oxirgi noma'lum va o'zgartirilgan erkin atama qolguncha davom eting.

Gauss usulining "teskari harakati" chiziqli algebraik tenglamalar tizimining yechimini olishdir ("pastdan yuqoriga" harakat). Oxirgi "pastki" tenglamadan biz bitta birinchi yechimni olamiz - noma'lum x n. Buning uchun A * x n = B elementar tenglamani yechamiz. Yuqorida keltirilgan misolda x 3 = 4. Topilgan qiymatni keyingi “yuqori” tenglamaga almashtiramiz va uni keyingi noma’lumga nisbatan yechamiz. Misol uchun, x 2 - 4 = 1, ya'ni. x 2 = 5. Va hokazo, biz barcha noma'lumlarni topmagunimizcha.

Misol.

Ba'zi mualliflar maslahat berganidek, Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echaylik:

Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

Biz yuqori chap "qadam" ga qaraymiz. Bizda bitta bo'lishi kerak. Muammo shundaki, birinchi ustunda umuman birliklar yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish hech narsani hal qilmaydi. Bunday hollarda birlik elementar transformatsiya yordamida tashkil etilishi kerak. Bu odatda bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Keling buni qilamiz:
1 qadam . Birinchi qatorga biz ikkinchi qatorni qo'shamiz, -1 ga ko'paytiriladi. Ya'ni, biz aqliy ravishda ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytirdik va birinchi va ikkinchi qatorlarni qo'shdik, ikkinchi qator esa o'zgarmadi.

Endi yuqori chap tomonda "minus bir" bor, bu bizga juda mos keladi. +1 olishni istagan har bir kishi qo'shimcha amalni bajarishi mumkin: birinchi qatorni -1 ga ko'paytiring (uning belgisini o'zgartiring).

2-qadam . 5 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.

3-qadam . Birinchi qator -1 ga ko'paytirildi, qoida tariqasida, bu go'zallik uchun. Uchinchi qatorning belgisi ham o'zgartirildi va u ikkinchi o'ringa ko'chirildi, shuning uchun ikkinchi "qadam" da biz kerakli birlikka ega bo'ldik.

4-qadam . Uchinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, 2 ga ko'paytirildi.

5-qadam . Uchinchi qator 3 ga bo'lingan.

Hisoblashda xatolikni ko'rsatadigan belgi (kamdan-kam hollarda matn terish xatosi) "yomon" pastki chiziqdir. Ya'ni, agar biz quyida (0 0 11 |23) va shunga mos ravishda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 kabi biror narsaga ega bo'lsak, unda yuqori ehtimollik bilan biz elementar dars paytida xatolikka yo'l qo'yilgan deb aytishimiz mumkin. transformatsiyalar.

Buning teskarisini qilaylik; misollarni loyihalashda tizimning o'zi ko'pincha qayta yozilmaydi, lekin tenglamalar "to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsadan olinadi". Teskari harakat, eslataman, pastdan yuqoriga ishlaydi. Ushbu misolda natija sovg'a bo'ldi:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, shuning uchun x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Javob:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Keling, taklif qilingan algoritm yordamida bir xil tizimni hal qilaylik. olamiz

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Ikkinchi tenglamani 5 ga, uchinchisini esa 3 ga bo'ling.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Ikkinchi va uchinchi tenglamalarni 4 ga ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ikkinchi va uchinchi tenglamalardan birinchi tenglamani ayirsak, bizda:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Uchinchi tenglamani 0,64 ga bo'ling:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Uchinchi tenglamani 0,4 ga ko'paytiring

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Uchinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, biz "bosqichli" kengaytirilgan matritsani olamiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Shunday qilib, hisob-kitoblar paytida xatolik to'planganligi sababli, biz x 3 = 0,96 yoki taxminan 1 ni olamiz.

x 2 = 3 va x 1 = -1.

Shu tarzda yechish orqali siz hech qachon hisob-kitoblarda adashmaysiz va hisoblash xatolariga qaramay, natijaga erishasiz.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning bu usuli oson dasturlashtiriladi va noma'lumlar uchun koeffitsientlarning o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olmaydi, chunki amalda (iqtisodiy va texnik hisoblarda) butun bo'lmagan koeffitsientlar bilan shug'ullanish kerak.

Omad tilayman! Sinfda ko'rishguncha! Repetitor Dmitriy Aystraxanov.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Ushbu maqolada usul chiziqli tenglamalar tizimini (SLAE) echish usuli sifatida ko'rib chiqiladi. Usul analitikdir, ya'ni yechim algoritmini umumiy shaklda yozishga imkon beradi va keyin u erda aniq misollardagi qiymatlarni almashtirishga imkon beradi. Matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan farqli o'laroq, Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechishda siz cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lganlar bilan ham ishlashingiz mumkin. Yoki ularda umuman yo'q.

Gauss usuli yordamida yechish nimani anglatadi?

Birinchidan, biz tenglamalar sistemamizni quyidagicha yozishimiz kerak. Tizimni oling:

Koeffitsientlar jadval shaklida, erkin shartlar esa o'ng tomonda alohida ustunga yoziladi. Erkin shartli ustun qulaylik uchun ajratilgan.Ushbu ustunni o'z ichiga olgan matritsa kengaytirilgan deb ataladi.

Keyinchalik, koeffitsientli asosiy matritsa yuqori uchburchak shaklga tushirilishi kerak. Bu Gauss usuli yordamida tizimni yechishning asosiy nuqtasidir. Oddiy qilib aytganda, ma'lum manipulyatsiyalardan so'ng, matritsa shunday ko'rinishi kerakki, uning pastki chap qismida faqat nol bo'ladi:

Keyin, agar siz yangi matritsani yana tenglamalar tizimi sifatida yozsangiz, oxirgi qatorda ildizlardan birining qiymati allaqachon mavjud bo'lib, keyin yuqoridagi tenglamaga almashtiriladi, boshqa ildiz topiladi va hokazo.

Bu Gauss usuli bo'yicha yechimning eng umumiy ma'noda tavsifi. Agar to'satdan tizim hech qanday yechim topmasa nima bo'ladi? Yoki ularning soni cheksiz ko'pmi? Bu va boshqa ko'plab savollarga javob berish uchun Gauss usulini yechishda qo'llaniladigan barcha elementlarni alohida ko'rib chiqish kerak.

Matritsalar, ularning xossalari

Matritsada yashirin ma'no yo'q. Bu shunchaki u bilan keyingi operatsiyalar uchun ma'lumotlarni yozib olishning qulay usuli. Hatto maktab o'quvchilari ham ulardan qo'rqishlari shart emas.

Matritsa har doim to'rtburchaklar shaklida bo'ladi, chunki u qulayroqdir. Hatto Gauss usulida ham, hamma narsa uchburchak shakldagi matritsani qurishdan kelib chiqadi, yozuvda to'rtburchaklar paydo bo'ladi, faqat raqamlar bo'lmagan joyda nol mavjud. Nollar yozilmasligi mumkin, lekin ular nazarda tutilgan.

Matritsaning o'lchami bor. Uning "kengligi" - qatorlar soni (m), "uzunligi" - ustunlar soni (n). Keyin A matritsasining o'lchami (ularni belgilash uchun odatda bosh lotin harflari ishlatiladi) A mxn sifatida belgilanadi. Agar m=n bo'lsa, bu matritsa kvadrat, m=n esa uning tartibi. Shunga ko'ra, A matritsaning istalgan elementini uning satr va ustun raqamlari bilan belgilash mumkin: a xy ; x - qator raqami, o'zgarishlar, y - ustun raqami, o'zgarishlar.

B qarorning asosiy nuqtasi emas. Asosan, barcha operatsiyalar to'g'ridan-to'g'ri tenglamalarning o'zlari bilan bajarilishi mumkin, ammo yozuv ancha og'irroq bo'ladi va unda chalkashlik osonroq bo'ladi.

Aniqlovchi

Matritsaning determinanti ham bor. Bu juda muhim xususiyatdir. Endi uning ma'nosini aniqlashning hojati yo'q, siz shunchaki uning qanday hisoblanganligini ko'rsatishingiz va keyin matritsaning qaysi xususiyatlarini aniqlayotganini aytishingiz mumkin. Determinantni topishning eng oson yo'li diagonallardir. Matritsada xayoliy diagonallar chiziladi; ularning har birida joylashgan elementlar ko'paytiriladi, so'ngra hosil bo'lgan mahsulotlar qo'shiladi: o'ngga qiyalik bilan diagonallar - ortiqcha belgisi bilan, chap tomonda - minus belgisi bilan.

Shuni ta'kidlash kerakki, determinant faqat kvadrat matritsa uchun hisoblanishi mumkin. To'g'ri to'rtburchaklar matritsa uchun siz quyidagilarni qilishingiz mumkin: satrlar soni va ustunlar sonidan eng kichigini tanlang (u k bo'lsin), so'ngra matritsadagi k ustun va k qatorni tasodifiy belgilang. Tanlangan ustunlar va qatorlar kesishmasidagi elementlar yangi kvadrat matritsa hosil qiladi. Agar bunday matritsaning determinanti nolga teng bo'lmagan son bo'lsa, u dastlabki to'rtburchaklar matritsaning bazis minori deb ataladi.

Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini echishni boshlashdan oldin, determinantni hisoblash zarar qilmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, biz darhol aytishimiz mumkinki, matritsada cheksiz miqdordagi echimlar mavjud yoki umuman yo'q. Bunday qayg'uli holatda siz oldinga borib, matritsaning darajasi haqida bilib olishingiz kerak.

Tizim tasnifi

Matritsaning darajasi kabi narsa bor. Bu uning nolga teng bo'lmagan determinantining maksimal tartibi (agar biz bazis minor haqida eslasak, matritsaning darajasi bazis minorning tartibi deb aytishimiz mumkin).

Darajali vaziyatga qarab, SLAE quyidagilarga bo'linishi mumkin:

Birgalikda. U Qo'shma tizimlarda asosiy matritsaning darajasi (faqat koeffitsientlardan iborat) kengaytirilgan matritsaning darajasiga to'g'ri keladi (erkin atamalar ustuni bilan). Bunday tizimlar yechimga ega, ammo bitta emas, shuning uchun qo'shimcha tizimlar quyidagilarga bo'linadi:
- aniq- yagona yechimga ega bo'lish. Muayyan tizimlarda matritsaning darajasi va noma'lumlar soni (yoki bir xil bo'lgan ustunlar soni) tengdir;
- aniqlanmagan - cheksiz ko'p echimlar bilan. Bunday sistemalarda matritsalar darajasi noma'lumlar sonidan kamroq.
Mos kelmaydi. U Bunday tizimlarda asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari bir-biriga mos kelmaydi. Mos kelmaydigan tizimlarning yechimi yo'q.

Gauss usuli yaxshi, chunki yechim davomida u tizimning nomuvofiqligini aniq isbotini (katta matritsalarning determinantlarini hisoblamasdan) yoki cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lgan tizim uchun umumiy shakldagi yechimni olishga imkon beradi.

Elementar transformatsiyalar

Tizimni to'g'ridan-to'g'ri echishga o'tishdan oldin, siz uni kamroq noqulay va hisob-kitoblar uchun qulayroq qilishingiz mumkin. Bunga elementar transformatsiyalar orqali erishiladi - ularni amalga oshirish yakuniy javobni hech qanday tarzda o'zgartirmaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, berilgan elementar o'zgarishlarning ba'zilari faqat manbasi SLAE bo'lgan matritsalar uchun amal qiladi. Mana bu o'zgarishlar ro'yxati:

Chiziqlarni qayta tartibga solish. Shubhasiz, agar siz tizim yozuvidagi tenglamalar tartibini o'zgartirsangiz, bu hech qanday tarzda yechimga ta'sir qilmaydi. Binobarin, ushbu tizim matritsasidagi satrlar ham almashtirilishi mumkin, albatta, erkin shartlar ustunini unutmaslik kerak.
Satrning barcha elementlarini ma'lum bir koeffitsientga ko'paytirish. Juda foydali! U matritsadagi katta sonlarni kamaytirish yoki nollarni olib tashlash uchun ishlatilishi mumkin. Ko'pgina qarorlar, odatdagidek, o'zgarmaydi, ammo keyingi operatsiyalar yanada qulayroq bo'ladi. Asosiysi, koeffitsient nolga teng emas.
Proportsional omillar bilan qatorlarni olib tashlash. Bu qisman oldingi paragrafdan kelib chiqadi. Agar matritsadagi ikki yoki undan ortiq satrlar proportsional koeffitsientlarga ega bo'lsa, satrlardan biri proportsionallik koeffitsientiga ko'paytirilganda/bo'linganda ikkita (yoki yana, ko'proq) mutlaqo bir xil qatorlar olinadi va qo'shimchalarni olib tashlash mumkin. faqat bitta.
Null qatorni olib tashlash. Agar transformatsiya paytida barcha elementlar, shu jumladan erkin atama nolga teng bo'lgan joyda qator olingan bo'lsa, unda bunday qatorni nol deb atash va matritsadan chiqarib tashlash mumkin.
Bir qatorning elementlariga boshqasining elementlarini qo'shish (tegishli ustunlarda), ma'lum bir koeffitsientga ko'paytiriladi. Eng noaniq va eng muhim transformatsiya. Bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tishga arziydi.

Koeffitsientga ko'paytirilgan qatorni qo'shish

Tushunish qulayligi uchun ushbu jarayonni bosqichma-bosqich buzishga arziydi. Matritsadan ikkita qator olinadi:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Aytaylik, birinchisini ikkinchisiga qo'shish kerak, "-2" koeffitsientiga ko'paytiriladi.

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Keyin matritsadagi ikkinchi qator yangisi bilan almashtiriladi va birinchisi o'zgarishsiz qoladi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Shuni ta'kidlash kerakki, ko'paytirish koeffitsienti ikkita qatorni qo'shish natijasida yangi qatorning elementlaridan biri nolga teng bo'ladigan tarzda tanlanishi mumkin. Shuning uchun, bir kam noma'lum bo'lgan tizimda tenglamani olish mumkin. Va agar siz ikkita shunday tenglamani olsangiz, unda operatsiya yana bajarilishi mumkin va ikkita kamroq noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamani olishingiz mumkin. Va agar siz har safar asl satrdan past bo'lgan barcha qatorlarning bitta koeffitsientini nolga aylantirsangiz, unda siz zinapoyalar kabi matritsaning eng pastki qismiga tushib, bitta noma'lum tenglamani olishingiz mumkin. Bu tizimni Gauss usuli yordamida yechish deyiladi.

Umuman

Tizim bo'lsin. U m tenglama va n ta noma'lum ildizga ega. Siz buni quyidagicha yozishingiz mumkin:

Asosiy matritsa tizim koeffitsientlaridan tuzilgan. Kengaytirilgan matritsaga bepul shartlar ustuni qo'shiladi va qulaylik uchun chiziq bilan ajratiladi.

matritsaning birinchi qatori k = (-a 21 /a 11) koeffitsientiga ko'paytiriladi;
matritsaning birinchi o'zgartirilgan qatori va ikkinchi qatori qo'shiladi;
ikkinchi qator o‘rniga matritsaga oldingi banddagi qo‘shimchaning natijasi kiritiladi;
endi yangi ikkinchi qatordagi birinchi koeffitsient 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Endi bir xil transformatsiyalar seriyasi amalga oshiriladi, faqat birinchi va uchinchi qatorlar ishtirok etadi. Shunga ko'ra, algoritmning har bir bosqichida a 21 elementi 31 ga almashtiriladi. Keyin hamma narsa 41, ... a m1 uchun takrorlanadi. Natijada qatorlardagi birinchi element nolga teng bo'lgan matritsa hosil bo'ladi. Endi siz birinchi qatorni unutishingiz va ikkinchi qatordan boshlab bir xil algoritmni bajarishingiz kerak:

koeffitsient k = (-a 32 /a 22);
ikkinchi o'zgartirilgan qator "joriy" qatorga qo'shiladi;
qo'shimchaning natijasi uchinchi, to'rtinchi va shunga o'xshash qatorlarga almashtiriladi, birinchi va ikkinchi o'zgarishsiz qoladi;
matritsaning qatorlarida birinchi ikkita element allaqachon nolga teng.

Algoritmni k = (-a m,m-1 /a mm) koeffitsienti paydo bo'lguncha takrorlash kerak. Bu shuni anglatadiki, oxirgi marta algoritm faqat pastki tenglama uchun bajarilgan. Endi matritsa uchburchakka o'xshaydi yoki pog'onali shaklga ega. Pastki qatorda a mn x x n = b m tenglik mavjud. Koeffitsient va erkin muddat ma'lum va ildiz ular orqali ifodalanadi: x n = b m /a mn. X n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1 ni topish uchun olingan ildiz yuqori qatorga almashtiriladi. Va shunga o'xshash tarzda: har bir keyingi qatorda yangi ildiz mavjud va tizimning "yuqori" ga etib, siz ko'plab echimlarni topishingiz mumkin. Bu yagona bo'ladi.

Yechimlar bo'lmaganda

Agar matritsa qatorlaridan birida erkin haddan tashqari barcha elementlar nolga teng bo'lsa, bu qatorga mos keladigan tenglama 0 = b ko'rinadi. Buning yechimi yo'q. Va bunday tenglama tizimga kiritilganligi sababli, butun tizimning echimlar to'plami bo'sh, ya'ni degenerativdir.

Cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lganda

Berilgan uchburchak matritsada tenglamaning bitta koeffitsientli elementi va bitta erkin a'zosi bo'lgan qatorlar bo'lmasligi mumkin. Qayta yozilsa, ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamaga o'xshab ketadigan faqat satrlar mavjud. Bu shuni anglatadiki, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Bunday holda, javob umumiy yechim shaklida berilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?

Matritsadagi barcha o'zgaruvchilar asosiy va erkin bo'linadi. Asosiy bo'lganlar qadam matritsasidagi qatorlarning "chekkasida" turadiganlardir. Qolganlari bepul. Umumiy yechimda asosiy o'zgaruvchilar bepullar orqali yoziladi.

Qulaylik uchun matritsa birinchi navbatda tenglamalar tizimiga qayta yoziladi. Keyin ularning oxirgisida, faqat bitta asosiy o'zgaruvchi qolgan joyda, u bir tomonda qoladi, qolganlari esa boshqasiga o'tkaziladi. Bu bitta asosiy o'zgaruvchiga ega bo'lgan har bir tenglama uchun amalga oshiriladi. Keyin, qolgan tenglamalarda, iloji bo'lsa, asosiy o'zgaruvchi o'rniga uning uchun olingan ifoda almashtiriladi. Agar natija yana bitta asosiy o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda bo'lsa, u yana o'sha yerdan ifodalanadi va har bir asosiy o'zgaruvchi erkin o'zgaruvchilarga ega ifoda sifatida yozilgunga qadar davom etadi. Bu SLAE ning umumiy yechimidir.

Shuningdek, siz tizimning asosiy yechimini topishingiz mumkin - bepul o'zgaruvchilarga har qanday qiymatlarni bering, so'ngra ushbu aniq holat uchun asosiy o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisoblang. Berilishi mumkin bo'lgan cheksiz miqdordagi maxsus echimlar mavjud.

Muayyan misollar bilan yechim

Bu erda tenglamalar tizimi mavjud.

Qulaylik uchun darhol uning matritsasini yaratish yaxshiroqdir

Ma'lumki, Gauss usuli bilan yechilganda birinchi qatorga mos keladigan tenglama o'zgartirishlar oxirida o'zgarishsiz qoladi. Shuning uchun, agar matritsaning yuqori chap elementi eng kichik bo'lsa, foydaliroq bo'ladi - keyin operatsiyalardan keyin qolgan qatorlarning birinchi elementlari nolga aylanadi. Bu shuni anglatadiki, tuzilgan matritsada birinchi qatorning o'rniga ikkinchi qatorni qo'yish foydali bo'ladi.

ikkinchi qator: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + kxa 11 = 3 + (-3)x1 = 0

a" 22 = a 22 + kxa 12 = -1 + (-3)x2 = -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b" 2 = b 2 + kxb 1 = 12 + (-3)x12 = -24

uchinchi qator: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b" 3 = b 3 + kxb 1 = 3 + (-5)x12 = -57

Endi, chalkashmaslik uchun, o'zgarishlarning oraliq natijalari bilan matritsani yozishingiz kerak.

Shubhasiz, bunday matritsani ma'lum operatsiyalar yordamida idrok etish uchun qulayroq qilish mumkin. Misol uchun, har bir elementni "-1" ga ko'paytirish orqali ikkinchi qatordan barcha "minuslarni" olib tashlashingiz mumkin.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, uchinchi qatorda barcha elementlar uchga ko'paytiriladi. Keyin har bir elementni "-1/3" ga ko'paytirib, satrni bu raqam bilan qisqartirishingiz mumkin (minus - bir vaqtning o'zida, salbiy qiymatlarni olib tashlash uchun).

Juda chiroyli ko'rinadi. Endi biz birinchi qatorni yolg'iz qoldirib, ikkinchi va uchinchi bilan ishlashimiz kerak. Vazifa uchinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shish, shunday koeffitsientga ko'paytiriladiki, a 32 elementi nolga teng bo'ladi.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (agar ba'zi o'zgartirishlar paytida javob butun son bo'lmasa, qoldirish uchun hisob-kitoblarning aniqligini saqlash tavsiya etiladi. u oddiy kasrlar ko'rinishida "xuddi" va shundan keyingina, javoblar olingandan so'ng, yaxlitlash va yozishning boshqa shakliga o'tkazish to'g'risida qaror qabul qiling)

a" 32 = a 32 + kxa 22 = 3 + (-3/7)x7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + kxa 23 = 6 + (-3/7)x11 = -9/7

b" 3 = b 3 + kxb 2 = 19 + (-3/7)x24 = -61/7

Matritsa yana yangi qiymatlar bilan yoziladi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ko'rib turganingizdek, natijada olingan matritsa allaqachon bosqichli shaklga ega. Shuning uchun Gauss usuli yordamida tizimni keyingi o'zgartirishlar talab qilinmaydi. Bu erda nima qilishingiz mumkin, uchinchi qatordan "-1/7" umumiy koeffitsientini olib tashlashdir.

Endi hamma narsa chiroyli. Faqat matritsani tenglamalar tizimi shaklida qayta yozish va ildizlarni hisoblash qoladi.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Endi ildizlarni topadigan algoritm Gauss usulida teskari harakat deb ataladi. (3) tenglama z qiymatini o'z ichiga oladi:

y = (24 - 11x(61/9))/7 = -65/9

Va birinchi tenglama bizga x ni topishga imkon beradi:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Bunday tizimni qo'shma va hatto aniq, ya'ni o'ziga xos yechimga ega deb atashga haqlimiz. Javob quyidagi shaklda yoziladi:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Noaniq tizimga misol

Gauss usuli yordamida ma'lum bir tizimni yechish varianti tahlil qilindi, endi tizim noaniq bo'lsa, ya'ni unga cheksiz ko'p echimlarni topish mumkin bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqish kerak.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Tizimning tashqi ko'rinishi allaqachon tashvishli, chunki noma'lumlar soni n = 5 va tizim matritsasi darajasi allaqachon bu raqamdan kamroq, chunki qatorlar soni m = 4, ya'ni determinant-kvadratning eng katta tartibi 4. Bu cheksiz ko'p echimlar mavjudligini anglatadi va siz uning umumiy ko'rinishini izlashingiz kerak. Chiziqli tenglamalar uchun Gauss usuli buni amalga oshirishga imkon beradi.

Birinchidan, odatdagidek, kengaytirilgan matritsa tuziladi.

Ikkinchi qator: koeffitsient k = (-a 21 /a 11) = -3. Uchinchi qatorda birinchi element o'zgarishlardan oldin bo'ladi, shuning uchun siz hech narsaga tegmasligingiz kerak, uni avvalgidek qoldirishingiz kerak. To'rtinchi qator: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Birinchi qatorning elementlarini ularning har bir koeffitsientiga navbat bilan ko'paytirish va kerakli qatorlarga qo'shish orqali biz quyidagi ko'rinishdagi matritsani olamiz:

Ko'rib turganingizdek, ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlar bir-biriga proportsional elementlardan iborat. Ikkinchi va to'rtinchisi odatda bir xil, shuning uchun ulardan birini darhol olib tashlash mumkin, qolganini esa "-1" koeffitsientiga ko'paytirish va 3-qatorni olish mumkin. Va yana ikkita bir xil satrdan bittasini qoldiring.

Natijada shunday matritsa hosil bo'ladi. Tizim hali yozilmagan bo'lsa-da, bu erda asosiy o'zgaruvchilarni aniqlash kerak - a 11 = 1 va 22 = 1 koeffitsientlarida turganlar va bo'sh - qolganlari.

Ikkinchi tenglamada faqat bitta asosiy o'zgaruvchi mavjud - x 2. Demak, u yerdan erkin bo'lgan x 3 , x 4 , x 5 o'zgaruvchilari orqali yozish orqali ifodalanishi mumkin.

Olingan ifodani birinchi tenglamaga almashtiramiz.

Natijada yagona asosiy o'zgaruvchi x 1 bo'lgan tenglama hosil bo'ladi. Keling, u bilan x 2 bilan xuddi shunday qilaylik.

Ikkita bo'lgan barcha asosiy o'zgaruvchilar uchta bo'sh o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi; endi javobni umumiy shaklda yozishimiz mumkin.

Shuningdek, siz tizimning alohida yechimlaridan birini belgilashingiz mumkin. Bunday holatlar uchun odatda erkin o'zgaruvchilar uchun qiymat sifatida nollar tanlanadi. Keyin javob shunday bo'ladi:

16, 23, 0, 0, 0.

Kooperativ bo'lmagan tizimga misol

Gauss usuli yordamida mos kelmaydigan tenglamalar tizimini yechish eng tezkor hisoblanadi. Bosqichlardan birida yechimi bo'lmagan tenglama olinishi bilanoq u darhol tugaydi. Ya'ni, ancha uzoq va zerikarli bo'lgan ildizlarni hisoblash bosqichi yo'q qilinadi. Quyidagi tizim hisobga olinadi:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Odatdagidek, matritsa tuziladi:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Va u bosqichma-bosqich shaklga tushiriladi:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Birinchi o'zgartirishdan so'ng, uchinchi qatorda shaklning tenglamasi mavjud

yechimsiz. Shunday qilib, tizim mos kelmaydi va javob bo'sh to'plam bo'ladi.

Usulning afzalliklari va kamchiliklari

Agar siz SLAE ni qog'ozda qalam bilan hal qilishning qaysi usulini tanlasangiz, unda ushbu maqolada muhokama qilingan usul eng jozibali ko'rinadi. Determinant yoki teskari matritsani qo'lda qidirishdan ko'ra, elementar o'zgarishlarda chalkashib ketish ancha qiyin. Biroq, agar siz ushbu turdagi ma'lumotlar bilan ishlash uchun dasturlardan foydalansangiz, masalan, elektron jadvallar, unda bunday dasturlarda matritsalarning asosiy parametrlarini - determinant, minorlar, teskari va boshqalarni hisoblash algoritmlari allaqachon mavjud. Va agar siz mashina bu qiymatlarni o'zi hisoblab chiqishiga va xato qilmasligiga ishonchingiz komil bo'lsa, matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan foydalanish tavsiya etiladi, chunki ularni qo'llash determinantlar va teskari matritsalarni hisoblash bilan boshlanadi va tugaydi. .

Ilova

Gauss yechimi algoritm bo'lgani uchun va matritsa aslida ikki o'lchovli massiv bo'lgani uchun undan dasturlashda foydalanish mumkin. Ammo maqola o'zini "qo'g'irchoqlar uchun" qo'llanma sifatida ko'rsatganligi sababli, usulni qo'yishning eng oson joyi elektron jadvallar, masalan, Excel ekanligini aytish kerak. Shunga qaramay, jadvalga matritsa shaklida kiritilgan har qanday SLAE Excel tomonidan ikki o'lchovli massiv sifatida ko'rib chiqiladi. Va ular bilan operatsiyalar uchun juda ko'p yoqimli buyruqlar mavjud: qo'shish (faqat bir xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shishingiz mumkin!), raqamga ko'paytirish, matritsalarni ko'paytirish (shuningdek, ma'lum cheklovlar bilan), teskari va transpozitsiyalangan matritsalarni topish va eng muhimi , determinantni hisoblash. Agar bu ko'p vaqt talab qiladigan vazifa bitta buyruq bilan almashtirilsa, matritsaning darajasini tezroq aniqlash va shuning uchun uning mosligini yoki mos kelmasligini aniqlash mumkin.

Ikki chiziqli tenglamalar tizimi, agar ularning barcha yechimlari to'plami mos kelsa, ekvivalent deyiladi.

Tenglamalar tizimining elementar transformatsiyalari:

Tizimdan ahamiyatsiz tenglamalarni o'chirish, ya'ni. barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lganlar;

Har qanday tenglamani noldan boshqa raqamga ko'paytirish;

Har qanday i-tenglamaga har qanday j-tenglamani istalgan songa ko'paytirish.

Agar bu o'zgaruvchiga ruxsat berilmasa, x i o'zgaruvchisi erkin deyiladi, lekin butun tenglamalar tizimiga ruxsat beriladi.

Teorema. Elementar transformatsiyalar tenglamalar tizimini ekvivalentga aylantiradi.

Gauss usulining ma'nosi dastlabki tenglamalar tizimini o'zgartirish va ekvivalent hal qilingan yoki ekvivalent nomuvofiq tizimni olishdir.

Shunday qilib, Gauss usuli quyidagi bosqichlardan iborat:

Keling, birinchi tenglamani ko'rib chiqaylik. Birinchi nolga teng bo'lmagan koeffitsientni tanlaymiz va butun tenglamani unga ajratamiz. Ba'zi x i o'zgaruvchisi 1 koeffitsienti bilan kiradigan tenglamani olamiz;
Bu tenglamani qolgan tenglamalardan shunday raqamlarga ko'paytiramizki, x i o'zgaruvchining qolgan tenglamalardagi koeffitsientlari nolga teng bo'lsin. Biz x i o'zgaruvchisiga nisbatan echilgan va originalga ekvivalent tizimni olamiz;
Agar ahamiyatsiz tenglamalar paydo bo'lsa (kamdan-kam hollarda, lekin bu sodir bo'ladi; masalan, 0 = 0), biz ularni tizimdan kesib tashlaymiz. Natijada, bir nechta tenglamalar mavjud;
Oldingi qadamlarni n martadan ko'p bo'lmagan takrorlaymiz, bu erda n - tizimdagi tenglamalar soni. Har safar biz "qayta ishlash" uchun yangi o'zgaruvchini tanlaymiz. Agar nomuvofiq tenglamalar paydo bo'lsa (masalan, 0 = 8), tizim mos kelmaydi.

Natijada, bir necha qadamlardan so'ng biz hal qilingan tizimni (ehtimol, erkin o'zgaruvchilar bilan) yoki mos kelmaydigan tizimni olamiz. Ruxsat etilgan tizimlar ikki holatga bo'linadi:

O'zgaruvchilar soni tenglamalar soniga teng. Bu tizim aniqlanganligini anglatadi;
O'zgaruvchilar soni tenglamalar sonidan kattaroqdir. Biz o'ngdagi barcha bepul o'zgaruvchilarni to'playmiz - biz ruxsat etilgan o'zgaruvchilar uchun formulalarni olamiz. Bu formulalar javobda yozilgan.

Ana xolos! Chiziqli tenglamalar tizimi echildi! Bu juda oddiy algoritm va uni o'zlashtirish uchun oliy matematika o'qituvchisiga murojaat qilish shart emas. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Tenglamalar tizimini yeching:

Bosqichlarning tavsifi:

Birinchi tenglamani ikkinchi va uchinchidan ayirish - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 1 ni olamiz;
Biz ikkinchi tenglamani (-1) ga ko'paytiramiz va uchinchi tenglamani (-3) ga bo'lamiz - biz ikkita tenglamani olamiz, unda x 2 o'zgaruvchisi 1 koeffitsienti bilan kiradi;
Biz ikkinchi tenglamani birinchisiga qo'shamiz va uchinchisidan ayiramiz. Biz ruxsat etilgan o'zgaruvchini olamiz x 2 ;
Nihoyat, birinchidan uchinchi tenglamani olib tashlaymiz - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 3 ni olamiz;
Biz tasdiqlangan tizimni oldik, javobni yozing.

Bir vaqtning o'zida chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimi - bu barcha ruxsat etilgan o'zgaruvchilar bo'sh bo'lganlar bilan ifodalangan dastlabki tizimga ekvivalent yangi tizim.

Umumiy yechim qachon kerak bo'lishi mumkin? Agar siz k dan kamroq qadamlarni bajarishingiz kerak bo'lsa (k - qancha tenglama bor). Biroq, jarayonning ba'zi bir bosqichda tugashining sabablari l< k , может быть две:

1-bosqichdan so'ng biz (l + 1) sonli tenglamaga ega bo'lmagan tizimni oldik. Aslida, bu yaxshi, chunki ... vakolatli tizim hali ham olingan - hatto bir necha qadam oldin.
1-bosqichdan so'ng biz o'zgaruvchilarning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lgan tenglamani oldik va erkin koeffitsient noldan farq qiladi. Bu qarama-qarshi tenglama va shuning uchun tizim mos kelmaydi.

Gauss usuli yordamida mos kelmaydigan tenglamaning paydo bo'lishi nomuvofiqlik uchun etarli asos ekanligini tushunish muhimdir. Shu bilan birga, shuni ta'kidlaymizki, 1-bosqich natijasida hech qanday ahamiyatsiz tenglamalar qolishi mumkin emas - ularning barchasi jarayonda kesib tashlanadi.

Bosqichlarning tavsifi:

Birinchi tenglamani ikkinchisidan 4 ga ko'paytiring. Birinchi tenglamani uchinchisiga ham qo'shamiz - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 1 ni olamiz;
Ikkinchidan 2 ga ko'paytiriladigan uchinchi tenglamani ayiramiz - biz 0 = -5 qarama-qarshi tenglamani olamiz.

Demak, tizim nomuvofiq, chunki nomuvofiq tenglama topilgan.

Vazifa. Moslikni o'rganing va tizimga umumiy yechim toping:

Bosqichlarning tavsifi:

Birinchi tenglamani ikkinchidan (ikkiga ko'paytirgandan so'ng) olib tashlaymiz va uchinchisi - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 1 ni olamiz;
Uchinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani olib tashlang. Ushbu tenglamalardagi barcha koeffitsientlar bir xil bo'lganligi sababli, uchinchi tenglama ahamiyatsiz bo'lib qoladi. Shu bilan birga, ikkinchi tenglamani (-1) ga ko'paytiring;
Birinchi tenglamadan ikkinchisini olib tashlang - biz ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 2 ni olamiz. Endi tenglamalarning butun tizimi ham hal qilindi;
x 3 va x 4 o'zgaruvchilar erkin bo'lgani uchun biz ruxsat etilgan o'zgaruvchilarni ifodalash uchun ularni o'ngga o'tkazamiz. Bu javob.

Shunday qilib, tizim izchil va noaniq, chunki ikkita ruxsat etilgan o'zgaruvchi (x 1 va x 2) va ikkita erkin (x 3 va x 4) mavjud.

Gauss usuli yordamida yechish nimani anglatadi?

Birinchidan, biz tenglamalar sistemamizni quyidagicha yozishimiz kerak. Tizimni oling:

Matritsalar, ularning xossalari

Matritsada yashirin ma'no yo'q. Bu shunchaki u bilan keyingi operatsiyalar uchun ma'lumotlarni yozib olishning qulay usuli. Hatto maktab o'quvchilari ham ulardan qo'rqishlari shart emas.

Aniqlovchi

Tizim tasnifi

Darajali vaziyatga qarab, SLAE quyidagilarga bo'linishi mumkin:

Birgalikda. U Qo'shma tizimlarda asosiy matritsaning darajasi (faqat koeffitsientlardan iborat) kengaytirilgan matritsaning darajasiga to'g'ri keladi (erkin atamalar ustuni bilan). Bunday tizimlar yechimga ega, ammo bitta emas, shuning uchun qo'shimcha tizimlar quyidagilarga bo'linadi:
- aniq- yagona yechimga ega bo'lish. Muayyan tizimlarda matritsaning darajasi va noma'lumlar soni (yoki bir xil bo'lgan ustunlar soni) tengdir;
- aniqlanmagan - cheksiz ko'p echimlar bilan. Bunday sistemalarda matritsalar darajasi noma'lumlar sonidan kamroq.
Mos kelmaydi. U Bunday tizimlarda asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari bir-biriga mos kelmaydi. Mos kelmaydigan tizimlarning yechimi yo'q.

Elementar transformatsiyalar

Chiziqlarni qayta tartibga solish. Shubhasiz, agar siz tizim yozuvidagi tenglamalar tartibini o'zgartirsangiz, bu hech qanday tarzda yechimga ta'sir qilmaydi. Binobarin, ushbu tizim matritsasidagi satrlar ham almashtirilishi mumkin, albatta, erkin shartlar ustunini unutmaslik kerak.
Satrning barcha elementlarini ma'lum bir koeffitsientga ko'paytirish. Juda foydali! U matritsadagi katta sonlarni kamaytirish yoki nollarni olib tashlash uchun ishlatilishi mumkin. Ko'pgina qarorlar, odatdagidek, o'zgarmaydi, ammo keyingi operatsiyalar yanada qulayroq bo'ladi. Asosiysi, koeffitsient nolga teng emas.
Proportsional omillar bilan qatorlarni olib tashlash. Bu qisman oldingi paragrafdan kelib chiqadi. Agar matritsadagi ikki yoki undan ortiq satrlar proportsional koeffitsientlarga ega bo'lsa, satrlardan biri proportsionallik koeffitsientiga ko'paytirilganda/bo'linganda ikkita (yoki yana, ko'proq) mutlaqo bir xil qatorlar olinadi va qo'shimchalarni olib tashlash mumkin. faqat bitta.
Null qatorni olib tashlash. Agar transformatsiya paytida barcha elementlar, shu jumladan erkin atama nolga teng bo'lgan joyda qator olingan bo'lsa, unda bunday qatorni nol deb atash va matritsadan chiqarib tashlash mumkin.
Bir qatorning elementlariga boshqasining elementlarini qo'shish (tegishli ustunlarda), ma'lum bir koeffitsientga ko'paytiriladi. Eng noaniq va eng muhim transformatsiya. Bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tishga arziydi.

Koeffitsientga ko'paytirilgan qatorni qo'shish

Tushunish qulayligi uchun ushbu jarayonni bosqichma-bosqich buzishga arziydi. Matritsadan ikkita qator olinadi:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Aytaylik, birinchisini ikkinchisiga qo'shish kerak, "-2" koeffitsientiga ko'paytiriladi.

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Keyin matritsadagi ikkinchi qator yangisi bilan almashtiriladi va birinchisi o'zgarishsiz qoladi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Umuman

Tizim bo'lsin. U m tenglama va n ta noma'lum ildizga ega. Siz buni quyidagicha yozishingiz mumkin:

Asosiy matritsa tizim koeffitsientlaridan tuzilgan. Kengaytirilgan matritsaga bepul shartlar ustuni qo'shiladi va qulaylik uchun chiziq bilan ajratiladi.

matritsaning birinchi qatori k = (-a 21 /a 11) koeffitsientiga ko'paytiriladi;
matritsaning birinchi o'zgartirilgan qatori va ikkinchi qatori qo'shiladi;
ikkinchi qator o‘rniga matritsaga oldingi banddagi qo‘shimchaning natijasi kiritiladi;
endi yangi ikkinchi qatordagi birinchi koeffitsient 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

koeffitsient k = (-a 32 /a 22);
ikkinchi o'zgartirilgan qator "joriy" qatorga qo'shiladi;
qo'shimchaning natijasi uchinchi, to'rtinchi va shunga o'xshash qatorlarga almashtiriladi, birinchi va ikkinchi o'zgarishsiz qoladi;
matritsaning qatorlarida birinchi ikkita element allaqachon nolga teng.

Yechimlar bo'lmaganda

Cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lganda

Muayyan misollar bilan yechim

Bu erda tenglamalar tizimi mavjud.

Qulaylik uchun darhol uning matritsasini yaratish yaxshiroqdir

ikkinchi qator: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + kxa 11 = 3 + (-3)x1 = 0

a" 22 = a 22 + kxa 12 = -1 + (-3)x2 = -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b" 2 = b 2 + kxb 1 = 12 + (-3)x12 = -24

uchinchi qator: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b" 3 = b 3 + kxb 1 = 3 + (-5)x12 = -57

Endi, chalkashmaslik uchun, o'zgarishlarning oraliq natijalari bilan matritsani yozishingiz kerak.

a" 32 = a 32 + kxa 22 = 3 + (-3/7)x7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + kxa 23 = 6 + (-3/7)x11 = -9/7

b" 3 = b 3 + kxb 2 = 19 + (-3/7)x24 = -61/7

Matritsa yana yangi qiymatlar bilan yoziladi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Endi hamma narsa chiroyli. Faqat matritsani tenglamalar tizimi shaklida qayta yozish va ildizlarni hisoblash qoladi.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Endi ildizlarni topadigan algoritm Gauss usulida teskari harakat deb ataladi. (3) tenglama z qiymatini o'z ichiga oladi:

y = (24 - 11x(61/9))/7 = -65/9

Va birinchi tenglama bizga x ni topishga imkon beradi:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Bunday tizimni qo'shma va hatto aniq, ya'ni o'ziga xos yechimga ega deb atashga haqlimiz. Javob quyidagi shaklda yoziladi:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Noaniq tizimga misol

Gauss usuli yordamida ma'lum bir tizimni yechish varianti tahlil qilindi, endi tizim noaniq bo'lsa, ya'ni unga cheksiz ko'p echimlarni topish mumkin bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqish kerak.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Birinchidan, odatdagidek, kengaytirilgan matritsa tuziladi.

Birinchi qatorning elementlarini ularning har bir koeffitsientiga navbat bilan ko'paytirish va kerakli qatorlarga qo'shish orqali biz quyidagi ko'rinishdagi matritsani olamiz:

Natijada shunday matritsa hosil bo'ladi. Tizim hali yozilmagan bo'lsa-da, bu erda asosiy o'zgaruvchilarni aniqlash kerak - a 11 = 1 va 22 = 1 koeffitsientlarida turganlar va bo'sh - qolganlari.

Ikkinchi tenglamada faqat bitta asosiy o'zgaruvchi mavjud - x 2. Demak, u yerdan erkin bo'lgan x 3 , x 4 , x 5 o'zgaruvchilari orqali yozish orqali ifodalanishi mumkin.

Olingan ifodani birinchi tenglamaga almashtiramiz.

Natijada yagona asosiy o'zgaruvchi x 1 bo'lgan tenglama hosil bo'ladi. Keling, u bilan x 2 bilan xuddi shunday qilaylik.

Ikkita bo'lgan barcha asosiy o'zgaruvchilar uchta bo'sh o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi; endi javobni umumiy shaklda yozishimiz mumkin.

Shuningdek, siz tizimning alohida yechimlaridan birini belgilashingiz mumkin. Bunday holatlar uchun odatda erkin o'zgaruvchilar uchun qiymat sifatida nollar tanlanadi. Keyin javob shunday bo'ladi:

16, 23, 0, 0, 0.

Kooperativ bo'lmagan tizimga misol

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Odatdagidek, matritsa tuziladi:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Va u bosqichma-bosqich shaklga tushiriladi:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Birinchi o'zgartirishdan so'ng, uchinchi qatorda shaklning tenglamasi mavjud

yechimsiz. Shunday qilib, tizim mos kelmaydi va javob bo'sh to'plam bo'ladi.

Usulning afzalliklari va kamchiliklari

Ilova

Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli deb ham ataladigan Gauss usuli quyidagicha. Elementar transformatsiyalar yordamida chiziqli tenglamalar tizimi shunday shaklga keltiriladiki, uning koeffitsientlar matritsasi shunday bo'ladi. trapezoidal (uchburchak yoki pog'onali bilan bir xil) yoki trapezoidalga yaqin (Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri zarbasi, bundan keyin oddiygina tekis zarba). Bunday tizimga misol va uning yechimi yuqoridagi rasmda keltirilgan.

Bunday tizimda oxirgi tenglama faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi va uning qiymatini bir ma'noda topish mumkin. Keyin bu o'zgaruvchining qiymati oldingi tenglamaga almashtiriladi ( Gauss usuliga teskari , keyin faqat teskari), undan oldingi o'zgaruvchi topiladi va hokazo.

Trapezoidal (uchburchak) tizimda, biz ko'rib turganimizdek, uchinchi tenglama endi o'zgaruvchilarni o'z ichiga olmaydi. y Va x, va ikkinchi tenglama o'zgaruvchidir x .

Tizim matritsasi trapezoidal shaklga ega bo'lgandan so'ng, tizimning muvofiqligi masalasini tushunish, echimlar sonini aniqlash va echimlarni o'zlari topish qiyin emas.

Usulning afzalliklari:

uchtadan ortiq tenglama va noma'lum bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimini yechishda Gauss usuli Kramer usuli kabi og'ir emas, chunki Gauss usuli bilan echish kamroq hisob-kitoblarni talab qiladi;
Gauss usuli chiziqli tenglamalarning noaniq sistemalarini yecha oladi, ya’ni umumiy yechimga ega bo‘ladi (va biz ularni shu darsda tahlil qilamiz) va Kramer usulidan foydalanib, faqat tizim noaniq ekanligini aytishimiz mumkin;
noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lmagan chiziqli tenglamalar tizimini echishingiz mumkin (biz ularni ushbu darsda ham tahlil qilamiz);
Usul boshlang'ich (maktab) usullarga asoslangan - noma'lumlarni almashtirish usuli va biz tegishli maqolada to'xtalgan tenglamalarni qo'shish usuli.

Har bir inson chiziqli tenglamalarning trapezoidal (uchburchak, pog'onali) tizimlari qanday soddaligini tushunishi uchun biz teskari harakatdan foydalangan holda bunday tizimning echimini taqdim etamiz. Ushbu tizimning tezkor yechimi dars boshida rasmda ko'rsatilgan.

1-misol. Teskari yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Ushbu trapezoidal tizimda o'zgaruvchi z uchinchi tenglamadan yagona topish mumkin. Biz uning qiymatini ikkinchi tenglamaga almashtiramiz va o'zgaruvchining qiymatini olamiz y:

Endi biz ikkita o'zgaruvchining qiymatlarini bilamiz - z Va y. Biz ularni birinchi tenglamaga almashtiramiz va o'zgaruvchining qiymatini olamiz x:

Oldingi bosqichlardan biz tenglamalar tizimining yechimini yozamiz:

Biz juda sodda tarzda hal qilgan bunday trapezoidal chiziqli tenglamalar tizimini olish uchun chiziqli tenglamalar tizimining elementar o'zgarishlari bilan bog'liq to'g'ridan-to'g'ri chiziqdan foydalanish kerak. Bu ham juda qiyin emas.

Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar transformatsiyalari

Tizim tenglamalarini algebraik qo'shishning maktab usulini takrorlab, biz tizim tenglamalaridan biriga tizimning boshqa tenglamasini qo'shish mumkinligini va har bir tenglamani qandaydir sonlarga ko'paytirish mumkinligini aniqladik. Natijada biz shunga teng chiziqli tenglamalar tizimini olamiz. Unda bitta tenglamada faqat bitta o'zgaruvchi mavjud bo'lib, uning qiymatini boshqa tenglamalarga almashtirib, biz yechimga kelamiz. Bunday qo'shish tizimni elementar o'zgartirish turlaridan biridir. Gauss usulini qo'llashda biz bir necha turdagi transformatsiyalardan foydalanishimiz mumkin.

Yuqoridagi animatsiyada tenglamalar tizimi asta-sekin trapezoidalga aylanishi ko'rsatilgan. Ya'ni, siz birinchi animatsiyada ko'rgan va undan barcha noma'lumlarning qiymatlarini topish oson ekanligiga ishonch hosil qilganingiz. Bunday transformatsiyani qanday amalga oshirish kerakligi va, albatta, misollar bundan keyin muhokama qilinadi.

Tenglamalar tizimida va tizimning kengaytirilgan matritsasida istalgan miqdordagi tenglamalar va noma'lumlar bilan chiziqli tenglamalar tizimini yechishda mumkin:

chiziqlarni qayta tartibga solish (bu maqolaning boshida aytib o'tilgan);
agar boshqa transformatsiyalar natijasida teng yoki proportsional qatorlar paydo bo'lsa, ular bittadan tashqari o'chirilishi mumkin;
barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lgan "nol" qatorlarni olib tashlang;
har qanday satrni ma'lum bir raqamga ko'paytirish yoki bo'lish;
har qanday qatorga ma'lum bir raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing.

O'zgartirishlar natijasida biz bunga ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimini olamiz.

Gauss usuli yordamida tizimning kvadrat matritsasi bilan chiziqli tenglamalar tizimini echish algoritmi va misollari.

Avval noma’lumlar soni tenglamalar soniga teng bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishni ko‘rib chiqamiz. Bunday sistemaning matritsasi kvadrat, ya'ni undagi qatorlar soni ustunlar soniga teng.

2-misol. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching

Chiziqli tenglamalar tizimini maktab usullaridan foydalangan holda echishda biz tenglamalardan birini had bo'yicha ko'paytirdik, shuning uchun ikkita tenglamadagi birinchi o'zgaruvchining koeffitsientlari qarama-qarshi sonlar edi. Tenglamalarni qo'shganda bu o'zgaruvchi chiqarib tashlanadi. Gauss usuli ham xuddi shunday ishlaydi.

Yechimning ko'rinishini soddalashtirish uchun tizimning kengaytirilgan matritsasini yaratamiz:

Bu matritsada noma’lumlar koeffitsientlari vertikal chiziqdan oldin chapda, erkin hadlar esa vertikal chiziqdan keyin o‘ng tomonda joylashgan.

O'zgaruvchilar uchun koeffitsientlarni bo'lish qulayligi uchun (birlik bo'yicha bo'lish uchun) Tizim matritsasining birinchi va ikkinchi qatorlarini almashtiramiz. Biz shunga o'xshash tizimni olamiz, chunki chiziqli tenglamalar tizimida tenglamalarni almashtirish mumkin:

Yangi birinchi tenglamadan foydalanish o'zgaruvchini yo'q qiling x ikkinchi va keyingi barcha tenglamalardan. Buning uchun matritsaning ikkinchi qatoriga birinchi qatorni ko'paytiramiz (bizning holatimizda ), uchinchi qatorga - birinchi qatorni ko'paytiramiz (bizning holimizda ).

Bu mumkin, chunki

Agar tizimimizda uchtadan ortiq tenglama mavjud bo'lsa, unda biz keyingi barcha tenglamalarga minus belgisi bilan olingan tegishli koeffitsientlar nisbatiga ko'paytiriladigan birinchi qatorni qo'shishimiz kerak edi.

Natijada, biz yangi tenglamalar tizimining ushbu tizimiga ekvivalent matritsani olamiz, unda ikkinchidan boshlab barcha tenglamalar o'zgaruvchini o'z ichiga olmaydi x :

Olingan tizimning ikkinchi qatorini soddalashtirish uchun uni qayta-qayta ko'paytiring va ushbu tizimga ekvivalent tenglamalar tizimining matritsasini oling:

Endi, hosil bo'lgan tizimning birinchi tenglamasini o'zgarishsiz saqlab, ikkinchi tenglama yordamida biz o'zgaruvchini yo'q qilamiz y barcha keyingi tenglamalardan. Buning uchun tizim matritsasining uchinchi qatoriga ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni qo'shamiz (bizning holimizda ).

Agar tizimimizda uchtadan ortiq tenglama mavjud bo'lsa, biz keyingi barcha tenglamalarga minus belgisi bilan olingan mos keladigan koeffitsientlar nisbatiga ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni qo'shishimiz kerak edi.

Natijada, biz yana ushbu chiziqli tenglamalar tizimiga ekvivalent tizim matritsasini olamiz:

Biz chiziqli tenglamalarning ekvivalent trapezoidal tizimini oldik:

Agar tenglamalar va o'zgaruvchilar soni bizning misolimizdagidan ko'p bo'lsa, u holda o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish jarayoni bizning namoyish misolimizdagi kabi tizim matritsasi trapezoidal holga kelguncha davom etadi.

Biz yechimni "oxiridan" topamiz - teskari harakat. Buning uchun oxirgi tenglamadan aniqlaymiz z:
.
Ushbu qiymatni oldingi tenglamaga almashtirib, topamiz y:

Birinchi tenglamadan topamiz x:

Javob: bu tenglamalar tizimining yechimi .

: bu holda, agar tizimda yagona yechim bo'lsa, xuddi shunday javob beriladi. Agar tizimda cheksiz miqdordagi echimlar bo'lsa, unda bu javob bo'ladi va bu darsning beshinchi qismining mavzusi.

Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini o'zingiz yeching va keyin yechimga qarang

Bu yerda yana bir bor izchil va aniq chiziqli tenglamalar sistemasiga misol keltiramiz, unda tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng. Bizning demo misolimizdan algoritmdan farqi shundaki, allaqachon to'rtta tenglama va to'rtta noma'lum mavjud.

4-misol. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Endi siz keyingi tenglamalardan o'zgaruvchini yo'q qilish uchun ikkinchi tenglamadan foydalanishingiz kerak. Keling, tayyorgarlik ishlarini bajaramiz. Koeffitsientlar nisbati bilan qulayroq qilish uchun siz ikkinchi qatorning ikkinchi ustunida bittasini olishingiz kerak. Buning uchun ikkinchi qatordan uchinchisini ayirib, hosil bo'lgan ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytiring.

Keling, uchinchi va to'rtinchi tenglamalardan o'zgaruvchini haqiqiy yo'q qilishni amalga oshiramiz. Buning uchun uchinchi qatorga , ga ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni va to'rtinchi qatorga ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni qo'shing.

Endi uchinchi tenglamadan foydalanib, o'zgaruvchini to'rtinchi tenglamadan chiqarib tashlaymiz. Buni amalga oshirish uchun uchinchi qatorni to'rtinchi qatorga ko'paytiring. Biz kengaytirilgan trapezoidal matritsani olamiz.

Biz berilgan tizim ekvivalent bo'lgan tenglamalar tizimini oldik:

Binobarin, olingan va berilgan tizimlar mos va aniqdir. Biz yakuniy yechimni "oxiridan" topamiz. To'rtinchi tenglamadan biz "x-to'rt" o'zgaruvchisining qiymatini to'g'ridan-to'g'ri ifodalashimiz mumkin:

Ushbu qiymatni tizimning uchinchi tenglamasiga almashtiramiz va olamiz

Nihoyat, qiymatni almashtirish

Birinchi tenglama beradi

"X" ni qaerdan topamiz:

Javob: bu tenglamalar tizimi yagona yechimga ega .

Tizim yechimini kalkulyatorda Kramer usulidan foydalanib ham tekshirishingiz mumkin: bu holda tizimda o'ziga xos yechim mavjud bo'lsa, xuddi shunday javob beriladi.

Qotishmalarga oid masala misolida Gauss usuli yordamida amaliy masalalarni yechish

Chiziqli tenglamalar tizimlari fizik dunyodagi real ob'ektlarni modellashtirish uchun ishlatiladi. Keling, ushbu muammolardan birini - qotishmalarni hal qilaylik. Shunga o'xshash muammolar aralashmalar bo'yicha muammolar, tovarlar guruhidagi alohida tovarlarning narxi yoki ulushi va boshqalar.

5-misol. Uch dona qotishma umumiy massasi 150 kg ni tashkil qiladi. Birinchi qotishma tarkibida 60% mis, ikkinchisida - 30%, uchinchisida - 10% mavjud. Bundan tashqari, ikkinchi va uchinchi qotishmalarda birinchi qotishmaga qaraganda 28,4 kg kamroq mis, uchinchi qotishmada esa ikkinchisiga qaraganda 6,2 kg kamroq mis mavjud. Qotishmaning har bir qismining massasini toping.

Yechim. Biz chiziqli tenglamalar tizimini tuzamiz:

Biz ikkinchi va uchinchi tenglamalarni 10 ga ko'paytiramiz, biz ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimini olamiz:

Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yaratamiz:

Diqqat, oldinga. Bir qatorni songa ko'paytirish (biz uni ikki marta qo'llaymiz) qo'shish (bizning holatlarimizda ayirish) tizimning kengaytirilgan matritsasi bilan quyidagi o'zgarishlar sodir bo'ladi:

To'g'ridan-to'g'ri harakat tugadi. Biz kengaytirilgan trapezoidal matritsani oldik.

Biz teskari harakatni qo'llaymiz. Biz oxirigacha yechim topamiz. Biz buni ko'ramiz.

Ikkinchi tenglamadan biz topamiz

Uchinchi tenglamadan -

Tizim yechimini kalkulyatorda Kramer usuli yordamida ham tekshirishingiz mumkin: bu holda, agar tizimda yagona yechim mavjud bo'lsa, xuddi shunday javob beriladi.

Gauss usulining soddaligi uni ixtiro qilish uchun nemis matematigi Karl Fridrix Gaussga bor-yo‘g‘i 15 daqiqa vaqt sarflaganligidan dalolat beradi. Uning nomi bilan atalgan usulga qo'shimcha ravishda, "Biz aql bovar qilmaydigan va g'ayritabiiy tuyulgan narsani mutlaqo imkonsiz narsa bilan aralashtirmasligimiz kerak" degan gap Gaussning asarlaridan ma'lum - kashfiyotlar qilish bo'yicha o'ziga xos qisqacha ko'rsatma.

Ko'pgina amaliy masalalarda uchinchi cheklov, ya'ni uchinchi tenglama bo'lmasligi mumkin; keyin Gauss usulidan foydalanib, uchta noma'lumli ikkita tenglama tizimini yechish kerak yoki aksincha, tenglamalarga qaraganda kamroq noma'lumlar mavjud. Endi biz bunday tenglamalar sistemasini yechishni boshlaymiz.

Gauss usulidan foydalanib, har qanday tizim mos yoki mos kelmasligini aniqlashingiz mumkin n bilan chiziqli tenglamalar n o'zgaruvchilar.

Gauss usuli va cheksiz sonli yechimli chiziqli tenglamalar tizimlari

Keyingi misol - izchil, ammo noaniq chiziqli tenglamalar tizimi, ya'ni cheksiz miqdordagi echimlarga ega.

Tizimning kengaytirilgan matritsasida transformatsiyalarni amalga oshirgandan so'ng (satrlarni qayta tartibga solish, qatorlarni ma'lum songa ko'paytirish va bo'lish, bitta qatorga boshqasini qo'shish) shakl qatorlari paydo bo'lishi mumkin.

Agar barcha tenglamalarda shaklga ega bo'lsa

Erkin atamalar nolga teng, bu tizim noaniq, ya'ni cheksiz sonli echimlarga ega ekanligini anglatadi va bu turdagi tenglamalar "ortiqcha" va biz ularni tizimdan chiqaramiz.

6-misol.

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz. Keyin, birinchi tenglamadan foydalanib, biz keyingi tenglamalardan o'zgaruvchini yo'q qilamiz. Buni amalga oshirish uchun ikkinchi, uchinchi va to‘rtinchi qatorlarga ko‘paytirilgan birinchi qatorni qo‘shing:

Endi uchinchi va to'rtinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shamiz.

Natijada biz tizimga kelamiz

Oxirgi ikkita tenglama shaklning tenglamalariga aylandi. Ushbu tenglamalar noma'lumlarning har qanday qiymati uchun qondiriladi va ularni bekor qilish mumkin.

Ikkinchi tenglamani qondirish uchun biz va uchun ixtiyoriy qiymatlarni tanlashimiz mumkin, keyin uchun qiymat yagona tarzda aniqlanadi: . Birinchi tenglamadan qiymati ham yagona topiladi: .

Berilgan va oxirgi tizimlar ham izchil, ammo noaniq va formulalar

ixtiyoriy uchun va bizga berilgan tizimning barcha yechimlarini bering.

Gauss usuli va yechimsiz chiziqli tenglamalar sistemalari

Keyingi misol chiziqli tenglamalarning mos kelmaydigan tizimi, ya'ni yechimlari yo'q. Bunday muammolarga javob shunday tuzilgan: tizimda yechim yo'q.

Birinchi misolda aytib o'tilganidek, transformatsiyalar amalga oshirilgandan so'ng, tizimning kengaytirilgan matritsasida shakl qatorlari paydo bo'lishi mumkin.

shakldagi tenglamaga mos keladi

Agar ular orasida nolga teng bo'lmagan erkin hadli kamida bitta tenglama bo'lsa (ya'ni ), unda bu tenglamalar tizimi mos kelmaydi, ya'ni uning yechimlari yo'q va uning yechimi to'liqdir.

7-misol. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz. Birinchi tenglamadan foydalanib, biz o'zgaruvchini keyingi tenglamalardan chiqaramiz. Buning uchun birinchi qatorni ikkinchi qatorga ko'paytiring, birinchi qatorni uchinchi qatorga ko'paytiring va birinchi qatorni to'rtinchi qatorga ko'paytiring.

Endi siz keyingi tenglamalardan o'zgaruvchini yo'q qilish uchun ikkinchi tenglamadan foydalanishingiz kerak. Koeffitsientlarning butun son nisbatlarini olish uchun biz tizimning kengaytirilgan matritsasining ikkinchi va uchinchi qatorlarini almashtiramiz.

Uchinchi va to'rtinchi tenglamalarni chiqarib tashlash uchun uchinchi qatorga ikkinchi ko'paytmani va to'rtinchi qatorga ikkinchi ko'paytmani qo'shing.

Endi uchinchi tenglamadan foydalanib, o'zgaruvchini to'rtinchi tenglamadan chiqarib tashlaymiz. Buni amalga oshirish uchun uchinchi qatorni to'rtinchi qatorga ko'paytiring.

Shunday qilib, berilgan tizim quyidagilarga ekvivalentdir:

Olingan tizim nomuvofiqdir, chunki uning oxirgi tenglamasini noma'lumlarning hech qanday qiymatlari bilan qondirish mumkin emas. Shuning uchun bu tizim hech qanday yechimga ega emas.